Mecanica de Fluidos Franzini Finnemore

Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería, Novena edición, Joseph B. Franzini, E. John Finnemore 21 de noviembre de 2013 1. INTRODUCCIÓN 1.1. ÁMBITO DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS Existen dos tipos de fluidos, gases y líquidos, siendo el aire y el agua los más comunes. La Mecánica de fluidos es la ciencia de la mecánica de los líquidos y los gases, y está basada en los mismos principios fundamentales utilizados en la Mecánica de sólidos. La Mecánica de fluidos se puede dividir en tres ramas: la Estática de fluidos, que es el estudio de la mecánica de fluidos en reposo; la Cinemática, que trata de las velocidades y las líneas de corriente sin considerar fuerzas ni energía; y la Dinámica de fluidos, que trata de las relaciones entre velocidades y aceleraciones y las fuerzas ejercidas por o sobre fluidos en movimiento. Cuando tratamos solamente de los líquidos, esta asignatura se llama Hidráu- lica. 2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 2.1. DISTINCIÓN ENTRE UN SÓLIDO Y UN FLUIDO Un fluido bajo la aplicación del esfuerzo más mínimo fluirá y seguirá fluyendo mientras esté presente. 2.2. DISTINCIÓN ENTRE UN GAS Y UN LÍQUIDO Un fluido puede ser un gas o un líquido. Las móleculas de un gas están mucho más separadas que las de un líquido. Un vapor es un gas cuya temperatura y presión son tales que está muy cerca de la fase líquida. Un ejemplo sería el vapor de agua. Un gas se puede considerar como un vapor sobrecalentado; o dicho en otras palabras, su estado está alejado de la fase líquida. 1 El volumen de un gas o vapor es muy sensible a cambios de presión y/o temperatura. 2.3. DENSIDAD, PESO ESPECÍFICO, VOLUMEN ES- PECÍFICO Y DENSIDAD RELATIVA 2.4. FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES 2.5. COMPRESIBILIDAD DE LOS LÍQUIDOS La compresibilidad (cambio de volumen debido a un cambio en presión) de un líquido es inversamente proporcional a su módulo de elasticidad volumétrico, también denominado coeficiente de compresibilidad. Se define este módulo como Eν = −νdp/dν = −(ν/dν)dp, donde ν = volumen específico y p = presión. Como −ν/dν es una razón adimensional, las unidades de Eν y p son idénticas. 2.6. PESO ESPECÍFICO DE LOS LÍQUIDOS El peso específico de un líquido varía ligeramente con la presión, depen- diendo del coeficiente de compresibilidad del líquido; depende también de la temperatura, y la variación puede ser notable. 2.7. ECUACIONES DE ESTADO DE LOS GASES PER- FECTOS Las propiedades de un gas cumplen ciertas relaciones entre sí. Estas rela- ciones varían para cada gas. Cuando las condiciones de la mayoría de los gases reales están alejadas de la fase líquida, estas relaciones se aproximan a las de los gases perfectos. Los gases perfectos se definen aquí de la forma usual, co- mo aquellos que tienen calor específico constante y cumplen la ley de los gases perfectos, p ρ = pν = RT Dado que γ = ρg: γ = gp RT Debido a que estas ecuaciones relacionan varias propiedades de un gas en un estado dado, se denominan ecuaciones de estado. Los gases perfectos pueden llamarse también ideales. Hay que tener cuidado de no confundir un gas perfecto (ideal) con un fluido ideal. La ley de Avogadro establece que todos los gases a la misma temperatura y presión bajo la acción de un valor dado de g tienen el mismo número de moléculas por unidad de volumen, de donde se deduce que el peso específico de un gas es proporcional a su peso molecular. Por tanto, si el peso molecular se 2 representa por M , γ2/γ1 = M2/M1, y γ2/γ1 = R1/R2 para los mismos valores de temperatura, presión y g. Entonces: M1R1 = M2R2 = constante = R0 R0 se denomina a la constante universal de los gases, y es igual a 8.312 N · m/(kg · K) o 49.709 ft · lb/slug · ◦R). Cuando se aumenta la presión mientras se reduce la temperatura, un gas se convierte en vapor. Otra ecuación fundamental para un gas perfecto es pvn = p1v n 1 = constante donde p es la presión absoluta, v(1/ρ) el volumen específico, y n puede tener cualquier valor no negativo entre cero e infinito según el proceso que sufra el gas. Como esta ecuación describe el cambio de propiedades de un gas al pasar de un estado a otro para un proceso dado, se denomina ecuación de proceso. Si el proceso de cambio es a una temperatura constante (isotérmico), n = 1. Si no se produce ninguna transferencia de calor hacia el gas o a la inversa, el proceso se denomina adiabático. Un proceso adiabático sin fricción (y reversible) se denomina un proceso isentrópico, y se escribe k en lugar de n, donde k = cp/cv, la relación entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen contante. Para el aire y gases diatómicos a temperaturas habituales se puede asignar a k el valor de 1.4. 2.8. COMPRESIBILIDAD DE LOS GASES 2.9. ATMÓSFERA ESTÁNDAR 2.10. FLUIDO IDEAL Un fluido ideal se puede definir como un fluido en el que no existe fricción; es no viscoso (es decir, su viscosidad es cero). Por tanto, las fuerzas internas en cualquier sección dentro del mismo son siempre normales a la sección, incluso si hay movimiento. Estas fuerzas son puramente fuerzas de presión. 2.11. VISCOSIDAD La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a la deformación cortante o angular. Al aumentarse la temperatura, la viscosidad de todo líquido disminuye, mientras que la viscosidad de todo gas aumenta. El esfuerzo cortante τ entre dos capas finas de fluido cualesquiera se puede expresar como τ = F A = µ U Y = µ du dy La ecuación se denomina ecuación de viscosidad de Newton. La forma trans- puesta de la ecuación sirve para definir la constante de proporcionalidad 3 µ = τ du/dy se denomina coeficiente de viscosidad, viscosidad absoluta, viscosidad diná- mica (debido a que está relacionada con la fuerza), o simplemente viscosidad del fluido. La distinción entre un sólido y un fluido reside en la manera en que cada uno resiste la aplicación de esfuerzos cortantes. En el caso de un sólido, el esfuerzo cortante depende de la magnitud de la deformación; mientras que para muchos fluidos el esfuerzo cortante es proporcional a la variación de la deformación (angular) con respecto al tiempo. Un fluido para el que la constante de proporcionalidad (es decir, la viscosi- dad) no cambia con la velocidad de deformación se denomina fluido newtoniano. Las dimensiones de la viscosidad absoluta son fuerza por unidad de área partido por el gradiente de velocidad. En el sistema internacional de unidades (SI), las unidades de viscosidad absoluta son: N· s/m2 y lb · s/ft2. Una unidad muy utilizada para la viscosidad en el sistema métrico es el poise (P). El poise = 0.10 N· s/m2. El centipoise (cP) (= 0.01 P = 1 mN· s/m2) es frecuentemente una unidad más cómoda. En muchos problemas relacionados con la viscosidad, ésta aparece partida por la densidad. Esta relación se conoce como viscosidad cinemática υ, así de- nominada porque la fuerza no está involucrada en las dimensiones, quedando únicamente la longitud y el tiempo, como en Cinemática υ = µ ρ La viscosidad cinemática υ se mide habitualmente en m2/s en el sistema internacional, y en ft2/s en el sistema británico de unidades. Anteriormente, las unidades utilizadas en el sistema métrico eran el cm2/s, también denomi- nado stoke (St). El centistoke (cSt) (0.01 St = 10−6 m2/s) era la unidad más conveniente en muchas ocasiones. La viscosidad absoluta de todos los fluidos es prácticamente independiente de la presión en el rango de valores que se encuentran en el campo de la ingeniería. 2.12. TENSIÓN SUPERFICIAL 2.12.1. Capilaridad Los líquidos tienen las propiedades de cohesión y adhesión; ambas son formas de atracción molecular. La cohesión permite que un líquido resista esfuerzos de tensión, mientras que la adhesión le permite adherirse a otro cuerpo. En la entrefase entre un líquido y un gas, es decir, en la superficie del líquido, y en la superficie entre dos líquidos inmiscibles (no mezclables), la fuerza de atracción no compensada entre móleculas forma una película imaginaria capaz de resistir tensiones. Esta propiedad de los líquidos se denomina tensión superficial. La 4 capilaridad es la propiedad de aplicar fuerzas sobre fluidos mediante tubos finos o medios porosos; se debe tanto a la cohesión como a la adhesión. 2.13. PRESIÓN DE VAPOR DE LOS LÍQUIDOS 3. ESTÁTICA DE FLUIDOS No existen esfuerzos cortantes en los fluidos en reposo, por lo que solamente están presentes las fuerzas normales de presión. La intensidad media de la presión p se define como la fuerza ejercida sobre una unidad de área. Si F representa la fuerza de presión normal total sobre un área finita A, mientras que dF representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA, la presión viene dada por p = dF dA Si la presión es uniforme sobre todo el área, entonces p = F/A. En el sistema internacional (SI) las unidades de presión que se utilizan comúnmente son el pascal (Pa = N/m2) o kPa (kN/m2), mientras que en el sistema de unidades británico (BG) las unidades de presión suelen ser libras por pulgada cuadrada (psi) o libras por pie cuadrado (lb/ft2 = psf). Anteriormente, en el sistema métrico, se utilizaban los bares y milibares para medir la presión; 1 mbar = 100 Pa. 3.1. PRESIÓN EN UN PUNTO IGUAL EN TODAS DI- RECCIONES 3.2. VARIACIÓN DE PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO dp dz = −γ Ésta es la expresión general que relaciona la variación de presión en un fluido en reposo con la posición vertical. El signo negativo indica que mientras z aumenta (mayor elevación) disminuye la presión. Para el caso de un fluido incompresible, p− p1 = −γ(z − z1) donde p es la presión a una elevación z. Esta presión se puede aplicar de forma general a los líquidos debido a que son sólo ligeramente compresibles. Para pequeños cambios de elevación, la ecuación dará resultados precisos cuando se aplica a los gases. Para el caso de un líquido en reposo es conveniente medir las distancias verticalmente hacia abajo desde la superficie libre del líquido. Si h es la distancia 5 por debajo de la superficie libre del líquido y si a la presión del aire y vapor en la superficie se les da arbitrariamente un valor igual a cero, la ecuación se puede escribir como p = γh De la ecuación se puede deducir que todos los puntos en un cuerpo continuo de fluido en reposo de densidad constante están bajo la misma presión si se encuentran a la misma profundidad por debajo de la superficie del líquido (ley de Pascal). Esto indica que una superficie de presión uniforme para un líquido en reposo es un plano horizontal. 3.3. PRESIÓN EXPRESADA COMO LA ALTURA DE UN FLUIDO Imagine un depósito de líquido abierto cuya superficie no experimenta pre- sión, aunque en realidad la presión mínima sobre cualquier superficie de líquido es la presión de su propio vapor. Descartando este detalle por el momento, la presión a cualquier profundidad h es p = γh. Si se supone que γ es igual a una constante, existe una relación explícita entre p y h. Esto es, presión (fuerza por unidad de área) es equivalente a una altura h de algún fluido de peso específico constante γ. Muchas veces es más conveniente expresar la presión en términos de una altura de una columna de fluido que como presión por unidad de área. La presión se puede expresar como la altura de una columna de cualquier fluido mediante la relación h = p γ Cuando la presión se expresa de esta manera, se suele denominar altura de presión. Como la presión se expresa habitualmente en kPa (o psi en las unidades británicas), y dado que habitualmente el valor de γ para el agua se supone que es de 9.81 kN/m3 (62.4 libras/pie3), una relacion conveniente es h(m de H2O) = kPa 9,81 = 0,1020× kPa h(ft de H2O) = 144× psi 62,4 = 2,308× psi p γ + z = p1 γ + z1 = constante Para un fluido incompresible en reposo, en cualquier punto del fluido, la suma de la elevación z y la altura de presión p/γ tiene el mismo valor. Esto significa que, en un fluido en reposo, al aumentar la elevación disminuye la altura de presión, y al revés. 6 3.4. PRESIÓN ABSOLUTAY PRESIÓNMANOMÉTRI- CA La presión de los líquidos no suelen estar muy afectadas por la presión, por lo que la presión relativa se utiliza comúnmente en problemas relacionados con líquidos. También, a menudo, se verá que la presión atmosférica aparece en ambos lados de una ecuación cancelándose a sí misma. Por tanto, el valor de la presión atmosférica suele tener poca importancia al tratarse de líquidos, y, por esta misma razón, en los líquidos se utilian las presiones relativas casi universalmente. 3.5. BARÓMETRO La presión absoluta de la atmósfera se mide mediante un barómetro. 3.6. MEDICIÓN DE LA PRESIÓN 3.6.1. Manómetro de Bourdon 3.6.2. Transductor de presión Un transductor es un dispositivo que transfiere energía (en cualquier forma) de un sistema a otro. 3.6.3. Columna piezométrica Una columna piezométrica es un dispositivo sencillo para la medición de presiones moderadas en líquidos. Consiste en un tubo de longitud adecuada en donde el líquido puede subir sin llegar a rebosar. La altura del líquido en el tubo dará directamente un valor de la altura de presión. 3.6.4. Manómetro simple Para determinar la altura de presión manométrica en A, en términos del lí- quido en A, se puede escribir una ecuación manométrica basada en las relaciones fundamentales de las presiones hidrostáticas. 3.6.5. Manómetros diferenciales En muchos casos interesa solamente la diferencia entre dos presiones, y por este motivo se pueden utilizar los manómetros diferenciales. El manómetro diferencial es apropiado para medir diferencias grandes de presión, cuando se utiliza con un líquido pesado como es el mercurio. 3.7. FUERZA SOBRE UN ÁREA PLANA No puede existir una fuerza tangencial dentro de un fluido en reposo. Toda fuerza es por tanto normal a las superficies en cuestión. 7 F = γhcA La fuerza total sobre cualquier área plana sumergida en un líquido se halla multiplicando el peso específico del líquido por el área y la profundidad de su centroide. El valor de F es independiente del ángulo de inclinación del plano siempre que no cambie la profundidad de su centroide. Como γhc es la presión en el centroide, se puede decir también que la fuerza total sobre cualquier área plana sumergida en un líquido es el producto del área y la presión en su centroide. 3.8. CENTRO DE PRESIÓN El punto de aplicación de la fuerza de presión resultante sobre un área sumer- gida se denomina el centro de presión. Necesitamos conocer su posición cuando queramos trabajar con el momento de esta fuerza. La línea de acción de la fuerza de presión resultante debe pasar por el cen- troide del prisma de presión (volumen). yp = Ay2c + Ic ycA = yc + Ic ycA P siempre se encuentra por debajo del centroide C y cuanto mayor sea la profundidad de inmersión tanto más se acercará P a C. 3.9. FUERZA SOBRE UN ÁREA CURVADA 3.9.1. Fuerza horizontal sobre una superficie curvada Fx = F ′ x = F ′ La fuerza horizontal en cualquier dirección dada sobre cualquier área es igual a la fuerza sobre la proyección de dicha área sobre un plano vertical normal a la dirección dada. La línea de acción de Fx debe ser la misma que la de F ′. La ecuación se puede aplicar tanto a gases como a líquidos 3.9.2. Fuerza vertical sobre un área curvada La fuerza vertical Fz sobre una área curvada o distorsionada se puede hallar teniendo en cuenta el volumen de líquido encerrado por el área y elementos verticales que se extienden hasta el nivel de la superficie libre. Este volumen de líquido está en equilibrio estático. Las únicas fuerzas verticales sobre este volumen de líquido son la fuerza FG = pGA debido a cualquier gas (a la presión pG) por encima del líquido, la fuerza de gravedad W que actúa hacia abajo, y FG′ la fuerza vertical que actúa hacia arriba sobre el área irregular. La fuerza F ′z debe ser igual y opuesta a la fuerza Fz. Cualquier otra fuerza que actúe sobre 8 los elementos verticales es normal al elemento, y como consecuencia horizontal. Por tanto F ′z −W − FG = 0 Fz = F ′ z = W + FG La fuerza vertical sobre un área es igual al peso del volumen de líquido por encima de él, más cualquier fuerza superpuesta debido a la presión de un gas. La línea de acción de Fz debe ser la resultante de FG y W . FG debe pasar por el centroide del área proyectada en la superficie, W debe pasar por el centro de gravedad del volumen de líquido. 3.9.3. Fuerza resultante sobre un área curvada En general no hay una sola fuerza resultante sobre un área irregular, debido a que las fuerzas horizontal y vertical no tienen por qué estar dentro del mismo plano. Pero en ciertos casos estas dos fuerzas coincidirán en el mismo plano y entonces se podrán combinar en una única fuerza. 3.10. FLOTACIÓN Y ESTABILIDADDE CUERPOS SU- MERGIDOS FLOTANTES 3.10.1. Cuerpo sumergido 3.10.2. Cuerpo flotante 3.11. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIÓN 4. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL FLUJO FLUI- DO 4.1. TIPOS DE FLUJO Un flujo fluido puede ser fluido ideal o fluido real. Un flujo se puede clasificar también como el flujo de un fluido incom presible o compresible. Existen varias clasificaciones de flujo. El flujo puede ser estacionario o no estacionario con respecto al tiempo. Puede ser laminar o turbulento. 4.2. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO En una situación dada, el hecho de que un flujo sea laminar o turbulento, o sea una combinación en mayor o menor grado de uno de los dos, es muy importante por los efectos marcadamente distintos que estos dos tipos de flujo tienen sobre una variedad de características del flujo, incluyento pérdidas de energía, perfiles de velocidad y mezcla de materias transportadas. 9 Osborne Reynolds demostró en 1883 que había dos tipos claramente diferen- tes de flujo. El primer tipo de flujo se denomina laminar, de líneas de corriente, o viscoso. El segundo tipo de flujo se denomina flujo turbulento. Una característica particular de la turbulencia es su irregularidad, dado que no hay una frecuencia definida como en la acción de las olas, y no se produce una configuración observa- ble como en el caso de los grandes torbellinos. El flujo turbulento se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad en todos los puntos del campo fluido. 4.3. FLUJO ESTACIONARIO Y FLUJO UNIFORME En un flujo estacionario, todas las condiciones en un punto dentro de una corriente se mantienen constantes con respecto al tiempo, pero las condiciones pueden ser distintas en puntos distintos. En un flujo uniforme verdadero la velocidad en un instante dado es igual tanto en magnitud como en dirección en cada punto del fluido. 4.4. SENDAS, LÍNEAS DE CORRIENTE Y LÍNEAS FLUI- DAS Una senda es la trayectoria seguida por una partícula individual durante un período de tiempo. La senda indica la dirección de la velocidad de la partícula en instantes sucesivos de tiempo. Las líneas de corriente indican la dirección media de una serie de partículas en el mismo instante de tiempo. Sendas y líneas de corriente son idénticas en el flujo estacionario de un fluido en que no hay componentes de velocidad que fluctúan, en otras palabras, para un flujo estacionario verdadero. Semejante flujo puede ser el de un fluido ideal sin fricción o el de un fluido tan viscoso que se mueve tan lentamente que no se forman remolinos. Este último es el flujo laminar, dentro del cual las capas de fluido se deslizan suavemente, una sobre la otra. 4.5. CANTIDAD DE FLUJO Y VELOCIDAD MEDIA La cantidad de fluido que fluye por unidad de tiempo a través de cualquier sección se denomina cantidad de flujo o simplemente flujo. Se puede expresar 1) en términos de flujo volumétrico (caudal) (metros cúbicos por segundo, m3/s), o 2) en términos del flujo másico (kilogramos por segundo, kg/s), o 3) el flujo de peso (kilonewtones por segundo, kN/s). En las unidades británicas, los pies cúbi- cos por segundo (cfs), los slugs por segundo, las libras por segundo son bastante comunes a la hora de expresar flujos de volumen, masa y peso respectivamente. Al tratar con fluidos incompresibles, normalmente se utiliza el caudal, mientras que el flujo de peso o flujo másico es más conveniente con fluidos compresibles. 10 4.6. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL Un sistema fluido se refiere a una masa específica de fluido que se encuentra dentro de contornos definidos por una superficie cerrada. En contraste, un volumen de control se refiere a una zona fija en el espacio que no se mueve y no cambia de forma. 4.7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD A1V1 = A2V2 = Q Ésta es la ecuacion de continuidad aplicable a fluidos incompresibles tanto para flujos estacionarios como no estacionarios dentro de contornos fijos. Suele ser adecuada para el análisis de flujo en conductos con contornos sóli- dos. 4.8. FLUJO UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL El término método de análisis unidimensional se aplica al flujo entre contor- nos que son realmente tridimensionales, entendiendo que la la dimensión única se toma sobre la línea de corriente central del flujo. 4.9. RED DE FLUJO Las líneas de corriente y la distribución de velocidades en el caso del flujo bi- dimensional estacionario de un fluido ideal dentro de cualquier configuración de contorno se pueden determinar mediante una red de flujo. Ésta es un entramado de líneas de corriente y líneas normales (perpendiculares) a ellas, espaciadas de tal manera que la distancia entre ambos conjuntos de líneas es inversamente proporcional a la velocidad local. 4.10. USO Y LIMITACIONES DE LA RED DE FLUJO Aunque la red de flujo está basada en un fluido sin fricción ideal, se puede aplicar al flujo de un fluido real dentro de ciertos límites. Tales límites están definidos por la manera en que el fluido real está afectado por factores despre- ciados en la teoría del fluido ideal. El más importante de estos factores es la fricción del fluido. Los efectos viscosos de un fluido real son más pronunciados en o cerca de un contorno sólido disminuyendo rápidamente con la distancia al contorno. 4.11. SISTEMA DE REFERENCIA EN PROBLEMAS DE FLUJO En problemas de flujo nos interesa realmente la velocidad relativa entre el fluido y el cuerpo. 11 4.12. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN UN FLUIDO ESTACIONARIO En un campo fluido tridimensional típico las velocidades pueden ser distintas tanto en magnitud como en dirección en todos los puntos. También la velocidad en cualquier punto en el campo puede variar con el tiempo. 5. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL FLUJO ESTACIONARIO 5.1. ENERGÍA CINÉTICA DE UN FLUIDO EN MOVI- MIENTO Cuando un cuerpo de masa m se mueve a una velocidad V tiene una energía cinética, EC = 12mV 2. Por tanto, si un fluido fluyese con todas las partículas moviéndose a la misma velocidad, su energía cinética sería también 12mV 2; esto se puede escribir como EC peso = 1 2mv 2 γV = 1 2 (γV )v 2 γgV = v2 2g donde V representa el volumen de la masa fluida. En unidades SI v2/2g se expresa en N * m/N = m y en unidades británicas en ft * lb/lb = ft. 5.2. ENERGÍA POTENCIAL La energía potencial de una partícula de fluido depende de su altura por encima de un plano arbitrario de referencia. Una partícula de fluido de peso W situada a una distancia z por encima de la referencia tiene una energía potencial deWz. Por tanto, su energia potencial por unidad de peso es z, de nuevo medida en unidades de N · m/N = m o de ft · lb/lb = ft. 5.3. ENERGÍA INTERNA La energía interna es energía almacenada que está asociada con el estado molecular o interno de la materia; se puede almacenar de muchas formas distin- tas, incluyendo la térmica, nuclear, química y electrostática. Los experimentos indican que la energía interna térmica es principalmente una función de la tem- peratura. 5.4. ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA PARA EL FLUJO ESTACIONARIO DE CUALQUIER FLUI- DO( p1 γ1 + z1 + α1 V 21 2g + I1 ) + hM +QC = ( p2 γ2 + z2 + α2 V 22 2g + I2 ) 12 Esta ecuación es aplicable a líquidos, gases y vapores, y tanto a fluidos ideales como a fluidos reales con fricción. La única limitación es que se refiera sólo a flujos estacionarios. 5.5. ECUACIONES DE LA ENERGÍA PARA FLUIDOS ESTACIONARIOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES, Y EL TEOREMA DE BERNOUILLI p γ + z + V 2 2g = constante Esta ecuación se conoce como el teorema de Bernouilli y es aplicable para un fluido incompresible sin fricción. Sin embargo, se puede aplicar a fluidos incompresibles reales con resultados buenos en situaciones donde los efectos de la fricción son muy pequeños. 5.6. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA PARA EL FLUJO ESTACIONARIO DE FLUIDOS COMPRESIBLES 5.7. LA ECUACIÓN DE EULER PARA MOVIMIENTO ESTACIONARIO DE UN FLUIDO IDEAL A LO LARGO DE UNA LÍNEA DE CORRIENTE 5.8. PRESIÓN EN EL FLUJO FLUIDO 5.8.1. Presión en conductos de sección transversal uniforme 5.8.2. Presión estática 5.8.3. Presión de remanso 5.9. CARGA En la ecuación todos los términos tienen dimensiones de longitud. Así, p/γ, denominada altura de presión, representa la energia por unidad de peso almace- nada en el fluido debido a la presión a que está sometida el fluido; z, denominada altura geométrica, representa la energía potencial por unidad de peso de fluido; y V 2/2g, denominadad altura cinética, representa la energía cinética por unidad de peso de fluido. La suma de estos tres términos se denomina la carga total y se suele representar por H, con lo que H = p γ + z + V 2 2g Cada término en esta ecuación, aunque habitualmente expresada en metros (o pies), representa newton metros de energía por newton de fluido en movi- miento (pie libras de energía por libra de fluido en movimiento en las unidades británica). La suma de los dos términos intermedios indicados anteriormente, (p/γ + z), se denomina altura piezométrica o altura estática. 13 5.10. POTENCIA EN EL FLUJO FLUIDO 5.11. CAVITACIÓN 5.12. DEFINICIÓN DE LAS LÍNEAS PIEZOMÉTRICAS Y DE ENERGÍA Cuando se tratan problemas de flujo de líquidos, suelen ser útiles los con- ceptos de línea de energía y línea piezométrica. Incluso con flujos de gases, estos conceptos pueden resultar aprovechables. El término p/γ + z se denomina la altura piezométrica, porque representa el nivel hasta donde subirá el líquido por un tubo de un piezómetro. La línea de altura motriz, o línea piezométrica (LP), es una línea trazada por los extremos superiores de las columnas piezométricas. Un tubo pitot es una pequeño tubo abierto con su extremo abierto apuntando aguas arriba, que registrará la energía cinética del flujo y por tanto indicará la carga total, p/γ + z + u2/2g. 5.13. PÉRDIDA DE CARGA EN UNA DESCARGA SU- MERGIDA Cuando un fluido a una velocidad V se descarga por el extremo de una tubería a un depósito o embalse que es tan grande que la velocidad dentro del mismo es despreciable, la energía cinética del flujo se disipa por completo. 5.14. APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS PIEZOMÉTRICA Y DE ENERGÍA Es útil estar familiarizado con los conceptos de línea de energía y línea pie- zométrica para la solución de problemas de flujo de fluidos incompresibles. 5.15. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO Para resolver problemas de flujo líquido existen dos ecuaciones fundamenta- les: la ecuación de continuidad y la ecuación de la energía. Se puede emplear el siguiente procedimiento: 1. Elija un plano de referencia que pase por un punto conveniente (más bajo). 2. Fíjese en qué secciones se conoce la velocidad o dónde se va a suponer su valor. Si en cualquier punto el área de una sección es muy grande comparada con su valor en otros puntos, la altura cinética será tan pequeña que se puede depreciar. 3. Fíjese en qué puntos se conoce la presión o dónde se va a suponer su valor. En un líquido en reposo, que tiene una superficie libre, se conoce la presión en todos los puntos dentro del fluido. La presión de un chorro es igual a la del medio que lo rodea. 14 4. Fíjese si existe algún punto donde se conozcan los tres términos, presión, elevación y velocidad. 5. Fíjese en si existe algún punto donde exista solamente una cantidad des- conocida. 5.16. TRAYECTORIA DE UN CHORRO Un chorro líquido libre en el aire describirá una trayectoria, o caminos bajo la acción de la gravedad, con una componente vertical de velocidad que cambia continuamente. 5.17. FLUJO SOBRE UNA TRAYECTORIA CURVADA 5.18. VÓRTICE ROTACIONAL O FORZADO En teoría se puede hacer que un fluido gire como un cuerpo sólido sin que haya movimiento relativo entre partículas, bien girando el recipiente que le con- tiene o bien agitando el fluido contenido con movimiento circular, para obligarle a girar. De esta manera se aplica un par externo. Un ejemplo común es el de rotación de un líquido dentro de una bomba centrífuga o el de un gas en un compresor centrífugo. 5.18.1. Vórtice cilíndrico forzado 5.18.2. Vórtice forzado espiral 5.19. VÓRTICES IRROTACIONALES O LIBRES 5.19.1. Vórtice libre cilíndrico 5.19.2. Vórtice libre espiral 6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUER- ZAS EN FLUJOS El tercer concepto básico es el principio de cantidad de movimiento. Este principio tiene importancia especial en problemas de flujo donde hay que deter- minar las fuerzas que actúan. Dichas fuerzas existen siempre que la velocidad de una corriente de fluido cambie de dirección o magnitud. 6.1. DEDUCCIÓNDEL PRINCIPIO DE CANTIDADDE MOVIMIENTO El principio de cantidad de movimiento se derivará de la segunda ley de Newton. El flujo puede ser compresible o incompresible, real (con fricción) o ideal (sin fricción), estacionario o no estacionario, y tampoco es preciso que la ecuación se aplique sobre una línea de corriente. Al aplicar la ecuación de 15 la energía a fluidos reales descubrimos que era preciso calcular la pérdida de energía. Este problema no existe a la hora de aplicar el análisis de cantidad de movimiento. 6.2. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Se puede deducri un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un fluido real para el caso general, teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre un elemento pequeño o volumen de control de fluido. Estas fuerzas son: la fuerza gravitacional, la fuerza viscosa (de fricción) y las fuerzas de presión. La ecuación de viscosidad de Newton para flujos unidimensionales se debe extender a flujos tridimensionales antes de que se puede incorporar. La deducción completa de estas ecuaciones es larga y laboriosa. No obstan- te, para un fluido incompresible con viscosidad constante, y para coordenadas rectangulares con z aumentando verticalmente hacia arriba, el resultado es −∂p ∂x + µ ( ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 ) = ρ [ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z ] −∂p ∂y + µ ( ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 + ∂2v ∂z2 ) = ρ [ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z ] −ρg − ∂p ∂z + µ ( ∂2w ∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂z2 ) = ρ [ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z ] Estas ecuaciones generales fundamentales del movimiento se denominan las ecuaciones de Navier-Stokes. Son ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden que aún no tienen una solución analítica general, aunque sí se han obtenido soluciones analíticas y numéricas para casos específicos. Las ecuaciones de Navier-Stokes son de hecho solamente una forma diferen- cial del principio de cantidad de movimiento lineal. 6.3. FACTOR DE CORRECCIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 6.4. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Una aplicación común del principio de cantidad de movimiento consiste en hallar las fuerzas ejercidas por un fluido en movimiento sobre estructuras abier- tas en la atmósfera, tales como compuertas y vertederos. 16 6.5. FUERZA EJERCIDA SOBRE UN CONDUCTO A PRESIÓN 6.6. FUERZA EJERCIDA SOBRE UN ÁLABE O PALA ESTÁTICO 6.7. ÁLABES MÓVILES: RELACIÓN ENTRE VELOCI- DAD ABSOLUTA Y RELATIVA 6.8. FUERZA EJERCIDA POR UN CHORRO SOBRE UN ÁLABE O PALA EN MOVIMIENTO 6.8.1. Álabe único, moviéndose paralelo al chorro 6.8.2. Series de álabes 6.9. REACCIÓN DE UN CHORRO 6.10. PROPULSIÓN A CHORRO 6.10.1. Cohete 6.10.2. Motor de reacción 6.11. MÁQUINAS ROTATORIAS: CONTINUIDAD, VE- LOCIDADES, PAR 6.11.1. Continuidad 6.11.2. Triángulos de velocidad para el flujo radial 6.11.3. Par 6.12. CARGA EQUIVALENTE A TRABAJO MECÁNI- CO 6.13. FLUJO A TRAVÉS DE UN CANAL ROTATORIO 6.14. REACCIÓN CON ROTACIÓN 6.15. EL PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVI- MIENTO APLICADO A MOLINOS Y HÉLICES 7. SEMEJANZA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL 7.1. DEFINICIÓN Y USOS DE LA SEMEJANZA Si utilizamos solamente la teoría, suele ser imposible determinar todos los datos esenciales para un flujo fluido dado, por lo que a menudo es preciso depen- der de estudios experimentales. El número de pruebas que hace falta realizar 17 se puede reducir significativamente por el uso sistemático del análisis dimen- sional y las leyes de semejanza, ya que éstas técnicas permiten que los datos experimentales se apliquen a casos distintos de los observados. 7.2. SEMEJANZA GEOMÉTRICA Una de las características deseables en los estudios con modelos es que exista semejanza geométrica, es decir, que el modelo y su prototipo sean idénticos en forma diferenciandose solamente en tamaño. Un factor importante es que las configuraciones de flujo sean geométricamente semejantes. Si los subíndices p y m corres ponden a prototipo y modelo, respectimante, definiremos la relación de escala lineal como Lr = Lp Lm La relación entre las dimensiones lineales del prototipo y las dimensiones correspondientes del modelo. 7.3. SEMEJANZA CINEMÁTICA La semejanza cinemática implica que, además de la semejanza geométrica, la relación de velocidades sea igual en todos los puntos correspondientes entre los flujos. La relación de velocidades es Vr = Vp Vm y ésta es una constante en el caso de semejanza cinemática. 7.4. SEMEJANZA DINÁMICA Dos sistemas tienen semejanza dinámica si, además de semejanza cinemáti- ca, las fuerzas correspondientes tienen la misma relación en ambos. La relación de fuerzas es Fr = Fp Fm que debe ser constante para que exista la semejanza dinámica. 7.4.1. Número de Reynolds En el flujo de un fluido a través de un conducto completamente lleno, la gravedad no afecta a la configuración del flujo. Las fuerzas significativas son la inercia y la fricción del fluido debida a la viscosidad. Considerando la relación de fuerzas de inercia a fuerzas viscosas, el paráme- tro obtenido se denomina el número de Reynolds, o Re. 18 7.4.2. Número de Froude Si solamente se tienen en cuenta las fuerzas de inercia y gravedad, se obtiene una relación denominada número de Froude, o Fr. 7.4.3. Número de Mach Cuando la compresibilidad es importante, es necesario considerar la relación entre la inercia y las fuerzas elásticas. El número de Mach, o Ma, se define como la raíz cuadrada de esta relación. 7.4.4. Número de Weber En algunos casos de flujo, la tensión superficial puede tener importancia, pero normalmente es despreciable. La relación entre las fuerzas de inercia y la tensión superficial es ρV 2L2/σL, cuya raíz cuadrada se conoce como el número de Weber. 7.4.5. Número de Euler Una magnitud adimensional asociada a la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de presión se conoce como el número de Euler. 7.5. RELACIONES DE ESCALA El número de Reynolds, el número de Froude y el número de Mach son los parámetros adimensionales más comunes en la Mecánica de fluidos. 7.6. COMENTARIOS SOBRE LOS MODELOS En el uso de los modelos es esencial que la velocidad del flujo no sea tan baja como para que exista flujo laminar, cuando el flujo en el prototipo es turbulento. 7.7. ANÁLISIS DIMENSIONAL La resolución de problemas de Mecánica de fluidos se puede plantear utili- zando el análisis dimensional, una técnica matemática que se basa en el estudio de las dimensiones. 7.7.1. Conceptos básicos Toda ecuación racional que relaciona magnitudes físicas debe ser dimensio- nalmente homogénea. 19 7.7.2. El teorema pi Un método más generalizado de análisis dimensional es la técnica con mayor aceptación actualmente. Este método agrupa las variables en un número menor de grupos de variables adimensionales. 8. FLUJO INCOMPRESIBLE ESTACIONARIO EN CONDUCTOS A PRESIÓN Flujo estacionario en conductos a presión de fluidos incompresibles, es decir, aquéllos para los cuales ρ ≈ constante. Esto incluye todos los líquidos. Los gases que fluyen con cambios muy pequeños de presión se pueden considerar incompresibles. Se suponen condiciones isotérmicas para eliminar los efectos termodinámicos. 8.1. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO Si la pérdida de carga en una longitud dada de tubería uniforme se mide a distintas velocidades, se observará que, siempre que la velocidad sea lo suficien- temente baja como para garantizar flujo laminar, la pérdida de carga debida a la fricción será directamente proporcional a la velocidad. 8.2. NÚMERO DE REYNOLDS CRÍTICO 8.3. RADIO HIDRÁULICO, DIÁMETRO HIDRÁULI- CO Para conductos que tienen una sección transversal no circular es necesario utilizar un valor para la dimensión lineal en el número de Reynolds diferente del diámetro. Tal valor es el radio hidráulico, definido como Rh = A P 20 8.4. PÉRDIDA DE CARGA EN CONDUCTOS DE SEC- CIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE 8.5. FRICCIÓN EN CONDUCTOS CIRCULARES 8.6. FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS CIRCULARES 8.7. CONDICIONES DE ENTRADA EN EL FLUJO LA- MINAR 8.8. FLUJO TURBULENTO 8.8.1. Primer expresión 8.8.2. Expresión segunda 8.9. SUBCAPA VISCOSA EN FLUJO TURBULENTO 8.10. PERFIL DE VELOCIDADES EN UN FLUJO TUR- BULENTO 8.11. RUGOSIDAD DE LA TUBERÍA 8.12. DIAGRAMA PARA EL COEFICIENTE DE FRIC- CIÓN 8.13. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERÍAS POR EL MÉTODO DE TANTEO 8.14. RESOLUCIÓN RIGUROSA DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERÍAS 8.15. ECUACIONES EMPÍRICAS PARA EL FLUJO EN TUBERÍAS 8.16. FRICCIÓN FLUIDA EN CONDUCTOS NO CIR- CULARES 8.17. PÉRDIDAS LOCALES EN FLUJO TURBULEN- TO 8.18. PÉRDIDA DE CARGA EN LA ENTRADA 8.19. PÉRDIDA DE CARGA EN UNA DESCARGA SU- MERGIDA 8.20. PÉRDIDA DEBIDA A UN ESTRECHAMIENTO 8.20.1. Estrechamiento abrupto 8.20.2. Estrechamiento gradual 8.21. PÉRDIDA DEBIDA A UN ENSANCHAMIENTO 8.21.1. Ensanchamiento abrupto 8.21.2. Ensanchamiento gradual 8.22. PÉRDIDAS EN ACCESORIOS DE TUBERÍAS 8.23. PÉRDIDAS EN CURVAS Y CODOS 8.24. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TUBERÍA ÚNICA CON PÉRDIDAS LOCALES 8.25. TUBERÍAS CON UNA BOMBA O UNA TURBI- NA 8.26. TUBERÍAS CON RAMIFICACIONES 8.26.1. Procedimiento de resolución riguroso 8.26.2. Procedimiento de resolución aproximado 8.27. TUBERÍAS EN SERIE 8.28. TUBERÍAS EN PARALELO 8.29. REDES DE TUBERÍAS 8.30. TEMAS ADICIONALES DEL FLUJO EN TUBE- RÍAS 9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS 9.1. INTRODUCCIÓN 9.2. RESISTENCIA DE FRICCIÓN DE LA CAPA LÍ- MITE. FLUJO INCOMPRESIBLE 9.3. CAPA LÍMITE LAMINAR PARA FLUJO INCOM- PRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LISA 9.4. CAPA LÍMITE TURBULENTA PARA FLUJO IN- COMPRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LI- SA 9.5. RESISTENCIA DE FRICCIÓN PARA FLUJO IN- COMPRESIBLE SOBRE UNA PLACA PLANA LI- SA CON RÉGIMEN DE TRANSICIÓN 9.6. SEPARACIÓN DE LA CAPA LÍMITE Y RESIS- TENCIA DE PRESIÓN 9.7. RESISTENCIA DE CUERPOS TRIDIMENSIONA- LES (FLUJO INCOMPRESIBLE) 9.8. RESISTENCIA SOBRE CUERPOS BIDIMENSIO- NALES (FLUJO INCOMPRESIBLE) 9.9. SUSTENTACIÓN Y CIRCULACIÓN 9.10. FLUJO IDEAL ALREDEDOR DE UN CILINDRO 9.11. SUSTENTACIÓN DE UN PERFIL DE ALA 9.12. 21