ort_vj_08_bode_asimptotski

Osnove regulacijske tehnike prof. dr.sc. Dario Matika mr.sc. Dalibor Brnobić Vježba: Bodeovi dijagrami asimptotski prikaz amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike Bodeovi dijagrami - uvod Definicije: ω kružna frekvencija ω = 2πf A(ω ) = G ( jω ) L(ω ) = 20 log A(ω ) A(ω) pojačanje sustava na frekveniciji ω L(ω) amplitudna frekvencijska karakteristika φ(ω) fazna frekvencijska karakteristika im G ( jω ) ϕ (ω ) = arctg re G ( jω ) Ishodište: zamjena s →jω G ( s ) → G ( jω ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 2 Bodeovi dijagrami - uvod Dijagram: x - os logaritamska skala + kružna frekvencija ili logaritam kružne frevencije + linearna skala y – os L(ω) i φ(ω) na istom grafu ili dva jednostruka dijagrama MATLAB s=tf(‘s') G=10*(1+10*s)/(1+100*s)^2 bode(G) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 3 Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz Svrha: grubo skicirati tijek frekvencijskih karakteristika uvidjeti (“dobiti osjećaj o”) temeljna značajke osnovnih dinamičkih komponenti u frekvencijskom prostoru kriteritički procjeniti ispravnosti rezultata dobivenih pomoću numeričkih alata brže lociranje pogreške odbaciti neargumentirani odgovor “tako je pokazao MATLAB” Nije svrha: inzistirati na apsolutnoj preciznosti dijagrama Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 4 Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz Karakteristični nagibi -1 -20dB/dekadi -2 -40dB/dekadi -3 -60dB/dekadi ... Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 5 Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz Postupak crtanja: 1. 2. 3. 4. • 5. 6. raščlaniti složenu prijenosnu funkciju na osnovne dinamičke komponente analizirati ključne veličine svakog dijela ponaosob odrediti minimalne i maksimalne frekvencije od interesa procjeniti dimenzije grafa max, min: logω, L, φ nacrtati Bodeov dijagram za osnovne komponente grafički “zbrojiti” pojedine odazive 6 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz 6. grafički “zbrojiti” pojedine odazive kako i zašto? Amplitudna karakteristika: G1(s) G2(s) G(s ) = G1 (s )G2 (s ) A(ω) = G1 (ω )G2 (ω ) = G1 (ω ) G2 (ω ) L(ω ) = 20 log A(ω ) = 20 log( G1 (ω ) G2 (ω ) ) = 20 log G1 (ω ) + 20 log G2 (ω ) = 20 log A1 (ω ) + 20 log A2 (ω ) = L1 (ω ) + L2 (ω ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 7 Bodeovi dijagrami – asimptotski prikaz 6. grafički “zbrojiti” pojedine odazive kako i zašto? Fazno kašnjenje: ako G1 na frekvenciji ω unosi kašnjenje φ1 - kut između y(t) i u(t) G2 na frekvenciji ω unosi kašnjenje φ2 - kut između z(t) i y(t) onda serijska veza G1G2 frekvenciji ω unosi kašnjenje φ = φ1 + φ2 - kut između z(t) i u(t) u(t) G1(s) y(t) G2(s) z(t) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 8 Bodeovi dijagrami – primjer 1 Primjer 1: Nacrtaj Bodeov dijagram sustava s prijenosnom funkcijom 10(s + 3) G (s ) = s (s + 2 ) s 2 + s + 2 ( ) 1. korak raščlaniti složenu prijenosnu funkciju na osnovne dinamičke komponente 10 ⋅ 3(1 + 1 / 3s ) 7.5 (1 + 1 / 3s ) = G (s ) = 2 s ⋅ 2(1 + 1 / s ) ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 / 2s + 1 / 2s s (1 + 1 / s ) 1 + 1 / 2s + 1 / 2 s 2 ( ) ( ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 9 Bodeovi dijagrami – primjer 1 1. korak G(s) se može (mora!) rasčlaniti na osnovne komponente: K = 7 .5 1 G1 (s ) = s konstanta pol u ishodištu - astatizam dvostruki pol - PT2 član potrebna dodatna analiza podtipa realan pol – PT1 član realna nula porast lomne frekvencije olakšava kasnije crtanje G2 (s ) = 1 1 + 1 / 2s + 1 / 2s 2 1 G3 (s ) = 1 + 1 / 2s G4 (s ) = 1 + 1 / 3s Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 10 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Konstanta K = 7.5 Amplitudna karakteristika – pravac s nagibom nula na L(ω ) = 20 log K = 17,5[dB ] Fazna karakteristika – pravac s nagibom nula na ϕ (ω ) = 0° Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 11 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Proporcionalni član K = 7.5 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 12 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Astatizam Amplitudna karakteristika - pravac s nagibom -1 (nagib od -20dB/dekadi) - sječe x-os (L(ω)=0) pri 1 G1 (s ) = s ω = 1 ⇒ log(ω ) Fazna karakteristika – pravac s nagibom nula na ϕ1 (ω ) = −90° (Nema promjena u karakteristici, nema niti lomne frekvencije!) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 13 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Astatizam G1 ( s ) = 1 s Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 14 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente 1 dvostruki pol G2 (s ) = 1 + 1 / 2s + 1 / 2s 2 Potrebno odrediti da li se radi o - realnim ili konjugirano kompleksim polovima - da li dolazi do frekvencijskog nadvišenja → potrebno odrediti koeficijent realnog prigušenja G2 (s ) = 1 1 1 1+ s + s2 2 2 = 1+ 1 2ζ ωn s+ s 2 ωn 2 ωn = 2 ζ = 0,354 15 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Prema tome - konjugirano kompleksni polovi – oscilatorna komponenta - postoji frekvencijsko nadvišenje ζ = 0,354 < 0,707 ωmax = ωn 1 − 2ζ 2 = 1,224[rad / s ] Amax = K (= 1) 2ζ 1 − ζ 2 log ωmax = 0,088 Lmax = 20 log(1,51) = 3,58[dB ] = 1,51 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 16 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Asimtotski prikaz – vezan za lomnu frekvenciju: Amplitudna karakteristika: - do lomne frekvencije (NF asimptota): nagib 0 na 0dB - iznad lomne frekvencije (VF asimptota): nagib -2 Fazna karakteristika: - 1 dekada ispod lomne frekvencije (NF): 0° - 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): -180° - između (VRLO!) gruba aproksimacija: prijelaz po 180° /2dekade = 90° /dekadi Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 17 Bodeovi dijagrami – primjer 1 PT2s 1 G2 (s ) = 1 + 1 / 2s + 1 / 2s 2 ωn = 2 ζ = 0,354 log ωn = 0,15 log ωmax = 0,088 Lmax = 3,58[dB ] Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 18 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Pol 1 G3 (s ) = 1 + 1 / 2s Karakteristične veličine: T3 = 1 / 2 ω3 = 1 / T3 = 2[rad / s ] log ω3 = 0,3 Asimptotski prikaz – lomna frekvencija na 0,3 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 19 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Amplitudna karakteristika: - do lomne frekvencije (NF asimptota): nagib 0 na 0dB - iznad lomne frekvencije (VF asimptota): nagib -1 (jednostruki pol) Fazna karakteristika: - 1 dekada ispod lomne frekvencije (NF): 0° - 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): -90° - između aproksimacija: prijelaz po 90° /2dekade = 45° /dekadi Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 20 Bodeovi dijagrami – primjer 1 PT1 1 G3 (s ) = 1 + 1 / 2s log ω3 = 0,3 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 21 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Nula G4 (s ) = 1 + 1 / 3s Karakteristične veličine: T4 = 1 / 3 ω4 = 1 / T4 = 3[rad / s ] log ω4 = 0,48 Asimptotski prikaz – lomna frekvencija na 0,3 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 22 Bodeovi dijagrami – primjer 1 2. korak analizirati ključne veličine pojedine komponente Amplitudna karakteristika: - do lomne frekvencije (NF asimptota): nagib 0 na 0dB - iznad lomne frekvencije (VF asimptota): nagib +1 (jednostruka nula) Fazna karakteristika: - 1 dekada ispod lomne frekvencije (NF): 0° - 1 dekada iznad lomne frekvencije (VF): +90° - između aproksimacija: prijelaz po +90° /2dekade = +45° /dekadi Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 23 Bodeovi dijagrami – primjer 1 nula G4 (s ) = 1 + 1 / 3s log ω4 = 0,48 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 24 Bodeovi dijagrami – primjer 1 Za brže i lakše rješavanje koraka... 3. 4. • • odrediti minimalne i maksimalne frekvencije od interesa barem 2,5 dekade ispod(iznad) najniže(najviše) lomne frekvencije procjeniti dimenzije grafa max, min: logω, L, φ odrediti najneugodniji slučaj (samo polovi, samo nule...) 5. nacrtati Bodeov dijagram za osnovne komponente ...se preporuča kreiranje pomoćne tablice Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 25 Bodeovi dijagrami – primjer 1 Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima F(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) 0.15 0.30 0.48 ±1 −0.85 −0.70 −0.52 1.15 1.30 1.48 − 0 0 2 Nagib −1 0 0 0 −2 −1 1 − − 2 0 2 Dodatno: 20logK=Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima 26 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 1 korak 5: ucrtati karakteristike svih komponenti na zajednički dijagram Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 27 Bodeovi dijagrami – primjer 1 korak 6: “grafičko zbrajanje” Amplitudna karakteristika do prve lomne frekvencije (ω2): astatizam+konstanta nagib: -1 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 28 Bodeovi dijagrami – primjer 1 korak 6: “grafičko zbrajanje” Amplitudna karakteristika do ω3: astatizam+konstanta +dvostruki pol nagib: -1+(-2)=-3 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 29 Bodeovi dijagrami – primjer 1 L(ω)[dB] φ(ω)[°] 40 90 logω2 logω3 logω4 L4(ω) korak 6: “grafičko zbrajanje” Amplitudna karakteristika 20 45 20logK -1 1 -20 -45 0 1 2 log ωn L1(ω) -40 -90 L3(ω) -60 -135 do ω4: astatizam+konstanta +dvostruki pol +jednostruki pol nagib: -1+(-2)+(-1)=-4 30 -80 -180 L2(ω) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 1 L(ω)[dB] φ(ω)[°] 40 90 -1 logω2 logω3 logω4 L4(ω) korak 6: “grafičko zbrajanje” Amplitudna karakteristika 20 45 20logK -3 -1 1 -20 -45 -4 0 -3 L1(ω) -40 -90 L3(ω) -60 -135 1 2 log ωn iznad ω4: nagib: -1+(-2)+(-1)+1=-3 na kraju: naznačiti amplitudno nadvišenje 31 -80 -180 L2(ω) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 1 logω2-1 L(ω)[dB] φ(ω)[°] logω3-1 logω4-1 40 90 logω2+1 logω3+1 logω4+1 φ4(ω) korak 6: “grafičko zbrajanje” Fazna karakteristika 20 45 20logK -1 1 -20 -45 φ1(ω) -40 -90 0 φ3(ω) 1 2 log ωn -20 -135 φ2(ω) U svakoj ključnoj točki potrebno je zbrojiti fazne kuteve svih komponenti (ne zaboraviti 90° koje unosi astatizam) -40 -180 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 32 logω2-1 L(ω)[dB] φ(ω)[°] logω3-1 logω4-1 40 90 φ4(ω) logω2+1 logω3+1 logω4+1 20 45 20logK -1 -20 -45 φ1(ω) -40 -90 0 φ3(ω) 1 2 log ωn -60 -135 φ2(ω) Bodeovi dijagrami – primjer 1 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama -80 -180 -100 -225 φ(ω) -120 -270 -140 -315 -160 -360 33 Bodeovi dijagrami – primjer 1 10(s + 3) G (s ) = s (s + 2 ) s 2 + s + 2 ( ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 34 Bodeovi dijagrami – primjer 1 10(s + 3) G (s ) = s (s + 2 ) s 2 + s + 2 ( ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 35 Bodeovi dijagrami – primjer 1 10(s + 3) G (s ) = s (s + 2 ) s 2 + s + 2 ( ) (0 .4 8, -8 .6 3) → ← (0 .3 0, 5. 46 ) 0.5 Usporedba točnog i asimptotskog prikaza dijagrama 40 20 0 -20 -40 -1 -0.5 0 (0 .1 5, 14 .4 9) → L (dB) 1 1.5 -50 -100 pha se(deg) -150 -200 -250 -300 (0. 85 ,-9 0. 00 (0. ) 52 → ,-1 27 .3 2) ← (0. → 70 ,-1 03 .5 5) -1 -0.5 0 0.5 log10 ω(rad/s)) (1 .3 0, -2 77 .9 2) ← → (1. 15 ,-2 77 ← .9 2) (1 .4 8, -2 70 .0 0) 1 1.5 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 36 Bodeovi dijagrami – primjer 2 Primjer 2: Nacrtaj Bodeov dijagram sustava s prijenosnom funkcijom s +1 G (s ) = K 2 s (s + 2)(s + 10 ) 1. korak za K =1 s +1 s +1 G (s ) = = 0,005 2 2 2 2 ⋅10 ⋅ s (1 + 0,5s )(1 + 0,1s ) s (1 + 0,5s )(1 + 0,1s ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 37 Bodeovi dijagrami – primjer 2 G(s) se raščlanjuje na osnovne komponente: K1 = 0,005 1 G1 (s ) = s G2 (s ) = 1 + s G3 (s ) = 1 1 + 0,5s konstanta astatizam nula pol 20 log K1 = −46dB T2 = 1 ω2 = 1 log ω2 = 0 T3 = 0,5 ω3 = 2 log ω3 = 0,3 T4 = 0,1 ω3 = 10 log ω4 = 1 1 G4 (s ) = 2 dvostruki pol (1 + 0,1s ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 38 Bodeovi dijagrami – primjer 2 Pomoćna tablica s ključnim vrijednostima F(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) Dodatno: 20logK1=-46dB Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 39 ±1 0 0,3 1 −1 −0.70 0 1 1.30 2 − 2 2 2 Nagib −1 0 0 0 +1 −1 −2 0 0 − 0 Bodeovi dijagrami – primjer 2 s +1 G (s ) = K za K = 1 Usporedba točnog i asimptotskog 2 prikaza dijagrama s (s + 2 )(s + 10 ) -40 L(dB) -60 -80 -100 -1.5 )→ 00 ,-5 3. 98 (0 . ← 8. (-0 55 .3 )→ 0 ,-5 8 .5 -1 -0.5 0 5) (1 . 0.5 00 ,-6 0. 00 1 )→ ← (0 . 70 ,-5 3. 98 1.5 -20 ) 2 2.5 0) → -100 phase(deg) -150 -200 -250 -300 -1.5 00 ,-5 ,-9 0 (0 . ← (1 . .0 00 ,-1 48 .5 5 -50 ) .0 0 (-1 (1 . 70 ,-2 -1 -0.5 0 0.5 log10 ω(rad/s)) 1 42 1.5 .9 1 ← (2 . )→ 2 00 ,-2 2.5 40 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 70 .0 0 ) Bodeovi dijagrami – primjer 3 Primjer 3: Bodeov dijagram inverzne prijenosne funkcije Problem: Poznat je Bodeov dijagram za (prototipni) sustav G(s). Skiciraj Bodeov dijagram za sustav G1(s)=1/G(s). poznato: L(ω ) = 20 log G (ω ) ϕ (ω ) = arg G (ω ) 1 1 G1 (s ) = ⇒ L1 (ω ) = 20 log = −20 log G (ω ) = − L(ω ) G ( s) G (ω ) 1 ⇒ ϕ1 (ω ) = arg G1 (ω ) = arg = − arg G (ω ) = −ϕ (ω ) G (ω ) Zaključak: potrebno je zamijeniti predznak karakteristike prototipne f-je → potrebno je graf karakteristike zrcaliti oko osi x!!! Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 41 Bodeovi dijagrami – primjer 3 prototip PT1 1 G3 (s ) = 1 + 1 / 2s inverz: PD G3 ' (s ) = 1 + 1 / 2s Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 42 Bodeovi dijagrami – primjer 4 Primjer 4: Bodeov dijagram neminimalno-fazne funkcije Problem: neminimalno-fazna funkcija ima nulu u desnoj s poluravnini. Primjer: G5 (s ) = Postupak: s −3 3 3− s 3 = (1 − 1 / 3s ) = 1 − 1 / 3s = 1 − T5 s 1. standardni zapis G5 (s ) = 3 3 2. s→jω G5 (ω ) = 1 − jTω 3. AFK A5 (ω ) = 1 − jT5ω = 1 + T5 ω 2 2 L5 (ω ) = 20 log 1 + T5 ω 2 = 10 log(1 + T5 ω 2 ) 2 2 3. FFK ϕ5 (ω ) = Im (1 − jT5ω ) − T5ω = = −T5ω Re (1 − jT5ω ) 1 43 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 4 G5 (s ) = 1− T5 s L5 (ω ) = 10 log 1 + T5 ω 2 2 ( ) ϕ5 (ω ) = −T5ω ϕ 4 (ω ) = T4ω Usporedba s poznatim članom – poznatim prototipom: G4 (s ) = 1− T4 s Zaključak: L4 (ω ) = 10 log 1 + T4 ω 2 2 ( ) fazno-neminimalna nula - ima istu amplitudnu karakteristiku kao i fazno-minimalna nula (VF: +1) - ima inverznu faznu karakteristiku u odnosu na faznominimalnu nulu (VF: -90° ) 44 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 4 prototip PD G4 (s ) = 1 + 1 / 3s fazno-neminimalna nula G5 (s ) = 1 − 1 / 3s G4 (s ) G5 (s ) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 45 Bodeovi dijagrami – primjer 5 Primjer 5: Zadatak 1, ispit 9.7.2004. Na slici su prikazani asimptrotski prikazi bodeovih dijagrama za sustave 6 i 7. Iz dijagrama odredi prijenosne funkcije G6(s) i G7(s) SUSTAV 6 A(0.60,-13.98) B(1.00,-6.02) C(1.30,-6.02) SUSTAV 7 A(0.30,-18.06) B(1.00,-46.02) C(1.30,-52.04) D(-0.40,0.00) E(0.00,-17.91) F(0.30,-45.00) G(1.60,-220.6) H(2.00,-256.5) I(2.30,-270.00) D(-0.70,-90.00) E(0.00,-121.45) F(0.30,-121.45) G(1.30,-166.45) H(2.00,-166.45) I(2.30,-180.00) Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 46 Bodeovi dijagrami – primjer 5 Rješenje za G6(s) : Sustav je proporcionalan (nema astatizma, nagib 0 na NF). Pojačanje sustava (NF): Lomne frekvencije: L( NF ) = −13,98dB ⇒ K = 1 / 5 promjena: AFK: +1 FFK:-90° promjena: AFK: -1 FFK:-90° neminimalno-fazna nula: log ω A = 0,6 ω A = 4, TA = 1 / 4 log ω B = 1 G A (s ) = 1− 1 / 4 s jednostruki pol : ω B = 10, TB = 1 / 10 G B (s ) = 1 1 + 1 / 10 s Napomena: nagibe, odnosno promjenu nagiba, potrebno je odrediti numerički, ili grafički za frekvencije gdje to nije moguće napraviti numerički. Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 47 Bodeovi dijagrami – primjer 5 log ωC = 1,3 promjena: AFK: -1 FFK:-90° jednostruki pol : ωC = 20, TC = 1 / 20 GC (s ) = 1 1 + 1 / 20 s 0 +1 -1 G6(s) je serijski spoj svih komponenti: G6 (s ) = K G A (s )GB (s )GC (s ) = 1 1 − 1 / 4s 5 (1 + 1 / 10s )(1 + 1 / 20 s ) 0 neminimalno-fazna komponenta -270° Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 48 Bodeovi dijagrami – primjer 5 Rješenje za G7(s) : Sustav ima astatizam ↔ nagib (-1) na NF. Za pojačanje sustava: 1) zanemariti sve osim astatizma 2) očitati amplitudu pri ω=0 i odrediti K L(log ω = 0) = −18,06dB + 20 dB dek ⋅ 0,3dek = 12,06 ⇒ K = 1 / 4 Lomne frekvencije: jednostruki pol : promjena: AFK: -1 FFK:-90° promjena: AFK: +1 FFK:+90° log ω A = 0,3 ω A = 2, TA = 1 / 2 log ω B = 1 1 G A (s ) = 1 + 1 / 2s jednostruka nula : ω B = 10, TB = 1 / 10 GB (s ) = 1+ 1 / 10 s 49 Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama Bodeovi dijagrami – primjer 5 log ωC = 1,3 promjena: AFK: -1 FFK:-90° jednostruki pol : ωC = 20, TC = 1 / 20 GC (s ) = -1 1 1 + 1 / 20 s -2 G7(s) je serijski spoj svih komponenti: G7 (s ) = K G A (s )GB (s )GC (s ) = 1 1 + 1 / 10 s 4 (1 + 1 / 2 s )(1 + 1 / 20 s ) -1 -2 0° -180° Osnove regulacijske tehnike – Asimptotski prikaz Bodeovog dijagrama 50