c A p í T u L o 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Este capítulo trata das equações diferenciais de primeira ordem, dy = f(t,y), d: (1) onde f é uma função conhecida de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y = C/X..r) que satisfaça a esta condição para todos os valores de t em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso objetivo é determinar se essas funções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária J, não existe nenhum método geral para resolver a equação em termos de [unções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos quais se aplica a uma certa subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são as das equações lineares (Seções 2.1 e 2.2) e das equações separáveis (Seção 2.3). Outras seções deste livro discutem algumas aplicações importantes das equações diferenciais de primeira ordem e algumas questões teóricas relacionadas à existência e unicidade das soluções. 2.1 Equações Lineares Se a funçãof da Eq. (I) depende linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma di + p(t)y dy = g(t), (2) e é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos admitir que p e g são funções conhecidas e contínuas no intervalo a < x < (3. Por exemplo, a equação diferencial é uma equação linear particularmente simples. com as funções p(x) como as soluções se comporiam = J 12 e g(x) = 3/2, ambas constantes. x. Determinar também a solução cuja Exemplo 1 Resolver a Eq. (3) e determinar para grandes valores de curva passa pelo ponto (0,2). Para resolver a Eq. (3). observamos que podemos reescrever a Eq. (3) na forma ou. se." *" 3. dy di Y- 3 2 (4) 12 Equações Diferenciais de Primeira Ordem vr- : Uma vez que o primeiro membro da Eq. (4) é a derivada L:;; '- a, Segue-se então que -, + c. de ambos os membros, obteremos com a forma exponencial In IY - 31 = -~ onde C é uma constante de integração arbitrária. Portanto, e finalmente y = 3 + ce (5) onde c +evtambém é uma constante arbitrária (não nula). Observe-se que a são (5), se deixarmos c assumir o valor zero. Na Fig. 2.1.1 que se deduziu do campo de direções da Fig. 1.1.2: por exemplo. Eq c, a curva correspondente passa pelo ponto (0,2). Para achar este valor de c fazemo" ! = O c y Então \'=3- = ---'t = 3 se t ---'t x. Para um certo valor de na Eq. (5) e encontramos que c = -I. (6) é a solução cuja curva passa pelo ponto dado (0,2), e que aparece em traço cheio na Fig. 2.1.1. Fig.2.1.1 Soluções de y' + (1I2)y = 3/2. A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes, dy =ry,+k dt (7) ' onde r e k são constantes, pode ser tratada da mesma forma como no Exemplo I. Se r cF O e se .v a Eq. (7) na forma dy t d: ----=r. y + (k/r) Então In *" - VI". podemos escrever Iy + (k/r)1 = rt + C, 2.1 Equações- Lineares 13 y (a) (b) figo 2,1.2 Soluções de y' = r,l - J.:: la) r < O: (b) r > O. onde C é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros. temos: y Tirando o valor de y. obremos finalmente: + (kjr) r = ±eCe" = _: +ce". r . (8) onde c = z e-. A função constante y = -IJ,. também é uma solução e está incluída na Eq. (8) para c = O. Observe que a. Eq. (3) corresponde a r = -In e l: = 3/2 na Eq. (7 l. de modo que as respectivas soluções. (5) e (8), concordam entre si. O comportamento geral da solução (R) depende principalmente do sinal do parâmetro r. Se r < O, então e" ----+ O quando 1--7:Z. e as curvas de todas as soluções tendem para a assíntota horizontal y = =k/r. Por outro lado, se r > 0, e" aumenta sem limite quando 1 aumenta, e as curvas das soluções divergem da reta .v = ~ UI" quando t -+ cc Essas duas possibilidades estão ilustradas na Fia. 2.1.2 a e b, A solução constante y""= =lc/r é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio. já que dy/dt é sempre zero para esta solução. A solução de equilíbrio pode ser determinada. sem resolver a equação diferencial. fazendo dy/dt igual a zero na Eq. (7) e tirando o valor de v. Outras soluções também podem ser esboçadas com relativa facilidade. Por exemplo: se r < O. dy/{/i é negativa se y > +k/r e positiva sev < k/r, A inclinação da curva que representa uma solução é muito acentuada se y cstú distante de ~ UI' e tende a zero quando y se aproxima de =k/r, Assim. todas as curvas que representam soluções tendem a se aproximar da reta horizontal correspondente à solução de equilíbrio y = +k/r. O componamento da solução se inverte quando r > O. Finalmente. observe que a solução (8) é válida apenas para r? O. Se r = 0, a equação diferencial se torna dv/dt = k e as soluções são y = k: - c. o que corresponde a uma família de retas paralelas de inclinação k. -r Fatores integrantes. Pelo reexame da solução da Eq. (7). podemos encontrar uma chave que nos revela um método de resolução de equações lineares de primeira ordem mais gerais. Inicialmente. escrevemos a Eq. (8) na forma ye-n k = __e-ri +c; I" (9) c depois, derivando os dois membros em relação a t. vem (y'- I"y)e-I" = ke-", (lO) que é equivalente á equação diferencial (7). Observe que agora podemos resolver a Eq. (7) invertendo os passos precedentes. Transpondo o termo ry para o lado esquerdo da equação e multiplicando por e-". obtemos a Eq. (10). Note que o lado esquerdo da Eq. (10) é a derivada de ve:", de modo que a equação se torna (lI) Finalmente. integrando os dois membros da Eq. (11). obtemos a Eq. (9) e portanto a solução (8). Em outras palavras, uma forma de resolver a Eq. (7) consiste em primeiro multiplicá-Ia pela função e-no Como esta multiplicação deixa a equação em uma forma que é imediatamente irucgravel. a função e :" é chamada de fator integrante da Eq. (7), Para que este método seja eficaz para outras equações. precisamos ser capazes de calcular o fator integrante diretamente a partir da equação diferencial. Vamos agora lidar com esta questão no contexto da equação geral (2). Nosso objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) y' + p(t)y = g(i) 14 Equações Diferenciais de Primeira Ordem por um fator integrante apropriado e assim colocá-la em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2) por uma função J.L(t). ainda indeterminada. Temos então fJ,(I)y' + fJ,(t)p(t)y = fJ,(t)g(t). (12) Queremos reconhecer o lado esquerdo da Eq, (12) como a derivada de alguma função. De que função ela poderia ser a derivada? O fato de que existem dois termos e um dos termos é J1.(t)y' sugere que o lado esquerdo da Eq. (12) pode ser a derivada do produto J.L(t)y. Para que isto seja verdade. o segundo lermo do lado esquerdo da Eq. (12), p,(T)p(r)y. deve ser igual a f.L'(T)y. Isto, por sua vez, significa que fJ-(t) deve satisfazer equação diferencial à fJ,'(t) = p(I)fJ,(t). Se admitirmos, temporariamente, que fJ-(t) é positiva. podemos escrever a Eq. (13) como !l.'(/) = p(t). IL(I) ou d (13i di Então, integrando ambos os termos, InIL(I) = p(t). (14) In fJ,(/) = J p(t) dt + k. j1. (15) Pela escolha da constante k arbitrária como zero, conseguimos ter a função 1"(1) = exp J mais simples possível, ou seja (16) p(t) dt . Observe que jJ.(t) é positiva para todos os I conforme admitimos. Depois de determinarmos o fator integrante {L(t). voltamos à Eq, (2) c a multiplicamos por f.L(t), obtendo assim a Eq, (12). Como I" satisfaz à Eg. (13), a Eq. (l2) se reduz a [!l(t)y]' Integrando ambos os membros da Eq. (17). obtemos I"(t)y Ou = fJ,(t)g(t). (17) = J 1"(I)g(l) dt +c f Y = fJ,(I)g(t) d/ fJ,(I) +c (18) Uma vez que y representa qualquer solução da Eq. (2), concluímos que roda solução da Eq. (2) está incluída no segundo membro da Eq. (18). P011al1to.esta expressão é uma solução geral da Eq. (2). Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq. (18) são necessárias duas integrações. uma para ter 1"(1)pela Eg. (16) c outra para determinar v pela Eq. (18), Note-se também que antes de determinar o fator integrante jJ.(t) pela Eq. (16) é necessário ler certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma (2); em particular o coeficiente de y' deve ser a unidade. De outra forma. a função p(r) usada para O cálculo de fJ- será incorreta. Em segundo lugar. depois de encontrar jJ.(l) e de multiplicar a Eq. (2) pelo fator integrante é preciso verificar que os termos envolvendo y e y' são, de fato, a derivada ele /-L(t)y como devem ser. Esta verificação proporciona certeza sobre a correção do cálculo de j1.. Como é natural, urna vez que se tenha encontrado a solução _",é preciso também verificar a sua correção. substituindo-a na equação diferencial. A interpretação geométrica da Eq. (18) é a de uma família infinita de curvas, uma para cada valor clee, da mesma forma que as curvas da Fig. 2.1.1 representam as soluções (5) da Eq. (3). Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um membro particular da família de curvas integrais, o que se faz pela identificação de um ponto particular (11),.\'0) por onde deve passar uma das curvas da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como )'(10) = vo. (19) e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq. (I) ou a Eq, (2). e uma condição inicial, como a Eq. (19). constituem, em conjunto. um problema de valor inicial. Exemplo 2 Determine a solução do problema de valor inicial y' - y/2 = e:', y(O) =-1, (20) (21) 2.1 Equações Lineares 15 campo de resolver a Eq. (20). o que e g(t) = deduzir a forma geral das curvas da solução. Para e:', Assim, o fator integrante é 1'(1) = Multiplicando a Eq. (20) por este fator. obtemos exp f (-~) = e-I/2 (22) o lado esquerdo da Eq. (22) é a derivada de e-r ~y.de modo que podemos escrever esta equação como Segue-se. por integração. que onde c é urna constante arbitrária. Assim. (23) (20) aparecem inicial de valor inicial na Fig. 2.1.3: observe que elas seguem um padrão que pode ser deduzido = a partir do fazemos t = O e .v -I na Eq. (23) e tiramos o valor de c. Obtemos c = -1/3, de modo que a solução do problema 2 Y = --e _I 3 (24) O gráfico desta solução está indicado pela linha mais Vamos levar um pouco mais longe a investigação da Fig. 2.1.3. problema considerando y(O) = Yo uma condição inicial arbitrária (25) Para alguns valores a solução cresce sem limites no sentido positivo, enquanto para outros valores iniciais a sem limites no sentido Isto pode ser visto na Fig. 2. J .3, ou na solução (23). na qual o crescimento para valores e negacorresponce, respectivamente, a valores e negativos na constante c. Esses dois tipos de comportamento são separados pela para a qual c = O. ou seja, y = Em I = O esta solução tem o valor -2/3. Assim, o valor inicial = -2/3 é crítico no sentido de que separa soluções que se comportam de formas bem distintas: as soluções que começam acima de crescem positivamente, enquanto as soluções que começam abaixo de - 2/3 crescem negativamente. A determinação de valores críticos como este é muitas vezes um problema importante de matemática aplicada. 5 t Fig.2.1.3 Soluções da equação y' ~ )'/2 = e-r 16 Equações Diferenciais de Primeira Ordem \ \ i \ l \ //1 5 t Fig. 2.1.4 Campo de direções para a equação y' - ?ry = f. Exemplo 3 Achar e solução do problema de valor inicial y'+2IY=I, y(O) = 0, a equação, primeiro determinamos (26) que o fator integrante é 1'(1) Multiplicando por J1..(t). o campo dc direções para esta equação diferencial aparece na Fig. 2.1.4. Para resolver = exp J 21 di = e,2, obtemos ou Portanto. ye1 2 = J te' 2 ât +C = 2i 12 "+c, 2 3 4 5 t Fig.2.1.5 Soluções da equação y' + 2ry = I. 2.1 Equações Lineares 17 e daí vem que y é a solução geral da equação diferencial = 3: + ce-r ü condição I , (27) escolher C" dada. Pera satisfazer inicial .\"(0) = O. devemos = -1/2. Assim. (28) y 1 1 -I: = - - -e 2 2 é a solução do problema de valor inicial t Zôt. Alguma:'. soluções particulares c a solução que passa pela origem (linha mais grossa) aparecem na Fig. 2.1.). Observe que todas as soluções Se aproximam da solução de equilíbrio y 1/2 quando 1 --7 zc, = Problemas Em cada Problema. de I até l~. (a) (b) (C) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Com base em uma inspeção do campo de direções. descreva como a solução se comporta para grandes valores de t. Determine a solução geral para a equação diferencial dada e use-a para determinarcorno as soluções se componam quando 1--7 oc. I. y' +3y = r +e-2' 3. y' + y = t e?' + I 5. i - 2y = Se' 7. yl + 2ty = 2te-r2 9. 2y' + y = 3t 11. y'+y=5sen2t Em cada Problema 2. 4. 6. 8. 10. 12. = t2e21 i + (llt)y = 3c052r. r> O ti +2y ee scn r , t > O (I + t2)y' + 4ty = (I + t2)-2 ty' - y = t2e-r 2y' i -2)' +y = 3t2 de 13 até 20. ache a solução do problema de valor inicial proposto. 13. y' - y = y(O) = I 14. y'+2y=te-2" )(1)=0 2 - t + I, 15. ti + 2y = t y(l) = I> O 16. v' + (2/t)y = (COSt)/12• y(n) = O, t > O 17. y'-2)'=e", y(O) =2 18. ry' + 2)' =,e'1I, y(n/2) = I 19. tJy'+4r2y=e-', y(-I)=O 20. ,y' + (t + J)' t, y(ln2) I 2te2', i = = Nos Problemas (a) 2 J c 22 (b) (c) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como as soluções parecem se comportar para grandes valores de f? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja {foo valor de ti para o qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de (tu" Resolva o problema de valor inicial e determine exatamente o valor crítico ao. Descreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial (lO" y(O) = a )'(0) = a 21. y' - iy =2cosr, Nos Problemas 23 e 24 (~l) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. C01110as soluções parecem se comportar quando r -? O? O comportamento depende da escolha do valor inicial o'? Seja (In O valor de (/ para o qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de (b) Resolva o problema de valor inicial c determine exatamente o valor crítico (c) Descreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial c/w (/lJ" (/(1" 23. t/+(I+I)y=2,,-', 24. iv' + 2y = (sen t)lt, 25. Considere o problema y(I)=a y(-rr/2) = a de valor inicial i +!Y 26. Determine Considere as coordenadas do primeiro o problema de valor inicial = 2cost, I y(O) =-1. ponto de máximo local para > O. y(O) y' Determine o valor de y!! + ~Y = 1- it. O = 1. )'0' para o qual a solução toca. mas não cruza. eixo 18 Equações Diferenciaisde PrimeiraOrdem 27. Considere o problema de valor inicial y' +!Y = 3 +2cos21, y(O) = O. 28. (a) Determine a solução deste problema e descreva seu comportamento para grandes valores de t, (b) Determine O valor de t para o qual a solução intercepta pela primeira vez a reta y = 12. Determine a solução de y(l) =0. 29. Sugestão: Considere t, e não y, como a variável dependente. (a) Mostre que 4>(1) = ti!' é uma solução de y' - 2y = O e que y = c O. O intervalo t > O contém o pomo inicial; em conseqüência, o Teorema 2.2.1 garante que o problema (8), (9) tem uma solução única no intervalo O < [ < :xl. Para determinar esta solução, primeiro calculamos M(f): J.L(I) Multiplicando a Eq. (10) por p,(t) = = exp f~ dt = e2l"' = 12. (11) f, obtemos e portanto onde c é uma constante arbitrária. Segue-se que (12) é a solução geral da Eq. (8). Soluções da Eq. (8) para vários valores de é necessário tomar c = I; assim, c aparecem na Fig. 2.2.1. Para satisfazer à condição inicial (9) y =12 +~. I 1>0 (13) ela cresce do coefisemi-eixo negativo inicial (9) (14) é a solução do problema de valor inicial (8), (9). Esta solução está indicada pela curva mais grossa da Fig. 2.2.1. Observe que sem limite e é assintótica ao semi-eixo positivo dos y quando f ~ O a partir da direita. Este efeito se deve à descontinuidade ciente p(t) na origem. A função y = t~ + (I/f~) para t < O não faz parte da solução deste problema de valor inicial. Examinando novamente a Fig. 2.2.1, vemos que algumas soluções (aquelas para as quais c < O) são assintóticas ao positivo dos y quando t ~ O a partir da direita, enquanto outras soluções (para as quais c < O) são assintóticas ao semi-eixo dos y. A solução para c = O. isto é, y = (2, permanece finita e diferenciável mesmo em r = O. Se generalizarmos a condição para y(l) temos c =)'0 - = Yo' I e a solução (13) se torna y=t2 +T' Y -I t>O. (15) Este é mais um caso (veja o Exemplo 2 da Seção 2.1) em que existe um valor inicial crtnco.v, = I, que separa soluções que se comportam de formas bem diferentes. Este exemplo ilustra o fato de que o Teorema 2.2.1 IUIO afirma que a solução de um problema de valor inicial é descontínua nos pontos em que p ou g são descontínuas e sim que a solução não pode ser descontínua em outros pontos. o comportamento que podem ter as soluções dos problemas de valor inicial, com equações diferenciais lineares de primeira ordem, nas vizinhanças de um ponto onde ou p ou g são descontínuas, é mais variado do que a discussão anterior pode sugerir. Nos Problemas 17 até 20, exploram-se um tanto estas possibilidades. Tratamento mais completo aparece no Capo 5, em relação às equações diferenciais lineares de segunda ordem. Fig.2.2.1 Soluções da equação ty' = 2)' = 4l~. 2.2 Discussão Adicional sobre as Equações Lineares 21 Exemplo 2 Achar a solução do problema de valor inicial v' - lty = i. y(o) portanto = - 0,5. (16) Para resolver a equação diferencial. observamos que f.l(t) = C'-: ye-t a A fim de calcular obtemos = f ' e-I 2 dt +c t (17) = c. é conveniente tomar o limite inferior de integração como o ponto inicial O. Então, resolvendo a Eq. (17) em y, Y = e' que é a solução geral da equação diferencial ,[' lo e-S ds + ce' , (18) = proposta. Para satisfazer a condição inicial y(O) -0.5. devemos escolher c = -0,5; então (19) é a solução do problema de valor inicial proposto. Algumas curvas integrais e a solução particular que passa por (0, -0,5) aparecem na Fig. 1.2.2. Examinando a figura. pode-se ver que existe novamente um valor inicial crítico, ligeiramente maior do que - 1, que separa as soluções que aumentam indefinidamente no sentido positivo daquelas que aumentam indefinidamente no sentido negativo quando I --7 zc, O cálculo deste valor inicial crítico é objeto do Problema 27. Na solução do Exemplo 2, a integral de exp( -f) não se exprime como uma função elementar. Isto ilustra o fato de talvez ser necessário deixar a solução de um problema, mesmo muito simples, em forma integral. No entanto, uma expressão integral como a Eq. (19) pode proporcionar o ponto de partida para o cálculo numérico da solução de um problema de valor inicial. No caso de um valor fixo de t, a integral da Eq. (19) é uma integral definida e o seu valor pode ser calculado com muita exatidão pela regra de Simpson ou por qualquer outro método de integração numérica. Pela repetição da integração numérica, com valores diferentes de t, pode-se construir uma tabela de valores, ou um gráfico, da solução y. Existem também outros procedimentos numéricos de resolução para um dado conjunto de valores de t; alguns serão discutidos no Capo 8. No caso da Eq. (19), acontece também que a função erf(t) = Jrr lar e-" ds, (20) é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada uma função conhecida. Assim, em lugar da Eq. (19) podemos escrever y = e' 2 [.fii erf(t) --:2 - 0,5 . ] (21) Flg. 2,2,2 Soluções da equação y' - 21)' = 1. 22 Equações Diferenciais de Primeira Ordem A fim de ca\cular o segundo membro da Eq. (21), para um dado valor de I, podemos consultar uma tabela de valores de função erro, ou então lançar mão de um procedimento numérico, conforme a sugestão anterior. Em princípio, o trabalho com a função erro não é mais difícil que o trabalho com a função exp(r"). A diferença principal é a de muitas calculadoras terem embutidas rotinas para o cálculo da função exponencial, mas não terem rotinas semelhantes para o cálculo da função erro ou de outras funções integrais que possam aparecer na resolução de uma equação diferencial. Terminamos esta seção com um resumo de algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares de primeira ordem e respectivas soluções. 1. Há uma solução geral, particular, que satisfaz tante arbitrária. com uma constante arbitrária, a uma certa condição inicial, que inclui todas as soluções da equação diferencial. Uma solução pode ser determinada pela escolha conveniente do valor da cons- 2. Há uma expressão fechada para a solução, a Eq. (3) ou a Eq. (7). Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma solução explícita para y = 1>(1) e não uma equação que defina 1> implicitamente. 3. Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados (sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t, então a solução também existe e é contínua para todos os f. Problemas Nos Problemas 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada. 1. y'+(I/t)y =senl, t >O 2. I'y' + 31y = (sent)/I, I < O 3. y' + 2y = 2e-' + t 4. 2y' + y = I - I 5. y'+(tant)y=tsen2t, -,,/2 1. + p(t)y y(O) = 1, I, = {i: ° 515 r> 1. 24 Equações Diferenciaisde Primeira Ordem "Equações de Bernoulli. Às vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo uma mudança de variável dependente transforme em uma equação linear. A mais importante dessas equações tem a forma y' e é chamada 37. de equação de Bernoulli em homenagem que a + p(t)y = q(t)yn Os Problemas 37 a 41 tratam de equações deste tipo. a Jakob Bernoulli. (a) Resolva a equação de Bernoulli quando n (b) Mostre que se 11 0,1, a substituição v = encontrado por Leibnitz em 1696. '* i-li = O; quando 11 = 1. reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Este método de solução foi sugerida Nos Problemas 38 a 41, a equação dada é uma equação de Bernoulli. no Problema 37(b). Resolva cada uma dessas equações usando a substituição 38. t~y' + 21)' - l = O, t >O 39. )" = ry - k.v2, r > O e k > O.Esta equação é importante para o estudo da dinâmica das populações e será discutida com detalhes 40. y' = 41. na Seção 2.6. EY (1)'.1, E> dyldt = (Fcos r fluidos. + O e a> O. Esta equação aparece no estudo da estabilidade T)J' - y', onde re T são constantes. Esta equação também da circulação de fluidos. aparece no estudo da estabilidade da circulação de 2.3 Equações de Variáveis Separáveis Às vezes é conveniente usar x em vez de t para designar a equação geral de primeira ordem assume a forma a variável independente de uma equação diferencial. Neste caso, dy dx = f(x,y) (I) Se a Eq, (1) é não-linear, isto é, sefnão é uma função linear da variável dependente y, não existe um método geral para resolver a equação. Nesta seção consideramos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo direto de integração pode ser usado. Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq, (1) na forma M(x,y) + N(x,y) dy dx = O. (2) É sempre possível conseguir isto fazendo M(x,y) = -f(x,y) e N(x,y) = I, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y, a Eq. (2) se torna M(x) Uma equação deste tipo é dita separável porque + N(y/y + dx = o. diferencial (3) é escrita na forma M(x) dx N(y) dy = O, (4) na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada variável podem ser separados pelo sinal de igualdade. A forma diferencial (4) também é mais simétrica e tende a diminuir a diferença entre variáveis dependentes e independentes. Exemplo 1 Mostrar que a equação dy dx=l-l é separável e depois achar uma equação das suas curvas integrais. Se escrevermos a Eq. (5) como x2 (5) (6) ela tem a forma (3) e é, por isso, separável. Observamos, depois. que o primeiro termo da Eq. (6) é a derivada de -:r~/3 que o segundo e termo, conforme a regra da cadeia, é derivada. em relação a .r, de y - ),3/3. Então a Eq. (6) pode ser escrita como !!..- (-~) dx 3 + !!..dx (y - i) 3 = O 2.3 Equações de Variáveis Separáveis 25 ou Portanto -.r' + 3y - r' = c, (7) onde c é uma constante arbitrária, é uma equação das curvas integrais da Eq. (5). Na Fig. 2.3.1, aparecem o campo de direções e diversas curvas integrais da equação. Pode-se encontrar a equação da curva integral que passa por um certo ponto (xo,Yo) pela substituição de .r por Xo e y por )'0 na Eq. (7), determinando-se depois o valor correspondente de c. Qualquer função diferenciável y = (x) = I - à condição inicial dada. Esta é a solução correspon(20) .jx' + 2x' + 2x + 4 como a solução do problema de valor inicial (16). Observe que se o sinal positivo for escolhido, por engano, na Eq. (19), obteremos a solução da mesma equação diferencial que satisfaz à condição inicial y(O) = 3. Finalmente, a fim de determinar o intervalo no qual a solução (20) é válida, devemos achar o intervalo no qual a grandeza sob o radical é positiva. O único zero real desta expressão éx = -2, de modo que O intervalo desejado r > -2. A solução do problema de valor inicial, além de outras curvas integrais da equação diferencial, aparecem na Fig. 2.3.2. Observe que o limite do intervalo de validade da solução (2) está determinado pelo ponto (-2,1) no qual a tangente à curva é vertical. é Exemplo 3 Achar a solução do problema de valor inicial dy s:= 1+2i' ycosx y(O) = 1. (21) 2.3 Equações de Variáveis Separáveis 27 Fig. 2.3.2 Soluções da equação y' ~ (3x' + 4x + 2)/2(y - I). Inicialmente escrevemos a equação diferencial na forma ---dy y Depois, integrando O 1+21 e cos r dr. (22) primeiro membro em relação a y e o segundo em relação a x, obtemos In Iyl + y1 = sen x + c. = (23) 1. Então, a solução do problema de valor (24) A fim de atender à condição inicial, substituímos inicial (21) é dada implicitamente por x = Oe y = 1 na Eq. (23); o que dá c = In lyl +l sen x + I. Uma vez que a Eq. (24) não se resolve com facilidade em)' como função de x, a análise mais avançada do problema toma-se mais delicada. Um fato bastante evidente é o de nenhuma solução cortar o eixo dos x. A fim de confirmar esta afirmação, vejamos que o primeiro membro da Eq. (22) fica infinito se y = O; além disso, o segundo membro nunca fica ilimitado, de modo que nenhum ponto sobre o eixo dos x satisfaz a Eq. (24). Assim, para a solução da Eq. (21) se tem sempre y > O. Pode-se também mostrar que o intervalo da definição da solução do problema de valor inicial (21) é todo o eixo dos .r. O Problema 31 mostra como fazer a demonstração. Na Fig. 2.3.3 aparecem algumas curvas integrais da equação diferencial, inclusive a solução do problema de valor inicial (21). A investigação de uma equação não-linear de primeira ordem muitas vezes é facilitada considerando-se x e y como funções de uma terceira variável t. Nesse caso, temos dy dx dy ld: dx f dt (25) Fig.2.3.3 Soluções da equação y' ~ (y cos x)l(1 + 2y'). 28 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Se a equação diferencial é dy F(x,y) dx = G(x,y)' então, comparando numeradores e denominadores nas Eqs. (25) e (26), obtemos o sistema dy [ât = F(x,y) (27) (26) dx f dt = G(x,y), À primeira vista, pode parecer estranho que um problema possa ser simplificado substituindo uma única equação por um par de equações, mas, na verdade, o sistema (27) pode muito bem ser mais fácil de investigar que a equação (26). Os sistemas não-lineares da forma (27) serão estudados no Capo 9. Nota: No Exemplo 2, não foi diffcil obter explicitamente o valor de y em função dex e determinar o intervalo exato em que a solução existe. Entretanto, esta situação é excepcional e muitas vezes é melhor deixar a solução na forma implícita, como nos Exemplos I e 3. Assim, nos problemas abaixo e em outras seções em que aparecem equações não-lineares, a terminologia "Resolva a seguinte equação diferencial" significa encontrar a solução explicitamente se for conveniente fazê-lo; caso contrário, encontrar uma fórmula implícita para a solução. Problemas Nos Problemas 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta. I. y'=x2/y O 3. y' + y2senx 5. y' = (cos2 x)(cos22y) x - e-x dy 7. dx .y +eY = 2. y' = x2/y(1 + x3) 4. y' = (3x2 - 1)/(3 6. xy' = (l - i)1/2 dy x2 8. dx=l+i + 2y) Para (a) (b) (c) cada um dos Problemas 9 até 20 Determinar a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. Desenhar o gráfico da solução. Determinar (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução é definida. 9. 10. lI. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. y' = (1- 2x)y2, y(O) = -1/6 y' = (1- 2x)/y, y(l) =-2 x dx + ye-Xdy O, y(O) = 1 dr/d8 = r2/8, r(l) ~ 2 2y), y' = 2x/(y + x y(O) = -2 y' = xy3(1 + x2)-1/2, y(O) = I y' = 2x/(1 + 2y), y(2) = O y' = x(x2 + 1)/4y3, y(O) = -1/./2 y' (3x2 - e )/(2y - 5), y(O) I y' = (e-X - eX)/(3 + 4y), y(O) = I sen 2xdx+cos3ydy=0, y(Tr/2)=Tr/3 2)1/2dy y2(1_ x arcsenxdx, y(O) O = = X = = = Os resultados pedidos nos Problemas 21 a 28 podem ser obtidos resolvendo as equações analiticamente ou plotando geradas numericamente. Tente formar uma opinião a respeito das vantagens e desvantagens de cada abordagem. 2i. Resolva o problema de valor inicial y' aproximações = (1 + 3x2)/(3i - 6y), y(O) = 1 vertical. 22. e determine o intervalo no qual a solução é válida. Sugestão: Para encontrar o intervalo de definição, procure os pontos em que a curva da solução tem uma tangente Resolva o problema de valor inicial y' = 3x2/(3i - 4), y(l) = O 23. e determine o intervalo no qual a solução é válida. Sugestão: Para encontrar o intervalo de definição. procure os pontos em que a curva da solução tem uma tangente vertical. Resolva o problema de valor inicial y'=2l+xl, e determine em que ponto a solução passa pelo valor mínimo. y(O) = I 2.4 Diferenças entre as Equações Lineares e as Não-lineares 29 24. Resolva o problema de valor inicial y' = (2 - e )/(3 X + 2y), y(O) = O 25. e determine em que ponto a solução passa pelo valor máximo. Resolva o problema de valor inicial y' = 2cos2x/(3 26. +2y), y(O) =-1 e determine em que ponto a solução passa pelo valor máximo. Resolva o problema de valor inicial y' = 2(1 + x)(l + i), y(O) =O 27. e determine em que ponto a solução passa pelo valor mínimo. Considere o problema de valor inicial v' = ty(4 - y)/3, y(O) = yo 28. (a) Determine como o comportamento da solução, à medida que t aumenta, depende do valor inicial Yo' (b) Suponha que Yo = 0,5. Determine o instante T no qual a solução chega pela primeira vez ao valor 3,98. Considere o problema de valor inicial y' = ty(4 - y)/(l + t), y(O) = yo > O 29. (a) Determine como a solução se comporta quando t ~ cc, (b) Se Yo = 2, determine o instante T no qual a solução chega pela primeira vez ao valor 3,99. (c) Determine a faixa de valores iniciais para a qual a solução se encontra no intervalo 3,99 < Y Resolva a equação < 4,0 I no instante t = 2. dy dx *30. onde a, b, c e d são constantes. Mostre que a equação ay +b cy +d '!l. dx y-4x x - y *31. não é separável, mas se a variável y for substituída pela nova variável v definida por v = y/x, a equação será separável em x e v. Determine a solução da equação escrita desta forma. Este método será discutido com mais detalhes na Seção 2.9. Considere novamente o problema de valor inicial (21) do texto. Chame o lado direito da equação diferencial defix,y) e observe que If(x,Y)1 (a) Determinando os valores máximo e mínimo de y/(I = 1----L,llcosx1 1 +2y + 2i), mostre que para qualquer y, e portanto lftx,y)1 (b) S 1/2 -.fi para qualquer x e y. 11" Ixl/2.J2 Se y = (x) é a solução do problema de valor inicial (21), use o resultado da parte (a) para mostrar que l(x) para qualquer x. Conclua portanto que o intervalo de definição da solução cPé -ct; < x < co 2.4 Diferenças entre as Equações Lineares e as Não-lineares Ao estudar um problema de valor inicial y' = j(r, y), y(to) = Yo, (I) as questões básicas a serem consideradas são: se a solução existe, se a solução é única, em qual intervalo a solução está definida e como construir uma fórmula conveniente para a solução. Se a equação diferencial (1) for linear. há uma fórrnula geral para a solução e, com base nesta fórmula, as outras questões mencionadas foram respondidas, com relativa facilidade, nas Seções 2.1 e 2.2. Além disso, para as equações lineares há uma solução geral (com uma constante arbitrária), 30 Equações Diferenciais de Primeira Ordem que inclui todas as soluções, e os pontos de descontinuidade possíveis da solução podem ser identificados pela simples localização dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. No entanto, no caso de equações não-lineares, não há uma fórmula geral, de modo que é mais difícil estabelecer propriedades gerais das soluções, semelhantes às mencionadas. Nesta seção, vamos explorar algumas diferenças entre as equações lineares e as não-lineares. Existência e unicidade. O seguinte teorema fundamental, de existência e unicidade, é análogo ao Teorema 2.2.1 para as equações lineares. No entanto, a sua prova é bastante mais comp1icada e será adiada até a Seção 2.l1. Teorema 2:4.1 ~S Sejam funções/e aflay contínuas num certo retângulo ,,", (I) = = 4>2(1) = - (~1)3/2. I~O (3) satisfaz às duas Eqs. (2). Por outro lado, a função y 01)3/2, I ~ O (4) também é solução do problema de valor inicial. Além do mais a função é y=1/!(I)=O. I ~O ainda uma outra solução. Na realidade, não é difícil mostrar que, para um t, positivo arbitrário, as funções se O ::::t < 'o' se t 2::lO (5) (6) são contínuas, diferenciáveis (em particular em 1 = to) e são soluções do problema de valor inicial (2). Então este problema tem uma família infinita de soluções; ver a Fig. 2.4.1, onde aparecem algumas destas soluções. A não-unicidade das soluções do problema (2) não contradiz o teorema da existência e unicidade, pois 2.4 Diferenças entre as Equações Lineares e as Não-lineares 31 Fig.2.4.1 Algumas soluções do problema de valor inicial y' = in, y(O) = o. esta função não é contínua, nem mesmo definida em qualquer ponto onde y = O. Então, o teorema não se aplica em qualquer região que inclua parte do eixo dos t. Se (lo. Yo) for um ponto qualquer fora do eixo dos t, no entanto, só há uma única solução da equação diferencial y' = y1l3 que passa por (to. Yo)' Intervalo de definição. A solução de uma equação linear y' + p(t)y = g(t), (7). com a condição inicial y(to) = Yo, existe sobre qualquer intervalo em tomo de I = lo no qual as funções p e g sejam contínuas. Por outro lado, num problema de valor inicial não-linear, o intervalo no qual existe uma solução pode ser difícil de determinar. Alguns exemplos na Seção 2.3 ilustram esta afirmação. A solução y = cf>(t) existe, com certeza sempre que o ponto [t, cp(t)] ficar no interior da região sobre a qual as hipóteses do Teorema 2.4.1 sejam cumpridas; no entanto, uma vez que q,(t) não é usualmente conhecida, pode ser impossível localizar o ponto [I, cf>(1)] em relação a esta região. Em qualquer caso, o intervalo de existência de uma solução pode não ter uma relação simples com a funçãoj'na Eq. (1). Vamos ilustrar esta circunstância no exemplo seguinte. Exemplo 2 Resolver o problema de valor inicial y' = !,y(O) = I, = ),2 e éJfliJy = 2y são contínuas (8) em todo o seu domí(9) e determinar o intervalo no qual existe a solução. O Teorema 2.4.1 garante que este problema tem uma única solução poisj(t,y) nio. A fim de encontrar a solução, escrevemos a equação diferencial na forma Então y=~~ Para obedecer à condição inicial devemos 1 (10) escolher c = -1, de modo que y=-- 1 l-I (lI) é a solução do problema de valor inicial dado. Evidentemente, a solução fica ilimitada quando t -7 1; portanto. a solução só existe no intervalo -00 < t < 1. Não há indicação, pela equação diferencial, sobre qualquer particularidade do pomo t = 1. Além disso, se a condição inicial for substituída por y(0) = então a constante c na Eq. (10) deve ser escolhida yo, (12) de modo que c = -l/yo e vem então (13) 32 Equações Diferenciais de Primeira Ordem que é a solução do problema de valor inicial com a condição inicial (12). Veja que a solução (13) fica ilimitada quando t ~ 1/)'1) de modo que O intervalo de existência da solução é -00 < t < I/yo se)'o > O e é 1/yo < t < 00 se Yo < O. Este exemplo ilustra uma característica perturbadora dos problemas de valor inicial com equações não-lineares: que as singularidades da solução podem depender, de forma essencial, das condições iniciais tanto quanto da equação diferencial. Solução geral. Outra forma pela qual as equações lineares e as não-lineares diferem relaciona-se com o conceito de solução geral. No caso de uma equação linear de primeira ordem, é possível conseguir uma solução com uma constante arbitrária e todas as soluções possíveis da equação decorrem desta solução graças à particularização do valor desta constante. No caso de uma equação não-linear é possível que esta não seja a situação; embora se possa ter uma solução com uma constante arbitrária, podem existir outras soluções que não se podem obter mediante valores particulares desta constante. Por exemplo, para a equação diferencial y' = y' no Exemplo 2, a expressão na Eq. (10) tem uma constante arbitrária mas não inclui todas as soluções da equação diferencial. O que se pode ver observando que a função y = O, para todos os t, é certamente uma solução da equação diferencial, mas não pode ser conseguida da Eq. (10) mediante um valor particular de c. Neste exemplo, poderíamos prever que alguma coisa deste tipo ocorreria, pois ao reescrever a equação diferencial original na forma (9) é preciso exigir que y não seja nulo. A existência de soluções "adicionais" não é, no entanto, incomum no caso de equações não-lineares; no Problema 18 mostramos um exemplo menos óbvio. Por isso só adotaremos o conceito de "solução geral" quando estivermos discutindo as equações diferenciais lineares. Soluções implícitas. Lembremo-nos outra vez de que para uma equação diferencial linear de primeira ordem há uma forma explícita [Eq. (18) da Seção 2.1] para a solução y = " 6. y' = (12 dy + y')3/2 8. di (cott)y = l+y a dependência, em relação ao valor inicial )'0' Nos Problemas 9 até 12. resolver o problema sobre o qual a solução existe. de valor inicial e determinar do intervalo 9. y' = -41(y, 11. y' + y3 = O, y(O) =)'0 y(O) 10. y' = 21y', 12. y' = yo = )'(0) = yo )'(0) 12(y(1 + 13), = yo Nos Problemas 13 a 16, desenhe um campo de direções e plote (ou esboce) várias soluções da equação diferencial dada. Descreva de que forma as soluções parecem se comportar quando 1 aumenta, e como seu comportamento depende do valor inicial y, quando t = O. 13. 15. y' y' = ly(3 - y) = -y(3 - t y) 16. 14. y' y(3 - Iy) y' = 1 - 1 _ y2 = 17. Considere o problema de valor inicial y' = yllJ. y(O) = O que foi discutido no Exemplo 1 do texto. (a) Existe uma solução que passa pelo ponto (1. I)? Se existe. encontre-a. (b) Existe uma solução que passa pelo ponto (2.1)? Se existe, encontre-a. (c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções possuem em 1 2. = 18. (a) Verifique que .lil) = I - 1e y~(/) = -/2/4 são soluções do proble~a de valor inicial. y(2) =-1 Y = , -I + (t2 +4)')1/2 2 Por que essas soluções são válidas? (b) Explique por que a existência de duas soluções do problema dado não contradiz a parte de unicidade do teorema 2.4.1. (c) Mostre que y ct + c', onde c é uma constante arbitrária, satisfaz à equação diferencial da parte (a) para r> -2c. Sec -I, a condição inicial também é satisfeita, e a solução y = )"\(/) obtida. Mostre que não existe nenhuma escolha de c que forneça é a segunda solução y = )"2(1). = = 2.5 Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem As equações diferenciais têm interesse para quem não é matemático, especialmente em virtude da possibilidade de usálas na investigação de ampla variedade de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Há três etapas identificáveis neste processo, que estão sempre presentes, independentemente do campo particular de aplicação. Em primeiro lugar, é necessário traduzir, em termos matemáticos, a situação física, o que em geral se faz mediante hipóteses em torno do que está ocorrendo, e que parecem ser coerentes com os fenômenos observados. Por exemplo, observou-se que os materiais radioativos decaem com uma taxa proporcional à quantidade de material presente na amostra; que o calor passa de um corpo quente para um outro mais frio a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre os dois corpos; que 0$ corpos se deslocam de acordo com as leis de Newton do movimento; e que as populações de insetos, isoladas, crescem a uma taxa proporcional à população presente. Cada uma destas afirmações envolve uma taxa de variação (derivada) e, por isso, pode ser expressa matematicamente e assumir a forma de uma equação diferencial. É importante ter em mente que as equações matemáticas são quase sempre descrições aproximadas dos processos reais, pois estão baseadas em observações que são, em si mesmas, aproximações. Por exemplo, 0$ corpos que se movem a velocidades comparáveis à velocidade da luz não são governados pelas leis de Newton; nem as populações de insetos crescem indefinidamente, conforme o enunciado anterior, em virtude de limitações de fontes de alimentos; e a transferência de calor é também influenciada por outros fatores que não a diferença de temperatura. Além disso, o processo de formulação de um problema físico em forma matemática envolve, muitas vezes, a substituição conceitual de um processo discreto por um processo contínuo. Por exemplo, O número de membros de uma população de insetos se altera por quantidades discretas; no entanto. se a população for grande, parece razoável considerar a população como uma variável contínua e até falar da sua derivada. Uma outra forma de interpretar o processo de tradução é a de adotar O ponto de vista de as equações matemáticas descreverem exatamente a operação de um modelo simplificado, que foi construído (ou concebido) de modo a incorporar os traços mais importantes do processo real. Em qualquer caso, uma vez que se tenha formulado matematicamente o problema, fica-se com o problema de resolver uma, ou mais de uma, equação diferencial ou, quando isto não for possível, de descobrir o máximo que for possível acerca da solução. Pode acontecer que o problema matemático seja bastante difícil e, quando for assim, talvez sejam indicadas outras aproximações para que o problema seja matematicamente tratável. Por exemplo, uma equação não-linear pode ser aproximada por uma equação linear, ou uma função que varie lentamente pode ser aproximada pelo seu valor médio. Naturalmente, qualquer dessas aproximações deve ser examinada também do ponto de vista físico, a fim de que se tenha 34 Equações Diferenciais de Primeira Ordem a segurança de o problema matemático continuar a retletir os traços essenciais do processo físico que se estiver investigando. Ao mesmo tempo, o conhecimento íntimo da física do problema pode sugerir aproximações matemáticas razoáveis que farão o problema matemático mais tratável pela análise. Esta inter-relação da compreensão dos fenômenos físicos e do conhecimento das técnicas matemáticas e das suas limitações é uma característica da melhor matemática aplicada e é indispensável para a construção correta de modelos matemáticos de processos físicos complexos, Finalmente, depois de conseguir a solução (ou pelo menos de ter uma certa informação sobre a solução), é necessário interpretá-la em termos do contexto no qual se formulou o problema. Em particular, é preciso sempre verificar se a solução matemática parece fisicamente razoável. O que exige, pelo menos, que a solução exista, que seja única e que dependa continuamente dos dados do problema. Esta última consideração é importante em virtude de os coeficientes da equação diferencial e de as condições iniciais serem, muitas vezes, conseguidos como resultado de medidas de uma grandeza física e, por isso, serem suscetíveis a pequenos erros. Se estes pequenos erros levarem a variações grandes (ou descontínuas) na solução do problema matemático, variações que não se observam fisicamente, então será necessário reexaminar a relação entre o modelo matemático e o problema físico, Como é evidente, o fato de a solução matemática parecer razoável não garante que seja correta. No entanto, se for seriamente incoerente com as observações cuidadosas do sistema físico que pretende descrever, há a sugestão de que erros talvez tenham sido cometidos na resolução do problema matemático ou de que o modelo matemático seja, em si mesmo, muito grosseiro. Os exemplos desta seção são típicos das aplicações nas quais aparecem equações diferenciais de primeira ordem. Exemplo 1 Decaimento radioativo. O nuclídeo radioativo tório 234 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 100 rng deste material reduzirem-se a 82,04 mg em uma semana, achar uma expressão que dê a quantidade presente em qualquer instante. Achar também o intervalo de tempo necessário para que a massa do material decaia à metade do seu valor original. Seja Q(t) a quantidade de tório 234 presente em qualquer instante. 1, onde Q está em miligramas e I em dias. A observação de que O tório 234 se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente significa que a taxa temporal de variação dQ/dt é proporcional a Q. Então Q satisfaz à equação diferencial. dQldt = = -,.Q, 100 (I) onde a constante r > O é a constante de desintegração. Procuramos a solução da Eq. (1) que obedeça também à condição inicial Q(O) (2) e também à condição Q(7) = 82,04. A (3) (4) Eq. (1) é uma equação diferencial linear e também separável; a sua solução geral é Q(t) = ce=, onde c é uma constante arbitrária. A condição inicial (2) exige que c = 100 e, portanto Q(t) = l00e-n. A fim de satisfazer à Eq. (3), faze"l0s e daí t = 7e Q = 82,04 na Eq. (5); que dá 82,04 = 100e-". In 0,8204 ° , (5) r = ---7-- = 0,02828 dias - , I (6) Assim se determinou a constante de desintegração. Com este valor de r na Eq. (5) vem QU) = 100e-0.0,",", rng, o que dá o valor de Q(t) em qualquer instante. O intervalo de tempo no qual a massa se reduz à metade do valor original é a meia-vida seja igual a 50 mg. Então, pela Eq. (5), ou YT -{7) do material. Seja TO tempo para que Q(t) = In 2. (8) A relação (8) entre a constante de desintegração e a meia-vida vale não apenas para o tório 234 mas também para qualquer material que decaia segundo a equação diferencial (I); com o valor de r dado pela Eq. (6), encontramos, para a meia-vida do tório 234, 'r = In2 _ . 0,02828 24,5 dias = (9) Durante o processo de decaimento, a massa de um material radioativo, como o tório 234, reduz-se e acaba se aproximando de zero. Isto ocorre devido principalmente à conversão do material radioativo em uma forma não-radioativa (ou inerte) correspondente. A massa total da amostra permanece essencialmente constante, embora haja uma pequena perda de massa através da conversão em energia. 2.5 Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 35 Exemplo 2 Juros compostos. Suponhamos que uma soma de dinheiro seja depositada num banco, ou numa financeira, que paga juros à taxa anual r. O valor do investimento 5(t), em qualquer instante t, depende da freqüência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere à capitalização dos juros: algumas fazem-na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Se admitirmos que a capitalização seja contínua podemos enunciar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento feito. A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt e esta grandeza é igual à taxa na qual o investimento cresce e que é igual à taxa de juros vezes o valor atual do investimento 5(1). Então, dS/dt = rS é a equação diferencial por exemplo do processo de capitalização. Suponhamos que se conheça também o valor do investimento (!O) num certo instante, (11) S(O) = So. Então, a solução do problema de valor inicial (10), (11) dá o valor atual (montante) 5(1) creditado ao investidor em qualquer instante t. Este problema de valor inicial se resolve com facilidade. Na realidade, é o mesmo que o problema de valor inicial do Exemplo I, que descreve o decaimento radioativo. exceto no sinal da constante de proporcionalidade. Então, pela resolução das Eqs. (10) e (11) encontramos S(t) = Soe". (12) ocor- Assim, o investimento que for continuamente capitalizado cresce exponencialmente. Vamos agora comparar os resultados do modelo contínuo, que acabamos de descrever, com a situação na qual a capitalização re em intervalos finitos de tempo. Se o juro for capitalizado uma vez por ano, então depois de t anos S(t) = So(l + r)'. Se o juro for capitalizado duas vezes por ano. então depois de seis meses o montante é 50 Assim, depois de f anos, teremos S(I) Em geral, se os juros forem capitalizados 111 li + (1'/2)] e no final de um ano é 50 [1 + (r/2)F. = So 1 + ( 2: r)2t . (13) vezes durante o ano, então 5Ct) = 5 (1 + r;,)"". 0 A relação entre as fórmulas (12) e (13) se esclarece quando nos lembramos que m_oo lim 50 1 + \ (r - )m' m = Soe" A Tabela 2.5.1 mostra o efeito da alteração da freqüência de capitalização com uma taxa de juros r de 8%. A segunda e a terceira colunas são calculadas pela Eq. (13) para a capitalização quadrimesrral e diária, respectivamente, e a quarta coluna foi calculada pela Eq. (12), correspondente à capitalização contínua. Os resultados mostram que a freqüência da capitalização não é especialmente importante, na maioria dos casos. Por exemplo, num período de 10 anos, a diferença entre a capitalização quadrimestral e a capitalização contínua é de $17,50 para cada $1.000 investidos, ou seja, menos de $2,00 por ano. A diferença seria um tanto maior no caso de taxas de juros mais elevadas e um tanto menor no caso de taxas menos elevadas. Pela primeira fila da tabela, vemos que no caso de uma taxa de juros r = 8%, O rendimento anual no caso da capitalização quadrimestral é 8,24% e no caso da capitalização diária ou contínua é 8,33%. Alguns bancos anunciam um rendimento anual ainda mais elevado que o da capitalização contínua. O que conseguem pelo cálculo de uma taxa de juros diária que usa um ano nominal de 360 dias e uma capitalização com esta taxa sobre todo o ano civil. Com este método, no caso de uma taxa de juros r, encontraremos, ignorando os anos bissextos, S(I) r = So ( 1 + 360 )365' . (14) Os resultados da Eq. (14) aparecem na última coluna da Tabela 2.5.1, para uma taxa de juros de 8%. O rendimento anual real é de 8,45%. Retornando agora ao caso da capitalização contínua, vamos imaginar que além do rendimento dos juros existam depósitos. ou retiradas. Vamos admitir que os depósitos, ou retiradas, ocorram a uma taxa constante k; a Eq. (10) será substituída por TABELA 2.5.1 Crescimento capitalização de um investimento a uma taxa de juros r = 8%, com diversos modos de S(t)/S(t,) Anos I 2 5 /O 20 30 40 m =4 1,0824 1,1716 1,4859 2,2080 4,8754 /0,7652 23,7699 da Eg. (13) Ir! S(t)/S(to)da = 365 Eg. (12) 1,0833 1,1735 1,4918 2,2255 4,9530 11,0232 24,5325 S(t)/S(to)da Eg. (14) 1,0845 1,1761 1,5001 2,2502 5,0634 1/,3937 25,6382 1,0833 1,1735 1,4918 2,2253 4,9522 11 ,0202 24,5238 36 Equações Diferenciais de Primeira Ordem dS/dl ~ rS onde k é positiva no caso de depósitos A solução geral da Eq. (5) é e negativa no de retiradas. + k, (15) S(t) ~ ce" - (k/r), onde c é uma constante arbitrária. de valor inicial (15), (11) é A fim de obedecer à condição inicial (11) devemos 5(1) ~ ter c = So + (klr). Então, a solução do problema (16) Soe" + (k/r)(e" - 1). A primeira parcela no segundo membro de (16) é a parte do montante S(t) devida aos juros capitalizados sobre o investimento inicial So' enquanto a segunda parcela é a parte devida aos depósitos, ou às retiradas, à taxa k. O interesse do enunciado do problema nesta forma geral. sem especificarem-se os valores de SOl de r ou de k, está na generalidade da fórmula resultante (16) para SU). Com esta fórmula, podemos comparar com facilidade os resultados de diferentes programas de investimento, ou de taxas de juros diferentes. Por exemplo, suponhamos que um cidadão abra uma conta individual. com a idade de 25 anos, com um investimento inicial de $2.000 e depois faça investimentos anuais de $2.000 de maneira contínua. Admitindo que a taxa de juros seja 8%, qual será o montante disponível quando o cidadão tiver 65 anos? Temos So = $2.000 r = 0,08 e k = $2.000; e queremos deterrninar S(40). Pela Eq. (16), temos S(40) = (2.000)e3,2 = $49.065 + (25.oo0)(e3,2 - 1) + $588.313 = $637.378. É interessante observar que o montante total investido foi de $82.000, de modo que o montante excedente, $555.378, provém dos juros acumulados. Vamos agora examinar as hipóteses do modelo. Admitimos, em primeiro lugar, que os juros eram capitalizados continuamente e que o capital adicional era investido continuamente. Nenhuma destas afirmações é correta numa situação financeira real, mas as discrepâncias não são, usualmente, significativas. Mais sério, porém, é termos assumido que a taxa de juros r fosse constante, durante todo o período envolvido, pois na realidade as taxas de juros flutuam consideravelmente. Embora não se possa prever, com segurança, as taxas de juros futuras, pode-se adotar a expressão (16) para determinar o efeito aproximado das projeções de direrentes taxas de juros. Também é possível considerar I" e k, na Eq. (15), como funções de t e não constantes; neste caso, como é natural, a solução pode ser muito mais complicada que a Eq. (16). Também vale a pena observar que o problema de valor inicial (15), (11) e a solução (16) podem também ser usados para analisar muitas outras situações financeiras, inclusive, entre outras, a de anuidades, amortizações e pagamento de empréstimos. Exemplo 3 Mistura. No instante t = O um tanque contém Q(l kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de água; veja a Fig. 2.5.1. Uma solução de sal em água, com 0,25 kg de sal por litro de água, entra no tanque à razão de r litros/minuto e uma solução homogênea sai do tanque com a mesma vazão. Formule o problema de valor inicial que descreve este processo. Determine a quantidade de sal Q(t) presente no tanque em um dado instante t e também a quantidade limite Q/. que está presente depois de um longo tempo. Se r = 3 e Qo = 2Qv determine o intervalo de tempo T após o qual a diferença entre a quantidade de sal e QL é menor que 2%. Determine também a vazão em litros/minuto para que o valor de T não seja maior do que 45 minutos. Estamos supondo que o sal não é criado nem destruído no tanque. Assim, qualquer variação da quantidade de sal se deve unicamente aos fluxos de entrada e saída. Mais precisamente, a taxa de variação da quantidade de sal no tanque, dQldt, é igual à taxa com que o sal está entrando menos a taxa com que o sal está saindo. A taxa com que o sal está entrando no tanque é igual à concentração, 0,25 kg/litro, multiplicada pela vazão, r litros/minuto, ou seja, 0,251" kg/minuto. Para determinar a taxa com que o sal está saindo do tanque, precisamos multiplicar a concentração de sal no tanque pela vazão de saída, r litros/minuto. Como as vazões de entrada e saída são iguais, o volume de água no tanque permanece constante em 100 litros; como a solução é homogênea, a concentração é a mesma em todo o tanque e é dada por Q(r)/IOO. Assim, a taxa com que o sal deixa o tanque é rQ(t)/IOO kglminuto. Assim, a equação diferencial que descreve o processo é dQ ât 4 rQ 100 (17) Fig. 2.5.1 O tanque de água do Exemplo 3. 2.5 Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 37 Q 20 Fig. 2.5.2 40 de valor inicial (17), (18) para r = 3. Soluções do problema A condição inicial é Q(O) = QO' (18) Analisando fisicamente o problema, podemos prever que a longo prazo a solução originalmente presente no tanque será substitufda pelasolução que está entrando, cuja concentração é 0,25 kgllitro. Em conseqüência, a quantidade de sal no tanque deve tender para 25 kg. Para resolver o problema analiticamente, observe que a Eq. (17) é linear e sua solução geral é (19) onde c é uma constante arbitrária. valor inicial (17), (18) é Para satisfazer a condição inicial (18) devemos tomar c = Qo - 25. Assim, a solução do problema de (20) ou (21) Examinando a Eq. (19) ou a Eq. (20, vemos que Q(r) ~ 25 (kg) quando t ~ 00, de modo que o valor limite Q/, é 25, o que confirma nossa intuição. Ao interpretar a solução (21), observe que o segundo termo do lado direito é a porção do sal original que permanece no tanque no instante t, enquanto o primeiro termo representa a quantidade de sal no tanque devido aos fluxos de entrada e saída. Gráficos da solução para r 3 e vários valores de Qo aparecem na Fig. 2.5.2. Agora suponha que Qo = 2 QL = 50; então a Eq. 20 fica = Q (1) ~ 25 Como 2% de 25 é 0,5, queremos resol vendo para T, obtemos encontrar o tempo + 25e-0.03' r (22) T para o qual o valor de Q (I) é 25.5. Substituindo T ~ (In 50)/0,03 '" 130,4 (min). = Te Q = 25,5 na Eq. (21), e (23) Para determinar r de modo que T = 45, retorne à Eq. (20), faça t = 45, Qo = 50, Q (I) = 25,5 e resolva em r. O resultado é r ~ (100/45) In 50 '" 8,69 Jlmin. (24) Exemplo 4 Determinação do instante da morte.' Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é muitas vezes impor- tante estimar o instante da morte. Vamos descrever uma forma matemática para abordar este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial de um corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre a do corpo e a temperatura das vizinhanças (a temperatura ambiente). É o que se conhece como a lei de Newton do resfriamento. Assim, se O(t) for a temperatura do corpo num instante t, e se T for a temperatura constante do ambiente, então (j deve obedecer à equação diferencial linear dO/dI ~ -k(O - 7), (25) J Ver J. F. Hurley, "An Applicauon of Newron's Law ofCooling", Mathematics Teacher67 (1974), pãgs. 141-142 e David A. Smith, "Thc Homicidc Problem Revisited'', The Two Year College Matliematics Journal9 (1978), pãgs. 141-145. 38 Equações Diferenciais de Primeira Ordem onde k > O é a constante de proporcionalidade. O sinal negativo da Eq. (25) provém do fato de se o corpo for mais quente que as suas vizinhanças (fJ > T) então ele se torna mais frio com O tempo. Então dfJldt < O quando fJ - T> O. Vamos agora admitir que no instante t = O descobre-se um cadáver e que a sua temperatura é medida e igual a fJo' Vamos admitir que no instante da morte tm a temperatura do corpo fosse 8m igual à temperatura normal de 37"C. Se admitirmos que a Eq. (25) seja válida para modelar esta situação, a nossa tarefa é determinar Im' A resolução da Eq. (25), com a condição inicial 8(0) = 80 é 1)(1)~ T + (80 - Tíe:". (26) A constante de proporcionalidade k. que aparece nesta expressão, não é ainda conhecida. Podemos determinar k mediante uma segunda medida da temperatura do corpo, num instante ti; suponhamos que O = OI quanto t = /1' Levando estes valores na Eq. (26) encontramos que. e daí k = -~ln 8, -T " 80 - T onde 00, p T e ti são grandezas Finalmente. para determinar (27) e conhecidas. tn" fazemos t = 1m e O = til! em na Eq. (26) e resolvemos em Im' Obtemos (28) = -k 1 In 8 (JI/l_ 0 T ' T onde k é dada pela Eq. (27). Por exemplo, vamos admitir que a temperatura ambiente é 200C. Então, pela Eq. (27) do corpo seja 3Ü"C no instante da descoberta e 230C duas horas depois: a temperatura k= -~lo 2 e pela Eq. (28) 23-20 '" 06020h-' 30 - 20 ' 'd = - 0.6020 Então concluímos que o corpo foi descoberto 1 lo 37 - 20 30 _ 20 '" - 0.881 h. aproximadamente 53 minutos depois da morte. Problemas I. o nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial dQ/d, ~ -0.0525Q. 2. 3. 4. 5. 6. onde Q está em miligramas e t em anos. (a) Determinar a meia-vida T do plutônio 241. (b) Se SO mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje . quanto plutônio existirá daqui a 10 anos? O einsteinic 253 decai a uma taxa proporcional à quantidade do nuclídeo presente. Determinar a meia-vida T se o material perde um terço da sua massa em 11,7 dias. O rádio 226 tem a meia-vida de 1.620 anos. Achar o intervalo de tempo durante o qual uma amostra deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original. Suponhamos que 100 mg de tório 234 estejam num recipiente fechado e que se adicionem ao recipiente amostras de tório 234 à taxa constante de 1 mgldia. (a) Achar a quantidade QU) de tório 234 presente no 'recipiente em qualquer instante. Lembrar que a taxa de decaimento do tório 234 foi encontrada no Exemplo I. (b) Achar a quantidade limite QI de tório 234 no recipiente, quando t 4 00. (c) Qual deve ser o intervalo de tempo decorrido até que a quantidade de tório 234 no recipiente tique a 0.5 mg do seu valor limite QI? (d) Se o tório 234 for adicionado ao recipiente à taxa de k rngldia, achar o valor de k necessário para manter, num nível constante de 100 mg, a quantidade de tório 234. Mostre que. para qualquer material radioativo que decaia segundo a equação Q' = -rQ. a meia-vida T e a taxa de decaimento r satisfazem a equação ri = In 2. Datação pelo radíocarbono. Uma importante técnica na pesquisa arqueológica é a da datação pelo radiocarbono. É uma técnica para a determinação da idade de madeiras e de remanescentes de plantas, e também de ossos de animais ou de homens, ou de artefatos, que se encontrem enterrados num mesmo nível arqueológico. O procedimento foi desenvolvido pelo químico norteamericano Willard Libby (1908-1980), no início dos anos 50 e o levou a receber o prêmio Nobel de Química de 1960. A datação pelo radiocarbcno se baseia no fato de alguns restos de madeiras ou de vegetais conterem traços residuais de carbono 14, que é um isótopo radioativo do carbono. Este isótopo se acumula durante a vida da planta e decai a partir da sua morte. Em virtude de a meia- 2.5 Aplicaçõesdas Equações Lineares de Primeira Ordem 39 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. vida do carbono 14 ser longa (aproximadamente 5.568 anos)-. remanescentes do nuclfdeo permanecem presentes na amostra em traços mensuráveis depois de milhares de anos. Libby mostrou que se uma pequenina fração da quantidade original de carbono 14 estiver presente. medições apropriadas de laboratório da proporção da quantidade de carbono 14 remanescente podem ser feitas com boa exatidão. Em outras palavras. se QU) for a quantidade de carbono 14 no instante t e Qo a quantidade original. pode-se medir a grandeza Q(t)/Qo a menos que ela seja muitíssimo pequena. A técnica atual de medição permite a adoção deste método para determinar intervalos de tempo até cerca de 100 mil anos. quando então a quantidade remanescente de carbono 14 presente na amostra é cerca de 4 X lO-f> vezes a quantidade original. (a) Admitindo que Q obedeça à equação diferencial. Q' = - rQ. determinar a constante de desintegração r do carbono 14. (b) Achar a expressão de Q(r) para qualquer instante t. com QW) = Qo. (c) Vamos admitir que se analisa uma amostra de madeira na qual a quantidade residual de carbono 14 seja 20% da quantidade original. Determinar a idade desta amostra. Suponhamos que uma soma 50 de dinheiro seja depositada num banco que paga uma taxa anual de juros r. capitalizados continuamente. (a) Achar o tempo T necessário para a soma original dobrar de valor. em função da taxa de juros r. (b) Determinar T se r = Y1c. (c) Achar a taxa de juros necessária para o investimento inicial dobrar em oito anos. Uma pessoa jovem. sem capital inicial. investe k dólares. a uma taxa anual de juros r. Vamos admitir que o investimento seja feito continuamente e que os juros sejam capitalizados também continuamente. (a) Determinar o montante 5(1) acumulado no tempo t. (b) 'Se r = 7,59c. determinar k de modo que o montante acumulado seja de 51.000.000.00 depois de 40 anos. (c) Se k = 52.000 por ano. determinar a taxa de juros que se deve ter para dispor de 51.000.000 depois de 40 anos. A pessoa A abre uma conta remunerada com 25 anos. deposita 52.000 por ano durante 10 anos e depois disso não faz mais nenhum depósito. A pessoa B espera até os 35 anos para abrir sua conta remunerada. mas deposita $2.000 por ano durante 30 anos. Nos dois casos não há nenhum investimento inicial. (a) Supondo uma taxa de juros de 89c ao ano. qual será o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos? (b) Para uma taxa de juros constante mas não especificada r. determine O saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos em função de r. (c) Faça um gráfico da diferença entre os saldos da parte (b) para u es rs: 0,10. (d) Determine qual deve ser a taxa de juros para que as duas contas apresentem o mesmo saldo quando os titulares tiverem 65 anos. Um estudante universitário faz um empréstimo de 58.000 para comprar um carro. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 10% ao ano. Supondo que os juros sejam capitalizados continuamente e que o estudante amortize a dívida continuamente a uma taxa anual constante k, determine o valor de k para que o empréstimo seja pago em três anos. Determine também o total de juros pagos durante esses três anos. O comprador de uma casa não pode pagar mais do que S800 por mês de prestação. Suponha que a taxa de juros seja de 9% ao ano e que o prazo de pagamento seja de 20 anos. Suponha também que os juros sejam capitalizados continuamente e que os pagarnentos também sejam feitos continuamente. (a) Determine o preço máximo que este comprador pode pagar por uma casa. (b) Determine o total de juros pagos pelo comprador se ele comprar a casa nas condições do item (a). Quais seriam as respostas do Problema 11 se o prazo do empréstimo fosse aumentado para 30 anos? Um engenheiro recém- formado torna um empréstimo de S 100.000 a uma taxa de 9% ao ano para comprar um apartamento. Prevendo aumentos freqüentes de salário, o engenheiro espera fazer pagamentos mensais de 800( 1 + t/120), onde t é o número de meses decorridos desde o início do empréstimo. (a) Supondo que este plano de pagamento possa ser mantido. quanto tempo será necessário para que o empréstimo seja totalmente pago? (b) Qual o valor do empréstimo que poderá ser pago em exatamente 20 anos usando o mesmo plano de pagamento? Um aposentado tem investida uma quantia S(r) que lhe rende juros a uma taxa anual r, capitalizados continuamente. As retiradas para despesas correntes são feitas à razão de k unidades monetárias por ano; suponha que elas são feitas continuamente. (a) Se o valor inicial do investimento é 50' determine 5(1) para qualquer instante de tempo 1. (b) Supondo que So e r sejam fixos, determine a taxa de retirada ko para a qual 50 permanece constante. (c) Se k for maior do que o valor ko determinado em (b), S(t) diminuirá até se anular. Determine o instante de tempo Tap6s o qual Ser) ~ o. Determine T se r 89c e k 2ko. Suponha que uma pessoa que se aposentou com um capital 50 queira retirar fundos à taxa k durante não mais do que T anos. Determine o valor máximo possível de k. (f) Qual o investimento inicial necessário para permitir uma retirada anual de S12.000 por 20 anos, supondo uma taxa de juros de 8% ao ano? 15. Suponha que a população da terra esta aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante t = 0(1650 d.C.) a população da terra era de 600 milhões de habitantes (6.0 x 10~)e que no instante t = 300 (1950 d.C.) era de 2,8 bilhões (2,8 x 109). Determine uma expressão para a população da terra em função do tempo. Supondo que a maior população que a terra é capaz de sustentar seja de 25 bilhões de habitantes (2.5 X 1010), quando será atingido este limite? 16. A população de mosquitos em uma certa região aumenta a uma taxa proporcional à população e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem 200.000 mosquitos inicialmente na região e os predadores (pássaros etc.) comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a população de mosquitos na região em função do tempo. (d) (e) = = ~ A meia-vida do carbono 14 é 5.568 ::!.: 30 anos, conforme a McGrall··HiI/ Encyclopedia of Science and Technotogv (5~ ed.), New York, Mcrjraw-Hill, 1982, voí. 11. pãgs. 328-335. 2.8 Equações Exatas e FatoresIntegrantes 57 x y Fig.2.7.5 A braquist6crona. (d) Supondo que r = 0,2 e h = I m, determine a velocidade inicial mínima /I e o ângulo ótimo A para que a bola passe por cima de.urn muro de 3 m de altura situado a 100 m de distância. Compare este resultado com o do Problema 17 (f). 19. Problema da braquistócrona. Um dos famosos problemas na história das matemáticas é o problema da braquistócrona: achar a curva que deve descrever uma partícula que desliza sobre ela, sem atrito, de modo a atingir no tempo mínimo o ponto Q, partindo de um outro ponto P que está acima do primeiro, mas não na vertical (ver a Fig. 2.7.4). Este problema foi proposto por lohann Bernoulli, em 1696, como um desafio aos matemáticos da época. Soluções corretas foram encontradas por Johann Bernoulli e por seu irmão Jakob Bernoulli, por Isaac Newton, Gottfried Leibniz e pelo Marquês de L 'Hospital. O problema da braquistócrona foi importante no desenvolvimento da matemática, como um dos precursores do cálculo de variações. Ao resolver este problema, é conveniente tomar a origem como O ponto superior P e orientar os eixos conforme está na Fig. 2.7.4. O ponto inferior Q tem as coordenadas (xo, )'0)' É então possível mostrar que a curva do tempo mínimo é dada por uma função)' = (x) que satisfaz à equação diferencial (I + y")y ~ I.~, positiva? (i) onde k2 é uma constante positiva a ser determinada. (a) Resolver a Eq. (i) em y', Por que é necessário escolher a raiz quadrada (b) Introduzir uma nova variável I pela relação y = Psen2 Mostrar que a equação da parte (a) assume então a forma 2Psen! (c) Com I t. (ii) dt = = 0= 21, mostrar que a solução da Eq. (iii), que tem x x ~ k'( O - sen 0)12, ° dx, quando y = (iii) O, é dada por (iv) Se da J ~ k'( 1 - cos 9)/2. As equações (iv) são as equações paramétricas da solução da Eq. (i), que passa por (0,0). A curva das Eqs. (i v) é a ciclóide. fizermos uma escolha apropriada da constante k, a ciclóide passa também pelo ponto (xo,yo) e é a solução do problema braquistócrona. Encontre k se xo = 1 e)'o = 2. 2.8 Equações Exatas e Fatores Integrantes Mencionamos anteriormente que as equações diferenciais não-lineares de primeira ordem dão margem a muitos métodos de integração, aplicáveis a várias classes de problemas. Nas Seções 2.8, 2.9 e em alguns problemas da Seção 2.10, descreveremos os mais úteis entre estes métodos. Vamos ter em mente, no entanto, que as equações de primeira ordem que podem ser resolvidas por métodos de integração elementares são muito especiais; a maioria das equações de primeira ordem não pode ser resolvida desta forma. Exemplo 1 Resolver a equação diferencial 2x + y' + 2xyy' ~ o. para equações destes tipos não são apropriados. (I) No A equação nem é linear nem separável, entanto, observe que a função t./J(x,y) = r de modo que os métodos apropriados + xi tem a propriedade 2xy = a>/l ay (2) 58 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Então. a equação diferencial pode ser escrita como ~(X2 8x + xl) + ~(X2 8y + xi)~ dx = O (3) Admitindo que y seja função de x, e operando a regra da cadeia, podemos escrever a Eq. (3) na forma equivalente i...(x2 dx + xi) = o. (4) Portanto x' f + xy' = c, (5) onde c é uma constante arbitrária, é uma expressão implícita para a solução da Eq. (1). Ao se resolver a Eq. (1), a etapa fundamental foi a do reconhecimento Eq. (2). De forma mais geral, seja a equação diferencial M(x, y) Suponhamos que se possa identificar uma função é da existência de uma função é que obedecia à (6) + N(x, y)y' = iJ'" O tal que -(x,y) iJx iJ'" = M(x,y), , =~ -(x,y) oy = N(x,y), x. (7) de modo que IjJ(x,y) = c obedece implicitamente à equação y = (x),como uma função derivávelde M(x,y) Então + N(x,y)y ô'" + ay Ô", dy dx = d dx "'[x, "'(x)] e a equação diferencial (6) fica d dx "'[x, "'(x)] = o. (8) Neste caso, a Eq. (6) é uma equação diferencial exata. A solução da Eq. (6), ou da sua equivalente, Eq. (8), é dada implicitamente por IjJ(x,y) = c, (9) onde c é uma constante arbitrária. No Exemplo l , foi relativamente fácil ver que a equação diferencial era exata e, na realidade, foi fácil encontrar a sua solução, reconhecendo-se a função desejada rjI. No caso de equações mais complicadas, pode não ser possível conseguir isto de maneira tão fáciL Uma forma sistemática de determinar se uma equação diferencial é exata é proporcionada pelo teorema seguinte: Teorema 2.8.1 Sejam M, N, M, eN; onde os ín O. 38. Se duas retas, no plano X)', com os coeficientes angulares m, e m2, interceptam-se sob um ângulo 0, mostrar que = (tan 8)(1 + mlm2) = m2 - ml' Com esta informação, achar a família de curvas que intercepta caso, desenhar as duas famílias de curvas. (a)x 39. 40. 41. 42. 43. cada uma das seguintes famílias, sob um ângulo de 450). Em cada 2y ~ c (b)x'+I~c' Achar a família de curvas planas cuja reta tangente, no ponto (x, y), passa por um ponto fixo (a,b). A reta normal a uma curva dada, em cada ponto da curva (x, y), passa pelo ponto (2, O). Se a curva passa pelo ponto (2, 3), achar a sua equação. Achar todas as curvas planas tais que, para cada ponto da curva, o eixo dos y bissecta o segmento da reta tangente compreendido entre o ponto de tangência e o eixo dos x. Um certo homem tem um capital que aumenta a uma taxa proporcional ao quadrado do seu valor instantâneo. Se o proprietário tivesse $1.000.000, há um ano atrás, e $2.000.000, hoje, quanto terá daqui a 6 meses? E daqui a 2 anos? Forma-se um lago quando a água é recolhida numa depressão cônica de raio a e profundidade h. Suponhamos que a água aflua à vazão constante k e que o lago sofra evaporação a uma taxa proporcional à área superficial da água. (a) Mostrar que o volume V(t) da água no lago, no instante t, satisfaz à equação diferencial. dV /dt = k - arr(3a/rrh)2/3V2/3 44. onde a é o coeficiente de evaporação. (b) Achar a profundidade de equilíbrio da água no lago. O equilíbrio é estável? (c) Achar a condição que deve ser cumprida para que o lago não transborde. Consideremos um tanque de água cilíndrico com a seção reta constante A. A água é bombeada para o tanque, à vazão constante k, e eflui do tanque, através de um pequeno orifício de área a no fundo. Pelo teorema de Torricelli, da hidrodinâmica, vem que a vazão da água através do orifício é onde h é a altura da água no tanque, g a aceleração da gravidade e um coeficiente de contração no intervalo 0,5 ~ a ~ 1,0. (a) Mostrar que a profundidade da água no tanque, em qualquer instante, obedece à equação aa-J2iii a dhf dt = (k 45. aa.f2ih)/A. (b) Determinar a altura de equilíbrio da água /tf' e mostrar que o equilíbrio é estável. Observar que ti, não depende de A. O crescimento de uma célula depende do fluxo de nutrientes através da membrana celular superficial. Seja W(t) o peso da célula num instante t, Wo o seu peso em t = O, e vamos admitir que dW/dr seja proporcional à área da superfície da célula. (a) Apresente um argumento que suporte a validade da equação dW/dt ~ aW"', onde a é uma constante de proporcionalidade. (b) Achar o peso da célula em qualquer instante t. Um certo negócio cresce em valor a uma taxa proporcional à raiz quadrada do seu valor instantâneo. Se o negócio valesse $1.000.000 há dois anos, e se o seu valor for $1.440.000 nos dias de hoje, determinar o instante em que valerá $2.000.000. 46. 2.11 O"Teorema da Existência e Unicidade Nesta seção discutimos a prova do Teorema 2.4.1, o teorema fundamental da existência e unicidade dos problemas de valor inicial de primeira ordem. Este teorema afirma que, sob certas condições dej{x, y), o problema de valor inicial y' = f(t,y}, y(to} = Yo (I) tem uma única solução num certo intervalo que contém o ponto lo. Em alguns casos (por exemplo, quando a equação diferencial for linear), a existência de uma solução do problema de valor inicial (I) pode ser comprovada diretamente, pela resolução do problema e obtenção de uma fórmula que dá a solu- 2.11 O Teorema da Existência e Unicidade 69 ção. Em geral, porém, este caminho não pode ser adotado, pois não há método de resolução da Eq. (I) que se aplique em todos os casos. Por isso, no caso geral, é necessário adotar um caminho indireto para estabelecer a existência de uma solução das Eqs. (I), mas, usualmente, este caminho não proporciona um procedimento prático de encontrá- lo. O coração do método é a construção de uma seqüência de funções que convergem para uma função limite que obedece ao problema de valor inicial, embora os membros da seqüência não o satisfaçam, cada qual individualmente. Como regra, é impossível calcular explicitamente mais do que alguns poucos membros da seqüência; por isso, só em casos raros, é possível encontrar explicitamente a função. Não obstante, com as restrições sobref(t, y) enunciadas no Teorema 2.4.1, é possível mostrar que a seqüência em questão converge, e que a função limite tem as propriedades desejadas. O argumento é bastante complicado e depende, em parte, de técnicas e de resultados que se encontram usualmente, pela primeira vez, num curso de cálculo avançado. Por isso, não exporemos todos os detalhes da prova; traçaremos apenas suas características principais e apontaremos algumas dificuldades envolvidas. Em primeiro lugar, observamos que basta considerar o problema no qual o ponto inicial (to,yo) é a origem; isto é, O problema y' = f(t,y), y(o) = O. (2) Se o ponto inicial for outro, poderemos sempre fazer uma mudança preliminar de variáveis correspondente a uma translação dos eixos do sistema de coordenadas, e levar o ponto dado (toSo) para a origem. O teorema de existência e unicidade pode, portanto, ser enunciado da seguinte forma: Teorema 2.11 .1 Sefe õfiõy foremcontínuas no domínio retangular R: l/I s a, Iyl :oib, então há um intervalo Itl s wna solução única y = 1>(1)do problema. de valor inicial (2). " Para provar o teorema é necessário transformar o problema de valor inicial (2) numa forma mais conveniente. Suponhamos, pelo momento, que há uma função y = 1>(1) ue satisfaz ao problema de valor inicial; entãoj[r, (s)] ds (3) onde usamos a condição inicial ,: (6) Charles-Émile Picard (1856-1914), com a exceção de Henri Poíncaré. foi talvez o mais eminente matemático francês da sua geração. Antes dos trinta anos. foi nomeado professor na Sorbonne. Éconhecido por importantes teoremas nas variáveis complexas e na geometria algébrica e também nas equações diferenciais. Um caso especial do método das aproximações sucessivas foi publicado inicialmente por Liouville, em 1838. O método. porém. é usualmente atribuído a Picard que o fundamentou de uma forma geral e amplamente aplicável numa série de artigos que principiaram a aparecer em 1890. !l 70 Equações Diferenciais de Primeira Ordem e, em geral, (7) Desta maneira, geramos uma seqüência de funções {,,} = 4>0," ..• , ", .... Cada membro desta seqüência satisfaz à condição inicial mas, em geral, nenhuma satisfaz à equação diferencial. No entanto, se num certo estágio, digamos em n = k, verificamos que H,(t) = ,(t), segue-se que , é uma solução da equação integral (3). Então, , é também uma solução do problema de valor inicial (2) e a seqüência funcional termina neste ponto. Em geral, isto não ocorrerá, e é necessário considerar toda a seqüência infinita. A fim de demonstrar o Teorema 2.1 1.1, é preciso responder a quatro questões principais: 1, 2. 3, 4. Todos os membros da seqüência {"l existem, ou o processo pode interromper-se num certo estágio? A seqüência converge? Quais as propriedades da função limite? Em particular, a função limite obedece à equação integral (3) e, portanto, satisfaz ao problema de valor inicial (2)? É esta a única solução, ou podem existir outras? Vamos mostrar, primeiro, como se podem responder a estas perguntas num exemplo particular, relativamente simples, e depois comentaremos as dificuldades que se podem encontrar no caso geral. Exemplo 1 Consideremos o problema de valor inicial y' = 21(1 + y), y(O) =0. observamos inicialmente que se y (8) = 4>(1) = Se a aproximação inicial for r/Jo(x) 10' 2s[1 + 4>(s)] ds. (9) = O, vem (10) Analogamente, (11) 4>3(1)= 1, O 2s[1+4>2(s)]ds= l' [ O 2s l+s2+_ S4] 2 ds=t2+-+- , 4 t 6 (12) 2 2·3 As Eqs. (10), (I I) e (12) sugerem que (13) para cadcu a- 1 e este resultado pode serconfinnado por indução matemática. Claramente, mostrar que se for correto para 11 = k será também correto para n = k + I. Temos 4>k+l (t) a Eq. (13) é correta para n = I e precisamos = 10' 2s[1 + 4>k(s)]ds = 1o'2s(I+s2+~+"+Sk~)dS (4 [6 t2k+2 =(2+21+31+",+ (k+I)!' (14) e a prova indutiva está completa. Um gráfico das quatro primeiras aproximações, 4>1(1), ... , 4>ir) aparece na Fig. 2.11.1. aproximações sucessivas diminui, o que sugere a existência de uma solução limite. À medida que k aumenta, a diferença entre 2.11 O Teorema da Existência e Unicidade 71 -1,5 -1 -0,5 0,5 Fig.2.11.1 Gráficos de 4>,(1), ... , 4>,(1)para ° Exemplo I. Segue-se então, da Eq. (13), que cp,,(t) é a enésima soma parcial da série infinita (;ki 00 ,'" (15) o teste da razão, vemos que para qualquer K --+ e o lim ll-t'" cp,,(t) existirá se e somente se a série (15) convergir. Aplicando --+ t, (16) I caso corresponde k! -(k +I)! I" 1"+2 I = -K+I I' O quando 00 e, portanto, a série (15) converge para qualquer valor de t e sua soma cp(r) é o limite da seqüência {ep,,(r)}. Além disso, como a série (15) é uma série de Taylor, ela pode ser derivada ou integrada termo a termo contanto que t permaneça no intervalo de convergência, que no a todo o eixo dos t. Assim, podemos verificar por computação direta que (t) - cVk(t) para vários valores de k. A Fig. 2.11.2 mostra esta diferença para k = 1, ... , 4. Esta figura mostra claramente o intervalo cada vez maior no qual as aproximações sucessivas constituem uma boa aproximação para o problema de valor inicial. Finalmente, para resolver a questão da unicidade, suponhamos que o problema de valor inicial tenha duas soluções e '" ambas satisfazem à equação integral (9), lemos, por subtração, que q,. 4>(1) -1/1(1) Tomando os valores absolutos de ambos os membros, 14>(1) -1/1(1)1 Se limitarmos t ao intervalo O :s; t :S = fo' 2s[4>(s) -1/I(s)] O, dsl ds lemos, se 1> = Ifo' 2s[4>(s) -1/I(s)J s lo' 2s 14> -1jr(s)1 (s) ds. A/2, onde A é arbitrária, 14>(1) -1/1(01 então 2s:s; A e SAfo' 14>(s) -1jr(s)1 ds. (17) É conveniente, neste ponto, introduzir a função U definida por U(t) = fo' 14>(s) -1/I(s)1 ds (18) Segue-se, então, imediatamente, que U(O) U(t) =0, "'0, (19) para - AU(r) I '" O. (20) Além disso, Ué derivável e U'(t) = 11>(1) - ,,",1)1. Portanto, pela Eq. (17), U'(t) S O. (21) 72 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Fig. 2.11.4 Gráficos de (t) - 1>,(t) para o Exemplo I com k = I, "'0 4. Multiplicando a Eq. (21) pela função positiva e-AI vem [e-AI U(t)]' ::::O (22) Então, integrando a Eq. (22) de zero até t e usando a Eq. (19), vem ainda para I 2: O. Então, U(t):s; Opara t;::: O o que, em conjunto com a Eq. (20), faz U(t);;;;;;: Oparaqualquer t;::: O.Assim, U(t);;;;;;: Oe portanto I/J(t);;;;;;: (t), o que contradiz a hipótese original. Por isso, não podem existir duas soluções diferentes parao problema de valor original com t ~ O. Uma pequena modificação deste argumento mostra que se chega à mesma conclusão para t :s;O. Retomando ao problema geral da resolução da equação integral (3), vamos considerar resumidamente mencionada um pouco antes. 1. cada questão Existem todos os membros da seqüência ( ")? No exemplo,j e aflay eram contínuas sobre todo o plano ty e cada membro da seqüência podia ser calculado de maneira explícita. Em contraste, no caso geral,j e aflay são, por hipótese, contínuas no domínio retangular R: 1I1:5 a, Iyl :5 b (ver a Fig. 2.11.3). Além disso, os membros da seqüência não podem ser, como regra, explicitamente determinados. O perigo está em o gráfico de y = ,(1)conter, para um certo estágio n = k, pontos que estejam fora do domínio R. Por isso, no estágio seguinte - o cálculo de ",(1) - será necessário estimarjlr, y) em pontos onde não se sabe se é contínua ou mesmo se existe. Assim, o cálculo de ? Em primeiro lugar, queremos saber se cp é contínua. O que não é uma conseqüência necessária da convergência da seqüência {c/>,,(t)}, mesmo que cada membro da seqüência seja contínuo. Às vezes, uma seqüência de funções contínuas converge para uma função limite que é desconúnua. Um exemplo simples deste fenômeno está no Problema 9. Podemos provar que cp é contínua mostrando que não só a seqüência [ ,pll} é convergente mas que ela converge de uma forma especial, conhecida como a convergência uniforme. Não vamos examinar a questão aqui, mas notar que o argumento mencionado no parágrafo 2 é suficiente para estabelecer a convergência uniforme da seqüência 4>" e daí a continuidade da função limite ,p no intervalo 111$ h. : Retornemos agora à Eq. (7), ,pn+l(t) = Deixando que n tenda para 00 L f[s,"'n(s)]ds. nos dois membros da equação, obteremos "'(I) = lim 1'1-+00 [' lo f[s, ,pn(s)] ds . (26) Vamos trocar a ordem das operações de integração e de passagem ao limite no segundo membro da Eq. (26) a fim de obter q,(t) = [' lim f[s,,pn(s)]ds. 10 (27) 1'1-+00 Em geral, a troca da ordem de operações não é admissível (ver o Problema 14, por exemplo), mas o fato de a seqüência {c/>n(t)} ser não apenas convergente, mas uniformemente convergente, vem em nosso auxílio e permite-nos fazer a passagem ao limite sob o sinal de integral. Depois, passamos ao limite no interior da função f o que nos dá q,(t) = [' fls, lo lim "',,(s)] ds 1'1-+00 (28) e daí "'(I) = L f[s,,,,(s)]ds. (29) Ym=~n(t)y ~):···r~~""" ""i -'-, .'0 __ y e b "I~ + t ~,--y=-b i --+--+, ~=-~ (a) t=-~ t=l l1: ~r-- y = -b I i t=-a t=a t=a (b) Fig.2.11.4 Domínios onde estão as iterações sucessivas. (a) b/M < a; (b) b/M > a.