Definisi 6.17 : Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga. (tetrahedron) Definisi 6. 18 : Macam-macam bidang empat : 1. Bidang empat tegak yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncak tepat pada salah satu titik sudut alas. Ket : TA tegak lurus bidang alas ABC 2. bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang memepunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut tegak lurus. Ket : TA ⊥ AC, TA ⊥ AB, AC ⊥ AB 3. Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidangn batasnya kongruen. Ini berarti bidang empat yang rusuk-rusuknya semua sama panjang. Ket : Δ TAB ≅ Δ TAC ≅ Δ TBC ≅ Δ ABC 4. limas berisi tiga beraturan adalah bidang empat, tetapi belum tentu merupakan bidang berupa segitiga sama sisi, sedangkan sisi-sisi tegaknya cukup segitiga T sama kaki, sehingga tidak perlu sam sisi. Ket : Δ TAB ≡ Δ TBC ≡ Δ TAC ≡ Δ TAC A C B 5. bidang empat ortoghonal adalah suatu bidang empat dengan sepasang rusuk yang saling berhadapan dan bersilangan saling tegak lurus. C D T Ket : TA bersilangan ⊥ dengan BD TB bersilangan ⊥ dengan AD TD bersilangan ⊥ dengan AB Teorema 6. 10 : Jika dalam sebuah bidang empat titik kaki sebuah garis tinggi dari suatu titik sudut berimpit dengan titik tinggi sisi di depan titik sudut itu, maka bidang empat itu orthogonal. Bukti : Diketahui : bidang empat ABCD.CT = garis tinggi T = titik tinggi sisi ABD Buktikan : AB ⊥ CD AC ⊥ BD BC ⊥ AD Pembuktian : CT merupakan garis tinggimaka CT ⊥ ABD, maka : CT ⊥ AB CT ⊥ AD CT ⊥ BD B A • BC ⊥ AD Titik tinggi dalam segitiga ABD. BT ⊥ AD Karena CT ⊥ AD dan BT ⊥ AD, maka : AD ⊥ Δ BTC sehingga AB ⊥ AD (terbukti) • AB ⊥ CD Titk tinggi dalam segitiga abd. DT ⊥ AB Karena CT ⊥ AB dan DT ⊥ AB, maka : AB ⊥ Δ DTC sehingga AB ⊥ CD (terbukti) • AC ⊥ BD Titik tinggi dalam segitiga ABD. AT ⊥ BD Karena CT ⊥ BD dan AT ⊥ BD, maka : BD ⊥ Δ ATC sehingga AC ⊥ BD (terbukti) Maka bidang empat ABCD orthogonal. (terbukti) B. beberapa istilah yang terdapat pada bidang empat T C D A B 1. bidang berat adalah bidang yang memuat suatu rusuk dan melalui pertengahan rusuk yang berhadapan. Dalam bidang empat T. ABC, ADT merupakan salah satu bidang beratnya. 2. garis bidang empat adalah garis penghubung titik sudut dengan titik berat sisi yang depannya. PT merupakan salah satu garis berat. Ada empat macam garis berat! P C A T B 3. titik berat bidang empat adalah perpotongan sembarang dua garis berat bidang empat. Titik Z merupakan titik berat. P C A T Teorema : Da;am sebuah bidang empat ke empat garis beratnya melalui sebuah titik dan saling membagi menurut perbandingan 3 :1. P P Z A G C G T D A B D Z D Pembuktian : Titik T dan G merupakan titik berat pada Δ CBP dan Δ ABC maka gari berat kedua segitiga tersebut yaitu AT dan GP berpotongan di D (D pertengahan BC) Garis berat dibidang empat P.ABC yang terletak pada Δ APD yaitu AG dan PT berpotongan di Z. Δ ADP, dihubungkan G dan T GT // AP dan GT : PA = DG : PD = 1:3 ……………(1) Δ GZT - Δ AZP GT : PA = GZ : AZ = TZ : ZP ……………………...(2) Dari (1) dan (2) :APB GT :PA = GZ : AZ = TZ : ZP = 1:3 Maka : GZ : AZ = TZ : ZP = 1:3 atau AZ : GZ = ZP : TZ = 3:1 (terbukti) T C. luas permuakaan limas A H C B G L = luas alas ABC + (luas TAB + Luas TBC + luas F TAC) E L = luas alas ABC + jumlah luas sisi-sisi tegak Maka luas permukaan limas : L = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegakO C D A B D. volume limas pada kubus ABCD.EFGH, titik O berpotongan diagonal ruang, sehingga terdapat 6 limas segi empat yang kongruen. Dan tinggi limas itu setengah dari rusuk kubus. Karena keenam limas tersebut kongruen, karena masing-masing bidang alasnya berupa bidang sisi kubus, dan bidang sisi teaknya kongruen. Maka volume masing-masing limas segi empat tersebut sama, sehingga : 1 3 6s 1 1 2 s s 3 3 1 3 Volume masing-masing limas = = = s 2 1 s 2 Volume = Maka Volume limas = 1 × luas alas × t 3 1 × luas alas × t 3 D. TEOREMA MINELAUS DAN DE CEVA DALAM PLANIMATRI Untuk mencari panjang suatu garis,m perlu mempelajari teorema minelaus dan de ceva Beberapa istilah yang ada : C garis yang memotong ketiga sisi sebuah segitiga (atau a. Transversal : sebarang perpanjangannya) PR adalah transversal P Q A R b. transversal titik sudut : garis transversal yang melalui sebuah titk sudut. C A1 A B Garis AA adalah tranversal sudut A 1. teorema minelaus 2. jika sebuah segitiga kakinya (atau perpanjangannya) dipotong oleh sebuahtransvesal, maka diantara bagian-baigian sisi segitiga tedapat hubungan : AB1 BC1 CA1 × × = 1 dengan : CB1 AC1 BA1 C1 adalah titik potong transversal pada AB A1 adalah titik potong transversal pada BC B1 adalah titik potong transversal pada AC Bukti : langkah-langkah : a. pada ABC, garis AB diperpanjang , garis BC diperpanjang dan garis AC diperpanjang. b. 2. kemudian dari perpanjangan itu dibuat garis transversal C1B1 yang B melalui titik potong C1A1B1. c. Tarik melalui A, B, dan C garis yang sejajar yang memotong transversal C1B1 pada P, Q, R, maka didapat : B A S c C 1 P Q R B1 A1 Pada Δ APB1 dan Δ CRB 1 (sebangun) Maka AB1 AP = …………………. (1) CB1 CR Pada Δ BQA1 dan Δ CRA1 (sebangun) Maka BA1 BQ = ………………….( 2) CA1 CR Pada Δ BQC1 dan Δ APC1 (sebangun) Maka BC1 BQ = …………………..(3) AC1 AP Dari (1), (2), (3), Didapat : AB1 CB1 = BC1 AC1 = CA1 BA1 = CR AP BQ = = = 1 (terbukti) BQ CR AP E. TEOREMA DE CEVA jika dalam sebuah segitiga trasversal titik sudut yang melalui sebuah titik, maka antara bagian –bagian sisi-sisi segitiga terdapat hubungan : AB1 CB1 Bukti : = BC1 AC1 = CA1 BA1 =1 B C1 A1 A B1 C AB1 CB1 = Luas∆ABB1 Luas∆ASB1 Luas∆ASB = = Luas∆CBB1 Luas∆CSB1 Luas∆CSB BC1 AC1 = Luas∆BCC1 Luas∆BSC1 Luas∆BSC = = Luas∆ACC1 Luas∆ASC1 Luas∆ASC CA1 BA1 = Luas∆CAA1 Luas∆CSA1 Luas∆CSA = = Luas∆BAA1 Luas∆BSA1 Luas∆BSA Dari (1), (2), dan (3) didapat : Luas∆ASB Luas∆CSB Luas∆BSC Luas∆ASC Luas∆CSA Luas∆BSA AB1 CB1 × BC1 AC1 × CA1 BA1 = = = = 1 (terbukti)