Pautas de Ayudantías (Introducción a la Microeconomía - UChile)

April 27, 2018 | Author: Anonymous | Category: Education
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Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 1 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 27 de julio de 2011 1. Sistemas de Ecuaciones 1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? Respuesta. Un sistema de ecuaciones consiste en 2 o mas ecuaciones de 2 o más incognitas. En particular, diremos que el sistema es de 2 ⇥ 2 si consiste en 2 ecuaciones con 2 incognitas, y de 3 ⇥ 3 si consiste en 3 ecuaciones con 3 incógnitas. En adelante nuestras incógnitas serán designadas por las últimas letras del alfabeto a menos que se indique lo contrario. ⇤ Ejemplo 1. Sistema de 2⇥ 2 ⇢ ax+ y = b x� ay = 2b Tenemos 2 incógnitas, x e y, mientras que a y b son coeficientes conocidos que podŕıan ser números, pero resolver con esos factores nos da la solución general para esa forma del sistema. Hay 2 ecuaciones y 2 incógnitas, es decir, el sistema es de 2⇥ 2. Ejemplo 2. Sistema de 3⇥ 3 8 < : x+ y � z = 0 x+ y + 2z = 9 3x� z = 0 Notemos que la tercera ecuacion del sistema tiene 2 incógnitas, pero en total entre las 3 ecuaciones contamos 3 incógnitas y el sistema es de 3⇥ 3. 2. ¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones? Respuesta. Resolver el sistema es encontrar los valores (literales o numéricos) de las incognitas pero tiene tambien un significado geométrico. Resolver un sistema de 2 ⇥ 2 es encontrar las coordenadas de intersección de las dos rectas representadas por las 2 ecuaciones, mientras que resolver un sistema de 3 ⇥ 3 es encontrar las coordenadas del punto de intersección de los tres planos dados por las tres ecuaciones. Por las explicaciones anteriores dos rectas no siempre se cortan en un punto pues pueden tambien ser paralelas o coincidir, o que 3 planos no siempre concurren en un punto porque también pueden tener una recta común, o pueden coincidir completamente, o bien ser paralelos. Es decir, un sistema no siempre tiene solucion única, es más, no siempre tiene solución. El caso más simple de analizar gráficamente es el de sistemas de 2⇥ 2 y lo veremos con ejemplos. ⇤ 3. Resuelva el sistema ⇢ 3x� 7y = 8 2y � x = �3 por el método de igualación. Igualación. Consiste en tomar dos ecuaciones y en ambas despejar una variable, para luego igualar ambas ecuaciones. Esto se repite hasta llegar a una ecuación de una sola incógnita, para resolverla y 1 sustituir en alguna ecuación, o repetir todo el proceso para despejar esta vez otra incognita. Recuerden que no podemos inventar información para resolver el sistema. Soluci ´ on. Despejemos x en ambas ⇢ x = 7y+83 x = 2y + 3 Luego, 7y + 8 3 = 2y + 3 donde resolviendo obtenemos y = 1. Ahora podŕıamos hacer algo similar a lo anterior, esta vez igualando y para obtener x. Pero es más rápido reemplazar y = 1 en x = 2y + 3, obteniendo x = 5. Solución: (x, y) = (5, 1) y el gráfico del sistema es 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y (3x-8)/7 (x-3)/2 ⇤ 4. Resuelva el sistema 8 < : 2x� 3y � 5z = 2 3x+ y � 2z = 3 x+ y � z = 0 por el método de igualación. Soluci ´ on. De la primera y la última ecuación obtenemos ⇢ x = 12 (2 + 3y + 5z) x = z � y igualamos y se obtiene 5y + 3z = �2. De la segunda y la última ecuación obtenemos ⇢ x = 13 (3� y + 2z) x = z � y igualamos y se obtiene z � 2y = 3. Por lo anterior se tiene ⇢ 5y + 3z = �2 z � 2y = 3 ) ⇢ z = � 13 (2 + 5y) z = 3 + 2y ) �1 3 (2 + 5y) = 3 + 2y 2 Resolviendo obtenemos y = �1. Reemplazando en alguna de las ecuaciones del sistema de 2⇥2 anterior, por ejemplo en z � 2y = 3, obtenemos z = 3 + 2y = 3� 2 = 1. Con y = �1, z = 1 reemplazamos en alguna de las ecuaciones del sistema de 3⇥ 3 original. Por ejemplo reemplazando en x+ y � z = 0, se obtiene x = 2. Solución: (x, y, z) = (2,�1, 1) y el gráfico del sistema es −2 0 2 4 −2 −1 0 1 2 3 −6 −4 −2 0 2 4 6 y x z (2x−3y−2)/5 (3x+y−3)/2 x+y ⇤ 5. Tarea: Resuelva el sistema ⇢ 3x+ 4y = 23 x� 8y = 3 usando el método de eliminación y además resuelva los sistemas anteriores por el método de eliminación. Eliminación: Tomamos dos o más ecuaciones del sistema y las multiplicamos por algún factor conve- niente (entero, fracción, positivo, negativo, etc pero nunca cero) de manera que al sumar estas igualdades término a término se elimine alguna incógnita o se obtenga una ecuación de primer grado con una sola incognita que se supone, a estas alturas ya sabemos resolver. Soluci ´ on. Multiplicamos la segunda ecuacion por �3 ⇢ 3x+ 4y = 23 �3x+ 24y = �9 Sumamos término a término obteniendo 28y = 14, es decir y = 12 . Sustituyendo este valor en la segunda ecuación del sistema original se obtiene x = 7. Solución: (x, y) = ✓ 7, 1 2 ◆ Los demás problemas ya fueron resueltos y sólo cambia un poco el desarrollo. ⇤ 2. Preguntas Cortas 1. La principal diferencia entre microeconomı́a y macroeconomı́a es que esta última utiliza mucha ma- temática y la primera es mucho más conceptual. Respuesta. Falso. La microeconomı́a es una rama de la economı́a que estudia las interacciones que se dan entre los agentes de forma individual, centrándose en qué aspectos determinan el comportamiento de estos. Sus principales estudios son la teoŕıa del consumidor y la teoŕıa de la firma. Por otro lado, 3 la macroeconomı́a estudia las interacciones de los agentes a nivel agregado, centrándose en analizar las tendencias y posibles intervenciones. Sus principales estudios son los efectos de la poĺıtica fiscal y la poĺıtica monetaria. ⇤ 2. Cuando el precio máximo que un consumidor se dispone a pagar son $500 por los chocolates, el precio de equilibrio es $500. Respuesta. Falso. La condición de equilibrio es QS = QD. Si los consumidores están dispuestos a pagar hasta cierto precio, dicho precio corresponde a su precio de reserva. Recordemos el siguiente gráfico Q P (Q) Exceso de oferta Exceso de demanda D S Los precios por sobre el precio de equilibrio generan que la cantidad ofertada sea mayor que la cantidad demandada. Los precios por debajo del precio de equilibrio generan que la cantidad ofertada sea menor que la cantidad demandada. ⇤ 3. La función de oferta para un cierto bien asigna a cada precio el número de unidades del bien que los productores deseaŕıan vender a ese precio. Entonces, por definición es exactamente igual dejar el precio en función de la cantidad que la cantidad en función del precio en un gráfico de oferta y demanda. Respuesta. Lo que el comente dice respecto de la función de oferta es cierto pero no debemos olvidar que en economı́a trabajamos con la oferta inversa (simplemente se omite este “apellido” porque por convención se trabaja aśı), la cual a cada nivel de producción le asocia el menor precio al cual los productores estarian dispuestos a producir dicha cantidad. Podemos concluir que mientras mayor sea el precio de un bien los productores estarian dispuestos a vender una mayor cantidad. Es decir, se concluye que la función de oferta (inversa) tiene pendiente positiva. La función de oferta (no inversa) también tiene pendiente positiva. Finalmente, debemos destacar que dejar una variable en función de otra cambia ligeramente la inter- pretación que damos a los gráficos pero, dada la función de demanda, se llega al mismo equilibrio con ambas formas tras despejar los precios o las cantidades tanto en la oferta como en la demanda. ⇤ 4. El mercado de los completos en nada afecta al mercado de las hamburguesas. Respuesta. Falso. Ambos bienes, en general, son sustitutos. Cuando el precio de los completos aumenta, la gente tenderá a dejar de consumir completos reemplazándolos por hamburguesas. Los consumidores demandarán más hamburguesas para cada precio dado. Gráficamente 4 Q P (Q) D1 S D2 P1 P2 Q1 Q2 ⇤ 5. Considere los siguientes datos sobre el precio del pan (datos hipotéticos): Precio del kg. (en $) 320 340 360 380 400 420 Oferta (en kg.) 8.000 8.500 9.000 9.500 10.000 10.500 Determine si esto corresponde a una función de oferta mediante los siguientes pasos: a) Determine si la relación entre ambas variables sigue una proporcionalidad directa. b) Obtenga la función que relaciona precio y cantidad y grafique esta función. c) Concluya. Respuesta. Siguiendo los pasos: a) Una forma conveniente es calcular la razón de cambio del aumento de precios y el cambio de cantidades. Es decir, debemos calcular P2 � P1 Q2 �Q1 Si tomamos P2 = 340 y P1 = 320 las cantidades correspondientes son Q2 = 8,500 y Q1 = 8,000, esto nos da una razón 1:25 (simplificando 20:500), es decir por cada una unidad que aumenta el precio aumenta en 25 unidades la cantidad. Luego, para cualquier incremento de precios tras cal- cular la razón de cambio obtenemos la misma constante de proporcionalidad. Concluimos entonces que la relación está dada por una recta y que no hay cambios de pendiente. b) De la parte anterior sabemos que la relación es lineal y debeŕıamos saber que la ecuación de una recta (con Q como variable independiente) es P = mQ+ n También de la parte anterior obtenemos que m = 1/25, entonces nos falta saber el valor de n. Cuando el precio es, por ejemplo, 360 tenemos 360 = 1 25 · 9000 + n ) 360 = 360 + n ) n = 0 Entonces la función es P = 1 25 ·Q y el gráfico corresponde a una recta con pendiente positiva. 5 0 5 10 15 20 25 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Q P (Q ) c) De la parte anterior el valor n nos dice que si el precio es cero los productores ofrecen cero, en esto hay que ser cuidadosos con algunos valores de n que podŕıan generar, por ejemplo, precios negativos para cantidades positivas lo cual carece de sentido lógico y económico. El valor de m nos dice que si aumenta la cantidad entonces el precio aumentará. Ambos hechos nos permiten concluir que esta función refleja el comportamiento de la oferta, entonces es una función de oferta. ⇤ 3. Equilibrio de mercado Problema 1. En la ciudad de Springfield se produce Cerveza Du↵. Los economistas de dicha ciudad que han estimado las funciones de oferta y demanda llegaron al siguiente resultado: Q S = P 2 y QD = 36� P En base a estos datos determine: 1. Grafique la oferta con el precio en función de la cantidad y la cantidad en función del precio. ¿En qué difieren los graficos? 2. Calcule la cantidad de equilibrio y en base a dicha cantidad encuentre el precio de equilibrio. Grafique el equilibrio dejando el precio en función de la cantidad. 3. ¿Qué se entiende por equilibrio? Explique brevemente. Tarea: Considere que en la ciudad hay 15 firmas que producen la Cerveza Du↵. De esas firmas hay 10 que son idénticas y tienen una función de oferta qS1 = P 40 y 5 firmas distintas a las anteriores pero idénticas entre ellas que tienen una función de oferta qS2 = P 20 . La curva de demanda por cervezas es Q D = 36�P . Encuentre la curva de oferta agregada. Además grafique la oferta agregada y la de cada tipo de firmas según precio en función de cantidad y cantidad en función de precio. Soluci ´ on. 1. Graficando con la cantidad como variable dependiente tenemos Q(P ) = P/2 6 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 P Q (P ) Graficando con el precio como variable dependiente tenemos P (Q) = 2Q 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q P( Q ) La interpretación de la pendiente es distinta en los dos gráficos. Es fundamental distinguir que ambos graficos no son lo mismo. El gráfico de cantidad en función del precio asigna a cada precio el número de unidades del bien que los productores deseaŕıan vender a ese precio. Por otra parte, el gráfico de precio en función de la cantidad asigna a cada cantidad el precio mı́nimo al que los productores estaŕıan dispuestos a producir dicha cantidad. 2. Para encontrar el equilibrio aplicamos la condición QS = QD Q S = QD ) 36� P = P 2 ) P = 24 con este precio la cantidad de equilibrio se encuentra reemplazando en la función de oferta o en la función de demanda (es indiferente), por efectos de interpretación nos quedaremos con la oferta Q S = P 2 ) QS = 12 Cuando igualamos cantidades, dejamos todo en función de precios que tras reemplazar en la oferta o en la demanda nos queda la cantidad de equilibrio. Graficamente 7 P Q(P ) D S Q0 P0 Graficando con el precio como variable dependiente 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 Q P( Q ) QS QD 3. La noción de equilibrio en economı́a es muy importante y requiere aclarar bien algunos conceptos. En general, se podria pensar que equilibrio es QS = QD lo cual es un concepto inacabado. El hecho de que las cantidades ofertadas y demandadas se igualen es la consecuencia del equilibrio. Pero, ¿Qué es equilibrio? Aún no lo hemos respondido porque partimos de la consecuencia y no de la causa. La teoŕıa plantea que existe equilibrio competitivo en un mercado (por ejemplo en el mercado del trabajo, del pan, del petróleo, etc.) si existe un precio en ese mercado (es decir por la mercanćıa en cuestión que se transa en dicho mercado) tal que no hay exceso de demanda pero que eventualmente podŕıa haber exceso de oferta. Entonces, dejando de lado el caso en que exista exceso de oferta, en la economı́a (varios mercados que se interrelacionan) decimos que un equilibrio competitivo es una “colección” o mejor dicho un conjunto de precios (uno para cada mercanćıa) tales que la cantidad ofertada de cada bien (por los productores) es igual a la cantidad demandada de cada bien (por los consumidores). El equilibrio competitivo, en un sentido bien preciso, es eficiente. Desarrollo de la tarea: Para las primeras 10 firmas tenemos Q S 1 = 10q s 1 = 10P 40 = P 4 Para las otras 5 firmas tenemos Q S 2 = 5q s 2 = 5P 20 = P 4 La cantidad total que ofertan es Q S = QS1 +Q S 2 = P 4 + P 4 = P 2 8 Graficando con la cantidad como variable dependiente 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 P Q (P ) Q 1 S Q 2 S QS Graficando con el precio como variable dependiente 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q P( Q ) Q 1 S Q 2 S QS ⇤ Problema 2. En el páıs de 31 Minutos las curvas de oferta y demanda por sopaipillas están dadas por P S = 2Q+ 20 y PD = 300� 5Q En base a estos datos calcule el precio de equilibrio y explique su resultado. ¿Qué sucede si P = 120? Soluci ´ on. Lo que puede confundir es que no aparecen las cantidades en función del precio. La condición que debemos aplicar es PS = PD, es decir 2Q+ 20 = 300� 5Q ) Q = 40 y en base a esto podemos reemplazar en la oferta para llegar al precio de equilibrio que es P = 100. Cuando igualamos precios, dejamos todo en función de cantidades que tras reemplazar en la oferta o en la demanda nos queda el precio de equilibrio. Graficamente 9 Q P (Q) D S P0 Q0 Si P = 120 la cantidad demandada es QD = 36 y la cantidad ofertada es QS = 50. Es decir, hay un exceso de oferta (ver el gráfico del comente 2.) ⇤ 10 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Ayudant́ıa 2 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Maŕıa José Pérez, Mauricio Vargas 27 de julio de 2011 1. Preguntas Cortas Nota: En esta sección se escribe una afirmación, la cual es verdadera, falsa o incierta. Para responder un comente se debe dar una postura, indicando claramente, los conceptos económicos que llevan a entenderla como verdadera, falsa o incierta. Todos los comentes, salvo excepciones deben tener apoyo gráfico. 1. Para la Copa América, la Cerveza Cristal aumento su precio considerablemente, sin embargo los con- sumidores demandaron una mayor cantidad de dicho bien. Esto implica que existen dos posibilidades: Los agentes involucrados son irracionales o la ley de demanda no se cumple. Comente. Soluci ´ on. Falso. Cabe recordar el concepto de Ceteris Paribus, es decir efectuar un cambio en una variable independiente dejando todos los demás factores involucrados constantes. Aplicando dicho concepto a la ley de demanda, se debe señalar que esta define una relación inversa entre la cantidad y el precio cuando se consideran todos los demás componentes como fijos. A partir de lo anterior se debe aclarar que son conceptos distintos la de ley de demanda y la función de demanda. La ley de demanda describe un modelo básico donde se relacionan inversamente un precio P i con la cantidad Q i .Gráficamente es un desplazamiento dentro de la curva que relaciona ambas variables, es decir , si se elige una cantidad se toma un nivel de precio y si se elige un nivel de precio se elige automáticamente una cantidad demandada. Por otro lado la función de demanda es una expresión matemática que relaciona la cantidad de un bien o servicio con todas las variables de la que ella depende. Gráficamente podŕıamos observarlo como un desplazamiento de la curva de demanda, producida por un cambio en un factor distinto del precio, como por ejemplo los gustos. Q x = f(P x , P z , I, g) En este ejemplo de función de demanda, el bien depende del precio del producto, del precio de otros bienes, del ingreso disponible y de los gustos. En conclusión el comente es falso ya que los gustos de las personas durante la Copa América en relación a la cerveza cambia, estando dispuestos a demandar una mayor cantidad a mayor precio. En caso que efectivamente se cumpliera que los precios aumentan y la cantidad demandada aumenta dado todo lo demás constante, estaŕıamos en presencia de un bien Gi↵en o inferior, donde existe una relación positiva entre precio y cantidad demandada. 1 P PD PE Q1 Q2 Q D 1 D 2 En la imagen podemos ver dos curvas de demanda. Se puede apreciar que en la curva D 1 , la cantidad Q 1 se transa al nivel de precio PD, en cambio para Q 2 se transa al precio PE Esto es conocido como movimiento dentro la curva de demanda. Ahora, saltando a la curva D 2 es posible observar que la cantidad Q 2 se transa a un precio mayor que en la curva D 1 y que para el precio PD se puede demandar una mayor cantidad. Esto es conocido como desplazamiento de la curva de demanda. ⇤ 2. Cuando los agentes de una economı́a se enfrentan a diversas decisiones, evalúan cuál de estas se ajustan mejor a sus objetivos. Por lo tanto el criterio lógico seŕıa que los agentes tomaran sus decisiones en base a lo que están obteniendo. Comente. Soluci ´ on. Falso. En economı́a los agentes son racionales y por lo tanto no sólo consideran lo que obtienen al tomar una decisión, sino que también toman en cuenta a lo que están renunciando. Este concepto es conocido como Costo de Oportunidad o Costo alternativo. El Costo de Oportunidad de una decisión económica que tiene varias alternativas, es el valor de la mejor opción no realizada. Es decir que hace referencia a lo que una persona deja de ganar o de disfrutar, cuando elije una alternativa entre varias disponibles. ⇤ 3. Un impuesto porcentual aplicado a la oferta o demanda de un bien produce un alza en la misma magnitud porcentual en el precio. Esto implica que pendiente y elasticidad son conceptos equivalentes. Comente. Soluci ´ on. Falso. Existen sólo dos casos donde se cumple que la magnitud porcentual de un impuesto y precio son iguales. Estos casos son el de demanda completamente inelástica y oferta completamente elástica. Para todos los demás casos dependerá de la elasticidad precio de las curvas de oferta y demanda. Por otro lado, pendiente y elasticidad son conceptos distintos ya que la primera mide el grado de inclinación o sustitución entre dos variables, mientras que la segunda mide la sensibilidad porcentual de una variable respecto al cambio en otra. Es decir ambos conceptos tienen relación pero no son equivalentes, observando la ecuación de elasticidad precio tenemos que : ⇠ x = Q x P x · �Px �Q x Donde el primer factor del producto representa el inverso de la pendiente y el segundo es la relación de las variables precio y cantidad en un determinado punto. 2 P Q D S P Q0 Q D S En el gráfico de la izquierda se aprecia una demanda completamente inelástica y en la derecha una oferta completamente elástica. Los rectángulos punteados representan el monto del impuesto ⇤ 4. La aplicación de un impuesto a los productores de un bien nocivo para la salud beneficia a los consu- midores. Comente. Soluci ´ on. Incierto. El concepto central a destacar en este comente es la elasticidad precio. Siempre que se aplique un impuesto a un mercado, se debe cuantificar el impacto del cambio de una variable sobre otra. Este análisis permite concluir si un cambio en el precio de un bien afecta más a los consumidores o a los productores, ya que si bien el impuesto es colocado en la oferta, los oferentes van a introducir dicha alza al mercado afectando también a los demandantes. Recordar que la fórmula de la elasticidad precio tanto para la demanda como para la oferta es: ⇠ (d,s) = Variación porcentual de la cantidad demandada u ofertada Variación porcentual en el precio = P Q (d,s) · �Q (d,s) �P Diremos que cuando la elasticidad tiende a infinito es elástica y cuando tiende a 0 es inelástica. Cuando la demanda es completamente inelástica y se le pone un impuesto a cualquiera de las dos curvas el consumidor termina pagando el impuesto. Si la oferta fuera completamente inelástica y se pone un impuesto a cualquiera de las dos curvas el productor paga el impuesto. Lo relevante es saber en qué proporción afectará a unos y a otros, esto se puede inferir de las curvas de oferta y demanda ya que la más inelástica nos dirá quien tiene que pagar más. Observemos que pasaŕıa con una demanda más y menos elástica que la oferta dado el impuesto señalado en el comente. P Q S2 D Q1 Q2 S1 PC PP PR Figura 1: Demanda más elástica 3 En este caso los productores absorben la mayor parte del impuesto ya que la oferta es más inelástica que la demanda. P Q S2 D Q1Q2 S1 PC PP PR Figura 2: Demanda más inelástica En este caso los consumidores absorben la mayor parte del impuesto ya que la demanda es más inelástica que la oferta. ⇤ 5. En un mercado donde la demanda es completamente inelástica y la cantidad es muy cercana a cero, se enfrenta una oferta que intersecta el eje de las abscisas en el mismo punto de donde nace dicha demanda. Claramente el equilibrio de mercado mostrará una situación de bienestar en la economı́a. Comente. Respuesta. Falso. Cabe señalar que dicho equilibrio no es lo suficientemente estable para mantenerse en el tiempo ya que ningún oferente estará dispuesto a entregar un producto a precio cero. Por otro lado la demanda es inelástica y cercana a cero, esto implica que se tiene un bien que es necesario pero poco demandado.Es lógico que los oferentes suban el precio del bien para aumentar su excedente ya que la cantidad transada se mantendrá inmutable. Por otro lado el productor debe analizar cuál es su costo de oportunidad de estar participando de este mercado. P Q D S En el gráfico podemos apreciar una demanda completamente inelástica y una oferta que intercepta el eje de las abscisas en el punto de origen de la curva de demanda. Claramente se aprecia un equilibrio de baja estabilidad ya que el precio de equilibrio es cero y la cantidad transada es positiva. Cabe señalar que para cualquier otro punto de dicha oferta no existirán equilibrios posibles. ⇤ 6. Establecer un precio máximo permite ejecutar póliticas de equidad ya que esta medida disminuye los precios relativos al bien. Comente. 4 Respuesta. Falso. Primero se debe considerar si dicho precio máximo esta sobre o bajo el precio de equilibrio. En caso que esté por encima, el mercado no se verá alterado por dicha medida. Cuando el precio máximo está por debajo del precio de equilibrio se produce el efecto de escasez, es decir la cantidad ofrecida en el mercadoes menor que la cantidad demandada produciéndose un exceso de demanda. Es por esto que en este escenario menos personas podrán adquirir el bien que en la situación inicial produciéndose un menor acceso al bien. En conclusión esta medida produce que se deje de transar unidades que antes eran ofrecidas a mayor precio. P Q D S Pm Qs Qd Escasez En la figura podemos observar un precio máximo por debajo del equilibrio inicial de mercado donde se produce una divergencia entre cantidad demandada y ofrecida produciéndose escasez. ⇤ 2. Oferta y Demanda Problema 1. Considere el mercado de lápices Bic descritos por las siguientes funciones: Oferta: Q = 700 Demanda: Q = 1000� P 1. Encuentre las cantidades y precios de equilibrio. 2. Encuentre el excedente del consumidor y el productor. Soluci ´ on. Para determinar el equilibrio, las cantidades ofrecidas y demandadas deben ser iguales: 700 = 1000� P P = 1000� 700 P ⇤ = 300 Reemplazamos este precio en la oferta o la demanda para encontrar la cantidad de equilibrio Q = 1000� 300 Q⇤ = 700 5 P Q D S 300 700 1000 EC 1000 EP En la figura se aprecia una oferta completamente inelástica, donde la cantidad transada será constante e igual a 700 y el precio de equilibrio será 300. Excedentes: EC = 1 2 · (1000� 300) · 700 = 245,000 EP = 7000 · 300 = 210,000 Cabe destacar que al ser la oferta completamente inelástica, los oferentes están dispuestos a producir dicha cantidad incluso a precios menores que la de equilibrio ya que para cualquier precio, el productor estará dis- puesto a ofrecer 700 unidades , esto impacta positivamente sobre su excedente. ⇤ Problema 2. Siguiendo el problema anterior. Al aproximarse el comienzo de clases la demanda por lápices aumenta fuertemente, por lo que la demanda se desplaza, y la oferta también se ve afectada quedando ambas descritas por las ecuaciones: Demanda 2: Q = 2000� P Oferta 2: Q = 4P � 500 1. Encuentre el nuevo precio y cantidad de equilibrio. 2. Ante el aumento de los precios el gobierno decide poner manos a la obra para detener este abuso, por lo que decide fijar un precio máximo igual al encontrado previa la expansión de la demanda. Grafique y encuentre el precio final, la cantidad demandada y el exceso de demanda. 3. Encuentre y grafique la pérdida de eficiencia producto de esta medida. 4. Viendo los resultados, el gobierno intenta arreglar la situación, por lo que en vez del precio máximo, decide entregar un subsidio a las familias igual a $100 por lápiz. Encuentre el nuevo equilibrio y muestre gráficamente la pérdida de eficiencia. Soluci ´ on. Nuevamente: 4P � 500 = 2000� P 5P = 2500 P ⇤ = 500 Reemplazamos este precio en la oferta o la demanda para encontrar la cantidad de equilibrio Q = 4P ⇤ � 500 = 4?500� 500 = 1500 Q⇤ = 1500 El precio máximo será de 300 (el obtenido en la parte (a)) 6 La cantidad demandada a precio 300 seŕıa: Qd = 2000� P máx = 2000� 300 = 1700 Pero a P = 300 no se ofrecen 1700, sino que se ofrecen: Qs = 4P máx � 500 = 4 · 300� 500 = 700 El exceso de demanda es entonces: Exceso de demanda = Qd �Qs = 1700� 700 = 1000 El precio final en el mercado negro será aquel que estén dispuestos a pagar para las 700 unidades producidas: 700 = 2000� P final P final = 1300 P Q D S 300 700 1300 1700 La pérdida de eficiencia esta dada por: PNBS = 1 2 · (1500� 700) · (1300� 300) = 1 2 · 800 · 1000 = 400,000 El subsidio del gobierno es equivalente a una reducción en los precios de $100, por lo que la demanda se expande. Primero despejamos los precios en la demanda Q = 2000� P P = 2000�Q Aplicamos el subsidio obtenemos la nueva demanda: P = 2100�Q Equilibrio: P = 2100� 4P + 500 5P = 2600 P ⇤ = 520 Q⇤ = 4P ⇤ � 500 = 4?520� 520 = 1580 7 P Q D1 S 500 1500 D2 1580 520 ⇤ Problema 3. En una investigación se descubre que la producción de lápices es lo que estaba matando a los cisnes de Valdivia, por lo que se decide reducir la producción de lápices. Se elimina el subsidio y se reemplaza por un impuesto. Para esto, se determinó que la cantidad máxima de lápices que se pueden producir sin matar ningún cisne es de 400 lápices. Determine el impuesto a fijar a la oferta para alcanzar dicha cantidad. Soluci ´ on. Ahora el impuesto afecta por el lado de la oferta, por lo que nuevamente despejamos el precio (ya que el impuesto afecta el precio): Q = 4P � 500 P = Q 4 + 125 Considerando el impuesto: P = Q 4 + 125 + t Encontramos el equilibrio: Q = 2000� P Q = 2000� Q 4 � 125� t Se nos dice que la cantidad óptima es Q = 400, por lo que reemplazamos: 400 = 1875� 1 4 · 400� t 400 = 1875� 100� t 400 = 1775� t 1375 = t ⇤ 8 Departamento de Economı́a Universidad de Chile ECO150 Introducción a la Microeconomı́a Profesores: Christian Belmar, Felipe Varela, José Yáñez. Javier Turen, Carlos Cáceres y José Contreras Ayudantes: Edgardo Cerda, Constanza Acuña, José Belmar, Maŕıa Pérez, Iraćı Hassler, Nicolas Bohme, Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Mart́ın Harding, Matias Caamaño, Maximiliano Acevedo, Alejandra Jauregui, Mauricio Vargas, Bernardita Saona, Heinz Doebbel y Manuel Ugalde . Primavera 2011 Ayudant́ıa 3 Comentes a. Mauricio y Adolfo (fervientes admiradores de la cerveza Du↵) se juntan en un pub a consumir esta no- ble bebida, sin embargo, una vez que ven la carta de precios deciden pedir leche tibia semi-descremada. Esto claramente es un acto irracional. Comente. Respuesta Falso. Recordemos que la condición de elección del consumidores se dá cuando: UMg x UMg y = P x P y Por lo tanto, puede ocurrir que la utilidad que reportaba la cerveza por peso gastado hacia que ambos personajes fueran fervientes admiradores, sin embargo, ante un alza en el precio de la cerveza, la cerveza dejó de reportar tal nivel de utilidad por peso gastado, lo que da lugar a consumir otros bienes con mejor relación, en este caso, la leche tibia semi-descremada. b. En base al comente anterior, explique el efecto sustitición y el efecto ingreso. Respuesta El efecto sustitución es aquel que nos habla de como camb́ıa la relación de precios entre los bienes que estamos analizando. Para esto recordar que la relación de precios se determina a través de preguntarnos cuantas cervezas puedo comprar con una leche semi-descremada o viceversa, dependiendo del bien que queramos analizar. En este caso, la cerveza es relativamente más cara frente a la leche semi-descremada (podemos comprar menos cervezas con una leche semi-descremada). Es por esto, que el efecto sustitición nos dirá que consumamos menos cerveza y mas leche semi-descremada. Por su parte, el efecto ingreso es aquel que nos habla de como camb́ıa el set de posibilidades de consumo (o el área bajo la recta presupuestaria). En este caso, ante un aumento del precio de la cerveza, vemos que nuestro set de posibilidades de consumo se reduce, lo cual nos dice que en términos reales podemos comprar menos bienes que antes. En este caso, suponiendo preferencias convexas, podemos ver que el efecto ingreso nos dice que consumamos menos de ambos bienes. 1 Departamento de Economı́a Universidad de Chile c. Calcular los efectos sustitución e ingreso por los métodos de Hicks o Slutsky es el mismo proceso, dado que cuando hacemos el ejercicio llegamos a los mismos resultados. Comente. Respuesta Falso. Mientras Hicks nos dice que llevemos la restricción presupuestaria a la misma utilidad, Slutsky nos dice que la llevemos a la canasta inicial. Esto, hace que Slutsky le dé un pequeño ingreso al agente, de forma que este queda en una mayor utilidad. Recordando: Hicks Para mantener el ingreso ral constante debemos dar o quitar ingreso de modo que a la nueva relación de precios, el consumidor pueda alcazar el nivel de utilidad inicial, es decir, esté indiferente frente a la canasta inicial. De esta forma, la distancia entre la canasta inicial y la nueva nueva canasta indiferente, será el efecto sustitución, y la distancia entre la nueva canasta indiferente y la canasta final será el efecto ingreso. y x E 0 E f E h ES EI I p 1 x I p 2 x I p y u 1 u 2 Slutsky Para mantener el ingreso real constante debemos dar o quitar ingreso, de modo que a la nueva relación de precios, el consumidor pueda alcanzar la canasta inicial. Pero esto generará que la ahora podrá acceder una nueva canasta de mayor utilidad que la canasta inicial. De esta forma, la distancia entre la canasta inicial y la nueva canasta será el efecto sustitución, y la distancia entre la nueva canasta u la canasta final será el efecto ingreso. 2 Departamento de Economı́a Universidad de Chile y x E f E s ES EI I p 1 x I p 2 x I p y u 1 u 2 E 0 d. El destacado aprendiz de economista y maestro parrillero RG señala: “El efecto sustitución muestra cómo cambia la cantidad demandada de un bien ante un cambio en el precio. Sin embargo, debemos considerar que este efecto tiene el mismo signo en todos los casos y tiene sentido cuando dicho cambio deja a los individuos indiferentes entre la situación actual de consumo y la situación de consumo antes del cambio en precios” Respuesta Verdadero. El efecto sustitución corresponde al cambio en la cantidad demandada que se produce debido a cambios en el precio. Hipotéticamente se disminuye el ingreso lo suficiente para que los individuos se mantengan en el mismo nivel de utilidad (misma curva de indiferencia). Esto genera un efecto que siempre es negativo, cuando el precio relativo de un bien cae, su consumo aumenta. e. AJ y MJ son dos hermosas alumnas de FEN las cuales ante una duda de algunos alumnos han señalado: “El efecto ingreso y el efecto sustitución no siempre se refuerzan, hay que distinguir el tipo de bien del cual estamos hablando” Respuesta Verdadero. En el caso de los bienes normales es verdadero. Sin embargo, en el caso de los bienes inferiores se contraponen y de esto el caso particular es el bien Gi↵en. Este último se caracteriza porque el efecto ingreso es tan negativo que supera la influencia del efecto sustitución y origina una demanda con pendiente positiva (es un caso teórico). Matemático a. Suponga un agente representativo que tiene la siguiente función de utilidad: U(x, y) = x↵y� Además, usted sabe que el agente cuenta con un ingreso igual a I 0 . Con esta información responda lo siguiente: b. Plantee formalmente el problema de elección del consumidor. 3 Departamento de Economı́a Universidad de Chile Respuesta Como ya sabemos el óptimo de la elección del consumidor se encuentra cuando la tasa marginal de sustitución del consumo (la pendiente de la curva de indiferencia) es igual a la tasa marginal de intercambio de mercado (la pendiente de la restricción presupuestaria), es decir: TMgSC x,y = TMgIM x,y UMg x UMg y = P x P y Donde si desarrollamos encontramos que: dU(x, y) dx = ↵x↵�1y� dU(x, y) dy = �x↵y1�� UMg x UMg y = ↵y �x Por lo tanto, la elección del consumidor está dada por: ↵y �x = P x P y c. Encuentre las Demandas Marshallianas del bien x y del bien y Respuesta Para encontrar las demandas marshalianas debemos despejar un bien de la condición de óptimo y reemplazarlo en la restricción presupuestaria. Luego solo basta despejar el bien que nos queda y encontramos la demanda marshalliana. Entonces si despejamos y de la condición de óptimo obtenemos: y = �xP x ↵P y Luego reemplazamos esto en la restricción presupuestaria y despejamos x, obteniendo: I = P x x+ P y y I = P x x+ P y �xP x ↵P y I = P x x+ �xP x ↵ ↵I = ↵P x x+ �xP x ↵I = P x x(↵+ �) x ⇤ = ↵I P x (↵+ �) De forma análoga, obtenemos la demanda marshalliana de y: y ⇤ = �I P y (↵+ �) 4 Departamento de Economı́a Universidad de Chile d. Si ↵ = � = 0, 5, I 0 = 1000, P x = 50 y P y = 100 encuentre las cantidades demandadas de x e y, y compruebe que cumplen la restricción presupuestaria: Respuesta Si reemplazamos los valores vemos que: x ⇤ = ↵I P y (1 + �) = 0, 5 · 1000 50 = 10 y ⇤ = �I P y (1 + ↵) = 0, 5 · 1000 100 = 5 Tenemos el siguiente gráfico y x ES EI 1 x 10 5 ES EI e. ¿Qué pasa si repentinamente el precio del bien x se dispara a P x = 500? Encuentre los nuevos óptimos y muestre gráficamente el efecto ingreso y el efecto sustitución: Respuesta Para esto volvemos a reemplazar y obtenemos: x ⇤ = ↵I P y (1 + �) = 0, 5 · 1000 500 = 1 y ⇤ = �I P y (1 + ↵) = 0, 5 · 1000 100 = 5 f. ¿Que pasa si el precio de x ahora se estabiliza en P x = 100?. Explique intuitivamente el resultado y además muestre gráficamente el efecto ingreso y el efecto sustitución. Respuesta Para esto volvemos a reemplazar y obtenemos: x ⇤ = ↵I P y (1 + �) = 0, 5 · 1000 100 = 5 y ⇤ = �I P y (1 + ↵) = 0, 5 · 1000 100 = 5 5 Departamento de Economı́a Universidad de Chile Es decir, el individuo consumirá la misma cantidad de ambos bienes dado que tiene la misma valoración por ambos y además estos cuestan lo mismo. Tenemos el siguiente gráfico y x ES EI 1 x 10 5 ES EI 6 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 4 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 21 de septiembre de 2011 1. Comentes 1. Cuando existe una restricción presupuestaria estamos en una situación subóptima pues el punto en que la TMS iguala a la relación de precios el consumidor no puede elegir la mejor combinación de bienes. Respuesta Falso. De no haber restricción de presupuesto, el consumidor podŕıa acceder a cualquier canasta y escoger la mejor opción. Al haber una restricción de presupuesto el consumidor escoge la mejor canasta factible, es decir, escoge la mejor canasta dentro de las posibilidades lo cual por definición corresponde a una canasta óptima. En términos generales, si las derivadas parciales de una función U(x1, x2) cualquiera existen, entonces su diferencial esta dado por dU = @U @x1 dx1 + @U @x2 dx2 si nos mantenemos en la misma curva de indiferencia (combinación de valores que generan el mismo nivel de utilidad) se tendra que dU = 0 entonces 0 = @U @x1 dx1 + @U @x2 dx2 (*) La restricción de consumo dependerá del nivel de ingreso. Cuando se gasta todo el ingreso en consumir x1 y x2, a precios estrictamente positivos y sin posibilidades de contraer deudas, se tendrá que I = p1x1 + p2x2. Si graficamos todas las combinaciones que se pueden adquirir gastando todo el ingreso se obtiene una recta y si nos mantenemos en dicha recta cambian las combinaciones de x1 y x2 pero no el valor de I, entonces dI = 0 = p1dx1 + p2dx2 (**) Asumiendo que dx1 6= 0 de la ecuacion (**) tenemos dx2 dx1 = �p1 p2 Reordenando (*) para el caso de una solución interior se tiene Umg(x2) Umg(x1) = �dx1 dx2 Si combinamos estos dos resultados llegamos a Umg(x2) Umg(x1) = p2 p1 , Umg(x2) p2 = Umg(x1) p1 esto corresponde a la condición de optimalidad para una solución interior, en palabras corresponde a: “La utilidad marginal del último peso gastado en el bien uno, en el óptimo, es igual a la utilidad marginal del último peso gastado en el bien dos”. 1 2. Siempre que existan dos bienes que nos otorguen igual utilidad marginal, estaremos indiferentes entre consumir cualquiera de ellos. Respuesta Falso. A partir del comente anterior se concluye que el consumidor elegirá aquel bien que entregue mayor utilidad por peso gastado. El óptimo se dará cuando las pendientes de ambas curvas (indiferencia y presu- puestaria) se igualen, este es el punto de equilibrio, aquel que soluciona el problema de maximización del consumidor. Ambos bienes podŕıan tener la misma utilidad marginal pero sus precios podŕıan ser distintos. 3. Si la función de utilidad es una Cobb-Douglas cuyas curvas de indiferencia son convexas, entonces podemos verificar la convexidad de las curvas de indiferencia mediante el criterio de la segunda derivada. Respuesta Verdadero. Una Cobb-Douglas para dos bienes es una función de la forma f(x1, x2) = x ↵ 1 x � 2 , ↵, � > 0 la forma algebraica de las curvas de indiferencia corresponde a x2(x1) = ✓ c x ↵ 1 ◆1/� Un criterio útil para determinar si las curvas de indiferencia son convexas es mediante la primera y la segunda derivada. Si la curva de indiferencia es dos veces derivable, podemos tomar su segunda derivada y verificar que es mayor o igual a cero, de lo contrario la curva de indiferencia no será convexa. Entonces, @x2 @x1 = �↵ · (c · x �↵ ) 1/� �x < 0 @ 2 x2 @x 2 1 = ⇣ ↵ 2 � 2 + ↵ � ⌘ · (c · x�↵)1/� x 2 1 > 0 del signo de la segunda derivada se concluye que las curvas de indiferencia son convexas. Para fijar ideas, tomemos el caso de una Cobb-Douglas con parámetros ↵ = � = 1 y grafiquemos la función y las curvas de nivel Figura 1: f(x1, x2) = x1x2 se observa que la función describe curvas suaves y esto en nada contradice que se pueda utilizar el criterio de la segunda derivada. 4. La función de utilidad Leontief (o de proporciones fijas) no tiene utilidad marginal. 2 Respuesta Falso. La función Leontief corresponde a lo siguiente U(x1, x2) = mı́n{x1, x2} = 8 >< >: x1 si x1 < x2 x1 = x2 si x1 = x2 x2 si x1 > x2 Su gráfico corresponde a lo siguiente x y pendiente �y > ↵x �y < ↵x ↵/� Esta función no es diferenciable en todas partes y sus derivadas parciales no son continuas. Veamos las derivadas parciales: @ @x1 U(x1, x2) = ( 1 si x1  x2 0 si x1 > x2 @ @x2 U(x1, x2) = ( 1 si x2  x1 0 si x2 > x1 Entonces se concluye que la utilidad marginal en un caso es cero (cuando aumenta el consumo de un bien que de antemano se consume en cantidades mayores que la del otro bien). En el otro caso la utilidad marginal es igual a uno. Cuando tenga sentido, cuando cambia la cantidad consumida de un bien, digamos del bien x1, la utilidad no necesariamente aumenta (cuando este cambio no alcanza para aumentar el nivel de utilidad), y en tal caso Umg(x1) = @ @x1 U(x1, x2) = 0 Para el caso del bien x2 es análogo. En general, por este hecho la TMSx2,x1 es infinita (luego no está bien definida para cualquier valor de (x1, x2)). 5. Para resolver el problema del consumidor basta con igualar la TMS x2,x1 con la relación de precios p x2/px1 . Respuesta Falso. Una condición necesaria es TMS x2,x1 = p x2 p x1 sin embargo, las condiciones necesarias no son suficientes. Una condición suficiente es que las curvas de indiferencia sean estrictamente convexas. Un contraejemplo es la función de utilidad lineal. En el óptimo no se tiene la tangencia entre la tasa marginal de sustitución y la tasa marginal d intercambio de mercado. Para fijar ideas digamos que la restricción 3 presupuestaria es g(x1, x2) = x1 + x2 = 14 mientras que la función objetivo es f(x1, x2) = x1 + 2x2. Cambiando ligeramente la situación del caso anterior, supongamos que ahora f(x1, x2) = 2x1 + x2. Se obtienen los siguientes gráficos respectivamente: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Del gráfico del lado izquierdo se concluye que la solución óptima se logra con (x1, x2) = (0, 14) que genera un valor de la función objetivo igual a f(x1, x2) = 28 mientras que (x1, x2) = (14, 0) también es factible pero genera un valor de la función objetivo igual a f(x1, x2) = 14. Las soluciones interiores, por ejemplo (x1, x2) = (8, 6) generan un valor de la función objetivo menor a f(x1, x2) = 28 dada la restricción (no son óptimas). Del gráfico del lado derecho se concluye que la solución óptima se logra con (x1, x2) = (14, 0) que genera un valor de la función objetivo igual a f(x1, x2) = 28 mientras que (x1, x2) = (0, 14) también es factible pero genera un valor de la función objetivo igual a f(x1, x2) = 14. Las soluciones interiores nuevamente no son óptimas. Una situación distinta en que no hay solución única es cuando la función objetivo y la restricción son iguales, con lo cual cualquier solución interior es óptima y genera el mismo valor en la función objetivo que en los dos casos anteriores. Finalmente, es importante mencionar que en el caso de que se tengan dos males (en el sentido económico), la curva de indiferencia asociada a estos es cóncava y toca las esquinas del gráfico. Para este caso, igualar la TMS a la relación de precios nos lleva a una combinación de bienes que es la peor de entre todas las posibilidades (analice esto último). 2. Matemático: Andrea, Hicks y Slutsky Andrea Palominovich IV, más conocida como Andrea la Cruel, tiene una función de utilidad por el consumo de Cerveza Du↵ (x1) y Buzz Cola (x2) definida por U(x1, x2) = x1x2 Inicialmente Andrea tiene 2 unidades del bien x1 y 8 unidades del bien x2 mientras que px1 = 2 y px2 = 1. Luego, debido a un cambio en la demanda producto de las fondas, el precio del bien x1 baja a px1 = 1. En base a esto encuentre lo siguiente: 4 1. Demandas marshallianas. Respuesta La condición de óptimo está dada por la igualación de la TMS a la relación de precios. TMS x2,x1 = p x2 p x1 Umg(x2) Umg(x1) = p x2 p x1 x1 x2 = p x2 p x1 ) x1(x2) = p x2 p x1 x2 , x2(x1) = p x1 p x2 x1 La restricción presupuestaria está dada por I = p x1x1 + px2x2 y podemos reemplazar una variable a la vez para obtener la demanda marshalliana 1) I = p x1x1 + px2x2 = px1x1 + px2 · p x1 p x2 x1 = 2px1x1 ) xM1 (px1 , I) = I 2p x1 2) I = p x1x1 + px2x2 = px1 · p x2 p x1 x2 + px2x2 = 2px2x2 ) xM2 (px2 , I) = I 2p x2 2. Canasta óptima a precios iniciales y luego a precios finales. Respuesta A precios iniciales, dada la dotación de recursos, tenemos que el ingreso corresponde a I1 = px1x1 + px2x2 = 2 · 2 + 1 · 8 = 12 Luego reemplazamos los precios y el ingreso en las demandas marshallianas x i 1(px1 , I) = I 2p x1 = 12 4 = 3 , x i 2(px2 , I) = I 2p x2 = 12 2 = 6 A precios finales, dada la dotación de recursos, tenemos que el ingreso corresponde a I2 = px1x1 + px2x2 = 1 · 2 + 1 · 8 = 10 Luego reemplazamos los precios y el ingreso en las demandas marshallianas x f 1 (px1 , I) = I 2p x1 = 10 2 = 5 , x f 2 (px2 , I) = I 2p x2 = 10 2 = 5 3. Calcule la utilidad que se obtiene a precios iniciales y a precios finales. ¿Cuál situación es preferible? Respuesta La canasta inicial es (3, 6) y la utilidad correspondiente es U(x i 1, x i 2) = 18. La canasta final es (5, 5) y la utilidad correspondiente es U(x f 1 , x f 2 ) = 25. Luego, seria preferible la situación final porque la variación de utilidad es positiva (�U = U f + U i = 7). 5 4. Grafique ambas restricciones presupuestarias y las curvas de indiferencia que pasan por los óptimos finales e iniciales. 0 1 2 3 4 5 6 8.5 9 10 12 0 2 4 6 8 8.5 9 10 12 [3,6] [5,5] [2,8] 5. Efectos sustitución y efecto ingreso, debido al cambio en precios, utilizando el método de Slutsky. Respuesta Debemos tener presente que ambos efectos se aplican al bien x y no al bien y ya que el precio de este último no cambia. La restricción presupuestaria inicial es RP i : 2x1 + x2 = 12 mientras que la restricción final es RPf : x1 + x2 = 10. Con la restricción inicial se pueden consumir las canastas (6, 0), (0, 12) y (3, 6) que es la canasta óptima a precios iniciales. Con la restricción final se pueden consumir las canastas (10, 0), (0, 10) y (5, 5) que es la canasta óptima a precios finales. Luego, tenemos que la restricción presupuestaria inicial pasa por el punto (3, 6) y se intersecta con la restricción inicial en el punto (2, 8), para obtener esto último debemos igualar ambas restricciones: x1 + x2 � 10 = 0 y 2x1 + x2 � 12 = 0 podemos restar ambas ecuaciones para eliminar x2, entonces (x1 + x2 � 10)� (2x1 + x2 � 12) = 0 ) (x1 � 2x1) + (x2 � x2) + (�10 + 12) = 0 ) � x1 + 2 = 0 ) x1 = 2 reemplazamos en cualquiera de las dos restricciones para obtener x2, si reemplazamos en la restricción final se tiene x1 + x2 � 10 = 0 ) 2 + x2 � 10 = 0 ) x2 � 8 = 0 ) x2 = 8 Nos falta encontrar una curva de indiferencia tangente a una recta paralela a la recta que pasa por el punto (5, 5). Luego, debe existir una recta que pasa por el punto (3, 6) y tiene la misma pendiente que la restricción 6 presupuestaria final. Es decir, debe existir una recta de la forma x1 + x2 = c. Para obtener el valor de c reemplazamos directamente x1 + x2 � c = 0 ) 3 + 6� c = 0 ) 9� c = 0 ) c = 9 Ahora podemos aplicar directamente la condición de óptimo TMS x2,x1 = p x2 p x1 Umg(x2) Umg(x1) = p x2 p x1 x y = p x2 p x1 x y = 1 Dado que la recta que buscábamos es x1 + x2 = 9 tenemos que 2x1 = 2x2 = 9 por condición de óptimo. En consecuencia la curva de indiferencia es tangente a la recta encontrada en el punto (4, 5; 4, 5). Finalmente, el efecto total corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (3, 6) y (5, 5) por lo que su valor corresponde a |ET | = 2. Este se separa en: Efecto sustitución: Corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (3, 6) y (4, 5; 4, 5) por lo que su valor corresponde a |ES| = 1, 5. Efecto ingreso: Corresponde a la diferencia en el eje x entre el punto (4, 5; 4, 5) y (5, 5) por lo que su valor corresponde a |EI| = 0, 5. El gráfico nos queda de la siguiente forma: 0 1 2 3 4 5 6 8.5 9 10 12 0 2 4 6 8 8.5 9 10 12 [2,8] [3,6] [5,5] [4.5,4.5] 7 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 5 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 27 de septiembre de 2011 1. Maximización de Utilidad Suponga que un individuo posee un ingreso de I y que en el mercado que se encuentra existen dos bienes x e y, cuyos precios son P x y P y respectivamente. Se le pide: 1. Encuentre la decisión de consumo óptima (las demandas marshallianas) del consumidor si el individuo tiene una función de utilidad Cobb-Douglas de la forma: u(x, y) = x ↵ y � Respuesta Para maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condición de óptimo del consumir, es decir: TMgSC x,y = TMgIM x,y UMg x UMg y = P x P y ↵x ↵�1 y � �x ↵ y ��1 = P x P y ↵y �x = P x P y De lo que se concluye que la proporción óptima 1 está dado por: y ⇤ = �P x · x ↵P y Si reemplazamos esta proporcición en la restricción presupuestaria obtenemos: I = xP x + yP y I = xP x +  �P x · x ↵P y � P y Donde si despejamos x obtenemos el consumo óptimo de este bien: x ⇤ = ↵I (↵+ �)P x Por simetŕıa podemos determinar que: y ⇤ = �I (↵+ �)P y Notar que las demandas dependen de la importancia relativa de los bienes, mostrando una cierta dependencia del consumo de ambos. 1 Notar que los consumidores eligen proporciones de consumo y no valores absolutos. Por ejemplo: Quiero consumir el doble de morochas que de ramitas 1 2. Encuentre la decisión de consumo óptima del consumidor si el individuo tiene una función de utilidad de Sustitutos Perfectos de la forma: u(x, y) = ↵x+ �y Respuesta Para esta función debemos analizar dos casos: Si la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la restricción presupuestaria. TMgSC x,y > TMgIM x,y Si la pendiente de la curva de indiferencia es menor que la restricción presupuestaria. TMgSC x,y < TMgIM x,y Si se cumple el primer caso (TMgSC x,y > TMgIM x,y ) entonces consumiremos sólo x, entonces reempla- zamos en la restricción presupuestaria la condición de y = 0, obteniendo: x ⇤ = I P x y ⇤ = 0 Si se cumple el caso contrario (TMgSC x,y > TMgIM x,y ) entonces sólo consumiremos y, entonces reem- pazamos en la restricción presupuestaria la condición de x = 0, obteniendo: x ⇤ = 0 y ⇤ = I P y Notar que en ambos casos las demandas de los bienes solo dependen de sus precios, dando la representación matemática a la perfecta sustitución 3. Encuentre la decisión de consumo óptima del consumidor si el individuo tiene una función de utilidad Leontief de la forma: u(x, y) = mı́n[↵x;�y] Respuesta En este caso, sabemos que el óptimo estará dado por la proporcición ↵x = �y, por lo tanto, lo único que tenemos que hacer es reemplazar esto en la restricción presupuestaria. Entonces: I = xP x + yP y I = xP x + ↵x � P y I = x  P x + ↵P y � � I = x  �P x + ↵P y � � x ⇤ = �I �P x + ↵P y Por simetŕıa obtenemos: y ⇤ = ↵I �P x + ↵P y 2 4. Encuentre la decisión de consumo óptima del consumidor si el individuo tiene una función de utilidad de la forma: u(x, y) = ↵ ln(x) + � ln(y) Respuesta Para maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condición de óptimo del consumir, es decir: TMgSC x,y = TMgIM x,y UMg x UMg y = P x P y ↵y �x = P x P y De donde se desprende que las demandas marshallianas son las mismas que bajo la función Cobb-Douglas. Esto se debe a que la función presentada arriba es una transformación monotónica creciente de la utilidad (se obtiene aplicando logartimo natural). 2. Demandas, efecto sustitución e ingreso y elasticidades Las preferencias del ı́dolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque por Cerveza Du↵ (x) y Apuestas de Caballos (y) son representables mediante la siguiente función de utilidad U(x, y) = xy + x Indicaci ´ on. Asuma que siempre se cumple que I > p y . 1. Encuentre la utilidad marginal de cada bien y exprese la demanda del bien y en función de del bien x y los precios de ambos bienes. Respuesta Las utilidades marginales corresponden a: Umg(x) = @ @x U(x, y) = y + 1 Umg(y) = @ @y U(x, y) = x Luego, debemos encontrar la TMS y,x . Por definición TMS y,x = @U(x,y) @y @U(x,y) @x = x y + 1 En el óptimo, cuando la solución es interior, tenemos que la TMS y,x es igual a la relación de precios TMS y,x = p y p x x y + 1 = p y p x con esto podemos despejar y y obtenemos el resultado y(x) = p x p y x� 1 = pxx� py p y (*) 3 2. Plantee y resuelva el problema de maximización de utilidad para luego encontrar una expresión para las demandas marshallianas. Respuesta El problema es el siguiente máx x,y U(x, y) = xy + x sujeto a I = p x x+ p y y Para resolver el problema una forma es la siguiente: De lo obtenido en la parte (1) reemplazamos y por la expresión de la ecuación (*) en la restricción presupuestaria I = p x x+ p y p x x� p y p y I = 2p x x� p y en esto último despejamos x y se obtiene la demanda marshalliana de dicho bien x m (p, I) = I + p y 2p x Luego, como tenemos una expresión para y en función de x podemos reemplazar x m en la ecuación (*) y = p x x m � p y p y = p x p y · I + py 2p x � 1 esto nos da la demanda marshalliana por el bien y que corresponde a y m (p, I) = I � p y 2p y 3. Plantee y resuelva el problema de minimización de gasto para luego encontrar una expresión para las demandas hicksianas (demandas compensadas). Respuesta El problema es el siguiente mı́n x,y p x x+ p y y sujeto a xy + y = U, U es constante Una forma de resolver es tomar la ecuación (*) y reemplazar y en la función de utilidad U(x, y) = x p x x� p y p y + x U(x, y) = p x x 2 � p y x+ p y y p y U(x, y) = p x x 2 p y tengamos presente que el problema considera un nivel fijo de utilidad, es decir que el resultado inmedianta- mente anterior nos lleva a U = p x x 2 p y 4 a partir de esto despejamos x y se obtiene la demanda hicksiana por dicho bien x h (p, U) = s Up y p x Luego, para obtener la demanda hicksiana por el bien y podemos reemplazar x h en la ecuación (*) y = p x x h � p y p y = p x p y s Up y p x � 1 esto nos da la demanda hicksiana por el bien y que corresponde a y h (p, U) = s Up x p y � 1 4. Calcule la cantidad demandada de ambos bienes y el nivel de utilidad si I = a, p x = b y p y = c con a, b, c constantes estrictamente positivas. Respuesta Por enunciado tengamos presente que I > p y ) a > c. Luego, para obtener lo pedido reemplazamos directamente en las demandas marshallianas y en la función de utilidad. Todos los cálculos son directos salvo el nivel de utilidad. Tenemos U = (a+ c) 2b · (a� c) 2c + a+ c 2b = a 2 � c2 4bc + a+ c 2b Luego x m = a+ c 2b y m = a� c 2c U = a 2 � c2 4bc + a+ c 2b 5. ¿Impondŕıa alguna restricción sobre los parámetros en base al resultado anterior? Respuesta En el caso de x tenemos que la cantidad siempre será positiva. En el caso del bien y tenemos que a � c podŕıa ser negativo pero sabemos que a > c y no aparece este inconveniente. En el caso de la utilidad, por el hecho de que hay una resta en la primera fracción, podŕıa obtenerse un valor negativo en caso de que a 2 � c2 4bc + a+ c 2b < 0 a 2 � c2 + 4bca+ c 2b < 0 a 2 � c2 + 2c(a+ c) < 0 a 2 � c2 + 2ac+ 2c2 < 0 a 2 + 2ac+ c 2 < 0 (a+ c) 2 < 0 a+ c < 0 5 De esto tenemos que si a + c � 0 entonces la utilidad toma valores no negativos. Luego, como ambos valores son positivos la utilidad toma valores estrictamente positivos y entonces no debemos imponer más restricciones. 6. Considere que el precio del bien y aumenta de p i y = c a p f y = d. Calcule las variaciones en el consumo de ambos bienes y determine el efecto sustitución y efecto ingreso del bien x. Respuesta Para las demandas marshallianas tenemos lo siguiente x m i = a+ c 2b ! xm f = a+ d 2b y m i = a� c 2c ! ym f = a� d 2d Luego calculamos la variación en la cantidad demandada de cada bien �x m = a+ d 2b � a+ c 2b �y m = a� d 2d � a� c 2c Para determinar el efecto sustitución debemos determinar el cambio en las demandas hicksianas x h i = s Uc b ! xh i = s Ud b Entonces la variación corresponde a �x h = ES = s Ud b � s Uc b Finalmente, el efecto ingreso corresponde a la diferencia entre el efecto total y el efecto ingreso ET = ES + EI EI = ET � ES EI = �x m ��xh EI = a+ d 2b � a+ c 2b � s Ud b � s Uc b 7. Calcule la elasticidad precio, elasticidad ingreso y elasticidad precio cruzada del bien y. Respuesta " y,p y = @y m @p y · py y m " y,I = @y m @I · I y m " y,p x = @y m @p x · px y m = �2p y � 2(I � p y ) 4p 2 y · py y m = 1 2p y · I y m = 0 = �2I 4p y · 1 y m = I 2p y · 2py I � p y = �2I 4p y · 2py I � p y = I I � p y = �I I � p y 6 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 6 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 11 de octubre de 2011 1. Preguntas Cortas 1. ¿Qué se entiende por producción?. Dé a lo menos tres ejemplos no triviales de producción. Respuesta Se define que producción es cualquier dinámica o proceso destinada a transformar determinados insumos en otros diferentes de los originales. Según esta definición los siguientes casos son procesos productivos: Transporte de mercadeŕıas: Es un proceso productivo y los insumos que lleva, por ejemplo, un camión de Santiago a Concepción no son los mismos según sus caracteŕısticas espaciales o temporales. Tiendas de ropa: También realizan un proceso productivo aunque el trabajo de producción “tangible” se haga en una sastreŕıa o un taller industrial. El Sr. del mote con huesillos de Av. Portugal: Realiza un proceso productivo aunque parezca que no realiza grandes transformaciones a los insumos pero los reúne y entrega en una forma distinta a como los recibe. 2. Las funciones de producción representan impĺıcitamente la eficiencia técnica. Respuesta Verdadero. Las función de producción de una firma es aquella que asocia a los factores dados la máxima capacidad de producto que se puede elaborar a partir de los mismos. Esto, es las funciones de producción incorporan el concepto de eficiencia técnica pues no consideran derroche en la producción. 3. Explique qué es el set de producción. Respuesta Es el conjunto que contiene todas las combinaciones de insumos que permiten producir determinado nivel de producto. Si tenemos uno o más insumos x1, . . . , xn y un nivel de producción y, entonces el set de producción corresponde a �(x) = {y 2 R+ : y puede ser elaborado con x} 4. Explique qué hace que una función describa un proceso productivo. Respuesta Si tenemos uno o más insumos x1, . . . , xn no cualquier función es de producción. Tenemos que f : Rn+ ! R+ es función de producción si cumple lo siguiente: a) f(x) � y 8y 2 �(x) b) f es creciente en todas sus componentes. 1 c) f(0) = 0, esto es lo mismo a decir que “de la nada, nada sale”. 5. Diego H. no ha visto en clases la diferencia entre producto marginal y producto medio. ¿Cómo se lo explicaŕıa brevemente? Respuesta El producto marginal indica cuánto aumenta la producción ante cambios en el factor x i . En el caso diferen- ciable tenemos que PMg(x i ) = @ @x i f(x) � 0 El producto medio indica cuánto aporta en promedio cada factor a la producción. Tenemos que PMe(x i ) = f(x) x i 2. Funciones de producción Problema 1. Asuma que tenemos un factor productivo, entonces de las siguientes funciones ¿cuáles corresponden a fun- ciones de producción? f(x) x (a) f(x) x (c) f(x) x (b) f(x) x (d) f(x) x (f) f(x) x (e) Respuesta Esto se responde con las tres propiedades que cumplen las funciones de producción: Las funciones de producción representan distintas combinaciones que permiten producir determinado nivel de producto. La primera condición nos dice que y � f(x)  0 8y 2 �(x). Es decir que si tomamos un nivel de producto constante ȳ cualquier cantidad de producto menor debe estar en el set de producción, ya que se puede producir a lo menos ȳ utilizando x. Esto último descarta los casos (b) y (e). Las funciones de producción son crecientes en el uso de cada uno de los factores. Esto es, siempre PMg � 0. Por más que aumentemos la cantidad de input la producción total siempre debe aumentar en una cantidad mayor o igual a 0, jamás disminuir. Por lo tanto se descarta que (b) y (e) sean una función de producción pues poseen un tramo decreciente. 2 “De la nada, nada sale”, es decir que f(0) = 0. Si no existe ningún input es imposible producir algo. Por lo tanto se descarta (a) y (e). En resumen, (c), (d) y (f) son funciones de producción. Problema 2. Cuando tenemos funciones de la forma f : Rn ! R y dado c 2 R se define el conjunto de nivel de la función f como N c (f) = {x 2 D ⇢ Rn : f(x) = c} En el caso en que n = 2 y n = 3 el conjunto de nivel N c (f) se puede dibujar. Se le conoce como curva de nivel cuando n = 2 y superficie de nivel si n = 3. Suponga que tiene la siguientes funciones: f1(x1, x2) = p x1 + p x2 f2(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 Determine lo siguiente: 1. ¿Son funciones de producción? 2. ¿Se puede obtener la curva de nivel (isocuanta) dejando x2 en función de x1? Explique intuitivamente a qué corresponde la curva de nivel de una función de producción y grafique sus resultados. 3. ¿Tiene sentido que tengan solución interior o de esquina en el uso de los factores? 4. Tarea: ¿Qué sucede con el uso de x1 ante un aumento en el uso de x2?. Exprese su resultado ma- temáticamente y explique lo que se obtiene. 5. Tarea: ¿Qué se puede decir acerca de los retornos de las funciones? (Indicación: Conviene determinar el grado de homogeneidad de las funciones) Respuesta Para el primer caso: 1. Es función de producción ya que f(0, 0) = 0 y la productividad marginal es creciente en el uso de los factores ( @ @xi f = 12pxi > 0) 2. Digamos que se quiere producir una cantidad c1, entonces c1 = p x1 + p x2 c1 � p x1 = p x2 x2(x1) = (c1 � p x1) 2 Graficamente se tiene lo siguiente: x2 x1 3 3. De la parte anterior podemos ver que si x1 = 0 entonces se utilizará c21 de x2 para obtener el nivel deseado, en caso de que se necesitara “infinito” de x2 cuando se tiene cero de x1 no tendŕıa sentido la solución esquina, luego si lo tiene en este caso. Finalmente una combinación intermedia de factores resulta en una combinación eficiente pues la isocuanta es convexa, podemos unir dos puntos extremos y tendremos que es posible encontrar un isocuanta que genera en un mayor nivel de producción con un gasto en insumos que es igual al gasto que supone una solución esquina que permite producir menos. Esto último gráficamente corresponde a lo siguiente: x2 x1 4. Tenemos que x2(x1) = (c1 � p x1)2 corresponde a la isocuanta. Si derivamos con respecto a x1 se obtiene lo siguiente: @ @x1 x2(x1) = (c1 � p x1) · �1 2 p x1 = (c1 � p x1) · �1 2 p x1 luego (c1 � p x1) � 0 ya que c1 = p x1 + p x2, entonces @ @x1 x2(x1) < 0 entonces ante un aumento del factor x1 debe disminuir el uso de x2 para producir la misma cantidad. 5. Veamos primero si la función es homogénea: f(�x1,�x2) = p �x1 + p �x2 = p �( p x1 + p x2) = � 0,5 f(x1, x2) entonces la función es homogénea de grado 0,5 lo cual quiere decir que si duplicamos la cantidad de todos los factores productivos la cantidad producida aumenta pero en a magnitud menor al doble de la inicial (en este caso aumentaŕıa a p 2 veces la cantidad inicial). La función presenta retornos decrecientes. Para el segundo caso: 1. Es función de producción ya que f(0, 0) = 0 y la productividad marginal es creciente en el uso de los factores ( @ @xi f = 12pxi > 0) 2. Digamos que se quiere producir una cantidad c1, entonces c1 = x 2 1 + x 2 2 c1 � x21 = x22 x2(x1) = q (c1 � x21) Graficamente se tiene lo siguiente: 4 x2 x1 3. De la parte anterior podemos ver que si x1 = 0 entonces se utilizará p c1 de x2 para obtener el nivel deseado, luego tiene sentido una solución esquina en este caso. Finalmente una combinación intermedia de factores resulta en una combinación ineficiente pues la isocuanta es cóncava, podemos unir dos puntos extremos y tendremos que es posible encontrar un isocuanta que genera en un mayor nivel de producción con un gasto en insumos que es igual al gasto que supone una solución interior que permite producir menos. Esto último gráficamente corresponde a lo siguiente: x2 x1 4. Tenemos que x2(x1) = p (c1 � x21) corresponde a la isocuanta. Si derivamos con respecto a x1 se obtiene lo siguiente: @ @x1 x2(x1) = �2x1 2 p (c1 � x21) = � x1p (c1 � x21) luego p (c1 � x21) � 0 ya que c1 = x21 + x22, entonces @ @x1 x2(x1) < 0 entonces ante un aumento del factor x1 debe disminuir el uso de x2 para producir la misma cantidad. 5. Veamos primero si la función es homogénea: f(�x1,�x2) = (�x1) 2 + (�x2) 2 = �2(x21 + x 2 2) = � 2 f(x1, x2) entonces la función es homogénea de grado 2 lo cual quiere decir que si duplicamos la cantidad de todos los factores productivos la cantidad producida aumenta pero a magnitud mayor al doble de la inicial (en este caso aumentaŕıa a una magnitud que es el cuadrado de la inicial). La función presenta retornos crecientes. 5 Problema 3. Demuestre que la productividad media es máxima cuando esta iguala al producto medio. Grafique en base a su desarrollo para ilustrar lo que sucede. Respuesta Por definición tenemos que PMe(x i ) = f(x) x i luego, @Pme(x i ) @x i = @f(x) @xi · x i � f(x) x 2 i = @f(x) @xi x i � f(x) xi x i = PMg(x i ) x i � PMe(xi) x i La productividad marginal es creciente si y sólo si @PMe(xi) @xi > 0, entonces PMg(x i ) x i � PMe(xi) x i > 0 , PMg(x i ) > PMe(x i ) La productividad marginal es dcreciente si y sólo si @PMe(xi) @xi < 0, entonces PMg(x i ) x i � PMe(xi) x i < 0 , PMg(x i ) < PMe(x i ) entonces la productividad media es máxima cuando PMe(x i ) = PMg(x i ) Gráficamente: f(x) x PMg PMe 6 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 7 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 19 de octubre de 2011 1. Preguntas Cortas 1. El costo marginal es constante e igual al costo medio si la función de producción es una Cobb-Douglas homogénea de grado 1. Respuesta Falso. El que sean iguales depende de si el valor de Q es tal que las curvas de costo marginal y costo medio tienen igual valor para dicho Q, que es lo mismo a decir que dependerá del punto en el cual nos encontremos. Si las curvas de costo marginal y costo medio se intersectan para algún Q es cierto que son iguales y gráficamente se tiene lo siguiente: Q L PMg PMe CMg CMe C L Efectivamente ambos costos son constantes. La función de producción es f(K,L) = AK↵L1�↵ y es ho- mogénea, entonces se puede expresar como Q = Lf ✓ K L , L L ◆ = Lf ✓ K L ◆ 1 El costo marginal está dado por CMg(Q) = @C(Q) @Q y también se puede expresar como CMg(Q) = r @Q/@K = w @Q/@L Entonces, juntando ambos resultados CMg(Q) = r @f(K/L) @K · L L f 0 depende sólo de K/L y K/L depende sólo de la razón de precios de los factores. Si estos no cambian el costo marginal no cambia. Para el costo medio tenemos lo siguiente CMe(Q) = rK + wL Q = rK + wL L · f � K L � = rKL + w f � K L � Igualmente el costo medio depende solo de la razón de uso de los factores. Si el costo de estos no cambia, no cambiará la razón de uso y en consecuencia no cambiará el costo medio. Finalmente ambos costos son constantes pero no son iguales. Esta conclusión es válida si se trata de una firma en competencia perfecta y todos sus factores son variables. Si hay un factor fijo, la razón de precios de los factores cambiará y el costo marginal y el costo medio ya no serán constantes. 2. En una función de producción de retornos crecientes a escala y homogénea de grado mayor a 1, el pago a los factores es mayor que el valor producto, pero si amplificamos suficientemente el número de factores, será posible que el mayor incremento proporcional del producto haga posible obtener excedentes. Respuesta Falso. Sea Q = f(K,L) una función homogénea de grado superior a 1 (digamos n > 1). Por la ecuación de Euler, nQ = @f(K,L) @K ·K + @f(K,L) @L · L multiplicando por el precio del producto p a ambos lados n(pQ) = p @f(K,L) @K ·K + p@f(K,L) @L · L = V PMg(K) ·K + V PMg(L) · L = rK + wL entonces pQ = 1 n (rK + wL) Como n > 1 entonces 1/n claramente es menor a 1. Luego, el pago a los factores siempre sera mayor que el producto. La explicación de esta aparente contradicción es que si bien el nivel de producto se amplifica en más que el aumento de los factores, también el pago a los factores (productividades marginales) se amplifica en más que el aumento de estos. Es decir, cualquiera sea el tamaño de planta o la escala de producción el producto generado será menor que el pago a los factores productivos bajo retornos crecientes a escala. 2 3. En general la tecnoloǵıa Leontief se representa por medio de una función similar a la siguiente: f(K,L) = mı́n ⇢ K ↵ , L � � Grafique el producto marginal y el producto medio de una función Leontief. Explique qué significan los parámetros ↵ y � y las consecuencias de la forma de sus gráficos. Respuesta ↵ es el número de unidades de capital requeridas para producir una unidad de producto y � es el número de unidades de trabajo requeridas para producir una unidad de producto. Tenemos el siguiente gráfico: L K L0 K0 PMg(K) K K0 1 ↵ A PMe(K) K K0 1 ↵ El producto marginal del capital entre los puntos L0 y A para K0 unidades de capital será constante e igual a 1/↵, pues por cada ↵ unidades de capital se aumenta la producción en una unidad. 3 Desde el punto A en adelante la productividad marginal del capital se hace cero para las K0 unidades de trabajo. El producto medio del trabajo es constante hasta la contratación de K0 unidades y en adelante empieza a disminuir. La razón de estos comportamientos es que para unidades de capital menores que K0 existe un exceso de unidades de trabajo y la productividad marginal de este es nula. Para unidades de capital mayores que K0 existe un exceso de unidades de trabajo para las L0 unidades de trabajo y en consecuencia la productividad marginal del trabajo es nula. 4. La tecnoloǵıa Leontief representada por medio de la siguiente función: f(K,L) = mı́n{↵K,�L} no tiene productividad marginal. Respuesta Falso. Dicha función puede reescribirse como f(K,L) = mı́n{K,L} = ( K si K  L L si K > L El gráfico de la isocuanta corresponde a lo siguiente K L �L > ↵K �L < ↵K m = �↵ Esta función no es diferenciable en todas partes y sus derivadas parciales no son continuas. Veamos las derivadas parciales: @ @K f(K,L) = ( ↵ si K  L 0 si K > L @ @L f(K,L) = ( � si L  K 0 si L > K Entonces cuando aumenta la intensidad de uso de un factor que de antemano se utiliza en cantidades mayores que la del otro factor se concluye que la productividad marginal es cero. En el otro caso la productividad marginal es igual a ↵ o � dependiendo de la combinación de factores. Cuando tenga sentido, cuando cambia la intensidad de uso de un factor, digamos del factor K, la producción no necesariamente aumenta (cuando este cambio no alcanza para aumentar el nivel de producción), y en tal caso Pmg(K) = @ @K f(K,L) = 0 Para el caso del factor L es análogo. En general, por este hecho la TMSTL,K es infinita (luego no está bien definida para cualquier valor de (K,L)). 4 5. En una función Leontief el pago a cada factor es constante para cambios en la razón de uso de los factores cuando la función es homogénea de grado 1. Respuesta Falso. Sea f(K,L) = mı́n{K,L}, que corresponde a una función homogénea de grado 1 pues f(�K,�L) = mı́n{�K,�L} = �mı́n{K,L} Sabemos que esta función requiere de proporciones fijas de insumos, sin posibilidades de sustitución, para producir determinada cantidad de unidades. Lo relevante no es la homogeneidad de la función sino que ante un aumento en el costo de un factor se debe producir lo mismo que antes pero a un mayor costo o reducir la escala de producción. Podŕıamos tener una función de la forma f(K,L) = mı́n{K2, L3}, que no es homogénea pero que representa una tecnoloǵıa de proporciones fijas. El pago relativa a cada factor w/r es constante y no vaŕıa en proporción inversa al cambio en la razón de uso de factores y además la proporción de uso de los factores no cambia. 6. La tecnoloǵıa Leontief representable por medio de la función f(K,L) = mı́n ⇢ ln(K) ↵ , L2 � � presenta rendimientos decrecientes a la escala. Respuesta Falso. Dicha función no es homogénea de ningún tipo ya que no puede expresarse de la forma: mı́n ⇢ ln(�K) ↵ , (�L)2 � � = �n mı́n ⇢ ln(K) ↵ , L2 � � donde n mide el grado de homogeneidad. Por lo tanto, en estricto rigor, la función no presenta retornos a la escala de ningún tipo. Sin embargo, debe considerarse que al aumentar ambos factores a una cierta tasa, será el capital el que hará el papel de “frenar” la expansión del producto, haciendo que este crezca a tasa decreciente. Si ln(K)↵ < L2 � , entonces Q = ln(K) ↵ ) @Q @K = 1 ↵K > 0 ) @ 2Q @K2 = � 1 ↵K2 < 0 Si ln(�K)↵ > (�L)2 � , entonces Q = L2 � ) @Q @L = 2L � > 0 ) @ 2Q @L2 = 2 � > 0 Lo anterior implica que el capital conduce a un aumento a tasa decreciente del producto, no asi el trabajo que de no ser por el efecto del capital conduciŕıa a un aumento a tasa creciente del producto. 7. En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aun aśı, rendimientos crecientes de escala. Respuesta Verdadero, puesto que se trata de distintos análisis. Recordar que productividad marginal considera todos los demás factores constantes, mientras que en los rendimientos a escala todos vaŕıan. 5 Un ejemplo de esto seŕıa: f(K,L) = K1/2L3/2 f(�K,�L) = �2K1/2L3/2 ! Rendimientos crecientes a escala @f(K,L) @K = 1 2 L�1/2L3/2 @2f(K,L) @K2 = �1 4 K�3/2L3/2  0 ! Productividad Marginal Decreciente 2. Ejercicios Problema 1. La empresa Aperezco S.A se dedica a la producción de frutillitas empleando capital y trabajo. No se conoce exactamente su función de producción pero los estudios que se han realizado sobre la producción agŕıcola revelan que los rendimientos son decrecientes. Tras varios periodos se han probado distintas combinaciones de capital y trabajo que permiten producir un volumen fijo de producción que se exporta todos los años. Sin embargo, recientemente se han robado el notebook del gerente (en realidad aún no sabemos si fue robo o extrav́ıo) y se perdieron todos los datos de producción pero se salvó la siguiente tabla que estaba en una carpeta que teńıa guardada en un cajón: Combinación K L A 1 25 B 19 7 C 10 16 D 17 8 E 14 14 F 10 10 G 4 15 El gerente decidió preguntarle a los ayudantes de microeconomı́a por su problema para determinar cuales son las combinaciones que efectivamente dan lugar a la isocuanta pues tiene serias dudas de que todas esas combinaciones permitan producir la cantidad que necesita para exportar. Los ayudantes han recopilado los datos y tienen la respuesta pero quieren preguntar lo siguiente a los alumnos para saber que tan bien se encuentran para el control de la próxima semana: a) Ubique las distintas combinaciones en el plano (K,L) y determine todos los tramos que unen las combinaciones señaladas para dar lugar a la isocuanta. Respuesta Si los rendimientos son decrecientes la isocuanta debe ser convexa. Lo primero es tener en cuenta que las combinaciones más extremas de las descritas deben pertenecer a la isocuanta por lo que los puntos A y B se encuentran en la isocuanta. Luego, si observamos el factor capital tenemos que el punto D tiene menos capital que los demás salvo el punto B y le siguen los puntos F , E, C y G. Si observamos el factor trabajo tenemos que el punto G tiene menos trabajo que los demás salvo el punto A y le siguen los puntos C, F , E y D. Como la isocuanta es convexa los puntos D y G deben estar en la isocuanta pues son combinaciones de factores más balanceadas que A y B. 6 Observemos que C tiene la misma cantidad de trabajo que F pero tiene mayor cantidad de capital. Entonces C no pertenece a la isocuanta. De momento A, B, D, E, F y G se mantienen como candidatos a estar en la isocuanta. El análisis anterior nos lleva a que debeŕıamos dudar de los puntos D y E pues ya sabemos que F y G son combinaciones balanceadas de A y B. Tomando los puntosB y F podemos asegurarnos de queD está en la isocuanta pues es una combinación de A y B y también de B y F . Sin embargo, E no es una combinación de B y F por lo que se descarta. El mismo razonamiento nos lleva a que el punto G es una combinación de A y F por lo que está en la isocuanta. Finalmente los tramos AG, FG, FD y DB contienen todas las combinaciones intermedias además de los puntos señalados que dan lugar a la isocuanta. El análisis anterior nos lleva a que la isocuanta se construye de la siguiente forma: A G F D B C E K L b) Ahora nos dicen que por razones de ingenieŕıa entre el tramo F y el tramo D hay deseconomı́as de escala que llevan a utilizar más de ambos factores para producir lo mismo en lugar de usar más de ambos factores y producir una cantidad mayor. ¿Por qué podria ocurrir algo aśı? ¿Qué forma tendŕıa la isocuanta? Respuesta La presencia de deseconoḿıas de escala significa que existe un tramo de producción en que es necesario incurrir en mayores costos para producir lo mismo. Una explicación es que con determinadas combina- ciones de factores puede haber problemas de coordinación en el proceso productivo. Si esto ocurriera tendŕıamos que existe un tramo en el que se debe emplear más de ambos factores en lugar de sustituir unidades de un factor por otro. En el caso anterior los tramos GC, CE y ED seŕıan parte de la isocuanta. El gráfico tendŕıa la siguiente forma: 7 A G F D B C E K L Problema 2. Suponga que la tecnoloǵıa accesible de la empresa CB y Asociados para producir el bien Q está representada por la función de producción Q = 2K1/2L1/4 donde K y L indican, respectivamente, las cantidades de trabajo y capital utilizadas en la producción del bien Q. Si en este mercado opera una empresa competitiva: 1. Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción de la empresa RG y Aso- ciados. Respuesta Debemos plantear y resolver el problema de minimización de costos que corresponde a lo siguiente: mı́n K,L C = wK + rL s.a Q = 2K1/2L1/4 C = wK + rL ! Isocostos dL dK ���� C = �w r ! Pendiente de Isocostos TMSTK,L = dL dK ���� Q = �@Q/@K @Q/@L = �PMg(K) PMg(L) = � L 1/4K�1/2 1 2K 1/2L�3/4 TMSTK,L = � 2L K ! Pendiente de la Isocuanta |TMSTK,L| @K < 0 Si igualamos las pendientes: dL dK ���� C = dL dK ���� Q ) �w r = �2L K ) L = wK 2r 8 Entonces la pendiente es dL dK = w 2r K L L = rK2w 2. Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a lo largo plazo de RG y Asociados. ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w = 2 y r = 1? Respuesta Del óptimo calculado en (a) sabemos que: w r = 2L K ) L = Kw 2r , K = 2Lr w Reemplazando en la restricción (uno a la vez): Q = 2K1/2 ✓ Kw 2r ◆1/4 Q 2 = K3/4 ⇣ w 2r ⌘1/4 Kc = ✓ Q 2 ◆4/3✓ 2r w ◆1/3 Q = 2 ✓ 2Lr w ◆1/2 L1/4 Q 2 = ✓ 2r w ◆1/2 L3/4 Lc = ✓ Q 2 ◆4/3 ⇣ w 2r ⌘2/3 9 Ahora si reemplazamos Kc y Lc en la función de costos: C = wK + rL C = w ✓ Q 2 ◆4/3✓ 2r w ◆1/3 + r ✓ Q 2 ◆4/3 ⇣ w 2r ⌘2/3 C = ✓ Q 2 ◆4/3 " (2r)1/3(w)2/3 + (w)2/3 ✓ 1 2 ◆2/3 (r)1/3 # CLP = ✓ Q 2 ◆4/3 (w)2/3(r)1/3 " (2)1/3 + ✓ 1 2 ◆2/3# CLP = ✓ Q 2 ◆4/3 (w)2/3(r)1/3 " (2)1/3 (2)2/3 (2)2/3 + ✓ 1 2 ◆2/3# CLP = ✓ Q 2 ◆4/3 (w)2/3(r)1/3 ✓ 3 (2)2/3 ◆ Como w = 2 y r = 1, entonces: CLP (Q,w, r) = CLP (Q) = 3 ✓ Q 2 ◆4/3 3. Suponga que en el corto plazo CB y Asociados posee el factor L fijo en 16. Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a corto plazo. ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w = 2 y r = 1? Respuesta mı́n K C = wK + 16r s.a Q = 2K1/2(16)1/4 = 4K1/2 ) Q = 4K1/2 ) Kc = ✓ Q 4 ◆2 Entonces: CCP (Q,w, r) = wKc + 16r CCP (Q,w, r) = w ✓ Q 4 ◆2 + 16r Como w = 2 y r = 1, entonces: CCP (Q,w, r) = Q 2 8 + 16 10 Departamento de Economı́a Universidad de Chile ECO150 Introducción a la Microeconomı́a Profesores: Christian Belmar, Felipe Varela, José Yáñez. Javier Turen, Carlos Cáceres y José Contreras Ayudantes: Edgardo Cerda, Constanza Acuña, José Belmar, Maŕıa Pérez, Iraćı Hassler, Nicolas Bohme, Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Mart́ın Harding, Matias Caamaño, Maximiliano Acevedo, Alejandra Jáuregui, Mauricio Vargas, Bernardita Saona, Heinz Doebbel y Manuel Ugalde . Primavera 2011 Ayudant ´ ıa 8 2 de noviembre de 2011 Comentes (a) Alejandra acaba de revisar la siguiente respuesta en un control: “En microeconomı́a cuando hablabamos de largo plazo nos referimos, por lo general, a periodos de 12 meses o más, dado que es en estos grandes periodos de tiempo cuando las empresas se pueden ajustar”. Explique por qué Alejandra tiene motivos para poner cero puntos a dicha respuesta si lo pedido era una definición económica de largo plazo. Respuesta En microeconoḿıa al hablar de largo plazo nos referimos a cuando las empresas no tienen una restricción de capital o nivel de trabajo, es decir, ellas pueden adaptar estos parámetros a sus necesidades de demanda, de forma de maximizar sus beneficios. En este contexto, el largo plazo microeconómico es mas un concepto teoŕıco que un concepto temporal de largo plazo, de hecho, este concepto es usado mas comúnmente en macroeconoḿıa dado que ah́ı si tiene una interpretación temporal. (b) Suponga que Mauricio acaba de asumir como gerente general de Viña San Pedro S.A y está haciendo un estudio econométrico sobre su función de costos de largo plazo. Por ahora solo conoce su forma algebraica la cual es: C(w 1 , w 2 , y) = "(w↵ 1 + w� 2 )(y� + �) Indique las condiciones sobre los parámetros ", ↵, �, � y � para que la función sea función de costos de largo plazo: C(w 1 , w 2 , y) = "(w↵ 1 + w� 2 )(y� + �) Respuesta Debe cumplir con las siguientes propiedades (bajo los supuestos vistos en clases): 1. Sin costo fijo: � = 0 2. Homogénea de grado 1 en w: ↵ = � = 1 3. Estrictamente creciente en y: � > 0 4. No negativa: " > 0 (c) Maŕıa José acaba de terminar un estudio para Codelco que llega a la siguiente conclusión: “La oferta de la industria del cobre en el largo plazo, en el caso de que operase bajo competencia implicará que, no se ofrecerá toda la producción disponible en el largo plazo a un precio igual al costo medio mı́nimo de largo plazo, ya que debido al efecto de la expansión de la industria se han encontrado nuevos yacimientos de factores productivos que garantizan el suministro por lo menos durante algunos años”. Comente 1 Departamento de Economı́a Universidad de Chile Respuesta Verdadero. Descubrir nuevos yacimientos de factores lleva a una disminución de la estructura de costos. Esta es una externalidad positiva en el mercado teniendo como efecto final una oferta de largo plazo de la industria con pendiente negativa. P P q Qq 1 q 2 Q 1 Q 2 QLP ind Cmg 1 Cmg 2 Cme 1 Cme 2 (d) Adolfo está muy feliz de que su novia Francisca tenga un aumento en el sueldo, dado que esto le permite trabajar menos. Comente. Respuesta Verdadero. Económicamente podemos ver que el ingreso de su novia se puede interpretar como un aumento del ingreso no laboral, lo que para las funciones de utilidad más comunes se traduce en una disminición del salario. Gráficamente: (e) Rodrigo intenta ayudar a un estudiante que está a dos minutos de rendir su control de Microeconomı́a y le acaba de decir: “Estoy súper bien para la prueba. A fin de cuentas el modelo de ocio consumo es un 2 Departamento de Economı́a Universidad de Chile modelo que no aporta mucho al estudio de la economı́a, dado que es una simple adaptación del modelo de elección del consumidor, esto debido a que lo que hace es reemplazar la elección de consumo de dos bienes, por ocio y consumo, es decir, un mero cambio de nombre”. ¿Cómo resumiŕıan el modelo y refutaŕıan la afirmación de la forma más breve posible? Respuesta Se puede resumir de la siguiente manera: El modelo de ocio consumo es una adaptación del modelo de elección del consumidor. Este transforma el problema inicial y le da caracteristicas adicionales que hacen que se distinga claramente el problema de consu- mir dos bienes del problema de consumir y tener tiempo para ocio. Conceptualmente la gran transformación está en las restricciones del problema dentro de la que destaca la restricción intertemporal. Matemáticamente el problema de elección del consumidor es: máx U(x, y) s.a P x x+ P y y = I Mientras que el problema de ocio consumo viene dado por: máx U(✓, c) s.a wl + y nl = pc l + ✓ = T De forma adicional, el gran aporte del modelo de ocio consumo es que mediante la aplicación de distintos salarios nos permite saber la oferta de trabajo del individuo. Matemáticos 1. Suponga que la empresa CC Ltda. opera en un mercado competitivo. Sus costes de producción de corto plazo están dados por la función C(y) = y3 � 6y2 + 20y + 50, siendo y su nivel de producción. a. Obtenga la curva de oferta a corto plazo de CC. Respuesta máx y B(y) = I(y)� C(y) = py � C(y) Se calcula el costo marginal: CMg = @C(y) @y = 3y2 � 12y + 20 Se calcula el costo variable medio: CVMe = y3 � 6y2 + 20y y = y2 � 6y + 20 La producción que minimiza el costo variable medio se obtiene: @CVMe @y = 0) @(y 2 � 6y + 20) @y = 2y � 6 = 0) y = 3 3 Departamento de Economı́a Universidad de Chile Por lo tanto el minimo de los costos variables medios es: CVMemı́n = CVMe(y = 3) = 3 · 3� 6 · 3 + 20 = 11 Además la curva del coste marginal corta a la curva del coste medio variable en su ḿınimo: CMg(y = 3) = 3 · 3 · 3� 12 · 3 + 20 = 11 Igualando el precio al coste marginal, se obtiene la cuerva inversa de oferta, que expresa el precio en función de la producción: p = 3y2 � 12y + 20 con y � 3 Despejamos la producción en función del precio, obtenemos la oferta de la empresa: ys(p) = 8 < : 0 si p < 11 12 + p 144� 12(20� p) 6 si p � 11 Luego obtenemos el costo medio de la empresa: CMe = y3 � 6y2 + 20y + 50 y = y2 � 6y + 20 + 50 y El nivel de producción que minimiza el coste medio se obtiene, de la siguiente manera: @CMe @y = 2y � 6� 50 y2 = 0) y = 4,33 Para el nivel de producción y = 4,33 el coste medio ḿınimo y coincide con el coste marginal: CMemı́n = CMe(y = 4,33) = 24,3 = CMg(y = 4,33) Gráficamente, la curva de oferta de la empresa coincide con el tramo de la curva de coste marginal que queda por encima de la curva de coste variable medio. P Q Oferta 3 4,33 CMg CTMe CVMe 24,3 11 4 Departamento de Economı́a Universidad de Chile b. Suponga que el precio del producto es P = 20. Calcule la producción y el beneficio de equilibrio de CC. Respuesta Para un p = 20, la cantidad ofrecida por la empresa competitiva será: ys(p = 20) = 12 + p 144� 12(20� 20) 6 = 4 El beneficio será de: B(y) = py � C(y) = 20(4)� (43 � 6(42) + 20(4) + 50) = �18 Como se pueden dar cuenta la empresa obtiene pérdidas en el corto plazo porque los ingresos que obtiene no le permiten cubrir los costes totales. Sin embargo, la empresa no cerrará porque los ingresos obtenidos superan a los costes variables. Los beneficios que obtiene produciendo cuatro unidades son superiores a los de no producir, ya que en este caso obtendŕıa una pérdida de cincuenta unidades. Oferta Pérdida P Q CMg CTMe CVMe 2. El destacado economista y maestro parrillero CB tiene la siguiente función de utilidad: U(O,C) = O↵C� (1) Además usted conoce lo siguiente: Y NL = Y 0 NL (2) w = w 0 (3) ↵+ � = 1 (4) Con esta información explique conceptual y gráficamente cada una de las siguientes situaciones planteadas (cada letra es independiente de la anterior). Indicando claramente que ocurre con el consumo, el ocio y el trabajo. a. Un aumento del salario de w 0 a w 1 . Respuesta Frente a un alza en el salario por hora ocurre que aumentan los incentivos a trabajar más por ende disminuye las horas dedicadas al ocio, lo que implica (como se dijo antes) que aumentan las horas dedicadas al trabajo, como ahora se trabajan más horas y se recibe un salario mayor por esas horas trabajadas, es posible acceder a un mayor consumo. Por lo tanto el agente mejora.1 1 También era válido hacer un análisis donde ocurriera que un aumento en el salario tiene un efecto positivo en el ocio, esto ocurre cuando se está ganando un sueldo “muy” alto. 5 Departamento de Economı́a Universidad de Chile Y 0 NL C 1 C 0 TO 1 O 0 O C u 0 u 1 w 0 b. Una disminución del ingreso no laboral de Y 0 NL a Y 1 NL . Respuesta Frente a una disminución del ingreso no laboral ocurre que tienen que disminuir las horas dedicadas al ocio para poder aumentar las horas dedicadas al trabajo y aśı no disminuya tanto el consumo. Por lo tanto el agente empeora. Y 0 NL TO 1 O 0 O C w 0 u 0 Y 1 NL u 1 C 0 C 1 c. Imagine dos opciones, la primera es un aumento del salariode w 0 a w 1 y la segunda es un aumento del ingreso no laboral de Y 1 NL a Y 2 NL que lo deja en la misma utilidad que la primera opción. ¿Existe diferencia en el trabajo, ocio y consumo? ¿Le da lo mismo cual opción tomar si es que existe diferencia en trabajo, ocio y consumo? Respuesta Si comparamos la primera alternativa con la segunda tenemos que en la primera disminuyen las horas dedicadas al ocio (aumenta el trabajo) y en la segunda aumentan las horas de ocio (disminuye el trabajo). En ambos casos podemos ver que aumenta el consumo, pero en la primera alternativa aumenta mas que en la segunda, explicado en parte por que en esta alternativa se trabajan más horas a un sueldo mayor, pudiendo aśı optar a un mayor consumo. Pese de que ambas alternativas nos dejan en la misma utilidad, las canastas óptimas en cada alternativa son distintas. A pesar de esto, podemos decir con certeza que le da lo mismo cuál alternativa elegir, pues 6 Departamento de Economı́a Universidad de Chile ambas lo dejan en la misma curva de utilidad (o de indiferencia), y este es el concepto clave que hay detrás de las curvas de utilidad. Por lo tanto con ambas alternativas el agente mejora en la misma magnitud. w 0 u 0 u 1 C 1 C 2 C 0 Y 2 NL Y 0 NL O 1 O 0 O 2 O T C d. Imagine un trabajo que duplica w 0 , pero disminuye la cantidad de tiempo disponible, debido a que el nuevo trabajo está mas lejos. Respuesta Si duplicamos el salario pero disminuimos el tiempo disponible, podemos ver en este caso que, disminuyen las horas dedicadas al ocio, pero en este caso el trabajo disminuye (recuerde que el trabajo se mide desde el tiempo disponible hasta la cantidad de ocio elegida), pero a pesar de que el trabajo haya disminuido tenemos que el consumo aumenta (el salario ahora es el doble). Es decir, el agente mejora. Y 0 NL O C u 1C 0 C 1 u 0 O 1 O 0 T 2w 0 w 0 e. Encuentre la oferta de trabajo cuando el ocio es un bien inferior. Respuesta Primero recordemos que para que un bien sea inferior, el equilibrio final debe quedar a la izquierda del 7 Departamento de Economı́a Universidad de Chile equilibrio a la Hicks (o Slutsky y aunque no es necesario que queda a la izquierda del equilibrio inicial, puede ocurrir), entonces dado que el ocio es un bien inferior, tenemos que frente a un alza en el salario, el individuo siempre va a escoger trabajar más (aunque el salario sea muy alto), por ende si sube el salario siempre va a escoger destinar menos horas al ocio. Como siempre elige trabajar más a un mayor salario, también siempre podrá consumir más. En este caso el agente mejora, pero sus preferencias son distintas. Al obtener la oferta de trabajo del individuo tenemos que esta siempre será creciente con respecto al salario, y no como cuando el ocio es un bien normal donde en un punto es decreciente respecto al salario. C 1 C 0 Y 0 NL O 1 O 0 T w 0 u 0 O L 0 L 1 w L w 1 w 0 Oferta de trabajo C u 1 8 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Departamento de Economı́a ECO150: Introducción a la Microeconomı́a Profesor Christian Belmar C. Semestre Primavera, 2011 Pauta Ayudant́ıa 9 Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Maŕıa José Pérez y Mauricio Vargas 10 de noviembre de 2011 1. Preguntas Cortas 1. Un d́ıa escucha en la cola del casino que la condición de competencia perfecta IMg = CMg no tiene sentido, dado que la venta de la última unidad no aporta nada a las firmas, y por lo tanto, podemos quedarnos con la venta de la unidad anterior. Comente Respuesta Falso. De la estructura de los costos de una firma sabemos que están considerados tanto los costos conta- bles como los costos económicos (o costos de oportunidad), esto implica que esa unidad de margen si es beneficiosa para la firma, dado que nos paga ese costo de oportunidad y contable de su producción, mientras que la anterior deja un margen. Por otro lado, conviene recordar que la condición se obtiene de maximizar los beneficios de la empresa bajo competencia perfecta. Donde: ⇡T (Q) = IT (Q)� CT (Q) Y sabemos que en óptimo: @piT (Q) @Q = 0 Donde reemplazando la condición tenemos: @IT (Q) @Q � @CT (Q) @Q = 0 IMg � CMg = 0 IMg = CMg 1 2. La oferta de la industria en el largo plazo es perfectamente elástica, independiente de si hay competencia perfecta o no. Comente. Respuesta Falso. Para poder afirmar esto es necesario al menos asumir que no hay barreras de entrada, dado que de lo contrario no se puede permitir el ingreso de firmas para mantener a la industria con beneficios iguales a 0. Para ejemplificar esto, supongamos una industria en equilibrio: Lo que implica que estamos en una industria donde los beneficios son cero, de la forma: Ahora supongamos que aumenta la demanda, de forma que: 2 Lo que en la industria se refleja que: Pero esto genera aumente la oferta de forma: 3. El año pasado salió en los diarios el siguiente aviso: ”Bancos Chilenos cierran 2010 con utilidades record que superan los US$ 3.300 millones”. Esto claramente es un ejemplo de que el mercado bancario no funciona bajo competencia perfecta. Comente Respuesta Falso. Nosotros sabemos que en competencia perfecta los beneficios de las firmas deben ser igual a cero, pero esto no implica ninguna condición sobre las utilidades. Recordar que con beneficios nos referimos al ingreso menos el costo contable y de oportunidad, mientras que con utilidad nos referimos al ingreso menos el costo contable. 4. El Gerente General de un malvado casino de una Facultad cualquiera dice: Excelente, puedo seguir subiendo el precio de las botellas de bebida, dado que esto siempre se traducira en mayores beneficios. Comente. Respuesta Falso. Esto se debe a que el casino a pesar de ser un monopolio, sabemos que este enfrenta una demanda, por lo tanto, no puede cobrar precios demasiado altos dado que nadie le comprará (dependiendo de la elasticidad). Para poder formalizar esto, debemos maximizar la utilidad del monopolio: IT (Q) = QP (Q) 3 Donde sabemos que en el óptimo: IMg = @⇡ @Q = 0 Reemplazando la restricción obtenemos: IMg = P (Q) +Q @P @Q IMg = P (Q) + Q P @P @Q P (Q) IMg = P (Q)  1 + Q P @P @Q � IMg = P (Q)  1 + 1 ⇠P,Q � 5. Sólo si el Costo Marginal de un Monopolista es igual a cero, éste se ubicará simultáneamente en un punto donde la Utilidad (Ingresos menos Costos) y el Ingreso total son máximos. Comente Respuesta Verdadero, dado que el Monopolista produce en el punto donde Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal para maximizar su utilidad, si el costo marginal es igual a cero, entonces el ingreso marginal también lo será. El punto en donde el Ingreso Marginal es igual a cero, es el punto máximo del Ingreso Total (primera derivada). Por lo tanto, el monopolista produce en el punto en que las utilidades e ingreso total son máximos. 6. Las ganancias del Monopolista dependerán únicamente de la curva de demanda que enfrente. Comente. Respuesta Falso, las ganancias o pérdidas del Monopolista dependerán tanto de la estructura de costos que posea la empresa como también de la curva de demanda. Juntando ambos factores podŕıamos decir que si sus costos son altos y enfrenta una demanda muy baja posiblemente tendrán pérdidas y si son bajos los costos y enfrenta una alta demanda posiblemente tendrán ganancias. Gráficamente: 4 2. Matemático Problema 1. Considere una economı́a donde la demanda está dada por: Q = 100� 4P Y además sabe que hay una firma en el mercado y que su estructura de costos es de la forma: C(Q) = 10Q+ 2Q2 Se le pide: Encuentre la producción de equilibrio de la firma si sabe que P ⇤ = 20 si asumimos competencia perfecta. Respuesta Sabemos que producto de la maximización de beneficios la condición de óptimo está dada por: P = IMg = CMg Entonces obtenemos el costo marginal de la forma: @C(Q) @Q = 10 + 4Q Y hacemos la condición de óptimo, encontrando: 10 + 4Q = 20 4Q = 10 Q⇤ = 2, 5 Calcule los beneficios de la firma, ¿Que nos dice sobre la competencia perfecta de la industria? Respuesta Los beneficios están dados por: ⇡ = Q(P ) · P � C(Q) ⇡ = 2, 5 · 20� 10 · 2,5� 2(2, 5)2 ⇡ = 2, 5 · [20� 10� 2(2, 5)] ⇡ = 2, 5 · [10� 5] ⇡ = 2, 5 · [5] ⇡ = 12, 5 Ahora como vemos hay beneficios en la industria, por lo tanto, hay incentivos a que entren empresas en el mercado de forma que el precio disminuya Calcule el precio que hace que la empresa no tenga beneficios. Respuesta Para esto sabemos que la condición de óptimo es: 10 + 4Q = P Por lo tanto, reemplazamos de forma genérica obteniendo: ⇡ = P � 10 4 · P � 10 ✓ P � 10 4 ◆ � 2 ✓ P � 10 4 ◆2 ⇡ = P (P � 10) 4 � 10(P � 10) 4 � 2 ✓ (P � 10)2 16 ◆ 5 Ahora hacemos ⇡ = 0 obteniendo: 0 = P (P � 10) 4 � 10(P � 10) 4 � 2 ✓ (P � 10)2 16 ◆ 0 = 4P (P � 10)� 40(P � 10)� 2(P � 10)2 0 = (P � 10)(4P � 40)� 2(P � 10)2 0 = 4(P � 10)2 � 2(P � 10)2 2(P � 10)2 = 0 (P � 10)2 = 0 (P � 10)(P � 10) = 0 P1 = 10 P2 = 10 Para comprobar reemplazamos determinamos la producción óptima y obtenemos: 10 + 4Q = 10 Q = 0 Reemplazando en los beneficios: ⇡ = 10 · 0� 10 · 0� 2(0)2 ⇡ = 0 La conclusión es que con un precio de 10 la firma obtiene beneficio 0. Ahora bien, que la empresa no produzca es una consecuencia de que la empresa tiene solo costos variables y, por lo tanto, no se puede extrapolar a otros casos. Problema 2. Suponga que se tiene una empresa del Estado que produce un bien de importancia nacional. Este bien tiene una demanda de: Q = 80� 2P Mientras que la estructura de costos de la firma estatal es de la forma: C(Q) = 280 + 10Q+ 0, 25Q2 Se le pide: Suponga que la empresa está sola en el mercado, pero actua como si estuviera en competencia perfecta. Encuentre la producción, el punto de equilibrio y los beneficios de la firma. Respuesta Sabemos que el equilibrio se da en: CMg = P 10 + 0, 5Q = P 10 + 0, 5Q = 40� 0, 5Q Q = 30 P = 25 Entonces los beneficios son de la firma: ⇡ = 30 · 25� 280� 10 · 30 + 0, 25 · (30)2 ⇡ = 750� 280� 300� 225 ⇡ = �55 Por lo tanto, todos los periodos la empresa estatal genera una perdida de -55. 6 Suponga que un grupo de privados ofrece comprar la firma estatal a cambio de dar una cantidad de los beneficios obtenidos. Si la firma en manos de privados se comporta de forma monopólica, ¿Cuanto es lo máximo que están dispuestos a pagar los privados? Respuesta Sabemos que como monopolio la condición es: IMg = CMg Donde: IT = (40� 0, 5Q)Q IMg = 40�Q Entonces: 40�Q = 10 + 0, 5Q 30 = 1, 5Q Q = 20 P = 30 Por lo tanto el beneficio está dado por: ⇡ = 20 · 30� 280� 10 · 20 + 0, 25 · (20)2 ⇡ = 600� 280� 200� 100 ⇡ = 20 Por lo tanto, la máxima disposición a pagar es de 20. Si el criterio de asignación de recursos se realiza en base al excedente del consumidor mas las rentas obtenidas de privados, ¿El estado cede la firma? Respuesta Calculamos el excedente del consumidor en el primer caso como: EC1 = 15 · 30 2 = 225 Calculamos el excedente del consumidor en el segundo caso como: EC2 = 10 · 20 2 = 100 Por lo tanto, el criterio es: C1 = 225 Calculamos el excedente del consumidor en el segundo caso como: C2 = 100 + 20 = 120 Por lo que bajo este criterio no se debeŕıa vender el activo. Comente el criterio de asignación de recursos del estado. 7 Problema 3. Suponga que usted encuentra un monopolio cuya función de costos totales es de la forma: C(Q) = 10 + 5Q Enfrenta una demanda dada por: P = 100�Q Se le pide: Determine el equilibrio monopólico y grafiquelo. Respuesta El monopolio maximiza beneficios sujeto a: IMg = CMg Donde: IT (Q) = (100�Q)Q IT (Q) = (100Q�Q2) @IT (Q) @Q = IMg = 100� 2Q Ahora igualamos IMg = CMg obteniendo: IMg = CMg 100� 2Q = 5 QM = 47, 5 Para obtener el precio reemplazamos en la demanda y obtenemos: P = 100� 47, 5 P = 52, 5 Graficamente: 8 Determine el beneficio monopólico e identifiquelo en el gráfico. Respuesta El beneficio del monopolista viene dado por la diferencia entre el precio que cobra y su costo marginal por la cantidad de unidades que vende, es decir: ⇡ = P (Q) ·Q� C(Q) ⇡ = 52, 25 · 47, 5� (10� 5 · 47, 5) ⇡ = 2246, 25 Graficamente: Determine el valor de la perdida social que produce el monopolio e identifiquela en el gráfico. Respuesta La pérdida social viene dada por aquella cantidad que los consumidores dejan de adquirir dado el precio monopólico, frente al precio de competencia perfecta. Para poder calcular esto primero debemos calcular el equilibrio de competencia perfecta. El equilibrio de competencia perfecta corresponde al punto donde CMg = Dda, es decir: CMg = Dda 5 = 100� P P ⇤ = 95 Q⇤ = 5 Entonces la pérdida de eficiencia viene dada por: PEE = 1 2 (95� 47, 5)(52, 5� 5) PEE = 1 2 (47, 5)(47, 5) PEE = 1 2 (2256, 25) PEE = 1128, 125 9 Graficamente: 10


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