LABORATORIO –PRIMERA UNIDAD 1. Sean A y B dos eventos en Ω tales que P [A] = 0.2, P [B] = 0.4 y P [A B] = 0.3. Calcular. 1. P [A U B] ; (b) P [A B]; (c) P [A B]; (d) P [A B]; ( c) P [A U B] 1. Dado P [A] = 0.5 y P [A U B] = 0.6. Determinar P [B], si A y B son mutuamente excluyente. 1. Si P [A] = 0.4, P [B] = 0.5, P [C] = 0.7, P [AB] = 0.2 P [AC] = 0.2, P [BC] = 0.4 y P [ABC] = 0.1. Hallar: 1. Dado , P[A] = 0.5 y P[A U B] = 0.7. Hallar P[B], si P[A [B] = 0.5 1. Si P[B] = P[A I B] = P[C I AB] = . Hallar P[ABC]. 1. Si, P[A] = , P[B] = , P[AB] , Hallar: P[AUB], P[A / B], P[B / A], P[A UB/ B]. 1. Un aparato electrónico consta de dos partes. La probabilidad que falle la primera es 0.20, que fallen las dos partes es 0.15 y de que falle sólo la segunda parte es 0.45. Calcular la probabilidad que: 6. falle solo la primera parte 6. falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda. 1. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas. Se extrae aleatoriamente tres bolas de la urna, sucesivamente sin reposición. Determinar la probabilidad que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca. 1. En un lote de 20 televisores se sabe que hay 5 defectuosos. Se extrae al azar una muestra de tres televisores sin reposición. Hallar la probabilidad que la muestra contenga: (a) 0 defectuosos ; (b) 1 defectuoso (c) 2 defectuoso ; (d) defectuosos 1. Suponga que dos artefactos eléctricos defectuosos han s ido incluidos en un embarque de seis artefactos eléctricos. El departamento de recepción de la compañía compradora empieza a probar los seis artefactos uno a uno. ¿Cuál es la probabilidad que: 9. el último artefacto defectuoso sea encontrado en la cuarta prueba? 9. A lo más, cuatro artefactos necesitan probarse para localizar los dos defectuosos. 1. Una caja contiene 5 fichas negras y 5 blancas. Si se extrae 5 fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera ficha sea negra? 1. Un cazador trata de matar un oso. La probabilidad que aparezca un oso en un radio menor que R1 es 0.1, en un radio entre R1 Y R2 es de 0,3, y un radio mayor que R2 es 0,2 .Si aparece un oso en un radio menor que R1, el cazador será capaz de matarlo con una probabilidad de 0.7; con una probabilidad de 0.5 si aparece en un radio entre R1 y R2, con una probabilidad de 0.2, si el radio es mayor de R2, ¿Cuál es la probabilidad que el cazador mate un oso? 1. Se mezclan dos válvulas defectuosas con dos buenas. Se comienza a probar las válvulas una a una hasta que se descubren las defectuosas; ¿Cuál es la probabilidad que la segunda válvula defectuosa sea la segunda, la tercera, la cuarta probada? 1. Cuando se acerque el tren, un operador de la estación apretará un botón con una probabilidad de 0.95; si aprieta el botón, el interruptor opera con una probabilidad de 0.99; si el interruptor opera, sonará una alarma con una probabilidad de 0.9 ¿Cuál es la probabilidad que la alarma suena? 1. La aseguradora de autos ABC clasifica a los conductores como “Buenos”, “Regulares” y “Malos”. Los automovilistas que solicitan un seguro desean entrar en estos tres grupos en las proporciones: 60%, 25% y 15%, respectivamente. La probabilidad de que un conductor “Bueno” tenga un accidente es de 0,01, la de un conductor “Regular”, tenga un accidente vale 0,03 y la de que un “Malo” sufra un percance es 0,10 La compañía le vende al Sr. Gonzales una póliza de seguro y este tuvo un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Gonzales sea: 1. Un conductor “Bueno”. 1. Un conductor “Regular” 1. Un conductor “Malo 1. Se tiene 5 fusiles que, cuando son apuntados apropiadamente y disparados, tienen probabilidades de dar en el blanco respectivamente como sigue: 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 y 0,9. se escoge aleatoriamente uno de los fusiles, se apunta y dispara. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco? 1. Un grupo de interés público está planeando impugnar las primas de seguros de automóviles en una de tres ciudades: Trujillo, Chiclayo o Piura. La probabilidad de que se escoja Trujillo es de 0.45, Chiclayo 0,30 y Piura 0,25; el grupo sabe también que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si escogen Chiclayo de 45% si eligen Trujillo y de 35% si se deciden por Piura. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable ¿Qué ciudad es más probable que haya escogido? 1. El terapeuta de Juan Aurich , está interesado en estudiar la relación existente entre lesiones en los pies y la posición que tiene cada jugador. Sus dato reunidos en un periodo de tres años , se resumen en la siguiente tabla: Marcadores laterales Marcadores centrales Medio Campo Delantero Número de Jugadores 20 15 10 12 Número de Lesionados 6 8 4 3 Dado que un jugador elegido al azar tenga una lesión en el pie. ¿Cuál es la probabilidad de que este juegue? a) De marcador lateral? b) De marcador central ? c) De medio campo? d) De Delantero? 1. Por la noche dos coches se aproximan uno al otro en una autopista. Si ninguno de los dos chóferes esta borracho, ambos pasarán a salvo con una probabilidad de 0.999. cada uno puede estar borracho con una probabilidad de 0.1, la probabilidad que ambos están borrachos es de 0.01. si sólo el chofer A está borracho, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.7. si sólo el chofer B está borracho, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.8. si ambos están borrachos, pasarán sin peligro con una probabilidad de 0.4 ¿Cuál es la probabilidad que pasan a salvo? 1. El Sr. Sánchez Gerente del departamento de crédito del BCP ,sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas .De los datos que se tienen registrados ,el sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente ,20% se les sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se les envía una carta .Las probabilidad de recibir una cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos tres métodos son 0,75, 0.60 y 0,65 respectivamente a) construya un diagrama el árbol y coloque la posibilidad de cada rama b)¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta morosa haya sido notificado en persona y pague? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta morosa no pague si sabemos que fue notificado vía teléfono? d) Si el señor Sánchez acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas ¿Cuál es la probabilidad de que la petición se haya hecho por correo? 1. El Departamento de Salud efectúa rutinariamente 2 inspecciones Independientes a los restaurantes; un restaurante aprobará la inspección solo si ambos inspectores lo aprueban en cada una de ellas. El inspector A tiene mucha experiencia en consecuencia solo aprueba 2% de los restaurantes que realmente están violando el reglamento sobre salubridad. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba el 7% de los restaurantes con fallas. ¿Cuál es la probabilidad de que : a) El inspector A aprueba un restaurante, aun cuando el inspector B haya encontrado violaciones al reglamento? b) El inspector B aprueba un restaurante que está violando el reglamento, aun cuando el inspector A ya lo haya aprobado? c) Un restaurante que está violando el reglamento sea aprobado por el departamento de Salud? 1. El director de una Gran agencia de empleo, desea estudiar las diversas características de sus solicitantes de trabajo. Se ha seleccionado un muestra de 200 solicitantes para su análisis. Setenta solicitantes habían tenido sus trabajos durante al menos 5 años, 80 de los solicitantes son graduados universitarios; 25 de los graduados universitarios duraron en sus trabajos al menos 5 años. 1. ¿Cuál es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente: sea un graduado universitario. 1. ¿Cuál es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente: sea un graduado universitario y hasta tenido su trabajo actual menos de 5 años. 1. Dado que un empleado es un graduado universitario ¿cuál es la probabilidad que haya durado en su trabajo menos de 5 años? 1. Determine si ser graduado universitario y haber durado en el trabajo al menos 5 años son estadísticamente independientes. 1. Jaimito se presenta dos universidades A y B. el estima la probabilidad que se admitido en la universidad A en 0.8; a la universidad B en 0.75, en al menos una de ellas en 0.95. ¿Cuál es la probabilidad que ingrese a ambas universidades? 1. Un banco tiene 50 cuentas de crédito, 8 de las cuales están atrasadas en sus pagos. Si se selecciona al azar 5 cuentas de las 50, ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos una cuenta de las cuentas escogidas corresponda a un cliente atrasado en sus pagos? 1. Un restaurante ofrece, a elección, menús a base de carne, de pollo o de jamón. Si el cliente lo desea puede pedir vino tinto o vino blanco. Se sabe que las probabilidades que un cliente elija carne, pollo o jamón son, respectivamente, 0.60, 0.30 y 0.10. también se sabe que: las probabilidades que un cliente pida vino tinto, vino blanco o ningún vino, después de haber elegido carne, son 0.40, 0.10 y 0.50 respectivamente, las probabilidades, después que el cliente eligió pollo, son 0.05, 0.25 y 0.70 respectivamente, y las correspondientes probabilidades, después que el cliente eligió jamón, son 0.15, 0.20 y 0.65. por último se sabe que la probabilidad que un cliente deje una buena propina es: 0.80 sí ha pedido carne o vino tinto ,0.3 si ha pedido carne y vino blanco , 0,60 si ha pedido carne sin vino, 0.40 si ha pedido pollo y vino tinto ,0.80 si ha pedido pollo y vino blanco ,0.70 si ha pedido pollo pero no vino, 0.70 si ha pedido jamón y vino blanco, 0.50 si ha pedido jamón pero no vino. ¿Cuál es la probabilidad que el cliente deje una buena propina? 1. Una compañía que fabrica tornillos, tiene tres factorías, F1, F2 y F3… Las factorías F2 y F3 producen el mismo número de tornillos, mientras que F1 produce el doble de las F2. Por experiencia p asada se sabe, que el 2% de los tornillos producidos por F1 y F2 respectivamente son defectuosos, en tanto que el 4% de los fabricados por F3 son defectuosos. Los tornillos producidos por las tres factorías se guardan en un mismo almacén. Si se escoge aleatoriamente un tornillo del almacén, ¿Cuál es la probabilidad que sea defectuosa? 1. Por la noche dos coches se aproximan uno al otro en una autopista. Si ninguno de los dos chóferes esta borracho, ambos pasarán a salvo con una probabilidad de 0.999. cada uno puede estar borracho con una probabilidad de 0.1, la probabilidad que ambos están borrachos es de 0.01. si sólo el chofer A está borracho, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.7. si sólo el chofer B está borracho, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.8. si ambos están borrachos, pasarán sin peligro con una probabilidad de 0.4 ¿Cuál es la probabilidad que pasan a salvo? 1. Tres máquinas I, II, III manufacturan el 30%, 30% y 40% de la producción total de un cierto artículo. Las máquinas producen 4%, 3% y 2% de productos defectuosos, respectivamente. Se toma un artículo al azar, se prueba y resulta ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido manufacturado por la máquina I? ¿La máquina II? ¿y la III? 1. De los alumnos del primer año de un determinado programa académico, se sabe que el 40% asistió a centros secundarios privados y el 60% asistió a centros estatales. El registro de matrícula señala que al final del curso alcanzaron una nota media A el 30% de los alumnos que asistieron a centros secundarios privados y sólo el 20% de los que asistieron a centros estatales. Al final del ciclo, se elige al azar un alumno de dicho curso y tiene nota media A. ¿Cuál es la probabilidad que el alumno hubiera asistido a un centro estatal? 1. Un fabricante recibe el 45% de su material para un transitor, de la compañía A, el 35% de la compañía B y el resto de la compañía C. sabe por experiencia que el 1% del material de la compañía A será defectuoso, y que el 2% del material de la compañía B y C estará en malas condiciones también. En un lote que contenga material de las tres compañías hay mil transitores. ¿Cuál es la probabilidad que un transitor estuviese defectuoso con material de la compañía B? 1. Un aparato especial para medir el contenido alcohólico en la sangre de una persona arrojó el siguiente resultado: de 500 voluntarios, 240 estaban borrachos (el nivel de alcohol en la sangre era de 0.0015 ó más). Los mismos 500 voluntarios se sometieron a una prueba sanguínea inmediatamente después, encontrándose 280 personas con un nivel de 0.0015 o más. Después se determinó que 180 personas resultaron estar borrachos en ambas pruebas ¿Qué porcentaje de personas resultaron estar ebríos sin que los indicara el aparato?. Supóngase que una persona realmente estuviera borracha y que pasara la prueba en el aparato. Según la información dada anteriormente, ¿cuál es la probabilidad que la prueba resultara positiva? 1. Todas las noches, el señor Pérez llega tarde a su casa. La señora Pérez que es una buena esposa, le deja encendida la luz de la entrada a la casa. La probabilidad que el señor Pérez llegue borracho es 0.60. si llega borracho, hay una probabilidad de 0.90 que olvide apagar la luz en tanto que ésta es sólo de 0.05 si llega sobrio. 31. ¿Cuál es la probabilidad que el señor Pérez apague la luz en una noche cualquiera? 31. Dado que el señor Pérez apagó la luz una cierta noche. ¿Cuál es la probabilidad que haya llegado borracho? 1. La compañía COMPUT- PERU está considerado comercializador una calculadora electrónica. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado, la probabilidad que el producto tenga éxito es 0.80 si una firma competidora no introduce un producto similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0.30 si la firma competidora comercializa el producto similar. Además, la compañía estima que hay una probabilidad de 0.40 que la firma competidora comercialice el producto. Dado que el producto de la compañía COMPUT- PERU tuvo éxito. ¿Cuál es la probabilidad que la firma competidora haya comercializado su producto? 1. Una compañía de petróleo, debe decidir, si taladra o no, un lugar determinado, que la compañía tiene bajo contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que existe una probabilidad de 0.45 que una formación tipo I se extiende debajo del lugar prefijado para taladrar: 0.30 de probabilidad que exista una formación de tipo II y de 0.25 de tipo III. Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en las formaciones de tipo I y un 40% en las del tipo II y 20% en las de tipo III. Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación del tipo I. 1. Se sabe que la probabilidad que una persona tuberculosa sometida a un examen radiológico se le diagnostique como tal es 0.95 y que la probabilidad que una persona no tuberculosa sometida a un examen radiológico se le diagnostique erróneamente como tuberculosos es 0.0002. se sabe, además, que el 0.1% de los adultos residentes, seleccionado al azar, se le diagnostica tuberculosis. ¿Cuál es la probabilidad que realmente sea tuberculoso? 1. Se tienen dos urnas U1 y U2. la primera vez tiene 2 bolas blancas y 3 negras, la segunda 2 bolas blancas y 3 rojas. Se extrae al azar una bola de U1 y se pasa a U2. luego se extrae una bola de U2 y se pasa U1. Finalmente se extrae al azar 2 bolas de U1 y resultan ser blanca y negra. Determinar la probabilidad que U1, no tenga ninguna bola roja.