IQ20303 Temporal de Todos Los Apuntes

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE QUÍMICA INGENIERÍA QUÍMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE III IQ-20303 APUNTES DR. AGUSTIN RAMON URIBE RAMIREZ Página 1 de 200 TABLA DE CONTENIDO. 1. INTRODUCCIÓN. • OPERACIONES INDUSTRIALES CON TRANSFERENCIA DE MASA. 2. GENERALIDADES DE LA TRANSFERENCIA DE MASA . • DEFINICIÓN. • MECANISMOS DE LA TRANSFERENCIA DE MASA. • TRANSFERENCIA MOLECULAR DE MASA. • TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA. 3. DEFINICIONES UTILES EN LA TRANSFERENCIA DE MASA. • CONCENTRACION. DEFINICION. • ALGUNAS FORMAS DE EXPRESAR LA CONCENTRACION DE MASA. • VELOCIDAD DE MASA. • FLUJOS DE MASA. 4. LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN • DEFINICION. • FORMAS EQUIVALENTES DE LA LEY DE FICK. 5. ESTIMACIÓN DE LA DIFUSIVIDAD. • 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA TRANSFERENCIA DE MASA. • BALANCE TOTAL DE MASA. ECUACION DE CONTINUIDAD. • ECUACION DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA. • FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA. Página 2 de 200 • CONDICIONES DE FRONTERA ENCONTRADAS USUALMENTE EN LA TRANSFERENCIA DE MASA. 7. ESTUDIO DE CASOS DE TRANSFERENCIA DE MASA. • DIFUSIÓN A TRAVÉS DE UNA PELÍCULA GASEOSA ESTANCADA. • DETERMINACION DE LA DIFUSIVIDAD. • DIFUSION CON REACCION QUÍMICA HETEROGENEA. • DIFUSION CON REACCION QUÍMICA HOMOGENEA. • DIFUSIÓNENUNAPELÍCULALÍQUIDADESCENDENTE: TRANSFERENCIADE MATERIA POR CONVECCIÓN FORZADA. 8. TEORIA DE LA CAPA LIMITE • INTRODUCCION • ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CAPA LÍMITE. 1. FLUJO EXTERNO SOBRE UNA PLACA PLANA. 2. FLUJO INTERNO EN UNA CONDUCCIÓN DE SECCIÓN CIRCULAR. 3. SEPARACION DE LA CAPA LIMITE. 4. PLACAS PLANAS. 5. CUERPOS REDONDOS. 6. ENSANCHAMIENTOS Y ESTANCAMIENTOS. 7. METODOS PARA EVITAR LA SEPARACION DE LA CAPA LIMITE. 8. CAPA LIMITE DE CONCENTRACIÓN. • ESTUDIO CUANTITATIVO DE LA CAPA LIMITE. 1. CAPA LIMITE DE VELOCIDAD. 2. TEORIA DE PRANDTL SOBRE LA CAPA LIMITE. 3. SOLUCION EXACTA DE BLASIUS. 4. METODO INTEGRAL DE KARMAN. 9. TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA. Página 3 de 200 • INTRODUCCION. • CONSIDERACIONESFUNDAMENTALESDELATRANSFERENCIACONVECTIVA DE MASA. • COEFICIENTE CONVECTIVO DE TRANSFERENCIA DE MASA. • PARÁMETROS IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA. • MODELOS DE COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA. • METODOS DE EVALUACION DEL COEFICIENTE CONVECTIVO DE MASA. 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL ACOPLADO CON EXPERIMENTOS 2. ANÁLISIS EXACTO DE CAPA LIMITE 3. ANÁLISIS APROXIMADO DE CAPA LIMITE 4. ANALOGÍAENTRELATRANSFERENCIADEMOMENTO, ENERGÍAY MASA. DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO NO ESTACIONARIO TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA TRANSFERENCIA DE MASA EN LA INTERFASE EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE MASA 10. BIBLIOGRAFIA. Página 4 de 200 CAPITULO 1 Introducción. Los fenómenos de transporte tienen lugar en aquellos procesos, conocidos como procesos de transferencia, en los que se establece el movimiento de una propiedad (masa, momentum o energía) en una o varias direcciones bajo la acción de una fuerza impulsora. Los procesos de transferencia de masa son importantes ya que la mayoría de los procesos químicos requierendelapurificacióninicial delasmateriasprimasodelaseparaciónfinal deproductosy subproductos. Para esto en general, se utilizan las operaciones de transferencia de masa. 1.1 Operaciones industriales con transferencia de masa. Muchas operaciones en la industria de los procesos químicos implican la transferencia de masa de una fase a otra. Generalmente, un componente de la fase se transferirá en mayor medida que otro; consiguientemente, se ocasiona una separación de los componentes de la mezcla. Por ejemplo, el petróleo crudo puede separarse en varios componentes mediante transferencia de masa entre una fase liquida y una fase vapor. El ingeniero químicoestainteresadoenladistribucióndeloscomponentesentrelas dos fases en equilibrio y con la velocidad de transferencia de los componentes de una fase a otra. Los nombres que generalmente se acompañan a las operaciones de transferenciademasaevolucionaronantesdequefuerancomprendidas plenamente las similitudes entre las operaciones discontinuas. Algunas de las operaciones industriales donde es importante el proceso de transferencia de masa, son: • Destilación • Absorción Gaseosa • Deserción • Extracción Liquido-liquido • Lixiviación • Extracción sólido-liquido. En la destilación, una fase vapor entra en contacto de una fase liquida, y la masa se transfiere tanto del liquido al vapor como del vapor al liquido. Página 5 de 200 Capítulo 2 Generalidades de la Transferencia de Masa Cuando un sistema contiene dos o más componentes cuyas concentraciones varían de un punto a otro, presentanunatendencianatural atransferir lamasa, haciendomínimaslasdiferenciasde concentración dentro del sistema. Transferencia de masa Muchasexperiencias cotidianas estánrelacionadas conla transferencia demasa, porejemplo,un terrón de azúcar en una taza de café negro se disuelve finamente y después se difunde de manera uniforme en el café. Del perfume emana una agradable fragancia, que se esparce por la atmósfera circundante. La transferencia de masa juega un papelmuy importante en procesosindustriales:por ejemplo la difusión de neutrones dentro de los reactores nucleares, la difusión de sustancias que los poros del carbón activado absorben, la rapidez de las reacciones químicas catalizadas y biológicas entre otros ejemplos típicos. Volviendo a retomar el terrón de azúcar dentro de la taza de café , la experiencia nos enseña que el intervalo de tiempo que se requiere para distribuir el azúcar depende de si el líquido está en reposo o se le agita mecánicamente por medio de una cucharita. Por lo que el mecanismo de transferencia de masa, depende de la dinámica del sistema en el que se lleva a cabo. La masa puede transferirse por dos formas: • Molecular:se lleva a cabo por medio del movimiento molecular fortuito en los fluidos en reposo. • Convectiva : se transfiere de una superficie a un fluido en movimiento, ayudado por las características dinámicas del flujo. Por ejemplo, cuando una bomba ocasiona el movimiento del fluido. Es necesario percatarse de que en ocasiones durante la transferencia de masa ambos mecanismos actúan, a menudo simultáneamente. Sin embargo, al ocurrir ambos, uno puede se cuantitativamente dominante, demaneraqueesnecesariousarsolucionesaproximadasqueincluyansolamenteel modo dominante. Página 6 de 200 Eslatransferenciadeunconstituyentedeuna región de alta concentración a una de baja concentración 2.1 Transferencia molecular de masa. En el año de 1815 Parrot observó cuantitativamente que cuando una mezcla de gases contiene dos o másespeciesmolecularescuyasconcentracionesrelativasvaríandeunpuntoaotro, resultaun proceso, aparentemente natural, que tiende a disminuir cualesquiera desigualdades de composición. Difusión molecular Para elcaso de mezclas gaseosas se puede deducir una explicación lógica de este fenómeno de transferencia a partir de la teoría cinética de los gases. Examinaremosunasecciónhipotéticaquepaseenformanormal al gradientedeconcentración, dentro de una mezcla gaseosa isobáricaisotérmica que contenga moléculas de solvente y soluto, los dos elementos delgados e iguales de volumen que se encuentran sobre y por debajo de la sección, contienen el mismo número de moléculas, tal como lo estipula la ley de Avogadro. Aunque no es posible establecer la dirección específica en la que viajará una molécula particular en unintervalodadodetiempo, puededecirsequeunnúmerodefinidodemoléculas queense encuentren en el elemento inferior del volumen cruzarála sección hipotética desde abajo y el mismo número de moléculas abandonará el elemento superior y atravesará la sección desde arriba. Conlaexistenciadel gradientedeconcentración, habrámásmoléculasdesolutoenundelos elementos de volumen que el en otro; así pues, resultará una transferencia total neta de una región de concentración mayor a una de concentración menor. El flujo decada una de las especies moleculares ocurre en la dirección del gradiente negativo del las concentraciones. 2.2 Transferencia convectiva de masa. La transferencia debida a la convección consiste en la transferencia entre un fluido en movimiento y una superficie o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no miscibles. Este modo de transferencia depende, tanto en las propiedades de transferencia como de las características dinámicas del fluido que está fluyendo. Página 7 de 200 Eslatransferenciamacroscópicade masa, independientemente de cualquier convección dentro del sistema Se debe hacer una distinción entre los dos tipos de flujo: • Convección forzada : es el proceso cuando una bomba u otro aparato semejante ocasiona el movimiento del fluido. • Convecciónlibreonatural: si el movimientodel fluidosedebaaunadiferenciade densidades, quepuedehaber surgidocomoresultadodeunaconcentraciónodeuna diferencia de temperatura. Como se hizo en el caso de la transferencia de masa molecular, la transferencia convectiva de masa, se lleva a cabo en la dirección de una concentración decreciente. LasecuacionesderapidezcorrespondientesalatransferenciademasadelaespecieAenuna mezcla binaria, son: a) Transferencia molecular de masa A AB A y cD J ∇ − ·------------------ flujo molar relativo a la velocidad molar media. A AB A w D j ∇ − · ρ -----------------flujo de masa relativo a la velocidad masa promedio. NA= yA (NA + NB) - cDAB∇yA----- flujo molar relativo a coordenadas espaciales fijas. nA= wA (nA + nB) - ρDAB∇wA ----- flujo de masa relativo a coordenadas espaciales fijas. b) Transferencia convectiva de masa: A c A c k N Λ · Estas ecuaciones se estudiaran con más detalle a lo largo del curso. Página 8 de 200 Capítulo 3 Definiciones Útiles en la Transferencia de Masa. Para poder establecer una base común para estudios futuros, es necesario estudiar las definiciones y relaciones que se utilizan a menudo para explicar los componentes de la mezcla. Concentraciones:enunamezclademúltiples componentes la concentración deunaespecie molecular se puede expresar de muchas maneras. En la figura aparece un volumen elemental dV, quecontieneunamezcladecomponentes, incluyendoalaespecieA. comocadaunadelas moléculas de cada especie tiene una masa, puede definirse una concentraciónde masapara cada especie, así como para la mezcla. La concentración de masa, ρA, que es la masa de la especie A por unidad de volumen de solución La concentración total de masa o densidad es la masa total de la mezcla contenida en al unidad de volumen. ∑ · · n i i 1 ρ ρ La concentración molar de la especie A. es elnúmero de moles de la especie ipro unidad de volumen de solución. A A A M c ρ · La fracción masa. es la concentración de masa de la especie A dividida por la densidad total de la solución. A A A n i i ρ ρ ω ρ ρ · · ∑ La fracción molar. es la concentración molar de la especie A dividida por la densidad totalde la solución.(entendiendo como solución , una mezcla gaseosa, líquida, o sólida , que forma una sola fase) i A A c c · χ La concentración molar total, c, es el número total de moles de la mezcla, contenidos en la unidad de volumen. ∑ · · n i i c C 1 Página 9 de 200 Cuando se está tratando con una fase gaseosa , a menudo , las concentraciones se expresan en términos de las expresiones parciales. Bajo las condiciones en las cuales es válida la ley de los gases ideales, PA V = nART, la concentración molar es: RT p V n c A A A · · Donde: pA = presión parcial de la especie A en la mezcla nA = número de moles de la especie A V = volumen del gas T = temperatura absoluta R = constante del gas. La concentración molar total, C, es el número total de moles de la mezcla , contenidos en la unidad de volumen, esto es: ∑ · · n i i c c 1 O en una mezcal gaseosa que obedezca al ley de los gases ideales. C = ntotal / V = P/RT Donde: P = presión total. La fracción molar correspondiente a las mezclas de líquidos o sólidos, xA,y la correspondiente al mezclas gaseosas , yA , son las concentraciones molares de la especie A divididas entre la densidad molar total. c c x A A ·(liquidos y sólidos) c c y A A · (gases) Cuando una mezcla obedece a la ley de los gases ideales, la fracción molar yA, se puede escribir en fución de las presiones: Página 10 de 200 P p RT P RT p c c y A A A A · · · / / La ecuación anterior es una representación algebraica de la ley de Dalton que corresponde a mezclas de gases. La suma de las fracciones molares, debe ser igual a 1, por definición. ∑ · · n i i x 1 1 ∑ · · n i i y 1 1 Velocidades:enunsistemadecomponentes múltiples, las diferentesespecies semoveránde maneranormal adiferentesvelocidades, por lotanto, paraevaluar lavelocidaddelamezclade gases, se necesitan promediar las velocidades de cada una de las especies presentes. Velocidad promedio o media de la masa correspondiente a una mezcla de componentes múltiplesse define en fución de las densidades y velocidades de la masa, de todas las componentes en la forma: 1 1 1 n n i i i i i i i i i v v v ρ ρ ρ ρ · · · · · ∑ ∑ ∑ Enlaecuaciónanterior seobservaqueρveslavelocidadlocal conquelamasaatraviesauna sección unidad colocada perpendicularmente a la velocidad v. La velocidad molar media o promedio de una mezcla de componentes múltiples , se define en función de las concentraciones molares de todas las componentes , por medio de la expresión. c v c c v c V n i i i n i i n i i i ∑ ∑ ∑ · · · · · 1 1 1 De aquí que cv * es la velocidad local con la que los moles atraviesan una sección unidad colocada perpendicularmente a la velocidad v * . Velocidad de difusión Página 11 de 200 Es la velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o velocidad molar media. Se pueden definir dos velocidades diferentes de difusión. • υ υ− A Velocidad de difusión de la especie A con relación a la velocidad media de la masa. • V A − νVelocidad de difusión de la especie A con relación a la velocidad molar media Estas velocidades de difusión representan el movimiento del componente i con relación al movimiento local de la corriente del fluido. Considerando un ejemplo cuando un líquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno de vapor B. Alevaporarse A, empuja al vapor B hacia arriba. Sin embargo, no existen una línea de separación entre los vapores A y B puros, tal como se indica en la figura, sino que el desplazamiento ascendente del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores. Por lo tanto, debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más lentamente. En la figura se muestran los distintos vectores velocidad para el caso de que xA = 1 /6, v * = 12, vA – v * = 3, y MA = 5 MB. La densidad de flujo de masa (o molar) de la especie A Página 12 de 200 Es una magnitud vectorial que representa la masa (omoles) delaespecieAque cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. Elmovimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias, a la velocidad media molar localv * , o a la velocidad media de masa v. Por lo tanto, las densidades de flujo de masa y molar relativas a coordenadas estacionarias son A A A v n ρ · flux de masa A A A v c N · flux molar Las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media de masa v, son: ( ) v v j A A A − · ρflux de masa ( ) v v c J A A A − ·flux molar Y las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media molar v * , son ( ) ∗ ∗ − · v v j A A A ρde masa ( ) ∗ ∗ − · v v c J A A A molar NOTACIÓN DE CONCENTRACIONES EN SISTEMAS BINARIOS DEFINICIONES BÁSICAS ρ = ρA + ρB = densidad de la solución ( g/cm 3 ) ρA = cA MA = concentración de masa de A ( g de A/cm 3 de solución ) ωA = ρA / ρ = fracción de masa de A c = cA + cB = densidad molar de la solución ( g-mol / cm 3 ) cA = ρA / MA = concentración molar de A ( g-mol de A/cm 3 de solución ) xA = cA / c = fracción molar de A M = ρ / c = peso molecular medio de la mezcla RELACIONES ADICIONALES xA + xB = 1 xAMA + xBMB = M xA = ( ωA / MA ) / [(ωA / MA) + (ωB/MB)] dxA = dωA / [MAMB (ωA/MA+ωB/MB)] 2 ωA + ωB = 1 ωA/MA + ωB/MB = 1/M ωA = xAMA / (xAMA + xBMB) dωA = (MAMBdxA) / (xAMA + xBMB) 2 NOTACIÓN DE VELOCIDADES EN SISTEMAS BINARIOS Página 13 de 200 DEFINICIONES BÁSICAS A v = velocidad de la especie A relativa a coordenadas estacionarias A v v − = velocidad de difusión de la especie A relativa av A v v ∗ − = velocidad de difusión de la especie A relativa a ∗ v v = velocidad media de masa= ( ) ( ) 1 A A B B A A B B v v v v ρ ρ ω ω ρ + · + ∗ v = velocidad media de masa = ( ) ( ) 1 A A B B A A B B c v cv xv xv c + · + RELACIONES ADICIONALES ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A B B A A B B v v v v v v v v x v v x v v ω ω ∗ ∗ + · − ∗+ − ∗ − · − + − Cualquieradelasseisnotacionesanterioresdeladensidaddeflujosirveparatratar todoslos problemas de difusión, sin embargo cada una de ellas tiene ciertas ventajas. La densidad de flujo Ni (y menos frecuente ni) se utiliza ampliamente en ingeniería, debido a que los cálculos de los procesos resulta en general conveniente referirse a un sistema coordenado establecido en los aparatos. Las densidades de flujojiy ji * se utilizan habitualmente para medir las velocidades de difusión y resultan adecuadas para formular las ecuaciones de variación en sistemas de varios componentes. Página 14 de 200 Página 15 de 200 DENSIDADES DE FLUJO DE MASA Y MOLAR EN SISTEMAS BINARIOS magnitud con respecto a ejes estacionarios con respecto a v con respecto a ∗ v Velocidad de la especie A (cm seg -1 ) A v v v A − ∗ −v v A Densidad de flujo de masa de la especie A (gr cm -2 seg -1 ) A A A v n ρ · ( ) v v j A A A − · ρ ( ) ∗ ∗ − · v v j A A A ρ Densidad de flujo molar de la especie A (g-mol cm -2 seg -1 ) A A A v c N · ( ) v v c J A A A − · ( ) ∗ ∗ − · v v c J A A A Suma de las densidades de flujo de masa (g cm -2 seg -1 ) v n n B A ρ · + 0 · + B A j j ( ) ∗ ∗ ∗ − · + v v j j B A ρ Suma de las densidades de flujo molares (g-mol cm -2 seg -1 ) ∗ · + cv N N B A ) ( v v c J J B A − · + ∗ 0 · + ∗ ∗ B A J J Densidades de flujo en función de nA y nB A A A M n N · ( ) B A A A A n n n j + · − ω ( ) A A A A A B B M j n x n n M ∗ · − + Densidad de flujo en función de NAy NB A A A M N n · , _ ¸ ¸ + · − B A B A A A A N M M N N j ω ( ) B A A A A N N x N J + · − Densidad de flujo enfuncióndejAy v v j n A A A ρ + · A A A M j J · A B A j M M j · ∗ Densidad de flujo en función de ∗ A J y ∗ v ∗ ∗ + · v c J N A A A ∗ · A A A J M M J A A A M J j ∗ ∗ · Capítulo 4 LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN. En la ley de Newton de la viscosidad (µ), esta propiedad se definido como el factor de proporcionalidad entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad De una forma análoga, se puede definir ahora la Difusividad DAB = DBA en un sistema binario: JA * = - c DAB ∇xA Que es la primera ley de Fick de la difusión expresada para la densidad de flujo molar de difusión JA * . Esta ecuación establece que la especie A difunde (se mueve con relación a la mezcla) en la dirección decreciente de la fracción molar de A, de la misma forma que el calor fluye por una conducción en la direccióndetemperaturadecreciente. LaDifusividadDABesidénticaentodasestasecuaciones. PuedeescribirselaLeydeFickenfuncióndeladensidaddeflujomolarrelativaacoordenadas estacionarias: NA= xA (NA + NB) - cDAB∇xA Está ecuación indica que la densidad de flujo de difusión NA, con relación a un eje de coordenadas estacionarias, es la resultante de dos magnitudes vectoriales: A AB x cD ∇ − Este término se llama contribución del gradiente de la concentración ( ) V c N N x A B A A · + Este término se llama contribución del movimiento global Página 16 de 200 Es el flujo molar, J A que resulta del gradiente de la concentración Es el flujo molar que resulta cuando la componente molar A circula con el flujo global. Página 17 de 200 FORMAS EQUIVALENTES DE LA PRIMERA LEY DE FICK densidad de flujo gradiente forma de la primera ley de fick A n A ω ∇ ( ) A AB A A A A D n n n ω ρ ω ∇ − · + − A N A x ∇ A AB A A A A x cD N N x N ∇ − · + − · ) ( A j A ω ∇ A AB A D j ω ρ ∇ − · ∗ A J A x ∇ A AB A x cD J ∇ − · ∗ A j A x ∇ A AB B A A x D M M c j ∇ , _ ¸ ¸ − · ρ 2 ∗ A J A ω ∇ A AB B A A D M cM J ω ρ ∇ , _ ¸ ¸ − · ∗ 2 ( ) B A v v c − A x ∇ ( ) A B A AB B A x x x cD v v c ∇ − · − Capítulo 6 Ecuaciones Diferenciales de la Transferencia de Masa. Balance total de masa (Ecuación de Continuidad) Balance microscópico de masa total para un elemento diferencial de volumen estacionario y fijo en el espacio aplicando la expresión general: Salidas-entradas + generación = acumulación En este caso no hay termino de generación,ya que se admite como un principio,establecido por Lavoisier en el siglo XVIII, que la masa es una magnitud conservada. Esto es cierto excepto en el caso de reacciones nucleares en las que la masa puede convertirse en energía y viceversa, pero en todos los sistemas de interés en Ingeniería Química se puede admitir que la masa se conserva como tal. La deducción se hará en coordenadas rectangulares y un volumen de control Euleriano de dimensiones ∆x,∆y y ∆z. la viscosidad del fluido en un punto,ρy Vx, Vy, Vzlas componentes de la velocidad. Cantidad de masa de entrada al elemento diferencial: t x y V t z x V t z y V z z y y x x ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ρ ρ ρ Página 18 de 200 y y Vy Λ + ρ z z Vz Λ + ρ x Vx ρ z Vz ρ y Vy ρ x x Vx Λ + ρ y x z ∆z ∆y ∆x Cantidad de masa de salida del elemento diferencial: t x y V t z x V t z y V z z z y y y x x x ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ + ρ ρ ρ Cantidad de masa acumulada en el volumen de control en ∆t: z y x z y x t t t ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ + ρ ρ Cantidad de masa generada en el elemento diferencial: Generación = 0 Entradas - Salidas + generación = acumulación Para este caso: Entradas – Salidas – acumulación = 0 t x y V t z x V t z y V z z y y x x ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ρ ρ ρ - t x y V t z x V t z y V z z z y y y x x x ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ + ρ ρ ρ - z y x z y x t t t ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ + ρ ρ =0 Reagrupando términos: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( · ∆ ∆ ∆ − + ∆ ∆ ∆ − + ∆ ∆ ∆ − + ∆ ∆ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + y z x t x y V V t z x V V t z y V V t t t z z z z z y y y y y x x x x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ dividiendo la expresión anterior por: ∆x, ∆y, ∆z y ∆t: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( · ∆ − + ∆ − + ∆ − + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + t z V V y V V x V V t t t z z z z z y y y y y x x x x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ tomando el limite cuando ∆x, ∆y, ∆z y ∆t tienden a cero: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 · ∆ − + ∆ − + ∆ − + ∆ − ∆ + → ∆ ∆ + → ∆ ∆ + → ∆ ∆ + → ∆ t Lim z V V Lim y V V Lim x V V Lim t t t t z z z z z z y y y y y y x x x x x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 0 ) ( ) ( ) ( · ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z y x V z V y V x t ρ ρ ρ ρ Esta ultima expresión es el balance microscópico total de masa o la llamada ecuación de continuidad, en su forma vectorial se escribe: Página 19 de 200 0 ) ( · ⋅ ∇ + ∂ ∂ V t  ρ ρ Donde: ρ = densidad del fluido (Kg/m 3 ) V = velocidad del fluido (m/s). El primer termino de esta ecuación es el termino de acumulación, y nos da la variación con el tiempo de la masa ( por unidad de volumen) dentro del elemento diferencial de control, y el segundo termino nos indica la velocidad neta de masa ( por unidad de volumen) que atraviesa los limites del volumen diferencial de control. El termino de generación. Como ya se había mencionado, es igual a cero. La ecuación deducida, se puede expresar en forma Lagrangiana, realizando las derivadas parciales de los productos ρVi: 0 · ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V z V y V y V x V x V t z z y y x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Agrupando términos: 0 · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V x V z V y V x V t z y x z y x ρ ρ ρ ρ ρ Que en forma vectorial nos queda: 0 · ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∂ ∂ V V t   ρ ρ ρ Aplicando el concepto de derivada sustancial: 0 · ⋅ ∇ + V Dt D  ρ ρ Que es la ecuación de continuidad en forma Lagrangiana. Caso Particular. Una formamuy importante de la ecuación decontinuidad es la que corresponde aunfluido incompresible, para el cual la densidad es constante, es decir, no varia ni con la posición ni con el tiempo. En este caso, la ecuación de continuidad se reduce a: 0 · ⋅ ∇V  fluidos incompresibles. Página 20 de 200 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA Analizando el volumen de control z y x ∆ ∆ ∆ , a través del cual está fluyendo una mezcla. Volumen de control diferencial La expresión de volumen de control para la conservación de masa es: ( ) 0 . . · ∂ ∂ + ⋅ ∫∫∫ ∫∫ v c S C dV t dA n v ρ ρ La cual en palabras se puede escribir como Rapidez neta deRapidez neta de flujo de acumulación de masa dentromasa que sale del0 del volumen de control volumen de control ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ + · ' ) ' ) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ Si seestudialaconservacióndeespeciedeterminada, restarelacióndebeincluir untérminoque correspondealaproducciónodesaparicióndeApromediodeunareacciónquímicaqueocurra dentro del volumen. La relación general para el equilibrio de la masa de la especie A es: Página 21 de 200 Ax x n Ay y n Az z n Ax x x n +∆ Az z z n +∆ Ay y y n +∆ x y z y ∆ x ∆ z ∆ Rapidez neta deRapidez neta de flujo deRapidez neta de producción acumulación de masa de A dentromasa de A que sale delde A dentro del del volumen de control volumen de control ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ + − ' ) ' ) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ volumen0 de control ¹ ¹ ¹ ¹ · ' ) ¹ ¹ ¹ ¹ La rapidez neta de flujo de masa delvolumen de controlse puede calcular tomando en cuenta la masa transferida a través de la superficie de control. La masa de A transferida a través del áreaz s∆ ∆ , en x, será x x A A z y v ∆ ∆ . ρ , o en función del flujo , A A A v n ρ · , sería x x A z y n ∆ ∆ , . Por lo tanto la rpidez de flujo de masa de la especie A, será: En la dirección de x: x x A x x x A z y n z y n ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ + . , En la dirección de y:y y A y y y A z x y n y x n ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ + . , En la dirección de z: z z A z z z A x y n x y n ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ + . , Por lo que la acumulación de A en el volumen de control es z y x t A ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ρ Si A se produce dentro del volumen de control por medio de una reacción química a una rapidez rA, donde rA tiene la unidades (masa producida de A)/ (volumen)(tiempo), por lo que el término de rapidez de producción de A es: z y x r A ∆ ∆ ∆ Si se suman cada uno de los términos de flujo y acumulación se obtiene la ecuación: 0 , , , , , , · ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ + z y x r z y x t y x n y x n z x n z x n z y n z y n A A z z A z z z A y y A y y y A x x A x x x A ρ Dividiendolaecuaciónanterior entreel volumen z y x ∆ ∆ ∆ del elementodiferencial seobtienela expresión. 0 , , , , , , · − ∂ ∂ + ∆ − + ∆ − + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + A A z z A z z z A y y A y y y A x x A x x x A r t z n n y n n x n n ρ Página 22 de 200 Tomando el límite cuando z y x ∆ ∆ ∆ tienden a cero, se obtiene 0 , , , · − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ A A z A y A x A r t z n y n x n ρ Ecuación de continuidad del componente A En la cual se observa quez A y A x A n n n , , , son las componentes recatangulares del vector de flujo de masa nA y la ecuación de continuidad se puede escribir como 0 · − ∂ ∂ + • ∇ A A A r t n ρ Para un componente B se obtiene una ecuación semejante siguiendo el mismo procedimiento. 0 , , , · − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ B B z B y B x B r t z n y n x n ρ 0 · − ∂ ∂ + • ∇ B B B r t n ρ Donde el termino rB representa la r´pidez con la que se producira B dentro del volumen de control por una reacción química. Sumando las ecuaciones de continuidad para componente A y B ( ) ( ) ( ) ) 1 .....( .......... 0 · + − ∂ + ∂ + + • ∇ B A B A B A r r t n n ρ ρ Para la mezcla binaria A y B se tiene B A B A B B A A B A r r v v v n n − · · + · + · + ρ ρ ρ ρ ρ ρ Sustituyendo estas ecuaciones en 1 se obtiene 0 · ∂ ∂ + • ∇ t ρ ρν Ecuación de continuidad para la mezcla Página 23 de 200 la ecuación de continuidad de la mezcal y de una especie dada , se pueden escribir en función de la derivada sustancial. 0 · + • ∇ Dt Dρ ν ρ la ecuación de continuidad de la especie A en función de la derivada sustancial es 0 · − • ∇ + A A A r j Dt Dω ρ para unidades molares es de modo semejante, donde RA representa la rapidez de producción molar B por unidad de volumen, las ecuaciones se expresan. Componente A: 0 · − ∂ ∂ + • ∇ A A A R t c N componente B: 0 · − ∂ ∂ + • ∇ B B B R t c N para la mezcla ( ) ( ) ( ) 0 · − − ∂ − ∂ + − • ∇ B A B A B A R R t c c N N por lo que la para las mezcla binaria de A y B se tienen las relaciones. c c c cv v c v c N N B A B B A A B A · + · + · + cuando la estequiometría de la reacción es B A ⇔ Página 24 de 200 en la cual se establece que se produce una mol de B por cada mol de A que desaparece ( ) 0 · + − ∂ ∂ + • ∇ B A R R t c cV Ec. de continuidad de la mezcla en unidades molares FOMAS ESPECIALES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRASNFERENCIA DE MASA Las formas especiales de la ecuación de continuidad válidas en situaciones especiales , aparecen a continuación. Para utilizarlas se remplazan los flujos nA y NA ( ) ) 1 .( .......... B A A A AB A N N y y cD N + + ∇ − · que es equivalente a ) 2 .....( .......... .......... V c y cD N A A AB A + ∇ − · para la ecuación ( ) ) 3 ..( .......... B A A A AB A n n D n + + ∇ − · ω ω ρ su equivalente es ) 4 ....( .......... .......... v D n A A AB A ρ ω ρ + ∇ − · al sustituir la ecuación 3 en: 0 · − ∂ ∂ + • ∇ B B B r t n ρ se obtiene ) 5 ...( .......... .......... 0 . · − ∂ ∂ + • ∇ + ∇ • ∇ − A A A A AB r t v D ρ ρ ω ρ al sustituir ecuación 1 en 0 · − ∂ ∂ + • ∇ A A A R t c N se obtiene ) 6 ...( .......... .......... 0 . · − ∂ ∂ + • ∇ + ∇ • ∇ − A A A A AB R t c V c y cD Página 25 de 200 cualquieradelasecuaciones5y6sepuedenusarenladescripcióndeperfilesdeconcentración dentro de sistemas de difusión.Estas dos ecuaciones son completamente generales, sin embargo son relativamente complejas. Las anteriores ecuaciones se puede simplificar haciendo suposiciones restrictivas.  Si la densidad, y el coeficiente de difusión se pueden suponer constante, la ecuación se transforma en. ) 7 .( .......... 0 . 2 · − ∇ • + • ∇ + ∇ − A A A A AB r v v D ρ ρ ρ dividiendo la ecuación entre el peso molecular de A y se reordena se obtiene. ) 8 .....( .......... 2 A A AB A A R c D t c c v + ∇ · ∂ ∂ + ∇ • si no hay término de producción, RA=0 y si los coeficientes de densidad y difución se suponen constantes la ecuación anterior se reduce a: ) 9 ( .......... 2 A AB A A c D c v t c ∇ · ∇ • + ∂ ∂ como A A c v t c ∇ • + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ es la derivada sustancial de cA, por lo que la ecuación se reduce a: ) 10 .( .......... 2 A AB A c D Dt Dc ∇ · que es una ecuación análoga a la de transferencia de calor. ) 12 )......( 11 .......( 2 2 T T c k Dt DT p ∇ · ∇ · α ρ donde α es la difusividad térmica. La semejanza entre estas dos ecuaciones sirve de base para las analogía señaladas entre transferencia de calor y masa. En una situación en la cual no exista movimiento del fluido, v=0, ni término de producci´+on, RA=0, ni variación alguna en la difusividad o en la densidad. La ecuación Página 26 de 200 ) 13 .........( 2 A AB A A c D c v t c ∇ · ∇ • + ∂ ∂ se reduce a: A AB A c D t c 2 ∇ · ∂ ∂ Ley de Fick de la difusión la ecuación de la ley de Fick es análoga a la segunda ley de conducción de calor: T dt dT 2 ∇ ·α las ecuaciones 8,9 y 13 se pueden simplificar , cuando el proceso esta en estado permanente; es decir0 · ∂ ∂ t c A y la ecuación correspondiente a una densidad constante y una difusión constante. A A AB A R c D c v + ∇ · ∇ • 2 cuandoladensidadesconstante, lomismoqueladifusividadynohayproducciónquímica, se obtiene. A AB A c D c v 2 ∇ · ∇ • si además v=0 la ecuación se reduce a 0 2 · ∇ a cEcuación de Laplace todaslasecuacionesdescritasanteriormenteestanensuformavectorial , porlocual todasson válidas en cualquier sistema ortogonal de coordenadas pararealizar latransformaciónserealizaescribiendoel operador Laplaciano, 2 ∇, ensuforma adecuada. Por lo que la segunda ley de Fick de la difusión Ley de Fick en Coordenadas Rectangulares 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ · ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 z c y c x c D t c a A A AB A Página 27 de 200 Ley de Fick en Coordenadas Cilíndricas 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ · ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 φ θ A a A A AB A c c r r c r r c D t c Ley de Fick en Coordenadas Esféricas 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ∂ ∂ · ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 φ θ θ θ θ θ A A A AB A c r c r r c r r r D t c Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Rectangulares A z A y A x A A R z N y N x N t c · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ , , , Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Cilíndricas ( ) A z A A x A A R z N N r r rN r t c · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ , , , 1 1 θ θ Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Esféricas Página 28 de 200 ( ) ( ) A A A r A A R N r N r N r r r t c · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φ θ θ θ θ φ θ sin 1 sin sin 1 1 2 , 2 , 2 2 CONDICIONES DE FRONTERA ENCONTRADAS USUALMENTE La condición inicial en los procesos de transferencia de masa es la concentración de la especie en difusión la principio del intervalo de tiempo bajo estudio, expresada ya sea en unidades molares o en unidades de concentración de masa 0 0 A A c c t · · en unidades molares las condiciones de frontera que generalmente se encuentran  Se puede especificar la concentración de una superficie. Esta concentración puede estar en función de la concentración molar,cA=cA, de fracciones molares, yA=yA1en gases o xA=xA1, en líquidos y sólidos; de concentración de masa, 1 A A ρ ρ ·o de fracción de masa, 1 A A ω ω ·  El flujo de masa en la superficie puede estar especificado, por ejemplo 1 A A j j · o 1 A A N N · En ingeniería los casos de interés incluyen aquel en el que el flujo es cero debido a una superficie impermeable y aquellos en los que el flujo se especifica como: 0 , · − · z A AB Z A dz d D j ω ρ  La rapidez de la reacción química puede estar especificada , por ejemplo. Si A desaparece en la frontera debido a una reacción química de primer orden, se puede escribir 1 1 1 A A c k N · . Cuando la especie en difusión desaparece en la frontera debido a una reacción instantánea , la concentración de la especie se supone, a menudo igual a cero.  Cuando un fluido fluye en la fase para la cual está descrita la ecuación de masa, la especie puede perderse de la fase de interés por medio de la transferencia convectiva de masa. El flujo de masa en la frontera se define como: ( ) ∞ − · A A A c c k N 1 1 donde ∞ A c eslaconcentracióndelacorrientedefluidoadyacentealasuperficieykel coeficiente de transferencia de masa de convección. Página 29 de 200 Capítulo 7 ESTUDIO DE CASOS DE TRANSFERENCIA DE MASA. Difusión a través de una película gaseosa estancada. Consideremos el sistema de difusión que se muestra en la figura. El líquido A se evapora en el seno del gas B, e imaginemos que mediante un artificio es posible mantener el nivel del líquido en z=z1. la concentración de la fase gaseosa, expresada en fracción molar, exactamente en al interfase líquido- gas, es xA1. se admite que la concentración de A en la fase gaseosa es la correspondiente al equilibrio con ellíquido de la interfase; es decir , que xA1es la relación entre la presión de vapor de A y la presión total, P vap /p, suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. Finalmente, se supone que la solubilidad de B en el líquido A es despreciable. Por la parte superior del tubo (para z = z2) circula lentamente una corriente de mezcla gaseosa A-B cuya concentración es xA2, de forma que la fracción molar de A en la parte superior de la columna permanececonstanteeigual axA2. sesuponequetodoel sistemasemantieneatemperaturay presión constante, y que los gases A y B se comportan como ideales. Cuando el sistema alcanza el estado estacionario, existe una movimiento neto de A alejándose de la superficie de evaporación, mientras que el vapor B permanece estacionario. Solución. Debido a que se trata de se utilizan ejes fijos se puede utilizar la siguiente ecuación. = + Página 30 de 200 Densidaddeflujo conrespectoaejes estacionarios Densidaddeflujo queresultadela difusión Densidaddeflujo con resulta del flujo global ( ) BZ AZ A A AB AZ N N x z x cD N − + ∂ ∂ − · Debido a que la densidad de flujo molar de B en dirección z es muy pequeña se puede despreciar por lo cual la ecuación nos queda. z x cD N x N A AB AZ A AZ ∂ ∂ − · − ) 1 ...( .......... 1 z x x cD N A A AB AZ ∂ ∂ − − · Aplicando un balance de materia en el elemento diferencial ( ) 2 ........ .......... 0 · − ∆ +z z AZ z AZ SN SN Dividiendo laecuacióndos entreel volumen(SN) y tomandoel límitecuando 0 → ∆z queda finalmente la ecuación ) 3 .( .......... 0 · − dz dN AZ Sustituyendo la ecuación 1 en la ecuación 3 se obtiene 0 1 · , _ ¸ ¸ − dz dx x cD dz d A A AB Para mezclas gaseosas ideales, a T y Pconstantes, c es una constante la difusividad es independiente de la concentración. Por consiguiente cDAB puede salir fuera de la derivada, quedando. 0 1 1 · , _ ¸ ¸ − dz dx x dz d A A Integrando una vez con respecto a z se obtiene 1 1 1 C dz dx x A A · , _ ¸ ¸ − Volviendo a integrar se obtiene. Página 31 de 200 dz C x dx A 1 1 · , _ ¸ ¸ − ( ) ) 4 .( .......... 2 1 1 ln C z C x A + · − − Para encontrar el valor de las constantes se tiene las siguientes condiciones límite C.L. 1 cuando z=z1xA=xA1 C.L 2cuando z=z2 xA=xA2 De acuerdo a estas las condiciones limite tenemos ( ) ) 5 .( .......... 2 1 1 ln 1 1 C z C x A + · − − ( ) ) 6 .( .......... 2 1 1 ln 2 2 C z C x A + · − − De la ecuación 5 se tiene ( ) ) 7 .( .......... 1 1 ln 2 1 1 z C x C A − − · Sustituyendo la ecuación 7 en la 6 ( ) ) 8 .( .......... 1 ) 1 ln( 1 1 ln 1 1 2 2 z C x z C x A A − − · − Despejando C1 se tiene ) 9 .( .......... .......... 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 2 1 2 2 1 2 1 , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − · − , _ ¸ ¸ − − · A A A A x x z z z z x x C Sustituyendo C1 en 5 se obtiene ( ) ) 10 .( .......... .......... 1 1 ln 1 1 ln 2 1 2 1 2 1 , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − − − · A A A x x z z x C Sustituyendo C1 y C2 en (4): Página 32 de 200 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 11 ( .......... .......... 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − − − + , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − · − A A A A A A x x z z x z x x z z x Simplificando se obtiene: ) 12 .......( .......... .......... 1 1 ln 1 1 ln 1 2 1 2 1 1 , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − − · , _ ¸ ¸ − − A A A A x x z z z z x x Sacando antilogaritmo a la ecuación anterior , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − · , _ ¸ ¸ − − − − 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 z z z z A A A A x x x x Lavelocidaddetransferenciademateriaenal interfaselíquidogas, es decir lavelocidadde evaporación, se obtiene de la ecuación ) 1 ...( .......... 1 z x x cD N A A AB AZ ∂ ∂ − − · Integrando cuando z=z1 ( ) , _ ¸ ¸ − · · − − · · · 1 2 1 2 1 ln 1 1 1 B B AB B B AB z z A A AB z z Az x x z z cD dz dx x cD dz dx x cD N Página 33 de 200 Determinación de la Difusividad. La difusividad para gases O2-CCl4se determina observando la evaporación en estado estacionario del CCl4 en un tubo que contiene oxígeno. Como se muestra. La distancia entre el nivel del CCl4 líquido y la parte superior de tubo es de z2-z1=17.1cm. la presión total en el sistema es de 755 mmHg y la T=0K. la presión de vapor del CCl4 a esa temperatura es de 33mmHg. El áreatransversal del tubodedifusiónesde0.82cm 2 . seencuentraquesequese evaporan 0.208cm 3 en un periodo de 10horas después que se ha alcanzado el estado estacionario. ¿Cuál es la difusividad del para gaseoso O2-CCl4? Solución El perfil de concentración para una celda de Arnold como ya se obtuvo es el siguiente , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − · , _ ¸ ¸ − − − − 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 z z z z A A A A x x x x Para la densidad de flujo molar ( ) , _ ¸ ¸ − − − · 1 2 1 2 1 1 ln A A AB Az x x z z cD N En la interfase se tiene Página 34 de 200 ( ) ( ) dt dZ S C dt SZ C d v C dt d dt dm A A A A − · − · − · − Rapidez con la cual A deja el líquido ( ) , _ ¸ ¸ − − − · 1 2 1 2 1 1 ln A A AB Az x x z z cD N Rapidez con la cual A entra al gas ( ) , _ ¸ ¸ − − − · 1 2 1 2 1 1 ln ) ( A A AB Az x x t z z ScD S N Como la dos velocidades de entrada y de salida son iguales al igualarlas se obtiene ( ) ) 1 ....( .......... 1 1 ln ) ( 1 2 1 2 , _ ¸ ¸ − − − · − A A AB A x x t z z ScD dt dz S C ( ) ( ) ∫ · , _ ¸ ¸ − − · − − t t A A AB AB dt x x C cD dz t z z 0 1 2 1 1 2 1 1 ln Considerando que H= distancia inicial= z2-z1(0) H=z1(0)-z1(t) ) ( ) 0 ( ) 0 ( 1 1 1 2 t z z z z h H − + − · + Por lo que simplificando queda ) ( 1 2 t z z h H − · + 1 dz dh − · Sustituyendo en 1 tenemos dt dz S C x x t z z ScD A A A AB − · , _ ¸ ¸ − − − 1 2 1 2 1 1 ln ) ( Página 35 de 200 ( ) 1 1 2 0 1 2 ) ( 1 1 ln dz t z z dt x x c cD t t A A A AB − − · , _ ¸ ¸ − − ∫ · ( ) t x x c cD dh h H A A A AB h , _ ¸ ¸ − − · + ∫ 1 2 0 1 1 ln t x x c cD h h H A A A AB , _ ¸ ¸ − − · , _ ¸ ¸ + 1 2 1 1 ln 2 1 ) 2 ........( .......... 1 1 ln 2 2 1 2 2 kt t x x c cD Hh h A A A AB · , _ ¸ ¸ − − · + 0 2 2 · − + kt Hh h 2 1 2 1 , _ ¸ ¸ + + − · H kt H H h Sustituyendo en ecuación 2 ) 3 ( .......... .......... 1 1 ln 2 1 1 1 2 2 2 , _ ¸ ¸ − − · 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ + A A A AB x x c cD H h t H Despejando la difusividad se obtiene la ecuación final ) 4 ....( .......... 1 1 1 1 ln 1 2 2 1 2 2 , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − − · H h x x tC C H D A A L A AB Con los datos se obtiene PMCCl4 = 153.82 PA * = 33mmHg Página 36 de 200 PT = 0.9934Atm XAT = 33/755 = 0.044 T = 0°C S = 0.82cm 3 t = 10hr h = 0.025cm xA2 =0 ( )( ) lt mol atm RT PT C PT P x A A 044 . 0 273 082 . 0 9934 . 0 044 . 0 755 33 1 · · · · · · ∗ Sustituyendo en la ecuación(4) los valores ( ) ( ) ( ) seg cm cm lt lt mol hr seg hr cm mol cm D AB 2 2 3 3 2 06 . 0 1 1 1 . 17 025 . 0 956 . 0 1 ln 1 1000 1 044 . 0 1 3600 10 2 01 . 0 1 . 17 · , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · Página 37 de 200 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETERGÉNEA Consideremos un reactor catalítico, tal como se indica en la figura, en el que se realiza la reacción de dimerización 2 2 A A → . Un sistema de este arreglo de complejidad no puede describirse exactamente medianteundesarrolloteórico. Sinembargo, sepuedeobtener ciertainformaciónanalizandoun modelo altamente simplificado. Cada partícula esta rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cualdifunde para alcanzar la superficie del catalizador. Suponiendo que la reacción 2 2 A A → se produce instantáneamenteenlasuperficie catalítica, y queel productoA2difundedespués ensentido contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente turbulenta del gas que consta de A y de A2. se trata de encontrar una expresión para la velocidad localde conversión de A en A2, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa δ, y las composiciones globales xA0 y xA20delacorriente. Sesuponequelapelículagaseosa es isotérmica, aunqueparamuchas reacciones catalíticas no se pude despreciar el calor que se genera en la reacción. Solución Deacuerdo a la estequiometría de lareacción, se mueveun mol de A2en ladirección z negativa por cadadosmolesdeA quesemueven en la dirección Z positiva. Por consiguiente se establece la siguiente relación en estado estacionario. ) 1 ........( 2 1 2 AZ z A N N − · De acuerdo con esto y utilizando la ecuación ( ) ) 2 .( .......... BZ AZ A A AB AZ N N x z x cD N − + ∂ ∂ − · Considerando B=A2 Sustituyendo la ecuación 1 en 2 Página 38 de 200 ) 3 ......( .......... 2 3 z x cD N N A AB Az AZ ∂ ∂ − · − ( ) ) 4 ......( .......... 2 1 1 dz dx x cD N A A AB AZ − − · AplicandoahoraunbalancedemateriaparalaespecieAaunadelgadaláminadelapelícula gaseosa de espesor ∆z. ( ) 5 ........ .......... 0 · − ∆ +z z AZ z AZ SN SN Dividiendo laecuacióndos entreel volumen(SN) y tomandoel límitecuando 0 → ∆z queda finalmente la ecuación ) 6 .( .......... 0 · − dz dN AZ Ahora suponiendo en la ecuación 4 que cDAA2 es una constante se obtiene. ) 7 .( .......... 0 2 1 1 1 · , _ ¸ ¸ − dz dx x dz d A A Integrando con respecto a z se obtiene ) 8 .( .......... 1 2 1 1 1 C dz dx x A A · , _ ¸ ¸ − Integrando nuevamente ) 9 .( .......... 1 2 1 1 dz C x dx A A · , _ ¸ ¸ − Página 39 de 200 ) 10 .( .......... 2 1 2 1 1 ln 2 C z C x A + · , _ ¸ ¸ − − De acuerdo a las condiciones límite siguientes C.L 1para z=o xA = xA0 C.L 2para z=δxA= 0 Aplicando condiciones limite a ecuación 10 Condición límite 1 ( ) ) 11 .( .......... 2 0 1 2 1 1 ln 2 0 C C x A + · , _ ¸ ¸ − − ) 12 .( .......... 2 1 1 ln 2 2 0 , _ ¸ ¸ − − · A x C Condición límite 2 ( ) ) 13 .( .......... 2 1 0 2 1 1 ln 2 C C + · , _ ¸ ¸ − − δ ( ) ) 14 ( .......... 2 1 1 ln 2 1 0 δ , _ ¸ ¸ − · A x C Sustituyendo ecuación 12 y 14 en 10 se tiene ) 15 ( .......... .......... 2 1 1 ln 2 2 1 1 ln 2 2 1 1 ln 2 0 0 , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − · , _ ¸ ¸ − − A A A x z x x δ ) 16 ( .......... .......... 2 1 1 2 1 1 ln 1 2 1 1 ln 0 0 , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − · , _ ¸ ¸ − A A A x x z x δ Aplicando antilogaritmo se obtiene finalmente , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ − · , _ ¸ ¸ − δ z A A x x 1 0 2 1 1 2 1 1 Página 40 de 200 Para obtener la densidad de flujo molar a travéz de la película se obtiene a partir de la ecuación 4 integrando entre los límites de z=0 z=δ y x=0 x=xA0 ( ) ( ) ) 1 . 4 ....( .......... . 2 1 1 AB A AZ cD x dx dz N − − · ( ) ( ) ) 2 . 4 ....( .......... 2 1 1 ln 0 0 0 AB x A AZ cD x z N A − − · δ ( )( ) ) 3 . 4 ....( .......... 2 1 1 ln 0 AB A AZ cD x N − − · δ ( ) ( ) 0 2 1 1 ln A AB AZ x cD N − − · δ Página 41 de 200 DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA Consideremos el sistema que se indica en la figura En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en al fase líquida. Al mismo tiempo que difunde, la sustancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden:AB B A → + Solución Realizando el balance de materia en el elemento diferencial (entrada –salida + producción =0) se obtiene ) 1 ........( .......... 0 1 · ∆ − − ∗ ∆ + z S C k S N S N A z z Az z Az En la expresión anterior ∗ 1 k es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, S es un área característica de la sección transversal del líquido. Debido a la reacción química es necesrio incluir un termino que nos represente la velociad de producción o desaparición deA, por lotanto A C k ∗ 1 representael númerodemolesdeAquedesaparecenpor unidadde volumen y unidad de tiempo. Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumen S∆z, Página 42 de 200 ) 2 ........( .......... 0 1 · − ∆ − ∗ ∆ + A z z Az z Az C k z N N Tomando el límite cuando0 → ∆z . Se obtiene finalmente ) 1 ..( .......... 0 1 · + ∗ A Az c k dz dN De acuerdo a la ecuación ( ) BZ AZ A A AB AZ N N x z x cD N − + ∂ ∂ − · Dado que A y AB estan en bajas concentraciones obteniendose ) 2 .....( .......... dz dc D z x cD N A AB A AB Az − · ∂ ∂ − · Sustituyendo la ecuación 2 en 1 se obtiene ) 3 .....( .......... 0 1 2 2 · + − ∗ A A AB c k dz c d D Las condiciones límite para este problema son La concentración en la superficie se mantiene en un valor fijo cA0 C.L 1cuando z=0 cA=cA0 La difusión en el fondo del recipiente es muy pequeña, por lo que puede despreciarse . C.L.2cuando z=L NAz=0 Reacomodando la ecuación 3 se tiene W y y y y c c C ando ensionaliz a D kc z c A A AB A A · · · · ∂ ∂ ∗ ∗ η 0 0 2 2 dim Página 43 de 200 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 · − · − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ϕ ϕ η η m D kW do consideran C D kW C D c kC W c C AB AB AB A A Donde ϕ ϕ t · − · · m b a 2 0 Por tanto la solución se puede plantear ) 4 ...( .......... 2 1 ϕη ϕη − + · e C e C C Condiciones límite Para 1 0 · · ϕ ϕ 0 1 · · η d dC C 0 2 1 · +C C ϕη ϕη ϕ ϕ η e C e C d dC 2 1 − · Sustituyendo condiciones límite ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ φ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − − − − − − + − · + · · + − · − − − · e e e C e e e C e C e e C e C e C e C e C 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 0 Sustiuyendo en la ecuación 4 se obtiene Página 44 de 200 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 5 ...( .......... 1 1 1 1 ϕ ϕ η ϕ η ϕ ϕπ ϕ ϕ ϕ ϕπ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕη ϕ ϕ ϕ ϕη − − − − − − − − − − − − − + + · − + + , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ + − + · e e e e C e e e e e e e e C e e e e e e e e C Tomando en cuenta el numero adimensional (Modulo de Thiele) AB D kW 2 · ϕ Así como las relaciones 2 sinh 2 cosh x x x x e e x e e x − − − · + · Sustituyendo en la ecuación 5 se obtiene finalmente ( ) ( ) ( ) ) 6 ....( .......... cosh 1 cosh ϕ ϕ − · h C Para calcular el flux difusivo se obtiene a partir de la ecuación 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ η ϕ ϕ ϕ η ϕ ϕ ϕ η sinh cos 1 sinh cosh 1 sinh cosh 0 0 0 0 W c D j W C D d dC W c D j h d dC A AB y A A AB A AB · − − · − · − · · ) 7 ( .......... tanh 0 0 ϕ ϕ W c D j A AB y A · · Página 45 de 200 DIFUSIÓN EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE: TRANSFERENCIA DE MATERIA POR CONVECCIÓN FORZADA. Consideremosconcretamente la absorcióndeungasApor una películalaminar descendentedel líquido B. La substancia A es solo ligeramente soluble en B, de forma que la viscosidad del líquido no varíaapreciablemente. Tomar en cuentaque la difusión enlapelícula líquida tiene lugar tan lentamente que A “penetra” muy poco en B( la distancia de penetración es pequeña en comparación con el espesor de la película). El sistema a estudiar se representa en al figura siguiente. Después de realizar el balance de cantidad de movimiento en ausencia de transferencia de materia para obtener elperfilde la velocidad en una película se obtiene la ecuación.No considerando los efectos finales. 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − · 2 1 ) ( δ x v x v máx z Página 46 de 200 Deacuerdoal problemaseobservaquecAvariaráconxyconz. por lotanto, comoelemento diferencial para aplicara el balance de materia se elige un volumen formado por la intersección de un espesor∆zconotrodeespesor∆x. por locual el balancegeneral quedarepresentadoconla siguiente ecuación. 0 · ∆ − ∆ + ∆ − ∆ ∆ + ∆ + z W N Z W N x W N x W N x x Ax x Az z z Az z Az Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumenx z W ∆ ∆se obtiene 0 · ∆ − + ∆ − ∆ + ∆ + x N N z N N x x Ax x Az z z Az z Az Tomando el límite cuando0 → ∆z y0 → ∆x ) 1 ..( .......... 0 · ∂ ∂ + ∂ ∂ x N z N Az Az Para la densidad de flujo molar se utiliza la ecuación ( ) BZ AZ A A AB AZ N N x z x cD N − + ∂ ∂ − · Deacuerdoal problema, el componenteAsemueveendirecciónzdebidoprincipalmenteala convección o flujo, por lo cual la contribución por parte de la difusión puede considerarse despreciable. Y la densidad de flujo molar en dirección z resulta. ( ) ) 2 ( .......... BZ AZ A AZ N N x N − · Por el contrario en la dirección x, A se transporta esencialmente por difusión, y no existe prácticamente transporte convectivo debido a que A no es muy soluble en B, por lo que se obtiene. ( ) Nx N x x c D N Ax A A AB Ax − + ∂ ∂ − · ) 3 .........( .......... x c D N A AB Ax ∂ ∂ − · Sustituyendo ecuaciones 2 y 3 en 1 se llega a la ecuación diferencial Página 47 de 200 ) 4 ...( .......... 2 2 x c D z c v A AB A z ∂ ∂ · ∂ ∂ Estableciendo las condiciones límite. Sustituyendo el perfil de velocidad de la película en la ecuación 4 ) 5 ........( .......... 1 2 2 2 x c D z c x v A AB A máx ∂ ∂ · ∂ ∂ 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − δ C.L.1 Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero Cuando Z=0CA =0 C.L 2 En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0 Cuando x=0CA =CA0 C.L.3 Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B se establece la condición Cuandoδ · x0 · ∂ ∂ x c A Sin embargo debido a que la ecuación diferencial 5 es no lineal y de segundo orden, la solución es complicada, por lo cual se deben tomar en cuenta las consideraciones siguientes válidas para facilitar su resolución. LasustanciaApenetraunapequeñadistanciaenlapelícula, por locual laespecieAtienela impresión de que la película se mueve toda ella con una velocidad igual a vmáx. Considerando que la penetración de A no es muy grande , esta no llegara jamas a la pared sólida situada enδ · x . Por lo tanto, si la película tuviese un espesor infinito y se moviera con la velocidad vmáx, el material que difunde no notaría la diferencia, con estas consideraciones la tercera condición límite se modifica y la ecuación 5 se simplifica. Página 48 de 200 C.L.1 Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero Cuando Z=0CA =0 C.L 2 En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0 Cuando x=0CA =CA0 C.L.3 Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B la concentración de A cerca de la pared o en infinito es cero. Cuando∞ · x 0 · a C Debido a A penetra muy poco ) 6 ........( .......... 1 2 2 2 x c D z c x v A AB A máx ∂ ∂ · ∂ ∂ 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − δ ) 6 ........( .......... 2 2 x c D z c v A AB A máx ∂ ∂ · ∂ ∂ Por lo tanto ( ) 0 , · ∂ ∂ x z c A δ Adimensionalizando ecuación 6 L z x c c C A A · · · ζ δ ξ 0 Sustituyendo en la ecuación 6 Página 49 de 200 ) 7 .......( .......... 0 2 2 2 0 2 0 · ∂ ∂ + ∂ ∂ − ξ δ ζ δ c C c L C D v A A AB máx Considerando L D v a AB máx 4 δ · ) 8 .......( .......... 0 2 2 · ∂ ∂ + ∂ ∂ − ξ ζ c c a Condiciones límite ( ) 0 ) , ( 0 ) , 0 ( 0 0 , · ∞ · · ζ ζ ξ c c c Aplicando transformada de Laplace dz e z x f z x f s x F z x f sz − ∞ ∫ · · 0 ) , ( )) , ( ( ) , ( )) , ( ( ς ς ) , ( ) , ( ) 0 , ( ) , ( ) , ( s x F x x z x f x f s x sF z Z x F ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ς ς Aplicando a ecuación 8 ( ) ( ) 0 ) 0 , ) , ( 2 2 · − Γ − Γ ∂ ∂ ξ ξ ξ c S s a 0 2 2 · Γ − Γ ∂ ∂ as ξ Página 50 de 200 0 0 2 2 2 · + + · + + b am m equivale by dx dy a dx y d Soluciones reales y diferentes x m x m e C e C y 2 1 2 1 + · Soluciones real e igual x m x m e C e C y 2 1 2 1 + · Soluciones complejas ) cos( 2 ) ( 1 mx C mx sen C y + · as m as m t · · − 0 2 ξ ξ as as e C e C − + · Γ 2 1 −∞ ∞ + · e C e C 2 1 0 s C C C C s 1 2 0 1 2 1 1 · · + · s a as e s e s 2 1 1 ξ ξ − − · · Γ ( ) ( ) s c , ) , ( 1 ξ ς ζ ξ Γ · − , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ − t a erfc s e s a 2 ς 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ · 1 1 ] 1 ¸ · ζ ξ ζ ξ ξ 4 2 2 2 2 L D Vmáx erfc a erfc c AB Página 51 de 200 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ · z D v x efrc C C AB máx A A 2 0 REGRESAR.... Página 52 de 200 Capítulo 8 TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE INTRODUCCIÓN. Antesde1860, aproximadamente, el interésdelaingenieríapor lamecánicadefluidosse limitaba casi exclusivamente al flujodel agua.El desarrollode laindustriaquímicadurante laúltima partedel sigloXIXdirigiólaatenciónaotroslíquidosyalosgases. El interésporlaaerodinámica comenzó con los estudios del ingeniero aeronáutico alemán Otto Lilienthal en la última década del siglo XIX, y produjo avances importantes tras el primer vuelo con motor logrado por los inventores estadounidenses Orville y Wilbur Wright en 1903. La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida los avances en la dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwig Prandtl observó en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de laviscosidad, y pueden emplearselas ecuaciones matemáticas más sencillas paraflujos no viscosos. ParaelautorJ.KVernard: "Lateoríadelacapalímitehahechoposiblegranpartedel desarrollodelasalas de los avionesmodernosy del diseño de turbinas de gasycompresores". El modelo de la capa límite no sólo permitió una formulación mucho más simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes en la región próxima a la superficie del cuerpo, sino que llevó a nuevos avances en la teoríadel flujodefluidosnoviscosos, quepuedenaplicarsefueradelacapalímite. Granpartedel desarrollo moderno de la mecánica de fluidos, posibilitado por el concepto de capa límite, se ha debido ainvestigadores comoel ingenieroaeronáuticoestadounidensedeorigenhúngaroTheodorevon Kármán, el matemático alemán Richard von Mises y el físico y meteorólogo británico Geoffrey Ingram Taylor. Un fluido manifiesta sus propiedades intrínsecas de fluido cuando se encuentra cerca de una interfase sólida, ya que sobre ella ha de cumplir la condición de adherencia. Dependiendo de cuál sea la posición relativa entre el fluido y la interfase sólida podremos distinguir dos tipos de flujo. Se denomina flujo externo al que se desarrolla cuando el fluido circula rodeando a un cuerpo sólido, de forma que el perfil de velocidad del fluido se modifica por la presencia del sólido que queda en su seno. En este caso, los límites externos del fluido se encuentran relativamente distantes y pueden considerarse ilimitados. Por otra parte, se denomina flujo interno al que se desarrolla cuando el fluido circula por el interior de cualquier tipodeconducción. Enestecasoloslímitesdel fluidoestánbiendefinidospor lapropia conducción que encierra al fluido. Página 53 de 200 ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CAPA LÍMITE. En la circulación de fluidos reales, las capas de fluido en contacto con las superficies sólidas se adhieren a ellas de forma que su velocidad respecto a las mismas se anula. Recibe el nombre de capa límite o capa de rozamiento de un fluido que está circulando en las proximidades de una interfase sólida, aquella región del fluido en la que su movimiento se ve afectado por la presencia de la superficie delsólido.La definición de la dimensión de la capa límite es siempre arbitraria porque, almenos de forma teórica, la influencia de la placa se deja sentir asintóticamente en todo el fluido que hay sobre ella. Normalmente se define espesor de la capa límite, ó, en cada punto, la distancia a la placa para la que la velocidad del fluido sólo se diferencia en un 1 % de la velocidad de aproximación V∞. Flujo externo sobre una placa plana. Consideremos un fluido que circula sobre una placa plana en la que incide con flujo paralelo. Si en distintas secciones transversales se hiciera una cuidadosa exploración de la velocidad del fluido a distancias variables del borde inicial de la placa, se encontraría que la velocidad varía desde cero (sobre lasuperficiesólida) hastaV∞, velocidadqueposeíael fluidoantesdeincidir sobrelaplaca, (auna distancia muy pequeña de la placa, δ). En la Figura 1 se representa esquemáticamente la distribución de velocidad en la capa límite. En el borde inicial de la lámina (x = O) la velocidad V∞ no varía en la dirección perpendicular a la placa, peroamedidaqueaumentaladistanciaal bordeanterior, el espesor delacapafrenadapor el rozamiento va creciendo, al ir afectando éste a cantidades crecientes de fluido, aunque este espesor es Página 54 de 200 muy pequeño, sobre todo para fluidos poco viscosos. Pero incluso para pequeños valores de la viscosidad, el esfuerzo cortante en el interior de la capa límite será siempre grande, ya que lo será el gradiente de velocidad dvx/dy porque la velocidad disminuye bruscamente desde Vx = O.99 V∞ en y = δ hasta Vx = O en y = O. En cambio, fuera de la capa límite no existirán prácticamente esfuerzos cortantes, porque en esa región no varía apreciablemente la velocidad del fluido. Debidoaello, el campodeflujodelosfluidospocoviscososenflujosexternos,puede dividirseparasuestudioendosregiones: ladelgadacapalímite, próximaalaplaca, enlaque forzosamente deberá considerarse el rozamiento existente, y la región exterior a la capa límite, en la que, al poder despreciar las tensiones de rozamiento, podrá aplicarse como una buena aproximación la teoría de los fluidos perfectos o ideales. Este modo de proceder simplifica mucho el aparato matemático paratratar el movimientodefluidospocoviscosos, prácticamenteimposiblederesolver hastaque Prandtl introdujo el concepto de capa límite. En las proximidades del borde frontal de la placa, el régimen de circulación del fluido en la capalímiteessiempre laminar,perosi la velocidadV∞con laqueelfluido incidesobrelaplacaes suficientemente elevada y/o la placa tiene una longitud suficiente en la dirección del flujo, la circulación en la capa límite llega a hacerse turbulenta. Cuando esto ocurre, aumentan tanto el espesor de la capa límitecomolatensiónrasantesobrelaplaca. Ladistanciaal bordefrontal delaplacaparalaque apareceel régimenturbulento noquedanítidamentedefinida, pues como se observaen laFigura1 siempre existe una zona de transición. Lo que sí que se observa es que, a una cierta distancia del borde de la placa, que recibe el nombre de distancia crítica, xcrít se produce un brusco aumento del espesor de la capa límite y del esfuerzo cortante sobre la placa, lo que indica que la capa límite ha dejado de ser laminar. Esto se produce cuando el módulo de Reynolds, definido como. Rex = V∞x/v alcanza un valor de Rex ≈ 3.2*10 5 , aunque con una experimentación cuidadosa esto no se da hasta Rex ≈ 3*10 6 . También a veces se define un módulo de Reyno1ds referido al espesor de la capa límite: Reδ = V∞δ /v. En la capa límite turbulenta, la magnitud de las fluctuaciones turbulentas se aproxima a cero cuando nos aproximamos a la placa, subsistiendo siempre en las proximidades de ésta unasubcapa laminar. Flujo interno en una conducción de sección circular. Consideremosahorauntubocilíndricoenel senodeunfluidoquecirculaconvelocidad uniforme, como se esquematiza en la Figura 2. Página 55 de 200 Lavelocidaddel fluidoalaentradadel tuboesuniforme, peroeneselugar empiezaa formarse sobre la pared interior la capa limite, cuyo espesor va creciendo hasta que, a una determinada distancia de la entrada, denominada longitud de entrada, Le, el espesor de la capa limite se hace igual al radio del tubo, y esta llena toda la conducción. En el tramo del tubo que corresponde a la longitud de entrada, la velocidad de la corriente V∞ debe aumentar progresivamente para compensar la disminución de velocidad del fluido en la capa limite cuyo espesor va creciendo, ya que estamos suponiendo que el flujo es estacionario. En este aspecto, la circulación en capa limite dentro de una conducción de diámetro finito difiere de la que se desarrolla sobre una placa plana, en la que la velocidad de la corriente V∞ es constante. Por lotanto, todacirculaciónpor el interior deunaconducción, cualquieraqueseasu geometría, se reduce a una circulación en capa limite. A la entrada, coexisten capa limite y corriente libre; cuando desaparece ésta última, porque la capa limite ocupa toda la conducción, finaliza la longitud de entrada y, si el régimen es estacionario, el perfil de velocidades se mantiene constante a partir de ese punto y se hace independiente de la distancia x medida desde la entrada; a partir de ese punto se dice que el flujo esta completamente desarrollado. Si la conducción es cilíndrica, el módulo de Reynolds se suele referir al diámetro del tubo y a la velocidad media de circulación: Re = V*D/v. Sien la capa limite desarrollada en la longitud de entrada elrégimen era exclusivamente laminar, la naturaleza del flujo completamente desarrollado será laminar; si en la capa limite de entrada ya había empezado a formarse el régimen turbulento, el flujo plenamente desarrollado será turbulento. En este ultimo caso, de acuerdo con lo indicado al hablar de capa límite turbulenta, habrá siempre tres regiones en toda la conducción: una subcapa laminar del pequeño espesor en las inmediaciones de las Página 56 de 200 paredes, una región de transiciónde espesor variable,y un núcleo turbulentomuy extenso en el centro de la conducción . Separación de la capa limite Una de las hipótesis que se harán siempre en el estudio de la capa limite que se forma sobre cualquier cuerpo, es que en una sección transversal determinada la presión que existe en el interior de la capa limite coincide con la que hay en su exterior; o dicho de otra forma, la presión exterior imprime la presión que corresponde a la capa limite, a cada distancia x medida desde su inicio. Placas Planas En el exterior de la capa limite, al comportarse el fluido como ideal, se cumplirá la ecuación de Bernouilli, de la cual puede deducirse que en el exterior de la capa limite sobre una placa plana (Vx = V∞ = cte y gx = 0) la presión se mantiene constante a lo largo de la placa. Por consiguiente, dentro de la capa limite isoterma sobre una placa plana la presión será también constante en toda su longitud. Cuando, como en el caso de la placa plana, ∂p/∂x = 0, o cuando ∂p/∂x < 0 (es decir, cuando la presión disminuye en el sentido de la circulación), el fluido decelerado que constituye la capa limite permanece realmente junto a la superficie sólida en forma de fina película. En cambio, cuando ∂p/∂x > 0 ( es decir, si la presión aumenta en la dirección x) el espesor de la capa limite aumenta considerablemente, y la velocidad puede llegar a invertirse dentro de la capa limite. Ental caso, loselementosdefluidodeceleradossonforzadosaalejarsedel cuerpoconla consiguienteseparacióndelacapa límitede lapared sólida y la formación detorbellinoso remolinos en la estela del cuerpo, que producen pérdidas considerables de energía mecánica. Página 57 de 200 Paraunaplacaplanacongradienteadversodepresión(ap/8x>O) el fenómenode separación de la capa límite se vería como se esquematiza en la Figura 3: CUERPOS REDONDEADOS. Aunque la situación descrita en el ejemplo anterior no es muy real, sí que puede darse, en la práctica, laseparacióndelacapalímiteenel flujoalrededor decuerposredondeados, talescomo cilindros o esferas. Para explicar este fenómeno; consideremos, en primer lugar, la circulación de un fluido ideal alrededor de un cilindro, como se esquematiza en la Figura 4. Figura 4. Circulación de un fluido alrededor de un cilindro y separación de la capa límite. Página 58 de 200 Para un fluido ideal (sin rozamiento) en la mitad anterior del cilindro (entre A y B) existe un aumento de la velocidad (por tener que juntarse las líneas de corriente para sortear al sólido), mientras que en la mitad posterior (entre B y P) existe una disminución de velocidad; la velocidad es máxima en B y esnula en A y en P.Como elfluidoes ideal,esincompresible y no presenta rozamiento. Si el cilindro es de pequeño diámetro (de modo que se pueda despreciar la variación de energía potencial) la suma de energía cinética y de presión debe permanecer constante (ecuación de Bernouilli) sobre todos los puntos de la superficie. Como la energía cinética es máxima en B y nula en A y en P, la presión deberá disminuir desde A hasta B, y aumentar luego desde B hasta P, siendo la presión máxima e igual en los puntos A y P. Si la presión es la misma en A y en P, y no hay rozamiento sobre la esfera, la fuerza neta que actúa sobre el cilindro será nula. Para un fluido real(con rozamiento) la situación cambia bastante. Alprincipio, mientras la capa límite es aún muy delgada, se produce un flujo casi sin rozamiento. Como se ha comentado antes, para los elementos de la corriente externa, hay conversión de energía de presión en energía cinética desdeAhastaB, yesaenergíacinéticavuelveatransformarseenpresióndesdeBhastaP. Los elementos que marchan por la capa límite se encuentran sometidos al mismo campo de presiones que reina en la corriente libre, ya que ese campo de presiones se imprime en la capa límite. Pero, debido al rozamiento, los elementos próximos a la pared pierden tanta energía mecánica entre A y B que ya no les queda bastante para escalar la cuesta de presión que hay entre B y P. Estos elementos no pueden penetrar muy profundamente enla región de presión creciente que secrea en la parteposterior del cilindro, por lo que se detienen, son arrastrados hacia atrás por la distribución de presiones existente en la corriente externa y se separan de la superficie del sólido. En la Figura 4 se representa un esquema de la separación de la capa límite sobre un cilindro y el campo de presiones que se origina sobre su superficie. En el caso del cilindro, la inversión del flujo enlazonainterior delacapalímitemotivaunaumentodesuespesor yoriginalaformaciónde remolinos.La capa límite aumenta de tamaño hasta que se separa delcuerpo y se desplaza con la corriente. Todo ello motiva un cambio completo del campo de flujo en la estela del cuerpo, sufriendo la distribución de presiones una variación radical respecto a la del fluido ideal. Enlaregióndeseparacióndelacapalímitecreadadetrásdel cilindroseproduceuna apreciable depresión, como puede apreciarse en las curvas de distribución de la presión real que se dan en la Figura 4, lo cual motiva un empuje o arrastre sobre el cuerpo, cosa que no sucedía si el fluido era ideal. Estos efectos explican la aparición de esta resistencia adicional al flujo (además del rozamiento) debida a efectos de presión que se conoce con el nombre de rozamiento o resistencia de forma. A bajas velocidades puede predominar la resistencia de fricción, pero a medida que la velocidad aumente y se produzca el despegue de la capa límite, la resistencia de forma pasa a ser una fracción progresivamente más grande de la resistencia total. Si aumenta mucho la velocidad, la capa límite se hace turbulenta antes de que se produzca la separación, con lo que, al ser mucho mayor la velocidad de Página 59 de 200 transporte de cantidad de movimiento, es menos probable que ocurra la separación; ya que el fluido que se mueve rápidamente en la región exterior a la capa límite es capaz de arrastrar al fluido de la capa límite hacia adelante. En este caso, la separación tiene lugar más cerca de P, y los remolinos que se forman son menores, con lo que se reduce la resistencia de forma. Con las denominadasformas aerodinámicas se procura que elperfilde presiones realse ajuste lo más posible al teórico para fluidos ideales, con lo que se evita la separación de la capa límite, y con ello el rozamiento de forma, de modo que la resistencia total es sólo la debida a la fricción y, por lo tanto, relativamente pequeña. El punto de separación de la capa límite viene dado por el hecho de que en ese momento el gradiente de velocidad normal a la pared se anula, es decir: ∂ v / ∂ r = O. ENSANCHAMIENTOS Y ESTANCAMIENTOS. El mismo proceso de separación de la capa límite tiene lugar en conducciones que sufran un ensanchamiento, ya que al aumentar el diámetro disminuye la velocidad, y por 1o tanto se produce un aumentodelapresiónenladireccióndecirculacióndel fluido. Si el ensanchamientoessuave, el aumento depresióndebidoal ensanchamientose compensacon lapérdidade presión quesufre el fluido al circular, y éste se adapta perfectamente a las paredes de la conducción, como en el caso de un fluido perfecto. En cambio, si el ensanchamiento es brusco, la presión crece también bruscamente, y la capa límite se desprende al entrar en el ensanchamiento con formación de remolinos. Todo esto puede verse en la Figura 5. A partir de lo que se ha expuesto, debe haber quedado claro que el gradiente de presión a lo largo de la superficie del sólido, combinado con el rozamiento en el mismo sentido, es decisivo para que se produzca separación de la capa límite. Una prueba experimentalde ello se puede observar en el experimento que se representa en la Figura 6. Página 60 de 200 En el esquema de la izquierda se muestra el flujo contra una pared perpendicular a la dirección del fluido (corriente de estancamiento). En el eje de simetría de la corriente, que pasa por el punto de detenciónhay unfuerteaumentodelapresiónenel sentidodelacorriente, peroallí nocabe desprendimiento de la capa límite puesto que no hay pared. Tampoco puede haber desprendimiento en la pared perpendicular a la corriente, pues en ambos sentidos de la pared la capa límite fluye hacia presiones más bajas. Sin embargo, si situamos en el eje de simetría de la corriente una lámina delgada, (como se observaaladerecha)seproduciránenellaunpardecapaslímite, conpresionescrecientesenel sentido del flujo. Por lo tanto, esas capas límite se desprenderán de la lámina por una y otra cara. MÉTODOS PARA EVITAR LA SEPARACIÓN DE LA CAPA LÍMITE. Laseparacióndelacapalímiteesunfenómenoperjudicial, yaquesiempreentrañauna considerabledisipacióndeenergíamecánica. Porello, siemprequeseaposiblesedebeevitar. Un método práctico para hacerlo es el de la succión: consiste en absorber el fluido de la capa límite hacia la pared, a través de una estrecha hendidura situada en la pared posterior del cilindro, con lo que se evita casi toda la separación. Capa límite de concentración. Así mismo, al circular un fluido con varios componentes sobre una superficie sólida en la que la concentración de uno de ellos, Aj, sea distinta de la correspondiente al seno del fluido, se formará una capa límite de concentración, que será la región del fluido afectada en su concentración del componente Aj por la presencia de la superficie. En la Figura 7 se ha representado esta capa límite junto con la capa limite termica, la cual, aunque influida por las otras dos, no tiene por qué coincidir con ellas. Su espesor, δe, que crece con la distancia al borde frontal, será la distancia de la placa en la que la influencia de ésta es del 1 % de la ejercida sobre la superficie de la misma, es decir: Página 61 de 200 Cj = Cj∞ - 0.01 (Cj∞ - Cjo)en y= δc. Fig. 7 Capas Limites de velocidad, térmica y de concentración. ESTUDIO CUANTITATIVO DE LA CAPA LÍMITE. Lasecuacionesdeconservaciónycambioplanteadas(continuidad, movimiento, energía caloríficaydifusión de un componente),junto con lasecuacionesde estado ylasque expresan las propiedades de transporte en función de la temperatura, de la presión y de la composición, permiten la so1ución exacta o aproximada de los problemas de transporte. Estas ecuaciones pueden simplificarse en algunos casos, bien porque alguno de los términos resulten físicamente despreciables, bien porque sea aceptable en el tratamiento considerar constantes algunas de las propiedades físicas del problema (µ,k, Dj,Cp,ρ, c), aunque luegodeban extrapolarse adecuadamente losresultados a sistemas con propiedades físicas variables. Analizaremos el caso de la transferencia de cantidad de movimiento y por analogías con masa y calor, se plantearan las ecuaciones para la transferencia de estas otras dos formas de transporte. Página 62 de 200 CAPA LIMITE DE VELOCIDAD. Capa limite laminar llega hasta que V=0.99Vc a μ y ρ constante: 0 ' ' ' ' · ∂ ∂ + ∂ ∂ y V x V y x ------------- (1) , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 ' ' 2 2 ' ' 2 ' ´' ' ' ' ' ' ' 2 ' ' 2 2 ' ' 2 ' ´' ' ' ' ' ' y V x V y y V V x V V y V x V x y V V x V V y y y y y x x x x y x x µ ρ ρ µ ρ ρ ---------- (2) Estas ecuaciones fueron extraídas de las tablas de balances y corresponde la ecuación B6. Teoría de Prandtl sobre la capa límite. Prandtl, consideró que los efectos de rozamiento debidos a la viscosidad tenían importancia exclusivamente en las proximidades de la superficie sólida, y que podían despreciarse fuera de ésta. Analizó el orden de magnitud de los distintos términos de estas ecuaciones, y estableció una serie de hipótesis que permitieron simplificar considerablemente las ecuaciones (1) s (3) que se han planteado anteriormente. La primera hipótesis de Prandtl establece que el espesor de la capa límite de velocidad, δ, es siempre muy pequeño respecto a la distancia x al punto de su iniciación. Extendiendo esta hipótesis a los espesores de las capas límite térmica y de concentración se tendrá: δ 0 Estaecuación sepuedeescribirdela formaen quesusoluciónesel productodos funciones una dependiente del tiempo y otra dependiente de la posición.Las derivadas parciales serán entonces: y Sustituyendo en la ecuación adimensionalizada se produce: Separando variables obtenemos: (27.13) Ellado izquierdo de esta ecuación sólo depende deltiempo t y ellado derecho sólo dependedelaposiciónz. Si t varía, el ladoderechodelaecuaciónpermanece constante, y si z varía, el lado izquierdo permanece constante. De acuerdo con, ambos lados deben ser independientes de z y t y deben ser igual a una constante arbitraria, -λ 2 . Esto produce dos ecuaciones diferenciales ordinarias separadas, una para el tiempo t y una para la posición z cuyas soluciones son Página 108 de 200 Y respectivamente. Sustituyendo obtenemos (27.14) Cuyas condiciones iniciales y de frontera produce: Y= 0 en z = 0  ' 1 C= 0 Y= 0 en z = L  sin(λL) = 0 Porque ' 2 Cno puede ser 0, porque nos daría toda la ecuación 0 y una solución trivial. sin(λL) = 0 si ... 3 , 2 , 1 · · n para L nπ λ Para tener ' 2 Caplicáramos propiedades ortogonales obteniendo como solución: (27.15) donde L ese grosor de la hoja, y XD es la proporción de tiempo relativa, dado por con x1 siendo la longitud característica de L/2.Si la hoja tiene una concentración inicial uniforme a lo largo de z, la solución final es: (27.16) El flux en cualquier posición z es para el perfil de concentración dado, el flux en cualquier posición z y tiempo t es: Página 109 de 200 (27.17) En el centro de la tabla (z = L/2), NAes igual a 0. Matemáticamente es igual poner a cero porque el término del coseno en la ecuación del flux desaparece a los intervalos de π/2; físicamente es igual poner a cero porque el flujo neto es igual a cero en el línea centraldesimetría.Por consiguiente,lasiguiente condiciónlímite a z =L/2 también sostiene: La ecuación de flux también puede usarse para la situación física dónde una tabla de corresponder a un espesor de x, tiene una barrera impermeable al límite z = x. Ejemplo ilustrativo 2, Dopaje de átomos de fósforo Los métodos para poner los átomos de fósforo en la superficie de la lámina de silicio incluye deposición de vapor química e implantación delion. En un proceso típico, el oxiclorurofosforoso, POCl3quetieneunpuntodeebulliciónnormal de105.3°Cse vaporiza. Los vaporesdePOCl3sealimentanenunreactorde deposiciónde vapor química (CVD) a la temperatura elevada y la presión del sistema reducida (por ejemplo, 0.1 atm), dónde POCl3 descompone en la superficie de silicio según la reacción Si(s) + 2 POCl3 (g)  SiO2 (s) + 3Cl2 + 2P(s) UnrecubrimientoSiO2ricoenmoléculasdefosforoso(P) seformaencimadela superficiedel siliciocristalino. El fosforosomolecular sedifundeatravésdel silicio cristalino para formar una película delgada de Si-P. Así que la capa es la fuente para el traslado de masa de fosforoso, y la lámina de silicio es elmedio para eltraslado de masa de fosforoso. Página 110 de 200 Figura 27.2 Dopaje fosforito de una lámina de silicio El proceso para hacer las películas delgadas al Si-P puede ser bastante complejo con muchas especies difundiendo y reaccionando simultáneamente. Pero considerando un casosimplificadodondelaconcentracióndel átomoPestáconstanteenlainterfaz. Desde el coeficiente de difusión de átomos del P en el silicio cristalino es muy bajo, y sólo una película delgada de Si-P se desea, los átomos fosforosos no penetran muy lejos en el silicio. Por consiguiente, los átomos fosforosos no pueden ver a través del espesor entero de la lamina, y el Sise considera un medio semi-infinito. Considere el dopaje fosfórico de silicio cristalino a los 1100°C, una temperatura bastante alta para promover la difusión fosforosa. La concentración de la superficie de fosforoso (CAs) en el silicio es 2.5 x 10 20 átomos P/cm 3 Si sólido, que es relativamente diluido, mientras que el silicio sólido puro es 5 X 10 22 átomos de Si/cm 3 sólido. Además, la capa rica en fósforo es considerada como una relativa fuente infinita a la cantidad de átomos del P transferida, entonces CAs es constante. Prediga la profundidad del Si-P la película delgada después de 1 hora, si la concentración designada es 1% del valor de la superficie (2.5 x 10 13 átomos P/cm 3 Si sólido), y el perfil de concentración de átomos del P después de una hora. Usando la ecuación para estado no estacionario: (27.1) Para el medio semi-infinito, las condiciones inicial y limite con: t = 0, CA(z,0) = CAo = 0, para toda z z = 0, CA(0,t) = CAs = 2.5 x 10 20 átomos P/cm 3 de Si sólido, para t > 0 z = ∞, CA(∞,t) = CAo = 0, para todo t La solución analítica de esta ecuación tomando es coeficiente de difusión DAB constante es: El valor para el erf(φ) es calculado del cambio adimensional de concentración Página 111 de 200 De la Tabla del Apéndice L, el argumento de la función del error en erf (φ) = 0.990 es φ =1.82. DeFigura24.6, el coeficientededifusiónensólidodeátomosdel P(las especiesA)enel silicio cristalino(lasespeciesB) es6.5x10 -3 cm 2 /s alas1100°C (1373 K). La profundidad entonces esta dada por: La predicción del perfil de la concentración después de 1 hora requiere el cálculo deφ a los valores diferentes de z, seguido del cálculo de erf (φ) y finalmente, CA(z,t). El cálculo repetitivo de erf(φ) se lleva a cabo de una manera mejor con la ayuda de un paquete de software de matemáticas como Mathcad. El perfil de la concentración fosforoso predicho se compara con los datos de Errana y Kakati * obtuvo bajo las condiciones del procesosimilares, comomostradoenFigura27.3. seconocequeel coeficientede difusión molecular de fosforoso en elsilicio cristalino es función de concentración de fósforo. El coeficiente de difusión en función de la concentración crea un bosquejo del perfil de la concentración de fósforo observado. Modelo detallado de este fenómeno se proporciona por Middleman y Hochberg. Ejemplo ilustrativo 3 Una manera de entregar una dosificación cronometrada de una droga dentro del cuerpo humanoesingerirunacápsulaypermitirleestablecerenel sistemagastrointestinal. Una vez dentro del cuerpo, la cápsula suelta la droga despacio por un proceso difusión limitado. Unportador dedrogaconvenienteesunacápsulaesféricadeunmaterial Página 112 de 200 gelatinoso no toxico que puede atravesar el sistema gastrointestinal sin desintegrarse. Una droga soluble en agua (elsoluto A) se disuelve uniformemente dentro delgel, y tiene una concentración inicial CAo. La droga cargada dentro de la cápsula es la fuente parael trasladodemasa, considerandoqueel fluidoalrededordelacápsulaesel medio para el traslado de masa. Éste es un proceso delestado no estacionario, y la fuente para eltraslado de masa se contiene dentro delpropio volumen de control de difusión. Considérese un caso limitando donde la resistencia para el traslado por la película de masa de la droga a través de la capa dellímite líquida que rodea la superficie de la cápsula elvolumen delfluido circundante es despreciable. Además, asúmase que la droga se consume inmediatamente o desaparece una vez que alcanza la solución del volumenparaqueenescenciael fluidocircundanteseaunmedioinfinito. Eneste particular casolimitado, CAsesigual acero, paraqueenuntiempoprolongadola cantidad entera de droga inicialmente cargado en la cápsula se vaciará. Si la simetría radial essupuesta, entoncesel perfil delaconcentraciónessólounafuncióndela dirección r (Figura 27.4). Figura 27.4 Descargo de droga de una cápsula de gel esférica. Se deseaba diseñar una cápsula esférica para el descargo cronometrado del dimenhidrinato de droga, normalmente llamada Dramamina que se usa para tratar la enfermedad del movimiento. Una dosificación total conservadora para una cápsula es 10 mg donde deben soltarse 50% de la droga al cuerpo dentro de tres horas. Determine el tamaño de la cápsula y la concentración inicial de Dramamina en la cápsula necesarioparalograrestadosificación. El coeficientededifusióndeDramamina(la especie A) en la matriz de gel (la especie B) es 3 X 10 -7 cm 2 /s a una temperatura del cuerpode37°C. El límitedesolubilidaddeDramaminaenel gel es100mg/cm 3 , considerando que la solubilidad de Dramamina en el agua es sólo 3 mg/cm 3 . El modelo debe predecir la cantidad de droga soltada contra el tiempo, diámetro de la cápsula, la concentración inicialde la droga dentro de la cápsula, y elcoeficiente de difusión de la droga dentro de la matriz de gel. La ecuación diferencial general para el Página 113 de 200 trasladodemasasereducealasiguienteecuacióndiferencial parcial del perfil de concentración para el caso unidimensional y estado no estacionario CA (r, t): (27.18) Las supopsiciones importantes incluyen la simetría radial, la solución diluida de la droga disuelta en la matriz de gel, y ninguna degradación de la droga dentro de la cápsula (RA = 0). Las condiciones límite al centro (r = 0) y en la superficie (r = R) de la cápsula son Al centro de la cuenta, nosotros notamos la condición de simetría dónde el flujo N,(0, t) es igual poner a cero. La condición inicial es La solución analítica para el inseguro-estado concentración perfil cA (r, t) se obtiene por laseparacióndetécnicadelasvariablesdescritaantes. Losdetallesdelasolución analítica en las coordenadas esféricas son proporcionados por el Cigüeñal. El resultado es: (27.19) Al centro de la cuenta esférica (r = 0), la concentración es (27.20) Unavezlasoluciónanalíticaparaelperfildelaconcentraciónesconocida,pueden realizarse cálculos de diseñar el interés, incluso la proporción de descargo de droga y la cantidad cumulativa de descargo de droga con el tiempo. La proporción de descargo de droga, WA, está el producto del flujo en la superficie de la cuenta (r = R) y el área de la superficie de la cuenta esférica (27.21) No es tan difícil de diferenciar el perfil de la concentración, el cA(r, el t), con respecto a la coordenada radial r, r fijo = R, y entonces inserta atrás en la expresión sobre para WA(t) para obtener finalmente Página 114 de 200 (27.22) La ecuación sobre muestras que la proporción de descargo de droga disminuirá como los aumentos de tiempo hasta toda la droga inicialmente cargado en la cuenta se vacía aquepuntoqueWAiráaponer acero. Inicialmente, ladrogaestáuniformemente cargada en la cuenta. La cantidad inicial de droga cargada en la cuenta es el producto de la concentración inicial y el volumen de la cuenta esférica La cantidad cumulativa de descargo de droga de la cuenta es con el tiempo con el tiempo el integral de la proporción de descargo de droga Después de algún esfuerzo, el resultado está (27.23) La solución analítica se expresa como una suma de la serie infinita que converge como "n" va a la infinidad. En la práctica, la convergencia a un solo valor numérico puede lograrse llevando a cabo la suma de la serie a sólo unas condiciones, sobre todo si el parámetro adimensional NABt/R 2 del es relativamente grande. Una solución de la hoja de cálculo representativa se proporciona en la Tabla 27.1. la Note que en la Tabla 27.1 las condiciones dentro de la suma de la serie rápidamente decaen para poner a cero después de unos pocos terminos. Tabla 27.1 Soluciones a la ecuación 27.23 Página 115 de 200 El descargo de droga cumulativo contra el perfil de tiempo se muestra en Figura 27.5. El perfil del droga-descargo es afectado por el parámetro del adimensional NABt/R 2 . Si el coeficiente de difusión es fijo para una droga dada y se gelifica la matriz, entonces el parámetro del plan de ingeniería crítico que nosotros podemos manipular es el radio de la cuenta R. Como R aumenta, la proporción de descargo de droga disminuye, sise deseaba soltar 50% de Dramamina de una cuenta de gel dentro de tres horas, un radio delacuentade0.326centímetro(3.26mm)serequiere, comomostradoenFigura 27.5. Unavezel radiodelacuentaResespecificado, laconcentracióninicial de Dramamina requerida en la cuenta puede echarse atrás En resumen, una cuenta del 6.52 mm de diámetro con la concentración inicial de 68.9 mg/cm 3 dosificará fuera los5 mg requeridos de Dramamina dentrode tres horas.El perfil delaconcentraciónalolargodeladirecciónr alos puntosdiferentes se proporciona a tiempo en Figura 27.6. El perfil de la concentración era calculado por la hoja de cálculo similar al formato dado en la Tabla 27.1. Las disminuciones de perfil de concentracióncomolosaumentosdetiempoyentoncesallanafueraponer acero después de que la droga es completamente liberada de la cuenta. APÉNDICE L LA FUNCIÓN DE ERROR* φ erf φ φ erf φ 0 0.0 0.85 0.7707 0.025 0.0282 0.90 0.7970 0.05 0.0564 0.95 0.8209 0.10 0.1125 1.0 0.8427 0.15 0.1680 1.1 0.8802 0.20 0.2227 1.2 0.9103 0.25 0.2763 1.3 0.9340 0.30 0.3286 1.4 0.9523 0.35 0.3794 1.5 0.9661 0.40 0.4284 1.6 0.9763 0.45 0.4755 1.7 0.9838 0.50 0.5205 1.8 0.9891 0.55 0.5633 1.9 0.9928 0.60 0.6039 2.0 0.9953 0.65 0.6420 2.2 0.9981 0.70 0.6778 2.4 0.9993 0.75 0.7112 2.6 0.9998 0.80 0.7421 2.8 0.9999 Página 116 de 200 4.- GRAFICAS CONCENTRACIÓN-TIEMPO PARA FIGURAS SIMPLES Para la solución analítica el cambio que no se ha realizado (Y) es función del tiempo relativo (XD) esta relación se en encuentra en graficaspuestas en el apéndice F. Lasgraficasde“Gurney- Lurie” presentasolucionesparalaplacaplana, esferay cilindro largo. Estasgraficapuedenutilizarsepararesolver problemasdeconduccióndecalor y difusión molecular. Los términos que definen estas graficas son: 0 A AS A AS C C C C n ncentracio cambiodeco Y − − · · 2 1 X t D X AB D · 1 X X lativa posicionre n · · 1 X K D arealativa resistenci m C AB · · X1es la distancia desde el punto medio a la posición de interés m es la relación entre la resistencia a la transferencia de masa por convección a la resistencia molecular interna y la transferencia de calor. Las graficas pueden usarse para evaluar los perfiles de concentración para casos en que hay transferencia molecular de masa que entra o que sale de los cuerpos de las formas especificadas, si se satisface: a) se supone la segunda ley de fick; sin movimiento de fluido, v = 0 , sin producción, RA =0y difusividad de masa constante. b) El cuerpo tiene una concentración inicial uniforme, CA0, c) El cuerpo limite se sujeta a una nueva condición que permanece constante con el tiempo. Para el transporte desde una sola cara, se considera que el grueso es del doble del valor real. Estas graficas se pueden combinarse para obtener soluciones para transferencia bidimensional y tridimensional. Para estos casos Yase evalúa enX1 =a, Yben X1= b Página 117 de 200 b a Y Y Y · (27.24) Resumen de soluciones combinadas. 1. para una barra rectangular con extremos sellados. b a barra Y Y Y · (27.25) 2. para un paralepipedo rectangular c b a do paralepipe Y Y Y Y · (27.26) 3. para un cilindro cilindro a Y Y Y · (27.27) PROBLEMAS DE EJEMPLO Problema 27.8 Página 118 de 200 Referente al problema 6, la “unión profunda” es un parámetro crítico establecido por las propiedades de conducción de películas de silicón. Para un semiconductor particular, la unión profunda es establecida cuando la concentración de arsénico en el silicón llega a 2x10 17 átomos/cm 3 . a) Grafique la unión profunda con el tiempo durante las primeras 6 horas b) Ahora grafique unión profunda contra t 1/2 ¿Porqué la gráfica es linear? Figura P1.Difusión de AsH en películas de silicon Solución: Se tienen los siguientes datos:z=2mm DAs-Si= 5x1 0 -13 t=1hr Con estos datos podemos usar la siguiente fórmulaF=z/2(DAs-Si t) 1/2 Para obtenerF=2.3570 Con dicho valor, podemos calcular los valoresde la distancia avanzada por el arsénico (z), paralassiguientestablas, paradiferentesvaloresdel tiempo, yposteriormente graficar z Tabla P1. Distancia z contra tiempo t de difusión de arsénico en silicon. Página 119 de 200 z(micras) t (hr) 2 1 2.828 2 3.464 3 4 4 4.472 5 4.899 6 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 t (horas) z ( m i c r a s ) distancia que recorre el arsénico en el intervalo de tiempo dado Gráfica P1. Distancia z contra tiempo t de difusión de arsénico en silicon. Tabla P2. Distancia z contra tiempo t 1/2 de difusión de arsénico en silicon. z t 1/2 2 1 2.828 1.414 3.464 1.732 4 2 4.472 2.236 4.899 2.449 Página 120 de 200 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 t1/2 z distancia recorrida por el arsenico conra raíz cuadrada del tiempo Gráfica P2. Distancia z contra tiempo t 1/2 de difusión de arsénico en silicon. A pesar de ser muy similares las gráficas, al observar los valores de la segundase ve que a cada valor de t 1/2 elvalor de z es eldoble mientras que en los valores de la primera gráfica no existe relación alguna, por lo tanto la segunda grafica es lineal, dicho comportamientoindicaqueambasaumentandemaneraproporcional, esdecir, al aumentar el tiempo aumenta distancia recorrida por el arsénico y por lo tanto aumenta la cantidad de arsénico en la placa; la segunda gráfica es elmodelo de difusión del arsénico, la difusión del arsénico se da de manera constante y creciente a través del tiempo; este comportamiento no se observa de igual manera que en la primera gráfica. Página 121 de 200 Problema 27.10 El aluminio es el principal material conductor para la fabricación de dispositivos microelectrónicas. Considere el compuesto,película delgada mostrada en la figurade abajo. Una película delgada de aluminio sólido es rociada hacia la superficie de una capa. Entonces una 0.5 micra película delgada de silicio se agrega en la parte superior de la película de aluminio por deposición química de vapor de silano. Esta capa delgada de silicio sirve como aislante eléctrico. Sin embargo si se mantiene una alta temperatura duranteelprocesoel aluminiopuededifundirdentrode lacapadelgadadesilicioy cambiar las características del dispositivo micro eléctrico. Estimar la concentración de Al a medio camino dentro del Si, si la temperatura se mantiene a 1250 K por 10 horas. Cuidadosamente considere si el proceso representa una difusión en un medio semiinfinito o un medio dimensional finito. A 1250 K, la máxima solubilidad de Al en Si es cerca de 1 por ciento en peso. Datos de difusividad son proporcionas en la figura 24.6 Solución: El problema se considera como difusión transitoria en medio semiinfinito con una concentración fija en la superficie, por lo cual el procedimiento para resolver es el siguiente: La Ecuación diferencial para ser resuelta es 2 2 z C D t C A AB A δ δ δ δ · y las condiciones iniciales y en la frontera son : C A = C Ao a t = 0,para todo z C A = C As a z = 0,para toda t C A = C Ao a z→∞, para todo t El cambio de concentración adimensional con respecto a la concentración inicial de especies A, c A0 , como , _ ¸ ¸ − · − − t D z erf C C C C AB Ao s A o A A 2 1 , La ecuación que resulta para la resolción del problema es: , _ ¸ ¸ − · − − t D z erf C C C C AB Ao s A o A A 2 1 , de donde: Página 122 de 200 , _ ¸ ¸ − − · − − t D z erf w w w w C C C C AB Ao s A A s A Ao s A A s A 2 , , , , Para encontrar datos necesarios en el problema, recurrimos a la figura 24-6, de donde se obtuvo la difusión de A en B para 1250 K, la cual es de 2 x 10 -13 cm 2 / s, y z = 0.25 micras. Sustituyendo datos del problema en la ecuación: W A = ? W AS = 0.01, puesto que el problema dice que la máxima solubilidad de aluminio en el silano es cerca de 1 % en peso. z = 2.5 micras D AB = 2 x 10 -13 , dato calculado, a partir de la figura 24-6. 0.01 – W A / 0.01- 0 =erf( 2.5 x 10 -7 cm ) / 2 √(36000 seg) (2 x 10 -13 ) 0.01 – W A = erf (1.47 x 10 -3 ) (0.01) Para encontrar el valor de erf (1.47 x 10 -3 ), recurrimos al apéndice L, donde el valor es de: 1.62 x 10 -3 entonces: w A = 0.01-1.62 X 10 -3 (0.01) wA= 9.98 x 10 -3 Página 123 de 200 Problema 27.17 La superficie de acero con un nivel del carbono inicial de 0.1 wt% se carbura. El acero se calienta a 1173 ºK en un horno. En el tiempo t = 0, el acero se expone a una mezcla de gas que contiene CO2y CO que están en la superficie delacero en un niveldel carbono constante de 2 wt% a lo largo del proceso de la carburización. ¿Cuánto tiempo debe elevar el contenido de carbono del acero a un valor de 1 wt% a una profundidad de 1 mm? A 1173 ºK, la difusividad del carbono en el acero es 1 x 10 -12 m 2 /s. , _ ¸ ¸ · − − · − − t D z erf w w w w c c c c AB Ao As A As Ao As A As 2 5263 . 0 2 001 . 0 02 . 0 01 . 0 02 . 0 · , _ ¸ ¸ · − − t D z erf AB Del apéndice L Para erf φ = 0.5263 ; φerf φ 0.50 – 0.5205 X –0.5263 0.55 –0.5633 φ =0.5068 s m x s m x z D t t D z AB AB 973345 ) 5068 . 0 ( 2 10 1 10 1 1 2 1 2 2 3 2 12 2 · , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ · ∴ · − − φ φ t = 270.37 horas Página 124 de 200 Problema 27.18 Un camión grande vierte y derrama un herbicida encima de un campo. Si el líquido se derramaencimadelatierraconaguasaturadadurante2000segundosantesde evaporarseenel aire, determinelaprofundidadalaquelaplantaylosinsectos probablementeserándestruidos, asumiendoqueunaconcentraciónde0.15wt% destruirá la mayor parte de vida. La difusividad eficaz del herbicida en la tierra con agua saturada es 1 x 10 -8 m 2 /s. , _ ¸ ¸ · − − · − − t D z erf w w w w c c c c AB Ao As A As Ao As A As 2 9985 . 0 2 0 1 0015 . 0 1 · , _ ¸ ¸ · − − t D z erf AB Del apéndice L Para erf φ = 0.5263 ; Página 125 de 200 φerf φ 2.2 – 0.9981 X –0.9985 2.4 –0.9993 φ =2.267 m t D z t D z AB AB 0238 . 0 2 2 · · ∴ · φ φ z = 2.4 cm Página 126 de 200 Problema 27.20 Un procedimiento común para aumentar el grado de humedad del aire es rebosarlo a través de una columna de agua. Se asume que las burbujas aéreas son esferas que tienen un radio de 1 mm, y está en el equilibrio termal con el agua a 298 K. Determine cuánto tiempo la burbuja debe permanecer en el agua para lograr una concentración de vaporal centroquees90%delamáximaconcentraciónposible(ladesaturación). Asuma que el aire está seco cuando entra en la columna de agua, y que el aire dentro de la burbuja pequeña es muy pequeño. La presión de vapor de agua está disponible de muchas fuentes, incluso las tablas de vapor. DAB = 0.260 cm 2 /s 032 . 0 1 0321 . 0 · · ° · atm atm P P y 366 . 1 ' · As w0 ' · Ao w 1 11 . 0 1 . 0 1 1 . 0 ' · − · A w 9187 . 0 0 366 . 1 111 . 0 366 . 1 ' ' ' ' · − − · − − · Ao As A As w w w w Y De la figura F.3 (para esfera) m = 0, n = 0 para una Y =0.9187 XD = 0.61 s s cm cm D X R t R t D X AB D AB D 023 . 0 260 . 0 ) 61 . 0 ( ) 1 . 0 ( 2 2 2 2 · · · ∴ · T=0.023 s Página 127 de 200 Problema 27.21 Un aglomerado del carbón de leña, aproximadamente esférico en la forma, con un radio de 2.54 centímetros, tiene un grado de humedad inicial de 350 kg/m 3 . Se pone en un secador aéreo forzado. El grado de humedad del aire dentro del secador mantiene una concentración de humedad de superficie de 12 kg/m 3 . Si la difusividad de agua en la matrizdel carbóndeleñaes1.3x10 -6 m 2 /s ylaresistenciadelasuperficiees despreciable, estime el tiemporequeridoparasecarelcentrodel aglomeradoauna concentración de humedad de 50 kg/m 3 . Nota: Para los problemas secantes, el término de la concentración CAdebe reemplazarse conel término de laproporción masa wA dado por la ecuación (27-4). 2 ' 2 ' z w D t w A AB A ∂ ∂ · ∂ ∂ 3 830 m kg · ρ 01467 . 0 12 830 12 ' · − · As w 72917 . 0 350 830 350 ' · − · Ao w 0641 . 0 50 830 50 ' · − · A w 0692 . 0 72917 . 0 01467 . 0 0641 . 0 01467 . 0 ' ' ' ' · − − · − − · Ao As A As w w w w Y m= 0 n=0XD = 0.375 s s m x m x D X R t R t D X AB D AB D 15 . 173 10 3 . 1 ) 375 . 0 ( ) 10 54 . 2 ( 2 6 2 2 2 2 · · · ∴ · − − t =173.15 seg = 2.886 min = 2 min y 53.15 seg Página 128 de 200 Problema 27.22 Un polo de roble que tiene un grado de humedad uniforme inicial de 45 wt%, se pone en un horno secante donde su humedad de la superficie se mantiene a 15 wt%. Bajo las condiciones secantes especificadas, el secado era controlado por la difusión interior de agua líquida a la superficie. ¿Si el grado de humedad máximo del rodillo seco está fijoen 25 wt%, en cuántotiempodebe el polo de10 cm de diámetro por 45cmde longitud secarse cuando se sellan los límites del polo con una barrera de vapor? ¿En comparación, encuántotiempoel mismocilindrodebesecarsesi lasuperficiedel cilindro se sella con una barrera de vapor y los límites son expuestos? Usted puede asumir para los propósitos de este problema que madera es un material del isotrópico. La difusividad de humedad a través delroble es 1.04 x 10 -5 cm 2 /s a las condiciones secantes especificadas. Nota: Para los problemas secantes, el término de la concentración CA debe reemplazarse con el término de la proporción masa wA dado por la ecuación (27-4). 2 ' 2 ' z w D t w A AB A ∂ ∂ · ∂ ∂ 1765 . 0 15 . 0 1 15 . 0 ' · − · As w 8181 . 0 45 . 0 1 45 . 0 ' · − · Ao w 3333 . 0 25 . 0 1 25 . 0 ' · − · A w 2444 . 0 8181 . 0 1765 . 0 3333 . 0 1765 . 0 ' ' ' ' · − − · − − · Ao As A As w w w w Y 27.23 Repita el problema 27.22 para un polo rectangular 10 cm x 10 cm de anchura y 45 cm de longitud. Si sale por ambas caras descubiertas de 10 x 10 cm 2 x1 = 22.5 cm Si sale por ambas caras descubiertas de 10 x 45 cm 2 x1 =5 cm Caso para m = 0, n = 0 XD = 0.7 s s cm x cm D X x t x t D X AB D AB D 25312500 10 4 . 1 ) 7 . 0 ( ) 5 . 22 ( 2 5 2 2 1 2 1 · · · ∴ · − t = 292.96 días = 9.76 meses = 0.8026 años Página 129 de 200 Conclusiones Setrataronproblemasquesehantratadoanteriormente, peroenéstecaso, para estado no estacionario, es decir, con un gradiente de concentración que cambia constantemente, y de esta manera, nos acercamos a la solución de problemas reales. Se definió la ecuación de la segunda ley de fick para estado no estacionario, y además, se estableció una analogía entre la difusión molecular y la conducción del calor, puesto queambasecuacionessonsimilares, perocadaunaconsusrespectivostérminos sabemos que la propagación tanto de masa como de calor, se realizan de igual manera. En elcaso delafunción erroresuna maneraaproximada paracalcularbajo ciertas restriccioneslas concentraciones gracias a variables medibles exteriormente. Para figuras simples la ecuación diferencial que describe estas esta bien representada a través de las graficas de concentración-tiempo por lo que los problemas se resumen a la buena descripción de este, para el caso de secados es necesario cambiar CA por W´ ya que esta característica permanece constante a lo largo deltiempo y esto se logra multiplicando el por el peso molecular y dividiendo entre el peso del sólido seco. Página 130 de 200 TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA La transferencia de masa por convección es la que se realiza entre una superficie límite y un fluido en movimiento o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no miscibles. La ecuación de rapidez correspondiente a la transferencia de masa está expresada: donde: • NA: flujodemasa;sellevaacaboenladirecciónenlaquedisminuyela concentración. • Kc: coeficiente de transferencia convectiva de masa. 28.1 Consideraciones fundamentales acerca de la transferencia convectiva demasa. Cuandolatransferenciademasaincluyeaunsolutoquesedisuelveconrapidez constante desde una superficie sólida y después se difunde a un fluido en movimiento, el coeficiente de transferencia convectiva de masa se define: ( ) , A c A s A N k c c · − (28.1) donde: • NArepresenta los moles de solutode A que abandonan la interfase por unidad de tiempo y por unidad de área interfacial. • cA,s: lacomposicióndel fluidoenequilibrioconel sólidoalatemperaturay presión del sistema. • cA: representa la composición en algún punto dentro de la fase fluída. Cuando se define la capa límitede la concentración, se puede escoger a cA como la concentración de la componente A en el borde de la capa límite y se le puede llamar cA∞ . Si enflujotuvieralugar enunconductocerrado, lacomposición, cA, podríaserla concentración global o concentración de mezcla homogénea. Laconcentracióndemezclahomogéneaeslaconcentraciónquesemediríasi se recogieraysemezclaraperfectamenteel flujoenunplano, estoessetendríauna concentración promedio del flujo global. Página 131 de 200 A c A c k N ∆ · Existen cuatro métodos de evaluación de los coeficientes de transferencia convectiva de masa: 1.- análisis dimensional acoplado con experimentos 2.- análisis exacto de capa límite 3.- análisis aproximado de capa límite 4.- analogía entre la transferencia de momento, energía y masa. 28.2 PARÁMETROS IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA Las difusividades moleculares de los tres fenómenos de transferencia se definen: Difusividad de momento; ρ µ · v Difusividad térmica; p c k ρ α · y Difusividad de masa; AB D Larelaciónde cualesquierade dos de ellas debe ser adimensional. La razón dela difusividad molecular de momento a la difusividad molecular de masa se denomina número de Schmidt: AB AB masa momento D D v Sc d difusivida d difusivida ρ µ · ≡ · (28.2) La razón de la difusividadmolecular del calor a la de la masa, se denominanúmero de Lewis. AB p masa térmica D c k Le d difusivida d difusivida ρ ≡ · (28.3) este número aparece cuando un proceso consta de la transferencia convectiva simultánea de masa y energía, y se puede considerar como una propiedad del sistema en difusión. Consideremos ahora la transferencia de masa delsoluto A desde un sólido hasta un fluido que pasa alrededor de la superficie del sólido, como en la figura. Página 132 de 200 Figura 1. perfiles de la velocidad y la concentración correspondientes a un fluido que circula alrededor de una superficie sólida. Para este caso la transferencia de masa se puede escribir: ( ) ∞ − · , , A s A c A c c k N (28.4) comola transferenciade masa en lasuperficie serealiza por difusión molecular, la podemos escribir: 0 · − · y A AB A dy dc D N cuando la concentración de frontera, CA,s, es constante, se reduce a: 0 , ) ( · − − · y s A A AB A dy c c d D N (28.5) las ecuaciones 4 y 5 se pueden igualar por que definen el mismo flujo de la componente A , de esto obtenemos la relación: ( ) 0 , . , ) ( · ∞ − − · − y s A A AB A s A c dy c c d D c c k y se puede reordenar de la siguientemanera: ( ) ( ) ∞ · − − − · , , 0 . A s A y s A A AB c c c dy c c d D k (28.6) si se multiplican ambos miembros de la ecuación por la longitud L obtenemos: ( ) ( ) L c c dy c c d D L k A s A y s A A AB c / , , 0 . ∞ · − − − · (28.7) Página 133 de 200 el lado derecho de la ecuación, es la relación del gradiente de la concentración en la superficie y un gradiente globalo de referencia de la concentración. Por lo tanto se puede considerar como la relación entre la resistenciaa la transferencia molecular de masa y la resistencia del fluido a la transferencia convectiva de masa. Numero de Nusselt de transferencia de masa, AB c AB D L k Nu · ó Número de Sherwood Ejemplo 1. J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4 th Ed. USA, Pag 584. Solución. A 298K, la difusividad de metanol en aire puede evaluarse con el valor reportado en el apéndice J.1 1 . s m Pa s Pa m D s Pa m P D aire ol Me aire ol Me / ) 10 ( 62 . 1 ) 10 ( 013 . 1 / 641 . 1 ) 2 ( / 641 . 1 * ) 1 ( 2 5 5 2 tan 2 tan − − − · · · Y la viscosidad cinemática de aire del apéndice I. ( ) s m / 10 569 . 1 ) 3 ( 2 5 − · υ Por lo tanto, el número de Schmidt para el metanol en el aire es 968 . 0 / ) 10 ( 62 . 1 / ) 10 ( 569 . 1 ) 4 ( 2 5 2 5 s m s m D Sc AB − − · · υ La difusividad en la fase líquida de metanola 288K es reportada en elapéndice J.2 como 1.28(10) -9 m 2 /s. Ese valor puede ser usado para encontrar la difusividad de la fase líquida a 298K por Página 134 de 200 Determine en número de Schmidt para metanolen aire a 298K y 1.013x10 5 Pa y agua líquida a 298K. ( )( ) s m D K s Pa s m K s Pa D T D T D AB AB O H AB O H AB / ) 10 ( 738 . 1 ) 6 ( 288 * 1193 / ) 10 ( 28 . 1 298 * 909 * ) 5 ( ) 5 ( 2 9 288 2 9 298 288 298 2 2 − − · , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ µ µ El valor de la viscosidad fue obtenido del apéndice I. La viscosidad cinemática del agua líquidaa298Ktambiénfueencontradaenel apéndiceI yes0.912(10) -6 m 2 /s; así el número de Schmidt para el metanol en agua líquida es 25 . 5 / ) 10 ( 738 . 1 / ) 10 ( 912 . 0 ) 7 ( 2 6 2 6 · · · s m s m D Sc ABL υ 28.3. ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA El análisis adimensional predice los parámetros adimensionales que resultan útiles en la correlación de los datos experimentales. TRANSFERENCIA HACIA UNA CORRIENTE QUE FLUYE EN CONDICIONES DE CONVECCIÓN FORZADA. Considerandolatransferenciademasadesdelasparedesdeunconductocircular hacia un fluido que circula a través del conducto . Tabla 1.Variables importantes, sus símbolos y sus representaciones adimensionales. Por medio del método de Buckinghamde agrupamiento de variables, se puede determinar que habré tres grupos adimensionales, tomando DAB, ρ y D como las variables principales, son: Página 135 de 200 c c b a AB k D D ρ π· 1 v D D f e d AB ρ π · 2 µ ρ π i h g AB D D · 3 Si escribimosen forma dimensional, ( ) , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · t L L L M t L c b a 3 2 1 Y se igualan los exponentes de las dimensiones fundamentales de ambos lados de la ecuación se tiene: b M a t c b a L · − − · + + − · 0 : 1 0 : 1 3 2 0 : La solución a estas ecuacioneses: a=-1, b=0, c=1 Así pues:AB c D D k / · π , es el número de Sherwood. Los otros grupos pi se determinan de la misma forma y nos quedan: Sc D D Dv AB AB ≡ · · ρ µ π π 3 2 Queesel númerodeSchmidt. Si sehaceunarelaciónentreestosdosgrupospi, obtenemos el número de Reynolds. El resultado de la transferencia de masaen condiciones de convección forzada en un conducto circular indica que la correlación podría ser de la forma: ( ) Sc f Nu AB Re, · (19.7) TRANSFERENCIA A UNA FASE CUYO MOVIMIENTO SE DEBE A LA CONVECCIÓN NATURAL. Las corrientes de convección natural se crearan si existe cualquier variación en la densidad en una fase líquida o gas. En el caso en que la convección natural incluye la transferencia de masa desde una pared vertical plana hasta un fluido adyacente, las variables son las siguientes. Página 136 de 200 c c b a AB k D D ρ π· 1 tabla 2. variables para el caso de transferencia de masa por convección natural. Por el mismo análisis adimensional, se pueden predecirque habrá tres grupos tomando en cuenta DAB, L y µ como variables principales. c c b a AB k L D µ π· 1 ρ µ π f e d AB L D · 2 a i h g AB g L D ρ µ π ∆ · 3 Si se resuelven los tres grupos nos queda. AB A AB AB AB c D g L Sc D Nu D L k µ ρ π µ ρ π π ∆ · ≡ · ≡ · 3 3 2 1 1 Al multiplicar estas últimos dos grupos, se obtiene un parámetro análogo al número de Grashof AB A A Gr v g L g L ≡ ∆ · ∆ · 2 3 2 3 3 2 ρ ρ µ ρ ρ π π El resultado del análisis dimensional de las transferencias de masa por convección naturalsugiere una interrelación de la forma: ) ( , SC Gr f Nu AB AB · Con este análisis se puede ver queuna correlación puede estar en función de tres variables y no de las seis originales, esto simplifica el trabajo. 28.4. Análisis Exacto de la Capa Límite de Concentración Laminar Página 137 de 200 Blasius Desarrolló una solución exacta para la capa límite hidrodinámica para flujo laminar paralelo a una superficie plana. Esta solución se ampliaráen la sección de Trasferencia de Calorpor convección, así como en a presente sección. En la transferencia de Momento las Ecuaciones de Capa límiteen estado estacionario, incluyendo al ecuación de continuidad incompresible y bidimensional: 0 · ∂ ∂ + ∂ ∂ y x y x υ υ (12-11b) Y la ecuación del movimiento en la dirección x, para valores constantes de ν y de la presión, 2 2 y y x x y y x x ∂ ∂ · ∂ ∂ + ∂ ∂ υ ν υ υ υ υ (12-11a) La ecuación que describe la transferencia de energía en un flujo en estado estacionario, incompresible, bidimensional e isobárico, con difusividad constante fue: 2 2 y T y T x T y x ∂ ∂ · ∂ ∂ + ∂ ∂ α υ υ (19-15b) En analogía con las anteriores, en la transferencia de masa dentro de una capa limité de concentración,singeneración y sila segunda derivadade A c con respectoax, 2 2 x c A ∂ ∂ , es mucho menor en magnitud que la segunda derivada de A c con respeto dey. estaecuaciónrepresentadaparaflujoenestadoestacionariobidimensional e incompresible con difusividad de masa constante, es: 2 2 y c D y c x c A x AB A y A x ∂ ∂ · ∂ ∂ + ∂ ∂ υ υ υ (28-10) La figura muestra la capa límite de concentración. Las Condiciones de frontera para las tres capas límites serán: Página 138 de 200 Momento 0 · ∞ υ υ x a 0 · y y 1 · ∞ υ υ x a ∞ · y Térmica 0 , , · − − ∞ s x s x x υ υ υ υ a 0 · y y 1 , , · − − ∞ s x s x x υ υ υ υ a ∞ · y 0 · − − ∞ s s T T T T a 0 · y y 1 · − − ∞ s s T T T T a ∞ · y Concentración 0 , , , · − − ∞ s A A s A A c c c c a 0 · y y 1 , , , · − − ∞ s A A s A A c c c c a ∞ · y La similitud entre las ecuaciones diferenciales 1), 2) y3) y las condiciones en la frontera sugieren que deben obtenerse soluciones similares para los tres fenómenos de transferencia. Como se mencionó anteriormente, la Ec. De Blasius se aplicó con éxito para explicar la transferencia de calor por conveccióncuando la relación de la difusividad de momento y la difusividad térmica Pr 1 · · α ν . De manera similar, para la transferencia de masa por convección cuando la relación del momento a la difusividad de masa: Sc D · ·1 ν Una vez encontrada la similitud, o analogía como veremos más adelante, la Solución de Blasius para la Capa Límite de Concentración: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 328 . 1 Re 2 / / 2 ) 0 ( 0 , , , , , , · − − · · · ∞ y x s A A s A A x y d c c c c d f d df η(28.13) Puede reordenarse para obtener una expresión para el gradiente de concentración de la superficie: ( ) 1 ] 1 ¸ − · ∞ · 2 1 , , 0 Re 332 . 0 x s A A y A x c c dy dc (28.14) Página 139 de 200 La Ec. Hace importante la suposición de que la rapidez con la que la masa entra o sale de la capa límite en la superficie es tan pequeña que no altera el perfil de velocidades predicho por la solución de Blasius. LaTransferenciadeMasadesdelasuperficieplanahastalacapalímitelaminarse describe como: 0 , · ∂ ∂ − · y A AB y A y c D N (28.15) Al sustituir la ecuación 4.2 en 4.3 y reacomodando el signo: ( ) ∞ − 1 1 ] 1 ¸ · , , . 2 1 Re 332 . 0 a s A x AB y A c c x D N (28.16) El flujo de masa del componente que se difunde se definió en términos del coeficiente de transferencia de masa por : ( ) ∞ − · , , , A s A c y A c c k N (28.1) Igualando las ecuaciones4.4 y 4.5, y reacomodando, obtenemos: 2 1 Re 332 . 0 x AB AB c Nu D x k · · (28.17) LaEcuaciónanteriorserestringeasistemaconun: Sc D · ·1 ν ybajasrapidecesde transferencia de masa entre la placa plana y la capa límite. la fig. 28.3 es una representación gráfica a la solución de la ecuación de capa límite. En ella se muestran curvas que representan los valores positivos y negativos del parámetro de la superficie límite,( ) 2 1 Re / , x s y ∞ ν ν :  Los valores + se aplican cuando al transferencia de masa va de la placa plana a la capa límite.  Los valores – describen la transferencia de masa desde el fluido hasta la capa.  A medida que este parámetro en al superficie límite se aproxima al valor de 0, la rapidez de transferencia de masa disminuye hasta que se considera que no tiene efecto sobre el perfil de velocidades. La pendiente de la línea cero, evaluada en y=0. es 0.332, según lo predicho en al ecuación 4.1. Página 140 de 200 En las operaciones físicas en que interviene transferencia de masa, generalmente el parámetro de la superficie es despreciable y se utiliza eltipo de solución de Blasius para baja transferencia de masa para definir la transferencia a la capa límite laminar. Un caso en el que no se puede realizar la suposición anterior, sería la vaporización de un material volátil a una corriente de gas. Para un fluido con número1 ≠ Sc , pueden definirse curvas similares a las mostradas en lafigura. Unavezmás, laanalogíaenlasecuacionesdiferencialesconllevaauna relación: la transferencia de masa por convección puede tratarse analógicamente aLa solución de Pohlhausen para la Transferencia de Calor por Convección. La capa límite de concentración se relaciona con la capa límite hidrodinámica por: 3 1 Sc c δ δ (28.18) Dondeδ es el grueso de la capa límite hidrodinámica yc δ es el grueso de la capa límite de concentración, lo anterior sugiere que, el término η de Blasius debe multiplicarsepor 3 1 c S . Enlafigura28.4semuestralagráficadelaconcentración adimensional en relación con ∑ 3 1 χ ηpara 0 , · s y ν . La variación de concentración que se da de esta forma lleva a obtener una expresión para elcoeficiente convectivo de transferencia de masa que es similar a la ecuación 4.6. A y=0, el gradiente de concentración es: ( ) 1 ] 1 ¸ − · ∂ ∂ ∞ · 3 1 2 1 Re 332 . 0 , , 0 Sc x c c y c x s A A Y A (28.19) Cuando se usa con la Ec. 4.3 da: 3 1 2 1 Re 332 . 0 , Sc Nu D x k x AB x AB c · · (28-20) Elcoeficiente medido de transferencia de masa, que se laaplicasobre un placa de anchoWylongitudL, puedeobtenersepor integración. Paraunaplacadeestas dimensiones, la rapidez total de transferencia de masa, WA, puede evaluarse como: ( ) ( )dA c c k c c A k W A A s A c A s A c A ∫ ∞ ∞ − · − · , , , , ( ) ∞ − · , , A s A c c c WL k ∫ ∞ − · A x AB A s A x dA Sc D c c 3 1 2 1 Re 332 . 0 , , Página 141 de 200 De acuerdo con esto: dx x Sc WD WL k L x AB c ∫ · 0 2 1 3 1 Re 332 . 0 dx x Sc D L k L AB C ∫ − , _ ¸ ¸ · ∞ 0 2 1 2 1 3 1 332 . 0 µ ρ ν 2 1 2 1 3 1 664 . 0 L Sc D AB , _ ¸ ¸ · ∞ µ ρ ν Y 3 1 2 1 Re 664 . 0 , Sc Nu D L k L AB L AB c · · (28-21) El núnero local de Nusselt a una distancia x corriente abajo s relaciona con el Número de Nusseltmedio par la placa a través de la relación: L x AB x AB L Nu Nu · · , , 2 (28.22) Las Ecs. 4.9 y 4.10 se han vrificado en forma experimental. Por análisis dimensional para Transferencia de masa por convección forzada: ) (Re, Sc f Nu AB ·(28.8) Alreconsiderar los perfiles de concentraciones adimensionales e la fig. 28.3, pueden observasequelapendientedecadacurva, cuandoseevalúaeny=0, disminuyea medidaqueel parámetrodelasuperficielímitepositiva, , )(Re) ( 2 1 ∞ ν ν ys aumenta. Puesto que la magnitud del coeficiente de transferencia está relacionada directamente con a pendiente por la relación: ( ) ( ) [ ] 0 , , , · ∞ − − · y A s A A s A AB c dy c c c c d D k (28.17) La disminución de la pendiente indica que los sistemas que tienen valores más altos del parámetrodelasuperficielímitetendráncoeficientesdetransferenciademasamás bajos. Página 142 de 200 Cuando se transfieren a la vez energía y masa a través de la capa límite laminar, los perfiles adimensionales de la figura 28.3, también pueden representar los perfiles de la temperatura adimensionales si los números de Prandtl y de Schmidtsoniguales a ¡. Se índico que el coeficiente de transferencia de masa disminuye en magnitud cuando se transfiere masa al interior de la capa límite desde la superficie; de acuerdo con esto, también debería esperarse que elcoeficiente de transferencia de calor disminuyera a mediad que se transfiere masa dentro de l capa límite. Lo anterior puede perfeccionarse si se fuerza a un fluido a pasar a travésde una placa porosasaliendode dentrodelacapalímite,oporautosublimaciónensímismodel material queformalaplaca. Estosprocesosdetransferenciasimultáneadecalory masa, que con frecuencia se llamanenfriamiento por transpiración y ablación, respectivamente, se utilizan para ayudar a reducir los grandes efectos del calor durante el reingreso de un proyectil a la atmósfera terrestre. El coeficiente de transferencia de masa para una capa límite turbulenta que se forma sobre una superficie plana sea a correlacionado en términos de un número de Nusselt local por medio de la expresión 3 1 5 4 Re 0292 . 0 , Sc Nu x AB x · Donde x es la distancia corriente abajo desde el extremo anterior de la placa plana; la transición de flujo lanimar a turbulento ocurre a 5 10 3 Re x x · , la expresión desarrollada Para el coeficiente promedio de transferencia de masa para una placa plana d longitud L es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] L Sc D Sc D k t L AB t AB c 5 4 5 4 3 1 3 1 2 1 Re Re 0365 . 0 Re 664 . 0 − + · (28.26) 28.5 ANALISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE CONCENTRACIÓN. El métododesarrolladopor vonKármánparadescribir lacapalímitehidrodinámica puede utilizarse para analizar la capa límite de concentración. Considérese un volumen de control que se localiza en la capa límite de concentración como se ilustra en la figura Página 143 de 200 28.5.Con las dimensiones indicadas y una profundidad unitaria, al hacer un balance de masa en estado estacionario se obtiene la relación: WA1 + WA3 + WA4 = WA2(28-27) donde WAes la rapidez de transferencia molar de masa delcomponente A. En cada superficie, la rapidez molar se expresa como: ∫ · C x x A A dy v c W δ 0 1 x dy v x c W C x A A ∆ 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ · ∫ ∞ δ 0 , 3 ∫ ∆ + · C x x x A A dy v c W δ 0 2 ( ) x c c k W A s A c A ∆ − · ∞ , , 4 En términos de estas rapideces molares, la ecuación (28-27) puede volver a escribirse como: ∫ C x x A dy v c δ 0 + x dy v x c C x A ∆ 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ ∫ ∞ δ 0 , + ( ) x c c k A s A c ∆ − ∞ , ,= ∫ ∆ + C x x x A dy v c δ 0 (28-28) Reordenando, después de dividir cada término entre ∆x y evaluando los resultados en el límite a medida que ∆x se aproxima a cero, se obtiene: ( ) ∫ ∞ − C dy v c c dx d x A A δ 0 , = ( ) ∞ − , , A s A c c c k (28-29) Para resolver la ecuación anterior, deben conocerse los perfiles de velocidad y concentración; normalmente, estos perfiles no se conocen y deben suponerse. Algunas de las condiciones en el límite que deben satisfacerse por las condiciones en la frontera supuestas son: vx=0 a y=0 0 · ∂ ∂ y v x a y=δ vx=v ∞ a y=δ 0 2 2 · ∂ ∂ y v x a y=0 El perfil deconcentracionessupuestodebesatisfacerlascondicionesenlafrontera correspondientes en términos de las concentraciones: cA – cA,s =0 a y=0 ( ) 0 , · − ∂ ∂ s A A c c y a y=δc cA – cA,s= cA,∞ – cA,s a y=δc ( ) 0 , 2 2 · − ∂ ∂ s A A c c y a y=0 Página 144 de 200 Si se reconsidera el flujolaminarparaleloaunasuperficieplana,puedeutilizarsela ecuación integral de von Kármán para obtener una solución aproximada; los resultados pueden compararse con la solución exacta y así verificar qué tan adecuadamente se supusieron los perfiles de velocidad y de concentraciones. Como primera aproximación, considérese una expresión en una serie de potencias para la variación de concentración con y. cA – cA,s = a + by + cy 2 + dy 3 Al aplicar las condiciones en la frontera se obtendrá la siguiente expresión: ( ) ( ) 3 , , , 2 1 2 3 , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · − − ∞ c c s A A s A A y y c c c c δ δ Si se supone que el perfil de velocidad sigue una serie de potencias de la misma forma y con las condiciones de frontera dadas se llega a: 3 2 1 2 3 , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · ∞ δ δ y y v v x Al sustituir losperfilespropuestosenlaexpresiónintegral (28-29) yresolverla, se obtiene: Nux,AB = 0.36 Rex 1/2 Sc 1/3 Aunque este resultado no es la relación correcta, es lo bastante aproximado a ella para indicar que el método integral puede utilizarse con cierto grado de confianza en otras sustitucionesendondesedesconoceunasoluciónexacta. Laexactituddel método depende completamente de la habilidad para suponer en forma adecuada los perfiles de velocidades y concentraciones. 28.6 Analogías de transferencia de masa, energía y momento. La semejanza entre los fenómenos de transferencia y, por lo tanto, la existencia de las analogías, requierendelaexistenciadelassiguientescincocondicionesdentrodel sistema: 1. Que las propiedades físicas sean constantes. 2. Quenohayaproduccióndemasaoenergíadel sistema. Esto, desdeluego, implica que no pueden ocurrir reacciones químicas homogéneas. 3. Que no exista emisión o absorción de energía radiante. 4. Que no haya disipación viscosa. 5. Que el perfil de la velocidad no esté afectado por la resistencia lenta de masa. Analogía de Reynolds. Página 145 de 200 Reynoldspostulóquelosmecanismosdetransferenciadeenergíaymomentoeran idénticos.Estosecumple cuandoel númerode Prandtl,Presigual ala unidad,de manera similar la transferencia de masa cuando el número de Schmith, Sc, también es igual alaunidad. Porejemplo, si seanalizael flujolaminarsobreunaplacaplana, donde Sc=1, los perfiles de la velocidad y la concentración dentro de las capas límite están relacionadas por medio de: 36) (28| | 0 0 , , , − , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ − − ∂ ∂ · ∞ · ∞ y x y s A A s A A y c c c c y υ υ donde y=0, se puede expresar el flujo de masa en función de la difusividad de la masa o del coeficiente de transferencia de masa , por medio ( ) ( ) 37) - (28| , , 0 , , ∞ · − · − ∂ ∂ − · A s A c y s A A AB y A c c k c c y D N Combinando las ecuaciones (28-36) y (28-37) relaciona el coeficiente de transferencia de masa con el gradiente de la velocidad en la superficie: 38) (28 | 0 − ∂ ∂ · · ∞ y x c y k υ ρυ µ El coeficiente defracciónsuperficial serelacionó,enelcapitulo12, conestemismo gradiente de velocidad, mediante la expresión: 2) (12 | ) / ( 2 2 / 2 0 2 0 − ∂ ∂ · · ∞ · ∞ ρυ υ µ ρυ τ y x f y C La analogía de Reynolds de transferencia de masa correspondiente a los sistemas cuyo número de Schmidt es igual a uno, 39) (28 2 − · ∞ f c C k υ La ecuación (28-39) es análoga a la analogía de Reynolds de transferencia de energía para los sistemas cuyo número de Prandtl es igual a uno. 36) (19 2 − · ∞ f p C c h ρυ Los datos experimentales correspondientes a la transferencia de masa hacia corrientes gaseosas, concuerdan, con la ecuación (28-39) cuando el sistema tiene un número de Schidt cercano a 1 y si su resistencia al flujo se debe a la fricción superficial. Consideraciones acerca del flujo turbulento. Página 146 de 200 En un esfuerzo para caracterizar este tipo de movimiento, Prandtl propuso la hipótesis de la longitud de mezclado, talcomo se estudio en elcapitulo 13. En esta hipótesis, cualquier fluctuación de la velocidad, ' x υse debe al movimiento en la dirección y de un remolino, en una distancia igual a la longitud de mezclado, L. El remolino de fluido, que posee una velocidad media, y x | υ , se desplaza hacia una corriente en la que el fluido adyacente tiene una velocidad media, L y x + | υ . La fluctuación de la velocidad se relaciona con el gradiente de la velocidad media, por medio de la ecuación 10) (13| | x x x ' − · − · + ∞ dy d L y L y υ υ υ υ El esfuerzo cortante total se definió por medio de la expresión: 8) (13 ' ' − − · y x x dy d υ ρυ υ µ τ Al sustituir la ecuación (13-10) en la (13-() se obtiene: [ ] 40) (28 ' − + · dy d L x y υ υ υ ρ τ ó [ ] 41) (28 − + · dy d x M υ ε υ ρ τ donde ' y M Lυ ε · sedenomina difusividadderemolinodemomentoyesanálogaala difusividad de momento, . ν Ahora se puede analizar, de manera semejante, la transferencia de masa que ocurre en un flujo turbulento. En la figura 28.6, la curva representa una porción del perfil turbulentodelaconcentraciónconunflujomedioenladireccióndex. Larapidez instantánea de transferencia de la componente A en la dirección y es: 42) (28 ' ' , − · y A y A c N υ donde ' A A A c c c + · , oseala suma delas fluctuaciones instantáneas el promedio temporal, delaconcentracióndelacomponenteA. Denuevopuedeutilizarseel concepto de la longitud Página 147 de 200 De mezclado, para definir la fluctuación de la concentración por medio de la relación: 43) (28 | | − · + · + dy c d L c c c A y A L y A A Al insertar la ecuación (28-43) en la (28-42), se obtiene, la transferencia total de masa, normal a la dirección de flujo es: ( ) 44) - (28 ó , ' , dy c d D N dy c d L dy c d D N A D AB y A A y A AB y A ε υ + − · − − · donde ' y M Lυ ε · se denomina difusividad de remolino de la masa. Por medio de un razonamiento semejante se obtuvo una expresión correspondiente a la transferencia convectiva de calor: 49) (19) ( − + · dy T d c A q H p ε α ρ donde α es la difusividad térmica molecular y ε H, la difusividad térmica de remolino. La transferencia es rápida en el núcleo turbulento, al acercarse a la pared, la turbulenciavadisminuyendo, ylatransferenciaserealizacasi completamentepor difusión molecular. La resistencia a la transferencia ocurre en la capa límite próxima a la superficie en la cual el gradiente de la composición es más pronunciado. Las analogías de Prandt y Von Karman. En el capitulo 19 se obtuvo la analogía de Prandtl correspondiente a la transferencia de calor y momento. Se puede utilizar el mismo razonamiento, con respecto a al transferenciademasaydemomento. Enlasubcapalaminar lasdifusividadesde remolinodemomentoydemasasondespreciablesyenlasuperficieel esfuerzo cortante, τgyel flujodemasa, NA,y,s, sonconstantes. Laecuación(28-41)sepuede integrar sobre el espesor de la subcapa, resultando: 45) (28| 0 | 0 − · · ∫ ∫ ρν ξ τ υ ρν τ υ ξ ξ υ ξ s x s x ó dy d x Página 148 de 200 La ecuación (28-44) también se puede integrar sobre el espesor de la subcapa, dando como resultado: ( ) ( ) 47) (28 | | : obtendrá se , ecuaciones dos estas de ξ elimina se si 46) (28| , , , , , , 0 , , | , − − · − · − · ∫ ∫ ξ ξ ξ ξ τ υ ξ ξ A s A s y A AB g x AB s y A A s A AB s y A c s c A c c N D ρν D N c c ó dy D N c d A A La analogía de Reynolds, 2 / 2 / ∞ ∞ · · ρυ τ υ s f c C k , se puede utilizar en el núcleo turbulento, dey=ξ ayenlas condiciones globales. El flujo demasadel núcleo turbulento se transforma en: ( ) ( ) ( ) 48) - (28 | | | , s , , ∞ ∞ ∞ − − · − · A A x A A c y A c c c c k N ξ ξ ξ υ υ ρ τ Al eliminar aξ | A c se obtiene, de las ecuaciones (28-46) y (28-48): ( ) 49) (28 1 | | , , − 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − + · − ∞ ∞ AB x s y A A A D N c c ν υ υ τ ρ ξ ξ Cuando se sustituyen las ecuaciones que definen el proceso: ) 2 / ( / 2 ∞ · υ ρ τ s f C ( ) , , , ∞ − · A s A y A c c c N k Y también: AB D Sc ν · en la ecuación (28-49), se puede simplificar la relación hasta quedar así: [ ] [ ] 50) (28 ) 1 )( / | ( 1 2 / : distinta manera de escrita , ) 1 ( | 2 1 2 − − + · − + · ∞ ∞ ∞ ∞ Sc C k ó Sc C k x f c x f c υ υ υ υ υ υ ξ ξ Página 149 de 200 Nótesequelaecuación(28-50) simplificalaanalogíadeReynoldsconlasiguiente restricción: Sc=1. En el capitulo 13 se definió la subcapa laminar mediante la expresión: 5 · · + + y υ , donde ; 5 ) 2 / /( | · · ∞ + f x C υ υ υ ξ por lo cual: 51) (28 2 5 | − · ∞ f x C υ υ ξ Cunado se sustituye elvalor ∞ υ υ ξ / | x en la ecuación (28-50) se obtiene una analogía correspondientealatransferenciaconvectivademasa, semejantealaanalogíade Prandtl de la transferencia convectiva de calor: 52) (28 ) 1 ( 2 / 5 1 2 / − − + · ∞ Sc C C k f f c υ Al reordenar y multiplicar ambos lados de la ecuación (28-52) por, / AB D L ∞ υ donde L es una longitud característica, se obtiene: 53) (28 ) 1 ( 2 / 5 1 Re* * ) 2 / ( , − − + · Sc C Sc C Nu f f AB L Von Kárman amplió la analogía de Prandtl (19-57), tomando e cuanta la llamada ¨capa amortiguadora¨ además de la subcapa laminar y del núcleo turbulento. Esto lo condujo a la formación de la analogía de von Kármán: [ ] { } 58) (19 6 / Pr) 5 1 ( ln 1 Pr 2 / 5 1 Pr Re* * ) 2 / ( − + + − + · f f C C Nu que corresponde a la transferencia de energía y momento. El análisis de von Kármán de la transferencia de masa, da origen a las ecuaciones: [ ] { } [ ] { } 55) (28 6 5 1 ln 1 2 5 1 2 ó 54) (28 6 / ) 5 1 ( ln 1 2 / 5 1 Re* * ) 2 / ( − + + − + · − + + − + · ∞ Sc)/ ( Sc / C ) / (C υ k Sc Sc C Sc C Nu f f c f f AB Analogía de Chilton-Colburn. Chilton y Colburn descubrieron que la mejor correlación entre los datos experimentales obtenidos en la transferencia de masa, está dada por la expresión: Página 150 de 200 56) (28 2 / ) ( 3 / 2 − · · ∞ f c D C Sc k j υ Esta analogía es válida para líquidos y gases dentro de los valores 0.6