FRACTALES FRACTALES Miguel Ángel Ortiz Peñaranda B2IC ÍNDICE 1- Definición de fractal 1.1- Historia de los fractales 2- Características 2.1- Iteración 2.2- Dimensión fractal 2.3- Límites inferior y superior en fractales en la naturaleza 2.4- Autosimilitud 3- Clasificación 3.1- Derivados de la geometría estándar 3.2- IFS (sistemas de funciones iterativas) 3.3- Atractores extraños 3.4- Fractales plasma 3.5- L-systems (sistemas de Lindenmayer) 3.6- Por iteración de polinomios complejos 4- Los fractales en la naturaleza 5-Los fractales y el caos 6- Producción de fractales 6.1- Por iteración 6.2- Por transformaciones de afinidad en el plano 6.3- En laboratorios por procedimientos físico-químicos. Por ejemplo: Electrodeposición 6.4- Mediante aplicaciones informáticas 7- Aplicaciones de los fractales 8- Conclusiones 9- Bibliografías y referencias 1. Definición: ¿Qué es un fractal? Un fractal es un objeto que consta de una estructura básica, la cual se repite a diferentes escalas. Al mirar muy de cerca (a través de un microscopio, por ejemplo) los objetos que no presentan una estructura fractal, podemos apreciar hasta el último detalle de éstos, ya que están definidos hasta una cierta escala. Esto quiere decir que, si los aumentamos cada vez más, llega un punto en que ya está todo a la vista y no se puede apreciar más información sobre su superficie. Sin embargo, un fractal es un objeto infinitamente detallado; cuanto más y más te acercas, se vuelve a repetir su estructura y más detalles muestra. Se puede decir de los fractales, por lo tanto, que tienen una estructura infinitamente detallada y una complejidad prácticamente ilimitada, lo que les confiere una belleza tan increíble como sorprendente. Figura 1: Ejemplo de la complejidad que un fractal puede poseer 1.1 Historia de los fractales: Los primeros fractales datan aproximadamente del año 1890 por el francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedó congelado en los años 20. Fue más tarde, en 1975, cuando el matemático Benoît Mandelbrot reanudó los estudios de fractales y propuso el término de “fractal”, el cual deriva del latín “fractus”, que significa quebrado o fracturado El Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, llevó a cabo experimentos de computadora en lo que respecta al campo de los fractales, y es considerado como el padre de la geometría fractal. En honor a él, uno de los conjuntos que él investigó fue nombrado en su nombre. En 1975, Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” (en francés). En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, que trataba sobre la dimensión fractal en la naturaleza. Otros matemáticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área explorando más las matemáticas que sus aplicaciones. Desde la década del '70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemática con la ayuda de las computadoras modernas. Figura s 2.1 y 2.2: Henri Poincaré y Benoît Mandelbrot 2- Características ( Iteración. La iteración es la repetición de un patrón en el fractal. Se produce partiendo de una figura simple que se repite de una forma u otra hasta formar una figura infinitamente compleja como son los fractales. Es un mecanismo de retroalimentación, que se repite un número n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un valor inicial en el cálculo de cierta función, y luego tomar el producto, o resultado, como valor inicial para el próximo cálculo de esa misma función. Dicha operación puede repetirse indefinidamente (incluso infinitamente), produciendo una iteración. Cualquier proceso semejante tendrá como resultado un fractal. La figura no tiene por que ser precisamente geométrica, sino que también puede ser el resultado de la representación de ecuaciones matemáticas de forma bidimensional o tridimensional. En ésta imagen se puede apreciar un ejemplo de iteración en fractales: Figura 3: Ejemplo de iteración (Dimensión fractal. En geometría de fractales, la dimensión fractal, D, es un término que se utiliza para representar cada una de las dimensiones que el fractal contiene. Éste termino puede llevar un subíndice para diferenciar dichas dimensiones unas de otras (Puesto que un fractal puede tener más de una diferente). De esta forma, se representa cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía su superficie hacia escalas más y más finas. Entre estas definiciones está la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi, las cuales, cumplen con la siguiente cadena de desigualdades: Donde: es la dimensión topológica que es siempre un entero. es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicos suele ser un número irracional. es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensión de Hausdorff. es la dimensión de empaquetado. es la dimensión del espacio euclídeo que contiene al fractal. · Dimensión de Hausdorff-Besicovitch La dimensión de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numéricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayoría de fractales clásicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente más sencillas de calcular). La dimensión de Hausdorff se define con la siguente fórmula: Figura 4: Dimensión de Hausdorff-Besicovitch · Dimensión de empaquetamiento: la dimensión de empaquetado es similar a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, aunque en muchos casos difiere numéricamente de la misma. La diferencia clave entre ambas está en que la de Hausdorff-Besicovitch se define tomando el ínfimo de recubrimientos de diámetro acotado superiormente, mientras que la de empaquetamiento se define tomando el supremo de empaquetamientos de diámetro acotado superiormente. Dicha dimensión cumple con la fórmula siguiente: Figura 5: Dimensión de empaquetamiento · Dimensión de homotecia: Consideremos el simple ejemplo de una manguera enrollada. Desde muy lejos (desde el espacio) tiene dimensión cero, es sólo un punto. Desde más cerca se parece a un objeto sólido, y en consecuencia tiene tres dimensiones. Finalmente, desde dentro del rollo, la manguera se vuelve unidimensional. Así pues, según nuestro punto de vista, la dimensionalidad de la manguera puede ir de cero a tres a una dimensione(s). Los fractales son una forma de ocuparse de lo que ocurre entre medio. Así, la dimensión de homotecia describe dimensiones intermedias. Consideremos, por lo tanto, una figura de lado P, compuesta por p divisiones, por lo que P/p se puede considerar la escala de medición de dicha figura. Por ejemplo, en la figura inferior se puede considerar P/p = 1/3, al ser P=1 y al abarcar p 3 casillas dentro de la unidad de P. Considerando N el tamaño de nuestro fractal, D la dimensión que lo rige, y P/p su escala de medición, se cumple la siguiente expresión: N = (P/p)^D Debido a que queremos obtener la expresión por la que se rige D, la dimensión de homotecia, despejamos D usando logaritmos, y la ecuación resultante sería: Log (N) = Log (P/p) * D ( Despejando D ( D= Log (N) / Log (P/p) – Como se puede apreciar en la imagen: Figura 6: Dimensión de homotecia En ésta imagen se puede apreciar el resultado de la dimensión homotética cuando el número de divisiones varía. También se puede apreciar el resultado en 3D. Figura 7: Dimensión homotética con vista en 3D · Dimensiones de Rényi: Quedan definidas de la siguiente forma: El numerador es la llamada entropía de Rényi de orden α. La dimensión de Rényi con α=0 trata a todas las partes del atractor de manera similar, pero para valores más grandes de α se da un mayor peso en el cálculo a las partes del atractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puede demostrarse la siguiente relación entre las dimensiones de Rényi: Un atractor para el cual las dimensiones de Rényi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se dice que muestra estructura multifractal. Esto es una señal de que un comportamiento a escala diferente ocurre en diferentes partes del atractor. Figura 8: Dimensión de Rényi ( Límites inferior y superior en fractales en la naturaleza. Los fractales que se encuentran en la naturaleza tienen los llamados límites superior e inferior. Esto quiere decir que su estructura no se repite de forma infinita, a diferencia de los fractales simulados por ordenador o creados mediante cálculos matemáticos, sino que hay un rango en el cual el objeto presenta una estructura fractal, determinado por dichos límites. El límite superior de un fractal natural determina la parte macroscópica a partir de la cual la estructura del objeto natural empieza a ser fractal. El límite inferior determina la parte del objeto a partir de la cual se empieza a dejar de dar la estructura fractal. Esto suele suceder en la zona cercana a la atómica. Como experimento, acércate a la nevera y comprueba si tienes a mano un broccoli o una coliflor. Su estructura ramificada es fractal y utilizamos esta observación para sintetizar sus morfologías a través de L-systems e IFS (un tipo de construcción fractal que explicaremos más adelante). La estructura de un broccoli es impresionantemente autosimilar. En este ejemplo, el brócoli posee límites superiores (el brocoli a nivel macroscópico) e inferiores (seguro que no es fractal mucho antes de llegar al nivel atómico). Figura 9: Límite superior en romanéscu (Autosimilitud. La autosimilitud en los fractales consiste en que su superficie a cada una de las escalas a las que se vea va a tener una estructura similar siempre. Es decir, no va a variar por mucho que se aumente. Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud: · Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS). Figura 10: Ejemplo de autosimilitud exacta · Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. · Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo 3- Clasificación Según Javier Barallo, básicamente podemos clasificarlos en 6 grupos: 1.- Derivados de la geometría estándar 2.- IFS (sistemas de funciones iterativas) 3.- Atractores extraños 4.- Fractales plasma 5.- L-systems (sistemas de Lindenmayer) 6.- Por iteración de polinomios complejos 3.1 Fractales derivados de la geometría estándar Los fractales derivados de la geometría estándar son regulares y se construyen a partir de un polígono o de otra figura geométrica, agregando repetidamente copias de él mismo de un tamaño reducido (más pequeñas), de acuerdo a un conjunto de transformaciones geométricas previamente seleccionadas. Probablemente el fractal de este tipo más antiguo fue diseñado por Cantor y data del año 1872. Para generarlo se procede como sigue: Se toma un segmento de tamaño unidad So = [0,1], se divide el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno, se borra la porción central y se dejan los intervalos cerrados restantes. Se procese de la misma forma con todos los subsegmentos resultantes, hasta llegar a una figura como la siguiente: Figura 11: Polvo de Cántor La figura 2, abajo, muestra una representación gráfica de la función de Cantor, a la que suele denominarse “escalera del diablo”, pues posee un número infinito de escalones. Cada escalón corresponde a un intervalo eliminado en el proceso de construcción del conjunto de Cantor. Este conjunto muestra de forma evidente una de las propiedades más importantes de los fractales: la autosimilitud. Figura 12: Gráfica de Cántor A parte de este último, se han creado fractales de mayor complejidad, como los que se muestran a continuación: Figura 13: Simulación fractal que se asemeja a un par de pulmones Se puede apreciar como se parte de un polígono triangular básico a partir del cual se van estructurando copias del mismo con diferente disposición. En éste ejemplo, el árbol se ha construido de la misma forma que el fractal anterior, donde cada nivel de ramificaciones es una copia transformada del tronco. Figura 14: Secuencia fractal de crecimiento de un árbol Son muchos los casos conocidos de este tipos de fractales. Entre ellos cabe mencionar: (a) sobre una línea, el polvo de Cantor y la curva de VonKoch (b) sobre una superficie, el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski (c) en un volumen, la esponja de Menger Otro ejemplo relevante es el triángulo de Sierpinski. Partiendo de la figura inicial de un triángulo equilátero, a la que consideraremos iteración n = 0, dividimos el área de su lado en cuatro triángulos equiláteros más pequeños, usando los puntos medios de los tres lados del triángulo original como los nuevos vértices (iteración n = 1), obteniéndose al centro de la configuración un triángulo equilátero invertido de lado igual a ½, que debe ser removido. Para la iteración n = 2, se repite el proceso con cada uno de los triángulos de lado ½ que han quedado, borrando los tres triángulos equiláteros invertidos de lado ¼. Repitiendo infinitamente el proceso se obtiene una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. Figura 15: Triángulo de Sierpinski El mismo proceso puede ser aplicado a un cuadrado de lado unitario como el de la figura 6 y el conjunto final estará conformado nuevamente por una cantidad no numerable de puntos. El conjunto resultante es llamado Cuadrado de Cantor. Figura 16: Cuadrado de Cántor Con un procedimiento similar al que vimos en el Conjunto de Cantor y su aplicación a una figura cuadrada (en ese caso se eliminaban 5 módulos de un total de nueve en la primera iteración), veremos cómo se forma la denominada alfombra de Sierpinski. Es, por lo tanto, muy similar a su triángulo: Se divide un cuadrado de lado inicial igual a la unidad, en nueve cuadrados idénticos y luego se borra el cuadrado central. Figura 17: Alfombra de Sierpinski Figura 18: Copo de nieve de Koch Los fractales clásicos provenientes de figuras derivadas de la geometría estándar no se restringen a las dos dimensiones. Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un procedimiento semejante al de la alfombra de Sierpinski, obtendremos un volumen muy agujereado que parece una esponja. El descubridor de este interesante caso de la geometría fractal fue Karl Menger (1902-1985), a quien en lugar de eliminar pequeños cuadrados como en la alfombra de Sierpinski, se le ocurrió eliminar pequeños cubos. Figura 19: Esponja de Menger Obviamente, en el límite cuando el procedimiento tiende a infinito, la esponja tiene volumen nulo y superficie infinita. Otro caso sorprendente, de una forma geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaños tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total. También es posible realizar construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones, utilizando tetraedros, como se ve en la figura 8. Figura 20: Tetraedro de Sierpinski Pero estos fractales no solo existen en nuestra mente, sino que se manifiestan en el mundo material. Un claro ejemplo es el romanescu, derivado del brócoli, un fractal natural que se construye estableciendo conos cada vez más pequeños a partir de un eje central. Figura 21: Romanéscu 3.2 Fractales IFS (Sistemas de Funciones Iteradas) Este tipo de fractal fue introducido por M. Barnsley. Matemáticamente se describen mediante un conjunto de funciones lineales sometidas en cada uno de sus puntos a transformaciones por simetría del tipo rotacional y traslacional, mediante aproximaciones sucesivas. Si bien las funciones son introducidas aleatoriamente en el sistema, para obtener una estructura fractal concreta es necesario fijar la función y sus valores. Figura 22: Fractales IFS (Iterated Function System) que simulan plantas Los ejemplos más conocidos, por la generación de imágenes ultrarrealistas, son las simulaciones de helechos y hojas, y otras formas infinitamente detalladas. En el caso de un árbol es posible imaginar la IFS como el “follaje” de ramas infinitamente pequeñas. Existen procedimientos matemáticos conocidos como “algoritmos de iteración aleatoria” que acortan el camino para representar el mapeo de pixeles a partir del follaje fractal muy detallado, sin tener que pasar por ninguna de las aproximaciones sucesivas, esto es, la generación iterativa de varios niveles de “ramas” usando geometría tradicional. Es posible crear estos fractales mediante programas informáticos, los cuales simplifican la labor. Figura 23: Formas en espiral generadas mediante un IFS Dentro de este tipo de fractales entra también el conjunto de Mandelbrot, de extrema importancia, el cual fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera. Éste conjunto será explicado más adelante minuciosamente. Aquí hay algunos ejemplos gráficos del conjunto de Mandelbrot. Figura 24: Distintos ejemplos de variables en el conjunto de Mandelbrot Otros ejemplos de IFS podrían ser fractales como los siguientes: Figura 25: Simulación de formas de estrellas generadas mediante un IFS 3.3 Atractores extraños Estos conjuntos pueden ser considerados como la representación de un sistema dinámico en movimiento caótico, esto significa que ni el lugar de su recorrido ni el tiempo en que lo recorre son idénticos. Estos atractores tienen apariencia muy compleja, formando figuras muy abstractas y están compuestos por una línea de longitud infinita formando bucles entrelazados que no se cruzan en su propia trayectoria. Figura 26: Atractores extraños: a la izquierda, dos ejemplos del fractal Hopalong y a la derecha dos ejemplos del tipo Fractal Dreams Se forman por la repetida ejecución de ciertos cálculos y al listar los resultados numéricos, se caracterizan por parecer valores totalmente azarosos. Sin embargo, al graficar estos resultados en un plano bidimensional, muestran complejas estructuras muy coherentes con respecto a su regla generativa. Para crear un atractor extraño mediante software generalmente se comienza introduciendo un punto que pertenece al campo de la pantalla, y luego se ingresan los valores de ese punto en una ecuación. El resultado de la ecuación se convierte en el nuevo punto que se grafica, y luego es usado nuevamente en la ecuación. Éste tipo de fractales se expresa en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos (iteración), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores. 3.4 Fractales plasma Estos tipos fractales producen hermosas texturas con estructura fractal, como piedra, madera, nubes, fuego y muchas otras. La gran mayoría de sistemas CAD utilizan estas técnicas para la producción de texturas de su librería de materiales. Se caracterizan por que son el único grupo que tienen un componente aleatorio en su producción. En la generación de estos fractales se utilizan técnicas de representación que simplifican el proceso, por ejemplo tomando 4 pixeles (uno en cada rincón de la pantalla) cada uno de ellos con un valor de color obtenido aleatoriamente, y luego se subdividen las líneas que unen estos pixeles y se interpolan los valores de coloración. Algunos algoritmos de fractales plasma les agregan realismo al resultado haciendo intervenir otros parámetros como la rugosidad o fragosidad, tal que al variar estos valores, el resultado es más compacto o más fragmentado. Este tipo de fractales plasma también permiten crear interesantes paisajes de terrenos naturales, al ser extruídos como imágenes en tres dimensiones. Figura 27: Fractales plasma con efecto tridimensional 3.5 Sistemas de Lindenmayer Conocidos abreviadamente como Sistemas L, en realidad no fueron creados para generar figuras fractales, sino para realizar estudios biológicos de crecimiento celular y sus interacciones. Por ejemplo, fueron usados para simular la formación de cristales en soluciones supersaturadas, o para investigar el crecimiento de los corales, en “Fractal modelling: growth and form in Biology” [Kaandrop, 1994]. Este es un procedimiento que aplica sus reglas a un conjunto inicial, con el propósito de observar ciertos comportamientos en organismos naturales, algunos de los cuales resultan ser estructuras fractales. Considerando que las estructuras fractales de la Naturaleza son el resultado de algún proceso de crecimiento, y que las etapas intermedias de producción de un fractal corresponden a crecimientos parciales, veremos que hay situaciones en las que es más conveniente utilizar un Sistema-L que un sistema IFS. La figura siguiente muestra las tres primeras etapas de iteración de un IFS, cuyo resultado parcial (atractor), será un arbusto. Como puede observarse en la figura de abajo, dependiendo de la cantidad de etapas o iteraciones, aparecen lagunas o espacios en blanco, que determinan un modelo de crecimiento que presenta deficiencias. Modificando el algoritmo de la función iterativa de manera tal que recorra una órbita que no deje librado al azar la probabilidad de lagunas, se observa que el tallo principal disminuye de tamaño en cada etapa, de acuerdo con la razón de contracción del sistema. Con las sucesivas ramas sucede lo mismo, de donde se infiere nuevamente que el modelo de crecimiento sigue siendo deficiente. Si usamos un sistema de Lindenmayer, no se presentan los problemas referidos. Al cabo de tres etapas se observa una forma más acorde con un modelo natural de crecimiento. A B C Figura 28: (A) y (B) simulaciones incorrectas de crecimiento de un árbol, (C) simulación correcta de crecimiento de un árbol. Hacia 1968 Aristid Lindenmayer propuso la teoría de los Sistemas-L introducida en el contexto de los lenguajes formales y fue utilizada en modelos biológicos para el desarrollo de plantas. La figura 30 muestra un ejemplo desarrollado con el software Fractint, que últimamente se ha popularizado mucho y es muy fácil de usar. Figura 29: Imagenes tipo Plants de Fractint El concepto principal de los Sistemas-L es el de reescritura: se emplea una técnica para definir objetos complejos a partir de un objeto inicial simple. En principio es la misma idea de generación de fractales derivados de la geometría estándar, pero un Sistema-L está formalmente constituido por un alfabeto, un axioma, unas reglas de reescritura y un conjunto de parámetros. 3.6 Fractales creados por iteración de polinomios complejos Tomando como base experimentos matemáticos, se obtienen representaciones fractales bastante sofisticadas a partir de fórmulas relativamente sencillas. Los fractales más famosos, como el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y otros, pertenecen a esta clase. Muy apropiados para experimentar con los llamados algoritmos de coloración, de gran interés artístico y compositivo. Basada en esta técnica de iteración mediante fórmulas, existe una modalidad de producción de fractales que se ha dado en llamar Arte Genético, donde se trabaja superponiendo capas con diferentes representaciones fractales, a partir de la resolución de diferentes fórmulas relativamente sencillas, obteniéndose imágenes sorprendentes. Cada una de las imágenes del fractal se construye en torno a una secuencia aleatoria determinada por un polinomio, el cual puede ser expresado con una letra, que van desde A hasta Z y también desde a hasta z. Cada uno de estos 52 caracteres representa una fórmula única, tales que al colocarlos en series de caracteres, crean una regla o secuencia que genera la imagen. Al generar una imagen, el valor del color de cada píxel se calcula comenzando con valor 1 y se va actualizando dependiendo de la secuencia de letras que definen la regla. La figura 17 muestra un ejemplo. Figura 30: Fractal por itineración de polinomios Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”,como ya hemos visto anteriormente. 4- Los fractales en la naturaleza. Son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica), lo que implica tener límites tanto superiores como inferiores, ya explicados anteriormente. Ejemplo de fractales en la naturaleza: En las figuras superiores, se puede apreciar tanto un helecho como la cola de un pavo real, fractales que se pueden encontrar fácilmente en la naturaleza. Esto nos enseña que los fractales no son algo raro y existente tan sólo en el mundo de la geometría y las matemáticas, sino que se pueden manifestar en nuestro día a día, en cualquier situación de la vida cotidiana. Los helechos, como se puede apreciar, se han producido por transformación de afinidad del plano, un método que será explicado más adelante. En la cola del pavo real se puede apreciar un fractal muy característico producido por iteración, donde los “ojos” de su cola se repiten cada vez más conforme se acercan al centro. En estas dos figuras se puede apreciar tanto un girasol como un copo de nieve, visto desde cerca. No es difícil darse cuenta de que ambos poseen una estructura fractal, aunque diferente: El girasol posee una serie de semillas que, al igual en la cola del pavo real, abundan más conforme se van acercando al centro. El copo de nueve, sin embargo, está construido de la misma forma que el triángulo de Sierpinski, por repetición de una figura sucesivas veces hasta alcanzar una infinita complejidad. Es, por lo tanto, un claro ejemplo de iteración. Estas dos imágenes, al igual que las expuestas anteriormente, presentan una estructura fractal. Tanto esta planta como el grupo de células presenta una serie de repeticiones en su estructura, cosa que las dota tanto de una gran complejidad como de no una menor belleza. 5-Los fractales y el caos. Se denomina caos al comportamiento impredecible de un sistema determinista, debido a la gran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales (C.I.). Esto provoca que dos puntos arbitrariamente juntos diverjan exponencialmente, de modo que su evolución futura no es predecible. El ejemplo muy conocido y que lo ilustra muy bien es que el batir de alas de una mariposa puede afectar de tal forma a la evolución meteorológica que puede determinar la diferencia entre la calma y el huracán un tiempo después. Caótico no es sinónimo de Fractal. Se confunden a veces porque se tratan conjuntamente en publicaciones especializadas y porque ambos se utilizan como modelos matemáticos de fenómenos y objetos naturales complejos. Veamos la diferencia: Caos: Las claves del caos son la sensibilidad a las C.I. y la impredictibilidad, a pesar de que el proceso tenga un conjunto de ecuaciones deterministas. Fractales: En cambio un fractal se caracteriza por la autosimilitud y la invarianza a escala. Muchos fractales no son en absoluto caóticos. 6- Producción de fractales. 6.1- Por iteración. La Iteración, en fractales, se refiere al proceso de iteración de una función, es decir aplicando la función repetidamente, usando la salida de una iteración como la entrada a la siguiente. La iteración de funciones aparentemente simples pueden producir comportamientos complejos y problemas difíciles, en este caso, los fractales. Un famoso ejemplo de construcción de fractales por medio de la iteración es el de la repetición de una figura geométrica infinitas veces a distintas escalas. Figura 31: Ejemplo de iteración 6.2- Por transformaciones de afinidad en el plano. Éste tipo de procedimiento consiste simplemente en tomar una parte del plano, en la que está situada una figura, cambiarla de escala, y rotarla. Repitiendo éste proceso infinitas veces y siguiendo la siguiente relación, donde se expresa el vector que termina la dirección y el tamaño de cada una de las figuras que componen el fractal: Se puede lograr un fractal, como por ejemplo éste: 6.3- En laboratorios por procedimientos físico-químicos. Por ejemplo: electrodeposición. Los procesos electroquímicos a partir de los cuales se pueden presentar crecimientos ramificados, han sido estudiados en las últimas décadas. Los crecimientos pueden ser obtenidos mediante la electrolisis de soluciones de ZnSO contenidas entre dos placas de cristal o acrílico; dentro de las cuales, y embebidos en la solución, se encuentran los electrodos; el proceso es sensible a las condiciones en que se lleven a cabo los experimentos, la geometría del sistema y la concentración inicial del ion metálico; las estructuras generalmente son dendríticas o similares a las que se obtienen mediante simulación en un ordenador, por ejemplo. Figura 32: Ejemplo de procedimiento físico-químico en la producción de un fractal 6.4- Mediante aplicaciones informáticas. (aquí debes bajarte varias aplicaciones y manejarlas para crear fractales exponiendo los métodos y resultados). Existen varias aplicaciones para generar fractales a partir de un ordenador. Algunas nos pueden permitir generar incluso amplias estructuras fractales en 3D, mediante la inclusión de reglas informáticas; otros, sin embargo, se limitan a la mera visualización de fractales, de forma que podamos apreciar su belleza y su complejidad. Las aplicaciones que yo he experimentado se encuentran todas en la siguiente página, en la cual se ofrece información sobre cada una de ellas, así como un link para su descarga gratuita: http://cdlibre.org/consultar/catalogo/Matematicas_Fractales.html Las aplicaciones con las que yo he trabajado y he tenido tiempo de interactuar han sido las siguientes: · Fractal Forge [V 2.8.2]: Una poderosa aplicación de generación de fractales basados en el conjunto de Mandelbrot, sobre todo. Posee una interfaz bastante intuitiva, con una serie de pestañas a la derecha que nos permiten cambiar distintos parámetros del fractal. Ésta es la aplicación en la que más me he centrado pues su uso resulta relativamente fácil y no hace falta conocimientos previos de matemáticas para crear un precioso fractal. En ésta imagen se puede ver la interfaz general de Fractal Forge: A continuación, procedo a analizar cada una de las funciones de personalización que éste programa posee. Para empezar, decir que primero hay que aplicar los respectivos cambios al fractal, antes de generarlo. Una lo hayamos hecho, le damos al botón superior “start”, y la imagen del fractal se genera automáticamente. Es en las pestañas de la derecha donde se pueden otorgar distintos parámetros para la personalización del fractal. · Pestaña “data”: Es la que más información presenta sobre nuestro fractal. Procedo a explicar cada una de los usos de cada uno de los parámetros: · El parámetro “Real Part of Center” determina donde aparecerá el centro de nuestro fractal tras la creación de la imagen, respecto al eje X. · El parámetro “Imaginary Part of Center” determina donde aparecerá el fractal tras ser creado, respecto al eje Y. · El parámetro “Magnification (Y axis)” determina cuán cerca queremos que nuestro fractal aparezca tras la creación de la imagen. · El parámetro “Iterations” Determina el nivel de complejidad del fractal generado, es decir, el nivel de repeticiones que se desea que haya en la fórmula que lo genera. Como se puede contemplar al cambiar las iteraciones a un valor más bajo, el fractal resultante es casi una mancha. Sin embargo, al poner las iteraciones muy altas, se da un fractal de gran complejidad. Así es el conjunto de Mandelbrot con 10 iteraciones: Y así se nos presenta el conjunto de Mandelbrot con 1000 iteraciones: · El parámetro “Bailout” determina la calidad del color y los degradados en el fractal. A un valor más bajo, menos calidad de degradados y menor rendimiento requiere el procesamiento de éste último. · El parámetro “Color by” determina la estructura y organización de la organización de colores en el fractal. En él, se dan una serie de opciones que cambian la apariencia de los colores de éste, como, por ejemplo, al ponerlo en la opción “Internal mod”, el fractal se ve así: · El parámetro “Formula” Determina la fórmula que sigue la creación del fractal. Este parámetro es decisivo y procedo a explicar cada una de las opciones que en él se da: Todas ellas son derivadas de la ecuación que rige el conjunto de Mandelbrot. La ecuación de Mandelbrot se deriva de la del conjunto de Julia, cuya expresión es: Siendo el número Z un número complejo, y C una constante también compleja. Lo que hacemos es fijar dicha C y después tomar todos los números complejos y pasarlos por el método. Es decir, tomamos un número complejo Z0, lo elevamos al cuadrado y sumamos C al resultado. El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a sumar C, y así sucesivamente. La sucesión de resultados se denomina atractor, y puede presentarse con distintas formas, como las que se enseñan a continuación: El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de números complejos C para los que el conjunto de Julia es conexo, esto quiere decir, que no tiende a infinito. Esto determina, por lo tanto, una figura determinada bastante diferente a las resultantes con el conjunto de Julia, la cual es generada por nuestro programa. Lo que determina el parámetro de “Formula” son pequeños cambios en la fórmula que determina el conjunto de Mandelbrot, Como elevando Z al cubo, a la cuarta, etc. En vez de al cuadrado, o bien elevando Z a C. Todas las opciones dan lugar a una figura diferente, aunque derivada aún así del conjunto de Mandelbrot. Ejemplos de distintos fractales según su fórmula: Z ^2 + C Z^3 + C Z^8 + C Z^3 + C^2 Existen muchas más opciones de fórmulas con las que se puede experimentar. · Por último, existe una opción, “Julia mode” donde se pueden situar unas coordenadas para visualizar una parte del fractal principal, donde los valores de la ecuación sí tienden a infinito. Esto es, visualizar la correspondencia de una parte del conjunto de Mandelbrot con el conjunto de Julia. · Pestaña “Colors” En esta pestaña, se puede modificar la secuencia de colores que el fractal posee. Se puede alternar tanto entre colores predefinidos mediante la barra desplazable “Color cyclings”, como entre colores y gradientes personalizadas por nosotros mismos, en “Edit Color Sequence”. Un ejemplo de edición del color manualmente: Y el fractal resultaría así: · Pestaña “Size” En ella, podemos cambiar el tamaño de la imagen, a diferentes resoluciones. Cuanto mayor sea la resolución, mayor se verá la imagen: · Pestaña “History List” Nos muestra el historial de cambios en nuestro fractal actual, o cualquiera de los fractales que hayamos creado. · Fraqtive Fraqtive es un cómodo y rápido visualizador del conjunto de Mandelbrot y de Julia. Entre sus características, cabe destacar la posibilidad de cambiarle el color, así como la de aumentar cualquiera de los dos fractales a pantalla completa. Dispone también de una opción de visualizado 3D y de una captura del fractal, para ser guardado como imagen. Ahí van algunas imágenes sobre mi experiencia con Fraqtive: · Mandelbulber Mandelbulber es un programa de generación de fractales en 3D. Bastante complejo de usar, muy lento y tedioso, aunque tiene una serie de opciones que te permiten seleccionar modelos predeterminados que, personalmente, encuentro bastante interesantes. Además, la calidad del modelado 3D es totalmente exquisita. Estos modelos predefinidos vienen en la pestaña “Fractal”, en la casilla, “Formula type”. Una vez escogido el deseado, se ha de pulsar “RENDER” en la parte superior de la ventana para iniciar en generado de la imagen. Ahí van algunas capturas sobre mi experiencia con Mandelbulber: Formula type: Mandelbulb Formula type: Polynomic Power 2 Formula type: Hypercomplex Formula type: Anexion Formula type: Folding Int Power 2 7. Aplicaciones de los fractales. Los fractales se utilizan en diversas áreas: en la computación para reducir el tamaño de imágenes y archivos y para mejorar la resolución de una imagen; en medicina para identificar la presencia de enfermedades en los huesos; en geografía para elaborar mapas tridimensionales cada vez más precisos; en la geología y topología en la determinación precisa de las distancias que separan las costas de los continentes; cualquier orilla del mar, como muchas formas de la naturaleza, pueden interpretarse como un fractal. Realizar estudios biológicos de crecimiento celular y sus interacciones. Por ejemplo, fueron usados para simular la formación de cristales en soluciones supersaturadas, o para investigar el crecimiento de los corales. Son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos. Las posibles aplicaciones de la técnica fractal no se limitan exclusivamente a las ciencias exactas, la cualidad autosemejante que presenta la estructura de estos entes geométricos esta siendo usada de muchas maneras. Prueba de ello es que tanto artistas como científicos están reconociendo su enorme potencial. Los fractales son de gran utilidad para explicar ciertos resultados de la teoría del caos y del estudio de los sistemas dinámicos (estudio de poblaciones), así como del modelado de fenómenos y formas naturales semejantes a sí mismas. Su faceta más extendida es la relacionada con la creación de sorprendentes imágenes artísticas, cuyo código estético no puede ser leído utilizando los criterios del arte hecho en el pasado, debido a la falta de elementos de transición entre uno y otro. La dimensión fractal también esta siendo utilizada en áreas tan cotidianas como las finanzas, la geología, las comunicaciones y las ciencias de la computación. Aunque han sido estudiados principalmente en el mundo de la matemática, los fractales también pueden ser usados en áreas menos abstractas, como el modelamiento de árboles, nubes, montañas, medición de longitud de las líneas costeras, y en general, cualquier hecho que no sea posible de representar mediante variables geométricas clásicas o euclidianas (como sí lo son los conos de helado, los dados, las pirámides egipcias, etc.). (Muñoz y Mesa, 2002a:2). En Geografía, las técnicas fractales se utilizan para la elaboración de mapas en tres dimensiones con detalles topográficos muy precisos. También están siendo introducidos en el ámbito de la medicina, específicamente en la detección de la osteoporosis ya que mediante técnicas fractales se puede hacer una aproximación a cómo evolucionaría la textura de muestras tomadas a pacientes y observar qué tanto se acerca a la estructura de un hueso enfermo. A todo esto habría que agregar la compresión fractal de imágenes fotográficas digitalizadas y de video, concebida para capturar una imagen y proyectarla como un Sistema de Funciones Iteradas (SFI). Un SFI es conocido como un procedimiento que implica una serie de funciones, adecuadas para describir fragmentos de un fractal. Estos fragmentos, una vez reunidos, despliegan en su totalidad la imagen fractal a cualquier grado de magnificación. La idea de comprimir imágenes proviene de la necesidad de reducir los costos que genera el almacenamiento de información de una imagen. Después de asomar sólo algunas de las muchas aplicaciones posibles de la metodología fractal —orientada a modelar determinados procesos—, pudiera pensarse que tiene un límite. Cada día siguen encontrándose aplicaciones que cambian nuestra opinión, pensamiento y forma de percibir e interactuar con el mundo que nos rodea, una de ellas —insospechada hasta hace muy poco tiempo— se refiere, concretamente, a su participación en la creación de un tipo de arte sonoro, conocido en ciertas esferas como “música fractal”. Esta modalidad es hoy investigada muy detalladamente en todo el mundo. Figura 33: Ejemplo de arquitectura fractal 8. Curiosidades o aplicaciones futuras. Tiempo fractal: Cuando observamos el Sol desde la superficie de la Tierra, lo hacemos desde un punto de vista “cotidiano”, y entonces nos parece que éste se mueve a nuestro alrededor; sin embargo, cuando lo observamos desde una perspectiva “exterior”, comprendemos que aún cuando nuestros cuerpos permanecen inmóviles en un mismo lugar, nos encontramos girando alrededor del eje terrestre a más de 1000 Km/h, a la vez que simultáneamente recorremos la trayectoria alrededor del Sol a unos 106.000 km/h, nos desplazamos junto con todo el Sistema Solar a 72.360 Km/h por la galaxia, y en conjunto con el resto de la Vía Láctea viajamos a escalofriante velocidad de 2.160.000 Km/h hacia la Constelación de Leo. Luego, la combinación de todos estos movimientos resulta en una compleja forma espiral que se comporta como una autovía galáctica, la cual nosotros transitamos sin percatarnos de ello. Esto fue lo que los sabios Mayas comprendieron y dejaron registrado en el Tzolkin, una compleja matriz matemática que tiene un diseño fractal que nos permite relacionar múltiples ciclos de tiempo entre sí, para luego observar la relación existente entre pasado, presente y futuro. El Tiempo Fractal, entonces, es el registro simultáneo de todos estos ciclos, a partir de cuya comparación nos es posible determinar cómo el pasado se encuentra permanentemente influyendo sobre nuestro inconsciente induciéndonos a “repetir la historia”; y a la vez nos muestra con claridad y exactitud, cómo nuestros actos del presente terminan condicionando nuestro futuro. En consecuencia, ahora podemos ver la importancia de elegir conscientemente cada decisión que tomemos y cada acción que realicemos, ya que cada paso que damos por el camino de la Vida, está dejando una huella en el futuro que puede tanto acercarnos, como alejarnos de nuestro destino. Por lo tanto, conocer la dinámica del tiempo fractal nos permite prevenirnos anticipadamente del retorno del pasado y nos sirve de brújula para transitar nuestro camino rumbo a la meta que nos hemos trazado. 9. Conclusiones Los fractales son elementos de gran belleza, y de una cuantiosa complejidad, generados mediante distintos procedimientos, que varían desde el más sencillo método de traslación y reducción de tamaño, hasta la más compleja ecuación que solo entidades informáticas son capaces de calcular y representar. Han sido estudiados desde la antigüedad sobre todo en los ámbitos geométrico y matemático pero ahora, con el desarrollo de las nuevas tecnologías, se han llegado a crear aplicaciones magníficas para que cualquier usado poco experimentado y sin conocimientos de matemáticas avanzadas pueda recrearse con ellos y admirar la belleza que los caracteriza. Pero no sólo eso, sino que a los usuarios más instruidos en materia de fractales y con más conocimientos sobre matemáticas les permite diseñar sus propios fractales a partir de fórmulas que ellos mismos hayan ideado. Pero los fractales no se limitan solo a fascinarnos y a presentarse como algún tipo de “arte geométrico”, sino que tienen aplicaciones reales, usadas en nuestro día a día tanto por investigadores de prestigio como por nosotros mismos. Son, por lo tanto, un plano de nuestro mundo que está hoy en día al alcance de todos, y esto es realmente positivo, debido a las utilidades que presentan, las cuales, si ya son muchas actualmente, serán incluso más en el futuro, y su estudio nos podrá ayudar en labores tan importantes, tan diarias y tan útiles como puede ser la elaboración de mapas o el diseño arquitectónico Según mi humilde opinión, lo mejor de los fractales no es lo que hemos descubierto hasta ahora acerca de ellos, sino lo que nos queda aún por descubrir, que va a ser muchísimo. Son un ámbito del conocimiento que aún está un poco verde, pero esto es cuestión de tiempo. Pienso que debería darse a conocer a más gente, puesto que es un campo que realmente suscita un enorme interés por las personas que lo descubren, ya no por las utilidades que puedan tener o por el interés matemático, sino por la rareza y el misterio que poseen. No queda más que decir que espero que los estudios fractales continúen al buen ritmo que lo han hecho hasta ahora, o incluso a mejor, ya que todo el mundo puede hacer su aportación en este ámbito, un ámbito que realmente merece la pena ampliar. 10. 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