Poly ETSHER Béton Armé LEGRAND 1996

COURS DE BETON ARME Suivant les Règles BAEL 91 Et modifications 99 PASCAL LEGRAND 1995 M.A.J. J.M. TCHOUANI NANA juin 2002 - Révision n°2 ECOLE INTER-ETATS DES TECHNICIENS SUPERIEURS DE L’HYDRAULIQUE ET DE L’EQUIPEMENT RURAL 01 BP 594 Ouagadougou 01 Burkina Faso Tél : (226) 31 92 03 / 31 92 04 / 31 92 18 Email : [email protected] Fax : (226) 31 92 34 SOMMAIRE Pages CHAPITREI – INTRODUCTION – GENERALITES1 I.1 – Définitions…………………………………………………………………………..……………….1 I.2 – Historique ………..………………………………………………………………………………….1 I.3 – Principe du béton armé ...………………………………………………………………………..2 I.4 – Réglementation………………..……………………………………………………………………5 CHAPITRE II – LES ACTIONS ET LES SOLLICITATIONS9 II.1 – Les Actions – Bases de calcul …………………………………..…...…………….………….9 II.2 – Les Sollicitations : Bases de calcul………………………………..………………………….11 CHAPITRE III – CARACTERES DES MATERIAUX15 III.1 – Le Béton……………………………………………………………………….……….…………..15 III.2 – Les Aciers………………………………………………………………………….….……………17 CHAPITRE IV – FLEXION SIMPLE – GENERALITES 22 IV.1 – Introduction……………………………………………………………………………….………22 IV.2 – Définition – Rappel…………………………………………………………………………..…..22 IV.3 – Hypothèses communes à l’ELU et à l’ELS………………………………………………….23 IV.4 – Remarques concernant les hypothèses……………………………………………………..23 IV.5 – Equilibre d’une section fléchie………………………………………………………………...25 CHAPITRE V – ETAT LIMITE ULTIME EN FLEXION SIMPLE26 V.1 – Hypothèses caractéristiques de l’eau…………………………………………………………26 V.2 – Diagramme déformations-contraintes du béton……………………………………………26 V.3 – Diagramme déformations-contraintes des aciers………………………………………….27 V.4 – Equilibre d’une section…………………………………………………………………………..29 V.5 – Règle des 3 pivots…………………………………………………………………………………30 V.6 – Calcul pratique d’une section à simple armature (sans aciers comprimés)…………34 V.7 – Calcul pratique d’une section à double armatures (avec aciers comprimés)………..35 CHAPITRE VI – ETAT LIMITE DE SERVICE EN FLEXION SIMPLE39 VI.1 – Hypothèses caractéristiques de l’ELS………………………………………………………..39 VI.2 – Etats limites de service………………………………………………………………………….41 VI.3 – Contraintes de service…………………………………………………………………………..42 VI.4 – Détermination des armatures à l’ELS……………………………………………………….43 CHAPITRE VII – ETAT LIMITE VIS-A-VIS DE L’EFFORT TRANCHANT48 VII.1 – Sollicitation de calcul…………………………………………………………………………..48 VII.2 – Contrainte tangentielle conventionnelle……………………………………………………48 VII.3 – Comportement des poutres sous l’action de l’effort tranchant……………………….49 CHAPITRE VIII – ADHERENCE56 VIII.1 – Le phénomène d’adhérence………………………………………………………………….56 VIII.2 – Ancrages …………………………………………………………………………………………58 VIII.3 – Jonction des barres : Recouvrement……………………………………………………….60 CHAPITRE IX – POUTRES ISOSTATIQUES61 IX.1 – Prédimensionnement…………………………………………………………………………….61 IX.2 – Justification d’une poutre aux appuis………………………………………………………63 IX.3 – Condition de non fragilité………………………………………………………………………67 IX.4 – Arrêt des barres…………………………………………………………………………………..68 CHAPITRE X – POUTRES EN « TE »72 X.1 – Introduction………………………………………………………………………………………...72 X.2 – Largeur de la table à considérer……………………………………………………………….72 X.3 – Calcul des aciers à l’ELU………………………………………………………………………..73 X.4 – Vérification des contraintes normales à l’ELS………………………………………………77 X.5 – Prédimensionnement d’une poutre à l’ELS………………………………………………….78 X.6 – Justification de la poutre vis-à-vis des sollicitations tangentes………………………..79 CHAPITRE XI – PLANCHERS ET POUTRES82 XI.1 – Les planchers……………………………………………………………………………………...82 XI.2 – Poutres continues…………………………………………………………………………………85 XI.3 – Méthode forfaitaire……………………………………………………………………………….86 XI.4 – Méthode de CAQUOT…………………………………………………………………………….92 CHAPITRE XII – LES DALLES100 XII.1 – Définition………………………………………………………………………………………….100 XII.2 – Dalles simplement appuyées …………………………………………………………………100 XII.3 – Dalles sur appuis continus……………………………………….…………………………..103 XII.4 – Dispositions réglementaires ………………………………………………………………….103 XII.5 – Transmission des charges de planchers……………………………………………………108 CHAPITRE XIII – POTEAUX EN COMPRESSION CENTREE112 XIII.1 – Définition de la compression centrée………………………………………………………112 XIII.2 – Calcul des sollicitations……………………………………………………………………….113 XIII.3 – Flambement des pièces comprimées……………………………………………………….114 XIII.4 – Justification à l’ELU……………………………………………………………………………117 XIII.5 – Dispositions constructives……………………………………………………………………120 XIII.6 – Dimensionnement (coffrage et armatures)………………………………………………..122 CHAPITRE XIV – LES FONDATIONS SUPERFICIELLES124 XIV. 1 – Généralités……………………………………………………………………………………… 124 XIV.2 – Dimensionnement des fondations superficielles………………………………………..125 XIV.3 – Dispositions constructives……………………………………………………………………131 ANNEXES……………………………………………………………………140 1 CHAPITREI-INTRODUCTION-GENERALITES I-1. DEFINITIONS : I-11. Le Béton : Lebétonestunmatériaudeconstructionusuel,quis’apparenteàunepierre artificielle. Ses constituants essentiels sont : - un mélange granulaire de sable et graviers formant le squelette du matériau -unlianthydraulique,leciment,assurantlacohésionentrelesdifférents grains du squelette - l’eau est le réactif chimique provocant la prise du ciment (hydratation) - éventuellement, et en faible quantité, des produits d’addition, les adjuvants, influençant certaines propriétés ou comportements du matériau béton. L’intérêtdumatériaubétonrésidedanssafacilitédemiseenœuvrepuisqu’ilse présente à l’état pâteux et qu’il suffit de remplir des moules (coffrages) de la forme de l’élément à réaliser. I-12. Le Béton Armé : Le béton armé peut être défini comme l’association judicieuse de deux matériaux, le béton et l’acier. Ces aciers sont appelés armatures. On distingue les armatures longitudinalesdisposéessuivantl’axelongitudinaldelapièceetlesarmatures transversales disposées dans des plans perpendiculaires à l’axe de la pièce. I-2. HISTORIQUE : C’est en 1848 que LAMBOT, un français, imagina d’associer des barres d’acier et du béton de ciment pour réaliser une barque. Quelquesannéesplustard,MONIER,unjardinierdeVERSAILLESutiliseraun procédé analoguepour fabriquer des bacsà fleurs.On lui attribue l’inventiondu BA qui a ensuite été exploité en Allemagne par l’entreprise MONIER BETON BRAU (brevet déposé en 1868). EnsuiteHENNEBIQUEmetaupointlesbasesducalculpoursonutilisation rationnellemaisilfaudraattendre1897pourqueRABUTprofesselepremier cours de BA à l’ENPC. Auparavant,en1891,COIGNETutilisadespoutresBApréfabriquéespourla construction d’un immeuble. En 1906 paraît la première réglementation s’appuyant sur une méthode de calcul diteauxcontraintesadmissibles.Lacirculairede1906seraremplacéeparles règlesBA45puisBA60,BA68,BAEL80,BAEL83etenfinBAEL91. Actuellement les règles EUROCODES sont en phase de démarrage en Europe. 2 I-3. PRINCIPE DU BETON ARME : I-31. Fonctionnement du béton armé en flexion : I-311. Présentation de l’essai : I-312. Première poutre : béton non armé : La rupture intervient brutalement sous une charge faible suite à une insuffisance en traction. FF AB x y V (x) x -f +f x M (x) f l /3 Schéma mécanique Efforts tranchants Moments fléchissants 3 Larésistanceencompressiondubéton,d’environ25à35MPaest10foisplus importante que sa résistance en traction. I-313. Deuxième poutre : Poutre armée longitudinalement : Nousdisposonsdesarmaturesenfibresinférieures,làoùsedéveloppentles contraintes de traction et donc là où le béton montre des insuffisances. L’acierestunmatériaupossédantd’excellentescapacitésderésistancestanten traction qu’en compression mais il est cher et donc à utiliser à bon escient et avec parcimonie. Sous charges, des fissures apparaissent en partie centrale. A ce niveau, le béton a donc cessé de résister en traction et c'est l’acier qui a pris le relais. Les armatures empêcheront donc ces micro fissures de s’ouvrir davantage et prendront seuls en compte les efforts de traction. En augmentant les charges appliquées, des fissures à45°secréentauniveaudesdeuxzonesd’appuisprovenantd’uneinsuffisance de résistance du béton à l’effort tranchant. La rupture intervient ensuite le long de ces fissures. REMARQUE : Si,parexemple,lesarmaturessontenduitesdegraisse,ellesglisserontdansle béton et ne s’opposeront plus à l’ouverture des fissures. Le fonctionnement d’une telle association sera donc conditionné par une parfaite adhérence entre l’acier et le béton. Armature longitudinale Armature longitudinale 4 I-314. Troisième poutre : Poutre armée longitudinalement et transversa- lement : Disposonsmaintenantensupplémentdesarmaturestransversalesparticulière- ment au niveau des appuis. Laruptureintervientbeaucoupplustardquedanslesdeuxcasprécédents.Les armatures en présence tant longitudinales que transversales limiteront l’ouverture des fissures dans le béton. I-315. Synthèse : Nouspouvonsprésenter,àpartirdecesessais,leprincipedeferraillaged’une poutre en BA en flexion. - b : largeur de la poutre - h : hauteur de la poutre - d : distance utile - y : hauteur de béton comprimé Armature longitudinale Armatures transversales Armature longitudinale Armatures Armatures comprimées ou armatures de montage transversales y d h b Section transversale 5 I-32. Intérêt de l’association acier-béton : Lebétonarméestunmatériaucomposite.Ilestconstituédedeuxmatériauxde nature et de comportement différents, associés de manière à profiter au mieux des qualités complémentaires de chacun. Ainsi : Lebétonestunmatériaunerésistantpasoumalàunecontraintenormalede traction.Or,cettesituationserencontresystématiquementdansleszones tendues des éléments fléchis (poutre, plancher). Dans ces parties tendues, le béton est renforcé par des barres d’acier. Lesbarresd’aciernepermettentpastoutesseulesderéaliserdeséléments comprimés puisqu’elles flamberaient immédiatement. Associées au béton dans les poteauxoùleszonescompriméesdespoutres,ellespeuventalorsparticiperàla reprisedel’effortdecompressiondansl’élémentdestructure,lebétonen reprenant malgré tout une part importante. L’utilisationdel’aciersousformedebarresestjudicieuseetéconomique, puisqu’ellesnesontdisposéesquedanslespartiesutiles.Deplus,lesbarres d’acier sont faciles à couper, cintrer, assembler et à manipuler. Iln’yapasderéactionchimiqueentrel’acieretlebéton.Unenrobagesuffisant des armatures par le béton les protège de la corrosion. Le béton armé est un des matériaux qui résiste le mieux aux incendies. L’acier et le béton ont un coefficient de dilatation thermique identique, ce qui évite les dilatations différentielles entre les deux matériaux. Lesstructuresenbétonarmésontconsidérées,enfindeconstruction,comme monolithique,mêmesiellesontétécouléesenplusieursphases,dèslorsque certainesdispositionsontétéprisesauniveaudesreprisesdebétonnage.Ces structuresprésententainsiunepossibilitéd’adaptation,c’est-à-direde redistribution partielle des efforts des zones les plus faibles vers les zones les plus résistantes. I-4. REGLEMENTATION : I-41. Construire en B.A. : Le béton armé ne repose pas toujours sur des théories scientifiques. Les formules de calcul et les nombreux coefficients utilisés ont souvent un caractère empirique mais il est essentiel qu’ils aient été fixés à la suite de nombreux essais et que les résultats de calcul soient conformes à l’expérience. Jusqu’en 1980, le béton armé était calculé par la méthode des contraintes admis- sibles. Ces contraintes admissibles étaient définies sur la base des contraintes de ruptureoudelimiteélastiquedesmatériauxetensuiteonmultipliaitparun coefficient de sécurité. 6 Lecoefficientdesécuritéprissurlebétonestlongtempsrestéégalà28%dela limite de rupture à 90 jours, le coefficient de sécurité de l’acier à 60 % de sa limite élastique. Il suffisait ensuite de calculer les contraintes dans l’acier et le béton sous l’effet le plusdéfavorabledeschargesetdevérifierquel’onnedépassaitpasces contraintes admissibles. Cettenotiondesécuritéaévolué.Onchercheaujourd’hui,àprendreencompte tous les facteurs d’insécurité séparément : - la résistance intrinsèque des matériaux, -lavaleurlaplusprobabledeschargespermanentesetdescharges variables, - l’aspect favorable ou défavorable des actions, - les défauts géométriques des matériaux et de leur position - la fissuration. Nous calculons maintenant les structures en BA à l’aide des règlements aux états limites. I-42. La réglementation actuelle : le BAEL 91 : I-421. Introduction : LesrèglesCCBA68ontétéabrogéesle1 er janvier1985aprèsunepériodede coexistence avec les règles BAEL 80 puis BAEL 83. Ces règlesBAEL83 ont révélé certaines imperfections qui ont nécessité quelques modifications qui ont conduit au règlement actuel le BAEL 91. Les principales modifications par rapport au BAEL 83 apparaissent dans ce cours en « ombré ». Pourharmonisertouslesrèglementseuropéensrelatifsauxdifférentsmatériaux deconstruction,lerèglementEUROCODEestencoursd’expérimentation.A terme,lerèglementEUROCODE2« Calculdesstructuresenbéton »remplacera dans tous les pays francophones le BAEL. I-422. Définition des états limites : Un état limite est un état pour lequel une condition requise d’une construction est strictement satisfaite et cesserait de l’être en cas de modification défavorable d’une seule action. Unouvragedoitêtreconçuetcalculédemanièreàprésenterpendanttoutesa durée de vie des sécurités suffisantes vis-à-vis : - de sa ruine ou de celle de l’un quelconque de ses éléments (effondrement de tout ou partie du bâtiment), -d’uncomportementenservicesusceptibled’affectergravementsa durabilité, son aspect, le confort des usagers. 7 Toutétatlimiteau-delàduquelunestructureouunepartiedelastructurene remplit pas une des conditions précédentes est dit état limite. Il convient donc de toujoursêtreendeçàdesétatslimitespourêtreensécuritélorsdel’exploitation de l’ouvrage. Le BAEL distingue deux catégories d’états limites : •Lesétatslimitesultimes(ELU)quicorrespondentàlaruinedel’ouvrageou d’une partie de l’ouvrage : - état limite ultime d’équilibre statique (renversement d’un mur de soutènement, …), - état limite ultime de résistance (des matériaux constitutifs, …), - état limite ultime de stabilité de forme (flambement, …). •Lesétatslimitesdeservice(ELS)au-delàdesquelslesconditionsd’exploitation normale ou de durabilité de l’ouvrage ne sont plus satisfaites : - état limite de résistance à la compression du béton, - état limite de déformation (flèche), - état limite d’ouverture des fissures (corrosion des armatures). Lescirconstancesdanslesquellescesétatslimitesserencontrent,etles conséquencesd’undépassementdecesseuilsétanttrèsdifférentesselonqu’il s’agitd’unELUoud’unELS,lavérificationdelaconstructionconduitàdes calculs eux aussi très différents. En ce qui concerne : - les actions à prendre en compte et la façon de les combiner (pondération). - le comportement du matériau (et des sections des poutres) à utiliser. Al’ELU,unesectiondepoutreBAestamenéeàlarupturelorsquelebéton compriméoul’aciertendudépasseleurcapacitéderésistanceetentrenten plasticité. Le calcul est donc mené dans l’hypothèse d’un comportement plastique des matériaux, le domaine élastique étant dépassé. L’ELSestatteintbienquelastructuresoitencoreloindesoneffondrement,par exemple du fait d’une trop grande déformabilité d’un élément. Le calcul est mené dans l’hypothèse d’un comportement élastique des matériaux. I-423. Domaine d’application : L’articleA.1duBAEL91préciselesdomainesd’applicationainsiqueleprincipe des justifications. Cetarticleécartedudomained’applicationlesconstructionsenbétonnonarmé ou en béton léger, les structures mixtes acier béton et les éléments soumis à des températures s’écartant des influences climatiques normales. De plus, un dosage en ciment de 300 kg/m 3 minimum est requis. I-424. Unités : Nous utilisons les unités du système international soit : - pour les longueurs le mètre (m) - pour les forces le newton (N). 8 Cela nous donne : -pourlesmomentslenewton-mètre(Nm)etsurtoutsesmultiplesle kilonewton-mètre (KNm) et le méganewton-mètre (MNm). - pourlescontraintesetlesmodulesd’élasticitélepascal(Pa) tel que 1 Pa = 1N/m 2 etsurtoutsesmultipleslekilopascal (1 Kpa = 10 3 Pa) et le mégapascal (1 Mpa = 10 6 Pa). C’estcette unité qui est le plus utilisée en BA. REMARQUE : 1 Mpa = 10 bar = 10 daN/cm 2 9 10 CHAPITREII-LESACTIONSETLESSOLLICITATIONS II-1. LES ACTIONS : BASES DE CALCUL : II-11. Définitions : Lesactionssontdesforcesoudescouplesdirectementappliquéesàla construction, ainsi que celles qui résultent des déformations dues au retrait, à la dilatation, au tassement d’appui. Lesvaleursdechacunedecesactionsontuncaractèrenominal,c’est-à-dire connu dès le départ ou donné par des textes réglementaires ou contractuels. II-12. Nature des actions : Considérons la coupe schématique d’un immeuble : Légende de la coupe schématique : 1. Mur de façade8.Plancher en B.A. 2. Mur de refend9.Cloisons 3. Charge concentrée10. Température 4. Action du vent11. Revêtement de plancher 5. Personnes12. Poutre en B.A. 6. Meuble13. Automobile 7. Poussée des terres14. Sous-pression d’eau Toutescesactionspeuventêtreclasséesenactionspermanentesd’intensité constanteoutrèspeuvariables,etenactionsvariablesdontl’intensitévarie fréquemment et de façon importante dans le temps. 4 4 3 8 2 9 6 11 12 14 13 7 10 1 5 11 • Actions permanentes (notées G) : - Poids propre de la structure : charges 1, 2, 8 et 12. - Poids des autres éléments de la construction : charges 9 et 11. - Poussées des terres, pression des liquides : 7 et 14 -Actionsduesauxdéformationsdifférées :raccourcissementparretraitdu béton dans le plancher 8. • Actions variables (notées Q) : - Charges d’exploitation : 3, 5, 6 et 13 - Charges climatiques : 4 - Action de la température climatique due aux variations d’ambiance au cours de la journée : 10. -Actionsappliquéesencoursdeconstructionquiproviennentdes équipements de chantier. II-13. Bases de calcul des charges permanentes : Ellesrésultentdupoidsvolumiquedesmatériauxmisenœuvreetdes dimensions de l’ouvrage. Nous prendrons pour le béton armé un poids volumique de25KN/m 3 .LanormeNFP06-004préciselespoidsvolumiquesdesdivers matériaux de construction. Leséquipementsfixesfontpartiedeceschargestellesquelescloisonsde distribution. Elles interviennent dans le cas où leur poids linéique est inférieur à 250 daN/m, assimilées à une charge surfacique de 50 daN/m 2 pour des bâtiments à refend porteurs transversaux rapprochés et de 100 daN/m 2 dans les autres cas. Cettefaçondeconsidérerceschargespermetunegrandesouplessedansla transformation éventuelle de la distribution des pièces dans l’avenir. Lespoids,lespousséesetlespressionsdûsàdesterresoudesliquides interviennent en actions permanentes lorsque le niveau de ces derniers varie peu. Leretrait,faisantpartiedesdéformationsimposéesàuneconstruction,estune caractéristiquedubétonetcorrespondàunerétractiondubétonpendantles phasesdepriseetdedurcissement.Oncherchegénéralementàconcevoirles constructions de telle sorte qu’elle ne fissure pas. On prévoit ainsi des joints, des phases de coulage alternées ou des éléments fractionnés. II-14. Bases de calcul des actions variables : Symbole général Q II-141. Les charges d’exploitation : Q B en bâtiment, Q r pour les ponts : Elles résultent de l’exploitation directe de la construction et sont donc constituées par le poids des utilisateurs et des matériaux nécessaires à l’utilisation des locaux. Elles correspondent à un mode normal d’utilisation. La norme NF P 06 001 définit leschargessurfaciquesàprévoir,cependant,unmaîtred’ouvrageatoujoursla possibilité de définit des valeurs au moins égales. Les bâtiments d’habitation et d’hébergement de plusieurs niveaux peuvent donner lieuàunedégressiondeschargesd’exploitationlorsquel’occupationdeces 12 niveauxpeutêtreconsidérécommeindépendante.Effectivement,ilest particulièrementrarequetouslesniveauxd’uneconstructionsoientchargésà leur valeur maximale au même moment. La norme prévoit donc des coefficients de pondération à appliquer aux charges de chaque niveau avant de les ajouter. II-142. Les charges climatiques : (W pour le vent) : Les actions du vent sont définies par les règles NV 65 et par le DTU P 06-006. Leventestassimiléàdeseffortsstatiquementappliquésàlaconstruction dépendant de la région, du site, de l’altitude, des dimensions et de la position. Ce sontenfaitdeseffortsmettantenvibrationlastructurerésistante,phénomène que l’on se permet d’intégrer par la prise en compte d’un coefficient de majoration dynamique. Lorsque dans un pays, il n’existe pas de standards comme les règles NV 65, il est toujours possible de se rattacher à ces règles en prenant des relevés de vitesse de vent établis dans les aéroports. Nous utilisons alors la relation : Q = V 2 /16 Avec q la pression de base en daN/m 2 et V la vitesse du vent en m/s. II-143. Les charges appliquées en cours de construction : Ceschargesproviennentengénéraldeséquipementsdechantier,decoffrage,de transportetdelevageoudedépôtdematériaux,maisilpeuts’agirausside problèmes d’étaiement. En effet, les méthodes de construction interviennent sur la répartition des efforts et amènent parfoisà solliciter les ouvrages prématurément avecdeschargesimportantesalorsquelebétonn’apasencoreatteintsa résistance de calcul. II-144. Les actions de la température climatique : Lorsqu’uneconstructionestsoumiseàunevariationbrutaledesatempérature, sesdimensionsonttendanceàsemodifierproportionnellementàsoncoefficient dedilatationαégalà10 -5 /°Cpourlebétonarmé.Sicettedilatationnepeutpas s’effectuerlibrement,ilseproduitdescontraintesdanslaconstructionqui provoquent des efforts internes. II-2. LES SOLLICITATIONS : BASES DE CALCULS : Lessollicitationssontlesélémentsderéductiondesforcesextérieuresetdes couples appliqués aux éléments de structure : N : effort normal V : effort tranchant M : moment fléchissant. Ces sollicitations sont calculées après combinaisons des actions. II-21. Méthode de calcul des sollicitations : Ilestnécessairedansunpremiertempsd’effectueruneschématisationdu problèmepourlefairerentrerdanslecadred’hypothèsesconnues.Ilfautdonc parfaitementdéfinirnotreconstructionavantderéalisercetteschématisationet 13 faire certains choix concernant les appuis et les liaisons des différents éléments de la structure (voir cours de structure de 1 ère année). Engénéral,lesfauteslesplusgravesrésultentsouventd’erreursauniveaude l’applicationdesloisdelastatique.Malgré,l’utilisationgénéraliséed’ordinateur pour ces calculs, le concepteur reste responsable des résultats et se doit donc de vérifier au moins leur ordre de grandeur. II-22. Les combinaisons d’actions (annexe D BAEL) : II-221. Principe : Enfonctiondessituationsqu’uneconstructionvaconnaître,nousallonsêtre obligé de superposer les effets de plusieurs actions. Pour cela : a) – Nous affectons à chaque type d’action, un coefficient de sécurité partiel. b)–Nouscombinonslesactionsobtenues(principedesuperpositiondes effets) c)–Nousdéterminonslaoulescombinaisonsquiengendrentlessollici- tations les plus défavorables dans les éléments de la construction. Nous utiliserons les combinaisons avec les notations suivantes : - Gmax : ensemble des actions permanentes défavorables - Gmin : ensemble des actions permanentes favorables - Q : action variable. II-222. Notions sur Gmax et Gmin pour la vérification de l’équilibre statique : a) – Cas d’un mur de soutènement : LapousséeQpousseversunrenversementdumuretagitdoncdansunsens défavorable : elle intervient en Gmax. L’actiondesterresRderrièrelevoileagitdanslesensdelastabilitédonc favorable : elle intervient donc en Gmin. Remblais Semelle Action du sol R Q 14 b) – Cas d’une marche en console : Le poids P de la marche intervient en Gmax et le contrepoids C du mur en Gmin. II-223. Combinaisons fondamentales : Dans le cas général : • à l’ELU : 1,35Gmax + Gmin + yQ1Q yQ1 = 1,5 dans le cas général yQ1 = 1,35 pour la température, les charges d’exploitation étroitement bornées oudecaractèreparticulier(convoismilitairesouexceptionnels)etpour lesbâtimentsagricolesabritantdesanimauxetdesproduitssans présence humaine permanente. • à l’ELS, nous avons la combinaison : Gmax + Gmin + Q1 II-224. Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actionsdeschargespermanentesGetdeschargesd’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) : a) – Poutres sur deux appuis prolongée par un porte-à-faux : Etats limites ultimes (ELU) : C P Mur Marche préfa 1.35G + 1.5QB1.35G 1.35G1.35G + 1.5QB 1.35G + 1.5QB1.35G + 1.5QB G + 1.5QBG G + 1.5QB G 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 15 REMARQUE : Lacombinaison4estpriseencomptepourlajustificationdel’équilibrestatique mais avec 0,9G au lieu de G dans la travée adjacente au porte-à-faux. Etats limites de service (ELS) : b) – Cas des planchers : dalles ou poutres à plusieurs travées : Etats limites ultimes (ELU) : CombinaisonTravées chargéesTravées déchargées 11,35G + 1,5Q1,35G 2G + 1,5Q B G Etats limites de service (ELS) : Travées chargéesTravées déchargées Combinaison G + Q B G c) – Cas des poteaux : Dans les cas les plus courants, l’unique combinaison à considérer est : 1,35G + 1,5Q B d) – Cas des fondations : Combinaisond’actionsilepointd’appuin’intervientpasdanslastabilitésous l’action du vent : 1,35G + 1,5 B G 1 . 2 . G + QB GG + QB 16 17 CHAPITREIII-CARACTERESDESMATERIAUX III-1. LEBETON : III-11. Présentation du matériau : Le béton hydraulique est un mélange optimal de : - liant (ciments artificiels) - granulats naturels ou artificiels (sables, gravillons, graviers, …) - eau d’hydratation du liant et de mouillage des granulats - éventuellement des adjuvants (entraîneur d’air, plastifiant, hydrofuge,…). Sa prise et son durcissement s’effectuent dans l’air ou dans l’eau. Ses principales caractéristiques sont : - une bonne résistance en compression simple - une mauvaise résistance en traction - un poids volumique compris entre 22 et 24 KN/m 3 environ et 25 KN/m 3 pour le béton armé. - un coefficient de dilatation thermique identique à celui de l’acier de 10 -5 /°C. Le DTU 21 définit les caractéristiques minimales du béton et de ses constituants. Lesconstituantsdubétonarmé(cimentetgranulats)sontétudiésdanslecours de construction générale (matériaux de construction). III-12. Résistance du béton : Pour l’établissement des projets et dans les cas courants, un béton est défini par la valeur de sa résistance à la compression à 28 jours, dite valeur caractéristique requise(ouspécifiée).Elleestnotéef c28 etchoisieenfonctiondesconditionsde fabrication du béton, de la classe du ciment utilisé et de son dosage au m 3 . Classe du ciment45et45R55 et 55R Condition de fabrication du bétonCCASCCAS f c28 = 16 Mpa300 Kg/m 3 --- f c28 = 20 MPa 350 Kg/m 3 325 Kg/m 3 325 Kg/m 3 300 Kg/m 3 f c28 = 25 Mpa(1)400 Kg/m 3 375 Kg/m 3 350 Kg/m 3 f c28 = 30 Mpanon admis(1)(1) (1) : cas à justifier par une étude appropriée CC : conditions courantes de fabrication AS : avec auto-contrôle surveillé. 18 Lorsque l’âge du béton est inférieur à 28 jours, on prend en compte les calculs de résistancef cj valeurcaractéristiqueàjjoursquiestobtenue,suivantlescaspar les formules suivantes : f cj = j. f c28 / (4,76 + 0,83 j) pour f c28 ≤40 MPa f cj = j. f c28 / (1,40 + 0,95 j) pour f c28 ≥ 40 Mpa Larésistanceàlacompressionestmesuréeparcompressionaxialedecylindre droitsderévolutionde200cm3desectionetd’unehauteurdoubledeleur diamètre ( ∅ = 16 cm). Lesessaisontpourobjetdedétermineroucontrôlerlesrésistancescaractéris- tiques avec une probabilité de 85 à 90 % d’être réellement atteintes ou dépassées. La résistance du béton est également définie par la résistance caractéristique à la traction ftj à j jours qui est conventionnellement définie par la relation : f tj = 0,6 + 0,06 f cj III-13. Déformations du béton : III-131. Déformation longitudinale : Sousdescontraintesnormalesd’uneduréed’applicationinférieureà24heures, onadmet,àdéfautdemesures,qu’àl’âgedejjours,lemodulededéformation longitudinale instantanée du béton E ij est égal à : E ij = 11000 f cj 1/3 (MPa) Sousdescontraintesdelongueduréed’application,leseffetsdufluagedubéton rajoutent une déformation complémentaire du double de la déformation instanta- née du béton. La déformation totale sera donc triple. En exprimant les résistances en MPa, le module de déformation longitudinale différé du béton E vj est égal : E vj = 13700 f cj 1/3 (MPa) (Le fluagedubéton constitueun phénomène dedéformation différé sous charges de longues durées d’application). 19 III-132. Déformation transversale : Le coefficient de Poisson est pris égale à 0 pour le calcul des sollicitations et à 0,2 pour le calcul des déformations. ∆L : raccourcissement longitudinal ∆d : gonflement transversal v = ∆d/∆Lcoefficient de Poisson Béton non fissuré v = 0,20 Béton fissurév = 0 III-2. LESACIERS : III-21. Présentation : Lematériauacierestunalliageferetcarboneenfaiblepourcentage.Lesaciers utilisésenBAsontlesaciersdenuancedouce(0,15à0,25%decarbone)etles aciers de nuance mi-dure et dure (0,25 à 0,40 % de carbone). III-22. Caractères mécaniques : Le caractère mécanique qui sert de base aux justifications est la limite d’élasticité garantie désignée par fe. Elle varie en fonction du type d’acier. Lemoduled’élasticitélongitudinaleEsestpratiquementconstantquelquesoit l’acier utilisé et est pris égal à : Es = 200 000 MPa Lediagrammedéformations-contraintesal‘alluresuivantepourlatraction,(le diagramme est symétrique pour la compression). Essai de traction sur un acier naturel : L d ∆d ∆L Contrainte Allongement Palier de ductilité Rupture Zone élastique Zone plastique fe fr 0.2%1% 10% 20 III-23. Classification des aciers pour le béton armé : On utilise pour le béton armé, les ronds lisses, les armatures à haute adhérence et les treillis soudés. On considère pour l’acier un poids volumique de 78,5 KN/m 3 III-231. Les ronds lisses (∅) : Cesontdesaciersdoux,laminésàchaudetdesurfacelisse,neprésentant aucune aspérité. Les nuances utilisées sont les Fe E 215 et Fe E 235. III-232. Les armatures à hautes adhérences (HA) : Ellessontobtenuesparlaminageàchaudd’unaciernaturellementdur.Ces armaturesontleursurfacemarquéepardescréneluresdeformesdiversesde façonàassurerunemeilleureadhérenceaveclebéton.Cesaciersexistentdans les nuances FeE 400 et Fe E 500. III-233. Les treillis soudés (TS) : Si les autres types se présentent en barres, ces derniers sont soit en rouleaux, soit en panneaux de dimensions normalisées. Leur largeur standard est de 2,40 m, la longueur des rouleaux est de 50 m et celle des panneaux est de 4,80 m ou 6 m. Les treillis soudés sont constitués par des fils se croisant perpendiculairement et soudésélectriquementàleurcroisement.Ondistinguelestreillissoudésàfils tréfilés dits TSL et les treillis soudés à fils à haute adhérence dits TSHA. III-24. Dispositions constructives : III-241. Enrobages des aciers : ∅ 1 estlediamètredesarmatureslongitudinaleset∅ t lediamètredesarmatures transversales. Pour assurer une bonne protection des armatures contre la corrosion, il faut que l’enrobage c soit au minimum de : - 5 cm pour les ouvrages à la mer ou exposés aux embruns ou aux brouillards salins,ainsiquepourlesouvragesexposésàdesatmosphèrestrès agressives.Cetenrobagepeutêtreramenéà3cmsilesarmaturesoule béton sont protégés. -3cmpourlesparoiscoffrésounonquisontsoumises(oususceptiblesde l’être) à des actions agressives, ou à des intempéries, ou à des condensations, ouencore,euégardàladestinationdesouvrages,aucontactd’unliquide. Cette valeur peut être ramené à 2 cm si f c28 > 40 MPa. - 1 cm pour des parois qui seraient situées dans des locaux couverts et clos et qui ne seraient pas exposées aux condensations. 21 cl : enrobage des barres longitudinales c : enrobage a : largeur du paquet de barres b : hauteur du paquet de barres c a b c c c cl φt φl cl cl 22 III-242. Bétonnage correct : L’enrobagedesbarrescldoitêtreaumoinségalàleurdiamètresiellessont isolées, la largeur a du paquet si elles sont groupées. De plus, elles doivent vérifier les espacements suivants : cl a eh = supa, 1,5 Cg) ev = sup a, Cg) Cg représente la grosseur du plus gros granulat utilisé. III-243. Diamètre maxi : Pour les dalles, les mailles ne doivent pas être trop grandes (vérification du béton au poinçonnement) et le diamètre maxi des armatures doit vérifier : ∅maxi ≤ e/10 avec e l’épaisseur de l’élément. Pour les poutres, les armatures transversales ∅ t doivent vérifier : ∅ t = Inf (∅ 1 , h/35,b o /10) ∅ 1 : diamètre des armatures longitudinales h : hauteur de la poutre b o : largeur de la poutre III-244. Poussée au vide : Toute armature courbe et tendue exerce sur le béton une poussée dans le plan de courbureetducôtédelaconcavité.Sil’armatureestcomprimée,lapousséeest exercée du côté de la convexité. Paquet de barres ou barre isolée a acl eh b cl b ev Ns Ns Poussée au vide Eclatement du béton Traction dans les armatures 23 Silapousséeestorientéeversunefaceexterne,ilyarisqued’éclatementdu parement. Il faut donc, pour éviter les poussées au vide, choisir un tracé judicieux des armatures. Par exemple, les poussées doivent être, dans les courbures orientées vers la masse du béton. Lorsque, par contre, des raisons constructives imposent de prévoir des pousséesorientéesversleparement,ilfautalorsobligatoirementprévoirdes ligatures ancrées dans la masse de l’élément. Exemple : problème particulier des ancrages avec retour d’équerre : La mise en jeu mécanique d’un ancrage par courbure tend à faire fléchir la barre ancréelàoùsacourburechange.Ilpeutenrésulterdespousséesauvide. L’ancrageleplusdangereuxàcetégardestl’ancrageparretourd’équerre.Il convient soit de disposer une ligature dans la masse du béton, soit mieux incliner le retour de l’ancrage vers la masse du béton pour obtenir alors un crochet. Ligature 24 CHAPITREIV-FLEXIONSIMPLE – GENERALITES IV-1. INTRODUCTION : Nous étudions la flexion simple dans le cas de poutres à section rectangulaire. Lessollicitationsnormalessontcellesquipeuventêtreéquilibréesparles contraintes normales développées sur les sections droites des pièces : - par compression du béton - par traction (ou compression) de l’acier Le principe des justifications conduit à considérer : - les états limites ultimes (ELU) - les états limites de service (ELS). Lorsquelafissurationdel’ouvragen’estpaspréjudiciable,nousjustifieronsles poutres à l’ELU puis nous vérifierons l’état limite de service (ELS) de compression du béton. Silafissurationdel’ouvrageestjugéepréjudiciable,(outrèspréjudiciable),nous justifierons la poutre à l’ELS. Les vérifications porteront sur : - l’état limite de compression du béton - l’état limite d’ouverture des fissures. IV-2. DEFINITION,RAPPEL : IV-21. Définition de la flexion simple : Unepoutreestsoumiseàlaflexionsimple,sientoutesectiondroite,lesforces extérieures(actionsdesappuisetactionsdescharges),situéesàgauchedela section considérée se réduisent au centre de gravité G, à un moment de flexion M f et à un effort tranchant V. IV-22. Rappel de RDM : La résistance des matériaux nous a permis d’exprimer la contrainte normale dans unefibredepoutre,enfonctiond’unepartdessollicitations,d’autrepartdes caractéristiques géométriques de la poutre. Nous avons : y I M f = σ σ: contrainte normale dans une fibre Mf: moment fléchissant dans la section Y: ordonnée de la fibre I : moment quadratique de la section. 25 IV-3. HYPOTHESES COMMUNES A L’ELU et A l’ELS : L’étudedelaflexionsimpleenBAreposesurcertaineshypothèsespropresà chaque état limite. Les hypothèses communes à ces différents états sont : 1. Les sections droites planes restent planes après déformation. 2. Il n’y a pas de glissement relatif entre l’acier et le béton 3. La résistance du béton tendu est négligée. Les hypothèses caractéristiques de chaque état seront étudiées dans les chapitres suivants. IV-4. REMARQUES CONCERNANT LES HYPOTHESES : IV-41. Hypothèse 1 (NAVIER-BERNOUILLI) : Si nous considérons une fibre d’ordonnée y de longueur 1 0 avant déformation, elle auraaprèsdéformationunelongueur1 1 .Nousrappelonsladéformationunitaire la grandeur : ε = 0 0 1 1 1 1− Ainsi les déformations unitaires du béton et de l’acier sont : ε bc = 0 0 2 a a a − a b S1S2 ab aoo a1 a2 εbc Zone comprimée axe neutre Zone tendue acier tendu acier tendu 26 ε st = 0 0 1 a a a − Représentation de la section fléchie : h : hauteur de la poutre b : largeur de la poutre d : distance utile (distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité de la section d'acier tendu) y : hauteur de la zone comprimée A st : section d’acier tendu ε bc : déformation unitaire de la section d’acier de béton comprimé ε st :déformation unitaire de la section d’acier tendu L’existence d’une fibre comprimée et d’une fibre tendue impose une fibre neutre. L’hypothèse1setraduitpourunesectiondroitesoumiseàlaflexionparun mouvement de rotation de cette section autour de l’axe neutre. Lesdéformationsunitairesdubétonsontproportionnellesàl’éloignementdela fibre considérée à l’axe neutre d’où ε bc = ky. IV-42. Hypothèse 2 : ε st , la déformation unitaire de l’acier, est la même que la déformation unitaire du béton de même ordonnée d’où ε st = k (d-y) Nous pouvons définir un paramètre caractéristique de l’état de déformation de la section. α= d y = st bc bc ε ε ε + Zone comprimée Zone tendue Ast après déformation déformation avant b h d y εst ε bc 27 d’où ε bc = α α − 1 ε st et α α − 1 ε bc IV-43. Hypothèse 3 : On considère le béton comme un matériau fissuré dès lors qu’il est soumis à des contraintes de traction. Ainsi la zone tendue ne participe pas à la résistance, elle est négligée dans le calcul. IV-5. EQUILIBRE D’UNE SECTION FLECHIE : IV-51. Equilibre des efforts normaux : Soit une section sollicitée par un moment de flexion M f . Les efforts normaux internes sont dans ce cas : - N bc , la résultante des efforts de compression dans le béton - N st , la résultante des efforts de traction dans les aciers tendus Les résultantes des efforts normaux sont : - Compression dans le béton : N bc = ∫ y b dy b y 0 . ). ( σ avec: σb(y) : contrainte de compression dans la section pour une fibre d’ordonnée y. b: la largeur de la section - Traction dans les aciers N st = A st σ st avec : A st : section des armatures tendues σ st : contrainte dans les armatures tendues supposée constante en tout point de la section d’acier. L’équilibre de la section se traduit par : N bc =N st Ast Zone comprimée y b Nst Nbc déformations contraintes 28 IV-52. Equilibre des moments : Nous appelons z le bras de levier du couple interne, c’est-à-dire la distance entre les deux résultantes. Leseffortsnormauxprécédemmentdéfinisproduisentunmomentaucouple interne. Ce couple doit équilibrer le moment fléchissant agissant dans la section. M f = N bc z =N st z CHAPITREV-ETATLIMITEULTIME ENFLEXIONSIMPLE V-1. HYPOTHESES CARACTERISTIQUES DE L’ELU : En plus des hypothèses communes définies au chapitre précédent, à savoir : -lessectionsnormalesàlafibremoyenne,planesavantdéformationrestent planes après déformation (hypothèse de Navier). - le glissement relatif n’a pas lieu entre les armatures et le béton (association béton-acier) - la résistance à la traction du béton est négligée. Nous mettons en évidence des hypothèses propres à l’ELU sui sont : - Les diagrammes déformations-contraintes sont définis pour : • le béton en compression • l’acier en traction et en compression - Le diagramme des déformations limites d’une section satisfait à la règle dite des pivots. V-2. DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DU BETON : V-21. Diagramme parabole-rectangle : C’est le diagramme déformations-contraintes qui peut être utilisé dans les cas. (Mpa) parabole rectangle diagramme réglementaire diagramme réel ε bc (0/00) 23.5 σ bc f cj f bu 29 σ bc : contrainte de compression du béton f cj : résistance caractéristique du béton en compression à j jours f bu : résistance conventionnelle ultime à la compression ε bc : déformation du béton en compression 30 La valeur f bu de la contrainte de calcul pour une déformation comprise entre 2 %o et 3,5 %o est : f bu = b cj f γ θ. . 85 , 0 γ b : coefficient de sécurité γ b = 1,5 dans le cas général γ b = 1,15 pour les combinaisons accidentelles θ : dépend de la durée d’application des charges. θ = 1 lorsque la durée probable d’application des charges considérées est supérieure à 24 heures ; θ = 0,9 lorsque cette durée est comprise entre 1 heure et 24 heures ; θ = 0,95 lorsqu’elle est inférieure à 1 heure. V.22 Diagramme rectangulaire : Lorsquelasectionestpartiellementcomprimée(casdelaflexionsimple),nous pouvonsremplacerlediagrammeparabole-rectangleparundiagrammerectan- gulaire simplifié. V.3. DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DES ACIERS : Le diagramme de calcul se déduit du diagramme déformations-contraintes conven- tionnellement défini (voir chap. III). Nousnedessinonsquelazonedestractions,lazonedescompressionsétant symétrique par rapport à l’origine. yu diagramme des déformations diagramme parabole- rectangle diagramme rectangulaire 0.8 yu fbu 3.5‰ 2‰ fbu 31 γ s : coefficient de sécurité γ s = 1,15 dans le cas général γ s = 1pour les combinaisons accidentelles. E s : module d’élasticité longitudinal E s = 200 000 MPa fe diagramme réglementair e diagramme réel fe/γs Arctg Es εe 10‰ 32 ε e :estpriségalàfe/γ s E s cequidonneparexemplepourunacierf e E400,ε e = 1,74 %o Si 0 ≤ε e ≤ ε e ⇒σ s = E s .ε s Siε e ≤ ε e ≤ 10 %⇒σ s = f e /γ s V.4. EQUILIBRE D’UNE SECTION : Reprenonsl’équilibredelasection(paragrapheIV.51)aveclediagramme déformations-contraintes du béton simplifié (diagramme rectangulaire). Dans ce cas les efforts normaux sont : N bc = 0,8.y u .b.f bu N st = A st . σ st Le bras de levier du couple interne : z = d-0, 4y u = d(1-0, 4∝ ) avec y u = ∝.d L’équilibre des efforts normaux s’écrit : N st = N bc ⇒ A st . σ st = 0,8.y u .b.f bu L’équilibre des moments devient : Mu = N bc .z ⇒ M u = 0,8.y u .b.f bu .d(1-0, 4∝) ⇒ M u = 0,8.y u .b.f bu .d 2 .∝.(1-0, 4∝) avec y u = ∝.d ⇒ M u = N st .z ⇒ M u = A st . σ st .d(1-0 , 4∝) A st h b d y u σ st ε st ε bc f bu z 0.4yu N st N bc SectionDéformations Contraintes Efforts 0.8yu 33 d’où l’expression du moment réduit : M u = 0,8.y u .b.f bu .d 2 .∝.(1-0, 4∝) ⇒= bu u f d b M . . 2 0,8 .∝.(1-0, 4∝) Nous appelons cette quantité= bu u f d b M . . 2 le moment réduit : u u == bu u f d b M . . 2 0,8 .∝.(1-0, 4∝) Lemomentréduitaugmenteaveclasollicitationetlorsquelesdimensionsdela section diminuent. u u s’exprime par une équation du second degré en ∝, qui une fois résolue donne : ∝ = 1,25. (1 - 2 1− u u V.5. REGLE DES 3 PIVOTS : Cette règle se fixe pour objectif d’utiliser au mieux les matériaux acier-béton d’une poutre BA fléchie. Enfonctiondessollicitationsnormales,laruptured’unesectionenBApeut intervenir : - par écrasement du béton comprimé - par épuisement de la résistance de l’armature tendue. V.51. Diagramme des déformations limites : Lespositionslimitesquepeutprendrelediagrammedesdéformationssont déterminées à partir des déformations limites du béton et de l’acier. Nous rappelons que ces déformations limites sont : - pour le raccourcissement du béton ε bc = 3,5 %o - pour l’allongement de l’acier ε st = 10 %o ε bc ε stA B 0 D 34 Ce diagramme est celui pour lequel les déformations limites sont atteintes, c’est-à- dire ε bc = 3,5 %o etε st = 10 %o donc ∝ AB est égal à : ∝ AB =259 , 0 10 5 , 3 5 , 3 = + = + st bc bc ε ε ε donc le moment réduit correspondant est : u AB = 0,8. ∝ AB. ( 1-0, 4. ∝ AB) = 0,186 à u AB correspond M AB = u AB .b.d 2. f bu , lorsque le moment fléchissant M u est différent de M AB le diagramme des déformations est différent. Le diagramme des déformations satisfait alors à la règle des pivots. La déformation est représentée par une droite passant par l’un des points A ou B appelés pivots. V.52. Pivot A : SiM u < M AB alorsu u < M AB et ∝ < ∝ AB Danscecas,ladéformationdelasectionestreprésentéeparunedroitepassant par le pivot A : Lesdéformationssontreprésentéespardesdroitescomprisesentrelesdeux droites limites AO et AB. Danscecasy u =∝.ddiminuedoncε bc diminuecarε st nepeutpasaugmenter. Cecisetraduitparunmouvementderotationdudiagrammedesdéformations autour du Point A. ε bc ε st = 10‰ A B 0 D 1 d y u 35 Nous sommes dans le domaine 1 d’utilisation maximale de l’acier. Pivot A : Utilisation maximum de l’acier (ELU atteint pour l’acier). Touslesdiagrammesdedéformationdesectionssoumisesàunmoment fléchissant tel que M u < M AB vont décrire le domaine 1. Alors : 0 ≤ ε bc ≤3,5 %o α = 10 %o 0 ≤α≤ 0,259 0 ≤ u u ≤ 0,186 V.53. Pivot B : Si M u >M AB alors u u >u AB etα >α AB Danscecasladéformationdelasectionestreprésentéeparunedroitepassant par le pivot B : Lesdéformationssontreprésentéespardesdroitescomprisesentrelesdeux droites limites AB et BD. Danscecas,y u =α.daugmentedoncε st diminuecarε bc nepeutpasaugmenter. Cecisetraduitparunmouvementderotationdudiagrammedesdéformations autour du point B. Nous sommes dans le domaine 2 d’utilisation maximale du béton. Pivot B : Utilisation maximum du béton (ELU atteint pour le béton). Touslesdiagrammesdedéformationdesectionssoumisesàunmoment fléchissant tel que M u > M AB vont décrire le domaine 2. Ici, il faut distinguer deux zones dans le domaine 2 : Aεst εbc 0 B D 2 D' 36 • zone 2a (BAD’) : ε s ≤ε e ≤10 %o. ε e correspondàl’allongementminimaldel’acierpourunecontraintef e /γ s (acier bien utilisé). • zone 2b (BD’D) : 0 ≤ ε s < ε e La lecture des diagrammes déformations-contraintes des aciers, nous montre qu’à partirdeε e etjusqu’àunedéformationnulle,lacontraintedanslesacierschute rapidement. Les aciers ne sont alors pas bien utilisés. Dans un souci volontaire de simplification, nous choisirons ε e comme limite pour l’utilisation des armatures simples. Ladéformationε e estunelimitequ’ilfautéviterdedépasser.Nousl’appellerons dans la suite du coursε 1 . ε 1 = s s e E f . γ Par exemple, pour un acier F e E 400,ε 1 = 1,74 %o Donc= 1 ε ε ε + bc bc = 0,67 etu 1 = 0,8. α 1 . (1-0, 4α 1 ) Ainsi u 1 = 0,39 pour les aciers F e E 400 . REMARQUE : u 1 ne tient compte que des déformations limites, ce moment limite ne doit pas être confondu avec le moment critique u c (u c < u 1 ) dont nous parlerons dans le chapitre suivant . Touslesdiagrammesdedéformationdesectionssoumisesàunmoment fléchissant tel que M u > M AB vont décrire le domaine 2a. Alors : ε bc = 3,5 %o ε 1 ≤ ε st ≤10 %o 0,259≤α ≤ α 1 0,186≤ u u ≤ u 1 37 V.6. CALCUL PRATIQUE D ‘UNE SECTION A SIMPLE ARMATURE (SANS ACIERS COMPRIMES) : V.61. Principe : Nous commençons par calculer le moment réduit u u . Ce moment réduit est comparé au moment u AB = 0,186. Si u u < 0,186⇒ Pivot A Si u u > 0,186⇒ Pivot B Dans le cas du pivot B, nous devons compareru u à u 1 : Si u u ≤ u 1 ⇒Armatures simples Si u u > u 1 ⇒Armatures doubles V.62. Déroulement du calcul : V.621. Données : -Les dimensions de la poutre : bxh - La distance utile : d - La nature des matériaux employés - Le moment ultime sollicitant : M u V.622. Calcul des contraintes limites : f bu = b cj f γ θ. . 85 , 0 σ st = f e /γ s V.623. Calcul des moments réduits : u u = bu u f d b M . . 2 u 1 dépend du type d’acier utilisé, par exemple u 1 = 0,39 pour les aciers Fe E 400. V.624. Comparaison des moments réduits : u u < u 1 ? Si u u < u 1 ⇒Armatures simples⇒ ∅ V. 625 Si u u ≥ u 1 ⇒Armatures doubles⇒ ∅ V.7 38 V.625. Calcul du paramètre de déformation : α = 1,25. ( ) u u 2 1 1 − − V.626. Calcul du bras de levier : z = d (1-0, 4α) V.627. Calcul de la section d’acier : A st = st u z M σ . V.7. CALCUL PRATIQUE D’UNE SECTION A DOUBLE ARMATURES (AVEC ACIERS COMPRIMES) : V.71. Problématique : Si u u ≥ u 1 , le calcul de la section en armatures simples conduit à utiliser les aciers à une contrainte faible (σst < f e /γ s car ε st u 1 alors M u > M rub donc la section nécessite des aciers comprimés. V.74. Moment résiduel : Le moment résiduel est la différence entre le moment ultime sollicitant la section et le moment résistant du béton. M res = M u - M rub V.75. Schéma de calcul : Lasectionréelleestconsidéréecommeéquivalenteàlasommededeuxsections fictives. Ainsi,pouréquilibrerlemomentultime,nousallonsconsidérerlasection nécessairepouréquilibrerM rub etluiajouterlasectiond’aciercomplémentaire capable d’équilibrer le moment M res . V.751. Section fictive A st1 : Pour équilibrer le moment M rub , il faut une section d’acier A st1 . Le bras de levier du couple interne est : z 1 = d (1-0, 4α 1 ) La contrainte dans les aciers tendus est : σ st = f e /γ s La section d’acier tendu nécessaire est : Ast1 = st rub z M σ . = A st ε bc + + = M uMrub M res A sc ε sc εl A st1 εl εbc ε l ε sc A st2 A sc 40 V.752. Section fictive A st2 : Pour équilibrer le moment M res , il faut une section d’acier A st2 . Le bras de levier du couple interne est : z 2 = d-d’ La contrainte dans les aciers est : σ st = f e /γ s La section d’acier tendu nécessaire est : A st2 = ( ) st res d d M σ . ' − V.753. Section d’acier comprimé : Lacontraintedanslesacierscomprimésestcellecorrespondantauraccour- cissement ε sc . La section d’acier comprimé est : A sc = ( ) sc res d d M σ . ' − V.754. Section d’acier tendu totale : A st = A st1 + A st2 V.76. Déroulement du calcul : V.761. Données : - Les dimensions de la poutre - Les distances utiles inférieure d et supérieure d’ - La nature des matériaux utilisés - Le moment ultime sollicitant. V.762. Calcul des contraintes limites : f bu = b cj f γ θ. . 85 , 0 σ st = σ 1 = f e /γ s V.763. Calcul des moments réduits : u u = bu u f d b M . . 2 41 u 1 dépend du type d’acier utilisé, par exempleu 1 = 0,39 pour les aciers Fe E 400. V.764. Comparaison des moments réduits : Si u u > u 1 ⇒ Armatures doubles ⇒ ∅ V.7 V.765. Calcul du paramètre de déformation : α 1 = 1,25( ) 1 2 1 1 u − − V.766. Calcul du bras de levier : z = d (1-0, 4α 1 ) V.767. Calcul du moment résistant du béton : M rub = u 1 .b.d 2 .f bu V.768. Calcul du moment résiduel : M res = M u – M rub V.769. Sections d’acier : Section d’acier tendu : A st = − + ' 1 d d M z M res rub st σ Section d’acier comprimée : A sc = ( ) sc res d d M σ ). ' − 42 CHAPITREVI-ETATLIMITEDESERVICE ENFLEXIONSIMPLE VI.1. HYPOTHSES CARACTERISTIQUES DE L’ELS : Enplusdeshypothèsescommunesauxétatslimitesultimesetdeserviceà savoir : - Les sections droites restent planes après déformation - Il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton - Le béton tendu est négligé. Nous mettons en évidence les hypothèses propres à l’état limite de service vis-à-vis de la durabilité de la structure : - Les contraintes sont proportionnelles aux déformations : σ bc = E b .ε bc ;σ b = E s .ε s - Le coefficient d’équivalence n a pour valeur 15. VI.11. Contraintes proportionnelles aux déformations : Leslimitesimposéespourlescontraintessonttellesquelesmatériauxrestent dans leur domaines élastique. Ainsi nous pouvons utiliser la loi de Hooke au BA : σ bc = E b .ε bc ;σ b = E s .ε s Le diagramme des contraintes se déduit du diagramme des déformations : La fibre neutre correspond à la fibre de contrainte nulle. La contrainte dans une fibre est proportionnelle à sa distance de la fibre neutre. A s t h b d yl σst ε st ε bc SectionDéformations Contraintes σ bc 43 VI.12. Coefficient d’équivalence n : Lecoefficientd’équivalenceestconventionnellementfixéà15.Ilcorrespondau rapport du module d’élasticité longitudinal de l’acier à celui du béton. Le module d’élasticité longitudinal (module d’Young) de l’acier est Es = 200 000 MPa. Le module d’Young du béton est : - Ei≈30 000 MPa - Ev≈10 000 MPa Le rapport n = b s E E varie de 7 à 20. LerèglementBAELprendconventionnellementnégalà15pourconsidéreràla fois les charges de courtes durées et les charges de longues durées d’application. VI.13. Section homogénéisée : Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques. Aunemêmedistanceydel’axeneutredelasection,lebétonetl’acierontla même déformation du fait de l’adhésion béton-acier : σ st= σ bt ⇒ b bt s st E E σ σ = ⇒ σ st = bt b s E E σ ⇒ σ st = n σ bt et σ bt = n st σ Lacontraintedel’acierestnfoisplusfortequecelledubétonsituéeàlamême distance y de l’axe neutre. La section d’acier A s est équivalente à une section fictive de béton égale à n.A s . 44 En négligeant le béton tendu, nous pouvons remplacer notre section de poutre par une section fictive appelée section homogénéisée. Comme les matériaux ont un comportement élastique linéaire et que la section est « homogène »,nouspouvonsappliquer,pourlecalculdescontraintes,laformule de la résistance des matériaux : σ= y I M ser . VI.2. ETATS LIMITES DE SERVICE : VI.21. Etat limite e compression du béton : La contrainte de compression du béton est limitée à : cj bc f 6 , 0 = σ Pour les poutres rectangulaires soumises à la flexion simple, il peut être admis de nepasprocéderàlavérificationdelacontraintedecompressiondubéton lorsque : α u ≤ 100 2 1 cj f + − γ avecγ = M u /M ser Cette formule est valable lorsque les aciers sont de classe Fe E 400. A s A s' b h d d' y 1 nAs nA’s Béton comprimé Béton tendu négligé Section BASection homogénéisée 45 VI.22. Etat limite d’ouverture des fissures : Les contraintes limites de traction des aciers dépendent des cas de fissurations : Fissuration peu préjudiciable : pas de limite Fissuration préjudiciable :min = st σ tj e f f . . 110 ; 3 2 η Fissuration très préjudiciable :min = st σ tj e f f . . 90 ; 3 2 η η = 1,6 pour les barres HA et les TS < 6 mm η = 1 pour les ronds lisses η = 1,3 pour les TS≥6 mm VI.3. CONTRAINTES DE SERVICE : VI.31. Données : - Les dimensions de la poutre - Les distances utiles d et d’ - Les sections d’acier comprimé et tendu - Le moment de service sollicitant la section M ser . VI.32. Principe : Le principe de la section homogénéisée permet de mener pour la section un calcul similaire à celui développé pour une poutre homogène. Les contraintes s’expriment sous la forme : σ =y I M ser Il faut donc calculer : - le moment quadratique de la section I - la position de la fibre neutre y. VI.33. Position de la fibre neutre : Pourconnaîtrey 1 ,ilsuffitd’annulerlemomentstatiquedecettesectionpar rapport à l’axe neutre. L’équation des moments statiques par rapport à la fibre neutre est : ( ) ( ) 0 ' 2 1 1 2 ' = − − − + y d nA d y nA by s s La résolution de cette équation donne la position de l’axe neutre y 1 46 VI.34. Moment quadratique de la section : Ennégligeantl’inertiedesarmaturesparrapportàleurcentredegravité,le moment quadratique est : ( ) ( ) 2 1 2 1 3 ' 3 ' y d nA d y nA by I s s − + − + = VI.35. Contraintes maximales de service : La contrainte maximale dans le béton comprimé est : 1 y I M ser bc = σ La contrainte de compression des aciers est : ( ) ' 1 d y I M n ser sc − = σ La contrainte de traction des aciers est : ( ) 1 y d I M n ser st − = σ Al’ELScescontraintesdoiventresterinférieuresauxcontraintesadmissibles définies en VI.2. VI. 4. DETERMINATION DES ARMATURES A L’ELS : VI.41. Préambule : Nouscalculonslesarmaturesàl’ELSlorsquelafissurationestpréjudiciableou très préjudiciable. Lorsque la fissuration est peu préjudiciable, il y aura lieu de vérifier la contrainte de compression dans le béton. VI.42. Equation d’équilibre : Lediagrammedescontraintesdecompressionàl’ELSesttriangulaire,ma résultante des efforts de compression dans le béton N bc est égal à : bc N = bc y b σ . . . 2 1 47 Cetterésultantepasseparlecentredegravitédudiagrammederépartitiondes contraintes. Section sans aciers comprimés N st est la résultante des efforts de traction dans les aciers tendus : N st = σ s .σ st Cette résultante passe par le centre de gravité des aciers tendus. L’équilibre de la section ses traduit par N st = N bc Le bras de levier du couple interne est z = d-y/3 Ce couple interne équilibre le moment sollicitant la section soit : M ser = N bc . z = N st . z = A s . σ st . z Le paramètre de déformation de la section s’écrit : α 1 = y 1 /d = st bc bc ε ε ε + Selon la loi de Hooke ε bc = σ bc /E b et ε st = σ st /E s etE s = n.E b d’où α1 = st bc bc n n σ σ σ + L’expression de la section d’acier est : A st = st ser z M σ . Lorsque l’ELS est atteint, les contraintes sont égales à leur valeur admissible : σ st = st σ σ bc = bc σ b A s σst σst z N st N bc y 1 d y1 /3 48 VI.43. Moment résistant du béton : C’estlemomentmaximumquepeutéquilibrerunesectionsansluiajouter d’aciers comprimés. Les matériaux ont alors atteint leur contrainte admissible. Donc d’où st bc bc n n σ σ σ α + = 1 Nous pouvons calculer la position de la fibre neutre : y = d . 1 α et le bras de levier du couple interne est : z = d – y/3 = d. | | . | \ | − 3 1 1 α donc le moment résistant du béton est : M rsb = | | . | \ | − 3 1 . . . . . 2 1 1 2 α α σ bc d b La comparaison de ce moment résistant du béton avec le moment de service nous permetdedéterminersilasectionestensimplesouendoublesarmatures (section avec ou sans armatures comprimées). VI.44. Si M ser < M rsb ⇒Aramatures simples : Nous fixonsα α =et nous calculons le bras de levier : z = d. | | . | \ | − 3 1 α d’où la section d’acier tendu : A st = st ser z M σ . VI.45. Si M ser > M rsb ⇒Aramatures doubles : Nousdéterminonsunesectiond’aciertenduA s1 capabled’équilibrerlemoment résistantdubéton.Puisunesectiond’aciertenduA s2 etunesectiond’acier comprimé A’ s , capable d’équilibrer le complément de moment pour atteindre M ser . 49 VI.451. Schéma de calcul : VI.452. Section d’acier tendu : As1 = st rsb z M σ . Nous connaissons : _ _ _ _ 1 st bc bc n n σ σ σ α + = Donc : y 1 = _ 1 .d α et z = d. | | | . | \ | − 3 1 _ α A s2 doit équilibrer un moment (M ser -M rsb ). Le bras de levier est alors égal à (d-d’). A s2 = ( ) st rsb ser d d M M σ ' − − D’où A s = A s1 + A s2 Soit : A s = ( ) ( ) − − + ' 1 _ d d M M z M rsb ser rsb st σ A s A’s d d' y 1 As 1 A’s As 2 d-d' =+ 50 VI.453. Section d’acier comprimée : A’ s doit équilibrer un moment (M ser -M rsb ). Le bras de levier est (d-d’). d’où A’s = ( ) sc rsb ser d d M M σ ' − − σ sc : contrainte des aciers comprimés qui dépend de la position des armatures dans la section. σ sc = | | . | \ | − 1 1 _ ' . y d y n bc σ 51 CHAPITREVII-ETATLIMITEVIS-A-VIS DEL’EFFORTTRANCHANT VII.1. SOLLICITATION DE CALCUL : Lespoutresàsectionrectangulairesonttoujoursjustifiéesàl’étatlimiteultime vis-à-vis des sollicitations tangentes. Donc la combinaison de base à considérer est : 1,35 G + 1,5 Q VII.2. CONTRAINTE TANGENTIELLE CONVENTIONNELLE : La contrainte de cisaillement (ou tangente) s’exprime par : τ = I b A V . . V = effort tranchant dans la section A : moment statique de la surface comprimée par rapport à l’axe neutre. I : moment quadratique de toute la section par rapport à l’axe neutre. b : largeur de la poutre τ : contrainte tangentielle au niveau de la fibre neutre. Larésistancedesmatériauxprécisequelacontraintetangentiellemaximaleest atteinte au niveau de la fibre neutre. Dans le cas du béton armé, nous pouvons poserz A I = Nous obtenons : τ = z b V . LeBAELadmetparsimplificationleprinciped’unecontraintetangentielle conventionnelle ultime : τ u = d b V u . 52 VII.3. COMPORTEMENT DES POUTRES SOUS L’ACTION DE L’EFFORT TRANCHANT : VII.31. Etat de contrainte provoqué par l’effort tranchant : Prenonslecasd’unepoutresurdeuxappuissimples,auniveaudesappuisle momentfléchissantestnuldonclescontraintesnormaleségalement | . | \ | = .y I M f σ . L’effort tranchant est maximum sur les appuis. Isolons un prisme OAB (OA = OB = dx) situé près d’un appui. LesdeuxfacettesOAetOBsontsoumisesàuncisaillementsimple.LaRDM montre que τ =. .z b V L’équilibre de ce prisme impose l’existence d’un effort normal à la facette AB. F = τ.b. dx . 2 Cet effort produit sur la facette une contrainte de compression égale à : τ τ σ = = = dx b dx b b AB F c . 2 . . 2 . . . dx dx 0 B b τ A τ F 53 De la même manière, nous pouvons étudier l’équilibre d’un prisme OBC : L’équilibredeceprismeimposel’existenced’uneforcedetractionnormaleàla facette 0C. La contrainte de traction est σ t = τ Lorsquecettecontraintedetractionestsupérieureàlarésistanceentractiondu béton, c’est-à-dire lorsque τ > f t , la poutre se fissure le long d’une ligne parallèle à OC. La fissure apparaît donc sur une ligne inclinée à 45° sur l’axe de la poutre et dirigée vers le milieu de la poutre. Entredeuxfissuresà45°,ilexistedesprismesdebétonquisontsoumisàla compression que nous appelons les bielles comprimées. VII.32. Nécessité de placer des armatures transversales : dx dx o B b τ C τ F TRACTION COMPRESSION 45° 45° BIELLE COMPRIMEE 54 Lebétonparsafaiblerésistanceentractionnepeutéquilibrerlescontraintesde traction engendrées par l’effort tranchant. Il faut donc placer des armatures trans- versales qui vont coudre les fissures. Les armaturesà45° sont lesplusefficaces mais sesont les armatures à90° qui sont le plus employées. s t : écartement entre deux cours successifs d’armatures transversales. A t : section d’un cours d’armature. VII.33. Détermination des armatures transversales : Pour coudre une fissure , nous avons n armatures transversales : N = t s d d ' − 45° Armature à 45° 90° Armature à 90° At St A A d' d-d'd h V u F t N st F t F bt N bc x y o 55 Donc une section d’acier égale à n.A t . Nous appelons : - Fbt : résultante des efforts de traction agissant sur le béton perpendiculairement au plan de fissuration. Fbt = b.h. 2 . bt σ - Ft : effort de traction sollicitant un cours d’armature transversale : F t = A t . σ t - N st : effort de traction dans les armatures longitudinales tendues. N st = A st . σ st - Nbc : résultante des efforts de compression dans le béton : Nbc = ∫ y b dy b y 0 . ). ( σ Ecrivons l’équation d’équilibre, sur l’axe 0y : V u = - n.F t – F bt 0 2 2 = ⇒n.F t = V u - F bt 2 2 ⇒ ( ) bt u st t h b V A st d d σ σ . . . . ) ' − = − or bd V u u = τ , d’où en divisant par b.d: ( ) bt u st t t d h s A bd d d σ τ σ − = − . . ' Leterme bt d h σ . quireprésentelacontraintedetractiondanslebétonestminoré parl’expression0,3.k.f tj oùkdépenddelamiseenœuvredelapoutreetoùf tj représente la résistance caractéristique à la traction du béton. En remplaçant σst par sa valeur réglementaire f e /γ s , nous obtenons l’inéquation : ( ) tj u s e t t f k f s b A d d d . . 3 , 0 . . . ' − ≥ − τ γ bt d h σ bt d h σ bt d h σ 56 Avec ( ) 9 , 0 ' 1 ' ≈ − = − d d d d d Les aciers doivent donc satisfaire l’inéquation : ( ) e tj u s t t f f k s b A . 9 , 0 . . 3 , 0 . − ≥ τ γ k = 0 si la poutre est coulée avec une reprise de bétonnage ou si la fissuration est très préjudiciable. K = 1 dans les autres cas de flexion simple sans reprise de bétonnage. VII.34. Remarques : - Si nous augmentons la section d’une nappe transversale, l’écartement entre deux nappes augmente également. - Si l’effort tranchant diminue, le rapport A t /s t diminue ; ce qui se traduit par un écartement st qui augmente lorsque V u diminue. VII.4. JUSTIFICATION DES POUTRES : VII.41. Justification du béton : La contrainte tangentielle conventionnelle d b V u u . = τdoit satisfaire aux états limites ultimes suivants (dans le cas d’armatures droites) : Fissuration peu préjudiciable : τ u ≤ min |0,20 f c28 /γ b ; 5 MPa| Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable : τ u ≤ min |0,15 f c28 /γ b ; 4 MPa| VII.42. Justification des armatures transversales : Elle se limite à la vérification de l’expression : ( ) e tj u s t t f f k s b A . 9 , 0 . . 3 , 0 . − ≥ τ γ VII.43. Conditions complémentaires : VII.431. Espacement st des cours d’armature : s t ≤ min |0,9.d ; 40 cm| 57 VII.432. Section minimale d’armature transversale : 4 , 0 . . ≥ t e t s b f A MPa VII.433. Dimension des armatures transversales : ∅ t ≤min |h/35 ; ∅ l ; b/10| ∅ t : diamètre des armatures transversales ∅ l : diamètre des armatures longitudinales h: hauteur totale de la poutre b: largeur de la poutre VII.5. CALCUL PRATIQUE : Lecalculestmenéàpartirdel’appui,oùsesituentleseffortstranchants maximaux. Données : - Les dimensions de la poutre - L’effort tranchant V u Calcul de τu : τ u = V u /bd Nous vérifions si τ u ≤ τ u limite défini en VII.41. Si cette condition n’est pas vérifiée, il faut augmenter la largeur de la poutre. Choix d’une section transversale A T : Le choix de la section transversale définit l’écartement s t : ( ) tj u s t e f k b A f st . . 3 , 0 . . . . 9 , 0 − ≤ τ γ Vérification des conditions complémentaires : Voir paragraphe VII.43. Position du premier cadre : Le premier cours d’armatures transversales est disposé à st/2 du nu de l’appui. Répartition des cadres : Nouspouvonscalculerl’efforttranchantlelongdelapoutre,donclacontrainte tangentielleconventionnelleτ u etcalculerl’espacementcorrespondantparla formule donnant s t . ( ) tj u s t e f k b A f st . . 3 , 0 . . . . 9 , 0 − ≤ τ γ 58 Maislaméthodelaplusfréquemmentemployéesilapoutreestdehauteur constanteetleschargesuniformémentrépartiesestlaméthodeforfaitairede CAQUOT. Méthode de CAQUOT : Aprèslecalcul del’espacement s t à l’appui, le premier cadre est disposé à s t /2 dunudel’appui,nouschoisissonslesespacementssuivantsdanslasériede CAQUOT : 7-8-9-10-11-13-16-20-25-35-40(en cm) Chaque valeur est répétée successivement autant de fois qu’il y a de mètres dans la demi-portée de la poutre (ou dans la portée d’une console). Les cadres sont disposés symétriquement par rapport au milieu de la poutre. 59 CHAPITREVIII – A D H E R E N C E VIII.1. LE PHENOMENED’ADHERENCE : VIII.11. Définitions de l’adhérence : Lesconditionsderésistanced’unélémentenbétonarmésupposentqueles armatures ne glissent pas à l’intérieur du béton. C’est le phénomène d’adhérence qui empêche ou limite ces glissements. Cette propriété permet la transmission des efforts et un fonctionnement rationnel : le béton suit alors les armatures dans leurs déformations. Les justifications que nous effectuerons en ELU porteront : - sur la limitation de l’entraînement des armatures de façon à ne pas endom- mager le béton les entourant - les ancrages des extrémités de barres - les jonctions et les recouvrements des barres. Latransmissiondeseffortsdubétonauxarmaturess’effectueparlephénomène d’adhérence mais aussi par la courbure que l’on pourra donner aux armatures. VIII.12. Essai d’arrachement d’une barre scellée : Ils’agitd’éprouverentractionunebarred’acierscelléedansuneéprouvettede béton. La liaison entre le béton et l’acier est caractérisée par la résistance à l’arrachement de la barre sous l’effet de l’effort F. L’étude expérimentale conduit à supposer qu’il se forme dans le béton, sous l’effet del’actiondeF,unesériedecônesemboîtéslesunsdanslesautreset sensiblementinclinésà45°surl’axedelabarre.Cescônestendentàcoincerla barre. L’égalisation des déformations du béton et de l’acier est rendue possible par ce phénomène. L’adhérence est assimilable à un phénomène de frottement. F l F l 60 Pour qu’il y ait formation de ces cônes, il faut que les barres soient suffisamment enrobées par le béton. Deux cas peuvent se produire : -Leseffortsinclinésà45°sontinsuffisants,ilyaruptured’adhérencecar l’effortFdanslabarrenepeutpasêtreéquilibréetlabarreglissedansle béton qui ne peut s’y opposer. - L’effort F génère dans la barre des contraintes qu’elle ne peut supporter, il y a rupture de l’acier car la résistance en traction de la barre est épuisée. VIII.13. Facteurs influant l’adhérence : L’adhérence est favorisée : -l’étatdesurfacedesaciers ;l’adhérenceestamélioréelorsquelabarre possède des nervures en saillies ou lorsque sa surface est rugueuse. - la qualité du béton d’enrobage ; en particulier le dosage et les conditions de vibration qui influent sur la compacité - les soins apportés à la mise en œuvre ; il faut veiller à une bonne plasticité et une bonne vibration. VIII.14. Contrainte d’adhérence : Laliaisonentreunearmatureetlebétonestmesuréeparlacontrainte d’adhérence τ s . Soitunebarrerectilignescelléedansunblocdebéton.Appliquonsàcettebarre un effort de traction F et étudions l’équilibre statique. Surunélémentdesurfacelatéraled s ,lebétonexercesurl’acieruneforce élémentaire dF, qui se décompose en deux composantes : - suivant xx’, la contrainte tangentielle τ s - suivant yy’, la contrainte normale σ L’équilibre s’écrit : ∑ = 0 ρ ρ ext F Projection sur xx’ : F - ∑ = 0 s s d τ Nous prendrons comme hypothèse que τ s est constante sur la surface latérale de la barre. F x ds dF y 61 F =Στ s d s = 0 ds =π∅dx⇒Σds=π ∅ l d’où F = τ s π ∅ l τ s = l F . .φ π Une valeur limite pour la contrainte d’adhérence est fixée par le règlement BAEL. τ su = 0,6 ψ s 2 f tj ψ s est le coefficient de scellement de la barre ψ s = 1 pour les ronds lisses ψ s = 1,5 pour les barres HA. VIII.2. ANCRAGES : VIII.21. Ancrage droit d’une barre droite : Unebarreestditeancréelorsquel’effortdetractionexercésurcettebarreest entièrementéquilibréparl’adhérenceentrelebétonetl’acierdanslazone d’ancrage. Par définition, nous désignerons par l s la longueur de scellement droit ; c’est-à-dire lalongueurd’unebarredediamètre∅capabled’équilibreravecunecontrainte d’adhérenceτ su ,l’effortprovoquantdanscettebarreunecontraintedetraction égale à la limite élastique de l’acier f e . Nous aurons donc : F = 4 . . 2 φ π e F et F = s u l . .φ τ cela nous donne : l s = su e f τ φ . 4 . Adéfautdecalculprécis,leBAELpermetd’adopterlesvaleursforfaitaires suivantes : - Aciers HA Fe 400, ls = 40 ∅ - Aciers HA Fe 500, Acier ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235, ls = 50 ∅. REMARQUE : 62 Lorsque la section réelle d’une barre A r est plus grande que la section calculée A cal , la longueur d’ancrage l s peut être réduite dans le rapport A cal /A r sans pouvoir être inférieure à 10 fois le diamètre de la barre. VIII.22. Ancrage par courbure des barres tendues : L’effortdefrottementsurlebétond’unebarrecourbeestnettementsupérieurà celui d’une barre droite : à la liaison d’adhérence s’ajoute un effet de frottement dû à la courbure. Quandlesdimensionsdelapiècenesontpassuffisantespourpermettreun ancragedroitdelongueurl s ,nousauronsrecoursàunancragecourbe(Appui extrême des poutres). Condition de non écrasement du béton, rayons de courbure minimaux : Nous prendrons pour les rayons de courbure r les valeurs minimales suivantes : - Ronds lisses : r = 3 ∅ pour l’ancrage des armatures r = 2 ∅ pour les cadres, étriers et épingles - Barres HA : r = 5,5 ∅ Exemple : Ancrage par crochet normal : Pardéfinition,lecrochetnormalcomporteunepartieendemi-cerclesuivied’un retour rectiligne défini par le schéma ci-dessous : Adéfautdecalculplusprécis,nouspouvonsadmettrequel’ancraged’unebarre rectiligneterminéeparuncrochetnormalestassurélorsquelalongueurdela partie ancrée, mesurée hors crochet est au moins égale à : . 0,6 ls pour une barre lisse de classe Fe E 215 ou Fe E 235. . 0,4 ls pour une barre à haute adhérence de classe Fe E 400 ou Fe E 500. Ainsi,lalongueurd’ancragemesuréehorscrochetpourunebarreHAFeE400 est : l a = 0,41 l s = 0,4 x 40 ∅ = 16 ∅. φ la r 2 φ 63 VIII.3. JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT : VIII.31. Objectif et principe : Lesarmaturesducommerceontunelongueurlimitée,ilestparfoisnécessaire d’utiliserplusieursbarrespourlesélémentsdegrandelongueur.Pourétablirla continuité des barres, nous effectuons un recouvrement. Cette longueur sera donc lalongueurnécessairepourassurerlatransmissiondeseffortsquisollicitent l’armature. Il faut assurer la continuité mécanique au niveau du recouvrement en mobilisant l’adhérence et le frottement du béton sur l’armature. VIII.32. Jonction des barres tendues rectilignes : Simple recouvrement des extrémités de barres : c est la distance entre axes des 2 barres Si c≤5 ∅⇒l r = l s Si c> 5 ∅ ⇒l r = l s + c Recouvrement par couvre-joint : Les 2 barres sont dans le même alignement et la transmission est assurée par une troisième barre de même diamètre. VIII.33. Jonction de barres tendues avec crochets normaux aux extrémités : Si c≤5 ∅⇒l r = l a Si c> 5 ∅ ⇒l r = l a + c VIII.34. Jonction de barres comprimées : Lesjonctionsdebarressusceptiblesd’êtrecompriméessontobligatoirement rectilignes.Silabarreesttoujourscomprimée,siellenefaitpaspartied’un paquet de 3 barres et si les entre-axes des barres en jonction sont au plus égaux à 5 fois leur diamètre, nous pourrons considérer que : l r = 0,6 l s lr c lr= 2ls 64 65 CHAPITREIX – POUTRESISOSTATIQUES IX.1. PREDIMENSIONNEMENT : IX.11. Prédimensionnement de la section de béton : Austadeduprédimensionnement,nouspouvonschoisirlahauteurdelapoutre en fonction de sa portée : 10 1 15 1 ≤ ≤ h La largeur peut être déduite de sa hauteur. 2 5 h b h ≤ ≤ Pourdesraisonsdebétonnagecorrect,lalargeurdelapoutrenepeutêtre inférieure à 15 cm. Les cotes des sections de poutres sont généralement déterminées de 5 cm en 5 cm. Al’issueduprédimensionnementdelapoutre,etconnaissantlesactionsqui s’exercent sur celle-ci , nous pouvons calculer les moments sollicitant M u et M ser . IX.12. Détermination de la hauteur utile économique : A l’ELU : Quandlesdimensionsdelapoutrenesontpasimposéespardesconsidérations architecturales, le projeteur a intérêt à se fixer des dimensions propres à éviter les armatures comprimées. La contrainte de compression du béton est limitée à : cj bc f 6 , 0 = σ Pour les poutres rectangulaires soumises à la flexion simple, il peut être admis de nepasprocéderàlavérificationdelacontraintedecompressiondubéton lorsque : 100 2 1 cj u f + − ≤ γ α 66 Cette formule est valable lorsque les aciers sont de classe Fe E 400. Avec γ= M u /M ser Cette prescription impose au projeteur un moment réduit critique : u c Le moment réduit critique u c dépend : - de la résistance du béton f cj pour les contraintes de calcul f bu et σ bc - de la nuance de l’acier - du cas de fissuration - du rapport γ Le moment réduit critique u c s’exprime par : u c = 0,8.α c . (1-0, 4α c ) Sa valeur approchée est obtenue avec : α c ≈ α u = 100 2 1 cj f + − γ Siu 1,25 .h 0 C’est le cas qui correspond réellement à celui d’une poutre en « té ». Pour la détermination des sections d’acier, nous procéderons par superposition en déterminant : - La part du moment supporté par les débords de la table (M table ). - Puis la part de moment supportée par la poutre rectangulaire (b 0 x h), (M u – M table ). X.331. Poutre à simple armature : Pour équilibrer le moment de la table : A s1 M table = f bu . (b-b 0 ). h 0 . (d-h 0 /2) D’où A s1 = st o table h d M σ | . | \ | − 2 Pour équilibrer la différence (M u -M table ) : A s2 bu o table u f d b M M . . 2 − = u ( ) u α 2 1 1 . 25 , 1 − − = siα < 0,259⇒εst = 10 %o si α≥ 0,259⇒ε st = α α) 1 ( 5 , 3 − %o d’où A s2 = ( ) st table u d M M σ α . 4 , 0 1 . − − La section d’acier à placer dans la poutre est : A s = A s1 + A s2 A s yu h0 bb-bo bo d As1 As2 =+ 80 X.333. Poutre à double armatures : Lorsquelapoutreestfortement chargée,ilestparfoisnécessairededisposerdes armatures afin de soulager le béton comprimé. Ces aciers comprimés sont très rarement utiles dans le cas des poutres en « té ». Le moment limite M l = u l .b 0 .d 2 .f bu Avecu l, α l, ε l, dépendant de l’acier, par exemple pour un acier HA Fe E 400 nous avons : u l = 0,39 ;α l = 0,67 ; ε l = 1,74 % La déformation unitaire des aciers comprimésε sc = ( ) ( ) 1 1 1 ' y d d y − − ε La contrainte des aciers comprimés σ st est fonction de ε sc La section d’aciers comprimés est : A sc = ( ) ( ) sc l table u d d M M M σ . ' − − − La section d’aciers tendus se décompose en : A s1 = s e o table f h d M γ . 2 | . | \ | − As yu h0 bb-bo bo d As1 As2 =+ + As3 Asc d-d' MuMtable (Mu-Mtable-M1) M1 =+ + 81 A s2 = ( ) s e l f d M γ α . 4 , 0 1 . − A s3 = ( ) ( ) s e l table u f d d M M M γ . ' − − − La section d’aciers tendus à mettre en œuvre est : A s = A s1 + A s2 + A s3 X.4. VERIFICATION DES CONTRAINTES NORMALES A L’ELS : X.41. Position de la fibre neutre : Données : b, h, b o , h o , A s , A sc , M ser Pourdéterminerlapositiondelafibreneutre,lescalculssontd’abordmenésen section rectangulaire : Nous déterminons y 1 à l’aide de l’équation du moment statique : ( ) ( ) 1 1 2 1 ' 2 y d nA d y nA by s sc − − − + Nous comparons y 1 à h 0 1 er cas : y 1 ≤h 0 ⇒la fibre neutre est effectivement dans la table. 2 ème cas : y 1 > h 0 ⇒la fibre neutre est dans la nervure. Dans ce cas, il faut reconsidérer les hypothèses de calcul et notamment l’équation du moment statique. X.42. Etude du cas y 1 ≤h 0 : Lapoutreest calculéecommeunepoutre rectangulaire de largeur b et de hau- teur h. y 1 calculé précédemment reste valable L’expression du moment quadratique est : I = ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 ' y d nA d y nA by s sc − + − + Les contraintes normales maximales sont : I y M ser bc 1 . = σ 82 ( ) I y d M n ser st 1 . . − = σ Les valeurs de σ bc et σ st sont à comparer aux valeurs admissibles. X.43. Etude du cas y 1 > h 0 : Danscecas,lapoutreestconsidéréeen« té »etlavaleurdey 1 précédemment calculée ne convient plus. Dansl’expressiondumomentstatique,nousdevonsretrancherleterme ( )( ) 2 . 2 0 1 0 h y b b − − correspondantaumomentstatiquedelapartiehachuréepar rapport à l’axe neutre : L’expression du moment statique devient donc : A =( ) ( ) ( )( ) 2 ' 2 0 1 0 1 1 2 1 h y b b y d nA d y nA by s sc − − − − − − + A =( ) ( ) | | ( ) ( ) | | 0 ' 30 30 2 2 0 0 1 0 0 2 1 0 = + + − − + + − + sc s sc s A d dA h b b y A A h b b y b Nous déterminons y 1 à partir de cette équation. Puis, nous calculons le moment quadratique de la poutre en « té », en retranchant dumomentquadratiquedelapoutrerectangulaire,leterme ( )( ) 3 . 3 0 1 0 h y b b − − correspondant à la partie hachurée. I =( ) ( ) ( )( ) 3 ' 3 3 0 1 0 2 2 1 3 1 h y b b y d nA d y nA by s sc − − − − + − + I = ( ) ( ) ( ) ( ) | | 2 1 2 1 2 0 1 0 0 3 0 0 3 1 0 ' 15 2 12 . 3 d y A y d A h y h b b h b b y b sc s − + − + | . | \ | − − + − + Ensuite, nous calculons les contraintes normales maximales de service : b h0 bo As y1 Asc 83 dans le béton I y M ser bc 1 . = σ dans l’acier ( ) I y d M n ser st 1 . . − = σ X.5. PREDIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE A L’ELS : X.51. Cas y 1 ≤h 0 : Lorsque l’axe neutre est dans la table de compression et que l’état limite d’ouver- turedesfissuresn’estpasvérifié,nouseffectuonsleredimensionnementcomme pour une section rectangulaire b x d. X.52. Cas y 1 > h 0 : Lorsquel’axeneutreestdanslanervureetquel’étatlimited’ouverturedes fissures n’est pas vérifié, nous utilisons une méthode approchée : Nous considérons un bras de levier du couple interne : z = d – h 0 /2 Pour calculer les aciers à l’ELS, nous prédimensionnons la section : st ser st z M A σ . ≥ avec ____ st σ: la contrainte admissible des aciers. Leprédimensionnementestensuitevérifiéencalculantlescontraintesnormales maximalesdecompressiondubétonetdetractiondesaciersselonlaméthode définie au paragraphe X.4. Lorsquel’axeneutreestdanslanervureetquel’étatlimitedecompressiondu bétonestdépassé,lessolutionsàadoptersontlesmêmesquecellescitéespour lessectionsrectangulaires.Lescalculsseconduisentdelamêmemanièreense donnant le diagramme des contraintes (cf. VI.5). X.6. JUSTIFICATION DE LA POUTRE VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES : X.61. Justification de l’âme de la poutre : Lespoutresen« té »sontjustifiéesvis-à-visdessollicitationstangentesenne considérantquel’âmedespoutres,donccommeunepoutrerectangulairede dimensions b 0 x h. 84 Nous calculons d b V u u 0 = τ . τ u doit vérifier : γ ≤ τ MPa 5 ; f . 20 , 0 min b 28 c u si la fissuration est peu préjudiciable γ ≤ τ MPa 4 ; f . 15 , 0 b 28 c u si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable. Les armatures droites transversales doivent vérifier la condition : ( ) e tj u s t t f f k S b A . 9 , 0 . . 3 , 0 . 0 − ≥ τ γ X.62. Justification de la liaison âme-débord : Il existe des contraintes tangentes dans le plan de jonction verticale du débord de la table et de l’âme de la poutre. Ces contraintes ont pour valeur : 0 . ' . h I A V u = τ A’ : moment statique de la partie en débord par rapport à l’axe neutre I : moment quadratique de la section par rapport à l’axe neutre Le règlement nous donne une formule simplifiée : y1 ho bo 85 0 1 . . 9 , 0 . h b d b V u = τ b 1 = 2 0 b b − : largeur du débord Cette valeur doit vérifier les valeurs admissibles données au paragraphe X.61. Il faut alors disposer des armatures de coutures traversant perpendiculairement le plan de jonction âme-débord de table. Les aciers de la dalle peuvent remplir ce rôle. Ces armatures doivent vérifier : τ γ ≥ s t e t S h f A . . 0 Avec A t = A ts + A ti A ts : aciers transversaux supérieurs A ti : aciers transversaux inférieurs. S t : espacement des aciers dans le sens longitudinal de la poutre. l s : longueur de scellement droit des aciers. Ati As l>ls l>ls Ats 86 CHAPITREXI– PLANCHERSETPOUTRES XI.1. LES PLANCHERS : XI.11. Définition : Unplancherestuneairegénéralementplane,destinéeàlimiterlesétagesetà supporter les revêtements de sols. Ces deux principales fonctions sont : -unefonctionderésistancemécanique,il doitsupportersonpoidspropreet les surcharges. -unefonctiond’isolationacoustiqueetthermiquequipeutêtreassurée complémentairement par un faux plafond ou un revêtement de sol approprié. XI.12. Différents types : Les planchers rencontrés dans les bâtiments de destinations diverses ou dans les constructions industrielles se classent en trois grandes catégories : -lesplanchersconstituésd’unedalleassociéeàdespoutressecondaireset principales - les planchers à poutrelles préfabriquées - les planchers champignons et les planchers dalles. Lesplanchersdallessontconstituésd’unedallepleinereposantsurdespoints d’appuisisolés,constituéspardespoteaux.Lorsquequecesderniersontlatête évasée on appelle cette structure plancher champignon. Lesplanchersàpoutrelles(planchersmixtes)sontconstituésd’unedallede compressioncouléesurplacesurdespoutrellespréfabriquéesenbétonarméou précontraintousurunecharpentemétallique.Lecoffrageestobtenupardes prédalles ou des corps creux (entrevous en béton ou en terre cuite). Les prédalles sont des dalles préfabriquées de faible épaisseur (4 à 5 cm) destinées àformerlapartieinférieurearméed’unedallepleine,ladalleainsiconstituée présentant en phase finale un comportement monolithique. Lesentrevousenterrecuiteouenbétonprennentappuisurlespoutrellesafin d’obtenir un plafond uni à l’étage inférieur. 87 Nous étudierons dans ce chapitre les planchers avec dalles, poutres secondaires (poutrelles) et poutres principales. XI.13. Planchers constitués d’une dalle associée à des poutres secondaires et principales : Lesplanchersvisésdanscechapitresontconstituésd’unedallehorizontale associée à un système de poutres formant nervures. Les planchers de bâtiments d’habitation sont généralement constitués d’une dalle reposant sur un réseau de poutres parallèles. Plan de coffrage. Plancher haut du rez-de-chaussée. Les planchers les plus courants pour les bâtiments industriels sont constitués : - d’une dalle ou hourdis d’épaisseur généralement comprise entre 8 et 12 cm, - de poutrelles espacés généralement de 1,5 à 2,5 m, - et de poutres généralement espacées de 5 à 6 m. Lespanneauxdeladallereçoiventleschargesstatiquesetdynamiquesetles transmettent aux poutrelles et aux poutres qui reçoivent en outre ponctuellement lesactionsdespoutrelles.L’ensembledeseffortsestfinalementreprispardes poteaux ou des murs de refend porteurs. 16 16 16 ab c P1P2P3 P4 P5P6 P9 P10P11 P12 P7 P8 3.905.00 5.00 14.00 4.80 4.80 3.602020 2 . 4 0 7 . 6 0 7 . 5 0 2 . 1 0 2 0 2 2 0 x 6 0 1 2 0 x 6 0 2 0 9 20x30 3 2 0 x 6 0 4 2 0 x 6 0 5 2 0 x 6 0 6 2 0 x 6 0 7 2 0 x 6 0 8 2 0 x 6 0 4 . 7 0 4 . 9 0 2 0 2 0 4 . 7 0 4 . 9 0 2 0 1 0 . 0 0 20 20 88 Le règlement BAEL distingue deux types de planchers en fonction de l’importance des charges d’exploitation : - les planchers à charge d’exploitation modérée - les planchers à charge d’exploitation élevée. XI.14. Planchers à charge d’exploitation modérée : Il s’agit des planchers des « constructions courantes » où les charges d’exploitation sont modérées. Lesvaleursdeceschargessontaupluségalesàdeuxfoiscellesdescharges permanentes ou à 5000 N/m 2 . Q b ≤Max {2G ; 5000 N/m 2 } Entrent normalement dans cette catégorie : - les bâtiments à usage d’habitation et d’hébergement, - les bâtiments à usage de bureaux, - les constructions scolaires, - les constructions hospitalières. et le plus souvent : -lesbâtimentsàusagecommercial(magasins,boutiques),àl’exclusiondes bâtiments de stockage, - les salles de spectacle. XI.15. Planchers à charge d’exploitation relativement élevée : a 10 2 5 2 . 2 5 2 . 2 5 2 5 2 5 2 5 2 . 2 5 306.3030 6.30 30 25x45 25x45 25x4525x45 25x4525x45 25x4525x45 3 0 x 6 0 3 0 x 6 0 3 0 x 6 0 89 Ils’agitdesplanchersdes« constructionsindustrielles »oùlescharges d’exploitation sont relativement élevées. Lesvaleursdeceschargessontsupérieuresàdeuxfoiscellesdescharges permanentes ou à 5000 N/m 2 . Q b >2GouQ b > 5000 N/m 2 Entrent normalement dans cette catégorie : - les bâtiments industriels (usines, ateliers), - les entrepôts. XI.2. POUTRES CONTINUES : XI.21. Définition : Danslesstructuresdesbâtiments,ilestfréquentderencontrerdespoutres continues, c’est-à-dire reposant sur plus de deux appuis (poteaux ou murs). Ces poutres sont généralement de section rectangulaire ou en « té ». Dans ce cas, la largeur de la table est définie par les critères définis en X.2. Les poutres se raccordent continûment auxpoteaux, à d’autres poutres ou à des murs. Le calcul doit tenir compte de la continuité. Une telle poutre est dite hyperstatique car les équations de la statique ne suffisent pas à la détermination de toutes les actions de contact. Enfonctiondeschargesetsurchargesappliquées,lerèglementdéfinitles combinaisons d’action à considérer dans chaque travée. Le dimensionnement des sections passe par la recherche des courbes enveloppes des moments qui permettent de déterminer : - les moments maximaux sur appuis et en travées -lalongueurdeschapeaux(acierssupérieurs)surappuisetlesarrêtsde barres. Cescourbesenveloppessontdéterminéesenenvisageantlesdifférentscasde charge pour les diverses combinaisons d’actions définies par le règlement (chap II). XI.22. Méthodes de calcul des poutres continues : La résistance des matériaux proposedessolutions auxproblèmes hyperstatiques dans les cas de matériaux homogènes. La méthode classique qui permet de résoudre le cas des poutres continues est la méthode des trois moments. NOTATIONS : P1 P2 Pi Pi+1 Pn n i+1 i i- 1 210 l1l2li li+1 ln travée 1travée 2travée i travée i+1 travée n 90 Cettepoutredesectionconstantesoumiseuniquementàdeschargesverticales reposant sur (n+1) appuis est hyperstatique de degré (n+1). En effet : -lenombred’inconnues(actionsdeliaison)estde1parappuisoitn+1 inconnues, - le nombre d’équations est 2 : 1 projection sur y et 1 équation de moment, donc le degré d’hyperstaticité de la poutre est : (n+1)-2 = n-1 Les moments sur appuis sont les inconnues hyperstatiques et M 0 (x) est le moment dans la travée isostatique équivalente. Le calcul des inconnues hyperstatiques (moments sur appui) peut-être résolu par l’équation des trois moments (voir cours RDM 1 ère année). Dans le cas d’une charge uniformément répartie : L i M i-1 + 2 M i (l i +l i+1 ) + M i+1 l i+1 = 4 3 3 1 1 i i i i l P l P + − + + Expression des efforts internes dans une travée i : Moment de flexion :M(x) = M 0 (x) + M i-1 + ( ) x l M M i i i 1 − − Effort tranchant :V(x) = V 0 (x) + ( ) i i i l M M 1 − − Remarque : M(x) Max = M t pour V(x) = 0 Cetteméthodenedonnepasdebonsrésultatsenbétonarmécarellesuppose notammentquelematériauesthomogèneetelleneprendpasencomptela variation de la largeur de la table des poutres en « té ». L’expériencemontrequecetteméthodedecontinuitéthéoriquedonnedesmo- ments trop forts sur appuis et trop faibles en travées. LerèglementBAELprévoitdoncdeuxméthodesderésolutionpourdessystèmes de poutres continues : - la méthode forfaitaire - la méthode de CAQUOT. XI.3. METHODE FORFAITAIRE : XI.31. Domaine d’application : 91 Cette méthode est applicable aux planchers à charge d’exploitation modérée, c’est- à-dire aux « constructions courantes ». Ellenes’appliquequ’auxélémentsfléchis(poutresoudalles)remplissantles conditions suivantes : -lesmomentsquadratiquesdessectionstransversalessontlesmêmesdans les différentes travées en continuité. - les portées successives sont dans un rapport entre 0,8 et 1,25 - la fissuration est considérée comme non préjudiciable. Dans le cas où l’une de ces trois conditions complémentaires n’est pas satisfaite, nousappliqueronslaméthodedecalculdesplanchersàcharged’exploitation relativement élevée définie en XI.4. XI.32. Principe de la méthode : Laméthodeconsisteàévaluerlesvaleursmaximalesdesmomentsentravéeet desmomentssurappuisàdesfractions,fixéesforfaitairement,delavaleur maximale du moment fléchissant M 0 dans la « travée de comparaison ». La « travée de comparaison » est la travée indépendante de même portée libre que la travée considérée et soumise aux mêmes charges. Les valeurs forfaitaires adoptées doivent avoir reçu la sanction de l’expérience. XI.33. Valeurs des coefficients : Soit : - M 0 la valeur maximale du moment de flexion dans la travée de comparaison ou moment isostatique. -M w etM e respectivementlesvaleursabsoluesdesmomentssurappuisde gaucheetdedroitequisontprisencomptedanslescalculsdelatravée considérée. - M t le moment maximal dans la travée considérée Me Mw Mt Mo Moment en travée Moment isostatique Ligne de fermeture 92 -αestlerapportdeschargesd’exploitationàlasommedeschargesperma- nentes et d’exploitation : α = B B Q G Q + Les valeurs de M t , M w et M e doivent vérifier les conditions suivantes : 1.( ) | | 0 0 3 , 0 1 ; 05 , 1 2 M M Max M M M e w t α + ≥ + + 2. Le moment maximal en travée M t n’est pas inférieur à : 0 2 3 , 0 1 M α + dans le cas d’une travée intermédiaire ; 0 2 3 , 0 2 , 1 M α + dans le cas d’une travée de rive. 3.Lavaleurabsoluedechaquemomentsurappuiintermédiairen’estpas inférieure à : - 0,60 M 0 dans le cas d’une poutre à deux travées ; -0,5M 0 danslecasdesappuisvoisinsdesappuisderived’unepoutreà plus de deux travées ; -0,4M 0 danslecasdesautresappuisintermédiairesd’unepoutreàplus de trois travées. Departetd’autredechaqueappuiintermédiaire,onretientpourlavérification des sections la plus grande des valeurs absolues des moments évalués à gauche et à droite de l’appui considéré. Poutre à deux travées : AB C Mt1 Mt2 Travée 1Travée 2 93 Poutre à plus de deux travées : XI.34. Détermination de la longueur des chapeaux et arrêts de barres inférieures de second lit : 1 er cas : - La charge d’exploitation est au plus égale à la charge permanente : Q B ≤ G -Leschargesappliquéespeuventêtreconsidéréescommeuniformément réparties. Dans ce cas, nous pouvons procéder à un arrêt des barres forfaitaire. A B C Travée 1Travée 2 Mt1 Mt2 D E Mt3 Mt4 Travée 3 Travée 4 l'1l'1l'1 l'2 l'2 l1 l2 l3 appui de rive appui voisin d'un appui de rive Appui intermédiaire ≤l1/10 ≤l1/10 ≤l2/10 ≤l2/10 ≤l3/10 94 REMARQUES : - La moitié au moins de la section des armatures inférieures nécessaires en travée est prolongée jusqu’aux appuis et les armatures de second lit sont arrêtées à une distance des appuis inférieure ou égale à 1/10 de la portée. - Dans une poutre continue comportant des travées inégales ou inégalement char- gées,leschapeauxdoivents’étendredanslestravéeslespluscourtesetles moinschargéessurunelongueurplusgrandequedanslestravéeslesplus longues et les plus chargées. - En règle générale, dans le cas des planchers, des armatures supérieures doivent êtredisposéessurappuispouréquilibrerunmomentégalaumoinsà0,15M 0 même dans l’hypothèse d’un calcul sur appuis simples. En effet, le moment sur appui est pris égal à 0 pour la détermination dessollici- tationsdelatravéederivemaisnousplaceronsnéanmoinsdesarmatures capables d’équilibrer un moment pris forfaitairement à 0,15 M 0 . 2 ème cas : La charge d’exploitation est supérieure à la charge permanente : Q > G. Nousnepouvonsplusprocéderàunarrêtdesbarresforfaitaire.Danscecas,il fauttracerlacourbeenveloppedesmomentsfléchissantscorrespondanteaux différentes combinaisons d’actions (voir méthode de CAQUOT). XI.35. Effort tranchant : Les effortstranchants peuvent être déterminés en admettant ladiscontinuité des différentséléments,àconditiondemajorerleseffortstranchantscalculéspour une travée indépendante : - de 15 % pour l’appui intermédiaire d’une poutre à deux travées, - de 10 % pour les appuis intermédiaires les plus proches des appuis de rive dans le cas d’une poutre comportant au moins trois travées. Il est toujours possible de calculer les efforts tranchants en prenant en compte la continuité des poutres et par suite les moments adoptés sur appui par la méthode de CAQUOT. XI.36. Justification sur les appuis intermédiaires d’une poutre continue : XI.361. Vérification de la contrainte de compression du béton dans chacune des bielles : a d biellebielle bo 95 Nous vérifions pour chacune des travées adjacentes : b cj u bc f a b V γ σ . 8 , 0 . . 2 0 ≤ = V u prend la valeur |V ug |à gauche de l’appui V u prend la valeur |V ud | à droite de l’appui Il faut : d a f b V cj u 9 , 0 . . 75 , 3 ≤ ≤ XI.362. Contrainte moyenne de compression de l’aire d’appui : Effort normal de compression sur l’appui : Ru = |V ug |+ |V ud | Contrainte moyenne cj u mb f a b R . 867 , 0 . 0 ≤ = σ XI.363. Vérification de la section des armatures inférieures sur l’appui intermédiaire : Effort de compression égal à N bc = z M u au niveau de A si La section sur appui est soumise aux sollicitations : M u : moment sur appui généralement négatif V u : effort tranchant Au niveau des armatures inférieures : La bielle d’appui exerce sur l’armature A si un effort de traction N s = V u . Le moment M u exerce sur l’armature A si un effort de compression évalué à : Mu NcNs V u Armature supérieure tendue bielle comprimée Armature inférieure Asi 96 N bc = z M u = d M u . 9 , 0 L’effort dans les armatures longitudinales inférieures est (N s + N c ). La section d’armatures longitudinales inférieures doit équilibrer l’effort |V u | + = d M u . 9 , 0 Le moment Mu est pris avec son signe (M u < 0). - Si |V u | + = d M u . 9 , 0 < 0⇒pas de vérification de la section A si - Si |V u | + = d M u . 9 , 0 > 0⇒ il faut satisfaire A si + ≥ d M V f u u e s . 9 , 0 γ XI.4. METHODE DE CAQUOT : XI.41. Domaine d’application : Laméthodes’appliqueessentiellementauxplanchersdes« constructions industrielles » tels qu’ils sont définis précédemment. Elles’appliqueégalementauxplanchersàcharged’exploitationmodéréesil’une des trois conditions complémentaires (XI.221.) n’est pas remplie. XI.42. Principe de la méthode : Laméthodeconsisteàcalculerlemomentsurchaqueappuid’unepoutre continue en considérant uniquement les travées qui encadrent l’appui considéré. C’estuneméthodedecontinuitésimplifiée :lemomentfléchissantsurunappui ne dépend que des charges sur les travées adjacentes de cet appui. l'wl'e lili+1 Ai Ai-1Ai Ai+1 97 La poutre continue est assimilée pour le calcul des moments à une succession de poutres à deux travées de part et d’autre de l’appui étudié. Dans ce schéma, il n’y apasdemomentssurlesappuisenamontetenavaldel’appuiétudié,cequi n’est pas conforme aux hypothèses de la continuité. La méthode de CAQUOT tient compte de cela en remplaçant les portées réelles par des portées fictives l’. l’ w = 0,8 l i l’ e = 0,8 l i+1 Pour les travées de rive : l’ w = l i l’ e = l i+1 Reprenons la formule des trois moments (XI.23) : M i-1 = M w = 0 et M i+1 = M e = 0 2( ) 4 ' ' 3 3 ' ' e e w w i e w l P l P M l l + − = + Mi = ( ) e w e e w w l l l P l P ' ' 8 ' ' 3 3 + + − LaformuledeCAQUOTapportedescorrectionsàlaméthodedecontinuitéthéo- rique pour atténuer les moments sur appuis : le coefficient de 8 est remplacé 8,5. XI.43. Combinaisons d’actions et cas de chargement : XI.431. Combinaisons d’action dans le cas des planchers uniquement soumis aux actions des charges permanentes et des charges d’exploitation : l'wl'e i Mw Pw Pe Mi Me 98 Pourlesélémentsdeplancherssoumisuniquementauxactionsdescharges permanentesetdeschargesd’exploitation,àl’exclusiondeschargesclimatiques, les seules combinaisons à considérer sont : Travées sans consoles : CombinaisonsTravées chargéesTravées déchargées ELU1,35G + 1,5Q B 1,35G ELSG + Q B G Travées prolongées par des consoles : CombinaisonsELUTravées chargéesTravées déchargées 1°1,35G + 1,5Q B 1,35G 2°G + 1,5Q B G CombinaisonsELSTravées chargéesTravées déchargées 1°G + Q B G XI.432. Cas de chargement à envisager pour le calcul des moments : Etudions les cas de chargement à envisager pour une travée intermédiaire i : Nous obtenons les valeurs maxi sur les appuis. Nous obtenons la valeur mini du moment en travée 1.35G + 1.5QB travée i appui i-1appui i travée i appui i-1appui i 1.35G + 1.5QB 1.35G + 1.5QB 1.35G appui i-1 travée i 1.35G + 1.5QB appui i 1.35G1.35G 99 Nous obtenons la valeur maxi du moment en travée i Nous déterminons la longueur des chapeaux des appuis. En conclusion : -Pourobtenirlemomentmaxisurappui,ilfautchargerlestravéesqui encadrent l’appui ; - Pour obtenir le moment maxi en travée, il faut charger uniquement la travée considérée ; - Pour obtenir le moment mini en travée, il faut charger les travées adjacentes et décharger la travée considérée. XI.433. Cas de chargement à envisager pour le calcul des efforts tranchants maximaux : Pourobtenirleseffortstranchantsmaximauxsurunappui,ilfautuniquement charger les travées qui encadrent l’appui considéré : Nous obtenons l’effort tranchant maxi sur l’appui i. XI.44. Evaluation des sollicitations : 1.35G travée i appui i-1appui i 1.35G + 1.5QB 1.35G travée i appui i-1appui i 100 Poutresàmomentsd’inertieégauxdanslesdifférentestravéesetnonsolidaires des poteaux : cas d’une charge uniformément répartie. XI.441. Moments sur appuis : Le moment sur appui est égal en valeur absolue à : ( ) e w e e w w i l l l P l P M ' ' 5 , 8 ' ' 3 3 + + − = XI.442. Moments en travée : Moment d’appui en A i-1 : M i-1 Moment d’appui en A i : M i Posons : M w = |M i-1 | M e =|M i | Moment de flexion en travée : M(x) = M 0 (x) – M w + ( ) x M M e w 1 − M(x) = ( ) x M M M x P x P e w w 1 2 . 2 . 1 . 2 − + − − Moment au centre M c pour x = ½ : M c = ( ) 2 8 . 2 e w w M M M l P − + − M c = ( ) 2 8 . 2 e w M M l P − − Moment maxi en travée : Mt pour v(x) = 0 : P l RAi RAi-1 Travée i Mi-1 Mi 101 V(x) = V 0 (x) + 1 e w M M − V(x) = 1 . 2 . e w M M x p l P − + − Section d’effort tranchant nul pour x 0 = ( ) où d l p M M e w ' . 2 1 − +: M t = M 0 - ( ) − + | . | \ | + 2 2 . 2 2 l p M M M M e w e w M t = M c + ( ) − 2 2 . 2 l p M M e w XI.443. Efforts tranchants : Effort tranchant aux appuis : En A i-1 :V u (w) = 1 2 e w M M pl − + En A i : V u (e) = 1 2 e w M M pl − + − Effort tranchant en travée : V(x) = V 0 (x) + 1 e w M M − V(x) = 1 . 2 . e w M M x p l P − + − Actions des appuis : - Appui de rive (Appui A 0 ) : R A0 = V u (x) - Appui intermédiaire (Appui A i ) : R ai = somme des valeurs absolue des efforts tranchants à gauche et à droite de l’appui considéré. XI.45. Tracé des courbes enveloppes : XI.451. Principe : Travée iTravée i+1 Ai-1 Ai Ai+1 Vu(w) Vu(e) Me Mw 102 Diagramme enveloppe des moments de flexion. Les courbes enveloppes des sollicitations de calcul s’obtiennent en considérant les divers cas de charge pour les diverses combinaisons d’action. Danslecasdesplanchersuniquementsollicitéspardeschargespermanenteset par des charges d’exploitation les combinaisons à considérer ont été indiquées en XI.43.Lesdifférenteshypothèsesconcernentlechargementdestravées(travées chargées et travées déchargées). XI.452. Tracée d’une parabole : - Par point : Demi-portée 4' 1 3'2' 1' 2 3 4 M o m e n t d e f l e x i o n Tracé d'une parabole par points 103 - Connaissant M w , M e , M c et M t 104 Les tangentes en X et E passent par I’ symétrique de I par rapport à C (moment au centre). La tangente en C est parallèle à la ligne de fermeture WE. La parabole est tangente aux droites NP et N’P’. N : milieu du segment OW ; P : milieu de 0C N’ : milieu du segment 0’E ;P’ milieu de 0’C. W I E Me MtMc N' O' P' C P O I’ Xt N Mo Mw I’ 105 CHAPITREXII– LESDALLES XII.1. DEFINITION : Nousneconsidéreronsdanscechapitrequelesdallesrectangulairesuniformé- ment chargées. Les portées sont mesurées entre nus des appuis : L x est la petite portée et l y la grande portée. Le rapport des portéesα est défini : α = y x l l Nousdistinguonssuivantlesconditionsd’appuis,lesdallessimplement appuyées et les dalles sur appuis continus. XII.2. DALLES SIMPLEMENT APPUYEES : Suivant la disposition des éléments porteurs et le rapport deux méthodes sont utilisées : - dalles appuyées sur deux côtés, - dalles appuyées sur leur quatre côtés. ly lx 106 XII.21. Calcul des dalles appuyées sur deux côtés : Nous parlerons aussi de dalles portant dans un seul sens. Sont considérées comme telles : -lesdallesrectangulairesappuyéessurdeuxcôtésetcomportantunou deux bords libres. - les dalles rectangulaires appuyées sur quatre côtés dontα < 0,4. Ces dalles sont calculées comme des poutres dans le sens de la petite portée. Nous sommesdoncramenésàl’étuded’unepoutrerectangulairedehauteurh,de largeur 1 mètre, et de portée l x . La dalle porte alors dans un seul sens et le moment de flexion est : M 0x = 8 2 pl Nous déterminons la section d’aciers longitudinaux A x (aciers principaux) à partir de ce moment de flexion. Les aciers sont déterminées par mètre linéaire de longueur de dalle : A x/ml . Dans le sens de la grandeportée l y , il faut disposer des armaturesde répartition dontlasectionparunitédelargeurestévaluéeforfaitairementauquartdela section des aciers principaux. Ay = 4 x A REMARQUE : Dans le cas des dalles uniques, on prend forfaitairement 0,15 M 0x sur le contour de la dalle. Encequiconcernel’efforttranchant,nousadmettonsqueV y estnégligeableet que : V x = 2 x pl XII.22. Calcul des dalles appuyées sur leur quatre côtés : XII.221. Moments fléchissants : Dans le cas où α≥ 0,4 les moments fléchissants ont pour valeur au centre de la dalle : M x = 2 . . x u l P u M y = u y .M x 107 Lesvaleursdescoefficientsuxetuysontdonnésenfonctiondurapportαparle tableau suivant (Annexe E.3 du BAEL). y x l l = α 2 x x x Pl M = u x y y M M = u 0,400,1100,250 0,450,1020,250 0,500,0950,250 0,550,0880,250 0,600,0810 ,305 0,650,07450,369 0,700,0680,436 0,750,0620,509 0 ,800,0560,595 0,850,0510,685 0,900,0460,778 0,950,0410,887 1000,0371,000 LecoefficientdePoissonydubétonestpriségalà0pourlecalculdes sollicitations et à 0,2 pour le calcul des déformations. Les valeurs de u y correspondant àα ≤ 0,557 sont égales à 0,25 conformément aux dispositions réglementaires des armatures (cf. XII.422). XII.222. Efforts tranchants : Nous admettons que les efforts tranchants sont maximaux au milieu des côtés : x y y x x l l l Pl ml V + = 2 / y y x y l l Pl ml V 3 / = avec P : charge par unité de surface en KN/m 2 108 XII.3. DALLES SUR APPUIS CONTINUS : XII.31. Définition : Ce sont les dalles dont les appuis sont constitués, soit par des éléments continus aveclesquelsellesformentmonolithe(nervuresoupoutreenBA),soitpardes murs sur lesquels elles reposent. XII.32. Calcul des moments fléchissants : Les moments M 0x et M 0y sont calculés suivant les prescriptions relatives à la dalle simplement appuyée sur son contour. Cesmomentsentravéessontréduitsde15à25%,selonlesconditions d’encastrement (voir tableau suivant), pour tenir compte de la continuité. Les moments d’encastrement sur les grands et les petits côtés sont évalués respec- tivement au moins à 40 % et 50 % des moments fléchissants maximaux M 0x . Nous devons vérifier dans la portée principale : 0 25 , 1 2 M M M M e w t ≥ + + Les valeurs des moments sur appuis sont prises égales à : -0,15M0danslecasd’unencastrementfaible,c’est-à-direpourunedalle simplement appuyée (cas d’un panneau de rive de dalle sur une poutre). - 0,30 M0 dans le cas d’un encastrement partiel (cas d’un panneau de rive de dalle sur un voile béton). - 0,50 M0 dans le cas d’une dalle continue (cas d’un panneau intermédiaire de dalle sur une poutre ou sur un mur). LaconditionduBAEL,danslamesureoùlesM 0 sontsensiblementégauxd’une travée à l’autre, peut être résumée dans le tableau suivant : M e = 0,15 M 0 M e = 0,30 M 0 M e = 0,50 M 0 M w = 0,15 M 0 M 0 M 0 0,925 M 0 M w = 0,30 M 0 M 0 0,95 M 0 0,85 M 0 M w = 0,50 M 0 0,925 M 0 0,85 M 0 0,75 M 0 Lemomentsurl’appuicontinucommunàdeuxpanneauxestleplusgranden valeur absolue des moments déterminés pour chacun des deux panneaux. XII.4. DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES : XII.41. Justification des armatures d’effort tranchant : 109 Aucune armature d’effort tranchant n’est requise si les conditions suivantes sont remplies : - La dalle est bétonnée sans reprise de bétonnage sur toute son épaisseur. - La contrainte tangente τ u = d b V o u est au plus égale à b cj f γ 07 , 0 Cettedernièreconditionpeutserviràdéterminerl’épaisseurdeladalleafin d’éviter les armatures transversales, qui sont déconseillées. Danslecasparticulieroùladalleestcouléeavecunereprisedebétonnage,il faudra appliquer la règle des coutures du règlement BAEL (Article A.5.3). XII.42. Condition de non fragilité : La condition de non fragilité explicitée pour les poutres s’applique également pour les dalles. Dans le cas des dalles cette condition est énoncée comme suit : SoitP 0 letauxd’armatures(P 0 estlerapportduvolumedesaciersàceluidu béton) défini de la façon suivante : 0,0012 s’il s’agit de ronds lisses (Fe E 215 ou Fe E 235) 0,0008 s’il s’agit de barres HA Fe E 400 ou de TS∅> 6 mm 0,0006 s’il s’agit de barres HA Fe E 500 ou de TS∅≤ 6 mm l x et l y sont les dimensions de la dalle (l x ≤l y ) P x et P y les taux minimaux d’acier en travée dans le sens « x » et dans le sens « y ». Lestauxminimauxd’acierp x danslesens« x »etp y danslesens« y »doivent satisfaire les inégalités suivantes : 2 3 0 α − ≥ P P x 0 P P y ≥ où y x l l = α XII.43. Dispositions des armatures longitudinales : XII.431.Diamètres : Lediamètredesbarresemployéescommearmaturesdedallesdoitêtreauplus égal au dixième de l’épaisseur totale de la dalle. XII.432. Sections minimales : 110 Les armatures disposées suivant deux directions perpendiculaires sont telles que lerapportdelasectionarmantladirectionmoinssollicitée(armaturesde répartition) à celle armant la direction orthogonale (la plus sollicitée) est au moins égal à : - 1/3 si les charges appliquées comprennent des efforts concentrés - 1/4 dans le cas contraire. XII.433. Espacements : L’écartementdesarmaturesd’unemêmenappenedoitpasdépasserlesvaleurs du tableau ci-dessous où h désigne l’épaisseur totale de la dalle. DirectionsCharges réparties seulement Charges concentrées Direction la plus sollicitée 3 h et 33 cm2 h et 25 cm Directionperpendiculaireàla plus sollicitée 4 h et 45 cm3 h et 33 cm Siladalleestsoumiseàlafoisàdeschargesrépartiesetàdescharges concentrées, nous devons apprécier par interpolation. Cetterègledesespacementsneconcernepaslesbarresdemontageassociées perpendiculairement aux chapeaux. XII.44. Dispositions constructives : XII.441. Epaisseur minimale : L’épaisseur minimale d’un hourdis coulé en place est de : - 4 cm s’il est associé à des entrevous résistants (en béton ou en terre cuite). - 5 cm dans les autres cas. Généralementl’épaisseurd’unedalleestfixéedemanièreàsatisfaireles conditions d’isolation phonique. Dans les bâtiments d’habitation, l’épaisseur mini- male est généralement de 14 cm. Silesconditionsd’isolationphoniquessontinconnues,ilestd’usagedechoisir l’épaisseurd’unedallepleineenBAenfonctiondesesdimensionsetdeses conditions d’appuis, pour limiter les déformations. Nous pouvons utiliser pour pré-dimensionner les dalles le tableau suivant : h/l x α1/20H/l x >1/30 Avec continuité1/30 < h/l x < 1/351/40