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May 7, 2018 | Author: Anonymous |
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Matemática Básico5º Texto para el Estudiante Copyright © 2009 by Harcourt, Inc. © 2014 de esta edición Galileo Libros Ltda. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra deberán dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777. HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de América y / o en otras jurisdicciones. Versión original Mathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814 ISBN: 978-956-8155-18-6 Primera Edición Impreso en Chile. Se terminó de imprimir esta primera edición de 251.000 ejemplares en el mes de enero del año 2014. Este método de enseñanza de la matemática ha sido diseñado y realizado por autores profesores de varias universidades de los Estados Unidos de América y adaptado al currículum nacional chileno por Editorial Galileo. Director del programa: Richard Askey, profesor emérito de matemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena. El presente título forma parte del PROYECTO GALILEO para la enseñanza de la matemática. Editoras Silvia Alfaro Salas Yuvica Espinoza Lagunas Sara Cano Fernández Redactores / Colaboradores Silvia Alfaro Salas Profesora de Matemática y Computación. Licenciada en Matemática y Computación. Universidad de Santiago de Chile. Yuvica Espinoza Lagunas Profesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile. Paola Rocamora Silva Profesora de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile. Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile. Victoria Ainardi Tamarín Profesora de Matemáticas por la Universidad de Concepción. Vilma Aldunate Díaz Profesora de Educación General Básica. Universidad de Chile. Pamela Falconi Salvatierra Profesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile. Jorge Chala Reyes Profesor de Educación General Básica. Universidad de Las Américas. Equipo Técnico Coordinación: Job López Diseñadores: Melissa Chávez Romero Rodrigo Pávez San Martín Nikolás Santis Escalante David Silva Carreño Camila Rojas Rodríguez Cristhián Pérez Garrido Ayudante editorial Ricardo Santana Friedli 5º Matemática Básico Texto para el Estudiante 1 Valor posicional suma y resta 2 Muestra lo que sabes 3 Lección 1 Valor posicional hasta los mil millones ......................... 4 Lección 2 Comparar y ordenar números naturales ....................... 8 Lección 3 Redondear números naturales ............................................ 12 Lección 4 Álgebra Sumar y restar números naturales .............. 14 Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: buscar un patrón .............................................. 18 Práctica adicional 22 Práctica con un juego: ¿Quién está más cerca? 24 Repaso / Prueba del capítulo 1 24 Enriquecimiento. ¡Una diversión saludable! 25 Comprensión de los aprendizajes 26 Números naturales CAPÍTULO 2 CAPÍTULO Índice Multiplicar números naturales 28 Muestra lo que sabes 29 Lección 1 Cálculo mental: Patrones en los múltiplos ................... 30 Lección 2 Estimar productos ........................................................................ 32 Lección 3 Multiplicar por números de 2 dígitos ................................ 34 Lección 4 Practicar la multiplicación ....................................................... 36 Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: predecir y probar ............................................... 38 Práctica adicional 42 Práctica con un juego: Dale al blanco 43 Repaso / Prueba del capítulo 2 44 Enriquecimiento. Números compatibles 45 Comprensión de los aprendizajes 46 IV Unidad 1 Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos 48 Muestra lo que sabes 49 Lección 1 Manos a la obra: Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito ....................................................................... 50 Lección 2 Dividir entre divisores de 1 dígito ....................................... 52 Lección 3 Álgebra Patrones de división ............................................. 56 Lección 4 Dividir con restos.......................................................................... 58 Lección 5 Taller de resolución de problemas Destreza: interpretar el resto ................................................. 60 Lección 6 Ceros en la división ..................................................................... 62 Práctica adicional 66 Práctica con un juego: Divide para ganar 67 Repaso / Prueba del capítulo 3 68 Enriquecimiento. Mód 12 69 Comprensión de los aprendizajes 70 4 3 CAPÍTULO CAPÍTULO Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática Matemática en Contexto Almanaque para estudiantes Resolución de problemas . . . . . . 102 ENRIQUECE TU VOCABULARIO 1 Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división 72 Muestra lo que sabes 73 Lección 1 Propiedades de la multiplicación 74 Lección 2 Manos a la obra: Prevalencia de las operaciones ............................................................................. 78 Lección 3 Expresiones entre paréntesis................................................ 80 Lección 4 Manos a la obra: Resolución de problemas con calculadora ............................................................................. 84 Lección 5 Resolver ecuaciones .................................................................. 86 Lección 6 Resolver desigualdades ........................................................... 90 Lección 7 Patrones: hallar una regla ....................................................... 94 Práctica adicional 96 Práctica con un juego: Conexión entre ecuaciones 97 Repaso / Prueba del capítulo 4 98 Enriquecimiento. Crecer, crecer, crecer 99 Repaso / Prueba de la unidad 100 Comparar y ordenar números naturales http://www. ceipjuanherreraalcausa.es/ Recursosdidacticos/QUINTO/ datos/03_Mates/datos/05_rdi/ ud01/2/02.htm Cálculo mental www.las400clases.com/videos/ curriculares/estrategias-calculo- mental-multiplicaciones Enlace WEB V Conceptos de fracciones 106 Muestra lo que sabes 107 Lección 1 Fracciones equivalentes ........................................................... 108 Lección 2 Fracciones simplificadas a su mínima expresión ..... 110 Lección 3 Comprender números mixtos ................................................ 114 Lección 4 Comparar y ordenar fracciones y números mixtos 116 Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: trabajar con material concreto .................... 120 Práctica adicional 124 Repaso / Prueba del capítulo 126 Enriquecimiento. Usa las pistas 127 Comprensión de los aprendizajes 128 Números y conceptos de fracciones y decimales 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO Unidad 2 Sumar y restar fracciones 130 Muestra lo que sabes 131 Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma y la resta ............................................................................................. 132 Lección 2 Sumar y restar fracciones con igual denominador .. 134 Lección 3 Taller de resolución de problemas Estrategia: trabajar desde el final hasta el principio .... 136 Lección 4 Manos a la obra: Representar la suma de fracciones con distinto denominador .............................. 140 Lección 5 Manos a la obra: Representar la resta de fracciones con distinto denominador ............................... 142 Lección 6 Usar denominadores comunes ............................................ 144 Lección 7 Sumar y restar fracciones ....................................................... 148 Lección 8 Taller de resolución de problemas Estrategia: comparar estrategias .............................................. 150 Práctica adicional 152 Práctica con un juego: ¿Cuál es la diferencia? 153 Repaso / Prueba del capítulo 6 154 Enriquecimiento. ¿Cuál es la regla? 155 Comprensión de los aprendizajes 156 Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática ENRIQUECE TU VOCABULARIO 105, 187 Matemática en Contexto VI Valor posicional: comprender los decimales 158 Muestra lo que sabes 159 Lección 1 Relacionar fracciones y decimales .................................... 160 Lección 2 Usar una recta numérica .......................................................... 162 Lección 3 Manos a la obra: Representar milésimas ............. 164 Lección 4 Comparar y ordenar decimales ............................................ 166 Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una representación pictórica ......... 168 Lección 6 Sumar y restar decimales ........................................................ 172 Lección 7 Taller de resolución de problemas Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta ...... 176 Práctica adicional 178 Práctica con un juego: Desafío decimal 179 Repaso / Prueba del capítulo 7 180 Enriquecimiento. ¿Cuál es el total? 181 Repaso / Prueba de la unidad 182 Unidad 3 7 CAPÍTULO Figuras congruentes y plano cartesiano 188 Muestra lo que sabes 189 Lección 1 Álgebra Hacer gráficos de pares ordenados ............ 190 Lección 2 Taller de resolución de problemas Destreza: información relevante o irrelevante ............ 192 Lección 3 Figuras 2D y sus elementos ................................................... 194 Lección 4 Figuras 3D y sus elementos ................................................... 196 Lección 5 Manos a la obra: Figuras congruentes ............... 198 Lección 6 Manos a la obra: Rotación .......................................... 200 Lección 7 Simetría............................................................................................... 202 Lección 8 Traslación .......................................................................................... 206 Práctica adicional 208 Repaso / Prueba del capítulo 8 210 Enriquecimiento. ¿Qué puede ser? 211 Comprensión de los aprendizajes 212 8 CAPÍTULO Geometría - Medición Almanaque para estudiantes Resolución de problemas . . 184, 252 Comparar y ordenar fracciones http://www. disfrutalasmatematicas.com/ numeros/fracciones-comparar. html sumar y restar fracciones http://primaria.aulafacil.com/ matematicas-quinto-primaria/ Curso/Lecc-12.htm www.mamutmatemáticas.com/ ejercicios/grado_5.php www.profesorenlinea.cl/ cursos/5matematicas.html Decimales http://www. disfrutalasmatematicas.com/ numeros/convirtiendo-fracciones- decimales.html http://www. disfrutalasmatematicas.com/ numeros/convirtiendo-decimales- fracciones.html http://www.mamutmatematicas. com/ejercicios/decimales.php Plano cartesiano http://neoparaiso.com/imprimir/ figuras-plano-cartesiano.html Enlace WEB VII Medición y perímetro 214 Muestra lo que sabes ................................................................................. 215 Lección 1 Longitud ............................................................................................. 216 Lección 2 Álgebra Usar las fórmulas del perímetro ................... 220 Lección 3 Taller de resolución de problemas Destreza: hacer generalizaciones ..................................... 222 Práctica adicional 224 Práctica con un juego. La vuelta a la manzana 225 Repaso / Prueba del capítulo 9 226 Enriquecimiento. Halla el camino más corto 227 Comprensión de los aprendizajes 228 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO Área 230 Muestra lo que sabes 231 Lección 1 Álgebra Relacionar el perímetro y el área .................. 232 Lección 2 Taller de resolución de problemas Estrategia: comparar estrategias ........................................ 236 Lección 3 Manos a la obra: Representar el área de los triángulos .................................................................................. 238 Lección 4 Álgebra Área de los triángulos ........................................ 240 Lección 5 Álgebra Área de los paralelogramos .......................... 242 Práctica adicional 246 Repaso / Prueba del capítulo 10 248 Enriquecimiento. Áreas complejas 249 Repaso / Prueba de la unidad 250 VIII Analizar datos 256 Muestra lo que sabes 257 Lección 1 Hallar la media (promedio) ...................................................... 258 Lección 2 Analizar gráficos ............................................................................ 260 Lección 3 Hacer diagramas de tallo y hojas ........................................ 264 Lección 4 Hacer gráficos de líneas ........................................................... 266 Lección 5 Taller de resolución de problemas Destreza: sacar conclusiones ............................................... 270 Práctica adicional 272 Repaso / Prueba del capítulo 11 274 Enriquecimiento. Transcurso del tiempo 275 Comprensión de los aprendizajes 276 11 CAPÍTULO 12 CAPÍTULO Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática Matemática en Contexto Almanaque para estudiantes Resolución de problemas . . . . . . 300 ENRIQUECE TU VOCABULARIO 255 Datos y probabilidades Probabilidad 278 Muestra lo que sabes 279 Lección 1 Manos a la obra: Hacer una lista de todos los resultados posibles .............................................. 280 Lección 2 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una lista organizada ............................ 282 Lección 3 Hacer predicciones ...................................................................... 286 Lección 4 Probabilidad como una fracción.......................................... 290 Práctica adicional 294 Práctica con un juego. Es probable, no es probable 295 Repaso / Prueba del capítulo 12 296 Enriquecimiento. Juego de adivinanzas 297 Repaso / Prueba de la unidad 298 Glosario ................................................................................................................. 302 Indice temático ...................................................................................................... 307 Solucionario ........................................................................................................... 309 Bibliografía ............................................................................................................. 319 http://www.rasmus.is/Sp/ information/primaria/Estadisticas/ RM_L2.html http://aulavirtual.inaeba.edu. mx/ejercicios_practicos/paginas/ ejercicios_prim_mate.html Enlace WEB Unidad 4 IX Las matemáticas son un lenguaje de números, palabras y símbolos. Este año vas a aprender a comunicarte usando el lenguaje de las matemáticas, mientras comentas, lees y escribes sobre lo que estás aprendiendo. El gráfico lineal muestra el promedio mínimo de temperatura durante 7 meses en Coyhaique. Comenta sobre el gráfico lineal. 1. ¿Qué información sobre los datos te dan las palabras promedio y mínimo, en el título? 2. ¿Qué representan los números a lo largo del lado izquierdo del gráfico? 3. ¿Cuál es el intervalo en la escala del gráfico? 4. ¿Qué puedes decir sobre los datos al mirar la línea del gráfico? Promedio mensual de temperaturas mínimas en Coyhaique Mes Te m pe ra tu ra (° C) 3,0 0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 DicNovOctSepAgoJulJun Este punto muestra (2; 3,3). X Lee los datos del gráfico. 5. ¿Qué meses tienen las temperaturas más altas? 6. ¿Cuál es la mayor diferencia de temperatura entre dos de los meses dados? 7. ¿Cuáles dos meses tienen una diferencia de 4 °C en su promedio de temperatura? 8. ¿Cuánto más alta es la temperatura en diciembre que en noviembre? Escribe un problema relacionado con el gráfico. Este año vas a escribir muchos problemas. Cuando veas Formula un problema, mira el problema de la página y úsalo como guía para escribir tu propio problema. En tu problema puedes: cambiar los números o parte de la información. intercambiar la información conocida y la desconocida. escribir un problema abierto que pueda tener más de una respuesta correcta. Estos problemas son ejemplos de cómo puedes formular tu propio problema. Resuelve cada problema. Problema ¿Cuál es la diferencia entre el promedio de temperatura en mayo y en agosto? Cambiar los números o la información ¿Cuál es la diferencia entre el promedio de temperatura en enero y en abril? Intercambiar la información conocida y la desconocida ¿Cuáles dos meses tienen una diferencia de 3 °C en su promedio de temperatura? Problema abierto ¿Cuáles dos meses consecutivos tienen una diferencia de 1 °C en el promedio mensual de temperatura? Formula un problema Elige una de las tres formas dadas para escribir un problema. Usa la información del gráfico lineal. XI Números naturales 1 ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro? Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas. REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes palabras cuando estudiaste las operaciones con números naturales y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? coma decimal Signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal. producto La respuesta a un problema de multiplicación. cociente El número, sin incluir el residuo, que resulta de la división. p Piezas medidas con precisión en milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje. p Las diferentes partes se mueven en una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje. p En el centro de atención, los empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año. Matemática en Contexto MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN signo • signo números multiplicados factores número dividido entrenúmerodividido respuesta respuesta Capítulo 1 1 Parques nacionales de Chile Archipiélago de Juan Fernández Bernardo O’Higgins Torres del Paine Vicente Pérez Rosales Lauca Nombre Tamaño (hectáreas) 3 525 901 227 298 253 789 137 883 9 571 Valor posicional, suma y resta La idea importante La posición de un dígito determina su valor; la suma y resta de números de varias cifras se basa en operaciones básicas y en los conceptos de base diez y de valor posicional. Investiga Elige tres parques de la tabla que te gustaría visitar. Escribe sus áreas de menor a mayor número. ¿Cuánto mayor es el área del parque más grande que elegiste con relación al área del parque más pequeño? 1 DATO BREVE En Chile existen más de 100 áreas protegidas, que garantizan la permanencia de la riqueza natural. Estas áreas se distribuyen entre otras en Parques Nacionales, Reservas Nacionales y Monumentos Naturales. 2 Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 1. u Valor posicional hasta las centenas de mil Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 328 406 2. 419 003 3. 16 297 4. 152 419 5. 456 107 6. 9 342 7. 204 593 8. 38 452 u Redondea hasta los miles Redondea cada número a la unidad de mil más cercana. 9. 837 10. 6 409 11. 13 526 12. 70 143 13. 4 810 14. 238 456 15. 42 718 16. 354 630 u Suma y resta hasta números de 4 dígitos Halla la suma o la diferencia. 17. 258 + 437 18. 984 – 562 19. 739 – 271 20. 3 926 + 1 451 21. 4 025 + 2 933 22. 8 059 – 5 426 23. 1 294 + 638 24. 9 162 – 2 543 25. 67 1 45 1 83 26. 134 1 72 1 250 27. 563 2 209 28. 7 652 – 3 114 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000. estimación Número que se aproxima a una cantidad exacta. expresión algebraica mil millones gratificación diferencia estimación operaciones inversas millones dígitos redondear suma o total Capítulo 1 3 Aprende Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $ 5. Aproximadamente 1 000 monedas de $ 5 podrían llenar un florero pequeño. Aproximadamente 1 000 000 monedas de $ 5 podrían llenar la maleta de un auto. Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $ 5 podrían llenar media cancha de básquetbol hasta una altura de 3 metros. DecenasCentenas Decenas Unidades Decenas UnidadesCentenasUnidades 3 3 • 1 000 000 3 000 000 Centenas 2 2 • 100 000 200 000 0 0 • 10 000 0 5 5 • 1 000 5 000 0 0 • 100 0 0 0 • 10 0 0 0 • 1 0 Millones Miles Unidades El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. • ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000? Un número se puede escribir en forma habitual, en palabras, en forma estándar o en forma expandida. Forma habitual: 181 260 000 En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil Forma estándar: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000 Forma expandida: 1 • 100 000 000 + 8 • 10 000 000 + 1 • 1 000 000 + 2 • 100 000 + 6 • 10 000 Valor posicional hasta los mil millones OBJETIVO: leer y escribir números naturales hasta mil millones. PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $ 5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000. Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito. Ejemplo ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? ADVERTENCIA ADVERTENCIA ADVERTENCIA Recuerda que cuando escribes un número en forma estándar, no necesitas escribir los valores que tiene el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma estándar: 300 1 5 Repaso rápido Escribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado. 1. 336 2. 1 230 3. 1 580 4. 3 975 5. 8 627 1LEC CI ÓN Vocabulario mil millones 4 Paso Paso DecenasCentenasDecenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenasUnidades 1 0 00 0 1 0 0 0 0 MillonesMil millones Miles Unidades DecenasCentenasDecenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenasUnidades 2 4571 19 0 5 0 MillonesMil millones Miles Unidades Patrones de valor posicional A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10. Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $ 1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila? Usa una tabla de valor posicional. Escribe los números en una tabla de valor posicional. •10 •10 •10 •10 Cuenta el número de lugares de cada cifra. 1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 100 10 • 10 • 10 • 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una. 1 000 000 1 millón 1 • 1 000 000 1 000 000 10 centenas de mil 10 • 100 000 1 000 000 100 decenas de mil 100 • 10 000 1 000 000 1 000 unidades de mil 1 000 • 1 000 1 000 000 10 000 centenas 10 000 • 100 Usa patrones de valor posicional. Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. • Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000? ¿Y 900 000? 1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4? Práctica con supervisión Capítulo 1 5 2 20 200 Peso (gramos) 1 10 100 Cantidad de monedas de $ 5 Peso de una moneda de $ 5 Álgebra Escribe el valor del dígito subrayado. 2. 1 368 034 3. 101 123 020 4. 687 104 902 5. 243 903 804 Escribe los números de otras dos formas. 6. 200 000 000 1 20 000 000 1 3 000 000 1 30 000 1 500 1 6 7. sesenta mil cuatrocientos 8. 2 910 000 tres millones novecientos seis 9. 807 500 000 10. 1 890 001 11. 3 900 945 12. 4 decenas de mil 13. 37 decenas de mil 14. ¿Cuántas monedas de $ 5 se ven a la derecha: 1 000 monedas de $ 5, 1 000 000 de monedas de $ 5, o 1 000 000 000 de monedas de $ 5? Explica tu respuesta. Escribe el valor del dígito subrayado. 15. 126 568 657 16. 3 583 007 17. 9 848 012 18. 3 205 772 Escribe los números de otras dos formas. 19. 4 000 000 1 60 000 000 1 5 000 000 1 40 000 1 200 1 8 20. 50 000 000 1 7 000 000 1 9 000 000 1 700 000 1 50 000 21. Ochenta mil trescientos veinte millones cuatrocientos treinta 22. Quinientos cuarenta y cinco mil novecientos noventa y ocho 23. 562 000 24. 7 000 145 25. 12 042 514 26. 5 316 295 000 27. 800 centenas 28. 7 000 decenas 29. 20 decenas 30. 5 decenas de millón de mil de mil de millón Escribe el número que falta en cada . 31. 7 000 000 5 • 100 32. 60 000 000 5 • 10 33. 900 000 000 5 • 10 34. 4 000 000 5 • 100 USA DATOS Para 35–36, usa la tabla. 35. ¿Cómo cambia el peso de las monedas de $ 5, cuando se tiene 1 moneda, 10 monedas o 100 monedas? 36. ¿Cuál es el peso de 1 000 monedas de $ 5? Explica tu respuesta. 37. Razonamiento En 1 m hay 100 cm; en 10 m hay 1 000 cm y en 100 m hay 10 000 cm. ¿Cuántos centímetros hay en 1 000 m? Práctica independiente y resolución de problemas 6 Comprensión de los aprendizajes 38. ¿Cuál es el error? Pedro escribió el número cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro. En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9. El sistema adicional para alumnos aventajados, programado en los computadores, usa solo los dígitos 0 y 1. Ejemplo ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2? (4 • 1) 1 (2 • 0) 1 (1 • 1) ← Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla. 4 1 0 1 1 ← Suma para hallar el valor de base 10. 5 O sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10. Halla el valor de base 10 de cada número de base 2. 1. 110 2. 1010 3. 111 4. 1011 39. Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10. 10 870; 180 700; 1 087 000 40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan? 41. Un número es mayor que 601 000 y menor que 601 100, ¿cuál es el valor de la unidad de mil en ese número? 42. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en 348 912 605? A 800 000 000 C 8 000 000 B 80 000 000 D 800 000 43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en 12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo? 44. En el número 875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón? A 1 B 7 C 8 D 9 Centenas de mil Decenas de mil Centenas Decenas UnidadesUnidades de mil 2 07 50 Base 10 Treinta y dos Dieciséis Cuatros DosOchos 1 0 Unos 1 Base 2 Práctica adicional en la página 22, Grupo A Capítulo 1 7 Aprende Paso PROBLEMA Una investigación bancaria informó acerca del número de monedas en circulación en 2009. ¿Cómo se compara el número de monedas de $ 5 con el número de monedas de $ 1? Usa el valor posicional para comparar. Empieza por la izquierda. Compara el valor posicional de cada dígito hasta que los dígitos sean diferentes. Por lo tanto, 774 824 000 . 707 332 000, y 707 332 000 , 774 824 000. Usa una recta numérica para comparar. Compara 99 638 y 100 204. Idea matemática En una recta numérica, el número mayor está a la derecha. Compara las centenas de millón. 707 332 000 ↓ iguales 774 824 000 Compara las decenas de millón. 707 332 000 ↓ 7 . 0 774 824 000 Por lo tanto, 99 638 , 100 204. monedas Comparar y ordenar números naturales OBJETIVO: usar el valor posicional y las rectas numéricas para comparar y ordenar números naturales. 774 824 000 707 332 000 1 346 624 000 662 228 000 monedas monedas monedas Repaso rápido Compara. Escribe ,, ., o 5. 1. 132 140 2. 1 541 2 038 3. 17 008 17 008 4. 5 612 5 613 5. 62 100 62 001 Paso 2LEC CI ÓN Vocabulario valor posicional recta numérica 8 Decenas UnidadesCentenas 5 5 4 4 2 4 Miles Unidades Decenas UnidadesCentenas 9 7 0 2 0 0 Ordenar números naturales Otra investigación bancaria informó el número de monedas de $ 1, de $ 5 y de $ 10 en circulación en 2011. Ordena de menor a mayor la cantidad de monedas informadas. 123 473 200 127 504 000 138 662 400 Usa el valor posicional. Compara las centenas de millón. 123 473 200 127 504 000 134 662 400 iguales Compara las decenas de millón. 123 473 200 127 504 000 134 662 400 Compara los otros dos números en las unidades de millón. 123 473 200 127 504 000 138 662 400 Usa una recta numérica. Ordena de menor a mayor. 1 002; 1 091; 997 Ordena de mayor a menor. 2 335 000; 2 381 000; 2 359 000 Por lo tanto, 997 , 1 002 , 1 091. Por lo tanto, 2 381 000 . 2 359 000 . 2 335 000. 1. Usa una tabla de valor posicional para comparar los dos números. ¿Cuál es el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes? 2 , 3 mayor← menor 3 , 7 ← Paso Paso Paso Práctica con supervisión Por lo tanto, los tipos de monedas ordenados de menor a mayor según la cantidad de monedas son: $ 1, $ 5, $ 10. Capítulo 1 9 1991 1993 2010 10 000 pesos plata 2 000 pesos plata 50 pesos mal acuñada 5 583 4 416 3 615 Monedas chilenas de edición especial Año Valor Cantidad de monedas acuñadas Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 2. 32 403 32 304 3. 102 405 102 405 4. 2 306 821 2 310 084 Nombra el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes. Nombra el número mayor. 5. 2 318; 2 328 6. 93 462; 98 205 7. 664 592 031; 664 598 347 Ordena de menor a mayor. 8. 36 615; 36 015; 35 643 9. 5 421; 50 231; 50 713 10. 707 821; 770 821; 700 821 11. ¿Cuál crees que es más fácil usar, el valor posicional o una recta numérica, para comparar y ordenar números? Explica tu elección. Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 12. 8 942 8 492 13. 603 506 603 506 14. 7 304 552 7 430 255 15. 1 908 102 1 890 976 16. 530 240 540 230 17. 10 670 210 10 670 201 Ordena de menor a mayor. 18. 503 203; 530 230; 305 320 19. 561 682 500; 561 862 500; 561 628 600 20. 1 092 303; 1 173 303; 1 292 210 21. 97 395; 98 593; 97 359 Ordena de mayor a menor. 22. 85 694; 82 933; 85 600 23. 21 390 208; 21 309 280; 21 309 820 24. 5 505 055; 5 402 987; 5 577 001 25. 696 031; 966 301; 696 103 Álgebra Encuentra el dígito que falta para que los enunciados sean verdaderos. 26. 35 938 , 35 9 0 , 35 941 27. 134 862 . 134 8 0 . 134 857 USA DATOS Para 28–29, usa la tabla. 28. Al comparar la cantidad de monedas acuñadas, ¿cuál es el valor posicional mayor, en el cual los dígitos difieren? 29. Explica cómo se ordenan de menor a mayor las cantidades de monedas acuñadas. Práctica independiente y resolución de problemas 10 Comprensión de los aprendizajes Biblioteca CRA de 5º Básico Laura Paula Mario Cantidad de libros leídos 0 2 4 6 8 10 12 Puedes usar una recta numérica para hallar la distancia entre dos puntos. Halla la distancia de Pelarco a Arauco. Por lo tanto, la distancia es de 310 km. Por lo tanto, la distancia es de 405 km. Halla la distancia entre cada par de puntos. 1. A y B; A y C 2. D y E; C y D 3. D y G; C y E 4. A y D; C y F 5. Explica cómo puedes usar la recta numérica para comparar las distancias entre los puntos B y C, y B y D. 30. ¿Cuántos libros se leyeron en total? 31. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en 15 149? 32. ¿Qué número hace que el enunciado sea verdadero? 2 000 000 5 20 • 33. ¿Cuál es el dígito que falta en el siguiente enunciado? 46 726 < 46 7 0 < 46 741 A 0 B 1 C 2 D 3 34. ¿Cuál lista muestra los números ordenados de mayor a menor? A 8 107 450; 8 071 504; 8 059 631 B 8 059 631; 8 071 504; 8 107 450 C 8 071 504; 8 059 631; 8 107 450 D 8 107 450; 8 059 631; 8 071 504 Halla la distancia de Arauco a Purranque. Santiago 0 100 300 600 900200 500 800400 700 1 000 Pelarco Arauco Purranque A B C D E F G 500 600 700 800 900 1 000 Práctica adicional en la página 22, Grupo B Capítulo 1 11 1. Usa la recta numérica para redondear 38 778 a la unidad de mil más cercana. Aprende Decena de mil 4 835 971 5 5 5 4 840 000 4 835 971 redondeado a la decena de mil más cercana es 4 840 000. ↓ Centena de mil 4 835 971 3 , 5 4 800 000 4 835 971 redondeado a la centena de mil más cercana es 4 800 000. PROBLEMA Un periódico informó que 53 855 personas asistieron a un partido de fútbol en el Estadio Nacional. Durante el partido, un comentarista deportivo de televisión redondeó ese número a 50 000. ¿Es razonable la estimación del comentarista? ¿Por qué? Redondear un número significa reemplazarlo por un número aproximado. A menudo es más fácil calcular con un número redondeado. Usa una recta numérica. En la recta numérica, 53 855 está entre 50 000 y 60 000, pero está más cerca de 50 000. Por lo tanto, la estimación del comentarista deportivo es razonable. Usa el valor posicional. Redondea 4 835 971 al lugar del dígito subrayado. Millón 4 835 971 8 . 5 5 000 000 4 835 971 redondeado al millón más cercano es 5 000 000. ↓ ↓ Redondeo hacia abajo. Redondeo hacia arriba. Redondeo hacia arriba. Redondear números naturales OBJETIVO: redondear números naturales hasta un valor posicional dado. Repaso rápido Di si la cifra está más cerca de 10 000 o de 20 000. 1. 13 579 2. 18 208 3. 15 781 4. 11 627 5. 19 488 Recuerda Al redondear, mira el dígito a la derecha del lugar al cual vas a redondear. • Si ese dígito es 5 o mayor que 5, redondea hacia arriba. • Si ese dígito es menor que 5, redondea hacia abajo. • Cambia cada dígito después del lugar redondeado a cero. 3LEC CI ÓN Práctica con supervisión Vocabulario redondear 12 Comprensión de los aprendizajes Metropolitano Occidente Metropolitano Sur Metropolitano Sur Oriente Del Maule Araucanía Sur Servicio 234 109 245 807 221 383 413 605 233 169 Total atenciones Atenciones de enfermería de nivel primario. Año 2010 USA DATOS Para 23–25, usa la tabla. 23. El total de atenciones a dos servicios de enfermería, redondeado a la decena de mil más cercana, es el mismo. Nombra los dos servicios. 24. ¿Cuál es el error? Roberto dijo que el total de atenciones en el servicio del Maule, redondeado a la unidad de mil más cercana fue de 413 000. ¿Tiene razón? Si no es así, ¿cuál es su error? 25. El número redondeado de la distancia entre dos ciudades es 540 km. ¿Cuáles son el mayor y el menor número que se pueden redondear a 540? Explica tu respuesta. Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 8. 675 345 803 9. 3 981 10. 26 939 676 11. 500 357 836 12. 56 469 13. 24 508 349 14. 792 406 314 15. 276 405 651 Nombra el lugar al que se redondeó cada número. 16. 56 037 a 60 000 17. 919 919 a 900 000 18. 65 308 976 a 65 309 000 Redondea 4 813 726 al lugar que se menciona. 19. millones 20. centenas de mil 21. unidades de mil 22. decenas de mil Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 2. 67 348 3. 141 742 4. 8 304 952 5. 12 694 022 6. 36 402 695 7. Explica por qué redondear 428 024 y 425 510 a la decena de mil más cercana da como resultado el mismo número. 26. Un patio cuadrado mide 8 metros en cada lado. ¿Cuál es su perímetro? 27. Escribe ,, . o 5 para comparar 15 109 y 15 190. 28. La suma de x más y es igual a 21. Si x 5 13, ¿qué expresión algebraica se puede usar para hallar el valor de y? 29. ¿Qué número redondeado al millón más cercano da 30 000 000? A 28 065 402 B 29 405 477 C 29 612 300 D 30 755 141 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 22, Grupo C Capítulo 1 13 Aprende PROBLEMA Las áreas verdes de una parcela miden 56 804 m2. El área edificada en un nivel mide 39 912 m2. Halla el área total de la parcela. Ejemplo 1 Suma. 56 804 1 39 912 Estima. 60 000 1 40 000 5 100 000 5 1 6 1 804 1 39 912 __ 96 716 Empieza con las unidades. Reagrupa cuando sea necesario. El área total mide 96 716 m2. Ya que se acerca a la estimación de 100 000, es razonable. Resta. 54 556 2 8 721 Estima. 50 000 2 10 000 5 40 000 5 4 @ 4 3 13 @ @ 5 15 @56 2 8 7 21 __ 4 5 8 35 Empieza con las unidades. Reagrupa cuando sea necesario. La parcela de mayor área es 45 835 m2 mayor que la de menor área. Ya que 45 835 se acerca a la estimación de 40 000, es razonable. • Explica el reagrupamiento del ejemplo 2. Ejemplo 2 Sumar y restar números naturales OBJETIVO: sumar y restar números naturales. Repaso rápido Estima la suma o la diferencia. 1. $ 379 1 $ 298 2. 14 668 2 8 015 3. $ 2 359 2 $ 1 131 4. 74 952 1 3 883 5. 20 141 1 912 1 11 018 Vocabulario operaciones inversas 4LEC CI ÓN Una parcela tiene un área de 54 556 m2. Otra parcela contigua, tiene un área de 8 721 m2. ¿Cuánto más grande que la parcela de menor área es la parcela de mayor área? ÁLgEBRA 14 Suma y resta números mayores El área de Canadá es de 9 984 670 km2. El área de Brasil es de 8 514 877 km2. ¿Cuánto más grande que el área de Brasil es el área de Canadá? Ejemplo 3 Puedes calcular la respuesta usando papel y lápiz. Resta. 9 984 670 2 8 514 877 Estima. 10 000 000 2 9 000 000 5 1 000 000 Empieza con las unidades. Reagrupa cuando sea necesario. Por lo tanto, el área de Canadá es, aproximadamente, 1 469 793 km2 mayor que el área de Brasil. Dado que la respuesta se acerca a la estimación de 1 000 000; es razonable. Las operaciones inversas son operaciones que se cancelan entre sí. Las relaciones inversas te permiten comprobar la suma por medio de la resta y comprobar la resta por medio de la suma. ¿Cómo compruebas tu respuesta en el ejemplo de arriba? Copia y completa para hallar la suma o la diferencia. 1. 32 146 + 18 219 065 2. 516 828 – 198 756 102 3. 6 941 + 9 387 12 4. 702 418 – 319 295 312 Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 5. 3 794 + 2 073 6. 54 042 + 21 394 7. 409 232 – 403 243 8. 3 593 209 – 1 254 155 9. 789 039 + 325 155 10. Explica cómo hallar 92 010 2 61 764. Práctica con supervisión 9 984 670 – 8 514 877 1 469 793 Capítulo 1 15 Comprensión de los aprendizajes Cabo de Hornos Laguna del Laja Bosque Fray Jorge Nahuelbuta Huerquehue Parque Nacional 63 093 11 600 9 959 6 832 12 500 Superficie (ha) Datos sobre algunos Parque Nacionales Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 11. 4 596 + 9 293 12. 39 515 + 69 036 13. 109 958 – 102 989 14. 480 084 + 515 765 15. 2 308 027 – 1 456 328 16. 8 023 154 + 731 363 17. 129 993 + 74 875 18. 67 846 – 38 559 19. 1 009 875 – 872 945 20. 6 693 071 2 381 305 + 1 043 829 21. 43 831 1 8 375 1 30 294 22. 4 801 123 2 1 956 627 23. 100 230 2 76 834 Álgebra Halla cada uno de los valores que faltan. 24. 2 2 346 5 9 638 25. 93 010 2 5 61 871 26. 1 197 794 5 200 010 27. Razonamiento ¿Cómo usas las operaciones inversas para comprobar tus respuestas a los ejercicios 24–26? USA DATOS Para 28–31, usa la tabla. 28. ¿Cuántas hectáreas más de superficie tiene el Parque Nacional Cabo de Hornos que el Parque Nacional Bosque Fray Jorge? 29. ¿Cuál es la superficie total de los parques nacionales presentados? 30. Halla la superficie del Parque Nacional Tolhuaca si la superficie del Parque Nacional Laguna del Laja es 5 126 ha mayor que él. 31. ¿Cuál es la pregunta? Paula y Alejandro compararon la superficie de dos parques nacionales. La respuesta es 51 493 ha. 32. ¿Cuánto es 409 537 redondeado a la unidad de mil más cercana? 33. ¿Qué cifra es 628 315 más 547 906? A 1 761 221 C 1 176 221 B 1 716 212 D 1 176 211 34. ¿Qué número hace que este enunciado sea verdadero? (8 2 6) • 4 5 2 • 35. El cine Hoyts vendió 35 890 entradas. El cine Cinemark vendió 43 741. ¿Cuántas entradas más vendió el cine Cinemark? A 6 851 C 8 951 B 7 851 D 12 151 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 22, Grupo D 16 Escribir para explicar 1. La familia Quiroz está haciendo un viaje de 1 238 km desde Pucón a La Serena. El primer día, los Quiroz recorrieron 405 km y, el segundo día, 390 km. ¿Cuántos km más debe viajar la familia Quiroz para llegar a La Serena? Explica cómo resolverlo. 2. Luis anotó 62 309 puntos en un juego de computador. Jorge anotó 9 548 puntos menos que Luis. La puntuación de Cata fue 10 283 puntos más alta que la de Jorge. ¿Cuál fue la puntuación de Cata? Explica cómo resolverlo. Resolución de problemas Explica cómo resolver el problema. • Incluye solo la información necesaria. • Escribe oraciones completas, usa palabras de transición como primero y luego. • Divide la explicación en pasos para que sea clara. • Usa vocabulario matemático para describir cómo resolver el problema. • Haz un dibujo o un diagrama si es necesario. • Comprueba que la respuesta sea razonable. La industria frutícola de Chile es líder dentro del hemisferio sur en la exportación de fruta fresca –considerando uvas, manzanas, kiwis, paltas, ciruelas, duraznos, peras, cerezas y arándanos– siendo el tercer sector más importante de la economía nacional. Esta industria se caracteriza por tener más de 7 800 productores, 310 266 hectáreas de cultivo y 630 empresas exportadoras. Desde el 2004 hasta el 2010 se han exportado aproximadamente 24 millones de toneladas métricas de frutas frescas. Usando los datos de la tabla, ¿cuántas toneladas métricas de fruta fresca se han exportado el 2007 o antes? Explica cómo resolver el problema. Hay cosas importantes que puedes hacer cuando explicas cómo resolver un problema. Escribir una buena explicación significa aprender a describir cuidadosamente un proceso. Primero, leí el problema y vi que no tenía que usar la información de la última oración. Luego miré la tabla y vi que necesitaba sumar tres de los números para hallar la cantidad exportada el año 2007 o antes. Sumé la cantidad de toneladas métricas exportadas en los años menores a 2008 para hallar el total exportado en 2007 o antes. 2 143 785 + 2 192 766 + 2 406 706 = 6 743 257 6 743 257 es una respuesta razonable porque la estimación es, aproximadamente, 6 700 000. Evolución de frutas frescas exportadas en las temporadas 2005-2006 (toneladas métricas) 3 000 000 2 500 000 2 000 000 1 500 000 1 000 000 500 000 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Fuente: Asociación de Exportadores de Chile A.G. (ASOEX) 2011 Capítulo 1 17 Aprende la estrategia Estamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas. Un patrón puede tener números. María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María? La regla para el patrón es restar 2. Un patrón puede repetirse. Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora. a. ¿Qué figura pintará Gino a continuación? ¿Cuál es el patrón? Un patrón puede crecer. b. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos? Describe algunos otros patrones que hayas visto. Estrategia: buscar un patrón OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón. 5LEC CI ÓN 18 1 2 3 Peso (en kg) Semillas de la secuoya costera + 125 000 + 125 000 125 000 250 000 375 000 Número aproximado de semillas • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Piensa: ¿Cómo cambia el número de semillas a medida que aumenta el número de kilogramos? Mira los números de la tabla. Extiende el patrón a 1 000 000 de semillas. Por lo tanto, 1 000 000 de semillas pesarán aproximadamente 4 kilogramos. • ¿Qué información se da? • Haz una ayuda visual usando la información que te dan. • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes buscar un patrón para resolver el problema. • ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿De qué otra manera podrías resolver el problema? Usa la estrategia PROBLEMA Una secuoya costera puede producir entre 100 000 y 100 000 000 de semillas por año. Si una secuoya costera produce 1 000 000 de semillas, ¿cuántos kg pesarán las semillas aproximadamente? (Considera que 0,5 kg de semillas = 125 000 unidades). 1 2 3 4 5 6 7 8 125 000 250 000 375 000 500 000 625 000 750 000 875 000 1 000 000 125 000 125 000 125 000 125 000 125 000 125 000 125 000 Capítulo 1 19 Resolución de problemas con supervisión 1. Alicia tiene 75 plantas en su jardín. Después de una semana de la temporada de jardinería, le quedaban 68. Después de 2 semanas, le quedaban 61 y, después de 3 semanas, le quedaban 54. ¿Cuántas le quedarán a Alicia después de 7 semanas? Primero, halla un patrón y escribe una regla. 75, 68, 61, 54 Luego, extiende el patrón a 7 semanas. 75, 68, 61, 54, , , Por último, halla la cantidad que le queda a Alicia. 2. La familia García está realizando una excursión de 40 kilómetros por el Parque Nacional Volcán Isluga. Al final del primer día, los García habían recorrido 8 kilómetros. Al final del segundo día, habían recorrido un total de 16 kilómetros y, al final del tercer día, habían recorrido 24 kilómetros en total. Si el patrón continúa, ¿cuántos días les llevará a los García terminar la excursión? 3. ¿Qué pasaría si los García hubieran recorrido solo 4 kilómetros al final del primer día, un total de 8 kilómetros al final del segundo día y un total de 12 kilómetros al final del tercer día? ¿Cuántos días habrían tardado en terminar la excursión? 4. Un artesano está haciendo un acolchado. Hasta ahora, el acolchado tiene este diseño. Si el patrón continúa, ¿qué diseño tendrá la duodécima fila del acolchado? USA DATOS Para 5-6, usa el gráfico. 5. Las araucarias pueden crecer más de un cm cada año. Si el árbol que se muestra en el gráfico continúa su patrón de crecimiento, ¿qué altura tendrá en 2014? 6. Si el patrón de crecimiento continúa, ¿cuándo será la altura de este árbol mayor que 100 cm? Explica cómo lo sabes. Piensa: 54 2 7 5 , y así sucesivamente. Una regla es restar 7. Resolución de problemas • Práctica de estrategias Crecimiento de una araucaria 70 60 50 40 30 20 10 0 Al tu ra (c m ) 2008 2009 2010 2011 2012 Año 53 59 6256 65 20 1. Pino 2. Canelo 3. Boldo 4. Romero 5. Laurel Árbol 275 255 268 241 256 Altura (cm) Tipos de árbol y altura ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA Práctica de estrategias mixtas USA DATOS CIENTÍFICOS Para 7–10, usa la tabla. 7. Raúl y Tomás usan un mapa para prepararse para una excursión. Pueden recorrer senderos de dificultad mínima, moderada o extrema para ver cada uno de los árboles. ¿Cuántas opciones posibles tienen si quieren ver todos los árboles? 8. Un sexto árbol, que no aparece en la tabla, tiene una altura de 142 cm menos que el árbol 1. ¿Cuál es la altura del árbol 6? 9. Formula un problema Usa la información de la tabla para escribir un problema. Explica cómo se halla la respuesta de tu problema. 10. Problema abierto Presenta un grupo de datos en la tabla de manera diferente. Explica la opción que elegiste para la presentación. 11. Natalia hizo este patrón de puntos. • • • • • • • • • • • • • • • Natalia continuó su patrón, agregando un punto a cada uno de los “tramos”. ¿Cuántos puntos habrá en la séptima figura? Hacer una representación o dibujo Representar un problema con material concreto Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico ESFUéRzATE 12. La altura de un palto comparte dos dígitos con la altura del tercer árbol más alto de la tabla. El árbol 1 es aproximadamente 70 cm más alto que el palto. ¿Qué altura tiene el palto? Explica cómo hallaste la respuesta. 13. Si la altura de un edificio medida en centímetros se redondea a la centena más cercana, su altura es 725 cm más alto que el árbol 1 de la tabla. El dígito de las unidades de la altura del edificio es 5 y el de las decenas es 6. ¿Qué altura tiene el edificio? Explica cómo hallaste tu respuesta. Capítulo 1 21 Práctica adicional Grupo A Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 24 404 485 2. 14 030 315 3. 1 084 303 220 4. 9 204 503 661 5. 14 336 872 6. 16 603 582 495 Escribe los números de otras dos formas. 7. 300 000160 00015 000180017019 8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015 9. seis mil ocho millones noventa 10. dos mil treinta y siete millones y siete mil trescientos cuatro catorce mil noventa y siete 11. 4 061 002 12. 80 046 300 7. El año pasado, asistieron 37 884 personas a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis? 8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego. Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos? Grupo C Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 1. 63 494 506 2. 761 584 204 3. 11 586 988 4. 6 393 958 5. 26 591 000 6. 4 192 295 7. 899 992 8. 1 999 204 9. 64 023 111 Grupo D Copia y completa para hallar la suma o la diferencia. 1. 2. 3. 4. Grupo B Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 1. 62 023 63 032 2. 2 401 393 2 104 933 3. 13 114 591 13 114 951 4. 54 304 125 45 304 125 5. 823 158 823 158 6. 693 103 430 693 103 340 Haz una estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 5. 6. 7. 8. 12 858 − 10 135 929 856 −158 930 92 000 − 63 580 120 049 − 81 852 75 293 − 9 501 79 64 381 + 12 944 7 2 266 749 −135 699 1 0 699 083 + 74 999 7 4 2 22 En sus marcas 4 jugadores y un árbitro ¿Listos? • Tarjetas con dígitos (0 a 9) • Tablero de problemas ¡Fuera! Los jugadores se turnan para hacer de árbitro. En cada turno, el árbitro decide: • si se usa la suma o la resta, • cuántos dígitos tendrá cada número, • y cuál será la meta. Por ejemplo, el árbitro puede elegir más cerca de 0, más cerca de 500, o más cerca de 1 000. Cada jugador recibe una hoja de trabajo (adjunta en el libo del profesor), basada en la decisión del árbitro. Coloca las tarjetas con números boca abajo en una pila. El árbitro saca una tarjeta y lee el número en voz alta. Los jugadores escriben el número en un espacio en blanco en sus hojas de trabajo. Una vez que un número se ha escrito, no se puede borrar. El árbitro continúa sacando tarjetas, una a la vez. Los jugadores llenan sus hojas de trabajo según se vayan diciendo los números. Cuando se hayan llenado todos los espacios en blanco, cada jugador resuelve su propio problema. El árbitro comprueba quién está más cerca del objetivo. Ese jugador gana. ¿Quién está más cerca?¿Quién está más cerca?¿Quién está más cerca? Capítulo 1 23 19. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas? 20. Rosa está haciendo una pulsera de perlas con esta unidad de patrón: 3 perlas rojas, 2 perlas rosadas y 1 perla blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas perlas rosadas habrá usado? Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 21. Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación. Repaso/Prueba del capítulo 1 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10 _____________ . 2. _____________ un número significa reemplazarlo por un número aproximado. 3. Las _____________ te permiten comprobar la suma mediante la resta. Comprueba tus destrezas Escribe cada número de otras dos formas. 4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos. 5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3 6. 560 034 107 Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 7. 489 384 894 384 8. 920 090 902 900 9. 76 941 497 76 941 497 Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 10. 67 339 11. 6 891 543 12. 623 971 764 13. 770 641 785 Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 14. 89 044 + 73 491 15. 600 921 – 321 650 16. 824 377 – 799 562 17. 4 583 100 + 3 902 145 18. 3 941 042 – 2 953 161 VOCABULARIO valor posicional operaciones inversas redondear 24 Capítulo 1 25 En el día de competencias de atletismo en la escuela básica Arturo Prat participaron los estudiantes de tercero, cuarto y quinto básico. Había 237 estudiantes de 3º básico, 369 estudiantes de 4º básico y 409 estudiantes de 5º básico. A Método de sumas parciales ¿Cuántos estudiantes de la escuela básica Arturo Prat participaron en el día de competencias de atletismo? 237 1 369 1 409 5 ? Suma las centenas. 200 1 300 1 400 5 Suma las decenas. 30 1 60 1 0 5 Suma las unidades. 7 1 9 1 9 5 Suma los totales parciales. Por lo tanto, en el día de competencias de atletismo de la escuela básica Arturo Prat participaron 1 015 estudiantes. Saque inicial Juego Usa el método de sumas parciales o el de restar contando hacia arriba para hallar la suma o la diferencia. 1. 185 + 427 2. 376 152 + 827 3. 386 – 228 4. 802 – 655 5. 29 305 + 912 6. La cafetería sirvió 567 almuerzos el miércoles y 492 almuerzos el jueves. ¿Cuántos almuerzos se sirvieron en los dos días? En resumen Usa el método de la página 14 y el método de sumas parciales para hallar 325 1 107 1 416. ¿Qué método prefieres? Explica tu respuesta. Enriquecimiento • Otras maneras de sumar y restar 900 90 1 25 1 015 B Método para restar contando hacia arriba ¿Cuántos estudiantes más de 5o básico que de 3º básico participaron en el día de competencias de atletismo? 409 2 237 5 ? Empieza con la cifra más pequeña. Cuenta hasta la decena más cercana. Cuenta hasta la centena más cercana. Cuenta hasta igualar las centenas. Cuenta hasta igualar la cifra mayor. Halla el total de los números que sumaste. Por lo tanto, en el día de competencias de atletismo participaron 172 estudiantes más de 5o básico que de 3o básico. 1 1 1 1 237 3 240 60 300 100 400 9 409 1 9 172 3 60 100 Comprensión de los aprendizajes Números y operaciones 1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al el número 4 003 012? A Cuatro mil trescientos doce B Cuatro millones trescientos doce C Cuatro millones tres mil doce D Cuatro mil millones tres millones doce 2. El parque nacional más grande de Chile es el Parque Nacional Bernardo O´Higgins y mide 3 525 901 hectáreas. ¿Cómo queda este valor redondeado a la unidad de mil de hectáreas más cercana? A 3 500 000 C 3 526 000 B 3 525 000 D 3 530 000 Decide un plan. Mira el ítem 3. Escribir primero el número en forma desarrollada puede ayudarte a escribir el número en forma habitual. 3. La construcción del nuevo complejo deportivo costó trescientos millones quinientos mil pesos. ¿Cómo se escribe este número en forma habitual? A $ 300 500 000 C $ 3 000 500 B $ 3 500 000 D $ 300 500 4. El área total de Chile (con islas y la Antártica) es de 2 006 626 km2 y el área total de agua 102 160 km2 aproximadamente. Explica cómo redondear el área total de tierra y de agua a la centena de mil de kilómetros cuadrados más cercana. Patrones y álgebra 5. Encuentra el valor de la siguiente expresión 7 • (6 2 2) A 28 C 63 B 45 D 126 6. Encuentra el valor de y si x 5 12 x 5 y 1 8 A 1 C 4 B 3 D 9 7. La siguiente tabla muestra cuántos kilogramos hay en cada bolsa de comida para perros. Cantidad de bolsas Cantidad de kg 2 20 4 40 6 60 Comida para perros Si Vanessa compra n bolsas de comida para perros, ¿cuál expresión representa la cantidad de kg que compra? A n 1 3 C n 1 10 B n • 3 D n • 10 8. Si Vanessa compra 10 bolsas de comida, ¿Cuántos kg tendrá? A 80 C 100 B 120 D 10 9. El patrón de la tabla es: A Multiplicar por 10 C Multiplicar por 100 B Sumar 20 D Sumar 10 26 Geometría - Medición 10. La posición de la ficha verde en la cuadrícula es: Datos y probabilidades 14. ¿Cuál de los enunciados sobre los datos que se muestran en el siguiente gráfico es verdadero? A Hay 3 estudiantes más en el club de informática que en el club de matemática. B Hay 3 estudiantes más en el club de informática que en el club de español. C Hay 30 estudiantes en el club de informática y en el club de ajedrez. D Hay 37 estudiantes en el club de informática y en el club de español. 15. La siguiente tabla muestra el número de personas atendidas en una oficina de reclamos. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Número de personas 38 28 47 52 13 ¿Cuántas personas fueron atendidas los últimos 3 días? A 13 B 100 C 112 D 127 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Ca nt id ad d e m ie m br os Clubes escolares Club ajedrez matemática español informática A B C D E F G H 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 A B C D E F G H A (A,3) C (G,4) B (D,5) D (H,8) 11. La coordenada (C, 4) corresponde a la casilla de color: A B C D E F 5 4 3 2 1 A Morada C Roja B Amarilla D Azul 12. ¿Cuántas caras tiene la siguiente figura? A 4 C 8 B 6 D 10 13. El nombre de la figura anterior es A Paralelepípedo C Cuadrado B Rectángulo D Cubo 16. Si el horario de atención solo fuera lunes, miércoles y viernes. ¿Cuántas personas serían atendidas? A 93 C 118 B 98 D 128 Capítulo 1 27 Multiplicar números naturales La idea importante La multiplicación de números naturales de varios dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación. Población mundial de pingüinos Especies Adelia Penacho amarillo del norte Penacho amarillo del sur Macaroni Papúa 2 500 000 350 000 650 000 9 000 000 320 000 Población estimada (parejas) 2 Los exploradores ingleses del siglo XVIII le dieron su nombre al pingüino Macaroni debido al penacho de plumas amarillas que lleva en la cabeza. Las plumas se parecían a las plumas que los hombres jóvenes llevaban en extravagantes sombreros llamados Macarronis. En Chile, el pingüino Macaroni se distribuye en la Península Antártica e islas Shetland del Sur, islas Desolación, Diego Ramírez y Noir. Eres un científico que está estudiando la población de pingüinos según sus especies. Has observado que la población de la especie de pingüinos Adelia es aproximadamente cuatro veces mayor que la del penacho amarillo del sur. Elige dos especies de pingüinos. Estima cuántas veces mayor es la población de una especie con respecto a la otra. 28 DATO BREVE Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 2. u Multiplicar operaciones básicas Halla el producto. 1. 90 • 7 2. 40 • 6 3. 50 • 7 4. 20 • 8 5. 30 • 9 6. 60 • 6 7. 80 • 4 8. 70 • 8 9. 5 • 40 10. 9 • 60 11. 6 • 30 12. 80 • 3 u Multiplicar números de 2 dígitos Halla el producto. 13. 14 • 6 14. 23 • 4 15. 19 • 5 16. 31 • 8 17. 56 • 3 18. 97 • 2 19. 37 • 9 20. 69 • 4 21. 72 • 5 22. 86 • 7 23. 63 • 5 24. 96 • 3 25. 62 • 2 26. 76 • 3 27. 48 • 7 28. 88 • 4 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓn producto parcial Productos obtenidos durante las etapas intermedias para completar un proceso de multiplicación. múltiplo El producto de un número dado y otro número. estimar Hallar un número que se aproxima a la cantidad exacta. operación básica propiedad distributiva estimación múltiplo producto parcial patrón producto reagrupar redondear subestimación Capítulo 2 29 Práctica con supervisión Aprende CÁLCULO MENTAL Patrones en los múltiplos OBJETIVO: multiplicar operaciones básicas usando el cálculo mental y patrones de ceros. PROBLEMA En una colonia de pingüinos Macaroni puede haber miles de nidos. Contando los nidos, se sabe la población de la colonia. Imagina que una colonia de pingüinos Macaroni tiene 12 000 nidos, cada uno con dos pingüinos adultos y una cría. ¿Cuántos pingüinos hay en la colonia aproximadamente? Ejemplo Multiplica. 3 • 12 000 Para hallar los productos, puedes usar operaciones básicas y patrones con factores que son múltiplos de 10. 3 • 12 5 36 operación básica 3 • 120 5 3 • 12 • 10 5 360 operación básica multiplicada por 10 3 • 1 200 5 3 • 12 • 100 5 3 600 operación básica multiplicada por 100 3 • 12 000 5 3 • 12 • 1 000 5 36 000 operación básica multiplicada por 1 000 p El pingüino Macaroni se llama así porque las plumas de su cabeza se parecen al sombrero que se hizo famoso por la canción “Yankee Doodle”. Por lo tanto, la colonia tiene cerca de 36 000 pingüinos Macaroni en total. • Cuenta el número de ceros de un factor que es múltiplo de 10. ¿Cómo se relaciona con el número de ceros del producto? Más ejemplos Usa operaciones básicas y un patrón. 4 • 5 5 20 4 • 50 5 200 4 • 500 5 2 000 4 • 5 000 5 20 000 6 • 8 5 48 6 • 80 5 480 6 • 800 5 4 800 60 • 800 5 48 000 Halla el número que falta. 1. 4 • 4 5 j 2. 5 • 2 5 j 3. 2 • 3 5 j 4. 8 • 7 5 j 4 • 40 5 j 5 • 20 5 j 2 • 30 5 j 8 • 70 5 j 40 • 40 5 j 5 • 200 5 j 20 • 30 5 j 8 • 700 5 j Halla el producto. 5. 3 • 40 6. 2 • 500 7. 60 • 70 8. 80 • 10 9. 3 • 3 000 10. Explica cómo 5 • 7, y los patrones de ceros, pueden ayudarte a hallar el producto de un número muy grande como 500 • 70 000. Puedes usar el cálculo mental para hallar el producto. Comienza con la operación básica. Luego, cuenta el número de ceros en el múltiplo de 10. Agrega el mismo número de ceros al final del producto. Repaso rápido 1. 5 • 10 2. 6 • 20 3. 9 • 40 4. 80 • 3 5. 7 • 70 1LEC CI ÓN 30 Comprensión de los aprendizajes Krill are small, shrimplike crustaceans that swim in large groups in the ocean. USA DATOS Para 29–31, usa los datos sobre el krill. 29. El krill pone huevos, o desova, varias veces en una temporada. Si un krill pone huevos 4 veces, ¿cuántos huevos pondrá? 30. Imagina que un pingüino come alrededor de 3 kg de krill por día. Aproximadamente, ¿cuánto krill come el pingüino en 100 días? 31. Razonamiento Los investigadores descubrieron un grupo grande de krill que medía más de 9 metros de largo. Aproximadamente, ¿cuánto es 9 metros de largo, si se mide en cantidades de krill? 32. Explica cómo puedes decir sin multiplicar que 7 • 600 y 700 • 6 tienen el mismo valor. Halla el producto. 11. 40 • 80 12. 8 • 200 13. 3 • 40 14. 9 • 700 15. 10 • 5 16. 11 • 10 17. 60 • 30 18. 90 • 12 19. 7 • 60 20. 11 • 12 Halla el número que falta. 21. 3 • 700 5 j 22. 5 • j 5 450 23. j • 6 5 540 24. 8 • 300 5 j 25. 70 • 80 5 j 26. 2 • j 5 800 27. j • 5 5 300 28. j • 5 5 200 Álgebra 33. ¿Cuál es el valor de n 2 15 si n 5 40? 34. ¿Cuánto es 4 096 redondeado a la centena más cercana? 35. En un campo, hay 90 hileras de plantas de frutillas. Cada hilera contiene 600 plantas. ¿Cuántas plantas de frutillas hay en el campo? A 54 C 5 400 B 540 D 54 000 Datos sobre el krill • El krill es una fuente principal de alimento para animales marinos y aves. • El krill antártico adulto mide cerca de 5 cm de largo. • 30 unidades de krill antártico pesan cerca de 28 g. • Un krill pone cerca de 8 000 huevos a la vez. Los krill son crustáceos pequeños, en forma de camarón, que nadan en el agua como nubes de insectos. Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 42, Grupo A Capítulo 2 31 Paso Paso PROBLEMA Una compañía desea comprar una cantidad de maderos equivalente a 360 m2 para construir 4 cabañas pequeñas. El señor Ramírez tiene12 hectáreas de tierra. Cada hectárea tiene suficientes árboles como para obtener un promedio aproximado de 40 m2 de maderos. ¿Tiene el señor Ramírez suficientes árboles para venderle a la compañía para que construya las 4 cabañas? No es necesario saber la cantidad exacta de metros cuadrados de maderos en las 12 hectáreas, por lo tanto puedes estimarla. Ejemplo Haz una estimación 405 • 12. Redondea ambos factores al primer dígito. 12 • 40 ↓ ↓ 10 • 40 Usa la operación básica y los patrones de múltiplos de 10 para hallar la estimación. 10 • 40 5 10 • 4 • 10 5 4 • 100 5 400 Ya que el señor Ramírez tiene árboles suficientes para producir 400 m2 de maderos, puede por tanto, vendérselos a la compañía. Más ejemplos Operación básica y un múltiplo de 10 6 • 593 ↓ 6 • 600 5 3 600 Operación básica y dos múltiplos de 10 48 • 42 ↓ ↓ 50 • 40 5 2000 Operación básica con números mayores 92 • 79 ↓ ↓ 90 • 80 5 7 200 Cantidad aproximada a la siguiente cifra sin decimales 16 • 12,95 ↓ 16 • 13 5 208 Estimar productos OBJETIVO: estimar productos usando el redondeo y la forma desarrollada de los números. Repaso rápido 1. 3 • 600 2. 5 • 3 000 3. 70 • 90 4. 80 • 50 5. 90 • 40 Aprende 2LEC CI ÓN 32 Comprensión de los aprendizajes Paso Paso Árboles y arbustos Magnolia Adelfa Camelia Hibisco Costo $ 412 $ 33 $ 129 $ 54 Gastos de la Sociedad de Conservación Estima el producto. 27. ¿Qué número decimal es mayor 3,092 o 3,598? 28. Clasifica los pares de líneas como paralelas o perpendiculares. 29. 40 • 60 5 30. Un auto recorre aproximadamente 75 km desde Los Andes hasta Santiago. Estima el número de km que hay en 34 viajes desde Los Andes hasta Santiago. A 3 000 km C 3 400 km B 2 400 km D 4 400 km 1. 28 • 31 ↓ ↓ j • 30 j • 30 5 j • 10 • 3 • j 5 j • 100 5 j 2. 76 • 41 3. 122 • 6 4. 96 • 18 5. 32 • 72 6. 4 • 612 7. Explica por qué a veces puedes estimar en lugar de hallar una respuesta exacta. Estima el producto. 8. 53 • 22 9. 96 • 51 10. 37 • 13 11. 62 • 94 12. 82 • 5 13. 28 • 49 14. 76 • 92 15. 56 • 31 16. 29 • 70 17. 24 • 65 18. 16 • 73 19. 23 • 50 20. 58 • 32 21. 21 • 27 22. 32 • 89 USA DATOS Para 23–25, usa la tabla. 23. La Sociedad de Conservación recaudó $4 000 para comprar 8 magnolias para el parque de una ciudad. Haz una estimación para hallar si el grupo recaudó suficiente dinero para comprar los árboles. 24. La Sociedad de Conservación tiene $1 000 para invertir en 21 arbustos de adelfa que serán plantados a lo largo de una senda para bicicletas. Haz una estimación para saber si tiene dinero suficiente para comprar los arbustos. 25. Formula un problema Vuelve al Problema 23. Escribe un problema similar cambiando el tipo de planta y los números. 26. Estima el producto 27 • 48. Explica si se trata de una sobreestimación o de una subestimación. Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 42, Grupo B Capítulo 2 33 Aprende La distancia entre Valdivia y Puerto Montt es aproximadamente 216 km Paso Paso Multiplicar por números de 2 dígitos OBJETIVO: multiplicar por un número de 2 dígitos. PROBLEMA Ana vive en Puerto Montt y planea ir en bicicleta hasta Valdivia. Quiere hacer unas pocas excursiones a lo largo del camino. Planea viajar alrededor de 18 km cada día durante 12 días. ¿Cuántos kilómetros en total planea recorrer Ana en bicicleta? Repaso rápido 1. 48 • 4 2. 5 • 23 3. 85 • 4 4. 50 • 70 5. 83 • 2 Ejemplo Multiplica. 18 • 12 Haz una estimación. 20 • 10 5 300 Por lo tanto, Ana planea recorrer en bicicleta 216 km. Dado que este número es cercano a la estimación de 300, es una respuesta razonable. • En el Paso 2, ¿por qué el producto parcial de 180 tiene un cero en el lugar de las unidades? Más ejemplos Dinero Factor de 2 dígitos Dos factores de 2 dígitos Multiplica por las unidades. Multiplica por las decenas. Suma los productos parciales. 1 1 8 • 1 2 3 6 1 1 8 • 1 2 3 6 1 8 0 1 1 8 • 1 2 3 6 1 8 0 2 1 6 productos parciales ← 4 • 28 ← 70 • 28 5 3 $ 2 8 • 7 4 1 1 2 + 1 9 6 0 $ 2 0 7 2 ← 5 • 81 ← 90 • 81 8 1 • 9 5 4 0 5 + 7 2 9 0 7 6 9 5 ← 7 • 69 ← 30 • 69 6 2 6 9 • 3 7 4 8 3 2 0 7 0 2 5 5 3 Paso 3LEC CI ÓN Valdivia Pto. Montt 34 Comprensión de los aprendizajes 27cm aprox. 216 cm Halla los números que faltan. 1. ← 45 • j ← 45 • j 4 5 • 1 7 3 1 5 + 4 5 0 7 6 5 2. ← j • j ← j • j 6 8 • 2 9 6 1 2 +1 3 6 0 1 9 7 2 3. ← j • j ← j • j jjjjj 5 7 • 3 8 4 5 6 +1 7 1 0 Encuentra el producto. 4. 22 • 19 5. 30 • 36 6. 41 • 54 7. 53 • 85 8. 68 • 67 22. El perímetro de un jardín cuadrado mide 196 metros. ¿Cuál es la longitud de cada lado? 23. Romina corrió 3,6 km el martes y 3,48 km el miércoles. ¿Qué día corrió Romina la mayor distancia? 24. Qué número hace que el enunciado 4 • 29 = (4 • n) + (4 • 9) sea verdadero? 25. Daniela tiene que llenar 57 cajas con 72 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas necesita? Haz una estimación. Luego, halla el producto. 9. 29 • 53 10. 60 • 72 11. 72 • 46 12. 41 • 81 13. 30 • 19 14. 22 • 34 15. 43 • 50 16. 25 • 18 17. 52 • 70 18. 93 • 25 Resuelve. 19. Mientras Pablo anda en bicicleta, su frecuencia cardíaca llega a 98 latidos por minuto durante 5 minutos. Durante este período de 5 minutos, ¿cuántas veces late el corazón de Pablo? 20. Sandra se entrenó para una carrera de bicicletas recorriendo 95 kilómetros por día, 4 días por semana, durante 8 semanas. ¿Cuál es la cantidad total de kilómetros que Sandra recorrió para entrenarse? 21. ¿Cuál es la pregunta? Un artista de circo, tiene una bicicleta cuyas ruedas miden 27 cm, recorre alrededor de 85 cm por cada revolución de las ruedas. Las ruedas dan 78 revoluciones. La respuesta es 6 630 cm. Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 42, Grupo C Capítulo 2 35 Aprende Repaso rápido Paso Paso ADVERTENCIA ADVERTENCIA Practicar la multiplicación OBJETIVO: practicar la multiplicación por números 2 dígitos. PROBLEMA El peso de un elefante macho africano puede ser 85 veces mayor que el peso de un león joven. Si un león joven pesa en promedio alrededor de 72 kg, ¿cuánto podría pesar un elefante macho africano? 1. 90 • 40 2. 40 • 61 3. 74 • 5 4. 96 • 27 5. 30 • 40 Ejemplo Multiplica. 85 • 72 Haz una estimación. 90 • 70 5 6 300 Multiplica por las unidades. Multiplica por las decenas. Suma los productos parciales. Por lo tanto, un elefante macho africano puede pesar unos 6 120 kg. Este número se acerca a la estimación de 6 300; por lo tanto, la respuesta es razonable. p La trompa de un elefante africano contiene más de 40 000 músculos.Más ejemplos Usa la propiedad distributiva. 20 • 32 5 20 • (30 1 2) 5 (20 • 30) 1 (20 • 2) 5 600 1 40 5 640 Cuando multiplicas por las decenas, coloca un cero en el lugar de las unidades para alinear los valores posicionales. Multiplica por 1 dígito. Multiplica por 2 dígitos. 1 8 5 • 7 2 1 7 0 3 1 8 5 • 7 2 1 7 0 + 5 9 5 0 3 1 8 5 • 7 2 1 7 0 + 5 9 5 0 6 1 2 0 5 3 6 • 9 3 2 4 1 2 5 4 • 36 3 2 4 + 1 6 2 0 1 9 4 4 Paso 4LEC CI ÓN 36 Comprensión de los aprendizajes Paso Paso Alimentación de los animales Animal gorila hipopótamo león Alimento diario (en kg) 20 75 8 1. Copia cada paso del problema de la derecha. Luego di qué sucede en cada paso. Haz una estimación. Luego, halla el producto. 2. 201 • 15 3. 14 • 655 4. 33 • 31 5. 42 • 29 6. 87 • 36 7. Explica por qué es importante el valor posicional cuando multiplicas. 20. ¿Qué dígito está en el lugar de los millones en el número 146 378 920? 21. María está leyendo un libro de 98 páginas. Lee 15 páginas todos los días durante 6 días. ¿Cuántas páginas le quedan por leer a María? 22. La entrada a un museo de historia natural cuesta $ 2 473 por persona. ¿Cuánto dinero pagan en total 6 visitantes en un día por concepto de entradas? A $ 12 428 B $ 12 838 C $ 14 828 D $ 14 838 Haz una estimación. Luego, halla el producto. 8. 16 • 60 9. 43 • 18 10. 35 • 91 11. 15 • 42 12. 14 • 87 13. 57 • 31 14. 18 • 55 15. 81 • 36 16. 64 • 54 17. 73 • 13 USA DATOS Para 18 -19, usa la tabla. 18. ¿Cuántos kilogramos de alimento come un león en un año? (1 año 5 365 días). 19. ¿Tiene sentido o no? Miguel dice que el producto de un número de 1 dígito y un número de 2 dígitos es un número de 4 dígitos. ¿Tiene sentido el enunciado de Miguel? ¿Por qué? 1 5 5 2 8 • 7 9 6 5 5 2 8 • 7 6 1 5 5 2 8 • 7 3 6 9 6 Paso Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 42, Grupo D Hipopótamo Capítulo 2 37 Estrategia: predecir y probar OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia predecir y probar. Aprende la estrategia A veces, es posible que no estés seguro de cómo resolver un problema. Otras veces, puede haber muchas maneras de resolver un problema, pero no estás seguro de cuál es la mejor. Puedes predecir una solución para el problema, y luego probar y revisar la solución hasta que tu respuesta sea correcta. Usa la estimación y la percepción numérica para predecir y probar. El producto de 8 y un número es 504. ¿Cuál es el número? Estimación: Puedo redondear 8 a 10. ¿Qué puedo multiplicar por 10 para que me dé un producto que se aproxime a 500? 10 • 50 5 500 Piensa: Para obtener un producto que termine en 4, 8 se debe multiplicar por un número que termine en 3 o en 8. El número debe acercarse a la aproximación, 50. Predice: 58 o 63. Prueba: 58 • 8 5 104, que es demasiado alto. 63 • 8 5 504, por lo tanto, 63 es la solución al problema. Revisa tu predicción cuando tu suposición no sea la solución. Vuelve a leer el problema y halla un método que te ayude a hacer una predicción que se aproxime a la respuesta real. ¿Cómo revisas tu predicción si la solución que probaste es demasiado grande o demasiado pequeña? Usa patrones para predecir y probar. Hay 50 problemas en un examen. Por cada respuesta correcta, se dan 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta, se pierde 1 punto. En el examen, Tina obtuvo 91 puntos. ¿Cómo puede determinar Tina el número de problemas en los que se equivocó? Tina puede predecir el número de respuestas en las que se equivocó, haciendo una tabla para hallar un patrón. Cada respuesta incorrecta resta 3 puntos. Tina puede restar 3 puntos de 100 hasta que alcance su puntuación. Luego puede usar la tabla para hallar el número de problemas en los que se equivocó. Correcta 50 49 48 47 Incorrecta 0 1 2 3 Puntuación (50 • 2) � 0 � 100 (49 • 2) � 1 � 97 (48 • 2) � 2 � 94 (47 • 2) � 3 � 91 Patrón restar 3 restar 3 restar 3 demasiado alta demasiado alta demasiado alta correcta Predecir Examen 5LEC CI ÓN 38 Usa la estrategia PROBLEMA Jorge está tomando lecciones de natación y de fútbol mientras está en el campamento. Hasta ahora, Jorge ha pagado $ 11 600. Si las lecciones de natación cuestan $ 800 y las lecciones de fútbol cuestan $ 1 500 cada una, ¿cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Jorge? • Resume lo que te piden hallar. • ¿Qué información no se da? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes predecir y probar para tratar de resolver el problema. • ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿Tiene sentido tu respuesta para el problema? • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Haz una tabla para mostrar tus predicciones y pruebas. Tu tabla debe tener suficientes hileras para incluir varias predicciones. Empieza haciendo una estimación y usando la percepción numérica. Diez lecciones de natación cuestan $ 8 000; diez lecciones de fútbol cuestan $ 15 000 y diez de cada una cuestan $ 23 000. Cinco lecciones de cada tipo costarían la mitad, o $ 11 500. Predecir Probar Revisar 5 lecciones de natación, 5 lecciones de fútbol (5 • $ 800) 1 (5 • $ 1 500) 5 $ 4 000 1 $ 7 500 5 $ 11 500 demasiado baja pero se acerca, intenta con una lección de natación menos y una lección de fútbol más 4 lecciones de natación, 6 lecciones de fútbol (4 • $ 800) 1 (6 • $ 1 500) 5 $ 3 200 1 $ 9 000 5 $ 12 200 demasiado alta, trata de ajustar los números de otra manera 6 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol (6 • $ 800) 1 (4 • $ 1 500) 5 $ 4 800 1 $ 6 000 5 $ 10 800 demasiado baja; faltan solo $ 800, necesitas 1 lección de natación más 7 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol (7 • $ 800) 1 (4 • $ 1 500) 5 $ 5 600 1 $ 6 000 5 $ 11 600 correcta Por lo tanto, Jorge ha tomado 7 lecciones de natación y 4 lecciones de fútbol. Capítulo 2 39 Resolución de problemas con supervisión Actividad natación arquería equitación buceo Costo $ 4 000 por día $ 3 000 por día $ 8 000 por día $ 5 000 por día Actividades del campamento Predecir 4 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí 3 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí � Probar (4 • $ 7 500) � (4 • $ 5 600) � $ 52 400 (3 • $ 7 500) � (4 • $ 5 600) � $ 44 900 � Revisar demasiado alta; intenta con una lección de buceo menos demasiado baja; piensa: ¿cuánto mayor es $ 50 500 que $ 44 900? ? 1. Sofía va a un campamento de aventura de deportes acuáticos. Está aprendiendo a bucear y a hacer esquí acuático. Las lecciones de buceo cuestan $ 7 500 por día y las lecciones de esquí cuestan $ 5 600 por día. Hasta ahora, Sofía ha pagado $ 50 500. ¿Cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Sofía? Primero, predice el número de lecciones de buceo y el número de lecciones de esquí que ha tomado. Luego, prueba la predicción comparando el costo con $ 50 500. Finalmente, revisa tu predicción si es necesario. Repite hasta que tu solución concuerde con la información dada en el problema. Predecir y probar para resolver. USA DATOS Para 4–6, usa la tabla. 4. El lunes y el martes, Carlos realizó una combinación diferente de actividades en el campamento. Realizó tres actividades diferentes cada día. Pagó $ 12 000 por las actividades del lunes y pagó $ 17 000 por las actividades del martes. ¿Qué actividades realizó Carlos cada día? 5. Razonamiento Amanda hizo dos tipos diferentes de actividades cada día, desde el lunes hasta el sábado. La tabla siguiente muestra la cantidad que pagó por día. ¿Cuáles son las dos actividades que Amanda hizo cada día? 6. Describe tres maneras en que un campista podría gastar $ 15 000 o menos por 3 días de actividades, haciendo una actividad cada día. 2. ¿Qué pasaría si Sofía hubiera gastado $ 58 000 en las lecciones de buceo y de esquí? ¿Cuántas lecciones de cada tipo habría tomado? 3. En el campamento, Luis está fabricando billeteras y señaladores de libros. Los adornos para los señaladores cuestan $ 300 y los adornos para las billeteras cuestan $ 800. Luis gastó $ 3 400 en adornos. ¿Cuántos señaladores y cuántas billeteras está planeando fabricar? Día Cantidad lun. $ 7 000 mar. $ 13 000 mié. $ 12 000 jue. $ 9 000 vie. $ 11 000 sáb. $ 8 000 Resolución de problemas • Práctica de estrategias 40 Campamentos de verano Tipo de campamento Astronauta Informática Artes escénicas Surf Costo semanal $ 16 350 $ 13 330 $ 6 250 $ 3 140 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNAPráctica de estrategias mixtas USA DATOS Para 7–12, usa la información de la tabla. 7. David va a ir a un campamento de artes escénicas durante 2 semanas. Ha ahorrado $ 5 110 y su padre aportará $ 2 500. ¿Cuánto dinero más necesitará ahorrar David para pasar dos semanas en el campamento? 8. Cynthia va a un campamento de informática durante una semana. Pagará el costo semanal del campamento y necesita comprar útiles. Necesita comprar 10 CD en blanco a $ 100 cada uno, una resma de papel para imprimir a $ 3 500 y unos auriculares a $ 7 000. ¿Cuánto dinero en total necesita Cynthia? 9. Valentina decidió no ir al campamento de astronautas porque era demasiado caro. En su lugar, quiere ir a un campamento de surf. ¿Durante cuántas semanas puede ir al campamento de surf en lugar de ir una semana al campamento de astronautas? 10. Formula un problema Vuelve al Problema 8. Escribe un problema similar cambiando el tipo de campamento, los útiles necesarios y los números. 11. Problema abierto La abuela de Héctor le dio $ 30 000 para ir al campamento de verano. Describe otras maneras en que Héctor pudo gastar el dinero para ir a campamentos diferentes durante cantidades de tiempo diferentes. 12. José ganó 3 veces más insignias al mérito que Juan en el campamento de exploradores. Juan ganó 3 insignias al mérito menos que Jorge. Jorge ganó 6 insignias al mérito. ¿Cuántas insignias al mérito ganó José y cuántas ganó Juan? Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico ESFUÉRZATE Mientras David está en el campamento, envía una postal a su mamá y a su papá cada dos días y una postal a su abuela cada cinco días. 13. David ha enviado un total de 9 postales. ¿Cuál es el menor número de días que David pudo haber estado en el campamento? 14. Si David pasa todo el mes de julio en el campamento, ¿cuántas veces enviará una postal a sus padres y a su abuela el mismo día? Explica cómo hallaste la respuesta. Capítulo 2 41 Práctica adicional Grupo A Usa el cálculo mental para hallar el producto. Grupo D Haz una estimación. Luego halla el producto 1. 30 • 60 2. 9 • 400 3. 5 • 70 4. 10 • 60 5. 40 • 80 6. 9 • 50 7. 20 • 80 8. 40 • 12 9. 8 • 70 10. 5 • 60 11. 70 • 30 12. 50 • 80 13. El señor López encargó 8 cajas de lápices. 14. Cada paquete de tachuelas contiene En cada caja hay 70 lápices. ¿Cuántos 120 tachuelas. ¿Cuántas hay en 30 paquetes? lápices encargó? Grupo B Estima el producto. 1. 42 • 23 2. 98 • 61 3. 34 • 17 4. 82 • 39 5. 72 • 51 6. 87 • 29 7. 48 • 32 8. 68 • 51 9. 23 • 61 10. 46 • 58 11. 18 • 47 12. 42 • 88 Grupo C Halla los números que faltan. 1. 2. 3. 13. Una tienda encargó 48 cajas de tarjetas. Cada caja tiene 112. ¿Aproximadamente cuántas tarjetas encargó la tienda? 14. Una tienda vendió 272 agendas. Cada una costó $ 1 200. ¿Aproximadamente cuánto ganó la tienda por las agendas? 13. En un envío hay 5 cajas de papel. Cada caja contiene 450 hojas. ¿Cuántas hojas de papel hay en el envío? 14. Una compañía saca a la venta 3 275 folletos informativos cada semana. ¿Cuántos folletos sacan a la venta en 8 semanas? 23 • 15 115 230 345 76 • 24 304 1 520 1 824 80 • 39 720 2 400 3 120 ←j•j ←j•j ←j•j ←j•j ←j•j ←j•j 4. El señor López recorre 135 kilómetros en bicicleta cada semana. ¿Cuántos kilómetros recorre en 52 semanas? 5. Pinturas Pincel vendió 39 tarros de pintura a $ 2 700 el tarro. ¿Cuánto fue el total de ventas por la pintura? 1. 15 • 23 2. 38 • 41 3. 47 • 52 4. 85 • 33 5. 64 • 11 6. 84 • 62 7. 41 • 40 8. 45 • 37 9. 9 • 12 10. 10 • 72 11. 51 • 40 12. 39 • 4 42 ¡En sus marcas! 2, 3 o 4 jugadores y un árbitro ¡Listos! • 2 cubos numerados, cada uno numerado del 1 al 6 • monedas (un tipo diferente de moneda por cada jugador) ¡A jugar! El árbitro define que el producto de la multiplicación debe tener 3 dígitos y ese mismo producto debe estar entre 550 y 650 o 350 y 450 o 120 y 320, etc. El árbitro lanza el primer cubo numerado para hallar el dígito de las decenas del primer factor. Luego lanza el segundo dado numerado y el número que sale corresponde al dígito de las unidades del primer factor. Cada jugador escribe el número como primer factor de un ejercicio de multiplicación. Luego, cada jugador adivina o predice un segundo factor que al multiplicarlo con el primero, el producto obtenido tiene 3 dígitos y está entre los números que señaló el árbitro al inicio del juego. El árbitro comprueba cada producto. Cada jugador cuyo producto cumpla con las condiciones definidas por el árbitro, avanza 1 casilla en el tablero. El primer jugador en alcanzar la llegada, gana. LLegada SaLIda dale al blanco Capítulo 2 43 Repaso/Prueba del capítulo 2 Comprueba el vocabulario y los conceptos VOCABULARIO múltiplo producto parcial 23. En la feria de libros, los libros encuadernados en pasta cuestan $ 7 000 cada uno y los libros en rústica cuestan $ 2 000 cada uno. Doris gastó $ 40 000 en libros en la feria. ¿Cuántos libros de cada tipo compró? 24. El señor Lobos gastó $ 12 900 en boletos para el concierto. Los boletos costaron $ 1 800 para los adultos y $ 1 500 para los niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo compró? 25. Estima el producto de 93 • 62. Explica cómo sabes si la estimación es mayor o menor que el producto real. Comprueba la resolución de problemas Comprueba tus destrezas Elige el mejor término del recuadro para los ejercicios 1 y 2. 1. El ____________ es el producto obtenido durante las etapas intermedias para completar un proceso de multiplicación. 2. El ____________ es el producto de un número dado y otro número. Halla el producto. 3. 80 • 20 4. 6 • 90 5. 70 • 50 6. 4 • 30 7. 40 • 30 Estima el producto. 8. 38 • 61 9. 56 • 87 10. 21 • 49 11. 91 • 32 12. 197 • 2 Haz una estimación. Luego halla el producto. 13. 56 • 8 14. 782 • 5 15. 918 • 3 16. 43 • 29 17. 72 • 15 18. 428 • 7 19. 5 • 3 105 20. 26 • 73 21. 85 • 39 22. 2 • 602 Resuelve. 44 Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay? Puedes usar números compatibles y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente. Halla 4 3 140. 4 3 140 5 4 3 (100 1 40) Descompón 140 en números compatibles. Piensa: 140 5 100 1 40 5 (4 3 100) 1 (4 3 40) Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. 5 400 1 160 Suma mentalmente. 5 560 Por lo tanto, hay 560 fósiles. Halla 6 3 48. 6 3 48 5 6 3 (m 2 n) Descompón 48 en números compatibles. 5 (6 3 m) 2 (6 3 n) Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 y n 5 2. 5 (6 3 50) 2 (6 3 2) Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. 5 300 2 12 Resta mentalmente. 5 288 Usa números compatibles y la propiedad distributiva para hallar mentalmente el producto. 1. 2 3 156 2. 3 3 197 3. 5 3 210 4. 8 3 525 5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485 9. Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan $6.50 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías? Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9,998. Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay? Puedes usar la descomposición numérica del factor mayor y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente. Ejemplo Halla 4 • 140. 4 • 140 5 4 • (100 1 40) Descompón 140 en dos sumandos que formen el número 140. Piensa: 140 5 100 1 40 5 (4 • 100) 1 (4 • 40) Agrupa el primer factor con un sumando y luego 5 400 1 160 agrupa el mismo factor con el segundo sumando. 5 560 Multiplica mentalmente. Suma mentalmente. Por lo tanto, hay 560 fósiles. Otro Ejemplo Halla 6 • 48. 6 • 48 5 6 • (m 2 n) Descompón 48 en dos sumandos que formen el número 48. 5 (6 • m) 2 (6 • n) Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 y n 5 2. 5 (6 • 50) 2 (6 • 2) Agrupa el primer factor con un sumando y luego agrupa el mismo 5 300 2 12 factor con el segundo sumando. Multiplica mentalmente. Resta mentalmente. 5 288 Inténtalo Usa la descomposición en dos sumandos y agrúpalos con un factor para hallar mentalmente el producto. 1. 2 • 156 2. 3 • 197 3. 5 • 210 4. 8 • 525 5. 6 • 395 6. 4 • 550 7. 2 • 176 8. 4 • 485 9. Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan $ 650 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías? Explica cómo hallarías mentalmente 3 • 9 998. Enriquecimiento • Descomponer en sumandos Capítulo 2 45 Fósil Patrones y álgebra 5. Si f 5 7, ¿cuál es el valor de 28 2 f ? A 4 C 21 B 11 D 35 6. Mira la tabla de entradas y salidas. Entrada 12 24 36 48 x Salida 6 12 18 j y ¿Cuál es el número desconocido? A 96 C 24 B 60 D 20 7. A las 10:00 a.m., la temperatura era de 25 °C. Al mediodía, la temperatura había subido unos grados. ¿Qué expresión muestra la temperatura al mediodía? A 25 2 t B 25 1 t C t 2 25 D 25 • t 8. Explica cómo usarías la propiedad distributiva para hallar 3 • 46. números y operaciones Eliminar opciones. Mira el ítem 1. Halla las respuestas en las cuales se compara solamente la población de Curicó y de Talca. Luego elige la comparación correcta. 1. ¿En qué respuesta se compara correctamente la población de Curicó y de Talca? Ciudad Talca Arica Curicó Población 20 851 820 11 353 140 33 871 648 Población en 2011 A 33 871 648 . 20 851 820 B 33 871 648 , 20 851 820 C 33 871 648 . 11 353 140 D 20 851 820 , 11 353 140 2. Un panadero horneó 8 bandejas de pan. Cada bandeja tenía 218 panes. ¿Cuántos panes horneó el panadero en total? A 226 C 1 686 B 1 544 D 1 744 3. ¿Cuál de los siguientes decimales es equivalente a 0,2 + 0,1? A 3,0 C 0,03 B 0,3 D 0,003 4. Explica cómo se redondea 432 727 a la centena de mil más cercana. Comprensión de los aprendizajes 9. La expresión que muestra la temperatura de las 4 de la tarde, sabiendo que subió en tres grados es. A 25 + 3 t C 3t – 25 B 28 + t D 25 – 3t 46 Datos y probabilidades 15. Observa la siguiente tabla. ¿Cuántos computadores se vendieron los días 2, 3 y 4? Ventas de computadores Día Computadores vendidos 1 5 2 6 3 6 4 6 5 7 6 2 A 6 + 6 C 6 • 3 B 17 D 23 16. Mira la siguiente tabla. ¿Cuántas revistas más se vendieron en la semana 3 que en la semana 4? 4 cm Geometría - Medición 10. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 6 caras? A Pirámide cuadrada B Cubo C Cono D Prisma triangular 11. Alberto está haciendo una copia de la bandera chilena. Cada lado de la estrella de la bandera mide 4 cm. ¿Cuál es el perímetro de la estrella? A 28 cm B 32 cm C 36 cm D 40 cm 12. En la cuadrícula el corazón está ubicado en? A (B, 2) C (3, B) B (2, A) D (4, C) 1 2 3 4 5 D C B A 13. Si desplazamos el corazón dos espacios a la izquierda, las nuevas coordenadas son: A (1, B) C (5, B) B (2, C) D (4, A) 14. Explica cómo hallarías el área de una bandera que mide 6 m de largo y 4 m de ancho. A 1 551 C 551 B 1 441 D 451 17. Observa la siguiente tabla. ¿Cuántos niños hay en el curso? Edades de los niños del curso Edad Nº de niños 9 8 10 15 11 12 4 6 5 7 A 25 C 35 B 30 D 48 Ventas de revistas Semana Revistas vendidas 1 1 240 2 989 3 3 205 4 2 754 Capítulo 2 47 Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos La idea importante La división de números de varios dígitos entre números de 1 y 2 dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación y división. 3 En Puerto Montt, 4 mil escolares de distintas ciudades del país participaron en el primer desfile post terremoto, 27 de febrero de 2010, en conmemoración del 21 de mayo. Desfile del 21 de mayo Bandas escolares Ca nt id ad d e m ie m br os Bandas escolares 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 0 Va lpa raí so Qu illo ta Sa nti ag o Tal cah ua no Para el Desfile del 21 de mayo, las bandas escolares se forman en filas. En cada fila habrá entre 6 y 11 miembros. Elige una de las bandas del cuadro. Divide la banda en filas, cada una con una cantidad igual de miembros. ¿Cuál es la mayor cantidad de miembros que se puede incluir en filas que sean iguales? ¿Y la menor cantidad? DATO BREVE 48 Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 3. u Estimar cocientes Estima el cociente. 1. 130 : 4 2. 230 : 6 3. 280 : 3 4. 340 : 5 5. 500 : 8 6. 520 : 9 7. 390 : 4 8. 640 : 7 9. 400 : 6 10. 370 : 6 11. 610 : 8 12. 200 : 3 u Ubicar el primer dígito Identifica la posición del primer dígito del cociente. 13. 428 : 5 14. 361 : 2 15. 403 : 7 16. 572 : 9 17. 645 : 3 18. 793 : 4 19. 622 : 8 20. 917 : 6 u Multiplicar por números de 1 y 2 dígitos Halla el producto. 21. 78 • 6 22. 413 • 9 23. 826 • 5 24. 673 • 8 25. 32 • 12 26. 16 • 33 27. 27 • 25 28. 31 • 34 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO expresión algebraica números compatibles dividendo divisor evaluar expresión númerica cociente variable PREPARACIÓN números compatibles Números que son fáciles de calcular mentalmente. evaluar Hallar el valor de una expresión númerica o algebraica. cociente El número que, sin el residuo, resulta al dividir. Capítulo 3 49 1 Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito OBjETIVO: hacer una representación de la división con bloques multibase. Materiales ■ bloques multibase. El comedor de la escuela está sirviendo 72 duraznos en 3 bandejas. Cada bandeja tiene el mismo número de duraznos. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? Puedes usar bloques multibase para hallar el número de objetos que hay en grupos iguales. Usa los bloques multibase para hacer una representación de 72 duraznos. Muestra 72 como 7 decenas 2 unidades. Dibuja tres círculos. Coloca el mismo número de decenas en cada grupo. Si sobran decenas, reagrúpalas como unidades. Coloca el mismo número de unidades en cada grupo. Cuenta el número de decenas y unidades en cada grupo para hallar el número de duraznos en cada bandeja. Registra tu respuesta. Sacar conclusiones 1. ¿Por qué dibujaste 3 círculos en el paso A? 2. ¿Por qué necesitas reagrupar en el paso C? 3. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? 4. ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? 5. Síntesis ¿Qué pasaría si hubiera 96 duraznos y 4 bandejas? ¿Cómo puedes usar los bloques multibase para hallar cuántos duraznos habrá en cada bandeja? Repaso rápido 1. 3 • 8 2. 12 : 2 3. 7 • 9 4. 6 • 8 5. 54 : 6 50 Paso Paso Paso Explica los pasos para hacer una representación de 48 : 3 usando bloques multibase. Puedes usar bloques multibase para hacer una representación de la división con resto. Usa bloques multibase para hallar el cociente y el resto. 1. 84 : 2 2. 96 : 6 3. 99 : 8 4. 67 : 5 5. 84 : 3 6. 52 : 2 7. 26 : 4 8. 81 : 5 9. 44 : 3 10. 84 : 7 Divide. Puedes usar bloques multibase. 11. 52 : 4 12. 48 : 5 13. 87 : 7 14. 77 : 6 15. 97 : 6 16. 22 : 3 17. 72 : 3 18. 40 : 6 19. 23 : 9 20. 88 : 5 21. Explica cómo puedes hacer una representación del cociente de 73 : 5. Muestra 46 como 4 decenas 6 unidades. Por lo tanto, para cada robot se necesitan 11 partes. Sobrarán 2 partes. El juego para armar de Miguel tiene 46 partes mecánicas. Puede construir 4 robots iguales con estas partes. ¿Cuántas partes necesita Miguel para cada robot? ¿Cuántas partes sobrarán? Dibuja 4 círculos. Coloca 1 decena en cada círculo. Coloca 1 unidad en cada círculo. Cuenta cuántas unidades sobran. Capítulo 3 51 Aprende Repaso rápido PROBLEMA En 2011 terminó la elaboración de lingotes de cobre refinados a fuego (RAF) en la mina El Teniente. Imagina que con 195 kg en el horno se obtienen 5 lingotes. ¿Cuántos kilogramos pesaría cada lingote? 1. 5 • 9 2. 4 • 70 3. 6 • 60 4. 8 • 300 5. 7 • 800 Haz una estimación para colocar el primer dígito. Divide. 195 : 5. Divide las 19 decenas. Baja las 5 unidades. Divide las 45 unidades. Por lo tanto, cada lingote de cobre pesaría 39 kg. Más ejemplos Divide. Divide. 19 : 5 Multiplica. 5 • 3 Resta. 19 2 15 Compara. 4 , 5 Divide. 45 : 5 Multiplica. 5 • 9 Resta. 45 2 45 Compara. 0 , 5 4 872 : 8 Estima: 4 800 : 8 5 600 1 700 : 9 Estima: 1 800 : 9 5 200 Haz un estimación. 150 : 5 = 30 o 200 : 5 = 40 Por lo tanto, coloca el primer dígito en el lugar de las decenas. 150 : 5 = Dado que 7 , 8, escribe 0 en el cociente en el lugar de las decenas. Comprueba ✓ Comprueba ✓ Para comprobar tu respuesta, multiplica el cociente por el divisor. Luego agrega el resto para obtener el dividendo. Dividir entre divisores de 1 dígito OBjETIVO: dividir dividendos de 3 y 4 dígitos entre divisores de 1 dígito. 1 9’ 5 : 5= 3 – 1 5 4 1 9’5’ : 5= 3 9 – 1 5 4 5 – 4 5 0 4 8’7’2’ : 8= 6 0 9 – 4 8 0 7 – 0 7 2 – 7 2 0 1 7’0’0’ : 9= 1 8 8 – 9 8 0 – 7 2 8 0 – 7 2 8 7 6 0 9 • 8 4 8 7 2 7 7 1 8 8 • 9 1 6 9 2 1 6 9 2 + 8 1 7 0 0 Recuerda El resto es la cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir en partes iguales. Paso Paso Paso 2LEC CI ÓN p Chile es el principal productor de cobre del mundo. 52 1. Usa la estimación para hallar la posición del primer dígito del cociente para 236 : 4. Estima: 200 : 4 5 50. Usa la estimación e identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 2. 579 : 3 3. 1 035 : 5 4. 282 : 6 5. 1 766 : 8 6. 1 027 : 4 7. Explica cómo sabes, sin dividir, si un número de 3 dígitos dividido entre un número de 1 dígito tendrá un cociente de 2 o 3 dígitos. Usa el valor posicional para colocar el primer dígito. Divide. 637 : 7. Mira las centenas. 637 : 7 6 , 7, por lo tanto, mira las decenas. 637 : 7 = 63 . 7, por lo tanto usa las 63 decenas. Coloca el primer dígito en el lugar de las decenas. Divide las 63 decenas. Baja las 7 unidades. Divide las 7 unidades. Por lo tanto, el cociente es 91. Más ejemplos Divide. 2 654 : 5 3 702 : 7 • Explica cómo comprobarías la respuesta del ejemplo C. Divide. 63 : 7 Multiplica. 9 • 7 Resta. 63 2 63 Compara. 0 , 7 Divide. 7 : 7 Multiplica. 1 • 7 Resta. 7 2 7 Compara. 0 , 7 6 3’ 7 : 7= 9 – 6 3 0 6 3’7’ : 7= 9 1 – 6 3 0 7 – 7 0 3 7’0’2’ : 7= 5 2 8 – 3 5 2 0 – 1 4 6 2 – 5 6 6 2 6’5’4’ : 5= 5 3 0 – 2 5 1 5 – 1 5 0 4 5 2 8 : 7 = 3 6 9 6 Comprueba ✓ 3 696 1 6 __ 3 702 Paso Paso Paso Práctica con supervisión Capítulo 3 53 Usa la estimación e identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 8. 275 : 5 9. 624 : 8 10. 468 : 3 11. 810 : 2 12. 2 546 : 8 13. 966 : 7 14. 3 220 : 4 15. 1 157 : 9 16. 6 723 : 6 17. 8 567 : 7 Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 18. 518 : 2 19. 618 : 6 20. 736 : 8 21. 1 716 : 4 22. 1 875 : 5 23. 223 : 3 24. 693 : 5 25. 762 : 4 26. 2 012 : 8 27. 1 729 : 2 28. 693 : 9 29. 2 203 : 4 30. 341 : 2 31. 3 632 : 6 32. 8 524 : 7 Escribe el número que falta en cada . 33. 564 : 8 5 34. : 3 5 317 r2 35. : 5 5 66 r4 36. 685 : 5 97 r6 USA DATOS Para 37–38, usa la tabla. 37. Si se transformara la pepita de oro Welcome en 3 ladrillos de oro, ¿cuánto pesaría cada ladrillo? 38. Formula un problema Vuelve al problema 37. Escribe un problema similar cambiando los números y la información. Luego, resuélvelo. 39. 246 estudiantes van de excursión a visitar una mina de oro. Si cada microbús tiene capacidad para 9 estudiantes, ¿cuántos microbuses se necesitan? ¿Cuántos estudiantes viajarán en el microbús que no está completo? 40. 420 estudiantes van de excursión. Si hay 1 adulto acompañante por cada 8 estudiantes, ¿cuántos acompañantes tiene un grupo completo de 8 estudiantes? ¿Cuántos estudiantes estarán con el acompañante que tiene menos de un grupo completo? 41. Explica cómo sabes dónde colocar el primer dígito del cociente en 374 : 4. Grandes pepitas de oro halladas Nombre Welcome Stranger Welcome Willard Peso 2 284 onzas troy 2 217 onzas troy 788 onzas troy Ubicación Australia Australia California El oro y otros metales p preciosos se pesan en onzas troy. Álgebra Práctica independiente y resolución de problemas 54 Comprensión de los aprendizajes 42. El teclado de una computadora tiene 114 teclas. ¿Cuántas teclas tendrían 10 teclados de computadora? 43. Vicente tiene 37 años. Maggie, su hermana, tiene 9 años menos. ¿Cuántos años tiene Maggie? Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. 44. Elena tenía $ 4 500. Gastó algo de dinero para comprar un suéter. Luego Elena compró un refrigerio a $ 600. Escribe una expresión algebraica para mostrar cuánto dinero le quedó. 45. En una caja de cartón caben 8 cajas de cereal. ¿Cuántas cajas de cartón se necesitan para guardar 128 cajas de cereal? A 1 024 C 16 B 17 D 8 46. Para una venta de repostería, un curso de quinto básico hizo 324 pastelitos. El curso puso los pastelitos en paquetes de 5. ¿Cuántos pastelitos sobraron? A 1 260 C 64 B 64 r4 D 4 Los siguientes rompecabezas se denominan pirámides. Puedes usar fórmulas de multiplicación y división para resolver los rompecabezas. Copia y completa la pirámide de números. Usa las fórmulas de multiplicación y división. Ejemplo 1. 2. 10 • 14 5 140Para hallar el número en el cuadro superior, usa la fórmula. A • B 5 C Para hallar el número en el cuadro inferior derecho, usa la fórmula. C : A 5 B 14 : 2 5 7 Práctica adicional en la página 66, Grupo A Capítulo 3 55 Aprende Repaso rápidoÁLgEBRA Patrones de división OBjETIVO: usar patrones para dividir. PROBLEMA Un curso de quinto básico escribió un libro sobre la historia de su escuela. El libro tiene 40 hojas. El curso tiene 8 000 hojas de papel para hacer copias del libro. ¿Cuántas copias puede hacer ese curso? Para hallar el cociente, puedes empezar con una operación básica de división y buscar un patrón. Ejemplo Divide. 8 000 : 40 8 : 4 5 2 ← operación básica 80 : 40 5 2 800 : 40 5 20 8 000 : 40 5 200 Por lo tanto, el curso hizo 200 copias. Más ejemplos 1. 10 : 2 2. 18 : 3 3. 24 : 4 4. 15 : 5 5. 32 : 8 operación básica operación básica • Explica la diferencia que existe entre los patrones del Ejemplo B y del Ejemplo C. Halla los números que faltan. 1. 9 : 3 5 3 2. 24 : 6 5 4 3. 40 : 5 5 n 90 : 3 5 30 240 : 6 5 40 400 : 50 5 n 900 : 3 5 n 2 400 : 6 5 400 4 000 : 500 5 n 9 000 : 3 5 3 000 24 000 : 6 5 n 40 000 : 5 000 5 n operación básica Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 4. 80 : 2 5. 140 : 20 6. $ 3 200 : 8 7. 36 000 : 6 27 : 3 5 9 ← 270 : 3 5 90 2 700 : 3 5 900 27 000 : 3 5 9 000 $ 35 : 5 5 $7 ← $ 350 : 50 5 $7 $ 3 500 : 50 5 $70 $ 35 000 : 50 5 $700 6 : 1 5 6 ← 6 000 : 10 5 600 6 000 : 100 5 60 6 000 : 1 000 5 6 Si el dividendo aumenta en una potencia de 10, entonces el cociente aumenta en una potencia de 10. Práctica con supervisión 3LEC CI ÓN 56 Comprensión de los aprendizajes Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 9. 20 : 10 10. 180 : 9 11. 160 : 4 12. 420 : 7 13. 300 : 5 14. 640 : 8 15. 810 : 9 16. 540 : 6 17. 1 200 : 4 18. 1 000 : 4 19. 5 600 : 7 20. 3 600 : 9 21. 49 000 : 7 22. 60 000 : 2 23. 40 000 : 2 24. 2 500 : 5 Compara. Usa ,, . o 5 en cada . 25. 560 : 80 5 600 : 8 26. 3 000 : 5 300 : 5 27. 32 000 : 40 3 200 : 4 28. Una escuela encargó 4 cajas de papel que pesaban un total de 2 000 kg. ¿Cuánto pesa 1 caja de papel? 30. Una bolsa de caramelos cuesta $ 800. Si la bolsa contiene 32 caramelos. ¿Cuánto cuesta cada uno? 32. Álgebra ¿Cómo hallarías el valor de n si 2 400 : n 5 80? 29. Una caja contiene 10 resmas de papel, que equivalen a 5 000 hojas. ¿Cuántas hojas hay en 1 resma? 31. Se necesitan aproximadamente 3 árboles para hacer 24 000 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se pueden hacer con un árbol, aproximadamente? 33. ¿Cuál es el error? Belén dice que 66 000 : 6 es 1 100. ¿Cuál es su error? 8. Explica por qué disminuye el cociente cuando aumenta el número de ceros que hay en el divisor. 34. Un jardín mide 8 metros por 12 metros. ¿Cuál es el área del jardín en metros cuadrados? 35. El Estadio Nacional, tiene una capacidad para 65 127 personas. Redondea la capacidad del estadio a la unidad de mil más cercana. 36. 18 • 39 5 37. La dueña de un hotel gasta $ 20 000 en 4 timbres nuevos. ¿Cuánto gasta en cada timbre si cada uno cuesta la misma cantidad? A $ 400 B $ 500 C $ 4 000 D $ 5 000 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 66, Grupo B Capítulo 3 57 Práctica con supervisión Aprende Dividir con restos OBjETIVO: dividir números naturales que no se dividen en partes iguales. 1. Usa fichas para representar 17 : 5. Dibuja círculos. Coloca fichas en cada círculo. El cociente es . El resto es . Por lo tanto, cada jugador recibirá 9 fichas de dominó. Sobrará 1 ficha. • ¿Por qué el resto tiene que ser menor que el divisor? Repaso rápido 1. 27 : 9 2. 4 • 7 3. 3 • 8 4. 25 : 5 5. 12 : 3 Vocabulario resto Algunas veces, un número no se puede dividir en partes iguales. La cantidad que sobra se llama el resto. PROBLEMA Tres amigos están jugando dominó. Hay 28 fichas en el grupo. Si cada jugador recibe la misma cantidad de fichas de dominó, ¿cuántas fichas recibirá cada jugador? ¿Cuántos fichas sobrarán? Paso Paso ADVERTENCIA ADVERTENCIA Actividad Representar con fichas. Materiales ■ fichas Divide 28 entre 3. Escribe 28 : 3. Usa 28 fichas. Dibuja 3 círculos. Divide las 28 fichas en 3 grupos iguales. La ficha que sobra es el resto. resto El cociente es 9 y el resto es 1. Si el resto es mayor que el divisior, sigue dividiendo las fichas en partes iguales hasta que el resto sea menor que el divisor. 4LEC CI ÓN 58 Comprensión de los aprendizajes Tipo Número de fichas Doble nueve Doble doce 55 91 28Doble seis Tipos de juegos de dominó Álgebra Usa fichas para hallar el cociente y el resto. 2. 15 : 6 3. 26 : 7 4. 19 : 4 5. 24 : 5 6. 42 : 5 7. Explica cómo sabes que habrá un resto en un problema de división. Usa fichas para hallar el cociente y el resto. 8. 18 : 7 9. 17 : 5 10. 21 : 6 11. 22 : 4 12. 56 : 9 Divide. Tal vez quieras usar fichas o hacer un dibujo como ayuda. 13. 26 : 3 14. 37 : 6 15. 67 : 9 16. 47 : 3 17. 41 : 5 Halla el valor que falta. 18. 26 : 4 5 6 r 19. 43 : 8 5 r3 20. : 5 5 4 r2 21. 32 : 5 10 r2 USA LOS DATOS Para los ejercicios 22 a 24, usa la tabla. 22. ¿A qué tipo de juego de dominó le sobrarán más fichas si 5 jugadores se reparten las fichas en partes iguales? 23. Siete jugadores se dividieron un juego de dominó de manera que cada uno tuviera el mismo número de fichas. Sobraron fichas. ¿Qué tipo de juego usaron? Explica tu respuesta. 24. Algunos estudiantes están jugando una partida de doble doce. Cada estudiante tiene 11 fichas de dominó. Sobran 3 fichas. ¿Cuántos estudiantes están jugando? 25. ¿Cuál es el error? Francisca dice que el diagrama representa 13 : 4. ¿Cuál es su error? Dibuja la representación correcta. 26. 24 • 51 5 27. ¿Cuál es mayor: 7 432 o 7 423? 28. Lanza cincuenta veces un cubo numerado rotulado del 1 al 6. Registra los resultados y muéstralos en un diagrama de puntos. 29. ¿Qué problema describe la representación? A 14 : 2 C 12 : 4 B 14 : 3 D 14 : 2 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 66, Grupo C Capítulo 3 59 Destreza: interpretar el resto OBjETIVO: resolver los problemas usando la destreza interpretar el resto. Usa la destreza PROBLEMA Hay 95 personas con reservaciones para un viaje guiado en balsa por el río Maipo en el Cajón del Maipo. En cada balsa pueden ir 6 personas. ¿Cuántas balsas se necesitarán para 95 personas? ¿Cuántas balsas irán llenas? ¿Cuántas personas irán en una balsa que no vaya llena? Cuando un problema de división tiene resto, interpretas el resto según la situación y la pregunta. Divide. 95 : 6 Aumenta el cociente en 1. ¿Cuántas balsas se necesitan? Piensa: Como en 15 balsas sólo caben 90 personas, se necesita una balsa más. Por lo tanto, baja el resto y aumenta el cociente en 1. Por lo tanto, se necesitan 16 balsas. El cociente permanece igual. Deja el resto. ¿Cuántas balsas irán llenas? Piensa: En una balsa caben 6 personas. Baja el resto porque 5 personas no llenan una balsa. Por lo tanto, 15 balsas estarán llenas. Usa el resto como respuesta. ¿Cuántas personas irán en la balsa que no está llena? Piensa: La respuesta es el resto. Por lo tanto, 5 personas irán en una balsa que no va llena. Piensa y comenta Resuelve el problema. Explica cómo interpretaste el resto. Otra compañía de viajes guiados tiene balsas para 8 personas. El sábado, 99 personas harán el viaje por el río. a. ¿Cuántas balsas se necesitan para llevarlos por el río? b. ¿Irá llena cada balsa? Si no, ¿cuántas personas irán en la balsa que no esté llena? 9’5’: 6 = 1 5 – 6 3 5 – 3 0 5 resto 5LEC CI ÓN 60 Resolución de problemas con supervisión Día Tarde TotalMañana Domingo 23 47 ■ ■51 85Sábado Pasajeros en los viajes en balsa Resuelve. Escribe a, b o c, para explicar cómo interpretar el cociente. a. El cociente permanece igual. b. Aumenta el cociente en 1. Baja el resto. c. Usa el resto como respuesta. 1. Un grupo de 57 personas está acampando en el parque nacional Corcovado. En cada carpa caben 5 personas. ¿Cuántas carpas se necesitan para todos los campistas? Primero, divide. Piensa: 57 : 5 Después, vuelve a leer el problema para ver cómo debes interpretar el resto. 2. ¿Qué pasaría si se te preguntara por la cantidad de tiendas que estarán llenas? ¿Cuál sería la diferencia de tu respuesta en comparación a la del problema 1? 3. Hay guías que dirigen a grupos de 9 personas por un recorrido en bicicleta en el parque. 96 personas decidieron hacer el recorrido. ¿Cuántas personas irán en el recorrido que no va lleno? Interpreta el resto. Aplicaciones mixtas USA LOS DATOS Para los ejercicios 4 a 6, usa la tabla. En los viajes en balsa, los guías llevan 6 pasajeros en cada balsa. 4. ¿Cuántas balsas se necesitan para el viaje del sábado en la tarde? ¿Se llenarán todas las balsas del sábado por la tarde? Explica. 5. ¿En qué día se hicieron más viajes? ¿Cuántos viajes más se hicieron? 6. Al final de la semana, los guías llevaron 12 veces más personas en los viajes en balsa de los que estaban reservados para los viajes del domingo en la mañana. ¿Cuántas personas tomaron los viajes en balsa esa semana? 7. El sábado en la mañana la temperatura durante el primer viaje fue de 23 C. La temperatura durante el primer viaje del domingo fue 7 C más fría. ¿Cuál fue la temperatura del domingo? 8. Una compañía inscribió a 67 personas para los viajes en balsa. Si 8 personas caben en una balsa, ¿cuántas balsas se necesitan? Explica si necesitas una respuesta exacta o una estimación, y después resuelve. Capítulo 3 61 Aprende Paso Paso Paso Paso Ejemplo Divide 324 entre 3. Escribe 324 : 3 Ceros en la división OBjETIVO: dividir números de 3 dígitos que contengan un cero entre números de 1 dígito. Estima para colocar el primer dígito en el cociente. Divide con ceros PROBLEMA El señor Nilo reúne 324 tesoros para la búsqueda del tesoro en su jardín. Necesita 3 tesoros para cada estudiante que participe. ¿Cuántos estudiantes pueden participar? Divide las 3 centenas Baja las 2 decenas. Divide las 2 decenas. Baja las 4 unidades. Divide las 24 unidades. Piensa: 300 : 3 = 100 o 600 : 3 = 200 Por lo tanto, coloca el primer dígito en la posición de las centenas. Por lo tanto, 108 estudiantes pueden participar en la búsqueda del tesoro en el jardín. • ¿Qué pasaría si el Sr. Nilo tuviera 420 tesoros? ¿Cuántos estudiantes podrían participar? Más ejemplos Divide dinero cociente divisor residuo dividendo cociente divisor dividendo El divisor 3 es mayor que 2, por lo tanto, escribe 0 en el cociente. COMPRUEBA COMPRUEBA Repaso rápido Mario tiene 23 CD. En cada caja caben 2 CD. ¿Cuántas cajas necesita? 324 : 3 = 3 2’ 4 : 3= 1 0 – 3 0 2 – 0 2 3 2’4’ : 3= 1 0 8 – 3 0 2 – 0 2 4 – 2 4 0 4’0’9’ : 4= 1 0 2 – 4 0 0 – 0 0 9 – 8 1 5’2’0’ : 5= 1 0 4 – 5 0 2 – 0 2 0 – 2 0 0 3 2 4 : 3= 1 6 0 – 3 0 1 0 2 • 4= 4 0 8 + 1 4 0 9 2 1 0 4 • 5= $5 2 0 6LEC CI ÓN 62 Práctica con supervisión ADVERTENCIA ADVERTENCIA Corregir cocientes Las clases de ciencias de quinto básico exhibieron sus tesoros sobre unas mesas para la noche de la naturaleza. Colocaron el mismo número de tesoros en cada mesa. Había 480 tesoros de animales en las 6 mesas. ¿Cuántos tesoros había en cada mesa? Observa la hoja de Elías. Él dividió 480 entre 6. • Describe el error de Elías. Halla el número correcto de tesoros por mesa. • Explica cómo las operaciones básicas y los patrones podrían haber ayudado a Elías a hallar la respuesta correcta. Los estudiantes que encontraron tesoros de plantas y minerales exhibieron 424 tesoros en las 4 mesas. ¿Cuántos exhibieron en cada mesa? Observa la hoja de Eva. Ella dividió 424 entre 4. • Describe el error de Eva. Halla el número correcto de tesoros por mesa. 1. Copia el problema de la derecha. Estima para colocar el primer dígito. Divide las centenas. Divide las decenas. ¿Necesitas escribir un cero en el cociente? Después divide las unidades. ¿Cuál es el cociente? Para que no olvides incluir los ceros, estima para decidir cuántos dígitos debe haber en el cociente y usa el valor posicional. 210 : 2 Elías 4 8’ 0 : 6= 8 – 4 8 0 Eva 4’ 2 4’ : 4= 1 6 – 4 0 2 4 – 2 4 0 Capítulo 3 63 Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 2. 360 : 4 3. 714 : 7 4. 420 : 3 5. 960 : 8 6. 400 : 5 Divide y comprueba. 7. 305 : 5 8. 803 : 4 9. 840 : 6 10. 901 : 2 11. 927 : 9 12. Piensa en el problema 216 : 2. Explica cómo sabes que habrá un 0 en el cociente. Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 13. 560 : 7 14. 282 : 4 15. 510 : 3 16. 805 : 7 17. 540 : 6 Divide y comprueba. 18. 601 : 5 19. 860 : 2 20. 704 : 8 21. 609 : 3 22. 919 : 9 23. 283 : 4 24. 763 : 7 25. 870 : 3 26. 724 : 6 27. 407 : 5 28. 700 : 4 29. 325 : 3 30. 417 : 2 31. 470 : 5 32. 306 : 3 Halla el valor que falta. 33. 701 : 2 5 34. : 5= 106 2 35. 9 0 1: 3= 36. 2 0 7: = 5 1 3 37. Ana está haciendo conejos de papel maché para una celebración de la naturaleza. Se requieren 240 tiras de papel para hacer 8 conejos. ¿Cuántas tiras de papel necesita Ana por conejo? 39. José tiene que hacer 606 pliegues para crear 6 figuras de la mantis religiosa en origami. Hace 540 pliegues para formar 6 figuras del monstruo de Gila. ¿Cuántos pliegues más hace José en una mantis que en un monstruo de Gila? 41. DATO BREVE Una leyenda japonesa dice que plegar mil grullas trae buena salud o paz. Pablo hizo 864 grullas en origami en 8 meses. Si hizo el mismo número de grullas cada mes, ¿cuántas grullas hizo en un mes? 38. Razonamiento El centro de ciencias quiere exhibir 110 proyectos de ciencias. Cada área de exhibición tiene capacidad para 45 proyectos. ¿Cabrán todos los proyectos en 2 áreas? Explica. 40. Paloma está pintando flores de cerezo. Planea hacer 5 flores. Si gasta la misma cantidad de tiempo en cada flor, debería terminar en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará pintar una flor de cerezo? 42. ¿Cuál es la pregunta? El libro divertido del bosque de Julio cuenta sobre las diferentes madrigueras de los castores y da la cantidad de tiempo que le toma a un castor construir una. La respuesta es 103 horas por cada madriguera de castor. Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 66, Grupo D64 Comprensión de los aprendizajes 43. 873 : 3 5 44. 269 : 6 5 45. Un total de 654 estudiantes contarán nidos de avispas en 6 lugares diferentes. El mismo número de estudiantes estará en cada lugar. ¿Cuántos estudiantes estarán en un lugar? A 190 B 119 C 109 D 19 46. ¿Qué número va en el recuadro para hacer el enunciado numérico verdadero? (9 2 7) • 6 5 3 • 47. 562 : 7 5 A 8 r2 C 82 B 80 r2 D 802 Cuando estimas cocientes, una subestimación te da un cociente que es menor que el cociente real. Una sobrestimación te da un cociente que es mayor que el cociente real. Kari paga $ 105 por 3 semillas para plantar un jardín. Estima el costo de cada semilla. Compara la estimación con el valor real. El valor real de cada semilla es $ 105 : 3 o $ 35. Piensa: 90 está cerca de 105. 90 y 3 son números compatibles dado que 9 : 3 5 3. 90 : 3 5 30 ← subestimación Piensa: 120 está cerca de 105. 120 y 3 son números compatibles dado que 12 : 3 5 4. 120 : 3 5 40 ← sobrestimación Por lo tanto, la estimación de $ 30 es menor que el valor real de $ 35 porque 90 es menor que 105. Por lo tanto, la estimación de $ 40 es mayor que el valor real de $ 35 porque 120 es mayor que 105. 1. Un centro comunitario tiene 120 voluntarios en 8 equipos para el rescate de animales. Cada equipo tiene el mismo número de voluntarios. Estima: 160 : 8 5 20 voluntarios por equipo. 2. Javier vende 330 comederos de pino para aves en el mercado de las pulgas en 3 horas. Vende el mismo número cada hora. Estima: 300 : 3 5 100 comederos por hora. Di si la estimación es una subestimación o una sobrestimación. Después, compara la estimación con el cociente real. Subestima. Sobrestima. Capítulo 3 65 Grupo C Divide. Comprueba tu respuesta. 1. 836 : 2 2. 608 : 3 3. 486 : 5 4. 446 : 8 5. 630 : 5 6. 572 : 6 7. 126 : 4 8. 381 : 7 9. El propietario de un puesto de productos alimenticios colocó 48 frascos de mermelada de manzana en estantes. En cada estante, había 6 frascos. ¿Cuántos estantes se usaron? 10. Se exhiben 376 calabazas en hileras. En cada hilera, hay 4 calabazas. ¿Cuántas hileras hay? Grupo D Divide. Multiplica para comprobar tu respuesta. 1. 907 : 5 2. 380 : 7 3. 236 : 4 4. 608 : 2 5. 306 : 4 6. 950 : 2 7. 192 : 3 8. 403 : 5 Grupo B Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 1. 40 : 2 2. 120 : 6 3. 320 : 8 4. 1 600 : 4 5. 5 000 : 10 6. 420 : 7 7. 2 100 : 3 8. 45 000 : 9 Grupo A Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego halla el primer dígito. 1. 724 : 2 2. 260 : 5 3. 1 248 : 4 4. 3 779 : 9 5. 7 592 : 6 6. 624 : 4 7. 804 : 2 8. 3 955 : 5 Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 9. 296 : 2 10. 510 : 3 11. 9 234 : 9 12. 1 523 : 4 13. Claudia compró 7 bolsas iguales de mostacillas para su taller. El peso total era de 1 750 gramos. ¿Cuánto pesaba cada bolsa? 14. Un florista empaquetó 1 125 bulbos de tulipanes. Puso 9 bulbos en cada paquete. ¿Cuántos paquetes de bulbos preparó? 9. El club de teatro reunió $ 36 000 por la venta de 90 entradas. Si todas las entradas tenían el mismo precio, ¿cuál era el precio de cada entrada? 10. Los asientos de un teatro están ordenados en 80 filas. Hay 1 600 asientos. ¿Cuántos asientos hay en cada fila? 9. Los maestros de la Escuela Básica Alihue necesitan 180 reglas. Cada paquete contiene 6 reglas. ¿Cuántos paquetes deben comprar? 10. Una empresa de juguetes empaca 8 unidades del mismo juego en una caja. ¿En cuántas cajas se empacarían 208 juegos? Práctica adicional 66 O Divide para ganar En sus marcas 2 jugadores ¿Listos? • tarjetas con números (1 a 5) • 2 fichas Un jugador revuelve las tarjetas con números y las coloca boca abajo en una pila. Cada jugador elige una ficha diferente y la coloca en la SALIDA. El primer jugador saca tres tarjetas de la pila. Las tres tarjetas forman un dividendo de tres dígitos. El jugador elige un divisor entre 1 y 9. El jugador halla el cociente del problema de división. Si el cociente está entre 40 y 60, el jugador avanza una casilla. Si no, el jugador permanece en la misma casilla. Los jugadores se turnan. El primer jugador en llegar a la LLEGADA es el ganador. ¡A jugar! SALIDA LLEGADA Divide para ganar Capítulo 3 67 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Los números que son fáciles de calcular mentalmente se llaman ___________ . 2. La cantidad que sobra en una división se conoce como ___________ . 27. Un total de 105 estudiantes van a una excursión. Por cada grupo de 5 estudiantes, debe haber un acompañante. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para la excursión? 28. Imagina que 108 estudiantes fueron de excursión. Explica cómo determinar el número de acompañantes necesarios si hay un acompañante por cada grupo de 5 estudiantes. VOCABULARIO números compatibles evaluar resto Comprueba tus destrezas Estima el cociente. 3. 275 : 5 4. 503 : 2 5. 345 : 7 6. 378 : 4 7. 170 : 8 8. 254 : 3 9. 168 : 5 10. 398 : 3 Halla el cociente. 11. 60 : 3 12. 240 : 8 13. 450 : 9 14. 170 : 1 Divide. 15. 372 : 6 16. 610 : 3 17. 462 : 9 18. 825 : 4 19. 309 : 3 20. 251 : 3 21. 315 : 2 22. 532 : 7 23. 594 : 2 24. 893 : 4 25. 408 : 6 26. 530 : 5 Comprueba la resolución de problemas Resuelve. Repaso/Prueba del capítulo 3 68 Enriquecimiento • Dividir entre 12 A Rodrigo se fue a dormir a las 21:00. ¿Cuál es la hora oficial en que se fue a dormir? 21 mód. 12 21 : 12 5 1 r9 Se fue a dormir a las 9 p.m. Ejemplos B Juan tiene 39 tarjetas coleccionables. ¿Cómo expresarías 39 en mód. 12? 39 mód. 12 39 : 12 5 3 r3 Por lo tanto, 39 mód. 12 es 3. Con la hora oficial, las 24 horas del día se dividen en dos grupos de 12 horas. El primer grupo es el de las horas a.m. y el segundo grupo, el de las horas p.m. En cambio, con la hora militar el día no se divide en dos grupos, sino que se cuentan 24 horas. Problema Un espectáculo aéreo militar está programado para las 16:00. ¿A qué hora comienza el espectáculo, expresada como hora oficial? Expresa cada valor en mód. 12. Muestra tu trabajo. 1. 87 2. 117 3. 200 4. 14:00 5. 62 Inténtalo 6. Explica cómo usarías la aritmética modular para expresar 11 p.m. en hora militar. Puedes usar una esfera de un reloj normal de 12 horas para hallar la hora. Empieza en el cero y cuenta 16 lugares alrededor de la esfera. Después de pasar las doce horas, llegarás a las 4 p.m. De una manera También puedes usar la aritmética modular para hallar la hora. Para expresar un valor, la aritmética modular usa un ciclo de números y restos que se repiten. Cuando los números llegan a cierto valor, el módulo, se repiten. El número 16 expresado en módulo 12 (mód. 12) es el mismo que el resto que sobra después de dividir 16 entre 12. 16 : 12 5 1 r4 16 mód. 12 5 4 Por lo tanto, el espectáculo empezará a las 4 p.m. De otra manera Capítulo 3 69 Patrones y álgebra 7. El resultado de 40 • (33 + 17) es: A 90 C 1 600 B 800 D 2 000 8. Beatriz escribió la siguiente expresión: (27 + 8) – (3 • 4) ¿Cuál es el valor de la expresión? A 7 C 28 B 23 D 128 9. Las letras a y b representan números. Si a + 500 = b + 500. ¿Cuál enunciado es verdadero? A a = b C a < b B a > b D a = b + 500 10. ¿Qué símbolo va en el recuadro para hacer esta expresión numérica verdadera? 4 7 = 28 A • C – B : D + 11. Describe la relación entre x e y en esta tabla. Números y operaciones Pista. Elige la respuesta. Lee el problema 2. Si tu respuesta no coincide con ninguna de las opciones, comprueba los cálculos. Asegúrate de elegir la operación correcta. 1. 408 : 4 = A 102 C 202 B 140 D 204 Comprensión de los aprendizajes x 9 15 24 36 y 3 5 8 12 2. Francisco compró 8 cartas de su juego favorito por $ 536. ¿Cuánto le costó cada carta? A $ 87 C $ 67 B $ 77 D $ 57 3. Un agricultor plantó 4 608 plantas de alcachofa en 8 filas iguales. ¿Cuántas plantas de alcachofa hay en cada fila? A 576 C 586 B 581 D 601 4. La cantidad en que debiera aumentar el dividendo de 946 : 3 para que el resto de ella sea 0 es: A 1 C 3 B 2 D 4 5. Tengo 640 páginas que leer de un libro. Me organicé para leerlo en 8 días. ¿Cuántas páginas diarias debo leer? A 80 C 90 B 60 D 50 6. Explica cómo se redondea 42 568 a la unidad de mil más cercana. 12. En la expresión 45 + x = 250, el número que debe ir en la x para que se cumpla la igualdad es: A 205 C 295 B 245 D 200 70 Datos y probabilidades 19. Miguel lanzó 15 veces una moneda. ¿Cuál afirmación es correcta? A La moneda cayó en cara 15 veces. B La moneda cayó en sello 15 veces. C La moneda cayó en cara 7 veces. D La moneda cayó en cara o sello cada vez. 20. ¿Qué lista muestra los datos del gráfico de barras de abajo? A Morado 6, azul 7, verde 10 B Morado 10, azul 7, verde 6 C Morado 8, azul 5, verde 9 D Morado 7, azul 10, verde 6 Para el ejercicio 21, usa el gráfico de barras sobre venta de boletos para un espectáculo de talentos. 21. ¿En qué días se vendió el mismo número de boletos? A Martes y jueves C Jueves y miércoles B Miércoles y viernes D Viernes y lunes 22. Escribe. Un gráfico de barras muestra el número de alumnos que hay en cada curso de un colegio. Las barras de 4° y 5° Básico tienen la misma altura. ¿Qué significa esto? Geometría - Medición 13. ¿Cuál de los siguientes ángulos mide más de 90º? A B C D 14. ¿Cuántos ejes de simetría parece tener esta figura? A 5 C 3 B 4 D 2 15. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 4 caras? A Cubo C Cuadrado B Pirámide triangular D Cono Bolitas sacadas de una bolsa morado verdeazul color n ú m er o s 10 5 0 Boletos para el espectáculo de talentos lun mar jue viemié día b o le to s ve n d id o s 30 25 20 15 10 5 0 17. Tengo una figura 3D que rueda y no tiene caras planas, ¿qué figura es?: A Cono C Esfera B Cilindro D Pirámide 18. La descripción “es un cuerpo geométrico que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas” corresponde a: A Un cilindro C Un cono de base triangular B Un cubo D Una pirámide 16. Explica qué característica tiene un paralelepípedo. Capítulo 3 71 Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división La idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para evaluar expresiones y resolver ecuaciones de multiplicación y división. 4 Se han seleccionado 12 viñetas. Las expresiones 6 1 6 y 3 • 4 ambas son iguales a 12. Escribe tres expresiones diferentes que sean iguales al número de viñetas que se muestran aquí usando dos o más operaciones. Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis. 72 El estadounidense Charles Schulz creó la tira cómica Peanuts que ha dado la vuelta al mundo (en la imagen el mosaico homenaje en Santa Rosa, USA). En Chile Condorito es el protagonista de la historieta chilena por excelencia. René Ríos conocido por el seudónimo de Pepo fue su creador. La historieta de Condorito ha traspasado las fonteras chilenas. DATO BREVE VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN propiedad de elemento neutro La propiedad que establece que el producto de cualquier número y 1 es ese mismo número. propiedad conmutativa La propiedad que establece que cuando se cambia el orden de dos factores, el producto es el mismo. u Familias de operaciones Copia y completa cada expresión numérica. 5. 5 • 3 5 j 6. 6 • 7 5 j 7. 4 • 9 5 j 8. 7 • 9 5 j 15 : j 5 3 42 : j 5 7 36 : j 5 9 63 : j 5 9 u Ecuaciones de suma y de resta Resuelve la ecuación usando el cálculo mental. Comprueba tu solución. 9. n 1 8 5 13 10. 9 n 5 6 11. n 1 6 5 14 12. 12 n 5 3 1. Equipo 2 3 4 5 6 Jugadores 12 18 24 j j Regla: multiplicar el número de equipos por 6. 3. Piernas 12 16 20 24 28 Vacas 3 4 5 j j Regla: dividir el número de piernas entre 4. 2. Monedas de $ 10 4 5 6 7 8 Monedas de $ 1 40 50 j 70 j Regla: multiplicar el número de monedas de $ 10 por 10. 4. Pulgadas 12 24 36 48 60 Pies 1 2 j 4 j Regla: dividir el número de pulgadas entre 12. propiedad asociativa propiedad conmutativa propiedad distributiva ecuación expresión prevalencia de las operaciones paréntesis variable propiedad del cero Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el capítulo 4. u Usar una regla Copia y completa cada tabla. Capítulo 4 73 Aprende Las propiedades de la multiplicación te ayudan a hallar productos de dos o más factores. La propiedad elemento neutro dice que el producto de 1 y cualquier número es ese número. 1 • 3 5 3 La propiedad conmutativa dice que puedes multiplicar dos factores en cualquier orden y obtener el mismo producto. 2 • 3 5 6 3 • 2 5 6 La propiedad asociativa dice que puedes agrupar factores de diferentes maneras y obtener el mismo producto. Usa paréntesis ( ) para agrupar los factores que multipliques primero. (4 • 2) • 3 5 24 4 • (2 • 3) 5 24 • Usa fichas para mostrar dos maneras de agrupar 3 • 2 • 5 para hallar el producto. ¿Son los productos iguales? Explica. Haz un dibujo para registrar tus representaciones. Por lo tanto, j 5 0. Por lo tanto, j 5 8. PROPIEDADES Ejemplo 1 Usa las propiedades para hallar el factor que falta. �j • 12 5 0 0 • 12 5 0 �9 • j 5 8 • 9 9 • 8 5 8 • 9 Propiedad conmutativa Propiedades de la multiplicación OBjETIVO: identificar y usar las propiedades de la multiplicación. Repaso rápido 1. 3 • 1 2. 5 • 3 3. 2 • 6 4. 7 • 0 5. 8 • 2 Vocabulario Propiedad elemento neutro Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva Propiedad absorbente del cero 1LEC CI ÓN 74 Paso 4 12 4 10 2 Paso Paso La propiedad distributiva PROBLEMA En la tienda de mascotas, los conejos están en una jaula que mide 4 metros de ancho por 12 metros de largo. ¿Cuál es el área de la jaula? Actividad Usa la propiedad distributiva. Materiales ■ fichas cuadradas La propiedad distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y después sumar los productos. Multiplica. 4 • 12 Haz una matriz para hallar 4 • 12. Usa fichas cuadradas para construir una matriz. 4 • 12 5 j Separa la matriz para hacer dos matrices pequeñas para los productos que conoces. 4 • (10 1 2) Usa la propiedad distributiva para mostrar la suma de dos productos. (4 • 10) 1 (4 • 2) 40 1 8 5 48 Por lo tanto, el área de la jaula es de 48 metros cuadrados. Halla 8 • 12. 8 • 12 5 8 • (10 1 2) 5 (8 • 10) 1 (8 • 2) 5 80 1 16 5 96 Piensa: 12 5 10 1 2 Regla distributiva Halla 5 • 5 • 2. 5 • 5 • 2 5 5 • (5 • 2) 5 5 • 10 5 50 Halla 2 • 7 • 5. 2 • 7 • 5 5 2 • 5 • 7 5 (2 • 5) • 7 5 10 • 7 5 70 Regla asociativa • ¿Cómo puedes agrupar los factores para multiplicar 5 • 2 • 8? • ¿Es 27 • (48 48) 5 0 verdadero? Explica cómo puedes ver esto, fácilmente. Ejemplo 2 Usa las propiedades y el cálculo mental. El uso de las propiedades te ayuda a hallar el valor de las expresiones de multiplicación. Regla asociativa Regla conmutativa Recuerda El área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie plana. área 5 2 • 3, o 6, unidades cuadradas. Capítulo 4 75 Práctica adicional en la página 96, Grupo A Comprensión de los aprendizajes 26. 18 1 36 5 27. 42 : 7 5 28. ¿Cuánto es 324 946 redondeado a la decena de mil más cercana? 29. ¿Cuál es el número que falta? 7 • j 5 (7 • 10) 1 (7 • 2) A 2 C 12 B 10 D 20 1. Usa la regla asociativa para hallar el factor que falta. (12 • j) • 4 5 12 • (3 • 4) Usa las reglas y el cálculo mental para hallar el producto. 2. 1 • 56 • 1 3. 24 • 0 • 6 4. 8 • 3 • 3 5. 7 • 12 6. Explica con un dibujo por qué al multiplicar 4 • 8 y 8 • 4 obtenemos productos iguales. Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 7. 9 • 7 • 0 8. 2 • 4 • 7 9. 8 • 5 • 2 10. 6 • 9 • 1 Halla el número que falta. Nombra la propiedad que usaste. 11. 8 • 6 5 6 • j 12. 5 • 12 5 (5 • 10) 1 (5 • j) 13. (4 • 5) • 2 5 4 • (j • 2) Haz una representación y usa la propiedad distributiva para hallar el producto. 14. 5 • 12 15. 3 • 12 16. 6 • 12 17. 12 • 9 Muestra dos maneras de agrupar usando paréntesis. Halla el producto. 18. 3 • 2 • 5 19. 8 • 7 • 1 20. 7 • 0 • 2 21. 2 • 6 • 2 22. Hay 2 mesas, cada una tiene 3 peceras con 5 peces en cada una. Hay también 3 mesas, cada una tiene 2 peceras con 5 peces en cada una. ¿Son iguales las cantidades? Explica. 24. Formula un problema Escribe un problema que se pueda resolver usando el producto (4 • 2) • 8. 23. Hay 9 peceras con 11 peces tetra en cada una y 12 peceras con 7 peces molly en cada una. ¿Hay más tetras o mollys? ¿Cuántos más hay? 25. ¿Cuál es la pregunta? El producto es 19. Explica cómo lo sabes. Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas 76 Escribe para probar o contradecir 1. Envolvente del cero 2. Elemento neutro Resolución de problemas Escribe para probar o contradecir cada regla de la división. Algunas veces debes evaluar si un enunciado numérico o idea matemática es verdadera o falsa. Puedes usar lo que conoces acerca de las operaciones y propiedades para probar o refutar si las propiedades de la multiplicación son verdaderas para la división. El grupo de Paula quiere saber si la propiedad conmutativa es verdadera para la división. Los miembros de su grupo escribieron esta explicación para mostrar lo que aprendieron. Nosotros podemos intentar con diferentes problemas de división para hallar si la regla conmutativa funciona para la división. Decidimos intentar con 6 : 6 y 6 : 3. Primero, preguntamos si 6 : 6 ? 5 6 : 6. Ambos cocientes son iguales a 1. Por lo tanto, el enunciado numérico es verdadero y la propiedad conmutativa funciona para este problema de división. Después, preguntamos si 6 : 3 ? 5 3 : 6. En este ejemplo, el divisor y el dividendo son números diferentes. 6 : 3 5 2 y 3 : 6 5 3 _ 6 . El cociente 1 y 3 _ 6 no son iguales. Por lo tanto, este enunciado numérico es falso. Por último, los miembros de nuestro grupo estuvieron de acuerdo en que, como el segundo enunciado numérico es falso, la división no es conmutativa. Escribe para probar o contradecir: • Usa vocabulario matemático correcto. • Plantea la idea matemática que estás probando o contradiciendo. • Plantea por lo menos dos ejemplos para analizar tu idea. • Muestra tus cálculos y explica lo que aprendiste de cada ejemplo. • Para probar, cada caso necesita ser evaluado. Para refutar, sólo es necesario un caso falso. • Muestra tu razonamiento sacando una conclusión acerca de cada ejemplo. • Por último, escribe una conclusión que establezca si probaste o contradijiste la idea matemática que estabas analizando. Capítulo 4 77 2 PROBLEMA En una visita a la Feria del libro usado, Carla compra un libro de $ 600 y 2 libros de $ 400 cada uno. Paga con un billete de $ 2 000. ¿Cuánto dinero le queda? Puedes escribir la expresión 2 000 600 2 • 400 para resolver el problema. Antes de que resuelvas este problema, investiga cómo el orden en que realices las operaciones puede cambiar la respuesta. Haz una lista de todos los órdenes posibles que puedes usar para hallar el valor de la expresión. 4 1 16 : 4 2. Usa cada orden de tu lista para hallar el valor de la expresión. Usa papel y lápiz. Sacar conclusiones 1. ¿Cambió el valor de la expresión al seguir un orden diferente? 2. Compara todos los valores que hallaste. ¿Tienen sentido todos estos valores? Explica. 3. ¿De qué manera el orden en que realizas las operaciones cambia el valor de una expresión que tiene más de un tipo de operación? 4. Síntesis ¿Qué ventaja hay en establecer un orden de las operaciones que todos sigan? Prevalencia de las operaciones OBjETIVO: aplicar la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción. Repaso rápido 1. 8 • 6 2. 28 : 4 3. 56 : 7 4. 45 1 28 5. 91 34 Vocabulario prevalencia de las operaciones Recuerda Una expresión es parte de un enunciado numérico que tiene números y signos de operaciones pero que no tiene un signo de igual. 78 Paso Paso Paso Cuando resuelves problemas con más de un tipo de operación, necesitas saber qué operación realizar primero. Un conjunto de reglas especiales, llamado prevalencia de las operaciones, da el orden en el cual se realizan los cálculos en una expresión. Primero, multiplica y divide de izquierda a derecha. Después, suma y resta de izquierda a derecha. Luego, usa el orden de las operaciones para resolver el problema. 2 000 600 2 • 400 2 000 600 800 Halla el valor de 2 000 600 2 • 400. 2 000 600 800 1 400 800 1 400 800 600 Multiplica de izquierda a derecha. Después, resta de izquierda a derecha. Luego, resta otra vez. Por lo tanto, a Carla le quedan $ 600. • ¿Cómo te ayudó la prevalencia de las operaciones a resolver este problema? Ejemplos ¿Qué operación debes realizar primero para hallar los valores de 12 6 : 2 y 12 : 6 2? ¿Cuál es el valor de cada expresión? 12 1 15 : 3 12 1 5 17 Divide de izquierda a derecha. Después, suma. 32 10 1 6 22 1 6 28 Suma y resta de izquierda a derecha. Escribe correcto si las operaciones están en el orden correcto. Si no es así, escribe la prevalencia de las operaciones en el orden correcto. 1. 4 1 5 • 2 Multiplicar, sumar 2. 8 : 4 • 2 Multiplicar, dividir 3. 12 1 16 : 4 Sumar, dividir 4. 9 1 2 • 3 1 Sumar, multiplicar, restar Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 5. 6 1 9 : 3 6. 3 • 6 : 2 7. 49 : 7 1 5 8. 36 4 1 8 : 4 9. 8 1 27 : 9 2 10. 9 • 7 1 4 11. 45 : 5 6 12. 8 • 9 4 1 12 Razonamiento Usa los números de la lista para hacer un enunciado numérico verdadero. 13. 2, 6 y 5 14. 4, 12 y 18 15. 8, 9 y 7 j 1 j • j 5 16 j j : j 5 15 j • j j 5 47 16. ¿Es 4 1 8 • 3 igual a 4 1 3 • 8? Explica cómo lo sabes sin hallar el valor de cada expresión. Capítulo 4 79 Aprende Expresiones entre paréntesis OBjETIVO: aplicar las reglas relativas a paréntesis para hallar el valor de expresiones. Ya sabes cómo usar el orden de las operaciones para hallar el valor de una expresión con más de un tipo de operación. Algunas expresiones pueden tener paréntesis. En una expresión que tiene paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis. Primero, realiza cualquier operación entre paréntesis. Después, multiplica y divide de izquierda a derecha. Luego, suma y resta de izquierda a derecha. Ejemplo 1 Usa el orden de las operaciones. David es un observador de aves. Vio 8 cachuditos durante el fin de semana. En los siguientes 5 días vio diariamente 3 cachuditos más. ¿Cuántos cachuditos vio en total? 8 1 (5 • 3) ↓ 8 1 15 ↓ 23 Por lo tanto, David vio 23 cachuditos del norte en total. Camila vio 8 diucas el lunes y 2 el martes. Al llegar al viernes, había visto 3 veces la cantidad de diucas que vio entre lunes y martes. ¿Cuántas diucas vio en total? (8 1 2) • 3 ↓ 10 • 3 ↓ 30 Por lo tanto, Camila vio 30 diucas en total. • Halla el valor de 8 1 2 • 3. ¿En qué se parece esta expresión a 8 1 (2 • 3) y a (8 1 2) • 3? ¿En qué se diferencia? Piensa: 8 cachuditos más 5 días multiplicado por 3 cachuditos cada día Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, suma. Piensa: 3 multiplicado por el total de 8 diucas y 2 diucas Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica. Repaso rápido 1. 9 1 3 • 6 2. 15 8 : 2 3. 20 : 4 3 4. 7 • 6 3 • 5 5. 36 : 4 1 8 • 2 3LEC CI ÓN 80 Ejemplo 2 Relaciona las palabras con una expresión. Después, halla el valor de la expresión. Juan contó bandurrillas de pico recto en 2 árboles. Había 5 pájaros en cada árbol. Después, 3 pájaros se fueron de cada árbol. ¿Cuántas bandurrillas quedaron? ¿Qué expresión se relaciona con el significado de las palabras? Piensa: Los 2 árboles que tenían 5 pájaros cada uno, ahora tienen 3 pájaros menos. Relaciona las palabras y las expresiones Puedes relacionar palabras con una expresión o escribir una expresión que se relacione con palabras. (2 5) 3 ← (2 • 5) 3 2 • (5 3) ← 2 • (5 3) Para hallar cuántas bandurrillas quedan, sigue el orden de las operaciones. 2 • (5 3) ↓ 2 • 2 ↓ 4 Por lo tanto, quedan 4 bandurrillas de pico recto. (6 • 3) 4 ← 6 albatros en cada uno de 3 árboles y 4 diucas menos Para hallar cuántos más albatros vio Elías, sigue el orden de las operaciones. (6 • 3) 4 Realiza primero lo que está entre paréntesis. ↓ 18 4 Después, resta. ↓ 14 Por lo tanto, Elia vio 14 albatros de frente blanca más que diucas. • Explica por qué la posición de los paréntesis es importante. Primero, halla el número total de pájaros en los árboles y después resta el número que se fue volando. No se relaciona con el significado. Primero, halla el número de pájaros que quedan en cada árbol y después halla el número total que quedan. Se relaciona con el significado. Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica. Los paréntesis te ayudan a hallar el valor correcto de una expresión con más de un tipo de operación. El significado de las palabras en un problema indica dónde colocar los paréntesis.Ejemplo 3 Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. Elías vio 6 albatros de frente blanca en cada uno de 3 árboles. Además, vio 4 diucas. ¿Cuántos albatros más que diucas vio? Capítulo 4 81 Escribe las palabras que se relacione con la expresión. 24. 4 • (5 1 3) 25. (10 1 2) • 6 26. 6 • (5 3) 27. (7 • 2) 12 Usa paréntesis para hacer el enunciado numérico verdadero. 28. 34 1 6 : 4 5 10 29. 7 • 6 3 5 21 30. 14 4 1 8 : 2 5 8 31. 7 • 6 1 6 2 5 82 32. 5 1 6 • 2 5 22 33. 9 6 • 6 : 2 5 9 1. ¿Qué manera de colocar los paréntesis da un valor de 35? a. 5 • (9 2) b. (5 • 9) 2 Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 2. 3 • 6 (2 1 4) : 2 3. 3 • (6 2) 1 4 : 2 4. 3 • (6 2 1 4) : 2 Elige la expresión que se relacione con las palabras. Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 8. 45 9 : 3 9. 30 1 2 • (6 4) 10. (45 9) : 3 11. 36 (4 1 8) : 4 12. 8 1 6 • 5 2 13. (28 8) : 4 1 6 14. 5 • (9 4) 1 (12 : 6) 15. 18 (5 • 3) 16. (36 : 4) 1 (10 5) 17. (3 • 8) : (6 1 6) 18. (9 6) • (8 5 1 3) 19. (12 • 3) : (8 4) Elige la expresión que se relacione con las palabras. 5. Claudia tenía $ 7 y después trabajó 3 horas a $ 6 la hora. a. (7 1 3) • 6 b. 7 1 (3 • 6) 6. Juan José tenía 4 páginas con 5 estampillas en cada una. Usó 3 estampillas. a. (4 • 5) 3 b. 4 • (5 • 3) 7. Explica por qué los valores de 8 1 6 : 2 y (8 1 6) : 2 son diferentes. ¿Cuál es el valor de cada expresión? 20. Ariel tenía 15 bolitas. Regaló 3 y después le dieron 5. a. (15 3) 1 5 b. 15 (3 1 5) 22. Samuel trabajó 6 horas al día por 4 días. Trabajó 5 horas el quinto día. a. (6 • 4) 1 5 b. 6 • (4 1 5) 21. María José tenía 50 láminas. Le dio 4 láminas durante 5 días a su hermano. a. 50 (4 • 5) b. (50 4) • 5 23. Jéssica compró 2 boletos a $ 800 cada uno. Pagó $ 100 de impuesto de ventas. a. 2 • (800 1 100) b. (2 • 800) 1 100 Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas 82 Práctica adicional en la página 96, Grupo B Comprensión de los aprendizajes 38. Halla el valor de w 1 26 si w 5 17. 39. Un santuario de aves tiene 8 aves en cada jaula gigante. Si hay 56 aves, ¿cuántas jaulas hay? 40. Halla el valor de la expresión. 4 • (9 5) 1 41. j • 6 5 6 • 9 42. ¿Qué expresión tiene un valor de 28? A (16 2) • 2 B 16 2 • 2 C 16 1 4 : 2 1 8 D (16 1 2) : 2 1 8 Sendero de Chile El Parque Nacional Torres del Paine dista 41 km del Monumento Natural Cueva del Milodón. En esta cueva habitó el milodón. Esta especie de animal extinta pertenecía a la familia de los armadillos, osos hormigueros y actuales perezosos; era bípedo y medía aproximadamente dos metros y medio. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. 1. Un pionero viajó 3 km por hora durante 3 horas en la mañana. Después viajó 5 km en la tarde y 3 km en la noche. ¿Qué distancia viajó? 2. Una familia viajó 7 km en la mañana, 2 km por hora durante 4 horas en la tarde y después 1 km más en la noche. ¿Qué distancia viajó la familia? 34. Lia vio 8 gorriones en cada uno de 3 árboles y 4 chincoles en cada uno de 2 árboles. ¿Cuántos gorriones más vio que chincoles? 35. Luisa vio 4 zorzales en una hora. En la hora siguiente vio el doble de zorzales, que había visto en la primera hora. ¿Cuántos zorzales vio en total? 36. Formula un problema Escribe un problema que se relacione con la expresión 4 • (8 3). 37. Cuando hallas el valor de 6 1 6 y 3 • 4, ambas expresiones son iguales a 12. ¿Qué otros nombres para 12 puedes escribir que tengan solo números menores que 10 y por lo menos tres operaciones diferentes? Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis. q Torres del Paine Capítulo 4 83 4 PROBLEMA El siguiente cuadro muestra la distancia en kilómetros de algunas ciudades de Chile. Observa la tabla y responde Resolución de problemas con calculadora OBjETIVO: usar la calculadora para resolver problemas. Repaso rápido 1. 24 • 12 2. 127 89 3. 425 1 1204 4. 324 : 9 Vocabulario proyecciones ¿Qué distancia hay entre las ciudades de Santiago y La Serena? La distancia es la diferencia de estos datos. Usa la calculadora para encontrarla. 2050 – 1590 = 460- = Entre Santiago y La Serena hay 460 kilómetros. Distancias aproximadas en kilómetros Arica Antofagasta La Serena 1590 900 Santiago 2050 1360 Concepción 2565 1875 Sacar conclusiones 1. ¿Qué ventaja tiene realizar estas operaciones con calculadora? 2. Chile mide aproximadamente 4300 km de largo, ¿Cuántos kilómetros más debe recorrer una persona que viene desde Arica y llegó a Concepción, para terminar de recorrer el país? 3. ¿Cuántos kilómetros menos hay entre La Serena y Concepción que entre Antofagasta y Concepción? 4. ¿Cuántos kilómetros más lejos de Santiago está Concepción que La Serena? 5. ¿Entre qué ciudades existe mayor distancia? 84 Cuando usas la calculadora necesitas saber qué teclas presionar para realizar el cálculo que necesitas. Para ello, también debes tener claro, en el orden en que se introducirán los datos. Ejemplo Halla el valor de 854 325 - 794 528 Para calcular este resultado se introducen los datos en el mismo orden en que aparecen. Algunas de las proyecciones de la población (habitantes) de Chile son las siguientes. Copia en tu computador, en una planilla excel, como se ve en la foto. Responde. 1. En el año 2014, ¿cuántos hombres menos habrá que mujeres? 2. Actualmente la población de Santiago es de 7 213 110. Aproximadamente, en el año 2018, ¿cuántas veces será la población de Chile? 3. ¿Cuál será la diferencia entre hombres y mujeres en el año 2020? 4. ¿Cuántas mujeres más habrá desde el año 2015 al 2020? 5. ¿Cuántos años tendrán que pasar para que la población de hombres aumente de 8 905 405 a 9 103 928 personas? Por qué debes usar la calculadora y no el programa para resolver la siguiente pregunta: 6. Estados Unidos tenía una población aproximada de 309 000 000 en el año 2010. ¿Cuántas veces será la población de Chile en el año 2013? FUENTE: http://palma.ine.cl/ demografía/SELECCION.aspx Observa la tabla y responde. Para los cálculos ayúdese del mismo programa. Por ejemplo Para responder ¿en cuántos habitantes más crecerá la población desde el 2013 hasta el 2021? Ingresa en f(x) = B(11) − B(3). Debes tener el cursor en una casilla en blanco para darle Enter y obtener el resultado. Capítulo 4 85 Paso Paso Actividad Materiales ■ balanza, pesas Muestra 7 a la izquierda y 12 a la derecha. Puedes usar una balanza para mostrar cuál de los números 4, 5, o 6 es la solución de la ecuación 7 1 m 5 12. Reemplaza m por 4. Coloca 4 en el lado izquierdo. ? 7 1 4 5 11 11 5 12 falso Reemplaza m por 5. Coloca 5 en el lado izquierdo. ? 7 1 5 5 12 12 5 12 verdadero Reemplaza m por 6. Coloca 6 en el lado izquierdo. ? 7 1 6 5 13 13 5 12 falso Prueba el 3. ? 23 3 5 14 Reemplaza x por 3. 20 5 14 falso La solución es 5. Los valores son iguales en ambos lados de la balanza. Por lo tanto, el oso negro hiberna durante cinco meses al año. Ejemplo ¿Es 3, 5, o 9 la solución de 23 x 5 14? Prueba el 5. ? 23 5 5 14 Reemplaza x por 5. 18 5 14 falso Prueba el 9. ? 23 9 5 14 Reemplaza x por 9. 14 5 14 verdadero PROBLEMA El oso negro americano permanece activo durante siete meses del año. Durante los meses de invierno, el oso negro hiberna. ¿Cuántos meses hiberna el oso? Escribe una ecuación para representar el problema. meses de meses meses actividad 1 hibernando 5 al año ↓ ↓ ↓ 7 1 m 5 12 Para resolver una ecuación, encuentra el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Ese valor se denomina solución. A El oso Americano negro solo se encuentra en América del Norte. Aprende Resolver ecuaciones OBjETIVO: escribir y resolver ecuaciones. Repaso rápido Halla el número que falta. 1. j 1 4 5 13 2. 24 : j 5 6 3. j 5 5 12 4. 3 • j 5 24 5. j : 9 5 7 5LEC CI ÓN Vocabulario solución 86 Más ejemplos Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Cálculo mental Maite tiene 14 tarjetas de invitación para su fiesta de Cumpleaños. Si quiere invitar a 25 amigos, ¿cuántas invitaciones le faltan? Escribe una ecuación para resolver este problema Invitaciones Invitaciones 5 Total de que tiene que le faltan invitaciones ↓ ↓ ↓ 14 + X 5 25 Resuelve la ecuación usando el cálculo mental. 14 x 5 25 Piensa: ¿qué número más 14 da como resultado 25? x 5 11 Comprueba: 14 + 11 = 25 Reemplazando x por 11. 25 5 25 Se comprueba la ecuación. Por lo tanto, a Maite le faltan 11 invitaciones. h + 8 5 21 h 5 13 Comprueba: 13 + 8 5 21 21 5 21 ✓ m – 8 5 22 m 5 30 Comprueba: 30 – 8 5 22 22 5 22 ✓ 14 + g 5 20 g 5 6 Comprueba: 14 + 6 5 20 20 5 20 ✓ 26 – r 5 16 r 5 10 Comprueba: 26 – 10 5 16 16 5 16 ✓ 1. ¿Cuál de los números 2, 6 o 7 es la solución a la ecuación 8 n 5 2? 8 n 5 2 8 n 5 2 8 n 5 2 ? ? ? 8 2 5 2 8 6 5 2 8 7 5 2 • ¿Por qué compruebas la solución después de resolver la ecuación usando el cálculo mental? ¿Cuál de los números 5, 8 o 10 es la solución a la ecuación? 2. x 1 7 5 12 3. 14 – y 5 6 4. 12 + z 5 22 5. w + 4 5 14 Práctica con supervisión Piensa: ¿Qué número sumado con 8 da como resultado 21? Piensa: ¿Qué número menos 8 da como resultado 22? Piensa: ¿Qué número sumado con 14 da como resultado 20? Piensa: ¿26 menos qué número da como resultado 16? Alonso Duarte Maite Capítulo 4 87 Osos negros Un año de edad Adulto Peso promedio del macho (kg) 32 113 f a Peso promedio de la hembra (kg) Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución. 6. m 1 6 5 17 7. 31 x 5 15 8. 4 1 n 5 28 9. y – 15 5 15 10. Explica por qué x 5 20 es la solución a la ecuación. 45 x 5 25. ¿Cuál de los números 3, 6 o 16 es la solución a la ecuación? 11. n 9 5 7 12. 42 w 5 39 13. 25 1 q 5 41 14. 27 1 r 5 30 Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución. 15. 32 5 11 1 r 16. 4 1 n 5 15 17. 9 5 h 2 18. 27 1 x 5 35 19. 36 1 t 5 40 20. 19 5 c 1 19 21. 57 5 68 a 22. 24 1 s 5 29 23. k 9 5 3 24. n 1 100 5 142 25. 58 1 y 5 64 26. 50 x 5 25 Para 27–30, cada variable representa un número. Halla el valor de cada variable. 27. x 1 4 5 9 28. a 1 5 5 11 29. 3 1 c 5 12 30. 6 1 s 5 14 3 1 y 5 x a b 5 2 c - d 5 4 s t 5 4 USA DATOS Para 31–33, usa la tabla para escribir la ecuación. Luego resuelve. 31. El oso macho de un año de edad pesa en promedio 9 kg más que la hembra. ¿Cuál es el peso promedio de la osa de un año? 32. Cuando un oso adulto salió de la hibernación, pesaba n kilos menos que el peso promedio. En los siguientes 6 meses aumentó 39 kg para un peso de 134 kg. Halla cuántos kilos perdió el oso durante la hibernación. 33. La suma del peso promedio de un oso y de una osa adultos es de 181 kg. ¿Cuál es el peso promedio de la osa adulta? 34. Explica Un cachorro de oso negro generalmente se queda con su madre unos 17 meses. Si un cachorro estuvo con su madre 11 meses, aproximadamente, ¿cuánto tiempo más se quedará con ella? Explica cómo usar una ecuación para resolver el problema. Práctica independiente y resolución de problemas 88 Práctica adicional en la página 96, Grupo C Comprensión de los aprendizajes 35. 3,8 • 6 36. Si b 5 15, ¿cuál es el valor de b : 3 1 9? 37. Margarita patinó 3 horas más que René. Si Margarita patinó 8 horas. ¿Cuánto patinó René? Escribe una ecuación para representar el problema. 38. La ecuación x + 18 5 45 muestra el número de asistentes a una fiesta que llegarón en 2 grupos. ¿Cuántos llegaron en el primer grupo? A 30 C 25 B 27 D 32 39. ¿Qué valor de x hace verdadera esta ecuación? x 1 20 5 36 A 13 C 15 B 14 D 16 Universidad de Chile 170 años: Cuatro sellos con las imágenes de Valentín Letelier, Amanda Labarca, la Casa Central y la estatua de Andrés Bello fueron presentados este viernes 28 de septiembre (2012) en CorreosChile, dando así comienzo a las actividades de Aniversario 170 de esta Casa de Estudios. En cada uno de los sellos se lee la inscripción “Precursores de la Educación Pública”. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 1. El total de 2 estampillas en cada tarjeta conmemorativa, c. 2. El precio de un número de sobres de la primera emisión, s, que costaba $2 500 cada uno. Cada estampilla, e, cuesta $500. Halla el costo total del número de estampillas. 3. e 5 8 4. e 5 5 5. e 5 7 Capítulo 4 89 Desigualdad quiere decir que dos cantidades no son iguales. Las cantidades se comparan usando uno de los siguientes símbolos. < > = Una desigualdad puede contener una variable, como en x > 3. Una solución de una desigualdad es cualquier valor de la variable que hace que el enunciado sea verdadero. La tabla muestra que una desigualdad puede tener más de una solución. La balanza nos muestra que cualquier número mayor que 3 es una solución para esta desigualdad. Aprende Resolver desigualdades OBjETIVO: aprender a resolver desigualdades de un paso. 6LEC CI ÓN Repaso rápido 1. 5 < 7 2. 5 > 9 3. 3 < 7 4. 9 > 3 Vocabulario desigualdad solución de una desigualdad Ejemplo 1 Representa en una balanza las soluciones de cada desigualdad. El 2 es una solución para esta desigualdad, ya que es menor que 4 y se mantiene la desigualdad. El 6 es una solución para esta desigualdad, ya que es mayor que 2 y se mantiene la desigualdad. w < 4 z > + 2 Puedes resolver desigualdades que contienen suma y resta de la misma manera que resolviste ecuaciones. ? ? ? ? ¿Solución?Balanza x x 3 No; 0 no es mayor que 3, por lo tanto, 0 no es una solución. No; 3 no es mayor que 3, por lo tanto, 3 no es una solución. Sí; 5 es mayor que 3, por lo tanto, 5 es una solución. Sí; 12 es mayor que 3, por lo tanto, 12 es una solución. 0 0 > 3 4,5 4,5 > 3 3 3 > 3 12 12 > 3 90 Práctica adicional en la página 96, Grupo D Usa balanza o pesas para encontrar dos soluciones posibles a las desigualdades. 1. w > 0 2. x > 5 3. z > 9 4. g < 4 5. 7 > t 6. 4 < q 7. x > 7 8. z < 3 9. w > 24 10. r < 12 11. z < 15 12. g < 18 Resuelve cada desigualdad. Dibuja una balanza para graficar una solución. 13. y – 5 > 0 14. x + 4 < 10 15. s + 2 < 10 16. r + 9 < 23 17. p – 4 > 2 18. 4 + r < 7 19. 3 + x > 7 20. x – 5 > 9 21. z + 9 < 18 22. u > 3 23. v + 8 < 21 24. w – 12 > 9 Práctica con supervisión Ejemplo 2 Resolver desigualdades con suma o resta. Resta 2 en ambos lados de la desigualdad. Suma 3 a ambos lados de la desigualdad. El 12 es una solución para esta inecuación, ya que es mayor que y, por lo tanto, se mantiene la desigualdad. El 8 es una solución para esta inecuación, ya que es mayor que 4, por lo tanto, se mantiene la desigualdad. y + 2 > 8. Se suma 7 a y. 4 < n - 3. Se resta 3 de n. En el ejemplo dos, podemos representar las soluciones de las inecuaciones con balanza. Lo fundamental es mantener la desigualdad y darnos cuenta que existe más de una solución. y + 2 - 2 > 8 - 2 - 2 - 2 4 < n - 3 Capítulo 4 91 Lista de precios para recaudar fondos $ 450, $ 975, $ 700, $ 575, $ 925, $ 650 Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad. 46. a + 5 < 15 47. b + 1,5 > 8,5 48. y + 3 __ 4 > 1 1 __ 2 49. x – 2 > 12 50. 3,8 + k > 4,2 51. m + 7 > 8 37. c es menor que dos. 38. p es mayor que 11. 39. s más dos es mayor que 5. 40. Marta vive a menos de cinco cuadras de su colegio. 41. Esteban debe comer más de 8 galletas diarias. 42. Amelia tiene menos de 32 tarjetas de juego. 43. Jorge debe correr más de 25 cuadras diarias para su entrenamiento. 44. Chile tiene 4 200 km de longitud de costas entre Arica y el Cabo de Hornos. Sea P la longitud del litoral chileno, escribe una inecuación que relacione P con algún otro lugar de las costas de Chile. 45. Ciencias Sociales La Constitución de Chile establece que “no podrá ser presidente quien no ha cumplido los treinta y cinco años”. Sea e la edad de cualquier presidente de Chile, escribe una desigualdad que relacione e con la edad mínima de un presidente de Chile. Escribe una expresión para cada enunciado. 52. Pesca En algunos lagos, los pescadores devuelven las truchas que miden menos de 25,4 cm de longitud. Escribe una desigualdad que represente las longitudes de truchas que se pueden conservar. 53. La tabla muestra los precios de los artículos que Luis está vendiendo para recaudar fondos. Escribe dos desigualdades para describir el precio de algún artículo, una usando el símbolo < y la otra usando el símbolo > 54. Razonamiento Crítico Explica por qué deberías representar gráficamente las soluciones de una desigualdad en vez de hacer una lista de ellas. ¿Dónde está el error? Un estudiante representó gráficamente x > 2 como se muestra a continuación. ¿Qué hizo mal el estudiante? Dibuja el gráfico correcto. 55. Describe una situación que se pueda representar mediante una desigualdad. Escribe y representa gráficamente la desigualdad. Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad mediante un dibujo. 25. t > 2 26. y < 10 27. q < 7 28. n > 5 29. 1 < p 30. f > 3 Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad. 31. x + 2 > 4 32. y + 3 < 9 33. b + 1 > 5 34. g – 6 > 4 35. f – 5 < 2 36. w + 3 < 8 Escribe una expresión para cada enunciado Práctica independiente y resolución de problemas 92 Comprensión de los aprendizajes 58. ¿Qué valor es parte de la solución para la desigualdad 4x > 16? A B C D E F G H I J K x = 0 A B C D E F G H I J K x = 2 A B C D E F G H I J K x = 4 A B C D E F G H I J K x = 8 59. Explica qué diferencia hay entre la solución de x + 3 = 10 y x + 3 > 10. Ca nt id ad d e es tu di an te s 12 4 6 8 10 2 0 16 17 18 19 20 Edades de los estudiantes de la clase de yoga Edad 60. Indica cómo podrías comprobar tu solución para una desigualdad. 56. Una desigualdad compuesta combina dos desigualdades. Para resolver una desigualdad compuesta, escribe dos desigualdades y resuelve cada desigualdad por separado. Resuelve la desigualdad 12 < x + x + 2 < 21 57. La edad de María es la mitad más 3 y el resultado es mayor que 15. Entonces, María tiene: A B C D E F G H I J K 16 años A B C D E F G H I J K 18 años A B C D E F G H I J K 20 años A B C D E F G H I J K 24 años Usa el gráfico de barras para responder las preguntas 61 y 62. 61. ¿Qué edad tiene la mayoría de los estudiantes? 62. ¿Qué edades corresponden a menos de 8 estudiantes en la clase? Convierte. 63. 27 m = cm 65. 15 m = mm 64. 13 kg = gr 66. 23 kg = gr Capítulo 4 93 Entrada (litros) Salida (cuartos) 1 4 2 8 3 12 4 j Entrada, b Salida, c 14 2 28 4 42 6 56 j ADVERTENCIA Patrones: hallar una regla OBjETIVO: hallar una regla para una relación numérica y escribir una ecuación para la regla. PROBLEMA Un litro de leche es igual a 4 cuartos de litro, 2 litros son iguales a 8 cuartos y 3 litros son iguales a 12 cuartos. ¿Cuántos cuartos de litro son iguales a 4 litros? Puedes usar una tabla de entrada y salida para hallar una regla que relacione el número de litros con el número de cuartos. Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la ecuación para hallar el número que sigue en tu patrón. Patrón: Cada salida es la entrada dividida entre 7. Regla: Divide b entre 7. Ecuación: b : 7 5 c Por lo tanto, el número que sigue en el patrón es 8. Ejemplos Busca un patrón que te ayude a hallar una regla. Patrón: Cada salida es la entrada multiplicada por 4. Regla: Multiplicar la entrada por 4. Entrada: 4 Salida: 4 • 4 5 16 Por lo tanto, 4 litros son iguales a 16 cuartos de litro de leche. Puedes escribir una ecuación para mostrar la regla. Usa variables para mostrar la entrada y la salida. entrada (litros) salida (cuartos) g • 4 5 c Piensa en la ecuación como una regla. Para hallar el valor de c, multiplica g por 4. Piensa: 14 : 7 5 2 28 : 7 5 4 42 : 7 5 6 56 : 7 5 8 Una regla debe funcionar con cada par de números de la tabla. Asegúrate de probar tu regla con cada par de números de la tabla. p Una vaca produce aproximadamente 752 litros de leche en un mes. Repaso rápido 1. 5 • 7 2. 8 • 6 3. 32 : 4 4. 63 : 9 5. 3 • 6 1 2 7LEC CI ÓN Aprende 94 Práctica adicional en la página 96, Grupo E Comprensión de los aprendizajes Entrada, m 3 4 5 6 7 Salida, w 7 8 9 10 j Entrada, r 2 3 5 6 8 9 10 Salida, s 18 27 45 j j j j Entrada, x 8 9 10 15 20 25 30 Salida, y 0 1 2 j j j j Entrada, x 14 28 42 56 70 77 84 Salida, y 2 4 6 j j j j Entrada, a 3 4 5 10 20 30 Salida, b 13 14 j j j j Entrada, l 1 2 3 4 Salida, d 12 24 36 j Granos FrutasVegetales Leche Carne y legumbres 1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas12 1 2 1 tazas 1 4Granos FrutasVegetales Leche Carne y legumbres 1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas12 1 2 1 tazas 1 4 Entrada, c 3 6 9 Salida, p 6 12 18 1. La regla es sumar 4. La ecuación es m + 4 5 w. ¿Cuál es el número que sigue en el patrón? Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 2. 3. 4. Explica cómo se usa la tabla para escribir una ecuación para hallar la distancia, d, en kilómetros que recorrerá un camión que viaja con l litros de bencina. Usa la ecuación para completar la tabla. Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 5. 6. Usa la regla y la ecuación para hacer una tabla de entrada y salida. 7. Restar a 10. 8. Sumar a 12. 9. Multiplicar f por 4, sumar 7. 10. Dividir p entre 5, restar 2. k 10 5 m c • 12 5 d (f • 4) 1 7 5 g (p : 5) 2 5 q USA LOS DATOS Para los ejercicios 11 a 12, usa la pirámide de alimentos para niños. 11. ¿Cuántas tazas de leche debe tomar un niño en 2, 3, 4 y 5 días? Haz una tabla de entrada y salida. Escribe una ecuación para resolverlo. 12. Explica cómo se halla una regla y se escribe una ecuación para el número total de tazas de granos que un niño debe comer en 3 días. t Para una dieta de 1 800 calorías, necesitas comer o tomar la cantidad que se muestra de cada grupo todos los días. 13. ¿Cuál es el valor de p? 15 p 5 8 14 4 • 10 5 15. (10 2) • 7 5 16. ¿Qué ecuación muestra una regla para la tabla? Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas A 2 + c 5 p B 2 + p = c C 2 • c = p D 2 • p = c Capítulo 4 95 Grupo A Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 1. 2 • 7 • 5 2. 2 • 0 • 31 3. 1 • 6 • 7 4. 3 • 8 • 2 5. 8 • 1 • 7 6. 5 • 4 • 6 7. 5 • 9 • 2 8. 3 • 0 • 34 9. Una tienda recibió un envío de 2 cajones con 10 empaques de jugo en cada uno. Hay 5 cajas de jugo en cada empaque. ¿Cuántas cajas de jugo recibió la tienda? Grupo B Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 1. 28 4 : 2 2. 25 1 15 : (2 1 3) 3. 5 • (6 3) 1 9 4. 28 (5 1 3) : 4 5. 16 1 4 • (3 1 7) 6. (22 1) : 7 7. (9 1 18) : 3 8. 36 : 9 4 Grupo C Resuelve cada una de las ecuaciones. 1. x + 21 = 37 2. 14 + y = 29 3. W -14 = 25 4. Z - 17 = 19 5. u – 13 = 32 6. 10 + v = 43 7. M – 18 = 38 8. 12 + n = 30 Grupo D Encuentra dos soluciones para cada desigualdad. 1. s + 21 > 30 2. 4 + k < 12 3. m + 1 < 18 4. n - 29 < 8 5. p – 14 < 266 6. q + 30 < 270 7. 4 + m > 8 8. j + 15 > 45 9. t - 12 > 7 10. La banda del Colegio Horizonte lava autos para recaudar dinero para un viaje de fin de año. Si los miembros de la banda cobran $ 750 por auto, ¿cuántos autos deben lavar para recaudar al menos $ 21 000? Grupo E Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 1. 2. Entrada, a 6 12 18 24 30 Salida, b 1 2 3 j j Entrada, m 4 5 6 j j Salida, n 32 40 48 56 64 Práctica adicional 96 Conexión entre ecuaciones Cada jugador toma 10 tarjetas. Un jugador escribe 10 ecuaciones de adición y el otro escribe 10 ecuaciones de sustracción. Todas las ecuaciones necesitan tener la n como variable y el valor de n en cada una debe ser un número entero del 1 al 10. Mezclen las tarjetas. Colóquenlas boca abajo en 4 hileras con 5 tarjetas cada una. Decidan quién será el primero. El primer jugador voltea dos tarjetas. Si las dos ecuaciones tienen el mismo valor de n, el jugador se queda con las tarjetas. Si no tienen el mismo valor, el jugador regresa las tarjetas otra vez boca abajo. Túrnense hasta que todas las tarjetas tengan su pareja. El jugador con más tarjetas gana. Un jugador volteó estas dos tarjetas. Los valores de n no coinciden. Por lo tanto, el jugador coloca otra vez las tarjetas boca abajo y le toca su turno al otro jugador. ¡En sus marcas! 2 jugadores ¡Listos! tarjetas (20) ¡Fuera! Capítulo 4 97 Repasar el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. La ____________ establece que cuando el orden de dos factores se cambia, el producto es el mismo. 2. La ____________ establece que el producto de 0 por cualquier número es 0. 3. La ____________ establece que se pueden agrupar factores de diferentes maneras y aun así obtener el mismo producto. Repasar las destrezas Aplicar las reglas relativas a la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 4. 25 10 : 2 5. 11 1 1 • (7 3) 6. 3 • (8 6) 1 7 7. 14 (3 1 9) : 6 Resuelve cada ecuación. 8. 38 1 a = 54 9. 72 1 b = 96 10. c 42 = 31 11. d 15 = 60 12. c 28 = 60 13. f – 72 = 54 14. g 1 18 = 62 15. h 41 = 13 16. Patricia tiene dos años más que su hermana. Si Patricia tiene 15 años. Escribe una ecuación que muestre la situación y resuelve: Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. 17. x + 2 > 5 18. y 7 < 5 19. z + 4 > 12 20. w 5 < 12 21. 4 + z > 12 22. u 18 < 15 23. v 18 > 4 24. z + 8 > 24 Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 25. Entrada, x 20 25 30 35 40 Salida, y 4 5 6 j j 26. Entrada, n 3 4 5 j j Salida, m 27 36 45 54 63 VOCABULARIO propiedad asociativa propiedad conmutativa propiedad absorvente del cero Repaso/Prueba del capítulo 4 98 Enriquecimiento • Predecir patrones Puedes usar diagramas, tablas y ecuaciones para predecir patrones. En cada lado de cada mesa cuadrada se puede sentar sólo un estudiante. ¿Cuántos estudiantes se pueden sentar en dos mesas colocadas una junto a la otra? ¿Qué ecuación puedes usar para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra? Completa la tabla de entrada y salida para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra. Escribe una ecuación para el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. La ecuación (2 • t ) 1 2 5 e predice el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. Por lo tanto, 10 estudiantes se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra. Inténtalo Copia y completa el patrón de la tabla. Después, escribe una ecuación para predecir el número de objetos que tendrá cada diseño del patrón. 1. 2. 3. 4. Explica cómo puedes predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 14 mesas colocadas una junto a la otra, usando la ecuación (2 • m) 1 2 5 e. Crecer, crecer, crecer fila 1 fila 2 fila 3 fila 4 Entrada, m 1 2 3 4 Salida, e 4 6 8 j Piensa: en cada mesa se pueden sentar 2 estudiantes más 1 estudiante en cada extremo. Entrada, u 1 2 3 4 5 6 Salida, v 1 3 j j j j Entrada, r 1 2 3 4 5 6 Salida, c 2 4 j j j j Entrada, m 1 2 3 4 5 6 Salida, n 1 4 j j j j Entrada, q 1 2 3 4 5 6 Salida, r 1 5 j j j j Capítulo 4 99 Opción múltiple 1. Rosa escribió y 5 500 • k como la regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros? A $ 1 500 B $ 2 500 C $ 3 000 D $ 4 500 2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico? 6 • 8 5 4 • 4 • j A 6 C 3 B 4 D 2 3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano? A m : 2 B m 1 2 C m 2 D m • 2 4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si t 5 8? 48 : ( t 1 4) • 5 A 50 C 10 B 20 D 4 5. Los vendedores de Autos Usados Baratos vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día? A 4 C 12 B 8 D 24 6. La familia Ortíz compró tres batidos de leche. La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortíz? Helados Fichas 1 bola 2 2 bolas 3 Sundae 4 Batido de leche 3 A (3 • 2) 1 4 (3 • 3) B (3 • 2) 1 (4 • 4) 1 (3 • 3) C (3 • 2 1 4) • (4 3) • 3 D (3 • 2) 1 (4 • 4) (3 • 3) 7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico? j 1 5 5 21 1 9 A 35 B 25 C 6 D 10 Repaso/Prueba de la unidad 100 8. ¿Qué enunciado numérico no está en la misma familia de operaciones de 6 • 9 5 j? A j : 9 5 6 C 9 • j 5 6 B j : 6 5 9 D 9 • 6 5 j 9. Las letras A y N representan números. Si A • 5 5 N • 5, ¿qué enunciado es verdadero? A A N C A 5 N B A , N D A N 10. Natacha está leyendo un libro. El libro tiene 99 páginas. ¿Cuántas páginas debe leer Natacha cada día para acabar el libro en 9 días? A 8 C 10 B 9 D 11 11. ¿Qué número representa la g? g : 12 5 7 A 96 C 74 B 84 D 72 12. ¿Cuál es la solución para x + 5 > 9? A x > 4 C x < 4 B x = 4 D x = 0 Respuesta breve 13. Usa p para representar el precio original de un cartel. Escribe una expresión para mostrar su precio de oferta. 15. Mira el problema de abajo. y 5 x : 2 Si y 5 10, ¿cuánto es x? 16. La Sra. Gallardo compra 11 cajas de invitaciones. En cada caja hay 12 invitaciones. ¿Cuántas invitaciones compra la Sra. Gallardo en total? Respuesta desarrollada 17. Explica cómo se halla el valor de la expresión 42 : 6 1 (5 3). ¡Oferta gigante! Todos los precios se rebajan $ 1 000 Verdadero o falso Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado. 18. ______ El valor de g en la expresión g : 12 = 7 es 60. 19. ______ El número 57 021 se redondeó a 60 000, por lo tanto, se redondeó a la decena de mil. 20. ______ El producto de 45 • 12 es 560. 14. Coloca paréntesis a la siguiente expresión de manera que su valor sea 28. 9 1 5 • 2 21. Hay 3 veces más niñas que niños en una clase de ballet. Hay 12 niñas en la clase. Explica cómo se escribe una ecuación para hallar el número de niños en la clase de ballet. 22. Explica cómo sabes qué número hace este enunciado numérico 6 • n 5 6 • (3 1 4) verdadero. 23. Representa gráficamente las soluciones de la desigualdad x − 8 < 2 Capítulo 4 101 De Aquí y de Allá Resolución de problemas ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena ¡La colonización! n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) y se convirtió en una de las inmigraciones europeas más importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para asentarse en esas frías tierras. �Usa la lista de provisiones para responder a las preguntas. 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3 ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4 En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días? 5 Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes. E 4 kg de café 6 kg de tocino 1 kg de té 3 kg de vegetales 10 kg de harina de maíz 20 kg de azúcar Lista de provisiones (para una persona) 102 ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES n 1587, el corsario inglés Thomas Cavendish cruzó el estrecho de Magallanes y divisó algunos sobrevivientes en la costa cerca de la Primera Angostura. Rescató sólo a uno, que le relató el trágico fin de las ciudades diezmadas por el hambre: Ciudad del Nombre de Jesús y Rey Don Felipe. Cavendish bautizó al entorno de la Bahía de San Blas como Puerto del Hambre, denominación con la cual es conocido hasta la actualidad. Imagina que tu familia va en carreta a colonizar la Patagonia. La carreta puede cargar aproximadamente 1 050 kg. u Decide qué provisiones de alimentos necesitará cada miembro de la familia. Haz una lista de los artículos y el número de kg que cada miembro de la familia traerá. u Halla el total de kg de cada artículo para toda la familia. Ahora halla la cantidad total de kg que se van a cargar en la carreta. Asegúrate de que la cantidad de kg no sobrepase los 1 050 kg. u Si el total de kg de artículos es menos de 1 050 kg, añade más artículos para llegar lo más cerca posible de los 1 050 kg. E La tabla de abajo muestra algunas provisiones de alimentos en 1853. Algunas provisiones de alimentos en 1853 tocino harina café arroz harina de maíz azúcar vegetales té Hernando de Magallanes descubrió el estrecho que lleva su nombre el 21 de octubre de 1520, en su viaje alrededor del mundo. Fue así el primer europeo, al servicio de la corona española, en poner pie en tierras chilenas. Planear Por adelantado Capítulo 4 103 2 Números y conceptos de fracciones y decimales Matemática en Contexto p Los tiempos de 3, 4 u 8 por compás forman patrones o ritmos de repetición en las baterías electrónicas. p Como en los patrones de los factores, el ritmo se combina con otro ritmo grabado, pero diferente. p Los equipos electrónicos muestran los ritmos grabados, en forma de patrones que se pueden ver. ¿Qué matemáticas se usan en la música de Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes determinar cuándo dos patrones de ritmo diferente comparten un solo tiempo? Copia y completa la siguiente tabla. Usa lo que sabes acerca de los patrones. REPASO DEL VOCABULARIO Cuando aprendiste sobre factores y fracciones, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? factor común Un número que es un factor de dos o más números. factor Un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. número mixto Un número que se compone de un número entero y una fracción. Pregunta Ritmos ¿Cuántos tiempos hay en 7 compases? ¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes? ¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes? 2 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2, 3 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, __, __ 3, 6, 9, 12, __, __, __ 3, 4 tiempos por compás: 3, 6, 9, __, __, __, __, __, 4, 8, __, __, __, __, __, Unidad 2 105 CAPÍTULO 106 Sección de cuerdas de la Filarmónica de Santiago In st ru m en to Cantidad de músicos Primer violín Segundo violín Viola Violonchelo Contrabajo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 5 Conceptos de fraccionesLa idea importante Las fracciones y los números mixtos pueden expresarse en formas equivalentes y pueden compararse y ordenarse. El primer concierto de la Orquesta Filarmónica de Santiago se realizó el 3 de julio de 1955, y fue dirigido por Leopold Ludwig. En sus inicios, estaba formada por cerca de sesenta jóvenes músicos y docentes de música o del conservatorio. Investiga La Orquesta Filarmónica de Santiago es una agrupación de músicos que cuenta con varias familias de instrumentos musicales como: viento madera, viento metal, percusión y cuerda. Generalmente está compuesta por más de 80 músicos pero en algunos casos pueden llegar a más de 100. Elige dos instrumentos de cuerda del gráfico. ¿Cuántos músicos de la sección hay por cada instrumento? Escribe la respuesta en forma de fracción simplificada a su mínima expresión. DATO BREVE Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 5. u Entender fracciones Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 1. 2. 3. 4. Escribe en palabras. 5. 2 __ 5 6. 1 __ 7 7. 4 __ 9 8. 1 __ 3 u Entender números mixtos Escribe un número mixto para cada dibujo. 9. 10 . 11. u Comparar fracciones. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada . 12. 1 __ 4 1 __ 3 13. 2 __ 4 4 __ 8 14. 2 __ 3 1 __ 2 15. 1 __ 2 3 __ 8 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO fracciones de referencia múltiplo común fracciones equivalentes máximo común divisor (MCD) número mixto fracción simplificada a su mínima expresión fracción impropia PREPARACIÓN fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. fracción simplificada a su mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común. Capítulo 5 107 Aprende Paso Paso Paso 1 Repaso rápido PROBLEMA Eva quiere compartir 1 _ 2 pastel con dos amigas. Divide la mitad del pastel en tres partes iguales. Escribe dos fracciones para representar la parte del pastel que comparte con sus amigas. Haz una representación de cada fracción. 1. 1 __ 4 2. 2 __ 3 3. 3 __ 5 4. 1 __ 8 5. 4 ___ 12 Vocabulario fracciones equivalentes Usa la multiplicación. 6 __ 8 5 6 • 2 _____ 8 • 2 5 12 ___ 16 Por lo tanto, 6 __ 8 5 12 ___ 16 . Usa la división. 6 __ 8 5 6 : 2 __ __ 8 : 2 5 3 __ 4 Por lo tanto, 6 __ 8 5 3 __ 4 . Actividad Materiales ■ patrones de figuras geométricas Puedes usar patrones de figuras geométricas para hacer representaciones de fracciones. Haz que el hexágono sea igual a 1 entero. Por lo tanto, 3 _ 6 al igual que 1 _ 2 representan la parte del pastel que Eva comparte con sus amigas. Cubre un hexágono con un trapecio para mostrar 1 _ 2 . Cubre otro hexágono con triángulos para mostrar 3 _ 6 . Compara los dos hexágonos. Las fracciones 1 _ 2 y 3 _ 6 se llaman fracciones equivalentes. Fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. En las siguientes rectas numéricas, las fracciones 1 _ 3 y 2 _ 6 son fracciones equivalentes porque están a la misma distancia de 0. También puedes hallar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Una fracción con el mismo numerador y denominador es igual a 1. Fracciones equivalentes OBJETIVO: identificar y escribir fracciones equivalentes. LE CC IÓN 108 Práctica con supervisión Comprensión de los aprendizajes Usa las rectas numéricas para identificar una fracción equivalente para cada fracción. 1. 3 __ 4 2. 2 __ 8 3. 2 __ 4 4. 6 __ 8 Escribe una fracción equivalente. 5. 1 __ 4 6. 5 ___ 10 7. 1 __ 3 8. 5 __ 8 9. 2 __ 5 10. 5 __ 6 11. Explica cómo hallar una fracción equivalente para 6 __ 10 . Escribe una fracción equivalente. 12. 1 __ 5 13. 6 ___ 10 14. 3 __ 6 15. 6 __ 9 16. 3 __ 8 17. 5 ___ 15 18. 1 __ 9 19. 3 ___ 10 20. 3 ___ 12 21. 10 ___ 12 22. 2 __ 3 23. 12 ___ 16 Di qué fracción no es equivalente a las demás. 24. 3 __ 4 , 2 __ 3 , 8 ___ 12 25. 2 __ 5 , 4 ___ 10 , 3 ___ 15 26. 2 __ 6 , 1 __ 4 , 1 __ 3 27. 3 __ 4 , 5 __ 6 , 6 __ 8 USA LOS DATOS Para los ejericios 46–49, usa la ilustración. 28. Marco tiene estas 24 bolitas. Escribe cuatro fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas son azules. 29. ¿Qué pasaría si Marco cambiara las seis bolitas verdes por otras seis bolitas azules? Escribe tres fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas azules tiene ahora. 30. Marco dice que 1 _ 4 de sus bolitas son verdes. Dice que eso representa 2 _ 8 de sus bolitas. ¿Tiene razón Marco? Explica tu respuesta. 31. ¿Cuántos ángulos tiene un pentágono? 32. Halla el cociente. 4 278 : 4 33. ¿Qué fracción es igual a 1 _ 3 ? A 1 __ 6 C 3 __ 5 B 4 ___ 12 D 2 __ 3 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 124, Grupo A Capítulo 5 109 Aprende 2 Repaso rápido Fracciones simplificadas a su mínima expresión OBJETIVO: escribir fracciones simplificadas a su mínima expresión. PROBLEMA La región del Maule está dividida en 4 provincias: Talca, Cauquenes, Curicó, Linares. La provincia de Talca, a su vez, está formada por diez comunas. Eso representa 10 __ 20 de las comunas. ¿Cuál es la mínima ? Se define como fracción simplificada a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. Puedes dividir entre factores comunes para hallar la fracción simplificada a su mínima expresión de 10 __ 30 . Escribe una fracción equivalente. 1. 1 __ 4 2. 5 __ 7 3. 3 __ 8 4. 4 ___ 10 5. 2 __ 3 Vocabulario fracción simplificada a su mínima expresión máximo común divisor (MCD) Ejemplo 1 Divide tanto el numerador como el denominador por un factor común de 10 y de 20. Prueba 2. Prueba 5. Por lo tanto, 10 __ 20 reducido 1 _ 2 . 1 _ 2 de las 30 comunas, se encuentra en la provincia de Talca. Más ejemplos 15 ___ 12 15 __ 24 en su mínima expresión es 5 _ 4 . 12 ___ 12 1 __ 1 51 fracción en su mínima expresión 12 __ 12 en su mínima expresión es 1 _ 1 , o 1. en su mínima expresión es 4 _ 3 . • ¿Cuándo debes dividir por un factor común más de una vez para escribir una fracción en su mínima expresión? El único factor común del ← numerador y del denominador es 5. Región del Maule Talca Curicó Cauquenes Linares LE CC IÓN 10 : 2 20 : 2 5 10 = 5 : 5 10 : 5 1 2 = 15 : 3 12 : 3 5 8 = 4 6 12 : 12 12 : 12 1 1 = 4 : 2 6 : 2 2 3 = ← no está en su mínima expresión fracción simplificada a su mínima expresión 5 0 110 Usa el máximo común divisor Para la fracción 20 __ 30 , los factores comunes del numerador y del denominador son 1, 2, 5 y 10. Cuando divides el numerador y el denominador entre 1, 2 o 5, la fracción no está simplificada a su mínima expresión. Puedes dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor, para escribir una fracción en su mínima expresión, en un paso. El máximo común divisor (MCD) es el factor más grande que dos o más números tienen en común. Ejemplo 2 Las provincias: Cauquenes, Curicó y Linares componen 20 __ 30 de comunas de la Región del Maule. ¿Cuál es la fracción en su mínima expresión de 20 __ 30 ? Escribe 7 __ 14 simplificada. Por lo tanto, 35 __ 49 simplificada es 5 _ 7 . Por lo tanto, 20 __ 30 simplificada es 2 _ 3 . Más ejemplos Escribe 4 __ 12 en su fracción simplificada. Por lo tanto, 4 __ 12 simplificada es 1 _ 3 . Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor. Halla el máximo común divisor de 20 y 30. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 30 El MCD es 10. 7 es el único factor común diferente de 1 para 35 y 49. Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor. Paso Paso Región del Maule Talca Cauquenes Curicó Linares 20 : 10 30 : 10 2 3 = 4 : 4 12 : 4 1 3 =7 : 7 14 : 7 1 12 = ← fracción simplificada Capítulo 5 111 Provincias del Maule Talca Cauquenes Curicó Linares 0 2 4 6 8 10 12 14 Pr ov in ci a Cantidad de comunas Simplifica cada fracción a su mínima expresión. 1. 4 __ 8 2. 6 ___ 10 3. 5 __ 5 4. 7 __ 9 5. 4 ___ 12 6. 10 ___ 14 7. Explica cómo hallarías la fracción simplificada a su mínima expresión de 2 __ 6 utilizando el MCD. Identifica el máximo común divisor del numerador y del denominador. 8. 6 ___ 12 9. 2 ___ 4 10. 9 ___ 11 11. 9 __ 12 12. 2 ___ 4 13. 4 ___ 8 Escribe cada fracción en su fracción en su mínima expresión. 14. 3 ___ 4 15. 5 __ 5 16. 6 __ 9 17. 8 ___ 10 18. 12 ___ 10 19. 3 __ 7 20. 12 __ 12 21. 2 ____ 10 22. 5 ___ 12 23. 4 ___ 8 24. 5 ___ 10 25. 4 ___ 5 26. 2 __ 6 27. 10 ___ 12 28. 3 ____ 12 29. 8 ___ 10 30. 4 ___ 6 31. 9 ___ 12 Completa. 32. 1 __ 2 5 __ 6 33. 3 __ 4 5 9 __ 34. ___ 20 5 1 __ 4 35. 2 __ 5 10 ___ 15 36. 4 ___ 12 5 __ 3 USA DATOS Para 46–49, usa el gráfico. 37. ¿Qué fracción de las 30 comunas forman las provincias de Linares y Curicó? Escribe la fracción en su mínima expresión. 38. ¿Qué fracción de los 30 comunas se encuentra en la provincia de Cauquenes? Escribe la fracción en su mínima expresión. 39. DATO BREVE Sólo cinco de las 30 comunas limitan con la Región del Bío-Bío. Escribe la fracción en su mínima expresión. 40. ¿Cuál es la pregunta? Seis quinceavos de las 30 comunas conforman esta provincia. Talca Curicó Cauquenes Linares Práctica independiente y resolución de problemas Álgebra Práctica con supervisión 112 Comprensión de los aprendizajes 41. Francisco tenía algunos discos compactos. Dio 4 a su hermano. Escribe una expresión con una variable para representar la situación. 42. El salón de clases de Alejandra tiene 25 metros de ancho y 30 metros de largo. ¿Cuál es el perímetro del salón de clases? 43. ¿Qué número mixto se muestra en la representación? 44. ¿Qué fracción NO es equivalente a 2 _ 3 ? A 4 __ 6 C 2 __ 5 B 8 ___ 12 D 12 ___ 18 45. Hoy, 10 de 22 estudiantes compraron el almuerzo. ¿Qué fracción de los estudiantes compró el almuerzo? Escribe la fracción en su mínima expresión. ÁLgEBRA Fraccciones equivalentes. Juan tiene en su casa 12 invitados para los cuales ha comprado una pizza. Viene dividida en 6 porciones iguales. Encuentra las fracciones equivalentes que satisfagan este ejemplo: 1. Dibuja para representar que 2 4 5 1 2 2. Dibuja para representar que 2 6 5 1 3 Como Juan debe repartir la pizza en 12 partes iguales, corta cada sexto de pizza en dos partes. Tiene 2 12 Es decir, 1 6 equivale a 2 12 Observa que cada trozo de pizza equivale a 1 6 1 6 1 12 Práctica adicional en la página 124, Grupo B Capítulo 5 113 Aprende Repaso rápido Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 4 __ 4 2. 10 ___ 14 3. 10 ___ 25 4. 4 __ 8 5. 9 ___ 12 Vocabulario número mixto fracción impropia parte entera parte fraccionaria 3 Un número mixto se compone de una parte entera y una parte fraccionaria. Un número mixto se puede convertir en una fracción mayor que 1. A veces, una fracción mayor que 1 se denomina fracción impropia. PROBLEMA Ricardo está haciendo un jugo de frutas. Comienza con una taza de concentrado de naranja. Luego agrega 3 _ 4 de taza más. En total, usa 1 3 _ 4 tazas de concentrado de naranja. 1 3 _ 4 es un número mixto. ¿Cuántos 1 _ 4 de taza de concentrado de naranja usa Ricardo para el jugo de frutas? Ejemplo 1 Usa una recta numérica. Expresa 2 5 _ 8 en forma de fracción. 2 5 (8 • 2) _____ 8 5 16 ___ 8 2 5 __ 8 5 16 1 5 ______ 8 5 21 ___ 8 Entonces, 2 5 __ 8 5 21 ___ 8 . Expresa 21 __ 8 en forma de número mixto. • ¿Qué sucede con el numerador y el denominador siempre que un número mixto se convierte en fracción? Escribe la parte entera en forma de fracción usando el denominador, 8. Escribe el número de octavos en forma de fracción impropia. Divide el numerador entre el denominador. Usa el resto y el divisor para escribir una fracción. Comprender números mixtos OBJETIVO: expresar fracciones impropias en forma de números mixtos y números mixtos en forma de fracciones impropias. 21 : 8 → 2 5 __ 8 – 16 5 Entonces, 21 ___ 8 52 5 __ 8 . Ejemplos Puedes usar la multiplicación y la suma para expresar un número mixto en forma de fracción impropia. Puedes usar la división para expresar una fracción impropia en forma de número mixto. Entonces, Ricardo usa 7 _ 4 de tazas de concentrado de naranja para el jugo de frutas. LE CC IÓN 114 Comprensión de los aprendizajes Barras de Cereal Usa la recta numérica. Escribe las fracciones en forma de número mixto. Escribe los números mixtos en forma de fracción. 1. 11 ___ 8 2. 1 1 __ 8 3. 1 5 __ 8 Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 4. 11 ___ 4 5. 6 __ 5 6. 2 7 __ 9 7. 3 2 __ 3 8. 23 ___ 10 9. 4 2 __ 5 10. Explica cómo puedes expresar un número mixto en forma de fracción mayor que 1. Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 11. 1 3 __ 5 12. 2 1 __ 3 13. 9 __ 4 14. 11 ___ 10 15. 13 ___ 6 16. 1 3 __ 7 17. 8 __ 3 18. 3 5 __ 6 19. 7 1 __ 2 20. 47 ___ 15 21. 25 ___ 4 22. 2 7 ___ 12 USA DATOS para 23–25 23. Carolina está haciendo una bandeja de barras de cereal. ¿Cuántos 1 _ 3 de taza de miel usará? 24. ¿Cuál es la cantidad de cereal de salvado en la receta, escrita en forma de fracción? 25. Carolina tiene una taza para medir 1 _ 2 . ¿Cuántas veces la debe llenar para medir la cantidad correcta de mantequilla de maní? Explica tu respuesta. 26. Clara compró una bicicleta por $ 150 000. También compró pedales por $ 30 000. ¿Pagó más o menos que $ 190 000? 27. Escribe la fracción 8 __ 12 en su mínima expresión. 28. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5. 3 _ 4 1 _ 4 29. ¿Qué fracción es equivalente a 2 3 _ 5 ? A 5 __ 5 B 11 ___ 5 C 12 ___ 5 D 13 ___ 5 Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 124, Grupo C Capítulo 5 115 Aprende 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 4 Repaso rápidoComparar y ordenar fracciones y números mixtos OBJETIVO: comparar y ordenar fracciones y números mixtos. Usa barras de fracciones para comparar. 3 __ 4 . 2 __ 3 Halla denominadores comunes. PROBLEMA Jorge planea ser acomodador en 2 _ 3 de los conciertos de una orquesta sinfónica. Sara planea ser acomodadora en 3 _ 4 de los conciertos. ¿Quién va a acomodar en más conciertos? Compara 2 _ 3 y 3 _ 4 . Por lo tanto, Sara será la acomodadora en más conciertos. Paso Paso Usa fracciones equivalentes y convierte cada fracción usando un denominador común. 3 __ 4 se puede convertir a 3•3 _____ 4•3 5 9 ___ 12 o 3•6 _____ 4•6 5 18 ___ 24 2 __ 3 se puede convertir a 2•4 _____ 3•4 5 8 ___ 12 o 2•8 _____ 3•8 5 16 ___ 24 Paso Compara los numeradores de las fracciones que acabas de convertir. Dado que 9.8, o 18.16, 3 __ 4 . 2 __ 3 . Escribe los múltiplos de los denominadores y luego halla un múltiplo común. Un número que es un múltiplo de dos o más números es un múltiplo común. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 12 y 24 son múltiplos comunes de los denominadores, conocidos también como denominadores comunes. Tomás tenía 12 barras de fruta. Le regaló 6 barras a Marco y 2 barras a Margarita. Escribe dos fracciones equivalentes que describan la fracción de barras de fruta que le queda. Vocabulario múltiplo común Recuerda Para comparar fracciones que tienen el mismo denominador, solo necesitas comparar los numeradores. Dado que 5.2, 5 __ 8 . 2 __ 8 . LE CC IÓN 116 Paso Paso Paso Paso Paso Halla un común denominador de 6, 9, y 3. 6: 6, 12, 18, 24, 30 9: 9, 18, 27, 36 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 Un común denominador es 18. Conviértelos a fracciones equivalentes con un denominador de 18. 5•3 _____ 6•3 5 15 ___ 18 4•2 _____ 9•2 5 8 ___ 18 2•6 _____ 3•6 5 12 ___ 18 Compara los numeradores. Ordénalos de menor a mayor. Dado que 8,12,15, 8 ___ 18 , 12 ___ 18 , 15 ___ 18 . El orden de menor a mayor es 4 _ 9 , 2 _ 3 , 5 _ 6 . Por lo tanto, María trabajó de acomodadora en el menor número de conciertos. • ¿Cómo ordenas fracciones unitarias de menor a mayor? Compara las partes enteras. 2 2 __ 3 3 1 __ 6 2 3 __ 4 Dado que 3.2, 3 1 _ 6 es el mayor. Usa denominadores comunes para comparar las otras dos partes fraccionarias: 2 _ 3 y 3 _ 4 . 2 2 __ 3 52 8 ___ 12 2 3 __ 4 52 9 ___ 12 Dado que 9.8, 2 9 __ 12 .2 8 __ 12 . Por lo tanto, el orden de mayor a menor es 3 1 _ 6 , 2 3 _ 4 , 2 2 _ 3 . • Si estuvieras ordenando números mixtos cuyas partes enteras fueran todas diferentes, ¿qué parte de los números mixtos compararías? Puedes usar los denominadores comunes para ordenar números mixtos. Primero, compara las partes enteras. Luego, compara las partes fraccionarias. Ejemplo 2 Ordena números mixtos Ordena 2 2 _ 3 , 3 1 _ 6 , 2 3 _ 4 de mayor a menor. Ordenar fracciones y números mixtos Antonio trabajó de acomodador en 5 _ 6 de los conciertos. María trabajó en 4 _ 9 de los conciertos y Tania lo hizo en 2 _ 3 de los conciertos. Ordena las fracciones 5 _ 6 , 4 _ 9 y 3 _ 2 de menor a mayor para saber quién fue el acomodador en el menor número de conciertos. Ejemplo 1 Ordena fracciones Capítulo 5 117 Compara las fracciones. Escribe , o = en cada caso. 1. 2. 2 __ 3 4 __ 5 4 __ 5 5 __ 8 1 1 3 3 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 3 3 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 Práctica con supervisión Por lo tanto, el orden de menor a mayor es 2 1 _ 4 , 17 _ 6 , 5 1 _ 3 . • Si los denominadores de las partes fraccionarias fueran iguales, ¿qué debo comparar para saber cuál es el mayor o menor? Ejemplo 3 Ordena números mixtos y fracciones impropias Ordena 5 1 _ 3 , 17 _ 6 , 2 1 _ 4 de mayor a menor. Paso Paso Paso Convierte 17 _ 6 en número mixto: 1 7 : 6 = 2 → 2 5 _ 6 - 1 2 5 Compara las partes enteras. 5 1 _ 3 2 5 _ 6 2 1 _ 4 Dado que 5 > 2, 5 1 _ 3 es el mayor Usa denominadores comunes para comparar las otras 2 partes fraccionarias: 5 _ 6 y 1 _ 4 2 5 _ 6 = 2 10 _ 12 2 1 _ 4 = 2 3 _ 12 Dado que 10 > 3, 2 10 _ 12 > 2 3 _ 12 Compara. Escribe , o = en cada caso. 5. 1 __ 3 2 __ 3 6. 2 __ 5 3 __ 8 7. 13 __ 4 2 3 ___ 5 8. 1 3 __ 4 21 ___ 12 9. 5 3 ___ 9 5 3 __ 7 Compara. Escribe , o = en cada caso. 10. 11. 12. 13. 14. 3. 4. 1 10 1 5 1 5 1 5 1 5 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 8 10 4 5 8 3 4 5 3 4 13 4 3 5 2 5 3 7 4 9 3 8 1 2 2 3 4 5 15. Explica cómo se ordenan las fracciones 1 _ 6 , 1 _ 2 , y 1 _ 3 de menor a mayor. 2 118 Comprensión de los aprendizajes Compara. Escribe , o = en cada caso. 16. 1 __ 2 1 __ 3 17. 3 __ 4 6 __ 8 18. 5 __ 7 3 __ 5 19. 12 ___ 11 1 __ 4 20. 3 5 __ 7 3 1 ___ 2 Escribe en orden de menor a mayor. 21. 1 __ 2 , 3 __ 4 , 1 __ 4 22. 3 __ 8 , 1 __ 8 , 7 __ 8 23. 1 3 __ 8 , 1 1 __ 4 , 11 __ 6 24. 2 2 __ 3 , 3 1 __ 8 , 2 3 __ 5 25. 1 1 __ 4 , 17 __ 8 , 2 1 __ 5 USA DATOS Para 26 – 28 usa la tabla. 26. Catalina colecciona figuras miniatura de animales de porcelana. Haz una lista de sus animalitos ordenándolos del más largo al más corto. 27. Catalina compra una figura de tortuga, que mide 6 7 _ 8 cm de longitud. ¿Cuál es la figura de su colección que tiene la mayor longitud? 28. Explica cómo se determina qué figura está entre los 6 1 _ 2 y los 6 3 _ 4 cm de longitud. figura rana figura mono figura armadillo 6¾ cm de largo 7½ cm de largo 6⅝ cm de largo Figuras miniatura 29. Si y 5 8, ¿cuál es el valor de 22,5 – y? 30. ¿Cómo se escribe el decimal 0,3 en forma de fracción? 31. ¿Cuál es el producto entre 24 y 9? 32. Alberto ensayó con su trompeta 1 2 _ 3 horas el lunes. Ensayó 1 5 _ 6 horas el martes y 1 4 _ 9 horas el miércoles. ¿Qué día ensayó más tiempo? A lunes C miércoles B martes D jueves 33. Josefa compró una pizza y comió 1 _ 3 de ella. ¿Qué diagrama muestra lo que comió Josefa? A C B D Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 124, Grupo D Capítulo 5 119 5 Aprende la estrategia Trabajar con material concreto puede ayudarte a resolver un problema. Existen diferentes tipos de materiales para diferentes tipos de problemas matemáticos. Joel le pidió a sus amigos Mauricio y Elena que lo ayudaran a pintar su habitación. Cada persona pintaba una pared del mismo tamaño. A la hora del almuerzo, Joel había pintado 3 _ 8 de su pared. Mauricio había pintado 2 _ 3 de su pared, y Elena había pintado 3 _ 5 de la suya. ¿Quién había pintado la mayor parte de la pared que le correspondía? Usa barras de fracción para mostrar la cantidad de pared que pintó cada persona. Compara las barras de fracción. La inscripción en la Escuela Gabriela Mistral aumentó a 445. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes asisten a la escuela? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. Ubica 445 en la recta numérica. Halla la centésima más cercana a 445. Iris necesita 0,8 metros de tela de algodón para hacer una mochila. ¿Cuántos metros de tela de algodón necesita Iris para hacer 3 mochilas? Sombrea 0,8 tres veces. ¿Qué otros tipos de problemas matemáticos se pueden representar? Estrategia: trabajar con material concreto OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia trabajar con material concreto. Con barras de fracciones podemos mostrar fracciones. El material concreto te ayuda a estimar. Con diagramas puedes mostrar decimales. 1 8 1 8 1 8 1 3 1 5 1 5 1 5 1 3 300 350 400 450 500 550 600 LE CC IÓN 120 • Identifica los detalles del problema. • ¿Qué información se da? • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Compara las partes enteras de los números mixtos. 1 5 __ 6 , 2 1 __ 4 , 1 7 ___ 12 , 1 2 __ 3 Dado que 2 . 1, 2 1 __ 4 metros es la mayor distancia. Usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los otros números mixtos. 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 3 1 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Dado que 7 ___ 12 es la menor, 1 7 ___ 12 metros es la distancia menor. Por lo tanto, la herradura de René es la que está más cerca de la estaca y la de Mariana la que está más lejos. ¿Qué otro tipo de material concreto podrías usar para resolver el problema? Usa la estrategia PROBLEMA Blanca y sus amigos están jugando a la herradura en un picnic familiar. La herradura de Miguel cae a 1 5 _ 6 metros de la estaca. Mariana lanza su herradura a 2 1 _ 4 metros de la estaca. La de René está a 1 7 __ 12 metros de la estaca. La de Blanca cae a 1 2 _ 3 metros de la estaca. ¿De quién es la herradura que está más cerca de la estaca? ¿De quién es la herradura que está más lejos de la estaca? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Usar material concreto te puede ayudar a resolver el problema. Capítulo 5 121 Resolución de problemas con supervisión 1. Algunos de los amigos de Sara decidieron realizar un concurso de salto. ¿Quién saltó la distancia más larga? ¿Quién saltó la distancia más corta? Primero, compara las partes enteras de los números mixtos. 3 5 ___ 12 , 3 3 __ 4 , 4 3 __ 8 , 3 1 __ 2 4 . 3 Luego, usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los números mixtos que tienen el mismo número entero. 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 2 1 4 1 4 1 4 Para terminar, determina quién saltó la distancia más larga y la más corta. 2. ¿Qué pasaría si, el salto de Sara hubiera sido de 3 1 _ 6 metros de longitud? Entonces, ¿quién habría hecho el salto más largo, y el más corto? Explica. 3. Andrea, Marcos, Pablo y Sara se ponen en fila para saltar. Sara no es la primera. Andrea tiene al menos dos personas delante de ella. Pablo es el tercero. Determina el orden de los cuatro. Usa material concreto para resolver. 4. Mario compró 2 paquetes de invitaciones para una fiesta. Cada paquete contenía 10 invitaciones. Mario invita a 7 compañeros de clase, 4 primos y 5 niños del barrio. ¿Qué fracción de las invitaciones usa Mario? 6. El jardín de Tatiana tiene 5 metros de ancho y 12 metros de largo. La sección de flores tiene el mismo ancho y el doble de longitud que la sección de verduras. ¿Qué longitud tiene cada sección? 5. Pablo, Gregorio e Hilda se reúnen en la casa de Hilda antes de ir al parque. Pablo vive a 8 4 _ 5 kilómetros de Hilda. Gregorio vive a 8 3 _ 4 kilómetros de Hilda. ¿Quién vive más cerca de Hilda? 7. Valentín compró 24 globos amarillos para una fiesta. Devolvió 12 de los globos y compró 9 globos rojos. Luego decidió devolver 6 globos rojos y comprar 16 globos azules. ¿Cuántos globos tiene Valentín ahora? 8. ¿Cuál es el error? Andrés tenía 14 bolitas. Le dio 9 bolitas a Claudia. Susana le dio 18 bolitas a Andrés. Luego Andrés le dio 8 bolitas a Ricardo. Andrés dice que ahora tiene 31 bolitas. Describe el error que comete y haz un dibujo para mostrar la solución. Longitud del salto Nombre Andrea Marcos Pablo Sara Longitud (en metros) 3 3 4 3 5 12 3 4 3 8 1 2 Resolución de problemas • Práctica de estrategias 122 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Práctica de estrategias mixtas Resuelve. 9. Irma hizo una fiesta y le dio a cada uno de sus amigos una sorpresa. Había 7 sorpresas de yoyós, 13 de silbatos, 6 de caleidoscopios, 9 de paletas de playa y algunas bolitas. En total, Irma repartió 41 sorpresas. ¿Cuántas de ellas eran bolitas? 10. El lunes Benjamín envió 2 invitaciones para una fiesta. El martes envió 3 invitaciones y el miércoles, 5 invitaciones. El jueves envió 8 invitaciones. Si el patrón continua hasta el sábado, ¿cuántas invitaciones enviará Benjamín en total? USA DATOS Para 11–14, usa el gráfico de barras. 11. Victoria, Daniel, Cecilia y Franco votaron cada uno por tipo de música de fiesta diferente. Daniel votó por hip hop. Franco no votó por cumbia o reggaetón. Cecilia no votó por regatón. ¿Por qué tema votó cada estudiante? 12. El número de niñas que votó por rock es tres veces mayor que el número de niños. ¿Cuántos niños votaron por rock? 13. Formula un problema Observa el Problema 12 nuevamente. Escribe un problema similar cambiando la relación matemática entre el número de niñas y niños que votaron por la fiesta mexicana. Luego resuelve el problema. 14. Problema abierto Usa los datos del gráfico de barras para escribir tres enunciados numéricos diferentes en que se usen una o más operaciones. Escuela Gabriela Mistral Encuesta de música para la fiesta Temas Nú m er o de v ot os Cumbia Hip-hop Rock Reggaetón 0 50 100 150 200 250 Un negocio de artículos para fiestas vende sorpresas a $ 750 cada una, sombreros a $ 450 cada uno y silbatos a $ 600 cada una. 15. Trinidad compra 12 sorpresas. Gasta en sombreros la misma cantidad de dinero que gastó en las sorpresas. Gasta en silbatos el doble de lo que gastó en las sorpresas. ¿Cuántos sombreros y silbatos compra? 16. Angélica pagó $ 15 900 por artículos de fiesta. Gastó $ 7 500 en sorpresas. Compró la misma cantidad de sombreros que de silbatos. ¿Cuántos sombreros y cuántos silbatos compró? ESfUéRzATE Capítulo 5 123 Grupo A Escribe una fracción equivalente. 1. 3 __ 5 2. 1 __ 8 3. 4 __ 8 4. 4 __ 5 5. 3 __ 9 6. 6 ___ 12 7. 4 __ 6 8. 2 __ 7 9. 4 ___ 10 10. 3 ___ 18 11. 2 __ 5 12. 3 ___ 15 13. Catalina tiene 6 latas de frutas. Dos de ellas contienen duraznos. Escribe dos fracciones que representen las latas que contienen duraznos. 14. Jaime y Eva están jugando con 4 cubos rojos y 8 cubos azules. Jaime dice que 1 _ 2 de los cubos son rojos. Eva dice que 1 _ 3 son rojos. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta. Grupo B Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 4 __ 8 2. 4 ___ 12 3. 3 __ 3 4. 4 __ 5 5. 6 ___ 12 6. 4 ____ 10 7. 5 ___ 12 8. 9 ___ 12 9. 8 ___ 12 10. 5 ___ 10 11. 10 ___ 12 12. 7 ___ 14 Grupo C Escribe cada número mixto en forma de fracción. Escribe cada fracción en forma de número mixto. 1. 13 ___ 4 2. 2 1 __ 5 3. 5 __ 3 4. 29 ___ 4 5. 1 1 __ 2 6. 4 3 __ 8 7. 49 ___ 12 8. 7 __ 3 9. 3 4 __ 5 10. 12 ___ 8 11. 5 1 __ 3 12. 20 ___ 9 13. La señora Pino está haciendo un pastel de chocolate. La receta requiere 2 1 _ 2 tazas de harina cernida. ¿Cuántas 1 _ 2 tazas de harina necesitará? Escribe el número mixto como una fracción impropia. 14. Eduardo corrió nueve cuartos alrededor de una pista de 1 _ 4 de kilómetro. ¿Cuántos kilómetros corrió Eduardo? Escribe la distancia como un número mixto y una fracción impropia. Grupo D Compara. Escribe , o 5 en cada . 1. 1 __ 3 3 __ 5 2. 1 __ 2 2 __ 4 3. 29 ___ 6 4 7 ___ 12 4. 2 2 __ 9 1 1 __ 2 5. 3 3 __ 4 3 4 __ 5 6. 2 1 __ 5 8 __ 3 7. 1 3 __ 4 3 ___ 12 8. 3 2 __ 5 3 4 ___ 10 9. 53 ___ 12 4 3 __ 8 10. 12 3 ___ 10 63 ___ 5 Escribe en orden de menor a mayor. 11. 1 5 __ 9 , 1 2 __ 9 , 16 ___ 9 12. 4 __ 5 , 3 __ 5 , 7 ___ 10 13. 1 __ 6 , 1 __ 8 , 1 ___ 10 14. 7 __ 4 , 1 __ 3 , 1 5 ___ 12 15. 2 1 __ 2 , 2 5 __ 6 , 3 __ 8 16. Antonio tiene tres perros: Liza, Kiki y Lulú. Liza pesa 9 1 _ 8 kg, Kiki pesa 10 1 _ 4 kg y Lulú pesa 9 3 _ 4 kg. ¿Cuál de los perros pesa menos? 17. Marcelo regó sus flores con 3 _ 4 de taza de agua el lunes, 1 _ 2 taza de agua el martes y 7 _ 8 de taza de agua el miércoles. ¿Qué día regó sus flores con más agua? Práctica adicional 124 agua salada 972 cc. agua dulce 28 cc. 1. Resuelve el problema de arriba. 2. ¿Dónde se encuentra la menor cantidad de agua dulce de la Tierra? 3. Compara la cantidad de agua subterránea dulce con la cantidad de agua dulce en los casquetes de hielo y los glaciares. Resolución de problemas Visualiza para resolver el problema. Planeta de agua Visualizar El agua de la Tierra fluye por el medio ambiente como parte del ciclo del agua. La mayoría es agua salada que hay en los océanos y los mares. El resto es agua dulce. La siguiente tabla muestra los distintos lugares donde se encuentra el agua dulce de la Tierra. ¿Dónde se encuentra la mayor parte del agua dulce de la Tierra? Puedes resolver algunos problemas visualizándolos. Cuando visualizas un problema, te lo imaginas. Paso 1 Lee el problema atentamente y visualízalo. Paso 2 Piensa en la mejor manera de presentar el problema. Podrías hacer un dibujo, o una tabla, o hacer un gráfico. Podrías usar una representación, como barras de fracciones o fichas. Agua dulce de la Tierra Casquetes de hielo y glaciares ⅘76 Agua subterránea 71 Lagos, ríos y agua del suelo y del aire 516 t Si toda el agua de la Tierra pudiera guardarse en una botella de 1 litro, el contenido se dividiría así. Capítulo 5 125Capítulo 5 125 24. Javier, Violeta y Paula están haciendo collares de mostacilla. El collar de Javier es de 1 3 _ 8 metros de largo. El collar de Violeta es de 1 1 _ 2 metros de largo. El collar de Paula es de 7 _ 4 metros de largo. ¿Cuál collar es el más largo? 25. Liliana vive a 0,9 kilómetros de la escuela. Explica cómo podrías usar una representación gráfica para hallar la distancia que Liliana recorre de ida y vuelta de la escuela durante 5 días de la semana. Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. ____________ son fracciones que representan la misma cantidad y el mismo lugar en la recta numérica. 2. Un número que es múltiplo de dos números o más se llama ____________ . 3. Una ____________ es la que el numerador y el denominador tienen solo el 1 como factor común. Comprueba tus destrezas Escribe una fracción equivalente. 4. 1 __ 6 5. 4 ___ 12 6. 2 ___ 10 7. 5 __ 8 Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 8. 9 __ 2 9. 1 1 __ 4 10. 5 2 __ 3 11. 10 ___ 3 Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 12. 2 __ 3 5 __ 6 13. 1 1 __ 2 1 5 ___ 10 14. 3 1 __ 5 2 3 __ 7 15. 1 2 __ 3 1 4 __ 7 Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción simplificada a su mínima expresión. 16. 0,75 17. 19 ____ 100 18. 0,48 19. 2 __ 8 Usa una recta numérica para ordenar cada grupo de números de mayor a menor. 20. 3 __ 4 ; 0,45; 1 __ 2 21. 1,15; 6 __ 4 ; 1 3 __ 8 22. 3 __ 5 ; 1 ___ 10 ; 0,5 23. 1 __ 4 ; 0,23; 8 __ 5 Comprueba la resolución de problemas Resuelve. VOCABULARIO factor común múltiplo común fracciones equivalentes fracción en su mínima expresión Repaso/Prueba del capítulo 5 126 Ejemplo 2 Halla el número desconocido. 2 __ 3 5 2 8 ______ 51 . Enriquecimiento • Despejar incógnitas Inténtalo Resuelve. 1. 4 __ 5 5 ___ 60 Pista: es un número par mayor que 40, pero menor que 60 y la suma de los dígitos es 12. 2. 3 3 __ 4 5 135 ____ Pista: La suma de los dígitos es 9. 3. 7 ___ 13 5 28 ___ Pista: La suma de los dígitos es 7. Explica cómo hallarías el número desconocido en ___ 24 5 2 __ 3 . Paso 1 Haz una lista de todos los números pares mayores que 40 pero menores que 60. 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58 Paso 2 Halla un número en la lista cuyos dígitos sumen 12. 4 1 8 5 12 Entonces, el número desconocido 5 48. Paso 1 Halla una fracción equivalente a 2 _ 3 que tenga 51 como denominador. Entonces, divide 51 entre 3. 51 : 3 5 17 Paso 2 Como 3 • 17 5 51, multiplica: 2 • 17. 12 • 17 ______ 3 • 17 5 204 ____ 51 Paso 3 Resuelve el número desconocido. 2 8 5 204 212 2 8 5 204 Entonces, el número desconocido es 212. Puedes usar lo que sabes sobre fracciones equivalentes, fracciones impropias y números mixtos para resolver incógnitas. Ejemplo 1 Halla el número desconocido. 6 __ 7 5 ___ 56 Pista 1: El número desconocido es un número par de dos dígitos mayor que 40 pero menor que 60. Pista 2: La suma de los dígitos es 12. Usa las pistasUsa las pistasUsa las pistas Capítulo 5 127 Números y operaciones 1. ¿Qué expresión tiene el mismo valor que: 3 • (8 - 5) + 9? A (3 • 3) + 9 C 3 • (24 - 14) B (3 • 24) -14 D 3 • (3 + 9) Comprensión de los aprendizajes Patrones y álgebra 5. Si x = 7, ¿cuál es el valor de la expresión: 18- x? A 25 C 7 B 11 D 1 6. Había 12 estudiantes en el club de ajedrez. Luego se reunieron más estudiantes. ¿Qué expresión representa el número de estudiantes que hay ahora en el club? A 12 + e C 12 • e B 12 - e D 12 ÷ e 7. ¿Qué número representa m? 16 • m=144 A 3 C 14 B 9 D 128 8. Iván tenía 12 láminas de un álbum y tenía que completar 40. ¿Qué expresión representa la situación? A 12 + l = 40 C 40 + 12 = l B 12 - l = 40 D l - 12 = 40 9. Explica cómo resolver la siguiente ecuación: 4 + y = 12 A C B D 2. El número mixto 2 es equivalente a la fracción? A C B D 5 6 9 4 16 5 2 3 13 6 8 11 17 6 1 2 17 5 4 3 4. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la fracción representada en su mínima expresión? 3. ¿Qué recta numérica muestra representado por un punto? A B C D 128 Geometría - Medición 10. Rebeca utilizó 4 palitos de helado de 12 cm cada uno para formar un cuadrado. ¿Cuál es el perímetro de su cuadrado? A 24 cm C 48 cm B 36 cm D 60 cm 11. ¿Qué figura tiene los 3 lados de igual medida? A C B D 12. La vista superior corresponde a un: A Triángulo C Círculo B Cuadrado D Rectángulo 13. La vista lateral corresponde a un: A Triángulo C Círculo B Cuadrado D Rectángulo 14. Isabel jugaba con una cuerda de 18 cm y formó un triángulo de tres lados de igual medida. ¿Cuál es la medida de cada lado del triángulo? A 3 cm C 9 cm B 6 cm D 18 cm 15. Describe un pentágono y dibuja un ejemplo. 16. ¿Cuántos resultados posibles hay si lanzas una moneda? A 2 C 4 B 3 D 5 Para las preguntas 17, 18 y 19 utiliza el siguiente gráfico de barras que muestra el número de libros que leyó Claudia durante cuatro meses: 17. ¿Qué mes leyó más libros? A septiembre C noviembre B octubre D diciembre 18. ¿Qué meses leyó la misma cantidad de libros? A septiembre y octubre B octubre y noviembre C noviembre y diciembre D septiembre y diciembre Libros leídos por Claudia sep oct nov dic mes n ú m er o d e lib ro s 5 4 3 2 1 0 Datos y probabilidades 19. ¿Para qué sirve la escala del gráfico? Explica. Capítulo 5 129 CAPÍTULO La naranja se originó hace unos 20 millones de años en el sudeste asiático. La dispersión mundial de los cítricos se debió a los grandes movimientos migratorios de la humanidad. A Chile llegó con el descubrimiento de América y la Conquista, hace aproximadamente 400 años. El clima chileno es propicio para su cultivo. Chile es, actualmente, país exportador de naranjas. Investiga Imagina que comes parte de una naranja para el desayuno, y luego te comes el resto para el almuerzo. ¿De cuántas maneras podrías comerte la naranja? Elige la cantidad de secciones, de 8 a 11, para tu naranja. Escribe la cantidad de secciones de la naranja para ambas comidas en forma de fracción. Escribe tres pares de fracciones. 6 Sumar y restar fraccionesLa idea importante La suma y resta de fraccione se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes. DATO BREVE 130 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO fracciones equivalentes operaciones inversas número mixto convertir fracción en su mínima expresión PREPARACIÓN fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. fracción en su mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta o la multiplicación y la división. Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 6. u Fracciones equivalentes Encuentra dos fracciones equivalentes para cada ilustración. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. u Fracción en su mínima expresión Escribe cada fracción en su mínima expresión. 10. 2 __ 4 11. 4 __ 6 12. 2 __ 8 13. 3 __ 9 14. 6 ___ 10 15. 6 ___ 12 16. 8 ___ 10 17. 4 ___ 20 18. 8 ___ 12 19. 10 ___ 30 20. 15 ___ 25 21. 6 ___ 18 Capítulo 6 131 Materiales ■ barras de fracciones Puedes sumar y restar fracciones con denominadores semejantes usando barras de fracciones. Suma. 1 __ 8 1 5 __ 8 Coloca una de las barras de 1 _ 8 debajo de 1 barra de fracción de entero. 1 8 1 Coloca 5 barras más de 1 _ 8 para mostrar 5 _ 8 . Cuenta las barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar 2 _ 6 1 5 _ 6 . Sacar conclusiones 1. Con tus barras de fracciones, ¿cuántas barras de 1 _ 8 equivalen a 1 _ 2 ? ¿Qué sabes sobre 4 _ 8 y 1 _ 2 ? 2. Mira las barras de fracción que hiciste para D. ¿Cómo sabes si la suma de dos fracciones es mayor que 1? 3. Aplicación Muestra cómo aplicar el mismo método usando barras de fracciones para hallar 3 _ 5 2 1 _ 5 . Representar la suma y la resta OBJETIVO: representar la suma y la resta de fracciones con igual denominador. Repaso rápido Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 2 __ 4 2. 6 __ 8 3. 6 __ 6 4. 5 ___ 10 5. 2 __ 8 1 132 Paso Paso Paso Puedes usar las barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones. Resta. 7 ___ 10 2 3 ___ 10 Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. 2. 3. Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 4. 2 ___ 10 1 3 ___ 10 5. 5 ___ 12 1 2 ___ 12 6. 2 __ 3 21 __ 3 7. 2 __ 9 14 __ 9 8. 5 __ 6 22 __ 6 9. 2 __ 4 11 __ 4 10. 9 ___ 12 2 7 ___ 12 11. 3 __ 7 14 __ 7 12. Explica una regla que puedas usar para sumar o restar fracciones con denominadores semejantes. Coloca siete barras de 1 __ 10 debajo de la barra de fracción de 1 entero. 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 Coloca tres barras de 1 __ 10 debajo de las siete barras de 1 __ 10 para representar 3 __ 10 . 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 ? Compara las filas de barras. Halla la diferencia en su mínima expresión. 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 ? 1 10 1 10 1 10 1 10 7 ___ 10 2 3 ___ 10 5 4 ___ 10 5 2 __ 5 ¿Cómo hallarías 5 _ 6 2 2 _ 6 ? 8 ___ 10 2 2 ___ 10 4 __ 8 1 3 __ 8 2 __ 6 1 1 __ 6 1 1 6 1 6 1 6 1 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 11 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 ? Capítulo 6 133 Aprende Repaso rápido 2 Sumar y restar fracciones con igual denominador OBJETIVO: sumar y restar fracciones con igual denominador. PROBLEMA El glaciar de la laguna de San Rafael, al sur de Chile, es uno de los glaciares que retrocede con mayor rapidez. Algunos glaciares retroceden aproximadamente 78 metros, otros 114 metros por año. Imagina que en 2 años retrocede 2 __ 10 km y en otros dos años 3 __ 10 km. ¿Qué distancia en km retrocede el glaciar en cuatro años? Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 2 ___ 10 2. 6 __ 8 3. 4 __ 8 4. 2 __ 6 5. 6 __ 9 • Suma los numeradores. • Escribe la suma sobre el denominador. • Escribe la suma en su fracción en su mínima expresión. • Resta los numeradores. • Escribe la diferencia sobre el denominador. • Comprueba que la diferencia esté en su fracción en su mínima expresión. Sombrea 2 partes de un modelo de décimos. Sombrea 3 partes más. Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 5 __ 10 5 1 _ 2 Por lo tanto, el glaciar se desplaza 1 _ 2 km cada 4 años. Usa un dibujo. Usa papel y lápiz. Resta. 3 ___ 10 2 2 ___ 10 Sombrea 3 partes de un modelo de décimos. Resta 2 __ 10 . Traza una línea a través de dos partes. Escribe la fracción: 1 __ 10 . 1. Usa un dibujo para hallar 2 _ 8 1 4 _ 8 . Escribe la respuesta en su mínima expresión. Usa una representación Usa papel y lápiz. Suma. 2 _ 10 1 3 _ 10 2 ___ 10 + 3 ___ 10 = 5 ___ 10 = 1 __ 2 3 ___ 10 + 2 ___ 10 = 1 ___ 10 LE CC IÓN Práctica con supervisión 134 Comprensión de los aprendizajes Estación preferida 20 estudiantes otoño primavera verano 1 1 0 invierno 1 2 0 1 2 0 1 5 0 Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 2. 1 __ 4 12 __ 4 3. 3 __ 4 21 __ 4 4. 5 __ 8 13 __ 8 5. 2 __ 3 21 __ 3 6. 7 ___ 10 1 1 ___ 10 7. Explica cómo hallar 2 __ 12 1 4 __ 12 . Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 8. 1 ___ 10 1 3 ___ 10 9. 3 __ 6 21 __ 6 10. 4 __ 8 13 __ 8 11. 5 __ 7 23 __ 7 12. 7 ___ 12 1 5 ___ 12 13. 4 __ 4 21 __ 4 14. 2 __ 7 14 __ 7 15. 5 __ 8 23 __ 8 16. 1 __ 3 11 __ 3 17. 3 __ 8 21 __ 8 Halla el número que falta en cada . 18.14 __ 9 57 __ 9 19. 3 __ 4 251 __ 4 20. 1252 __ 3 21. 9 ___ 12 1 511 ___ 12 USA DATOS Para 22–24, usa el gráfico. 22. ¿Qué fracción de estudiantes eligió la primavera y el verano como su estación preferida? 23. Razonamiento ¿Cuáles dos estaciones fueron elegidas por 1 _ 5 de los estudiantes? 24. ¿Cuál es el error? Para hallar la diferencia entre la cantidad de estudiantes que eligió el verano y la cantidad que eligió el invierno, Clara calculó 5 __ 10 2 2 __ 10 y obtuvo 3. ¿Cuál es su error? Álgebra 25. Compara. Escribe ,, ., o 5. 1840,0991840,215 26. Karina corrió 1 _ 4 de kilómetro. Escribe la distancia que corrió en forma de decimal. 27. Escribe la fracción 37 __ 8 en forma de número mixto. 28. Álvaro vertió 1 _ 4 de taza de jugo de naranja y 3 _ 4 de taza de jugo de piña en un vaso. ¿Cuántas tazas de jugo hay en el vaso? A 1 __ 4 de taza C 3 __ 4 de taza B 3 __ 8 de taza D 1taza Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 152, Grupo A Capítulo 6 135 3 Aprende la estrategia Trabajar desde el final hasta el principio puede ayudarte a resolver un problema. Puedes usar esta estrategia cuando sabes cómo termina una situación pero no sabes cómo empieza. Estrategia: trabajar desde el final hasta el principio OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia trabajar desde el final hasta el principio. Trabaja desde el final hasta el principio en una recta numérica. Isabel pagó $32000 por 3 tarros de pelotas de tenis de lanzamiento rápido y una raqueta de tenis. La raqueta costó $20000. Ella no recuerda el precio exacto de las pelotas de tenis. ¿Puedes hallar cuánto pagó Isabel por cada tarro de pelotas de tenis? Sí puedes. ¡Trabaja desde el final hasta el principio! Escribe la ecuación. ($ · 3 tarros de pelotas de tenis) 1 raqueta 5 total ( · 3) 1 $ 20 5 $ 32 Trabaja desde el final hasta el principio usando operaciones inversas. 5 (32 2 20) : 3 5 12 : 3 5 4 Por lo tanto, Isabel pagó $4000 por cada tarro de pelotas de tenis. Comprueba tu respuesta. ($ 4 000 · 3) 1 $ 20 000 5 $ 32 000 $ 12 000 1 $ 20 000 5 $ 32 000 $ 32 000 5 $ 32 000 ✓ ¿Por qué es importante comprobar tu respuesta cuando usas la estrategia de trabajar desde el final hasta el principio? Explica cómo puedes comprobar tu respuesta. Comenzando desde el 3 en la recta numérica, mueve 1 3 _ 8 , u 11 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 5 octavos hacia la izquierda. Por lo tanto, Soledad usó 1ovillo de lana roja. Soledad tejió un poncho para el invierno. Usó en total 3 ovillos de lana café, roja y amarilla. Primero usó 1 3 _ 8 de ovillo de lana café y 5 _ 8 de ovillo de lana amarilla. Si el resto de lana era roja, ¿cuánto de la lana roja usó Soledad? Trabaja desde el final hasta el principio con una ecuación. LE CC IÓN 5 8 3 81 1 30 136 • Identifica los pasos del problema. • ¿Qué parte del problema es una incógnita? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes trabajar desde el final hasta el principio para resolver el problema. • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica que muestre octavos. Trabaja desde el final hasta el principio. Comenzando desde1 7 _ 8 , mueve 7 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 3 octavos hacia la izquierda. Solo quedan 5 octavos más antes del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, usaron 5 8 de metro de fieltro para el títere mediano. • ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta? • ¿De qué otras maneras podrías resolver este problema? 7 8 3 8 7 81 1 Usa la estrategia PROBLEMA La clase de quinto básico del señor Pérez está presentando un espectáculo de títeres sobre seguridad para el primer y el segundo básico. Para hacer sus propios títeres, los estudiantes de quinto año de enseñanza básica compraron 1 7 _ 8 metro de fieltro para tres títeres de distinto tamaño. Cortaron 3 _ 8 de metro para el títere más pequeño y 7 _ 8 de metro para el títere más grande. ¿Cuántos metros de fieltro usaron los estudiantes para el títere mediano? 0 Capítulo 6 137 Resolución de problemas con supervisión Materiales para el espectáculo de títeres Material Cantidad Madera metro Pintura litro Fieltro metro 37 1 3 2 1 4 9 5 6 01 23 4 567 89 10 1. Para construir el escenario de los títeres para su espectáculo, los estudiantes usaron un total de 9 5 _ 6 metros de fieltro para hacer la cortina, el techo y la falda del escenario. Si usaron 3 1 _ 6 metros para la cortina y 3 5 _ 6 metros para la falda, ¿cuántos metros de fieltro usaron para el techo? Primero, haz una recta numérica que muestre de 0 a 10. Divide cada sección en sextos. Luego, trabaja desde el final hasta el principio en la recta numérica. Finalmente, comprueba tu respuesta. 2. ¿Qué pasaría si los estudiantes tuvieran 2 5 _ 6 metros para la cortina? ¿Cuánto fieltro se usaría para el techo? 3. Veinte minutos antes de empezar el espectáculo, los estudiantes todavía estaban trabajando en el escenario. Javiera tardó 12,5 minutos en corchetear la falda y luego le pasó la corchetera a Carlos, quien tardó 6,75 minutos en corchetear el techo. Cuando terminaron, ¿cuántos minutos quedaban para empezar el espectáculo? Trabaja desde el final hasta el principio para resolver los problemas 4. Los estudiantes tenían11 __ 12 de hora para ver un espectáculo de títeres acerca de la seguridad. El primer 5 __ 12 de hora se trató sobre la seguridad en el patio de juegos, y el siguiente 2 __ 12 de hora se trató sobre la seguridad en la cafetería. Las dos primeras partes del espectáculo provocaron más risas de lo esperado y se extendió por 1 __ 12 de hora. El resto del tiempo se trató sobre cómo cruzar una calle concurrida. ¿Cuánto tiempo tuvieron los estudiantes para la última parte del espectáculo que trataba sobre cómo cruzar una calle concurrida? USA DATOS Para 5–7, usa la tabla de datos. 5. Los estudiantes usaron 2 _ 4 de una lata de un litro de pintura para los carteles y 3 _ 4 de una lata de un litro de pintura para utilería. ¿Cuántos litros de lata de pintura quedaron para pintar el decorado del fondo? 6. Para construir el escenario de los títeres, los estudiantes usaron dos marcos en forma de U sostenidos por 4 patas. Para cada marco en forma de U se usaron 11 1 _ 3 metros de madera. ¿Cuánta madera usaron los estudiantes para las 4 patas? 7. Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la longitud de cada pata usada para sostener el escenario de los títeres. Muestra tu trabajo. Resolución de problemas • Práctica de estrategias 138 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA Práctica de estrategias mixtas USA DATOS Para 8–11, usa la tabla. 8. En la sala de teatro Agustín Siré, de la Facultad de Arte de la Universidad de Chile, la taquilla abrió al mediodía para vender entradas. A las 12:10, ya se habían vendido 20 entradas. A las 12:20, se habían vendido 40 entradas. Al final de la primera media hora, se habían vendido 60entradas. Si el patrón continúa, ¿a qué hora se habrán vendido todas las entradas? 9. El teatro La Memoria de Santiago tiene 3 espectáculos el sábado por la tarde, mientras que el teatro Huemul tiene 1 espectáculo. Si ambos teatros tuvieran la sala llena, ¿cuál vendería la mayor cantidad de entradas ese día? ¿Cuántas entradas más venderá ese teatro? 10. Formula un problema Vuelve al Problema 9. Escribe un problema similar cambiando el teatro y el patrón. 11. Problema abierto Imagina que hay un intervalo de 25 minutos entre los espectáculos en el teatro Condell en Valparaíso. Si el teatro está abierto desde la 1:00 p.m. hasta las 4:30 p.m., ¿cuántas entradas podrá vender? ¿Cómo podría el teatro cambiar la duración del espectáculo o el intervalo entre los espectáculos para poder vender más entradas? ESFUÉRZATE UNICEF, el Fondo de las Naciones Unidas para la infancia, usa títeres en sus programas como herramienta para educar y entretener. En el país africano de Namibia, los adolescentes usan títeres para enseñar acerca de la seguridad. En una plaza del pueblo, 2 000 personas miran el espectáculo de títeres que tiene una hora de duración. 12. En Vietnam, un espectáculo de títeres similar atrae a un promedio de 1200 personas. Si en Vietnam hay seis espectáculos de títeres al mes, aproximadamente, ¿cuántas personas pueden ver el espectáculo de títeres de UNICEF cada mes? Nombre, Ciudad Teatro Condell, Valparaíso Sala Agustín Siré, Santiago Teatro Huemul, Santiago Teatro La Memoria, Santiago Cantidad de asientos 300 160 500 100 Tamaño del escenario Largo x ancho (en pies) 18 x 14 12 x 12 20 x 8 6 x 7 Duración del espectáculo (en minutos) 55 40 45 30 Teatros de títeres 13. En Namibia, 2 _ 5 de los titiriteros tienen de 12 a 14 años. Del resto de los titiriteros, uno de cada tres tiene de 10 a 11 años. ¿Cuántos quintos del total de los titiriteros tienen de 10 a 11 años? Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Capítulo 6 139 1 1 4 1 2 ? Materiales ■ barras de fracciones Puedes usar barras de fracciones para sumar fracciones con distinto denominador. Halla 1 _ 2 1 1 _ 4 . Coloca una barra de 1 _ 2 y una de 1 _ 4 debajo de una barra de fracción de entero. Halla barras de fracciones de igual denominador que coincidan exactamente debajo de la suma 1 _ 2 1 1 _ 4 . Registra la suma en su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar 3 _ 5 1 1 _ 2 . Registra la suma. Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para que coincidieran exactamente debajo de 1 _ 2 1 1 _ 4 ? ¿Podrías haber usado cualquier otra barra de fracciones de igual denominador? Si es así, ¿cuáles habrías usado? 2. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para hallar 3 _ 5 1 1 _ 2 ? ¿Es la suma mayor o menor que 1? 3. Análisis En tu representación de 3 _ 5 1 1 _ 2 , ¿cuántas barras de 1 __ 10 equivalen a 3 _ 5 ? ¿Cuántas equivalen a 1 _ 2 ? ¿Qué sabes sobre 3 _ 5 y 6 __ 10 ? ¿Y sobre 1 _ 2 y 5 __ 10 ? Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 1. 1 __ 4 1 1 __ 4 2. 3 __ 8 2 1 __ 8 3. 4 __ 8 1 3 __ 8 4. 5 ___ 10 2 2 ___ 10 5. 1 __ 5 1 4 __ 5 Representar la suma de fracciones con distinto denominador OBJETIVO: representar la suma con fracciones de distinto denominador. 1 1 4 1 2 4 140 Paso Paso 1 1 1 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 1 3 1 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 2 3 4 6 1 6 1 6 4 6 1 6 5 6Por lo tanto, 1 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 2 1 5 1 5 Cuando hallas las barras de fracciones que coinciden exactamente debajo de una suma, has hallado fracciones equivalentes. Halla: 2 __ 3 1 1 __ 6 . Coloca dos barras de fracciones de 1 _ 3 debajo de una barra de 1. Luego coloca una barra de fracciones de 1 _ 6 al lado de las dos barras de 1 _ 3 . Halla barras de fracciones con igual denominador que sean equivalentes a 2 _ 3 y 1 _ 6 . Suma las fracciones con igual denominador. Halla la suma. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. 2. 3. 1 __ 2 1 3 __ 8 3 __ 81 1 __ 4 1 __ 2 1 2 __ 5 Halla la suma usando barras de fracciones. Escríbela como fracción simplificada a su mínima expresión. 4. 2 __ 5 1 3 ___ 10 5. 1 __ 4 1 2 ___ 12 6. 1 __ 2 1 3 ___ 10 7. 1 __ 2 1 1 __ 3 8. 1 __ 4 1 4 ___ 12 9. 1 __ 3 1 3 __ 6 10. 1 __ 5 1 1 ___ 10 11. 3 __ 4 1 1 __ 3 12. 3 __ 4 11 __ 6 13. 2 __ 5 1 1 __ 2 14. 2 __ 3 1 1 __ 4 15. 3 __ 4 1 5 __ 6 16. Explica cómo sumar 2 _ 8 y 3 _ 4 usando barras de fracciones. ¿Qué fracciones equivalentes usarías para hallar 1 _ 2 1 3 _ 4 ? Paso Capítulo 6 141 Halla la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 1. 3 __ 4 2 1 __ 4 2. 5 __ 8 2 2 __ 8 3. 2 __ 3 2 1 __ 3 4. 4 __ 5 2 2 __ 5 5. 10 ___ 10 2 8 ___ 10 Materiales ■ barras de fracciones Puedes usar barras de fracciones para restar fracciones con distinto denominador. Halla 3 _ 4 2 1 _ 8 . Coloca tres barras de 1 _ 4 debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 1 _ 8 debajo de las barras de 1 _ 4 . Compara las barras. Halla barras de fracciones con igual denominador que coincidan exactamente debajo de la diferencia 3 _ 4 2 1 _ 8 . Anota la diferencia. Usa barras de fracciones para hallar 1 _ 3 2 1 _ 4 . Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para que coincidieran exactamente debajo de 3 _ 4 2 1 _ 8 ? 2. ¿Qué barras de fracciones igual denominador usaste para hallar 1 _ 3 2 1 _ 4 ? 3. Análisis En tu representación de 1 _ 3 2 1 _ 4 , ¿cuántas barras de 1 __ 12 equivalen a 1 _ 3 ? ¿Cuántas equivalen a 1 _ 4 ? ¿Qué sabes sobre 1 _ 3 y 4 __ 12 ? ¿Y sobre 1 _ 4 y 3 __ 12 ? Representar la resta de fracciones con distinto denominador OBJETIVO: restar fracciones con distinto denominador usando barras de fracciones. 1 1 4 1 4 1 4 ? diferencia18 1 1 4 1 4 1 4 1 8 5 142 1 3 1 3 1 1 4 ? 1 3 1 3 1 1 4 ? diferencia 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 PasoPaso 1 5 1 5 ? 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 3 1 3 ?16 110 1 10 1 10 1 2 ? Puedes usar barras de fracciones con igual denominador semejantes para restar fracciones con distinto denominador. Resta. 2 _ 3 2 1 _ 4 Coloca dos barras de 1 _ 3 debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 1 _ 4 debajo de las dos barras de 1 _ 3 . Halla barras de fracciones con igual denominador que coincidan exactamente debajo de la diferencia 2 _ 3 2 1 _ 4 . ¿Qué fracciones con igual denominador usarías para hallar 5 _ 6 2 1 _ 2 ? Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. 7 ___ 10 2 2 __ 5 2. 2 __ 3 2 1 __ 6 3. 1 __ 2 2 3 ___ 10 Halla la diferencia usando barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 4. 3 __ 5 2 3 ___ 10 5. 5 ___ 12 2 1 __ 3 6. 1 __ 2 2 1 ___ 10 7. 3 __ 5 2 1 __ 2 8. 7 __ 8 2 1 __ 4 9. 2 __ 3 2 3 __ 6 10. 3 __ 4 2 1 __ 3 11. 5 __ 6 2 1 __ 2 12. Explica cómo usar barras de fracciones para hallar 3 _ 4 2 5 _ 8 . Por lo tanto, 2 __ 3 2 1 __ 4 5 5 ___ 12 Capítulo 6 143 Aprende Paso Paso Paso Paso Usar denominadores comunes OBJETIVO: usar un denominador común para sumar y restar las fracciones con distinto denominador Doñihue es un pueblo lleno de tradiciones, como por ejemplo las chamanteras, personas dedicadas a la confección de mantas. Imagina que 1 _ 2 chamanto se teje en un mes y 1 _ 4 en dos semanas. ¿Qué cantidad de la manta se ha tejido? Halla un múltiplo común para cada par. 1. 2 y 4 2. 5 y 10 3. 4 y 6 4. 3 y 9 5. 6 y 10 Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, exprésalas como fracciones con un denominador común. Ejemplo 1 Suma. 1 __ 2 1 1 __ 4 Por lo tanto, se ha tejido 3 _ 4 de la manta. • Elena estimó que la suma se acerca a 1 _ 2 . ¿Es razonable su estimación? Imagina que una tejedora de chamanto tenía 5 _ 6 de madeja de lana para terminar una de estas mantas. Necesitaba solo 3 _ 4 madeja para acabar una manta. ¿Qué cantidad de madejas quedó cuando acabó la manta? Ejemplo 2 Resta. 5 __ 6 2 3 __ 4 Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 2 • 4 5 8 denominador común Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Por lo tanto, a la tejedora de chamantos le quedó 1 __ 12 de madeja de lana. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 6 • 4 5 24 denominador común Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego resta. Idea matemática Primero estima la respuesta. Luego compárala con la respuesta exacta para ver si es razonable. 1 __ 2 = 1 __ 4 ; 4 __ 8 = 2 __ 8 5 __ 6 - 3 __ 4 = 20 __ 24 - 18 __ 24 4 __ 8 + 2 __ 8 = 6 __ 8 = 3 __ 4 20 __ 24 - 18 __ 24 = 2 __ 24 = 1 __ 12 6LEC CI ÓN Vocabulario mínimo común denominador (m.c.d.) mínimo común múltiplo (m.c.m.) ← fracción en su mínima expresión ← fracción en su mínima expresión 144 Recuerda Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, también puedes escribir fracciones equivalentes con el mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor múltiplo común de dos o más denominadores. Ejemplo 3 Suma. 1 __ 4 1 3 __ 8 Una tejedora de chamantos compró hilo de seda y lana para tejer los diseños en sus mantas . Compró 1 _ 4 de kilogramo de hilo de seda y 3 _ 8 de kilo de lana natural. ¿Cuántos kilógramos de materiales compró? Por lo tanto, la tejedora de chamantos compró 5 _ 8 de kilógramo de materiales. Más Ejemplos Para hallar el mínimo común denominador, primero halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. Usa un denominador común. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 4 • 8 5 32 ← denominador común Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Usa el mínimo común denominador (m.c.d.) Haz una lista de los múltiplos de cada denominador. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 El mínimo común múltiplo es 8. Por lo tanto, el m.c.d. de 1 _ 4 y 3 _ 8 es 8. Escribe fracciones equivalentes. Luego suma. Suma. 1 __ 6 1 1 __ 2 Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Resta. 11 ___ 12 2 5 __ 8 Halla el mínimo común denominador. Luego escribe fracciones equivalentes para restar. Por lo tanto, 1 __ 6 1 1 __ 2 5 2 __ 3 . Por lo tanto, 11 ___ 12 2 5 __ 8 5 7 ___ 24 . 11 ___ 12 • 2 __ 2 5 22 ___ 24 5 __ 8 • 3 __ 3 5 15 ___ 24 22 ___ 24 - 15 ___ 24 5 7 ___ 24 11 ___ 12 2 5 __ 8 1 __ 4 = 8 __ 32 ; 3 __ 8 = 12 __ 32 8 __ 32 + 12 __ 32 = 20 __ 32 = 5 __ 8 ← fracción en su mínima expresión 1 __ 4 = 1 __ 4 • 4 __ 8 = 2 __ 8 1 __ 6 + 1 __ 2 2 __ 8 + 3 __ 8 = 5 __ 8 1 __ 2 • 3 __ 3 = 3 __ 6 1 __ 6 + 3 __ 6 = 4 __ 6 = 2 __ 3 ← fracción en su mínima expresión → entonces → Convertir a fracción equivalente ← igualar denominadores → Capítulo 6 145 Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. 8. 3 __ 5 11 __ 4 9. 5 __ 8 11 __ 5 10. 1 ___ 12 11 __ 2 11. 7 ___ 10 11 __ 5 12. 2 __ 7 1 3 ___ 10 13. 5 __ 6 23 __ 8 14. 3 __ 4 21 __ 2 15. 7 __ 8 21 __ 6 16. 3 __ 7 2 3 ___ 14 17. 5 ___ 12 21 __ 4 Halla el número que falta para cada . Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. 18. 5 __ 8 253 __ 8 19. 1 __ 6 151 20. 9 ___ 10 251 __ 5 21. 5 ___ 12 151 __ 2 Para 22–24, usa la ilustración. 22. Sara hace un cinturón para una muñeca usando el siguiente diseño de piedras. ¿Qué fracción de las piedras en su diseño son azules o rojas? 23. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta es 2 __ 15 del patrón. 24. Al hacer el cinturón, Sara quiere repetir el patrón de piedras tres veces. Tiene un total de 21 piedras rojas, 18 piedras azules y 19 piedras blancas. Escribe una fracción que represente el número de piedras que le quedarán. Comprensión de los aprendizajes Álgebra Práctica adicional en la página 152, Grupo C 25. Eric tiene 4 bombillas rojas, 2 bombillas azules, y 6 bombillas amarillas. Si elige una sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que elija la roja? 26. 420 : 15 5 27. Escribe dos fracciones equivalentes para 24 __ 32 usando denominadores menores que 32. 28. Carlos plantó 2 _ 3 del jardín con caléndulas y 1 _ 6 del jardín con petunias. ¿Qué parte del jardín plantó con estas flores? A 1 __ 6 C 5 __ 6 B 1 __ 2 D 1 1. Copia el problema de la derecha. Muestra cómo restar fracciones con distinto denominador escribiendo fracciones equivalentes. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 2. 3 __ 4 21 __ 8 3. 2 __ 5 1 3 ___ 10 4. 1 __ 4 21 __ 7 5. 5 ___ 12 11 __ 3 6. 9 ___ 10 21 __ 2 7. Explica cómo puedes usar múltiplos comunes para sumar 7 _ 8 y 1 _ 3 . Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas 4 __ 5 - 2 __ 6 ___ 30 - ___ 30 ↓ ↓ 146 Variedad de patrones Una de las artesanías de los pueblos originarios más conocidas de la antigüedad es la cestería. Diferentes tribus usaban distintos materiales, como madera, pasto, agujas de pino, o ramas de sauce, según lo que encontraban disponible en su entorno. Los patrones y materiales en los canastos podrían usarse para identificar a la tribu que los tejió. Estos patrones, como los patrones en matemáticas, a menudo seguían una regla, como: multiplica por 5 o suma 1 _ 4 . Busca el patrón en esta lista de fracciones. 1 _ 4 , 2 _ 4 , 3 _ 4 , 4 _ 4 , 5 _ 4 ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los numeradores? ¿Cuál es la regla del patrón? Usar recursos visuales puede ayudarte a resolver el problema. Elige un recurso visual que te ayude a plantear el problema o su solución. Por ejemplo, puedes usar una recta numérica para representar las fracciones. 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 0 Piensa: Para resolver el problema, también puedes usar recursos visuales como tiras de fracciones o representación de fracciones. Recursos visuales Resolución de problemas Usa un recurso visual para resolver el problema. 1. Resuelve el problema de arriba. 2. a. ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los denominadores? 1 __ 2 , 1 __ 3 , 1 __ 4 , 1 __ 5 , 1 __ 6 , 1 _ n b. ¿Cuál es la próxima fracción en el patrón? q Estos canastos muestran los diferentes tipos de patrones que usaban los pueblos originarios americanos en las artesanías. Capítulo 6 147 Aprende Paso Paso Paso Paso Sumar y restar fracciones OBJETIVO: usar el mínimo común múltiplo para sumar y restar fracciones. Se midió la longitud del caparazón de una tortuga marina verde durante dos años. El primer año, el caparazón creció 2 _ 5 de metro. El segundo año, el caparazón creció 3 __ 10 de metro. ¿Cuánto creció el caparazón durante el período de los dos años? Ejemplo 1 Suma. 2 __ 5 1 3 ___ 10 Estima la suma o la diferencia. 1. 1 __ 2 1 1 __ 7 2. 3 __ 5 2 1 __ 8 3. 1 __ 6 1 7 __ 8 4. 3 __ 4 2 3 __ 5 5. 7 ___ 12 1 2 __ 5 Por lo tanto, el caparazón de la tortuga gigante creció 7 __ 10 de metro en dos años. Ejemplo 2 El caparazón de una tortuga carey adulta mide 3 _ 4 de metro de longitud aproxi- madamente. El caparazón de una cría mide 1 _ 5 de metro. ¿Qué diferencia de longitud hay entre sus caparazones? Resta. 3 __ 4 2 1 __ 5 El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Por lo tanto, el m.c.d. de 3 _ 4 y 1 _ 5 es 20. Usa el m.c.d. para cambiar las fracciones a fracciones equivalentes. Resta las fracciones. Si es necesario, escribe la respuesta en su mínima expresión. Por lo tanto, la diferencia entre las longitudes es de 11 __ 20 metro. Idea matemática Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) para escribir fracciones equivalentes. Luego suma o resta los numeradores. fracción en su mínima expresión. ← Podemos amplificar una de las fracciones para igualar los denominadores y así sumar las fracciones. En este caso, amplificamos por 2 la fracción 2 _ 5 y queda la fracción 4 __ 10 . Suma las fracciones. Escribe la respuesta en su mínima expresión. 4 ___ 10 1 3 ___ 10 = 7 ___ 10 7LEC CI ÓN Práctica adicional en la página 152, Grupo B 3 ___ 4 = 3 • 5 ____ 4 • 5 = 15 ___ 20 15 ___ 20 – 4 ___ 20 = 11 ___ 20 1 ___ 5 = 1 • 4 ____ 5 • 4 = 4 ___ 20 2 • 2 5 v 2 4 10 4 10 3 10 + = + = 148 Comprensión de los aprendizajes 1. Observa el problema de la derecha. Halla la suma de las fracciones escribiendo fracciones semejantes. Escribe la respuesta como fracciónen su mínima expresión. Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 2. 3 __ 4 1 1 __ 8 3. 7 ___ 10 2 2 __ 5 4. 1 __ 5 1 1 __ 6 5. 2 __ 3 2 1 __ 4 6. 5 __ 8 1 1 __ 3 7. Explica cómo sabes que 11 __ 20 está simplificada. 24. 6 ___ 10 1 7 ___ 10 5 25. ¿Cómo se escribe el decimal 0,45 en forma de fracción? 26. ¿Cuál es el m.c.d. de 3 _ 4 y 1 _ 3 ? 27. Romina tardó 1 _ 3 de hora en caminar a la biblioteca y luego 1 _ 4 de hora en caminar a la casa de Ana. ¿Cuánto tiempo tardó Romina en total en caminar a ambos lugares? A 1 _ 6 de hora C 7 __ 12 de hora B 1 _ 2 hora D 3 _ 4 de hora Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 8. 3 __ 7 1 1 __ 8 9. 3 __ 4 2 1 __ 2 10. 2 __ 3 1 1 __ 4 11. 5 __ 6 2 2 __ 3 12. 7 __ 8 1 1 __ 4 13. 4 __ 9 2 1 __ 6 14. 1 __ 3 1 1 __ 5 15. 1 2 3 ___ 10 16. 3 ___ 10 1 3 __ 4 17. 6 __ 7 2 2 ___ 14 Compara. Escribe , o . en cada . 18. 1 __ 3 1 1 __ 8 2 __ 3 1 1 __ 7 19. 5 __ 6 2 1 __ 4 9 ___ 10 2 1 __ 2 20. 1 __ 4 1 3 __ 8 2 __ 3 2 1 __ 2 Para 21–23, usa las ilustraciones. 21. ¿Cuánto más larga es la tortuga A que la tortuga B? 22. ¿Qué diferencia de longitud hay entre la tortuga carey más grande y la tortuga carey más pequeña? 23. ¿Cuál es el error? Sara dijo que si la tortuga C creciera 1 _ 3 de metro más, mediría 3 _ 5 de metro de longitud. Describe su error. Escribe la respuesta correcta. Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas C 2 5 m A 3 4 m B 2 3 m 3 __ 2 5 __ 4 + 3 __ 4 5 __ 4 Capítulo 6 149 Estrategia: comparar estrategias OBJETIVO: comparar diferentes estrategias para resolver problemas. • Haz un resumen de lo que debes hacer. • ¿Qué información se da? • ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? A menudo puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa material concreto y trabaja desde el final hasta el principio. • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? • ¿Qué otra estrategia podrías usar para resolver el problema? Usa la estrategia PROBLEMA En la clase de Ciencias de Natalia, los estudiantes observan el total de precipitación mensual. Al final de cada semana, registran la cantidad de lluvia que cayó. Al final de la tercera semana, había caído un total de 5 _ 6 milímetros de lluvia, 2 _ 5 milímetros más que la cantidad de lluvia registrada al final de la semana 2. Durante la semana 2, cayó 1 _ 3 de milímetros más de lluvia que la semana anterior. ¿Cuál fue la cantidad de precipitación en la semana 1? Hacer una representación Puedes usar barras de fracciones para hallar los datos que faltan. 1 6 1 6 1 6 1 5 1 5 1 6 1 6 1 3 1 10 5 __ 6 51 __ 3 12 __ 5 1 1 ___ 10 Trabajar desde el final hasta el principio Puedes escribir una ecuación para mostrar el total de precipitación. n 5 5 __ 6 2 2 __ 5 2 1 __ 3 n 5 25 ___ 30 2 12 ___ 30 2 10 ___ 30 n 5 3 ___ 30 , or 1 ___ 10 Halla un común denominador. semana 1 1 semana 2 1 semana 3 5 total n 1 1 __ 3 1 2 __ 5 5 5 __ 6 Por lo tanto, cayó 1 __ 10 de milímetro de lluvia en la semana 1. 8LEC CI ÓN 150 Día LUNES MARTES MIÎRCOLES JUEVES VIERNES SÃBADO DOMINGO ⅖ 0 0 ⅕ 230 110 0 130 0 0 0 110 215 ⅘ 190 0 0 ½ 210 110 101 0 170 101 0 0 130 0 0 130 Precipitaciones en las comunas (milímetros) Los Vilos Illapel Combarbalá Salamanca Precipitación en la Región de Coquimbo durante una semana de agosto Práctica de estrategias mixtas ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA 1. David trabajó durante 7 1 _ 2 horas en su proyecto de ciencias. Pasó 1 1 _ 2 horas leyendo su revista de ciencias y 2 4 _ 5 horas construyendo una representación. Luego pasó el resto del tiempo haciendo carteles para el proyecto. ¿Cuántas horas pasó David haciendo carteles? Primero, usa la estrategia hacer una representación. Luego, usa la estrategia trabajar desde el final hasta el principio. Finalmente, compara las respuestas. 2. ¿Qué pasaría si David hubiera trabajado durante 6 4 _ 5 horas en su proyecto de ciencias? ¿Cuántas horas habría pasado David haciendo carteles? 3. David compró algunos artículos para el proyecto de Ciencias. Gastó $399 en cartulina, $120 en pegamento, y $455 en un lápiz. Si David tenía $1570 cuando salió de la tienda, ¿cuánto dinero tenía antes de hacer las compras? 4. En la clase de Ciencias de la señorita Gómez, 1 _ 3 de los proyectos tenía que ver con el clima, 1 _ 6 tenía que ver con los terremotos, y 1 _ 4 tenía que ver con el agua y los ecosistemas. El resto de los proyectos tenía que ver con los volcanes. ¿Qué fracción de los proyectos de Ciencias tenía que ver con los volcanes? 5. Julia está construyendo una base rectangular para la estación meteorológica de la escuela. El perímetro es 3 2 _ 3 metros. Si el ancho es 1 _ 3 de metro, ¿cuál es la longitud? USA DATOS Para 6–9, usa la tabla. 6. Ordena las cuatro ciudades de menor a mayor según la cantidad de precipitación que hubo el lunes. 7. ¿En qué día cayó la misma cantidad de precipitación, mayor que cero, en dos ciudades? ¿Cuáles fueron las dos ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 8. ¿En qué día la suma de la precipitación en dos ciudades fue igual a la cantidad de precipitación que cayó en una tercera ciudad? ¿Cuáles fueron las ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 9. Explica cómo podrías usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver uno de los problemas de arriba. Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Capítulo 6 151 11. 7 ___ 12 11 __ 6 12. 7 __ 8 21 __ 2 13. 1 __ 41 3 __ 6 14. 7 __ 82 1 __ 4 15. 5 __ 72 1 __ 3 16. 6 ___ 11 11 __ 3 17. 5 __ 6 21 __ 2 18. 3 __ 4 12 __ 5 19. 4 __ 5 21 __ 6 20.11 ___ 12 11 __ 5 21. Mario tardó 2 _ 3 de hora en caminar a la escuela y 1 _ 6 de hora en caminar de la escuela a la biblioteca. ¿Cuánto tardó Mario en total, caminando a la escuela y luego a la biblioteca? 22. Nancy estudió 10 __ 12 de hora. Liliana estudió 3 _ 4 de hora. ¿Cuánto tiempo más que Liliana estudió Nancy? Halla el número que falta en cada . 9. 3 __ 8 157 __ 8 10. 7 ___ 12 2 51 __ 2 11. 2 1 __ 4 55 __ 8 12. 5 __ 6 2 51 __ 3 Álgebra Grupo B Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Grupo A Halla la suma o la diferencia. Grupo C Halla el mínimo común denominador (m.c.d.) en las fracciones. 1. 4 __ 5 1 1 ___ 10 2. 7 __ 9 21 __ 3 3. 3 __ 8 11 __ 2 4. 11 ___ 12 25 __ 6 5.2 __ 7 11 __ 2 6. 8 __ 9 22 __ 3 7. 3 __ 5 1 2 ___ 10 8. 5 __ 8 21 __ 4 9. 3 __ 5 24 __ 7 10. 9 ___ 12 22 __ 3 1. 3 __ 5 11 __ 5 2. 7 __ 9 12 __ 9 3. 7 ___ 10 25 ___ 10 4. 3 __ 7 21 __ 7 5. 4 __ 9 23 __ 9 6. 3 __ 8 14 __ 8 7. 5 ___ 12 17 ___ 12 8. 2 __ 3 11 __ 3 1. 1 __ 5 y 2 __ 3 2. 3 __ 4 y 5 ___ 12 3. 2 __ 9 y 4 __ 6 4. 6 ____ 11 y 2 __ 7 5. 3 __ 5 y 3 ____ 10 6. 1 __ 4 y 1 __ 8 7. 3 __ 5 y 2 ___ 15 8. 5 ___ 12 y 1 __ 5 1 Práctica adicional 152 Capítulo 6 153 Jugadores 4 estudiantes Materiales 4 conjuntos de tarjetas de números (1–8) Cada jugador hace un esquema de situaciones de resta en un papel. El primer jugador mezcla las tarjetas de números y reparte 4 tarjetas a cada jugador. Con base en sus tarjetas, los jugadores tratan de formar dos fracciones que tengan la menor diferencia posible. Los jugadores muestran sus ejercicios de resta, colocándolos en el esquema. Los jugadores resuelven los ejercicios de los demás para determinar cuál resulta en la menor diferencia. El jugador que plantea el ejercicio con la menor diferencia obtiene 1 punto y vuelve a mezclar las tarjetas para la próxima ronda. Gana el juego el primer jugador que obtenga 5 puntos. 1 2 3 4 5 6 7 8 =–— — ¿Cuál es la diferencia? ¿Cuál es la diferencia? 5 1 26 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Una ____________ es aquella que podemos graficar y ubicar en la recta numérica en el mismo lugar. 2. Explica cómo puedes usar barras de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores no semejantes. Comprueba tus destrezas Estima cada suma o diferencia. 3. 7 __ 9 22 __ 5 4. 7 __ 8 12 __ 3 5. 7 ___ 11 11 __ 3 6. 4 __ 7 11 __ 2 7. 5 __ 6 21 __ 8 Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 8. 7 __ 8 23 __ 4 9. 4 __ 9 11 __ 3 10. 8 ___ 10 23 __ 5 11. 2 __ 3 1 1 ___ 12 12. 5 __ 6 21 __ 4 Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 13. 3 __ 8 21 __ 6 14. 1 __ 3 11 __ 4 15. 12 7 ___ 10 16. 9 ___ 10 11 __ 4 17. 5 __ 8 2 3 ___ 16 Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 18. Ana usó 3 _ 8 de taza de arándanos para hacer pastelitos. Usó 1 _ 4 de taza de arándanos menos para hacer una tarta. ¿Qué fracción de arándanos le queda a Ana para preparar un jugo de arándanos? 19. La distancia desde el centro comercial hasta la biblioteca es 9 __ 10 de kilómetro. La distancia desde la biblioteca hasta el correo es 1 _ 5 de kilómetro más que esa distancia. La distancia desde el correo hasta el supermercado es 1 _ 2 kilómetro menos que la distancia desde la biblioteca hasta el correo. ¿Cuál es la distancia desde el correo hasta el supermercado? 20. Explica cómo puedes usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver el Problema 18. Vocabulario fracción equivalente Repaso/Prueba del capítulo 6 154 Capítulo 6 155 ¿Cuál es la regla?¿Cuál es la regla? Raúl está entrenando para una carrera. Durante la primera semana, corre 1 _ 3 de kilómetro cada día. Durante la segunda semana, corre 2 _ 3 de kilómetro cada día, y durante la tercera semana, corre 1 kilómetro cada día. Si continúa con este patrón, ¿durante qué semana correrá Raúl 3 kilómetros cada día? Ejemplo Halla las tres fracciones siguientes en este patrón: 1 __ 4 , 3 __ 8 , 1 __ 2 , 5 __ 8 . Por lo tanto, las tres fracciones siguientes son 3 _ 4 , 7 _ 8 , y 8 _ 8 , o 1. Inténtalo Halla una regla. Usa la regla para escribir las tres fracciones en su mínima expresión: 1. 1 ___ 12 ,1 __ 6 ,1 __ 4 ,1 __ 3 2. 3 ___ 10 ,2 __ 5 ,1 __ 2 ,3 __ 5 3. 11 ___ 12 ,5 __ 6 ,3 __ 4 4. 3;23 __ 5 ;21 __ 5 Toma un patrón de fracción que tenga 3 _ 4 como tercera fracción. Enriquecimiento • Patrones de fracciones Paso 3 Continúa el patrón. 1 __ 3 , 2 __ 3 , 3 __ 3 , 4 __ 3 , 5 __ 3 , 6 __ 3 , 7 __ 3 , 8 __ 3 , 9 __ 3 Detente en 9 _ 3 porque es equivalente a 3. Paso 1 Escribe todas las distancias como fracciones con un denominador común. 1 __ 3 , 2 __ 3 , 3 __ 3 Paso 2 Busca un patrón. 1 __ 3 , 2 __ 3 , 3 __ 3 Halla una regla. Regla: Suma 1 __ 3 . Por lo tanto, 9 _ 3 es la novena fracción en el patrón. Raúl corre 3 kilómetros por día durante la novena semana de entrenamiento. Paso 1 Escribe las fracciones con un denominador común. 2 __ 8 , 3 __ 8 , 4 __ 8 , 5 __ 8 Paso 2 Halla la regla. Regla: Suma 1 __ 8 . Continúa el patrón. 2 __ 8 , 3 __ 8 , 4 __ 8 , 5 __ 8 , 6 __ 8 , 7 __ 8 , 8 __ 8 Paso 3 Escribe las tres fracciones simplificadas a su mínima expresión. 6 __ 8 5 3 __ 4 7 __ 8 5 7 __ 8 8 __ 8 5 1 Números y operaciones 6. La fracción que falta en la operación 11 12 5 12 - = es: A 11 12 C 1 4 B 7 12 D 1 2 8. La fracción que falta en la operación 7 10 - = es: A 3 10 C 2 10 B 1 2 D 10 10 5. La fracción equivalente a 2 3 es: A 6 4 C 12 8 B 1 3 D 4 6 1. El resultado de 4 10 1 10 - es: A 1 2 C 3 10 B 1 5 D 4 10 2. El resultado de 7 + 8 7 es: A 8 1 7 C 1 1 14 B 2 1 7 D 8 17 3. Dos veces 1 1 5 es: A 2 2 10 C 2 2 5 B 2 1 5 D 1 2 5 4. El sábado compré una torta para 20 personas y tenía 12 invitados para comerla. Si nos comimos las tres cuartas partes, ¿cuánto sobró? A 1 4 C 1 B 2 4 D 1 2 7. Alejandro repartió su torta de cumpleaños entre sus amigos. Repartió 1 4 a la hora de almuerzo y 2 4 por la tarde. ¿Cuánto repartió de su torta de cumpleaños? A 3 8 C 3 4 B 1 4 D 1 2 9. Rafa compró una pizza, repartió 3 8 el día que la compró y luego repartió 1 4 . ¿Cuánto le queda de pizza por repartir? A 1 2 C 5 8 B 3 8 D 2 8 Comprensión de los aprendizajes Patrones y álgebra 1 156 Se realizó una encuesta a un grupo de estudiantes en una feria científica acerca de su mascota preferida, arrojando los resultados que se encuentran en el gráfico adjunto. Con esta información responde las preguntas 13, 14, 15 y 16. 14. ¿Qué fracción de estudiantes prefiere un pájaro o roedor como mascota? A 2 27 C 1 24 B 6 27 D 3 24 15. De las mascotas que tienen cuatro patas. ¿cuál es el menos preferido por los estudiantes? A Perro C Roedor B Gato D Reptil 16. ¿Qué fracción representa el reptil como mascota menos preferida? A 1 27 C 2 27 B 1 24 D 2 24 10. ¿Cuál es el área de la terraza de la figura? 11. Jacinta está cortando un género doble. Si su representación es: 12. ¿Cuál de las letras tiene un eje de simetría? A N C R B M D S 13. ¿Qué fracción de estudiantes prefieren un perro como mascota? A C 1 27 B 5 24 D 1 23 8 27 Clase de mascota ¿Qué clase de mascota tienes? Nú m er o de e st ud ia nt es Perro Gato Pájaro Pez Roedor Reptil Otro 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Geometría - Medición Datos y probabilidades A 36 m2 C 48 m2 B 45 m2 D 55 m2 ¿Cuál es la figura que resulta luego de cortar? A C B D Capítulo 6 157 Procesadores de computadora Intel Pentium 4 Intel Xeon Intel Core Duo AMD Anthlon 64 PowerPC G5 Procesador Velocidad (GHz) 3,8 2,8 1,83 2,4 1,9 Valor posicional: comprender los decimales La idea importante Los valores posicionales que están a la derecha de la coma decimal en el sistema de base diez nombran los números menores que uno. Investiga Quieres comprar un computador nuevo. La siguiente tabla muestra la velocidad de los diferentes procesadores disponibles a la venta. Elige dos procesadores diferentes y compara su velocidad. ¿Qué procesador proporciona la velocidad mayor? 7 La carrera computacional en Chile comenzó en 1961, con el primer computador digital, modelo correspondiente al IBM 1401, que fue adquirido por la Aduana de Valparaíso, este computador poseía solo 4 kb de memoria. 158 DATO BREVE VOCABULARIO DEL CAPÍTULO decimal centésima décima milésima PREPARACIÓN centésima Una de cien partes iguales. milésima Una de mil partes iguales. Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 7. u Comparar y ordenar números naturales Compara. Escribe ,, . o = en cada . 1. 572 800 2. 635 599 3. 706 760 4. 3 926 3 906 5. 3 404 3 440 6. 52 008 52 100 7. 90 523 90 098 8. 146 025 146 025 Escribe los números en orden, de menor a mayor. 9. 4 032; 4 203; 3 402; 4 320 10. 25 046; 25 406; 50 256; 45 620 11. 73 801; 38 710; 187 039 12. 182 950; 208 109; 102 985 u Representaciones decimales Escribe en forma de decimal. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Escribe los números de otras dos maneras. 19. cuatro y siete décimas 20. 10 1 0,3 21. 200 1 5 1 0,9 22. 5,2 Capítulo 7 159 Aprende Paso Paso Paso 1 Repaso rápidoRelacionar fracciones y decimales OBJETIVO: relacionar fracciones y decimales que representen décimas, centésimas y milésimas. En un día normal, 1 __ 10 de los oyentes de radio sintonizan una estación de rock y 15 ___ 100 sintonizan una estación de noticias. ¿Cuáles son los decimales equivalentes para cada fracción de radioyentes? Puedes escribir una fracción como un decimal. 1 ___ 10 5 0,1 15 ____ 100 5 0,15 Por lo tanto, 0,1 de la audiencia de radio está escuchando una estación de rock y 0,15 está escuchando una estación de noticias. En una competencia, Patricio recibió un puntaje de ocho con setenta y cinco centésimos. Escribe el puntaje de Patricio en forma de fracción y en forma de decimal. Actividad Puedes usar una representación para encontrar el decimal equivalente a 1 _ 5 . Traza un gráfico para ilustrar 1 _ 5 . Divide el gráfico para mostrar diez partes iguales. Escribe una fracción equivalente a 1 _ 5 . 1 __ 5 5 2 ___ 10 Escribe la fraccion como decimal Por lo tanto, 1 __ 5 5 2 ___ 10 5 0,2. Ejemplos En un día normal, 1 _ 4 de la totalidad de radioyentes escucha la radio en el trabajo. ¿Cuál es la fraccion como decimal de 1 _ 4 ? Por lo tanto, 0,25 de los oyentes de radio escucha la radio en el trabajo. Usa una cuadrícula de centésimas. Sombrea 1 _ 4 del modelo. Cuenta los cuadrados sombreados. 1 __ 4 5 0,25 Recuerda Puedes escribir un número como cuatro décimos en palabras para ayudarte a escribir un decimal o una fracción como 0,4 o 4 __ 10 . LE CC IÓN Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100. 1 · 25 ______ 4 · 25 5 25 ____ 100 5 0,25 160 Comprensión de los aprendizajes Escribe un decimal y una fracción para cada cuadrícula. 1. 2. 3. Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción simplificada en su mínima expresión. 4. 0,7 5. 3 __ 5 6. 0,54 7. 24 ____ 100 8. 35 ____ 100 9. 0,22 10. Explica cómo cambiar un decimal a una fracción y una fracción a un decimal. Escribe cada fracción como decimal. 11. 1 __ 2 12. 3 ___ 10 13. 4 __ 5 14. 10 ___ 25 15. 21 ____ 100 16. 33 ____ 100 17. 24 ___ 25 18. 26 ___ 50 19. 3 ___ 15 20. 2 __ 8 21. 58 ____ 100 22. 18 ____ 100 Escribe cada decimal como una fracción simplificada en su mínima expresión. 23. 0,8 24. 0,4 25. 0,50 26. 0,83 27. 0,78 28. 0,25 29. 0,42 30. 0,47 31. 0,1 32. 0,36 33. 0,95 34. 0,15 Usa el diseño para 35—36. 35. Escribe un decimal que represente la parte sombreada del diseño. 36. Explica cómo puedes cambiar el diseño para que muestre las décimas. 37. La longitud de un lado de un cuadrado es de 4 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? 38. Del total de radioyentes, 40 ___ 100 escuchan la radio en casa. Escribe la fracción en su mínima expresión. 39. ¿Qué número mixto es igual a 14 __ 3 ? 40. ¿Qué fracción es equivalente a 0,33? A 3 ___ 10 C 33 _____ 1 000 B 33 ____ 100 D 1 ___ 33 Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 178, Grupo A Capítulo 7 161 Aprende Repaso rápido Paso Paso Paso Usar una recta numérica OBJETIVO: identificar, representar y ordenar decimales, fracciones propias e impropias y números mixtos en una recta numérica. PROBLEMA El quinto básico del colegio está vendiendo entradas para su primer día de competencias atléticas. Mariana vendió 3 _ 5 de sus entradas. Camila vendió 7 __ 10 de sus entradas. Valentina vendió 0,35 de sus entradas. Si las tres comenzaron con el mismo número de entradas, ¿quién vendió la mayor cantidad de entradas? Escribe una fracción equivalente. 1. 2 __ 5 2. 3 __ 4 3. 5 ___ 10 4. 25 ____ 100 5. 4 ___ 10 Vocabulario fracciones de referencia Ejemplo 1 Traza una recta numérica. Rotula fracciones de referencia. Las fracciones de referencia son fracciones familiares que se usan como referencia. A menudo las fracciones 1 _ 4 , 1 _ 2 y 3 _ 4 se usan como referencia en las rectas numéricas. Ejemplo 2 Ubica 1,35; 1 3 _ 4 ; 1 9 _ 8 y 15 _ 8 en la recta numérica. Luego ordena los números de mayor a menor. Ubica y representa gráficamente un punto para cada número. Entonces, los números ordenados de mayor a menor son 1,98; 1 3 _ 4 ; 1 5 _ 8 ; 1,35. Usa tus fracciones de referencia como ayuda para ubicar un punto para cada número. Ya que quieres saber quién vendió la mayor cantidad de entradas, identifica el punto que está más lejos a la derecha. Entonces, Camila vendió la mayor cantidad de entradas. 0,35 está entre 0,25 y 0,5. 3 __ 5 está entre 1 __ 2 y 3 __ 4 . 7 ___ 10 es un poco menos que 3 __ 4 y 0,75. 0,25 0,35 1,0 1,25 9 15 8 8 1,50 1,75 2,0 0,750,5 1,35 1,98 2LE CC IÓN 162 Comprensión de los aprendizajes Identifica un decimal y una fracción, para cada punto. 1. Punto C 2. Punto A 3. Punto E 4. Punto B 5. Punto D Para 6–11, ubica cada fracción, número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 6. 1,2 7. 5 __ 4 8. 14 ___ 8 9. 1 3 __ 8 10. 1,35 11. 1 7 __ 8 12. Explica cómo usarías una recta numérica para representar 0,35 y 5 __ 12 . 25. Cristián tiene $ 20 000. Le gustaría comprar tres camisetas que cuestan $ 7 000 cada una. ¿Tiene dinero suficiente? Explica. 26. Un campo de fútbol tiene 110 metros de largo y 49 metros de ancho. ¿Cuál es el área del campo de fútbol? 27. Escribe 2 2 _ 5 en forma de fracción impropia. 28. ¿Qué fracción es menor que 0,55? A 4 __ 5 B 9 ___ 20 C 8 __ 9 D 24 ___ 30 Ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 13. 1,4 14. 1 5 __ 8 15. 1,55 16. 9 __ 8 17. 18 ___ 10 18. 1 1 __ 4 Usa una recta numérica para ordenar cada grupo de números de mayor a menor. 19. 1 3 __ 4 ; 1,50; 11 ___ 8 20. 5 __ 4 ; 1,75; 1 2 __ 5 21. 1,55; 1 ___ 10 ; 1 8 __ 5 22. 0,65; 4 __ 5 ; 9 ___ 20 23. Florencia corrió 0,84 kilómetros. Constanza corrió 3 _ 4 de kilómetro. Tatiana corrió 5 _ 8 de kilómetro. ¿Quién corrió más? 24. ¿Cuál es el error? Mauricio y Tomás empezaron con el mismo número de entradas. Mauricio vendió 7 _ 10 de sus entradas para el día de la fiesta del curso y Tomás vendió 3 _ 4 de sus entradas. Mauricio dice que ambos vendieron el mismo número de entradas. ¿Tiene razón? Explica. 0,25 0,750,5 Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Práctica adicional en la página 178, Grupo B Capítulo 7 163 Materiales ■ cuadrado decimal ■ lápices de colores ■ escuadra Puedes usar papel milimetrado para comprender los decimales hasta las milésimas. Traza con tu lápiz gráfito, un cuadrado de 10 · 10 cm. El cuadrado decimal representa un entero. Divide el cuadrado en 10 rectángulos iguales. Con un color, sombrea uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado? Divide cada rectángulo en 10 cuadrados iguales. ¿Cuántas partes tendrá la representación? Usa un segundo color para sombrear uno de los cuadrados. ¿Qué parte del entero representa el cuadrado sombreado? Divide uno de los cuadrados en 10 rectángulos iguales. Si cada cuadrado se divide en 10 rectángulos iguales, ¿cuántas partes tendrá la representación? Usa un tercer color para sombrear uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado? Sacar conclusiones 1. ¿Qué parte de tu cuadrícula muestra una décima, y cuál muestra una centésima? Explica en qué se diferencian. 2. ¿Qué parte de tu representación cuadriculada equivale a una milésima? Explica cómo lo sabes. 3. Compara tu cuadrícula con los de otros compañeros. ¿Qué conclusión sacas? Explica tu respuesta. 4. Análisis ¿Cómo puedes usar un cuadrado decimal para mostrar 0,251? Explica. Escribe cada número en palabras. 1. 0,3 2. 1,9 3. 0,72 4. 2,28 5. 4,06 Vocabulario milésimas Representar milésimas OBJETIVO: usar cuadrículas para comprender, leer y escribir decimales hasta las milésimas.3 164 Unidades Décimas Centésimas Milésimas 2 2 • 1 2 2 2 • 0,1 0,2 2 2 • 0,01 0,02 2 2 • 0,001 0,002 El número que se muestra en la tabla de valor posicional es 2,222. Puedes escribir un decimal en forma habitual, en forma estándar y en palabras. Forma habitual: 3,756 Forma estándar: 3 1 0,7 1 0,05 1 0,006 En palabras: tres y setecientos cincuenta y seis milésimos Escribe el decimal que corresponde a la parte sombreada. 1. 2. Escribe el valor del dígito subrayado. 3. 0,537 4. 0,059 5. 1,407 6. 2,006 7. 1,014 8. 1,725 9. 0,089 10. 3,506 11. 0,246 12. 2,159 Escribe cada número de otras dos formas. 13. dos con tres milésimas 14. 0,093 15. 3 1 0,4 1 0,07 1 0,001 16. 6,553 17. 5 1 0,08 1 0,009 18. ochenta y seis milésimas 19. Explica cómo usar una tabla de valor posicional para mostrar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal hasta las milésimas. Explica cómo puedes usar patrones cuando se usa el valor posicional para comprender decimales. También puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal. El valor de cada lugar de un decimal equivale a diez veces el valor del lugar que está a su derecha. valor Capítulo 7 165 Paso Paso Paso Paso Paso Paso Paso Recuerda Comparar y ordenar decimales OBJETIVO: usar la recta numérica y el valor posicional para comparar y ordenar decimales. PROBLEMA Un entomólogo, científico que estudia los insectos, compara la longitud de dos chinitas que miden 0,528 y 0,534 centímetros de largo. ¿Cuál chinita tiene la mayor longitud? Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par. 1. 0,06 y 0,60 2. 3,5 y 3,50 3. 4,09 y 4,090 4. 5,201 y 5,021 5. 0,78 y 0,780 Dado que 0,534 está a la derecha de 0,528, 0,534 . 0,528. Usa una recta numérica. Usa el valor posicional. Compara 3,25 y 3,254. En una recta numérica, el número mayor está a la derecha. Por lo tanto, la chinita que mide 0,534 centímetros tiene la mayor longitud. Alinea los puntos decimales. Comienza por la izquierda. Compara las unidades. 3,25 3,254 iguales Compara las décimas. 3,25 3,254 iguales Compara las centésimas. 3,25 3,254 iguales Para comparar las milésimas, escribe un número diferente en la posición de las milésimas 3,25. Luego, compara. 3,250 3,254 0 , 4 Por lo tanto, 3,25 , 3,254, o 3,254 . 3,25. Ejemplo Usa el valor posicional. Ordena 4,137, 4 y 4,19 de menor a mayor. Alinea los puntos decimales. 4,137 4,000 4,190 Comienza por la izquierda. Compara los dígitos hasta que sean diferentes. 4,137 4,000 0 , 1 4,190 4,000 es menor. Continúa comparando. 4,137 3 , 9 4,190 4,190 es mayor. Por lo tanto, el orden es 4; 4,137 y 4,19. 4LEC CI ÓN 0,5280 0,52 0,53 0,54 0,534 Aprende 166 Comprensión de los aprendizajes Práctica adicional en la página 178, Grupo D A B C D Escarabajo Longitud de los escarabajos joya Longitud (en centímetros) 0,730 1,215 0,608 5,000 USA DATOS Para 18–20, usa la tabla. 18. ¿Cuál escarabajo es el más largo? ¿Cuál escarabajo es el más corto? 19. Razonamiento Imagina que se midió otro escarabajo con una longitud de 0,84 centímetros. ¿En qué lugar de la tabla se ubicaría la longitud de este escarabajo? 20. Ordena de menor a mayor las longitudes de los escarabajos de la tabla. Explica cómo ordenaste las longitudes. 1. Copia la recta numérica en papel cuadriculado. Ubica 0,72 y 0,7 en la recta numérica. Luego, compara los decimales. Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 2. 5,43 5,432 3. 0,28 0,208 4. 9,39 9,9 5. Explica cómo usar el valor posicional para ordenar 1,567; 1,571 y 1,556 de mayor a menor. Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 6. 0,972 0,98 7. 4 0,79 8. 3,602 3,082 9. 10,3 1,898 10. 6,7 6,701 11. 0,749 0,769 Ordena de menor a mayor. 12. 0,123; 0,32; 0,113; 0,2 13. 6,0; 6,498; 6,52; 6,490 14. 5,6; 9; 6,8; 8,005 Halla todos los dígitos que pueden reemplazar cada . 15. 9,77 , 9,770 16. 0,28 . 0,284 17. 2,356 . 2,83 21. ¿Qué clase de líneas forman ángulos rectos cuando se intersectan? 22. Escribe si 1,3 y 1,30 son equivalentes o no son equivalentes. 23. 5 · 1 000 5 24. Tomás recibió los siguientes puntajes en una competencia de buceo. Se debe eliminar el puntaje más bajo. ¿Cuál puntaje será eliminado? A 8,400 C 9,075 B 8,175 D 8,250 0,7 0,80,75 Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 7 167 Aprende la estrategia Hacer un dibujo o un diagrama te puede ayudar a entender un problema y a visualizar la solución. Puedes usar diferentes tipos de diagramas para diferentes tipos de problemas. Estrategia: hacer una representación pictórica OBJETIVO: resolver problemas por medio de una representación pictórica. Una representaxión pictórica puede mostrar orden o posición. Hernán mide 1,63 metros de estatura, Brenda mide 1,59 metros y Raúl mide 1,71 metros. Una representación pictórica puede mostrar tamaño. La masa de una bolsa de manzanas pesa aproximadamente 1,5 kg más que tres veces la masa de una bolsa de naranjas. La masa total de las bolsas es de 3,5 kg. Una representación pictórica puede mostrar un patrón. Erica está haciendo un collar con perlas moradas y rosadas. Cada cuarta perla es rosada. Para hacer una representación, sigue atentamente la información dada en el problema. Haz que la representación sea sencilla. Rotula las partes para mostrar lo que representan. ¿Cuáles son algunas de las preguntas que se pueden responder usando cada una de las representaciones pictóricas anteriores? 5LEC CI ÓN 168 Destreza de lectura Usa la estrategia PROBLEMA Los miembros de la familia de Josefina mantuvieron un registro del número de kilómetros que viajaron cada día durante las vacaciones. El lunes, la familia recorrió 87,3 kilómetros; el martes, 88,75 kilómetros; el miércoles, 87,6 kilómetros, y el jueves, 88,4 kilómetros. ¿Qué día recorrió la familia de Josefina la mayor distancia? • ¿Cómo puedes resumir lo que te piden hallar? • ¿Qué información se da? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Para resolver el problema, puedes hacer una representación pictórica. • ¿De qué otras maneras podrías resolver el problema? • ¿Cómo sabes que la respuesta es correcta? • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica para comparar las distancias. Traza una recta numérica desde 87,0 hasta 89,0. Ubica cada número en la recta numérica. Una recta numérica muestra los números de menor a mayor. En una recta numérica, el número mayor está a la derecha. Por lo tanto, la familia de Josefina recorrió la mayor distancia el día martes. 88.0 89.087.0 royamronem 88.4 88.7587.3 87.6 Capítulo 7 169 Chile EE.UU. Francia Japón Alemania Nacionalidad 11 260 4 275 3 252 2 785 1 712 Número de turistas (miles de personas) Turistas por nacionalidad en Isla de Pascua 1. Cada día, la familia de Josefina se detenía al mediodía para almorzar. El lunes antes del almuerzo, la familia recorrió 45,91 kilómetros; el martes, 44,83 kilómetros; el miércoles, 45,48 kilómetros, y el jueves, 44,38 kilómetros. ¿Qué mañana recorrió la familia la menor distancia antes de almorzar? Primero, traza una recta numérica. Luego, ubica cada número en la recta numérica. Finalmente, usa la recta numérica para ordenar las distancias de menor a mayor. 2. ¿Qué pasaría si el lunes, antes de almorzar, la familia de Josefina hubiera recorrido 44,95 kilómetros? ¿Qué mañana habría recorrido la familia la mayor distancia antes de almorzar? 3. Josefina, su hermano Samuel; su madre Natalia; y su padre, Alberto, son las cuatro primeras personas en la fila para almorzar. Samuel no es el primero de la fila. Hay por lo menos dos personas delante de Josefina en la fila. Alberto es el tercero. Da el orden del primero al último. Haz una representación pictórica para resolver. 4. Félix está manejando su auto desde Arica hasta Puerto Montt. El lunes, recorrió 795,6 kilómetros; el martes, 822,2 kilómetros; el jueves, 799,7 kilómetros, y el viernes, 782,5 kilómetros. ¿Qué día manejó Félix la mayor distancia? USA DATOS Para 5–7, usa la tabla. 5. En Isla de Pascua, anualmente, reciben un total aproximado de 39,4 miles de visitantes. El número de visitantes de origen alemán es aproximadamente 0,2 miles más que el doble de visitantes de origen australiano. ¿Aproximadamente cuántas personas australianas visitan Isla de Pascua, cada año? 6. ¿Cuál es la nacionalidad de la mayor parte de los turistas que visitan Isla de Pascua? ¿De qué país llegan menos turistas a Isla de Pascua? 7. Describe cómo el uso de una representación pictórica te puede ayudar a ordenar el número de visitantes de Isla de Pascua, de menor a mayor. ; ; ; 45,91 Resolución de problemas con supervisión Resolución de problemas • Práctica de estrategias 170 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNAPráctica de estrategias mixtas USA DATOS Para 8–11, usa el mapa y el horario de autobuses. 8. El horario de buses Santiago a Peñaflor se muestra en la tabla. ¿Cuál ruta toma la menor cantidad de tiempo? 9. Cuatro autobuses se dirigen de Santiago a Peñaflor. El autobús A va por la Autopista del Sol, que toma la menor cantidad de tiempo. El autobús B va por la ruta Padre Hurtado, que llega a Santiago a las 6:15 p.m. El autobús C va por la ruta Camino Melipilla, que toma 1,5 horas. El autobús D va por una ruta que toma 2,5 horas. Indica la ruta y el tiempo que toma cada autobús para llegar a Santiago. 10. El señor Riquelme vive en Peñaflor, y trabaja en Santiago. Va en autobús desde su casa hasta la oficina y luego de regreso a su casa 5 veces por semana. ¿Aproximadamente, cuántas horas viaja el señor Riquelme de ida y vuelta del trabajo cada semana? (Escoge la ruta Padre Hurtado). 11. Formula un problema Vuelve al Problema 10. Escribe un problema similar cambiando el número de veces que el señor Riquelme viaja a su trabajo. 12. ¿Cuál es la ruta que tomará la menor cantidad de tiempo? ¿Cuántas horas? 13. ¿Cuántas horas más demoraría el señor Riquelme si toma la ruta San Bernardo en vez de la Autopista del Sol? Hacer un diagrama o dibujo Hacer un esquema o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Sacar conclusiones Autopista del Sol Camino Melipilla San Bernardo Padre Hurtado Ruta 7:30 a.m. 9:00 a.m. 3:00 p.m. 4:15 p.m. Salida 8:30 a.m. 10:30 p.m. 5:30 p.m. 6:15 p.m. Llegada Horario de autobuses de Santiago a Peña�or San Bernardo Padre Hurtado Maipu Autop ista d el Sol Ca mi no M elip illa A ut op is ta C en tr al El Bosque SantiagoN Capítulo 7 171 Paso Paso Paso PROBLEMA En su primera carrera de luge en las Olimpiadas de invierno de 2006, Armin Zoeggeler completó el primer intervalo en 23,835 segundos. Luego, alcanzó el tercer intervalo 20,336 segundos después. ¿Cuál fue el tiempo total cuando llegó al tercer intervalo? Puedes sumar y restar decimales de la misma manera en que sumas y restas números naturales si primero alineas las comas decimales. Escribe una fracción equivalente para cada número. 1. 0,34 2. 1,8 3. 8,09 4. 0,01 5. 19,4 Ejemplo 1 Suma. 23,835 1 20,366 Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales. Suma las milésimas. 23,8 3 1 5 120,336 __ 1 Añade las centésimas. Suma las décimas. Reagrupa según sea necesario. 2 3 1 ,8 3 1 5 120,336 __ 171 Suma las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en el total. 2 3 1 ,8 3 1 5 120,336 __ 44,171 Por lo tanto, el tiempo de Zoeggeler al alcanzar el tercer intervalo fue de 44,171 segundos. Más ejemplos p Un trineo de luge puede alcanzar una velocidad de 138,4 kilómetros por hora. Sumar y restar decimales OBJETIVO: hallar las sumas y las diferencias de números decimales. 12,48 1 3,93 1 2 1 , 4 1 8 1 3 , 9 3 __ 16, 41 ↓ ↓ Alinea las comas decimales. Coloca la coma decimal en el total. 2,5 1 4,72 1 8,091 2 1 , 5 1 00 4,720 1 8,091 __ 15,311 Coloca ceros para mostrar decimales equivalentes. 6LEC CI ÓN Aprende 172 Paso PasoPaso Resta El tiempo total de Zoeggeler en su primera carrera fue de 51,718 segundos. ¿Cuántos segundos tardó Zoeggeler en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada? 1. Copia cada uno de los pasos a la derecha. Luego di qué sucede en cada paso. Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales. Resta las milésimas. 51,718 244,171 __ 7 Resta las centésimas. Resta las décimas. Reagrupa si es necesario. 51, 7 6 1 11 8 24 4, 1 7 1 __ 5 4 7 Resta las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en la diferencia. 5 4 1 11 , 7 6 1 11 8 24 4, 1 7 1 __ 7, 5 4 7 Ejemplo 2 Resta. 51,718 2 44,171 Coloca la coma decimal. Por lo tanto, Zoeggeler tardó 7,547 segundos en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada. Más ejemplos 0,327 1 0,950 __ 7 0,327 1 0,950 __ 77 0 1 ,327 1 0,950 __ 1,277 8 2 5,63 8 7 , 0 10 9 0 10 25 , 6 3 __ 2 , 3 7 0,78 2 0,471 0,7 8 7 0 10 20 , 4 7 1 __ 0 , 3 0 9 1,5 2 0,259 1 , 5 4 0 10 9 0 10 2 0 , 2 5 9 __ 1 , 2 4 1 Coloca 2 ceros. 2,5 6,88 1 0,19 __ Halla la suma o la diferencia. 2. 7 1 0,8 _ 3. 16,3 2 4,05 __ 4. 21,87 1 16,34 __ 5. 13,04 2 0,95 __ 6. 7, Explica cómo hallar 6,4 + 3,29 + 2,107. Práctica con supervisión Práctica adicional en la página 178, Grupo D Capítulo 7 173 Comprensión de los aprendizajes Librería 1 cuaderno $ 3 550 12 lápices $ 1 590 1 bolígrafo $ 890 Venta de zapatillas 0 20 40 60 80 abril mayo junio julio Cantidad de zapatillas Halla la suma o la diferencia. 8. 0,991 2 0,45 __ 9. 14,467 1 12,312 __ 10. 16 2 10,1 __ 11. 32,98 1 $ 18,25 __ 12. 5,86 2 2,391 __ 13. 1,18 1 2,039 __ 14. 3,704 2 1,325 __ 15. 16. 23,002 2 1,74 __ 17. 0,75 0,359 11,4 __ Escribe una regla para el patrón. Usa tu regla para encontrar los números que faltan en el patrón. 18. 2,1; 3,3; 4,5; 5,7; ; 8,1; 20. 4,10; 4,05; 4,00; 3,95; ; 3,85; Resuelve. 22. Kristel Köbrich terminó en quinto lugar en los 800 metros libres en las Olimpiadas de Londres 2012. Köbrich tardó 0,12 segundos más que Friis Lotte, quien tardó 8:21,89. ¿Cuál fue el tiempo de Köbrich en la carrera? 24. Cuando sumas 0,3 y 0,15, ¿por qué le sumas 0,3 a 0,1? 19. 3,5; 4,6; 4,4; 5,5; 5,3; ; 6,2; 7,3; 21. 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00; ; 23. ¿Cuál es la pregunta? Un ciclista ha recorrido 145,8 km en una etapa, 136,65 km en otra etapa y 162,62 km en una tercera etapa. La respuesta es 445,07. 9,94 0,318 1 1,283 __ 25. ¿Qué número multiplicado por 90 es igual a 45 000? 26. De acuerdo al gráfico, ¿en qué meses hubo la mayor venta de zapatillas? 27. Marcos compra un cuaderno y un bolígrafo en la librería. Si paga con un billete de $ 5 000, ¿cuánto vuelto debe recibir? A $ 560 C $ 1 550 B $ 1 450 D $ 4 440 Práctica independiente y resolución de problemas + 174 Halla la suma o la diferencia. 8. 0,991 2 0,45 __ 9. 14,467 1 12,312 __ 10. 16 2 10,1 __ 11. 32,98 1 $ 18,25 __ 12. 5,86 2 2,391 __ 13. 1,18 1 2,039 __ 14. 3,704 2 1,325 __ 15. 16. 23,002 2 1,74 __ 17. 9,94 0,318 1 1,283 __ Carrera de 1 000 metros de patinaje de velocidad Patinador P. Causil E. Capellano J. Reyes 85,941 85,973 86,239 Tiempo (en segundos) El patinaje de velocidad es una prueba popular en los Juegos Sudamericanos. Los deportistas corren en patines alrededor de una pista. En los Juegos Panamericanos de Guadalajara 2011 hubo tres patinadores en la carrera de los 1 000 metros: P. Causil, E. Capellano y J. Reyes. Sus tiempos fueron 85,841, 85,973 y 86,239 segundos, respectivamente. ¿Cuánto más rápido fue el tiempo del primer puesto con relación al tiempo del tercero? A veces, un problema tiene más información de la que necesitas. Para resolverlo correctamente, debes identificar los detalles necesarios para responder la pregunta. Comienza por releer la pregunta del problema. Luego pregúntate a ti mismo qué detalles necesitas para resolverlo. Por ejemplo: • ¿Qué columna contiene los tiempos de los patinadores? • ¿Cuál es el tiempo del primer puesto, es decir, el menor de Resolución de problemas Identifica los detalles que necesitas para resolver el problema. Patinaje de velocidad Destreza de lectura Identificar los detalles 1. Resuelve el problema de arriba. 2. Solo los patinadores que tengan los dos primeros tiempos en cada eliminatoria pasarán a la carrera siguiente. ¿Cuáles dos patinadores pasarán a la carrera siguiente? Explica cómo lo sabes. los tiempos? • ¿Cuál es el tiempo del tercer puesto, es decir, el mayor de los tiempos? Capítulo 7 175 Piensa y comenta Di si necesitas hacer una estimación o dar una respuesta exacta. Explica tu elección. Resuelve el problema. a. Una hamburguesa pesa 0,15 kilogramos. Julián tiene 0,300 kilogramos de carne molida. ¿Tiene Julian carne suficiente para preparar una hamburguesa para él y una para cada uno de sus 2 amigos? b. El tiempo de Viviana en una carrera de natación es de 53,12 segundos. El tiempo de Alex en la misma carrera es de 50,59 segundos. ¿Cuánto más rápido es el tiempo de Alex que el de Viviana? Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta OBJETIVO: resolver problemas usando la destreza estimar o hallar una respuesta exacta. Usa la destreza PROBLEMA Luis debe confeccionar ropa deportiva para un club de atletismo. Para esto estima comprar 25 kilogramos de algodón. Compra 7,35 kilogramos de tela para pantalones largos, 8,29 kilogramos para polerones, 3,50 kilogramos para pantalones cortos. ¿La estimación inicial de Luis fue acertada? ¿Faltaría tela para la confección de todas las prendas deportivas? Estima. Redondea cada artículo hacia arriba al kilogramo entero más cercano. Luego suma. Ya que 21 , 25, Luis tiene suficiente género para confeccionar todos los artículos. Si Luis compra 25 kilogramos de género. ¿Cuánto le sobrará? Para hallar la cantidad de género que sobra, necesitas una respuesta exacta. La cantidad exacta de género necesaria es 19,75, por tanto, sobran 5,26 kilogramos de tela. 7,95 8,29 1 3,50 __ 8,00 9,00 1 4,00 __ 21,00 7,95 8,29 1 3,50 __ 19,74 25,00 2 19,74 __ 5,26 7LEC CI ÓN → → → 176 Aplicaciones mixtas Di si necesitas una estimación o una respuesta exacta. Luego, resuelve el problema. 1. En una competencia de lanzamiento de bala, se suman las distancias de los tres lanzamientos de una persona para determinar su puntaje final. Se necesita un puntaje de 50 o más para llegar a la ronda final. Los lanzamientos de Claudio fueron de 16,35 metros, 18,44 metros y 17,97 metros. ¿Llegará Claudio a la ronda final? Primero, decide si necesitas una estimación o una respuesta exacta. Necesitas determinar si el puntaje de Claudio es mayor o menor que 50. Por lo tanto, halla una estimación. Luego compáralo con 50. Resuelve. 4. María pesa 48,35 kilogramos, Julia pesa 0,5 kilogramos más que Javiera y Javiera pesa 2,131 kilogramos menos que María. ¿Cuánto pesan Javiera y Julia? 6. La mochila de José pesa 6,5 kilogramos. La mochila de Raúl pesa 2,4 kilogramos más que la mochila de José. La mochila de René pesa 1,7 kilogramos menos que la mochila de José. ¿Cuál es el peso total de las tres mochilas, aproximadamente? 5. El paso de un perro tiene aproximadamente una longitud de 0,35 metros. ¿Cuántos pasos deberá dar para recorrer una distancia de 2,8 metros? 7. Julio compra molduras de madera para colocar alrededor de su habitación. Las molduras vienen en piezas que miden 12, 14 o 16 metros de longitud. Explica cómo hallar la cantidad de metros de molduras que Julio debe comprar, si el tamaño de la habitación es de 10 metros por 14 metros. 2. ¿Qué pasaría si el segundo lanzamiento de Claudio hubiera sido de 16,44 metros en vez de 18,44 metros? ¿Sería bueno hallar una estimación para determinar si Claudio debe avanzar a la ronda final? Explica tu respuesta. 3. Los primeros dos lanzamientos de Julia fueron de 16,64 metros y de 15,33 metros. ¿Qué distancia necesita alcanzar su último lanzamiento para poder avanzar a la ronda final? 16,35 1 18,44 1 17,97 16 1 18 1 5 Resolución de problemas con supervisión Capítulo 7 177 Grupo A Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 0,45 2. 5,09 3. 2,83 4. 14,90 5. 6,06 6. 0,71 7. 12,56 8. 23,94 Escribe cada número en forma decimal y en forma de fracción. 9. 0,33 10. 0,72 11. 1,98 12. 9,26 13. 2 1 0,9 1 0,01 14. 20 1 3 1 0,06 15. 7 1 0,5 1 0,04 16. 8 1 0,9 1 0,01 Grupo B Escribe un decimal equivalente para cada número. 1. 0,02 2. 3,580 3. 0,9 4. 6,600 5. 5,07 6. 0,100 7. 4,600 8. 3,09 9. 14,70 10. 0,4 Grupo C Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 1. 0,163 0,16 2. 0,83 5 3. 4,049 4,712 4. 5,068 5,608 5. 3,801 3,8 6. 20,4 2,089 Ordena de menor a mayor. 7. 1,78; 1,36; 1,696; 1,8 8. 0,62; 0,584; 0,221; 0,3 9. 8,3; 6,9; 10; 9,001 10. 1,34; 1,09; 1,4; 1,343 11. 0,287; 0,276; 0,285; 0,274 12. 7,3; 7,003; 7,303; 7,323 17. cuarenta y cuatro centésimas 18. tres y siete centésimas Práctica adicional 9. Ángela gasta un total de 36,29 calorías en 20 minutos. Desea quemar 50 calorías antes de descansar. ¿Cuánto le falta por gastar antes de descansar? Grupo D Estima. Luego halla la suma o la diferencia. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0,539 2 0,268 7. 41,63 1 9,801 8. 60,75 2 10,09 0,27 11,43 15,86 29,72 23,98 12,45 0,092 20,437 32,09 115,78 178 Jugadores 2–4 jugadores Materiales • 4 conjuntos de tarjetas de símbolos (,, ., 5) • Cubo numerado 1, 1, 1, 2, 2, 3 • Fichas del juego Los jugadores mezclan las tarjetas de símbolos y las colocan boca abajo en una pila. Cada jugador elige una ficha diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores se turnan para lanzar el cubo numerado y avanzan la cantidad correspondiente de espacios en el tablero. En su turno, cada jugador saca una de las tarjetas de símbolos. Según la tarjeta, debe pensar en un decimal, mayor, menor o igual al decimal en el que cayó la ficha. Si el jugador da una respuesta incorrecta, pierde su turno. Gana el jugador que llegue primero a LLEGADA. 1,083 0,05 5,21 1,207 4,6 salida 10 avanza hasta 0,012 3,97 0,003 pierde 1 turno8,16,9930,0122,20 14,0865,9 turno libre 1,902 0,8 3,359 regresa a 8,1 19,4 0,101 10,12 6,67 llegada ¡Compara! Capítulo 7 179 29. Tamara quiere caminar 3,75 kilómetros y luego 1,85 kilómetros. ¿Alcanzaría a caminar 5,3 kilómetros? 30. Rita obtuvo 6,38 puntos y 5,29 puntos en un concurso de cuentos. Necesita un total de 15 puntos para avanzar a la próxima ronda. ¿Cuántos puntos más necesita? Comprueba la resolución de problemas 31. Explica por qué escribir un decimal equivalente te ayuda a hallar la diferencia de 4 2 1,83. ¿Cuál es la diferencia? Comprueba los conceptos 1. Explica cómo se redondea a la unidad más cercana para estimar 3,72 - 1,58 2. Explica cómo usar el cálculo mental para hallar 4,25 1 2,5 1 1,25. Comprueba tus destrezas Halla la suma o la diferencia. 3. 0,382 1 0,199 __ 4. 6,92 2 3,254 __ 5. 9,33 1 4,082 __ 6. 25,36 2 7,28 __ Estima. Luego halla la suma o la diferencia. 7. 2,93 1 5,48 __ 8. 11,78 2 5,62 __ 9. 35,49 1 4,82 __ 10. 1,87 2 0,624 __ Repaso/Prueba del capítulo 7 Escribe el valor del dígito subrayado en cada número. 11. 0,23 12. 0,006 13. 0,109 14. 2,78 Escribe cada número de dos formas diferentes. 15. 1,3 16. 0,4 1 0,07 17. 0,926 18. 2,055 Escribe un decimal equivalente para cada número. 19. 0,5 20. 2,690 21. 0,01 22. 3,400 Escribe cada decimal en forma de fracción o de número mixto mostrando décimas y centésimas. 23. 0,5 24. 2,7 25. 0,80 Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 26. 0,23 0,246 27. 9 0,935 28. 6,778 6,07 180 Puedes hallar mentalmente una suma de decimales usando distintas reglas y el cálculo mental. Ejemplo Don Andrés se detiene en el supermercado cuando vuelve del trabajo. Tiene que comprar 15 kilogramos de carne. Quiere comprar 6,25 kilogramos de pollo, 5,15 kilogramos de cerdo y 2,75 kilogramos de carne de vacuno. ¿Es suficiente la carne que desea comprar? Halla el peso total de carne. Usa el cálculo mental. Piensa: 6,25 Reordena los sumandos para facilitar el cálculo. Suma. Usa el cálculo mental. El peso total de la carne es de 14,15 kilogramos. Compara 14,15 con 15. Por lo tanto, don Andrés compró la cantidad de carne que tenía planeado. Otro ejemplo Usa paréntesis para agrupar. Piensa: 0,4 1 0,6 1 1. Suma. Usa el cálculo mental. Inténtalo Usa paréntesis o agrupa de diferentes maneras para hallar el total. 1. 12,50 1 4,29 1 5,50 2. 36,3 1 (12,7 1 12,1) 3. (56,3 1 8,9) 1 121,1 4. 0,91 1 1,15 1 2,09 5. 5,65 1 5,18 1 4,35 6. 5,3 1 (1,25 1 12,7) 7. 5,55 1 4,32 1 5,45 8. (3,25 1 6,2) 1 1,75 9. 10,2 1 10,5 1 9,8 10. Desafío Halla 1,15 1 11,8 1 3,85 1 9,2. Piénsalo Explica cómo puedes usar el cálculo mental para sumar decimales mentalmente. 6,25 1 5,15 1 2,75 6,25 1 2,75 1 5,15 9 1 5,15 5 14,15 15,4 1 (0,6 1 10,8) (15,4 1 0,6) 1 10,8 16 1 10,8 5 26,8 Recuerda: Podemos ordenar los sumandos en una suma para así facilitar el cálculo mental. Podemos usar paréntesis para agrupar los sumandos en distinto orden y la suma siempre será la misma. ¿Cuál es el total? Enriquecimiento: Los paréntesis y la suma de decimales Capítulo 7 181 Opción múltiple 1. ¿Cuánto es 38,452 redondeado a la décima más cercana? A 40 B 38,45 C 38,5 D 38,4 2. Para el almuerzo, Patricio compró un sándwich que pesa 0,325 kilogramos y un jugo de frutas que pesa 0,95 kilogramos. ¿Cuánto peso lleva aproximadamente? A 1 kilogramos C 4,8 kilogramos B 4 kilogramos D 5,5 kilogramos 3. Carolina está caminando por un sendero que tiene 3,2 kilómetros de largo. Ya ha caminado 2,7 kilómetros. ¿Cuánto más tiene que caminar Carolina? A 0,5 kilómetros B 0,7 kilómetros C 1,9 kilómetros D 5,9 kilómetros 4. 17,3 + 4,1 = A 13,2 B 20,4 C 21,4 D 58,3 5. 43,13 2 0,5 A 48,13 B 43,18 C 42,63 D 38,13 6. Un equipo de montañistas recorrieron un ascenso de 15 kilómetros. El primer día escalaron 2,0 kilómetros, el segundo, 8,5 kilómetros y el tercero, 4,3 kilómetros. ¿Cuánto les queda por recorrer el cuarto día? A 1 kilómetro B 0,5 kilómetros C 0,2 kilómetros D 2 kilómetros 7. La diferencia entre 173 y 4,8 es: A 125 B 162,2 C 168,2 D 172,52 8. ¿Cuánto le falta a 0,009 para ser unidad? A 0,991 B 0,91 C 0,1 D 0,01 Repaso/Prueba de la unidad 182 9. Al sumar 0,48; 6,76 y 3,5, la mejor estimación es: A 8 B 9 C 10 D 11 10. Un granjero vende una canasta de duraznos de 3,76 kilogramos. Cada durazno pesa 0,47 kilogramos. ¿Aproximadamente cuántos duraznos hay en la canasta? A 2 B 4 C 6 D 8 11. ¿Qué número hay que sumarle a 0,475 para que la suma sea 0,5? Respuesta breve 12. Redondea el siguiente decimal a la décima más cercana y a la centésima más cercana. 0,493 13. Sandra tiene 7,75 kilogramos de tomates de aproximadamente 25 gramos cada uno. ¿Cuántos tomates de 25 gramos debería tener Sandra en 7,75 kilogramos? 14. Cada trozo de queso pesa 3,95 kilogramos. ¿Aproximadamente cuánto pesa la rueda completa de queso? Muestra tu trabajo. 1 2 Respuesta desarrollada 15. La suma de dos números decimales es 15,5. Uno de ellos es 10,05. ¿Cuál es el otro número decimal? 16. Un chofer de buses maneja por 5 horas. Por hora recorre: Hora 1 2 3 4 5 Cantidad recorrida (en km) 65,50 71,25 59,88 70,01 67,43 Luis estima que el chofer manejó aproximadamente 350 km en su recorrido. Felipe estima que manejó 250 km en todo el recorrido. ¿Quién tiene la respuesta razonable? Explica tu respuesta. Verdadero o falso Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado. 17. ______ 52,13 – 10 = 52,03 18. ______ = 0,5 19. ______ El número decimal 0,75 es equivalente a 20. ______ 0,25 < 0,250 3 10 Capítulo 7 183 ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES Piezas de compositores interpretadas en un mes ¡Escucho una sinfonía! Música, Música, Música a Filarmónica de Los Angeles es una orquesta famosa en todo el mundo por su encantadora música. Se creó en 1919. La orquesta normalmente interpreta música clásica de compositores como Johann Sebastian Bach y Johannes Brahms. La participación de la comunidad es importante para la Filarmónica de Los Angeles. Cada verano realiza un concierto al aire libre para los niños, llamado Sonidos del Verano. También presenta sinfonías para las familias y programas para estudiantes. L Usa la tabla para responder las preguntas. 1 ¿Qué fracción de las piezas interpretadas eran composiciones de Mozart? 2 ¿Qué fracción de las piezas interpetadas eran composiciones de Brahms y Strauss? 3 Qué compositores representan 1 _ 6 del total de piezas interpretadas? 4 Escribe una desigualdad en la que se compare la fracción de piezas de Bach y la fracción de piezas de Schubert que fueron interpretadas. Compositor Número de piezas interpretadas Bach 3 Brahms 3 Mozart 6 Schubert 2 Strauss 8 Telemann 2 5 Explica cómo hallaste la respuesta para el Problema 4. De aquí y de allá Resolución de problemas 184 ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES Triángulo Platillos Xilófono Campanas Cornos franceses Clarinetes Piccolo PERCUSIÓN Violines Fagots VioloncelosDIRECTOR Arpa Tuba Oboes Trombones Trompetas Contrabajos Violas Flautas Tambor Bombo Gong Timbales VIENTOS METALES CUERDAS CUERDAS Muchas vocEs, una orquEsta ¿Cómo se llama un grupo grande de músicos? Los dos términos, orquesta y banda son correctos, pero los dos grupos musicales son diferentes. Las orquestas tienen cuatro secciones: metales, percusión, instrumentos de viento de madera y cuerdas. Las bandas de música no tienen una sección de cuerdas. 1 Diseña tu propio grupo de músicos. uDecide el número de miembros que estarán en tu grupo. u Elige un instrumento para cada miembro. Puedes usar el diagrama de arriba como referencia. u¿Cuántos instrumentos de cada grupo necesitarás? u ¿Qué fracciones puedes usar para describir cada parte de tu grupo? 2 Describe cómo cambiarán las fracciones si un miembro de tu grupo no puede tocar. La sección de cuerdas de una orquesta incluye violines, violas, violoncelos, contrabajos y un arpa. Las cuerdas conforman 63 ____ 100 de la orquesta que se ve arriba. La Orquesta Juvenil de Linares fue creada en el año 2005 por dos profesores de música. Dos años más tarde se fundó la orquesta Infantil de Linares. Capítulo 7 185 Geometría - Medición 3 Relación de triángulos equiláteros y su perímetro 4 triángulos 6 triángulos 2 triángulos perímetro = 24 cm perímetro = ? perímetro = ? perímetro = 30 cm 6 3 triángulos Las piedras preciosas y semipreciosas se encuentran en la Tierra en forma de piedras amorfas y opacas. Las caras planas, llamadas facetas, se cortan con precisión para dar formas tridimensionales a las gemas. Las gemas de colores se usan en diseños de joyería en los que se incorporan líneas y ángulos simétricamente. ¿Qué conceptos matemáticos ves en Matemática en Contexto? ¿Qué clase de polígonos puedes identificar en las joyas que se muestran? Copia y completa el cuadro usando lo que sabes de perímetros. REPASO DEL VOCABULARIO Cuando aprendiste sobre líneas, ángulos y figuras geométricas, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? perímetro Medida del contorno de una figura geométrica. polígono Figura plana cerrada. área Superficie interior de una figura plana. Matemática en Contexto Capítulo 8 187 CAPÍTULO 8 Órbitas del transbordador espacial Días de vuelo, Órbitas, 3 48 x y 4 64 5 80 6 96 7 112 Figuras congruentes y plano cartesiano Investiga Imagina que estás a bordo del transbordador espacial y has registrado los datos dados a la derecha. Representa gráficamente los datos en una cuadrícula de coordenadas. Describe la relación entre los días de vuelo y las órbitas, y di cuántas órbitas se completarían en los otros días de vuelo dados. El observatorio Cerro Paranal está ubicado en el cerro del mismo nombre, en Antofagasta. Está regido por el ESO (Observatorio Europeo Austral). Posee el telescopio más poderoso del planeta y logra captar a un hombre paseando por la Luna. Además de las observaciones astronómicas, también colabora en el seguimiento de cohetes y satélites. Cerro Paranal La idea importante El plano cartesiano se puede usar para representar gráficamente y ecuaciones. DATO BREVE 188 Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 10. C Usar el plano cartesiano/Hacer gráficos de pares ordenados Usa los pares ordenados para identificar cada punto de la cuadrícula. 1. (9,9) 2. (8,7) 3. (7,6) 4. (2,3) 5. (6,2) 6. (5,6) 7. (7,3) 8. (0,5) 9. (1,8) 10. (4,4) 11. (3,7) 12. (2,1) 13. (5,9) 14. (10,4) 15. (9,1) C Patrones numéricos Continúa el patrón. Escribe la regla. 16. 18; 16; 14; _____; 10. La regla es: ______________ 17. 20; 22; 24; ____; 28. La regla es: __________________ 18. 6; 12; 24; _____; 96. La regla es:____________________ 19. ____; 15; 45; 135; 405. La regla es: ____________________ y ej e de la x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 A B C D E F G H J K L M N O P eje de la VOCABULARIO DEL CAPÍTULO plano cartesiano eje x función eje y tabla de funciones coordenada x par ordenado coordenada y origen traslación congruentes simetría rotación PREPARACIÓN par ordenado Un par de números que se usan para ubicar un punto en el plano cartesiano. eje x La recta numérica horizontal en un plano cartesiano. eje y La recta numérica vertical en un plano cartesiano. eje de lax ej e de la y Capítulo 8 189 Aprende x y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 eje de la (5,7) ej e de la álgebrA Hacer gráficos de pares ordenados OBJETIVO: hacer gráficos e identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano usando pares ordenados. Un mapa se usa para hallar puntos de ubicación y la relación de un punto de ubicación con otro. Esta relación y la relación de un objeto con otro se pueden mostrar en un plano cartesiano. Benjamín recorre 16 cuadras hacia el sur, 17 cuadras hacia el oeste y 12 cuadras hacia el sur. ¿Cuántas cuadras recorre Benjamín? Vocabulario par ordenado eje x eje y coordenada x coordenada yUn plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. La recta numérica horizontal se llama eje x. La recta numérica vertical se llama eje y. Cada punto de una cuadrícula de coordenadas puede ubicarse usando un par ordenado de números, (x,y). Para llegar al punto A, comienza donde se intersecan las rectas numéricas, en (0,0). En un par ordenado, el primer número es la coordenada x. La coordenada x indica la distancia a la cual debe moverse en dirección horizontal desde (0,0). El par ordenado del punto A tiene una coordenada x de 3. El segundo número en un par ordenado, o coordenada y, indica la distancia a la cual debe moverse en dirección vertical. El punto A tiene una coordenada y de 2. El par ordenado (3,2) da la ubicación del punto A. • ¿Qué par ordenado da la ubicación de la Estación Mapocho? Ejemplo Marca en la gráfica el par ordenado (5,7). Comienza en (0,0). Mueve 5 unidades hacia la derecha. Mueve 7 unidades hacia arriba. Marca el punto. • El punto (0,6) está en uno de los ejes. ¿En cuál de los ejes está? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eje de la x Ej e d e la y Museo de Bellas Artes Estación Mapocho Idea matemática El eje x y el eje y se intersecan en el punto (0,0). Los puntos que están en el eje x tienen un 0 en la coordenada y. Los puntos que están en el eje y tienen un 0 en la coordenada x. 1leC CI ÓN 190 Comprensión de los aprendizajes Práctica adicional en la página 208, Grupo A 1. Usa el plano cartesiano. Comienza en (0,0). Mueve 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Qué punto está en (6,2)? Usa el plano cartesiano. Escribe un par ordenado para cada punto. 2. D 3. G 4. C Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano. 5. X (9,0) 6. Y (6,8) 7. Z (4,10) 8. Explica cómo escribir el par ordenado para el punto K en el plano cartesiano. 24. ¿Qué número se representa gráficamente en la recta numérica? 10 2 3 4 5 6 7 25. ¿Cuál es la longitud de un segmento que une los puntos (5,1) y (10,1)? Grafica para resolver. 26. ¿Cuántas caras contendrá la plantilla de un cubo? 27. El punto (5,0): A no es un par ordenado C está en el origen B está en el eje de la x D está en el eje de la y Usa el plano cartesiano anterior. Escribe un par ordenado para cada punto. 9. B 10. H 11. F 12. J 13. A 14. E Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano. 15. J (1,1) 16. K (0,4) 17. L (2,5) 18. P (5,2) 19. S (6,0) USA DATOS Para 20–22, usa el mapa. 20. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Quinta Normal? 21. El Parque Forestal está ubicado en el punto A en el mapa cuadriculado. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Forestal? 22. Razonamiento ¿Qué ubicación está 2 unidades al oeste y 4 unidades al norte del Parque O’Higgins? 23. Explica por qué el orden es importante cuando se grafica un par ordenado en un plano cartesiano. x y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 eje de la ej e de la Parque Araucano Parque Padre Hurtado Parque Quinta Normal Parque O’Higgins A y x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 eje de la ej e de la A B D K F J I G H E C Práctica independiente y resolución de problemas Práctica con supervisión Capítulo 8 191 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Cine Biblioteca ej e de la y eje de la x Usa la destreza PrObleMA Marcos está haciendo un mapa de su vecindario en un plano de coordenadas para sus nuevos vecinos. Están buscando la escuela. Marcelo les dijo que la tienda de zapatos estaba ubicada en las coordenadas (6,2). El cine está ubicado 5 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo de la tienda de zapatos. La biblioteca está ubicada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba del cine. La escuela tiene la misma coordenada x que la tienda de zapatos y la misma coordenada y que la biblioteca. ¿Dónde está la escuela? A veces un problema contiene la información que necesitas para una pregunta pero no para otra. Debes decidir qué información es relevante, o necesaria, para resolver el problema. Destreza: información relevante o irrelevante OBJETIVO: resolver problemas usando la destreza información relevante o irrelevante. Piensa y comenta Para resolver a y b, usa el mapa ilustrado arriba. Menciona la información relevante y resuelve los problemas. a. La coordenada y de la casa de Marcelo es 3 unidades mayor que la zapatería. La coordenada x de su casa es menor en 2 unidades que la de la biblioteca. ¿Cuáles son las coordenadas de la casa de Marcelo? b. La tienda de mascotas se trasladó de su ubicación anterior en (2, 2). La nueva ubicación tiene la misma coordenada x que la biblioteca y está directamente a la derecha del cine. ¿Dónde está la tienda de mascotas? 2leC CI ÓN 192 Aplicaciones mixtas USA DATOS Para 1–3, usa el mapa. Menciona la información relevante y resuelve los problemas. 1. Pamela marcó en un mapa la ubicación de sus restaurantes favoritos. El Rincón de la Hamburguesa está ubicado en las coordenadas (2,1). El Deli de Juan está 5 cuadras directamente al norte del Rincón de la Hamburguesa. Tazón de Pasta está ubicado 4 cuadras al este del Deli de Juan. La Pizzería de Cata tiene una coordenada y que está 2 cuadras al sur del Deli de Juan y una coordenada x que está 1 cuadra al este del Rincón de la hamburguesa. ¿Cuáles son las coordenadas de la Pizzería de Cata? Piensa: ¿Qué necesitas hallar? Las coordenadas de la Pizzería de Cata. ¿Qué datos son relevantes para resolver el problema? Las coordenadas del Rincón de la hamburguesa y las coordenadas del Deli de Juan. Rincón de la hamburguesa: (2,1) Deli de Juan: (2,) Pizzería de Cata: (,) 4. Daniela empezó a caminar a las 11:00 a.m. Caminó 2 cuadras hacia el norte, 3 cuadras hacia el este, 2 cuadras hacia el sur y 3 cuadras hacia el oeste. Caminó durante 3 _ 4 de hora. ¿Qué figura forma el camino que recorrió? 6. El club de jardinería necesita 50 plantas. Si 15 plantas cuestan $4 695, ¿cuánto pagaría el club de jardinería por las 50 plantas? 7. Sara usó un plano de coordenadas para planear su jardín. Plantó rosales en un cuadrado alrededor de su jardín. Cada lado del cuadrado mide 5 cm de largo. Si 1 unidad en el plano de coordenadas es igual a 1 centímetro y el centro del cuadrado está en el punto (6,6), ¿dónde están los 4 vértices del cuadrado? Explica cómo lo sabes. 5. Martín y Lucas son hermanos. La suma de sus edades es 22 años y la diferencia de sus edades es de 2 años. Martín es mayor que Lucas. ¿Cuántos años tiene cada niño? Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Rincón de la Hamburguesa ej e de la y eje de la x 2. ¿Qué pasaría si la Pizzería de Cata estuviera directamente al sur de Tazón de Pasta y directamente al oeste del Rincón de la Hamburguesa? ¿Cuáles serían entonces las coordenadas de la Pizzería de Cata? 3. Inés quiere abrir un restaurante que está 5 cuadras al sur de Tazón de Pasta y 3 cuadras al este del Rincón de la Hamburguesa. ¿Cuáles serían las coordenadas de su restaurante? resolución de problemas con supervisión Capítulo 8 193 Aprende Figuras 2D y sus elementos OBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 2D. En los cursos anteriores conociste los triángulos, cuadrados, rectángulos, todas figuras planas de dos dimensiones, figuras 2D. Además conociste los elementos básicos de la geometría como puntos de intersección, lados, vértices y segmentos. Ejemplo Nombra los vértices y lados del cuadrado ABC 3leC CI ÓN Una recta se intersecta con otra en un punto. Dicho punto se denomina punto de intersección. Vocabulario puntos de intersección segmentos vértices lados figuras 2D Vértices: A, B, C, D Lados: AB, BC, CD, DA En un cuadrado, los lados opuestos son paralelos: AB no se intersecta con CD . Los lados consecutivos son perpendiculares: AB y BD forman un ángulo de 90º. Identificamos los segmentos AB, BC y CA , que llamaremos lados del triángulo y los puntos A, B y C, que llamaremos vértices del triángulo. Los vértices del triángulo son los puntos de intersección de los segmentos. Los lados también se pueden identificar con una letra minúscula que corresponde al vértice opuesto: (a, b, c) En el siguiente triángulo, identificamos los puntos y los segmentos que utilizaron para dibujarlo. En general, a toda figura cerrada que se forma con la unión de segmentos la llamaremos polígono. A B BA DC C b a c 194 Práctica con supervisión Comprensión de los aprendizajes Práctica adicional en la página 208, Grupo B 15. Dibuja una figura 2D e identifica sus lados y sus vértices. 16. ¿Cuántos lados tiene la figura? y, ¿cuántos vértices? Nómbralos. 17. Razonamiento. ¿Es importante el orden en que nombremos los vértices y los lados de una figura 2D? Práctica independiente y resolución de problemas Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes: Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes: 1. 2. 3. 4. 8. 9. 10. 11. 5. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay. 6. De las figuras 1 a la 4, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuáles son. 7. Comenta. ¿Qué observas en las figuras 2, 3 y 4? 12. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay. 13. De las figuras 8 a la 11, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuales son. 14. ¿Qué observas en la figura 10 si la comparas con las otras? Capítulo 8 195 Aprende Figuras 3D y sus elementos OBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 3D. En la lección anterior identificaste ciertas características de las figuras 2D por ejemplo cuándo sus lados son paralelos o cuándo sus lados son perpendiculares. Si unimos algunas de estas figuras 2D a través de sus lados, formaremos una figura 3D. En estas figuras 3D reconoceremos las caras, los vértices y las aristas. Las figuras 3D cuyas caras son polígonos se llaman poliedros y las que tienen alguna cara curva se llaman cuerpos redondos. En los poliedros podemos distinguir algunas caras paralelas. Por ejemplo 4leC CI ÓN Vocabulario figuras 3D vértices caras aristas La línea donde se encuentran dos caras es una arista. Todas las figuras 2D se denominan caras. El punto donde se encuentran varias aristas es un vértice. Bases ΔABC // ΔDEF Una figura 2D formada por segmentos es un polígono. A D B C F E Estos poliedros se llaman prismas y las caras paralelas serán sus bases. Las caras laterales serán siempre rectángulos. Si las caras son triángulos, entonces forman una pirámide. Esta figura 3D no tiene caras ni aristas paralelas. 196 Comprensión de los aprendizajes Práctica adicional en la página 208, Grupo C 19. ¿Qué figuras 2D componen las caras de una pirámide de base cuadrada? 20. Marisol compró 30 dulces a $ 200 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Marisol en total? 21. Luis tiene un bloque de 2 bases triangulares y 3 caras rectangulares. ¿Qué figura 3D tiene Luis? Práctica independiente y resolución de problemas Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D. Para 15 - 18 usa la foto que se ve a la derecha: 5. 6. 7. 8. 9. A. B. C. D. 10. 11. 12. 13. 14. ¿Qué forma se ve en la base de la estructura? 15. ¿Qué forma se ve en la estructura lateral? 16. ¿Cuántas caras, cuántas aristas y cuántos vértices tiene la estructura? 17. ¿Qué nombre tiene esta figura 3D? 18. ¿Cuál es el error? Mario dice que se puede dar el nombre de una figura 3D si se sabe el número de caras que tiene. Describe el error de Mario. Práctica con supervisión Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D. 1. 2. 3. 4. Capítulo 8 197 5 Investiga repaso rápidoFiguras congruentes OBJETIVO: identificar figuras congruentes. Identifica la figura: 1. 2. 3. 4. 5. Vocabulario congruente Materiales ■ papel punteado ■ tijeras ■ regla Puedes colocar una figura sobre otra para ver si coinciden. Si coinciden son figuras congruentes. Dibuja las parejas de figuras en papel punteado. Recorta cada pareja. Muévelas de cualquier manera para comprobar si coinciden. En otra hoja de papel punteado, dibuja dos figuras que creas que van a coincidir. Recorta una y comprueba si las figuras coinciden. Sacar conclusiones 1. ¿Cómo moviste las figuras para comprobar si coinciden? 2. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las parejas que coinciden. 3. ¿Qué puedes concluir acerca de las parejas de figuras que coinciden? 4. Ampliación Escribe un grupo de instrucciones que expliquen cómo se dibujan dos figuras en papel punteado que tengan el mismo tamaño y forma, pero que después de girarlas, estén en direcciones diferentes. 198 relacionar Practicar Figuras Congruentes o no congruentes Ambos segmentos miden 1 centímetro de largo. Tienen la misma longitud y la misma forma. Son congruentes. Los círculos tienen la misma forma, pero sus diámetros son de diferentes longitudes. Los círculos no son del mismo tamaño. No son congruentes. F y G miden 90. Los ángulos son del mismo tamaño y forma. Coincidirán exactamente cuando uno se coloque sobre el otro. Son congruentes. Los pentágonos tiene la misma forma, pero son de tamaños diferentes. No son congruentes. Las imágenes de las pelotas de fútbol parecen ser de la misma forma y tamaño. Son congruentes. A B C D F G Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son congruentes. Di si las dos figuras son congruentes o no congruentes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Para los ejercicios 7 y 8, usa los polígonos U,V, W, X e Y. ¿Cuáles son algunos objetos en la sala de clases que son congruentes o no congruentes? 9. Explica si la afirmación todos los círculos son congruentes es verdadera o falsa. Puedes incluir un dibujo en tu explicación. 7. ¿Qué parejas de polígonos son congruentes? Explica. 8. ¿Qué parejas de polígonos no son congruentes? Explica. A B C D E Capítulo 8 199 Investiga repaso rápido en el sentido de las manecillas del reloj en sentido contrario a las manecillas del reloj Rotación OBJETIVO: relacionar las medidas de ángulos con 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 y giros completos. Nombra cada ángulo. Escribe agudo, obtuso o recto. 1. 2. 3. 4. 5. Materiales ■ 2 tiras de papel ■ sujetadores de papel Puedes hacer girar tiras de papel para explorar la relación entre giros y medidas de ángulos. Los rayos de un círculo se pueden girar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. Abre la tira de papel para formar un ángulo de 90. ¿Es este un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 o un giro completo? Abre la tira de papel 1 _ 4 de giro más para formar un ángulo de 180. ¿Es este un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 o un giro completo? Haz otro giro de 1 _ 4 para formar un ángulo de 270. ¿Es este un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 o un giro completo? Gira la tira de papel 1 _ 4 para finalizar el círculo. ¿Es este un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 o un giro completo? Sacar conclusiones 1. ¿Cuántos grados hay en un giro completo? 2. ¿Cuántos giros de 1 _ 4 se necesitan para hacer un giro completo? 3. Síntesis Explica la relación entre las medidas de ángulos y giros. 6 200 relacionar Practicar 1000g 2.2 lb 2 8 6 10 14 1lb2 4oz 6 8 10 12 oz 14 2lb 2oz 0 12 oz 4oz 1000g 100g 200g 30 0g 40 0g 600g 700g 80 0g 90 0g 500g 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10 11 12 7 6 5 4 3 2 1 Di si los rayos en el círculo muestran un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 o un giro completo. Después, identifica el número de grados que se han girado los rayos en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Puedes relacionar giros y ángulos medidos en grados con las manecillas del reloj. Las manecillas del reloj representan los rayos de un ángulo. Cada minuto que marca el reloj representa 6. 15 minutos de tiempo transcurrido. 15 • 6 5 90 El minutero ha girado 90. 30 minutos de tiempo transcurrido. 30 • 6 5 180 El minutero ha girado 180. Explica en qué se parecen un ángulo de 270° en un círculo a un giro de 3 _ 4 y a un período de 45 minutos en un reloj. Di si la figura ha sido girada 90º, 180º, 270º o 360º en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. 9. 13. 10. 14. 11. 15. 12. 16. 17. Explica cómo el resultado de un giro de 90˚ en el sentido de las manecillas del reloj puede parecer el resultado de un giro de 270˚ en sentido contrario a las manecillas del reloj. 45 minutos de tiempo transcurrido. 45 • 6 5 270 El minutero ha girado 270. Capítulo 8 201 Aprende repaso rápido Paso Paso Paso Paso 7leC CI ÓN Simetría OBJETIVO: identificar simetría axial y rotacional en figuras geométricas. PROBLEMA La simetría se puede encontrar en todo nuestro alrededor. Existe en la naturaleza, el arte, la arquitectura y la música. Un tipo de simetría que se encuentra en las figuras geométricas es la simetría axial. Este letrero está en las colinas de Hollywood, California. ¿Qué letras en el letrero de Hollywood muestran simetría axial? Una figura tiene simetría axial si se puede doblar a lo largo de una línea de manera que las dos mitades coincidan exactamente, haciendo que ambas partes sean absolutamente congruentes. Usa bloques de patrón o papel punteado para hacer la letra W. Actividad 1 Explora la simetría axial. Materiales ■ bloques de patrón ■ papel ■ tijeras Traza la W. Recorta por el trazo. Dobla por el trazo. Las dos partes de la W doblada coinciden exactamente. Por lo tanto, la W tiene simetría axial. Ya que ambas partes coinciden entre sí, por lo que también se denominan congruentes. La H tiene 2 ejes de simetría. La O tiene 2 ejes de simetría. La L tiene 0 ejes de simetría. La Y tiene 1 eje de simetría. La D tiene 1 eje de simetría. Por lo tanto H, O, Y, W y D tienen simetría axial. Laura necesita dos fichas congruentes para un diseño. ¿Cuáles fichas parecen ser congruentes? Vocabulario simetría axial simetría rotacional 202 Paso Paso Paso X X Simetría axial Más sobre simetría Una figura tiene simetría si se puede rotar sobre un punto central y conservar la misma apariencia en por lo menos dos posiciones. Por lo tanto, al rotar la figura, esta mantiene su forma o es congruente con la figura inicial. Se dice, entonces que la figura tiene simetría rotacional. Este es un giro de 1 _ 4 , un cuarto de giro, o 90 alrededor de un punto. Este es un giro de 1 _ 2 , medio giro, o 180 alrededor de un punto. Este es un giro de 3 _ 4 , tres cuartos de giro, o 270 alrededor de un punto. Actividad 2 Explora la simetría. Materiales ■ papel de trazar ■ bloques de patrones Traza cada bloque de patrón. Coloca el trazo sobre el bloque de patrón. Pon una X en el tope del trazo. Mantén los puntos centrales juntos y gira el trazo para ver si coincide exactamente en otra posición. Registra el número de veces que la figura empareje en otra posición hasta que la X aparezca en el tope del trazo. Si la X coincide en más de una posición, la figura tiene simetría rotacional y su resultado es una figura congruente con la original previa al giro. Ningún eje de simetría El edificio torre Entel en Santiago tiene simetría axial, pero no tiene simetría central. La forma de la Isla de Pascua en el mapa no tiene ejes de simetría. Ejemplos Describe la simetría que parece tener cada figura. Capítulo 8 203 Práctica independiente y resolución de problemas Práctica con supervisión A B C D Di si la figura parece tener simetría axial. ¿Por qué? 7. 8. 9. 10. Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría. 11. 12. 13. 14. Dibuja cada figura que tenga lo siguiente. Después, dibuja el eje o los ejes de simetría. 15. 0 ejes de simetría 16. 1 eje de simetría 17. 2 ejes de simetría 18. Simetría central 1. En la figura se muestra un eje de simetría. Traza la figura en papel punteado y dibuja otros 3 ejes de simetría. Di si la figura parece tener simetría axial, ¿Por qué? 2. 3. 4. 5. 6. Explica cómo se puede decidir si una figura tiene simetría axial. USA LOS DATOS Para los ejercicios 19 a 21, usa las figuras. 19. ¿Cuál figura parece tener 6 ejes de simetría? 20. ¿Cuáles figuras parecen tener simetría cuando se giran 90, 180, 270 y 360? 21. ¿Cuál figura parece tener el mayor número de ejes de simetría? 204 Comprensión de los aprendizajes 26. ¿Qué movimiento realiza un auto que avanza por una calle? A traslación C simetría central B rotación D simetría axial 27. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra M? A horizontal C central B vertical D medio giro 28. ¿Qué tipo de líneas se encuentran en una esquina de un cuadrado? 29. 864 : 6 5 30. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra Z? A horizontal C central B vertical D medio giro Kirigami Materiales ■ papel ■ tijeras Origami es el arte de doblar papel y después recortarlo para hacer objetos ornamentales o diseños. Estos diseños fueron hechos doblando el papel una vez. Dobla una hoja de papel por la mitad y después por la mitad otra vez en el primer doblez. Recorta un hoyo en la forma que desees a través del doblez. Usa lo que sabes acerca de la simetría para predecir cómo se verá el diseño. Después abre el papel. ¿Era correcta tu predicción? 22. Razonamiento ¿Cómo puedes terminar este diseño de manera que tenga por lo menos un eje de simetría? 24. Halla dos palabras que tengan un eje de simetría horizontal. 23. ¿Cuál es el error? Ignacio dice que todos los polígonos regulares no tienen eje de simetría. Describe y corrige su error. 25. Elige y dibuja una figura con por lo menos dos ejes de simetría. Después escribe instrucciones que expliquen cómo se hallan los ejes de simetría. Predice cómo se verá la figura cuando se desdoble el papel. Comprueba doblando y recortando. 1. 2. 3. 4. Práctica adicional en la página 208, Grupo D Capítulo 8 205 Aprende 8le CC IÓN Traslación OBJETIVO: trasladar figuras. PrObleMA En Curicó, el cine se encuentra ubicado en el punto A(1,1). La biblioteca en el punto B(3,4) y la farmacia en el punto C(5,19). Quieren cambiar la ubicación de cada uno a otros puntos de la ciudad. ¿Cuál es la nueva ubicación del mall, la plaza y la farmacia si los trasladan 6 lugares a la derecha? En cada par ordenado indica la coordenada solicitada. 1. (3,2) x 3. (4,7) x 5. (9,2) y 2. (3,3) y 4. (7,0) y Práctica con supervisión 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Cine Biblioteca ej e de la y eje de la x Contesta las siguientes pregunta: 1. Al unir los puntos A, B y C, ¿qué figura se forma? 2. Al unir los puntos de la nueva ubicación, ¿qué forma tiene la nueva figura? 3. ¿Cómo es el tamaño de ambos triángulos? Relaciona el siguiente concepto: Mover una figura de una posición a otra nueva sin perder la forma (figuras congruentes) y tamaño se llama traslación. Ejemplo: la estrella se ha traslado en dirección diagonal y sigue manteniendo la forma y el tamaño. Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Figura 1 Figura 2 La figura 1 es congruente con la figura 2. Vocabulario traslación 206 Práctica independiente y resolución de problemas Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta. Traslada cada figura en la indicación dada y dibuja su nueva posición sin perder la forma y tamaño. Comprensión de los Aprendizajes 11. Estima la diferencia entre 39,346 y 26,844. 12. Ana gastó $ 1 347 y Marco gastó $ 987. ¿Cuánto dinero gastaron en total? 13. ¿Qué número del par ordenado (7,6) es la coordenada x? 14. Representa gráficamente el par ordenado (3,9) en un plano cartesiano. 7. Tres unidades a la derecha. 8. Cuatro unidades hacia abajo. 9. Tres unidades hacia arriba y tres unidades a la derecha. 10. Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el triángulo ABC de coordenadas A(1,1); B(3,5), C(4,2) 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del triangulo? Dibuja el nuevo triángulo A´B´C´. ¿Las figuras son congruentes? ¿Por qué? Práctica adicional en la página 208, Grupo E Capítulo 8 207 Grupo A Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la cuadrícula. 1. punto J 2. punto M 3. punto T 4. punto K 5. punto F 6. punto L Usa una cuadrícula para representar cada par ordenado. 7. (4,2) 8. (0,5) 9. (2,1) 10. (1,0) 11. (5,3) 12. (4,1) 13. (3,3) 14. (0,0) Práctica adicional Grupo D Di si la figura parece tener simetría axial. 1. 2. 3. 4. Grupo B Identifica los lados y los vértices de cada figura. 1. 2. Grupo C Pinta las caras basales de las figuras 3D. 1. 2. 3. 4. Observa las figuras y contesta. 5. ¿Cuántos vértices y caras laterales tienen? 6. ¿Cuántas aristas tienen cada figura? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 A B C F K J T L M ej e de la eje de lax y Lados. ¿Cuántos hay? Lados ¿Cuántos hay? Vértices. ¿Cuántos hay? Vértices. ¿Cuántos hay? A E B D CF E D A B C Figura A Figura B Figura C 208 V Grupo E 1. Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el cuadrado de coordenadas A(2,4), B(6,4), C(2,8) y D(6,8) 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo. Determine las nuevas coordenadas del cuadrado. 2. Escribe dos ejemplos de movimientos de traslación en la vida real. Por ejemplo, el movimiento que realiza un ascensor. 3. Observa la siguiente figura: 4. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo. 5. Si a la figura se le aplica una traslación de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices? 6. Si luego se le aplica una traslación de 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices? A B C D E F Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría. 5. 6. 7. 8. Para los ejercicios 9 - 13, usa las figuras A a F. 9. ¿Qué figuras parecen tener 6 ejes de simetría? 10. ¿Qué figuras no parecen tener simetría cuando se giran 180? 11. ¿Qué figuras parecen tener simetría cuando se giran 90? 12. ¿Qué figura parece tener más ejes de simetría? 13. ¿Qué figura no parece tener simetría axial? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 A B C Capítulo 8 209 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 S M T R C A B ej e de la y eje de la x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 ej e de la y eje de la x A B C Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Un ____________ es un par de números que se usan para ubicar un punto en una cuadrícula de coordenadas. 2. El punto donde se intersecan las dos líneas se llama el ____________ , o (0, 0). Comprueba tus destrezas Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la figura dada (fig. A). 3. punto S 4. punto M 5. punto T 6. punto A 7. punto B 8. punto C Usa la figura dada y responde (fig. B). ¿Qué figuras son congruentes? Explica cómo lo sabes. Halla una regla para completar la tabla. 10. 11. Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 12. Un mapa del barrio muestra que las coordenadas del parque son (2,4). La coordenada y del parque es igual a la coordenada y de la Municipalidad. Y la coordenada x del parque es el doble de la coordenada de x de la municipalidad. ¿Cuáles son las coordenadas de la Municipalidad? Repaso/Prueba del capítulo 8 13. Imagina que hay planes para construir un nuevo parque en el lado opuesto del pueblo. ¿Qué pasaría si el nuevo parque se construyera 5 unidades a la derecha y 8 unidades arriba del parque existente en el Ejercicio 11? Explica dónde estaría ubicado el nuevo parque. VOCAbUlArIO par ordenado origen eje de la x x y 4 12 3 9 2 1 0 0 x y 4 4 3 5 2 6 1 0x y 4 12 3 9 2 1 0 0 x y 4 4 3 5 2 6 1 0 eje de lax eje de lax ej e de la y ej e de la y Figura A Figura B 210 Capítulo 8 211 Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un rombo y un trapecio son tipos de cuadriláteros. 3. 4. En cada ejemplo de abajo, parte del cuadrilátero está oculto al otro lado de la línea negra. Ejemplo Identifica algunos de los posibles cuadriláteros que esta figura podría ser. • La figura tiene un ángulo recto. Los únicos cuadriláteros que tienen ángulos rectos son los cuadrados y los rectángulos. Por lo tanto, la figura podría ser un cuadrado o un rectángulo. cuadrado rectángulo paralelogramo rombo trapecio Enriquecimiento • Los cuadriláteros ¿Es un rombo un paralelogramo? ¿Cuántos ejes de simetría tiene? Explica. Capítulo 18 211 Inténtalo Dibuja la figura simétrica al otro lado del eje de simetría. 1. 2. Números y operaciones Comprensión de los aprendizajes x 2 3 4 ...... y 5 7 9 ..... 1. La suma de 0,894 + 8 es: A 8,902 C 1,694 B 1,908 D 8,894 4. El valor posicional del dígito subrayado es: 1 2 5 9 8 7 6 8 A 5 UM C 5 CM B 5 Umi D 5 Cmi 10. ¿Cuántos vértices y lados tiene respectivamente la figura? 5. El orden de mayor a menor de estos números decimales es: 0,347; 14,207; 14,027; 0, 437 A 0, 347; 0,437; 14,027, 14,207 B 14,207; 14,027; 0,437; 0,347 C 0, 347; 14,207; 14,027; 0,437 D 14,207; 14,027; 0,347; 0,437 6. Al restar 2,007 – 0,339 resulta: A 1, 668 B 1,866 C 0,346 D 2,668 2. Al restar – resulta: A C B 1 D 3. Al ordenar 2 , 1 , 2 resulta: A 2 < 2 < 1 C 1 < 2 < 2 B 1 < 2 < 2 D 2 < 1 < 2 Patrones y álgebra 7. El par ordenado que sigue en la tabla es: A (5,3) B (3,5) C (5,4) D (5,11) 9. El patrón 18,24,30,36 y _____. Se completa con: A 42 B 12 C 48 D 60 8. La regla de la secuencia numérica 10,100,1 000,10 000 es: A Sumar 10 B Multiplicar por el mismo número C Multiplicar por 1 D Multiplicar por 10 8 9 2 5 2 3 2 3 5 9 5 9 2 3 3 5 3 5 3 5 2 3 5 9 5 9 5 9 2 3 3 5 3 5 5 4 5 36 3 4 A 5 vértices y 10 lados B 10 vértices y 10 lados C 10 vértices y 5 lados D Es un semicírculo, no tiene vértices ni lados 212 12. ¿Qué transformación se efectuó a la figura 1 para obtener la figura 2? figura 1 figura 2 A Traslación B Simetría central C Simetría axial D Rotación 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90 P Q S R ej e de la y eje de la x Tienda de mascotas Tienda de comestibles Juguetería Tienda de computación eje de lax ej e de la y 15. ¿Cuántos libros más leyó en noviembre que en septiembre? A 1 C 3 B 2 D 4 Geometría - Medición Datos y probabilidades Para las preguntas 14 y 15 utiliza el siguiente gráfico de barras que muestra el número de libros que leyó Claudia durante cuatro meses: 14. ¿Cuántos libros en total leyó Claudia? A 5 C 11 B 8 D 12 Libros leídos por Claudia sep oct nov dic mes n ú m er o d e lib ro s 5 4 3 2 1 0 16. El siguiente mapa muestra las ubicaciones de 4 tiendas diferentes. ¿Qué tienda está ubicada en (2,2)? A Tienda de mascotas B Tienda de computación C Tienda de comestibles D Juguetería 13. ¿En cuál de las siguientes opciones la línea NO es un eje de simetría? A C B D 11. ¿Qué coordenadas indican el origen? A (3,3) B (2,2) C (1,1) D (0,0) Capítulo 8 213 CAPÍTULO Figuras planas cuadrado triángulo paralelogramo trapecio Medición y perímetro La idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir usando unidades métricas y unidades usuales. Investiga Imagina que eres un arqueólogo que trabaja en una excavación en el Valle de la Luna. Marca el contorno de un área rectangular de 5 metros por 15 metros usando una cuerda. Muestra y describe otras tres figuras planas que se puedan hacer con la misma cantidad de cuerda. A 13 kilómetros al oeste de San Pedro de Atacama, perteneciente a la región de Antofagasta, se encuentra ubicado el Valle de la Luna, llamado así por su extraña apariencia lunar. 9 DATO BREVE 214 Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 9. u Perímetro: contar unidades Halla el perímetro de cada figura. u Elegir la unidad apropiada Elige la unidad usual apropiada. 11. altura de una habitación 12. longitud de tu dedo 13. ancho de una cancha de fútbol centímetros o metros milímetros o centímetros metros o kilómetros o decimetros Elige la unidad métrica apropiada. 14. longitud de tu escritorio 15. distancia recorrida en 16. ancho de una habitación centímetros o metros bicicleta en 1 hora centímetros o metros o decímetros metros o kilómetros o decímetros VOCABULARIO DEL CAPÍTULO fórmula perímetro polígono paralelepípedo PREPARACIÓN perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada. polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos. fórmula Un conjunto de símbolos que expresan una regla matemática. paralelepípedo Una figura 3D cuyas seis caras son rectángulos. 8 m 4 m 6 cm 19 cm13 km 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 9 m 3 m 6 cm 10 cm 11 km Capítulo 9 215 Longitud OBJETIVO: identificar y convertir unidades usuales y unidades métricas de longitud. PROBLEMA Mario necesita 200 centímetros de cadena para su proyecto de artesanía. La cadena se vende por metro. ¿Cuántos metros de cadena necesita? 1. 15 • 3 2. 60 : 12 3. 8 • 12 4. 4 • 5 280 5. 15 840 : 5 280 Ejemplo 1 Convierte centímetros en metros. Halla la cantidad de metros que hay en 200 centímetros. Piensa: 200 centímetros 5 j metros 200 : 100 5 y Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide. cantidad de 4 cantidad de centímetros 5 cantidad centímetros que hay en 1 metro de metros ↓ ↓ ↓ 200 : 100 5 2 Por lo tanto, Mario necesita 2 metros de cadena. Ejemplo 2 Convierte metros en milímetros. Javiera necesita 4 metros de tela para su proyecto de artesanía. ¿Cuántos milímetros de tela necesita? Halla el número de milímetros que hay en 4 metros. Piensa: 4 metros 5 j milímetros 4 • 1 000 5 x Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica. cantidad 3 cantidad de milímetros 5 cantidad de metros que hay en 1 metro de milímetros ↓ ↓ ↓ 4 • 1 000 5 4 000 Por lo tanto, Javiera necesita 4 000 milímetros de tela. Más ejemplos Convierte 3 kilómetros en metros. cantidad 3 cantidad de metros que 5 cantidad de kilómetros hay en 1 kilómetro de metros ↓ ↓ ↓ 3 • 1 000 5 3 000 Por lo tanto, 3 kilómetros equivalen a 3 000 metros. Convierte 130 centímetros. cantidad 4 cantidad de centímetros 5 cantidad de de centímetros que hay en 1 decímetro decímetros ↓ ↓ ↓ 130 4 10 5 13 Por lo tanto, 130 centímetros equivalen a 13 decímetros. 1LEC CI ÓN Aprende : : : • • 216 Unidades métricas de longitud 10 milímetros (mm) 100 centímetros 1 000 metros 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 kilómetro (km) Longitud en unidades métricas Puedes usar la multiplicación y la división para convertir unidades métricas de longitud. 1. ¿Cuántos centímetros hay en 1 500 metros? Piensa: Se convierte en unidades más grandes; por lo tanto, se divide. 100 centímetros 5 1 metro 1 500 : 100 5 j metros 2. ¿Cuántos milímetros hay en 12 centímetros? Piensa: Se convierte en unidades más pequeñas; por lo tanto, se multiplica. 1 centímetro 5 10 milímetros 12 • 10 5 j milímetros Convierte las unidades dadas. 3. 7 cm 5 j mm 4. 3 000 m 5 j km 5. 8 m 5 j mm 6. 800 000 cm 5 j km 7. 22 cm 5 j mm 8. 30 mm 5 j cm 9. 2 km 5 j m 10. 5 m 5 j cm 11. 2 000 mm 5 j m 12. 12 km 5 j m 13. 5 km 5 j mm 14. 700 cm 5 j m 15. Explica cómo convertir 6 kilómetros en milímetros. Ejemplo 3 Convierte centímetros en metros. Alberto mide un pedazo de cartulina gruesa de 125 centímetros. ¿Cuál es la longitud en metros? Piensa: 125 centímetros 5 j metros 125 : 100 5 m Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide. cantidad 4 cantidad de cm 5 cantidad de cm que hay en 1 m de m ↓ ↓ ↓ 125 4 100 5 1,25 Por lo tanto, hay 1,25 metros en 125 centímetros. Ejemplo 4 Convierte centímetros en milímetros. Por lo tanto, hay 150 milímetros en 15 centímetros. Fran mide un trozo de hilo de 15 centímetros de largo. ¿Cuál es la longitud en milímetros? Piensa: 15 centímetros 5 j milímetros 15 • 10 5 n Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica. cantidad 3 cantidad de mm 5 cantidad de cm que hay en 1 cm de mm ↓ ↓ ↓ 15 • 10 5 150 Idea matemática Dado que hay 10 mm en 1 cm, 1 mm es igual a 1 __ 10 , o 0,1 cm. Práctica con supervisión : : • Capítulo 9 217 Comprensión de los aprendizajes Longitud de la madera viga tabla poste Artículo Medida 2 m 13 cm 2 m 67 cm 3 m 81 cm Convierte las unidades dadas. 16. 48 cm 5 j mm 17. 5 km 5 j m 18. 50 cm 5 j m 19. 25 m 5 j cm 20. 70 mm 5 j m 21. 4,2 km 5 j m 22. 3,5 m 5 j cm 23. 480 mm 5 j cm 24. 1,6 km j m 25. 6,4 cm 5 j mm 26. 2,5 m 5 j cm 27. 4 200 cm 5 j m 28. 2,5 km 5 j m 29. 110 mm 5 j cm 30. 5,6 m 5 j cm 31. 6,8 cm 5 j mm Completa. 32. 145 cm 5 j m 45 cm 33. 4 m 30 cm 5 j mm 34. 7 km 5 6 m j m 35. 2 cm 35 mm 5 j mm 36. 8 m 50 cm 5 6 mm j cm 37. 12 m 5 10 m j cm 43. En la ecuación 32 + = 51, ¿qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico? 44. Si Miguel desde el origen avanza 8 pasos a la derecha y 5 hacia arriba, ¿cuáles serían las nuevas coordenadas? 45. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 3,28 metros? A 32,8 cm C 0,328 km B 328 cm D 328 km 46. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 2 m 30 cm? A 23 cm C 2 030 mm B 230 cm D 0,23 m USA DATOS Para 38–42, usa la tabla. 38. ¿Cuántos pedazos de 10 cm puede cortar Luis de una viga? ¿Cuántos centímetros de viga sobran? 39. Rita corta un pedazo de 1 m 50 cm de un poste para acortarlo. ¿Cuánto mide el poste ahora? 40. Juan corta una tabla en tres pedazos iguales. ¿Cuántos centímetros de largo mide cada pedazo? 41. Aarón corta un poste en dos pedazos de igual tamaño. Le queda un pedazo que mide 1 m y 41 cm de largo. ¿Cuánto miden los dos pedazos que cortó? 42. Explica cómo restarías la longitud de una tabla de la longitud de un poste. Usa la tabla ilustrada arriba. Práctica adicional en la página 224, Grupo A Práctica independiente y resolución de problemas 218 Longitud AnchoTamaño Grande A Grande B Mediano A Mediano B Pequeño A Pequeño B 2,7 2,1 2,1 1,2 2,0 1,7 2,4 3,0 2,5 2,5 2,1 2,3 Formula un problema 1. Convierte la longitud y el ancho de un columpio de centímetros a milímetros. 2. Compara la longitud en milímetros de dos columpios en el grupo grande, mediano o pequeño. Resolución de problemas Formula un problema usando los datos de los columpios de las siguientes maneras. Se pueden formular problemas diferentes usando un conjunto dado de datos. Para hacerlo, se deben convertir las unidades de los datos. La señorita Serra pidió a su clase que usara los datos de la tabla para escribir un problema relacionado con las dimensiones de los columpios. Para formular un problema: • Comprender de qué se trata el problema. • Estudiar los datos. • Completar todos los cálculos necesarios para resolver el problema. • Resolver el problema para comprobar que otros puedan resolverlo según lo que has escrito. Columpios Grande A Grande B Mediano A Mediano B Pequeño A Pequeño B Tamaño Longitud (cm) Ancho (cm) 270 210 210 120 200 170 240 300 250 240 210 230 Primero, convierto las dimensiones de los columpios a metros para poder comparar con exactitud las longitudes dadas y el espacio descrito en mi problema. Finalmente, escribo este problema sobre los datos. “En su jardín, el señor Torres tiene un espacio que mide 5 m de largo y 2 m de ancho. ¿Qué columpios puede instalar en el espacio que hay en la mitad de su jardín?” Solución: el señor Torres puede instalar los columpios Mediano B, Pequeño A o Pequeño B. Capítulo 9 219 12 m 14 m 12 m a b c d e mf 2 m 8 m 8,4 m 6,4 m7,5 m 8,4 m 6,4 m7,5 m ÁLGEBRA Usar las fórmulas del perímetro OBJETIVO: hallar el perímetro de polígonos usando fórmulas. PROBLEMA Carolina está poniendo papel pintado en las paredes de su casa. Su casa tiene un perímetro de 52 metros. El plano ilustrado a la derecha indica la longitud de las paredes de su casa. ¿Cuánto papel pintado necesitará Carolina para colocar en el lado de la longitud desconocida? Puedes usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado cuando conoces el perímetro y la longitud de los otros lados. Resuelve la ecuación. 1. a 1 24 1 32 5 71 2. 28 1 x 1 28 1 14 5 84 3. 45 1 18 1 m 1 12 5 91 4. (2 • r) 1 (2 • 16) 5 74 5. (2 • 34) 1 (2 • t) 5 102 Ejemplo P 5 la suma de las longitudes de los lados 52 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 52 5 14 1 12 1 12 1 8 1 2 1 f 52 5 48 1 f f 5 4 Piensa: Usa una variable para representar la longitud de cada lado. Reemplaza f con 4 para comprobar tu solución. 48 1 4 5 52 ✓ Por lo tanto, Carolina necesitará 4 metros de papel pintado para el lado final. • Imagina que sabes que el perímetro de un hexágono regular es de 48 metros. ¿Qué fórmula usarías para hallar la longitud de cada lado? Ejemplos Halla la longitud desconocida. Usa el perímetro dado. P 5 29 m P 5 a 1 b 1 c 1 d 29 5 7,5 1 8,4 1 6,4 1 d 29 5 22,3 1 d d 5 6,7 Compara los lados iguales. lado d 1 lado f 5 lado b, o d 1 f 5 b d 5 10 y b 5 17 10 1 f 5 17 f 5 7 Por lo tanto, la longitud desconocida es de 6,7 m. Por lo tanto, la longitud desconocida es de 7 cm. La casa de Carolina 2LEC CI ÓN Aprende 220 Comprensión de los aprendizajes 10 mm 10 mm 6 mm c b a e d P 5 mm j Práctica adicional en la página 224, Grupo B 1. Completa para hallar la longitud desconocida. P 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 38 5 6 1 j 1 10 1 5 1 e 38 5 j 1 e e 5 j Dado el perímetro, halla la longitud desconocida. 2. P 5 36 cm 3. P 5 98 cm 4. P 5 144,25 m 35 cm 14 cm 7 cm 7 cm d 3 415 cm 5. Explica cómo usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado. Dado el perímetro, halla la longitud desconocida. 6. P 5 51 m 7. P 5 50 cm 8. P 5 48 cm 13 m 8m 12 m 12 m m 24 cm t 1 49 cm 9. P 5 64,5 m 10. P 5 117 cm 11. P 5 41,4 cm 44 cm 25 cm 8 cm 11 cm x 12 cm 12. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ilustrado a la derecha? 13. Explica cómo hallarías la longitud del lado d del Ejercicio 3 si no te hubieran dado el perímetro. 14. 1 __ 3 + 2 __ 4 5 15. Un cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado? A 16 cm C 6 cm B 8 cm D 4 cm Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 9 221 Usa la destreza PROBLEMA El Trump World Tower y el Leighton House, rascacielos de la ciudad de Nueva York, son de la misma forma. El Trump World Tower es un prisma rectangular. Su base mide 44 metros de largo y 23 metros de ancho. El perímetro de la base del Leighton House mide 34 metros menos que el perímetro de la base del Trump World Tower. ¿Cuál es el perímetro de la base del Leighton House? A veces necesitas hacer generalizaciones para resolver un problema. Cuando generalizas, partes de un enunciado que es verdadero para todo un grupo de situaciones u objetos similares. Por lo tanto, el perímetro de la base del Leighton House es de 100 m. Piensa y comenta Haz una generalización. Luego resuelve el problema. a. Una figura plana tiene 5 lados congruentes. El perímetro de la figura es de 90 m. ¿Cuál es la longitud de cada lado? b. Un cuadrilátero tiene un perímetro de 24 cm. Tres de sus lados miden, cada uno, 6 cm. ¿Cuál es la longitud del cuarto lado? Lo que sabes Generalización Conclusión El Trump World Tower es un prisma rectangular. El Leighton House tiene la misma forma. El Trump World Tower mide 44 m de largo y 23 m de ancho. El perímetro de la base del Leighton House mide 34 m menos que el perímetro de la base del Trump World Tower. Los paralelpípedos tienen bases rectangulares. El perímetro de un rectángulo equivale a (2 · largo) � (2 · ancho). Para hallar una cantidad menor que una cantidad dada, se resta. El Leighton House tiene una base rectangular. El perímetro de la base del Trump World Tower mide (2 · 44m) � (2 · 23m), o 134 m. El perímetro de la base del Leighton House mide 134 m� 34 m, o 100 m. Destreza: hacer generalizaciones OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza hacer generalizaciones. Trump World Tower Leighton House 3LE CC IÓN 222 Haz generalizaciones para resolver un problema. 1. Paula compró una caja de cereal y 1 de avena con la misma forma. La caja de copos de maíz es un paralelepípedo. Su base mide 12 centímetros de largo y 4 centímetros de ancho. El perímetro de la base de la caja de avena mide 4 centímetros más que el perímetro de la base de la caja de copos de maíz. ¿Cuál es el perímetro de la base de la caja de avena? Haz una tabla similar a la de la página 222. Escribe lo que sabes sobre las cajas de cereales. Luego haz una generalización y saca una conclusión. El perímetro de la base de la caja de avena mide j centímetros. 2. ¿Qué pasaría si la base de la caja de copos de maíz midiera 10 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho? ¿Cuál sería el perímetro de la base de la caja de avena? 3. Dos cajas de pañuelos de papel son cubos congruentes. Si el perímetro de la base de una de las cajas de pañuelos de papel es de 16 centímetros, ¿cuál es la longitud de un lado de la base de la otra caja de pañuelos de papel? Aplicaciones mixtas USA DATOS Para 4–7, usa las imágenes. 4. La pirámide de Micerinos es una pirámide cuadrada. La pirámide de Kefrén tiene la misma forma. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Kefrén? 6. En la pirámide de Micerinos hay tres pirámides cuadradas ubicadas a lo largo de su pared al sur. El perímetro de la base de la más grande de estas tres pirámides mide 240 metros menos que el perímetro de la base de la pirámide de Micerinos. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la más grande de estas tres pirámides? 5. La pirámide de Keops es también una pirámide cuadrada, con una altura original de 144 metros aproximadamente. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops? 7. Javier dice que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Micerinos es mayor que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops. ¿Es razonable el enunciado de Javier? Explica tu respuesta. Pirámide de Micerinos Perímetro de la base: 413,4 metros Pirámide de Kefrén Perímetro de la base: 844,8 m Pirámide de Keops Perímetro de la base: 907,2 m Resolución de problemas con supervisión Capítulo 9 223 Grupo A Convierte la unidad dada. 1. 18 cm 5 j m 2. 60 mm 5 j m 3. 8 m 5 j mm 4. 7 km 5 j m 5. 12 cm 5 j mm 6. 4,3 km 5 j m 7. 3 400 mm 5 j cm 8. 900 cm 5 j m 9. Miguel necesita 40 decímetros de cuerda para su velero. La cuerda se vende por metros. ¿Cuántos metros de cuerda necesita Miguel? Grupo B Dado el perímetro, halla la longitud desconocida. 1. P 5 19 cm 2. P 5 18 m 3. P 5 20 mm 4. P 5 27 cm 4 m 7 m 3 m a b 4,5 mm 7,9 mm 3,6 mm 2 mm x 3,5 cm 3,5 cm 10 cm Práctica adicional 2 m 3 m 3 m 7 m s 1 m Grupo C Halla el perímetro de cada polígono. 1. 8 cm 6 cm 10 cm 2. 4 m 2 m 3. 1,5 m 1,5 m 1,8 m 3,2 m 4. 10 cm 5. Pedro va a cortar una cuerda para marcar el perímetro de su jardín. ¿Cuánta cuerda debe cortar? Grupo D Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 1. 5 cm 2. 3. 4 mm 4. 4 m 1 m 5. María va a cortar cinta zigzag para usar de borde en un mantel cuadrado. ¿Cuánta cinta debe cortar? 8 m 8 m 15 m 15 m 6 m 2 m 80 cm 224 La vuelta a la manzana ¡Caminantes! 2 jugadores ¡Equipo! • fichas de 2 colores diferentes • flecha giratoria con 3 secciones rotuladas del 1 al 3 • papel cuadriculado ¡A caminar! Cada jugador elige una ficha de un color diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores hacen girar la flecha giratoria y mueven su ficha el número de espacios indicado. Cada cuadrado contiene un perímetro. El jugador 1 traza la mayor cantidad de rectángulos posibles con ese perímetro sobre papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar en unidades enteras. El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo trazado. Cada rectángulo congruente cuenta como un solo punto. Por ejemplo, por un rectángulo de 3 · 4 y un rectángulo de 4 · 3 se anota 1 punto solamente. El jugador 2 hace girar la flecha y el juego continúa. Después de que cada jugador haya dado una vuelta a la manzana, gana el que haya acumulado el mayor número de puntos. Capítulo 9 225 Comprueba los conceptos 1. Explica cómo puedes estimar el perímetro de un polígono regular. 2. Explica cómo usar papel para calcar, lápiz, un trozo de cuerda y una regla para estimar el perímetro de un objeto. Comprueba tus destrezas Convierte la unidad dada. 3. 24 cm 5 j m 4. 5,2 cm 5 j mm 5. 6 cm 5 j mm 6. 4 m 5 j cm 7. 4 km 5 j m Halla el perímetro de cada polígono. 8. 3,5 cm 5,5 cm 9. 8 m 10. 7 mm 7 mm 4 mm 11. 3 m 3 m 5 m 2 m 12. 5 m 2 m 6 m 2 m Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 13. 3 m 6,5 m 14. 9 1 2 m 12 1 2 m 15. 9,5 cm 16. 12 cm 17. 2,2 m Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 18. Dos rectángulos son congruentes. Si un rectángulo tiene una longitud de 10 centímetros y un ancho de 2 centímetros, ¿cuál es el perímetro del otro rectángulo? 19. Un triángulo tiene un perímetro de 12 centímetros. Un cateto tiene una longitud de 3 metros y el otro cateto tiene una longitud de 5 metros. ¿Cuál es la longitud del tercer cateto? 20. Un pentágono regular tiene un lado que mide 12 centímetros. ¿Cuál es su perímetro? 21. La base del Cubo A y la base del Cubo B tienen el mismo perímetro. ¿Son congruentes los cubos? Explica tu respuesta. Repaso/Prueba del capítulo 9 226 Enriquecimiento • Gráficos de red Inténtalo Empieza en A. Halla todas las rutas que puedas, incluyendo cada vértice. Identifica la ruta más corta. ¡Piénsalo! Explica cómo se usa un gráfico de red para hallar la ruta más corta. 1. 2. Por lo tanto, la ruta más corta en el gráfico de red de Roberto es ADCB. Ejemplo Paso 1 Haz una lista de las diferentes rutas. Halla la distancia total de cada una. Paso 2 Compara las distancias. ABDC 5 35 1 42 1 28 5 105 ABCD 5 35 1 26 1 28 5 89 ADBC 5 31 1 42 1 26 5 99 ADCB 5 31 1 28 1 26 5 85 ACBD 5 44 1 26 1 42 5 112 ACDB 5 44 1 28 1 42 5 114 Un gráfico de red es una figura compuesta de vértices y aristas. A veces, un gráfico de red se usa para representar distancias entre lugares. Roberto trazó esta red para mostrar las distancias desde su casa (A) a la biblioteca (B), a la municipalidad (C) y al correo (D). Empezando en A, halla la ruta más corta que incluya los cuatro lugares. Casa de Roberto Correo Municipalidad Biblioteca Las distancias están en metros. Capítulo 9 227 Las distancias están en metros. Las distancias están en metros. Números y operaciones 1. ¿Qué letra de la recta numérica representa mejor 2,5? Patrones y álgebra 6. ¿Cuál es el valor de la expresión? 32 − (8 + 9) A 3 C 17 B 15 D 49 7. Divide ambos lados de la ecuación entre 7. ¿Cuál es el nuevo valor de cada lado de la ecuación? 3 + 32 = 42 − 9 + 2 A 5 = 5 C 245 = 245 B 35 = 35 D 249 = 249 10. La ecuación “ Rafa tiene el doble de la edad de su hermano y al sumar las edades obtenemos 18. A x + x = 18 C x + 18 = x B 2x + x =18 D 2x + 18 = x Comprensión de los aprendizajes 2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 0,78? A C B D 3,23 LM N O 2 19 25 3 4 3 4 39 50 87 100 2 100 78 1000 3. ¿Cuál de los decimales representa ? A 0,02 B 0,2 C 2,0 D 2,2 4. ¿Olivia vive a de kilómetro de la escuela. ¿Cuál de los siguientes es una fracción equivalente a ? A C B D 5. ¿Qué fracción es equivalente a 0,15? A C B D 1 3 6 8 2 3 9 10 7 50 5 20 30 200 15 100 9. La inecuación “La distancia x kilómetros de la casa de Juan a la estación de metro, es menos de 5 kilómetros” se representa como: A x < 5 C x > 245 B x = 5 D x 249 A L C N B M D O 8. ¿Cuál número convierte en verdadera la ecuación? 5 + j + 7 = 13 + 7 A 13 C 8 B 7 D 14 228 15. El área de la figura formada es: A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos 20. ¿Cuántos estudiantes juegan béisbol? A 3 C 7 B 5 D 9 11. ¿Cómo se determina el perímetro de un pentágono regular? 12. ¿Cuántos metros son 3 kilómetros? A. 300 m B. 3 000 m C. 30 000 m D. 300 000 m 13. La figura tiene un perímetro de 29 cm. ¿Cuál es el valor de x? Explica cómo hallaste tu respuesta x2 m 3 m2 m 9 m 10 m 14. Al unir los puntos A, B, C, D, ¿cuál es el perímetro de la figura que se forma? A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos Geometría - Medición A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Datos y probabilidades 16. Usa el gráfico de barras. ¿En qué mes la venta de limonada de Seba muestra el mayor incremento? A Mayo B Junio C Julio D Agosto 18. ¿Cuántos estudiantes más juegan fútbol que básquetbol? 17. Ana sacó una ficha del frasco. ¿Cuál opción muestra la probabilidad de que la ficha que sacó sea un 2? A B C D Venta de limonada de Seba Mayo Junio AgostoJulio Li m o n ad a ve n d id a Mes 40 20 0 5 20 30 25 Juegos que practican los estudiantes Fútbol Básquetbol BéisbolN úm er o de e st ud ia nt es 8 4 2 6 10 12 0 2 8 8 10 2 10 3 10 1 3 2 4 1 3 1 2 5 2 A 3 C 7 B 5 D 9 Capítulo 9 229 CAPÍTULO 75 metros 50 metros Área La idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir. Investiga Tienes un terreno rectangular donde quieres sembrar frutilla. El terreno mide 75 metros por 50 metros. Imagina que quieres dividirlo en secciones más pequeñas. Describe una manera de dividir todo el terreno en dos o más secciones de menor tamaño, e indica cuáles son sus áreas. La frutilla chilena pertenece a la familia de los rosáceos, es originaria de Chile y su cultivo es anterior a la llegada de los españoles. 10 230 DATO BREVE Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 10. u Hallar el área usando papel cuadriculado Halla el área de cada figura en unidades cuadradas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. u Multiplicar números de 2 dígitos por números de 1 dígito Halla el producto. 9. 39 • 6 10. 45 • 3 11. 18 • 7 12. 70 • 4 13. 56 • 8 14. 27 • 5 15. 98 • 6 16. 32 • 2 17. 65 • 7 18. 49 • 5 VOCABULARIO DEL CAPÍTULO área base altura unidad cuadrada PREPARACIÓN área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie. unidad cuadrada Una unidad de área cuyas dimensiones son de 1 unidad • 1 unidad. base Un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área. Capítulo 10 231 Paso Paso Paso ÁLGEBRA Relacionar el perímetro y el área OBJETIVO: identificar la relación entre el perímetro y el área. PRoBLEmA Los estudiantes de la escuela Valle Central están pintando un panel rectangular para una obra de teatro. El panel tiene la mayor área posible para un perímetro de 16 metros. ¿Cuál es la longitud y el ancho del panel? Halla la medida que falta. 1. l 5 6 cm a 5 12 cm A 5 j 2. l 5 8,2 m a 5 5,5 m A 5 j Actividad materiales: papel punteado Puedes usar cuadrícula para hallar el rectángulo que tenga la mayor área. Traza rectángulos con perímetros de 16 unidades en el papel punteado. Halla y registra el área de cada rectángulo. Cada unidad cuadrada representa 1 m2. Haz una tabla para registrar la longitud, el ancho, el perímetro y el área de cada rectángulo. ¿Qué longitud y qué ancho dan el área mayor? Longitud (m) 7 Ancho (m) 1 Perímetro (m) 16 Área (m2) 7 Por lo tanto, para tener el área mayor, el panel debe ser un cuadrado de 4 m de lado. El área es 4 m • 4 m, o 16 m2. El área es el resultado de multiplicar la longitud por la anchura. • Si el panel tuviera un perímetro de 12 m, ¿cuáles serían la longitud y el ancho para que el panel tuviera la mayor área? • ¿Cuál sería la forma del rectángulo? Idea matemática Dado el perímetro, el área del cuadrado es mayor que la de cualquier rectángulo. 1 • 7 2 • 6 3 • 5 4 • 4 A 5 7 1LEC CI ÓN Vocabulario área 232 Paso Paso Longitud (m) 36 j j j j Ancho (m) 1 2 3 j j Perímetro (m) j j j j j Área (m2) 36 36 36 36 36 Longitud (m) 20 10 5 Ancho (m) 1 2 4 Perímetro (m) 42 24 18 Área (m2) 20 20 20 El padre de Ana quiere plantar un jardín y cercarlo con ladrillos. Quiere usar la menor cantidad posible de ladrillos. El jardín tendrá un área de 36 m2. ¿Qué rectángulo de esta área tendrá el menor perímetro? Actividad materiales: fichas cuadradas, papel cuadriculado Puedes usar cuadrículas para hallar el rectángulo que tenga el menor perímetro. Usa fichas cuadradas para crear diferentes rectángulos que tengan 36 m2 de área. Cada ficha representa 1 m2. Puedes usar papel cuadriculado para registrar cada rectángulo. Copia y completa la tabla para registrar tus resultados. (PISTA: Para determinar la longitud y el ancho de todos los enteros posibles, halla todos los factores de 36.) Por lo tanto, el menor perímetro es de 24 metros. El jardín debe ser un cuadrado con lados de 6 metros. • A medida que los rectángulos de áreas iguales se aproximan a ser cuadrados, ¿qué pasa con sus perímetros? Ejemplo El padre de Ana hizo otro jardín con un área de 20 m2. Usando solo números naturales, ¿qué rectángulo de esta área tiene el menor perímetro? Usa fichas cuadradas y haz una tabla. Usa factores de 20 para la longitud y el ancho. Por lo tanto, el menor perímetro es de 18 metros. La longitud del rectángulo es de 5 metros y el ancho es de 4 metros. • ¿Por qué no tiene forma de cuadrado este jardín? Idea matemática Dada el área, el perímetro del cuadrado es menor que el de cualquier rectángulo. Capítulo 10 233 Práctica adicional en la página 246, Grupo A Para 1–3, usa los rectángulos de la derecha. 1. ¿Cuál es el perímetro de cada rectángulo? 2. ¿Qué rectángulo tiene la mayor área? 3. ¿Cuál es la forma del rectángulo que tiene la mayor área? Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales. 4. 8 mm 5. 28 m 6. 34 m 7. 10 cm 8. 44 cm Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales. 9. 28 cm2 10. 32 km2 11. 64 cm2 12. 54 m2 13. 49 km 2 14. Explica qué sucede con el área de un rectángulo que tiene un perímetro, dado a medida que la diferencia entre la longitud y el ancho aumenta. Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales. 15. 60 m 16. 54 cm 17. 4 km 18. 100 cm 19. 46 mm Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales. 20. 40 mm2 21. 9 km2 22. 15 m2 23. 45 cm2 24. 100 cm2 25. Copia y completa la tabla para hallar el área de rectángulos que tengan un perímetro de 10 m. Describe los patrones que ves. 26. Formula un problema sobre una piscina que tiene una longitud de 40 m y un ancho de 20 m. 27. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse con 100 metros de material? ¿Y la menor? Usa números naturales. 28. ¿Cuál es el error? Julián dice que dado un perímetro, el rectángulo con el mayor ancho tiene la mayor área. ¿Qué error cometió Julián? A B C Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Ancho (m) Longitud (m) Área (m2) 0,5 � � 1 � � 1,5 � � 2 � � 2,5 � � 234 Comprensión de los aprendizajes Un pentominó es una figura formada por cinco cuadrados. Cada cuadrado debe estar unido por un lado a otro cuadrado. A la derecha se muestran dos ejemplos. ¿Tienen todos los pentominós el mismo perímetro? Materiales papel cuadriculado Usa papel cuadriculado para trazar por lo menos, otros tres ejemplos de pentaminós. Luego halla los perímetros. En las ilustraciones a la derecha, dos pentominós tienen un perímetro de 12 unidades, y un pentominó tiene un perímetro de 10 unidades. Por lo tanto, no todos los pentominós tienen el mismo perímetro. Usa el razonamiento lógico para responder las preguntas. 1. ¿Tienen todos los pentominós la misma área? Explica tu respuesta. 2. Traza tantos pentominós diferentes como puedas. Luego muéstraselos a un compañero. ¿Cuántos pentaminós se pueden hacer? P 5 12 unidades P 5 10 unidades P 5 12 unidades 29. Halla el valor de la expresión. (5 • m) 1 21 si m 5 12. 30. ¿Cuál es el área del patio? 4,5 m 6 m 3 m 3 m 31. Raúl quiere cercar su jardín con alambre. El jardín tiene un largo de 3,5 metros y un ancho de 2,7 metros, ¿cuánto alambre necesitará Raúl? 32. ¿Cuál es la mayor área posible de un rectángulo que tiene un perímetro de 24 metros? 33. ¿Cuál es el menor perímetro posible de un rectángulo que tiene un área de 144 metros cuadrados? A 12 metros C 50 metros B 24 metros D 148 metros A 10 m2 B 24 m2 C 30 m2 D 35 m2 Capítulo 10 235 Usa la estrategia PRoBLEmA El padre de Juan está construyendo un tablero de juegos con 5 filas de cuadrados de dos centímetros. Empieza con una fila de 3. Cada una de las filas siguientes tiene 2 más que la anterior. ¿Cuál es el área de la 5a fila del tablero? Estrategia: comparar estrategias OBJETIVO: comparar distintas estrategias para resolver problemas. • ¿Cómo sabes que la respuesta es correcta? • ¿Cómo puedes usar cada estrategia para resolver el problema? Hacer un diagrama Buscar un patrón 2 cmfila 5 fila 4 fila 3 fila 1 fila 2 Fila Cantidad de ladrillos Área (cm2) 1 12 2 20 3 28 4 36 5 ? 18 18 18 18 3 5 7 9 11 área de 1 cuadrado: 2 · 2 5 4 cm2 área de 11 cuadrados en la 5a fila: área de cuadrados de la 5a fila: 4 · 11 5 44 cm2 36 1 8 5 44 cm2 Por lo tanto, el área de la 5a fila del tablero es de 44 cm2. • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa las estrategias hacer un diagrama y buscar un patrón. • ¿Qué visualizas cuando lees el problema? • ¿Qué información se da? 2LEC CI ÓN 236 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA 5 m huerta jardín de hierbas jardín de rosas 12 m 9 m 9 m 1. Raquel está construyendo una pared con 6 filas de bloques cuadrados. La fila inferior tiene 17 bloques. Cada una de las demás filas tiene 3 bloques menos que la anterior. El lado de cada bloque es de 10 centímetros. ¿Cuál es el área de la fila superior? Primero, haz un diagrama para resolver el problema. Traza los bloques de cada fila. Halla el área de 1 bloque. Luego multiplica esa área por la cantidad de bloques de la fila superior. 10 cm 10 cm fila superior fila 5 fila 4 fila 3 fila 2 fila inferior Luego, busca un patrón para resolver el problema. Haz una tabla y registra la cantidad de bloques de cada fila. Halla el área de cada una de las 3 primeras filas y busca un patrón. Fila Cantidad de bloques Área (cm2) inferior 17 1 700 2 14 1 400 3 11 � 4 � � 5 � � superior � � Por último, compara las respuestas que hallaste usando las dos estrategias. 2. ¿Qué pasaría si cada fila tuviera 2 bloques menos que la anterior? ¿Cuál sería el área de la fila superior? 3. En el centro de un jardín hay 5 cajas rectangulares de flores dispuestas en una fila. La primera caja de flores tiene 24 cm de longitud y 4 cm de ancho. Todas las cajas de flores tienen la misma longitud, pero cada una es 2 centímetros más ancha que la anterior. ¿Cuál es el perímetro de la quinta caja de flores? Práctica de estrategias mixtas USA DAToS Para 4–5, usa el diagrama. 4. El área total de los jardines es de 366 m2. ¿Cuál es el área del jardín cuadrado de hierbas? ¿Cuál es el perímetro del jardín de hierbas? 5. Pamela plantó otros 6 jardines de rosas como el del diagrama. Cada jardín es un cuadrado cuya longitud en uno de sus lados mide 1 metro menos que la del jardín anterior. ¿Cuál es el área de los siete jardines de rosas? 6. Carlos pagó $ 8 700 por una estatua y una fuente. La estatua le costó $1 500 más que la fuente. Explica cómo puedes hallar el precio de cada artículo que compró Carlos. ¿Cuánto costó cada artículo? Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Resolución de problemas con supervisión Capítulo 10 237 Representar el área de los triángulos OBJETIVO: representar el área de triángulos. materiales ■ papel cuadriculado en centímetros ■ regla Puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo para hallar el área de un triángulo. Traza un rectángulo de 6 • 15 en el papel cuadriculado. Recorta el rectángulo, halla su área y regístrala. Traza una diagonal en el rectángulo. Corta por la línea para formar dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo? Repite los Pasos A a C con un rectángulo de 8 • 18. ¿Cuál es el área de cada nuevo triángulo? Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el área de cada triángulo. 2. ¿Resultan siempre dos triángulos congruentes al trazar una diagonal en un rectángulo? Explica tu respuesta. 3. Aplicación ¿Cómo se compara el área de uno de los triángulos con el área del rectángulo? 1. 1 __ 2 • 8 2. 1 __ 2 • 20 3. 1 __ 2 • 15 4. 1 __ 2 • 4,2 5. 1 __ 2 • (2 • 5) 3 238 Puedes usar papel cuadriculado para hallar el área de cualquier triángulo. Por lo tanto, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo. Traza y sombrea una representación de un triángulo dentro de un rectángulo. Recorta el rectángulo y luego recorta el triángulo sombreado. Coloca las partes del rectángulo que no están sombreadas sobre el triángulo sombreado. ¿Qué notas? La fórmula para el área de un rectángulo es A 5 l • a. ¿Qué fórmula podrías usar para el área de un triángulo? Usa el rectángulo a la derecha para 1–3. 1. ¿Cuántas unidades de longitud tiene el rectángulo? ¿Cuántas unidades de ancho tiene? 2. ¿Cuál es el área del rectángulo en unidades cuadradas? 3. ¿Cuál es el área de cada triángulo en unidades cuadradas? Halla el área de cada triángulo sombreado en centímetros cuadrados. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Explica cómo usar un rectángulo para hallar el área de un triángulo. Paso Paso Paso Capítulo 10 239 Paso Paso Paso Actividad materiales: ■ papel cuadriculado ■ tijeras ÁLGEBRA Área de los triángulos OBJETIVO: Hallar el área de los triángulos. PRoBLEmA ¿Cuánto material se necesita para hacer un estandarte triangular de 6 m de base y 4 m de altura? Halla la suma. 1. 1 __ 2 • 4 2. 1 __ 2 • 21 3. 1 __ 2 • 16 4. 1 __ 2 • 4 • 2 5. 1 __ 2 • 3 • 4 Vocabulario altura base Traza y sombrea una representación del estandarte. altura = 4 m base = 6 m La altura es la longitud de un segmento perpendicular a la base del triángulo. Traza un rectángulo alrededor del triángulo, como se muestra en la figura. Halla el área del rectángulo. altura = 4 m base = 6 m Rectángulo: A 5 b (base) • h (altura) A 5 6 • 4 5 24 Recorta el rectángulo. Córtalo por la mitad para formar dos triángulos congruentes. El área de cada triángulo es la mitad del área del rectángulo. Triángulo: A 5 1 __ 2 • (b • h) A 5 1 __ 2 • 24 5 12 Por lo tanto, la cantidad de material necesaria para el estandarte es de 12 m2. Más ejemplos Usa la fórmula. Halla el área. altura = 3 cm base = 5 cm A 5 1 __ 2 • (b • h) A 5 1 __ 2 • (5 • 3) 5 7,5 El área es de 7,5 cm2. Halla el área. altura = 4 m base = 5 m A 5 1 __ 2 • (b • h) A 5 1 __ 2 • (5 • 4) 5 10 El área es de 10 m2. Halla el área de cada triángulo. 1. altura = 6 m base = 9 m 2. altura = 5 cm base = 8 cm Idea matemática Puedes usar la fórmula A 5 1 _ 2 • (b • h) para hallar el área de cualquier triángulo. Aprende Práctica con supervisión 4LEC CI ÓN 240 Comprensión de los aprendizajes Halla el área de cada triángulo. 3. altura = 5 unidades base = 5 unidades 4. base = 8 unidades altura = 5 unidades 5. altura = 5 unidades base = 7 unidades 6. Explica la relación entre el área de un rectángulo y el área de un triángulo. Halla el área de cada triángulo. 7. altura = 3 unidades base = 7 unidades 8. altura = 5 unidades base = 6 unidades 9. altura = 4 unidades base = 7 unidades 10. base (b) 5 14 m 11. base (b) 5 7 cm 12. base (b) 5 6 m altura (h) 5 8 m altura (h) 5 11 cm altura (h) 5 10 m Área (A) 5 j Área (A) 5 j Área (A) 5 j Para 13–14, usa el diagrama. 13. Para completar el centro del patrón, Natalia compró baldosas blancas del mismo tamaño y de la misma forma que las baldosas moradas. ¿Cuántas baldosas blancas compró? 14. Razonamiento Las baldosas del patrón son triángulos isósceles rectángulos. Los dos lados más cortos de cada triángulo miden 1 decímetro cada uno. Estima el área de la parte morada. 15. ¿Cuál es el error? Un triángulo tiene una base de 4 m y una altura de 8 m. Paula dice que su área es de 32 m2. Describe y corrige su error. 16. Tomás está pintando un cartel de 4 m por 4 m. ¿Cuál es su área? 17. ¿Cuál es el perímetro de un cuarto de 12 m por 15 m? 18. Una bandera triangular tiene una base de 5 metros y un área de 25 m2. ¿Cuál es la altura de la bandera? A 5 m C 15 m B 10 m D 20 m Práctica adicional en la página 246, Grupo B Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 10 241 Paso Paso Paso Recuerda ÁLGEBRA Área de los paralelogramos OBJETIVO: Hallar el área de los paralelogramos. PRoBLEmA El perro de Julia va a un corral para perros que tiene la forma de un paralelogramo. El corral está cubierto de arena. Una bolsa de arena cubre 1 metro cuadrado. ¿Cuántas bolsas de arena se necesitan para cubrir el corral? Las longitudes de la base y de la altura del corral aparecen a continuación. Halla el área del paralelogramo. base 9 m altura 6 m Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y congruentes. Usa el área de un rectángulo. Para hallar el área de un paralelogramo puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo. Por lo tanto, se necesitan 54 bolsas de arena para cubrir el corral para perros. • ¿Cómo se relacionan la base y la altura del paralelogramo en el Paso 1 con la longitud y el ancho del rectángulo en el Paso 3? Traza un diagrama del paralelogramo sobre papel cuadriculado y recórtalo. Traza un segmento para formar un triángulo rectángulo como el de la ilustración. Cuenta los cuadrados de la cuadrícula para hallar el área del paralelogramo. Hay 6 hileras de 9 cuadrados, o 54 cuadrados. Recorta el triángulo rectángulo de la izquierda y muévelo a la derecha del paralelogramo para formar un rectángulo. Halla el área de cada rectángulo. 1. 5 km • 11 km 2. 4 dm • 12 dm 3. 6,2 cm • 5,3 cm 4. 10, 5 m • 13 m 5. 35 km • 40 km Aprende 5LEC CI ÓN 242 Paso Paso Paso ADVERTENCIA ADVERTENCIA ADVERTENCIA ADVERTENCIA A 5 b • h A 5 6 • 4 A 5 24 4 m 6 m El área es de 24 m2. A 5 b • h A 5 6,2 • 5,4 A 5 33,48 5,4 cm 6,2 cm El área es de 33,48 cm2. Halla el área de un triángulo. A 5 1 __ 2 • 11 • 5 A 5 27,5 El área de los dos triángulos es 2 3 27,5 o 55 m2. Por lo tanto, el área del corral para perros sería 55 m2. • ¿Cómo se relaciona el área de cada triángulo con el área del paralelogramo? Usa el área de un triángulo. ¿Cuál sería el área del corral para perros si la base fuera de 11 metros y la altura fuera de 5 metros? Traza un paralelogramo de 5 m • 11 m en papel cuadriculado y recórtalo. Corta el paralelogramo por una diagonal para formar dos triángulos congruentes. 11 m El lado inclinado de un paralelogramo no es su altura. La altura debe formar un ángulo de 90° con la base. Escribe la base y la altura de cada paralelogramo. Luego, halla su área en unidades cuadradas. 1. 2. 3. El área de un paralelogramo es igual al área de un rectángulo que tenga la misma base (longitud) y la misma altura (ancho). Área de un rectángulo 5 longitud • ancho A 5 l • a Área de un paralelogramo 5 base • altura A 5 b • h Más ejemplos Halla el área. Práctica con supervisión Capítulo 10 243 10,2 cm 12,4 cm 45 m 51 m Halla el área de cada paralelogramo. 8. 4 km 7 km 9. 10. 11. 12. 13. Halla el área de cada paralelogramo. 4. 5. 6. 7. Compara el área de un rectángulo de 5 cm de longitud y 6 cm de ancho con el área de un paralelogramo con una base de 5 cm y una altura de 6 cm. 14. Un patio de juegos tiene la forma de un paralelogramo con una base de 34 m y una altura de 20 m. El patio de juegos está dividido en dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo? 16. DATO BREVE La región del Maule tiene más o menos la forma de un paralelogramo. Tiene aproximadamente 30 469,1 km2 de área o superficie. Estima la base si su altura es aproximadamente 180 km. 17. ¿Cuál es la pregunta? La base de un paralelogramo es 7 m. El área es 28 m2. La respuesta es 4 m. 15. Razonamiento La base de un paralelogramo es el doble de su altura. Si la base es de 12 cm, ¿cuál es su área? Practica adicional en la página 247, Grupo C Superficie Región del Maule 30 469,1 km2 p Región del Maule Talca Curicó Cauquenes Linares 8 cm 12 cm 6 m 5 m 15 cm 15 cm Práctica independiente y resolución de problemas 9 m 42 m 1 244 Comprensión de los aprendizajes Paso Paso 18. Empieza en el origen. Avanza 8 unidades hacia arriba y luego desciende 3 a la derecha y por último desciende 6 unidades. ¿Qué par ordenado está representado? 19. Una vela triangular tiene una base de 5 metros y una altura de 6 metros. ¿Cuál es el área? 20. Gina está haciendo un cubo de madera hueco. Ya cortó 4 piezas cuadradas de madera para las caras del cubo. ¿Cuántas piezas más necesita? 21. El área de un paralelogramo es de 112 km2. La altura es de 7 kilómetros. ¿Cuál es la longitud de la base? A 16 kilómetros C 392 kilómetros B 56 kilómetros D 784 kilómetros 22. ¿Cuál es el área de toda la figura si está dividida en dos paralelogramos congruentes? A 74 cm2 C 840 cm2 B 420 cm2 D 1 680 cm2 ÁLGEBRA Y GEomETRÍA Para hallar el área de un trapecio puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un paralelogramo. Usa los trapecios para contestar las preguntas. Ordena los trapecios para formar un paralelogramo. 1. ¿Cuánto mide la base del paralelogramo? 3. ¿Cómo se relacionan las áreas de los trapecios con el área del paralelogramo? 2. ¿Cuál es el área del paralelogramo? 4. Halla el área de un trapecio. Explica cómo hallaste tu respuesta. Traza estos dos trapecios idénticos sobre papel cuadriculado. Rotúlalos y recórtalos. 5. La fórmula del área de un trapecio es Área 5 1 _ 2 • altura • (base 1 1 base 2). Usa la fórmula para verificar el área de cualquiera de los trapecios. 14 cm 30 cm Capítulo 10 245 Grupo A Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales. 1. 20 m 2. 18 cm 3. 32 mm 4. 40 km 5. 30 cm Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales. 6. 14 cm2 7. 24 m2 8. 18 cm2 9. 42 mm2 10. 36 km2 11. Carla tiene una tira de flecos de 24 metros de longitud que planea usar en el borde de una pieza de tela rectangular. ¿Cuál es la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área? 12. ¿Cuál es el área del patio de juegos? 13. María está diseñando un tapiz rectangular de 3 m2 de área para la pared. Quiere usar la menor cantidad posible de hilo dorado para el borde. ¿Qué rectángulo tendrá el menor perímetro? Práctica adicional Grupo B Halla el área de cada triángulo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8 m 10 m 12 m 16 m 18 cm 24 cm 5 m 12 m 8 mm 10 mm 12 cm 246 7. La vela triangular de un barco tiene una base de 1 metro y una altura de 3 metros. ¿Cuál es el área de la vela? 8. Otra embarcación tiene una bandera triangular en el extremo del mástil. La bandera tiene una base de 30 centímetros y una altura de 15 centímetros. ¿Cuál es el área de la bandera? Grupo C Halla el área de cada paralelogramo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6 cm 24 cm 15 cm 3 m 9 m 10,2 m 8 m 15 cm 3,5 mm 10,5 mm 7. Un patio tiene forma de paralelogramo. Su base es de 7 metros y su altura es de 4 metros. ¿Cuál es el área del patio? 7 m 4 m Capítulo 10 247 19. Julia usó piezas de tela cuadradas de 3 cm para hacer un patrón. La primera hilera tenía 3 piezas. Cada una de las demás hileras tenía 3 piezas más que la hilera de arriba. ¿Cuál es el área de la cuarta hilera de piezas de tela? VoCABULARIo área base altura Comprueba el vocabulario y los conceptos Para 1–2, elige la mejor palabra del recuadro. 1. El ____________ de una figura es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrirla. 2. La longitud de un segmento perpendicular a la ____________ de un triángulo es la altura. Comprueba tus destrezas Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 cm2. 3. 4. 5. Halla el área de cada figura. 6. 13 8 7. 8. 9. 6 cm 7 cm 9 cm 3,5 cm Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área. Usa solo números enteros. 10. 12 mm 11. 34 km 12. 14 cm 13. 20 cm 14. 24 m Halla el área de cada triángulo o paralelogramo. 15. 4 m 6 m 16. 17. 10 cm 18. 12 mm 6 mm Comprueba la resolución de problemas Resuelve. Repaso/Prueba del capítulo 10 20. Explica cómo podrías hallar el área de las piezas de un patrón como el del Ejercicio 19, pero con 6 hileras. ¿Cuál es el área? 6 cm 11 cm m m 3,5 cm 15 mm 15 mm 12,2 cm 248 14 3 12 5 168 10 3 8 5 80 168 2 80 5 88 Enriquecimiento • Hallar el área complejas ¡Piénsalo! Maca quiere empapelar la pared de una tienda de 8 metros por 12 metros. La pared tiene una ventana cuadrada. Un lado de la ventana es de 3 metros. ¿Cuánto papel necesita? Explica cómo hallaste la respuesta. Áreas El área es el número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir una superficie. El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud por el ancho: A 5 l • a. Algunas veces solo es necesario hallar una parte del área total. Ejemplo Raúl está poniendo baldosas decorativas en los bordes de un piso. La parte sombreada del diagrama muestra el área que se cubrirá con baldosas. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas decorativas necesita Raúl? Por lo tanto, Raúl necesita 88 m2 de baldosas. Inténtalo 1. El diagrama muestra la pared que Ana quiere empapelar. Las áreas blancas son ventanas que tienen 3 metros de largo y 2 metros de ancho. ¿Cuánto papel de empapelar necesitará Ana? 2. David está pintando el decorado para una obra. La parte sombreada del diagrama será de color verde. Cada cuadrado tiene 2 metros por 2 metros. ¿Qué parte del decorado será verde? ¿Qué parte será amarilla? 8 m 14 m 9 m 14 m 13 m 10 m 8 m 12 m 14 m 10 m 8 m 14 m 9 m 14 m 13 m 10 m 8 m 12 m 14 m 10 m Paso 1 Halla el área de todo el piso. Paso 2 Halla el área del piso que no se cubrirá con baldosas. Paso 3 Resta. La diferencia es el área de la parte sombreada del diagrama. Capítulo 10 249 Opción múltiple 1. ¿Qué par de líneas parecen ser perpendiculares? A B C D 2. ¿Cuál de las siguientes figuras parece ser congruente con esta figura? A B C D 3. ¿Qué enunciado acerca de esta figura es verdadero? A La figura no tiene simetría B La figura solo tiene simetría axial C La figura está rotada D La figura no tiene simetría 4. ¿Cuál es la mejor estimación del perímetro del trapecio? 1 cm 1,25 cm 0,75 cm 0,75 cm A 2 centímetros C 6 centímetros B 4 centímetros D 8 centímetros 5. El perímetro de la siguiente figura es de 132 cm. ¿Cuál es la longitud del lado desconocido? 20 cm 46 cm 23 cm 23 cm X 5 cm A 15 cm C 20 cm B 18 cm D 22 cm 6. Jacinta está cosiendo una bandera para un edificio oficial. ¿Cuánto material necesitará para hacer una bandera triangular con una base de 5 metros y una altura de 7 metros? A 6 metros cuadrados B 12 metros cuadrados C 17,5 metros cuadrados D 35 metros cuadrados Repaso/Prueba de la unidad 5 m 7 m 250 7. ¿Cuál es el área total de la caja formada por el siguiente patrón? A 31 unidades cuadradas B 50 unidades cuadradas C 62 unidades cuadradas D 75 unidades cuadradas 8. Se pondrá una cerca de alambre, con cuatro corridas, a un terreno rectángular. ¿Cuánto alambre se necesita? Respuesta breve 10. Halla el perímetro del pentágono en centímetros. 24 m 13 m 1,8 cm 1,8 cm 1,8 cm1,8 cm 1,8 cm A 37 metros C 148 metros B 74 metros D 296 metros 9. Romina va a pintar una pared en su dormitorio que mide 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Un tarro de pintura alcanza para 5 m2. ¿Cuántos tarros tiene que comprar Romina? A 5 tarros C 3 tarros B 4 tarros D 2 tarros 11. Renato quiere envolver con papel de regalo una caja que mide 11 centímetros • 14 cm • 3 cm. ¿Qué unidades debe usar para decidir cuánto papel de regalo necesita? ¿Cuánto papel de regalo necesita Renato? Muestra tu trabajo. Respuesta desarrollada 15. Imagina que tienes que elegir uno de los lingotes planos de oro que se muestran en la tabla. Cada uno tiene el mismo perímetro y grosor. Quieres el lingote más grande, el que tenga la mayor área. ¿Cuál lingote de oro deberías elegir? Explica tu razonamiento. Verdadero o falso Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado. 12. ______ El perímetro de un triángulo equilátero de 15 cm por lado es 40 cm. 13. ______ Un cuadrado de área 64 cm2, sus lados miden 8 cm cada uno. 14. ______ Todo polígono regular posee simetría axial. Lingote de oro A B C Longitud (en cm) 5 4 3 Ancho (en cm) Perímetro (en cm) 12 12 12 Área (en cm2) 16. En la siguiente figura, EFGH es un paralelogramo. Si el área del triángulo EFH es de 18 cm2, ¿cuál es el área de EFGH? Explica tu respuesta. Capítulo 10 251 De aquí y de allá Resolución de problemas ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES 252 Juegos de agua Construidos para estremeCer Has estado alguna vez en un parque acuático? En Chile hay aproximadamente 20 parques acuáticos. Thermas Internacional es uno de los parques acuáticos más grandes de Chile. Se ubica en la ciudad de Til til, al norte de la Región Metropolitana. Cuenta con más de diecisiete piscinas, súper toboganes y otras atracciones. 1 Seis pistas de toboganes con circuitos de más de 1 200 metros de emocionantes caídas y adrenalina los transportan sinuosamente hasta cuatro refrescantes piscinas hexagonales. ¿Cuántos centímetros de longitud tienen las seis pistas de toboganes? 2 Original Castillo Acuático Medieval con más de 500 m² de espectaculares piscinas, espejos de agua y una mini piscina para niños de hasta 5 años. ¿Qué longitud y qué ancho puede tener el Castillo? 3 El espacio necesario para construir el Castillo se llama planta. Supongamos que la planta del Castillo tiene las medidas mostrada en la figura. Usa la planta que se encuentra en la derecha para estimar su perímetro. 4 Explica cómo cambiarías los números si estimaras el área en centímetros. ¿ 50 metros 10 m et ro s Planta ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES Capítulo 10 253 ¡HaCer olas! uchos parques acuáticos tienen piscinas de olas, al igual que juegos acuáticos. Las piscinas de olas más grandes del mundo miden desde los 75 000 a los 140 000 metros cuadrados. ¡Las bombas hidráulicas pueden crear olas que miden 9 metros de altura, permitiendo a las personas practicar surf en una piscina de olas! Ubicada en Wild Water Adventure, Blue Wave es la piscina de olas más grande de California (EE. UU.), con una capacidad de más de un millón de galones de agua. Diseña un área de chapoteo para una piscina de olas. Una de las piscinas más grandes contiene 350 000 litros de agua, lo que es igual a 700 m3 cúbicos aproximadamente. El área de chapoteo de tu piscina debe tener una planta rectangular o triangular. Asegúrate de que tenga la misma profundidad en todas partes. u ¿Qué pasaría si el área de chapoteo de tu piscina de olas fuera larga y angosta y tuviera la misma profundidad en todas partes? ¿Qué tan cerca estarías de tener una piscina de olas con un volumen de 700 m3? u ¿Cuáles serían las dimensiones si mantuvieras una profunidad de 2 metros pero convirtieras el área de chapoteo de la piscina en un cuadrado? M Datos y probabilidades 4 254 Gráfico circularHistograma Diagrama de tallo y hojas Gráfico de barras Gráfico de líneas Tallo 1 2 3 Hojas 0 1 1 5 8 7 La Meteorología es el estudio del tiempo y del clima. Se lleva un registro de datos de la cantidad de rayos que ha caído. El equipo usado para reunir datos se transporta en camiones a los sitios donde puede haber tormentas o tornados. Los datos que se reúnen, de miles de estaciones meteorológicas, se representan gráficamente de muchas maneras. ¿Qué ideas matemáticas se usan en Matemática en Contexto? ¿Qué clase de datos podrías reunir en una estación meteorológica? ¿Cómo presentarías esos datos? Copia y completa el esquema como se muestra a continuación. Usa lo que sabes sobre gráficos para relacionar el nombre del gráfico con el dibujo que más se le parezca. REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las palabras que siguen cuando aprendiste a reunir y a presentar datos. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? gráfico circular Gráfico que muestra cómo se relacionan las partes de los datos con el todo y entre sí. gráfico de líneas Gráfico que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. Matemática en Contexto Capítulo 11 255 Sebastián Keitel, atleta velocista chileno, nació en 1973; su especialidad eran los 100 y 200 metros planos. Sebastián llegó a ser considerado el hombre blanco más rápido de la historia. En 1995 consiguió su mayor logro deportivo: el tercer puesto en el Campeonato Mundial Indoor en los 200 m planos. Puntajes por equipo del Campeonato Metropolitano Juvenil CDUC AT Santiago U. Chile U. Austral Phoenix Temuco AT Francés AT Oasis Windsor School Club Deportivo 372 131 51 52 21 10 19 4 Mujeres 256 128 119 12 33 40 24 33 Hombres Analizar datos La idea importante Los datos se pueden reunir y analizar. Investiga En el campeonato metropoli- tano juvenil de atletismo, organizado por el Club Deportivo Universidad Católica, se desarrollaron cerca de 40 pruebas en junio de 2012. La tabla muestra los resultados por equipo de hombres y mujeres. Compara los datos sobre hombres y mujeres usando dos medidas de tendencia central. 11 256 DATO BREVE Especies en peligro de extinción en 2011 400 300 200 100 0 Ca nt id ad Clases de animales m am ífe ro s av es re pt ile s pe ce s in se ct os m ol us co s gaviota martín pescador choroy cormorán Frecuencia 18 9 5 13 Avistamiento de aves en la Región de Los Lagos Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 11. u Leer gráficos de barras Para 1–3, usa el gráfico de barras. 1. Haz una lista de las especies en peligro de extinción, ordenándolas de mayor a menor. 2. Estima la cantidad total de especies en peligro de extinción en 2011. 3. ¿En cuál clase de animales hay más especies en peligro de extinción, las aves o los reptiles? ¿Aproximadamente cuántas especies más hay en peligro de extinción? u Leer tablas Para 4–6, usa la tabla. 4. ¿Qué ave se ve con mayor frecuencia? 5. ¿Cuál es la cantidad total de aves que se muestra en los datos? 6. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de gaviotas y la cantidad de pájaros choroy? VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN encuesta Un método para reunir información acerca de un grupo. media Es el promedio de un conjunto de datos. rango La diferencia entre el mayor valor y menor valor de los datos. gráfico de barras gráfico circular tabla de frecuencia gráfico de líneas promedio pictograma rango encuesta Capítulo 11 257 Aprende Hallar la media (promedio) OBJETIVO: hallar la media de un conjunto de datos. PROBLEMA Chile tiene muchos faros a lo largo de su costa. ¿Cuál es la altura media de los faros que se muestran en la tabla? La media es el promedio de un conjunto de números. Ejemplo 1 Paso Suma las alturas para hallar el total. 7 1 14 1 18 1 19 5 58 Divide la suma entre el número de sumandos. 58 : 4 5 14,5 Por lo tanto, la altura media de estos faros es de 14,5 m. Más ejemplos Halla la media de cada conjunto de datos. 7,2; 8,3; 7,6; 9,1; 6,8 Halla la suma. 7,2 1 8,3 1 7,6 1 9,1 1 6,8 5 39 Divide la suma entre el número de sumandos. 39 : 5 5 7,8 Paso Multiplica la media por el número total de valores del conjunto de datos. 15 • 5 5 75 Suma los valores del conjunto de datos para hallar el total sin el valor que falta. 10 1 18 1 14 1 10 5 52 Resta la suma del producto. 75 2 52 5 23 Paso Por lo tanto, el valor que falta en el conjunto de datos es 23. Si conoces la media, puedes hallar el valor que falta en el conjunto de datos. Ejemplo 2 Usa la media dada como ayuda para hallar el valor que falta en el siguiente conjunto de datos. 10, 18, 14, , 10; media: 15. 1. 90 : 3 2. 100 : 4 3. 64 : 8 4. 84 : 6 5. 126 : 7 Vocabulario media aritmética Paso Paso 1. Copia y completa los pasos mostrados para hallar la media de 12, 8, 15 y 9. Luego explica cada paso. Paso 1: 12 1 8 1 15 1 9 5 44 Paso 2: 44 : 4 5 Práctica con supervisión 1LEC CI ÓN 120, 300, 260, 120, 800, 200 Halla la suma. 120 1 300 1 260 1 120 1 800 1 200 5 1 800 Divide la suma entre el número de sumandos. 1 800 : 6 5 300 Altura (metros) 7 14 18 19 Faros Punta Condell Isla Magdalena Punta Ángeles Carranza Faros de Chile 258 Comprensión de los aprendizajes Carranza 19 metros Punta Ángeles 18 metros Punta Corona 10 metros Punta Condell 7 metros Isla Magdalena 14 metros Los faros más altos Práctica adicional en la página 272, Grupo A Halla la media de cada conjunto de datos. 2. 15, 32, 16 3. 2,1; 2,4; 3,1; 2,9; 3,2; 4,3 4. 13,5; 10,2; 14,9; 12,1; 12,8 5. 50, 65, 80, 65 6. 71, 88, 90, 71 7. 118, 207, 125 8. Explica qué representa la media de un conjunto de datos. Halla la media de cada conjunto de datos. 9. 11, 7, 10, 12, 15 10. 62, 78, 53, 87 11. 20,2; 16,8; 17,6 12. 5, 9, 6, 5, 7, 7 13. 5,1; 5,5; 5,8; 5,4; 5,2 14. 223, 189, 204, 204 15. 44, 38, 44 16. 100, 300, 200, 350 17. 9,8; 7,1; 9,8; 1,6; 6,2 Usa la media dada para hallar el valor que falta en cada conjunto de datos. 18. 16, 14, 20, ; media: 14 19. 120, 118, ; media: 90 20. 25,9; 18,4 ; media: 20,6 21. 7,9; 8,6; 8,2, ; media: 8,5 22. 7, 9, 12, 4, ; media: 8 23. 84, 92, 99, ; media: 90 USA DATOS Para 24–26, usa las ilustraciones de los faros. 24. ¿Cuál es la altura media de los faros? 25. Razonamiento ¿Cómo variaría la media si solo se usaran los 4 faros más altos para hallarla? 26. Formula un problema Escribe un problema con la altura de los faros para que un compañero lo resuelva. 27. ¿Cuál es el error? Jacinta dice que la media de los puntajes 87, 98, 100 y 79 de los exámenes es 91. Luego suma un puntaje de 74 y dice que ahora, la media es 109,5. ¿Cuál es su error? Álgebra 28. ¿Cuál es el promedio de 192, 186, 188, 180, 194? 29. Si el promedio de una muestra es 40 y la suma de sus elementos es 200, ¿cuántos elementos tiene la muestra? Justifica la respuesta. 30. Sea n 5 12, ¿cuánto es 12n? 31. ¿Cuál es el promedio del siguiente conjunto de números? 63, 51, 34, 51, 32, 28, 46, 15, 17, 89, 146 A 40 C 52 B 50 D 139 Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 11 259 Aprende 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Tabla de posiciones fútbol femenino 2012 Pa rt id os g an ad os Equipos 31 30 25 33 U. de Chile EvertonSantiago Morning Colo-Colo Cuando analizas gráficos, puedes responder preguntas, sacar conclusiones y hacer predicciones sobre los datos. Escribe , o . en cada . 1. 34 48 2. 16 19 3. 73 71 4. 84 121 5. 109 98 Vocabulario gráfico de barras gráfico circular gráfico de líneas La barra más alta es la de Universidad de Chile. Muestra que ganaron 33 pun- tos. Luego es el equipo de fútbol que ganó más partidos. Las barras más altas son Colo-Colo y Universidad de Chile. Muestra que obtuvieron 33 y 31 puntos. Halla la diferencia de puntos entre el primero y el último. Un gráfico de barras usa barras horizontales o verticales para presentar datos contables. Puedes usar gráficos de barras para comparar datos. El siguiente gráfico es un gráfico de barras. Analizar gráficos OBJETIVO: leer, interpretar y analizar los datos de los gráficos. Rutina de ejercicios de Eric 1 hora 1 hora 1 hora 2 horas Estiramiento Natación Andar en bicicleta Correr El gráfico circular representa todo el conjunto de datos. Cada sección del gráfico circular representa una parte del todo. Halla la parte del gráfico circular que representa la natación. Eric nada durante 1 hora. Toda la rutina de ejercicios le toma 1 1 2 1 1 1 1, o 5 horas. Por lo tanto, Eric nada 1 hora de un total de 5 horas, o 1 _ 5 del total de su rutina de ejercicios haciendo natación. El gráfico circular se sirve de la forma del círculo para presentar los datos dividiendo la superficie de este en partes. 2LEC CI ÓN Ejemplo 2 ¿Cómo se relaciona el tiempo que Eric nada con el tiempo total de su rutina de ejercicios? Ejemplo 1 ¿Qué equipo de fútbol femenino ganó más partidos? 260 0 2 6 10 4 8 12 14 16 18 20 Nº p er so na s qu e pr ac tic an Deportes 10 18 8 NataciónFútbolTenis Ca nt id ad d e m in ut os Tiempos de Sara por kilómetro recorrido Semana 1 2 3 4 5 6 12 14 16 10 8 6 4 2 0 decreciente crecientese mantiene igual Para identificar una tendencia, mira la dirección de la línea desde un punto hasta el siguiente. • Si la línea asciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es creciente. • Si la línea desciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es decreciente. El patrón general que se muestra en el gráfico es decreciente. Por lo tanto, si la tendencia continúa, Sara probablemente correrá un kilómetro en 11 minutos en la semana 7. Un gráfico de líneas usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. Un gráfico de líneas puede mostrar una tendencia. USA DATOS Para 1–4, usa el gráfico de barras: 1. ¿Cuántas personas practican natación? 2. ¿A cuántas personas le preguntaron sobre el deporte que practican? 3. ¿Cuál es el deporte que más se practica? 4. ¿Cuántas personas más practican fútbol que natación? Práctica con supervisión 5. Imagina que tienes una pictografía con una clave donde cada símbolo representa 8. Explica cómo determinarías el número de símbolos que necesitarías para mostrar 20. Ejemplo 3 ¿En qué semana predices que Sara correrá un kilómetro en 11 minutos? Capítulo 11 261 0 2 4 6 8 10 12 12 10 9 9 Cobreloa U.Concepción Santiago Morning Huachipato Ca nt id ad d e pu nt os Equipo Puntaje de los equipos femeninos Ve lo ci da d (k iló m et ro s po r h or a) Velocidad obtenida por Alberto en la carrera de ciclismo de 10 kilómetros Kilómetros 1 2 3 4 5 6 7 25 20 15 10 5 0 Práctica adicional en la página 272, Grupo B USA DATOS Para 6–8, usa el gráfico de barras. 6. ¿Qué equipo obtuvo la mayor cantidad de puntos? 7. ¿Cuáles dos equipos lograron la misma cantidad de puntos? 8. ¿Cuál fue la cantidad total de puntos de todos los equipos? USA DATOS Para 9–12, usa el gráfico. 9. ¿Qué película es menos preferida? 10. ¿Qué categoría de película es la más vista? ¿Quiénes las prefieren? 11. ¿Cuántos niños prefieren las películas de terror? 12. ¿Puedes saber a cuántas personas encuestaron? ¿Por qué? Explica. USA DATOS Para 13–15, usa el gráfico de líneas. 13. ¿Qué parte del gráfico muestra el mayor incremento de un kilómetro al siguiente? 14. ¿Cómo describirías la tendencia que muestra el gráfico del kilómetro 2 al kilómetro 3? 15. Razonamiento Imagina que el recorrido entre el kilómetro 7 y el kilómetro 10 fuera cuesta arriba. ¿Qué tendencia crees que mostraría el gráfico del kilómetro 7 al kilómetro 10? 16. DATO BREVE Patricio Almonacid ganó la Vuelta Ciclística de Chile en 2012. Su promedio de velocidad durante la competencia fue de 40,26 kilómetros por hora. A esta velocidad, ¿qué distancia podía recorrer en 3 horas? ¿En 10 horas? Práctica independiente y resolución de problemas Película preferidas por adultos, niños y niñas 5 min 15 min 10 min 15 min músculos abdominales brazos parte superior del cuerpo piernas 17. Explica cómo se podría mostrar en un gráfico de líneas un patrón creciente o decreciente. 262 Comprensión de los aprendizajes 18. El sendero de Volcán Chaitén tiene 2,6 kilómetros de longitud. El sendero de Cerro Pochoco tiene 4,3 kilómetros de longitud. ¿Cuánto más largo es el sendero de Cerro Pochoco? 19. Lorena tiene una canasta de 12 centímetros de alto, 10 centímetros de ancho y 18 centímetros de largo. ¿Cuál es el volumen de la canasta? 20. Halla el promedio del conjunto de datos: 10, 15, 8, 12, 14, 8, 20 y 16. 21. Observa el gráfico de barras de la parte superior de la página anterior. ¿Qué enunciado sobre los datos que se muestran en el gráfico NO es verdadero? A Cobreloa obtuvo más puntos. B El promedio de la cantidad de puntos es 10. C Santiago Morning jugó 10 partidos. D El tercer lugar es un empate. El ciclo del agua El agua se convierte en vapor por evaporación, luego se condensa y forma la lluvia. Este proceso se llama el ciclo del agua. Un elemento importante de este proceso es el océano, el cual ejerce un gran efecto sobre el clima. El océano absorbe el calor del sol y luego lo pierde por evaporación causando a menudo precipitación e, incluso, tormentas. El gráfico superpuesto, ilustrado a la derecha, usa dos escalas verticales para mostrar el promedio mensual de temperatura y de precipitación en Santiago. USA DATOS Para 1–3, usa el gráfico. 1. Aproximadamente, ¿qué cantidad de precipitación cae en febrero en Santiago? 2. ¿Cuál es el promedio de temperatura en febrero en Santiago? 3. ¿Por qué es útil el gráfico superpuesto para comparar la temperatura y la precipitación de cada mes? Santiago Ene Feb Mar Abr May 35 30 25 20 15 10 5 0 350 300 250 200 150 100 50 0 Temperatura promedioAgua caída al mes Te m pe ra tu ra (º C) Pr ec ip ita ci ón (m m ) Capítulo 11 263 Paso Paso Paso Hacer diagramas de tallo y hojas OBJETIVO: representar datos adecuadamente haciendo un diagrama de tallo y hojas. PROBLEMA ¿Cómo puedes organizar los siguientes datos para que sea más fácil interpretarlos? Ordena de menor a mayor. 1. 90, 67, 39, 58 2. 34, 27, 101, 243 3. 73, 82, 78, 85 4. 116, 122, 130, 109 5. 152, 160, 93, 129 Vocabulario diagrama de tallo y hojas Un diagrama de tallo y hojas es una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Te permite mostrar el valor de cada dato. Actividad Haz un diagrama de tallo y hojas usando los datos de los edificios. Ordena los datos de menor a mayor. 26, 27, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 43, 43, 43, 45, 45, 48, 48, 48, 52 Separa los datos en grupos, los que tengan el mismo tallo. Enumera los tallos, en orden, en una columna. Escribe cada conjunto de hojas en orden, de menor a mayor, a la derecha de su tallo. Ponle un título a tu diagrama. 31 27 29 37 30 30 26 30 48 48 32 33 52 40 32 33 45 28 34 38 34 43 39 45 38 48 43 38 27 43 Cantidad de pisos de algunos edi�cios de Santiago Tallo Hojas 2 6 7 7 8 9 3 0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 7 8 8 8 4 0 3 3 3 5 5 8 8 8 5 2 El dígito de las decenas de cada número es su tallo. El dígito de las unidades de cada número es su hoja.Edi�cios de Santiago 5 | 2 representa 52 9 3LEC CI ÓN Aprende 264 Comprensión de los aprendizajes Práctica adicional en la página 272 Grupo C USA DATOS Para 5–8, usa los datos de las temperaturas de diciembre. 5. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas. 6. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Y la temperatura máxima? 7. ¿Qué temperatura se registró con más frecuencia? 8. ¿Se registraron más temperaturas en los 24 ºC; 25 ºC o 26 ºC? USA DATOS Para 9–10 y 15 usa el diagrama de tallo y hojas. 9. ¿Cuántos edificios tienen entre 10 y 19 pisos? 10. ¿Cuántos edificios tienen exactamente 17 pisos? 11. Explica ¿Qué clase de preguntas puedes responder usando un diagrama de tallo y hojas? 1. Vuelve al diagrama de tallo y hojas Edificios de Santiago. ¿Cuántos edificios tienen 32 pisos? ¿Cómo se ve esto en el diagrama? USA DATOS Para 2–4, usa los puntajes del equipo de bolos. 2. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas. 3. ¿Cuál fue el puntaje más bajo del equipo? ¿Y el más alto? 4. Explica la relación entre una hoja y un tallo en el diagrama de tallo y hojas que hiciste con los datos del puntaje de bolos. 12. ¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo que mide 6 centímetros de ancho y 10 centímetros de largo? 13. Representa gráficamente el par ordenado (2,5) en un plano cartesiano. 14. ¿Cuántos edificios se incluyen en los datos del diagrama de tallo y hojas anterior? A 8 B 19 C 15 D 29 23 24 21 23 24 22 25 26 25 24 30 28 30 31 26 24 25 32 31 29 24 27 31 30 Temperaturas mínimas de diciembre en La Serena (ºC) 1 2 2 5 7 7 7 7 9 2 5 6 7 3 4 6 4 1 4 5 Tallo Hojas Cantidad de pisos de algunos edi�cios de San Miguel 76 92 85 73 94 98 61 74 79 73 81 85 92 86 86 75 69 67 82 86 93 89 76 80 Puntajes del equipo de bolos Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 11 265 Paso Paso Paso Promedio mensual de temperaturas mínimas en Coyhaique Mes Te m pe ra tu ra (° C) 3,0 0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 7654321 Este punto muestra (2; 3,3). ¿Qué escala usarías para representar gráficamente los datos? 1. 5, 9, 15, 6, 3 2. 28, 75, 36, 48, 31 3. 58, 69, 94, 86, 90 4. 12, 30, 25, 48, 41 5. 90, 120, 85, 125, 80 Un gráfico de líneas es una buena manera de mostrar datos que cambian con el transcurso del tiempo. Hacer gráficos de líneas OBJETIVO: representar datos haciendo un gráfico de líneas. Actividad Elige una escala y un intervalo apropiados para los datos. Dado que no hay temperaturas entre los 0 ºC y los 2 ºC , muestra una interrupción en la escala. Escribe los días a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico. Basándote en los datos, escribe pares relacionados como pares ordenados. Representa gráficamente los pares ordenados. Conecta los puntos con segmentos rectos. Mes Ene (1) Feb (2) Mar (3) Abr (4) May (5) Jun (6) Jul (7) Temperatura (ºC) 3,0 3,3 4,2 5,2 6,3 7,2 7,7 Promedio mensual de temperaturas mínimas en Coyhaique Idea matemática Puedes escribir pares de datos relacionados como pares ordenados. En el conjunto de datos de arriba, cada mes se relaciona con una temperatura. Puedes escribir (1,30) para el primer par relacionado. 4LEC CI ÓN Aprende Vocabulario gráfico de líneas doble 266 Paso Paso Paso Paso Gráfico de líneas doble La tabla muestra el promedio mensual de temperaturas mínimas en Calama, Región de Antofagasta. Haz un gráfico para comparar los datos de temperatura de Coyhaique, de la página anterior, con los datos de Calama. Un gráfico de líneas doble es una forma de mostrar dos conjuntos de datos relacionados durante el mismo período de tiempo. Elige una escala y un intervalo adecuados. Escribe los meses a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico. Haz una clave. Usa un color para Coyhaique y otro color para Calama. Ejemplo Haz un gráfico de líneas doble. Usando el color adecuado, representa gráficamente los pares ordenados correspondientes a Coyhaique y conecta los puntos con líneas rectas. Usa el otro color para representar gráficamente los pares ordenados correspondientes a Calama y conéctalos con líneas rectas. 1. Imagina que se agregan los datos de la derecha al gráfico ilustrado arriba. ¿Subirían o bajarían las líneas para cada ciudad? Promedio mensual de temperaturas mínimas en Calama Mes 1 2 3 4 5 6 7 Temperatura (ºC) 5,6 5,7 5,9 6,2 6,5 6,9 7,3 Promedio mensual de temperaturas en agosto Ciudad Temperatura (en ºC) Coyhaique 5,6 Calama 6,8 Promedio mensual de temperaturas mínimas en Coyhaique y Calama 1 2 3 4 5 6 7 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0 Mes Calama Coyhaique Te m pe ra tu ra (º C) Práctica con supervisión Capítulo 11 267 Para 2–5, usa la tabla. 2. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados para representar gráficamente los datos? 3. Escribe los pares relacionados como pares ordenados. 4. Haz un gráfico de líneas de los datos. 5. Explica qué tipo de datos se necesitan para hacer un gráfico de líneas. USA DATOS Para 6–8, usa la tabla. 6. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados para representar gráficamente los datos? 7. Escribe los pares relacionados de datos como pares ordenados. 8. Haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble de los datos. USA DATOS Para 9–10, haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble para cada conjunto de datos. 9. Ventas de la pista de patinaje Semana 1 2 3 4 5 Pista oriental $ 12 000 $ 15 000 $ 18 000 $ 17 000 $ 18 000 Pista occidental $ 11 000 $ 13 000 $ 16 000 $ 17 000 $ 15 000 10. Precio de la acción X en la bolsa Semana 1 2 3 4 Precio $ 48 $ 55 $ 62 $ 38 USA DATOS Para 11–13, usa el gráfico de líneas doble. 11. ¿En cuáles de los meses que se muestran se registró la mayor diferencia de precipitaciones entre los dos parques nacionales? 12. ¿Qué parque tiene un promedio de precipitaciones representado por (4,45)? 13. Explica la similitud entre representar gráficamente un par ordenado en un plano cartesiano y representarlo en un gráfico de líneas. Práctica adicional en la página 272, Grupo D Promedio mensual de temperaturas en Antofagasta (ºC) Mes 1 2 3 4 5 Temperatura (ºC) 19 ,9 21,1 19,1 18,2 16,0 Temperaturas diarias (ºC) Día 1 2 3 4 5 Máxima 22,6 21,3 22,2 22,6 22,8 Mínima 12,6 14,8 15,8 13,4 12,8 Promedio mensual de precipitaciones 1 2 3 4 5 6 35 30 25 20 15 10 5 0 Mes Parque Nacional A Parque Nacional B Pr ec ip ita ci ón (m m ) Práctica independiente y resolución de problemas 268 14. Un rectángulo tiene una longitud de 9 centímetros y un ancho de 3 centímetros. ¿Cuál es su área y perímetro? A. A = 27 cm2; P = 24 cm B. A = 25 cm2; P = 23 cm C. A = 24 cm2; P = 22 cm D. A = 24 cm2; P = 27 cm Para 15–17, usa el gráfico Promedio mensual de precipitaciones que aparece en la página 268. 15. ¿Qué parque tiene el promedio mensual mínimo de precipitaciones? 16. ¿Qué parque tiene un punto en (1,15)? 17. ¿En qué parque nacional llueve más? Comprensión de los aprendizajes Co ns um o (K w h) Promedio mensual de consumo de energía Mes ENE FEB MAR ABR Familia Díaz Familia Zamorano MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC 300 250 200 150 100 50 0 Puedes usar un gráfico de líneas doble para comparar dos conjuntos de datos. La clave muestra qué representa cada línea. Ejemplo ¿Cuál es la diferencia de consumo en marzo de las dos familias? Mira el gráfico y la clave. • El promedio de la familia Díaz en marzo es de 75 Kwh. • El promedio de la familia Zamorano en marzo es de 175 Kwh. Halla la diferencia. 175 2 75 5 100 Por lo tanto, la diferencia de consumo energético entre ambas familias es de 100 Kwh. USA DATOS Para 1–2, usa el gráfico de líneas doble. 1. Razonamiento Sin sumar para hallar el consumo energético anual total, describe cómo se relaciona el consumo energético anual de las dos familias. 2. ¿En qué mes tuvo la familia Díaz un consumo energético mayor que la familia Zamorano? Capítulo 11 269 Por lo tanto, en este período de tiempo, por lo general, no hubo una precipitación anual de más de 20 milímetros. Piensa y comenta Lee cada una de las conclusiones sobre la precipitación anual en San Pedro de la Paz entre enero y junio. Di si estas conclusiones se pueden sacar de la información dada en el gráfico de barras. Escribe sí o no. Explica tu razonamiento. a. La precipitación aumentó de mes a mes. b. La precipitación nunca fue de menos de 10 milímetros por año. c. Las precipitaciones ocurrieron durante el otoño y el invierno. Destreza: sacar conclusiones OBJETIVO: resolver problemas usando la destreza sacar conclusiones. Usa la destreza PROBLEMA El Servicio Nacional Meteorológico registra el total de precipitación que cae en ciudades y regiones cada mes. El gráfico de barras muestra la precipitación mensual en el área de San Pedro de la Paz, Región del Biobío, entre el mes de enero y julio. En general, ¿hubo una precipitación mensual de más de 300 milímetros durante este período de tiempo? Puedes analizar los datos para sacar una conclusión. Mapas como este, se usan para mostrar el promedio anual de precipitación en una zona geográfica. Analizar Conclusión ¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de más de 20 mm? La precipitación mensual en febrero, mayo y junio fue entre 130 y 330 milímetros. ¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de menos de 20 mm? En abril hubo una precipitación mensual de menos de 20 milímetros. Precipitaciones promedio mensual en San Pedro de la Paz, Región del Biobío. Ene Feb Mar Abr May Jun 350 300 250 200 150 100 50 0 Meses Pr ec ip ita ci ón (m m ) S/I S/I 189,6 16,4 329,4 139,2 5LEC CI ÓN 270 Aplicaciones mixtas 1. El gráfico de barras muestra la temperatura promedio en Puerto Natales de enero a junio. En general en este período, ¿hubo una temperatura mensual de menos de 14 ºC? Piensa: ¿En qué meses hubo una temperatura de más de 14 ºC? ¿En qué meses hubo una temperatura de menos de 14 ºC? Compara el número de meses en que hubo una temperatura de más de 14 ºC con el número de meses en que hubo una temperatura de menos de 14 ºC. ¿Hubo más meses con una precipitación de menos de 14 ºC? Saca una conclusión. 4. Miguel tiene 1,098 metros de género. Planea hacer paños de 50 centímetros cada uno. ¿Cuántos paños completos de género hará Miguel? 6. Pablo está preparando una fiesta que empezará dentro de 2 horas y 45 minutos. Sabe que tardará 1 3 __ 4 hora para limpiar, 1 __ 2 hora para decorar y 3 __ 4 de hora para hacer la comida. ¿Estará listo Pablo a tiempo? Explica tu respuesta. 8. La media de los datos es igual al rango (valor mayor - valor menor de los datos) menos 5,5 minutos. Usa esta información para hallar la media del número de minutos que Tamara usó para hacer ejercicios. Explica tu respuesta. 5. Gabriela cobra $ 7 500 por hora por cuidar niños. ¿Es razonable decir que Gabriela gana aproximadamente $ 250 000 por cuidar niños durante 30 horas? Explica tu respuesta. 7. Tamara quiere hallar el número total de minutos en que estuvo haciendo ejercicios durante diez días. ¿Hizo Tamara ejercicios durante más de 5 horas? Explica tu respuesta. 2. ¿Qué pasaría si el gráfico de barras incluyera la temperatura del mes de julio? ¿Qué conclusión podrías sacar si la temperatura de julio fuera de 1 ºC? 3. En 2005 la temperatura de septiembre fue de 2 ºC. En octubre la temperatura fue de 15 ºC; en noviembre fue de 17 ºC; y en diciembre, de 18 ºC. ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la temperatura durante este período? USA DATOS Para 7–8, usa el diagrama de tallo y hojas. Total de temperatura promedio mensual de Puerto Natales Ene Feb Mar Abr May Jun 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Meses Te m pe ra tu ra (º C) Minutos que Tamara hizo ejercicios Tallo Hojas 2 0 2 4 5 7 3 0 3 4 5 5 2 4 Resolución de problemas con supervisión Capítulo 11 271 Grupo C Para 1–5, usa los datos sobre excursionismo. 1. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas. 2. ¿Cuál es el mayor número de excursionistas? ¿Y el menor número de excursionistas? 3. ¿Cuál es la diferencia entre estos valores? 4. ¿En cuántos días hubo más de 70 excursionistas? 5. ¿Qué cantidad de excursionistas se dio con más frecuencia? FPO FPO Instrumento piano guitarra violoncelo batería Cantidad de lecciones 10 28 12 16 Lecciones de música 11 16 10 3 14 4 9 15 8 17 5 20 12 6 15 6 Cantidad de horas trabajadas 68 80 86 59 62 73 64 87 85 67 92 71 71 79 92 90 54 85 70 85 Cantidad diaria de excursionistas Mes ENE (1) FEB (2) MAR (3) ABR (4) Cantidad (en milímetros) 8 12 20 16 Cantidad de precipitación Día Escuela básica Liceo 1 $ 4 500 $ 10 500 2 $ 3 000 $ 9 000 5 $ 2 500 $ 5 000 3 $ 12 500 $ 8 000 4 $ 10 000 $ 9 500 Ventas en tiendas escolares Práctica adicional Tº m ín im a Temperaturas durante una semana Días de la semana Lun Mar Mie SabJue Vie Tº Máx Tº Mín Dom 30 25 20 15 10 5 0 Práctica adicional Grupo A Halla el promedio de cada conjunto de datos. 1. 26, 38, 17 2. 316, 156, 239, 621 3. 25, 15, 20, 30, 20 4. 5,1; 6,7; 4,9; 5,8; 2,6 5. 148, 152, 124, 200, 101 6. 12, 9, 15, 18 7. 30, 157, 64, 13 8. 37,4; 24,4; 1,3; 10,5; 16,9 9. 327, 802, 464 10. 10. 25; 18; ; media = 22 11. 16,5; 23,8; ; media = 18,4 12. 6,5; 6,5; 6,3; ; media = 6,5 13. 125; 108; 118; ; media = 117 14. 33; 35; 41; ; media = 35 15. 2,5; 3,5; 2,7; ; media = 3,1 Grupo B Para 1–4, usa el gráfico de líneas. 1. ¿Qué día fue el menos visitado? ¿Cómo lo sabes? 2. ¿Qué día fue el más visitado? ¿Por qué? 3. ¿Qué día el museo no recibe visitas? 4. ¿Cuál es el promedio de visitas por día? Explica cómo lo calculaste. Grupo D Según el gráfico de líneas 1. ¿Qué dia de la semana hubo más diferencia entre la máxima y la mínima? 2. ¿Hubo variación de temperatura cada día? 3. ¿Qué día no hubo variación de temperatura? bicicleta $60 000 ropa $20 000 casco $10 000 zapatos $10 000 Gastos de ciclismo de Miguel 272 Altura máxima de hábitat de aves Especie aguilucho chincol chorlo puna picaflor gigante tagua gigante tórtola cordillerana Altura sobre el nivel del mar (metros) 4 000 2 000 5 000 2 000 4 000 4 500 Escribe una conclusión En Chile existen 439 especies de aves de las 8 800 que hay en el mundo. Se pueden avistar desde la Cordillera de Los Andes hasta el litoral, a lo largo de todo Chile. La tabla muestra la altura máxima a la cual estas especies habitan. José, usando estos datos, escribió una conclusión sobre la altura donde es posible encontrarlos. ¿Hasta qué altura puedo encontrar a...? 1. Escribe una conclusión sobre las especies de aves que sería posible ver en la Región del Maule. 2. Escribe una conclusión sobre lugares donde no sería posible ver al picaflor gigante. Resolución de problemas Para 1–2, usa los datos que se muestran en el mapa. • Revisa los datos y cualquier otra información que conozcas. • Busca relaciones entre los datos. • Luego, escribe una conclusión. • Primero, observé los datos de la tabla. La tabla muestra la altura máxima de su hábitat 2 000 2 000 4 000 4 000 4 500 5 000 • Por último, escribí una conclusión. Mi conclusión: a dos mil metros de altura es posible encontrar las seis especies de aves estudiadas. • Luego, los ordené menor a mayor. menor mayor Aguilucho Chincol Chorlo Puna Picaflor gigante Tagua gigante Capítulo 11 273 14. Escribe sí o no para indicar si se puede sacar cada conclusión de los datos del gráfico de líneas. Explica tus respuestas. a. La cantidad de miembros disminuyó del año 2 al año 3. b. La cantidad de miembros nunca fue mayor de 20. 15. Explica qué conclusión podrías sacar si la cantidad de miembros del año 6 fuera 43. Miembros del club de ajedrez Año Ca nt id ad d e m ie m br os 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional es un _____________ . 2. La _____________ es el promedio de un conjunto de datos. 3. Un _____________ usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos a través del tiempo. 4. Para representar el todo y las partes de un conjunto de datos usamos _____________ . Comprueba tus destrezas Haz el gráfico para cada conjunto de datos. 5. diagrama de tallo y hojas 6. diagrama de tallo y hojas 7. gráfico de líneas Edades de los ciclistas 11 25 11 15 9 7 15 10 12 18 20 26 13 9 8 28 Almuerzos servidos 45 45 51 45 39 47 39 37 49 38 51 46 53 45 38 44 Mes ABRIL MAYO JUNIO JULIO Cantidad (en milìmetros) 16 12 10 9 Precipitación Elige el mejor tipo de gráfico o diagrama para los datos. 8. edades de todos los 9. altura de una planta 10. cantidad de estudiantes corredores de una durante un período en cinco clubes maratón por rango de un mes 11. estaturas de los 12. frecuencia de visitas 13. cómo gasta Jaime estudiantes de una a la biblioteca su mesada clase de quinto básico Comprueba la resolución de problemas Resuelve. VOCABULARIO media aritmética gráfico de líneas gráficos circulares diagrama de tallo y hojas Repaso/Prueba del capítulo 11 274 Enriquecimiento • Relaciones en los gráficos Los gráficos se usan para mostrar relaciones entre diferentes cantidades. El gráfico a continuación muestra la relación entre la cantidad de personas que asiste a un concierto y el período de tiempo durante el cual las personas llegan al auditorio y se marchan. El concierto tiene lugar entre la segunda y la cuarta hora, pero las personas llegan y se marchan durante un período de tiempo de 5 horas. Ejemplo • De 0 a 1 horas: Las personas empiezan a llegar al auditorio para el concierto. • De 1 a 2 horas: La mayoría de las personas llegan. Al final del intervalo empieza el concierto. • Hora 2: El concierto empieza. • De 2 a 4 horas: Es un concierto largo. • Hora 4: El concierto termina. Los asistentes se marchan a casa. Inténtalo Elige la descripción correcta para cada gráfico. 1. 2. Representa gráficamente la relación entre la distancia recorrida en auto y la cantidad de tiempo que toma recorrer esa distancia. Explica lo que puede estar pasando cuando tu gráfico aumenta, disminuye o permanece constante. a. La cantidad de lluvia disminuye o es constante. b. Deja de llover por dos horas. c. La cantidad de lluvia aumenta o es constante. a. El costo aumenta después de un día. b. El costo se estabiliza después de dos días. c. El costo baja al mínimo después de dos días. Asistencia al concierto Ca nt id ad d e pe rs on as 0 1 2 3 4 5 Tiempo (horas) Tormenta Ca nt id ad d e llu vi a (m m ) 0 1 2 3 4 Tiempo (horas) Llenar el estanque de gasolina Co st o (p es os ) 0 1 2 3 Tiempo (días) Capítulo 11 275 Números y operaciones 1. ¿Cuál de los siguientes números corresponde con 2 356 007? A Dos millones trescientos cincuenta y seis mil B Dos millones trescientos cincuenta y seis mil siete C Dos millones trescientos cincuenta y seis mil setenta D Dos millones trescientos cincuenta y seis mil setecientos 2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 2,5? A 2 __ 5 C 5 __ 2 B 25 ___ 10 D 52 ___ 10 3. En el número 17 248 695, ¿cuál es el valor posicional del dígito 2? A Unidad de mil C Centena de mil B Decena de mil D Unidad de millón 4. ¿Cuál es el valor de la expresión: (18 : 6)+(8-4) A 6 C 8 B 7 D 9 5. Halla la expresión que permite resolver el siguiente problema: “Claudia tenía 35 lápices de colores y le dio 4 lápices durante 3 días a su amiga Marisol, ¿con cuántos lápices se quedó Claudia?” A 35 – 4 • 3 C 35 – (4 : 3) B 35 + 4 • 3 D (35 – 4) • 3 Explica ¿Por qué los valores de (9+5) • 4 y 9+(5 • 4) son diferentes? Patrones y álgebra 6. El valor de x en la ecuación x + 26 = 56 es: A 82 C 56 B 60 D 30 7. La suma entre la edad de mi padre y mi madre es de 105 años. Si mi padre tiene 53 años, ¿cuál es la edad de mi madre? A 50 C 52 B 51 D 53 8. ¿Qué valor puede ser solución a la siguiente inecuación? x < 15 A 25 C 15 B 20 D 10 9. ¿Qué valor no puede ser solución a la siguiente inecuación? x + 4 > 15 A 19 C 13 B 17 D 11 10. “La suma de un número cualquiera más cinco es mayor que 10” se puede representar como: A x > 5 + 10 C x + 5 < 10 B x < 5 + 10 D x + 5 > 10 Explica Sara está leyendo un libro. El primer día lee 32 páginas y el segundo día lee 18 páginas más que el primero, ¿cuánto lee el segundo día? Comprensión de los aprendizajes 11. El valor de y en la ecuación 72 + y = 108 es: A 36 C 46 B 180 D 170 12. Gabriel tiene 15 láminas más que su amigo Pedro, si entre los dos juntan 165 láminas. ¿Cuántas láminas tiene Gabriel? A 80 láminas C 150 láminas B 90 láminas D 100 láminas 276 16. ¿Qué figura posee más de un eje de simetría? A C B D Datos y probabilidades 17. ¿Cuál es la media (promedio) de las calificaciones de los exámenes de Antonio? Calificaciones de los exámenes de Antonio (en %) 94 93 95 78 94 81 85 A 88,5 C 93,2 B 87,5 D 94,1 18. ¿Qué estudiante tuvo la media más alta en las calificaciones de sus exámenes? 4,4 5,7 6,5 5,7 70 62 60 63 62 58 61 69 68 60 61 65 Nombre Andrea Braulio Carlos Dante Examen 1 Examen 2 Examen 3 Examen 4 A Andrea B Braulio C Carlos D Dante 19. ¿Cuál es el promedio de los datos? Cantidad de boletos vendidos Tallo Hojas 1 1 1 2 0 2 6 8 3 1 2 7 4 0 2 2 3 A 10,4 C 29,6 B 37,5 D 45,3 Geometría - Medición 13. Las coordenadas del punto A en el plano cartesiano son: A (2,3) B (3,2) C (2,4) D (4,2) 14. En el siguiente plano cartesiano, el par ordenado (2,1) corresponde al punto: A F B G C H D I 15. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras son congruentes? A B C D 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y x A 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y x F G H I 20. En una bolsa tengo 12 fichas rojas, 10 amarillas y 6 fichas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha amarilla? A C B D 1 10 10 28 1 28 2 12 Capítulo 11 277 Carros de la montaña rusa rojo2 5 4 4 3 6 naranja amarilloazul verde morado Investiga Imagina que estás esperando para subir a una montaña rusa en Fantasilandia. Los carros pueden llegar en cualquier orden. Observa el gráfico de abajo. ¿Qué carro tiene más probabilidad de ser el siguiente en llegar? ¿De qué color te gustaría que fuera el carro que vas a subir? ¿Cuál es la probabilidad de que ese sea el siguiente en llegar? Explica cómo lo sabes. Probabilidad La idea importante La probabilidad mide la posibilidad de los sucesos y proporciona la base para hacer predicciones. 12 En 1977 comenzaron los trabajos de construcción del parque de diversiones Fantasilandia. El 26 de enero de 1978, comenzó a funcionar con solo ocho juegos. En la época, la prensa titulaba que por fin Chile podría tener su propia Disneylandia. Chile DATO BREVE 278 Capítulo 12 279 PREPARACIÓN resultado La posible solución de un experimento. suceso Un resultado o una combinación de resultados de un experimento. predecir Hacer una conjetura razonable acerca de lo que sucederá. Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el capítulo 12. u Hacer y usar una tabla de conteo Usa los datos para hacer una tabla de conteo. Después, contesta cada pregunta. Claudia realizó una encuesta a su clase sobre sus colores favoritos. 9 estudiantes eligieron morado, 12 eligieron verde, 4 eligieron azul y 2 eligieron amarillo. 1. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? 2. ¿Qué color fue el que menos eligieron? 3. ¿Cuántos estudiantes más eligieron 4. ¿Cuántos estudiantes no eligieron azul? verde que azul? u Resultados posibles Enumera los resultados posibles de cada experimento. 5. sacar una bolita 6. girar esta flecha 7. lanzar una de esta bolsa giratoria moneda u Comparar partes de un todo y un grupo VOCABULARIO DEL CAPÍTULO combinaciones resultado equiprobable predecir diagrama de poco posible árbol suceso posible Escribe una fracción para la parte del todo que se menciona. 8. secciones verdes 9. secciones moradas Escribe una fracción para la parte del grupo que se menciona. 10. círculos 11. círculos o cuadrados Escribe una fracción para la parte sombreada. Vocabulario resultado Materiales ■ Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y verde ■ moneda Puedes hallar el número de resultados posibles al realizar un experimento. Cuando realizas un experimento, los resultados son las soluciones. Gira la flecha giratoria de 4 partes iguales. Hacer una lista de todos los resultados posibles OBJETIVO: hacer una lista de todos los resultados posibles de un experimento. Registra tu resultado. Repite la actividad 20 veces. Cada vez hallarás un resultado posible diferente. Regístralo en una lista. Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el resultado de cada giro. 2. ¿Cuántos colores hay en la flecha giratoria? ¿Cuántos resultados posibles hay para este experimento? Menciona los resultados posibles. 3. Aplicación Ema tiene una bolsa con 2 bolitas verdes, 3 rojas y 2 azules, que tienen el mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay para este experimento? 280 Cara Sello Moneda Experimento de Soledad Lanzar un cubo numerado y una moneda 1 2 3 4 5 6 Número Moneda Color Rojo Azul Verde Amarillo Cara Sello , , , , , , , , Esta tabla muestra los resultados posibles de girar una flecha giratoria con 4 partes iguales y lanzar una moneda. USA DATOS Para 1 - 4, usa estas imágenes. Enumera todos los resultados posibles para cada experimento. 1. lanzar una moneda de $10 2. lanzar un cubo numerado del 1 al 6 3. lanzar un cubo numerado del 1 al 6 y girar una flecha giratoria de 3 partes iguales 4. lanzar una moneda de $10 y girar la flecha USA DATOS Para 5 - 8, usa la tabla. 5. Enumera todos los resultados posibles del experimento. 6. ¿Cuántos resultados posibles hay? 7. ¿Cuántas veces ocurrió el resultado Cara, 3? 8. Explica cómo puedes hallar el número de resultados posibles para un experimento al observar una tabla de resultados. • Haz una tabla como la de arriba. Realiza un experimento y registra los resultados. • Lanza una moneda y gira la flecha. • Registra el resultado en la tabla usando una marca de conteo. Repítelo un total de 20 veces, registrando el resultado después de cada lanzamiento y giro. ¿Cómo cambiaría el número de los resultados posibles si la flecha giratoria tuviera cinco colores? Actividad Materiales ■ Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y verde ■ moneda Capítulo 12 281 Hacer una lista para llevar la secuencia de la información. El Sr. López coloca el plan diario de sus clases en el pizarrón. Estrategia: hacer una lista organizada OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia hacer una lista organizada. Aprende la estrategia Hacer una lista organizada es una buena manera de llevar la cuenta de la información. Puedes usar diferentes tipos de listas organizadas para diferentes tipos de situaciones. Hacer una lista para organizar la información. Cada noche, Cecilia escribe su tarea en un cuaderno. Ella organiza su tarea por tema. Hacer una lista para hallar los resultados posibles. Una panadería ofrece 3 diferentes sabores de sus pasteles de dos capas. Cada pastel contiene 2 sabores. Cuando haces una lista, organizarla en categorías o partes te puede ayudar a no olvidar nada. Explica cómo te puede ayudar una lista a representar información. 2LEC CI ÓN 282 Usa la estrategia PROBLEMA Mónica juega un juego en su casa. Sin ver, mete la mano en una bolsa y saca una bolita. Después, mete la mano en una bolsa diferente y saca otra bolita. Todas las bolitas son del mismo tamaño. Si ambas bolitas son del mismo color, Mónica gana un premio. Enumera y cuenta los resultados posibles del juego. Después, menciona la manera en que Mónica puede ganar un premio. • Resume lo que debes hallar. • ¿Qué información usarás? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes hacer una lista organizada. • ¿De qué otras maneras podrías resolver el problema? verde, negra roja, negra amarilla, negra verde, morada roja, morada amarilla, morada verde, verde roja, verde amarilla, verde • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Haz una lista de todos los resultados posibles. Organiza tu lista mostrando los resultados que podrías obtener si la primera bolita es verde. Después, enumera los resultados que podrías obtener si la primera bolita fuera de otro color. Sólo hay un resultado posible en el cual ambas bolitas son del mismo color, verde, verde. Por lo tanto, de los nueve resultados, sólo hay uno en el que Mónica puede ganar el premio con el resultado verde, verde. Capítulo 12 283 Resolución de problemas con supervisión 12 1 2 4 3 A B 3 4 5 1. USA LOS DATOS Para 1 - 3, usa las fichas giratorias. Mariana juega un juego con dos flechas giratorias. Cada flecha giratoria tiene secciones iguales. Ella gira ambas flechas y suma los números. Si el total es menor que 4, gana un premio. Enumera los resultados posibles. Menciona las maneras en que Mariana puede ganar un premio. Primero, usa una tabla para hacer una lista organizada. Después, halla el total de dos giros. Por último, halla los totales que son menores que 4. 2. ¿Qué pasaría si la flecha giratoria A tuviera dos secciones iguales rotuladas 1 y 2? ¿Cómo cambiaría el número de resultados posibles? 3. Julia juega un juego con una moneda y la flecha giratoria A. Julia lanza la moneda y gira la flecha. Enumera todos los resultados posibles. Haz una lista organizada para resolver los problemas. 4. Laura está haciendo boletos para el festival de su colegio. Cada tipo de boleto será de diferente color. Habrá boletos para adultos, niños y personas mayores. Habrá boletos para 1 día y para dos días. ¿Cuántos colores de boletos habrá? USA DATOS Para 5 - 6, usa la información del dibujo. 5. Roberto juega a girar la flecha y sacar un pato de la bolsa. ¿Cuántos resultados posibles hay? 6. Para ganar un premio, Gregorio debe obtener un número mayor que 3 y sacar el pato verde. Menciona las maneras en que Gregorio puede ganar. 7. Simón quiere hallar el número total de resultados posibles de girar una flecha y lanzar una moneda. Explica cómo puede Simón organizar una lista de los resultados posibles. Flecha giratoria A Flecha giratoria B Suma 1 1 2 1 2 3 2 1 3 2 j j Resolución de problemas • Práctica de estrategias 284 La montaña Rusa Inaugurada en: 1978 El Pulpo Inaugurado en: 1977 Barco Pirata Inaugurado en: 1982 La Mansión Siniestra Inaugurada en: 1978 Black Hole Inaugurado en: 1994 Casa Fantasma Inaugurada en: 1989 Xtreme Fall Inaugurado en: 2006 Cyclón Inaugurado en: 1995 ESTRATEGIAESTRATEGIA ELIGE UNA Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Práctica de estrategias mixtas USA LOS DATOS Para 8 a 11, usa la tabla de juegos de Fantasilandia. 8. DATO BREVE La casa fantasma fue inaugurada en 1989. ¿Qué juegos se inauguraron en 1978? 9. El Kamikaze se inauguró antes de los juegos Cyclón y Black Hole, pero después del barco pirata. ¿En qué año se pudo haber inaugurado el juego Kamikaze? 10. Formula un problema La Mansión Siniestra se inauguró en 1978. Usa esta información y los años en los que se inauguraron el Black Hole y el Xtreme Fall para escribir un problema. 11. Problema abierto Haz una tabla que muestre el número de juegos inaugurados durante cada década: desde 1977 hasta 2006. Menciona un dato contenido en tu tabla. 12. Mi año es par. La suma de los dos primeros dígitos es menor que la suma de los dos últimos. El número formado por la suma de los dos últimos dígitos es 4 más que el número formado por la suma de los 2 primeros dígitos. ¿Qué juego soy? ESFUÉRZATE Las entradas a un parque de diversiones cuestan $ 8 000 adulto y $ 5 000 para niños. 13. Un pase semestral para adultos cuesta $ 4 000 más que 4 veces el costo del boleto de un día. Un pase semestral para niños cuesta $10 000 menos que eso. ¿Cuál es el costo de un pase semestral para niños? 14. Álgebra Un grupo de adultos visitó el parque de diversiones. Debido a que compraron los boletos juntos obtuvieron un descuento de $10 000. ¿Qué expresión puedes usar para mostrar el costo total de las entradas del grupo? Explica cómo resolver el problema. Juegos de Fantasilandia Capítulo 12 285 Aprende • Esta flecha giratoria tiene 3 secciones iguales. ¿Cuál es la posibilidad de sacar rojo o amarillo? • ¿Cuál es la posibilidad de lanzar un número menor que 10, si el cubo numerado está rotulado del 1 al 6? 1 53 Puedes predecir la posibilidad de los sucesos. Cuando predices, haces una conjetura razonable acerca de lo que podría suceder. Un suceso puede ser un resultado o una combinación de resultados. Algunas veces, un suceso es más posible que otro, pero no seguro. Un suceso es posible si tiene gran posibilidad de ocurrir. Un suceso es poco posible, pero no imposible, si tiene poca posibilidad de ocurrir. Menciona los resultados posibles de girar ambas flechas. Vocabulario predecir imposible suceso poco posible posible seguro Hacer predicciones OBJETIVO: predecir los resultados de experimentos. Ejemplos Hay siete bolitas de igual tamaño en una bolsa. ¿Cuál es la posibilidad de cada suceso? Sacar una bolita amarilla Un suceso es imposible si nunca sucederá. No hay bolitas amarillas en la bolsa, así que sacar una bolita amarilla es imposible. Sacar una bolita morada o roja Un suceso es poco posible, si tiene poca posibilidad de ocurrir. Hay tres bolitas rojas, tres bolitas verdes y una bolita morada. Es poco posible sacar la bolita morada, pero no imposible. Sacar una bolita roja, verde o morada Un suceso es seguro si siempre ocurrirá. La bolsa sólo tiene bolitas rojas, verdes, y moradas, así que es seguro sacar una bolita roja, verde, o morada. • ¿Cuál es la diferencia entre un suceso seguro y un suceso posible? Idea matemática Cuando haces una predicción, decides qué sucesos tienen mayor posibilidad de ocurrir y qué sucesos tienen menor posibilidad de ocurrir. 3LEC CI ÓN 286 Práctica con supervisión Paso Paso Paso Paso 1. La bolsa tiene 7 bolitas del mismo tamaño. Tomás saca una bolita de la bolsa. Menciona un suceso que sea posible, poco posible e imposible. Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible. Actividad Materiales ■ fichas de colores de igual tamaño ■ bolsa Coloca en la bolsa 6 fichas azules, 3 rojas y 1 amarilla. Copia la tabla. Predice los resultados de sacar una ficha de la bolsa 30 veces. Escribe marcas de conteo en la columna “Resultados predichos” para mostrar el número de veces que piensas que se puede sacar cada color. Saca una ficha de la bolsa. Registra el resultado en la columna “Resultados reales” de tu tabla. Coloca la ficha de nuevo en la bolsa. Repítelo 29 veces más. • ¿Cómo se comparan tus resultados reales con tus predicciones? • Enumera todos los resultados posibles. ¿Qué resultado es más posible? Explica. • ¿Qué resultado es menos posible? Explica. 2. lanzar un número mayor que 1 en un dado. 3. sacar un múltiplo de 4 en una flecha giratoria de 4 partes rotuladas 4, 8, 12 y 16. 4. Explica la diferencia entre un suceso que es poco posible y uno que es imposible. Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible 5. lanzar un número mayor que 6 en un dado. 6. sacar una bolita verde de una bolsa que contiene 22 bolitas rojas, 4 verdes y 14 amarillas del mismo tamaño. Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 12 287 Comprensión de los aprendizajes 1 21 2 A B USA DATOS Para cada experimento, di si los sucesos A y B son igualmente posible o no son igualmente posible. Si no son igualmente posibles, menciona el suceso que es más posible. 7. Experimento: Lanzar una moneda. Suceso A: cara Suceso B: sello 9. Experimento: Girar la flecha. Suceso A: rojo Suceso B: amarillo USA DATOS Para 11 - 13, usa las flechas giratorias. Cada flecha giratoria tiene dos secciones iguales. En el experimento, se gira cada flecha y se suman los resultados. 11. ¿Cuáles son las sumas posibles? ¿Cuál es la suma más posible? 12. Copia la tabla. Registra una predicción sobre cuántas veces sacarás una suma de 3 si realizas el experimento 20 veces. 13. Haz dos flechas giratorias como las que se muestran. Gira las flechas y suma los resultados. Realiza el experimento 20 veces. ¿Cómo se comparan tus resultados con la predicción que hiciste en el problema 12? USA LOS DATOS Para 14 - 15, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 14. ¿Qué par de sucesos son equiprobables? 15. Menciona un suceso que es imposible 16. Antonio va a girar la flecha. Predice el resultado de su giro. Explica tu selección. 8. Experimento: Lanzar un cubo numerado del 1 al 6. Suceso A: sacar un número menor que 3 Suceso B: sacar un número par 10. Experimento: Sacar una ficha de una bolsa si todas las fichas son del mismo tamaño. Suceso A: verde Suceso B: rojo Resultados del experimento Suma de 3 Resultados predichos Resultados reales j j j 17. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si s = 12? 4 • (s + 5) 18. ¿Cuál es el área de esta figura? 5 cm 10 cm 19. Menciona una fracción que sea igual que 0,5. 20. Las bolitas de la bolsa son del mismo tamaño. ¿Qué color de bolita tienes más posibilidad de sacar de la bolsa? A azul B amarilla C verde D roja Práctica adicional en la página 294, Grupo A288 Justifica tu respuesta Algunas veces necesitas justificar tu respuesta proporcionando razones que muestren que tu respuesta es correcta. El entrenador de fútbol de Mónica va a seleccionar un estudiante para que sea el capitán del equipo. Ella escribe el nombre de un jugador diferente en cada una de las 23 tarjetas. Después, sin ver, elige una tarjeta. ¿Es posible, poco posible, seguro o imposible que el nombre de Mónica sea seleccionado? Mónica escribió su respuesta y después dio sus razones para justificarla. Pienso que es poco posible que mi nombre sea seleccionado. 1. Debido a que hay otros resultados posibles, no es seguro que mi nombre sea seleccionado. 2. Debido a que mi nombre es uno de los resultados posibles, no es imposible que este sea seleccionado. 3. Cada estudiante tiene igual oportunidad de ser seleccionado. Debido a que solo tengo una posibilidad entre 23 de que mi nombre sea seleccionado, no es posible que lo sea. Por lo tanto, mis razones justifican que es poco posible que mi nombre sea seleccionado. 1. Una mañana de octubre, la Señora Madariaga dijo: “Es imposible que vaya a nevar hoy”. ¿Estás de acuerdo con la Señora Madariaga? 3. Rodrigo lanza un dado y una moneda de $10. Menciona dos resultados que sean equiprobables que ocurran. 2. Óscar lanza un dado y una moneda de $ 5. ¿Cuántos resultados posibles hay? 4. Melina va a lanzar una moneda 50 veces. ¿Cuántas veces predices que la moneda caerá en cara? Resolución de problemas Resuelve. Justifica tu respuesta. Para justificar una respuesta: • Primero, plantea tu respuesta. • Después, escribe enunciados que expliquen por qué otras posibles respuestas no pueden ser verdaderas. • Usa términos matemáticos correctos en tus enunciados. • Por último, menciona si tus razones justifican tu respuesta. Capítulo 12 289 Aprende imposible menos posible más posible seguro ADVERTENCIA Probabilidad como una fracción OBJETIVO: expresar la probabilidad como una fracción. Tomás lanza un cubo numerado del 1 al 6. ¿Cuántos resultados posibles hay? Vocabulario probabilidad matemáticaPROBLEMA Paulina gira la flecha. Cada sección de la flecha giratoria es igual. ¿Cómo puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde? La probabilidad matemática es una comparación entre un número de resultados favorables y el número de resultados posibles de un suceso. La probabilidad de que un suceso ocurra se expresa como 0, 1 o una fracción entre 0 y 1. Por lo tanto, Paulina puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde como una fracción. ¿Cuál es la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde? Probabilidad de que número de resultados favorables (verde) _______________________________________________________ número total de resultados posibles (3 verdes, 4 rojos, 1 amarillo) se detenga en verde 3 __ 8 Por lo tanto, la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde es de 3 _ 8 o 3 de 8. Cuanto más cercana sea la probabilidad a 1, será más probable que el suceso ocurra. Cuanto más cercana sea la probabilidad a 0, será menos probable que ocurra. Una probabilidad de 1 _ 2 significa que el suceso tiene tanta probabilidad de ocurrir como de no ocurrir. Imagina que quieres hallar la probabilidad de que la flecha se detenga en amarillo. • ¿Qué es más probable que ocurra: sacar rojo o sacar amarillo? ¿Cómo lo sabes? El número de resultados favorables es siempre el numerador. El número total de resultados posibles es siempre el denominador. 0 11–8 3–8 5–8 1–4 1–2 3–4 7–8 4LEC CI ÓN = = 290 1. Usa la flecha giratoria A, que tiene secciones iguales. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se detenga en azul? Cuenta el número de resultados favorables. Cuenta el número total de resultados posibles. Escribe la probabilidad como una fracción. USA LOS DATOS Para 2 - 6, usa la flecha giratoria B. La flecha giratoria B tiene secciones iguales. Escribe la probabilidad como una fracción. 2. sacar azul 3. sacar rojo o azul 4. sacar verde 5. no sacar rojo 6. sacar rojo 7. no sacar azul ni verde 8. Explica cómo sabes que es posible que ocurra un suceso con probabilidad 11 de 12. A B Más ejemplos Halla la probabilidad de cada suceso cuando todas las bolitas son del mismo tamaño. Después, escribe la probabilidad. Halla la probabilidad de sacar una bolita que no sea azul. La probabilidad de 5 __ 8 resultados favorables (4 rojas, 1 verde) ______________________________________________ total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 1 verde) que no sea azul La probabilidad de sacar una bolita que no sea azul es posible. ← ← ← ← Halla la probabilidad de sacar una bolita roja o verde. La probabilidad de 5 __ 7 resultados favorables (2 rojas, 3 verdes) ________________________________________________ total de resultados posibles (2 rojas, 3 verdes, 2 blancas) que sea roja o verde La probabilidad de sacar una bolita roja o verde es posible. ← ← Halla la probabilidad de sacar una bolita negra. La probabilidad de que sea negra 8 __ 8 resultados favorables (8 negras) _________________________________ total de resultados posibles (8 negras) La probabilidad de sacar una bolita negra es segura. ← ← Halla la probabilidad de sacar una bolita verde. La probabilidad de 0 __ 9 resultados favorables (0 verdes) __________________________________________ total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 2 amarillas) que sea verde La probabilidad de sacar una bolita verde es imposible. Práctica con supervisión = = = = Capítulo 12 291 5 6 6 1 2 2 4 3 3 33 B A A ANN S USA LOS DATOS Para los ejercicios 9 a 13, usa las fichas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. 9. sacar un 1 10. sacar un 3 11. sacar un 5 12. sacar un 2 o 3 13. sacar un número que no sea 6 Álgebra 19. Roberto llena una bolsa con 12 bolitas del mismo tamaño. Hay n bolitas azules. La probabilidad de sacar una bolita azul de la bolsa es de 1 _ 4 . 20. Marta gira una flecha que tiene 3 resultados igualmente probables: rojo, verde y azul. La probabilidad de sacar amarillo es n. USA LOS DATOS Para 22 - 24, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 21. ¿Qué fracciones muestran la probabilidad de sacar verde? 22. Escribe los siguientes resultados en orden del menos probable al más probable y escribe la probabilidad de cada uno como una fracción: sacar verde, sacar un 6, sacar un número par. 23. Formula un problema Vuelve a leer el problema 21. Escribe un problema similar cambiando el color. 24. ¿Cuál es el error? Carlos dice que la probabilidad de sacar verde es de 1 _ 3 porque el verde es uno de los tres resultados posibles. Describe su error. Halla la probabilidad correcta. USA LOS DATOS Para 14 - 18, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, posible o poco posible. 14. sacar una B 15. sacar una N o una A 16. sacar una T 17. sacar una B, A, N o S 18. sacar un letra que no sea A Halla el valor de n. Práctica adicional en la página 294, Grupo B Práctica independiente y resolución de problemas 292 Comprensión de los aprendizajes RobertoManuel Juanita ManuelRoberto Juanita 25. ¿Cuáles son los resultados posibles de girar una flecha giratoria de tres partes iguales si 2 partes son rojas y 1 parte es azul? 26. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz azul de una caja con tres lápices rojos? Explica. 27. Todas las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja? A 1 __ 5 C 3 __ 5 B 2 __ 5 D 4 __ 5 JUSTO O INJUSTO En la probabilidad, un experimento es justo si cada resultado es igualmente probable. Un experimento es injusto si uno o más resultados tienen más probabilidad de ocurrir que otros. Rodolfo, Manuel y Juanita juegan usando una flecha giratoria. Cada vez que la flecha se detiene en el nombre de un jugador, este obtiene 1 punto. Esta rueda giratoria es injusta. Roberto tiene más probabilidad de anotar que los otros jugadores. Esta rueda giratoria es justa. Cada jugador tiene la misma probabilidad de anotar. Injusto Justo 1. Osvaldo y María lanzan dado. Osvaldo gana si el resultado es 1, 2 o 3. María gana si el resultado es 4, 5 o 6. 3. Rolando y Pamela lanzan un dado. Rolando gana si el resultado es menor que 3. Pamela gana si el resultado es mayor que 3. 2. Luis y Félix usan la flecha giratoria de abajo. Luis gana si la flecha se detiene en azul. Félix gana si la flecha se detiene en verde o rojo. Menciona si cada juego es justo o injusto. Explica tu respuesta. Capítulo 12 293 1. sacar una ficha azul de una bolsa que contiene 26 fichas verdes, 14 amarillas y 2 azules del mismo tamaño. 2. sacar un número menor que 1 en un dado. Para cada experimento di si los sucesos A y B son poco probables o no son poco probables. 3. Experimento: Girar la flecha 4. Experimento: Sacar una bolita de la bolsa de bolitas del mismo tamaño. Suceso A: morado Suceso B: verde Suceso A: amarilla Suceso B: roja Práctica adicional Grupo A Di si el suceso es probable, poco probable, seguro o imposible Grupo B Para los ejercicios 1 a 5, usa la flecha giratoria para hallar la probabilidad de cada suceso. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 1. sacar anaranjado 2. sacar morado 3. sacar rojo 4. sacar verde o anaranjado 5. sacar un color que no sea azul Para los ejercicios 6 y 10, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, di si cada suceso es seguro, imposible, probable, o poco probable. 6. sacar una R 7. sacar una A o una C 8. sacar una T 9. sacar una G 10. sacar una A, C o R C A R A C T E R 294 Jugadores 2 equipos de 2 jugadores Materiales • 2 dados • Tarjetas de suceso Los jugadores revuelven las tarjetas y las colocan boca abajo en una pila. La primera tarjeta se voltea. Cada equipo determina la probabilidad del suceso que sale en la tarjeta. Después, predicen los resultados de lanzar el cubo 10 veces. El equipo que tenga la predicción más cercana anota un punto. El juego continúa hasta que un equipo anote 5 puntos y gane el juego. ¡Cómo jugar! La probabilidad de sacar un 3 es de 1 _ 6 Es probable, no es probableEs probable, no es probable Capítulo 15 295 VOCABULARIO probabilidad matemática resultado predicción 5. sacar un 0 en un dado 6. sacar un número impar en una flecha giratoria con tres partes iguales rotuladas del 1 al 3 12. Jaime lanzó una moneda y sacó una bolita de una bolsa con una bolita azul y una roja. Las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay? 13. Leonardo lanza un dado y una moneda. ¿Cuántos resultados posibles hay? 14. Luis está jugando con dos dados. Si saca 10 o más, gana un turno adicional. Menciona las maneras en que Luis puede ganar un turno adicional. 15. Explica cómo puede Luis organizar una lista para hallar las posibles combinaciones de lanzar dos dados. Repasar el vocabulario y los conceptos Para los ejercicios 1 a 3, elige el mejor término del recuadro. 1. Un ____________ es la solución de un experimento. 2. Cuando realizas una ____________ , haces una conjetura razonable acerca de lo que sucederá. 3. Un ____________ es una lista organizada que muestra posibles combinaciones de grupos de objetos o de un suceso. 4. Explica la diferencia entre suceso imposible y suceso poco posible. Repasar las destrezas Di si el suceso es probable, poco probable, seguro o imposible. Para los ejercicios 7 a 11, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, probable o poco probable. 7. sacar una T 8. sacar un T, R, D, A, u O 9. sacar una D 10. sacar un A, O o T 11. sacar una S Resuelve: Repasar la resolución de problemas Resuelve. Repaso/Prueba del capítulo 12 T R O T A D O R A 296 Capítulo 15 297 Muchos de los juegos populares usan la probabilidad. Más probable: el resultado que ocurrirá más. Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una bolsa, es más probable que saques una bolita roja. Menos probable: el resultado que ocurrirá menos. Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una bolsa, es menos probable que saques una bolita azul. Equiprobable que: dos resultados que tienen la misma posibilidad de ocurrir. Si hay 2 bolitas rojas y 2 azules en una bolsa, es igualmente probable que saques las rojas que las azules. Predice y juega Claudia y Jorge juegan un juego de números. Cada uno toma turnos para lanzar dos dados. Después suman los números para hallar el resultado de cada lanzamiento. Claudia lanza un 3 y un 6, por lo tanto, suman 3 y 6 para obtener un total de 9. Cuando se suman los resultados de lanzar 2 dados, el menor total posible es 2. El mayor total posible es 12. Mayor total posible: 6 1 6 5 12 • Predice qué totales ocurrirán con mayor o menor frecuencia. ¿Por qué? Juego de lanzamiento Materiales ■ 2 dados Juega con el dado con un compañero de clase. Lanza los dados 20 veces. Registra tus totales en una tabla de conteo. Explica cómo se compara tu predicción con los resultados reales y por qué. Enriquecimiento • Hacer predicciones Menor total posible: 1 1 1 5 2 total: 3 1 6 Opción múltiple 1. La media aritmética (promedio) del siguiente grupo de datos es igual a: 7 - 20 -13 - 14 - 6 - 9 - 1 A 70 B 20 C 14 D 10 2. Se sabe que el promedio del siguiente grupo de datos 1, 7, 2, 10, x es 10. ¿Cuál de los siguientes valores puede tomar x? A 10 B 20 C 30 D 40 3. En la tabla se registra el largo de los saltos que realizaron 5 niños. En relación con los datos registrados en la tabla. ¿Cuál es el promedio de la muestra? Nombre del niño Estatura en metros Andrés 1,19 Carlo 1,35 Ricardo 1,38 Matías 1,03 Pablo 1,46 Repaso/Prueba de la unidad El gráfico muestra la cantidad de agua caída en una ciudad del centro del país. ¿Cuál es el promedio de agua caída en los seis primeros meses? 800 700 650 600 500 400 300 200 100 50 0 E F M A meses mm M J J A Con esta información responde las preguntas 4 y 5. 4. ¿Cuáles son los dos meses más lluviosos? ¿Cuántos milímetros de agua cayeron entre ambos? A Junio y julio, cayeron 1 450 mm. B Junio y julio, cayeron 800 mm. C Julio y agosto, cayeron 1 450 mm. D Junio y agosto, cayeron 1 150 mm. 5. ¿Cuántos milímetros de agua cayeron en el primer semestre? A 2 500 mm. B 2 502 mm. C 1 202 mm. D 1 200 mm. 298 6. Los valores de la muestra anterior son 50 – 100 – 400 – 650 – 800 – 500. La mejor estimación del promedio es: A 400 mm. B 310 mm. C 350 mm. D 360 mm. 7. ¿Cuántas más niñas que niños eligieron fútbol como su deporte favorito? A 2 B 3 C 4 D 5 8. Se lanza una moneda al aire, la posibilidad de que salga cara o sello: A es imposible B es poco probable C es seguro D no se puede saber 9. Se lanza un dado, la posibilidad de que salga un número menor que 1: A es imposible B es poco probable C es seguro D no se puede saber 10. Se lanza un dado n, la posibilidad de que salga un número par o un número impar es: A es imposible B es poco probable C es seguro D no se puede saber Deportes favoritos Niños Niñas Fútbol 4 6 Voleibol 8 3 Respuesta breve Mira el gráfico y responde: 11. ¿Cuántos alumnos tiene el curso? 12. ¿Cuántos alumnos calzan nº 34? 13. ¿Cuántos calzan menos que la media? Alumnos nuevos Esteban Nicolás Sara 37 36 35 0 2 4 6 8 10 12 Ca nt id ad d e al um no s Nº zapato 2 8 4 34 2 3532 6 31 10 3330 Verdadero o falso Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado. 15. ______ La media del conjunto de datos 150, 250,120,700,200 es 280. 16. ______ El suceso de sacar una ficha rosa de una bolsa con 15 fichas rosas y 15 fichas blancas es igualmente probable. 17. ______ Si tengo la palabra “ suceso”, la probabilidad de sacar la letra s como fracción es . Respuesta desarrollada 14. Mira el gráfico de barras. ¿En cuál grupo de número de zapato está la mayor cantidad de alumnos? ¿En cuál está la menor cantidad de alumnos? ¿Cómo cambiaría el gráfico si se agregan los datos de tres alumnos nuevos? 2 6 Capítulo 12 299 De aquí y de allá Resolución de problemas De la biblioteca a la Red EnlacEs nlaces nació en el año 1994 como un proyecto piloto con doce escuelas en Santiago. Luego se extendió a La Araucanía y finalmente a todo Chile. El objetivo de esta iniciativa era constituir una Red Educacional Nacional formada por todos los establecimientos educacionales subvencionados de Chile que permitiera incorporar las nuevas Tecnologías de la Información y Educación TICs en las salas de clases. Por ello, fue primordial dotar gradualmente a los establecimientos educacionales de la infraestructura necesaria (equipos, software y conexión a Internet) que permitiera a las comunidades educativas desarrollar proyectos educativos personales e intercambiar experiencias exitosas y así reducir el aislamiento de muchas escuelas y liceos del país. E 1¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados a la Red Enlaces en 1992? 2¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados finalizado el año 1996? 3 ¿Cuánto aumentó la cantidad de establecimientos educacionales participantes de la Red Enlaces entre los años 1997 y 1999? ¿Cuál fue el año en que la Red Enlaces experimentó el aumento más significativo de establecimientos educacionales asociados? Establecimientos en Enlaces: Expansión 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 N úm er o de es ta bl ec im ie nt os Fuente: Ministerio de Educación 300 Biblioteca Nacional ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES cibErconEctados asta el año 2001 la cantidad de usuarios conectados a internet bordea los 707 000 000 en el mundo, por ello las TICs son, hoy por hoy, de vital importancia en los procesos educativos modernos. Internet es hoy una fuente de información, comunicación y culturización que supera en uso a las bibliotecas tradicionales. H La Biblioteca Nacional de Santiago, tiene una colección de fotografías históricas que incluye miles de fotografías de la capital y de Chile. 1Confecciona una encuesta donde recopiles información sobre desde qué año aproximado están conectados a internet en tu hogar y el tiempo que es utilizado diariamente por la familia. 2 Confecciona una tabla similar a la anterior comenzando desde 1999, o desde el año en que el primer entrevistado se haya suscrito, y terminando en el 2013. 3 Confecciona otra tabla donde resumas la información del tiempo en que se utiliza el servicio internet en cada hogar. Divide la tabla en intervalos de 5 horas, ejemplo [0-5[ , [5-10[, [10-15[, etc. Grafica los datos anteriores, debes escoger dos gráficos, escoge los más adecuados que permitan mostrar la información obtenida. Encuentra el promedio del número de horas que es utilizado internet en el hogar. ¿Qué puedes concluir respecto de la información que obtuviste? EVOLUCIÓN APROXIMADA DE CONECTADOS A INTERNET EN EL MUNDO Enero 1990 Enero 1997 Enero 2000 Enero 2001 1 120 000 57 000 000 377 000 000 707 000 000 Capítulo 14 301 ALMA NAQUE PA RA ESTUDIANTES altura La longitud de una perpendicular desde la base hasta la parte superior de una figura plana o de un cuerpo geométrico. Ejemplo: altura ángulo agudo Un ángulo cuya medida es menor que la de un ángulo recto (menos de 90°). Ejemplo: Origen de la palabra La palabra aguja en latín es acus. Significa “puntiagudo” o “punzante”. Reconocerás la raíz en las palabras ácido (sabor agrio) acicular (con forma de aguja) y agudo, que describe un ángulo punzante o puntiagudo. ángulo extendido Un ángulo que mide 180°. Ejemplo: X ZY ángulo obtuso Un ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°. Ejemplo: ángulo recto Un ángulo que mide la mitad de un ángulo extendido, es decir, 90°. Ejemplo: área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie. área total La suma de las áreas de todas las caras o superficies de un cuerpo geométrico. arista Un segmento que se forma donde se encuentran dos o más caras de un cuerpo geométrico. base (geometría) En dos dimensiones, un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área. En tres dimensiones, una figura plana, generalmente un polígono o un círculo, que se usa para describir parcialmente un cuerpo geométrico y que sirve para hallar el volumen de algunos cuerpos geométricos. Ver altura. Ejemplo: basebasebase altura base cara Un polígono que es una superficie plana de un cuerpo geométrico. Ejemplo: cara centésima Una de cien partes iguales. Ejemplo: 0,56 cincuenta y seis centésimas. centímetro (cm) Una unidad métrica para medir longitud o distancia; 0,01 metro 1 centímetro. cociente El número, sin incluir el residuo, que resulta al dividir. Ejemplo: 8 4 2. El cociente es 2. coma decimal Un signo que se usa para separar las unidades de las décimas cuando se trata de números decimales. congruente Que tienen el mismo tamaño y la misma forma. cuadrado Un polígono que tiene cuatro lados iguales, o congruentes, y cuatro ángulos rectos. cuadrilátero Un polígono de cuatro lados. cubo un cuerpo geométrico con seis caras cuadradas y congruentes. cuerpo geométrico Una figura tridimensional (figura 3D). 90° 302 Glosario datos La información reunida sobre personas o cosas, a menudo para sacar conclusiones acerca de ellas. datos numéricos Son los datos que muestran números en orden en alguna escala numérica de un gráfico. decimal Un número de uno o más dígitos, ubicado a la derecha de la coma decimal. decímetro (dm) Una unidad de longitud del sistema métrico; 10 decímetros 1 metro décima Una de diez partes iguales. Ejemplo: 0,7 siete décimas denominador En una fracción, el número que está debajo de la barra y que indica cuántas partes iguales hay en el entero. descomposición en factores primos Un número expresado como el producto de todos sus factores primos. diagrama de tallo y hojas Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Ejemplo: Tallo Hojas 1 0 4 0 1 2 3 4 2 3 5 0 4 4 7 1 5 2 Número de boletos vendidos diferencia La respuesta a un problema de resta. dígito Cualquiera de los diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 que se usan para escribir números. dividendo El número que se divide en un problema de división. Ejemplo: 36 : 6. El dividendo es 36. división El proceso de repartir un número de objetos para determinar cuántos grupos podrán formarse o cuántos objetos habrá en cada grupo; la operación opuesta a la multiplicación. divisor El número que divide el dividendo. Ejemplo: 15 : 3. El divisor es 3. ecuación Un enunciado algebraico o numérico que muestra que dos cantidades son iguales. eje La recta numérica horizontal o vertical que se usa en un gráfico o en un plano de coordenadas. eje de la x La recta numérica horizontal de un plano de coordenadas. eje de la y La recta numérica vertical de un plano de coordenadas. encuesta Un método para reunir información acerca de un grupo. estimación Un número que se aproxima a una cantidad exacta. estimar Hallar un número que se aproxime a una cantidad exacta. evaluar Hallar el valor de una expresión numérica o algebraica. expresión Una frase matemática o la parte de un enunciado numérico que combina números, signos de operaciones y, a veces, variables, pero que no tiene un signo de igual. expresión algebraica Una expresión que incluye por lo menos una variable. Ejemplo: x 1 5, 3a 2 4 expresión numérica Una frase matemática que usa solamente números y signos de operaciones. factor Un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. factor común Un número que es un factor de dos o más números. figura plana Una figura que se encuentra en un plano (figura 2D). forma desarrollada Una manera de escribir los números mostrando el valor de cada dígito. Ejemplo: 832 800 1 30 1 2 forma normal Una manera de escribir números con los dígitos del 0 al 9, donde cada dígito tiene un valor posicional. Ejemplo: 456 ➞forma normal fórmula Un conjunto de signos que expresan una regla matemática. Ejemplo: A l a fracción Un número que representa una parte de un todo o una parte de un grupo. fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. fracción irreductible Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. 303 fracciones de distinto denominador Fracciones que tienen denominadores diferentes. fracciones de igual denominador Fracciones que tienen el mismo denominador. gráfico de barras Un gráfico que muestra datos contables en barras horizontales o verticales. Ejemplo: Deportes Ca nt id ad d e es tu di an te s 12 10 8 6 4 2 0 Deportes favoritos gráfico de líneas Un gráfico que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. gráfico de líneas doble Un gráfico de líneas que representa dos conjuntos de datos. hoja Un dígito que está en el lugar de las unidades en un diagrama de tallo y hojas. intervalo La distancia entre un número y el siguiente en la escala de un gráfico. kilómetro (km) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia. línea Un trayecto recto en un plano, que se extiende en ambas direcciones y que no tiene extremos. líneas paralelas Líneas que están en un mismo plano y no se intersecan. líneas perpendiculares Dos líneas que se intersecan para formar ángulos rectos. Ejemplo: R T U S matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y columnas. máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común. Ejemplo: 6 es el MFCD de 18 y de 30. mayor que (>) Un signo que se usa para comparar dos números, cuando el primer número dado es el mayor. Ejemplo: 6 4 media El promedio de un conjunto de números. Se obtiene sumando el conjunto y dividiendo la suma entre el número de sumandos. menor que ( numerador En una fracción, el número que está encima de la barra y que indica cuántas partes iguales del entero se están tomando en cuenta. Ejemplo: 3 _ 4 ➞numerador número compuesto Un número que tiene más de dos factores. Ejemplo: 6 es un número compuesto, ya que sus factores son 1, 2 3 y 6. número mixto Un número que se compone de un número entero y una fracción. Ejemplo: 1 5 _ 8 número primo Un número que tiene exactamente dos factores: 1 y él mismo. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. 1 no es un número primo. operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta, o la multiplicación y la división. orden de las operaciones Un conjunto especial de reglas que establece el orden en el que los cálculos se realizan en una expresión. origen El punto donde dos ejes de un plano de coordenadas se intersecan, (0,0). par ordenado Un par de números que se usan para ubicar un punto en una cuadrícula. El primer número indica la ubicación hacia la izquierda o la derecha, y el segundo número indica la ubicación hacia arriba o hacia abajo. paralelogramo Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, o son congruentes. Ejemplo: paréntesis En una expresión matemática, los signos que se usan para indicar qué operación u operaciones deben realizarse primero. perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada. pirámide Un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y cuyas otras otras caras son triángulos que se unen en un vértice común. Ejemplos: pirámide cuadrada Un cuerpo geométrico que tiene una base cuadrada y cuatro caras triangulares que tienen un vértice común. Origen de la palabra A veces, el fuego adopta la forma de una pirámide, con una punta en la parte superior y una base más ancha. Posiblemente de ahí provenga el nombre de pirámide . Fuego en griego era pura, que tal vez se combinó con la palabra egipcia mer. plano cartesiano Un plano formado por dos rectas numéricas, secantes y perpendiculares, que se conocen como ejes. polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos. priorizar Colocar sucesos según su orden de importancia. prisma Un cuerpo geométrico que tiene dos bases congruentes con forma de polígono, y otras caras con forma de rectángulo. Ejemplos: prisma rectangular prisma triangular prisma rectangular Un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos. producto La respuesta a un problema de multiplicación. promedio Ver media. propiedad asociativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los factores, el producto es el mismo. Ejemplo: (2 • 3) • 4 2 • (3 • 4) propiedad asociativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: (5 1 8) 1 4 5 1 (8 1 4) propiedad conmutativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos factores, el producto es el mismo. Ejemplo: 4 • 5 5 • 4 305 propiedad conmutativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: 4 1 5 5 1 4 propiedad del elemento neutro La propiedad que establece que el producto de un número cualquiera por 1 es ese número. propiedad de indentidad de la suma La propiedad que establece que cuando se le suma cero a un número, el resultado es el mismo número. propiedad envolvente del cero La propiedad que establece que el producto de 0 y cualquier otro número es 0. propiedad distributiva La propiedad que establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y luego sumar los productos. Ejemplo: 3 • (4 1 2) (3 • 4) 1 (3 • 2) 3 • 6 12 1 6 18 18 punto Un lugar exacto en el espacio; usualmente se representa con un punto gráfico. punto de referencia Un número familiar que se usa como punto de referencia. rango La diferencia entre el número mayor y el número menor en un conjunto de datos. Ejemplo: 2, 2, 3, 5, 7, 7, 8, 9 El rango es 9 2 2 7. recta numérica Una línea en la que se pueden localizar números. rectángulo Un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos. red Un patrón bidimensional que puede doblarse para formar un poliedro tridimensional. Ejemplo: redondear Reemplazar un número por otro que es más sencillo y tiene aproximadamente el mismo valor que el número original. Ejemplo: 14,6 redondeado hasta la decena más próxima es 110 y hasta la unidad más próxima es 115. resto La cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir entre partes iguales. resta El proceso de hallar cuántos quedan al quitar un número de elementos de un grupo; el proceso de hallar la diferencia cuando se comparan dos grupos. La operación opuesta a la suma. segmento Una parte de una línea entre dos extremos. sistema decimal Un sistema de cálculo basado en el número 10. sobrestimación Una estimación mayor que la respuesta exacta. solución Un valor que, cuando se sustituye por la variable, hace verdadera una ecuación. subestimación Una estimación menor que la respuesta exacta. suma El proceso de hallar el número total de elementos cuando se unen dos o más grupos; la operación opuesta a la resta. suma o total La respuesta a un problema de suma. sumandos Los números que se suman en un problema de suma. tabla de frecuencia Una tabla en la que se usan números para registrar qué tan a menudo ocurre una cosa. tallo Un dígito que está en el lugar de las decenas en un diagrama de tallo y hojas. transportador Un instrumento que se usa para medir o para trazar ángulos. triángulo Un polígono que tiene tres lados. valor posicional El valor de una posición en un número, como el de la posición de las unidades o las decenas. variable Una letra o un signo que representa uno o más números. vértice El punto donde se unen dos o más rayos; el punto de intersección de dos lados de un polígono; el punto de intersección de tres (o más) aristas de un cuerpo geométrico; la cúspide de un cono. volumen La medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico. 306 Índice temático Álgebra: 6, 10, 14, 16, 26, 31, 46, 54, 56, 57, 59, 70, 72, 112, 113. Altura: 4, 20, 21, 71, 215, 223, 231, 240, 241, 242, 243, 244, 245. Analizar datos: 256. Analizar gráficos: 260. Ángulo: 71, 109, 167, 187, 194, 199, 200, 201, 211, 243. Ángulo agudo: 71, 200. Ángulo obtuso: 71, 200. Ángulo recto: 167, 200, 211. Área: 2, 14, 15, 26, 47, 57, 64, 75, 157, 163, 187, 214, 229, 230, 231. Área de los paralelogramos: 242. Área de los rectángulos: 242. Área de los triángulos: 240. Arista: 71, 196, 197, 208, 227. Barras de fracciones: 116, 120, 125, 132, 133, 140, 141, 142. Base: 71, 151, 196, 197, 222, 223, 226, 231, 240, 242, 243, 244, 245, 247. Bloques multibase: 50, 51. Buscar un patrón: 18, 19, 21, 41, 56, 123, 139, 151, 171, 236, 237. Calculadora: 84, 85. Cálculo mental: 30, 42, 73, 75, 76, 87, 88, 96, 180, 181. Centena de mil: 12, 26, 46, 276. Centésima: 1, 159, 160, 164, 165, 166, 172, 173, 178, 180, 183. Cero en la división: 72. Cociente: 1, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65. Coma decimal: 1, 158, 172, 173. Combinación: 40, 279, 296. Comparar decimales: 166. Comparar estrategias: 150, 236. Comparar fracciones: 107, 116. Comparar números mixtos: 116, 121, 122. Comparar números naturales: 8. Comparar partes de un todo: 279. Comprender los decimales: 158, 164. Congruente: 188, 189, 198, 199, 202, 203, 206, 207, 210, 222, 223. Conjunto de datos: 257, 258, 259, 260, 263, 266, 268, 272, 274, 299. Convertir: 114, 116, 131, 145, 216, 217, 219. Convertir unidades: 216, 217. Coordenadas: 27, 47, 188, 189, 190, 192, 193, 206, 207, 209, 210. Coordenada x: 189, 190, 192, 193, 207, 210. Coordenada y: 189, 190, 192, 193, 210. Cuadrado: 13, 26, 27, 32, 35, 57, 71, 75, 129, 160, 161, 164, 193. Cuadrícula: 27, 47, 160, 161, 164, 167, 188, 189, 190, 191, 208, 210. Dato: 6, 10, 13, 16, 17, 20, 21, 27, 28, 31, 33, 37, 40, 41, 47, 48, 54. Datos y probabilidades: 27, 47, 71, 129, 157, 213, 229, 254, 277. Decena: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 21, 25, 34, 36, 43, 50, 51, 52, 53, 62, 63. Decimal: 1, 32, 33, 46, 104, 119, 120, 126, 135, 149, 158, 159, 160. Decimal equivalente: 160, 172, 173, 178, 180. Denominador: 107, 108, 110, 111, 112, 114, 116, 117, 118, 126. Denominador común: 116, 117, 118, 144, 145, 155. Descomposición numérica: 45. Diagrama de árbol: 279. Diagrama de puntos: 59. Diagrama de tallo y hojas: 264, 265, 271, 272, 274. Diferencia: 3, 14, 15, 16, 22, 24, 25, 56, 61, 80, 84, 85, 93, 133, 134. Dividir: 48, 49, 52, 53, 56, 58, 62, 69, 73, 79, 95, 110, 111, 125, 230. Dividir con restos: 58. Dividir entre divisores de 1 dígito: 52. Dividir entre divisores de 2 dígitos: 50. Divisor: 48, 49, 52, 57, 58, 62, 67, 77, 107, 110, 111, 112, 114. Ecuación: 21, 41, 72, 73, 86, 87, 88, 89, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 101. Eje de simetría: 157, 202, 203, 204, 205, 211, 213, 277. Eje x: 189, 190, 208, 210. Eje y: 189, 190, 208, 210. Elementos de las figuras 2D: 194. Elementos de las figuras 3D: 196. Encuesta: 123, 157, 257, 262, 279, 301. Enunciado: 10, 11, 16, 27, 35, 37, 65, 70, 77, 78, 79, 82, 90, 92, 100. Equiprobable: 279, 288, 289, 297, 299. Escala: 129, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274. Estimación: 3, 12, 14, 15, 17, 22, 24, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38. Estimar cocientes: 49, 176. Estimar o hallar una respuesta exacta: 176. Estimar productos: 32. Evaluar: 49, 68, 72, 77. Experimento: 279, 280, 281, 286, 288, 293, 294, 296, 300. Expresión: 3, 13, 26, 46, 49, 55, 70, 72, 73, 75, 78, 79, 80, 81, 82, 83. Expresión algebraica: 3, 13, 49, 55. Expresión numérica: 49, 55, 70, 73. Expresiones entre paréntesis: 80. Factor: 1, 30, 32, 34, 43, 45, 73, 74, 75, 76, 98, 105, 107, 110, 111. Factor común: 105, 107, 110, 111, 126, 131. Familias de operaciones: 73. Figuras geométricas: 18, 21, 27, 64, 71, 108, 119, 129, 157, 187. Figura 2D: 194, 195, 196, 197. Figuras bidimensionales: 196, 197, 208. Figuras congruentes: 188, 189, 198, 199, 202, 203, 206, 207, 210. Forma de fracción: 106, 114, 115, 119, 124, 126, 130, 149, 160, 163, 178, 180. Forma decimal: 126, 160, 161, 178. Forma desarrollada: 26, 32. Fracción: 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115. Fracción impropia: 107, 114, 118, 124, 127, 162, 163. Fracción propia: 162. Fracción simplificada en su mínima expresión: 106, 107, 110, 111. Fracciones con igual denominador: 132, 134, 141, 142, 143. Fracciones equivalentes: 107, 108, 109, 113, 116, 117, 126, 127. Función: 189, 278. Giro completo: 200. Gráfico: 20, 21, 27, 41, 71, 92, 93, 106, 112, 123, 125, 129, 135, 139. Gráfico circular: 255, 257, 260. Gráfico de barras: 71, 93, 123, 129, 213, 229, 257,260, 261, 262. Gráfico de líneas: 255, 257, 260, 261, 262, 263, 266, 267, 268, 272, 274. Gráfico de líneas doble: 263, 267, 268, 274. Gráfico de pares ordenados: 189, 190, 266, 267, 268. Gráfico de red: 227. Hacer generalizaciones: 222, 223. Hacer predicciones: 39, 260, 278, 286, 287, 297. Hacer una lista organizada: 21, 41, 123, 139, 151, 171, 237. Hacer una representación: 21, 41, 50, 51, 59, 74, 76, 108, 113, 123. Hacer una representación pictórica: 168, 169, 170. 307 Índice temático Igualmente probable: 292, 293, 297. Imposible: 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 296, 299. Inecuación: 90, 91, 92, 98, 101, 228, 276. Información relevante o irrelevante: 192, 193. Intervalo: 139, 172, 173, 266, 267, 268, 275, 301. Lado: 13, 35, 47, 86, 91, 99, 129, 161, 193, 194, 195, 196, 206, 208, 210, 211, 212, 220, 221, 222, 223, 225, 226, 228, 231, 232. Longitud: 35, 92, 119, 122, 138, 148, 149, 151, 161, 166, 167, 177. Máximo común divisor (MCD): 107, 110, 111, 112. Medición: 27, 47, 71, 129, 157, 186, 213, 214, 229, 277. Milésima: 1, 159, 160, 164, 165, 166, 172, 173. Mínimo común denominador (m.c.d.): 144, 145, 148, 149, 152. Mínimo común múltiplo (m.c.m.): 145, 148. Multiplicar números de 2 dígitos: 29, 34, 231. Multiplicar números naturales: 28. Multiplicar operaciones básicas: 29, 30. Múltiplo: 29, 30, 32, 44, 107, 116, 126, 144, 145, 146, 148, 287. Múltiplo común: 107, 116, 126, 144, 145. Numerador: 107, 108, 110, 111, 112, 114, 116, 117, 126, 131, 134. Números compatibles: 45, 49, 65, 68. Números mixtos: 105, 106, 107, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 121. Números naturales: 1, 4, 8, 9, 12, 14, 28, 58, 159, 172, 233, 234, 246. Operaciones inversas: 3, 14, 15, 16, 24, 131, 136. Orden de las operaciones: 78, 79, 80, 81. Ordenar decimales: 162, 166. Ordenar fracciones: 116, 117. Ordenar números mixtos: 117. Ordenar números naturales: 8, 9, 159. Origen: 189, 191, 210, 213, 218, 245. Par ordenado: 189, 190, 191, 206, 207, 208, 210, 212, 245, 265. Patrón: 5, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 29, 30, 32, 38, 41, 46, 56, 57, 63, 66. Patrones de ceros: 30. Patrones de división: 56. Patrones numéricos: 18, 189. Patrones y álgebra: 26, 46, 70, 128, 156, 212, 228, 276. Percepción numérica: 38, 39. Perímetro: 13, 35, 47, 113, 129, 151, 161, 187, 214, 215, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 235, 237, 241, 246, 248. Pictograma: 257. Plano cartesiano: 188, 189, 190, 191, 207, 209, 257, 265, 268, 277. Poco posible: 279, 286, 287, 289, 292. Polígono: 187, 194, 196, 199, 205, 211, 215, 220, 224, 226, 251. Posibilidad de sucesos: 278, 286, 288, 289, 297, 299. Posible: 129, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 297, 299. Predecir y probar: 21, 38, 39, 40, 41, 99, 123, 139, 171, 205, 237. Prevalencia de las operaciones: 73, 78, 79, 82, 96, 98. Prisma: 47, 196, 215, 222. Probabilidad: 27, 47, 71, 129, 146, 157, 213, 229, 254, 277, 278, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 299. Probabilidad matemática: 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 299. Promedio: 32, 36, 88, 139, 257, 258, 259, 262, 263, 266, 267, 268, Propiedad: 29, 36, 45, 46, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 98. Propiedad asociativa: 73, 74, 98. Propiedad conmutativa: 73, 74, 77, 98. Propiedad del elemento neutro: 73, 74, 77. Propiedad distributiva: 29, 36, 45, 46, 73, 74, 75, 76. Propiedades de la multiplicación: 74, 77. Reagrupar: 29, 50. Recta numérica: 8, 9, 10, 11, 12, 114, 115, 120, 126, 128, 136, 137, 138, 147, 162, 163, 166, 167, 169, 170, 189, 190, 191, 228. Redondear: 3, 12, 13, 24, 26, 29, 38. Regla: 18, 20, 66, 73, 75, 76, 77, 79, 80, 95, 96, 98, 100, 133, 147, 155, 174, 181, 189, 198, 210, 212, 215, 226, 238. Relación numérica: 94. Relacionar: 70, 81, 82, 83, 89, 92, 94, 105, 123, 160, 175, 188, 190, Representación gráfica: 92, 98, 101, 126, 162, 188, 191, 207, 255, Residuo: 1, 49, 51, 52, 58, 60, 62, 69. Restar decimales: 172. Restar números naturales: 14. Resto: 1, 49, 51, 52, 58, 60, 62, 69. Resultados posibles: 129, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 286, 287, Rotación: 189, 200, 202, 203, 205, 213. Segmentos: 191, 194, 196, 199, 215, 240, 242, 248, 255, 261, 266. Seguro: 286, 287, 289, 290, 292, 296, 299. Simetría: 157, 189, 202, 203, 204, 205, 208, 209, 211, 213, 250, 251, 277. Simetría axial: 202, 203, 204, 205, 208, 209, 213, 251. Simetría rotacional: 202, 203, 277. Suceso: 278, 279, 286, 287, 288, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 299. Sumar decimales: 181. Sumar fracciones: 140. Sumar números naturales: 14, 172, 233. Sustracción: 78, 97. Tabla de conteo: 279, 281, 287, 297. Tabla de frecuencia: 257. Tabla de funciones: 189. Traslación: 189, 205, 209, 213. Triángulo: 108, 129, 185, 187, 194, 196, 206, 207, 209, 214, 226, 231, 238, Unidad cuadrada: 231, 232. Unidad métrica: 214, 215, 217. Unidad usual: 215. Valor de la expresión: 70, 78, 81, 83, 100, 101, 128, 228, 235, 276, 288. Valor posicional: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 24, 28, 37, 48, 53, 63, 158, 165, 166, 212, 264, 274, 276. Variable: 49, 73, 86, 88, 90, 94, 97, 113, 220. Vértices: 71, 193, 194, 195, 196, 197, 207, 208, 209, 212, 227. 308 Solucionario 309 Capítulo 1 Página 3 1. Unidades de mil. 2. Centenas de mil. 3. Centenas. 4. Decena. 5. Decenas de mil. 6. Decenas. 7. Centenas de mil. 8. Decenas de mil. 9. 1 000. 10. 6 000. 11. 14 000. 12. 70 000. 13. 5 000. 14. 238 000. 15. 43 000. 16. 355 000. 17. 695. 18. 422. 19. 468. 20. 5 377. 21. 6 958. 22. 2 633. 23. 1 932. 24. 6 583. 25. 195. 26. 456. 27. 354. 28. 4 538. Capítulo 1 · Lección 1 Página 5 1. Ubicándome en el lugar de las centenas de mil Página 6 2. Decenas de mil 3. Unidad de millón 4. Centenas de millón 5. Centenas de millón 6. 223 030 506 y Doscientos veintitrés millones treinta mil quinientos seis. 7. 60 403 000 906 y 60 000 000 000 + 400 000 000 + 3 000 000 + 900 + 6 8. 2 000 000 + 900 000 + 10 000 y Dos millones novecientos diez mil. 9. 800 000 000 + 7 000 000 + 500 000 y Ochocientos siete millones quinientos mil. 10. 1 000 000 + 800 000 + 1 y Un millón ochocientos noventa mil uno. 11. 3 000 000 + 900 000 + 900 + 40 + 5 y Tres millones novecientos mil novecientos cuarenta y cinco. 12. 40 000 y 4 • 10 000 13. 37 000 y 3 • 10 000 + 7 • 1 000 14. 1 000 000 000 de monedas de $ 5 . Respuesta variada. 15. Decenas de millón 16. Centenas de mil 17. Unidades de millón 18. Unidades de mil 19. 69 040 208 y Sesenta y nueve millones cuarenta mil doscientos ocho. 20. 66 750 000 y Sesenta y seis millones setecientos cincuenta mil. 21. 80 320 000 430 y 80 000 000 000 + 300 000 000 + 20 000 000 + 400 + 30 22. 545 998 y 5 • 100 000 + 4 • 10 000 + 5 • 1 000 + 9 • 100 + 9 • 10 + 8 • 1 23. 5 • 100 000 + 6 • 10 000 + 2 • 1 000 y Quinientos sesenta y dos mil. 24. 7 000 000 + 100 + 40 + 5 y siete millones ciento cuarenta y cinco mil. 25. 10 000 000 + 2 000 000 + 40 000 + 2 000 + 500 + 10 + 4 y Doce millones cuarenta y dos mil quinientos catorce. 26. 5 000 000 000 + 300 000 000 + 10 000 000 + 6 000 000 + 200 000 + 90 000 + 5 000 y Cinco mil trescientos millones doscientos noventa y cinco mil. 27. 800 000 y Ochocientos mil. 28. 70 000 y Setenta mil. 29. 20 000 000 y 2 • 10 000 000 30. 50 000 000 y Cincuenta millones. 31. 70 000 32. 6 000 000 33. 90 000 000 34. 40 000 35. Multiplicando por 10 36. 2 000 gramos 37. 100 000 cm Página 7 38. El número 5 lo puso en el lugar de las decenas de mil y debe ir en el lugar de las unidades de mil. Lo correcto es 4 305 000. 39. El número que no puede ser es 180 700, porque el número 8 ocupa el lugar de las decenas de mil y el número original que se debe multiplicar por 10, el número 8 ocupa el lugar de las decenas. 40. 40 tarjetas 41. 1 42. C 43. 5 cuentas en cada grupo 44. B Poder Matemático 1. 6 2. 10 3. 7 4. 11 Capítulo 1 · Lección 2 Página 9 1. El lugar de las unidades de mil Página 10 2. > 3. = 4. < 5. El lugar de las decenas. El número 2 6. El lugar de las unidades de mil. El número es 8 7. El lugar de las unidades de mil. El número es 8 8. 35 643 ; 36 015 ; 36 615 9. 5 421 ; 50 231 ; 50 713 10. 700 821 ; 707 821 ; 770 821 11. Valor posicional. Respuesta libre. 12. > 13. = 14. < 15.> 16. < 17. > 18. 305 320 ; 503 203 ; 530 230 19. 561 628 600 ; 561 682 500 ; 561 862 500 20. 1 092 303 ; 1 173 303 ; 1 292 210 21. 97 359 ; 97 395 ; 98 593 22. 85 694 ; 85 600 ; 82 933 23. 21 390 208 ; 21 309 820 ; 21 309 280 24. 5 577 001 ; 5 505 055 ; 5 402 987 25. 966 301 ; 696 103 ; 696 031 26. 4 27. 6 28. En las unidades de mil. 29. 3 615 ; 4 416 ; 5 583 Página 11 30. 26 libros 31. Unidades de mil 32. 100 000 33. D 34. A Poder Matemático 1. 90 km ; 160 km 2. 60 km ; 100 km 3. 210 km ; 160 km 4. 260 km ; 220 km 5. Puedes contar cada eslabón y comparar. Capítulo 1 · Lección 3 Página 12 1. 39 000 Página 13 2. 67 000 3. 141 700 4. 8 000 000 5. 13 000 000 6. 40 000 000 7. Porque el dígito que ocupa el lugar de las unidad de mil es mayor o igual a 5, por lo tanto, se aumenta en 1 para redondear el número. 8. 680 000 000 9. 4 000 10. 26 900 000 11. 500 358 000 12. 56 500 13. 20 000 000 14. 792 400 000 15. 300 000 000 16. Decenas de mil 17. Centenas de mil 18. Unidades de mil 19. 5 000 000 20. 4 800 000 21. 4 814 000 22. 4 810 000 23. Metropolitano occidente y Araucanía sur 24. No, es 414 000 25. 539 y 535 , respuesta abierta 26. 32 m 27. < 28. 13 + y = 21 29. C Capítulo 1 · Lección 4 Página 15 1. 5 ; 3 2. 3 ; 8 ; 7 3. 6 ; 3 ; 8 4. 3 ; 8 ; 3 5. 6 000 6. 70 000 7. 0 8. 2 000 000 9. 1 100 000 10. Respuesta abierta Página 16 11. 14 000, 13 889 12. 110 000, 108 551 13. 0, 6 969 14. 1 000 000, 995 849 15. 1 000 000, 851 699 16. 8 700 000, 8 754 517 17. 170 000, 204 868 18. 30 000, 29 287 19. 100 000, 136 930 20. 10 000 000, 10 118 205 21. 78 000, 82 500 22. 3 000 000, 2 844 496 23. 20 000, 23 396 24. 11 984 25. 31 139 26. 2 216 27. Porque sabemos que la adición y la sustracción son operaciones inversas y que nos ayudan a encontrar el término desconocido en las operaciones. 28. 53 134 ha 29. 103 984 ha 30. 6 474 ha 31. Cabo de Hornos y Laguna del Laja 32. 410 000 33. C 34. 4 35. B Página 17 1. 443 km 2. 63 044 puntos Página 18 a. Gino pintará un rectángulo. El patrón es triángulo; rectángulo; hexágono; estrella. b. 21 azulejos Página 20 1. 26 2. 5 días 3. 10 días 4. Pájaro, pino, pino, pájaro 5. 71 cm 6. En el año 2024 Página 21 7. 15 opciones 8. 133 cm 9. Respuesta abierta 10. Respuesta abierta 11. 15 puntos 12. 205 cm 13. 965 cm Página 22 Grupo A 1. Unidades de millón 2. Decenas de mil 3. Unidad de mil millones 4. Centenas de millón 5. Centenas de mil 6. Unidades de mil millones 7. 365 879 y Trescientos sesenta y cinco mil ochocientos setenta y nueve. 8. 55 050 505 y Cincuenta y cinco millones cincuenta mil quinientos cinco. 9. 6 800 097 304 y 6 000 000 000 + 800 000 000 + 90 000 + 7 000 + 300 + 4 10. 2 037 014 097 y 2 000 000 000 + 30 000 000 + 7 000 000 + 10 000 + 4 000 + 90 + 7 11. 4 • 1 000 000 + 6 • 10 000 + 1 • 1 000 + 2 • 1 y Cuatro millones sesenta y un mil dos. 12. 8 • 10 000 000 + 4 • 10 000 + 6 • 1 000 + 3 • 100 y Ochenta millones cuarenta y seis mil trescientos. Grupo B 1. < 2. > 3. < 4. > 5. = 6. > 7. Este año 8. Miguel Grupo C 1. 63 495 000 2. 762 000 000 3. 12 000 000 4. 6 390 000 5. 30 000 000 6. 4 200 000 7. 899 990 8. 2 000 000 9. 64 020 000 Grupo D 1. 6 ; 5 ; 2 2. 7 ; 3 ; 5 3. 3 ; 1 ; 5 ; 0 4. 7 ; 0 ; 8 5. 3 000 y 2 723 6. 700 000 y 770 926 7. 30 000 y 28 420 8. 40 000 38 197 Página 24 1. Valor posicional 2. Redondear 3. Operaciones inversas 4. 6 000 918 762 y 6 000 000 000 + 900 000 + 10 000 + 8 000 + 700 + 60 + 2 5. 9 073 190 403 y Nueve mil setenta y tres millones ciento noventa mil cuatrocientos tres. 6. 500 000 000 + 60 000 000 + 30 000 + 4 000 + 100 + 7 y Quinientos sesenta millones treinta y cuatro mil ciento siete. 7. < 8. > 9. = 10. 67 000 11. 6 900 000 12. 624 000 000 13. 770 640 000 UNIDAD 1: Números naturales 310 14. 160 000 y 162 535 15. 300 000 y 279 271 16. 0 y 24 815 17. 9 000 000 y 8 485 245 18. 1 000 000 y 987 881 19. 120 vales 20. 12 21. 20 puntos, el patrón va en aumento de 4 en 4 Página 25 1. 612 2. 1 355 3. 158 4. 147 5. 1 246 6. 1 059 Escribe 1. 848, respuestas variarán. Página 26 y 27 1. C 2. C 3. A 4. 2 100 000 y respuesta abierta 5. A 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B 11. B 12. B 13. A 14. B 15. C 16. B Capítulo 2 Página 29 1. 630 2. 240 3. 350 4. 160 5. 270 6. 360 7. 320 8. 560 9. 200 10. 540 11. 180 12. 240 13. 84 14. 92 15. 95 16. 248 17. 168 18. 194 19. 333 20. 276 21. 360 22. 602 23. 315 24. 288 25. 124 26. 228 27. 336 28. 352 Capítulo 2 · Lección 1 Página 30 1. 16 ; 160 ; 1 600 2. 10 ; 100 ; 1 000 3. 6 ; 60 ; 600 4. 56 ; 560 ; 5 600 5. 120 6. 1 000 7. 4 200 8. 800 9. 9 000 10. Porque multiplicas los dígitos 5 y 7 y luego añades la cantidad de ceros que correspondan, es decir, 6 ceros Página 31 11. 3 200 12. 1 600 13. 120 14. 6 300 15. 50 16. 110 17. 1 800 18. 1 080 19. 420 20. 132 21. 2 100 22. 90 23. 90 24. 2 400 25. 5 600 26. 400 27. 60 28. 40 29. 32 000 huevos 30. 300 Kg 31. 180 cm 32. Porque son los mismos números para multiplicar, pero están en orden distinto. 33. 25 34. 4 100 35. D Capítulo 2 · Lección 2 Página 33 1. 30 ; 30 ; 3 ; 10 ; 9 ; 900 2. 3 200 3. 600 4. 2 000 5. 2 100 6. 2 400 7. Porque cuando el problema no requiere una respuesta exacta, se puede recurrir a la estimación y así facilitar el cálculo. 8. 1 000 9. 5 000 10. 400 11. 5 400 12. 400 13. 1 500 14. 7 200 15. 1 800 16. 2 100 17. 1 400 18. 1 400 19. 1 000 20. 1 800 21. 600 22. 2 700 23. 3 200; sí 24. 600; sí 25. Respuesta abierta 26. 1 500; sobreestimación 27. 3, 598 28. Paralelas 29. 2 400 30. B Capítulo 2 · Lección 3 Página 35 1. 45 •7 ; 45 •10 2. 68 • 9 ; 68 • 20 3. 57 • 8 ; 57 • 30 ; 2 166 4. 418 5. 1 080 6. 2 214 7. 4 505 8. 4 556 9. 1 500 y 1 537 10. 4 200 y 4 320 11. 3 500 y 3 312 12. 3 200 y 3 321 13. 600 y 570 14. 600 y 748 15. 2 000 y 2 150 16. 600 450 17. 3 500 y 3 640 18. 2 700 2 325 19. 490 latidos 20. 3 040 21. ¿Cuántas revoluciones dan en total las ruedas de la bicicleta? 22. 49 m 23. El martes 24. 20 25. 4 104 manzanas Capítulo 2 · Lección 4 Página 37 1. En el paso 1, se multiplican las unidades de ambos factores. En el paso 2, se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primer factor y se reagrupa. En el paso 3, se multiplica la unidad del segundo factor por la centena del primer factor y se reagrupa para obtener el producto final. 2. 4 000 3. 7 000 4. 900 5. 1 200 6. 3 600 7. Porque debemos comenzar a multiplicar por las unidades y luego las decenas y centenas; y así sucesivamente, ya que si no lo hacemos en orden el producto obtenido no sería el correcto. 8. 1 200 9. 800 10. 3 600 11. 800 12. 900 13. 1 800 14. 1 200 15. 3 200 16. 3 000 17. 700 18. 2 920 Kg 19. No tiene sentido porque al multiplicar un número de 1 dígito por un número de 2 dígitos se podría obtener un producto de, máximo 3 dígito, dependiendo del reagrupamiento. 20. 6 21. 8 páginas 22. D Capítulo 2 · Lección 5 Página 40 1. 3 lecciones de buceo y 5 lecciones de esquí ; (3 • 7 500 ) + ( 5 • 5 600 ) = 50 500. 2. 4 de buceo y 5 de esquí 3. 6 señaladores y 2 billeteras 4. El lunes hizo natación, arquería y buceo. El martes hizo natación, equitación y buceo. 5. El lunes hizo natación y arquería, el martes hizo equitación y buceo, el miércoles, natación y equitación, el jueves hizo natación y buceo, el viernes hizo arquería y equitación y el sábado hizo arquería y buceo. 6. Una manera es 1 clase de natación, 1 clase de equitación y una clase de arquería. Otra manera es 1 clase de buceo, 1 clase de arquería y 1 clase de natación. Una tercera manera es 2 clases de buceo y 1 clase arquería. Página 41 7. $ 4 890 8. $ 24 830 9. 5 semanas 10. Respuesta abierta 11. Respuesta abierta 12. 9 y 3 respectivamente 13. 14 días 14. 3 veces Página 42 Grupo A 1. 1 800 2. 3 600 3. 350 4. 600 5. 3 200 6. 450 7. 1 600 8. 480 9. 560 10. 300 11. 2 100 12. 4 000 13. 560 lápices 14. 3 600 tachuelas Grupo B 1. 800 2. 6 000 3. 600 4. 3 200 5. 3 500 6. 2 700 7. 1 500 8. 3 500 9. 1 200 10. 3 000 11. 1 000 12. 3 600 13. 5 000 aproximadamente 14. 300 000 aproximadamente Grupo C 1. 23 • 5 ; 23 • 10 2. 76 • 4 ; 76 • 20 3. 80 • 9 ; 80 • 30 4. 7 020 km 5. $ 105 300 Grupo D 1. 400 2. 1 600 3. 2 500 4. 2 700 5. 600 6. 4 800 7. 1 600 8. 2 000 9. 100 10. 700 11. 2 000 12. 160 13. 2 250 hojas 14. 26 200 folletos Página 44 1. Producto parcial 2. Múltiplo 3. 1 600 4. 540 5. 3 500 6. 120 7. 1 200 8. 2 400 9. 5 400 10. 1 000 11. 2 700 12. 400 13. 480 14. 4 000 15. 2 700 16. 1 200 17. 1 400 18. 2 800 19. 15 000 20. 2 100 21. 3 600 22. 1 200 23. 4 en pasta y 6 en rústica 24. 3 de adultos y 5 de niños 25. 5 400 y respuesta abierta Página 45 1. 312 2. 591 3. 1 050 4. 4 200 5. 2 370 6. 2 200 7. 352 8. 1 940 9. $ 2 600 Escribe 1. Descomponiendo en sumandos y multiplicando cada sumando por 3 y luego sumaría los productos parciales. Páginas 46 y 47 1. A 2. D 3. B 4. 400 000 5. C 6. C 7. B 8. Respuesta abierta 9. A 10. B 11. D 12. C 13. A 14. Respuesta abierta 15. C 16. D 17. D Capítulo 3 Página 49 1. 30 2. 40 3. 90 4. 70 5. 60 6. 60 7. 100 Solucionario 311 8. 90 9. 70 10. 60 11. 80 12. 70 13. Decenas 14. Centena 15. Decenas 16. Decenas 17. Centena 18. Centena 19. Decenas 20. Centena 21. 468 22. 3 717 23. 4 130 24. 5 384 25. 384 26. 528 27. 675 28. 1 054 Capítulo 3 · Lección 1 Página 51 1. 42 2. 16 3. 12, r 3 4. 13, 2 = r 5. 28 6. 26 7. 6, r 2 8. 16, r 1 9. 14, r 2 10. 12 11. 13 12. 9, r 3 13. 12, r 3 14. 12, r 5 15. 16, r 1 16. 7, r 1 17. 24 18. 6, r 4 19. 2, r 5 20. 17, 2 = r 21. Respuesta abierta Capítulo 3 · Lección 2 Página 53 1. Decenas 2. 600 : 3 = 200, Centena 3. 1 000 : 5 = 200, Centenas 4. 300 : 6 = 50, Decenas 5. 1 600 : 8 = 200, Centenas 6. 1 000 : 4 = 250, Centenas 7. Respuesta abierta Página 54 8. 300 : 5 = 60, Decenas 9. 640 : 8 = 80, Decenas 10. 450 : 3 = 150, Centena 11. 800 : 2 = 400, Centenas 12. 2 400 : 8 = 300, Centenas 13. 980 : 7 = 140, Centena 14. 3 200 : 4 = 800, Centenas 15. 900 : 9 = 100, Centena 16. 6 600 : 6 = 1 100, Unidad de mil 17. 8 400 : 7 = 1 200, Unidad de mil 18. 259 19.103 20. 92 21. 429 22. 375 23. 74, r 1 24. 138, r 3 25. 190, r 2 26. 251, r 4 27. 864, r 1 28. 77 29. 550, r 3 30. 170, r 1 31. 605, r 2 32. 1 217, r 5 33. 70, r 4 34. 953 35. 334 36. 7 37. 739 38. Respuesta abierta 39. 28 microbuses, 3 estudiantes 40. 52 acompañantes, 4 estudiantes 41. Respuesta abierta Página 55 42. 1 140 teclas 43. 37 – 9 = 28 44. 4 500 – (x + 600 ) 45. C 46. D Poder Matemático 1. 432 ; 24 ; 3 2. 45 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 Capítulo 3 · Lección 3 Página 56 1. 300 2. 4 000 3. 8 ; 8 ; 8 ; 8 4. 40 5. 7 6. 400 7. 6 000 Página 57 8. Respuesta abierta 9. 2 10. 20 11. 40 12. 60 13. 60 14. 80 15. 90 16. 90 17. 300 18. 250 19. 800 20. 400 21. 7 000 22. 30 000 23. 20 000 24. 500 25. < 26. > 27. = 28. 500 kg 29. 500 hojas 30. $ 25 31. 8 000 32. 30 33. es 11 000, porque el dividendo es 66 000. 34. 96 m2 35. 65 000 36. 702 37. D Capítulo 3 · Lección 4 Página 58 1. 3, r 2 Página 59 2. 2, r 3 3. 3, r 5 4. 4, r 3 5. 4, r 4 6. 8, r 2 7. Respuesta abierta 8. 2, r 4 9. 3, r 2 10. 3, r 3 11. 5, r 2 12. 6, r 2 13. 8, r 2 14. 6, r 1 15. 7, r 4 16. 15, r 2 17. 8, r 1 18. 2 19. 5 20. 22 21. 3 22. Doble seis 23. Doble nueve 24. 8 estudiantes 25. Debió formar 3 grupos con 4 fichas cada uno y sobra 1 ficha. 26. 1 224 27. 7 432 28. Respuesta abierta 29.B Capítulo 3 · Lección 5 Página 60 a. 13 balsas, aumenta el cociente en 1 b. No, 3 personas Página 61 1. b 2. 11 tiendas estarán llenas. a 3. 6; C 4. 11 balsas, no. Respuesta abierta 5. El domingo. 2 viajes más 6. 564 personas 7. 16 ° C 8. Se necesitan 8 balsas y se necesita una respuesta exacta para saber la cantidad de balsas que se ocuparán y todas las personas harán los viajes. Capítulo 3 · Lección 6 Página 63 1. Sí. 105 Página 64 2. 2 3. 3 4. 3 5. 3 6. 2 7. 61 8. 200, r 3 9. 140 10. 450, r 1 11. 103 12. Respuesta abierta 13. 2 14. 2 15. 3 16. 3 17. 2 18. 120, r 1 19. 430 20. 88 21. 203 22. 102, r 1 23. 70, r 3 24. 109 25. 290 26. 120, r 4 27. 81, r 2 28. 175 29. 108, r 1 30. 208, r 1 31. 94 32. 102 33. 350 34. 532 35. 300, r 1 36. 4 37. 30 38. No, respuesta abierta 39. 66 40. 20 minutos 41. 108 42. ¿Cuántas horas demora un castor en construir una madriguera? Página 65 43. 291 44. 44, r 5 45. C 46. 4 47. B Poder Matemático 1. Sobrestimación 2. Subestimación Página 66 Grupo A 1. Centenas, 3 2. Decenas, 5 3. Centenas, 3 4. Centenas, 4 5. Unidad de mil, 1 6. Centena, 1 7. Centenas,4 8. Centenas, 7 9. 148 10. 170 11. 1 026 12. 380, r 3 13. 250 gramos 14. 125 paquetes Grupo B 1. 20 2. 20 3. 40 4. 400 5. 500 6. 60 7. 700 8. 5 000 9. $400 10. 20 asientos Grupo C 1. 418 2. 202, r 2 3. 97, r 1 4. 55, r 6 5. 126 6. 95, r 2 7. 31, r 2 8. 54, r 3 9. 8 estantes 10. 94 hileras Grupo D 1. 181, r 2 2. 54, r 2 3. 59 4. 304 5. 76, r 2 6. 475 7. 64 8. 80, r 3 9. 30 paquetes 10. 26 cajas Página 68 1. Números compatibles 2. Resto 3. 60 4. 250 5. 50 6. 90 7. 20 8. 80 9. 30 10. 100 11. 20 12. 30 13. 50 14. 170 15. 62 16. 203, r 1 17. 51, r 3 18. 206, r 1 19. 103 20. 83, r 2 21. 157, r 1 22. 76 23. 297 24. 223, r 1 25. 68 26. 106 27. 21 acompañantes 28. Respuesta abierta Página 69 1. 3 p.m 2. 9 p.m 3. 8 p.m 4. 2 p.m 5. 2 p.m 6. Respuesta abierta Páginas 70 y 71 1. A 2. C 3. A 4. B 5. A 6. 43 000 7. D 8. B 9. A 10. A 11. X : 3 12. A 13. C 14. D 15. B 16. Respuesta abierta 17.C 18.B 19. D 20. C 21. A 22. Significa que en ambos cursos hay la misma cantidad de alumnos. Capítulo 4 Página 73 1. 30 ; 36 2. 60 ; 80 3. 6 ; 7 4. 3 ; 5 5. 15 ; 5 6. 42 ; 6 7. 36 ; 4 8. 63 ; 7 9. 5 10. 3 11. 8 12. 9 Capítulo 4· Lección 1 Página 76 1. 3 2. 56 3. 0 4. 72 5. 84 6. Respuesta abierta 7. 0 8. 56 9. 80 10. 54 11. 8 12. 2 13. 5 14. 60 15. 36 16. 72 17. 108 18. 30 19. 56 20. 0 21. 24 22. Sí, respuesta abierta 312 23. Hay más tetras. 15 más. 24. Respuesta abierta 25. 19 es primo 26. 54 27. 6 28. 320 000 29. C Página 77 1. 6 • 0 = 0 ; 150 • 0 = 0 ; 1 000 • 0 = 0 2. 1 •14 = 14 ; 1 • 90 = 90 ; 1 • 5 000 000 = 5 000 000 Página 78 1. Sí 2. Sí, porque obtuve un número natural. 3. Varía el resultado final. 4. Todos tendrían igual resultado y sería válido porque se respetan las reglas de prevalencia de las operaciones. Capítulo 4 · Lección 2 Página 79 1. Correcto 2. No, dividir ; multiplicar 3. No, dividir ; sumar 4. No, multiplicar ; sumar ; restar 5. 9 6. 9 7. 12 8. 34 9. 9 10. 67 11. 3 12. 80 13. 6 ; 5 ; 2 14. 18 ; 12 ; 4 15. 7 ; 8 ; 9 16. Porque la prevalencia de las operaciones dice que se debe comenzar con la multiplicación y lo único que cambia en la multiplicación es el orden de los factores. Capítulo 4 · Lección 3 Página 82 1. a 2. 15 3. 14 4. 12 5. B 6. A 7. Respuesta abierta. 11 y 7 8. 42 9. 34 10. 12 11. 33 12. 36 13. 11 14. 27 15. 3 16. 14 17. 2 18 18 19. 9 20. A 21. A 22. A 23. B 24. Respuesta abierta 25. Respuesta abierta 26. Respuesta abierta 27. Respuesta abierta 28. ( 34 + 6 ) : 4 = 10 29. 7 • ( 6 – 3 ) = 21 30. 14 – ( 4 + 8 ) : 2 = 8 31. 7 • ( 6 + 6 ) – 2 = 82 32. ( 5 + 6 ) • 2 = 22 33. ( 9 – 6 ) • 6 : 2 = 9 Página 83 34. 16 35. 24• 1 + 4 • 2= 12 36. Respuesta abierta 37. Respuesta abierta 38. 43 39. 7 jaulas 40. 15 41. 9 42. A Resolución de problemas 1. ( 3 • 3) + 8 ; 17 km 2. 7 + ( 2 • 4 ) + 1 ; 16 km Capítulo 4· Lección 4 Página 84 1. Se ahorra tiempo y el resultado es exacto y correcto 2. 1 735 km 3. 900 km 4. 55 km 5. Entre La Serena y Concepción Página 85 1. 183 700 2. 2 veces aprox. 3. 208 895 4. 353 042 5. 3 años 6. Respuesta abierta Capítulo 4· Lección 5 Página 87 1. 6 2. 5 3. 8 4. 10 5. 10 Página 88 6. 11 7. 16 8. 24 9. 30 10. Respuesta abierta 11. 16 12. 3 13. 16 14. 3 15. 21 16. 11 17. 11 18. 8 19. 4 20. 0 21. 11 22. 5 23. 12 24. 42 25. 6 26. 25 27. x= 5 ; y = 2 28. a= 6 ; b = 4 29. c= 9 ; d = 5 30. s= 8 ; t = 4 31. 23 kg 32. 18 kg 33. 68 kg 34. 6 meses, 11 + x = 17 Página 89 35. 22, 8 36. 14 37. x + 3 = 8 38. B 39. D Resolución de problemas • conexión con el arte 1. 2 • 500 = 1 000 2. S = 2 500 3. $ 4 000 4. $ 2 500 5. $ 3 500 Capítulo 4· Lección 6 Página 91 1. Cualquier número que no sea 0. 2. Cualquier número mayor que 5. 3. Cualquier número mayor que 9. 4. 1; 2; 3 y 0 5. 1, 2; 3; 4; 5; 6 y 0 6. Cualquier número mayor que 4. 7. Cualquier número mayor que 7. 8. 1; 2 y 0 9. Cualquier número mayor que 24. 10. Cualquier número menor que 12 y mayor que 0. 11. Cualquier número menor que 15 y mayor que 0. 12. Cualquier número menor que 18 y mayor que 0. 13. Cualquier número mayor que 5 14. Cualquier número menor que 6 y mayor que 0. 15. Cualquier número menor que 8 y mayor que 0. 16. Cualquier número menor que 14 y mayor que 0. 17. Cualquier número mayor que 6. 18. 1; 2 y 0 19. Cualquier número mayor que 4. 20. Cualquier número mayor que 14. 21. Cualquier número menor que 9 y mayor que 0. 22. Cualquier número mayor que 3. 23. Cualquier número menor que 13 y mayor que 0. 24. Cualquier número mayor que 21. Página 92 25. Cualquier número mayor que 2 y ver cuaderno del estudiante. 26. Cualquier número menor que 10 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 27. Cualquier número menor que 7 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 28. Cualquier número mayor que 5 y ver cuaderno del estudiante. 29. Cualquier número mayor que 1 y ver cuaderno del estudiante. 30. Cualquier número mayor que 3 y ver cuaderno del estudiante. 31. Cualquier número mayor que 2 y ver cuaderno del estudiante. 32. Cualquier número menor que 6 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 33. Cualquier número mayor que 4 y ver cuaderno del estudiante. 34. Cualquier número mayor que 10 y ver cuaderno del estudiante. 35. Cualquier número menor que 7 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 36. Cualquier número menor que 5 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 37. C < 2 38. P > 11 39. S + 2 > 5 40. M < 5 41. X > 8 42. A < 32 43. J > 25 44. P < 4 200 45. E > 35 46. Cualquier número menor que 10 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 47. Cualquier número mayor que 7 y ver cuaderno del estudiante. 48. Cualquier número mayor que 3/4 y ver cuaderno del estudiante. 49. Cualquier número mayor que 14 y ver cuaderno del estudiante. 50. Cualquier número mayor que 0,4 y ver cuaderno del estudiante. 51. Cualquier número mayor que 1 y ver cuaderno del estudiante. 52. X > 25,4 53. 700 > y ; x < 450 54. Porque la solución es más de una. Si X es mayor que 2, la balanza debe estar inclinada para el lado de x. 55. Debo estudiar más de 1 hora para la prueba final de matemática. M>1 Página 93 56. La solución de la primera desigualdad es cualquier número mayor que 12 y la solución de la segunda desigualdad es cualquier número menor que 19 y mayor que 0. 57.D 58.D 59.Respuesta abierta 60. Respuesta abierta 61. 19 años 62. 16 y 20 años 63. 2 700 cm 64. 13 000 gr 65. 15 000 mm 66. 23 000 Capítulo 4· Lección 7 Página 95 1. 11 2. Restar 8 ;X – 8 = y ; 7 ; 12 ; 17 ; 22 3. Multiplicar por 9 ; 9r = s; 54 ; 72 ; 81 ; 90 4. Multiplicar por 12 ; 12 l = d ; 48 5. Dividir en 7 ; X : 7 = y ; 8; 10 ; 11 ; 12 6. Sumar 10 ; a + 10 = b ; 15; 20 ; 30 ; 40 7. Respuesta abierta 8. Respuesta abierta 9. Respuesta abierta 10. Respuesta abierta 11. 3 • d = l Entrada d 2 3 4 5 Salida i 6 9 12 15 12. Se debe multiplicar 1 taza de granos por 3, ya que son 3 días. 13. 7 14. 40 15. 56 16. C Página 96 Grupo A 1. 70 2. 0 3. 42 4. 48 5. 56 6. 120 7. 90 8. 0 9. 100 cajas de jugo Grupo B 1. 26 2. 28 3. 24 4. 26 5. 56 6. 3 7. 9 8. 0 Grupo C 1. x = 16 2. y = 15 3. w = 39 4. z = 36 5. u = 45 6. v = 33 7. m = 56 8. n = 18 Grupo D 1. Cualquier número mayor que 9. 2. Cualquier número menor que 8 y mayor que 0. 3. Cualquier número menor que 17 y mayor que 0. 4. Cualquier número menor que 37 y mayor que 0. 5. Cualquier número menor que 280 y mayor que 0. 6. Cualquier número menor que 240 y mayor que 0. 7. Cualquier número mayor que 4. 8. Cualquier número mayor que 30. 9. Cualquier número mayor que 19. 10. 28 autos. Grupo E 1. Dividir en 6. a : 6 = b. 4 ; 5 2. multiplicar por 8. m • 8 = n; 7;8 Página 98 1. Propiedad conmutativa 2. Propiedad absorbente del cero 3. Propiedad asociativa 4. 20 5. 15 6. 13 7. 12 8. A = 16 9. B = 24 10. C = 73 11. D = 75 12. C = 88 13. F = 126 14. G = 44 15. H = 54 16. 15 – 2 = H 17. Cualquier número mayor que 3 y ver cuaderno del estudiante. 18. Cualquier número menor que 12 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 19. Cualquier número mayor que 8 y ver Solucionario 313 cuaderno del estudiante. 20. Cualquier número menor que 17 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 21. Cualquier número mayor que 8 y ver cuaderno del estudiante. 22. Cualquier número menor que 33 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante. 23. Cualquier número mayor que 22 y ver cuaderno del estudiante. 24. Cualquier número mayor que 16 y ver cuaderno del estudiante. 25. Dividir en 5 ; x : % = Y ; 7 y 8 26. Dividir m entre 9. M : 9 = n. 6 y 7 Página 99 1. 5 ; 7 ; 9 ; 11. 2 u – 1 = v 2. 6 ; 8 ; 10 ; 12. 2 r = c 3. 7; 10 ; 13 ; 16. 1 + 3 • ( m – 1 ) = n 4. 9 ; 13 ; 17 ; 21. 1 + 4 • ( q – 1 ) = r Escribe 1. Reemplazando el valor de M por 14 y resolviendo la ecuación. 30 estudiantes. Página 100 y 101 1. D 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. B 8. C 9. C 10. D 11. B 12. A 13. Respuesta abierta 14. ( 9 + 5 ) • 2 15. X= 20 16. 132 invitaciones 17. Se respeta la prevalencia de las operaciones, resolviendo primero el paréntesis, luego se resuelve la división para finalizar con la suma. 9 es el resultado. 18. F, es 84. 19. V 20. F, 540. 21. 3n = 12 22. Resolviendo el lado de la ecuación que tiene todos los datos y luego multiplicando el 6 por un número para obtener el producto igual. 23. Cualquier número menor que 10 y ver cuaderno del estudiante. Página 102 1. 15 kg 2. 8 kg 3. 3 colonos 4. 112 km 5. 6 kilos por persona UNIDAD 2: Números y conceptos de fracciones y decimales Capítulo 5 Página 107 1. 2/3 2. 3/4 3. 5/6 4. 7/8 5. Dos quintos 6. Un séptimo 7. Cuatro novenos 8. Un tercio 9. 2 3/4 10. 3 2/5 11. 1 5/6 12. < 13. = 14. > 15. > Capítulo 5· Lección 1 Página 109 1. 6/8 2. 1/4 3. 4/8 4. 3/4 5. 2/8 6. 1/5 7. 2/6 8. 10/16 9. 4/10 10. 10/12 11. Respuesta abierta 12. 2/10 13. 12/20 14. 9/18 15. 2/3 16. 6/16 17. 1/3 18. 3/27 19. 15/50 20. 1/4 21. 5/6 22. 4/6 23. 6/8 24. 3/4 25. 3/15 26. 1/4 27. 5/6 28. 6/12 ; 3/6 ; 1/2 ; 2/4 29. 3/4 ; 9/12 ; 6/8 30. Respuesta abierta 31. 5 ángulos 32. 1 069 ; r 2 33. B Capítulo 5· Lección 2 Página 112 1. 1/2 2. 3/5 3. 1 4. 7/9 5. 1/3 6. 5/7 7. Respuesta abierta 8. 6 9. 2 10. 1 11. 3 12. 2 13. 4 14. 3/4 15. 1 16. 2/3 17. 4/5 18. 6/5 19. 3/7 20. 1 21. 1/5 22. 5/12 23. 1/2 24. 1/5 25. 4/5 26. 1/3 27. 5/6 28. 1/4 29. 4/5 30. 2/3 31. 3/4 32. 3 33. 12 34. 5 35. 3 36. 1 37. Linares 8/(30 ) ; 4/15. Curicó 9/30 ; 3/10 38. 3/30 ; 1/10 39. 1/6 40. Respuesta abierta Página 113 41. X – 4 42. 110 m 43. 3 5/6 44. C 45. 5/11 Poder Matemático 1. Ver solución en el libro 2. Ver solución en el libro Capítulo 5· Lección 3 Página 115 1. 1 3/8 2. 9/8 3. 13/8 4. 2 3/4 5. 1 1/5 6. 25/9 7. 11/3 8. 2 3/10 9. 22/5 10. Respuesta abierta 11.8/5 12. 7/3 13. 2 1/4 14. 1 1/10 15. 2 1/6 16. 10/7 17. 2 2/3 18. 23/6 19. 15/2 20. 3 2/15 21. 6 1/4 22. 31/12 23. 4 24. 13/4 25. 3 veces 26. 180 000 27. 2/3 28. > 29. D Capítulo 5· Lección 4 Página 118 1. < 2. > 3. = 4. < 5. < 6. > 7. < 8. = 9. < 10. > 11. < 12. > 13. < 14. < 15. 1/6; 1/3; 1/2 Página 119 16. > 17. = 18. > 19. > 20. > 21. 1/4 ; 1/2 ; 3/4 22. 1/8 ; 3/8 ; 7/8 23. 1 1/4 ; 1 3/8 ; 11/6 24. 2 2/3; 2 3/5; 3 1/8 25. 1 1/4; 17/8; 2 1/5 26. Mono, rana y armadillo 27. Mono 28. Respuesta abierta 29. 14,5 30. 3/10 31. 216 32. B 33. D Capítulo 5· Lección 5 Página 122 1. Pablo la más larga y Andrea la más corta. 2. Pablo el salto más largo y Sara el más corto. 3. Marcos, Sara, Pablo y Andrea 4. 16/20 5. Gregorio 6. Flores = 8 m y verduras = 4 m 7. 31 globos 8. Andrés tiene 15 bolitas Página 123 9. 6 bolitas 10. 17 invitaciones 11. Victoria por regatón ; Daniel por hip-hop ; Cecilia por cumbia y Franco por rock 12. 25 niños 13. Respuesta abierta 14. Respuesta abierta 15. 20 sombreros y 30 silbatos 16. 8 Página 124 Grupo A 1. 6/10 2. 3/24 3. 1/2 4. 8/10 5. 1/3 6. 3/6 7. 2/3 8. 4/14 9. 8/20 10. 1/6 11. 4/10 12. 1/5 13.4/12 ; 8/24 14. Eva. Respuesta abierta Grupo B 1. 1/2 2. 1/3 3. 1 4. 4/5 5. 1/2 6. 2/5 7. 5/12 8. 3/4 9. 2/3 10. 1/2 11. 5 12. 1/2 Grupo C 1. 3 1/4 2. 1 1/5 3. 1 2/3 4. 7 1/4 5. 3/2 6. 35/8 7. 4 1/12 8. 2 1/3 9. 19/5 10. 1 1/2 11. 16/3 12. 2 2/9 13. 5/2 14. 9/4 ; 2 1/4 Grupo D 1. < 2. = 3. > 4. > 5. < 6. < 7. > 8. = 9. > 10. < 11. 1 2/9 ; 1 5/9 ; 16/9 12. 3/5 ; 7/10 ; 4/5 13. 1/10 ; 1/8 ; 1/6 14. 1/3 ; 1 5/12 ; 7/4 15. 3/8 ; 2 1/2 ; 2 5/6 16. Liza 17. Miércoles Página 125 1. En los casquetes de hielo y glaciares. 2. En lagos, ríos y agua del suelo y del aire. 3. 47/56 > 8/56 Página 126 1. Fracciones equivalentes 2. Factor común 3. En su mínima expresión 4. 2/12 5. 1/3 6. 10/50 7. 15/24 8. 4 1/2 9. 5/4 10. 17/3 11. 3 1/3 12. < 13. = 14. > 15. > 16. 3/4 17. 0, 19 18. 12/25 19. 0, 25 20. 3/4 ; 1/2 ; 0, 45 21. 6/4; 1 3/8; 1,15 22. 3/5 ; 0, 5 ; 1/10 23. 8/5 ; 1/4 ; 0, 23 24. Paula 25. Respuesta abierta Página 127 1. 48 2. 36 3. 52 Escribe 4. Multiplicando 24 por 2 y el producto dividirlo entre 3 Páginas 128 y 129 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A 7. B 8. A 9. y=8 10. C 11. D 12. B 13. D 14. B 15. Respuesta abierta 16. A 17. C 18. D 19. Respuesta abierta Capítulo 6 Página 131 1. 2/4; 4/8 2. 6/8; 12/16 3. 4/6; 8/12 4. 1/1; 2/2 5. 1/1; 2/2 Solucionario 314 6. 10/16; 20/32 7. 14/18; 28/36 8. 8/10; 16/20 9. 4/7; 12/21 10. 1/2 11. 2/3 12. 1/4 13. 1/3 14. 3/5 15. 1/2 16. 4/5 17. 1/5 18. 2/3 19. 1/3 20. 3/5 21. 1/3 Capítulo 6 · Lección 1 Página 133 1. 7/8 2. 1/2 3. 3/5 4. 1/2 5. 7/12 6. 1/3 7. 2/3 8. 1/2 9. 3/4 10. 1/6 11. 1 12. Respuesta abierta Capítulo 6· Lección 2 Página 134 1. 3/4 Página 135 2. 3/4 3. 1/2 4. 1 5. 1/3 6. 4/5 7. 1/2 8. 2/5 9. 1/3 10. 7/8 11. 2/7 12. 1 13. 3/4 14. 6/7 15. 1/4 16. 2/3 17. 1/4 18. 3/9 19. 2/4 20. 1/3 21. 2/12 22. 7/10 23. Invierno y primavera 24. Restó fracciones, es 3/10. 25. < 26. 0, 25 27. 4 5/8 28. D Capítulo 6 · Lección 3 Página 138 1. 2 5/6 2. 3 1/6 3. 0,75 segundos 4. 15 min 5. 1 litro 6. 14 2/3 7. Respuesta abierta Página 139 8. 13 horas con 20 minutos 9. El teatro Huemul y vendería 200 entradas más 10. Respuesta abierta 11. 900 entradas. Disminuyendo la duración del intervalo a 10 minutos 12. 8 400 personas 13. 3/5 Capítulo 6 · Lección 4 Página 141 1. 7/8 2. 5/8 3. 9/10 4. 7/10 5. 5/12 6. 4/5 7. 5/6 8. 7/12 9. 5/6 10. 3/10 11. 13/12 12. 11/12 13. 9/10 14. 11/12 15. 19/12 16. Respuesta abierta Capítulo 6 · Lección 5 Página 143 1. 3/10 2. 1/2 3. 1/5 4. 3/10 5. 1/12 6. 2/5 7. 1/10 8. 5/8 9. 1/6 10. 5/12 11. 1/3 12. Respuesta abierta Capítulo 6 · Lección 6 Página 146 1. 7/15 2. 5/8 3. 7/10 4. 3/28 5. 3/4 6. 2/5 7. Respuesta abierta 8. 17/20 9. 33/40 10. 7/12 11. 9/10 12. 41/70 13. 11/24 14. 1/4 15. 17/24 16. 3/14 17. 1/6 18. 2/8 19. 5/6 20. 7/10 21. 1/12 22. 11/15 23. Respuesta abierta 24. 13/58 25. 1/3 26. 28 27. 12/16 ; 6/8 28. C Página 147 1. Aumenta en 1 el numerador y el denominador se mantiene 2. a. Disminuye el valor de la fracción aumentando el denominador. b. 1/7 Capítulo 6· Lección 7 Página 149 1. 2 ; 3 ; 5/4 2. 7/8 3. 3/10 4. 11/30 5. 5/12 6. 23/24 7. Porque no se puede dividir el numerador y el denominador por un mismo número. 8. 31/56 9. 1/4 10. 11/12 11. 1/6 12. 9/8 13. 5/18 14. 8/15 15. 7/10 16. 21/20 17. 5/7 18. < 19. > 20. > 21. 1/12 22. 7/20 23. Respuesta abierta; 11/15 24. 13/10 25. 45/100 26. 12 27. C Capítulo 6· Lección 8 Página 151 1. 3 1/5 2. 2 1/2 3. $ 2 544 4. 1/4 5. 1 1/2 6. Illapel, Los Vilos, Salamanca, Combarbalá 7. Sábado. Los Vilos y Combarbalá. 1/10. 8. Jueves. Los Vilos y Salamanca y Combarbalá. 1/5 ; 3/10 ; 1/2 9. Respuesta abierta Página 152 Grupo A 1. 4/5 2. 1 3. 2/10 4. 2/7 5. 1/9 6. 7/8 7. 1 8. 1 9. 1/2 10. 1/2 11. 7/8 12. 1/2 Grupo B 1. 9/10 2. 4/9 3. 7/8 4. 1/12 5. 11/14 6. 2/9 7. 4/5 8. 3/8 9. 1/35 10. 1/12 11. 3/4 12. 3/8 13. 3/4 14. 5/8 15. 8/21 16. 29/33 17. 1/3 18. 23/20 19. 19/30 20. 67/60 21. 5/6 22. 1/12 Grupo C 1. 15 2. 12 3. 18 4. 77 5. 10 6. 8 7. 15 8. 60 Página 154 1. Fracción equivalente 2. Respuesta abierta 3. 17/45 4. 37/24 5. 32/33 6. 15/14 7. 17/24 8. 1/8 9. 7/9 10. 1/5 11. 3/4 12. 7/12 13. 5/24 14. 7/12 15. 3/10 16. 23/20 17. 7/16 18. 1/2 19. 3/5 20. Respuesta abierta Página 155 1. Sumar 1/12 y 5/12 ; 1/2 ; 7/12 2. Sumar 1/10 y 7/10; 4/5; 9/10 3. Restar 1/12 y 2/3 ; 7/12 ; 2/4 4. Restar 2/5 y 1 4/5 ; 1 2/5 ; 1 Escribe 1. Respuesta abierta Páginas 156 y 157 1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. C 8. A 9. B 10. B 11. C 12. B 13. A 14. B 15. D 16. A Capítulo 7 Página 159 1. < 2. > 3. < 4. > 5. < 6. < 7. > 8. = 9. 3 402 ; 4 032 ; 4 203 ; 4 320 10. 25 046 ; 25 406 ; 45 620 ; 50 256 11. 38 710 ; 73 801 ; 187 039 12. 102 985 ; 182 950 ; 208 109 13. 0,3 14. 1,5 15. 0,8 16. 1,1 17. 0,9 18. 0,6 19. 4,7 y 4 + 0,7 20. 10,3 y Diez y tres décimos 21. 205,9 y Doscientos cinco y nueve décimas 22. 5 + 0,2 y cinco y dos décimas Capítulo 7· Lección 1 Página 161 1. 0,3 y 3/10 2. 0,2 y 20/100 3. 0,8 y 4/5 4. 7/10 5. 0,6 6. 27/50 7. 0,24 8. 0,35 9. 11/50 10. Para transformar un decimal a fracción, se escribe el número como numerador y el denominador será una potencia de 10 y dependiendo de los lugares decimales que tenga se colocan los ceros. Una 315 39. 4 2/3 40. B Capítulo 7· Lección 2 Página 163 1. 0,6 y 3/5 2. 0,2 y 1/5 3. 0,9 y 9/10 4. 0,4 y 2/5 5. 0,8 y 4/5 6. Ver solución en libro 7. Ver solución en libro 8. Ver solución en libro 9. Ver solución en libro 10. Ver solución en libro 11. Ver solución en libro 1,2; 5/4 ; 1,35; 1 3/8 ; 14/8 ; 1 7/8 12. Respuesta abierta 13. Ver solución en libro 14. Ver solución en libro 15. Ver solución en libro 16. Ver solución en libro 17. Ver solución en libro 18. Ver solución en libro 9/8 ; 1 1/4 ; 1,4 ; 1, 55 ; 1 5/8 ; 18/10 19. 1 3/4 ; 1,5 ; 11/8 20. 1,75 ; 1 2/5 ; 5/4 21. 1 8/5 ; 1,55 ; 1/10 22. 4/5 ; 0,65 ; 9/20 23. Florencia 24. No, porque ¾ > 7/10 25. No, le falta. Respuesta abierta 26. 5 390 m2 27. 12/5 28. B Capítulo 7· Lección 3 Página 165 1. 463/1 000 2. 725/1 000 3. Centésimas 4. Milésimas 5. Décimas 6. Milésimas 7. Milésimas 8. Milésimas 9. Centésimas 10. Décimos 11. Décimas 12. Milésimas 13. 2, 003 y 2 + 0,003 14. 93/1 000 y noventa y tres milésimas 15. 3,471 y tres y cuatrocientos setenta y un milésimas 16. 6 + 0,5 + 0,05 + 0,003 y seis y quinientos cincuenta y tres milésimas 17. 5,089 y 5 089/1 000 18. 0,086 y 86/1 000 19. Colocando cada dígito del número decimal en su lugar correspondiente en la tabla de valor posicional. Capítulo 7· Lección 4 Página 167 1. Respuesta abierta 2. < 3. > 4. < 5. Debo fijarme primero en la parte entera, si son iguales pasar a la parte decimal y comparar las décimas y si son iguale s, comparo las centésimas hasta encontrar el dígito mayor. 6. < 7. > 8. > 9. > 10. < 11. < 12. 0,113 ; 0,123 ; 0,2 ; 0,32 13. 6,0 ; 6,490 ; 6,498 ; 6,52 14. 5,6 ; 6,8 ; 8,005 ; 9 15. 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 16. 5, 6, 7, 8 y 9 17. 0, 1 y 2 18. D el más largo y C el más corto 19. Debajo del escarabajo A 20. 0,608 ; 0,730 ; 1,215 ; 5,000. Respuesta abierta 21. Las rectas perpendiculares 22. Son equivalentes 23. 5 000 24. B Capítulo 7· Lección 5 Página 170 1. Jueves 2. Miércoles 3. Natalia, Samuel, Alberto y Josefina 4. Martes 5. 956 6. Chile, Alemania 7. Respuesta abierta Página 171 8. Autopista del Sol 9. A= autopista del sol y demora 1 hora; B= Padre hurtado y demora 2 horas; C= camino Melipilla y demora 1 hora y 30 minutos y D= San Bernardo y demora 2 horas y 30 minutos. 10. 20 horas 11. Respuesta abierta 12. Autopista del Sol y toma 1 hora de tiempo 13. 25 horas a la semana Capítulo 7· Lección 6 Página 173 1. Respuesta abierta 2. 7,8 3. 12,25 4. 38,21 5. 12,09 6. 9,57 7. Alineando cada número decimal en relación a la coma decimal. Página 174 8. 0,541 9. 26,779 10. 5,9 11. 51,23 12. 3,469 13. 3,219 14. 2,379 15. 2,509 16. 21,262 17. 11,541 18. Sumar 1,2. Los números son 6,9 y 9,3 19. Sumar 1,1 y restar 0,2. Los números son 6,4 y 7,1 20. Restar 0,05. Los números son 3,9 y 3,8 21. Sumar 0,25. Los números son 2,25 y 2,5 22. 8: 22,01 23. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el ciclista en total? 24. Porque tienen el mismo valor posicional, décimas 25. 560 26. Abril y Junio 27. A Página 175 1. La segunda columna; 86,239; 85,973 2. P. Causil y E. Capellano Capítulo 7· Lección 7 Página 177 1. 18 y 52 2. Sí. Respuesta abierta 3. 18,03 al menos 4. Javiera = 46,219kg y Julia = 46,719 kg 5. 8 pasos 6. 20 Kg aproximadamente 7. Respuesta abierta Página 178 1. Décimos 2. Centésimas 3. Décimos 4. Unidades 5. Centésimas 6. Décimos 7. Unidades 8. Centésimos 9. 33/100 y treinta y tres centésimos 10. 72/100 y setenta y dos centésimas 11. 198/100 12. 926/100 13. 2,91 y dos y noventa y un centésimos 14. 23,06 y veintitrés y seis centésimas 15. 7,54 y siete y cincuenta y cuatro centésimos 16. 8,91 y ocho y noventa y un centésimos 17. 0,44 y 44/100 18. 3,07 y 3 + 0,07 Grupo B 1. 0,020 2. 3,58 3. 0,90 4. 6,6 5. 5,070 6. 0,1 7. 4,6 8. 3,090 9. 14,7 10. 0,40 Grupo C 1. > 2. < 3. < 4. < 5. > 6. > 7. 1,36 ; 1,696 ; 1,78 ; 1,8 8. 0,221 ; 0,3 ; 0,584 ; 0,62 9. 6,9 ; 8,3 ; 9,001 , 10 10. 1,09 ; 1,34 ; 1,343 ; 1,4 11. 0,274 ; 0,276 ; 0,285 ; 0,287 12. 7,003; 7,3; 7,303; 7,323 Grupo D 1. 1,6 2. 6,000 3. 26,00 4. 0,00 5. 48,00 6. 1 7. 52,000 8. 50,000 9. 13,71 calorías le falta por gastar Página 180 1. Respuesta abierta 2. Respuesta abierta 3. 0,581 4. 3,666 5. 13,412 6. 18,08 7. 8,00 8. 6,00 9. 40,00 10. 1,00 11. Décimas 12. Milésimas 13. Décimas 14. Centésimas 15. 1 + 0,3 y uno y tres decimos 16. 0,47 y cuarenta y siete centésimos 17. 0,9 + 0,02 + 0,006 y novecientos veintiséis centésimos 18. 2 + 0,05 + 0,005 y dos y cincuenta y cinco milésimas 19. 0,50 20. 2,69 21. 0,010 22. 3,4 23. 5/10 24. 2 7/10 25. 8/100 26. < 27. > 28. > 29. Sí 30. 3,33 puntos 31. Respuesta abierta Página 181 1. 22,29 2. 61,1 3. 186,3 4. 4,15 5. 15,18 6. 19,25 7. 15,32 8. 11,2 9. 30,5 10. 26 Escribe 1. Podemos aproximar los decimales y sumar mentalmente Página 182 1. C 2. A 3. A 4. C 5. C 6. C 7. C 8. A Página 183 9. D 10. D 11. 0,025 12. Décimas = 0,5 y centésimas = 0,490 13. 310 tomates 14. 32 kg 15. 5,45 16. Luis. Respuesta abierta 17. F; 42,13 18. V 19. F; es equivalente a ¾. 20. F; son iguales. V F UNIDAD 3: Geometría y Medición Capítulo 8 Página 189 1. L 2. F 3. A 4. B 5. G 6. M 7. N 8. H 9. C 10. D 11. J 12. O 13. P 14. K 15. E 16. 12; La regla es restar 2. 17. 26; La regla es sumar 2. 18. 48; La regla es multiplicar por 2. 19. 5; La regla es multiplicar por 3. Capítulo 8· Lección 1 Página 191 1. I 2. ( 3,5 ) 3. ( 9,3 ) 4. ( 9,10 ) 5. ver cuaderno del estudiante 6. ver cuaderno del estudiante 7. ver cuaderno del estudiante 8. (2,1) 9. ( 5,8 ) 10. (10,4 ) 11. ( 4,3 ) 12. ( 7,0 ) 13. ( 0,9 ) 14. ( 8,6 ) 15. ver cuaderno del estudiante 16. ver cuaderno del estudiante 17. ver cuaderno del estudiante 18. ver cuaderno del estudiante 19. ver cuaderno del estudiante 20. ( 8,3 ) 21. ( 3,0 ) 22. Parque Araucano 23. Porque estamos ubicando un elemento o punto con coordenadas específicas. 24. 6/7 25. 5 unidades 26. 6 caras 27. B Página 192 a. ( 7,4 ); 6 b. ( 6,3 ) Página 193 1. ( 7,4 ); 6 2. ( 6,3 ) 3. ( 9,1 ) 4. Rectángulo 5. Martín = 12 años y Lucas = 10 años 6. $ 15 650 7. Respuesta abierta Capítulo 8· Lección 3 Página 195 1. Ver cuaderno del estudiante 2. Ver cuaderno del estudiante 3. Ver cuaderno del estudiante 4. Ver cuaderno del estudiante 5. Ver cuaderno del estudiante 6. Respuesta abierta 7. Respuesta abierta 8. Ver cuaderno del estudiante 9. Ver cuaderno del estudiante 10. Ver cuaderno del estudiante 11. Ver cuaderno del estudiante 12. Ver cuaderno del estudiante 13. Ver cuaderno del estudiante 14. Respuesta abierta 15. Ver cuaderno del estudiante 16. 6 lados y 6 vértices 17. Respuesta abierta Capítulo 8· Lección 4 Página 197 1. Ver cuaderno del estudiante 2. Ver cuaderno del estudiante 3. Ver cuaderno del estudiante 4. Ver cuaderno del estudiante 5. Ver cuaderno del estudiante Solucionario 316 6. Ver cuaderno del estudiante 7. Ver cuaderno del estudiante 8. Ver cuaderno del estudiante 9. Ver cuaderno del estudiante 10. Ver cuaderno del estudiante 11. Ver cuaderno del estudiante 12. Ver cuaderno del estudiante 13. Ver cuaderno del estudiante 14. Cuadrado 15. Triángulo 16. Caras = 5 ; vértices = 5 y aristas = 8 17. Pirámide de base cuadrada 18. Las figuras 3D tienen sus nombres establecidos, por ejemplo, una pirámide siempre será pirámide independiente el número de caras que tenga. 19. 4 triángulos y 1 cuadrado 20. $ 6 000 21. A Capítulo 8· Lección 5 Página 199 1. Congruentes 2. No congruentes 3. Congruentes 4. No congruentes 5. No congruentes 6. Congruentes 7. U y W ; V e Y. Respuesta abierta 8. X, respuesta abierta 9. Respuesta abierta Página 200 1. 360° 2. 4 giros 3. Cada cuarto de giro forma un ángulo de 90°, por lo tanto, dos cuartos son 180°, tres cuartos son 270° y cuatro cuartos son 360°. Capítulo 8· Lección 6 Página 201 1. ¼; 90°; Contrario a las manecillas del reloj. 2. ¾; 270°; Contrario a las manecillas del reloj. 3. 2/4; 180°; en sentido de las manecillas del reloj. 4. ¼; 90°; en sentido de las manecillas del reloj. 5. ¾; 270°; en sentido de las manecillas del reloj. 6. Giro completo; 360°; en sentido de las manecillas del reloj. 7. ¼; 90°; en sentido de las manecillas del reloj. 8. ¾; 270°; en sentido de las manecillas del reloj. 9. 180°; en sentido de las manecillas del reloj. 10. 90°; contrario a las manecillas del reloj. 11. 180°; sentido de las manecillas del reloj. 12. 90°; contrario a las manecillas del reloj. 13. 90°; sentido de las manecillas del reloj. 14. 360°; sentido de las manecillas del reloj. 15. 270°; contrario a las manecillas del reloj. 16. 180°; contrario a las manecillas del reloj. 17. Respuesta abierta Capítulo 8· Lección 7 Página 204 1. Ver cuaderno del alumno 2. Axial 3. Axial 4. Axial 5. No tiene simetría 6. Respuesta abierta 7. Axial 8. Axial 9. No tiene simetría 10. Axial 11. Ver cuaderno del estudiante 12. Ver cuaderno del estudiante 13. Ver cuaderno del estudiante 14. Ver cuaderno del estudiante 15. Ver cuaderno del estudiante 16. Ver cuaderno del estudiante 17. Ver cuaderno del estudiante 18. Ver cuaderno del estudiante 19. C 20. B 21. D Página 205 22. Con una línea vertical basta 23. Los polígonos regulares tienen ejes de simetría. 24. Coco; oso 25. Ver cuaderno del estudiante 26. A 27. B 28. Líneas perpendiculares 29. 144 30. D 1. Ver cuaderno del estudiante 2. Ver cuaderno del estudiante 3. Ver cuaderno del estudiante 4. Ver cuaderno del estudiante Capítulo 8· Lección 8 Página 206 1. Triángulos 2. Triángulos 3. Iguales Práctica con supervisión 1. Sí 2. No 3. Sí 4. Sí 5. Sí 6. Sí Página 207 7. Ver libro del estudiante 8. Ver libro del estudiante 9. Ver libro del estudiante 10. Ver cuaderno del estudiante 11. 13 12. $ 2 334 13. 7 14. Ver cuaderno del estudiante Página 208 Grupo A 1. ( 5 , 4 ) 2. ( 1 , 8 ) 3. ( 3 , 5 ) 4. ( 9 , 2 ) 5. ( 4 , 1 ) 6. ( 7 , 7 ) 7. Ver cuaderno del estudiante 8. Ver cuaderno del estudiante 9. Ver cuaderno del estudiante 10. Ver cuaderno del estudiante 11. Ver cuaderno del estudiante 12. Ver cuaderno del estudiante 13. Ver cuaderno del estudiante 14. Ver cuaderno del estudiante Grupo B 1. 5 lados y 5 vértices 2. 6 lados y 6 vértices Grupo C 1. Ver libro del estudiante 2. Ver libro del estudiante 3. Ver libro del estudiante 4. Ver libro del estudiante 5. Fig. A= 3 cara laterales y 6 vértices; fig. B= 4 caras laterales y 5 vértices; fig. C= 6 caras laterales y 12 vértices. 6. Fig. A = 9 aristas; fig. B= 8 aristas y fig. C = 18 aristas Grupo D 1. Axial 2. Axial 3. Axial 4. No tiene simetría Página 209 5. Ver libro del estudiante 6. Ver libro del estudiante 7. Ver libro del estudiante 8. Ver libro del estudiante 9. B 10. E ; F 11. A ; B ; C ; D 12. B 13. F Grupo E 1. Ver cuaderno del estudiante 2. Ver cuaderno del estudiante 3. Ver figura 4. A ( 2, 8 ) ; B ( 4 , 3 ) ; C ( 6 , 7 ) 5. A (5,10); B (7,5); C (9,9) 6. A (4,8); B (6,3); C (8,7) Página 210 1. Par ordenado 2. Origen 3. S ( 8, 6 ) 4. M ( 6 , 9 ) 5. T ( 5, 3 ) 6. A ( 3 , 2 ) 7. B ( 9, 4 ) 8. C ( 4 , 7 ) 9. A y C, porque tienen la misma forma y el mismo tamaño. 10. 6 y 3; multiplicar por 3. 11. 7 y 8; sumar 2, 4, 6, 8, etc. 12. (1,4) 13. (7,12) Página 211 1. Ver cuaderno del estudiante. 2. Ver cuaderno del estudiante. 3. Ver cuaderno del estudiante. 4. Ver cuaderno del estudiante. Escribe 1. Sí, 2 ejes de simetría. Página 212 y 213 1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. A 10. B 11. D 12. B 13. D 14. C 15. B 16. D Capítulo 9 Página 215 1. 24 cm 2. 24 cm 3. 16 cm 4. 24 cm 5. 30 cm 6. 48 km 7. 34 m 8. 14 m 9. 24 cm 10. 58 cm 11. Metros 12. Centímetros 13. Metros 14. Centímetros 15. Kilómetros 16. Metros Capítulo 9· Lección 1 Página 217 1. 15 metros 2. 120 milímetros 3. 70 mm 4. 3 km 5. 8 000 mm 6. 8 km 7. 220 mm 8. 3 cm 9. 2 000 m 10. 500 cm 11. 2 m 12. 12 000 m 13. 5 000 000 mm 14. 7 m 15. Respuesta abierta Página 218 16. 480 mm 17. 5 000 m 18. 0,5 m 19. 2 500 cm 20. 0,07 m 21. 4 200 m 22. 350 cm 23. 48 cm 24. 1 600 m 25. 64 mm 26. 250 cm 27. 42 m 28. 2 500 m 29. 11 cm 30. 560 cm 31. 68 mm 32. 1 m 33. 4 300 mm 34. 7 000 cm 35. 55 mm 36. 849,4 cm 37. 200 cm 38. 21 pedazos y sobran 3 cm 39. 2 m 31 cm 40. 89 cm 41. 1 m 20 cm 42. Alinearía los dos decimales y resolvería la resta. 43. X = 19 44. ( 8 , 5 ) 45. B 46. B Página 219 1. Respuesta abierta 2. Respuesta abierta Capítulo 9· Lección 2 Página 221 1. E = 7 mm 2. X = 18 cm 3. D = 19 1/4 4. R = 21 m 5. Respuesta abierta 6. M = 6 m 7. X = 5 8. T = 14 3/4 9. S = 13,5 m 10. X = 17 cm 11. B = 8 cm 12. 4m 13. Descomponiendo la figura en cuadrado y rectángulo y ocupando las medidas dadas 14. 5/6 15. D Página 222 a. 18 m b. 6 m Página 223 1. 36 cm 2. 30 cm 3. 4 cm 4. 211,2 m 5. 226,8 m 6. 43,35 m 7. No es razonable porque el perímetro de la pirámide de Micerinos es más pequeño que la pirámide de Keops. Página 224 Grupo A 1. 0,18 m 2. 0,06 m 3. 8 000 mm 4. 7 000 m 5. 120 mm 6. 4 300 m 7. 340 cm 8. 9 m 9. 4 m Grupo B 1. A = 5 m 2. S = 2 m 3. B = 2 mm 4. X = 10 cm Grupo C 1. 24 cm 2. 12 m 3. 8 m 4. 40 cm 5. 46 m Grupo D 1. 20 cm 2. 16 cm 3. 24 mm 4. 10 m 5. 320 cm o 3 m y 20 cm Página 226 1. Respuesta abierta 317 2. Respuesta abierta 3. 0,24 m 4. 52 mm 5. 60 mm 6. 400 cm 7. 4 000 m 8. 18 cm 9. 32 cm 10. 18 cm 11. 13 m 12. 15 m 13. 19 m 14. 44 m 15. 47,5 cm 16. 72 cm 17. 6,6 m 18. 24 cm 19. 4 cm 20. 60 cm 21. Respuesta abierta Página 227 1. ABDC 2. ABDC Páginas 228 y 229 1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. A 8. C 9. A 10. B 11. Se multiplica la longitud de un lado por 5. 12. B 13. X es igual a 3. Se suman los lados conocidos y luego se resta al perímetro de la figura el resultado obtenido. 14. A 15. B 16. C 17. C 18. B 19. C Capítulo 10 Página 231 1. 15 u2 2. 9 u2 3. 20 u2 4. 19 u2 5. 13 u2 6. 14 u2 7. 16 u2 8. 17 u2 9. 234 10. 135 11. 126 12. 280 13. 448 14. 135 15. 588 16. 64 17. 455 18. 245 Capítulo 10· Lección 1 Página 234 1. A = 5,6 cm ; B = 6 cm y C = 5,2 cm 2. C 3. Cuadrada 4. L = 8 mm y A = 1 mm 5. L = 8 m y A = 6 m 6. L = 9 m y A = 8 m 7. L = 3 cm y A = 2 cm 8. L = 14 cm y A = 8 cm 9. L = 7 cm y A = 4 cm 10. L = 8 km y A = 4 km 11. L = 8 cm y A = 8 cm 12. L = 9 m y A = 6 m 13. L = 7 km y A = 7 km 14. Respuesta abierta 15. L = 20 m y A = 10 m 16. L = 15 cm y A = 12 cm 17. L = 1 km y A = 1 km 18. L = 26 cm y A = 24 cm 19. L = 12 mm y A = 11 mm 20. L = 8 mm y A = 5 mm 21. L = 9 km y A = 1 km 22. L = 5 m y A = 3 m 23. L = 9 cm y A = 5 cm 24. L = 12 mm y A = 11 mm 25. Ver cuaderno del estudiante 26. Respuesta abierta 27. Mayo área, L = 26 m y A = 24 m ; Menor área , L = 49 m y A = 1 m 28. Respuesta abierta Página 235 29. M = 81 30. 36 m2 31. 12,4 m 32. D 33. C Poder Matemático 1. Sí 2. Respuesta abierta Capítulo 10· Lección 2 Página 237 1. 20 cm2 2. Aumentaría el área y 50 cm2 3. 72 cm2 4. A= 225 cm2 y P = 60 cm 5. A = 280 m2 6. Estatua = $ 5 100 y fuente = $ 3 600 Capítulo 10· Lección 3 Página 239 1. L = 12 unidades y A = 6 unidades 2. Área = 72 u2 3. Área = 36 u2 cada uno 4. 10 cm2 5. 16,5 cm2 6. 12 cm2 7. 15 cm2 8. 14 cm2 9. 18 cm2 10. Se calcula el área del rectángulo y se divide en 2 para saber el área de un triángulo. Capítulo 10· Lección 4 Página 240 1. 27 cm2 2. 20 cm2 Página 241 3. 12,5 u2 4. 20 u2 5. 17,5 u2 6. El área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo 7. 10,5 u2 8. 15 u2 9. 14 u2 10. 56 m2 11. 38,5 cm2 12. 30 cm2 13. 4 baldosas blancas 14. 9 dm2 15. Le faltó dividir por 2. El área correcta es 16 m2. 16. 16 m2 17. 54 m 18. B Capítulo 10· Lección 5 Página 243 1. Altura = 6u ; base = 7u y área= 42u2 2. Altura = 3u ; base = 8u y área = 24 u2 3. Altura = 3u ; base = 5u y área = 15 u2 Página 244 4. 96 cm2 5. 56 cm2 6. 2 295 m2 7. Respuesta abierta 8. 28 km2 9. 12 m2 10. 30 m2 11. 36,5 m2 12. 225 cm2 13. 126,48 cm2 14. 340 m2 15. 72 cm2 16. 160 km aprox. 17. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? Página 245 18. ( 3 , 2 ) 19. 15 m2 20. 2 piezas 21. A 22. C Poder Matemático 1. 8 u 2. 24 u2 3. Es la mitad de la del paralelogramo 4. 12 u2 5. Respuesta abierta Página 246 Grupo A 1. L = 6 m y A = 4 m 2. L = 5 cm y A = 4 cm 3. L = 9 mm y A = 7 mm 4. L = 11 km y A = 9 km 5. L = 8 cm y A = 7 cm 6. L = 7 cm y A = 2 cm 7. L = 6 m y A = 4 m 8. L = 6 cm y A = 3 cm 9. L = 7 mm y A = 6 mm 10. L = 9 km y A = 4 km 11. L = 7 m y A = 5 m 12. 272 m2 13. L = 3 m y A = 1 m Grupo B 1. 48 cm2 2. 40 mm2 3. 60 cm2 4. 75 m2 5. 30 m2 6. 216 cm2 Página 247 7. 1,5 m2 8. 225 cm2 Grupo C 1. 27 m2 2. 81,6 m2 3. 144 cm2 4. 49 m2 5. 36,75 mm2 6. 45 m2 7. 28 m2 Página 248 1. Área 2. Base 3. 7 cm2 4. 12,5 cm2 5. 9 cm2 6. 104 m2 7. 33,5 cm2 8. 225 mm2 9. 73,5 cm2 10. L = 4 mm y A = 2 mm 11. L = 9 km y A = 8 km 12. L = 4 cm y A = 3 cm 13. L = 6 cm y A = 4 cm 14. L = 7 m y A = 5 m 15. 24 m2 16. 33 cm2 17. 122 cm2 18 36 mm2 19. 108 cm2 20. Respuesta abierta Página 249 1. 105 m2 2. Verde = 3/5 ; Amarillo = 2/5 Escribe Necesitará 87 m2 Página 250 1. C 2. D 3. B 4. B 5. A 6. C Página 251 7. C 8. D 9. C 10. 9 cm 11. 154 cm2 12. F 13. V 14. V 15. C 16. Es el doble. Respuesta abierta. UNIDAD 4: Datos y Probabilidades Capítulo 11 Página 257 1. Mamíferos – aves – peces – moluscos- insectos- reptiles 2. 1 200 aprox. 3. Aves; 250 aprox. 4. Gaviota 5. 45 6. 13 Capítulo 11· Lección 1 Página 258 1. 11 ( ver cuaderno del estudiante) Página 259 2. 21 3. 3 4. 12,7 5. 65 6. 80 7. 150 8. Respuesta abierta 9. 11 10. 70 11. 18,2 12. 6,5 13. 5,4 14. 205 15. 42 16. 237,5 17. 6,9 18. 6 19. 32 20. 17,5 21. 9,3 22. 8 23. 85 24. 13,6 m 25. 1,65 m 26. Respuesta abierta 27. La nueva media es de 87,6 28. 188 29. 5 30. 144 31. C Capítulo 11· Lección 2 Página 261 1. 8 2. 36 3. Fútbol 4. 10 5. Respuesta abierta Página 262 6. Cobreloa 7. Santiago Morning y Huachipato 8. 40 puntos 9. Romántica 10. Terror; niños 11. 12 niños 12. No, porque las mismas personas respondieron tres preguntas. 13. del 4 al 5 14. en aumento 15. a la baja 16. 120,78 km y 402,6 km 17. Respuesta abierta Página 263 18. 1,7 km 19. 2 160 cm3 20. 12,875 21. C Poder Matemático 1. Respuesta abierta 2. Agosto Capítulo 11· Lección 3 Página 265 1. 2, respuesta abierta 2. Ver cuaderno del alumno 3. 61 y 94 respectivamente 4. Respuesta abierta 5. Ver cuaderno del alumno 6. 21° y 32° respectivamente 7. 24° 8. 24° 9. 8 10. 4 11. Respuesta abierta 12. 60 cm2 y 32 cm respectivamente 13. Ver cuaderno del estudiante 14. C Capítulo 11· Lección 4 Página 267 1. Subirían Página 268 2. Escala de 1 en 1 e intervalo 1 mes 3. ( 1; 19,9 ) ; ( 2; 21,1 ) ; ( 3; 19,1 ) ; ( 4 ; 18,2 ) ; ( 5 ; 16,0 ) 4. Ver cuaderno el estudiante 5. Respuesta abierta 6. Escala de 1 en 1 e intervalo 1 día 7. ( 1 ; 22,6 ) ; ( 2 ; 21,3 ) ; ( 3 ; 22,2 ) ; 4 ; 22,6 ) ; ( 5 ; 22,8) ( 1 ; 12,6 ) ; ( 2 ; 14,8 ) ; ( 3 ; 15,8 ) ; 4 ; 13,4 ) ; ( 5 ; 12,8 ) 8. Ver cuaderno del alumno 9. Ver cuaderno del alumno 10. Ver cuaderno del alumno 11. En el mes 2 318 12. Ninguno 13. Respuesta abierta Página 269 14. A 15. Parque B 16. Parque A 17. Parque A Resolución de problemas 1. 10 mm 2. 18° aprox. 3. Respuesta abierta Capítulo 11· Lección 5 Página 270 a. No, respuesta abierta b. Respuesta abierta c. No, respuesta abierta Página 271 1. No. Más de 14° en enero y febrero y menos de 14° en marzo, abril y mayo. Sí hubo más meses con una temperatura de menos de 14 °. Conclusión abierta. 2. Que disminuye 3. Que fue aumentando 4. 21 paños 5. No, respuesta abierta 6. No, respuesta abierta 7. Sí, respuesta abierta 8. Respuesta abierta Página 272 Grupo A 1. 27 2. 333 3. 22 4. 5,02 5. 145 6. 13,5 7. 66 8. 18,1 9. 531 10. 35 11. 14,9 12. 6,7 13. 117 14. 31 15. 3,7 Grupo B 1. Miércoles y respuesta abierta. 2. Domingo y respuesta abierta. 3. Lunes 4. 9,6 aprox. Sumando las cantidades de personas y dividiendo por el número de días. Grupo C 1. Ver cuaderno del estudiante 2. 92 y 54 respectivamente 3. 38 4. 13 días 5. 85 excursionistas Grupo D 1. El martes 2. Sí, excepto el jueves 3. Jueves Página 273 1. Respuesta abierta 2. Respuesta abierta Página 274 1. Diagrama de tallos y hojas 2. Media aritmética 3. Gráfico de líneas 4. Gráfico circular 5. Ver cuaderno del estudiante 6. Ver cuaderno del estudiante 7. Ver cuaderno del estudiante 8. Gráfico de barras 9. Gráfico de líneas 10. Gráfico circular 11. Diagrama de tallo 12. Diagrama de tallo 13. Gráfico de líneas 14. a=sí y b= no. Fundamentar 15. Respuesta abierta Página 275 1. c 2. b Páginas 276 y 277 1. B 2. C y B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. C 8. D 9. D 10. D 11. A 12. B 13. C 14. B 15. D 16. D 17. A 18. A 19. C 20. B Capítulo 12 Página 279 1. 27 estudiantes 2. Amarillo 3. 8 estudiantes 4. 23 estudiantes 5. 3 resultados posibles 6. 4 resultados posibles 7. 2 resultados posibles 8. 3/8 9. 2/8 10. 5/10 11. 8/10 Capítulo 12· Lección 1 Página 281 1. 2 resultados posibles 2. 6 resultados posibles 3. 18 resultados posibles 4. 6 resultados posibles 5. Ver cuaderno del alumno 6. 12 resultados posibles 7. 3 veces 8. Respuesta abierta Capítulo 12· Lección 2 Página 284 1. De 3 maneras puede ganar un premio. 2. Disminuiría el número de resultados 3. 8 resultados posibles 4. 6 colores de boletos 5. 12 resultados posibles 6. Puede ganar de 2 maneras, sacando el pato verde y el número 4 y sacando el pato verde y el número 5 7. Respuesta abierta Página 285 8. Montaña Rusa y Mansión Siniestra 9. Entre 1983 y 1993 10. Respuesta abierta 11. Respuesta abierta 12. Xtreme Fall 13. $ 26 000 14. X – 10 000 Capítulo 12· Lección 3 Página 287 1. Es posible que saque una bolita roja; Es poco posible que saque una bolita amarilla y es imposibles que saque una bolita verde. 2. Posible 3. Seguro 4. Respuesta abierta 5. Imposible 6. Poco posible Página 288 7. Igualmente posible 8. Igualmente posible 9. No son igualmente posible ; es más probable sacar rojo 10. Igualmente posible 11. 2,3 y 4; 3 12. Ver cuaderno del estudiante 13. Ver cuaderno del estudiante 14. Amarillo y verde 15. Sacar morado 16. Respuesta abierta 17. 68 18. 50 cm2 19. 1/2 20. A Página 289 1. Respuesta abierta 2. 12 resultados posibles 3. Número par en dado y cara en la moneda 4. Respuesta abierta Capítulo 12· Lección 4 Página 291 1. 3/8 2. 2/6 3. 5/6 4. 1/6 5. 3/6 6. 3/6 7. 3/6 8. Respuesta abierta Página 292 9. 1/11 10. 4/11 11. 1/11 12. 6/11 13. 9/11 14. 1/7 ; poco probable 15. 5/(7 ) ; posible 16. Imposible 17. Seguro 18. 4/7 probable 19. N = 3 20. N = imposible 21. 4/6 22. 1/6 ; 3/6 ; 4/6 23. Respuesta abierta 24. Respuesta abierta Página 293 25. 2/(3 ) y 1/3 26. Imposible 27. B Poder Matemático 1. Es justo, respuesta abierta 2. Es justo, respuesta abierta 3. Es injusto, respuesta abierta Página 294 Grupo A 1. Poco probable 2. Imposible 3. Igualmente probable 4. No son igualmente probable ; Suceso B es más probable Grupo B 1. Poco probable 2. Imposible 3. Probable 4. Poco posible 5. Seguro 6. 2/8 ; suceso poco probable 7. 4/8 ; suceso probable 8. 1/8 ; suceso poco probable 9. Suceso imposible 10. 6/8 ; suceso probable Página 296 1. Resultado 2. Predicción 3. Probabilidad matemática 4. Respuesta abierta 5. Imposible 6. Probable 7. 2/9 ; poco probable 8. Seguro 9. 1/9 ; poco probable 10. Probable 11. Imposible 12. 4 resultados posibles 13. 12 resultados posibles 14. 6 resultado 15. Respuesta abierta Página 298 y 299 1. D 2. C 3. 1,282 4. A 5. D 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 11. 32 alumnos 12. 4 alumnos 13. 16 alumnos 14. 6 resultado 15. F 16. V 17. V Bibliografía 319 Bibliografía para el docente Castro, E. (2003). Didáctica de la Matemática en La Educación Primaria. Madrid: Pearson. Chamorro, M. (2003). Didáctica de la Matemática Preescolar. Madrid: Pearson. Chamorro M. (2003). Didáctica de la Matemática para Primaria. Madrid: Pearson. Cofré, A. y Tapia, L.(1995). Cómo desarrollar el razonamiento lógico y matemático. Santiago: Universitaria. Centeno, J. (1989). Números Decimales. Colección Matemáticas Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Cofré, A. y Tapia, L. (2002). Matemática Recreativa en el Aula. Santiago: Universidad Católica de Chile. Godino, J. et al. (2005). Didáctica de las Matemáticas para Maestros. ProyectoEduMat - Maestros. Departamento de Didáctica de la Matemática. España: Universidad de Granada. Guzmán, M. (1995). Para pensar mejor. España: Pirámide. Holt, R., Wiston. (2003). Mathematics in Context. Encyclopaedia Britannica. Llinares, S y Sánchez, M.(1989). Fracciones. 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Colección Matemáticas Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Chamorro, C.(2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson Prentice Hall. Martínez, J. (1991). Numeración y operaciones básicas en la educación primaria. Madrid: Escuela Española. Resnick, Lauren B. y Ford, Wendy W. (2010). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Barcelona: Paidós. Bibliografía adicional Alder, K. (2003). La medida de todas las cosas. España: Taurus. Arce, J. C. (2000). El matemático del rey. España: Planeta. Ávila, C. (2010). Aventuras matemáticas: En busca del código secreto. España: Brief Editorial. Cesaroli, A. (2009). Mr. Cuadrado. España: Maeva. De la Torre, A. (2010). La rebelión de los números. España: Ed. La Torre. Doxiadis, A. (2000). El tío Petrus y la Conjetura de Goldbach. España: Ediciones B. Enzesberg, H. M (1999). El diablo de los números. España: Siruela. Guedj, D. (2000). El teorema del loro. España: Anagrama. Haddon, M. (2011). El curioso incidente del perro a medianoche. España: Salamandra. Kaye, M. (2002). Ni un día sin matemáticas. Chile: Ed. Galileo. Millás, J. J. (2001). Números pares, impares e idiotas. España: Ed. Alba. Norman, L. C. (2000). El país de las mates para expertos. España: Nívola. Norman, L. C. (2000). El país de las mates para novatos. España: Nívola. Ogawa, Y. (2008). La fórmula preferida del profesor. España: Funambulista. Serrano Marugán, E. (2002). ¡Ojalá no hubiera números! España: Nívola. Shaw, C. (2005). La incógnita Newton. España: Roca. Tahan, M. (1999). El hombre que calculaba. Colombia: Ed. Panamericana Video “Donald en el país de las matemáticas” donald en el pais de las matematicas - YouTube http://www.youtube.com/watch?v=WtIrtPumGco 13/08/2011 - Subido por mapacheplus Donald en el país de las matemáticas completo audio latino por Jorge Armando Hernández. Links para el estudiante · www.elhuevodechocolate.com/mates.htm · http://www.educapeques.com/juegos-infantiles-de-matematicas- para-ninos · www.juegos/matmatica/html · http://www.aprendejugando.com/ · http://www.sectormatematica.cl/preescolar.htm · http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm · http://www.todoeducativo.com/ · http://roble.pntic.mec.es/arum0010/#matematicas · http://www.santillana.cl/grupo/arbolalegre/ · http://www.escolar.com/menugeom.htm · http://www.disfrutalasmatematicas.com/ejercicios/horas.php · http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm · http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm · http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/pages/jeux_mat/ textes/horloge.htm · http://sauce.pntic.mec.es/~atub0000/hotpot/reloj/horasini.htm · http://members.learningplanet.com/act/mayhem/free.asp · http://kids.aol.com/ · http://www.ixl.com/ · http://www.icarito.cl/medio/ articulo/0,0,38035857_152308913_188909704_1,00.html · http://www.aulademate.com/ 5º B ás ic o M at em át ic a Matemática 5º Básico Texto del Estudiante 5º B ás ic o M at em át ic a Te xt o de l E st id ia nt e Texto del Estudiante 01_M5_Indice BAJA 02_M5_cap1 BAJA 03_M5_U1_C2 BAJA M5_U1_C3 BAJA M5_U1_C4 BAJA M5_U2_C5 BAJA M5_U2_C6 baja M5_U2_C7 BAJA M5_U3_C8 baja M5_U3_C9 BAJA M5_U3_C10 BAJA M5_U4_C11 BAJA M5_U4_C12 BAJA glosario BAJA Página en blanco Página en blanco
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