Libro Mecanica de Suelos II Rodolfo c Medrano Castillo

SEP Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica Instituto Tecnológico de Tehuacán Libro: Mecánica de Suelos II Rodolfo Crescenciano Medrano Castillo Reporte final del año sabático Dictamen No. AS-1-152/2007 29/enero/2007 a 28/enero/2008 2 PRÓLOGO El presente texto tiene la finalidad de brindar un apoyo a los alumnos que estudian la materia de Mecánica de Suelos II de la carrera de Ingeniería Civil en el Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica, en forma particular a los alumnos del Instituto Tecnológico de Tehuacán. Este trabajo se encuentra estructurado de acuerdo al programa vigente de la materia de Mecánica de Suelos II, sin embargo no se pretende que sea el libro de texto de la materia, sino un libro que sirva como hilo conductor en el proceso de aprendizaje de la materia y que complementado con la investigación de otras fuentes, contribuya a la formación de nuestros futuros profesionistas. Expreso un agradecimiento a la Dirección Nacional de Educación Superior Tecnológica y al Instituto Tecnológico de Tehuacán, por el apoyo que me ha brindado para la elaboración de este libro, a través de la autorización de un año sabático. También deseo expresar mi amplio reconocimiento por su apoyo a la Academia de Ingeniería Civil y al Departamento de Ciencias de la Tierra, y muy especialmente al Ing. Eduardo López Sánchez, docente de esta Institución y reconocido profesionista en la región en el área de la Mecánica de Suelos, quien fue asignado a la revisión de este trabajo. Por último quiero darle las gracias a toda mi familia que fueron testigos del esfuerzo realizado, que se veía reflejado en las horas que a ellos les quitaba para invertirlas en este trabajo y que sin embargo siempre me apoyaron, con cariño a mi esposa Lulú y a mi pequeña Fátima. Tehuacán, Puebla a 14 de Enero de 2008 Rodolfo C. Medrano Castillo 3 CONTENIDO CAPITULO 1. TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 6 1.1. Conceptos fundamentales matemáticos 6 1.2. Solución matemática de Forchheimer y solución gráfica de Casagrande 7 1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad y gradiente crítico 10 CAPITULO 2. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 24 2.1 Esfuerzos en la masa de suelo 24 2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner 28 2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum 32 2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 36 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita 36 2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita 38 2.5 Otras teorías: 39 2.5.1 Método 2:1 39 2.5.2 Westergaard 40 2.5.3 Burmister 41 2.5.4 Fröhlich 42 CAPITULO 3. ASENTAMIENTOS. 44 3.1 Tipo elástico 44 3.2 Asentamientos por consolidación 46 3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 49 3.2.1.1 Determinación de asentamientos 49 3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de consolidación 55 3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria 60 3.3 Expansiones 62 CAPITULO 4. CAPACIDAD DE CARGA. 67 4.1 Introducción 67 4.2 Teorías de capacidad de carga 67 4.2.1 Terzaghi 68 4.2.2 Prandtl 75 4.2.3 Hill 75 4.2.4 Skempton 77 4 4.2.5 Meyerhof 79 4.2.6 Zeevaert 83 CAPITULO 5. CIMENTACIONES E INTERACCIÓN CON EL SUELO. 85 5.1 Superficiales 85 5.1.1 Clasificación 85 5.1.2 Factores que determinan el tipo de cimentación 87 5.1.3 Aplicación de las teorías en los diferentes tipos de suelos 87 5.1.3.1 Forma generalizada de la capacidad de carga última 87 5.1.3.2 Criterios para la aplicación de la formula de la capacidad de carga última, según el nivel de aguas freáticas 89 5.1.3.3 Factor de seguridad 91 5.2 Profundas 97 5.2.1 Clasificación 97 5.2.1.1 Según la forma como transmiten las cargas al subsuelo 97 5.2.1.2 Según su proceso constructivo 99 5.2.1.2.1 Con desplazamiento 99 5.2.1.2.2 Con poco desplazamiento 100 5.2.1.2.3 Sin desplazamiento 100 5.2.2 Capacidad de carga en los diferentes tipos de cimentaciones profundas 100 5.2.2.1 Capacidad de carga de un pilote de punta Q p 101 5.2.2.2 Capacidad de carga de un pilote por la resistencia al esfuerzo cortante (suelo – pilote) de la superficie del fuste Q s 102 5.2.2.3 Capacidad de carga de una pila perforada 106 CAPITULO 6. EMPUJE DE TIERRAS. 107 6.1 Clasificación de los elementos de retención 107 6.2 Estado de reposo 108 6.3 Estados plásticos de equilibrio 112 6.4 Teoría de Rankine 113 6.4.1 Estado activo 113 6.4.2 Estado pasivo 115 6.4.3 Estado activo y pasivo en rellenos de superficie inclinada 120 6.4.4 Estado activo. Sobrecarga uniformemente distribuida 121 6.4.5 Estado activo. Profundidad de la zona de tensión y altura crítica, en suelos cohesivos 121 6.5 Teoría de Coulomb 123 6.5.1 Método de Culmann 123 5 6.6 Método semi-empírico de Terzaghi 127 6.7 Ademes 132 6.8 Dimensionamiento de muros 134 CAPITULO 7. ESTABILIDAD DE TALUDES. 138 7.1 Tipos y causas de fallas en taludes 138 7.2 Métodos de análisis 139 7.2.1 Método sueco – Casagrande 140 7.2.2 Método de las dovelas – Fellenius 142 7.2.3 Método del Círculo de fricción 146 7.2.4 Método Taylor 148 7.2.5 Fallas por traslación 149 7.3 Análisis de círculos críticos 150 7.3.1 Taylor 153 7.3.1.1 Suelos cohesivos 153 7.3.1.2 Suelos con cohesión y fricción 155 7.3.2 Fellenius 156 7.3.3 Jambu 159 7.4 Prevención y corrección de fallas en taludes 160 ANEXO 1. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS SUELOS. 162 ANEXO 2. CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL (TERZAGHI) 167 BIBLIOGRAFÍA 171 6 CAPITULO 1 TEORÍA DE LAS REDES DE FLUJO. 1.1. Conceptos fundamentales matemáticos La presión intersticial o de poro o tensiones neutras o subpresiones, que existe en un suelo, puede corresponder a condiciones hidrostáticas o las creadas por el flujo de agua a través de los vacíos del mismo. En este capitulo analizaremos las condiciones que se establecen producto de la filtración del agua en un suelo dentro de un flujo establecido o también denominado flujo estacionario, que se vuelve independiente del tiempo, tanto el flujo como la presión intersticial dentro de la masa del suelo. La filtración en el suelo se produce cuando existe una carga hidráulica, como producto de las diferencias de presiones de poro en diferentes puntos del suelo según la trayectoria del agua, estudiado por Henry Darcy (1856) y estableciendo que el gasto de agua que pasa por un suelo es directamente proporcional a la sección transversal A y a la carga hidráulica ∆h, e inversamente proporcional a la longitud del recorrido en el suelo l, expresándose matemáticamente: F lu jo d e l a g u a h l Fig. 1.1 Diferencia de carga en piezómetros l h kA Q ∆ = (1.1) En donde k es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de permeabilidad y ∆h/l es la relación de perdida de carga a través del suelo y se le denomina gradiente hidráulico i: l h i ∆ = (1.2) 7 Por la ecuación de la continuidad en hidráulica sabemos que: vA Q = (1.3) Igualando las ecuaciones (1.1) y (1.3), podemos escribir la siguiente ecuación que se conoce como la Ley de Darcy: ki v = (1.4) Por lo que podemos decir que la velocidad del flujo es proporcional al gradiente hidráulico. Reynolds observó que esto es una característica del flujo laminar. Por lo que podemos considerar que prácticamente es aplicable al flujo en suelos. 1.2. Solución matemática de Forchheimer y solución gráfica de Casagrande Para calcular el gasto de filtración de agua a través del suelo es necesario determinar la intensidad y la distribución de las presiones intersticiales, conocidas también como presiones de poro o subpresiones. Estas presiones de poro pueden determinarse construyendo una red de flujo con las líneas de flujo y las líneas equipotenciales, que representan la filtración del agua en un suelo incompresible como lo estableció Forchheimer (1917) Las líneas de flujo representan los caminos que toman las partículas de agua dentro del flujo establecido. Fig. 1.2 Líneas de flujo Las líneas equipotenciales son líneas en las cuales todos los puntos tienen igual carga hidráulica, o sea que si colocáramos piezómetros sobre alguna de estas líneas, el nivel del agua en todos seria el mismo. 8 Fig. 1.3 Líneas equipotenciales Las líneas de flujo y las equipotenciales, representan una red de flujo dentro de un suelo. Fig. 1.4 Red de flujo Para analizar matemáticamente el flujo bidimensional dentro de un suelo, consideremos un prisma de dimensiones dx, dy y dz 9 Fig. 1.5 Partícula diferencial de suelo Dentro del cual fluya el agua producto de una carga hidráulica h, y los gradientes hidráulicos parciales están dados por: x h i x ∂ = δ (1.5) z h i z ∂ = δ (1.6) El gasto de entrada esta dado por: dydz x h k A i k q x x x x x ∂ ∂ = = (1.7) dxdy z h k A i k q z z z z z ∂ ∂ = = (1.8) El gasto de salida esta dado por: dydz dx x h x h k A di i k dq q x x x x x x x ) ( ) ( 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + (1.9) dxdy dz z h z h k A di i k dq q z z z z z z z ) ( ) ( 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + (1.10) Considerando un flujo establecido y la partícula indeformable, el gasto de entrada es igual al de salida: 10 ) ( ) ( z z x x z x dq q dq q q q + + + = + (1.11) Substituyendo: dxdy dz z h z h k dydz dx x h x h k dxdy z h k dydz x h k z x z x ) ( ) ( 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (1.12) Reduciendo: 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z h k x h k z x (1.13) Siendo el suelo isótropo, la permeabilidad es igual en los sentidos x y z, por lo que tenemos: 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z h x h (1.14) Esta ecuación diferencial conocida como ecuación de Laplace, describe matemáticamente muchos fenómenos físicos en la práctica, en este caso describe el fenómeno del flujo de agua bidimensional en un suelo isótropo. La solución de esta ecuación está constituida por dos grupos de funciones que geométricamente pueden interpretarse como dos familias de curvas ortogonales entre si. El dibujo de la red de flujo fue sugerido por primera vez por Forchheimer como ya se comento y desarrollado posteriormente por Arthur Casagrande (1937). Éste método ofrece una visión directa del flujo de agua Arthur Casagrande aporta las ideas para la construcción grafica de las redes de flujo. El método consiste en definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar las dos familias de curvas respetando la ortogonaliadad, con lo cual se obtendrán soluciones aplicables a la práctica de la Ingeniería. 1.3. Trazo de la red de flujo, calculo de gasto, fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad y gradiente crítico Trazo de la Red de Flujo. En primer lugar se establece la región de flujo, que es común que se encuentre delimitada por el conocimiento a priori de las fronteras constituidas por dos líneas de flujo y dos líneas equipotenciales, como en el caso de tablestacados y presas de mampostería o concreto, en los cuales las líneas de corriente en las fronteras están definidas por su geometría y podemos considerarlas de flujo confinado. Sin embargo en los casos de filtración en presas de tierra o en taludes, la frontera superior de flujo o superficie de agua libre, no está bien definida (flujo inconfinado). Proponiéndose para ello trazos de parábolas que se “ajustan” para que en la entrada se cumpla con la condición de perpendicularidad entre la primera línea equipotencial que corresponde al talud de aguas arriba de la presa y la primera línea de flujo, así como también las diferentes condiciones 11 de salida que pueden existir según el proyecto, en el cual la línea superior de filtraciones es tangencial al talud de aguas abajo o de acuerdo a las obras de drenaje que se proyecten para hacer “caer” esta línea hacia algún filtro, con lo que se pretenda dar mayor estabilidad a la estructura. Fig. 1.6 Flujo inconfinado En el interior de la región, se dibujan las líneas de flujo imaginando el recorrido de la trayectoria de una gota de agua dentro del suelo, procurando que el gasto que pase en el canal de flujo formado entre dos de estas líneas sea el mismo en todos los canales. Posteriormente se dibujan las líneas equipotenciales procurando que sean ortogonales (que sus tangentes en ese punto de intersección sean perpendiculares) a las de flujo y la caída de carga hidráulica se mantenga constante. Situación que se cumple cuando el rectángulo curvilíneo que se forma con las líneas de flujo y equipotenciales tiene en promedio las mismas dimensiones, en donde l debe ser aproximadamente igual a b Fig. 1.7 Rectángulo curvilíneo de redes de flujo 12 Arthur Casagrande proporciona los siguientes consejos para ingenieros sin experiencia en estos campos a los estudiantes: 1. Usénse todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de canales de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la atención de los aspectos esenciales. 3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproximadamente bien trazada- 4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser aproximadamente rectas y paralelas; en este caso los canales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronteras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 6. Un error común en los principiantes es el dibujar transiciones muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica; el tamaño de los diferentes cuadros debe ir cambiando también gradualmente. 7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondiente a un cierto número de canales con el que se intentó la solución, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos líneas equiponteciales en la que la caída de carga es una fracción de ∆h que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de n e , estimando que fracción de caída ha resultado. Si por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo ∆h, podrá corregirse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red. 9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie n pueden ser completos. Sin embargo estas superficies deben cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales. Calculo del gasto El espacio entre dos líneas de flujo es un canal de flujo, procurando que el gasto a través de los canales de flujo sea el mismo y el número de canales de flujo lo determinamos como N f , en el siguiente ejemplo podemos contar cuatro canales de flujo. 13 Fig. 1.8 Canales de flujo La perdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales es la una caída de carga o caída equipotencial la que denominaremos N e , en el siguiente ejemplo podemos contar siete líneas equipotenciales y seis caídas de carga Fig. 1.9 Caídas de carga De donde se considera que la carga hidráulica que se pierde entre dos líneas equipotenciales y corresponde a una caída de carga, será la diferencia entre el nivel de agua de entrada y de salida, lo que se conoce como carga hidráulica ∆h, dividida entre el numero de caídas de carga. e N h h ∆ = ∆ ´ (1.15) 14 Es importante mencionar que en algunas redes de flujo, existen casos particulares en que la distancia promedio entre líneas equipotenciales y la distancia promedio entre líneas de flujo, es menor, por lo que en ese caso se debe considerar como una fracción proporcional de una caída de carga. El gasto para un canal de flujo, por unidad de ancho de estructura (este caso corresponde a un tablestacado), se puede determinar de la siguiente forma: j j j A ki q = (1.16) Donde k es el coeficiente de permeabilidad y es constante para un suelo isótropo. El gradiente hidráulico es la pérdida de carga dividida entre la longitud del recorrido del agua entre las dos líneas equipotenciales: l N h i e j ∆ = (1.17) El área corresponde a la dimensión b, multiplicada por una unidad de longitud por ser un gasto unitario: b b A j = = ) 1 )( ( (1.18) Substituyendo: | . | \ | | | . | \ | ∆ = | | | | . | \ | ∆ = l b N h k b l N h k q e e j ) ( (1.19) Como en una red de flujo l debe ser igual a b, entonces el último término se convierte en 1, quedando la formula: e j N h k q ∆ = (1.20) Considerando que en todos los canales de flujo se filtra la misma cantidad de agua el gasto unitario total, será: f e N j j N N h k q Q f ∆ = = ∑ =1 (1.21) Por lo que el gasto por unidad de ancho, lo podemos determinar por la siguiente formula: 15 e f N N h k Q ∆ = (1.22) En donde: k es la permeabilidad del suelo, ∆h es la carga hidráulica determinada por la diferencia del nivel del agua a la entrada y a la salida, y N f /N e se conoce como el factor de forma. Fuerzas de filtración, subpresiones, estabilidad, gradiente, gradiente crítico. El flujo de agua a través de un suelo provoca presión en el agua intersticial que produce levantamiento del suelo o las estructuras sobre él, pérdida de resistencia del suelo o falla del mismo. El esfuerzo del agua en el suelo llamado también esfuerzo neutro, en condiciones de aguas freáticas sin movimiento lo podemos determinar con las leyes de la hidrostática: µ=γ w z (1.23) Pero cuando el agua esta en movimiento la formula anterior no aplica y la presión del agua debe determinarse con la red de flujo. La carga hidráulica h esta dada por la línea equipotencial respectiva descontando la elevación z del punto, de acuerdo al plano de referencia (cota cero). Por lo tanto la presión intersticial o de poro, la determinamos multiplicando el peso específico del agua por su carga hidráulica: µ=γ w (h - z) (1.24) Si se desea determinar la presión de poro en un punto que se encuentre sobre la “n” línea equipotencial. ( ¸ ( ¸ − | | . | \ | ∆ − = z n h n h e w 1 γ µ (1.25) En donde h 1 es el nivel del agua de entrada. En este caso aunque la presión es igual en todas direcciones (Ley de Pascal), puede ser distinta en diferentes puntos que tengan la misma altura, por la perdida de carga por el flujo. Las estructuras que se encuentran en contacto en suelos con un flujo establecido de agua, sufre un empuje producto de las presiones intersticiales que se conoce como subpresiones, debido a que una parte de la estructura está en contacto con partículas de suelo y otra con los vacíos que en este caso están ocupados por el agua. Para fines prácticos se considera que la fuerza ascendente de supresión U sobre una estructura, es la presión de poro multiplicada por el área de contacto A. U=µA (1.26) 16 Es importante mencionar que el valor de µ varia a lo largo de la base de la estructura. Algunos textos de obras hidráulicas consideran una variación lineal de las presiones de poro, determinando U como la resultante del diagrama de esfuerzos y su punto de aplicación con los criterios de los centros de gravedad. Si la fuerza de supresión U es igual o mayor que la carga P de la estructura, se crea una zona de inestabilidad, por lo que en estructuras que trabajan por gravedad (peso propio) es importantísimo determinar correctamente la supresión, para aplicarse en los análisis de estabilidad. Otro problema que se presenta en las obras hidráulicas como son las presas o tablestacados, es el fenómeno de “tubificación” o sifonamiento que se da en la zona de salida del agua próxima a la estructura, debido a si el suelo es arrastrado por el agua en su salida se forma un socavón y aumenta el gradiente hidráulico debido a que se acorta el camino del flujo en esa zona, por lo que se va abriendo conducto en dirección hacia aguas arriba. Para determinar el gradiente hidráulico en un punto de la red, bastará dividir la caída de carga de las dos líneas equipotenciales entre la longitud del segmento de línea de flujo contenido en el cuadrado de referencia. En las zonas donde predomina el flujo ascendente, estas fuerzas de filtración disminuyen el esfuerzo efectivo entre las partículas del suelo, con lo que se reduce la resistencia al esfuerzo cortante del mismo, provocando en la superficie que las partículas especialmente de arenas se separen unas de otras y se presenten como una suspensión en el agua intersticial quedando en condiciones de para que se presente el fenómeno de licuación, con lo que el suelo queda inestable; así como también en la superficie el suelo es arrastrado por el flujo del agua provocando el problema de turificación- Para entender el fenómeno anterior se puede comprender mejor con el siguiente modelo. Considérese un sistema que mantiene una diferencia de carga hidráulica ∆h, que provoca un flujo ascendente sobre una arena. Fig. 1.10 Efecto de fuerzas de filtración 17 La presión intersticial µ en la base de la arena, la podemos escribir como µ=γ w (∆h+l) (1.27) El esfuerzo vertical σ v en la base de la arena es σ v =γ s l (1.28) El estado crítico se da cuando la presión intersticial es igual al esfuerzo vertical. µ=σ v (1.29) Substituyendo γ w (∆h+l)=γ s l (1.30) Realizando operaciones γ w ∆h+γ w l=γ s l (1.31) γ w ∆h=γ s l-γ w l (1.32) Factorizando l γ w ∆h=(γ s -γ w )l (1.33) Donde ( ) w w s l l γ γ γ − = ∆ (1.34) Como el gradiente hidráulico es la carga hidráulica entre la longitud de recorrido, podemos considerar como el gradiente hidráulico crítico i c : ( ) w w s c i γ γ γ − = (1.35) El gradiente hidráulico que produce movimiento cerca de la superficie de suelo que no esté impedida de moverse, se llama gradiente crítico i c , dándose este cuando se aproxima a 1, debido a que el peso especifico saturado γ s de arena, es aproximadamente el doble del peso especifico del agua γ w . Cuando la superficie se encuentra inclinada el valor del gradiente crítico es menor, hasta hacerse 0 cuando el la inclinación del terreno es igual al ángulo de fricción interna del suelo. 18 Ejemplo Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos donde las líneas equipotenciales se interceptan con el tablestacado y el gradiente de salida mayor. Se considera un suelo isótropo con una permeabilidad k=5x10 -5 m/s Las cotas están en metros, Se traza la red de flujo. 19 Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado Gasto por metro de ancho de tablestacado: e f N N h k L Q ∆ = Donde: k=5x10 -5 m/s ∆h= 8.5-2 =6.5m N f = 4 N e = 8 ( )( )( ) | . | \ | = − 8 4 5 . 6 10 5 5 L Q En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado ( ) s m L Q 3 5 10 25 . 16 − = Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, establezcamos una tabla de cálculo. ( ¸ ( ¸ − | | . | \ | ∆ − = z n h n h e w 1 γ µ 20 Donde ∆h=19-12.5=6.5m. n e =8 ∆h/n e =0.8125 Punto Número de caídas n Altura de agua en el piezómetro (h 1 -n(∆h/n e )) Altura del punto (cota) Z Carga piezométrica [(h 1 - n(∆h/n e ))-z] en m. Presión de poro en T/m 2 A 0 19.00 10.50 8.50 8.50 B 1 18.19 8.50 9.69 9.69 C 2 17.38 7.00 10.38 10.38 D 3 16.56 5.98 10.58 10.58 E 4 15.75 5.50 10.25 10.25 F 5 14.94 5.98 8.96 8.96 G 6 14.13 7.00 7.13 7.13 H 7 13.31 8.50 4.81 4.81 I 8 12.50 10.50 2.00 2.00 Determinación del gradiente hidráulico de salida. l N h i e ∆ = ∆h/n e =0.8125 l=2.06 21 i=0.8123/2.06 i=0.39 Ejemplo Determinar el gasto que se filtra, la presión de poro en los puntos A, B, C y el gradiente de salida mayor. Se considera un suelo isótropo con una permeabilidad k=1x10 -6 m/s Las cotas están en metros, Se traza la red de flujo. Determinación del gasto unitario que fluye debajo del tablestacado 22 Gasto por metro de ancho de tablestacado: e f N N h k L Q ∆ = Donde: k=1x10 -6 m/s ∆h= 30-20 =10 m N f = 5 N e = 12 ( )( )( ) | . | \ | = − 12 5 10 10 1 6 L Q En donde el gasto en un metro de ancho de tablestacado ( ) s m L Q 3 6 10 17 . 4 − = Determinación de las presiones de poro, para determinar las presiones de poro, establezcamos una tabla de cálculo. ( ¸ ( ¸ − | | . | \ | ∆ − = z n h n h e w 1 γ µ 23 Donde ∆h=30-20=10m. n e =12 ∆h/n e =10/12=0.83 Punto Número de caídas n Altura de agua en el piezómetro (h 1 -n(∆h/n e )) Altura del punto (cota) Z Carga piezométrica [(h 1 - n(∆h/n e ))-z] en m. Presión de poro (subpresión) en T/m 2 A 4 26.67 18.00 8.67 8.67 B 6 25.00 18.00 7.00 7.00 C 8 23.33 18.00 5.33 5.33 Determinación del gradiente hidráulico de salida. l N h i e ∆ = ∆h/n e =10/12=0.833 l=2.22 i=0.833/2.22 i=0.375 24 CAPITULO 2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 2.1 Esfuerzos en la masa de suelo Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales. En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ constante, tendrá un esfuerzo vertical: σ z =zγ (2.1) Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos: ∑ = ∆ = n i i i z z 1 γ σ (2.2) Ejemplo Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores: Suelo 1 γ 1 =1.6 t/m 3 ∆z 1 =2 m Suelo 2 γ 2 =1.8 t/m 3 ∆z 2 =3 m Suelo 3 γ 3 =2.0 t/m 3 ∆z 3 =3 m 25 Las cotas están en metros. ² ² ² Profundidad zγ Esfuerzo vertical Z=2 m (1.6*2.00)=3.20 σ z =3.20 t/m 2 Z=5 m (1.8*3.00)=5.40 σ z =8.60 t/m 2 Z=8 m (2.0*3.00)=6.00 σ z =14.60 t/m 2 En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de 26 dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta, Fig. 2.2 Partícula de suelo a una profundidad z W=W s +W w (2.3) El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el Peso Efectivo: W´ s =W s -U (2.4) Dividiendo los pesos entre el área de la superficie de la partícula (A), obtenemos los esfuerzos verticales σ´ z = σ z -µ (2.5) En donde nos queda que el Esfuerzo Total (σ z ) es igual al Esfuerzo Efectivo (σ´ z ) más el Esfuerzo Neutro o Presión Intersticial (µ). σ z =σ´ z +µ (2.6) Esta ecuación es valida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier dirección, como lo enunció el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial que es la misma en cualquier dirección. 27 Ejemplo Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores: Suelo 1: ARENA SECA γ 1 =1.7 t/m 3 ∆z 1 =4 m Suelo 2: ARCILLA γ 2 =1.9 t/m 3 ∆z 2 =6 m El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y γ 2 es el peso específico saturado de la arcilla. Las cotas están en metros- Esfuerzos verticales: ´ ² ² ² ² ² 28 Profundidad Esfuerzo efectivo σ´ z Esfuerzo neutro µ Esfuerzo total σ z Z=0 m. 0 0 0 t/m 2 Z=4 m. (1.7*4.00)=6.80 t/m 2 0 6.80 t/m 2 Z=10 m 6.80+(1.9-1.0)(6.00) =12.20 t/m 2 (1.0*6.00)=6.00 t/m 2 18.20 t/m 2 2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semi-infinito. El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual esta dado por la ecuación: ( ) 2 5 2 2 3 5 3 2 3 2 3 z r z P R z P z + = = ∆ π π σ (2.7) Fig. 2.3 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 29 m r 72 . 1 4 . 1 0 . 1 2 2 = + = ( ) ( ) 2 5 2 2 3 72 . 1 2 25 3 z z z + = ∆ π σ Diagrama de esfuerzos (Bulbo de presiones) ² Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita esta dado por la ecuación: Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=0m ∆σ z=0.00 t/m 2 z=1m ∆σ z=0.38 t/m 2 z=2m ∆σ z=0.75 t/m 2 z=3m ∆σ z=0.65 t/m 2 z=4m ∆σ z=0.49 t/m 2 z=5m ∆σ z=0.36 t/m 2 z=6m ∆σ z=0.27 t/m 2 z=7m ∆σ z=0.21 t/m 2 z=8m ∆σ z=0.17 t/m 2 z=9m ∆σ z=0.13 t/m 2 z=10m ∆σ z=0.11 t/m 2 30 | | . | \ | + + + + + + + = ∆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 ) ( 2 z x z y x z y x z x yz p z π σ (2.8) Fig. 2.4 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. | . | \ | + + + + + + + = ∆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 4 1 1 4 1 1 ) 1 ( 4 2 20 z z z z z z π σ Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=0m ∆σ z=0.00 t/m 2 z=1m ∆σ z= 1.58 t/m 2 z=2m ∆σ z=1.99 t/m 2 z=3m ∆σ z=1.61 t/m 2 z=4m ∆σ z=1.23 t/m 2 z=5m ∆σ z=0.95 t/m 2 z=6m ∆σ z=0.75 t/m 2 z=7m ∆σ z=0.59 t/m 2 z=8m ∆σ z=0.48 t/m 2 z=9m ∆σ z=0.40 t/m 2 z=10m ∆σ z=0.33 t/m 2 31 Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un área flexible rectangular cargada, esta dado por la ecuación: ( ) ( ) | | . | \ | − + + + + + | | . | \ | + + + + + + + + + = ∆ − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 2 2 4 y x z y x z z y x xyz z y x z y x y x z y x z z y x xyz w z π σ (2.9) Fig. 2.5 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga rectangular uniformemente distribuida Steinbrenner. En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuación (homologando la nomenclatura con el método anterior): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + + + + ( ¸ ( ¸ − − − + − − + = ∆ − R z x z R x z y yz z R z z R y x z R xz y x x z y Q z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 tan 2π σ (2.10) Donde: 2 2 2 z y x R + + = (2.11) Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m 2 , con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 2 2 2 4 2 z R + + = 32 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + + + + ( ¸ ( ¸ − − − + − − + = ∆ − R z z R z z z R z z R z R z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4 2 ) 2 ( 2 4 2 2 4 tan 2 20 π σ 2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación: 2 3 2 1 1 1 | | | | | . | \ | | . | \ | + − = ∆ z r w z σ (2.12) Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=0.01m ∆σ z= 5.00 t/m 2 z=1m ∆σ z= 4.78 t/m 2 z=2m ∆σ z= 4.00 t/m 2 z=3m ∆σ z= 3.12 t/m 2 z=4m ∆σ z= 2.40 t/m 2 z=5m ∆σ z= 1.86 t/m 2 z=6m ∆σ z= 1.46 t/m 2 z=7m ∆σ z= 1.17 t/m 2 z=8m ∆σ z= 0.95 t/m 2 z=9m ∆σ z= 0.78 t/m 2 z=10m ∆σ z= 0.65 t/m 2 33 Fig. 2.6 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga circular uniformemente distribuida Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%. w z σ ∆ r 0.1 0.269752 0.2 0.400496 0.3 0.518106 0.4 0.636962 0.5 0.766421 0.6 0.917614 0.7 1.1097 0.8 1.38709 0.9 1.90829 1 ∞ Tabla 2.1 Radios de la carta de Newmark, en función del porcentaje de esfuerzo Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia. 34 Fig. 2.7 Carta de Newmark Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m 2 ., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m. 35 Nivel Sectores Valor de influencia Influencia por nivel 1º 5 0.005 0.025 2º 5 0.005 0.025 3º 5 0.005 0.025 4º 5 0.005 0.025 5º 5 0.005 0.025 6º 5 0.005 0.025 7º 4.5 0.005 0.0225 8º 2.9 0.005 0.0145 9 2.2 0.005 0.011 10º 0.2 0.005 0.001 Σ= 0.199 El incremento de esfuerzo vertical es: ) 199 . 0 )( 20 ( = ∆ z σ 2 / 98 . 3 m t z = ∆σ Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros z x m = z y n = (2.13) Expresándose la formula para una carga lineal: | . | \ | + + + + + + + = | | . | \ | ∆ 1 2 1 1 1 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 m n m n m m n p z z π σ (2.14) Abreviando o z p p z = | | . | \ | ∆σ o z p z p = ∆σ (2.15) Expresándose la formula para una carga rectangular: ( ) ( ) | | . | \ | − + + + + + | | . | \ | + + + + + + + + + = ∆ − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 tan 1 2 1 1 2 4 1 n m n m n m mn n m n m n m n m n m mn w z π σ (2.16) 36 Abreviando o z w w = ∆σ w w o z ⋅ = ∆σ (2.17) Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m 2 . con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m. 1 2 2 = = m 2 2 4 = = n Según gráficas 0.01 0.1 1 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Gáfica tipo Fadum para m=1 wo m n , ( ) n W o =0.20 Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente: 0 . 4 ) 20 ( ) 20 . 0 ( = ⋅ = ∆ z σ 2 / 00 . 4 m t z = ∆σ 2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita, esta dado por la ecuación: 2 2 2 3 ) ( 2 z x pz z + = ∆ π σ (2.18) 37 Fig. 2.8 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal de longitud infinita Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. 2 2 2 3 ) 1 ( ) 20 ( 2 z z z + = ∆ π σ Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=0m ∆σ z=0.00 t/m 2 z=1m ∆σ z= 3.18 t/m 2 z=2m ∆σ z=4.07 t/m 2 z=3m ∆σ z=3.43 t/m 2 z=4m ∆σ z=2.82 t/m 2 z=5m ∆σ z=2.35 t/m 2 z=6m ∆σ z=2.00 t/m 2 z=7m ∆σ z=1.75 t/m 2 z=8m ∆σ z=1.54 t/m 2 z=9m ∆σ z=1.38 t/m 2 z=10m ∆σ z=1.24 t/m 2 38 2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita ( ) ( ) δ β β β π σ 2 cos + + = ∆ sen q z (2.19) Fig. 2.9 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga de franja de ancho finito y longitud infinita Donde z B x 2 tan 1 − = ∂ − y ∂ − + = − z B x 2 tan 1 β (2.20) Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de carga q=10 t/m 2 , con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 a 10m a cada metro. ( ) ( ) δ β β β π σ 2 cos 10 + + = ∆ sen z z 2 2 3 tan 1 − = ∂ − y ∂ − + = − z 2 2 3 tan 1 β 39 2.5 Otras teorías: 2.5.1 Método 2:1 Es un método aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo vertical a una profundidad z debajo de una cimentación de dimensiones B por L. Este método propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con la profundidad la carga se reparte en una mayor área, formándose una pirámide truncada de pendiente 2:1, por lo que la formula quedaría de la siguiente forma: Fig. 2.10 Incremento de esfuerzo vertical en el suelo de acuerdo al criterio del método 2:1 ) )( ( ) ( z L z B BL w z + + = ∆σ (2.21) Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=1m ∆σ z= 0.17 t/m 2 z=2m ∆σ z=0.70 t/m 2 z=3m ∆σ z=1.14 t/m 2 z=4m ∆σ z=1.34 t/m 2 z=5m ∆σ z=1.39 t/m 2 z=6m ∆σ z=1.36 t/m 2 z=7m ∆σ z=1.30 t/m 2 z=8m ∆σ z=1.22 t/m 2 z=9m ∆σ z=1.14 t/m 2 z=10m ∆σ z=1.07 t/m 2 40 Este método proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y cuando se encuentre dentro de la pirámide, y fuera de esta no indica incrementos. Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m 2 . con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m. ) 2 4 )( 2 2 ( ) 4 )( 2 ( 20 + + = ∆ z σ 2 / 67 . 6 m t z = ∆σ 2.5.2 Westergaard Westergaar publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta mas a las condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente formula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo 2 3 2 2 1 | | . | \ | | . | \ | + = ∆ z r z P z π σ (2.22) Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzo que se toma con Boussinesq. Fig. 2.11 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual 41 Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro. m r 72 . 1 4 . 1 0 . 1 2 2 = + = 2 3 2 2 72 . 1 1 25 | | . | \ | | . | \ | + = ∆ z z z π σ 2.5.3 Burmister Burmister estudió la distribución de esfuerzos en un sistema formado por dos capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, de contacto continuo y rugoso. Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en los cuales el módulo de elasticidad de la capa superior (E 1 ) es mayor que el de la capa subyacente (E 2 ), considerándose que si E 1 =E 2 , E 1 /E 2 =1, el incremento de esfuerzo vertical corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq. Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y µ=0.5 (relación de Poisson), según Burmister, tenemos. Profundidad Incremento de esfuerzo vertical z=1m ∆σ z=1.01 t/m 2 z=2m ∆σ z=0.87 t/m 2 z=3m ∆σ z=0.58 t/m 2 z=4m ∆σ z=0.39 t/m 2 z=5m ∆σ z=0.26 t/m 2 z=6m ∆σ z=0.20 t/m 2 z=7m ∆σ z=0.15 t/m 2 z=8m ∆σ z=0.12 t/m 2 z=9m ∆σ z=0.09 t/m 2 z=10m ∆σ z=0.08 t/m 2 42 Fig. 2.12 Incremento de esfuerzo vertical en un suelo estratificado de acuerdo al criterio de Burmister E1/E2 ∆σ z 1 70% 2 55% 5 40% 10 30% 20 22% 100 10% Tabla 2.2 Porcentaje de incremento de esfuerzo vertical, en función de la relación de módulos de elasticidad 2.5.4 Fröhlich Fröhlich en 1942 investiga la distribución de esfuerzos en la masa de suelo semi infinita elástica pero no isotrópica, proponiendo para calcular el incremento de una carga concentrada en la superficie la expresión: 43 Fig. 2.13 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual de acuerdo al criterio de Fröhlich Ψ = ∆ +2 2 cos 2 χ π χ σ z P z (2.23) En donde χ es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich, χ Características 1.5 Incremento de esfuerzo vertical aproximadamente igual a la solución de Westergaard para una masa de suelo semi infinita y estratificada. 2 Incremento de esfuerzo vertical en un estrato semi infinito intermedio entre un suelo isotrópico y un suelo “altamente” estratificado. 3 Incremento de esfuerzo vertical igual a la solución de Boussinesq para una masa de suelo semi infinita e isotrópica. 4 Incremento de esfuerzo vertical equivalente a la solución de Frölich para una masa de suelo semi infinita y un con módulos de esfuerzo que decrecen con la profundidad. Tabla 2.3 Valores del factor de distribución de esfuerzos 44 CAPITULO 3 ASENTAMIENTOS. 3.1 Tipo elástico Se pueden establecer tres tipos básicos de comportamiento mecánico en su relación esfuerzo-deformación, el elástico, el plástico y el viscoso. El comportamiento elástico (Ley de Hoock) establece que al aplicarle un sistema de cargas a un material, existe una deformación, pero al retirarle las cargas el material regresa a su estado geométrico inicial. El comportamiento plástico se caracteriza porque el material permanece deformado aún cuado se le retiren todas las cargas. En el comportamiento viscoso la deformación depende de la magnitud y del tiempo transcurrido En los suelos finos saturados se pueden encontrar los tres tipos de comportamiento, elástico, plástico y viscoplástico En la teoría elástica se establecen las relaciones lineales de los esfuerzos aplicados y sus correspondientes deformaciones. Considerando una partícula de suelo que se deforma. L T Fig. 3.1 Criterio de deformación de una partícula de suelo, producto de un esfuerzo normal Donde: ∆σ Esfuerzo normal ∆ε L Deformación lineal longitudinal ∆ε T Deformación lineal Transversal 45 Módulo de elasticidad E L E ε σ ∆ ∆ = (3.1) Relación de Poisson ν L T ε ε ν ∆ ∆ = (3.2) Debido a que los suelos no tienen un comportamiento elástico, ni lineal, este modelo no se aplica comúnmente a suelos, sin embargo bajo ciertas consideraciones es posible aplicarlo para determinar deformaciones que resulten de un suelo cuando se aplica una carga. El asentamiento (deformación vertical) que se produce en un suelo cuando se aplica una carga, como indicamos la teoría de la elasticidad utiliza básicamente el módulo de elasticidad E y la relación de Poisson ν, existiendo una gran dificultad para determinar estos parámetros, por lo que se limita la aplicación práctica de esta teoría. En arenas el módulo de elasticidad E varía con la profundidad y con el ancho del área cargada, y la relación de Poisson varía con la deformación. Por lo tanto en este tipo de suelos prácticamente no se usa la teoría elástica para predecir asentamientos. En arcillas saturadas, durante la construcción de obras, los asentamientos que se producen sin drenaje del agua intersticial del suelo, se pueden considerar de tipo elástico en el cual el modulo de elasticidad no drenado es constante y la relación de Poisson se considera ν=0.5; con lo que se pueden predecir asentamientos inmediatos (asentamientos elásticos) en estas condiciones. El asentamiento elástico en la superficie de una masa de suelo semiinfinita que acontece en una esquina de un área rectangular flexible, con una carga uniforme w, con un ancho B y una longitud L; se puede determinar por la siguiente formula s I E wB h ) 1 ( 2 ν − = ∆ (3.3) Donde I s es un factor de influencia del asentamiento que depende de la relación Largo/Ancho, que Terzaghi estableció en 1943. Por lo que se propone una función cuadrática para obtener los valores del factor de influencia del asentamiento con gran aproximación a los valores de las gráficas de Terzaghi, con un dominio 5 ) / ( 1 ≤ ≤ B L . I s =-0.03(L/B) 2 +0.29(L/B)+0.30 (3.4) 46 Ejemplo Determinar el asentamiento diferencial inmediato entre el centro y una esquina de un área rectangular flexible de L= 8m de longitud y B= 4m de ancho, a la cual se le aplica una carga w= 4t/m 2 en una arcilla saturada con un módulo de elasticidad E=350t/m 2 Esquina: s I E wB h ) 1 ( 2 ν − = ∆ L/B=2 I s =0.76 ( ) 76 . 0 350 ) 5 . 0 1 )( 4 )( 4 ( 2 − = ∆h cm h 6 . 2 = ∆ Centro: 4 veces el área, L=4m, B=2m s I E wB h ) 1 ( 2 ν − = ∆ L/B=2 I s =0.76 ( ) ( ) 76 . 0 350 ) 5 . 0 1 )( 2 )( 4 ( 4 2 − = ∆h cm h 2 . 5 = ∆ Con lo que se tiene un asentamiento diferencial de 5.2-2.6=2.6cm 3.2 Asentamientos por consolidación En los asentamientos por consolidación es común que se tenga que predecir: • El asentamiento total de la estructura • El tiempo en el cual se produce el asentamiento 47 En suelos granulares como la arena, la permeabilidad es relativamente alta y por ello el exceso de presión intersticial suele disiparse prácticamente al instante, por lo que el asentamiento del suelo no lo consideramos por consolidación. En suelos finos como las arcillas la permeabilidad es baja y por ello la disipación del exceso de presión intersticial es muy lenta, con lo cual este asentamiento puede durar años, como es el caso de la zona lacustre de la Ciudad de México. Cuando un suelo saturado se somete a un incremento de esfuerzos por la aplicación de una carga en la superficie del mismo, se produce un incremento en la presión intersticial (presión en exceso de la hidrostática), y debido a que el agua no resiste esfuerzos cortantes, este incremento de presión intersticial se disipa mediante el flujo del agua hacia un estrato permeable. La disipación del exceso de presión intersticial producto de la permeabilidad del suelo produce una reducción en el volumen de vacíos y por consecuencia una reducción en el volumen total, lo cual se manifiesta con un asentamiento conocido como Asentamiento por Consolidación. El asentamiento por consolidación depende del tiempo como a continuación se indica. Consideremos que tenemos un estrato de arcilla saturado de espesor H, que se encuentra entre dos estratos de arena que le permiten drenar el agua por ambos lados, y en la superficie se coloca una carga que provoca un incremento en la presión del agua intersticial y que se disipará de acuerdo a la permeabilidad de la arcilla, transfiriendo los esfuerzos a la estructura del suelo, considerando teóricamente que el exceso de presión intersticial se disipará en tiempo infinito. Para comprender mejor el proceso de consolidación a continuación se tienen tres esquemas que indican tres etapas del proceso de consolidación, el primer esquema se considera un tiempo t=0, en el segundo esquema un tiempo mayor que cero pero menor que infinito ∞ < < t 0 , y en el tercer esquema, un tiempo infinito ∞ = t ´ Fig. 3.2 Esfuerzos verticales en el tiempo t=0 48 ´ Fig. 3.3 Esfuerzos verticales en el tiempo t>0 ´ Fig. 3.4 Esfuerzos verticales en el tiempo ∞ = t El proceso de consolidación se puede dar en varias dimensiones, para el caso de asentamientos, el enfoque es solamente en sentido vertical con lo que solo se considera el fenómeno de consolidación unidimensional. En el laboratorio la prueba de consolidación, nos da información que se ocupa para poder predecir el comportamiento de un suelo. En la gráfica de la curva de consolidación, se puede observar las dos etapas que tiene un suelo fino sujeto al proceso de consolidación. 49 Fig. 3.5 Curva de consolidación 3.2.1 Asentamientos por consolidación primaria 3.2.1.1 Determinación de asentamientos Consideremos un estrato de arcilla saturada de espesor H, bajo una presión producto de una sobrecarga en la superficie que provoca un incremento de esfuerzo vertical (promedio) ∆σ, que inducirá un asentamiento ∆H, cuando ∆σ= ∆σ´. Fig. 3.6 Asentamiento producto de un incremento de esfuerzo vertical 0 1 e e H H + ∆ = ∆ (3.5) Despejando obtenemos la formula general para calcular asentamientos por consolidación H e e H o + ∆ = ∆ 1 (3.6) 50 Las arcillas tienen “memoria”, como lo demuestran las típicas curvas de compresibilidad, en las cuales, el Tramo de Recomprensión nos indica los esfuerzos geológicos a los cuales ha estado sometido el suelo. Terzaghi descubrió que en las curvas de compresibilidad de suelos laminares dibujadas en escalas semilogarítmicas el tramo virgen es prácticamente recto, con lo que se pueden separar del tramo de recompresión, determinando el esfuerzo de preconsolidación σ´ c , (método de Casagrande). ´ ´ Fig. 3.7 Curva de compresibilidad Por lo anterior se tendrán dos formas diferentes de asentamientos en la consolidación primaria: Preconsolidada: Debida a esfuerzos menores del esfuerzo de preconsolidación σ´ c , lo que provocará pequeños asentamientos. Normalmente consolidada: Debida a esfuerzos mayores al esfuerzo de preconsolidación σ´ c , con lo que se tendrán asentamientos significativos. Una formula común también para determinar el asentamiento es en función de las pendientes de la curva de compresibilidad. Coeficiente de compresibilidad ´ σ ∆ ∆ = e a v (3.7) Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría H e a H o v ´ 1 σ ∆ + = ∆ (3.8) 51 Coeficiente de variación volumétrica e a m v v + = 1 (3.9) Con lo que la formula para calcular el asentamiento, quedaría H m H v ´ σ ∆ = ∆ (3.10) Índice de compresibilidad (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo virgen) ´ ´ ´ log o o c e C σ σ σ ∆ + ∆ = (3.11) Con lo que la formula para calcular el asentamiento (normalmente consolidada), quedaría H e C H o o o c ' ´ ´ log 1 σ σ σ ∆ + + = ∆ (3.12) Índice de expansión (pendiente en gráficas semi-logarítmicas en el tramo de descarga o expansión, usado también como equivalente en el tramo de recarga) ´ ´ ´ log o o s e C σ σ σ ∆ + ∆ = (3.13) Con lo que la formula para calcular el asentamiento (preconsolidada), quedaría H e C H o o o s ' ´ ´ log 1 σ σ σ ∆ + + = ∆ (3.14) Índice de compresión (Cc). Terzaghi con la finalidad de de realizar cálculos aproximados de consolidación primaria propuso las siguientes formulas empíricas del el Índice de compresión: Para arcillas inalteradas Cc=0.009(LL-10) (3.15) Para arcillas remodeladas Cc=0.007(LL-10) (3.16) 52 En donde LL es el límite líquido en porciento Índice de expansión.(Cs). Se determina por pruebas de laboratorio y se encuentra entre el siguiente rango: Cc a Cs 10 1 5 1 = (3.17) Ejemplo Determinar el asentamiento por consolidación primaria en el estrato de arcilla, de la siguiente figura (cotas en metros): Datos: Carga en la superficie: ∆σ=6t/m 2 Arena (Suprayacente): γ seco =1.6t/m 3 γ sat. =1.8t/m 3 Arcilla: γ sat. =1.9t/m 3 σ´ c =10t/m 2 53 e o =0.9 LL=50 Cs=0.2Cc Esfuerzo efectivo (promedio) a la mitad del estrato de arcilla σ´ o =2.0(1.6)+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.9-1) σ´ o =7.50t/m 2 σ´ c =10t/m 2 >σ´ o =7.50t/m 2 σ´ o +∆σ´=7.5+6.0=13.5t/m 2 Índice de compresión (Cc). Cc=0.009(LL-10)=0.009(50-10)=0.36 Índice de expansión.(Cs). (Se considera semejante a la recompresión) Cs=0.2Cc=0.2(0.36)=0.07 Asentamiento en la zona preconsolidada H e C H o o o s ' ´ ´ log 1 σ σ σ ∆ + + = ∆ ( ) 0 . 6 5 . 7 10 log 9 . 0 1 07 . 0 + = ∆H ∆H p =0.03m. Asentamiento en la zona normalmente consolidada H e C H o o o c ' ´ ´ log 1 σ σ σ ∆ + + = ∆ ( ) 0 . 6 10 5 . 13 log 9 . 0 1 36 . 0 + = ∆H ∆Hn=0.15m. Por lo que el asentamiento total será: 54 ∆H=0.18m. Ejemplo Considerando el estrato de arcilla calcular el asentamiento por consolidación primaria, que se produce por colocar una zapata cuadrada (cotas en metros) Datos: Zapata: Cuadrada de 1.6 X1.6 mts. Suelos: Arena suprayacente Arcilla normalmente consolidada γ seco =1.6t/m 3 γ sat =1.7t/m 3 γ sat =1.8t/m 3 e o = 1.0 LL=40 Asentamiento: Asentamiento en la zona normalmente consolidada H e C H o o o c ' ´ ´ log 1 σ σ σ ∆ + + = ∆ C c =0.009(LL-10)=0.009(40-10)=0.27 55 e o = 1.0 H=6m σ o ´=2.0x1.6+2.0(1.8-1.0)+3.0(1.7-1.0)=6.9t/m 2 Determinando el incremento de esfuerzo (a la mitad del estrato), por el método de Fadum: Considerando ( ) 2 2 / 25 . 31 6 . 1 6 . 1 80 m t m x t q = = z x Y m=x/z n=y/z w o 5.5 1.6/2 1.6/2 0.107 0.107 0.009757 ∆σ´=4qw o =1.22t/m 2 Substituyendo 0 . 6 90 . 6 22 . 1 90 . 6 log 1 1 27 . 0 + + = ∆H m H 057 . 0 = ∆ 3.2.1.2 Porcentaje de asentamiento y tiempo de consolidación La consolidación es un fenómeno en el cual el tiempo es un factor importante, como ejemplo tenemos que la consolidación regional de la Ciudad de México lleva más de cien años y a mediados del siglo pasado se realizaron obras como el drenaje profundo para dar solución a la eliminación de aguas residuales del Valle de México. Así también se establecieron políticas de prohibición a la extracción de aguas subterráneas que acelera el proceso de consolidación y el acondicionamiento de nuevos lagos sobre el ex- lago de Texcoco para establecer recargas a los acuíferos. Como la consolidación aumenta con la disipación de la presión en exceso de la hidrostática, una forma de determinar el porcentaje de asentamiento U, es comparando la presión en exceso de la hidrostática ∆µ en un tiempo t, con la presión en exceso de la hidrostática ∆µ o al inició. o U µ µ ∆ ∆ − =1 (3.18) Entre los factores que influyen en el tiempo del asentamiento, se encuentran la relación de vacíos e, el coeficiente de permeabilidad k, el espesor del estrato H, el número de fronteras permeables (sobreyacente y/o subyacente) N, el coeficiente de compresibilidad (razón de cambio de relación de vacíos con cambios de esfuerzos) a v , y el 56 peso especifico del agua γ ω . De acuerdo a la Teoría de la Consolidación primaria, estos factores podemos agruparlos en una razón adimensional llamada factor tiempo T, que se define con la siguiente expresión. ( ) ω γ v a H k e t T 2 1+ = (3.19) H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la consolidación Este análisis teórico esta basado en un suelo homogeneo, saturado y que es constante la siguiente relación ( ) v a e k + 1 (3.20) El porcentaje de consolidación U, se expresa como una expresión matemática en función del factor tiempo. U T ( ) 100 1 0 10000 n 8 2 n ⋅ 1 + ( ) 2 π 2 ⋅ ¸ ( ¸ ÷ ¸ ( ¸ e 2 n ⋅ 1 + ( ) 2 π 2 ⋅ T ⋅ ¸ ( ¸ 4 ÷ ¸ ( ¸ − ⋅ ∑ = − ¸ ( ( ( ¸ ⋅ := (3.21) En donde el límite superior de la sumatoria es infinito, pero para fines de establecer la gráfica se consideró 10,000, quedando la gráfica de la siguiente forma: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 U T ( ) T Fig. 3.8 Curva hipotética (asintótica) del porcentaje de consolidación en función del factor tiempo 57 Tabla de la función teórica de consolidación U% T 0 0.000 10 0.008 15 0.018 20 0.031 25 0.049 30 0.071 35 0.096 40 0.126 45 0.159 50 0.197 55 0.238 60 0.287 65 0.342 70 0.405 75 0.477 80 0.565 85 0.684 90 0.848 95 1.127 100 • Tabla 3.1 Valores del Factor Tiempo T, en función del porcentaje de consolidación El coeficiente de coeficiente de consolidación C v ( ) ω γ v v a k e C + = 1 (3.22) Se obtiene en el laboratorio a través de la gráfica de la Curva de Consolidación (tiempo – deformación), por el método del logaritmo del tiempo (Casagrande y Fadum) o por método de la raíz cuadrada del tiempo (Taylor). Método del logaritmo del tiempo Método de la raíz cuadrada del tiempo 50 2 50 t H T Cv = 90 2 90 t H T Cv = T 50 =0.197 T 90 =0.848 H = Es la trayectoria de drenaje promedio más larga durante la prueba de consolidación Tabla 3.2 Formulas más comunes para obtener el coeficiente de consolidación Por lo que se puede aplicar en para predecir el tiempo del asentamiento en campo con la formula: 58 Cv TH t 2 = (3.23) H = Es la trayectoria vertical de drenaje promedio, más larga durante la consolidación Ejemplo Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro inmediatamente después de aplicar la carga, y que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A se tiene una altura h (arriba del N.A.F.) de 4 m ² Determinar cual será la elevación del agua de piezómetro (arriba del N.A.F.) inmediatamente después de aplicar la carga La presión del agua en exceso de la hidrostática, la determinamos dividiendo entre el peso especifico del agua m m t m t m t o 10 / 1 / 10 / 10 3 2 2 = = = ∆ = σ µ m o 10 = µ Que grado de consolidación se tiene cuando en el punto A se tiene una altura h (arriba del N.A.F.) de 4 m % 60 100 10 4 1 100 1 = | . | \ | − = | | . | \ | − = o a U µ µ % 60 = U 59 Ejemplo Considerando el estrato de arcilla del ejemplo anterior, determinar el tiempo para que se produzca el 50% y 90% de consolidación primaria (cotas en metros). Considerando que el coeficiente de consolidación se determina por los siguientes datos de laboratorio: Espesor del espécimen 2.54 cms 0.0254 m. Drenado: ambas caras Tiempo requerido 50% de consolidación 3 min 180 seg Cv 0.197 0.0254 2 | \ | . 2 ⋅ ¸ ( ( ¸ 180 := s m C v / 10 765 . 1 7 − × = Tiempo para que se produzca el 50% de asentamiento t 50 0.192 6 2 | \ | . 2 ⋅ ¸ ( ( ¸ Cv := seg t 6 50 10 789 . 9 × = t 50 =113dias Tiempo para que se produzca el 90% de asentamiento 60 t 90 0.848 6 2 | \ | . 2 ⋅ ¸ ( ( ¸ Cv := seg t 7 90 10 324 . 4 × = t 90 =500dias Se debe tener en cuenta que la función teórica tiempo – asentamiento es de tipo asintótica, y el 100% de asentamiento se alcanza en un tiempo infinito, es por esto que comúnmente se determina el tiempo para un asentamiento al 90% que da un pronóstico próximo al del 100%. 3.2.2 Asentamientos por consolidación secundaria Como se ha indicado, la consolidación primaria es considerada el asentamiento producto de la transferencia del incremento de esfuerzo en exceso de la hidrostática, al esfuerzo efectivo del suelo. Se considera que en los suelos orgánicos o inorgánicos altamente compresibles, el asentamiento conocido como flujo plástico, debido al ajuste plástico de la estructura del suelo, es conocido con el nombre de Consolidación Secundaria, y teóricamente se sucede después de la consolidación primaria (aunque algunos investigadores indican que una parte de la consolidación secundarias, se da al mismo tiempo de la consolidación primaria)- En algunos suelos inorgánicos (arcillas y/o limos) el asentamiento por consolidación secundaria es muy pequeño y no tiene importancia, sin embargo en suelos orgánicos como turbas o en suelos inorgánicos altamente compresibles estos asentamientos pueden ser relativamente considerables. En la gráfica de relación de vacíos – tiempo (en escala logarítmica), se puede ver que el tramo de consolidación secundaria es prácticamente una línea recta con una pendiente (negativa) poco inclinada. Fig. 3.9 Curva de consolidación 61 Fig. 3.10 Tramo de consolidación secundaria El índice de compresión secundaria C α , es la pendiente de la línea (prácticamente recta) de tramo de consolidación secundaria, y se puede definir como: | | . | \ | ∆ = − ∆ = 1 2 1 2 log log log t t e t t e C α (3.24) Como el asentamiento se puede determinar con la siguiente formula H e e H o + ∆ = ∆ 1 (3.25) Substituimos ∆e para determinar la formula del asentamiento por consolidación secundaria. H t t e C H p | | . | \ | + = ∆ 1 2 log 1 α (3.26) En donde e p, la relación de vacíos final de la consolidación primaria y la inicial de la consolidación secundaria. 62 Ejemplo En un estrato de arcilla de 5 metros de espesor, el asentamiento por consolidación primaria tendrá una variación en su relación de vacíos de e o =0.90 inicial, a e p =0.82 final, producto de la colocación de una carga en la superficie, y se sucederá en un lapso de 4 años. Estimar el asentamiento por consolidación secundaria que ocurrirá a los 8 años de haber colocado la sobre carga, considerando que el índice de compresión secundaria es C α =0.020 C α =0.020 e p =0.82 t 2 =8 años t 1 =4 años H=5 m. H t t e C H p | | . | \ | + = ∆ 1 2 log 1 α 5 4 8 log 82 . 0 1 02 . 0 | . | \ | + = ∆H m H 033 . 0 = ∆ 3.3 Expansiones En excavaciones profundas se presenta el fenómeno de expansiones causadas por la descarga del suelo que se encuentra en el fondo, sin embargo en suelos no plásticos la magnitud de la expansión es prácticamente despreciable, pero en arcillas altamente compresibles el fenómeno es importante sobre todo cuando se realizan trabajos de cimentaciones compensadas en las cuales observan asentamientos importantes, causados por la recuperación de las expansiones generadas durante el proceso de excavación y construcción de la estructura. El abatimiento del nivel de aguas freáticas por el proceso constructivo, produce también fuerzas de filtración del flujo del agua ascendentes en forma de subpresiones que contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla 63 Fig. 3.11 Subpresiones que contribuyen a la expansión volumétrica de la arcilla Las expansiones en las arcillas altamente expansivas, son producto de excavaciones que reducen la presión vertical, se pueden dividir en dos etapas: la primera es producto de las distorsiones en la masa de arcilla que subyace la base de la excavación y se le llama expansión inmediata; la segunda que se desarrolla gradualmente con un aumento en el volumen de la arcilla (tramo de descarga en la grafica de consolidación) y que se le llama expansión lenta. La suma de las expansiones, la expansión inmediata ∆E i y la expansión lenta ∆E l se puede considerar como la expansión total ∆E t l i t E E E ∆ + ∆ = ∆ (3.27) EXPANSIÓN INMEDIATA. ∆E i La expansión inmediata se asemeja a la expansión que sufre una probeta de arcilla inalterada en una prueba de compresión triaxial no drenada, en el momento en que se le descarga axialmente. En la prueba mencionada se puede determinar su módulo de elasticidad en la compresión considerado como la relación entre el esfuerzo axial promedio (50%) σ c, entre su deformación unitaria axial correspondiente ε c . c c c E ε σ = (3.28) El módulo de elasticidad de expansión se considera un 20% mayor que el de compresión, por lo que puede expresar como: c e E E 2 . 1 = (3.29) 64 El cálculo de la expansión se considera de tipo elástico y se puede determinar en forma semejante al cálculo del asentamiento elástico. Calculo del asentamiento elástico Calculo de la expansión inmediata (elástico) s I E wB h ) 1 ( 2 ν − = ∆ f e Df i F E B w E ) 1 ( 2 ν − = ∆ B= ancho de la cimentación w= sobrecarga ν= 0.5 Módulo de Poisson E= Módulo de elasticidad (compresión) I s = Factor de influencia (Terzaghi) B= ancho de la cimentación W Df = Descarga ν= 0.5 Módulo de Poisson E s = Módulo de elasticidad de expansión F f = Factor de forma (Egorov) Tabla 2.3 Comparación de las formulas de asentamiento y expansión elasticos El factor de forma F f de Egorov para cimentaciones cuadradas, establece valores que van de 0.7 a 1.05, para relaciones de profundidad del estrato Z/B de 1 a 10, siendo aproximadamente 1 con una relación Z/B=4; para cimentaciones rectangulares con una relación de 1:2 (ancho largo), los valores varían de 0.8 a 1.45, para relación de profundidad del estrato 1 a 10, siendo aproximadamente 1.1 con una relación Z/B=2. Ejemplo En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 10 metros de espesor, subyacente en el fondo de una excavación para una cimentación cuadrada de 10 x 10 mts., tiene las siguientes caracteristicas. E s = 40kg/cm 2 ν= 0.5 w Df = 1.5kg/cm 2 B= 1000 cm Z= 500 cm. Factor de forma Ff, es L/B=1 Cuadrada Z/B=1000/1000=1 Ff= 0.7 65 f e Df i F E B w E ) 1 ( 2 ν − = ∆ ( )( ) ( ) 7 . 0 40 ) 5 . 0 1 ( 1000 5 . 1 2 − = ∆ i E cm E i 7 . 19 = ∆ EXPANSIÓN LENTA. ∆E l La expansión lenta inicia en el momento que se realiza la excavación y puede durar mucho tiempo (años incluso), dependiendo de los procesos constructivos y tipos de cimentaciones. Para medir los parámetros de expansión lenta, se realiza una prueba de expansión volumétrica, en un consolidómetro de anillo fijo, en la primera parte se comprime el espécimen inalterado de arcilla hasta su presión de preconsolidación y en la segunda parte se descomprime el espécimen para medir las expansiones a través del tiempo, producidas de acuerdo a los decrementos de carga. En los resultados de la prueba de expansión volumétrica expansión – tiempo se determinan dos etapas de expansión, la primaria y la secundaria, la primera está en función de la velocidad con que el agua es succionada por la parte superior del espécimen y la segunda esta en función del fenómeno de adsorción del agua en el espacio Intercoloidal de la arcilla. La expansión lenta primaria representa más del 85% de la expansión lenta y se puede ocupar en la práctica para determinar este tipo de expansión. El cálculo de la expansión lenta se puede determinar en forma semejante al cálculo del asentamiento por consolidación. Calculo del asentamiento por consolidación Calculo de la expansión lenta H m H v ´ σ ∆ = ∆ H W m E Df e l ´ = ∆ m v = Coeficiente de variación volumétrica ∆σ´= Incremento de esfuerzo efectivo H= Espesor del estrato m e = Modulo de expansibilidad volumétrica W Df ´= Decremento de presión en campo H= Espesor del estrato Tabla 3.4 Comparación de las formulas de asentamiento por consolidación y expansión lenta 66 El módulo de expansibilidad volumétrica m e , se obtiene en el laboratorio a través de la siguiente fórmula D i p e W H E m 100 100 ∆ = (3.30) Donde tenemos m e100 = Módulo de expansibilidad primaria (100%) ∆E p100 = Expansión primaria máxima del espécimen H i = Espesor inicial del espécimen recomprimido a la presión de preconsolidación W D = Decremento de presión en la prueba Ejemplo En un estrato de arcilla blanda, homogénea de 5 metros de espesor, se realizan pruebas de laboratorio para determinar sus características de expansión, obteniéndose un módulo de expansibilidad primaria m e100 =0.08cm 2 /kg, el decremento de presión sobre el estrato de arcilla es de W Df ´=0.6kg/cm 2 . Determinar la expansión lenta (considerando que se desprecia la etapa de expansión secundaria). H= 500cm H W m E Df e l ´ = ∆ ( )( )( ) 500 6 . 0 08 . 0 = ∆ l E cm E l 24 = ∆ 67 CAPITULO 4 CAPACIDAD DE CARGA. 4.1 Introducción La capacidad de carga de un suelo, se puede definir como el estado límite de falla de un suelo en una cimentación. De acuerdo a los reglamentos de construcción el estado límite de falla se entiende, por la situación que corresponde al agotamiento de la capacidad de carga del terreno de cimentación o al hecho de que ocurran daños irreversibles que afecten significativamente la resistencia del suelo ante nuevas aplicaciones de carga. El Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (Publicado en la Gaceta Oficial del Distrito Federal el 29 de enero de 2004) en su Capitulo III DE LOS CRITERIOS DE DISEÑO ESTRUCTURAL, en el Articulo 146, establece Toda edificación debe contar con un sistema estructural que permita el flujo adecuado de las fuerzas que generan las distintas acciones de diseño, para que dichas fuerzas puedan ser transmitidas de manera continua y eficiente hasta la cimentación. Debe contar además con una cimentación que garantice la correcta transmisión de dichas fuerzas al subsuelo. Así mismo en el Artículo 147, dice, Toda estructura y cada una de sus partes deben diseñarse para cumplir con los requisitos básicos siguientes: I. Tener seguridad adecuada contra la aparición de todo estado límite de falla posible ante las combinaciones de acciones más desfavorables que puedan presentarse durante su vida esperada En Mecánica de Suelos se define este estado límite de falla del suelo, como la capacidad de carga última de un suelo. 4.2 Teorías de capacidad de carga En el Capitulo IV del RCDF. DEL DISEÑO DE CIMENTACIONES, en el artículo 169, establece: Toda edificación se soportará por medio de una cimentación que cumpla con los requisitos relativos al diseño y construcción que se establecen en las Normas. Las edificaciones no podrán en ningún caso desplantarse sobre tierra vegetal, suelos o rellenos sueltos o desechos. Sólo será aceptable cimentar sobre terreno natural firme o rellenos artificiales que no incluyan materiales degradables y hayan sido adecuadamente compactados. Las teorías para la determinación de la capacidad carga establecen modelos para el diseño de cimientos sobre suelos en estado natural, y aplicables a rellenos artificiales con un correcto control de calidad. 68 Existen diferentes Teorías para determinar la capacidad de carga de un suelo, Prandtl, Hill, Terzaghi, Skempton, Meyerhof, etc., todas en función de las propiedades y características del suelo; así como también en función de las características de la cimentación. 4.2.1 Terzaghi La Teoría de Terzaghi para determinar la capacidad de carga de un suelo cubre el caso más general, pues se aplica a suelos con cohesión y/o fricción, y se considera la teoría más usada para determinar la capacidad de carga en cimientos poco profundos (aquellos en que el ancho del cimiento B, es igual o mayor a la distancia vertical entre el nivel del terreno y la base del cimiento, Df). Fig. 4.1 Modelo de cimentación poco profunda de ancho b Terzaghi en su teoría desprecia la resistencia al esfuerzo cortante arriba del nivel de desplante del cimiento. Esta Teoría establece que una zapata continua descansa sobre una superficie de suelo, el terreno falla a través de tres zonas. Debido a la fricción y cohesión entre el suelo y la base de la cimentación, la zona I actúa como una cuña que se introduce en el suelo como si fuera parte de la zapata formando el los lados del triangulo ángulos de (45 o +ϕ/2); las zonas II son de deformación tangencial radial y las curvas de falla son espirales logarítmicas, cuyos centros se localizan en las aristas de la base de la cimentación; Las zonas III son zonas de estado plástico pasivo de Ranking y sus fronteras forman un ángulo de (45 o -ϕ/2) con la horizontal. El mecanismo de falla se indica en la siguiente figura par un cimiento poco profundo. 69 Fig 4.2 Modelo de falla de cimentación infinita, poco profunda de ancho b, de Terzaghi Por lo anterior se deduce que la capacidad de carga de un suelo, depende de: • Resistencia al esfuerzo cortante (cohesión y/o fricción) • Ancho de la cimentación • Peso volumétrico del suelo y del relleno arriba del nivel de desplante • Profundidad del cimiento. Por lo que Terzaghi propone la siguiente formula para determinar la capacidad de caga última de un cimiento continuo, poco profundo: q f q c u N D cN N B q γ γ γ + + = 2 1 (4.1) En donde se suma la capacidad de carga con la que contribuyen, la parte friccionante, la parte cohesiva y la parte relativa a la profundidad de desplante. B= Ancho de la cimentación γ= Peso volumétrico del suelo debajo de la cimentación ϕ= Ángulo de fricción interna del suelo debajo de la cimentación c= Cohesión γ q = Peso volumétrico del suelo arriba del nivel de desplante de la Cimentación Df = Profundidad de desplante Nγ , Nc y Nq = Factores de carga en función del ángulo de fricción interna del suelo debajo del desplante de la cimentación 70 Los factores de carga los determinan los diferentes códigos de construcción, según los tipos de suelos. Se pueden determinar a través de las siguientes formulas. ) 2 45 ( tan 0 2 tan ϕ ϕ π + = e N q (4.2) ϕ γ tan ) 1 ( 2 + = q N N (4.3) ϕ tan / ) 1 ( − = q c N N (4.4) A continuación se en listan los valores de los factores de carga ϕ γ N c N q N 0 0 5.14 1 1 0.07 5.38 1.09 2 0.15 5.63 1.20 3 0.24 5.90 1.31 4 0.34 6.19 1.43 5 0.45 6.49 1.57 6 0.57 6.81 1.72 7 0.71 7.16 1.88 8 0.86 7.53 2.06 9 1.03 7.92 2.25 10 1.22 8.34 2.47 11 1.44 8.80 2.71 12 1.69 9.28 2.97 13 1.97 9.81 3.26 14 2.29 10.37 3.59 15 2.65 10.98 3.94 16 3.06 11.63 4.34 17 3.53 12.34 4.77 18 4.07 13.10 5.26 19 4.68 13.93 5.80 20 5.39 14.83 6.40 21 6.20 15.81 7.07 22 7.13 16.88 7.82 23 8.20 18.05 8.66 24 9.44 19.32 9.60 25 10.88 20.72 10.66 26 12.54 22.25 11.85 27 14.47 23.94 13.20 28 16.72 25.80 14.72 29 19.34 27.86 16.44 30 22.40 30.14 18.40 31 25.99 32.67 20.63 71 32 30.21 35.49 23.18 33 35.19 38.64 26.09 34 41.06 42.16 29.44 35 48.03 46.12 33.30 36 56.31 50.59 37.75 37 66.19 55.63 42.92 38 78.02 61.35 48.93 39 92.25 67.87 55.96 40 109.41 75.31 64.19 Tabla 4.1 valores de los factores de carga, de acuerdo al criterio de Terzaghi Estos factores de carga, aplicados en la formula de Terzaghi, representan el comportamiento de un suelo incompresible, hipótesis que se cumple en suelos compactos considerando este caso como falla general (Dr>70%), para suelos sueltos, como falla local (Dr70%) * tan tan ϕ α ϕ = Falla Intermedia (70%