Leonhardt tomo i (Hormigón Armado)

1. Fria Leonhardt TOMO I ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Bases para el dimensionado de estructuras de hormig6n armado 2. , ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO • 3. PLAN DE LA OBRA TOMO I F. Leonhardl • E. MOnnlg: BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMI. GON ARMADO TOMO 11 F. Leonhardt - E. MOnnlg: CASOS ESPECIALES DEL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO /fJ F. Leonhardl • E. MOnnig: BASES PARA EL ARMADO DE ESTRUCTURAS DE HOAMIGON AR. MADO TOMO IV F. leonhardt: VERIFICACION DE LA CAPACIDAD DE USO TOMO V F. Leonhardl: HOAMIGON PRETENSADQ TOMO VI F. Leonhardt: BASES PARA LA CONSTRUCCrON DE PUENTES MONOLlTICOS - • 4. ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO I BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Fritz Leonhardt Ingeniero civil. Profesor emérUo en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgart. - .Eduard Monnig Doctor ingeniero. Doctor Honoris Causa. Profesor eménto en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgarl. •11111111 Traducción del Ingeniero civil CURT R. LESSER, Diploma de Honor de la U.B.A. (1936), con la desinteresada colaboración del Ingeniero civil ENRIQUE D. FLlESS ( t 1984), Profesor Emérito de la U.B.A. SEGUNOA I niCie N REVISADA Reimpresión LtBAERIA " EL ATENEO" EDITORIAL IUENOS AIRES· LIMA - AIO DE JAIIIEIRO • CARACAS· MUltO " BARCELONA · MADRID · I OGOTA 5. • "El Ateneo" quiere dejar constancia del desinteresado asesoramiento y apoyo para la realización de esta obra, prestados en todo momento por e/Ingeniero Enrique D. Titulo de r. obra original: " Vorlesungen über Massivbau" C> 1973 por Sprlnger • VerlaO. Berlln/Heldelberg Todos los derechos reservados. Este libro no puede reproducirse, lola' o parcialmente, por nlngUn método gr',lco, eleclrónlco o mecánico, Incluyendo loa sistemas de fotocopia, regIstro magnetofónico o de allmemacl6n de datos, sin expreso consentimIento del editor. Oued. hecho.1 dePósllo QUoe " ',bleee I1 ley N° 11723 1985. 198&, 1988. " El ATENEO" Pedro Garera S.A L,lmu liI. Edltorl.1 • Inmobiliaria, Florida 340, Bue no~ Aires Fundaóa en 1912 por don PedrQ Gafer• . ..S.B.N'. 950-02·5242·2 ediciÓn completa Flless (t .1984), prestigioso y antiguo colaborador de nuestra casa. • lS.B.N. 950-02-5259-7 tomo 1, segunda edición, revisada y corregida (I.S.B.N. 950-02-5243·0 tomo 1, segunda edición) J.S.B.N. 3-540-06488-5 Sprlnger . Verlag, Berlin, edición original Imp,.1Q en T. G Y"NIN.... A. Aroentlna ~. v "lIlna. B. Aa., " 10 lIe ma.ro .,. t g/lll IMPRESO EN LA ARGENTINA , 6. Prólogo Sin duda 8S un honor prologar una obra del Dr. Ing. Leonhardt y especlalme,1te ésta que llene tanta Importancia en 10$ más recientes progresos en la TécnIca de las Construc· ciones de Hormigón Armado y Pretensado. En electo. en los albores de esta técnica fas bases rBcionales con sustento experimen- ta/ fueron establecidas por el famoso Ingeniero E. M6rsch en numerosos trabajos y en su cono- clde obra en seis tomos, cuya traducción a nuestro fdloma ha tenido amplia difusión (Teorla y practica del hormigón armado). La obra de MOrsch data de la décade de/30 y desde entonces se ha progresado mucho en la teorfa yen fas aplicaciones del hormigón armado. Varios nombres pueden asociarse 8 as- tas progresos, tafes como Sa/iger, Olschlnger, Pucher, etcétera, pero, sin duda, la Influencia más notable es la de Leonhardt, que ha realizado profundos estudios teórIcos, además de "u- merosas experiencias en la Universidad de Stuttgart_ • Conviene tener presente que los reglamentos en uso en la época de Morsch, tales como la OIN 1045 en su edición de 1932, que fue adaptade en nuestro Reglamento Técnico de la Ciudad de Buenos Aires de 1935, constltulan prácticamente un "manual" en el que unas pocas reglas prácticas permitlan proyectar todos los elementos constitutivos de una estructura de hormigón (en aquella época solamente en bases. columnas. vigas y losas). Eran tan simples las reglas que aun un IngenIero sin conocimIentos profundos de la Técnica de las Construcciones, ni del Análisis Estructural, podfa realizar un proyecto sin dificultad. De aquel/os reglamentos-manual se ha pasado ahora a lo que pOdrramos l/amar los reglamentos-tratado. En estos últimos, por ejemplo la Norma OIN 1045 de 1978, además de reglas constructivas y de proyecto, se plantean una serie de problemas cuya resolucIón queda 8 cargo de quien realiza el proyecto en cada caso particular. El proyectista en nuestros dlas debe ser, para poder actuar con éxito, un profundO cono- cedor de la Mecánica de las Estructuras. Lalnlfuencla de Leonhardt en la Norma O/N 1045 delalJo 1978es, sin duda, importantlsl- ma y se ha ejercido a través de la ComisIón Alemana para el Hormigón Armado y también del Comité Euro-Internacional del Hormigón. En nuestro pals acaban de ser aprobadOS, en el ámbito nacionel, los Reglamentos CIR- SOC (Centro de InvestigacIón de los Reglamentos Nacionales de SegurIdad para las Obras Ci- viles) que en lo concerniente al Calculo de los Elementos de Hormigón Armado y Pretensado son fundamentalmente una adaptacIón de la norma alemana citada en último término. La importancia de la obra de Leonhardt, que a partir de ahora estará al alcance de los estudiosos Ingenieros de habla hispana, asl como de quienes tengan un Interés profesional en el hormigón armado, resulta de que él mIsmo no sOlo ha Influido en las nuevas normas, sino que además es un critico de algunos aspectos de e/1as, con los que no está de acuerdo. Sus de- sacuerdos en la gran mayorla de los casos tienen también sustento experimental y los resulta- dos de sus experiencias están cuidadosamente expuestos en este magistral tratado. Considero que esta obra es Indispensable para cualquier Ingeniero que deba tratar en " VII 7. alguna forma los temas del hormlg6n armado y pretensado, puesto que en ella encontrarán no 1010 el porqué de muchas disposiciones reglamentarias que ahora, por lo que se dilo, son co- munes a la Norma OIN y a los Reglamentos CIRSOC, sino también /a descrlpci6n de su funda- mento experimental y además su crftica muy correctamente sustentada. La versl6n en nuestro Idioma fue realizada por e/Ingeniero Curt R. Lesser, egresado en 1936 de la Universidad de Buenos Aires con Diploma de Honor, habiendo tenido durante su ex- tensa carrera profesional un Intimo contacto con las estructuras de hormig6n. En esta impor- tante y dillclltarea cont6 con la desinteresada colaboraci6n y gula del Ingeniero Enrique D. A. Flless ( t 1984), Profesor Emérito de la Universidad de Buenos Aires. cuya versaci6n en los te- mas relacionados con e/ hormigón armado quedó evidenciada a lo largo de una serie de traba- jos de la especialidad bien conocidos en nuestro medio y en al extranjero. En los tiempos que vivimos. la vida útil de los textos y los IIatados es, en general. muy breve. Puedo afirmar que en este caso /a regla general no se cumplirá pues los experimentos y fa profundIdad de la teorfa son tales que perdurarán por muchos allos. Es por ello que esta obra servirá para la formación de alumnos, futuros ingenieros, que luego la seguirán consultando a /0 largo de su vida profeslona/. Esto justifica plenamente el esfuerzo realizado por ellng. Flless. ellng. Lesser y la Edl· torla/ "El Ateneo". Arturo Juan Bignoll Ingeniero civil. Profesor en las Universidades de Buenos Aires y Católica Argentina. Miembro titular de las Academias Nacionales de Ingeniería y de Ciencias Exactas, Flsicas y Naturales y Académico Correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de Córdoba. Buenos Aires, diciembre de 1984 • , VIII 8. Indica Notación, XVII Blbllogralla de mayor Imponencia. XXLII ' , . INTRODUCCtON, 2. HORMIGON, 3 2.1. Cemento, -4 2.1 1. Cementos normales segUn DIN 116-4, -4 2.1.2. Elección del cemento, 5 2.1.3. Cemento no normalizado, 5 2.2. Agregados Inerles, 5 2.2.1. División de los agregados, 5 2.2.2. Dosificación de los agregados, 6 2.3. Agua de amasado, 1 2.4. AdlHvos al hormigón, 1 2.5. Hormigón fresco, 8 2.5.1. Composición del hormigón, 8 2.5.1.1. Contenido de cemento, peso del cemento, 8 2.5.1 .2. Contenido de agua, cantidad de agua, 8 2.5.1 .3. Contenido de material fino, 8 2.5.2. Propiedades del hormigón Iresco, 8 2.6. Factores que Influyen en el endurecimiento del hormigón, 9 2.6.1. Tipo de cemento, 10 2.6.2. Temperatura y grado de madurez, 10 2.6.3. Curado al vapor, 11 2.6.-4. Aecompactado, 11 2.6.5. Curado, 11 2.7. Plazo de desencofrado, 11 2.6. Resistencia del hormigón endurecido, 12 2.8.1. Resistencia ala compresiÓn, 12 2.8.1.1. Probetas y método de ensayo, 12 2.8.1.2. Resistencia caracterlstica /JwN según OIN 10-45, 13 2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormigón, 1-4 2.8.1.-4. Ensayos acelerados, 1-4 • 2.8.1.5. Resistencia a la compresión para cargas de larga duraciÓn, '4 2.8.1.6. Resistencia a la compresiÓn para cargas de fallga u o.cllantes, ,-4 2.8.1.7. Resl.tencla a compresión para temperaturas muy alta, y muy bajas, ,-4 2.8.1.8. Resistencia a la compresión en la estructura, ,-4 2.8.2. Resistencia a la tracción, 15 , IX 9. 2.8.2.1. Resistencia axll a la tracción, 15 2.8.2.2. Resistencia a la tracción por compresiÓn. 15 2.8.2,3. Tracción por flexión (módulo de rotura), t6 2.8.2.4. Valores numéricos de las resistencias a la tracciÓn, t 7 2.8.3. Resistencias para solicitaciOnes en mAs de una direcciÓn, 17 2.8.". Resistencias al corle, punzonado y torsión, 18 2.9. Deformación del hormigón, 19 2.9.1. Deformaciones elasllcas, 19 2.9.1.1. Módulo de elasticidad del hormigón, 19 2.9.1.2. Deformación térmica, 20 2.9.1.3. Deformación y módulo de elasticidad transversales, 20 2.9.2. Deformaciones plásticas, independientes del tiempo, 21 2.9.3. Deformaciones en func l6n del tiempo. 22 2.9.3.1. Tipos y causas, 22 2.9.3.2. Desarrollo y dependencia de la contracciÓn de fraguado , 24 2.9.3.3. Desarrollo y factores Que alectan la 'Iuencla, 25 2.9.3.4. Restricciones a la contracciÓn de fraguado y a la fluencla , 27 2.9.3.5. Efectos de la fluencla y la contracción de fraguado sobre las estructuras. 28 2.9.3.6. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguado y la fluencla segun OIN 1045. 29 2.9.3.7. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguado y de la fluencla segUn OIN 4227, 31 2.10. Propiedades trslcas del hormlg6n desde el punto de vlsla constructivo. 34 2.10.1 . Durabilidad del hormigón. 34 2.10.2. Conductibilidad térmica. 35 3. ACERO PARA HORMIGON. 36 3.1. Clases y grupos de aceros para hormlg6n, 36 3.2. Propiedades de los aceros para hormigón, 37 3.2.1. Resistencias, 37 3.2.1.1. Resistencia a la tracci6n, 37 3.2.1.2. Resistencia a la fatiga, 37 3.2.2. Caracterlsllcas de la deformacl6n, 39 3.3. Influencia de la temperatura sobre las propiedades de los aceros para hormigón, 41 3.4. Aptitud para la soldadura de los aceros para hormigÓn, 42 4. El MATERIAL COMBINADO " HORMIGON ARMADO", 44 4.1. Comportamiento conjunto del acero con el hormig6n, 44 4.1.1. la adherencia en la barra traccionada de hormigÓn armado, 44 4.1.2. la adherencia en vigas de hormigÓn armado, 47 4.1.3. Orlgenes de las tensiones de adherencia en las estructuras portantes. 48 4.2. Forma de actuar de la adherencia, 48 4.2.1. Tipos del efecto de adherencia. 48 4.2.1 .1. Adherencia por contacto, 48 4.2.1.2. Adherencia por rozamiento, 48 4.2.1.3. Adherencia por corte, 50 4.2.2. ley de la deformaciÓn por adherencia. 52 4.2.2.1. DescripciÓn cualitativa de la deformación por adherencia, 52 4.2.2.2. Probetas para el ensayo de arrancamiento, 53 4.2.3. Resistencia a la adherencia, 54 4.2.3.1. Inlluencla de la calidad del hormigón sobre la reslslencla ala adherenCia. 54 4.2.3.2. Inltuencla del perfilado de la superllcle y del diámetro de las barras. 55 4.2.3.3. Influencia de la posiciÓn de la barra. al hormlgonar. 55 4.3. leyes que rigen la adherencia en los elementos de anclaje, 56 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos, 56 4.3.2. Ensayos de arrancamiento en barras con barras trasversates soldadas, 58 4.4. Valores numéricoS de la adherencia para el cálculo, 58 4.4.1. Generalidades, 58 4.4.2. Verilieaci6n da la adherencia según DIN 1045. 58 5. COMPORTAMIENTO BAJO CARGA DE LAS ESTRUCTURAS OE HORMIGON ARMADO, 60 5.1. Vigas simplemente apoyadas de hormigOn armado solicitadas por lIexiOn y corte, 60 5.1.1. Estado, y comportamiento bajo cargas, 60 " x 10. 5.1.1.1. Estados I y 11, 60 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigOn, 65 5.1.1.3. Rigidez y delormaciOn a la lIexlOn, 65 5.1.2. Comportamiento para 'laKjón pura, 66 5.1 .2.1. Capacidad de carga y capacidad liUl, 66 5.1.2.2. Tipos de rotura por flexión, 67 5.1.3. Comportamiento para IlexlÓn y corte, 67 5.1.3.1. Estado 1, 67 5.1.3.2. Estado 11, 67 5.1.3.3. Formas de rotura por corte, 71 5.2. Vigas continuas de hormigón armado, 71 5.3. Barras y vigas solicitadas por torsión, 72 5.3.1. Torsión pura, 12 5.3.2. Torsión con lIelCión y corte, 74 5.4. Columnas y otros elementos comprimidos, 74 5.5. losas (placas) de hormigón armado, 75 5.5.1. Losas de hormigón armado. armadas en una dirección, 75 5.5.2. Losas armadas en dos direcciones, 76 5.5.3. Losas de hormigón armado apoyadas en puntos, 77 5.6. Láminas y vigas de gran altura (vigas-pared). 77 5.7. Estructuras plegadas, 80 5.8. Cáscaras (membranas). 82 5.9. Comportamiento de estructuras de hormigón armado para solicitaciones especiales, 82 5.9.t. Forma de aplicar las cargas, 82 5.9.2. Inlluencia de la temperatura, 83 5.9.3. Fuego, incendios, 83 5.9.4. Contracción del hormlQÓn, 85 5.9.5. Fluencla del hormigón, 85 5.9.6. Comportamiento para oscilaciones e Impactos, 85 5.9.7. Comportamiento slsmico, 86 6. BASES PARA LA VERIFICACIQN DE LA SEGURIDAD, 87 6.1. Conceptos básicos, 87 6.1.1. Objeto, 87 6.1.2. Solicitaciones, 87 6.1.3. limites de las posibilidades de uso. est ados limites, 88 • 6.2. Métodos de cálculo para garantizar la seguridad, 86 6.2.1. El procedimiento antiguo sobre la base de tensiones admisibles, 89 6.2.2. Procedimientos basados sobre los estados limites, 89 6.2.3. Procedimiento basado en la leorla de la probabilidad, 89 6.3. Magnitud de 105 coeficientes de seguridad, 90 6.3.1. Seguridad para la capacidad de carga y estabilidad, 90 6.3.2. Seguridad contra la pérdida de la capacidad de uso, 92 6.4. Dimensionamiento de las estructuras. 92 6.4.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado, 92 6.4.2. Proceso del dimensionado, 93 6,4.3. Dimensionamiento para los distintos tipos de esfuerzos caracterlstlcos en una sección. 93 6.4.4. Influencia sobre los esfuerzos caraclerlstlcos de las relaciones de rigidez de los estados I y 11 en las estructuras estállcamenle Indeterminadas, 94 6.4.5. Observaciones relatlY8S a los procedimientos usuales de calculo, 94 7. DIMENSIONADO PARA FLEXION y ESFUERZO AXIL, 96 7.1. Bases de cálculo, 96 7.1.1. Hipótesis para dimensionar, 96 7.1.2. Valores caracterlstlcos de las resistencias de 108 materiales y de 105 diagramas tensión- deformación, 97 7.1.3. 7.1.2.1. Valores caracterlstlcos del hormigón, 97 7.1.2.2. Valore!! cafacterlstlCOS,del acero para hormigón, 100 Tipos de rotura, distribución de las deformaciones y magnitud del coeficiente de segurl· dad, 100 , XI 11. 7.1.3.1. Tipos de rotura. 100 7.1.3.2. Repartición de las deformaciones especificas y magnitud del coeficiente de segu· rldad, 10t 7.1.4. Esfuerzos caracterlstlcos en las secciones y condiciones de equilibrio, 104 7.1.4.1. Esfuerzos caracterls!icos debidos a causas externas. 104 71.4.2. Esfuerzos Internos en la sección. 105 7.1.4.3. Magnitud y ubicación de la resultante de compresión DI) en el hormigón, 101 7.1.4.4. Condiciones de equilibrio, 110 1.2. Dimensionamiento de secciones con zona comprimida rectangular, 112 7.2.1. Observaciones previas, 112 12.2. Dimensionamiento para lIexión con esfuerzo axU con grandes excentricidades (eje neutro ubicado muy arriba de la sección), 112 1.2.2.1. Ecuaciones para el cálculo numérico, 112 7.2.2.2. Diagrama de dimensionamiento adimenslonal (según H. RCtsch) para secciones sin armadura comprimida, 115 7.2.2.3. Utilización del diagrama de cálculo (según H. Rüsch) para secciones con armadu' ra comprimida, 118 7.2.2.4. Tablas de cálculo, con dimensiones. para secciones sin armadura comprimida. 118 7.2.2.5. Empleo de las labias con dimensiones para secciones con armadura comprimida, 121 7.2.2.8. Deducción de un diagrama de cálculo adlmenslonal para secciones sin armadura comprimida. solicitadas a flexión simple. 124 7.2.2.7. Fórmulas emplrlcas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en l1e. xlón simple normal. 126 7.2.3. Cálculo para lIexlón con esfuerzo axU para excentricidades media y reducida (eje neutro muy bajo o que no corte a la sección), 127 1.2.3.1. Diagramas de cálculo según Morsch'Pucher para armadura asimétrica (el eje neutro corta a la sección muy abajo de la misma). 127 7.2.3.2. Diagrama de cálculo para flexión con esfuerzo axil y armadura simétrica. '33 7.2.3.3. Dimensionado para esfuerzo normal de tracción con pequena excentricidad. '36 7.2.4. Diagramas generales para el dimensionado de secciones rectangulares (diagramas de in· ler.cclón), 137 7.3. DimenSionado de secciones para zona comprimida ~el hormigón no rectangular. '39 7.3.1. Inlroducclón, 139 1.3.2. Ancho activo de las vlgas·placa, 139 7.3.2.1. Planteo del problema, 139 7.3.2.2. Determinación del ancho activo, 143 7.3.3. Dimensionamiento de las vigas-placa, 145 7.3.3.1. División de los procedimientos de calculo. 145 1.3.3.2. Dimensionado Sin aproximaciones, 146 7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con b/bo 35. SI se elimina dicha restricción a la deformación transversal por Interposición de esponjas o ce- pillos de alambre de acero (26, 27] (Fig. 2.9 b), se obtienen valores menores de la resistencia a la compresión. Carga mediante placas ~!zz!ZZ~{ rlgldas de acero ~nlmfitf- ~::;~:~:. ~"~avéS de esponjas o U alambre de acero , I,,,, ,, ~ Deformación transversal ,, aJConos do ruptura para b) Rotura por flsuraclón vertical para deformación trsnsversal sin restriccióndeformación transversal restringida Flg. 2.9. Configuración de rOlura de cubos de hormigón con (a) '1 sin (b) restricción ala deformación trans- versal. La explicación de la rotura es la siguiente: la deformación transversal origina ten~lones transversales de tracción [28] (la Resistencia de Materiales clásica niega esta hipótesis). La confirmac:lón la dan dichos prismas o cubos comprimidos, en tos cuales la deformación trans- versal no está restringida: rompen por rajaduras debidas a tracción transversal (Flg. 2.9 b), que, por ejemplo, pueden tener origen en un efecto de agrietamiento de los granos muy duros del mortero (por ello, en piezas de hormigón armado sujetas a elevadas tensiones de compresión es perfectamente lógico disponer una armadura transversal). La reducida resistencia a fa tracción del hormigón fJz es determinante para la rotura; la relación fJz/po Influye, en consecuencia, también en el valor de la resistencia a la compresión. La restricción a la deformaciÓn transversal originada por los platos de la máquina de en· sayo, se pone especialmente de manifiesto en probetas de reduclda-dlmensión: cubos peque· nos a igualdad de otras condiciones arrojan resistencias a la compresión algo mayores. En el caso de hormigones con agregado grueso muy grande (> 40 mm) deberlan emplearse mold~s de 30 cm de arista y para granulometrlas muy finas « 15 mm) los de 10 cm de arista. El valor normal fJw para cubos de 20 cm de arista puede obtenerse aproximadamente multlpllcando los resultados de los ensayos por los siguientes faclores k: arista del cubo factor k 10cm 0,85 30 cm 1,05 Para transformar la resistencia clllndrica a la compresión Pe (en cilindros de d = 15 cm y h =30 cm) o la prismática fJp en resistencia cubica a la compreSión fJw (cubos de 20 cm de arista) son válidos los siguientes valores: segun DI N 1045: Q 'w 1,25 ac para hormigones" Bn 150 aw " 1, 18 Q 'c para hormigones i!": Bn 250 según las recomendaciones CES (1964): a " 0,83 a yc w 2.8.1.2. Reslstenci8 C8r8cterfstlC8 fJwN segÚn O/N 1045 ac " 1,05 ap (2.2) (2 .3) La división de las clases de resistencia del hormigón (p. ej. Sn 150, Sn 250, etc.) 5G efec- túa sobre la base de ensayos de calidad a los 28 dlas, en relación al mlnlmo valor.de la resisten· ., 13 36. cia cúbica a la compresión en probetas de 20 cm de arista. Para elto se parte de descartar el 5 % de la totalidad de los ensayos, es decir que sólo un 5 % de un conjunto arbitrario de resul· lados de ensayos de probetas puede arrojar valores de resistencia Inferiores a ~wN. Análisis es- ladlstlcos realizados en numerosas obras de gran magnitud y en laboratorios de ensayo de ma- teriales IndIcaron que la fracción del 5 % se mantiene cuando el valor medio ~wm de una serie de tres cubos de tres hormigonadas distintas es superior en 50 kplcmJ a fJwN. Este valor se lo denomina "acotación" de 50 kplcmJ; por ejemplo, el valor medio de una serie de tres cubos de- be alcanzar un valor de fJwm = 400 kplcml para un hormigón de la clase Sn 350. 2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormigón Cuando sea necesario conocer, para ensayos de adecuación y calidad, la resistencia Cl; blca a compresión f1w28 a 28 dlas, partiendo de la correspondiente resistencia a 7 dlas, son váli· das según DIN 1045 las siguientes relaciones: I3 w28 .. 1,4 I'w7 para Z 250 ; I3 w28 11 1,3 ~w7 para Z 350 L; 2.8. 1.4. Ensayos acelerados B w28 " 1,2 I3 w7 para Z 350 F Y Z 450 L ~w28 1, 1 I3w7 para Z 450 F Y Z 550 SI a una probeta impermeabilizada, luego de dos horas de su preparación se la sumerge durante 6 horas en agua hirviente o (sin impermeabilizar) 6 horas en una cámara a 80° e, al dla siguiente y una vez enlriada la probeta, es posible ensayarla a la compresión. De este resulta· do, y comparándola con ensayos previOS comparativos de calidad, es posible deducir con sull· clente aproximación la resistencia normal a 28 dias (ver Walz y Dahms [29f). 2.8.1.5. Resistencia a la compresión para cargas de larga duración la resistencia a la compresión disminuye para cargas de larga duraciÓn (aflos) (ver [30j). Esta calda de resistencia se equilibra en parte con el aumento posterior de la misma. A pesar de ello, para cargas de larga duraciÓn, en las normas de cálculo, se efeclúa para el valor de cálculo iJR una reducciÓn del 15 % de 0,85 {Jp (ver Cap. 1). • 2.8.1.6. Resistencia a la compresión para cargas de fatiga u oscilantes la resistencia en el caso de cargas oscilantes depende del número de alternancias de carga y de la amplitud de oscilaciÓn 2 0a o de la tensiÓn media Qm' Como resistencia a la fatiga (1F se considera el máxImo valor de la resistencia alcanzada para 2 millones de alternancias de la carga. En el caso de solicItación por compresión, la Fig. 2.10 muestra la relaciÓn entre la re- sistencia a la latlga f3F y la resIstencia prismática fJp en dos formas distintas de representaciÓn 1311_ 2.8.1.7. Resistencia a compresión para temperaturas muy altas y muy bajas la Influencia de temperaturas muy altas o muy bajas sobre la resistencia a la compre· siÓn del hormigón endurecido ha sido poco investigada. las temperaturas muy elevadas, de hasta 500° e en reactores nucleares en funcionamiento, Ó 1100° e en incendios que suelen presentarse, reducen la resIstencia a la compresión, como puede observarse en la Flg. 2.11, de acuerdo con ensayos de Welgler y Flscher [32). Temperaturas muy bajas, de _ 150° a-200° C pueden ocurrir en tanques que contienen gas licuado, en tanques de hormigón armado que re· cubren tanques de acero, sean subterráneos o ubicados a nivel del terreno. Ensayos realizados con cilindros de d = 5 cm y h = 10 cm mostraron Que al descender la temperatura,aumentaba la resIstencia (Fig. 2.12 de [33)). 2.8.1.8. Resistencia a la compresión en la estructura La resistencia del hormigón ya endurecido en una estructura, puede determinarse pos· terlormente sea mediante probetas extraldas de la misma o bien mediante los denominados -, " 37. ensayos "no destructivos" mediante dispositivos especiales. Las probetas se preparan de tro· zos de hormigón extraldos de la estructura, aserrándolos en forma cúbica o prismática, o mejor aún, en forma cillndrlca mediante perforadoras. de núcleos. Los ensayos no destructivos del hormigón en estructuras son de dos tipos: de impacto y acústicos (ver [341 y DIN 4240); deben ser realizados únicamente por especialistas con experlen· cia. En el ensayo de Impacto se determina sea la impronta (penetración) de una esfera en el hormigón mediante el marUllo de Impacto (por ejemplo: martillo a resorte de Frank) o bien se mide el rebote de un martillo a resorte (esclerómetro de Schmidt). El ensayo acústico, en reali· dad ultrasónico, se utiliza en los EE.UU. y ta U.R.S.S., pero en Alemania se emplea sólo en ca· sos muy especiales. En este sistema se deduce la resistencia del hormigón, de su conductlbili· dad al sonido O ultrasonido. 2.8.2. ResistencIa a la traccIón La resistencia a la tracción depende de numerosos factores, en especial de la adheren- cia enlfe los granos de los agregados y la pasta endurecida de cemento. Los resultados experi· mentales muestran gran dispersión, porque, por eJemplo,es casi imposible evitar la presencia de tensiones propias (residuales) debidas a efectos de temperatura y contracción de fraguado. Según el método de ensayo empleado cabe distinguir entre: resistencia axll a la tracción, resis- tencia a la tracción por compresión y resistencia a la tracción por flexión. 2.8.2.1. Resistencia axila la tracción Los nuevos adhesivos en base a resinas sintéticas de gran resistencia, permiten ensa- yar a tracción pura a las probetas de hormigón, sin que las mismas experimenten sensibles perturbaciones de borde en sus extremos por efecto de las mordazas (Fig. 2.13). 2.8.2.2. ResIstencIa a la tracción por compresión De acuerdo con la Fig. 2.14 la resistencia a la tracción por compresión se determina sobre una probeta cillndrlca apoyada sobre una generalriz y cargada en la opuesta. El estado de tensión en este caso es doble; sin embargo la resistencia a la tracción obtenida (JspZ es en general algo mayor que la correspondiente al ensayo de tracción J)lJra, por cuanto la 'isuración debe comenzar en etlnterior de la probeta (ver Bonzel [35]). 80 1W!l- ,'0 40 20 1 f-- O 0 11 1 2 , l "-+ Prismas de 12112136 cm Caro. aplicada a lOS ,. dlas 1rLF. 70 '/.; T::::. 18°C , : 2,25 , ~ ,(f'b = 200 kp/cm • ~w :::5OQkp/cm - 1- 4 S • 7 8 9 10 t anos FIg. 2.25. VariaCión con el tIempo de la Iluencla de prismas con carga ul1 para humedad relativa ambiente y temperatura constantes (segun M. R/Ss [43]). -- -,--, - - tipo de cemento - --1--;r7l .~ .;r.; ~ 'afe~~!!' de a~. 21' . t - ~ ~ ~ "~ 1.0 • - 1/' / ~8 ,. ~ ,.8 0.5 humedad rel8,llva ambiente 100 90 80 70 .0 50 40 JO ("/. ]rLF. Flg. 2.2e. Variación dellactor de Iluencia en lunclón de la humedad relativa ambiente para cemenlOS nOf- ma'es '1 de alla resistencia (segun O. Wagner 139]). 6. la Influencia de la clase de piedra de los agregados sólo se halla en los comienzos de su investigación (47]. El comportamiento del hormigón con agregados livianos será tratado en una sección especial. 7. la calidad del cemento influye siempre que los cementos de alta resistencia Inicial alean· cen, en menos dlas, un grado de madurez mayor que los cementos de endurecimiento nor· mal. 2.9.3.4. Restricciones a /a contracción de 'raguado ya/a fluenc/a la contracción de fraguado comienza siempre en las superficies exteriores y resulta fre- nada por las zonas Interiores, por lo c'ual,especialmente en estructuras gruesas, se originan tensiones internas. Estas tensiones propias pueden originar lisuras, por cuanto los mayores acortamientos por fraguado se producen en la parte exterior de un hormigón joven de reducida resistencia a la compresión. En consecuencia deberla retardarse siempre el comienzo de la contracción el mayor tiempo posible, protegiendo al hormigón contra el desecamiento (curado). (Ver Krenkler 123]). SI se impide la contracción de fraguado por causas externas, por barras de armadura o por rozamiento sobre el suelo de fundación, las tensiones de tracción derivadas de los acorta· mlentos por contracción se reducen por la fluencia del hormigón. 27 50. Esta reducción de tensiones en grandes estructuras de ingenlerla y en estructuras de hormigón pretensado se determina generalmente por cálculo. En los casos simples de esquele- tos de edificios, para cuanUas medias de armadura es posible tener en cuenta este efecto en forma aproximada. reduciendo los valores de la contracción de fraguado (ver tabla de Fig. 2.28). Por ejemplo, si la deformación por contracción resulta impedida por una armadura dls· puesta en la dirección en que ocurre la contracción, el hormigón resulta descargado por re· distribución de tensiones sobre las barras de la armadura. Cuando se Impide la deformación por contracción por esfuerzos externos, dichos esfuerzos aumentan por contracción y las ten· slones en el hormigón se reducen por relajamiento. En ambos casos se trata de problemas en los que se acoplan la fluencia y el relajamiento. 2.9.3.5. Electos de /a lIuenc/a y /a contracción de Iraguado sobre las estructuras Entre los efectos desfavorables podemos mencionar (ver (5)>: Aumento de la deformación por fleltión por contracción de fraguado y fluencia en ta zona comprimida (por ejemplo, en vigas y placas). Aumento de la curvatura por fluencia en columnas con carga excéntrica, con lo cual la ex· centrlcldad Inicial aumenta y la capacidad de carga de la columna disminuye. En elementos pretensados. pérdidas de tensión previa por contracción de fraguado y lIuencia. Redislribución de tensiones por contracción de fraguado y fluencia en un elemento estructural vincutado rlgidamente a otras estructuras (por ejemplo, revestimientos de pa· redes o pilares de puentes). Fisuras superficiales por tensiones propias por contracción de fraguado (véase la Seco 2.9.3.4). Los efectos favorables son: Eliminación de los picos de tensión por fluencla (por ejemplo, en nudos de pórticos) Opor cargas concentradas (localizadas) sobre el hormigón. ·t '.0 •'0 < l ,O •i! • , ,Ou liu t,O ~ O ·t ,,O •u < l,O •i! • ,,Ou ~ t,O~ O ¡r LF 70'/ I. /' :--- 1/ Ir v-- '==:;-;] ,LF1S · /. - - ¡;. '( / 'L /' • , J , • , J , - J 1 5 - I "9. 365 t arios • ,, ~ 90/365 Safios Fig. 2.27. Influencia de la edad del hormigón al comienzo de la carga sobre el desarrollo de la lIuencla en prismas de 12 x 12 x 36 cm (/lw-=' 500. !lb :: 100 kplcml; T = 18° C). (segun M. Al5s [43]). 28 51. Eliminación por relajamiento y Iluencla de tensiones originadas en causas exlernas (por ejemplo, asenlamienlo de apoyos en vigas conllnuas). 2.9.3.6. Expresiones para el cálculo de la contracción de fraguado y la fluencia segun DIN 1045 Para el cálculo de las deformaciones por contracción de fraguado y fluencla, la DIN 1045 parte de los siguientes valores básicos para el tiempo t = oo. (so = valor Ilnal de la contracción de fraguado f90 = lactar final de fluencia. Estos valores básicos segun DIN 1045 aparecen en la tabla de Flg. 2.28, en función de la humedad ambiente y de la consistencia del hormigón y son válidos para un curado de unos 28 dlas de duración a unos 20" C. Para determinar la deformación por contracción de fraguado originada hasta un deter· minado tiempo t se utiliza el coeficiente k! que aparece en Fig. 2.29 y, en consecuencia. para el valor de la contracción tst se tiene: (paraT = + 20 oC! ) (2. 12) El coeficiente k, que corresponde al desarrollo en el tiempo de la contracciÓn, IIgura en el gráfico para distintos "espesores aclivos" dw, por cuanto las estructuras de mucho espesor se secan, y en consecuencia se conlraen, más lentamente que las delgadas. Para elementos planos es dw = d = espesor de la pieza; para estructura de barras es válida la expresión (don· de F =área y U =perlmetro de la sección de hormigón): (2. 13) Hume · Valor final Factor IInal de dad ,.. de la conlracclón Ituencia lenta latlva e Valor redo- Ubicación amblen· a,o ~o cido de la de la " conlrac· estructura para consistencias ción. (rLA K 1 K 1 , K3 K3 ,["Io[ K2 K2 a,o en agua - - - 1, O 1, S - en aire 90 - 10' 10-5 - 15· 10-5 -S muy húmedo 1, S 2,2 - 5· 10 en general. 70 - 25· 10-5 - 37· 10-5 2,0 3,0 - 10· 10-5 al aire libre en aire 40 seco _ 40'10- 5 - 60· 10 -S 3,0 4,S - 15 . 10-5 Fig. 2.28. Valor IInal de la contracción de fraguado asl como de la contracción reducida en funCIón de la humedad relativa ambiente y de la consistencia del hormigón (segUn DIN t(),45: a 200 e para curado normal durante 28 dlas). 29 52. • O.' O~ O.' 0.' o '
----3;---7--~I~'--~'.~~~~~t,~I.fO~d~'.-'----~, tiempo 'ag I 12 S arios Flg 2.29. Coeficiente k. para el desarrollo en el tiempo de la contracción de Iraguado y de la !luencia la T = 20· CJ en función del espesor activo dw del elemento estructural (segun DIN 1045). "'.0 1.0 '.' '.' '.' '.- 1 '.- 1,1, r 1 I• Cemento de endure· cimiento lento L ." rcimiento rapldo 0,7 Cemento de endUfl 0,'5 J "'.>1'" log Q Edad a del hormlg6n al comienzo de la carga para O+-----____~__~_____ 3 7 14 28 JO 100 1000 ,,~ 'SO 365 dlas T=20oC=C1e grado de madurez' 10000 log R Flg. 2.30. Coeficiente k, con8spondiente a la Inlluencia del grado de endurecimiento del hormigOn en lun- eiOn de la edad 8 o del grado de madurez R del hormigón al comienzo de la carga y dellipode cemento (s. gún DIN 1045). Suele ocurrir que distintos elementos estructurales puedan contraerse libremente duo rante un cierto tiempo t, antes de que se los vincule entre 51. Cuando por causa de dicha vincu· lación resulte impedida la continuación de la contracción de fraguado, se originan tensiones inducidas por el impedimento de que se produzca la contracción por fraguado restante tJ. {s Mediante el coeficiente kJ se obtiene para A lS: (2. 14) El calculo de las deformaciones por fluencia para tensiones constantes se efectúa me· dlante el ya mencionado factor de fluencla 'PI, es decir: a b ~ ~ - !P k Eb t (2.9) donde Eb es el módulo de elasticidad del hormigón determinado a los 28 dias de curado norma! en prismas (en general. el valor de cálculo según DIN 1045 que figura en la tabla de Fig. 2.18). Cuando la tensión 0b es variable puede admitirse aproximadamente el valor promedio entre los valores inicial y final. siempre que la tensión final no difiera de la inicial en mas del 70 %. 30 53. El factor de fluencia 'Pt lo calcula la DIN 1045 mediante la expresión: (2. 15) El desarrollo de la fluencia con el tiempo es similar al de la contracción de fraguado y se lo contempla mediante el coeficiente kzsegun Fig. 2.29. El coeficiente k¡ tiene en cuenta el grado de endurecimiento del hormigOn al comenzar a actuar la tensión 0b que da origen a la fluencia (edad a del hormigón); aparece en Fig. 2.30. Para temperaturas considerablemente variables y, en especial, para bajas temperaturas, ya no es determinante la edad del hormigón sino su grado de madurez A: R '" ¿:t (T+ 10) (2. 1(J) donde t = numero de dlas con temperatura T T =temperatura media diaria del hormigOn en o C. 2.9.3.7. E)(presiones para el cálculo de la contracción de fraguado y de la fluencia segun O/N 4227 (nueva edición de 1972) La comparaCión de los valores de la contracción y la fluencia obtenidos por mediciones, con los cálculos en la sección anterior mediante el procedimiento simplificado de la DIN 1045, mostró algunas deficiencias, lo que condujO a proponer un nuevo procedimiento de cálculo [48] para la DIN 4227 (nueva edición de 1972). Las deficiencias son: la influencia del espesor sobre el factor linal de fluencia no se tiene en cuenta (sólo se lo inCluye en el desarrollo con el tiempo). no se considera la influencia de la humedad relativa ambiente sobre "el espesor activo del elemento". no se tiene en cuenta la influencia del espesor sobre el coeficiente k¡, de la DIN 1045 (un elemento de hormigón de mucho espesor fluye con el tiempo más que uno delgado). no existe en realidad ninguna influencia del espesor en estructura bajo agua. al desarrollo de la fluencia durante los primeros dias en la Fig. ~.29 se lo subestima. La diferencia fundamental entre los procedimientos de cálculo para la determinación del factor de fluencia ept de la OIN 4227 con el de la DIN 1045 reside en la separación de la delor· mación por Iluencia en una parte correspondiente a escurrimiento y otra a la deformación elás· tica diferida (ver Fig. 2.23), es decir: (2. 17) E)(isten otras posibilidades para tener en cuenta la división entre escurrimiento y como portamiento elástico diferido. Para ello cabe referirse a los trabajos de Trost y lerna, quienes, para el cálculo de los fenómenos vinculados con el relajamiento,introducen un "coeficiente de relajamiento" [49]. En lo que sigue, aclararemos brevemente el procedimiento de cálculo segun DIN 4227 (nueva edición 1972). Para el cálculo del valor de la contracción de fraguada y del factor de fluencla se parte del valor básico de la contracción (so Y del factor básico de fluencia 0.45 ~J5 1,0 0,5 o w 10 100 1000 tO 4 dlas Flg. 2.32.Coeficiente ks correspondiente al desarrollO en elliempo de la contracción de fraguado,en fun· ción de la edad eficaz del hormigón 'w y del espesor activo dw(segun DIN 4227, nueva edición de 1972). 33 56. ',5 '.o 0.5 O , l "1' '-r '"' ~El1 '1:'t-+---- r-----' l _ _._ - .J--c -+¡ . ,1 4) sOlo para d lO 12 mm e deformación de rotura ~ 10 18 ".~ 10 % 8 % G ;hso !{ - nervurado 1 .. sin tratar K = conformado en frlo HA ; al tope con aporte de malerlal E - por arco voltaico RP .. al tope por resistencia eléctrica Flg. 3.1. Tabla de aceros para hormigón segun DIN 1045'1 DIN 488 61. - La forma de las nervadura~ de las barras de armadura se determinó sobre la base de en- sayos de fatiga [52]. Se demostró que las nervaduras transversales no deblan unirse con toda su sección a las nervaduras longitudinales, como resultaba conveniente para el procedimiento de laminaci6n, sino que era preferible que terminaran delante de las nervaduras longitudinales con sus extremos en bisel. Además, las nervaduras transversales con una inclinación de 60° con respecto al ele de la barra se comportaban mejor que las dispuestas normales al mismo. Es as! como se llegó a las disposiciones de 105 aceros nervurados alemanes (Flg. 3.5). Cada tipo de acero para hormigón deberla -aunque se lo utilice s610 en partes de estructuras sujetas "principalmente a cargas lijas" (ver DIN 1055, Hoja 3)- admitir una ampli· tud de oscilación de carga 2 0a;¡' 1000 kp/cm!. Las barras que se utilicen en estructurós'sometidas a cargas pulsatorias que pueden re· petirse más de 11('1.4 veces, deben admitir, en probetas según Fig. 3.3, para 2·10' reiteraciones de carga, lo~ valores de la amplitud de pulsación 2 0a =00 - 0u dadas en la tabla de Fig. 3.1. [kp/cm2 ] 5000 SS, 22134 GU -iI ".. 4000 3000 2000 1000 o Ec; ·1000 ~ •·2000 / " b' , Resistencia p /~ V¡J l' .....,,3'm / I e/r'Resistencia a -- las oscllacione, ss, 42f50RK "s~toria 2 o~~ X J 13'1 ,,/ ', ,,/ '- )/ L// 13', " / ¡./ V - V G • G"Q.G"!.! V m - 2 , G'm >- O 1000 2000 3000 O 1000 2000 3000 LOOO [kp/cm 2] Flg. 3.2. Resistencia pulsatorla 2 o, '" 00 - 0u para probetas no hormlgonadas para 2· 10" repeticiones de carga en lunclOn de la lensiOn media 0m (Diagrama de Smlh). 3.2.2. Caracterlsticas de la deformación La Flg 3.6 muestra los diagramas tensión·deformación de algunos aceros solicitados por tracción. Para compresión pueden admitirse con suficiente aproximación los mismos diagramas. Como valor del mÓdulo de elasticidad Ee de los aceros para hormigón puede admitirse 2.100.000 kp/cm! (para aceros deforrnados en fria su valor se reduce a 2.050.000 kplcm!). Se entiende por "limite de elasticidad" la tensión hasta la cual las deformaciones son proporcionales a las tensiones. En la práctic3,para los cálculos se considera como propor· cionalidad hasta la tensión para ICi cual la defornlación permanente no supera el 0,01 % (deno· mil1~do también, limite de proporcionalidad). Para estimar la capa:::idad de deformación o ductilidad (ductility) se considera la defor· mación de rotura di, {%j (ultima te elongation). La misma corresponde a la deformación pero manente de una longitud de barra igual a 10 de en el ensayo de tracción. La misma incluye una parte que corresponde a la estricción en la zona de rotura y otra constituida por alargamientos plásticos en el resto de la lona de medición, la denominada deformación uniforme. Esta última corresponde aproximadamente a la deformación para 0e = ~z que aparece en Fig. 3.6 Ysu va· lor, según sea el tipo de acero, vana entre 4 y 20 %. Para establecer la facHidad de doblado en obra son determinantes los ensayos de fle· xión (bendin,q test) . las barras de B SI 22134 G U deben satisfacer el ensayo de plegado o; 1800 Sobre mandrilflS de diametro 2 de sin que aparezcan lisuras. las barras de todos los aceros res· 39 62. Bn 250 ()'o' 0,8 ~O,2 Sanclaje mediante trozo de barras. soldados 0b Y T, en un prisma de hormigón armado sin lisurar (Ulaco 1) para tracción axll. la tensión en el acero disminuye en la longitud 'ede "eo a "e,. En el extremo de la longl· lud de transferencia 'eel esfuerzo de tracción Zb transferido al hormig6n vale: "Zb " (aeo - ae1 ) Fe " ! 1'1 (x), U· dx " abo F bn (4.2 En la práctica se admite un vator medio Tlm para la tensiÓn de adherencia, por lo que es posible simplificar la expresión anterior como sigue: Z ~ 1' ·u·t " ab'F bnb 1m e 14. 3) Entre ambas zonas de transferencia, para el estado 1,Ias tensiones "e y "b se determinan mediante una condición de equilibrio y otra de deformación: equilibriO (4.4 ) deformación 14.5) 45 69. Para tensiones bajas 0b < flbZ, ambos materiales 58 compurtan casi elásticamente, es decir Que son válidas: (4. 6) De donde, para el estado I resulta: (4. 7) donde el valor n = EelEb, relaciOn entre los mOdulos de elasticidad de ambos materiales, va· rla entre 6 y 10, de acuerdo con la calidad del hormigÓn. En el estado 1, las tensiones en el acero mantienen un valor reducido, y para un hormigón Bn 550 pueden alcanzar un valor de n 0bZ = 6 ' 60 = 360 kplcm' . la tensiÓn 0b en el hormigÓn se obtiene reemplazando la Ec. (4.7) en la Ec. (4.4): I F + a ., b F • bn p p ;1'F'b-n-'+C:n:-iF',---¡-· F i A Fila denominaremos sección ideal: 14. 8) (4.9a) Para el estado I en la secciÓn ideal FI pueden calcularse las tensiones en el hormigón y en el acero como si se tratara de un material homog&neo. Utilizando la cuantla de armadura 1.1 = FeJFb, es posible también eKpresar F¡ en lit forma siguiente: F i • F b + (n - 1) !o'e " [1 + (n - 1) .1] Fb (4. 9b) Si al aumentar la carga, la tensión en el hormigón o~ = P/F¡ alcanza el valor de la resiso tencla a la tracciÓn PbZ, el mismo se lisura en las zonas débiles de su estructura interna (Fig. 4.2). En correspondencia con la lisura, la barra se halla entonces en el estado 11. Al producir· se la fisura, el esfuerzo de tracciÓn Zb, r = PbZ . Fbn que hasta ese momento absorbla el hormi- gón en la fisura, se transfiere a la barra de acero, aumentando instantáneamente en dicho lu- gar la tensión a 0eo = PIFe, por cuanto en la fisura SÓlo trabaja el acero. la adherencia actúa en forma tal Que, tanto 0e como 0b, en la fisura, no varlen bruscamente, sino mediante curvas sobre nuevas zonas de transferencia 'een las cuales, actúan nuevamente las tensiones TI' Que sin embargo, cambian en la fisura su dirección y con ello de signo. Al continuar aumentando la carga, se originan más lisuras, cuya separaciÓn depende del grado de adherencia, porque ai lado de una fisura y a lo sumo dentro de la longitud de trans- ferencia •e (4. 10) puede alcanzarse nuevamente el esfuerzo de tracciÓn Zb, r requerida pala que continúe la fisu- raciÓn. En la Ilg. 4.2 aparece rayada la distribuc!on cualitativa de las tensiones entre fisuras. 46 70. Fisuras 1 , Corte 1·1 p-+~._----1±_+L------1t-PF.~I Flg.•.2. Distribución pe las tensiones "e, "b YT, en un prisma de hormigón armado Ilsurado(estado 11)5011' cllado a la tracciÓn 8l(1I. 4.1.2. La adherencia en vigas de hormigón armado Cuando se carga una viga, el hormigón colabora en la zona de tracción hasta tanto la lenslón por flexión en el borde 0bZ. no alcance el valor de la tensión de roJura a la tracciÓn por rrexlón, es decir 0bZ O [mm] Flg. 4.13. Influencia del diámetro de la barra de sobre la ten$.lÓn media de adherencia r.lativa para'" = 5 · lO 1, 'R = 0,065, '"1 =14 cm, Pw = 225 kpJcml (561. 4.2.3.3. Influencia de la posición de la barra, al hormlgonar En lo que respecta a la calidad de la adherencia, es Importante el hecho de que las barras, al hormlgonar, estén dispuestas horizontalmente o verticalmente, asl como su distan- cia al encofrado. Debido al asentamiento del hormig6n fresco, se Junta debajo de las barras al· go de agua, que posteriormente es absorbida por el hormigón, formando oquedades o numero- sos poros (Flg. 4.14). La calidad de la adherencia puede, por ello, reducirse hasta menos de la mitad del más fa- vorable valor que corresponde a las barras verticales; la reducción depende de la relación agua- cemento, de la dIstancia de la barra al encofrado o también de la capa de hormigón hormigona· da previamente (Flg. 4.15). Estas grandes diferencias deben ser tenIdas en cuenta al considerar los valores para el calculo. FIg. 4.14. Formacl6n de oquedades o poros deba- Jo de barras horizontales como consecuencia del asentamiento y e)(udaciÓn de agua. , ,,, Oquedad ,. Poros 55 78. 0,3 0,2 0,1 / ~/ ¿'- o O - acero n8fVorado ___ acero r6'1ondo liso - V V V/' V :/ ~ ~V V ® _. r-' -- -- 0,2 0,4 O,, ~ ...-- -~-~ -~ 0,8 V -- ® - '"1,0 [mm} Fig. 4.15. Representación eSQuemática de los resullados de ensayos de arrancamiento en barras rectas, con distinta posición durante el hormlgonado, segUn G. Rehm [56]. 4.3. Leyas que rigen la adherencia en los elementos de anclaje 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos Aun en el caso de existir ganchos extremos, la disposición de las barras durante el hor· mlgonado conduce a diferencias de rigidez, expresadas en este caso por los diagramas o - 6. las Flgs. 4.16 y4.17 muestran, respectivamente, los resultados experimentales efectuados con barras lisas y nervuradas de acero para hormigón armado de" 12 mm. las barras verticales con ganchos dispuestos con la curvatura dirigida hacia arriba, de- muestran ser las más electivas. Al comienzo del gancho, las presiones oblicuas de gran magni· tud originan deformaciones localizadas que conducen a mayores deslizamientos horizontales, cuando el hormigón, por asentamiento resulta poroso. En el acero nervurado, los ganchos, en la parle Inferior de la zona sujeta a tensiones re- sultan mucho más rlgldos que los de acero liso, pero con todo, la capaCidad portante difiere muy poco. 12 • H @) ~ . - ¡ - ¡ barr.~lisas .12 4 O '"0,4 O,, ~. 1,0 (nwnJ Flg. 4.16. Dlagramasoe - .&. comparativos, para barras lisas de0 12 mm provlat., de oanchos en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56). 56 79. 12 Q. 2; V_i,_ ¡-- ->_D~5'/~ Vc-- '@1 # V(b) V ¡...-- @ ~ i/ f-" V 1,1 V v ¡.-- r- ~ ~~ , ¡-- , I - , -+ -_. - barras nervuradas )4 12 8 4 ° @ Q] ~ @ [CJ o ~ •< °8 o ~ 'E "~ .. @t?J ~ < "o o "i5 "0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 [mm) Flg. 4.17. Diagramas 0e - 4 comparativos para barras nervuradas en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56]. ~. r---r--'--'---r--r--'---r-~~~-, Pw 8 4 0,01 0,2 Dirección del I hormlgonado V Fig. 4.18. Influencia comparativa del ángulo" de plegado del gancho en los diagramas"e - a. para aceros nervurados para longitud de anclaje Iv ::: 100 , Si se hormigonan barras nervuradas de iguallongltud de anclaje lv = 100 Y se varia el ángulo O' de plegado del gancho, cuyo comienzo se encuentra a 1 = 20, de 0° pasando a 45°, 90°,1350 Y 1800 sucesivamente (Fig. 4.18), es posible observar que a la barra recta dispuesta verticalmente corresponde la máxima rigidez por adherencia y que, en cambio, a la horizontal corresponde la mlnima, y que la Influencia del plegado del gancho s610 es mayor con respecto a las barras dispuestas horizontalmente. En consecuencia, en las barras verticales, la Influen- cia del gancho es Inoperante. los ganchos dan una seguridad mayor para los efectos reducto- res del asentamiento. los extremos rectos de barras, que se prolongan detrás de los ganchos, sólo comienzan a actuar después que ocurren los grandes deslizamientos y no tienen mayor sentido. Para el acero liso, a fin de evitar un deslizamiento, son necesarios ganchos con un a ml- nimo de 135°. 57 80. 4.3.2. Ensayos de arrancamIento en barras con barras transversa/es soldadas De acuerdo con la Flg. 4.11 el, los ensayos de arrancamiento de barras nervuradas con trozos soldados de barras transversales [59), indican Que la adherencia de la barra longitudinal y las barras transversales soldadas actOan y colaboran conjuntamente en el anclaje. El esfuer- zo de anclaje que es capaz de absorber la barra transversal, Queda limitado a la resistencia al corte de la soldadura del nudo, que depende de la relación de diámetros IZI y de la efectividad del equipo soldador. Es mucho mayor una vez hormigonada que si se la ensaya libre. La resisten- cia al corte se manifiesta ciertamente en toda su magnitud recién después de producido un de- terminado deslizamiento. A en el lugar en Que esta ubicada la barra transversal soldada. La Fig. 4.19 muestra una comparación de los diagramas promedio de oe-A, referidas a flw. La existencia de la barra transversal en el comienzo del anClaje, permite absorber mayores esfuerzos al Iniciarse la tracción, Que con dos barras transversales soldadas en el final de la longitud de anclaje. Las barras transversales ubicadas en el final de la longitud de anclaje, re- cién actúan con eficiencia para grandes deslizamientos. 28 ~ l. ~'(;)' ~I'P'o~ 'O b" ®/.724 ~ ~1~/~_ ./ ~,OII!.,S . @&,O -r-' -- _ . ~_12,~-::::: '/.",,- ,...- - v: a., a~m_. 20 " " ¿-- ~::::--V ~ barras nervuradas (KAAI) • , oO Q02 'lOL 'l06 'l08 0,10 0,12 0,1l, t; 0,16 (mm] ® Fig. 4.19. Diagramas promedio 0.,·,4 relativos para barras nervuradas con barras transversales soldadas (según [59D. 4.4. Valores numéricos de la adherencia para el cá lculo 4.4.1. Generalidades Para una dada relación TI,A es poSible determinar la variación d aeJdx de la tensión en el acero, siempre Que se conozca la distribución deTI (x). Para ello, en realidad, lo único interesan· te son las condiciones para el estado 11. Empero en las fisuras, la distribución de TI (x) depende de tantos factores Que la ecuación diferencial de ta adherencia, tal como fuera planteada por G. Rehm (55J, SÓlo tiene un interés cienUllco, pero para la práctica hasta ahora no tiene ninguna significación. 4.4.2. Verificación de la adherencIa según DlN 1045 La adherencia Juega un papel Importante en la seguridad de las estructuras de horml' gón armado, no obstante lo cual la verificación numérica es necesaria solamente en anclajes y esfuerzos de corte muy elevados para el estado 11. Para dichas verificaciones, la norma DIN 1045 da las tensiones TI adm correspondlenles a cargas útltes para dos casos, Que correspon- den a la posición de las barras durante el hormigonado (Fig. 4.20). Los valores Incluyen un co- ellciente de seguridad v =3 con respecto al valor TIA y de v =5 a 6 con relaciÓn a fln. 58 81. Tladm 2 [kp/cm 1 posición al hormlgonar Sn Bn Bn Bn Bn 150 250 3~O 450 550 barras A 3 3, 5 4 4, 5 5 redondas IIllas B 6 7 8 9 10 barras A 7 9 I I 13 15 nervuradaa B 14 18 22 26 30 Flg.•.20. Valores admisibles de cálculo de la tensión de adherencia T" para cargas estáticas predominan- tes (segun DIN 100i!5). Posición A: para todas aquellas barras Que no respondan 8 la posición B (condiciones des- favorables de adherencia). Posición B: par. todas las barras que al hormigonar, estén lnclinadas entre 45° y 90° con respecto a la horizontal; en el caso de tratarse de barras planas menos inclina- das u horizontales, sólo 51 al hormigonar se encuentran ubicadas en la mitad In- ferlOl' del elemento estructural o por lo menos 30 cm por debajo del borde supe- rior de la parte de la sección o de la capa parcial hormigonada (condiciones de buena adherencia). Cuando la carga eCJtátlca no es predominante, sÓlo se admite el85 % de los valores Indl· cados. Para estructuras solicitadas por cargas fuertemente variables, los valores deberán re- duclrse de " = 1 - 0;6·2 aa1aeo ... 0,5. 59 82. 5 Comportamiento bajo carga de las estructuras de hormigón armado En lo que se refiere a la capacidad de carga de las estructuras, cabe distinguir entre estructuras de barras y estructuras laminares. Por ejemplo, las vigas y las columnas son estructuras de barras, mientras que las placas, las láminas planas y curvas son estructuras la- minares. Las Flgs. 5.1 y 5.2 muestran la multiplicidad de posibles formas de estructuras y de seco ciones de las mismas. 5_1. Vigas simplemente apoyadas de hormigón armado solicitadas por flexión y corte 5.1.1. Estados y comportamiento bajo cargas 5.1.1.1. Estados I y 11 La Flg. 5.3 muestra una viga de hormigón armado cargada con dos cargas concentradas simétricas armada con una armadura longitudinal para absorber los esfuerzos de tracción por flexión y otra para los esfuerzos de resbalamiento (armadura del alma). Esta ultima puede estar constituida solamente por estribos b por una combinación de estribos y barras levantadas de la armadura longitudinal (barras inclinadas). Para cargas P reducidas'no aparecen en la viga fisuras mientras que la tensión en el bor- de debida a la flexión se mantenga inferior a la resistencia a la tracción por flexión es decir 0bZ < {JbZ· Para este esrado I se origina un estado de tensiones principales de tracción y de compresión; las trayectorias de las tensiones principales -que constituyen las envolventes de las direcciones principales- se han representado en la Fig. 5.3 a. Al aumentar la carga apare- cen las primeras fisuras de flexión en la zona comprendida entre las cargas, una vez que se ha alcanzado la resistencia a la tracción del hormigón, es decir 0bZ = {JbZ (Flg. 5.3 b). Dicha zona se encuentra entonces en el estado 11 (zona de tracción fisurada), mienfi"as que en las partes comprendidas entre las cargas y los apoyos no se presentan fisuras y por lo tanto se en- cuentran en estado lo En la Fig. 5.3 b se han representado, además, la parte activa de la sección para los esta- doSl y 11, asl como también las correspondientes distribuciones de deformaciorres y tensiones. Continuando con el aumento de carga, aparecen también fisuras en las zonas entre caro gas y apoyos, las que, como consecuencia de la inclinación de las trayectorias de la tensión principal 01 en dicha zona, son oblicuas (fisuras de corte). La inclinación de las fisuras se corresponde en cierto modo con la de las trayectorias de las tensiones principales (ver Flg. 5.3 a), es decir que es aproximadamente normlll a la dirección de las tensiones principales de trac· ción. 60 83. @ muro de contención o Entrepisos 'Itecho~ aportlcados losas para ","bl,,,~~_--o:-::,o-;,,,,o;;~ ménsulas para columna @ recinto prefabricado @ Estructura espacial de barras tribuna d, """•.",0. dado de fundación • Fig. S.1. Estructuras portantes de hormigón armado. 84. (!) lamina plegada1rapecial "bp'Os = PPDeformaciones especificas y tensiones en una sección donde se ha alcanzado la rotura Flg. 5.3. Comportamiento bafo carga '1 eslados de una "iga de hormigón armado simplemente apoyada al ser cargada hasta alcanzar la rotura 86. "'.%)00 § 200 ~ ..¡ lOO J O LOOO &:s JOOO ; • ~2000 •• ! .21000 ! O O "'lO o ~ 2000 ..•:3000 ••~ •~ 4000 sooo G. [ 1) ~ 1,0 ,,O Ilep cm '1 i'" / / /I / ~ '-'-' f', 1'- "- ko/em 2] l,- l, ¡..- P iPP I ~s = 4880 kp/cll'l2 v, Pu - l/ V• 'ª 1/¡¡ v Pc,uw 1'1---p,.P , . 1/ P, .P J I 1 [" I T I F:: Dlagra~a 7'zIF,teóf'00 -n:rP02 * 4700 lep Icm 2 " : O,U Pu e- ~ Pcrll ~ -- I r '11. , - VV "- 1 ~~ ~ bjV . ~ v/- V V Pe,u Pu - 1- Sección LO , .. 1 • i 1-1= 0,99·'. ae, Bii ¡kplcml] 5000 LOOO "'" / O P O 5 ID 15 20 25["0] G", {ko/em 2 J 5000 LOOO - f ~ ~.f¡ - 'r,~y 08 max en el 11 centro dellflmo " 2000 1000 JIO P ° 5 10 15 20 25 [..~ Flg. 5.4 . Desarrollo de las solicitaciones en la zona comprimida del hormigón, en los estrlbos y en las barras longitudinales a lo largo de una viga experimental, para tres escalones de carga lOO}. 64 87. En consecuencia, para cargas elevadas, la viga se encuentra trabajando casi en toda su longitud en el estado 11, quedando en general libres de fIsuras hasta la rotura, unlcamente las zonas en el entorno de los apoyos. 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigón Es posible obtener una imagen conceptual del comportamiento bajo carga de una viga de hormigón armado mediante ensayos y por las deformaciones especificas l medidas en los mismos, mediante las cuales es posible calcular las tensiones o =t· E. L, fig. 5.4 muestra la variación de las tensiones longitudinales 0b medidas en la superficie de la viga y 0e en la arma- dura longitudinal, para tres estados de carga: 1. Carga litll: 2. Cerga critica: 3. Inmediatamente antes de la rotura: Pg+P = 12 Mp Perl!. = 21 Mp Pu=24Mp Se ha representado el diagrama de las °correspondientes a la carga crllica, calculada según la teorla de la ftexlón para el estado 11. Al establecer la comparación puede observarse que las tensiones de borde en el hormigón, en la zona de flexión pura (Q =O) alcanzan los valo- res teóricos 0e y 0b, pero en la zona donde existen esfuerzos de corte, las 0b son menores y las 0e mayores que las teóricas. Sobre los apoyos el esfuerzo de traccIÓn no es nulo. Más adelante aclararemos este hecho y deduciremos las consecuencIas que tiene para el cálculo. La viga falló por haberse sobrepasado el limite de lIuencla de la armadura longitudinal 0e >Ils (rotura por flexiÓn). En los estribos (armadura de corte) aparecen tenstones elevadas únicamente en la parte media de la zona en que existen esfuerzos de corte y, tanto en las cercanlas de los apoyos co- mo en las del punto de aplicación de las cargas son visiblemente menores, por cuanto, en dichos lugares, en fazón de la transferencia de cargas, actúan tensiones vertIcales de compre- sión ay. Importa aclarar que las tensiones en los estribos debidas a la carga lit11 mantienen un valor reducido (en promedio 1000 kpJcm') y recién para elevados incrementos de carga aumen· tan desproporclonadamente (duplicando la carga litil se llega de 3200 a 4000 kp/cml , ver diagra- ma cargas·tensiones). De ello se deduce que el dimensionamIento debe partir del estado previo a la rotura. 5.1.1.3. Rigidez y deformación 8 la flexión La variación de la deformación en el centro del tramo, en función de la carga P, se ha representado en la Fig. 5.5 para la viga de ensayo de Flg.5.4. Para el estado 1, la deformación se manliene reducida y se corresponde exactamente con el valor teórico, calculado sobre la base de la rigidez a la flexión EJI, teniendo los valores Ideales de la sección. En cuanto aparecen las primeras fisuras, las deformaciones por flexiÓn crecen más rápidamente. Para fisuras cerradas Flg. 5.5. Diagrama carga· deformación resultante de un en- sayo realizado con una viga simplemente apoyada, de sección rectangular y ji" 1.0 'lo. Carga P [Mp] '.0 - ~I 3,0 iJ/ / "V I V I / 2p ,,O / I • O O s /' ./ p p I I •I f 10 15 [mm] 65 88. y repitiendo la carga ocurre una nueva relación, casi lineal, que corresponde a una rigidez a la flexión EJII. En el estado lila viga se comporta también en forma algo elastica, y su deforma· ción puede calcularse mediante la teorla de la elaSticidad, considerando ta sección activa del estado 11 con E JII. La relación de rigideces a la flexiÓn correspondientes a los estados I y 11, depende fun· damentalmente de la cuanUa de armadura ¡,I: cuanto mayor sea ¡,I, tanto mayor resultará la zona comprimida del hormigón correspondiente al estado 11 y con ello también será mayor E JII. La elastica de deformaciÓn resultará más aplanada cuando el acero comienza, a es- currir y/o el hormigón se, deforma plásticamente. Esta fase plástica del comportamiento de la viga se denomina estado 111. 5.1 .2. Comportamiento para flexión pura 5.1.2.1. Capacidau de carga y capacidad útil Para flexiÓn pura (M = Cle., a = O), se originan lisuras de flexiÓn cuya separación do· pende de la cuantla de armadura y delllpo de la misma (Flg. 5.6). Las lisuras se extienden en al· tura hasta cerca del eje neutro (t = O). La posición del mismo es tal que las fuerzas Interiores, correspondientes a la resultante tle tracciÓn le que actúa en las barras de acero y la resultante de compresiÓn Db de la zona comprimida del hormigón, resulten Iguales y cuya distancia z (bra- zo elástico Interno) sea tal que el momento de las fuerzas interiores MI = 0b ' z = Ze ' z resulte Igual al momento de las fuerzas exteriores Ma (condiciones de equivalencia). La "capacidad de carga" puede considerarse como agotada cuando, al aumentar la caro qa se alcance en el hormigÓn la deformación limite lb máx del 3 al 3.5 %o o en el acero la defor- mación limite te max =5 %O. La correspondiente carga se llama en este caso carga crItica. La carga ulll admIsIble es la carga cnllca alectada del coeliciente v de segundad. ('s deCIr. Pg + P = p p Pcrl! -,- Sección en la lisura t t 'b G b lli=;=i::::=:)=±=.E=)e"e"~"oti !1I:1~ (5. 1) Reducido numero de lisuras grandes de lIexión para cuant!as de armadura relativamente pequenas o para pocas barras gruesas p p Sección en la fisura ji ) : Eje 08""0 'b "'b k )lJJ::i1flS Numerosas fisuras finas para cuanUas relativamente grandes o barras delgadas bien distribuidas Flg. 5.6. Flsuraclón y distribución de daformaciones en vigas poco y muy armadas. Mientras la zona comprimida de la sección sea lo suficientemente grande, la viga rompe recién cuando alcanza una carga aun mayor (carga de rotura). En este caso, el acero continúa deformándose por encima del limite de escurrimiento fJs sin un apreciable aumento de tensión, el eje neutro se desplaza hacia arriba aumentando el brazo elástico l , hasta que la zona comp,¡- 66 J 89. mida se ha estrechado tanto que el hormigón alcanza su deformación de rotura y pierde, en consecuencia, su capacidad para absorber carga. En la flexión, la "capacidad de uso" de una viga queda asegurada cuando: a) la abertura de las fisuras no SObrepase determinados valores, fijados por el peligro de corrosión. b) la deformación no sea tan grande, que pueda originar Inconvenientes, según sea el destl· no de la viga. 5.1.2.2. TIpos de rofura por flexión Para las cuantlas corrientes de armadura ~ = Fefbh la deformación limite del acero (emax es alcanzada antes del colapso de la zona comprimida. El acero de la armadura longltu· dinal es el primero en fallar. estamos ante una rotura por tracción por flexión, que se manifies· ta por la aparicIón de fisuras y una gran deformación. Cuando la armadura longitudinal es muy fuerte (vigas sobrearmadas) se alcanza primero (b máx, en consecuencia la zona comprimida de la sección falla antes que la armadura longitudinal: existe entonces una rotura por compre· sión por flexión que, en el caso de hormigones buenos de alta resistencia, puede producirse bruscamente, sin manifestaciones previas ostensibles. Sllas secciones están muy débilmente armadas, puede resultar que el esfuerzo de trae· ción por flexión en el hormigón Zb resulte ser mayor que el esfuerzo de tracción que puede ab- sorber la armadura Zeu = pz' Fe; en este caso, al producirse la primera fisura, la armadura p!Jede romper bruscamente Sin manifestaciones previas (61). Esta peligrosa forma de rotura de- be evitarse, para lo cual se especifica una cuantla mlnima de armadura ,.min. 5.1.3. Comportamiento para flexión y corte 51.3.1. Estado I Para vigas simplemente apoyadas solicitadas por carga uniforme, los momentos lIe)(o- res M(x) Ycon ellos también las tensiones de INrde 0x crecen desde los apoyos al centro del tra· mo, y simultáneamente actúa un esfuerzo de corte a (x) =dMldx. Sobre la altura de la sección rectangular o en el alma de una viga·placa, existe en este caso un sistema de tensiones princi- pales de tracción y de compresión, Que a nivel del eje neutro (para el estado I baricéntrico) lienen inclinaciones de 450 y 1350 respectivamente, respecto del eje de la viga (Fig. 5.7). De acuerdo con la teoria de la Resistencia de Materiales, las tensiones principales pueden des- componerse en las tensiones 0x. 0,/ YTX,/' de las que 0,/, que tiene importancia sólo en la zona de aplicación de las cargas, puede despreciarse (Fíg. 5.8, ver también Cap. 8). El ingeniero debe tener una noción precisa de QLIe la tensión de resbalamiento TX,/ no constituye una solicitación Que actúa asl =o asl U. sino que. lo mismo que las componentes de tensión Ox y 0y, constituye solamente un valor auxiliar de cálculo, Que resulta de haber elegido el sistema de coordenadas x-y con el eje x paralelo al eje de la viga. En realidad, en la viga ac- túan únicamente las tensiones principales 01 y 011 de acuerdo con las Figs. 5.7 Ó 5.3 a. Sin em- bargo para el dimensionamiento en hormigón armado se parte generalmente de 0x o T. Todo esto fue perfectamente aclarado en 1927 por E. MOrsch (62). El hecho quo para la tensión de resbalamiento T se trate de un valor auxiliar de cálculo y no de una solicitación real, resulta perfectamente claro cuando se calculan las tensiones en un elemento prismático con solicitación 8)(11, referido a un sistema de ejes coordenados x-y, inclinado de 450 y 1350 respec- to del eje de la pieza (Fig. 5.9). Para una columna donde 00 = 100 kplcm1, resultada T = 50 kplcm'. Esta columna no podrla ser construida de acuerdo a ningún Rewlamento; ¡por cuanto, T supera considerablemente el valor admisible! En la realidad, es capaz de soportar cargas sin ninguna armadura de corte. 5.1.3.2. Estado /1 Cuando la tensión principal de tracción en el alma de una viga sobrepasa la resistencia a la tracción del hormigón tJbZ, aparecen lisuras de corte (Fig. 5.10) normales a 01, es decir,en la dirección de las trayectorias de compresión. Las tensiones prlnclpales de compresión entre las 67 90. ¡ ¡ ¡ I ¡ ¡ I ¡ I I ¡ ¡ ¡ I I ¡ I III III III I I I I I ¡ ¡ ¡ I I I I I I I DirecciÓn de 01 (tensiones de tracción) , I Dirección de 011 (tensiones de compresión) 1 I I 1, i1111+11111111111J1]JlllJD4 M I : I Q Flg. 5.7. Trayectorias de las tensiones principales en una viga homogénea para carga uniforme (en el caso de hormigón armado = estado 1). • , • , Tensión por lIexlOn Tensión de resbalamiento Tensión principal de tracción Tensión principal de compresión ángulo Ip entre el semieje + 11 Y 01 G)( • t "w a-s t·t.,.t,.' --J -b Ig ~ • ...L G¡ Flg. 5.8. Definición y calculo de las tensiones para un estado plano de tensión. lisuras de corte, pueden continuar actuando prácticamente sin perturbaciones, siempre que los esfuerzos de tracción que aparecen en el hormigón (como resultado de las 01) sean absorbi- dos por armaduras de corte, con lo que se impide que las lisuras de corte se continúen abrien· do. Para ello, lo mejor es disponer la armadura de corte en la dirección de las trayectorias de "1, es decir inclinadas de aproximadamente 45°. Las fisuras de corte, para secciones rectangulares, se originan generalmente a partir de las fisuras de flexión, y su Inclinación resulta influida por la redistribución de esfuerzos en es· 68 91. tas últimas y en parte su inclinaci6n es menor de 450 • Como consecuencia, los esfuerzos de traccl6n en el alma disminuyen. Fisuras puramente de corte, originadas en el alma de la viga, ocurren en vlgaslcon alas tracclonadas o en vigas de hormigón pretensado (Fig. 5.11). En el es· tado 11, para la zona de corte fisurada, la mejor forma de materializar la transmisión de esfuer· zas es Imaginar una viga de reticulado (analogia de Morsch). las barras de la armadura de coro te conslltuyen las diagonales traccionadas, y los prismas de hormig6n entre las fisuras de coro te, las diagonales comprimidas de un reticulado de mallas estrechas. las diagonales trac· cionadas con 450 de Inclinación son las que mejor se corresponden con las tensiones principa· les (Flg.5.12 al. Por razones practicas, se prefiere que la armadura de corte esté constituida por estribos verticales. En este caso. el reticulado esta formado por montantes verticales trac· cionados y diagonales comprimidas (Fig. 5.12 bl. la diferencia de los montantes traccionados con la direccl6n de al resulta ciertamente de 450 , lo que constituye un efecto desfavorable sobre el espesor de las fisuras de corte y la magnitud dE'¡ esfuerzo en las diagonales comprimi· das. En este caso, el esfuerzo en las diagonales comprimidas casi se duplica. los esfuerzos en los cordones en el caso de la analogia del reticulado se obtienen partiendo de la hipótesis de un reliculado Isostatlco simple en un corte vertical (ver Seco8.3): z o M ~ M Q (5. 2)-+ , D = - -,z 2 z p 1 Y factores para mate- riales 1m < " y que se diferencian segun el riesgo relativo a la carga limite y a los danos emer· 91 114. gentes de un cOlapso. De esta forma es posible adecuar la seguridad contra el agotamiento de la resistencia, en forma más satisfactoria a las distintas exigencias de cada caso. Los coeficientes de seguridad parciales conducen a una seguridad efectiva más equilibrada que los globales, sobre todo cuando no existe una relación lineal entre cargas y tensiones. Puede recomendarse elegir, para los coeficientes de seguridad para las cargas, va- lores de hasta 1,4 a 1,5. Para superposiciones de estados de carga, de acuerdo con la probablll· dad de que ocurran los valores máximos o que simultáneamente coexistan todos los estados de carga, los coeficientes de seguridad para los casos aislados de carga, pueden reducirse hasta 1,0 ó 1,2. los coeficientes para los materiales pueden elegirse de acuerdo con la densl· dad de reparllclón de sus resistencias o también, de acuerdo a la forma de la curva de frecuen- cias. Según CEB-FIP, se e,stablece para el hormigón, según sea el tipo de control de calidad, rm =1,4 a 1,6, y para el acero 1,15. 6.3.2. Seguridad contra la perdIda de la capaCidad de uso La pérdida de la capacidad de uso puede, en lo esencial, evitarse mediante: - .lImitación de las deformaciones - LImitación del espesor de las fisuras. En laque respecta a los valores limites admisibles, no es posible dar indicaciones de va- lidez general: la deformación admisible por flexión, por ejemplo, depende totalmente del destl· no de la estructura; el ancho de las fisuras de una viga en una planta qu[mlca, donde existe ele- vado peligro de corrosión, debe ser menor que en una viga de entrepiso de un edificio seco de oficinas. El Ingeniero proyectista debe en estos casos, juntamente con el comitente, adoptar decisiones lógicas. 6.4. Dlmenslonemlento de las estructuras 6.4.1. Conceptos fundamentales para el ,dimensionado De los razonamientos efectuados sobre seguridad surge groseramente, que debemos dimensionar nuestros elementos resistentes para una: Carga limite (portante) necesaria = 1/ veces la carga de servicio. la seguridad requerida puede verificarse en las secciones Criticas, mediante los esfuer· zos caracterfsticos N, M, MT Y a , debiendo siempre tenerse, por ejemplo: 1/ (M + N)g + p 3 %D Y0eU ='S y además, se tiene un untco coeficiente de seguridad 1 =1,75. Con ello, para la utilización de la Ec. (7.55) no son necesarios otros medios auxiliares. El valor kh. correspondiente a la relaelón de deformaciones le = 3 %O, lb =3,5 %D (recta d de Flg. 1.6), por r8.2anes prActicas debe ser considerado como valor limite. Por ello se lo designa kti (ver definición de Meu en Sec. 7.2.2.3) Y figura en el ultimo renglón de dicha tabla. SI, mediante la Ec. (7.52) se llega a un valor kh Inferior a kti, en el caso de flexión simple debe aumentarse la sección de hormigón o en casos forzosos, prever de acuerdo con Seco 7.2.2.5 una armadura comprimida. Tanto en el Betonkalender como en la DIN 4224 figuran tablas más completas que las de Figs. 7.17 y 7.18, pero SÓlo son aplicables para esfuerzos caracterlstlcos debidos a cargas de servicio. k h k e k k'b ,e • z ObservacionesBn Bn Bn Bn Bn BSt BSt BSt 150 250 SSO 450 550 22/34 42/50 SO/55 [%oJ [%o] 42,2 31,9 27,8 '!5,7 24,4 0,46 0,24 0,20 0,25 5, 00 0,05 0,98 21,7 16,8 14, 7 13,5 12,9 0,47 0,25 0,21 0,50 5,00 0,09 0,97 15,3 11,8 lO, : 9.5 9.0 0,48 0,25 0,21 0,75 5,00 0,13 0,96 12,1 9.4 8 . 2 7.5 7.1 0, 48 0,25 0,21 l. O 5,00 0,17 0,94 10,2 7.9 6._ 6.4 6.0 0,49 0,26 0,22 1,25 5,00 0,20 0,93 9.0 6.9 ,;,0 5.6 5.3 0,50 0,26 0,22 1,50 5,00 0,23 0,92 '"~ ~ 8.1 6.3 5.5 5. 1 4.8 0,50 0,26 0,22 1,75 5,00 0,26 0,91 .- , á "7.5 5.8 5.1 4.7 4.4 0,51 0,27 0,22 2,00 5,00 0,29 0,89 ¡¡: •• •7.0 5.5 4.8 4.4 4. 2 0,52 0,27 0,23 2,25 5,00 0,31 0,88 ~ N •6.7 5.2 '.5 4.2 4. O 0,52 0,27 0,23 2,50 5,00 0,33 0,87 e ¡¡ 6.4 5. O 4.3 4.0 3.8 0,53 0,28 0,23 2,75 5,00 0,35 0,86 6.2 4.8 4.2 3.9 3.7 0,54 0,28 0,24 3.0 5,00 0,38 0,85 6.0 4.7 4.1 3.8 3.6 0,54 0,28 0,24 3,25 5,00 0,39 0,84 5.9 4.6 '.0 3.7 3.5 0,55 0,29 0,24 3,50 5,00 0,41 0,83 ~ ~ ·5.8 0,33811 ,75 =0,193, un progresivo aumenlo de la sección de armadura Fe SÓlo conduce a Incrementos reducidos de los momentos Que es posible absorber. Para construir un diagrama de cálculo adimenslonal, Que debe ser Independiente de las calidades del hormigón y del acero, se introduce la cuantla mecánica de armadura ¡;; Que se de· fine como: (7.72) Teniendo en cuenta Que el diagrama de cálculo se limitará a deformaciones del acero (,!I~ 3 %0, para todos los casos se liene 0eU = PS; por ello, reemplazando la (7.72) en las Ec. (7.70) y (7.71) se obtienen las relaciones simples: m " k . IJ U z IJ • a.k x mu,m 0.50..---r~-'- - TI - - r - ~~d''1'~'}"'_lE'r's=';"~"'~'1"~'__tm-=u=t-1E~,2.38·~;, _~! ~ -0,424- 0,40 0)79- 0)63- - BS~~~-'~Í) ~'~O BSI 22/3< IBSt NI / / les. mI [BS111 O,JO -!-++I/j-+-V-7!-----------+---+-----t m -...--- - -=-E -::;=.::tf"'-==-=-.;:j-0,20 0.10 o I~,m/ tÍ' / , / (1 /1. r- BStI , / / 2 l < , Calidad del hormigO Bn 250 (~R .175 kp/cm 2 ) , 1 • ('1, J F. bh (7. 73) (7 . 74) FIg. 7.20. Vl':aci..... de lOS momentos reducidos mu, que pueden ser absorbidos en flell iOn simple en una secciOn rectangular sin armadura comprimida. pata Bn 250 en lunciOn de la cuanUs geométrica .. y de la calidad del acero. 125 148. Como ya se ha explicado, es posible calcular pares de valores mU y ¡¡, para distribu· clones arbitrarlas de las deformaciones (siempre para [e > 3 %0). Estas relaciones entre mu y ¡¡ se han representado en la Flg. 7.21 como curva de cAlculo. La linea punteada corresponde al momento reducido m debido a la carga de servicio, que se obliene dividiendo mu por el coefi- ciente de seguridad v = 1,75. Para la curva correspondiente a mu es posible dar una expresión aproximada, fácil de recordar, válida para la zona de te >3 %0_ 0,3 0,2 IJ• O,, O,, ~ ... ¡:¡(1-O,5p:) 0,2 IJ..t'H-I+'+-'¡e' H++11 I± 0,3 O,, I AproxImacIón demparaz", irh mparaz ", lh 9 (7.7 5 FIg. 7.21. Distribución del momento reducidO mU que puede ser absorbido en flexión simple normal por una sección rectangular sin armadura comprimida en función de la cuanlla mecanlca ~ (las aproxima- ciones segun Seco 7.2.2.7, con fOrmulas emplrlcas para el brazo elastlco Interno, se han representado en U- neas Interrumpidas). 7.2.2.7. F6rmulas emplricas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en flexi6n simple normal la sección necesaria de acero, en el caso de flexión simple normal sin armadura comprimida, puede, de acuerdo con la Ec. (7.47), es decir ,. .eU determinarse fácilmente, Siempre que sea posible conocer una aproximación para el valor del brazo elástico interno z '" zb. El diagrama de Fig. 7.16 muestra que el brazo elástico interno, aproveChando una deformación del acero de (e '" 5 0/00, segun sea et grado de solicitación del hormigón en la zona comprimida, dentro de los limites de utilización prácticos, vada entre z = 0,83 h Y z = 0,92 h. 126 149. El dimensionamiento de la armadura longitudinal queda del lado de la seguridad si -como es normal en la practica desde hace décadas- se fija aproximadamente ~ 5 (hasta blbo = 25), tos valores intermedios pueden interpolarse. 7.3.4. Dimensionado para lonas comprimidas del hormigón de forma arbitraria 7.3.• .1. Generalidades Las secciones cuyas zonas comprimidas difieren de la forma rectangular o de r, sólo son posibles en algunos casos especiales, de resolver por calculo en forma sencilla (secciones cillndricas, anulares y triangulares), de modo que en general sólo se dispone de muy pocos ele- mentos au)(iliares de eálculo. En algunos casos es posible, con suficiente aproximación, re· emplazar por rectángulos las formas que difieren de los mismos, como sucede en los ejemplos que muestra la Fig. 7.47. Cuando las diferencias con respecto a la forma rectangular son considerables y para secciones cuya asimetna es grande, no es posible un calculo directo. En tales casos se calcula en forma aproximada admillendo una repartición de tensiones rectangular en la zona comprl· mida del hormigón, o se conforma uno con la verificación de que la armadura de tracción pre· viamente estimada, juntamente con la sección de hormigón dada (eventualmente incluyendo armadura comprimida) en posición y dimensiones, conduzcan a una seguridad su.ficiente en lo que respecta a alcanzar el estado limite. Para una repartición de tensiones lineal en la zona comprimida del hormigón (por ejemplo en el antiguo método n) como consecuencia de proporcionalidad existente entre ten· siones y deformaciones, son aplicables procedimientos de cálculo mas sencillos (ver (2]). Ac· • • ••• • • • • • Fig. 7.47. Transformación aproximada de lonas comprimidas de forma arbllrarla en l onas rectangulares. 151 174. tualmente, sin embargo, sólo son aplicables para verificaciones con grados de solicitación muy reducidos, por ejemplo, para cargas de servIcio. Es común tener que dimensionar secciones solicitadas por " flexión oblicua" (blBx/al bendlng) es decir, cuando el eje neutro no es paralelo al borde comprimido. Este caso se pre- senta para secciones asImétrIcas (por ejemplo vigas·placa con arrlostramlento unilateral contra la torsión, o solicitadas por momentos en que la linea de fuerzas es Incllnada,con y sin esfuerzo axil (Fig. 7.48). En la práctica se presentan relativamente pocas secciones de formas arbitrarias, pero en cambio son muy comunes las secciones rectangulares sujetas a flexión oblicua con I.$sfuerzo Bxll (por ejemplo columnas de esquina en los esqueletos de hormigón ar- mado). Para estos casos, se dispone de algunos métodos gráficos auxiliares de cálculo, por ejemplo en DIN 4224 Yen (72) y (76). Han sido preparados para una serie de problemas posibles solamente para calidades elegidas de aceros, de la distancia al borde de la armadura, de la dls· posición de la misma y de la magnitud relaUva de la fuerza axil. Prescindiremos aqul de las de- ducciones y aclaraciones, debiendo para ello recurrlrse a la blbllografla. 7.3.4.2. DlreccJón y posIción del eje neutro Para una primera estimación dela posición y dirección del eje neutro y de la disposicIón de la armadura de tracción estimada (cuya magnitud es fácil de determinar sobre la base del brazo elástico zestimado), las siguientes condiciones constituyen una ayuda valiosa. la recta que une los puntos de aplicación de las resultantes Db y le (Indicada con ®en Flg. 7.48) debe en flexión simple (sin fuerza aKI1), ser normal al vector representativo del momento resul- tante M (a determinar vectorialmente mediante Mx Y My). en flexión con solicitación axll, pasar por el centro de presión. Para la primera estimación de la dirección del eje neutro debe cumplirse: 1. Para secciones arbitrarlas es posible utilizar la circunferencia de Inercia de Mohr para la sección supuesta en un principio como homogénea (Estado I sin tener en cuenta la armadu· raloSe determinan J,,, Jy y Jxy con respecto a un par de ejes coordenados con origen coinciden- te con el barlcentro de la sección, siendo J .. Jx YdF e 0,5 (J +J) -J o· L X .- Y . t:.F. xy X Y 45 8.) 8, j J Con estos datos se construye la circunferencia de Inercia siguiendo las reglas de la me- cánica del sólido (Flg. 7.49). la Intersección e de la linea de fuerzas N - O con la circunferencia se une con el eKtremo del segmento representativo del momento centrifugo JI! . Su prolonga· clón corta a la circunferencia en D, con lo que queda definida la dirección del efe neutro por la recta O· D. la posición verdadera del eje neutro, paralela a O· O,debe estimarse. Esta cons· trucclón supone una repartición aproximadamente de la armadura sobre el perlmetro de la sec- ción. El momento centrifugo siempre es fácil de calcular sobre la base de J450cuando la seco ción está limitada por rectas, puesto que en este caso J-450(momento de Inercia con respecto a la bisectriz de un cuadrante poslllvo) puede calcularse en forma sencilla mediante sumas o res- tas de superficies triangulares. Para secciones que poseen uno o dos ejes de slmetrfa, resulta J xy =0, 'J en este caso, en la Flg. 7.49, T Y E colncldlnan. 2. Para secciones rectangulares, supuestas previamente como de material homogéneo, resulta más sencillo construir la elipse de inercia (elipse central), cuyos semiejes son dJVl2 y bI.j"IT(ver Fig. 7.50). la tangente trazada en el punto de Intersección de la linea de fuerzas N . O con la elipse da la dirección del eje neutro; como valor del ángulo o entre la tangente y el eje x se tiene: tan o. 152 M J. M x (7.118) 175. - , N N 0---- ------:-1 t' • I I Eje neutro Eje neutro ~.¡. Z• '..-. . Vlga·placa asimétrica sin estar asegurada contra corrimientos y rotaciones / tMy "'~M. Corle Planta -- )] M' Viga rectangular solicitada por los momentos Mx Y My según ambos ejes de slmetrla (1lexl6n oblicua) Fig. 7.48. Ejemplos de secciones con perlmetros rectangulares, pero en que la zona comprimida del hormi· gón no es rectangular. ., Cenlro de presiÓn (p. de ap. de N)••• Circunferencia de inercia'Dirección del eje neutro Flg. 7.49. Determinación de la dirección del eje neutro mediante la circunferencia de Mohf, para una seco clÓn arbitraria, supuesta homogénea (fuera de escala). Una vez hallada la dirección del ele neutro, se traza perpendicular a la misma un diagra· ma de deformaciones y con elto se obtiene una primera orientación acerca de la posición del eje neutro (Fig. 7.51). ~ara ello se adopta un diagrama de deformaciones, que parta de Le max = 5 %o Idel lado traccionado o de lb max = 3,5 "too del lado comprimido. Para la zona comprimida delimitada de esta forma, en general, ~ calculo de la resultan· te de compresión Dbu, utilizando el diagrama rectiUneo·parabóllco de Flg. 7.3, resulta muy la· borloso. Para ello es necesario dividir la zona comprimida en fajas paralelas al eje neulro de es· pesor Ay y determinar para cada una de ellas esfuerzos parciales .tr.Db en función del Lb corres· pondlente al barlcentro de la faja (Flg. 7.51); se tiene as!: (7. 11 9) 153 176. donde debe reemplazarse de acuerdo con F lg. 7.3 O Ec. (7.1): í- 1- I d/V12 d Elipse centra! de inercia 1 • - o (' 4 'R ~ Centro de presl6n -+--'1- ._, tangente en A = direc· ci6n del eje neulro Fig. 7.50. Determinaci6n de la dlreccl6n del ele neutro mediante la elipse central de Inercia para una sec· clón supuesta homogénea, solicitada a la lIexión oblicua. Direccl6n del eje neutro o Linea de fuerzas o E~para ÓF". I lb correspondiente a la faja .&. y -b (9) E, p.r. 6F, Fig. 7.51 . Determlnacl6n de los esfuerzos parciales.&. 0b, .&.De y.&. le partiendo de las deformaciones" para una dirección del eje neutro supuesta () determinada aproximadamente (en el caso Ilustrado la poslcl6n del eje neutro se supuso para un estado de deformación te "" 5 %o Ylb" 3,5 ""'J. 154 177. - Los esfuerzos 60e YlIZe se obtienen de las correspondientes deformaciones del acero ('e y [e y de los diagramas 0"( de Fig. 7.5, obteniéndose ADa = oe . IIFey tr.Ze =0L • b. Fe' Los puntos de aplicación de las resultantes de compresión Dbu = IADb + I 6De Y de la de tracciÓn ~U = I lile se obtienen mediante los procedimientos corrientes de la Estática. luego es necesario verificar si se satisfacen las condiciones de equilibrio y las adi· clonales antes mencionadas. En caso necesario, en pasos sucesivos se modifican tanlo la po- sición como la dirección del eje neutro hasta alcanzar un resultado satisfactorio. Para secciones rectangulares solicitadas por flexIÓn oblicua con esfuerzo axil, tanto en la DIN 4224 como en [72) y [76) se han publicado diagramas de Interacción que, para distintas disposiciones de la armadura, permiten un cálculo simple para los esfuerzos caracterlsticos Mx, My Y N debidos a las cargas de servicio. 7.3.4.3. Determinaci6n de los esfuerzos caracter/sOcos crfticos Mu y Nu mediante el procedl· miento gráfico de M6rsch Para determinar la posición definida del eje neutro,E. Morsch propuso un método gráfi· co sencillo (77], que además sirve para determinar los esfuerzos caracterlsticos crlticos. En ge' neral, el procedimiento es aplicable para cualquier forma de sección. Al determinar los esfuerzos caracterlsticos criticas Mu y NU deben distinguirse dos ca· sos: 1. M YN se aumentan con el mismo factor de seguridad vM = VN = v, es decir el valor de la excentricidad se mantiene constante. v . M M M IN ' N N : e 2. El esfuerzo axil no se aumenta (VN = 1,0), es decir el valor de la excentricidad varia con vM: ·u la determinaciÓn de los esfuerzos caracteristicos Mu Y Nu que se desarrolla a conti· nuación, corresponde a las aclaraciones generales dadas en Seco 7.2.2 (distribución de defor- maciones conocida; se calculan los esfuerzos internos; se resuelven las condiciones de equilibrio). con la única diferencia que la solución de las ecuaciones correspondientes 'a las condiciones de equilibrio se resuelve gráficamente. El procedimiento gráfico se aclara mediante dos ejemplos muy comunes: 1. Se conoce e = Cte, y se buscan Mu Y NU o VM = VN· 2. Se conocen NU = N, es decir VN =1 Y se determina eU y consecuentemente MU. Con respecto al número de incógnitas especificadas en Seco 7.2.2 pueden imaginarse otras muchas poslbilidades,como por ejemplo: condiciones preestablecidas para las distribu- ciones de las deformaciones (debe utilizarse totalmente el acero), para lo cual es necesario de- terminar la sección de armadura Fe. Determlnaci6n de Mu y Nu para e = ete: Cuando se conozcan a priori las dimensiones de la sección es neces~rio, para una excentricidad eU = e dada, calcular los valores del esfuer· zo axil Nu y del momento flexor Mu. Partiendo de una distribución cual.qulera de deformaciones, por ejemplo, el caso limite con (e = 5 %0 Y(b = 3,5 %0 como primera hipótesis, se calculan en la forma conocida los es- fuerzos internos Db. De y le (ver, por ejemplo Seco 7.1.4.3). Para la Solución debe partirse de una condición de equilibrio que no Incluya la Incógnita NU. es decir IM = Ocon respeclo al punto de aplicación de NU (ver Flg. 7.5.2). 155 178. (7.120) donde y A nivel del eje neutro, establecido mediante el diagrama de deformaciones correspon- diente a (e =50/00 Ylb =3,5 %o se llevan los valores correspondientes a los miembros izquier- do y derecho de la ecuación, en una escala cualquiera. Los dos valores ~D = De {e - ye> + Db ' eb y ~z = le' ee, en general, para esta primera hipÓtesis de la distribu· clón de deformaciones, no resultan ser Iguales. En consecuencia se adopta otra variante para el diagrama de deformaciones con (b < 3,5 0/00, cuando hubiese resultado ~O > ~Z (es decir cuando el acero fuera determinante, Fig. 7.52 a) o con 'e [eS como consecuencia de la constancia de la correspondiente OeU =PS, de modo que la recta fJz = le .ee se mantiene paralela a la linea vertical de referencia. Para deformaciones [e ; la expresión entre paréntesis (Fb - F¡J fJA tiene en cuenta nuevamente la eliminación del revestimiento de hormigón exterior ~a espirat: la expresión entre paréntesis (1- ~ llene en cuenta el efecto desfavorable de cargas o~ NU excéntricas; conduce para e = M/N = dk/B a un valor nulo y con ello a !J. Nu '"' O. 187. Flg. 7.59. Reduccl6n del diámetro activo dkl del núcleo en relacl6n al diámetro del zuncho dk. L d 1- 0,084 d. La máxima excentricidad admisible e mAx. se alcanza cuando x = d12, de donde e mAx = Yd = dl2 - 0,416· d/2 =0,292 d "" 0,3 d. la evaluación de las relaciones anteriores conduce a que, para secciones rectangulares sujetas a lIexlón compuesta normal, la siguiente fórmula aproximada conduce a resultados muy coincidentes con los de las anleriores (ver E. Grasser 172)): (7.151) la verlllcación de que la junta. para la carga de servicio (suponiendo una repartición li- neal de tensiones) no se abre más altá del baricentro, no es necesaria cuando se emplea esta fór- mula, por cuanto la hipótesiS utilizada de la repartici6n parabólico-rectangular queda del lado de la seguridad. Para secciones de forma cualquiera, se recomienda utilizar el diagrama rectangular de tensiones explicado en Seco 7.3.4.4, Fig. 7.54. los cálculos resultan asl muy sencillos. pues s6· lo es necesario determinar la sección. su barlcentro y momento resistente de la zona comprimi- da reducida en el 20 % de su altura, para verificar si la máxima tensi6n en el borde o, se man° tiene inferior a 0,95 PR- En 172J figuran mayores detalles para estimar en forma aproximada la capacidad de carga de secciones no rectangulares. 170 193. 8 Dimensionado para esfuerzos de corte 8.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado a los esfuerzos de resbalamiento En la Seco 5.1.3 se aclaró Que en todo el ámbito de una viga solicitada por momentos flexores varIables y como consecuencia de ello por un esfuerzo de corle a = dMldx,para el es- tado I se originaban entre los cordones tensiones principales Inclinadas 01y 011 (principal stres· ses), las que pod!an ser calculadas sobre la base de las tensiones longitudinales 0M y las ten· siones de resbalamiento T (shear stresses) (Fig. 5.7), Los esfuerzos de tracción en el alma correspondientes a las tensiones principales de tracción exigen una armadura, denOrT.inada ar- madura de corte (shear reinlorcement), porque también en este caso tampoco es posible admi· tir esfuerzos de tracción en el hormigón. las tensiones principales de tracción conducen. ya sea para la carga de servicio o al crecer ésta para alcanzar la carga critica, a la formaciÓn de fi· suras de corte, que autorizan a considerar, para el estado 11, que la estructura de la viga se com- porte como un reticulado (truss) segUn muestra la Fig. 5.12. la capacidad portante de las vigas de hormigón armado sólo resulta asegurada cuando, además de los esfuerzos en los cordones, los esfuerzos de IracciÓn y compresión que se origi· nan en las barras ideales del alma, se absorben con la seguridad requerida. la direcciÓn más favorable para la armadura de corte coincide con la de la tensión principal de tracciÓn 01. es de· cir aproximadamente 45° (Fig. 5.12 al. Pero, teniendo en cuenta que los estribos normales al eje de la viga (estribos verticales) son de ejecución más simple, se les da preferencia; el reticulado es capaz también de absorber cargas disponiendo en el mismo barras traccionadas verticales (Flg.5.12b). Para verificar la capacidad portante al cort e en vigas de hormigón armado en el estado 11, loS esfuerzos de tracción y compresión en el alma se calculan para el estado critico (carga portante necesaria) mediante un modelo de reticulado. Sobre la base del desarrollo histÓrico, se utiliza, para el dimensionado al corte. el valor calculado de la tensión de resbalamiento TO' Apoyándose en numerosoS resultados de ensa· yos, el valor de TO se limita, con el objeto de garantizar una seguridad suficiente contra la compreSiÓn oblicua (rotura de las diagonales comprimidas). En la OIN 1045 se utilizan valores de cálculo TO para cargas de servicio y se dan los correspondientes valores de TO adrn, que pro· porclonan una amplia seguridad contra una rotura por compresión de las diagonales comprimi· das. Análogamente como para el dimensionado a la lIexión con solicitación axil (Cap. 7), en lo que se sigue se explicará el dimensionado al corte solamente para vigas esbeltas (lid ;¡,2); las vigas de gran altura y las ménsulas muestran un comportamiento bajo carga fundamental- mente distinto, tanto a la flexión como al corte, y deben ser objeto de un análisis especial. 171 194. p 8.2. Tensiones principales en alemantos portantes homog'neos (Estado 1) 8.2.1. Defermlnación de fas tensiones de resbalamiento para secciones homogéneas (Sec- ciones de hormiQón armado en el Estado 1) En la Mecánica Técnica, el valor de la tensión de resbalamiento T en un elemento de Ion· gitud dx de una viga esbelta con la nolación de Flg. B.1, se deduce en la forma siguiente: Para un elemento b (ZI) . dx . dz, la condición de equilibrio para las fuerzas de dlre fJbZ (es decir, sin partir de una fisura de flexIón, ver Fíg. 5.11). Si, en estos casos, la armadura del alma es muy débil, la fisura se extiende hacia abajo en todo el espesor y la viga falla (Fig 8.9). Este tipo de rotura debe tenerse muy especialmente en cuenta en vi· gas de horm,gón pretensado. 8.4.1.3. Rotura de las diagonales Ideales comprimidas En el caso de secciones! con alas muy gruesas, almas muy delgadas y armadura de las mismas muy robustas se presentan numerosas fisuras de corte inClinadas a 45D • las zonas comprimidas del hormigón entre fisuras fallan bruscamente, por estallido, cuando su solicita· ción alcallza la resistencia a la compresión del hormigón anles que la armadura del alma lle- gue al limite de escurrimiento (Figs. 8.10 y 8.11). Este tipo de rotura (web compression 'si/ure, web crushlng 'ailure) determina el limite superior de la capacidad portante al corte del alma de las vigas, la que, en consecuencia, depende de la resistencia del hormigón a la compresión. la magnitud del esfuerzo de compresión en las diagonales Ideales comprimidas resulta Influida, en primer término, por la inclinación de la armadura de corte (ver analogla del reticulado). 804.1.4. Rotura en el anclaje En losas, vigas rectangulares y vigasIo T con almas de gran espesor, la armadura longi· tudinal, por el efecto de arco, resulta muy solicitada hasta los apoyos (ver Flg. 5.15), de modo 183 206. que para un anclaje deficiente, ceden las uniones entre las diagonales Ideales comprimidas y el cordón tracclonado en las cercanras del apoyo (Flg. 8.12). Cuando existen ganchos, el hor- migón del alma puede astillarse (rotura por astllladura). La rotura en el anclaje (anchorage !ailute) se produce bruscamente. El cedlmlento del anclaje por deslizamiento de la armadura puede tener como consecuencia una rotura por corte en el alma; estrictamente hablando, este último tipo de rotura no es en realidad,una rotura por corte porque no son los elementos resiso tentes del alma los que ceden, sino que es el anclaje del cordón tracclonado el que lo hace en la zona cercana a los apoyos. 8.4.2. Factores que Influyen en fa capacidad portante al corte 8.4.2.1. Enumeración de 18S Influencias En la Seco 5.3.1.2 se aclaró en forma sucinta el comportamiento bajo carga de una viga en la zona de corte. Resultó claro que muchos pará.metros (aproximadamente veinte) Influlan en la capacidad portante al corte; son los siguientes: 1. Tipo de carga: carga concentrada P, carga uniforme p o q 2. Ubicación de la carga y esbeltez de la viga: distancia relativa alh de una carga concentrada P al apoyo o valores relativos entre mo- mentos y esfuerzos de corte MIOh esbeltez de la viga l/h en el caso de carga uniforme 3. Posición y forma de aplicación de la carga: directa o indirecta cargas suspendidas inferiormente 4. Armadura longitudinal: cuantla de armadura I'L, en especial a )( ::::.3 d del apoyo calidad del acero y en consecuencia deformación de la armadura de tracción grado de adherencia, influida por la distribución de la armadura de tracción anclaje escalonado de la armadura de tracción 5. Armadura de corte en el alma: cuantla de armadura JoIS calidad del acero grado de adherencia anclaje en ambos cordones separación de barras tipo (estribos verticales, estribos inclinados, barras longitudinales levantadas, combina· clón de estas últimas con estribos) 6. Calidad del hormigón 7. Granulometrla del hormigón: el tamano máximo del agregado grueso influye sobre la trabazón interna del hormigón (agrega te interlock) 8. Forma de la sección: por ejemplo, relación blbo en vigas·placa 9. Altura absoluta de la sección: las leyes de similitud mecá.nica no tienen validez general 10. Configuración de la estructura: vigas simples o continuas 184 207. Fisuras de corte -r/~¡..- Estribos r/ '" [j V C> V I ~isurasJd p ) e flexión Estribos estirados o fracturado$. Flg. 8.9. Rotura a tracción por corte, en una viga con alma de poco espesor y débil armadura de corte: Fig. 8.10. Rotura por compresión de las diagonales ideales en el caso de una armadura del alma muy fuerte (Ialla brusca del hormigón del alma por tensiones oblicuas de compresión). Fig. 8. t 1. Rotura por compresión del alma en una sección lcon luerte armadura de corte constituida por estribos a 45° Iflp = 225 kplcml , TOU = 159 kp/cml al alcanzarse la carga de rotura). Ensayos de Stuttgart [8~ . 185 • 208. I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I ~ I I ,1 I I~- ... ~-~- ~-~-'-F-- --T-.... -t--.-1'"- -.-T-t-- --... -.,-- Flg. 8.12. Roturas en los anclajes (según E. MOrsch (11). En los capltulos siguientes se analizarán las Influencias mas Importantes sobre la base de resultados experimentales que, en su mayarla, se obtuvieron en los resultados de ensayos de corte realizados en Stuttgart entre los arios 1960 y 1966 (Informes relativos a ensayos: [64, 85, 86. 87, 88] Yresumenes [63, 89)). 8.4.2.2. Posfción y tipo de carga La Influencia del tipo de carga es significativa: para carga uniformemente repartida (car- gas que actúan directamente aplicadas en la parte superior) los ensayos muestran para vigas esbeltas, sin armadura de corte, una capacidad portante al corte entre el 20 'le. Yel 30 % supe- rior a la del caso de cargas conceniradas ubicadas en la posición más desfavorable (Flg. 8.13). Teniendo en cuenta que en la realidad no puede garantlrse una repartición uniforme de las caro gas, al establecer las normas de cálculo deben considerarse tos resultados más desfavorables correspondientes a cargas concentradas. En el caso de cargas concentradas la distancia de las mismas al apoyo Influye conside- rablemente, en cambio para cargas uniformes es determinante la esbeltez lIh (Flgs. 8.14 Y8.15). Como posición más peligrosa para una rotura por corte, con o sin armadura de corte, pa- ra el caso de una carga concentrada, resulta ser una distancia a :::: 2,5 h a 3,5 h, a lo que corres· ponde una relación momento-esfuerzo de corte MIQh = alh :::: 2,5 a 3,5. Para el caso de cargas uniformes, esbelteces lIh = 10 a 14 corresponden al máximo peligro de rotur&por corte, es de· cir, a la mlnlma capacidad portante al corte. la capacidad portante al corte crece considerablemente, en el caso de cargas cercanas. a los apoyos, al disminuir la relación a/h < 2,5; para cargas uniformes ocurre un incre· mento similar cuando se tiene llh < 10. Esto responde a que el efecto de estallido resulta más favorecido, cuanto mayor sea la pendiente de las diagonales Ideales comprimidas, suponiendo naturalmente un buen anclaje de las barras longitudinales !racclonadas (Fig. 5.13). Al dimen· sionar la armadura de corte, conviene tener en cuenta este efecto favorable en la capacidad portante al corte. SI en un dlagr~ma se representan los momentos de rotura de vigas de hOímigón armado similares sin armadura de corte, con respecto a las relaciones entre momentos y corte, puede observarse una disminución, que comienza para aJh = 1, alcanza su mlnlmo para a/h ::: 3 y luego comienza a crecer hasta que para a/h =7 alcanza el valor del momento de rotura por fle- xión teórico. G. Kanl denominó a dicha depresión "Valle de corte" 190, 91). Flg. 8.15. El ancho y la profundidad de dicho valle dependen de la rigidez de la armadura longitudinal tracclonada, es 186 209. 'Col) [kp/cm2 ] 100 , • OV t .0 40 '0 O carg1as con~entra~as ./Car~a unlf~rme JI;:..., ~ .... p p l , l, , O¡¡¡¡¡O¡¡U¡¡Op 1 1=$2S 2S l ' l~ ~ IIh Esbeltez (para carga uniforme) O 4 B 12 16 20 24 2B ,11---+1--"--"--"--"--1'--11 a/h Aelación Momento·Corte 0 1 2 3 4 5 6 7 Q.h = + (pA.ra cargas concentradas) Flg. 8.13. Capacidad portante al corte de vigas sin armadura de corte para cargas uniformes y concentra· das en función de JIh y respectivamente de a/h. M SU [Mpm} 12 Momento rotura por fleK. calculado _ Me =tl,1M;;; 10 • § &• •, .;; O O - h r - - , -,-VV 1 /'VMomento MSU .... , 3 4 5 • 7 • • h p p 1 l , l, , Relación momento-corte " ..- Q · h h para I'L = 1,88 % j Flg. 8.14. Influencia de la posición de la carga sobre la capacidad portante al corte en vigas sin armadura de corte!J,lL = 1,88 %l. Flg. 8.15. Influencia de la posición de la carga aIh y de la cuanlla de armadura longitudinal sobre la re- lación entre el momento de la rotura por corte y el momento de rot ura por flexión, en vigas Sin arma· dura por corte ("$chubtal" segiXI G. Kani(90D. '0 O.¡±±±iit±::V·h, 4 - 1,88 ~ 2,8~L ['/.) 187 210. decir de la cuantla de armadura longitudinal f.ll y del grado de adherencia (ver Seco8.4.2.4). Al disminuir f.ll, el momento de rotura por flexión decrece más rápidamente que el momento que produce la rotura por corte, de modo que eluvalle", para cuantlas reducidas, es menos profun- do que para cuantfas f./L grandes. La misiÓn de la armadura de corte es equilibrar la falta de ca- pacidad portante al corte, puesta de manifiesto por la existencia del "valle", de modo que siempre se alcance la capacidad portante a la flexiÓn. En el caso de cargas con M/Oh = alh >1 o cargas uniformes para esbelteces IIh > 24, aun sin armadura de corte, no existe peligro de rotura por corte. Considerando que en la zona a d es suficiente, en cada zona de borde, disponer la armadura mlnima referida en cada una de ellas a un ancho br = h12. 8.5.3.5. Reducción adicional de la armadura de corte necesaria en el caso de cargas cercanas a los apoyos o vigas carlas Sobre la base del efecto portante favorable de voladizo, mostrado en Sec. 8.4.2.2 para dichas zonas, se permite que, para las cargas vecinas a los apoyos que disten menos de 2 h. la parte que Influye del esfuerzo de corte Qp se reduzca aplicando el factor Para vigas cortas de esbeltez lIh " 8, en el caso de cargas uniformemente distribuidas puede utilizarse como factor de reducción del esfuerzo de corte •" .-.,... 8 h - 201 224. El factor J( se ha representado en Fig. 8.29 en función de a/h y de l/h. Al calcular la armadura de corte de este tipo de vigas, se determina el valor caracterlsti· co de la tensión de corte TO para un esfuerzo de corte reducido a red, es decir TO = a red/bol, teniéndose para vigas con llh >8 y carga concentrada a una distancia alh < 2 Y sobrecarga distri· buida p: Q red· Q + K Qp g+ P para vigas con lIh T03· T • T o 205 228. En el caso de flexión y tracción y eje neulro que no corta a la viga, no se admiten valores TO >T02' Ten - limites para TO (kp/cm'l Ele· sl6n de Verlflcacl6n Coberturameno Zona ""rt. por calidades de hormlg6n Bn de la cobertu· Observa· al corte10 ra al corte clones , 15. 25. 35. 45. 55. o 2,5 3,5 4 5 5,5 F. Interrumpida 1 no nacesa- ninguna,011 ,la 5,. , 7 8 Losas 3,5 F. continua 2 12 18 24 27 3. necesaria cobertura reducl·,02 .a 1 , 5 7,5 l. 11 12,5 no necesa· armadura al cor- tambl'n 012 "a te mln. en 10S8$ Vigas 2 , 12 18 24 27 ,. necesaria cobertura reducl- 02 .a ,• '03 2. 3. 4. 45 5. necesaria cobertura lolal • 5610 para do ;.. 45 cm empleando acero nervurado Flg. 8.31. Limites de los valores caracterlstlcos de ta tensión de corte TO par. cargas de servIcIo según DIN 1045. 8.8. Dlmenllonado al corte en calOI especiales 8.6.1. Armaduras de unión de cordones En vigas-placa o vigas'caJón, las losas, que actúan como cordones comprimidos o trac· clonados.deben vincularse al alma en forma resistente al corte. En la Sec. 7.3.1 se aclaró la colaboración de la losa como elemento comprlmfdo de una viga-placa. Con relación a la distribución de las trayectorias de las tensiones principales que muestra la Flg. 7.31, se origina, para el estado 11, es decir cuando 01 alcanza la resistencia ala Iracción del hormigón. un slslema de diagonales comprimidas (entre fisuras) y de !racclonadas correspondientes éstas a armadura de vinculación. Como base de calculo, sirve, anélogamente que para el caso de las vigas.un modelo constituido por un reticulado simple; la Fig. 8.32 muestra un ejemplo donde,en lo que respecta a la separación ea de las barras tracclonadas de la armadura de vinculación, el esfuerzo de compresión 01 en la losa es absorbido por tres barras ideales. Dichas tres barras en la losa comprimida, absorben cada una de ellas 01/3,para lo cual, de acuerdo con la Seco 7.3(Flg. 7.34), se admite que la tensión o. es constante sobre todo el ancho acUvo. La dirección de los elo- mentos comprimidos oblicuos se corresponde con la de las trayectorias de compresión en la losa y se supone que las cercanlas de los apoyos es de 45°; las mismas se aplanan al crecer M y disminuir Q. La dirección de las barras traccionadas de la armadura de vinculaciÓn debe, normal· mente, ser perpendicular al eje x. Sobre la longitud dx, la parte dO. correspondiente a la losa de la diferencia de las resul- tantes de compresión dD =dMfz debe transferirse a ambos lados del alma (Flg. 8.32 a). 206 229. Despreciando las tensiones de compresión en el alma, el factor de transferencia" para el caso de simetrla vale d • b • mI b· d a y con .60 = .6Mlz y.6MI.6x a se tiene d (b - b ) a o • 2 b da 6x Q, b - b o 2b (8.50) (8. 51) Del pollgono de fuerzas correspondiente a un nudo se obtiene el esfuerzo de tracción Za = .6D}13 Ycon la Ec. (8.51) el esfuerzo de tracciÓn correspondiente a la armadura de vincula- ciÓn referida a la unidad de longitud .6x13 z' • b - b o 2 b _ (8. 52) , Si la armadura de vinculaciÓn tiene una separaciÓn ea y una secciÓn efectiva Fe, a. re- sulta entonces con fea = Fealea una tensiÓn en el acero o e,a • z'a -f- e,a Q z· f e,a b - b o 2 b (8.53) La armadura de vinculaciÓn necesaria debe determinarse para una tensiÓn en el acero 0e. a = f1s y una carga de servicio afectada d~ " =1,75 (agotamiento del acero) y resulta ser fe,a nec. b - b o 2 b v ·Q z· ~S (8. 54) Partiendo del valor caracterlstico establecido en 8.3.3 para la tensión de corte en el al- ma TO = Olboz, puede deducirse un valor caracterlstico Ta para la tensión de corte en la unión: b (b - b ) o oT • a 2 b d a y por analogla con la Ec. (8.39) se tiene en consecuencia fe,a nec. F =~ e a T. d o • e (8.55) (8. 56) Este valor Ta es mayor que TO para da < bo (b'bo) f2b lo que ocurre muy a menudo para las grandes losas comprimidas en puentes. Cuando se trafa de la vinculación de un cordón traccionado fuera del alma (Fig. 8.33) el esfuerzo .6Z1 en cada lado, la correspondiente armadura del cordón Fe,l, debe unirse en el alma a las diagonales ideales comprimidas a 45°. Para igual tensión en la totalidad de las barras de 207 230. ¡-+ I I I I ¡ f, 0,,- 235. Si el esfuerzo axil es de tracción, las fisuras de corte tienden a verticalizarse y los es· fuerzas de tracción en el alma aumentan; sin embargo, ensayos efectuados en Stuttgart [1021 demostraron que la capacidad portante al corte de las vigas dimensionadas según la DIN 1045 no resulta afectada. De eUo puede deducirse que, tanto en la zona de corte 2 (en que se admite una cobertura al corte reducida) como en la zona de corte 3 (donde se exige una cobertura total), el dlmen· sionado de la armadura de corte posee siempre grandes reservas de seguridad. Por ello, fa DIN 1045 establece perfectamente que la influencia de los esfuerzos axiles puede despreciarse en el dimensionamiento al corte, siempre que el eje neutro corte a la seco ción. 8.6.3.2. FlexIón y esfuerzo axil de compresión cuando el eje neutro no corta a la sección Si la excentricidad e de un esfuerzo normal de compresión es pequena (por ejemplo, si en la sección rectangular es inferior a 0,15 d hasta 0,30 d, ver Fig. 7.27), en este caso el eje neutro es exterior a la sección y la totalidad de la misma está solicitada a la compresión. Las tensiones normales de tracción resultan ser en este caso muy reducidas, de modo que no de· ben temerse roturas por corte en la forma indicada en Seco 8.4. En tales casos no se justificarla efectuar un dimensionado al corte. Por ello la DIN 1045 permite que en estos casos, cuando se utilicen sus especifica· ciones para verificar la seguridad al corte, y para dimensionar la armadura de corte, puede par· tirse no del valor caracterlstico corriente TO de la tensión de corte, sino de la máxima tensión principal de tracción 01. La determinación de los valores de estas tensiones en secciones de hormigón armado es muy laboriosa, debiéndose por ello partir de los valores correspondientes a una sección de hormigón simple. En elementos estructurales sujetos a esta forma de solicita· ción (como por ejemplO columnas) no es necesaria una verificación especial de la armadura constructiva prevista (por ejemplo tos estribos de la columna considerados como armadura de corte) cuando 01 < To12 (Tabla 14, DIN 1045). Seria de desear para el proyectista poder estimar en forma fácil dicho limite. En principio sólo puede admitirse que para vigas rectangulares es posible aceptar dejar de lado la verificación al corte cuando -Independiente de la excentrici· dad- y para el eje neutro fuera de la sección,el esfuerzo de corte se mantenga a " 0,20 ·I NI. 8.6.3.3. Flexión con esfuerzo 8xil de tracción cuando el eje neutro es exterior a la sección Si la excentricidad de un esfuerzo axil de tracción resulta e 7,00 + Flg. 9.26. Ensayos a la torsión de E. MOrsch (1921) en cilindros con distintas armaduras (fJw = 150 kplcm'). las partes comprimidas, acortamientos (b del hormigón a 1350 , que corresponden a tensiones 0b =4 TT a 6 TT, es decir mucho mayores que las de esperar en la analogla del reticulado (ver Sec. 9.3.2). Thürlimann y Lampert (Zurich) encontraron que la justificación residla en el conside- rable alabeo de las superficies laterales (Flg. 9.28), por lo cual las partes comprimidas lo eran con gran excentricidad y por ello el colapso ocurrla mucho antes que para el caso de corte. En consecuencia, en la torsión el limite superior de TT debe reducirse con respecto al ca· so de corte. Con armadura a 450 , el alabeo es menor Y0b mAx un 40 % más reducido, pero, sin em· bargo, y a este respecto, sólo existen actualmente pocos ensayos, por ejemplo ¡tl0). 233 256. G'. ,Bu ' OOO~----------'-----'-----r-7?-' 4000 GJ------ ->---Si mb f 6, Q:S cm JOOO -1-----+ ----+- 2000 -1--------+---- 1000 o 2 3 4 Flg. 9.27. Varlacl6n de las tensiones en los estribos en vigas rectangulares, con armadura perpendicular en torsión pura. Superficie de dOble curvalura " -"'0-""" '1i, Tensiones secundarias de flexión t través de un corte de la zona comprimida Os Flg. 9.28. Deformaciones de una viga de hormigón armado en torsión [65J. 234 tracción z 257. empottemlento 8 torsión u vértice Que rompe u estribo Flg. 9.29. Desvlo de los elementos comprimidos en las aristas. 9.4.4. Roturas en las aristas A lo largo de las aristas de las vigas rectangulares, los esfuerzos de compresión de las zonas comprimidas oblicuas deben variar de dirección en las esquinas, por lo que se originan esfuerzos de desvlo U (Fig. 9.29), que sólo pueden ser absorbidos por la resistencia a la Irac· clón del hormigón hasta un determinado valor de TT. Si TT resulta elevado, rompen los vértices, salvo que estribos poco separados o barras de esquina rlgldas absorban los esfuerzos de des· vIo. Ensayos realizados con estribos de distintas s'eparaciones demostraron que para el caso de TT elevados, este tipo de rotura sólo puede evitarse si se adopta una separación de estribos " 10 cm (111). El limite de ry, por sobre el cual se exigen estribos muy junIos o barras de es· quina de gran diámetro, puede fijarse normalmente para 1 veces la carga de servicio, en el valor .,11 .. 0. 04 13 NT w, 9.4.5. Rotura en los anclajes En este tipo de rotura, la armadura cede en los anclajes, es decir que los estribos pueden "resbalar" y las barras longitudinales pueden deslizarse en las zonas de absorción del flujo de las tensiones tangenciales debidas a la torsión. 9.5. Dimensionado de estructuras de hormigón armado sujetas a torsión pura 9.5.1. Planteo del dimensionado a torsiÓn pura 9.5.1.1. Cuantfas de armadura a fa torsiÓn y tensiones Las cuanl/as de armadura lIT correspondientes constituidas por barras longitudinales y estribos o hélices a 45° se definen como se expresa a continuación: para barras longitudinales: ~T.L • EF Le, Suma de las barras longitudinales 19. 18) Ir perlmelro del eje medio de la pared 235 258. - para estribos verticales: ..e, BU Fe de un estribo " ,----,T, BU t T · eBU tr' separación de los estribos para armadura en espiral a (1 = 45°: IlT s '" t . e . "o 273. Ps • 41SOkp/cm 2 " IIp,S6'' 3Wlpkm 2 ), ,. sKIi • 104 _Id .0,1 PD Deformaciones de la barra bajo carga de larga duración 1.1 "D~ O,, O,, O ,--- lo1!:8 '"f! 1;,10 $4 r 'D,D ~ ~ O 0,4 0,6 Puo s Carga portante para car~a de corta duración aplicada 8 t :: 56 dlas Puo ,. Garga porlante previa de larga duración Po ,. Inlensidad de la carga de larga duración ID. Tiempo de actuación de 'a carga de larga duración anos meses dias Flg. 10.13. Cargas portantes relativas de columnas con.i. :: 104 y e/d =0,1 en función de la duración de la carga y de la intensidad de una carga Po de larga duración, para un comienzo de aplicación de la carga 8 una edad de 56 dras (121]. 10.3. Verificación de la capacidad portante segun la .toria de 11 orden para elemenlos comprimidos ••beltol 10.3.1.lntroduccI6n Un cálculo de la capacidad portante según la teorfa de 11 orden, tiene en cuenta la Influencia de las deformaciones de la barra sobre los esfuerzos caracterlslicos debidos a las cargas externas. Las deformaciones de la barra se obtienen por integración de las deforma· clones de las secciones (= curvaturas) a lo largo de la longitud de la barra, para lo cual, y en lo que respecta a sus efectos debe tenerse en cuenta: la distribución de los esfuerzos caracterfsticos a lo largo de la barra. las condiciones de apoyo en los extremos de la barra. la posible existencia de cargas transversales. Las deformaciones de cada una de las secciones de la barra o las curvaturas de sus ele- mentos de longItud dx, resultan influidos por los siguientes parámetros: Diagrama a· 1 del hormlgOn. Diagrama a' t del acero para hormigón. Forma de I~, sección de hormlgOn. OistrihucH'ln de la armadura en la sección de hormigón. Cuantle de armadura. Ma~nltud y dirección de la excentricidad del esfuerzo normal. A continuación se desarrollarán los fundamentos para la determinación de la curvatura y diagramas para facilitar su determinación en el caso de secciones rectangulares con arma· 251 274. dura simétrica. Además se mostrará cómo, mediante el empleo de métodos de cálculo conoci· dos, es posible, conocidas las curvaturas, determinar las deformaciones de las barras y con ellas los esfuerzos ~.racter'stlcos correspondientes a la teorla de 11 orden. 10.3.2. Reflexiones sobre el velor del coeflclellte de segurIdad la verificación de la capacidad portante utilizando la teorla de II orden puede subdivldlr- se en: 1) Determinación de la deformación de los elementos comprimidos y 2) Verificación de la capacidad portante del elemento comprimido una vez deformado. En el primer caso no es necesario establecer exigencias tan rigurosas en lo que respec- ta a la seguridad contra el colapso de los materiales como para el caso 2), porque fallas locali· zadas tienen una Influencia prácticamente despreciable con respecto a,a deformación total de una barra. En cambio, el resultado de un cálculo de deformaciones depende en forma conside- rable de la magnitud de la excentricidad e, cuyas Inexactitudes, hasta el momento, en lo que respecta a las consideraciones relativas a la seguridad y en especial en lo que respecta a la Introducción de un coeficiente de seguridad global para la verificación de la capacidad portan· te, prácticamente no se ha tenido en cuenta. Rigurosamente Mblando, los conceptos de cálculo 1) y 2) deberlan, en consecuencia, efectuarse separando los coeficientes de seguridad, ver Seco 6.2 y K. Kordina en (1221. En las investigaciones teóricas relativas a la seguridad en este aspecto,no se ha llega- do a ninguna conclusión convincente. Por ello es necesario contentarse en primer término con los coeficientes de seguridad global conocidos para ambas partes del cálculO, lo que no obsta para que se tomen en consideración medidas adicionales debido 8 la gran sensibilidad que existe en los problemas de estabilidad del equilibrio. A este respecto se adapta preferiblemen- te la introducción de una denominada excentricidad accidental, que no sólo tiene en cuenta las Imperfecciones que en realidad existen siempre en la barra (dudosa rectitud del eje de la barra, etcétera), sino que también debe cubrir las siguientes incertidumbres: 1) Inseguridad respecto de la posición y dirección del esfuerzo normal exterior. 2) Diferencias entre los barlcentros geométricos y de la secciÓn deformada, por ejemplO co- mo consecuencia de un desplazamiento de la armadura, aslmetrla de la misma, compac· taclón y endurecimiento del hormigón, etcétera. 3) Cambios en la deformación como consecuencia de la fluencia lenta del hormigón, en la medida que no se efectúe un cálculo especial y detallado al respecto. 4) Influencia de las tensiones propias no tenidas en cuenta y esfuerzos caracterlsticos indu- cidos, por ejemplo, por expansión y temperatura. "u l:a/d L_+l____J~:;¡;:=_=:6="~,~d=.:b¡dO a l:Jf/dtwd t "T FIg. 10.14. Influencia de un. Inexactitud lIe sobre el esfuerzo exll relativo nu que puede ser absorbido para pequeflas y grandes excenlrlcldades, representada en torma de diagrama segun Flg. 7.27. 252 275. De acuerdo con (1221, la Fig. 10.14 muestra, por ejemplo, cuán dillcil es tener en cuenta la incertidumbre mencionada en 1): para pequeflas excentricidades e" para un error en el valor Aa, la reducciÓn tt.n, del esfuerzo axil nU es considerable, mientras que en el caso de excentrici- dades eJ mayores, para errores tt.e de Igual magnitud, la diferencia ¿nI en el esfuerzo a absor- ber es despreciable (ver a este respeclo Flg. 7.27). En muchos campos de las construcciones se utiliza cada vez mb la excentricidad acci· dental eu como parte del tratamiento anatltlco de la seguridad. Al valor eu se lo hace depender en general de la longitud de pandeo sK o también la excentricidad accidental relativa euld de la esbeltez SK/d, porque la carga portante depende fundamentalmente de la esbeltez (ver Seco 10.1.2). 10.3.3. Deducción de las expresiones de la curvatura en secciones recfangulares de hormigón armado Análogamente a lo admitido en Cap. 7, para la determinación de la carga portante debi· da a un momento flexor, sumado a un esfuerzo axil que aparece en Cap. 7, se admite fundamen· talmente la validez de la hipótesis de 8ernoulli de la conservación de las secciones planas. hasta llegar a la rotura. Como "curvatura" It: se entiende la variación relativa de la pendiente de las tangentes a la linea elásllca en el intervalo dx. De acuerdo con la Flg. 10.15 la variación angular drp es, para una variaciÓn de longitud (, . dx de las fibras del borde Interior y {l' dx del exterior del elemen- to, con respecto a la longitud inicial E: 2 dx dx (10. 1) d la variaciÓn angular referida a dx, dqJdx, es la derivada segunda, y", de linea elás Ilca, o sea igual a la curvatura It: ~ : y" d x ." d '2 (10. 2) en la misma,(, y {I deben introducirse con su signo; en consecuencia los valores de It: son nega- tivos. la eco (10.2) es también válida para secciones con zona de tracción fi surada (Estado 11, Fig. 10.15 b), siempre que tI se haga igual a: d - X E" = I!: 2 e~ (10. 3) En las deducciones siguientes se utilizará el valor adlmensional de la curvatura (10. 4) las deformaciones especificas de borde {, y (J pueden relacionarse con los esfuerzos caracterlsti:::os internos Ni y M¡ mediante las expresiones deducidas en el Cap. 7 ("i" se utiliza para diferenciar los esfuerzos internos de los esfuerzos caracterfsticos debIdos a las cargas exteriores). ?ara la sección rectangular con armadura simétrica de Fig. 10.6, para el estado I y con la notación de Cap. 7 se llene: D + D' + Db , , MzD +(D' -D I(~ - h'li b' Y d e e 2 253 276. a) Estado I b) Estado 11 d. -h- '" ,2 , - - - d d' t---------------.-__~----,~ dk E:zdk d, , l, +.----- h L, Fig, tO,t5. Notación de un elemento dk para la determinación de la curvatura ~ para flex ión con compfe· slón en los estados I 'J 11 . o expresado en forma adimensional con t =h'/h: N., , n • .-,-'::,- ' d h + de + d. i b d f3R , 1 Id - d ) 1-- .)e e 2 ':> (la. 5) (10, 6) Para determinar los esfuerzos inlernos relativos db 'J de, de es necesario además cono- cer los diagramas,, · (para el hormigón y el acero. Para el cálculo de deformaciones al verificar 254 277. la capacidad portante (teorla de II orden), en general se utilizan los diagramas ideales (bi- lineales) 0-' del hormigón y acero, según Figs. 7.4 y 7.5 respectivamente. 5i, para cuantlas mecánicas dadas y F' e bd ~s ~R se fiJa a priori la curvatura relativa i ='1 - (J y se varlan (1 Ó (J dentro de los limites admitidos para el dimensionado (ver Fig. 7.6), se obtienen de las curvas de un diagrama ni - mi función del parámetro i, las relaciones m-n - i ó M - N - IC. Las Flgs. 10.17 ªa ~ muestran dichas familias de curvas para una sección rectangular con armadura simétrica de B SI 42/50 Y ¡¡o =ji(, = 0,12; 0,24; 0,48 Y0,72. Para.e! estado de equilibrio buscado entre los esfuerzos caracterlsticos internos yexter- nos de una sección (es decir NI =Na Y Mi =Ma o también ni = na y mi =mal es posible obte· ner de dichos diagramas, en cada caso,la correspondiente curvatura i en "A:o. La relación M - N - IC asi obtenida, puede también representarse usando ni como pa- rámetro, Fig. 10.18, lo que es común encontrar en la blbliografla [118,122.123[. Esta forma de representación permite apreciar otros aspectos del problema y puede resultar útil en la práctl· ca del cálcuto. Puede observarse que para esfuerzos normales de compresión de gran intensi- dad (por ejemplo ni = 1,25) el colapso comienza para pequeflas curvaturas (2,5 ".(,o), mientras para compresiones de reducido valor, además de los momentos !Iexores mI mucho mayores que pueden absorberse simultáneamente, también las curvaturas pueden llegar a ser conside- rables. , ~ ';J.: b • /~ 0 / " "/ , ", d / I~F~ F, II Olstrlbución de deformaciones 'R ~ E, -E:2: const ---- paralela a(Ddesplazada " -- E, E, E. Tensiones en el hormigón Tensiones en el acero G' i G, I Esfuerzos internos Esfuerzos calacterlslicos de la sección Fig. 10.16. Deformaciones. fuerzas y esfuerzos caraclerfsllcos en una seCciÓn rectangular con armadura simétrica para el estado l. 255 278. o ~. •~ m. ~ '" • o' o • ~ ~ ~ ~ • -, - '. o N (1)', ......,. " ~ ~ ~ ~ -' i- E "o o, I •51 • • ~ •~ N N ., - O ' ;:}N U a • " o ~ < • .f ~ o';; " U " •'" o ":J.. 0 --; • '" < p< " '" " ~ o ,,0- < .2 ", D- ~ ",, , o . -~ " , ON, , 00 ~. ,. "i ' .~ , ~ 'l!- Isz'o ' "M.- ,- ~, , 1- r- r--r- ~• ¡-.. o' t--. t- t-¡-..¡-.. . 1 ~ t--~ ¡..... c-- r-¡,...k- r- ~....... :--- r--¡-: ¡::::: -,o , -8'w ....... 8' ~ ~ -:;} o ~ - " •,~ ~ '. • ••3 o :¡ ~ j ~ " < , E 281. ; . O) 0,25 0.2 O,lS 0, O,os O r r 1",:-0,5 0,••0,75 + n,:-(pS t-- 1- . ---- - /' l A'" ",.-1,00 - ~ - I n ••',25 -l - -1- - ~ .- I X: 'M,. d e -o~ -1) -1,5 -2J) - 2,5 - 3,0 -lS - t./) -'.5 -~ -s,S -6,0 -6,5 b ..] Flg. 10.18. Diagrama m -n - IC con n como parametro para secciones rectangulares con armadura si- métrica con "o ;- ;;O :: 0,24 y B SI 42/50 (segun Flg. 10.17 b) m; ----------=-"..-- Q)Q) de acuerdo con Fig. 7.4. La sección no se ' isura, de modo que aparece una nueva 259 282. modificación, cuando en el punto 3 la armadura comprimida alcanza el limite de escurri· miento; el punto 4 representa nuevamente la carga critica segun Cap. 7. Para la estabilidad de una columna esbelta de hormigón armado ocurre a menudo que no es el punto 4 el determinante, sino los puntos 2 ó 3, que corresponden a haberse alcanzado el ¡¡mite de escurrimiento en la armadura, porque en dicho caso el momento de los esfuerzos internos no crece tan rápidamente. las recomendaciones que figuran en la Seco 10.5 y en la DIN 4224, para cálculos aproximados, utilizan las propiedades antes mencionadas de las curo vas M - N - x, con N como parámetro; ver Fig. 10.18. la inclinación de las curvas ni, analogamente a lo que ocurre en la teorla de la elastici· dad. puede interpretarse como rigideces a la fle)(ión EJ. Aproximadamente dichas curvas dan al mismo tiempo, aproximaciones válidas de la verdadera rigidez a la flexión de secciones de hormigón armado sometidas a solicitaciones crecientes. 10.3.4. Verificación de la capacidad portante según la teorla de /1 orden De los numerosos procedimientCls de cálculo que figuran en la bibliografla (ver p. ej . [124,125]) utilizaremos en lo que sigue el método de Engesser·Vianello. En primer término ana· lizaremos el caso sencillo de una columna articulada en ambos extremos, en la que la fuerza de compresión v . P actúa en los extremos con la misma excentricidad e. En primer término dividiremos la longitud de la barra en n partes iguales de longitud tr, x, para lo cual, cuanto menor es la longitud de las mismas, aumenta la exactitud del valor de las deformaciones vk calculadas para la barra (Fig. 10.20). Partiendo de los esfuerzos caracterfsti· cos obtenidos con la teorla de I orden para cada punto k y se obtiene en ell er paso de la iteración utilizando las relaciones M - N - x (por ejemplo de Fig. 10.17) los pesos elásticos W en cada uno de los puntos. Admitiendo una variación parabóli· ca de la curvatura, para tr, x = sin se tiene en general: wo W n ó x 12 (3, 5' )0,0 + 3· )0,1 • 0,5 · )0,2) (extremo superior de la barra) óX Wk :: 12 (1'.k_1 + 10 "k + kk+ 1) (10. 7) óx 12 (3,5· )O,n + 3 1'.n.l - 0,5· ).n-2) (extremo Inferior de la barra) Para la barra recta se tiene que, para ell er paso de la iteración, M = constante y con ello x = cte., de modo que resulta: Partiendo de las analoglas 260 wo - , ~ W n y 1~ 2 !lx,). (10. 8) - p 283. puede concebirse la determinación de la linea eláslica v(x) como el trazado del diagrama de momentos M(x) debido a una carga Ideal Plx) = xIx). Para ello se supone a la barra cargada en los puntos k con las ca~as concentradas Wk y luego se determina para este estado de carga tos momentos flexores Mk mediante los procedimientos corrientes. En consecuencia, los mo- mentos flexores Mk corresponden a las deformaciones de la barra vk(11, los esfuerzos de carie Qk a las rotaciones de la barra f4lk(11 debidos al primer paso de la iteración. , Las condiciones de apoyo del denominado sistema substituto de Mohr deben elegirse en concordancia con las condiciones de deformación de la barra comprimida. Para una barra comprimida articulada en ambos extremos se tiene: Condiciones de deformación de la barra comprimida en los puntos Oy n: Condiciones de apoyo del sistema sustituto de Mohr en los puntos O y n: v • O M' O • I O Q I O Por conveniencia se adopta un numero impar de elementos 6.X y en consecuencia, en el primer paso de la iteración de los pesos elásticos W puede expresarse Inmediatamente: y para el centro de la barra m - 1 1 e Q " - r:W - W " - 8' It n 2 O 2 M m 2 ,...--.-. v (1) m (10.9) (lO. 10) Los restantes valores vk(l) se obtienen de la distribución parabólica de los diagramas de Mo de '1(1). En el segundo paso de la iteración se parte de los esfuerzos caracterlsticos en las seco clones del sistema deformado N., . ". •'" ",..,.. p M', { , I ¡ ., • 'lo, • , "", " I -I'-¡"#.'f' P Barra Momentos comprimida MI p , w, , " w" Sistema sustituto de Mohr con los pesos elásticos W Rolaciones de la barra ¡¡¡kili Fig. 10.20. Cálculo de deformaciones segun Vianello (ler paso de iteración). DeformacIones de la barra 'Ik(11 261 • 284. 4' p oo' ~Ul t , '" T , , w, , Mcf~o ~O I • , ._: ~~1l Qk=~21 . L- ~ k . k Wk k J-'O O Wo O Mn~~2~O t, i5" • ¡pI 21 P O - O BaHa comprimida Sistema substituto Rotaciones Deformaciones Momentos Mil de Mohr con cargas de la barra '4'k(2) de la barra ~k(2) elásticas W Fig, 10.21. Cálculo de deformaciones segun Vianello (20 paso de Iteración), y nuevamente, utilizando las relaciones M - N - K , se determinan los correspondientes pesos elásticos W, punto a punto según Ec. (10.7). Luego se calculan nuevamente en el sistema sustl· tuto de Mohr, las deformaciones corregidas de la barra Vk(2) (Fig. 10.21). El cálculo por Heración puede interrumpirse cuando las deformaciones Vk(n) calculadas, coinciden con las Vl(n.,). En tal caso, los esfuerzos caracterlsticos de acuerdo con la teorla de ff orden resultan (10. 11) comprobándose ast a exisl encia de un estado de equilibrio estable para una carga 1 veces la carga de servicio. El colapso de una barra por efecto de una carga 1 veces la carga de servicio se manifies· ta por el hecho de que, en un paso de iteración, el valor J(k de la curvatura correspondiente a los esfuerzos caracterlsticos Ni = l' P y Mi = 1 • P (e + vlln)), en las relaciones M - N - J( segUn Flg. 10.7, resulta exterior a la envolvente de las curvas M - N-J(. Los puntos exteriores a las envolventes, implicarlan deformaciones lb> 3,5 %o o (e > 5 %O, lo cual no es admisible según Cap. 7. Ello significa que las deformaciones de la barra no convergen hacia una linea elástica estable, sino que las mismas crecen continuamente y por (lila conducen a la rotura de la barra Esta tendencia es común en las deformaciones del acero poco antes de alcanzarse ellfmite de escurrimiento. En forma totalmente análoga puede efectuarse la verificación de la capacidad portante de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior. Sólo hay que tener pre· sente que el sistema substituto de Mohr lo constituye una barra empotrada en su extremo su· perlor y libre en el inferior (Fig. 10.22). En el caso de una barra comprimida estáticamente indeterminada por v(ncu(o externo, se parte en general de una barra articulada en ambos extremos y las incógnitas hiperestáticas se determinan de forma tal que satisfagan las condiciones de deformación. Para la barra articulada en su extremo superior y empotrada en el inferior (Fig. 10.23), lo anterior significa que: en cada paso de la iteración para determinar las deformaciones horizon· tales, debe determinarse el momento de empotramiento Xnen el punto n, también por iteración mediante las relaciones M - N- x, de modo tal que se obtengan sI2 (y siempre y cuando para las mismas sK no haya sido determinado para articu- laciones). En la bibliografla, por ejemplo (129},existe numerosa información complementaria relati· va a la longitud de pandeo en elementos comprimidos de sistemas de nudos no desplazabies. Pueden ser aplicados a casos generales aunque han sido desarrollados para materiales homo- géneos como el acero. 10.4.2.3. Longitud de pandeo de columnas (pilares) en pórticos con nudos desplazables En el caso de sistemas aportlcados con nudos desplazables, estos últimos pueden desplazarse horizontalmente, y el corrimiento horizontal sólo queda limitado por la rigidez del pórtico. la longitud de pandeo es, también en el caso de barras desplazables, Igual a la longi· tud de la semionda de la configuración de pandeo, que según sea el sistema, puede prolongar· se en forma Imaginaria por ftlera del mismo, con el objeto de obtener la semionda total. Para pórticos altos de varios pisos, la estabilidad total puede facilmente peligrar como consecuencia de los desplazamientos horizontales (Fig. 10.29). La inclinación de las columnas sobre varios pisos conduce a una excentricidad creciente de la carga resultante total. Si a la dlfl· cultad de calculo se agregan los grandes riesgos a que se encuentran sometidos los pilares del pórtico como consecuencia de la desplazabilidad del sistema, debe llegarse a la conclusión que es necesario en lo posible, al proyectar, evitar sistemas desplazables, y fijar la estructura contra desplazamientos horizontales mediante losas de entrepisos y contraventamientos, ca- Jas de escaleras o ascensores, etcétera[ $6/0 un Ingeniero sin experiencia puede asumir la res- cargar al comitente el costo de un pórtico de varios pisos, desplazable horizon- :a·'de,splaz;,bIIH;dad aumenta la longitud de pandeo, como puede observarse de la como paración de los sistemas de nudos desplazables y no desplazables de Fig. 10.30. En la barra empotrada en ambos lados, la longitud de pandeo, como consecuencia de·la desplazabllldad de uno de sus extremos aumenta de 0,5 s a 1,0 s. En pórticos con dos articulaciones la longitud de pandeo de los pilares, en los casos práctiCOS y según sea la rigidez a la flexión y tipo de car- ga del dintel puede aumentar de 1,2 s a 5,0 s (como consecuencia de la desplazabilidad del pór- tico, la longitud de pandeo es de por lo menos 2 s). En el caso de cargas asimétricas las longitudes de pandeo de los pilares de pórtiCOS son distintas entre si y el pilar menos cargado posee la mayor longltudJe pandeo (Fig. 10.31). Para series de columnas con grados de solicitaciÓn al pandeo (K =sK PI E J muy dispares y cuando existen columnas articuladas junto con otras empotradas, la longidud de pandeo de los pilares que confieren rigidez al sistema puede ser muy grande, aspecto éste que ha hecho 2fi7 290. ~- .L~- , --{ --t' ' ,, , ¡ I , , , -+ ,SI( ?;: S , -,r--- r¡ , " , '" , , '1, sK ¡; s " , - 1----- - -1 J , j JRa 00 "''1 , 'K • JRS -J-'-2 - 2 " , ,. Fíg. 10.29. Configuración de pandeo de un pórtico de varios pisos. ~.J. , ' t' p , ,, , , + , ,p p p --lPSI( ~2.sf t : I, ,, I , , --:;..- - -- .I II , • , S : - 1 , , , I I, K, 2 , , , , , I, l , • ,, SK;: f2 , , ." , . 2 , I , , , I , I 1.¡.. ..,.. , ,5 K _ 1 - '1 P p , 1, b Fig. 10.30. Comparación de las configuraciones y longitudes de pandeo de sistemas con nudos fijos '1 desplazables. T 'K, 1 Fig. 10.31 . Configuración de pandeo de un pórtico empotrado. desplazable con cargas en (as columnas de distinta Intensidad. 268 291. ~ 100 "30 20 10 •, , 2 a k, ------ ,W7f0 ,, 3 2 '.' -----W/0~~ 1 no debe utilizarse esla lona ka ~ 'l%30 20 10 •, , 2 a Flg. 10.32. Nomograma para la determinación de la longitud de pandeo SK de barras comprimidas. corres- pondientes a pórticos múltiples desplazables 126, 1271. se ¡las I seguridad! Sin en también Q.uede ser En el caso d.Pó"';''os desplazables, para determinar el valor k del dintel, debe necesa- riamente ulllizarse momento de inercia JIU) correspondiente al Estado 11, mientras Que para las columnas puede aceptarse JII), Cuando Jt quiere evitar cálculos muy precisos, puede acep- tarse una reducción de la rlgldeP'. la flexiÓn del dintel hasta por lo menos el 60% y en el caso de un dintel articulado en un extremo, hasta el 35%. En los pórticos múltiples de varios pisos, el nomograma da coeficientes ~ de la longitud de pandeo suficientemente exáctos, unlcamente cuando el grado de solicitaciÓn al pandeo de dos columnas superpuestas no difieren en más del 25%. Además, en sistemas aportlcados desplazables, es Indispensable elegir culdadosamen· te las condiciones de empotramIento en las fundaciones, porque aun peQuenas rotaciones de 269 292. jN ,..~ f ---f', -1 - + 1 , I L •N • N ~. '1 Rotación lfI •• '1 de la funda- ~ J clón • " • N I~ l' • Empotramiento d· , Empotramiento elástico Igido en el terreno I , en el terrenoI , I, -.f Fig. 10.33. Comparación de las deformaciones y longitudes de pandeo correspondientes a una columna d· gidamenle empotrada en el terreno y otra elasticamente empotrada. pólllco biarticulado 'K , 2 sv' N1 oN1' y .0, l. e , N, íJ, J, , 'K2 , 2SVN¡+ NZ' VI. O,l.e 'N, - -J tN, N, t J , I, • , J , ", I -+ pórtico empotrado 'VN! oN Z ,.0,1. c; 'K' , , N, ,.0,2 e J, 1J. , - -J 'K2 , 'V NI' N2 ,.O,l. e 'N, '.0,2 e tN, N,t • ,, , J, I • , entramado múltiple J, Jofo J, J,f¡Ji,F, J ~ J, I " , ,F ' , J,, J, 0' J, , [2J a o lm-11 Jilm . . F, , [ 2F a o¡m ·I} F, m Fig. 10.34. Fórmulas para el cálcu lo de a longitud de pandeo de sistemas aporticados desplazables. 270 293. las mismas Influyen considerablemente en la configuración de pandeo y aumentan la longilUd de pandeo (Fig. 10.33) según [135); ver al respecto DIN 4224 (H 220 DAIStb). Otras normas Incluyen fórmulas sencillas para la longitud de pandeo de pilares de pórti· cos simples; en la Fig. tO.34 se han compitado ejemplos de ONOAM (ver también DIN 4114). Las deformaciones correspondientes a la teona de 11 orden, originan también un aumen- to de los momentos de empotramiento' de los pitares. Si la unión del pilar se dimensiona sola· mente para el momento de empotramiento correspondiente a la teona de I orden, pueden origi· narse en dicha sección articulaciones plásticas prematuras, que reducen la rigidez a la lIexión supuesta para los dinteles y con ello afectan la seguridad al pandeo del pórtico. Por ello, los dinteles deben dimensionarse también para absorber y transferir los momentos secundarlos debidos a la deformación de los pilares (Teona de 11 orden). 10.5. Verificación de la seguridad al pandeo segun DIN 1045 Y DIN 4224 10.5.1. Resumen del problema La DIN 1045 establece que para elementos comprimidos esbeltos, además del dlmen· slonado de acuerdo con lo establecido en Cap. 7 debe efectuarse una verificación de la capacl· dad portante considerando las deformaciones de la barra, es decir, debe efectuarse una "verifi- cación de la seguridad al pandeo". Debido a que dicha verificación según la teorla de 11 orden, en general es muy trabajosa, en la DIN '045, para determinados limites de la esbeltez Á = SK'i y de la excentricidad relativa eld correspondientes a la sección determinante, se Indican proce- dimientos aproximados. Corresponde distinguir los siguientes casos: 'lA"20 2) eld ... 3,5 para Á< 70 eld ... 3,5 ·mopara Á>70 3a).1. < 45 para pilares internos de pór- ticos regulares,cuando se considera la longitud de pandeo = altura del piso, sK =s; b)Á< 45 - 25 ~r para l Mr l>I Md para elementos comprimidos y elásti- camente empotrados en sus extremos sin cargas transversales (si Á> 45 se dimensIonará. para IM¡I >I M1 1> 0,2 dÑ) 4)20 < .1. 70 (Elementos comprimidos esbeltos) 6).1.>200 Oimenslonado según Cap. 7 para el elemento comprimido sin deformar, es decir sin verificación de la seguri- dad al pandeo Cálculo simplificado de la máxima de- formación v mediante fórmulas para una "excentricIdad adicional", f, que Incluye la excentricidad Involuntaria eu y para sistemas no desplazables la de- formación vk por contracción. Para siso temas desplazables con 1 > 45, debe considerarse especialmente vk. Dimensionado mediante tablas y no- mogramas de DIN 4224 (H. 220 DAIStb) o del Beton·Kalender. Inadmisible. (¡Serfa preferIble que el 11· mite para SK'd = 45 fuera.l. = 1501) 271 294. las aproximaciones comprendidas de 3) a 5) pueden, sin embargo, usarse solamente para elementos comprimidos, de secciÓn constante (y también Fe y Fe constantes). la DIN 4224 da, a través de diagramas y figuras, una visiÓn general de las prescrip- ciones y simplificaciones de la DIN 1045. 10.5.2. Disposiciones fundamenta/es En general se considera que la seguridad al pandeo de una barra comprimida de horml· gón armado es satisfactoria, cuando se verifica que, cuando actúan simultáneamente en la si· tuaclÓn más desfavorable cargas 1,75 veces mayores que las cargas de servicio, es posible un estado de equilibrio estable que tiene en cuenta las deformaciones de la barra (teorla de 11 oro den). Simultáneamente debe garantirse, que la barra comprimida sin deformar es capaz de ab- sorber las cargas de servicio con los coeficientes de seguridad 1 =1,75 a 2,1 que Se Indican en el Cap. 7, Fig. 7.6 (es deGir, Seco 17.2.2 de OIN 1045). Para ello deben utilizarse los diagramas 0'( correspondientes al hormigÓn y acero que aparecen en la Seco 7.1, aunque para simplificar tam- bién puede utilizarse para el hormigón el diagrama bilineal de Fig. 7.4. la excentricidad normal e = M/N del esfuerzo ax!! N debe aumentarse de una excentri· cldad accidental eu o por una curvatura de la barra que actúa en sentido desfavorable: (10.14) En casos especiales, como ser torres o pilares de puentes muy altos, puede convenirse con la direcciÓn de la obra, otro tipo de verificaciÓn. Fundamentalmente, la distribuciÓn de la excentricidad accidental o consecuente curva· tura Inicial de la barra comprimida debe ser afln con la configuraciÓn de pandeo: es decir que la barra solicitada ai pandeo posea, cuando no está sujeta a tensiones una deformacIÓn previa cuyo máximo valor sea eu en la sección de la máxima defOfmactón por pandeo (Fig. 10.35 a, c.) P. ra simplificar el cálculo debe, sin embargo, suponerse a la deformaciÓn previa con variaciones lineales parciales (Flg. 10.35 b) o tenerse en Cuenta mediante una excentricidad adicional (Fig. 10.35 dI. las deformaciones lentas deben tenerse en cuenta cuando en sistemas no despla· zables resulta..l. >70 (en sistemas desplazables..l. > 45) o cuando en el tercio medio de la longi· tud de pandeo resulta eld < 2,0. Deben determinarse p~lIfa las cargas permanentes correspon· dientes al estado de carga de servicio (en casos especiales Incluyendo las partes correspon· dIentes a las cargas mÓviles) y teniendo en cuenta las deformaciones elbticas originadas por las mismas (Teorla oe 1I orden) )' excentricidades accidentales eu. la deformaciÓn por fluencia lenta puede calcularse en forma aproximada mediante las ecuaciones que figuran en Seco 10.5.4.5. las def-:>rmaclones conducer" especial en barras comprimidas de sistemas aportica· ¡ -#---.-- " .3 ~ :.tt I , •, l I .>- " , "• > 1 I --I I •I .,-( - I I , ,, I I , 1I • -- " 'K Iy }, I J.-- I I I , I bI di .1 Flg. 10.35. Hipótesis sobre la distribución de excentricidad accidental ey Sobre la longitud de la barra. 272 295. dos sin arriostramlento (también en columnas en voladizo empotradas en la fundaciÓn) a un aumento del momento de empotramiento. los elementos empotrados en el elemento compri- mido (por ejemplo dintetes de pórticos. fundaciones) deben ser dimensionados para dichas so- licitaciones adlcionates. Unlcamente en el caso de estructuras en eleyación. arriostradas contra despla¡!:amientos horizontales, puede presclndlrse de una yerlflcación analllica de la ab- sorción de dichos esfuerzos caracterlstlcos adicionales. 10.5.3. Verificación simplificada de elementos comprimidos de reducida esbeltez (20< .l." 70) Y sección constante Estos elementos comprimidos pueden. sobre la base del procedimiento de la barra sus- tituta. dimensionarse mediante una excentricidad adicional l. la deformación laterat y de la .barra por efecto de v veces la carga de servicio y la excentricidad accidental eu• se tienen en cuenta mediante la excentricidad adicional f. que debe suponerse constante sobre toda la ton- gitud de pandeo. En sistemas desplazables con}. > 45 debe considerarse, ademb, la deforma- ción por fluencia lenta vk. Para la verificación de la seguridad al pandeo es determinante la sección ubicada dentro del tercio medio de la longitud de pandeo, a la que corresponde para el estado de carga de servlclo,la máKima excentricidad normal e del esfuerzo axll. En sistemas no desplazables. la máxima excentricidad normal e debldai a la carga de servicio en el tercio medio de la longitud de pandeo, para variación lineal de momentos entre extremos de barras. puede calcularse en forma aproximada en la forma siguiente: 1 • • - (O 65 . N ' (1 0. 15) donde IMtl > IMII y M Y N corresponden a la carga de servicio. SI uno de los extremos de barra está articulado y el otro elásticamente empotrado, utili· zando la barra sustituta de Flg. 10.36 se obtiene como expresión de la excentricidad e · O,67. (10. 16) En el caso de sistemas desplazables es necesario estimar una configuración de pandeo y luego calcular el máximo momento Mo en el tercio medio de la distancia entre puntos de infle· xtón (= longitud de pandeo) (Flg. 10.31). J:M1 , • •r -+ , O ' ~O • • "N' ~i ","" 1..., ~• - + 1 ~ .' o'., ~ '1.- -+ 1N SecciÓn de dimensionado (). O para la verlllcacl6n de la seguridad al pandeo • .,.':tt j..., • • = 0,411 /D corresponderla ~ = 0,4 - 241HlO ='" 0,10. Con esta armadura, para excentricidad y esbeltez constantes, podrla absor- Mrse el esfuerzo axll relativo n = - 0,45, que se obtiene en el punto 2 de la intersección de la recta O - 1 con la curva correspondiente a ¡:io = 0,1 . (Observación: la pendiente de la recta °-1 corresponde a la excentricidad relativa existente eld = m/n = 0,1). la cuanUa mlnima relativa referida a la sección de hormigón de 30140 cm resulta enton- ce. ¡.Iomln nec = 0,4. y con ello la armadura mlnlma necesaria 0,40 0 , 45 • 0,355 % Fenec = Fenec = 0,355 l'Otl . 30· 40 • 4.,3 2 cm 10.6. Verificación de la .eguridad al pandeo en cesos especllle. 10.8.1. Seguridad al pandeo para el caso de esfuerzo de compresión con excentricidad en dos direcciones 10.6.1.1. Generalidades SI una fuerza de compresión excéntrica actúa, por ejemplo, en una sección rectangular no sobre el eje x o el y sino en un plano oblicuo con excentricidades ex y ey (compresión axil con flexión oblicua, pandeo oblicuo), la barra, según sean los valores de ex/b y eyld, las corres- pondientes rigideces a la flexión EJx YEJy Ylas configuraciones de pandeo en las direcciones x e y, pueden pandear tanto en la dirección x como en la y. Para determinadas relaciones, la dirección de pandeo puede, sin embargo, ser también oblicua (no " pandeo en dos direcciones" sino en una dirección oblicua). Para pandeo oblicuo, las verificaciones son naturalmente dltlclles, y no se conocen aún soluciones exactas que re· Quieran un trabajo ,ezonable. 10.6.1.2. Verificación simpUflcada de la seguridad al pandeo en flexión compuesta oblicua La DIN 1045 permite varlflcar la seourldsd s, oandeo Independientemente para cada d/- recclón prlncl".¡)( o y, cuando los tercios medios de las configuraciones de pandeo en los pia- nos J( e y 110 se superponen entre si. Es el caso, por ejemplo, de las columnas del cobertizo de Flg. 10.44, donde en la dlrección)( la columna funciona como ménsula empotrada en su base (tercio medio de la longitud de pandeo en la zona de empotramiento) y en la dirección y como empotrada en su base y en el extremo superior con una articulación no desplazable (tercio me- dio de la longitud de pandeo determinante situado en la parte superior de la COlumna). 283 306. Si se superponen los tercios medios de las configuraciones de pandeo (por e/emplo, co- mo en el caso corriente de las columnas de esquina de edilicios elevádos) pueden lambién efectuarse las verificaciones en forma ~areda peral.. direcciones principales x e y, siempre que la columna tenga sección rectangular y la relaciÓn entre las excentricidades relativas ex/b y eyld se mantenga Inferior a 0,2. Ello significa que el esfuerzo normal resultante está aplicado dentro de la zona rayada de Flg. 10.45, en cuyo caso es tg CI " 0,2 bid. En todos los casos restanles, la OIN 1045 exige una verlflca~/6n a'pandeo para f'ex/ón compuesta oblicua, para lo cual la excentrlcld.ad accidental euse determina sobre la base de la mayor de las longitudes de pandeo sKx YSKy' pero que se supone actuando en el plano del mo- mento actuante. La DIN 4224 (H. 220 OAIStb) da para este caso un procedimiento aproximado, pero de aplicación limitada a columnas de sección rectangular y longitudes de pandeo sKx = SKy' Con la notación de Fig. 10.46, el procedimiento aproximado se aplica en la forma que se explica a continuación. De las excentricidades relativas a los ejes ¡( e y •• M • J. N 'y • M •Ni V2 2'e · e + e • y (10.31) se determina un valor de cálculo er de la excentricidad de la carga en función del ángulo íJentre la direcciÓn del momento y el eje x: •tan J' a J.. •• Con ello introduciendo la excentricidad accidental eu resulta e • {cos,,'}' + -db lsenJ') (e+ e) r u En esta expresión, el lado b corresponde siempre a la dirección x. (10.32) (10.33) La dirección del eje neutro queda determinada en forma aproximada por el ángulo CI con respecto al ele x (como la tangente a la elipse de semidiámetros Ix e Iy. ver Sec. 7.3.4) tan CL • •• •y 2 ( ~) b M 2 • -L (~) M b x (10. 34) Con este ángulo CI y sKx =SKy = sK se determina un valor de célculo sKr de la longitud de pandeo . • •Kr 2 + (d/ b) . 2 cos Cl (10.35) El resto del desarrollo de la verificación al pandeo con respecto a un eje oblicuo se redu- ce, medIante el valor de cálculo er par. la excentricidad según Ec. (10.33) y sKr para la longitud de pandeo, a una verificación de '••egurldad al pandeo respecto del eje y(Flg. 10.46), mediante los procedimientos aproximados explicados en Seco 10.5.3 y 10.5.4. Como valores relativos se Introducen e,lb y sKld Yrespectivamente 1 = 1/12.sKlb,,ln· dependlentemente de si b es el lado mayor o menor de la secciÓn. En la Ec. (10.33), de acuerdo con el procedimiento aproximado para el cálculo de er, no es necesario tener en cuenta espe- cialmente la excentricidad accidental. 284 307. Flg. 10.4-4. Ejemplo de un. columna 8n l. que los tercios medios del., longitudes de pandeo SI(x y SKI no se superponen (es admisible una verllicac 60 de l. seguridad al pandeo Inde- pendlenta para 188 dlrecclon.es x e y). t , +- b--+ Dirección de ••ndeo d d lan .L'l 0,2 b " N Dirección x N rI I I I I I N 'K13 Dirección y Flg. 10.45. Verificación Independiente en 1.,direcclones x e y admisible, cuando el punto de aplicación del 8S· fuerzo normal cae dentro de las zonas rayadas. Dirección del pi.no de tre- ,lOo Dirección del ele neutro " " ,. " , My /N M./N d y¡; ...L ¡'i2 +-- b J Flg. 10.46. Sección rectangular solicitada a la flexión compuesta oblicua. 285 308. 10.6.2. Verificaci6n de la estabilidad de sfstemas aport/cados la estabilidad de sistemas aportlcados rlgidos no resulta suficientemente asegurada en todos los casos, por las verificaciones de la seguridad al pandeo de los pilares de pórtl· cos analizados hasta ahora. A este respecto, la DIN 1045 en la Seco 17.4.9 hace algunas consi· deraclones. De acuerdo con ellas, el conjunto del sistema puede analizarse segun la teorla de 11 orden para 1,75 veces la carga de servicio, para lo cual se suponen una inclinación del sistema correspondiente al valor de eu de la barra aislada y valores aproximados de la rigidez a la fle- xión. la DIN 4224 (H. 220 DAIStb) recomienda suponer para la rigidez a la Ilexión: Para la sección rectangular solicitada a la flexión compuesta (10. 36a) Para Ilexlón pura, sección rectangular con armadura simple (10. 36b) viga-placa con armadura simple (10. 36e) Para flexión con tracción, sección rectangular (10. 36d) En esta ultima expresión, cuande la sección de la armadura ne es constante a lo largo de la barra, deben considerarse para ...o y ...;, valores medios. Cuando se trata un sistema aportlcade regular (por ejemplo, pórticos de entrepisos en edificios), puede admitirse como medida de la inclinación, segun Flg. 10.47 t8no. " - ,1,3 ~ h u (lO. 37) donde h = altura total n = número de pisos eu = ~ = excentricidad accidental, a determinar para cada piso El factor 1,3 en la Ec. (10.37) tiene en cuenta que la excentricidad accidental determina· da para cada una de las barras, deberla suponerse alln con la configuración de pandeo. Dado que las barras apenas se Inclinan manteniéndose rectas, para obtener una seguridad suficien- te, se ha introducido el factor de mayoraclón 1,3. En forma aproXimada, y para las relaciones corrientes de rigidez, puede también suponerse: 1 tan 0." 154 (10. 38) Para el sistema tetal supuesto inclinado en la forma Indicada, utilizando las rigideces a flexión (EJ)w muy cercanas a las reales, puede calcularse por Iteración una distribución de los esfuerzos caracterlsticos y determinar las deformaciones mediante la Ec. (10.25) que da valo· res aproximados de las relaciones M - N - lt. 286 309. : :, j-I , I , h , I , I I I I I, I l ~ .. ,. Fig. 10.• 7. Definición del 'ngulo de IncHnacl6n de un pórtico. -,,, (...a, J I,I I I .. El análisis finaliza, cuando el paso (n + 1) de la Iteración no presenta diferencias sen- sibles de los resultados con respecto a los correspondientes al paso n de la Iteración. En el apéndice del cuaderno 220 DAfStb figuran más aclaraciones sobre la verificación del conjunto del sistema. 10.8.3. VerificaciÓn de la seguridad al pandeo en columnas zunchadas La Influencia creciente del zunchado sobre la carga portante debe (ver Seco 7.4) tenerse en cuenta para el cálculo sólo hasta esbelteces .1. = sK/i " 50 Yexcentricidades eld" 1/8, por cuanto la misma, al aumentar la flexión deja de ser e'ecliva. Para columnas zunchadas con l > 20 es necesario también lener en cuenta la deformación del eje de la barra según la leorla de 11 orden. Dado que .l está limitada a 50 puede, en general, utilizarse para columnas zuncha· das la aproximación según Seco 10.5.3. También la excentricidad normal e =M/N debe aumentarse del valor f según Ec. (10.18): r • A - 20 d k 100 VO" +..!... ~ O d - k (10. 39) la ecuación (7.135) que aparece en la Seco7.4 para la determinación del incremento de la carga portante debido al zunchado, en el caso de columnas donde exista el peligro de pan· deo, toma la siguiente forma: (10. 40) Para columnas zunchadas esbeltas, sólo podrá tenerse en cuenta el aumento de la ca· pacidad portante como consecuencia del zunchado, cuando se cumpla e + f 1 -- ~ - d - 8 k 10.7. Capacidad portante de elementos comprimidos de hormigón simple 10.7.1. Sobre el comportamiento bajo carga de elementos comprimidos de hormigón simple lOs elementos comprimidos de hormigón simple, aun en el caso de esbeltez moderada, son sensibles a las variaciones de la excentricidad de la carga, porque la aparición de ten· slones de tracción al analizar la seguridad, hace Que sea necesario considerar la fisuraclón y con ello una reducción de la sección act iva. A este respecto, se remite a los valores incremen· 287 310. tados de los coeficientes de seguridad y ecuaciones de dimensionado en función de (JR y de la excentricidad e que figuran en Seco 7.6. De las consideraciones efectuadas en la Seco 10.2, relativas a la capacidad portant& de elementos esbeltos comprimidos armados considerando su CUl'latura, el consecuente aumento de la excentricidad (rearla de JI orden) y además la influencia de la contracción diferl· da e imperfecciones constructivas, resulta que los elementos de hormigón simple comprlml· dos, al aumentar su esbeltez, deben calcularse con coeficientes de seguridad mayores que pa· ra el caso de los elementos armados. Fundamentalmente, para elementos comprimidos de hormigón simples podrlan tamo blén establecerse las relaciones M - N -x, y mediante las mismas (ver Seco 10.3.3) calcular la carga Que,al ser sobrepasada, harla que los esfuerzos caracterfsticos internos no pudieran acampanar el incremento de los esfuerzos caracterlstlcos externos. Pero, considerando que Ids elementos comprimidos de hormiQón simple, sólo en muy pocos casos son esbeltos y Que casi únicamente se utilizan como paredes, se prescinde aqul del desarrollo de dichoS medios auxiliares de cálculo. Para casos especiales consideraremos los procedimientos de M. Levy y E. Spira (137] y B. Lewicki (138J. Los autores nombrados en primer término parten en su análisis de un diagrama IN curvo para el hormigón (hasta· 3,6 0/00) Ycontrariamente a los principios básicos aceptados en Ale· manla, Introducen en el cálculo también la resistencia a la tracción del hormigón (deformación por tracción (b " 1 0/00). En la Fig. 10.48 se han representado los resultados de dicho estudio. El diagrama da para una dada esbeltez sKld Yaxcentricidad normal e/d, el valor de la carga por· tante nU referida a bd PR. Dado Que no se tuvieron en cuenta imperfecciones (es decir, aumen· tos de la excentricidad accidental) ni la Influencia de la contracción diferida, es necesario ele- gir un coeficiente de seguridad mayor, por ejemplo 2,5 a 3,0, para poder obtener de Pkr la carga de servicio admisible. La linea de trazos da, para loS valores situados a su Izquierda, la resiso tencia a la compresión del hormigón y a la derecha la estabilidad del elemento comprimido, de- terminantes del colapso del elemento. Por debajo de la linea de puntos se tiene la zona para la cual aparecen fisuras antes de alcanzarse la carga de servicio. Numerosos edificios altos se han construido con paredes de carga de hormigón simple (espesores de no menos de 7 cm para alturas de pisos de 2,75 m y arriostradas las paredes con tabiques transversales), lo que comprueba la posibilidad de utilizar dichos elementos compri· mldos. .... é'/d - -"O,O,,l ......... ""'"..... ~S .......... .......... 0.8 /' 0--' """'- ......t--......... JO, '. '" ..... o'1S r-...... -..:.;,;¡;;;----.. .............. 0,6 ............ O,,lO, r-.. .......... -.....::.:,-.-.. .... ........... ~ r-. ---- o'JO, 04 0.2 "'" . OJ5 040 o 5 /O /5 20 25 JO J5 Fig. 10.48. Carga portante NU de elementos comprimidos sin armadura en función de la esbeltez SKld Yde la excentricidad relatlva eld j137j. 288 311. 10.7.2. Dimensionado de elementos comprimidos esbeltos de hormigón simple según DIN 1045 La DIN 1045 da un procedimiento aproximado para tener en cuenta la Inlluencia reduc· tora de la esbeltez sobre la capacidad portante, que, junto con las normas de célculo dadas en Seco7.6, permiten obtener estructuras porlantes suficientemente seguras. En principio se exige que para barras comprimidas la esbeltez.l. = SKIi" 40 (es decir, que para secciones rectangulares SK/d < 11,5) no debe ser sobrepasada. Para paredes, donde fallas localizadas resullan protegidas por zonas vecinas más resistentes, la esbeltez limite es mayor,a saber .l." 70 (para la sección rectangular SK/d" 20). La reducción de la carga portante como consecuencia de las deformaciones del eje de la barra, se tiene en cuenta mediante un coeficiente le, con el que debe disminuirse la carga por- tante calculada mediante la Ec. (7.151): La expresión le es donde: m = e/k = k =WoIFb = A m x · 1 --(1+-) 140 3 excentricidad referida al radio nuclear k radio nuclear referido al borde comprimido y simplemente para secciones rectangulares , • 1 (1 + 2: ) (10.41) (10.42) la DIN 4224 (H. 220 OAfStb) Incluye un diagrama, del que pueden obtenerse los valores de le. 289 312. FRITZ LEONHAROT ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO ,. Bases pala el dimensionado de estluctulas de hOlmigón armado Estructuras de hormigón armado. monumental tratado de Fritz Leonhardt con Eduard Monnig como coautor de los tres primeros tomos, esta planeado en seis partes: "Bases para el dimensionado de estructuras de hormigón armado", "Casos especiales del dimensionado", "Bases para el armado de estructuras", "Verificación de la capacidad de uso", "Hormigón pretensado" y "Construcción de puentes monoliticos". En esta primera parte se abordan los aspectos lundamentales del dimensionado de estructuras de hormigón armado, o sea, las propiedades de los materiales constituyentes del hormigón, de los aceros para armaduras y del hormigón armado propiamente dicho. Trata. también, el comportamiento de los elementos estructurales bajo la acción de las solicitaciones, presenta modernas consideraciones sobre la teoria de seguridad de las estructuras, y enfoca problemas especificos del dimensionado de elementos solicitados a flexión, a esfuerzos de corte y a torsión, y del dimensionado de elementos comprimidos, incluso pandeo. El gran valor del texto radica, por una parte, en el propósito de hacer comprender el funcionamiento del complejo material hormigon armado y. por otra. en proporcionar ayuda practica para el dimensionado en el trabajo diario del constructor. Estructuras de Ilurrnlgon armado es, en pocas palabras, una obra ya clasica que satisface todas las necesidades del estudio y también de la practica. La admirable precisión de la redacción y el estilo facil. hacen de eUa un texto de enseñanza especialmente valioso. De nuestro catalogo Enrique L De Luca Hormigón pretensado Benno losser Hormigón armado (8" ediCiÓn) Oreste Moretto: Curso de ,'7ormlgón armado (2" ediCión) ~ - 11111111- 924