Institutionen för Energivetenskaper, LTH Kompendium i GRUNDLÄGGANDE STRÖMNINGSLÄRA Daniel Eriksson och Christoffer Norberg Visualisering av strömning kring cirkulär cylinder, C. Norberg. ______________________________________________________ oktober 2006 Jämfört med tryckningen 2004 har det gjorts vissa smärre uppdateringar, rättelser, justeringar och tillägg. Referenslistan, figurerna 1-3 och 1-4 och tabellerna 7-3, 8-3 och A2 har t.ex. uppdaterats; Tabell 1-3 och Tabell A1/2 rättats avseende data för vatten och luft; betecknings- listan samt exempel 7.1, 7.2 och 8.2 justerats och ny text infogats i avsnitt 1.5, 4.2, 5.2, 5.5, 6.1, 6.2, 7.2 och 7.5. Tabell A3 och Figur 7-9 har tillfogats, liksom sakregister. Antal sidor är oförändrat. Lund, 2006-10-25 Christoffer Norberg INNEHÅLLSFÖRTECKNING BETECKNINGAR 1 1. INTRODUKTION 3 1.1 Inledning 3 1.2 Fluiders karakteristik 3 1.3 Enhetssystem, dimensionshomogenitet 3 1.4 Strömningsanalys 5 1.4.1 Olika sätt att betrakta fluiders rörelse 5 1.4.2 Hastighet 5 1.4.3 Acceleration, materiell derivata 5 1.4.4 En-, två- och tredimensionell strömning 7 1.4.5 Stationär och instationär strömning 7 1.4.6 Tryck och densitet 7 1.4.7 Strömlinjer, stråklinjer och partikelbanor 8 1.5 Viskös strömning, viskositet 8 1.6 Reynolds tal, laminär och turbulent strömning 11 1.7 Volymflöde, massflöde och medelhastighet 13 1.8 Gränsskikt 15 1.9 Ljudhastighet, inkompressibel strömning 16 2. FLUIDERS STATIK 19 2.1 Inledning 19 2.2 Tryckgradienten 19 2.3 Fluid med konstant densitet 21 2.4 Fluid med varierande densitet 22 2.5 Standardatmosfär 23 2.6 Mätning av tryck 24 2.6.1 Piezometrisk manometer 24 2.6.2 U-rörsmanometer 25 2.7 Hydrostatisk kraft på plan yta 28 2.8 Flytkraft, Arkimedes princip 30 3. VISKÖS STRÖMNING 33 3.1 Rörelseekvationer 33 3.1.1 Kontinuitetsekvationen på differentiell form 33 3.1.2 Navier-Stokes ekvationer 34 3.2 Cylinderkoordinater 35 3.3 Tillämpningar 36 3.3.1 Stationär, laminär strömning mellan två parallella plan 36 3.3.2 Stationär, laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt 39 4. BERNOULLIS EKVATION 41 4.1 Newtons andra lag 41 4.1.1 Bernoullis ekvation längs en strömlinje 42 4.1.2 Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje 45 4.2 Tillämpningar av Bernoullis ekvation 47 4.2.1 Stagnationspunkt 47 4.2.2 Utströmning ur vätskebehållare 48 4.2.3 Mätning av tryck och hastighet 52 4.2.4 Mätning av medelhastighet och massflöde - Venturimeter 53 4.2.5 Friktionsfri rörströmning 54 5. KONTROLLVOLYMSANALYS 57 5.1 System och kontrollvolym 57 5.2 Reynolds transportteorem 57 5.3 Kontinuitetsekvationen 61 5.4 Impulsekvationen 63 5.4.1 Korrektionsfaktor för impulsflödet 64 5.5 Tillämpningar av impulsekvationen 64 5.5.1 Rörströmning 65 5.5.2 Fria strålar 68 5.5.3 Strömning i öppna kanaler 71 5.6 Impulsmomentet 72 6. DIMENSIONSANALYS, LIKFORMIGHET 73 6.1 Buckinghams Π - teorem 73 6.2 Likformighet och dimensionslösa grupper 75 7. OMSTRÖMMADE KROPPAR, STRÖMNINGSMOTSTÅND OCH LYFTKRAFT 79 7.1 Strömningsmotstånd och lyftkraft 79 7.2 Strömning kring en cirkulär cylinder 81 7.3 Inverkan av ytskrovlighet 88 7.4 Motståndskoefficient för kroppar och ytor 88 7.5 Lyftkraft på vingprofiler 91 8. RÖRSTRÖMNING 93 8.1 Energiekvationen vid rörströmning – Bernoullis utvidgade ekvation 93 8.1.1 Korrektionsfaktor för kinetisk energi 94 8.2 Laminär och turbulent rörströmning 94 8.3 Hydraulisk diameter 96 8.4 Strömningsförhållanden i inloppsområdet 96 8.5 Tryckförluster 97 8.5.1 Friktion 98 Laminär strömning 98 Turbulent strömning 98 8.5.2 Engångsförluster 101 Kontraktion och expansion 101 Andra komponenter 104 Inloppssträckan 105 Referenser 110 Tabell A1. Fysikaliska data för vatten och luft 111 Tabell A2. Mättnadsdata för vatten 113 Tabell A3. Ämnesdata för några vätskor vid 1 atm, 20oC 113 Sakregister 114 BETECKNINGAR A area [m 2 ] a acceleration [m/s 2 ] a vektoriell acceleration , ( a ) , z y x a a = a c C kontraktionskoefficient [-], (4.22) D C motståndskoefficient [-], (7.4) f , D C motståndskoefficient p.g.a. ytfriktion [-], (7.6) p , D C motståndskoefficient p.g.a. tryckkrafter [-], (7.6) L C lyftkraftskoefficient [-], (7.5) p c , specifik värmekapacitet [J/(kg K)] v c p C tryckkoefficient [-], (7.5) c ljudhastighet [m/s], (1.16) D, d diameter [m] h d hydraulisk diameter [m], (8.5) F kraft [N] F B flytkraft [N] (2.21) F D strömningsmotstånd [N] (7.1) F L lyftkraft [N] (7.2) Fr Froudes tal [-], (6.7) f Darcys friktionsfaktor [-] S f virvelfrekvens [1/s] g tyngdacceleration [m/s 2 ] h höjd, djup [m] h ˆ entalpi per massenhet [J/kg] k , j , i ˆ ˆ ˆ enhetsvektorer i x-, y- och z-riktningen L K förlustkoefficient (engångsförlustkoefficient) k [-] v p / c c L primär dimension för längd L längd [m] l längd, korda [m] M primär dimension för massa M molvikt (molmassa) [kg/kmol] Ma Machs tal, machtal [-], (1.18) m massa [kg] m & massflöde [kg/s], (1.15) n ˆ enhetsnormalvektor P perimeter (”våtlagd” omkrets) [m] p tryck [Pa] q netto värmeutbyte in per massenhet [J/kg] R gaskonstant [J/(kg K)], (1.6) u R universell gaskonstant [J/(kmol K)] R krökningsradie [m] Re Reynolds tal [-], (1.12) r radiell koordinat [m] 1 St Strouhals tal [-], (7.8) s koordinat längs en strömlinje T primär dimension för tid T temperatur [K] ([°C]) T vridmoment [Nm] t tid [s] U hastighet, friströmshastighet [m/s] u, v, w hastighet i koordinatriktningarna x, y, z [m/s] uˆ inre energi per massenhet [J/kg] V hastighet, medelhastighet [m/s], (1.14) V volym [m 3 ] V & volymflöde [m 3 /s], (1.13) W netto arbetsutbyte ut [J] W & effekt (arbete per tidsenhet) [W] We Webers tal [-], (6.6) t w tekniskt arbete per massenhet, netto ut [J/kg] x, y, z koordinater [m] α korrektionsfaktor för flöde av kinetisk energi, anfallsvinkel [-] β korrektionsfaktor för impulsflöde, deformationsvinkel [-] δ gränsskiktstjocklek [m] ε ytråhet [m] φ vinkel [-] ϕ korrektionsfaktor för friktion vid utströmning [-], (4.21) γ specifik tyngd [N/m 3 ] γ& deformationshastighet [1/s] κ kvot mellan medelhastighet och centrumhastighet i rör [-], (8.4) µ dynamisk viskositet [kg/(s m)] ν kinematisk viskositet [m 2 /s], (1.11) Θ primär dimension för temperatur θ vinkel [-] ρ densitet [kg/m 3 ] σ ytspänningskoefficient [N/m] τ skjuvspänning [N/m 2 ] ω vinkelhastighet [1/s] 2 1. INTRODUKTION 1.1 Inledning Fluidmekanik eller strömningslära kallas den del av mekaniken som behandlar jämvikt och rörelse hos fluider. Med fluider avses vätskor och gaser. Fluidmekaniken kan indelas i fluiders statik (fluiders jämvikt) och fluiders dynamik (rörelse). Strömningsproblem förekommer inom många olika tekniska och vetenskapliga områden; maskinteknik, skeppsbyggnadsteknik, flygteknik, väg- och vattenbyggnad, meteorologi, etc. Det är därför viktigt att kunna bestämma strömningsförloppen teoretiskt. Tyvärr ger de lagar som styr strömning upphov till mycket komplicerade rörelseekvationer, varför analytisk lösning av strömningsproblem endast kan erhållas för mycket enkla och idealiserade fall. Man är därför oftast hänvisad till att använda experimentella eller numeriskt framtagna resultat, t. ex. för bestämning av tryckfall vid strömning i rörsystem eller strömningsmotstånd på en bil. En analys av en fluids rörelse måste nästan alltid direkt eller indirekt utgå från fyra fysikaliska lagar, som är oberoende av den speciella fluidens natur: (1) masskonservering (2) Newtons andra lag (3) termodynamikens första lag (energiprincipen) (4) termodynamikens andra lag (entropiprincipen) Utöver dessa lagar är det också nödvändigt att använda lagar och samband för den ifrågavarande fluiden, t. ex. ideala gaslagen, Newtons viskositetslag och Fouriers värme- ledningsekvation. 1.2 Fluiders karakteristik Vad är en då en fluid och vad skiljer en fluid från en solid? En fluid är en substans (ett medium) som vid en godtyckligt liten skjuvbelastning (skjuvkraft) deformeras kontinuerligt. En skjuvkraft uppkommer när en yta påverkas av en tangentiellt riktad kraft. Kontinuerlig deformation innebär att fluiden sätts i rörelse d.v.s. att fluiden strömmar. En fast kropp (en solid) kan däremot i motsats till en fluid motstå skjuvbelastning genom statisk deformation. Alla storheter av intresse (tryck, hastighet, temperatur, densitet, viskositet, o.s.v.) förutsätts variera kontinuerligt genom fluiden. Diskontinuiteter är tillåtna endast över ytor, t. ex. fasgränser. Genom detta makroskopiska betraktelsesätt kan alla storheter (inklusive dess derivator) sägas ha värden i varje punkt (kontinuumshypotesen). Varje storhets värde skall ses som ett medelvärde över en liten volym kring den betraktade punkten. Hur stor är då den minsta fluidenhet som kan betraktas som ett kontinuum? För gaser vid normalt tillstånd och för alla vätskor ligger denna s.k. kontinuumsgräns vid ca. 10 −9 mm 3 , se White (2003), motsvarande en kub med sidan 1 µm (ca.). Ett fluidelement är en fluidansamling med en viss massa. Med ett litet eller infinitesimalt fluidelement eller fluidpartikel avses normalt att dess storlek närmar sig kontinuumgränsen. 1.3 Enhetssystem, dimensionshomogenitet Inom strömningslära används ett stort antal fysikaliska storheter och samband. För att få enhetliga regler används ett primärt enhetssystem med primära dimensioner som massa [M], längd [L], tid [T] och temperatur [Θ]. Dessa primära dimensioner kan användas för att härleda alla övriga sekundära dimensioner, t. ex. hastighet [LT −1 ], densitet [ML −3 ], kraft [MLT −2 ] etc. 3 Det är även nödvändigt att kvantitativt kunna uttrycka storheternas mätetal i ett praktiskt måttsystem, man har därför enats internationellt om ett antal primära och härledda grundenheter, SI-systemet. De vanligaste enheterna inom strömningslära visas i Tabell 1-1 och Tabell 1-2, se White (2003). Tabell 1-1. Grundenheter i SI-systemet. Primär storhet Beteckning Primär dimension SI-enhet Massa m M kilogram, kg Längd l L meter, m Tid t T sekund, s Temperatur T Θ kelvin*, K * T[K] = T [°C] + 273.15 Tabell 1-2. Härledda SI-enheter. Storhet Beteckning Primär Dimension SI-enhet area A L 2 m 2 volym V L 3 m 3 volymflöde V & L 3 T -1 m 3 /s hastighet V LT -1 m/s acceleration a LT -2 m/s 2 tyngdacceleration g LT -2 m/s 2 densitet ρ ML -3 kg/m 3 massflöde m & MT -1 kg/s vinkelhastighet ω T -1 s −1 kraft F MLT -2 newton N, kg m/s 2 energi, arbete, värme Q W E , , ML 2 T -2 joule J, Nm, kg m 2 /s 2 effekt Q , W & & ML 2 T -3 watt W, J/s, kg m 2 /s 3 specifik värmekapacitivitet v p , c c L 2 T -2 Θ -1 J/(kg K), m 2 /(s 2 K) tryck, skjuvspänning τ , p ML -1 T -2 pascal Pa, N/m 2 , kg/(s 2 m) dynamisk viskositet µ ML -1 T -1 Pa s, Ns/m 2 , kg/(sm) kinematisk viskositet ν L 2 T -1 m 2 /s Principen om dimensionshomogenitet: Alla termer i ett fysikaliskt giltigt uttryck måste ha samma dimension. _________________________________________________________________________ Exempel 1.1. Betrakta ideala gaslagen, . Vilken enhet och dimension har gaskonstanten R? ρRT p = Enheten för de ingående termerna [p] = N/m 2 , [ρ] = kg/m 3 och [T] = K. | | | | | | | | K) /(s m K kg m s m kg K kg m N K kg/m N/m 2 2 2 3 2 = = = ⋅ = ⋅ = T ρ p R Dimensionen för de ingående storheterna {p} = MT -2 L -1 , {ρ} = ML -3 och {T} = Θ 1 2 2 1 3 1 1 2 Θ T L Θ L M L MT } { } { } { } { − − − − − − = = ⋅ = T ρ p R _________________________________________________________________________ 4 1.4 Strömningsanalys 1.4.1 Olika sätt att betrakta fluiders rörelse Två olika betraktelsesätt används för att beskriva fluiders rörelse. Den ena kallas Lagranges betraktelsesätt, där betraktas ett visst fluidelement genom att följa dess bana i rummet. Det innebär att koordinaterna inte är fixerade i rummet utan varierar kontinuerligt så att de alltid beskriver partikelns läge (partikelbeskrivning). Vid det betraktelsesätt som kallas Eulers betraktas istället en viss punkt och här beskrivs vad som vid varje ögonblick händer med en fluidpartikel som befinner sig kring den betraktade punkten (fältbeskrivning) Den eulerska beskrivningen används uteslutande i denna kurs. 1.4.2 Hastighet I ett rätvinkligt s. k. Cartesiskt koordinatsystem, beskrivs hastigheten för en fluidpartikel av dess hastighetskomposanter i x-, y- och z-riktningen, ) , , , ( t z y x u u = , och , vilka bildar hastighetsvektorn ) , , , ( t z y x v v = ) , , , ( t z y x w w = ) ( ˆ ) , , , ( ˆ ) , , , ( ˆ ) , , , ( w v, u, t z y x w t z y x v t z y x u = + + = k j i V (1.1) där i ˆ är enhetsvektorer i de tre koordinatriktningarna x, y, z. k , j , ˆ ˆ Absoluthastighet (fart) fås enligt 2 2 2 w v u V + + = = V (1.2) 1.4.3 Acceleration, materiell derivata r p V p u p (r p ,t) v p (r p ,t) w p (r p ,t) x p (t) y p (t) z p (t) partikel- bana x y z Figur 1-1. Hastighet och position för en fluidpartikel vid tiden t. 5 Betrakta en fluidpartikel som rör sig längs en partikelbana enligt Figur 1-1. Partikelns hastighet, V p , är en funktion av dess lägesvektor (koordinater) och av tiden, V p = V p (r p , t) = V p [x p (t), y p (t), z p (t), t] Accelerationen är enligt definition partikelns ändring av hastighet per tidsenhet dt d p p V a = Genom att använda kedjeregeln för differentiering fås dt dz z dt dy y dt dx x t dt d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = p p p p p p V V V V V a Eftersom detta gäller alla partiklar behövs inte längre referensen till partikel p. Eftersom , och u dt dx = / v dt dy = / w dt dz = / övergår uttrycket till z w y v x u t ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = V V V V a (1.3) Accelerationsvektorns skalärkomposanter blir z u w y u v x u u t u a x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z v w y v v x v u t v a y ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z w w y w v x w u t w a z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Derivatan ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ∇ ⋅ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = V t z w y v x u t Dt D (1.4) där k j i ˆ ˆ ˆ z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ är den s.k. gradientoperatorn brukar benämnas materiella derivatan. För gradientoperatorns utseende i olika koordinatsystem, se t.ex. Panton (1996). 6 1.4.4. En-, två- och tredimensionell strömning I ett allmänt strömningsfält uppträder variationer i alla riktningar, strömningen är tredimensionell. Den enda förenkling som då kan göras är att välja ett lämpligt koordinatsystem. I många fall är variationerna i någon koordinatriktning betydligt mindre än i övriga riktningar, strömningen kan då approximeras som tvådimensionell. I vissa fall t.ex. för tryckfallsberäkningar vid rörströmning kan strömningen betraktas som endimensionell där variationerna över tvärsnitt vinkelräta mot strömningsriktningen ersätts med lämpliga medelvärden. 1.4.5 Stationär och instationär strömning Om strömningen är stationär uppträder inga tidsvariationer i någon punkt. I praktiken är de flesta strömningsfall instationära, tidsberoende. För många fall av teknisk betydelse är strömningen turbulent, d.v.s. uppvisar slumpmässiga variationer både i tid och rum. En turbulent strömning är således alltid instationär. Om de yttre förhållanden som upprätthåller strömningen är stationära kan dock ofta den turbulenta strömningen sägas vara stationär i medel, då fluktuationer för olika storheter sker kring s.k. tidsmedelvärden. Som exempel kan nämnas de vindhastigheter och vindriktningar som dagligen rapporteras från olika meterologiska stationer (sjörapporter). Hastigheter och riktningar är tidsmedelvärden som uppmäts över en viss tid, säg 2 minuter. De rapporterade värdena är dessutom medelvärden över flera sådana mätningar. 1.4.6 Tryck och densitet Tryck är definierat som normalkraft per ytenhet och betecknas p. Detta tryck kallas vanligen det termodynamiska trycket. För en fluid i vila är trycket i en punkt oberoende av riktning (Pascals lag), d.v.s. en skalär storhet. Skjuvkrafter, hur små dom än är, ger då upphov till rörelse. För en fluid i vila är alltså normalkrafterna (tryckkrafterna) de enda möjliga ytkrafterna. För en fluid i rörelse uppträder dessutom normalspänningar p.g.a. viskösa krafter, och trycket i en punkt är då definierat som medelvärdet av de normalspänningar som verkar i punkten. Detta s.k. mekaniska tryck är också oberoende av riktning, en skalär. För alla tillämpningar i denna kurs är det mekaniska trycket lika med det termodynamiska trycket. Densitet är definierad som massa per volymsenhet och betecknas ρ. Volymiteten (v) för en fluid är definierad som volym per massenhet, ρ / 1 = v . För alla gaser vid tillräckliga låga tryck gäller ideala gaslagen, RT p ρ = (1.5) där R är gaskonstanten och T absolut temperatur, se Ex. 1.1. Vid känd medelmolvikt (molmassa) M kan gaskonstanten beräknas: M R R / u = (1.6) där J/(kmol K) är den universella gaskonstanten. För vanlig, torr luft är kg/kmol, d.v.s. 47 . 8314 u = R 97 . 28 = M = R 287.0 J/(kg K). För luft omkring rumstemperatur (ca. 300 K) 7 gäller ideala gaslagen inom upp till ca. 3 MPa. Ökad temperatur innebär normalt sett att giltigheten för ideala gaslagen förbättras, se vidare Çengel & Boles (2002). % 1 ± 0 ± 0178 T t För en vätska gäller approximativt (utom vid extremt höga tryck) att densiteten är lika med den som gäller mättad vätska vid ifrågavarande temperatur. Densiteten för vätskor ökar (svagt) med ökat tryck och minskar (normalt sett) med ökande temperatur. För vatten omkring normaltryck (ca. 0.1 MPa) är densiteten som högst vid 4 o C. Följande empiriska samband, se White (2003), gäller inom för vatten mellan 0 o C och 100 o C och omkring normaltryck: % 2 . 7 . 1 3 O H C 4 ) C ( . 0 1000 ) kg/m ( 2 ° − ° − = ρ (1.7) Tryckets inverkan är extremt liten, upp till ca. 20 MPa är densitetsökningen mindre än 1%. Vid vätskeströmning kan ibland trycket lokalt understiga mättnadstrycket vid aktuell temperatur (ångtrycket). Vanligtvis uppträder då lokal kokning och ångbubblor bildas, s.k. kavitation. När ångbubblorna transporteras till områden med högre tryck kan bubblorna implodera, s.k. kavitationskollaps. Denna kollaps kan snabbt erodera metallytor, t.ex. fartygspropellrar, impellerblad i pumpar och turbinskovlar i vattenturbiner, och eventuellt förorsaka haverier. 1.4.7 Strömlinjer, stråklinjer och partikelbanor En strömlinje är en kurva vars tangent i varje punkt anger hastighetsvektorns riktning. Ekvationen för en strömlinje ges av w dz v dy u dx = = (1.8) En partikelbana är den linje i rummet som genereras av en tänkt fluidpartikel när den följer strömningen. En stråklinje är, vid en viss tidpunkt, orten för fluidpartiklar vilka alla tidigare passerat genom en given punkt i rummet. Strömningsvisualisering, synliggörande av strömning, brukar ske genom att man kontinuerligt släpper ut något synligt ämne t.ex. rök i luft eller bläck i vatten. Det man då registrerar är alltså stråklinjer. I bilden på kompendiets framsida är de vita linjerna rökslingor som genererats via upphettning av en tunn vertikal tråd (till vänster i bilden) med ett pärlband av oljedroppar. Detta är således stråklinjer. Vid stationär strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. 1.5 Viskös strömning, viskositet Betrakta en fluidpartikel som släpps fri i ett hastighetsfält ) 0 , 0 , (u = V där u endast beror av koordinaten y, . I xy–planet kommer partikeln att förflyttas med hastighetsfältet men den kommer även att deformeras, se Figur 1-2. ) ( y u u = För ett kort tidsinkrement δ kan deformationsvinkeln δβ tecknas y t u δ δ δ δβ = 8 u u+δu δx δy δβ δuδt t t+δt u(y) Figur 1-2. Deformation av en fluidpartikel i xy-planet. Vid en gränsövergång då och 0 → δt y δ är tillräckligt liten (vid kontinuumsgränsen) fås vinkeländringen per tidsenhet, den s.k. deformationshastigheten, enligt dy du dt d t t = = = → β δ δβ γ δ 0 lim & På grund av viskösa krafter uppstår en motverkande skjuvkraft i det betraktade planet. Enligt en ansats som Isaac Newton gjorde 1687 är denna kraft proportionell mot hastighetsskillnaden mellan angränsande skikt. Viskös skjuvkraft per areaenhet kallas för viskös skjuvspänning och betecknas med τ. En generalisering av Newtons ansats definierar en Newtonsk fluid: För en Newtonsk fluid gäller att viskösa spänningar är direkt proportionella mot deformationshastigheter i olika plan. För en Newtonsk fluid och för den enkla skjuvströmningen enligt ovan ∗ kan skjuvspänningen skrivas dy du µ µ = = γ τ & (1.9) där µ är en fluidberoende proportionalitetsfaktor och benämns fluidens (absoluta) viskositet eller dynamiska viskositet. För Newtonska fluider är viskositeten en fluidegenskap. Gaser samt de vanligaste vätskorna är exempel på Newtonska fluider. För Newtonska fluider är viskositeten oberoende av deformationens storlek och skjuvspänningens varaktighet. Tryckberoendet för µ är i allmänhet helt försumbart, d.v.s. ) (T µ µ = . Tabell 1-3 visar temperaturens inverkan på µ för luft och vatten. För vätskor gäller allmänt att µ minskar kraftigt med ökande temperatur (de blir mer lättflytande), se Tabell A3. För gaser ökar µ med ökande temperatur. För luft gäller approximativt enligt Sutherlands formel: | . | \ | + + | | . | \ | = S T S T T T µ µ o o o 2 / 3 / (1.7) där T K, Pa s och 15 . 273 = o 6 10 1 . 17 − × = o µ 4 . 110 = S K (White 2003). ∗ Generellt för skjuvspänning i planet x = konstant, i y-riktningen: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ = x v y u µ xy τ . 9 Tabell 1-3. Densitet och dynamisk viskositet för luft och vatten viskositet vid 1 atm Luft Vatten Temperatur [°C] ρ [kg/m 3 ] µ [Pa s] ρ [kg/m 3 ] µ [Pa s] 0 1.293 17.2×10 −6 999.8 1.791×10 −3 10 1.247 17.7×10 −6 999.7 1.306×10 −3 20 1.204 18.2×10 −6 998.2 1.002×10 −3 30 1.165 18.7×10 −6 995.6 0.797×10 −3 40 1.127 19.2×10 −6 992.2 0.653×10 −3 50 1.109 19.6×10 −6 988.0 0.547×10 −3 60 1.060 20.1×10 −6 983.2 0.466×10 −3 70 1.029 20.6×10 −6 977.8 0.404×10 −3 80 1.000 21.0×10 −6 971.8 0.354×10 −3 90 0.972 21.5×10 −6 965.3 0.314×10 −3 100 0.946 21.9×10 −6 958.4 0.282×10 −3 Genom att dividera µ med densiteten ρ erhålls det som kallas kinematisk viskositet, beteckning ν . SI-enheten för ν är m 2 /s. ρ µ = ν (1.8) Figur 1-3 och 1-4 visar dynamisk resp. kinematisk viskositet för några vanliga fluider som funktion av temperaturen vid atmosfärstryck. Figur 1-3. Dynamisk viskositet (1 atm) för några vanliga fluider. 10 Figur 1-4. Kinematisk viskositet (1 atm) för några vanliga fluider. Exempel på icke-newtonska fluider är plastiska, pseudoplastiska och dilatanta ämnen. För plastiska ämnen t.ex. tandkräm, krävs en viss flytspänning innan deformationen kan börja, viskositeten är således oändlig då skjuvspänningen understiger flytspänningen. Efter det att flytspänningen överskridits kan sambandet mellan skjuvspänning och deformationshastighet vara linjärt s.k. Binghamfluid, men det kan också vara olinjärt, ex. våt lera. För en pseudoplastisk fluid (t.ex. smältor, blod och polymerer samt vissa målarfärger) minskar viskositeten med ökande skjuvspänning; det motsatta förhållandet råder för dilatanta fluider (t.ex. suspensioner med hög koncentration av partiklar). Fluider där skjuvspänningen minskar med tiden vid konstant deformationshastighet kallas för tixotropa. Exempel på tixotropa fluider är ketchup, vissa målarfärger, majonnäs och honung. För mer information om icke- newtonska fluider, se White (2003). 1.6 Reynolds tal, laminär och turbulent strömning Reynolds tal är ett dimensionslöst tal definierat enligt ν = = l l U µ ρU Re (1.12) där U är en karakteristisk hastighet för strömningsfallet, t. ex. en anströmningshastighet mot ett föremål (en s.k. friströmshastighet) eller medelhastighet i ett rörsystem; är en karakteristisk längd, t.ex. diametern på en fotboll eller invändig diameter för ett rör. l Reynolds tal är av mycket stor betydelse inom strömningslära. Storleken på detta tal avgör t. ex. strömningens karaktär. Med karaktär avses huruvida strömningen är laminär, turbulent eller i omslagsområdet mellan dessa strömningstillstånd. För tillräckligt låga Reynolds tal dominerar friktionen (viskösa krafter) och strömningen blir laminär, d.v.s. skiktad och stabil. 11 Vid ökande Reynolds tal minskar friktionens relativa inverkan. Strömningen blir då mer och mer tröghetsdominerad och blir till slut instabil och övergår (via ett omslagsområde) till turbulent strömning. Turbulent strömning är virvelrik, orolig, har stor blandningsförmåga och ger vanligen upphov till stora strömningsförluster, t.ex. i form av ökat tryckfall vid rörströmning. I naturen och vid tekniska tillämpningar är det turbulenta strömningstillståndet det absolut vanligaste. Det Reynolds tal under vilket turbulent strömning inte kan upprätthållas brukar benämnas kritiskt Reynolds tal, . krit Re Reynolds tal är uppkallat efter den brittiske (född i Belfast, verksam i Manchester) hydrodynamikern och fysikern Osborne Reynolds (1842-1912). Reynolds utförde pionjära strömningsexperiment under slutet av 1800-talet och var den förste att inse betydelsen av det vi idag benämner Reynolds tal (introducerat 1908). Reynolds var också pionjär inom den statistiska behandlingen av turbulent strömning. Osborne Reynolds Vid rörströmning används den invändiga rördiametern som karakteristisk längd ( d = l ), som karakteristisk hastighet används medelhastigheten (U V = ). ν = = Vd µ ρVd Re Strömning i rör är garanterat laminär om Reynolds tal understiger ca. 2100 ( ) och oftast turbulent om det överstiger ca. 4000, se vidare kap. 8. 2100 Re krit ≈ _________________________________________________________________________ Exempel 1.2 Betrakta en fluid innesluten mellan två närbelägna parallella plattor, se Figur E1-2. Plattorna antas vara så stora att eventuella randeffekter vid plattornas kanter kan försummas. Fluiden (Newtonsk) är ursprungligen stillastående då en konstant kraft F anbringas på den övre plattan som sätts i rörelse och efter en stund får den konstanta hastigheten U. Den undre plattan är stillastående. Avståndet mellan plattorna betecknas h och arean av en platta, vilken är i kontakt med fluiden, betecknas A. Strömningen är laminär. Vad är fluidens viskositet? 12 y h F U Figur E1-2 Ett fundamentalt koncept inom strömningslära är att en (kontinuerlig) fluid i kontakt med en yta rör sig med samma hastighet och riktning som ytan, s. k. no-slip condition. Således kommer fluiden närmast den övre plattan också att röra sig med hastigheten U, medan hastigheten för fluiden närmast den nedre stillastående plattan kommer att vara noll. Endast viskösa krafter (friktionskrafter) antas påverka fluiden i detta fall. Fluidens hastighet, u, vid laminär strömning kommer då att variera linjärt mellan nedre och övre plattan (se kap. 3.3.1), h y U = u Kraften på fluiden (motriktad kraften på väggen) är A F τ = . Enligt ekv. (1.9) fås A h U µ A dy du µ F = = , d.v.s. AU Fh µ = . _______________________________________________________________________ 1.7 Volymflöde, massflöde och medelhastighet Volymflödet genom en godtycklig yta, se Figur 1-5, beräknas enligt ∫ ⋅ = A dA ) ˆ ( n V V & = ∫ A dA n V (1.13) där är den utåtriktade enhetsvektorn normalt till dA (vinkelrät mot ytelementet dA), och V n hastighetskomposanten i ytelementets normalriktning. n ˆ V dA n ˆ V n Figur 1-5. Strömning genom en godtycklig yta. Medelhastigheten genom samma yta fås enligt definition 13 ∫ ⋅ = = A dA A A V ) ˆ ( 1 n V V & (1.14) Massflödet beräknas enligt ∫ ∫ = ⋅ = A A dA V dA m n ) ˆ ( ρ ρ n V & Om densiteten kan betraktas som konstant (inkompressibel strömning) fås V & & ρ m = = (1.15) VA ρ __________________________________________________________________________ Exempel 1.3 Vid laminär, fullt utbildad och tryckdriven strömning av en Newtonsk fluid mellan två plana parallella plattor, se Figur E1-3, ges hastighetsfördelningen av (se kap. 3.3.1): | . | \ | − = h y h y u u 1 4 max , v 0 , 0 = = w där u är maxhastigheten, hastigheten i centrumplanet. max y h Figur E1-3. Laminär strömning mellan plana plattor. Hur stor blir skjuvspänningen vid (a) väggen (b) i mittplanet mellan plattorna, då maxhastigheten är m/s, avståndet mellan plattorna mm och det strömmande mediet är luft av 20°C vid 101 kPa? Bestäm dessutom medelhastigheten. 0 . 3 max = u 0 . 2 = h Eftersom u(y), v = 0, fås ur ekvation (1.6) 0 = w dy du µ = τ För luft vid 20°C och 101 kPa gäller (Tabell 1-3). s Pa 10 2 . 18 6 − × = µ Då hastighetsfördelningen är given fås hastighetsgradienten enligt | | ) / 2 1 ( 4 ) ) / ( / ( 4 max 2 max h y h u h y h y u dy d dy du − = − = 14 (a) Vid nedre väggen är och 0 = y h u dy du y max 0 4 = | | . | \ | = och ekvation (1.6) ger 11 . 0 m 10 0 . 2 m/s 0 . 3 4 s Pa 10 2 . 18 4 3 6 max 0 = × × × = = − − = h u µ y τ Pa. (b) Vid mittplanet är 2 / h y = 0 / = dy du och därmed är även skjuvspänningen noll. För en viss bredd b blir volymflödet ∫ ⋅ = A dA ) ˆ ( n V V & bh u h y h y b u ubdy h h y y max 0 2 3 2 max 0 3 2 3 2 4 = ( ( ¸ ( ¸ − = = ∫ = = Densiteten antas konstant vilket ger medelhastigheten = V m/s 0 . 2 3 2 max = = = u bh A V V & & h . Vid beräkning av Reynolds tal för detta fall används 2 = l som karakteristisk längd. Laminär strömning kan då garanteras om Reynolds tal är lägre än ca. 2100, (Re krit ≈ 2100). Re = 6 3 10 2 . 18 10 0 . 4 0 . 2 204 . 1 ) 2 ( V − − × × × × = µ h ρ = 529 2100 < OK, laminär strömning. _________________________________________________________________________ 1.8 Gränsskikt Friktionens (de viskösa krafternas) inverkan på fluiders strömning, speciellt för fluider med låg viskositet, är i allmänhet endast av betydelse nära fasta väggar där hastighetsgradienten du/dy är stor. På ett visst avstånd från en fast vägg blir då skjuvkrafterna försumbara i jämförelse med övriga krafter (tryckkrafter och volymskrafter), man talar då om friktionsfri strömning. Tillräckligt nära en fast vägg måste hänsyn alltid tas till friktionen. I praktiken visar det sig att det område nära en fast kropp där friktionen är väsentlig och av betydelse, vanligen är extremt tunt. För detta krävs att Reynolds tal, baserat på en typisk kroppsdimension och anströmningshastighet, är tillräckligt högt. Detta område benämns gränsskikt (eng. boundary layer). Inom gränsskiktet är hastighetsgradienten stor och därmed friktionskrafterna betydande. Observera att fluidens hastighet alldeles invid en fast vägg uppnår väggens hastighet (no-slip), speciellt då ingen hastighet alls om väggen står stilla, se Figur 1-6. gränskiktsströmning friktionsfri strömning y u = u(y) Figur 1-6. Hastighetsfördelningen i ett gränsskikt (laminärt) nära en fast bred vägg. 15 1.9 Ljudhastighet, inkompressibel strömning Den lokala ljudhastigheten definieras enligt T s p k p c | | . | \ | ∂ ∂ = | | . | \ | ∂ ∂ = ρ ρ , där k (1.16) 1 / v p > = c c Ljudhastigheten motsvarar utbredningshastigheten för tryckstörningar med försvinnande liten amplitud. Tryckamplituden för en ljudpuls av 80 dB är ca. 0.2 Pa. För en ideal gas ( ) fås ρRT p = kRT c = (1.17) Machtalet (Machs tal) är definierat som kvoten mellan den faktiska hastigheten och den lokala ljudhastigheten, c V = Ma (1.18) Vid kallas strömningen subsonisk (underljudsströmning) och vid är strömningen supersonisk (överljudsströmning). 1 Ma < 1 Ma > 1 Ma = kallas för kritisk eller sonisk strömning, se även Çengel & Boles (2002). Uppdelningen i gränsskikt och friktionsfri strömning gjordes 1904 av den tyske fysikern Ludwig Prandtl (1875-1953) och blev ett avgörande steg inom strömningslärans utveckling. Före 1904 hade man inte haft några möjligheter att analysera friktions- påverkad strömning kring t.ex. vingprofiler. Teorin för friktionsfri strömning var dock väl utvecklad sedan slutet på 1700-talet, genom t. ex. insatser av Leonhard Euler (1707-1783) och Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) och Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Prandtl visade att ekvationerna som styr strömningen i ett gränsskikt kan förenklas kraftigt och faktiskt lösas numeriskt i många fall (laminära gränsskikt). Uppdelningen innebar att det sammansatta problemet kunde analyseras genom matchning vid gränsskiktets ”rand” (streckat i Figur 1-6). Ludwig Prandtl 16 _________________________________________________________________________ Exempel 1.4 Ett jetplan flyger med hastigheten 620 km/h på höjden 10.5 km där trycket är 24 kPa och temperaturen är -54°C. Bestäm machtalet. Luft vid detta tillstånd kan betraktas som en ideal gas, där 40 . 1 = k K 15 . ; . Temperaturen måste uttryckas i kelvin, K) J/(kg 287 = R 219 15 . 273 54 = + − = T . Ljudhastigheten blir 297 15 . 219 287 40 . 1 = × × = c m/s. = = 297 6 . 3 / 620 Ma 0.58 (subsonisk strömning, underljudshastighet) _________________________________________________________________________ Inkompressibel strömning innebär strömning där fluidens densitet kan betraktas som konstant. Ett nödvändigt villkor är subsonisk strömning vid låga machtal ( ). Som tumregel gäller att strömning måste betraktas som kompressibel om machtalet överstiger ca. 0.3. För luft omkring normaltillstånd innebär detta hastigheter högre än ca. 100 m/s. Vid adiabatisk strömning (strömning med försumbart värmeutbyte) är 1 Ma gh ρ p p m B A = − (2.12) 26 __________________________________________________________________________ Exempel 2.3 h Figur E2-3 En U-rörsmanometer med vatten som manometervätska används för mätning av tryckfall i en horisontell ventilationskanal. Lufttrycket i kanalen är ca. 101 kPa och lufttemperaturen 20°C. Hur stort är tryckfallet då vätskepelarens differenshöjd, h, är 36 mm? Hur stor blir differenshöjden om kvicksilver används istället för vatten? Ekvation (2.11) ger ) ( f m ρ ρ gh p − = ∆ . Densiteten för vatten vid 20°C (293.15 K) är (Tabell A1) och densiteten för luft fås från ideala gaslagen, ekv. (1.5): 3 kg/m 2 . 998 = × × = = 3 3 kg/m 15 . 293 287 10 101 RT p ρ 1.20 kg/m 3 , vilket ger = = − × × = ∆ − Pa 1 . 352 Pa ) 20 . 1 2 . 998 ( 10 36 81 . 9 3 p 0.35 kPa. Om densiteten för luft försummas i förhållande till vattnets fås 352.5 Pa, en försumbar skillnad. Med kvicksilver som manometervätska, kg/m 3 (20°C) fås vätskepelarens höjd ur ekv. (2.12) ( ) 3 Hg 10 6 . 13 × ≈ ρ luft Hg ρ ρ >> 6 . 2 m ) 81 . 9 10 6 . 13 /( 352 ) /( 3 Hg = ⋅ × = ∆ = g ρ p h mm. Avläsningsnoggrannheten vid användandet av U-rör är vanligtvis ca. 0.5 mm. För detta fall är det uppenbart olämpligt att använda kvicksilver, eftersom det relativa felet i avläsningsnoggrannheten blir närmare 20%. Med vatten som manometervätska bli motsvarande fel ca. 1.4%, vilket för de flesta applikationer kan anses acceptabelt. Av hälsoskäl finns det dessutom restriktioner för användande av kvicksilver. ± __________________________________________________________________________ 27 2.7 Hydrostatisk kraft på plan yta Vi tänker oss en öppen behållare med en fluid av konstant densitet, Figur 2-7, och skall beräkna den resulterande hydrostatiska kraften på en plan platta A, som bildar vinkeln θ med horisontalplanet. Eftersom inga skjuvkrafter förekommer, måste den resulterande kraften vara vinkelrät mot ytan. dF F R x x T x R koordinat för res. kraft F R tyngdpunkt dA y y T y R x θ h T h 0 Figur 2-7. Hydrostatisk tryckkraft på en yta. Betrakta en yta dA på djupet h under den fria vätskeytan. På denna yta blir normalkraften, dA ρgh p pdA dF ) ( 0 + = = . Ofta verkar omgivningstrycket på väggens utsida, varför den resulterande kraften blir 0 p ρghdA dF = R , ∫ ∫ ∫ = = = A A A ydA ρg dA ρgy ρghdA F θ θ sin sin R . Integralen är ytmomentet kring x-axeln och således lika med , där är koordinaten för tyngdpunkten hos ytan. ∫ ydA A y T T y A p A ρgh A y ρg F T ö, T T R ) sin ( = = = θ (2.13) 28 Den resulterande kraften blir således lika med övertrycket i tyngdpunkten multiplicerat med arean. Tryckfördelningen över ytan är olikformig, varför kraftresultanten inte verkar i ytans tyngdpunkt utan i en punkt under tyngdpunkten, i tryckcentrum ( ). Tryckcentrum beräknas enligt, se Young et al. (2004). R R , y x A y I y y x T T , T R + = (2.14) där är ytans tröghetsmoment m.a.p. en axel parallell med x-axeln genom som går genom ytans tyngdpunkt. T , x I A y I x x xy T T , T R + = (2.15) där är ytans deviationsmoment m.a.p. ett ortogonalt koordinatsystem med origo i tyngdpunkten. T , xy I _________________________________________________________________________ Exempel 2.4 I en stor vattentank ( ) finns en cirkulär lucka vars centrum befinner sig 10.0 m under den fria vätskeytan. Beräkna det moment som krävs för att öppna luckan då dess diameter är . Luckan öppnas inåt mot vätskan kring en axel genom centrum, Figur E2-4. 3 kg/m 1000 = ρ m 0 . 4 = D T R D = 4 m F R y T F R M Figur E2-4. Hydrostatisk tryckkraft på lucka. På luckans utsida verkar omgivningstrycket och ekv. (2.13) med ° = = 90 , 0 . 10 θ m y T ger = π ⋅ ⋅ ⋅ = = 4 / 0 . 10 81 . 9 1000 2 T D A ρgh F R 1.23 MN 29 Tröghetsmomentet = . Deviationsmomentet = 0 p.g.a. ytans symmetri vilket betyder att koordinaten i x-led för tyngdpunkt och tryckcentrum sammanfaller. Insättning ger = T , x I 4 / 4 R π T , xy I R y = + π 0 . 10 0 . 10 4 / 0 . 2 / 2 4 R = + 4 T 2 y π T y R 10.1 m. Kraftens momentarm kring luckan centrum är T R y y − , och momentet blir 5 6 T R R 10 23 . 1 m ) 0 . 10 1 . 10 ( N 10 23 . 1 ) ( × = − × = − = y y F T Nm. _________________________________________________________________________ 2.8 Flytkraft, Arkimedes princip Samma princip som används för att beräkna hydrostatisk kraft på en yta kan användas för att beräkna nettotryckkraften för kroppar nedsänkta i en fluid och flytande kroppar. Följande upptäcktes av Arkimedes på 200-talet före vår tideräkning: ♦ En kropp helt nedsänkt i en fluid påverkas av en flytkraft (eng. buoyancy force) som är lika med tyngden av den fluid som den undantränger. V g ρ F B f = (2.16) där fluidens densitet och f ρ V den undanträngda volymen. ♦ En flytande kropp undantränger en fluidmängd motsvarande sin egen tyngd i den fluid i vilken den flyter. Ekvation (2.16) kan enkelt bevisas m.h.a. Gauss’ sats. Nettotryckkraften på en nedsänkt kropp är lika med integralen av trycket över kroppens yta, | | ∫ ∫ ∇ − = = − = V V d p dA p A ) ( sats Gauss' ˆ p n F . Enligt ekv. (2.3) gäller , där k ˆ f g ρ p − = ∇ f ρ är fluidens densitet, dvs. V g ρ d g ρ F z f f , p = = ∫ V V . _________________________________________________________________________ Exempel 2.5 En heliumballong svävar i luften på en höjd där luftens temperatur är 27°C och trycket 99.0 kPa. Om trycket i ballongen är 102.0 kPa och ballongmaterialets massa är 0.27 kg hur stor är då ballongens volym? Kraftjämvikt ger: g m m g m F B ) ( He material tot + = = 30 F B mg Figur E2-5. Svävande heliumballong. Enligt Arkimedes princip, , vilket ger V g ρ F B luft = material He luft m m ρ = − V Ideala gaslagen: samt ) /( He He He T R p m V = ) /( luft luft luft T R p ρ = , där 2077 J/kg K och 287 J/kg K. Efter insättning fås = He R = luft R = − = He He luft luft material R p R p T m V 0.27 m 3 Volymen som ballongens material upptar har försummats. _________________________________________________________________________ 31 3. VISKÖS STRÖMNING 3.1 Rörelseekvationer 3.1.1 Kontinuitetsekvationen på differentiell form Betrakta ett tredimensionellt infinitesimalt litet område (volym) kring en viss fixerad punkt i en strömmande fluid. Längderna i resp. koordinatriktning är x δ , y δ och , se Figur 3-1. z δ δy δx δz x y z 2 x x m m x x δ ∂ ∂ + & & x m& i ˆ j ˆ k ˆ 2 x x m m x x δ ∂ ∂ − & & Figur 3-1. Volym för härledning av kontinuitetsekvationen. Nettoutströmningen genom arean z y A x δ δ = i x-led: x x m x x m m x x m m x x x x x δ δ δ ∂ ∂ = ∂ ∂ − − ∂ ∂ + & & & & & ) 2 ( 2 där massflödet m . Nettoutströmningen i x-led kan alltså skrivas z y u ρ uA ρ x x δ δ = = & z y x x u ρ x x m x δ δ δ ∂ ∂ = δ ∂ ∂ ) ( & På motsvarande sätt fås nettoutströmningen i y- respektive z-led. Summering av nettoutströmningen i samtliga riktningar ger den totala nettoutströmningen Total nettoutströmning = z y x z w ρ y v ρ x u ρ δ δ δ ( ¸ ( ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( Minskningen av massa per tidsenhet inom volymen fås enligt z y x t ρ t m δ δ δ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − Enligt lagen om massans bevarande måste den totala nettoutströmningen vara lika med minskningen av massa per tidsenhet 33 z y x t ρ z y x z w ρ y v ρ x u ρ δ δ δ ∂ ∂ − = δ δ δ ( ¸ ( ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( eller 0 ) ( ) ( ) ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w ρ y v ρ x u ρ t ρ (3.1) Vid inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u (3.2) Med vektornotation kan (3.1) och (3.2) skrivas 0 ) ( = ⋅ ∇ + ∂ ∂ V ρ t ρ resp. 0 = ⋅ ∇ V . 3.1.2 Navier-Stokes ekvationer I kap. 2 studerades Newtons andra lag för ett statiskt fluidelement, där fluidelementet endast påverkades av tryckkrafter och volymskrafter (gravitationskrafter), V m F F a δ δ δ + = p För en strömmande fluid påverkas fluidelementet även av viskösa krafter (friktionskrafter), τ δ + δ + δ = δ F F F a V m p (3.3) Vid inkompressibel strömning med konstanta fluidegenskaper kan de viskösa krafterna (per volymsenhet samt rätvinkligt koordinatsystem) tecknas enligt, se White (2003): k j i ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y w x w µ z v y v x v µ z u y u x u µ (3.4) Accelerationsvektorn (materiella derivatan av hastigheten), se kap. 1, skrivs enligt z w y v x u t Dt D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = V V V V V a Insättning i ekv. (3.3) samt division med densiteten ger följande skalära ekvationer 34 x-led: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 z u y u x u x p g z u w y u v x u u t u x ρ µ ρ (3.5a) y-led: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 z v y v x v y p g z v w y v v x v u t v y ρ µ ρ (3.5b) z-led: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 z w y w x w z p g z w w y w v x w u t w z ρ µ ρ (3.5c) Tillsammans med kontinuitetsekvationen brukar dessa s.k. impulsekvationer kallas Navier- Stokes ekvationer, se Panton (1996). Tyvärr kan de endast lösas analytiskt för ett fåtal, relativt enkla laminära strömningsproblem. I övriga fall är man hänvisad till experimentella undersökningar och/eller numeriska metoder. Med vektornotation kan rörelseekvationerna (3.2, 3.5) skrivas mer kompakt: 0 = ⋅ ∇ V V g V V V V 2 1 ) ( ∇ + ∇ − = = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ρ µ ρ p Dt D t . 3.2 Cylinderkoordinater u r u z u θ r θ z y x Figur 3-2. Cylinderkoordinater. I cylinderkoordinater fås följande rörelseekvationer vid stationär, inkompressibel strömning med konstanta ämnesstorheter: 35 Kontinuitetsekvationen: 0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 = ∂ ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ θ z u u r r u r r z r (3.6) Impulsekvationer: r-led: | | . | \ | ∂ ∂ − − ∂ ∂ + ∂ ∂ + | | . | \ | ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − = = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ θ θ θ θ θ u r r u z u u r r u r r r ρ µ g r p ρ r u z u u u r u r u u r r r r r z z r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (3.7a) θ-led: | | . | \ | − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + | | . | \ | ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − = = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 r u u r z u u r r u r r r ρ µ g r p ρ r u u z u u u r u r u u r r z r θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ (3.7b) z-led: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + | | . | \ | ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 z u u r r u r r r ρ µ g z p ρ z u u u r u r u u z z z z z z z z r θ θ θ (3.7c) 3.3 Tillämpningar 3.3.1 Stationär, laminär strömning mellan två parallella plan Betrakta stationär, inkompressibel, fullt utvecklad laminär strömning mellan två oändligt breda parallella plan, s.k. plan Poiseuille-strömning, se Figur 3-3. För denna typ av strömning rör sig fluidpartiklarna i x-riktningen parallellt med planen; ingen hastighet i y- eller z- riktningarna, 0 , 0 = = w v 0 / ) ( = ∂z . Strömningen kan även antas vara tvådimensionell, oberoende av z- riktningen, ∂ . Vidare är tryckgradienten i x-riktningen, = = ∂ ∂ − B x p / konstant. 36 y h x g u(y) Figur 3-3. Laminär strömning mellan två parallella plan. Då strömningen är stationär gäller 0 / ) ( = ∂ ∂ t . Då även ger kontinuitetsekvationen (3.2) att 0 , 0 = = v w 0 / = ∂ ∂ x u , d.v.s. u ) ( y u = . Gravitationen antas verka i negativ y-riktning, g g y − = . Ekv. (3.5) ger x-led: 2 2 0 dy u d µ x p + ∂ ∂ − = (3.8) y-led: y p ρ g ∂ ∂ − − = 1 0 (3.9) Efter integrering av (3.9) fås ) (x f ρgy p + − = Derivering m.a.p. x ger men tryckgradienten i x-riktningen är enligt förutsättningarna konstant, vilket ger dx df x p / / = ∂ ∂ f 1 ) ( C Bx x + − = och 1 C Bx ρgy p + − − = . Vid positionen kan trycket antas vara givet ) 0 , 0 ( = = y x 0 p ) 0 , 0 ( y x p = = = . Tryckfördelningen kan nu tecknas 0 p Bx ρgy p + − − = (3.10) Insättning i ekv. (3.8) ger . 2 2 konst µ B dy u d = − = Efter integrering fås 2 C y µ B dy du + − = samt 3 2 2 2 1 C y C y µ B u + + − = 37 Randvillkoren samt 0 ) 0 ( = = y u 0 ) ( = = h y u ger konstanterna C resp. C . Hastighetsfördelningen blir 2 3 ) / / ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 h y h y Bh y hy B u − = − = µ µ (3.11) Den maximala hastigheten fås i symmetriplanet 2 / h y = µ Bh u 8 2 max = (3.12) Volymflödet per breddenhet (bredd b) ges av µ Bh dy y hy µ B dy u dA u b b h y y h y y h y y 12 ) ( 2 1 3 0 2 0 0 = − = = = ∫ ∫ ∫ = = = = = = V & (3.13) Medelhastigheten: max 2 3 2 12 u µ Bh bh A V = = = = V V & & (3.14) Ett annat enkelt strömningsproblem är då t.ex. det övre planet i fallet ovan rör sig med en konstant hastighet U i x-riktningen utan tryckgradient i x-riktningen (jfr. Ex. 1.2), s.k. Couette-strömning. y h x g U u(y) Figur 3-4. Strömning mellan parallella plan där övre planet rör sig med hastigheten U. Impulsekvationen i x-riktningen reduceras i detta fall till 0 2 2 = dy u d (3.15) Med randvillkoret vid det övre planet u U h y = = ) ( fås lösningen 38 h y U u = (3.16) Då randvillkor och rörelseekvationer till strömningarna ovan (3.11) och (3.16) är linjära kan dessa lösningar superponeras vilket resulterar i s.k. Couette-Poiseuille-strömning ) ( 2 2 y hy µ B h y U u − + = (3.17) 3.3.2 Stationär, laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt Stationär, inkompressibel och laminär strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt benämns vanligen Hagen-Poiseuille-strömning. Betrakta tryckdriven strömning i ett horisontellt rör med radien R, Figur 3-5. r θ R y z g Figur 3-5. Strömning i horisontellt cirkulärt rör. Eftersom geometrin är cylindrisk är det lämpligt att använda ett cylindriskt koordinatsystem, ekv. (3.6, 3.7). Strömningen antas vara parallell med z-riktningen, . Kontinuitetsekvationen (3.6) ger då att 0 , 0 = = θ u u r 0 / = ∂ ∂ z u z . Vidare gäller vid stationär, axisymmetrisk strömning att z u är oberoende av tiden och koordinaten θ vilket innebär ) (r u u z z = . Vidare gäller, liksom vid strömning mellan parallella plan, att tryckgradienten i strömningsriktningen är konstant, B z p = ∂ ∂ − / . Impulsekvationerna (3.7) förenklas under dessa förhållanden till r-led: r p ρg ∂ ∂ − − = θ sin 0 (3.18a) θ-led: θ θ ∂ ∂ − − = p r ρg 1 cos 0 (3.18b) z-led: | | . | \ | | . | \ | + ∂ ∂ − = dr du r dr d r µ z p z 1 0 (3.18c) Ekvationen för tryckfördelningen blir densamma som vid plan Poiseuille-strömning. Ekvation (3.18c) skrivs enligt 39 µ B dr du r dr d r z − = | . | \ | 1 Integration två gånger ger hastighetsfördelningen. 1 2 2 1 C r µ B dr du r z + − = 2 1 2 ln 4 1 C r C r µ B u z + + − = Då hastigheten måste vara ändlig då gäller 0 → r 0 1 = C . Vid väggen (r = R) är hastigheten noll. Hastighetsfördelningen blir ) / 1 ( 4 ) ( 4 2 2 2 2 2 R r BR r R B u z − = − = µ µ (3.19) Volymflödet fås enligt µ π π 8 2 4 0 0 R B dr r u dA u R z R z = = = ∫ ∫ V & (3.20) och medelhastigheten µ π 8 2 2 BR R A V = = = V V & & (3.21) Maximal hastighet fås i centrum av röret (r = 0). Från (3.19) och (3.21) inses att maximala hastigheten är dubbla medelhastigheten, u V 2 max = . De fullständiga rörelseekvationerna för en Newtonsk fluid vid inkompressibel strömning (jämte en strikt matematisk härledning vilande på fysikalisk grund) presenterades så sent som 1845 av britten Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). Motsvarande ekvationer hade tidigare (1827) publicerats av frans- mannen Claude L. M. -H. Navier (1785-1836). I Naviers arbete var dock inte viskositet klart definierat, hans härledning var dessutom baserad på en idag helt förkastlig partikel- modell. För att trots detta hedra Naviers bidrag i den historiska utvecklingen benämns ekva- tionerna idag för Navier-Stokes ekvationer. George Gabriel Stokes 40 4. BERNOULLIS EKVATION 4.1 Newtons andra lag Enligt Newtons andra lag är nettokraften (F) på en fri kropp (partikel) med massan m lika med massan gånger accelerationen, a F m = . Ett fluidelement, en liten makroskopisk ansamling av en fluid med en viss massa, kan i varje tidsögonblick betraktas som en fri kropp. Kraftbalans för ett fluidelement med massan m δ ger a F F F F m V δ = δ + δ + δ = δ τ ter volymskraf krafter viskösa er tryckkraft p (4.1) I detta kapitel antas de viskösa krafterna försumbara, strömningen antas friktionsfri. a F F F m V δ = δ + δ = δ ter volymskraf er tryckkraft p (4.2) De enda volymskrafter som beaktas i denna kurs är gravitationskrafter ( g F m V δ = δ ), således a g F F m m δ = δ + δ = δ p (4.3) Betrakta nu en stationär strömning i xz-planet där ) , 0 , 0 ( g − = g . Strömningsfältet kan illustreras med hjälp av s.k. strömlinjer. För en strömlinje gäller att hastighetsvektorn är tangentvektor till linjen i varje punkt. Vid stationär strömning följer fluidpartiklarna (fluidelementen) strömlinjerna d.v.s. strömlinjer är då liktydiga med partikelbanor. Betrakta nu en strömlinje längs vilken ett fluidelement förflyttar sig, se Figur 4-1. z x V strömlinje (V tangentvektor) fluidelement s R - krökningsradie g n ˆ s ˆ Figur 4-1. Avståndet från elementets utgångsläge betecknas s, och beror av tiden, s(t). Vi tänker oss ett rätvinkligt koordinatsystem som följer strömlinjen, där betecknar enhetsvektorn längs strömlinjen och n enhetsvektorn vinkelrät mot strömlinjen. Strömlinjens lokala kröknings- s ˆ ˆ 41 radie är R. Strömningsfältet kan nu beskrivas av koordinaterna s och n med basvektorerna s resp. . Hastighetsvektorn kan skrivas: ˆ n ˆ sˆ s V V( dt dV dV ρ s n V ˆ ˆ s n V V = + = (4.4) där sista ledet följer av att hastigheten tvärs strömlinjen per definition är noll ( 0 n = V ). Fluidelementets absoluthastighet: V = ¦V¦= V s . Längs strömlinjen är dn = 0, d.v.s. . Elementets acceleration skrivs dt ds s V / ) = = n s a ˆ ˆ n s a a + = . Längs strömlinjen fås accelerationen m.h.a. kedjeregeln, | | s V V dt ds s V t s V dt d a s s ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = ) ( (4.5) Accelerationen tvärs strömlinjen är elementets centripetalacceleration, R 2 n n V dt a = = (4.6) s ^ ^ n (p - δps ) δn δy (p + δps ) δn δy (p - δpn ) δs δy (p + δpn ) δs δy g δmg θ δs δz θ δn δz Tvärs strömlinjen δn δs Längs strömlinjen Figur 4-2. Krafter på ett fluidelement längs en strömlinje (friktionsfri strömning). 4.1.1 Bernoullis ekvation längs en strömlinje Betrakta ett fluidelement som förflyttar sig längs en strömlinje enligt Figur 4-2. Fluidelementets volym är y n s δ δ δ = δV . Elementets (partikelns) dimensioner kan antas vara extremt små, vid kontinuumsgränsen. Densiteten förutsätts variera i fältet, för elementet kring den betraktade punkten kan dock densiteten betraktas som konstant. Dess massa är y n s ρ m δ δ δ = δ = δ V (4.7) 42 Strömlinjens vinkel mot horisontalen är betecknad med θ och gravitationskraften i s- riktningen blir θ δ δ sin V ρg g m s − = (4.8) Elementets ändytor är vinkelräta mot strömlinjen och då ytorna är så små kan trycket över respektive yta anses vara konstant. Dessa tryck är dock inte lika utan skiljer sig beroende på den differentiella skillnad som uppstår vid en förflyttning i fältet. Trycket i elementets centrum är p och vid ändytorna (längs strömlinjen) är trycken s p p δ − (vid 2 / s s δ − ) respektive (vid ). Då förflyttningen s p p δ + 2 / s s δ + 2 / s δ är så liten gäller 2 s s p p s δ ∂ ∂ = δ (4.9) Netto tryckkraft i s-riktningen: V δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ s p y n p y n p p y n p p F s s s s ∂ ∂ − = − = + − − = 2 ) ( ) ( , p (4.10) Efter division av elementets volym V δ fås enligt Newtons andra lag (insättning av 4.5, 4.8 och 4.10 i 4.3) s V ρV s p ρg ∂ ∂ = ∂ ∂ − − θ sin (4.11) Längs strömlinjen (dn = 0): ds dp s p ds dV s V ds dz = ∂ ∂ = ∂ ∂ = , , sinθ . Termen ds dV V kan skrivas som | | . | \ | = 2 2 V ds d ds dV V . Efter insättning och multiplikation av ds fås slutligen 0 2 2 = + | | . | \ | + dz g ρ V d ρ dp (4.12) vilket är Bernoullis ekvation på differentiell form. Efter integrering längs strömlinjen samt vid inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås den mer kända formen av Bernoullis ekvation . 2 2 konst z g ρ V ρ p = + + (4.13) Konstanten i högerledet beror av vilken strömlinje som följs. Observera ekvationens inskränkningar: Stationär, friktionsfri och inkompressibel strömning längs en strömlinje. De olika termerna i Bernoullis ekvation har alla samma dimension (tryck), och benämns vanligen 43 p statiskt tryck, det verkliga trycket 2 2 V ρ dynamiskt tryck z g ρ höjdtryck (piezometriskt tryck) Bernoullis ekvation (4.13) kan tillämpas mellan två olika punkter (1) och (2) längs en strömlinje enligt 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 z g ρ V ρ p z g ρ V ρ p + + = + + (4.14) För det instationära fallet skrivs ekv. (4.12), se White (2003) 0 2 2 = + | | . | \ | + + ∂ ∂ dz g ρ V d ρ dp ds t V ρ (4.12b) År 1738 publicerade matematikern och fysikern Daniel Bernoulli (1700-1782) en avhandling på latin med titeln ”Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii”. I detta verk härleds och tillämpas olika samband för friktionsfri, ideal strömning. Dessa är till sin form snarlika de ovanstående men innehåller inte det statiska trycket (p) så explicit, detta inkluderades senare (1755) av Daniels gode vän Leonhard Euler (1707-1783). I Eulers fall var sambanden härledda utifrån de fullständiga rörelseekvationerna för ett kontinuum vid friktionsfri strömning. Daniel Bernoulli _________________________________________________________________________ Exempel 4.1 Betrakta strömlinjerna kring en kropp nedsänkt i strömmande vatten (ρ = 1000 kg/m 3 ), Figur E4-1. Betrakta en viss strömlinje mellan punkten A och B. Långt borta från kroppen i det ostörda strömningsfältet, punkt A, är hastigheten 3.0 m/s. Nära kroppen, vid B, trängs strömlinjerna samman och hastigheten i punkt B är 4.5 m/s. Punkterna A och B befinner sig på samma horisontella höjd. Beräkna statiska trycket i punkten B då statiska trycket i punkten A är 104 kPa och strömningen kan betraktas som friktionsfri. 44 B A Figur E4-1. Enligt Bernoullis ekv. (4.14) fås B 2 B A 2 A A 2 2 z g ρ V ρ p z g ρ V ρ p B + + = + + Med fås trycket i punkt B B A z z = = − + × = − + = ) 5 . 4 0 . 3 ( 2 1000 10 104 ) ( 2 2 2 3 2 B 2 A A B V V ρ p p 98375 Pa Trycket i punkt B är 98.4 kPa. _________________________________________________________________________ 4.1.2 Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje Newtons andra lag tillämpad tvärs strömlinjen i Figur 4-2 ger 2 cos R V ρ n p ρg = ∂ ∂ − − θ (4.15) Tvärs strömlinjen (ds = 0): dn dp n p dn dz = ∂ ∂ = , cosθ . Efter insättning samt multiplikation med dn fås 0 2 = + + dz g ρ dn V ρ dp R (4.16) Speciellt för inkompressibel strömning (ρ = konstant) fås efter integration tvärs strömlinjen ∫ = + + . 2 konst z g ρ dn V ρ p R (4.17) vilken brukar benämnas Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje. Observera att i områden där strömningen är rätlinjig, d.v.s. där R → ∞, fås en hydrostatisk tryckvariation tvärs strömlinjer, t.ex. vid strömning i raka rör. 45 _________________________________________________________________________ Exempel 4.2 Figur E4-2 visar två olika typer av strömning med cirkulära strömlinjer, (a) s.k. stelkroppsvirvel , samt (b) potentialvirvel V r C r V 1 ) ( = r C r / ) ( 2 = , där C och är konstanter. 1 2 C r n ^ r n ^ V(r) V(r) (a) V(r) = C 1 r (b) V(r) = C 2 /r 'stelkroppsvirvel' 'potentialvirvel' y y x x Figur E4-2. Strömningarna antas vara stationära, friktionsfria, inkompressibla samt oberoende av koordinatriktningen z. Strömlinjerna är cirkelformade med koordinaten n i motsatt riktning mot koordinaten r, (d/dn = −d/dr), och krökningsradien ges av R = r. Enligt ekv. (4.16) fås r V ρ dr dp 2 = . Insättning av hastigheten V för de två fallen ger (a) r ρC dr dp 2 1 = (b) 3 2 2 r C ρ dr dp = Eftersom dp/dr > 0 ökar trycket med radien i bägge fallen (d.v.s. trycket minskar mot centrum). Integrering ger (a) konstant 2 ) ( 2 2 1 + = r ρC r p (b) konstant 2 ) ( 2 2 2 + − = r ρC r p 46 Vid en given radie, , antas trycket givet, 0 r r = 0 p p = . Konstanterna kan nu lösas och trycken fås enligt 1 1 (a) (b) r/r 0 p/p 0 (a) ) ( 2 1 2 0 2 2 1 0 r r C ρ p p − = − (b) ) / 1 / 1 ( 2 1 2 2 0 2 2 0 r r C ρ p p − = − Figur E4-2b. _________________________________________________________________________ 4.2 Tillämpningar av Bernoullis ekvation 4.2.1 Stagnationspunkt Betrakta strömlinjerna kring en trubbig kropp i ett homogent strömningsfält, Figur 4-3. På stort avstånd framför kroppen är strömningsfältet ostört, strömlinjerna parallella och hastigheten lika stor överallt. Exempel på sådan strömning är när ett föremål rör sig med konstant hastighet genom ett stillastående medium. Genom en betraktelse relativt den rörliga kroppen fås ett system där kroppen är stilla medan mediet strömmar mot kroppen, med samma hastighet som kroppen fast i motsatt riktning. s s p V p s V s Figur 4-3. Strömlinjer kring en trubbig kropp i ett strömningsfält. Trycket och hastigheten i det fria strömningsfältet betecknas p resp. V. För en strömlinje som lokalt närmar sig en vinkelrät anströmning vid kroppen kring punkten s kommer krökningsradien R gå mot noll, R → 0. Lokalt vid punkten s ger då Bernoullis ekvation tvärs en strömlinje (ekv. 4.16): R 2 s V ρ dn dp = − 47 Tryckvariationen vid s måste dock vara begränsad varför då R → 0 måste det också gälla att ; hastigheten i punkten s är således noll. 0 → s V En punkt i ett strömningsfält där hastigheten är noll kallas stagnationspunkt. För en strömlinje enligt ovan gäller s s s s s z g ρ p z g ρ V ρ p z g ρ V ρ p + = + + = + + 2 2 2 2 (4.18) Speciellt för horisontell anströmning (dz = 0) fås 0 stryck stagnation 2 2 p V ρ p p s = + = 43 42 1 (4.19) Trycket kallas stagnationstryck och är lika med summan av statiskt och dynamiskt tryck i den ostörda strömningen. ∗ 0 p 4.2.2 Utströmning ur vätskebehållare Betrakta en mot omgivningen öppen vätskebehållare ur vilken det strömmar vätska, Figur 4-4. V h (1) (2) d z Figur 4-4. Utströmning ur vätskebehållare. Strömningen i behållaren antas uppfylla villkoren för Bernoullis ekvation, vilken appliceras för en strömlinje mellan punkt (1) och (2). 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 z g ρ V ρ p z g ρ V ρ p + + = + + ∗ Allmänt är stagnationstryck det tryck som erhålls vid en tänkt förlustfri inbromsning till hastigheten noll under adiabatiska förhållanden. 48 Behållaren är så stor att hastigheten vid (1) är försumbar, V V V =