1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes MatemáticaFinanceira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição 2. Capítulo 2 DESCONTOSMathias Gomes 3. Descontos Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado, o aplicador:• Recebe um compromisso da aplicação;• Que é uma nota promissória;• Ou uma letra de câmbio.=> Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto”.Mathias Gomes 4. DescontosUma empresa faz uma venda a prazo, com venci- mento pré-determinado: • Recebe do comprador uma duplicata.=> A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro.Esta á uma operação de “descontar uma duplica- ta”. Mathias Gomes 5. Desconto Racional EXEMPLOOu Desconto “por dentro”.• É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. NinDr = 1 + inDr = valor do descontoN = valor nominal (montante)n = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto Mathias Gomes 6. Exemplo Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor- rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?Resolução:Dr {NVr3 MesesMathias Gomes 7. Exemplo Temos: N = 5.500,00 n = 3 mesesCalculando a taxa proporcional a 1 mês: 0,40 i12 =12 Podemos calcular: Nin a) O desconto:Dr =1 + in 0 , 405 . 500 x x3 Dr = 12 0 , 40 Mathias1+x3 Gomes12 8. Exemplo5.500,00x0,10 Dr = 1+ 0,10550,00 Dr == $500,00 1,10b) O valor descontado:Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00 $ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nospróximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00iria render:J = CinJ = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00 Mathias Gomes 9. Desconto Comercial EXEMPLO Ou Desconto “por fora”.• É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.Dc = N.i.nDc = desconto comercial N = valor nominal (montante) n =número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto Mathias Gomes 10. Exemplo Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?Resolução: procedendo de modo análogo, temos: Dc {NVc3 MesesMathias Gomes 11. Exemplo a) O desconto:Dc = NinDc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00b) O valor descontado comercial: Vc = N (1 − in) 0,40 Vc = 5.500,00 x(1 −x3)12 Vc = 5.500,00 x0,9 Vc = $4950,00 Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-conto fosse racional. Mathias Gomes 12. Exemplo É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juroscapaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxade juros de operação é: 55000, i' = = 0,1111 ao trimestre4.95000,ou i' ≅ 0,44 ao ano Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxaimplícita que é cobrada de fato.Mathias Gomes 13. Desconto BancárioEXEMPLO Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi- nal. Db = N.(in+h)Db = desconto bancário N = valor nominal (montante) n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban- cárias)Mathias Gomes 14. Exemplo Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor- rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ? Resolução: Lembrando que:h = 0,02e procedendo de modo análogo ao exemplo an- terior:a) Desconto bancário: Db = N (in + h) Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02) Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02) Db = $ 660,00 Mathias Gomes 15. Exemplo b) Valor descontado bancário:Vb = N [1 - (in + h)] Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02] Vb = 5.500,00 x 0,88 Vb = $ 4.840,00 Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des- conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta- xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:66000 ,i" = ≅ 0,1364 ao trimestre 4.84000 ,i" ≅ 0,5456 ao ano Mathias Gomes 16. ExemploÉ preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação. Mathias Gomes 17. Taxa de Juros Efetiva EXEMPLO É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal. N −1 if = Vnonde:if = taxa efetivaN = valor nominalV = valor atual (comercial ou bancário)n = número de períodos antes do vencimento Mathias Gomes 18. Exemplo Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N−1if = V c n 5 .500 ,00−14950 ,001,1111 − 1if = ; if =33if = 0,03703 a.m . = 0, 44 a.a. Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior- mente, por cálculo direto. Mathias Gomes 19. Exemplo Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me- ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N−1if = V b n 5 .500 ,00−14840 ,001,1364 − 1if = ; if =33if = 0,045 a.m. = 0,54 a.a. Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti- do anteriormente por raciocínio direto. Mathias Gomes 20. Relação entre o Desconto Comercial e o DescontoEXEMPLO Racional Dc = Dr (1+in) Dc = Desconto ComercialDr = Desconto Racionaln = número de períodos antes do vencimentoi = taxa de desconto=> o Desconto Comercial pode ser entendido co- mo sendo o montante do Desconto Racional cal- culado para o mesmo período e à mesma taxa. Mathias Gomes 21. Exemplo O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual é o desconto racional ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: Dc = Dr (1 + in ) 0,40550,00 = Dr (1 + x3)12550,00 = Dr (1 + 0,10) 550,00Dr = = $500,001,10Mathias Gomes