Fisica Para Ingenierias y Ciencias Ohaniam POULSEN93

C A P I T U L O Sistemas de partículas 10 C o n c e p t o s — en c o n t e x t o C O N C E P T O S EN C O N T E X T O Mientras este atleta de salto de altura pasa sobre la barra, se dobla hacia atrás y mantiene sus extremidades por abajo del nivel en que se encuentra ésta. Esto significa que la altura promedio de las partes de su cuerpo es menor que si tuviera que mantenerse recto, por lo que requiere menos energía para elevarse sobre la barra. Los conceptos introducidos en este capítulo permiten examinar en detalle varios aspectos del movimiento del saltador: ? E l cuerpo del saltador es un sistema de partículas. ¿Dónde está la posición promedio de la masa de este sistema cuando el cuerpo está en posición recta? ¿ C ó m o cambia cuando el saltador modifica la posición de sus extremidades? (Ejemplo 8, inciso a), página 322) ? ¿Cuál es la energía potencial gravitacional de un sistema de partículas y cuánto reduce el saltador su energía potencial al doblar su cuerpo? (Página 321 en la sección 10.2 y ejemplo 8, inciso b), página 322) 10.1 Cant idad de movimiento 10.2 Centro de masa 10.3 Movimiento del centro de 10.4 Energ ía de un sistema de partículas 305 306 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas ? ¿Cuál es la ecuación de movimiento de un sistema de partículas y en qué medida el movimiento de traslación de un saltador recuerda el movimiento de proyectiles? (Página 324 en la sección 10.3) Hasta el momento, se ha estudiado casi exclusivamente el movimiento de una sola partícula. Ahora se comenzará a analizar sistemas de partículas que interactúan mutuamente a través de algunas fuerzas. Esto significa que deben examinarse y resol- verse simultáneamente las ecuaciones de movimiento de todas estas partículas. Dado que los trozos de materia ordinaria están hechos de partículas (electrones, protones y neutrones), todos los cuerpos macroscópicos que se encuentran en el entor- no cotidiano son de hecho sistemas de muchas partículas que contienen gran número de ellas. Sin embargo, para la mayoría de los propósitos prácticos, no es deseable adop- tar tal punto de vista microscópico extremo, por lo que en los capítulos precedentes el movimiento de un cuerpo macroscópico, como un automóvil, se trató como el movi- miento de una partícula. D e l mismo modo, al tratar con un sistema formado de m u - chos cuerpos macroscópicos, con frecuencia se encuentra que es conveniente tratar cada uno de éstos como una partícula e ignorar su estructura interna. Por ejemplo, cuando se investiga un choque entre dos automóviles, puede encontrarse conveniente considerar que cada uno de ellos es una partícula; entonces, se trata a los automóviles que colisionan como un sistema de dos partículas que ejercen fuerzas una sobre la otra cuando están en contacto. Y cuando se investiga el Sistema Solar, puede resultar con- veniente asumir que cada planeta y cada satélite son una partícula; así, el Sistema Solar se considera como un sistema de tales partículas, planetas y satélites, que se mantienen juntas holgadamente mediante gravitación y que orbitan alrededor del Sol y en torno unos de otros. Con frecuencia, las ecuaciones de movimiento de un sistema de varias partículas son difícil, y en ocasiones imposible, de resolver. Por tanto, es necesario contar con la mayor cantidad de información que se pueda extraer de las leyes generales de conser- vación. E n las siguientes secciones, se familiarizará con el vector cantidad de movimiento y aprenderá cómo aplicar las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía a un sistema de partículas. 10.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Las leyes de Newton pueden expresarse muy elegantemente en términos de la canti- dad de movimiento, una medición vectorial de gran importancia en física. La cantidad de movimiento de una sola partícula se define como el producto de la masa y la velocidad de la partícula-* cantidad de movimiento p = mv (10.1) de una partícula Por tanto, la cantidad de movimiento p es un vector que tiene la misma dirección que el vector velocidad, pero una magnitud que es m veces la magnitud de la velocidad. La unidad SI de cantidad de movimiento es kg • m/s; ésta es la cantidad de movimiento de una masa de 1 kg cuando se mueve a 1 m/s. L a definición matemática de cantidad de movimiento es coherente con la noción intuitiva cotidiana de "cantidad de movimiento". Si dos carros tienen masas iguales pero uno tiene el doble de velocidad que el otro, el primero tiene el doble de cantidad de movimiento. Y si un camión tiene tres veces la masa de un automóvil y la misma * A la cantidad de m o v i m i e n t o p = mv en ocasiones se le refiere como cantidad de movimiento lineal para dis t inguir la de la cantidad de movimiento angular, analizada en el capí tulo 13. 10.1 Cantidad de movimiento 3 0 7 velocidad, tiene tres veces la cantidad de movimiento. Durante el siglo xix, los físicos discutían sobre si la cantidad de movimiento o energía cinética era la mejor medida de la "cantidad de movimiento" en un cuerpo. Finalmente decidieron que la respuesta depende del contexto; como se verá en los ejemplos de este capítulo y del siguiente, a veces la cantidad de movimiento es la cantidad más relevante, otras lo es la energía y en ocasiones ambas lo son. La primera ley de Newton afirma que, en ausencia de fuerzas externas, la velocidad de una partícula permanece constante. Expresada en términos de cantidad de movimien- to, la primera ley afirma, por tanto, que la cantidad de movimiento permanece constante: p = [constante] (no fuerzas externas) (10.2) En consecuencia, puede decirse que la cantidad de movimiento de la partícula se con- serva. Desde luego, igualmente podría decirse que la velocidad de esta partícula se conserva; pero el significado más profundo de la cantidad de movimiento surgirá cuan- do se estudie el movimiento de un sistema de varias partículas que ejercen fuerzas unas sobre otras. Se encontrará que la cantidad de movimiento total de tal sistema se conser- va: cualquier pérdida de cantidad de movimiento que tenga una partícula se compensa por una ganancia de cantidad de movimiento de alguna otra partícula o partículas. Para expresar la segunda ley en términos de cantidad de movimiento, observe que, ;:ado que la masa es constante, la derivada en el tiempo de la ecuación (10.1) es dv = m — dt dt primera ley en términos de cantidad de movimiento dp dt mu Pero, de acuerdo con la segunda ley de Newton, ma. es igual a la fuerza; por tanto, la 'jpidez de cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza: dp (10.3) segunda ley en términos de cantidad de movimiento -ita ecuación da a la segunda ley una forma concisa y elegante. E J E M P L O 1 Un tenista golpea una pelota de 0.060 kg de masa hacia una pared vertical. La pelota se impacta contra la pared perpendicu- larmente con una rapidez de 40 m/s y rebota con una trayectoria recta, de vuelta, con la misma rapidez. ¿Cuál es el cambio de cantidad de movimiento de la pelota durante el impacto? S O L U C I Ó N : Tome el eje positivo x a lo largo de la dirección del movimiento ini- cial de la pelota (véase la figura 10.1«). Entonces, la cantidad de movimiento de la oelota antes del impacto está en la dirección positiva y el componente x de la can- :idad de movimiento es Px = m V x = ° - 0 6 0 kS X 4 0 m / s = 2 A k g ' m / s La cantidad de movimiento de la pelota después del impacto tiene la misma mag- nitud pero en dirección opuesta: P'x = — 2.4 kg • m/s A lo largo de este capítulo, las primas en las cantidades matemáticas indican que dichas cantidades se evalúan después del choque.) El cambio de cantidad de movi- miento es • A A =P'X~ px = ~ 2 A k g " m / s - 2 A kS " m / s = ~ 4 - 8 kS ' m / s 3 0 8 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas l^ a. lap'idex es Vi misma "¿mes y después, pero la cantidad de movimiento cambió porque la dirección de la velocidad se invirtió. después La fuerza de la pared cambia la cantidad de movimiento. F I G U R A 1 0.1 a) Una pelota de tenis rebota en una pared, b) En el instante del impacto, la pared ejerce una gran fuerza sobre la pelota. Este cambio de cantidad de movimiento se produce por la (gran) fuerza que actúa sobre la pelota durante el impacto contra la pared (véase la figura 10.Ib). El cambio de cantidad de movimiento es negativo porque la fuerza es negativa (la fuerza está en la dirección x negativa, opuesta a la dirección del movimiento inicial). tercera ley en términos i cantidad de movimiento También la tercera ley de Newton puede expresarse en términos de cantidad de movimiento. Dado que la fuerza de acción es exactamente opuesta a la fuerza de reac- ción, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento generada por la fuerza de acción sobre un cuerpo es exactamente opuesta a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento generada por la fuerza de reacción sobre el otro cuerpo. Por tanto, la tercera ley puede establecerse del modo siguiente: Siempre que dos cuerpos ejerzan fuerzas uno sobre otro, los cambios resultantes de cantidad de movimiento son de magnitudes iguales y de direcciones opuestas. Este equilibrio en los cambios de la cantidad de movimiento conduce a una ley general de conservación de la cantidad de movimiento total para un sistema de partículas. La cantidad de movimiento total de un sistema de n partículas es simplemente la suma (vectorial) de todas las cantidades de movimiento individuales de todas las partícu- las. En consecuencia, si p1 = m^wx, p 2 = mjy2, ... , y p„ = w / n son las cantidades de movimiento individuales de las partículas, entonces la cantidad de movimiento total es cantidad de movimiento de un sistema de partículas La fuerza de acción sobre cada partícula es igual y opuesta a la fuerza de reacción que ejerce sobre la otra partícula. MGURA 10 .2 Dos partículas que ejercen uerzas mutuas una sobre otra. El cambio leto de la cantidad de movimiento del par ie partículas aislado es cero. P = P l + P2 + • • • + (10.4) El más simple de todos los sistemas de muchas partículas consiste sólo de dos par- tículas que ejercen algunas fuerzas mutuas una sobre otra (véase la figura 10.2). Supon- ga que las dos partículas están aisladas del resto del universo, de modo que, aparte de sus fuerzas mutuas, no experimentan fuerzas adicionales de tipo alguno. De acuerdo con la formulación anterior de la tercera ley, las rapideces de cambio de p x y p 2 son exactamente opuestas: dt dt La rapidez de cambio de la suma p x + p 2 es, por tanto, cero, pues la rapidez de cambio del primer término en esta suma se cancela con la rapidez de cambio del segundo término: d(Pl + p 2 ) dt = 0 10.1 Cantidad de movimiento 3 0 9 Esto significa que la suma p j + p 2 es una constante del movimiento: PJ + p 2 = [constante] (10.5) Esta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento. Observe que la tercera ley de Newton es un concepto esencial para establecer la conservación de la cantidad de movimiento: la cantidad de movimiento total es constante, pues la igualdad de ac- ción y reacción mantiene los cambios de cantidad de movimiento de las dos partículas exactamente iguales en magnitud pero opuestos en dirección: las partículas simple- mente intercambian algo de cantidad de movimiento mediante sus fuerzas mutuas. Por ende, para las partículas, la cantidad de movimiento total P en algún instante es igual a la cantidad de movimiento total P' en algún otro instante, de modo que P = P' La conservación de la cantidad de movimiento es una poderosa herramienta que permite calcular algunas características generales del movimiento, aunque se ignoren las propiedades detalladas de las fuerzas entre partículas. Los siguientes ejemplos ilus- tran cómo puede usarse la conservación de la cantidad de movimiento para resolver ciertos problemas de movimiento. conservación de cantidad de movimiento para dos partículas E J E M P L O 2 Un cañón usado a bordo de un buque de guerra del siglo xvm se monta sobre un soporte que le permite rodar cada vez que es disparado (véase la figura 10.3). La masa del cañón, incluido el soporte, es de 2 200 kg. El cañón dispara horizontalmente una bala de 6.0 kg con una velocidad de 500 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del cañón? S O L U C I O N : La cantidad de movimiento total de la bala más el cañón debe ser la misma antes del disparo y justo después de disparar. Antes, la cantidad de movi- miento total es cero (figura 10.3a): P = 0 Después, la velocidad (horizontal) de la bala es v^ y la velocidad del cañón es v 2 (como líneas arriba, las primas sobre las cantidades matemáticas indican que éstas se evalúan después del disparo); por tanto, la cantidad de movimiento total es P' = ml\'l + m2v'2 donde m1 = 6.0 kg es la masa de la bala y m2 = 2 200 kg es la masa del cañón (in- cluido el soporte). Por tanto, la conservación de la cantidad de movimiento dice que 0 = + m,v! 2 V 2 El signo negativo indica que y l , la velocidad de retroceso del cañón, es opuesta a la velocidad de la bala y tiene una magnitud 6.0 kg 2200 kg X 500 m/s = 1.4 m/s C O M E N T A R I O S : Observe que las velocidades finales están en proporción inversa de las masas: la bala emerge con una gran velocidad y el cañón rueda con una velo- cidad baja. v 2 m2 JL E l cañón retrocede horizontalmente. La bala se dispara horizontalmente. F I G U R A 10.3 a) Inicialmente, el cañón y la bala están en reposo, b) Después del disparo, el cañón retrocede hacia la izquier- da (la velocidad v 2 del cañón es negativa). 3 A Q Esta es una consecuencia directa de la igualdad de las magnitudes de las fuerzas c; acción y reacción que actúan sobre la bala y el cañón durante el disparo. La hien- de acción produce a la bala (de masa pequeña) una gran aceleración y la fuerza zt , reacción produce al cañón (de gran masa) una aceleración pequeña. En este cálculo se despreció la masa y la cantidad de movimiento de los gaft- liberados en la explosión de la pólvora. Esta cantidad de movimiento adicional aumenta un poco la velocidad de retroceso. E J E M P L O 3 Un automóvil de 1 500 kg de masa, que viaja a 24 m/s, choca con un automóvil similar que está estacionado. Los dos autorr.i - viles permanecen unidos después del choque. ¿Cuál es la velocidad del choque in- mediatamente después de la colisión? Ignore la fricción contra el camino, pues es:¿ fuerza es insignificante en comparación con las grandes fuerzas mutuas que los automóviles ejercen uno sobre el otro. S O L U C I Ó N : Bajo las suposiciones del problema, las únicas fuerzas horizontal son las fuerzas mutuas de un automóvil sobre el otro. Por tanto, la conservación de la cantidad de movimiento se aplica al componente horizontal de la cantidad de movimiento: el valor de este componente debe ser el mismo antes y después d i ! choque. Antes del choque, la velocidad (horizontal) del automóvil en movimien: es v1 = 24 m/s y la del otro automóvil es v2 = 0. Por tanto, con el eje x a lo lar; de la dirección de movimiento (véase la figura 10.4), la cantidad de movimien:: total es Después de la colisión, ambos automóviles tienen la misma velocidad (véase la fi- gura 10.4b). Las velocidades de los automóviles después del choque se designarán como v'x y v'., respectivamente. Puede escribirse v[ = v'2 = v' (los automóviles tie- nen un v común, pues permanecen unidos), de modo que la cantidad de movi- miento total es p: TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS Observe que la solución de estos ejemplos involucra tres pasos, similares a los utilizados en ejemplos de conservación de la energía: Escriba primero una expresión para la cantidad de movi- miento total P antes del disparo del cañón o del choque de los automóviles. Escriba a continuación una expresión para la cantidad de movimiento total P' después del disparo o del choque. Y luego use la conservación de la cantidad de movimiento para igualar estas expresiones. Sin embargo, en contraste con la conservación de la ener- gía, debe tener presente que la conservación de la cantidad de movimiento se aplica a los componentes de la cantidad de CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO movimiento: los componentes x, y, z de la cantidad de movimien- to se conservan por separado. En consecuencia, antes de escribir las expresiones para la cantidad de movimiento, necesita se- leccionar ejes coordenados y decidir cuáles componentes de la cantidad de movimiento quiere examinar. Si el movimiento es unidimensional, coloque un eje a lo largo de la dirección de movimiento, como el eje x en los ejemplos anteriores. Entonces es suficiente examinar el componente x de la can- tidad de movimiento. Sin embargo, en ocasiones es necesario examinar dos componentes de la cantidad de movimiento (o, rara vez, tres); de esta forma, resultan dos (o tres) ecuaciones. Cuando escriba los componentes de la cantidad de movi- miento, ponga atención a los signos; el componente es posi- tivo si el movimiento es a lo largo de la dirección del eje y negativo si es opuesto a la dirección del eje. 10.1 Cantidad de movimiento 3 1 1 Los automóviles quedan unidos, de modo que v\ v'2 = v'. m2 ¿ C U F I G U R A 10.4 a) Inicialmente, el automóvil rojo tiene una rapidez de 24 m/s, y el automóvil azul está en reposo, b) Des- pués del choque, ambos están en movimiento con velocidad v'. Por conservación de la cantidad de movimiento, las cantidades de movimiento Px y P'x antes y después del choque deben ser iguales: míví = (m1 + m2)v' (10.6) Cuando se resuelve ésta para la velocidad del choque v , se encuentra (10.7) 1500kg X 24 m/s 1500kg + 1500kg = 12 m/s Las fuerzas que actúan durante el disparo del cañón o en el choque de los automó- viles son muy complicadas, pero la conservación de la cantidad de movimiento permite superar estas complicaciones y obtener en forma directa la respuesta para las velocida- des finales. Incidentalmente, es fácil comprobar que la energía cinética no se conserva en estos ejemplos. Durante el disparo del cañón, se suministra energía cinética a la bala v al cañón mediante la combustión explosiva de la pólvora; durante el choque de los automóviles, se usa algo de energía cinética para producir cambios en las formas de los automóviles. La ley de conservación para la cantidad de movimiento depende de la ausencia de fuerzas "adicionales". Si las partículas no están aisladas del resto del universo, entonces, idemás de las fuerzas mutuas ejercidas por una partícula sobre la otra, también habrá fuerzas ejercidas por otros cuerpos que no pertenecen al sistema de partículas. Las primeras fuerzas se llaman fuerzas internas y las últimas, fuerzas externas. Por ejerci- ólo, para los automóviles del ejemplo 3, la gravedad de la Tierra, la fuerza normal del camino y la fricción de éste son fuerzas externas. En ese ejemplo se ignoraron estas fuerzas externas porque la gravedad y la fuerza normal se cancelan mutuamente, y la fuerza de fricción puede despreciarse en comparación con la mucho mayor fuerza de impacto que los automóviles ejercen uno sobre otro. Pero si las fuerzas externas son significativas, debe tomárseles en consideración y tiene que modificarse la ecuación 10.5). Si la fuerza interna sobre la partícula 1 es F j i n t y la fuerza externa es F x e x t , en- tonces la fuerza total sobre la partícula 1 es F j ¡ n t + F j e x t y su ecuación de movimiento dt F u * + F , , (10.Í fuerzas internas y fuerzas externas 3 1 2 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas Del mismo modo Para cualquier número de partículas, las fuerzas mutuas de cada par son iguales y opuestas. F I G U R A 10.5 Tres partículas que ejercen fuerzas mutuamente. Como en el caso de dos partículas, las fuerzas mutuas entre pares de partículas simplemente intercam- bian cantidad de movimiento entre ellas. conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas segunda ley para un sistema de partículas 4>2 dt 2,int • 2,ext (10.9) Si se suman los lados izquierdos y los lados derechos de estas ecuaciones, las aportacio- nes de las fuerzas internas se cancelan (es decir, F1 i n t + F 2 i n t = 0), pues son pares ac- ción-reacción. Lo que queda es dp, dp2 —— H — = F + F dt dt * 1 - a a 2'e (10.10) La suma de las rapideces de cambio de las cantidades de movimiento es igual a la rapidez de cambio de la suma de las cantidades de movimiento; por tanto, ¿ ( p i + P 2 ) dt F l , e 2,ext La suma P = p : + p 2 es la cantidad de movimiento total y la suma F1 e (10.11) • 2,ext es la fuerza externa total ejercida sobre el sistema de partículas. Por ende, la ecuación (10.11) afirma que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total del sistema de dos partículas es igual a la fuerza externa total. Para un sistema que contenga más de dos partículas, pueden obtenerse resultados similares. Si el sistema está aislado, de modo que no hay fuerzas externas, entonces las fuerzas interpartículas mutuas que actúan entre pares de partículas simplemente trans- fieren cantidad de movimiento de una partícula del par a la otra, tal como en el caso de dos partículas. Dado que todas las fuerzas internas necesariamente surgen de tales fuerzas entre pares de partículas, dichas fuerzas internas no pueden cambiar la cantidad de movimiento total. Por ejemplo, la figura 10.5 muestra tres partículas aisladas que ejercen fuerzas una sobre otra. Considere la partícula 1; las fuerzas mutuas entre las partículas 1 y 2 intercambian cantidad de movimiento entre estas dos, mientras que las fuerzas mutuas entre las partículas 1 y 3 intercambian cantidad de movimiento entre estas otras dos. Pero ninguna de estas transferencias de cantidad de movimien- to cambiará la cantidad de movimiento total. Lo mismo sucede para las partículas 2 y 3. En consecuencia, la cantidad de movimiento total es constante. De manera más general, para un sistema aislado de n partículas, la cantidad de movimiento total P = p j + p 2 + • • • + pn cumple con la ley de conservación P = [constante] (no fuerzas externas) (10.12) Si, además de las fuerzas internas, hay fuerzas externas, entonces las últimas cam- biarán la cantidad de movimiento. La rapidez de cambio puede calcularse esencial- mente de la misma forma que para el sistema de dos partículas y, de nuevo, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total es igual a la fuerza externa total. Esto puede escribirse como f = F e x t (10.13) donde F ^ = F 1 < a t t + F 2 e x t + • • • + F n e x t es la fuerza externa total que actúa sobre el sistema. Las ecuaciones (10.12) y (10.13) tienen exactamente la misma forma matemática que las ecuaciones (10.2) y (10.3), y pueden considerarse como las generalizaciones para un sistema de partículas de la primera y segunda leyes de Newton. Como se verá en la sección 10.3, la ecuación (10.13) es una ecuación de movimiento para el sistema de partículas, que determina el movimiento de traslación global del sistema. 10.2 Centro de masa 3 1 3 Revisión 10.1 PREGUNTA 1: Un automóvil y un camión tienen iguales cantidades de movimiento. ¿Cuál tiene la mayor rapidez y cuál la mayor energía cinética? PREGUNTA 2: Un automóvil y un camión viajan a lo largo de una calle en direcciones opuestas. ¿Pueden tener la misma cantidad de movimiento y la misma energía cinética? PREGUNTA 3: Una bola de caucho que se suelta sobre un piso de concreto rebota con velocidad invertida. ¿La cantidad de movimiento antes del impacto es la misma que después del mismo? PREGUNTA 4: ¿La cantidad de movimiento neta del Sol y de todos los planetas y lunas del Sistema Solar es constante? ¿Su energía cinética neta es constante? PREGUNTA 5: Considere dos automóviles de masas iguales m y rapideces iguales v. a) Si ambos automóviles se mueven hacia el sur en una calle, ¿cuáles son la energía cinética total y la cantidad de movimiento total de este sistema de dos automóviles? b), ¿cuáles son la energía cinética total y la cantidad de movimiento total si un automóvil se mueve hacia el sur y otro hacia el norte? Y c) ¿cuáles son si un automóvil se mueve hacia el sur y el otro hacia el este? PREGUNTA 6: Un automóvil y un camión tienen energías cinéticas iguales. ¿Cuál tiene la rapidez más grande? ¿Cuál tiene la cantidad de movimiento mayor? Suponga que el camión tiene la masa más grande. (A) Camión; camión (B) Camión; automóvil (C) Automóvil; camión (D) Automóvil; automóvil 10.2 CENTRO DE MASA En el estudio de la cinemática y de la dinámica realizado en los capítulos anteriores, siempre se ignoró el tamaño de los cuerpos; aunque se analizara el movimiento de un cuerpo grande (un automóvil o un barco), se supuso que el movimiento podía tratarse como el movimiento de una partícula y la posición se describía mediante algún punto de referencia marcado sobre el cuerpo. En realidad, los cuerpos grandes son sistemas de partículas y su movimiento cumple con la ecuación (10.13) para un sistema de partícu- las. Esta ecuación puede convertirse en una ecuación de movimiento que contenga sólo una aceleración en lugar de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de todo el sistema, al tomar como punto de referencia el centro de masa del cuerpo. La ecua- centro de masa ción que describe el movimiento de este punto especial tiene la misma forma matemá- tica que la ecuación de movimiento de una partícula; es decir, el movimiento del centro de masa es igual al movimiento de una partícula (véase, por ejemplo, la figura 10.6). La luz estroboscópica registra imágenes a intervalos de tiempo iguales. Aunque la llave gira, el centro de masa se mueve de manera uniforme F I G U R A 10.6 Una llave que se mueve libremente en ausencia de fuerzas externas. El centro de masa, marcado con un punto, se mueve con velocidad uniforme, a lo largo de una línea recta (usted puede com- probar esto al tender una regla a lo largo de los puntos). 3 1 4 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas 1 kg Para partículas de masa igual, el centro de masa está en la posición promedio. - o - CM - i íkg F I G U R A 1 0.7 Dos partículas de masas iguales y su centro de masa. La posición del centro de masa es simplemente la posición promedio de la masa del sistema. Por ejemplo, si el sistema está formado de dos partículas, cada una de 1 kg de masa, entonces el centro de masa está a la mitad entre ellas (véase la figura 10.7). En cualquier sistema que tenga n partículas de masas iguales, como un trozo de metal puro con átomos de un solo tipo, la coordenada x del centro de masa es simplemente la suma de las coordenadas x de todas las partículas dividida entre el número de partículas, X^ ~\~ * I x„ ¿ n l CM (para partículas de igual masa) (10.14) Ecuaciones similares se aplican a las coordenadas _y y z si las partículas del sistema están distribuidas sobre una región tridimensional. Las tres ecuaciones coordenadas pueden expresarse de manera concisa en términos de vectores de posición: r i + r 2 + (para partículas de igual masa) (10.15) Si el sistema está formado por partículas de masas distintas, entonces la posición del centro de masa puede calcularse primero al subdividir las partículas en fragmentos de masa igual. Por ejemplo, si el sistema tiene dos partículas, la primera de 2 kg de masa y la segunda de 1 kg, entonces puede suponerse que se tiene tres partículas de masas iguales, de 1 kg, dos de las cuales se ubican en la misma posición. La coordenada del centro de masa es entonces "CM Esto también puede escribirse en la forma equivalente "CM (10.16) donde m1 = 2 kg y m2 = 1 kg. La ecuación (10.16) en realidad es válida para cuales- quier valores de las masas m1 y m2. La ecuación simplemente asevera que, en la posición promedio, la posición de la partícula 1 está incluida m1 veces y la posición de la partícu- la 2 se incluye m2 veces; es decir: el número de veces que cada partícula se incluye en el promedio es directamente proporcional a su masa. E J E M P L O 4 Una mujer de 50 kg y un hombre de 80 kg se sientan en los dos extremos de un subibaja de 3.00 m de largo (véase la figura 10.8). A l tratarlos como partículas, e ignorar la masa del subibaja, encuentre el centro de masa de este sistema. S O L U C I Ó N : En la figura 10.8, el origen de coordenadas está en el centro del subi- baja; por tanto, la mujer tiene una coordenada x negativa (x = —1.50 m) y el hom- bre una coordenada x positiva (x = +1.50 m). De acuerdo con la ecuación (10.16), la coordenada del centro de masa es l CM m^xx + m2x2 m1 + m2 50kg X (-1.50m) + 80kg X 1.50m 50 kg + 80 kg = 0.351 C O M E N T A R I O : Observe que la distancia de la mujer desde el centro de masa es 1.50 m + 0.35 m = 1.85 m y la distancia del hombre desde el centro de masa es 1.50 m — 0.35 m = 1.15 m. La razón de estas distancias es 1.6, lo que coincide 10.2 Centro de masa 3 1 5 La mujer está en jcj = -1.50 m; el hombre está en x2 ~ +1.50 m. La "regla de la palanca": las distancias hacia el centro de masa están en proporción inversa a las masas. FIGURA 10.8 Una mujer y un hombre en un subibaja con el inverso de la razón de las masas, 50/80 = 1/1.6. Esta "regla de la palanca" es bastante general: la posición del centro de masa de dos partículas divide el segmen- to de línea recta que las conecta en la razón m1:m2 con el segmento de longitud más corto y más cerca de la masa más grande. Si el sistema consiste de n partículas de masas diferentes mv m2, se aplica la misma expresión: el número de veces que cada partícula se incluye en el promedio está en proporción directa a su masa; el factor exacto por el que se multiplica la coordenada de cada partícula es la fracción de la masa total que aporta la partícula. Esto da la siguiente expresión general para la coordenada del centro de masa: m1x1 + m2x2 + • • • + mnxn m, + m-, + • • • + m„ (10.17) OTJXJ + m2x2 + • • • + mnxn M (10.18) donde M es la masa total del sistema, M = m1 + m2 + • • • + mn. Ecuaciones similares se aplican a las coordenadas y y z si las partículas del sistema se distribuyen sobre una región tridimensional: + m2y2 +•••+ mnyn M (10.19) mxzx + m2z2 + • • • + mnzn M (10.20) A l introducir la notación estándar X para una suma de n términos, estas fórmulas pueden expresarse de manera más concisa como 3 1 6 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas "CM 1 " —y. (10.21). coordenadas del centro de masa ycM M: (10.22) 6CM 1 ; — X (10.23) o Para un cuerpo sólido, se asigna la posición x¡ para la masa Am¡ de un elemento de volumen. F I G U R A 10.9 Un elemento de volumen pequeño del cuerpo en la posición x¡ tiene una masa Am. La posición del centro de masa de un cuerpo sólido puede, en principio, calcularse a partir de las ecuaciones (10.21)-(10.23), pues un cuerpo sólido es una colección de átomos, cada uno de los cuales puede considerarse como una partícula. Sin embargo, sería muy complicado tratar con 10 2 3 o más átomos que conforman un trozo de mate- ria del tamaño de, por ejemplo, una moneda. Es más conveniente suponer que la ma- teria tiene una distribución suave y continua de masa sobre todo su volumen. La masa en algún elemento pequeño de volumen en la posición x¡ sobre el cuerpo es entonces Ami (véase la figura 10.9) y la posición x del centro de masa es 1 l CM Mi (10.24) En el caso límite de 0 (y n —> °°), esta suma se convierte en una integral: 1 M (10.25) Expresiones similares son válidas para las posiciones y y z del centro de masa: M ycM dm (10.26) E l centro de masa de un cuerpo simétrico es obvio por inspección. esfera dllo placa circular 4CM M idm (10.27) Por tanto, la posición del centro de masa es la posición promedio de todos los elemen- tos de masa que constituyen el cuerpo. Para un cuerpo de densidad uniforme, la cantidad de masa dm en cualquier ele- mento de volumen dado dV es directamente proporcional a la cantidad de volumen. Para un cuerpo con densidad uniforme, la posición del centro de masa es simplemente la posi- ción promedio de todos los elementos de volumen del cuerpo (en matemáticas, esto se llama centroide del volumen). Si el cuerpo tiene una forma simétrica, esta posición promedio con frecuencia será obvia por inspección. Por ejemplo, una esfera, o un anillo, o una placa circular, o un cilindro, o un paralelepípedo de densidad uniforme tendrá su centro de masa en el centro geométrico (véase la figura 10.10). Pero para un cuerpo menos simétrico, el centro de masa con frecuencia debe calcularse, ya sea al considerar partes del cuerpo (como en el siguiente ejemplo) o mediante integración sobre todo el cuerpo (como en los dos ejemplos subsiguientes). paralelepípedo F I G U R A 10 .10 Muchos cuerpos para los cuales el centro de masa coincide con el centro geométrico. E J E M P L O 5 Un metro de aluminio se dobla en su punto medio de modo que las dos mitades están en ángulos rectos (véase la figura 10.11). ;Dónde está el centro de masa de este metro doblado? S O L U C I Ó N : Puede considerarse que el metro doblado está formado por dos pie- zas rectas, cada una de 0.500 m. Los centros de masa de estas piezas rectas están en 10.2 Centro de masa 3 1 7 • — 25 cm • 50 cm 75 cm / / 1_1 J i L F I G U R A 10.11 Un metro, dobla- do 90° en su punto medio. Para mitades de masa igual, el centro de masa de todo el metro es este punto medio. E l centro de masas de cada mitad está en su punto medio. F I G U R A 1 0 . 1 2 El centro de masa del metro doblado está en el punto medio de la línea recta que conecta los centros de las mitades. Las coordenadas xCM y y C M de este punto medio están a la mitad de las distancias que van a los centros de masa de los lados horizontal y vertical; es decir, 0.125 m cada uno. sus puntos medios, 0.250 m de sus extremos (véase la figura 10.12). El centro de masa de todo el metro es la posición promedio de los centros de masa de las dos mitades. Con los ejes coordenadas ordenados como aparecen en la figura 10.12, la coordenada x del centro de masa es, de acuerdo con la ecuación (10.14), 0.250 m + 0 0.125 (10.28) Del mismo modo, la coordenada y es _ 0.250 m + 0 0.125 m Observe que el centro de masa de este metro doblado está afuera del metro; es decir, no se encuentra dentro de su volumen (véase la figura 10.12). E J E M P L O 6 La figura 10.13 muestra un móvil de Alexander Cal- der, que contiene una hoja uniforme de acero, en for- ma de triángulo, suspendida en su centro de masa. ¿Dónde está el centro de masa de un triángulo rectángulo de lados perpendiculares a y b} S O L U C I Ó N : La figura 10.14 muestra el triángulo colocado con un vér- tice en el origen y su ángulo recto a una distancia b a lo largo del eje x. Para calcular la coordenada x del centro de masa, necesita sumar las aportaciones de masa dm a cada valor de x; una de tales aportaciones es la tira vertical que aparece en la figura 10.14, que tiene una altura y = (a/b)x y un ancho dx. Dado que la hoja es uniforme, la tira tiene una fracción de la masa total M igual al área de la tirajy dx = (a/b)x dx divi- dida entre el área total 5 ab: dm (a/b)xdx M ~ \ab 2x dm = M—^dx b2 F I G U R A 1 0 . 1 3 Este móvil de Alexander Calder contiene un triángulo suspendido de su centro de masa. 3 1 8 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas Esta fracción de la masa x F I G U R A 1 0 .14 a) Un triángulo rectángulo, con elemento de masa dm de altura y y ancho dx. b) El centro de masa está a un tercio de la distancia desde el ángulo recto a lo largo de los lados a y b. Integre esto en la ecuación (10.25) para xCM y sume las aportaciones desde x = 0 hasta x = b: M A I b23 cdm 1_ M 2x xM —r dx ( ¿ 3 - 0) b¿3 3 De modo que el centro de masa está a dos tercios de la distancia hasta el ángulo recto. Realizar un cálculo similar parajyC M produceyCM — ja. Por ende, xCM yjVcM están cada uno a una distancia alejada del ángulo recto igual a un tercio de la lon- gitud del lado correspondiente (véase la figura \0.\4b). F I G U R A 10 .15 La gran pirámide. E J E M P L O 7 La gran pirámide de Giza (véase la figura 10.15) tiene una altu- ra de 147 m y una base cuadrada. Si supone que todo el volumen está completamente lleno con piedra de densidad uniforme, encuentre su centro de masa. S O L U C I Ó N : Debido a la simetría, el centro de masa debe estar en la línea vertical a través del ápice. Por conveniencia, coloque el eje y a lo largo de esta línea y ordene este eje hacia abajo, con el origen en el ápice. Entonces debe encontrar dónde está el centro de masa sobre este eje y. La figu- ra 10.16a muestra una sección transversal a través de la pirámi- de, colocada de manera paralela a dos lados. El medio ángulo en el ápice es 10.2 Centro de masa 3 1 9 Aquí y es la distancia bajo el vértice. AV. E l triángulo grande es una sección transversal vertical a través de la pirámide. Se suman losas de grosor dy y área (2x)2. FIGURA 1 0 . 16 d) Sección transversal a través de la pirámide. El triángulo azul muestra que, a una altura y medida desde el ápice, el medio ancho de la pirámide es x = y tan (b. b) La delgada losa horizontal indicada en rojo es un cuadrado que mide 2x X 2x, con un grosor dy. Por ende, la masa de la losa de grosor dy a esta altura y es dm = pdV = p(2y tan cf))2dy = 4p(tan2)y3dy 4p(tan24>)y2 (10.29) (10.30) Cuando se sustituye la ecuación (10.30) en la ecuación (10.29), se cancela el factor común 4p tan2(/>, y obtenemos (10.31) y2 dy Conforme se suman las losas cuadradas de grosor dy en ambas integrales, la inte- gración corre de y = 0 en la parte superior de la pirámide, a y = h en el fondo, donde h es la altura de la pirámide. La evaluación de estas integrales produce 4 L h 4 0 4 3 L h l 3 0 3 y3 dy o Ch y2 dy Por tanto, la coordenada y del centro de masa es _ h4/4 _ 3 J t M - ¿ 3 / 3 - / Esto significa que el centro de masa está \ 147 m abajo del ápice; es decir, está \ 147 m = 37 m sobre el suelo. 3 2 0 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS CENTRO DE MASA Con frecuencia, los cálculos de la posición del centro de masa de un cuerpo pueden simplificarse al explorar la forma o la simetría del cuerpo: ' En ocasiones, es conveniente tratar el cuerpo como si es- tuviera constituido por muchas partes y comenzar a cal- cular las posiciones de los centros de masa de éstas (como en el ejemplo del metro doblado). Así, cada parte puede asumirse como una partícula ubicada en su centro de masa y el centro de masa de todo el cuerpo es entonces el centro de masa de este sistema de partículas, que puede calcularse mediante las sumas, ecuaciones (10.18)-(10.20). • Si el cuerpo o alguna parte de él tiene simetría, la posición del centro de masa por lo general será obvio por inspec- ción. Por ejemplo, en el caso del metro doblado, es obvio que el centro de masa de cada mitad está en su centro. Los argumentos geométricos a veces pueden sustituir a los cálculos algebraicos de las coordenadas del centro de masa. Por ejemplo, en el caso del metro doblado, en lugar de los cálculos algebraicos de las coordenadas [como para xCM en la ecuación (10.28)], las coordenadas pueden obtenerse al considerar al metro como constituido por dos piezas rectas con centros de masa conocidos; enton- ces, las coordenadas del centro de masa global pueden encontrarse a partir de la geometría de un diagrama, como se muestra en la figura 10.12. LA FISICA EN LA PRACTICA CENTRO DE MASA Y ESTABILIDAD En el diseño de barcos, los ingenieros necesitan asegurarse de que la posición del centro de masa del barco está en un punto bajo a fin de mejorar la estabilidad. Si el centro de masa está alto, el barco es pesado en la parte superior y puede volcarse. Con frecuencia, los barcos portan lastre en el fondo de la quilla para bajar el centro de masa. Muchos barcos se han perdido debido a lastre insuficiente o a un inesperado corri- miento del mismo. Por ejemplo, en 1628, el barco sueco Vasa (véase la figura 1), el orgullo y regocijo de la marina sueca y del rey Gustavo Adolfo I I , zozobró y se hundió en su viaje inaugural cuando fue golpeado por una ráfaga de viento, apenas afuera del muelle. Llevaba un número excesivo de pe- sados cañones en sus cubiertas superiores, lo que lo hizo pe- sado en la parte superior; debió haber llevado más lastre para bajar su centro de masa. La posición del centro de masa también es fundamental en el diseño de automóviles. Un automóvil pesado de arriba, como un SUV, tenderá a volcarse cuando acelere en una curva cerrada. Los automóviles de alto rendimiento, como el Ma- serati que se muestra en la figura 2, tienen un perfil muy bajo, con el motor y la transmisión colocados en su parte baja, de modo que el centro de masa es tan bajo como sea posible y el automóvil se mantenga en el suelo. FIGURA! El barco sueco fea. FIGURA 2 Un automóvil deportivo Maserati. 10.2 Centro de masa 3 2 1 La posición del centro de masa entra en el cálculo de la energía potencial gravita- cional de un cuerpo extendido ubicado cerca de la superficie de la Tierra. De acuerdo con la ecuación (7.29), la energía potencial de una sola partícula de masa m a una altura y sobre el suelo es mgy. Para un sistema de partículas, la energía potencial gravitacional total es entonces U = m l g y i + m2gy2 + ••• + mngyn = (mxyx + m2y2 + ••• + mnyn)g (10.32) La comparación con la ecuación (10.19) muestra que la cantidad entre paréntesis es MyCM. Por tanto, la ecuación (10.32) se convierte en U=Mgycu (10.33) Esta expresión para la energía potencial gravitacional de un sistema que está cerca de la superficie de la Tierra tiene la misma forma matemática que para una sola partícula: es como si toda la masa del sistema se ubicara en el centro de masa. Para un cuerpo humano que está de pie, la posición del centro de masa se encuentra en el punto medio del tronco, aproximadamente a la altura del ombligo. Es por esto que la altura se usa en el cálculo de la energía potencial gravitacional del cuerpo. Sin em- bargo, si se adopta cualquier posición que haga flexionarse al cuerpo, el centro de masa se desplaza. a) 0.935L (0.069AÍ) 0.711L (0.461AZ) 0.425Z. (0.215A/) 0.182Z. (0.0967W) 0.018L (0.034M) b) 0.717Z, (0.066M) 0.553Z. (0.0427W) 0.431Z. (0.017M) 0.672L 0.462Z, 0.285Z. 0.0401 energía potencial en términos de la altura del centro de masa Conceptos en contexto F I G U R A 1 0 . 1 7 a) Centros de masa de los segmentos corporales de un varón pro- medio de masa My altura L de pie. Los números indican las alturas de los centros de masa de los segmentos corporales desde el suelo y (entre paréntesis) las masas de los segmentos corporales; las extremidades derecha e izquierda se muestran combina- das, b) Puntos de articulación del cuerpo. Los números indican las alturas de las articulaciones desde el suelo. La figura 10.17« indica los centros de masa de los segmentos corporales de un hombre de proporciones promedio puesto de pie. La figura 10.17b muestra los puntos de articulación donde se unen estos segmentos corporales. A partir de los datos que aparecen en esta figura, puede calcularse la ubicación del centro de masa cuando el cuerpo adopta cualquiera otra posición, así como el trabajo realizado contra la gravedad para cambiar la posición de cual- quier segmento. Por ejemplo, si el cuerpo se dobla en un apretado arco hacia atrás, el centro de masa se desplaza a una posición justo afuera del cuerpo, aproximadamente a 10 cm por abajo de la mitad del tronco. Los saltadores olímpicos (véase la figura 10.18) obtienen ventaja de este desplazamiento del centro de masa a fin de obtener el máximo de la energía potencial gravitacional que pueden suministrar para un salto de altura. A l adoptar una posición doblada mientras pasan sobre la barra, elevan su tronco arriba del centro de masa, de modo que el tronco pasa sobre la barra mientras el centro de masa puede pasar por abajo de la barra. Con este truco, el saltador eleva el centro de su tronco aproximadamente 10 cm en relación con el centro de masa y gana altu- ra adicional sin gastar energía extra. F I G U R A 1 0.1 8 Atleta de salto de altura que pasa sobre la barra. 3 2 2 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas Conceptos eit contexto E J E M P L O 8 Suponga que un hombre de proporciones promedio realiza un salto de altura mientras arquea su espalda (véase la fotografía de apertura del capítulo). En el pico de su salto, su torso está aproximadamente hori- zontal; sus muslos, brazos y cabeza forman un ángulo de 45° con la horizontal y sus pantorrillas están verticales, como se muestra en la figura 10.19/>. a) ¿Cuánto se desplaza su centro de masa hacia abajo en comparación con un hombre que pasa sobre la barra horizontalmente? (Véase la figura 10.19a.) b) ¿Cuánto se reduce su energía potencial? Suponga que la masa del saltador es M = 73 kg y su altura L = 1.75 m. S O L U C I Ó N : a) En la figura 10.19a, el centro de masa del cuerpo horizontal está en y = 0, pues cada segmento en esencia está en y = 0. En la figura 10.20 se usaron las posiciones relativas de los puntos de articulación y los centros de masa de la figura 10.17 para determinar la posición vertical de cada segmento corporal en la posición arqueada hacia atrás. Por ejemplo, el centro de masa del muslo está a una distancia 0.521L — 0.425Z, = 0.096L de la articulación de la cadera y por tanto está a una distancia vertical 0.096Z, X sen 45° = 0.068Z, abajo de y = 0. De igual modo, pue- de determinarse que los centros de masa de pantorrillas, pies, cabeza, brazos, ante- brazos y manos están en y = -0.270L, -0.434L, -0.016L, -0.067L, -0.1831. y — 0.269L, respectivamente. A partir de la figura 10.17, las masas de los siete seg- mentos son 0.215M, 0.096M, 0.034M, 0.069M, 0.066M, 0.042My 0.017M, res- pectivamente. El torso, de masa 0.461M, de nuevo está en y = 0. Por tanto, al usar la ecuación (10.19) o (10.22), el centro de masa arqueado hacia atrás está en ycM M 2 m¡y¡ M (0.215 X 0.068 + 0.096 X 0.270 + 0.034 X 0.434 + 0.069 X 0.016 + 0.066 X 0.067 + 0.042 X 0.183 + 0.017 X 0.269 0 X 0.461)ML 0.073Z, = -0.073 X 1.75 m -0.13 m En consecuencia, en esta posición arqueada, se gana una ventaja de altura de 13 cm. b) De acuerdo con la ecuación (10.33), la energía potencial cambia por \U=MgAyCM = 73 kg X 9.81 m/s2 X (-0.13 m) (10.34) = -93 J Muslos, cuello y brazos doblados 45° los respectivos puntos de articulación; pantorrillas están verticales. E l centro de masa puede calcularse a partir de los datos de la figura 10.17. FIGURA 1 0.1 9 a) Posición horizontal, b) Saltador de altura en posición arqueada hacia atrás. 10.3 Movimiento del centro de masa 3 2 3 Estas distancias se obtienen directamente de los centros de masa y de los puntos de articulación de la figura 10.17. 0.434Z, F I G U R A 1 0 . 2 0 Posiciones verticales de los centros de masa de los segmentos corporales. Estos se determinan a partir de las posiciones de las articulaciones y de los centros de masa de la figura 10.17 y de la geometría de la posición arqueada hacia atrás. y = 0 Revisión 10.2 PREGUNTA 1: ¿Aproximadamente dónde está el centro de masa de la serpiente que se muestra en la figura 10.21a? PREGUNTA 2: ¿Aproximadamente dónde está el centro de masa de la herradura que se muestra en la figura 10.21¿? PREGUNTA 3: ¿Es posible que el centro de masa de un cuerpo esté arriba de la parte más alta del cuerpo? PREGUNTA 4: Considere un bote que tiene una quilla con un pesado bulbo de plomo en el fondo. Si el bulbo cae, el centro de masa del bote: (A) Permanece en la misma posición (B) Se desplaza hacia abajo (C) Se desplaza hacia arriba 10.3 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA Cuando las partículas de un sistema se mueven, con frecuencia el centro de masa hace lo mismo. Ahora se obtendrá una ecuación para el movimiento del centro de masa, que relaciona la aceleración del centro de masa con la fuerza externa. Esta ecuación permi- tirá calcular el movimiento de traslación global de un sistema de partículas. De acuerdo con la ecuación (10.18), si los componentes x de las posiciones de las respectivas partículas cambian por dxv dx2,dxn, entonces la posición del centro de masa cambia por 1 dx. CM M (m1dx1 + m2dx2 + • • • + mndxn) (10.35) A l dividir esto entre el tiempo dt que tardan estos cambios de posición, se obtiene CM dt 1_ M dt dt dx„ n dt (10.36) El lado izquierdo de esta ecuación es el componente x de la velocidad del centro de masa y las rapideces de cambio en el lado derecho son los componentes x de las velo- cidades de las partículas individuales; por tanto -=5. 7 F IGURA 10 .21 d) Una serpiente, b) Una herradura. 3 2 4 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas velocidad del centro de masa ,1 + OT2^,2 + " + m v n x,n ,CM M Observe que esta ecuación tiene la misma forma matemática que la ecuación (10.18); es decir, la velocidad del centro de masa es un promedio de las velocidades de las par- tículas, y el número de veces que la velocidad de cada partícula se incluye es directa- mente proporcional a su masa. Dado que ecuaciones similares se aplican a los componentes y y z de la velocidad, puede escribirse una ecuación vectorial para la velocidad del centro de masa: (10.37) m1v1 + w 2 v 2 + • V C M - M La cantidad en el numerador es simplemente la cantidad de movimiento total [com- pare la ecuación (10.1)]; por tanto, la ecuación (10.37) dice M (10.38) cantidad de movimiento en términos de la velocidad del CM P = M v C M (10.39) Esta ecuación expresa la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas como el producto de la masa total y la velocidad del centro de masa. Obviamente, esta ecuación es análoga a la ecuación familiar p = mv para la cantidad de movimiento de una sola partícula. Se sabe, a partir de la ecuación (10.13), que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total es igual a la fuerza externa neta en el sistema, ^ = F dt Si se sustituye P = MvCM y se toma en cuenta que la masa es constante, se encuentra que Ma, CM y, en consecuencia, movimiento del centro de masa M a C M = Fext (10.40) Conceptos — e n — - contexto Esta ecuación para un sistema de partículas es el análogo de la ecuación de Newton para el movimiento de una sola partícula. La ecuación asevera que el centro de masa se mueve de la misma forma que una partícula de masa Mbajo la influencia de una fuerza F ext Este resultado justifica algunas de las aproximaciones hechas en capítulos previos. Por ejemplo, en el capítulo 2, en el ejemplo 9, se trató a un paracaidista que caía de un risco como una partícula. La ecuación (10.40) muestra que este tratamiento es legíti- mo: el centro de masa del paracaidista, bajo la influencia de la fuerza externa (grave- dad), se mueve con una aceleración descendente g, tal como si fuese una partícula en caída libre. Del mismo modo, después de que un atleta que ejecuta un salto de altura se separa del suelo, su centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica, como si fuese un proyectil, y la forma y altura de esta trayectoria parabólica no le afec- tan cualesquiera contorsiones que el saltador pudiera hacer mientras está en vuelo. Dr. capítulo 4, se sabe que la velocidad vertical inicial v determina la altura máxima k c;. centro de masa; es decir, v = V 2 p . Las contorsiones del saltador permiten a su cuer- po pasar sobre una barra aproximadamente 10 cm más alto en relación con la alruri máxima del centro de masa. 10.3 Movimiento del centro de masa 3 2 5 Si la fuerza externa neta desaparece, entonces la aceleración del centro de masa desaparece; por tanto, el centro de masa permanece en reposo o se mueve con velocidad uniforme. E J E M P L O 9 Durante una "caminata espacial", un astronauta flota en el espacio a 8.0 m de su nave espacial que órbita la Tierra. El está unido a la nave espacial por medio de un largo cordón umbilical (véase la figura 10.22); para regresar, se jala él mismo median- te esta cuerda. ¿Cuánto se mueve la nave espacial hacia él? La masa de la nave espacial es de 3 500 kg y la del astronauta, incluido su traje espacial, es de 110 kg. S O L U C I O N : En el marco de referencia del astronauta y la nave espacial en órbita (caída libre), cada uno efectivamente no tiene peso; es decir, la fuerza externa sobre el sistema efectivamente es cero. Las únicas fuerzas en el sistema son las ejercidas cuando el astronauta jala la cuerda; estas fuerzas son internas. Las ejercidas por la cuerda sobre la nave espacial y sobre el astronauta durante el jalón son de igual magnitud y de direcciones opues- tas; el astronauta jala la nave espacial y ésta jala al astronauta. Sin fuerzas externas, el centro de masa del sistema astronauta-nave espacial permanece en reposo. Por tanto, la nave espacial y el astronauta se mueven hacia el centro de masa y ahí se encuentran. Con el eje x en la figura 10.23, la coordenada x del centro de masa es F I G U R A 1 0 . 2 2 Astronauta en una "caminata espacial" durante la misión Géminis 4. ^CM 1^^ 1 ^ ^^ 2*^ 2 mx + m2 (10.41) donde mx = 3 500 kg es la masa de la nave espacial y m2 = 110 kg es la masa del astronauta. Estrictamente, las coordenadas xx y x2 de la nave espacial y del astro- nauta deben corresponder a los centros de masas de estos cuerpos, pero, por cues- tión de simplicidad, se desprecia su tamaño y se trata a ambos como partículas. Los valores iniciales de las coordenadas son xx = 0 y x2 = 8.0 m; por tanto 0 + 110 kg X 8.0 m 3 500 kg +110kg 0.24: Durante el ¡alón, la nave espacial se moverá de xx = 0 a xx = 0.24 m; simultánea- mente, el astronauta se moverá de x2 = 8.0 m a x2 0.24 m. F I G U R A 10 .23 a) Posición inicial del astronauta y de la nave espacial. El centro de masa está entre ellos. b) Posición final del astronauta y de la nave espacial. Ambos están en el centro de masa. 3 2 6 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas C O M E N T A R I O : Las distancias recorridas por el astronauta y por la nave espacial están en razón inversa de sus masas. El astronauta (de masa pequeña) se mueve una distancia grande y la nave espacial (de masa grande) se mueve una distancia más pequeña. Éste es el resultado de las aceleraciones que el jalón de la cuerda produce a estos cuerpos: con fuerzas de magnitudes iguales, las aceleraciones del astronauta y de la nave espacial están en la razón inversa de sus masas. Sin embargo, el método de cálculo con base en la posición fija del centro de masa permite obtener directa- mente las posiciones finales, sin necesidad alguna de examinar las aceleraciones. E J E M P L O 1 0 Un proyectil se lanza a cierto ángulo 6 con respecto a la hori- zontal, 0° < 9 < 90°. Justo cuando alcanza su pico, explota en dos piezas. La explosión hace que una primera pieza trasera llegue a un alto mo- mentáneo y simplemente cae, golpeando el suelo directamente bajo la posición pico. La explosión también hace que la rapidez de la segunda pieza aumente y se impacte con el suelo a una distancia cinco veces más lejos del punto de lanzamien- to, en comparación con la primera pieza (véase la figura 10.24). Si el proyectil ori- ginal tenía una masa de 12.0 kg, ¿cuáles son las masas de las piezas? S O L U C I Ó N : Puesto que la explosión no produce fuerzas externas, el centro de masa continúa en su trayectoria original, una trayectoria parabólica que golpea el suelo en el alcance xmix, dado por la ecuación (4.43). El pico de la trayectoria parabólica ocurre a la mitad de esta distancia; por ende, la primera pieza, de algu- na masa mv se impacta con el suelo a una distancia \mix del punto de lanza- miento. También se dice que la segunda pieza, de masa m2, golpea el suelo a una distancia 5 X 2 xmix del punto de lanzamiento. Las dos piezas llegarán al suelo en el mismo instante, pues esta explosión afectó sólo la cantidad de movimiento hori- zontal de cada pieza. Si se toma el origen en el punto de lanzamiento, el compo- nente x del centro de masa es J2 5m2Xmix 12 Pueden dividirse ambos lados de esta ecuación entre xmix y reordenarse para ob- tener OTj = 3m2 Dado que se sabe que la masa total es mx - obtiene 12.0 kg, o 4m2 = 12.0 kg, se í-¡ = 9.0 kg y m2 = 3.0 kg ..--A*- . FIGURA 10 . 24 Un proyectil explota en su ápice. El fragmento trasero simplemente cae y la pieza delantera aterriza cinco veces más lejos del punto de lanzamiento. alcance de proyectil original Los fragmentos están \ a la misma altura. 10.4 Energía de un sistema de partículas 3 2 7 C O M E N T A R I O : Observe que, para relacionar ambos puntos de impacto con el centro de masa, tiene que conocer que los impactos ocurrieron en el mismo instante; cuando calcule el centro de masa, siempre debe usar las coordenadas de un sistema de partículas en un instante particular. Q | Rev¡s¡ónTo^3 PREGUNTA I: Cuando usted se arrastra desde la parte trasera de una canoa hasta la parte frontal, el bote se mueve hacia atrás en relación con el agua. Explique. PREGUNTA 2: Usted está encerrado en un vagón colocado sobre ruedas sin fricción en las vías del ferrocarril. Si camina desde la parte trasera del vagón hasta la parte frontal, el vagón rueda hacia atrás. ¿Es posible que usted haga que el vagón ruede una distancia mayor que su longitud? PREGUNTA 3: Usted suelta un puñado de canicas sobre un suelo liso; éstas rebotan unas contra otras y ruedan alejándose en todas direcciones. ¿Qué puede decir acerca del movimiento del centro de masa de las canicas después del impacto contra el suelo? PREGUNTA 4: Un automóvil viaja hacia el norte a 25 m/s. Un camión con el doble de masa del automóvil se dirige al sur a 20 m/s. ¿Cuál es la velocidad del centro de masas de los dos vehículos? (A) 0 (B) 5 m/s sur (C) 5 m/s norte (D) 10 m/s sur (E) 10 m/s norte 10.4 ENERGIA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS La energía cinética total de un sistema de partículas simplemente es la suma de las energías cinéticas individuales de todas las partículas: v — 1 ~. „ , 2 - i - 1 — „,2 -i. 4- 1 m „,2 f i n AI\a cinética d e un sistema K - 2 m x v x + -2m2v2+-+-2mnvn (10.42) ¿¿pite»]™ Dado que la ecuación (10.39) para la cantidad de movimiento de un sistema de partículas recuerda la expresión para la cantidad de movimiento de una sola partícula, usted puede estar tentado a suponer que la ecuación para la energía cinética de un sistema de partículas también puede expresarse en la forma de la energía cinética traslacional del centro de masa I\MVQM, que recuerda la energía cinética de una sola partícula. ¡Pero esto está mal! La energía cinética total de un sistema de partículas por lo general es mayor que \MVQ-WX. Esto puede verse en el siguiente ejemplo simple: considere dos automóviles de masas iguales que se mueven uno hacia el otro con ra- pideces iguales. Entonces la velocidad del centro de masa es cero y, en consecuencia, \MVQM = 0. Sin embargo, dado que cada automóvil tiene una energía cinética positi- va, la energía cinética total no es cero. Si las fuerzas interna y externa que actúan sobre un sistema de partículas son con- servativas, entonces el sistema tendrá una energía potencial. Anteriormente se vio que, para el ejemplo específico de la energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra, la energía potencial del sistema tiene la misma forma que para una partícula sola, U = MgyCM [véase la ecuación (10.33)]. Pero esta forma es un resultado de la fuerza particular (uniforme y proporcional a la masa); en general, la energía potencial para un sistema no tiene la misma forma que para una partícula sola. A menos que se especifiquen todas las fuerzas, no puede escribirse una fórmula explícita para la energía 328 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas potencial; pero, en cualquier caso, esta energía potencial será alguna función de las posiciones de todas las partículas. La energía mecánica total es la suma de la energía cinética total [ecuación (10.42)] y la energía potencial total. Esta energía total se con- servará durante el movimiento del sistema de partículas. Observe que, al calcular la energía potencial total del sistema, debe incluir la energía potencial tanto de las fuerzas externas como de las internas. Se sabe que estas últimas no contribuyen a los cambios de la cantidad de movimiento total del sistema, pero dichas fuerzas internas y sus ener- gías potenciales contribuyen a la energía total. Por ejemplo, si dos partículas caen una hacia la otra bajo la influencia de su atracción gravitacional mutua, la cantidad de mo- vimiento ganada por una partícula se equilibra debido a la pérdida de cantidad de movimiento de la otra, pero la energía cinética ganada por una partícula no se equilibra con la energía cinética perdida por la otra: ambas partículas ganan energía cinética. En este ejemplo, la atracción gravitacional juega el papel de una fuerza interna en el siste- ma y la ganancia de energía cinética se debe a una pérdida de energía potencial gravi- tacional mutua. Q l Re i^^ sJón 10^4 PREGUNTA 1: Considere un sistema que está formado por dos automóviles de masa igual. Inicialmente, los automóviles tienen velocidades de magnitudes iguales en direc- ciones opuestas. Suponga que chocan de manera frontal. ¿Se conserva la energía cinética? PREGUNTA 2: E l Sistema Solar está formado del Sol, nueve planetas (entre ellos, el planeta enano Plutón) y sus lunas. ¿La energía total de este sistema se conserva? ¿Se conserva la energía cinética? ¿Se conserva la energía potencial? PREGUNTA 3: Dos masas iguales, sobre una superficie horizontal sin fricción, están conectadas mediante un resorte. A cada uno se le da un breve empujón en una direc- ción diferente. Durante el movimiento posterior, ¿cuál de los siguientes permanece consrante? (P = cantidad de movimiento total; K = energía cinética total; U = energía potencial total). (A) solamente P (B) P y K (C) P y U (D)KyU (E)P,KyU R E S U M E N RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONSERVAC ION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (en ausencia de fuerzas externas) TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Conservación de la cantidad de movimiento TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Centro de masa LA FÍSICA EN LA PRÁCTICA Centro de masa y estabilidad CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA p = mv CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS P = P i + P2 + "' ^ = F dt P = [constante] (página 310) (página 320) (página 320) (10.1) (10.4) (10.13) (10.12) Preguntas para discusión 3 2 9 CENTRO DE MASA (Usando M = mx + m2 + • • • + mn) XCM = J j ^ m i x i + m2x2 +•••+ m¿cn) f s " 9 M ú 1 (10.18) (10.19) (10.20) CENTRO DE MASA DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE MASA donde dm = p dV{p es la densidad y dVes un elemento de volumen). esfera placa circular anillo paralelepípedo 6CM M \_ M) \^ M (dm ydm zdm (10.25) (10.26) (10.27) VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA mxvx -t- w 2 v 2 "CM M (10.37) CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS (cerca de la superficie de la Tierra) P = Mv, CM ^ • C M = F e x t U = Mgy, CM (10.39) (10.40) (10.33) ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS K = \mxv\ \m2v22 + • • • + ^mnv¿n (10.42) 1 2 P R E G U N T A S PARA D I S C U S I O N 1. Cuando la boquilla de una manguera contra incendios descarga una cantidad de agua grande a rapidez grande, se necesitan muchos bomberos fuertes para mantener estacionaria la boqui- lla. Explique. 2. Cuando dispara un arma de fuego, un cazador siempre la pre- siona firmemente contra su hombro. ¿Por qué? 3. Como se describe en el ejemplo 2, los cañones que se encuen- tran a bordo de los buques de guerra del siglo xvin con fre- cuencia se montaban en soportes (véase la figura 10.3). ¿Cuál era la ventaja de este arreglo? 4. Las películas de Hollywood con frecuencia muestran a un hombre que es derribado por el impacto de una bala, mientras que el hombre que disparó permanece de pie, muy inalterado. ¿Esto es razonable? 5. ¿Dónde está el centro de masa de este libro cuando se cierra? Marque el centro de masa con una cruz. 6. ¿Aproximadamente dónde está el centro de masa de este libro cuando está abierto, como en este momento? 7. Una fuente dispara un chorro de agua hacia arriba, en el aire (véase la figura 10.25). Aproximadamente, ¿dónde está el centro 3 3 0 CAPÍTULO 10 Sistemas de partículas de masa del agua que está en el aire en un instante? ¿El centro de masa está más alto o más bajo que la altura media? 13. Un elefante salta desde un risco. ¿La Tierra se mueve hacia arriba mientras el elefante cae? 14. Un malabarista está de pie sobre una báscula, manipulando cinco bolas (véase la figura 10.26). En promedio, ¿la báscula registrará el peso del malabarista más el peso de las cinco bolas? ¿Registrará más que eso? ¿O registrará menos? V 0 f l F I G U R A 10 .25 Chorro de agua de una fuente. 8. Considere la llave en movimiento que se muestra en la figura 10.6. Si el centro de masa de esta llave no se hubiera marcado, ¿cómo podría encontrarlo mediante inspección de esta fotografía? 9. ¿Es posible impulsar un bote de vela al montar un ventilador en la cubierta y soplar aire a la vela? ¿Es mejor montar el ventila- dor en la popa y soplar aire hacia atrás? 10. El sexto método de Cyrano de Bergerac para impulsarse a sí mismo hasta la Luna era el siguiente: "sentado en un plato de hierro, arrojar violentamente un imán al aire, el hierro lo sigue, atrapo el imán, lo lanzo de nuevo, y así procedo indefinidamen- te". ¿Qué está mal en este método (aparte del insuficiente jalón del imán)? 11. Dentro de los frijoles saltarines mexicanos, una pequeña larva de insecto salta arriba y abajo. ¿Cómo es que esto eleva al frijol de la superficie de la mesa? 12. Responda la siguiente pregunta, enviada por un lector del New York Times: Un patrullero estatal lleva al conductor de un camión a una estación de pesaje para ver si el camión está sobrecargado. Mientras el vehículo rueda en las básculas, el conductor salta de la cabina y comienza a golpear la caja del camión con un bat. Un observador le pregunta qué hace. E l camionero responde: "Aquí traigo cinco toneladas de canarios. Sé que estoy sobrecargado. Pero si los mantengo volando todo estará bien." Si los canarios vuelan en esa caja cerrada, ;el camión realmente pesará menos que si las aves se mantuvieran en sus perchas? F I G U R A 10 .26 Malabarista sobre una báscula. 15. Suponga que usted llena un globo de goma con aire y luego lo libera de modo que el aire salga por la boquilla. El globo volará a través de la habitación. Explique. 16. La cámara de combustión del motor de un cohete está cerrada en el frente y a los lados, pero se encuentra abierta en la parte trasera (véase la figura 10.27). Explique cómo la presión del gas sobre las paredes de esta cámara de combustión da una fuerza neta hacia delante que impulsa al cohete. cámara de garganta abertura combustión •4 | combustión F I G U R A 1 0 . 2 7 Cámara de combustión de un motor de un cohete. PROBLEMAS 10.1 Cantidad de movimiento 1. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de una bala de rifle de 15 g de masa y 600 m/s de rapidez? ¿Cuál la de una flecha de 40 g de masa y 80 m/s de rapidez? 2. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un automóvil de 900 kg de masa que se mueve a 65 km/h? Si un camión de 7 200 kg de masa debe tener la misma cantidad de movimiento que el auto- móvil, ¿cuál debe ser su rapidez? 3. Con los valores mencionados en las tablas 1.7 y 2.1, encuentre la magnitud de la cantidad de movimiento para cada uno de los siguientes objetos: la Tierra que se mueve alrededor del Sol, un avión jet a máxima rapidez, un automóvil a 55 mi/h, un hombre que camina, un electrón que se mueve alrededor de un núcleo. 4. El empujón que una bala ejerce durante el impacto sobre un blanco depende de la cantidad de movimiento de la bala. Un rifle Remington .244, usado para cazar ciervos, dispara una bala de 90 granos (1 grano es y^x con una rapidez de 975 m/s. Un rifle Remington .35 dispara una bala de 200 granos con una rapidez de 674 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada bala? 5. Un electrón, con 9.1 X 10~31kgde masa, se mueve en el plano x-y; su rapidez es de 2.0 X 10 m/s y su dirección de movi- miento forma un ángulo de 25° con el eje x. ¿Cuáles son los componentes de la cantidad de movimiento del electrón? 6. Un paracaidista de 75 kg de masa está en caída libre. ¿Cuál es la rapidez de cambio de su cantidad de movimiento? Ignore la fricción. 7. Un jugador de fútbol patea un balón y lo envía por el aire con una rapidez inicial de 26 m/s en un ángulo hacia arriba de 30°. La masa del balón es de 0.43 kg. Ignore la fricción. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial del balón? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento cuando el balón llega a la altura máxima de su trayectoria? c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento cuando el balón regre- sa al suelo? ¿Esta cantidad de movimiento final es la misma que la cantidad de movimiento inicial? 8. La Tierra se mueve alrededor del Sol en un círculo de 1.5 X 1011 m de radio con una rapidez de 3.0 X 104 m/s. La masa de la Tierra es de 6.0 X 1024 kg. Calcule la magnitud de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de la Tierra a partir de estos datos. (Sugerencia: La magnitud de la cantidad de movimiento no cambia, pero la dirección sí.) 9. Una masa de 1.0 kg se libera desde el reposo y cae libremente. ¿Cuánta cantidad de movimiento adquiere después de un se- gundo? ¿Y cuánta después de diez segundos? 10. Una mujer de 55 kg que se encuentra en un bote de remos de 20 kg lanza un salvavidas de 3.0 kg con una velocidad horizon- tal de 5.0 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la mujer y del bote? 11. Un hombre de 90 kg se zambulle desde un bote de 20 kg con una velocidad horizontal inicial de 2.0 m/s (relativa al agua). ¿Cuál es la velocidad de retroceso del bote? (Desprecie la fric- ción del agua.) 12. Un átomo de hidrógeno (1.67 X 10 2 7 kg de masa) en reposo puede emitir un fotón (una partícula de luz) con cantidad de movimiento máxima de 7.25 X 10~27 kg • m/s. ¿Cuál es la máxima velocidad de retroceso del átomo de hidrógeno? 13. Calcule el cambio de la energía cinética en el choque entre los dos automóviles descritos en el ejemplo 3. 14. Un rifle de 10 kg que yace sobre una mesa lisa se descarga por accidente y dispara una bala de 15 g de masa con una rapidez de boquilla de 650 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del rifle? ¿Cuál es la energía cinética de la bala y cuál es la energía cinética de retroceso del rifle? 15. Un buque común de guerra de alrededor del año 1800 (como el USS Constitution) transportaba 15 largos cañones en cada lado. Los cañones disparaban una bala de 11 kg con una rapidez de boquilla de aproximadamente 490 m/s. La masa del buque era más o menos de 4 000 toneladas métricas. Suponga que los 15 cañones de un lado del buque se disparan (casi) simultánea- mente en una dirección horizontal en ángulo recto en relación con el buque. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del buque? Ignore la resistencia ofrecida por el agua. 16. Dos automóviles, que se mueven a 65 km/h en direcciones opuestas, chocan frontalmente. Uno de ellos tiene una masa de 700 kg; el otro, una masa de 1 500 kg. Después del choque, ambos permanecen unidos. ¿Cuál es la velocidad de los restos? ¿Cuál es el cambio de la velocidad de cada automóvil durante el choque? 17. El núcleo de un átomo de radio (3.77 X 10~2S kg de masa) súbitamente expulsa una partícula alfa (6.68 X 10 2 ' kg de masa) de una energía de 7.26 X 10 1 6 J. ¿Cuál es la velocidad del retroceso del núcleo? ¿Cuál es la energía cinética del retroceso? 18. Un león de 120 kg de masa salta sobre un cazador con una velo- cidad horizontal de 12 m/s. El cazador tiene un rifle automático que dispara balas de 15 g de masa con una rapidez de boquilla de 630 m/s e intenta detener al león en el aire. ¿Cuántas balas ten- dría que disparar el cazador al león para detener su movimiento horizontal? Suponga que las balas quedan dentro del león. *19. Encuentre la velocidad de retroceso para el cañón descrito en el ejemplo 2 si el cañón se dispara con un ángulo de elevación de 20°. *20. Considere el choque entre los automóviles en movimiento e inicialmente estacionario descritos en el ejemplo 3. En este ejemplo, se desprecian los efectos de la fuerza de fricción que ejerce el camino durante el choque. Suponga que éste dura 0.020 s y que, durante este intervalo de tiempo, los automóviles unidos se deslizan con las ruedas bloqueadas sobre el pavimen- to con un coeficiente de fricción ¡xk = 0.90. ¿Qué cambio de cantidad de movimiento y qué cambio de rapidez produce la fuerza de fricción en los automóviles unidos en el intervalo de 0.020 s? ¿Este cambio es de rapidez significativa? *21. Una ametralladora Maxim dispara 450 balas por minuto. Cada bala tiene una masa de 14 g y una velocidad de 630 m/s. a) ¿Cuál es la fuerza promedio que el impacto de estas balas ejerce sobre un blanco? Suponga que las balas penetran el blanco y permanecen incrustadas en él. b) ¿Cuál es la rapidez promedio a la que las balas entregan su energía al blanco? *22. Un buho vuela paralelo al suelo y atrapa con sus garras a un ratón que se encuentra sin moverse. La masa del buho es de 250 g y la del ratón es de 50 g. Si la rapidez del buho era de 4.0 m/s antes de atrapar al ratón, ¿cuál es su rapidez justo después de la captura? *23. Una partícula se mueve a lo largo del eje x bajo la influencia de una fuerza en función del tiempo de la forma F = 2.Qt + 3.Oí2, donde Fx está en newtons y / en segundos. ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento de la partícula entre / = 0 y / = 5.0 s? [Sugerencia: Reescriba la ecuación (10.3) como dpx = Fxdte integre.] *24. Un jarrón que cae de una mesa y golpea un suelo liso se rompe en tres fragmentos de igual masa que se mueven alejándose horizontalmente a lo largo del suelo. Dos de los fragmentos dejan el punto de impacto con velocidades de iguales magnitu- des v en ángulos rectos. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la velocidad horizontal del tercer fragmento? (Sugerencia: Los componentes x y y de la cantidad de movimiento se conservan por separado.) *25. El núcleo de un átomo de cobre radiactivo que experimenta de- caimiento beta simultáneamente emite un electrón y un ncutrino. La cantidad de movimiento del electrón es 2.64 X 10~22 kg • m/s, la del neutrino es 1.97 X 10 2 2 kg • m/s y el ángulo entre sus direcciones de movimiento es 30.0°. La masa del núcleo residual es 63.9 u. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del núcleo? (Sugeren- cia: I .os componentes x y y de la cantidad de movimiento se con- servan por separado.) *26. El viento solar que barre la Tierra consiste de un chorro de par- tículas, principalmente iones hidrógeno, de 1.7 X 10~27 kg de masa. I lay aproximadamente 1.0 X 10' iones por metro cúbico y su rapidez es de 4.0 X 10 m/s. ¿Qué fuerza ejerce el impacto del viento solar sobre un satélite artificial de la Tierra que tiene un área de 1.0 m 2 trente al viento? Suponga que, en el impacto, los iones al principio se pegan a la superficie del satélite. *27. El récord para la lluvia más intensa lo conserva Unionville, • Marvland, donde 3.12 cm de lluvia (1.23 pulgadas) cayeron en un intervalo de 1.0 min. Si se supone que la velocidad de im- pacto de las gotas de lluvia sobre el suelo era de 10 m/s, ¿cuál fue la fuerza de impacto promedio sobre cada metro cuadrado de suelo durante esta lluvia? "28. Un automóvil viaja con una rapidez de 80 kin/h a través de una intensa lluvia. Las gotas de lluvia caen verticalmente a 10 m/s y hay 7.0 X 10 4 kg de gotas de lluvia en cada metro cúbico de aire. Para los siguientes cálculos, suponga que el automóvil tiene la forma de una caja rectangular de 2.0 m de ancho, 1.5 m de alto v 4.0 m de largo. a) ¿A qué rapidez (en kg/s) golpean las gotas de lluvia el fren- te y la parte superior del automóvil? b) Suponga que, cuando una gota de lluvia golpea, inicialmen- te se pega al automóvil, aunque después cae. ¿A qué rapidez entrega el automóvil cantidad de movimiento a las gotas de lluvia? ¿Cuál es la fuerza de arrastre horizontal que el im- pacto de las gotas de lluvia ejerce sobre el automóvil? *29. Una nave espacial con área frontal de 25 m 2 pasa a través de una nube de polvo interestelar con una rapidez de 1.0 X 106 m/s. La densidad del polvo es de 2.0 X 10"1S kg/m'. Si todas las partículas de polvo que impactan la nave se pegan a ella, encuentre la tuerza de desaceleración promedio que el impacto del polvo ejerce sobre la nave espacial. **30. Un jugador de basquetbol salta recto hacia arriba para lanzar un largo tiro con un ángulo de 45° con la horizontal y una rapidez de 15 m/s. El jugador de 75 kg momentáneamente está en reposo en lo alto de su salto, justo antes de que el tiro se suelte, con sus pies a 0.80 m sobre el suelo, a) ¿Cuál es la velocidad del jugador inmediatamente después de soltar el tiro? b) ¿Cuan lejos de su posición original aterriza? Considere al jugador como una partícula puntual. La masa de un balón de basquet- bol es de 0.62 kg. **31. Un arma montada en un carro dispara balas de masa m en di- rección hacia atrás con una velocidad de boquilla horizontal u. La masa inicial del carro, incluida la masa del arma y la de la munición, es 7W, y la velocidad inicial del carro es cero. ¿Cuál es la velocidad del carro después de disparar n balas? Suponga que el carro se mueve sin fricción e ignore la masa de la pólvora. 10.2 Centro de masa 32. Una moneda se encuentra sobre una mesa a una distancia de 20 cm de una pila de tres monedas. ¿Dónde está el centro de masa de las cuatro monedas? 33. Una mujer de 59 kg y un hombre de 73 kg se sientan en un subibaja de 3.5 m de largo. ¿Dónde está su centro de masa? Ignore la masa del subibaja. 34. Considere el sistema Tierra-Luna; use los datos que aparecen en la tabla impresa en los forros del libro. ¿Cuan lejos del centro de la Tierra está el centro de masa de este sistema? 35. Considere al Sol y al planeta Júpiter como un sistema de dos partículas. ¿Cuan lejos del centro del Sol está el centro de masa de este sistema? Exprese su resultado como un múltiplo del radio del Sol. (Use los datos de los forros interiores de este libro.) 36. Dos ladrillos están adyacentes y un tercero se coloca simétrica- mente sobre ellos, como se muestra en la figura 10.28. ¿Dónde está el centro de masa de los tres ladrillos? F I G U R A 10 .28 Tres ladrillos. *37. ¿Dónde está el centro de masa de una hoja uniforme con forma de triángulo isósceles? Suponga que la altura del triángulo es h cuando el lado distinto es la base. *38. Considere una pirámide con altura h y base triangular. ¿Dónde está su centro de masa? *39. Con la finalidad de balancear la rueda de un automóvil, un mecánico añade una pieza de aleación de plomo al borde de la tueda. El mecánico encuentra que, si agrega un trozo de 40 g a ¡una distancia de 20 cm del centro de la rueda de 30 kg, la rueda está perfectamente balanceada; es decir, el centro de la rueda coincide con el centro de masa. ¿Cuan lejos del centro de la rueda estaba el centro de masa antes de que el mecánico balan- ceara la rueda? *40. La distancia entre el oxígeno y cada uno de los átomos de hi- drógeno en una molécula de agua (H 2 0) es 0.0958 nm; el án- gulo entre dos enlaces oxígeno-hidrógeno es de 105° (véase la figura 10.29). Considere los átomos como partículas y encuen- tre el centro de masa. *41. La figura 10.30 muestra la forma de una molécula de ácido nítrico (HN0 3 ) y sus dimensiones. Considere los átomos como partículas v encuentre el centro de masa de esta molécula. Problemas H 0.0958 n m ^ l F I G U R A 10 .29 Átomos en una molécula de agua. Q H 0.141 i 130°- F I G U R A 10 .30 Átomos en una molécula de ácido nítrico. *42. La figura 9.13a muestra las posiciones que tenían los tres pla- netas interiores (Mercurio, Venus y Tierra) el 1 de enero de 2000. Mida los ángulos y distancias de esta figura y encuentre el centro de masa del sistema de estos planetas (ignore el Sol). Las masas de los planetas se mencionan en la tabla 9.1. *43. El Grupo Local de galaxias está formado por la Vía Láctea y sus vecinos más cercanos. Las masas de los miembros más im- portantes del Grupo Local son las siguientes (en múltiplos de la masa del Sol): Vía Láctea, 2 X 1011; galaxia Andrómeda, 3 X 1011; Gran Nube Magallánica, 2.5 X 1010;NGC598, 8 X 109. Las coordenadas x,y, z de estas galaxias son, respecti- vamente, las siguientes (en miles de años luz): (0,0,0); (1 640, 290,1 440), (8.5,56.7, -149) y (1 830,766,1 170). Encuentre las coordenadas del centro de masa del Grupo Local. Considere todas las galaxias como masas ptmtuales. "44. Una barra delgada uniforme se dobla en forma de un semi- círculo de radio R (véase la figura 10.31). ¿Dónde está el centro de masa de esta barra? *45. Tres piezas cuadradas uniformes de hoja metálica se unen a lo largo de sus bordes, de modo que forman tres de los lados de un cubo (véase la figura 10.32). Las dimensiones de los cuadrados son L '. unidos? L . ¿Dónde está el centro de masa de los cuadrados F I G U R A 10 .32 Tres piezas cuadradas de hoja metálica, unidos en sus bordes. *46. Una caja hecha de madera contrachapada tiene dimensiones L X L X I . L a parte superior de la caja está perdida. ¿Dónde está el centro de masa de la caja abierta? *47. Un cubo de hierro tiene dimensiones L X L X L . A través del cubo se taladra un agujero de -j L de radio, de modo que un lado del agujero es tangente a la mitad de una cara a lo largo de toda su longitud (véase la figura 10.33). ¿Dónde está el centro de masa del cubo perforado? F I G U R A 1 0 . 3 3 Cubo de hierro con un agujero. *48. Un semicírculo de hoja metálica uniforme tiene radio R (véase la figura 10.34). Encuentre el centro de masa. r 7\ 0 R R F IGURA 10.31 Una barra se dobla en forma de un semicírculo. F I G U R A 10 .34 Sem: círculo de hoja metálica. 3 3 4 ñas de partículas *49. El monte Fuji tiene aproximadamente la forma de un cono. El medio ángulo del ápice de este cono es de 65° y la altura del ápice es de 3 800 m. ¿A qué altura está el centro de masa? Su- ponga que el material en el monte Fuji tiene densidad uniforme. *50. Demuestre que el centro de masa de una placa triangular plana uniforme está en el punto de intersección de las líneas dibuja- das desde los vértices hasta los puntos medios de los lados opuestos. *51. Considere un hombre de 80 kg de masa y 1.70 m de alto con la distribución de masa descrita en la figura 10.17. ¿Cuánto traba- jo hace este hombre para elevar sus brazos desde una posición colgada hasta una posición horizontal? ¿Y cuánto trabajo hace desde una posición elevada verticalmente? *52. Suponga que un hombre de 75 kg de masa y 1.75 m de alto corre en su lugar, elevando sus piernas como en la figura 10.35. Si corre a la tasa de 80 pasos por minuto para cada pierna (160 en total por minuto), ¿qué potencia gasta en elevar sus piernas? 0.521L F I G U R A 1 0 . 3 5 Hombre con pierna elevada. *53. Una esclusa en el canal Champlain tiene 73 m de largo, 9.2 m de ancho y una elevación de 3.7 m; es decir, la diferencia entre los niveles de agua del canal en un lado de la esclusa y el otro lado es de 3.7 m. ¿Cuánta energía potencial gravitacional se desperdicia cada vez que la esclusa realiza un ciclo (que implica el llenado de la esclusa con agua del nivel alto y luego el vertido de esta agua en el nivel bajo)? *54. La gran pirámide de Giza tiene una masa de 6.6 X 106 tonela- das métricas y una altura de 147 m (véase el ejemplo 7). Supon- ga que la masa se distribuye uniformemente sobre el volumen de la pirámide. a) ¿Cuánto trabajo debieron realizar los antiguos egipcios contra la gravedad para apilar las piedras en la pirámide? b) Si cada trabajador entregó trabajo a una rapidez promedio de 4.0 X 103 J/h, ¿cuántas personas-hora de trabajo se almacenaron en esta pirámide? **55. Un cascarón hemisférico delgado de grosor uniforme está sus- pendido de un punto sobre su centro de masa, como se muestra en la figura 10.36. ¿Dónde se encuentra dicho centro de masa? **56. Suponga que gotas de agua se liberan desde un punto en el extremo de un techo con un intervalo de tiempo constante A.Í entre una gota de agua y la siguiente. Las gotas caen una dis- F I G U R A 10 .36 Un cascarón hemisférico usado como gong. tancia / hasta alcanzar el suelo. Si A/ es muy corto (de modo que el número de gotas que caen por el aire en cualquier instan- te dado es muy grande), demuestre que el centro de masa de las gotas que caen está a una altura de y / sobre el suelo. A partir de esto, deduzca que la altura promediada en el tiempo de un proyectil liberado desde el suelo y que regresa al suelo es y de su altura máxima. (Este teorema es útil en el cálculo de la presión de aire promedio y la resistencia del aire que encuentra un proyectil.) 10.3 Movimiento del centro de masa 57. Un protón con 1.6 X 10 1 3 J de energía cinética se mueve hacia un protón en reposo. ¿Cuál es la velocidad del centro de masa del sistema? 58. En una molécula, los átomos usualmente ejecutan un movi- miento vibratorio rápido en torno de su posición de equilibrio. Suponga que, en una molécula de bromuro de potasio (KBr) aislada, la rapidez del átomo de potasio es 5.0 X 103 m/s en un instante (en relación con el centro de masa). ¿Cuál es la rapidez del átomo de bromo en el mismo instante? 59. Un pescador que se encuentra en un bote atrapa un gran tibu- rón blanco con un arpón. El tiburón lucha durante un rato y luego queda laxo cuando está a una distancia de 300 m del bote. El pescador jala al tiburón con la cuerda unida al arpón. Duran- te esta operación, el bote (inicialmente en reposo) se mueve 45 m en la dirección del tiburón. La masa del bote es de 5 400 kg. ¿Cuál es la masa del tiburón? Suponga que el agua no ejerce fricción. 60. Un hombre de 75 kg sube las escaleras desde la planta baja hasta el cuarto piso de un edificio de 15 m de alto. ¿Cuánto retrocede la Tierra en la dirección opuesta conforme el hombre asciende? 61. Un camión de 6 000 kg está sobre la cubierta de un ferry de 80 000 kg. Inicialmente el ferry está en reposo y el camión se ubica en su extremo frontal. Si el camión avanza 15 m a lo largo de la cubierta hacia la parte trasera del ferry, ¿cuánto se moverá el ferry hacia adelante en relación con el agua? Suponga que el agua no tiene efecto sobre el movimiento. Problemas de repaso 3 3 5 62. Mientras se mueve horizontalmente a 5.0 X 103 m/s a una altitud de 2.5 X 104 m, un misil balístico explota y se rompe en dos fragmentos de masa igual que caen libremente. Uno de los fragmentos tiene rapidez cero inmediatamente después de la explosión y aterriza en el suelo en forma directa abajo del punto de la explosión. ¿Dónde aterriza el otro fragmento? Ignore la fricción del aire. 63. Una bala de 15 g que se mueve a 260 m/s se dispara hacia un bloque de madera de 2.5 kg. ¿Cuál es la velocidad del centro de masa del sistema bala-bloque? 64. Una mujer de 60 kg y un hombre de 90 kg caminan uno hacia el otro, cada uno moviéndose con una rapidez v en relación con el suelo. ¿Cuál es la velocidad de su centro de masa? 65. Un proyectil de masa M alcanza el pico de su movimiento a una distancia horizontal D del punto de lanzamiento. En su pico, explota en tres fragmentos iguales. Un fragmento regresa direc- tamente al punto de lanzamiento y otro aterriza a una distancia 2D del punto de lanzamiento, en un punto en el mismo plano del movimiento inicial. ¿Dónde aterriza el tercer fragmento? *66. Un proyectil se lanza con una rapidez v0 a un ángulo 6 con respecto a la horizontal. En el pico de su movimiento, explota en dos piezas de masa igual, que continúan moviéndose en el plano original de movimiento. Una pieza golpea el suelo a una distancia horizontal D más allá del punto de lanzamiento que el punto directamente abajo de la explosión en un tiempo t < v0 sen 6/g después de la explosión. ¿Cuan alto sube la otra pieza y dónde aterriza? Responda en términos de v0, 8,Dyt. "67. La figura 9.13a muestra las posiciones que mantenían los tres planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra) el 1 de enero de 2000. Mida los ángulos de esta figura y, con los datos de masas, radios orbitales y periodos dados en la tabla 9.1, encuentre la velocidad del centro de masa de este sistema de tres planetas. 10.4 Energía de un sistema de partículas 68. Dos automóviles, cada uno de 1 500 kg de masa, viajan en la misma dirección a lo largo de un camino recto. La rapidez de un automóvil es de 25 m/s y la del otro es de 15 m/s. Si estos automóviles se consideran como un sistema de dos partículas, ¿cuál es la energía cinética traslacional del centro de masa? ¿Cuál es la energía cinética total? 69. Repita el cálculo del problema 68 si los dos automóviles viajan en direcciones opuestas. 70. Un proyectil de 45 kg que se dispara desde un cañón tiene una rapidez de 640 m/s. El proyectil explota en vuelo, se rompe en un fragmento de 32 kg y otro de 13 kg (se supone que no se dispersa masa en la explosión). Ambos fragmentos se mueven a lo largo de la dirección original de movimiento. La rapidez del primer fragmento es de 450 m/s y la del segundo es de 1 050 m/s. a) Calcule la energía cinética traslacional del movimiento del centro de masa antes de la explosión. b) Calcule la energía cinética traslacional del movimiento del centro de masa después de la explosión. Calcule la energía cinética total. ¿De dónde proviene la energía cinética adicional? 71. Considere el choque automovilístico descrito en el problema 16. ¿Cuál es la energía cinética traslacional del movimiento del centro de masa antes de la colisión? ¿Cuál es la energía cinética total antes y después del choque? 72. Dos masas puntuales aisladas mí y m2 se conectan mediante un resorte. Las masas alcanzan sus rapideces máximas en el mismo instante. Poco tiempo después, ambas masas se encuentran estacionarias. La rapidez máxima de la primera masa es vv ¿Cuál es la rapidez máxima de la segunda masa? Cuando las masas están estacionarias, ¿cuál es la energía almacenada en el resorte? 73. La rapidez común de un átomo de helio en gas helio a tempe- ratura ambiente es de 1.4 km/s; la de una molécula de oxígeno (0 2) en gas oxígeno es de cerca de 500 m/s. Encuentre la ener- gía cinética total de un mol de átomos de helio y la de un mol de moléculas de oxígeno. *74. Dos automóviles, cada uno de masa M/2 y rapidez v, viajan alrededor de una glorieta de un carril. ¿Cuál es la energía ciné- tica total del sistema de dos autos? ¿Cuál es la cantidad \MVQM si los automóviles están a) en lados opuestos de la glorieta, b) separados un cuarto de glorieta y c) pegados? *75. Considere el Sol y Júpiter como un sistema de dos partículas, que órbita alrededor del centro de masa. Encuentre la razón de la energía cinética del Sol a la de Júpiter. (Use los datos que están en los forros interiores del libro.) *76. La rapidez común del movimiento vibratorio de los átomos de hierro en un trozo de este elemento a temperatura ambiente es de 360 m/s. ¿Cuál es la energía cinética total de un trozo de hierro de 1.0 kg? P R O B L E M A S DE R E P A S O 77. Un cazador que se desplaza en patines sobre una superficie lisa de hielo dispara 10 balas a un blanco en la playa. Cada bala tiene una masa de 15 g y una rapidez de 600 m/s. El caza- dor tiene una masa de 80 kg. ¿Qué rapidez de retroceso adquiere? 78. En un vagón de ferrocarril casi lleno, se carga grano desde un alimentador colocado arriba de él (véase la figura 10.37). Si 500 kg por segundo caen libremente desde una altura de 4.0 m hasta lo alto del vagón, ¿qué empujón descendente ejerce el impacto del grano sobre el vagón? IX! F I G U R A 1 0 . 3 7 Desde un alimentador cae grano dentro de un vagón de ferrocarril. 79. Un niño y una niña están entretenidos en un juego que consiste en jalar una soga sobre hielo liso sin fricción. La masa del niño es de 40 kg y la de la niña es de 30 kg; su separación inicial- mente es de 4.0 m. Cada uno jala la soga con una fuerza de 200 N. ¿Cuál es la aceleración de cada uno? Si siguen jalando, ¿dónde se encontrarán? 80. Un automóvil de 1 200 kg y otro de 1 500 kg viajan en la mis- ma dirección sobre un camino recto. Las rapideces de los dos automóviles son 60 km/h y 80 km/h, respectivamente. ¿Cuál es la velocidad del centro de masa del sistema que forman los dos automóviles? 81. Un automóvil que viaja a 40 km/h choca de manera frontal con un camión que tiene 5 veces la masa del automóvil. Los vehícu- los permanecen en reposo después del choque. Deduzca la rapidez del camión. 82. La boquilla de una manguera contra incendios expulsa 800 litros de agua por minuto con una rapidez de 26 m/s. Estime la fuerza de retroceso sobre la boquilla. ¿Puede usted mismo sos- tener esta boquilla estacionaria en sus manos? 83. La distancia entre los centros de los átomos de potasio y bromo en la molécula de bromuro de potasio (KBr) es de 0.282 nm (véase la figura 10.38). Considere los átomos como partículas y encuentre el centro de masa. 84. Un remolcador de 400 toneladas métricas de masa y un barco de 28 000 toneladas métricas se unen mediante una larga soga de arrastre de 400 m. Ambos navios inicialmente están en reposo en el agua. Si el remolcador enrolla 200 m de soga, ¿cuánto se mueve el barco en relación con el agua? ¿Cuánto lo hace el remolcador? Ignore la resistencia que el agua ofrece al movimiento. 85. Un gato está de pie sobre un tablón de madera balsa que flota en el agua. La masa del gato es de 3.5 kg y la del tablón es de 5.0 kg. Si el gato camina 1.0 m a lo largo del tablón, ¿cuánto se mueve en relación con el agua? 86. Tres bomberos de masas iguales ascienden por una larga escale- ra. Cuando el primer bombero está 20 m arriba de la escalera, el segundo está 15 m arriba y el tercero 5 m arriba. ¿Dónde está el centro de masa de los tres bomberos? 87. Cuatro libros idénticos están ordenados en los vértices de un triángulo equilátero de 1.0 m de lado. Dos de los libros están juntos en un vértice del triángulo y los otros dos están en los otros dos vértices. ¿Dónde está el centro de masa de este arreglo? 88. Tres metros idénticos están ordenados para formar la letra U. ¿Dónde está el centro de masa del sistema? 89. Dos cuadrados uniformes de hoja metálica, con dimensiones L X L, se unen en ángulos rectos a lo largo de un borde (véase la figura 10.39). Uno de los cuadrados tiene el doble de masa que el otro. Encuentre el centro de masa de los cuadrados combinados. — ; 0.282 nm- o C M m2 F I G U R A 1 0 . 3 9 Dos piezas cuadradas de hoja metálica uni- das a lo largo de un borde. F I G U R A 10 .38 Atomos en una molécula de bromuro de potasio. *90. Encuentre el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio R. Respuestas a las revisiones Revisión 10.1 1. Suponga el caso usual de que el camión tiene una mayor masa que el automóvil. Entonces la igualdad de sus cantidades de movimiento (mv) implica que el automóvil tiene una mayor rapidez (la razón de las velocidades será el inverso de la razón de las masas). Dado que la energía cinética es \n ,2 _ 1 2 X mv X v y las cantidades de movimiento (mv) son iguales, entonces el vehículo con la mayor rapidez, el automóvil, también tendrá la mayor energía cinética. 2. No pueden tener la misma cantidad de movimiento, pues los signos de sus cantidades de movimiento serán opuestos. Pueden tener la misma energía cinética, pues ella sólo depende de la rapidez: K = \mv2. 3. No. La cantidad de movimiento, como la velocidad, también está invertida v tiene el signo opuesto después del impacto. 4. Sí. Para propósitos prácticos, el Sistema Solar es en esencia un sistema aislado, y por tanto la cantidad de movimiento neta es constante. La energía cinética no es constante pues, durante el movimiento, la energía cinética se convierte en energía poten- cial y viceversa. 5. a) Para cualquier dirección, la energía cinética total es \mi? + \mv2 = mv2. Para movimiento paralelo (ambos hacia el sur), la cantidad de movimiento total es mv + mv = 2mv hacia el sur. b) La energía cinética total es de nuevo mv2, mientras que, para movimiento antiparalelo, la cantidad de movimiento total es mv — mv = 0 (sin dirección), c) La energía cinética total es de nuevo mv , mientras que para movimiento perpendicular, la cantidad de movimiento total tiene magnitud \/(mv)2 + (mv)2 = \flmv y se dirige 45° al sur del este. 6. (C) Automóvil; camión. El camión tiene una mayor masa M que la masa del automóvil m. Sea Fia rapidez del camión y i ; la rapidez del automóvil. Las energías cinéticas iguales (f M E 2 = j mv2) implican entonces que el automóvil tendrá la mayor rapidez v = (M/m)ll2V. Si se sustituye una potencia de esta v en la igualdad de energía cinética y se cancela un factor de —E, se encuentra MV = (M/m) mv, por tanto, la cantidad de movimiento del camión es más grande. Revisión 10.2 1. Considere la posición promedio de la distribución de masa. Para la serpiente curvada de la figura, el centro de masa está en un punto en el espacio por abajo del arco superior, acaso ligera- mente abajo del centro (debido a los dos arcos inferiores) y lige- ramente a la derecha del centro (debido a la cabeza). 2. Considere la posición promedio de la distribución de masa. Para la herradura, el centro de masa esrá abajo del centro en el espacio en medio del arco, a lo largo de la línea vertical de simetría, en un punto muy alejado del extremo abierto. 3. No. El centro de masa es un promedio ponderado de la posi- ción, que nunca puede ser mayor que todas las posiciones pro- mediadas. 4. (C) Se desplaza hacia arriba. Si la masa pesada en el fondo cae, el centro de masa está más arriba. Cuando el centro de masa del bote es muy alto, está pesado en la parte superior y proclive a volcarse. Revisión 10.3 1. Para el sistema (aislado) de persona más canoa, sin movimiento inicial, el centro de masa permanece en la misma posición fija en la que comienza y usted continúa arrastrándose. Por tanto, conforme su masa se mueve de la parte trasera al trente, el bote se mueve hacia atrás una distancia suficiente para mantener fijo el centro de masa del sistema combinado. 2. No. En el caso extremo donde el vagón tiene masa cero, usted permanece fijo en relación con el suelo y el vagón rueda una distancia igual a su longitud conforme usted camina de la parte trasera al frente. Si el vagón tiene masa apreciable, usted se moverá hacia su centro de masa común, que será una distancia menor que la longitud del vagón. 3. Si las canicas se sueltan verticalmente, entonces el centro de masa permanece fijo en el punto de impacto con el suelo, aun cuando las canicas se dispersen en todas direcciones. 4. (B) 5 m/s al sur. Con la ecuación (10.37) con velocidad positiva hacia el norte, vCM = (M X 25 m/s - 2M X 20m/s)/(3M) = (-15 m/s)/3 = -5 m/s. Revisión 10.4 1 . No. La energía cinética inicial es grande y la energía cinética final es menor o cero; la energía se transforma en otras formas: energía clástica (deformación de partes de automóvil), fricción, sonido y calor. 2. La energía total se conserva, si considera sólo energía potencial gravitacional y energía cinética (en realidad, alguna otra energía se pierde, por ejemplo, conforme la luz solar se irradia al espa- cio). Ni la energía cinética ni la potencial se conservan por separado; estas dos se intercambian de ida y vuelta, por ejemplo, conforme los planetas se mueven en sus órbitas elípticas. 3. (A) Sólo P. Dado que no hay fuerza externa, la cantidad de movimiento total de tal sistema aislado simplemente siempre se conserva. Sin embargo, el resorte se estirará y comprimirá durante el movimiento, intercambiando energía cinética por potencial, de modo que Ky U no permanecerán constantes. Rotación de un cuerpo rígido C o n c e p t o s en c o n t e x t o C O N C E P T O S EN C O N T E X T O Esta gran centrifugadora que se encuentra en el Sandia National Laboratory se usa para probar el comportamiento de componentes de cohetes, satélites y vehículos de reingreso cuando se sujetan a altas aceleraciones. Los dispo- sitivos que se van a probar se colocan en un compartimiento en un brazo de esta centrifugadora; el brazo opuesto sostiene un contrapeso. Ambos giran hasta a 175 revoluciones por minuto y generan una aceleración cen- trípeta de hasta 300 g. Los conceptos de este capítulo permiten responder varias preguntas acerca de esta centrifugadora: ? ¿Cómo se relacionan la rapidez y la aceleración centrípeta generadas en el extremo de un brazo con la rapidez de rotación? (Ejemplo 5, página 373) ? ¿Cómo se determina la resistencia que la centrifugadora ofrece a los cambios en su movimiento rotacional? (Ejemplo 12, inciso a), página 383) ? ¿Cómo se relaciona la energía cinética de los brazos de la centrifuga- dora con la tasa de rotación? (Ejemplo 12, inciso a), página 383) 12.1 M o v i m i e n t o de un cue rpo rígido 12.2 Rotac ión en t o r n o de un e je f i j o 12.3 M o v i m i e n t o con ace le rac ión a n g u l a r cons tante 12.4 M o v i m i e n t o con ace le rac ión a n g u l a r e n func ión de l t i e m p o 12.5 Ene rg í a cinética de rotac ión: 365 3 6 6 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido Un cuerpo es rígido si sus partículas no se mueven unas en relación con otras. Por tanto, el cuerpo tiene una forma fija y todas sus partes mantienen una posición igualmen- te fija entre sí. Un martillo es un cuerpo rígido y también lo es un bat de béisbol. Una pelota de béisbol no es rígida: cuando es golpeada con el bat, sufre una deformación sustancial; es decir, diferentes partes de la pelota se mueven unas en relación con otras. Sin embargo, la pelota de béisbol puede considerarse como un cuerpo rígido mientras vuela a través del aire: la resistencia del aire no es suficientemente grande como para producir una deformación apreciable de la pelota. Este ejemplo indica que un cuerpo puede considerarse rígido dependiendo de las circunstancias. Ningún cuerpo es por completo rígido; cuando se sujeta a una fuerza suficientemente grande, cualquiera su- frirá alguna deformación o tal vez incluso se romperá en varias partes. En este capítulo se ignorará tal deformación producida por las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Se examinará el movimiento de los cuerpos bajo el supuesto de que la rigidez es una buena aproximación. E l martillo gira en torno de su centro de masa. F I G U R A 12.1 Un martillo en caída libre bajo la influencia de la gravedad. El centro de masa del martillo se mueve con acelera- ción vertical constante g, tal como una partícula en caída libre. 12.1 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO Un cuerpo rígido puede tener simultáneamente dos tipos de movimiento: puede cam- biar su posición y su orientación en el espacio. El cambio de posición se llama movi- miento de traslación; como se vio en el capítulo 10, éste puede describirse de manera conveniente como movimiento del centro de masa. El cambio de orientación se conoce como movimiento rotacional y consiste en rotación en torno de algún eje. Como ejemplo, considere el movimiento de un martillo que se lanza hacia arriba (véase la figura 12.1). Su orientación cambia en relación con las coordenadas fijas uni- das al suelo. Instantáneamente, el martillo gira en torno de un eje horizontal que, diga- mos, pasa a través del centro de masa. En la figura 12.1, este eje se pega fuera del plano de la página y se mueve hacia arriba con el centro de masa. El movimiento completo puede describirse entonces como una rotación del martillo en torno de este eje y una traslación simultánea del eje a lo largo de una trayectoria parabólica. En este ejemplo, el eje de rotación siempre permanece horizontal, fuera del plano de la página. En el caso general de movimiento de un cuerpo rígido, el eje de rotación puede tener cualquier dirección y también puede cambiarla. Para describir tal movi- miento complicado, es conveniente separar la rotación en tres componentes a lo largo de tres ejes perpendiculares. Los tres componentes de la rotación se ilustran mediante ei movimiento de un avión (véase la figura 12.2): éste puede girar a izquierda o derecha (guiñada), inclinarse a izquierda o derecha (balanceo) e inclinar su nariz arriba o abajo (paso). Sin embargo, en las siguientes secciones comúnmente no se tratarácon este caso general de rotación con tres componentes; sobre todo se hará con el caso simple de ro- tación en torno de un eje fijo, como el movimiento rotacional de un ventilador, una ru- leta, un disco compacto, una puerta que se balancea o un tiovivo (véase la figura 12.3). Los ejes de rotación para los tres movimientos son todos mutuamente perpendiculares. F I G U R A 12.2 Movimientos de paso, balanceo y guiñada de un avión. guiñada 12.2 Rotación en torno de un eje fijo 367 Revisión 12.1 PREGUNTA 1: Caracterice los siguientes movimientos como traslacional, rotacional o de ambos tipos: movimiento de balanceo de una puerta, movimiento de la rueda de un tren, movimiento de la hélice de un avión mientras vuela a nivel. PREGUNTA 2: Suponga que, en lugar de seleccionar un eje a través del centro de masa del martillo en la figura 12.1, se selecciona un eje paralelo a través de su extremo. ¿El movimiento todavía puede describirse como una rotación en torno de este eje y una traslación simultánea del eje a lo largo de alguna trayectoria? ¿Esta trayectoria es parabólica? PREGUNTA 3: ¿En qué condiciones el compartimiento de pasajeros de un automóvil muestra (limitados) movimientos de balanceo, paso y giro? PREGUNTA 4: ¿Cuál de los cuerpos en rotación de la figura 12.3 no gira en torno de un eje a través de su centro de masa? (A) Ventilador (B) Ruleta (C) Disco compacto (D) Puerta en balanceo (E) Tiovivo F IGURA 12.3 Algunos ejemplos de movimiento rotacional con un eje fijo d) ventilador, b) ruleta, c) disco compacto, d) puerta que se balancea, é) tiovivo. 12.2 ROTACION EN TORNO DE UN EJE FIJO La figura 12.4 muestra un cuerpo rígido que gira en torno de un eje igualmente fijo, que coincide con el eje z. Durante este movimiento rotacional, cada punto del cuerpo permanece a una distancia dada desde este eje y se mueve a lo largo de un círculo que tiene su centro en el eje. Para describir la orientación del cuerpo en cualquier instante, se selecciona una partícula del cuerpo y se usa como un punto de referencia; cualquier partícula puede servir para ello, siempre que no esté en el eje de rotación. Entonces, el movimiento circular de esta partícula de referencia (marcada P en la figura 12.4) es representativo del movimiento rotacional de todo el cuerpo y la posición angular de la misma es representativa de la orientación angular de todo el cuerpo. La figura 12.5 muestra al cuerpo rígido en rotación, visto desde el eje de rotación. Las coordenadas de la figura 12.5 se eligieron de modo que el eje z coincida con el eje de rotación, mientras que los ejes x y y estén en el plano del círculo trazado por el mo- vimiento de la partícula de referencia. La posición angular de la partícula de referencia —y por tanto la orientación angular de todo el cuerpo rígido— puede describirse por la posición del ángulo (la letra griega fi) entre la línea radial OP y el eje x. Por con- 3 6 8 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido y eje de rotación FIGURA 12.4 Las cuatro aspas de este ventilador son un cuerpo rígido en rotación en torno de un eje fijo, que coincide con el eje z. La partícula de referencia P en este cuerpo rígido se mueve a lo largo de un círculo en torno de este eje. E l movimiento circular de una partícula de referencia P representa la orientación angular de todo el movimiento. del reloj desde el eje *. FIGURA 12.5 Movimiento de una partícula de referencia P en el cuerpo rígido que gira en torno de un eje fijo. El eje se indica mediante el punto O. El radio del círculo trazado por el mo- vimiento de la partícula de referencia es R. ángulo en radianes vención, el ángulo se toma como positivo cuando se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj (como en la figura 12.5). Generalmente, este ángulo de posición se medirá en radianes, en lugar de en grados. Por definición, el ángulo 4> en radianes es la longitud del arco de círculo dividido entre el radio R, o s R (12.11 En la figura 12.5, la longitud s es la distancia recorrida por la partícula de referencia desde el eje x hasta el punto P. Observe que, si la longitud s es la circunferencia de un círculo completo, entonces s = 2TTR,J 12.2 Rotación en torno de un eje fijo 3Ó9 Cuando un cuerpo rígido gira, el ángulo de posición r/> cambia en el tiempo. En- tonces el cuerpo tiene una velocidad angular u> (letra griega omega). La definición de la velocidad angular para un movimiento rotacional es matemáticamente análoga a la definición de velocidad para un movimiento de traslación (véanse las secciones 2.2 y 2.3). La velocidad angular promedio w se define como A (12.2) donde A por 277 radianes, la frecuencia de revolución es más pequeña que la velocidad angular por un tactor de 277: velocidad angular promedio velocidad angular instantánea 277 (12.4) Esto expresa la frecuencia en términos de la velocidad angular. La unidad de frecuencia rotacional es la revolución por segundo (1 rev/s). Como el radián, la revolución es un número puro, y por tanto 1 rev/s es lo mismo que 1/s. Pero se conserva la etiqueta rev oara evitar confusión entre rev/s y radián/s. Como en el caso de movimiento planetario, el tiempo por revolución se llama p e - riodo de movimiento. Si el número de revoluciones por segundo e.sf, entonces el tiem- po por revolución es 1/f, es decir, T = 1 (12.5) frecuencia periodo de movimiento A L G U N A S V E L O C I D A D E S A N G U L A R E S Disco duro de computadora 8 X 102 radianes/s Rotor de helicóptero 40 radianes/s Sierra circular 7 X 102 radianes/s Disco compacto (pista exterior) 22 radianes/s Aspas de batidora eléctrica 5 X 102 radianes/s Tornamesa fonográfica 3.5 radianes/s Motor de jet 4 X 102 radianes/s Rotación de estrella de neutrones (pulsar) 0.1 radianes/s Hélice de avión 3 X 102 radianes/s Rotación de la Tierra 7.3 X 10 5 radianes/s Motor de automóvil 2 X 102 radianes/s Revolución de la Tierra alrededor del Sol 2.0 X 10"7 radianes/s Ventilador pequeño 60 radianes/s 3 7 0 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido E J E M P L O 2 La frecuencia rotacional de la maquinaria generalmente se ex- presa en revoluciones por minuto, o rpm. Un ventilador de techo común y de rapidez media gira a 150 rpm. ¿Cuál es la frecuencia de revolución, cuál la velocidad angular y cuál el periodo del movimiento? S O L U C I Ó N : Cada minuto tiene 60.0 s; por tanto, 150 revoluciones por minuto representan 150 revoluciones en 60.0 s; así que / 150 rev 60.0 s 2.50 rev/s Dado que cada revolución comprende 277 radianes, la velocidad angular es co = 2rrf = 2ir X 2.50 rev/s = 15.7 radianes/s Observe que aquí se eliminó la etiqueta rev en el tercer paso y se insertó una etiqueta radianes; como se remarcó antes, estas etiquetas sirven únicamente para evitar confusiones y pueden insertarse y quitarse a voluntad una vez que han cum- plido su cometido. El periodo del movimiento es T 1 1 0.400 s / 2.50 rev/s Una revolución completa toma dos quintos de segundo. aceleración angular promedio Si la velocidad angular de un cuerpo rígido cambia, éste tiene una aceleración angular a (letra griega alfa). El movimiento rotacional de un ventilador de techo que poco a poco aumenta su rapidez inmediatamente después de encenderse es un ejemplo de movimiento rotacional acelerado. La definición matemática de la aceleración an- gular promedio es, de nuevo, análoga a la definición de aceleración para el movimiento de traslación. Si la velocidad angular cambia en Acó en un tiempo Af, entonces la ace- leración angular promedio es Aw ~At (12.6) y la aceleración angular instantánea es aceleración angular instantánea a ~ ~7T (12.7) Por tanto, la aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular. La unidad de aceleración angular es el radián por segundo por segundo, o radián por se- gundo al cuadrado (1 radián/s 2). Dado que la velocidad angular a> es la rapidez de cambio de la posición angular 4> [véase la ecuación (12.3)], la aceleración angular dada por la ecuación (12.7) también puede escribirse (12.8) Las ecuaciones (12.3) y (12.7) definen la velocidad y aceleración angulares del cuerpo rígido; es decir, permiten obtener la velocidad y la aceleración angulares de cada partícula en el cuerpo. Es interesante enfocarse en una de las partículas y evaluar su 12.2 Rotación en torno de un eje fijo 371 rapidez y aceleración de traslación conforme se mueve a lo largo de su trayectoria circu- lar alrededor del eje de rotación del cuerpo rígido. Si la partícula está a una distancia R del eje de rotación (véase la figura 12.7), entonces la longitud a lo largo de la trayectoria circular de la partícula es, de acuerdo con la definición de ángulo, ecuación (12.1), s = (¡>R (12.' Dado que R es una constante, la rapidez de cambio de s se debe por completo a la ra- pidez de cambio de 4>, de modo que ds dt dt R (12.10) Aquí, ds/dt es la rapidez traslacional v con la que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular y d(f>/dt es la velocidad angular a>; por tanto, la ecuación (12.10) es equivalente a F I G U R A 1 2.7 La velocidad traslacional instantánea de una partícula en un cuerpo rígido en rotación es tangente a la trayecto- ria circular. ÜIR (12.11) Esto demuestra que la rapidez traslacional de la partícula a lo largo de su trayectoria circular alrededor del eje es directamente proporcional al radio: mientras más lejos del eje esté una partícula del cuerpo rígido, se mueve más rápidamente. Esto puede enten- derse al comparar los movimientos de dos partículas, una en un círculo de gran radio RX y otra en un círculo de radio menor R2 (véase la figura 12.8). Para cada revolución del cuerpo rígido, ambas partículas completan un viaje alrededor de sus círculos. Pero la partícula en el círculo más grande tiene que viajar una distancia más grande y por tanto debe moverse con una mayor rapidez. Para una partícula en un R dado, la rapidez traslacional es constante si la velocidad angular también lo es. Esta rapidez es4a_distancia de la trayectoria circular (la circun- ferencia) dividida entre el tiempo para una revolución (el periodo), o 2TTR T (rapidez constante) (12.12) Puesto que 2IT/T = 2Ttf= w, la ecuación (12.12) puede obtenerse de la ecuación (12.11). Si v cambia, también se sigue de la ecuación (12.11) que la rapidez de cambio de v es proporcional a la rapidez de cambio de w: dv dco dt dt R Lina rapidez de cambio de la rapidez a lo largo del círculo implica que la partícula tiene una aceleración a lo largo del círculo, llamada aceleración tangencial. De acuerdo con .a última ecuación, esta aceleración tangencial es rapidez traslacional en movimiento circular Las rapideces traslacionales son proporcionales a las distancias radiales. F I G U R A 12.8 Muchas partículas de un cuerpo rígido que gira en torno de un eje fijo y sus velocidades. tangencial aR (12.13) aceleración tangencial Observe que, además de esta aceleración tangencial dirigida a lo largo del círculo, .a partícula también tiene una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro del círcu- lo. De la sección 4.5 se sabe que la aceleración centrípeta para movimiento circular uniforme es a. centrípeta V R (12.14) 372 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido Con v = (¡)R, esto se convierte en aceleración centrípeta ^centrípeta ~ W R (12.15) Las aceleraciones centrípeta y tangencial son perpendiculares. F I G U R A 1 2.9 Una partícula en un cuer- po rígido en rotación con una aceleración angular tiene tanto aceleración centrípeta , como aceleración tangencial a t l i n_ La aceleración de traslación instantá- ^ es entonces la suma vectorial ^centrípeta Y ^tangencial' centnpet: gencial nea neta a La aceleración de traslación neta de la partícula es la suma vectorial de las acelera- ciones tangencial y centrípeta, que son perpendiculares (véase la figura 12.9); por tanto, la magnitud de la aceleración neta es ^tangencial a centrípeta (12.16) Aunque aquí se introdujo el concepto de aceleración tangencial en el contexto del movimiento rotacional de un cuerpo rígido, este concepto también es aplicable al mo- vimiento de traslación de una partícula a lo largo de una trayectoria circular o de cual- quier trayectoria curva. Por ejemplo, piense en un automóvil (considerado como partícula) que viaja alrededor de una curva. Si el conductor pisa el acelerador (o el fre- no), el automóvil sufrirá un cambio de rapidez conforme viaje alrededor de la curva. Entonces tendrá tanto aceleración tangencial como centrípeta. E J E M P L O 3 El disco de una sierra circular inicialmente gira a 7 000 revolu- ciones por minuto. Luego el motor se apaga y el disco se desliza hasta detenerse en 8.0 s. ¿Cuál es la aceleración angular promedio? S O L U C I Ó N : En radianes por segundo, 7 000 rev/min corresponden a una veloci- dad angular inicial u>t = 7 000 X 2-77 radianes/min, o 7000 X 2TT radianes 1 60 s La velocidad angular final es a>2 es Ar 7.3 X 10 radianes/s 0. Por tanto, la aceleración angular promedio _ 0 - 7.3 X 10 2 radianes/s 8.0 s - 0 —91 radianes/s Dado que la rueda gira sin deslizarse, la rapidez tangencial u}R es igual a la rapidez del suelo v. F I G U R A 12 .10 Rueda giratoria del automóvil, vista en el marco de referencia del automóvil. El suelo se mueve hacia la izquierda con rapidez v. E J E M P L O 4 Un automóvil acelera uniformemente desde 0 hasta 80 km/h en 6.0 s. Las ruedas del automóvil tienen un radio de 0.30 m. ¿Cuál es la aceleración angular de las ruedas? Suponga que las ruedas giran sin deslizarse. S O L U C I Ó N : La aceleración de traslación del automóvil es v-v0 80 km/h (80 km/h) X (1000 m/1 km) X (1 h/3 600 s) 3.7 m/s 6.0: 6.0 La aceleración angular de la rueda se relaciona con esta aceleración de trasla- ción mediante a = aR, la misma relación que la ecuación (12.13). Esta relación puede establecerse de manera más conveniente al ver el movimiento de la rueda en el marco de referencia del automóvil (véase la figura 12.10). En este marco de refe- rencia, el suelo se mueve hacia atrás con rapidez v y el punto inferior de la rueda en rotación se mueve hacia atrás a la rapidez tangencial coR. Como se supone que 12.2 Rotación en torno de un eje fijo 373 rueda gira sin deslizarse, la rapidez v del suelo debe coincidir con la rapidez tan- gencial del punto inferior de la rueda; es decir, v = a>R. Esta proporcionalidad de v y w implica la misma proporcionalidad de las aceleraciones a y a y por tanto es- tablece la relación a = aR. La aceleración angular de la rueda es entonces a 3.7 m/s2 R " 0.30 m 12 radianes/s E J E M P L O 5 La gran centrifugadora que se muestra en la fotografía al inicio del capítulo tiene un brazo de 8.8 m de longitud. Cuando gira a 175 revoluciones por minuto, ¿cuál es la rapidez del extremo de este brazo y cuál es la aceleración centrípeta? S O L U C I Ó N : 175 rpm representan 175/60 = 2.9 revoluciones por segundo. La velocidad angular correspondiente es CÜ = 2TT/ = 2TT X 2.9 rev/s = 18 radianes/s De acuerdo con la ecuación (12.11), la rapidez a un radio R = 8.8 m es v = toR = 18 radianes/s X 8.8 m = 1.6 X 10 2 m/s y de acuerdo con la ecuación (12.15), la aceleración centrípeta es «centrípeta = = ( 1 8 radianes/s)2 X 8.8 m = 2.9 X 10 3 m/s2 ¡Esto es casi 300 g estándar! Revisión 12.2 PREGUNTA 1: Considere un punto P en el borde de un volante giratorio que acelera y un punto Q cerca del centro. ¿Cuál punto tiene mayor rapidez instantánea, cuál mayor velocidad angular instantánea, cuál mayor aceleración angular, cuál mayor aceleración tangencial y cuál mayor aceleración centrípeta? PREGUNTA 2: La Tierra gira de manera estable alrededor de su eje una vez por día. ¿Todos los puntos en la superficie de la Tierra tienen el mismo radio R para su movi- miento circular? ¿Todos tienen la misma velocidad angular w, la misma rapidez v alre- dedor del eje y la misma aceleración centrípeta tfcentr¡peta? Si no es así, ¿cuáles puntos tienen las mayores R,w,vy «centripcta? PREGUNTA 3: Un corto segmento de la pista de una montaña rusa puede aproximarse mediante un círculo de radio adecuado. Si un carro de la montaña rusa (sin fricción) pasa a través del punto más alto de la pista, ¿hay una aceleración centrípeta? ¿Hay una aceleración tangencial? ¿Y de qué tipo la hay si la montaña rusa está a alguna distancia más allá del punto más alto? PREGUNTA 4: Considere el movimiento del martillo que se muestra en la figura 12.1. Si sólo toma en cuenta el movimiento rotacional, ¿cuál extremo del martillo tiene la ma- yor rapidez v alrededor del eje y cuál la mayor aceleración centrípeta « c e n t n -p C t a ? (A) Extremo de cabeza; extremo de cabeza (B) Extremo de cabeza; extremo de mango (C) Extremo de mango; extremo de cabeza (D) Extremo de mango; extremo de mango Conceptos e n contexto 374 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido aceleración angular constante: M, a y t aceleración angular constante: ó, a y t aceleración angular constante: a, é y cu 12.3 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE A h o r a se examinarán las ecuaciones c inemát icas que descr iben el m o v i m i e n t o r o t a c i o n a l para el caso especial de aceleración angular constante; éstas son m a t e m á t i c a m e n t e a n á - logas a las ecuaciones que descr iben el m o v i m i e n t o de traslación c o n aceleración cons- tante (véase la secc ión 2 .5) y p u e d e n obtenerse m e d i a n t e los m i s m o s m é t o d o s . E n la s iguiente sección, se desarrollará u n m é t o d o a l ternat ivo , c o n base en integrac ión, para obtener las ecuaciones c inemát icas que describen, o b i e n el m o v i m i e n t o angular o el traslacional para el caso general de aceleraciones c o n dependencia arb i t rar ia d e l t i e m p o . Si el c u e r p o r íg ido g i r a c o n u n a ace lerac ión angular constante a , entonces la v e l o - c i d a d angular a u m e n t a a u n a r a p i d e z constante y, después de t r a n s c u r r i d o u n t i e m p o t, la v e l o c i d a d angular t e n d r á e l v a l o r Ü)0 + at (12 .17) d o n d e co0 es e l va lor i n i c i a l de la v e l o c i d a d angular en / = 0. L a pos ic ión angular puede calcularse a p a r t i r de esta v e l o c i d a d angular m e d i a n t e los a r g u m e n t o s usados e n la secc ión 2.5 para calcular x a p a r t i r de v [véase las ecuacio- nes (2 .17 ) , (2 .22) y ( 2 . 2 5 ) ] . E l resul tado es 0 + wQt + \at2 (12 .18) M á s aún, los a r g u m e n t o s de la secc ión 2.5 c o n d u c e n a u n a i d e n t i d a d entre aceleración, pos ic ión y v e l o c i d a d [véase las ecuaciones ( 2 . 2 0 ) - ( 2 . 2 2 ) ] : a(4> - 0 O ) = \{io2 - col) (12 .19) O b s e r v e que todas estas ecuaciones t i e n e n exactamente la m i s m a f o r m a m a t e m á t i c a que las de la secc ión 2 .5 , c o n la pos ic ión angular cf> en e l l u g a r de la pos ic ión x, la v e l o - c i d a d angular w e n el de v y la ace lerac ión angular a en el l u g a r de a. Es ta analogía entre cant idades rotacionales y traslacionales puede servir c o m o u n úti l recurso m n e - m ó n i c o para recordar las ecuaciones d e l m o v i m i e n t o r o t a c i o n a l . L a tabla 12 .2 mues t ra ecuaciones análogas . TABLA 12.2 ANALOGIAS ENTRE CANTIDADES TRASLACIONALES Y ROTACIONALES dx d LO = dt dt dt dv dw a = — — > a = a = dt dt v = v0 + at —> co = w0 + at x = x0 + v0t + \at2 - > o 1 2 + wQt + 2~at a(x \ i 2 2\ a( - «, b 0 ) = 2 i1»2 - w o ) 1 2.3 Movimiento con aceleración angular constante 375 EJEMPLO 6 E l cable que sopor ta u n elevador corre sobre u n a rueda de 0 .36 m de r a d i o (véase la figura 12 .11) . S i e l e levador par te d e l reposo y asciende c o n u n a ace lerac ión hac ia a r r i b a de 0 .60 m/s 2 , ¿cuál es la ace lerac ión angular de la rueda? ¿ C u á n t a s vueltas da la r u e d a si su m o v i m i e n t o acelerado d u r a 5.0 s? S u p o n g a que el cable corre sobre la rueda s in deslizarse. SOLUCION: S i n o h a y d e s l i z a m i e n t o , la r a p i d e z d e l cable s iempre debe c o i n c i d i r c o n la r a p i d e z t a n g e n c i a l de u n p u n t o sobre e l b o r d e de la rueda . L a ace lerac ión a = 0 .60 m/s ¿ d e l cable entonces debe c o i n c i d i r c o n la acelerac ión t a n g e n c i a l de u n p u n t o en el b o r d e de la r u e d a : a = a„ = aR tangencial d o n d e R = 0 .36 m es el r a d i o de la rueda . Por t a n t o (12 .20) a_ _ 0 .60 m / V R ~ 0 .36 m 1.7 radianes/s D e acuerdo c o n la ecuac ión (12 .18 ) , e l d e s p l a z a m i e n t o angular en 5 .0 s es 4> - (f>0 = co0t + \at2 = 0 + \ 1.7 radianes/s 2 X (5 .0 s ) 2 = 2 1 radianes C a d a revolución c o m p r e n d e 277 radianes ; e n consecuencia, el n ú m e r o de vueltas que da la rueda es r . . , i ^ ~~ 2 1 radianes n u m e r o de vueltas = — = = 3.3 revoluc iones La aceleración hacia arriba a es igual a la aceleración tangencial de la rueda. F I G U R A 1 2 . i l Elevador sostenido por un cable que corre sobre una rueda giratoria. TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS L a solución de los p r o b l e m a s de c i n e m á t i c a acerca de v e l o - c i d a d y ace lerac ión angulares i n v o l u c r a las m i s m a s técn icas que la de los p r o b l e m a s acerca de v e l o c i d a d y acelerac ión de t r a s l a c i ó n d e l c a p í t u l o 2 . P u e d e e n c o n t r a r ú t i l revisar los p r o c e d i m i e n t o s sugeridos e n la página 50 . A veces u n p r o b l e m a cont iene u n vínculo entre u n m o v i - m i e n t o r o t a c i o n a l y u n o de traslación, t a l c o m o el vínculo que h a y e n t r e los m o v i m i e n t o s r o t a c i o n a l y t r a s l a c i o n a l de las ruedas de u n a u t o m ó v i l (véase e l e j e m p l o 4) o el que existe entre el m o v i m i e n t o de tras lación d e l cable d e l e levador y e l m o v i m i e n t o de rotac ión de la rueda sobre la que corre ( e j e m - p l o 6 ) . S i el c u e r p o e n c o n t a c t o c o n el b o r d e de la rueda n o MOVIMIENTO ANGULAR se desl iza, la r a p i d e z t ras lac ional de este c u e r p o es i g u a l a la r a p i d e z t a n g e n c i a l d e l p u n t o de c o n t a c t o e n e l b o r d e de la rueda ; es decir , v = toR y a = aR. T e n g a presente que, aunque algunas de las ecuaciones de este capítulo s iguen s iendo válidas si las cantidades angulares se expresan en grados, cualquier ecuac ión que contenga t a n t o cantidades angulares c o m o distancias ( p o r e j e m p l o , v — aR) sólo es vál ida si la c a n t i d a d a n g u l a r se expresa e n radianes . Para e v i t a r errores , es m á s seguro expresar todas las c a n t i - dades angulares en radianes ; si e n la respuesta se r e q u i e r e n grados, c o n v i e r t a radianes a grados después de c o m p l e t a r sus cá lculos . RevÍ&Í.Q0L 12.3 PREGUNTA 1 : C o n s i d e r e u n p u n t o e n e l b o r d e de la rueda que se m u e s t r a en la figura 12 .11 ( i n s t a n t á n e a m e n t e ) en la parte super ior de la r u e d a . ¿ C u á l es la direcc ión d é l a aceleración cent r ípe ta de este p u n t o y cuál la acelerac ión tangencial? 376 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido PREGUNTA 2: L a rueda de u n a b i c i c l e t a g i r a sobre u n c a m i n o p l a n o . ¿ L a v e l o c i d a d a n - g u l a r es constante si la v e l o c i d a d t ras lac ional de la b i c i c l e t a l o es t a m b i é n ? ¿ L a acelera- c ión angular es constante si la ace lerac ión de t ras lac ión de la b i c i c l e t a l o es t a m b i é n ? PREGUNTA 3: U n a r u e d a de af i lar acelera u n i f o r m e m e n t e d u r a n t e 3 segundos después de encenderse. E n e l p r i m e r segundo de m o v i m i e n t o , la r u e d a g i r a 5 veces. E n los p r i - meros dos segundos d e l m o v i m i e n t o , e l n ú m e r o t o t a l de revoluc iones es: ( A ) 6 ( B ) 1 0 ( C ) 1 5 ( D ) 2 0 ( E ) 25 12.4 MOVIMIENTO CON ACELERACION ANGULAR EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Las ecuaciones de m o v i m i e n t o angular para el caso genera l c u a n d o la ace lerac ión a n - g u l a r es u n a f u n c i ó n d e l t i e m p o son análogas a las correspondientes ecuaciones de m o v i m i e n t o de traslación analizadas e n la secc ión 2 .7 . Tales ecuaciones se resuelven m e d i a n t e in tegrac ión . E l cá lculo i n t e g r a l se es tudió en detal le en e l capí tulo 7 y ahora se vuelve a revisar la t é c n i c a de in tegrac ión de las ecuaciones de m o v i m i e n t o para el caso de m o v i m i e n t o angular . A fin de ver c ó m o p u e d e n obtenerse soluciones c i n e m á - ticas para aceleraciones n o constantes, considere la ace lerac ión angular a = da>/dt. Reordene esta re lac ión y o b t e n g a dio = a dt Esta ecuac ión puede integrarse d i r e c t a m e n t e , p o r e j e m p l o , desde el va lor i n i c i a l de la v e l o c i d a d angular u>0 en e l t i e m p o t = 0 hasta algún v a l o r final w en e l t i e m p o t (las variables de i n t e g r a c i ó n se i n d i c a n m e d i a n t e p r i m o s para d i s t i n g u i r l a s de los l ímites superiores de i n t e g r a c i ó n ) : dw' adt' adt' (12 .21 velocidad angular para aceleración angular en función del tiempo E s t o da la v e l o c i d a d a n g u l a r c o m o f u n c i ó n d e l t i e m p o : •t Cü = — 4>0 = adt' 'o (12.23) 12.4 Movimiento con aceleración angular en función del tiempo 377 E n e l caso especial de ace lerac ión angular constante a, c o n la ecuac ión (12 .22) se ob t iene w = co0 + at, que concuerda c o n e l resul tado p r e v i o , ecuac ión (12 .27 ) . S i esto se sustituye en la ecuación (12 .23) , se obt iene cfi — cp0 = ¡¿ (ÍÚ0 + at)dt = coQt + \at2, que concuerda c o n la a n t e r i o r ecuac ión ( 1 2 . 1 8 ) . E n e l caso genera l de u n a ace lerac ión angular e n f u n c i ó n d e l t i e m p o a, se procede de la m i s m a f o r m a : p r i m e r o , use la ecuac ión (12 .22) para e n c o n t r a r w c o m o func ión d e l t i e m p o y luego sust i tuya esta f u n c i ó n en la ecuac ión (12 .23) para e n c o n t r a r la pos ic ión angular c o m o func ión d e l t i e m p o , c o m o en el e j e m p l o s iguiente . EJEMPLO 7 i a l í C u a n d o se enciende, u n m o t o r hace g i r a r u n a sierra c ircular , que par te d e l reposo, c o n u n a ace lerac ión angular que t iene u n v a l o r 60 radianes/s 2 e n t = 0 y d i s m i n u y e a ace lerac ión cero d u r a n t e e l i n - t e r v a l o 0 ¡£ t ^ 3 .0 s de acuerdo c o n 3 .0s D e s p u é s de t = 3 .0 s, e l m o t o r m a n t i e n e la v e l o c i d a d angular de la sierra e n u n va lor constante . ¿ C u á l es esta v e l o c i d a d angular final? E n el proceso que l leva a "alcanzar r a p i d e z " , ¿cuántas revoluciones ocurren? SOLUCION: L a acelerac ión angular a está dada c o m o u n a f u n c i ó n expl íc i ta d e l t i e m p o . D a d o que se c o m i e n z a desde el reposo, la v e l o c i d a d angular i n i c i a l es co0 = 0, de m o d o que c o n la ecuac ión (12 .22) se o b t i e n e co c o m o func ión de f. a, = an\ rt • i adt' = 0 + J o J 0 1 rt dt' t dt 3.0 s 0 3.0 s di a0\ 1 t r 3.0 s 2 6.0 s (12 .24) d o n d e se usó la p r o p i e d a d m e d i a n t e la cua l la i n t e g r a l de la suma es la s u m a de las integrales e \tn dt = tn+1/(n + 1). E n t = 3.0 s, esta v e l o c i d a d angular alcanza su va lor final de = 60 radianes/s X I 3.0 s (3 .0 sY 6.0 s 90 radianes/s Para o b t e n e r el n ú m e r o de revoluc iones d u r a n t e el t i e m p o de aceleración, puede calcular e l c a m b i o e n la pos ic ión angular y d i v i d i r entre 27T. Para hacer lo , debe s u s t i t u i r la v e l o c i d a d angular e n func ión d e l t i e m p o , o b t e n i d a e n la e c u a c i ó n (12 .24 ) , en la ecuac ión (12 .23 ) : 4> - 4>o codt' = ^ ' ~ 6 ^ dt' (V 1_ [' » N / *•? \\, 4 3l'.N a J I t' dt' I t'^dt' I = a J — - ——~\ ° V J 0 6 . 0 s j 0 ) ° V 2 l 0 6 . 0 s 3 | Q 2 3 t t 2 18 s 378 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido A l evaluar esta expres ión e n t = 3 .0 s, se e n c u e n t r a í 2 / ( 3 . 0 s ) 2 (3 .0 sf\ 0 = 60 radianes/s X I — — 1 = 180 radianes \ 18 s / Por t a n t o , el n ú m e r o de revoluc iones d u r a n t e la ace lerac ión es 4> ~ 4>Q 180 radianes [ n u m e r o de revo luc iones ] = — = = 29 revoluc iones 2"77 27T C o m o se discut ió e n la secc ión 2 .7 , técnicas de in tegrac ión s imilares p u e d e n a p l i - carse para d e t e r m i n a r cua lquier c o m p o n e n t e de la v e l o c i d a d y de la pos ic ión tras lacio- nales c u a n d o se conoce la fuerza neta en func ión d e l t i e m p o y, p o r t a n t o , la aceleración de t ras lac ión e n func ión d e l t i e m p o . E n la secc ión 2 .7 t a m b i é n se e x a m i n ó el caso c u a n d o la ace lerac ión es u n a f u n c i ó n c o n o c i d a de la v e l o c i d a d ; e n éste , la in tegrac ión p r o p o r c i o n a t c o m o u n a func ión de v (y v0), que a veces p u e d e n inver t i r se para e n c o n - t rar v c o m o func ión de t. E n los capítulos 7-9 se v i o que el m é t o d o de la conservac ión de la energía f r e c u e n - t e m e n t e es la m a n e r a m á s sencil la de d e t e r m i n a r el m o v i m i e n t o c u a n d o las fuerzas se c o n o c e n c o m o func ión de la pos ic ión . A h o r a se v i o que la in tegrac ión d i rec ta de las ecuaciones de m o v i m i e n t o puede aplicarse c u a n d o la ace lerac ión de traslación o a n g u - lar se conoce c o m o f u n c i ó n d e l t i e m p o o de la v e l o c i d a d . Revisión 12.4 PREGUNTA 1 : A l c o m e n z a r desde el reposo en t = 0, la v e l o c i d a d angular de u n t i o v i v o a u m e n t a en proporc ión a la raíz cuadrada d e l t i e m p o t. ¿ E n qué fac tor la pos ic ión a n - g u l a r d e l t i o v i v o e n t = 4 s es m a y o r de l o que era en t = 1 s? PREGUNTA 2: U n automóvi l en u n a autopis ta c i rcular acelera desde el reposo, es decir, c o m e n z a n d o e n / = 0, de m o d o que esta ace lerac ión angular a u m e n t a e n p r o p o r c i ó n al t i e m p o t. ¿ C o n qué p o t e n c i a d e l t i e m p o se i n c r e m e n t a su ace lerac ión centr ípeta? ( A ) / (B)t2 ( C ) / 3 ( D ) / 4 ( E ) í 5 12.5 ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN; MOMENTO DE INERCIA U n cuerpo r íg ido es u n sistema de part ículas , y c o m o para cua lquier sistema de p a r - t ículas , la energía c iné t i ca t o t a l de u n cuerpo r íg ido e n ro tac ión es s i m p l e m e n t e la suma de las energías c inét icas i n d i v i d u a l e s de todas las part ículas (véase la secc ión 10 .4) . Si las part ículas en e l cuerpo r íg ido t i e n e n masas mlf m2, # z 3 , . . . y rapideces v l t v2, v 3 , . . . , entonces la energía c iné t i ca es K = \m^u\ \ni2v\ \fn^o^ + • • • (12 .26) E n u n cuerpo r íg ido que g i r a en t o r n o de u n eje dado , todas las part ículas se m u e v e n c o n la m i s m a v e l o c i d a d angular co a l o l a r g o de trayectorias circulares. Por la ecuac ión (12 .11 ) , las rapideces de las part ículas a l o largo de sus trayectorias es p r o p o r c i o n a l a sus distancias radiales: v1 = R^to, v2 = R2CÚ, v3 = R3o), • • • ( 12 .27) y p o r t a n t o la energía c iné t i ca t o t a l es K = \m-yR\u)2 + \m2R\cú2 + \m.TtR2M>2 + • • • 12.5 Energía cinética de rotación; momento de inercia 379 E s t o puede escribirse c o m o K = ¡Ico2 d o n d e la c a n t i d a d (12 .28) energía cinética de rotación / = m^R2 + m2R2 m3R3 + (12 .29) momento de inercia se l l a m a m o m e n t o d e i n e r c i a d e l c u e r p o en ro tac ión en t o r n o d e l eje dado . L a u n i d a d S I de l m o m e n t o de inerc ia es k g • m 2 . O b s e r v e que la ecuac ión (12 .28) t iene u n a f o r m a m a t e m á t i c a que recuerda la ex- presión f a m i l i a r jtnv2 para la energía c inét i ca de u n a sola part ícula : el m o m e n t o de inerc ia sust i tuye a la masa y la v e l o c i d a d angular sust i tuye a la v e l o c i d a d de tras lac ión. C o m o se verá e n el s iguiente capí tulo , esta analogía entre m o m e n t o de inerc ia y masa es de v a l i d e z general . El momento de inercia es una medida de la resistencia que un cuerpo ofrece a los cambios en su movimiento rotacional, t a l c o m o la masa es u n a m e d i d a de la resistencia que u n cuerpo ofrece a los c a m b i o s e n su m o v i m i e n t o de tras lac ión. L a ecuac ión (12 .29) m u e s t r a que el m o m e n t o de inerc ia , y en consecuencia la ener- gía c i n é t i c a para u n v a l o r d a d o de co, es grande si la m a y o r par te de la masa d e l c u e r p o está a u n a g r a n d is tanc ia d e l eje de ro tac ión . E s t o es m u y razonable : para u n va lor d a d o de 380 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido Toda la masa del aro está a la misma distancia radial RQ del eje. F I G U R A 1 2 . 1 3 U n aro delgado que gira en torno de su eje de simetría. Toda la masa del cascarón cilindrico está a la misma distancia radial RQ del eje. F I G U R A 1 2 . 1 4 U n cascarón ci l indrico delgado que gira en torno de su eje de simetría. (12 .32) d o n d e R¡ es la d is tanc ia r a d i a l d e l e l e m e n t o de masa &m¡ desde e l eje de ro tac ión . E n el l í m i t e A m ; —> 0, esta a p r o x i m a c i ó n se vuelve exacta y la s u m a se convier te en u n a i n t e g r a l : R dm (12 .33) E n general , el cálculo d e l m o m e n t o de inerc ia requiere la evaluación de la i n t e g r a l (12 .33 ) . S i n e m b a r g o , en a lgunos casos excepc iona lmente s imples , es pos ib le e n c o n t r a r e l m o m e n t o de inerc ia s in real izar esta in tegrac ión . Por e j e m p l o , si e l c u e r p o r ígido es u n aro de lgado (véase la figura 12 .13) o u n de lgado cascarón c i l i n d r i c o (véase la figura 12 .14) de r a d i o R0 que g i r a en t o r n o de su eje de s imetr ía , entonces toda la masa d e l cuerpo está a la m i s m a dis tanc ia d e l eje de rotac ión : así, e l m o m e n t o de inerc ia es s i m - p l e m e n t e la masa t o t a l M d e l aro o cascarón m u l t i p l i c a d a p o r su r a d i o R0 al cuadrado, 1 = MR20 Si t o d a la masa no está a la m i s m a dis tanc ia d e l eje de ro tac ión , entonces debe realizar la in tegrac ión (12 .33 ) ; c u a n d o se s u m a n las aportaciones i n d i v i d u a l e s , p o r l o genera l la apor tac ión de la p e q u e ñ a masa se escribe c o m o u n a masa p o r u n i d a d de l o n g i t u d p o r u n a p e q u e ñ a l o n g i t u d , o c o m o u n a masa p o r u n i d a d de área p o r u n a p e q u e ñ a área, c o m o en los s iguientes e jemplos . EJEMPLO 9 E n c u e n t r e e l m o m e n t o de inerc ia de u n a b a r r a delgada u n i f o r - m e de l o n g i t u d / y masa M que g i r a en t o r n o de u n eje p e r p e n - d i c u l a r a la barra y a través de su centro . S O L U C I Ó N : L a figura 12.15 m u e s t r a que la barra se encuentra a l o largo d e l eje x; el eje de ro tac ión es e l eje z. L a barra se ext iende desde x = -1/2 hasta x = +1/2. C o n s i d e r e u n pedazo p e q u e ñ o dx de la barra . L a c a n t i d a d de masa d e n t r o de este pedazo es p r o p o r c i o n a l a la l o n g i t u d dx y p o r t a n t o es i g u a l a la masa p o r u n i d a d de l o n g i t u d p o r esta l o n g i t u d : M dm = — dx E l cuadrado de la d is tanc ia d e l pedazo desde e l eje de ro tac ión es R la ecuac ión (12 .33) se convier te e n , asi que R2 dm M 2 {1/2 y — X — — - l 3 + 1/2 -1/2 M - dx M -1/2 -1/2 12 •Mr (12 .34) La barra se extiende desde x = -i/2 hasta x = +1/2. U n pedazo de ancho dx se ubica a una distancia x del eje de rotación. dx F I G U R A 1 2 . 1 5 U n a barra delgada que gira en torno de su centro. - / - El pedazo tiene una fracción dm/M de masa total igual a su fracción dx/l de longitud total. 12.5 Energía cinética de rotación; momento de inercia 381 EJEMPLO 10 R e p i t a el cálculo d e l e j e m p l o a n t e r i o r para u n eje de rotac ión a través de u n e x t r e m o de la barra . S O L Í J C I Ó N : L a figura 12.16 m u e s t r a la barra y el eje de rotac ión . L a barra se ex- t i e n d e de x = 0 a x = l. P o r t a n t o , e n l u g a r de la ecuac ión (12 .34) a h o r a se o b t i e n e / M dx M l M r — x — / 3 1 -MI (12 .35) Ahora la barra se extiende de x = 0 a x = l. dx FIGURA 12.16 U n a barra delgada que gira en torno de su extremo. EJEMPLO 11 E n c u e n t r e e l m o m e n t o de i n e r c i a de u n a n i l l o ancho , o r o n d a n a , h e c h o de h o j a m e t á l i c a c o n r a d i o i n t e r i o r R v r a d i o ex ter ior R2 y masa M que g i r a en t o r n o de su eje de s imetr ía (véase la figura 12 .17) . S O L U C I Ó N : L a r o n d a n a puede considerarse c o m o hecha de u n g r a n n ú m e r o de delgados aros c o n c é n t r i c o s que encajan u n o a l rededor de o t r o . L a figura 12 .17 m u e s t r a u n o de tales aros, de r a d i o R y ancho dR. T o d a la masa dm de este aro se e n c u e n t r a en el m i s m o r a d i o R desde e l eje de ro tac ión ; p o r t a n t o , e l m o m e n t o de inerc ia d e l aro es dr- R2 dm E l área dA d e l aro es e l p r o d u c t o de su l o n g i t u d (el p e r í m e t r o 2TTR) y su ancho dR, así que dA =2TTR dR. L a masa dm d e l aro es i g u a l al p r o d u c t o de esta área y la masa p o r u n i d a d de área de la h o j a metá l i ca . D a d o que e l área t o t a l de la r o n d a n a es T T R \ T T R \ la masa p o r u n i d a d de área es M/TT (R2 — R2). L a masa a p o r t a d a p o r cada aro es la masa p o r u n i d a d de área p o r su área: M 2M dm X 2irRdR Ri - Ri TT{R\ R 2 ) S u m e las aportaciones di desde R = R X a R = R2; p o r t a n t o RdR (12 .36) R dm = 2M Ri - R i M 2M R*\ 4 j R3 dR M 2(R¡ - Rf) „2\ (R2 Rt) 2(R¡ - R¡) X {R\ R^iRl - R2) M (R¡ R (12 .37) COMENTARIO: O b s e r v e que , para Rt = 0, esto se c o n v i e r t e en / = MR2/2, que es e l m o m e n t o de inerc ia de u n disco (véase la tabla 12 .3) . Y para Ry = R2, se c o n - v ier te e n / = MR2, que es e l m o m e n t o de inerc ia de u n aro. O b s e r v e que el r e s u l - tado (12 .37) para u n a h o j a t a m b i é n se aplica a u n a r o n d a n a gruesa o a u n cascarón c i l i n d r i c o grueso (que g i r a en t o r n o d e l eje de s i m e t r í a ) . El área de cada aro es el producto de su circunferencia 2vR J su ancho dR. Cada aro tiene una fracción dm/M de la masa total igual a su fracción de área total TT{R\-R\). FIGURA 12.17 Una rondana de hoja metálica que gira en torno de su eje de simetría. L a rondana puede considerarse como hecha de u n gran número de aros concéntricos. E l aro que se muestra en la figura tiene radio R y ancho dR. L a c o m p a r a c i ó n de las ecuaciones (12 .34) y (12 .35) para el m o m e n t o de inerc ia de u n a barra deja c laro que el v a l o r d e l m o m e n t o de inerc ia depende de la u b i c a c i ó n d e l eje de ro tac ión . E l m o m e n t o de inerc ia es p e q u e ñ o si e l eje pasa a través d e l c e n t r o de masa, y g r a n d e si pasa a través d e l e x t r e m o de la barra . E n el ú l t i m o caso, u n a m a y o r par te de la masa de la barra está a u n a m a y o r dis tanc ia d e l eje de rotac ión , l o que c o n - duce a u n m a y o r m o m e n t o de inerc ia . 382 CAPÍTULO 12 Rotación de un cuerpo rígido TABLA 12.3 CUERPO ALGUNOS MOMENTOS DE INERCIA MOMENTO DE INERCIA A r o delgado en torno de su eje de simetría A r o delgado en torno de su diámetro Disco o ci l indro en torno de su eje de simetría C i l i n d r o en torno de un diámetro a través de su centro Barra delgada en torno de u n eje perpendicular a través de su centro Barra delgada en torno de u n eje perpendicular a través de su extremo Esfera en torno de u n diámetro MR¿ \MR2 \MR2 + hMl2 hMÍ1 \Ml2 \2 Cascarón esférico delgado en torno de u n diámetro teorema de los ejes paralelos Es pos ib le p r o b a r u n t e o r e m a que re lac iona el m o m e n t o de i n e r c i a I C M e n t o r n o de u n eje a través d e l c e n t r o de masa c o n el m o m e n t o de inerc ia I en t o r n o de u n eje p a - ra le lo a través de algún o t r o p u n t o . Este t e o r e m a , que se l l a m a t e o r e m a de los ejes paralelos , a f i r m a que 7 C M + Mdz (12 .38) d o n d e M e s la masa t o t a l d e l c u e r p o y ¡ i l a d is tanc ia entre los dos ejes. E n este tex to n o se p r o p o r c i o n a r á la p r u e b a , s ino s i m p l e m e n t e se c o m p r o b a r á que el t e o r e m a es consis- ten te c o n los resultados para los m o m e n t o s de inerc ia de la barra que g i r a e n t o r n o de u n eje a través de su c e n t r o \_IQM = ¿ MI2; véase la ecuac ión ( 1 2 . 3 4 ) ] y de u n eje a través de u n e x t r e m o [1=1 MI2; véase la ecuac ión ( 1 2 . 3 5 ) ] . E n este caso, d = 112 y el t e o r e m a de los ejes paralelos a f i r m a 1 2.5 Energía cinética de rotación; momento de inercia - M I 2 = — M I 2 + M \ ) (12 .39) 3 12 \2J que es i d é n t i c a m e n t e verdadero . O b s e r v e que u n c o r o l a r i o de la ecuac ión (12 .38) es que el m o m e n t o de inerc ia en t o r n o de u n eje que pasa a través d e l c e n t r o de masa s iempre es m e n o r que el que l o hace e n t o r n o de cua lquier o t r o eje parale lo . L a tab la 12.3 m e n c i o n a los m o m e n t o s de inerc ia de var ios cuerpos r ígidos en t o r n o de u n eje a través de su centro de masa; se supone que todos los cuerpos t i e n e n d e n s i - d a d u n i f o r m e . EJEMPLO 12 L a g r a n c e n t r i f u g a d o r a que se m u e s t r a en la fo tograf ía al i n i c i o d e l capí tulo l leva la carga e n u n a c á m a r a en u n b r a z o y c o n t r a - pesos en e l e x t r e m o d e l brazo opuesto . L a d is t r ibuc ión de masa depende de la e lecc ión de carga y de la e lecc ión de los contrapesos. L a figura 12 .18 es u n d i a g r a - m a e s q u e m á t i c o de la d is t r ibuc ión de masa que se l o g r a c o n u n a e lecc ión p a r t i c u l a r de carga y contrapesos. E l b r a z o de carga (que i n c l u y e la carga) t iene u n a masa de 1.8 X 1 0 3 k g d i s t r i b u i d o s de m a n e r a u n i f o r m e sobre u n a l o n g i t u d de 8.8 m . E l b r a z o de contrapeso t i ene u n a masa de 1 .1 X 1 0 3 k g d i s t r i b u i d a u n i f o r m e m e n t e sobre u n a l o n g i t u d de 5.5 m y p o r t a u n contrapeso de 8.6 X 10 k g en su e x t r e m o . a) ¿ C u á l es el m o m e n t o de inerc ia de la c e n t r i f u g a d o r a para esta d is t r ibuc ión de masa? b) ¿ C u á l es la energía c iné t i ca r o t a c i o n a l c u a n d o la c e n t r i f u g a d o r a g i r a a 175 revoluciones p o r m i n u t o ? Conceptos en contexto F I G U R A 1 2 . 1 8 Distribución de masa de centrifugadora. S O L U C I Ó N : a) E l m o m e n t o de inerc ia t o t a l es la suma de los m o m e n t o s de inerc ia de u n a barra de masa m1 = 1.8 X 10 k g y l o n g i t u d /j = 8.8 m que g i r a en t o r n o de su e x t r e m o , de u n a segunda b a r r a de masa m2 = 1 .1 X 1 0 3 k g y l o n g i t u d l 2 = 5.5 m que t a m b i é n g i r a en t o r n o de su e x t r e m o y de u n a masa m = 8.6 X 1 0 3 k g a u n a d is tanc ia r a d i a l R = 5.5 m. L o s m o m e n t o s de inerc ia de las barras las p r o p o r - c i o n a la ecuac ión (12 .35) y e l m o m e n t o de inerc ia d e l contrapeso es mR2. D e m o d o que e l m o m e n t o de inerc ia t o t a l es ,2 , . . . D 2 I = 5 mxl\ l m-ylj + mR = \ 1.8 X 1 0 3 k g X (8 .8 m ) 2 + \ 1 .1 X 1 0 3 k g X (5.5 m ) 2 + 8.6 X 1 0 3 k g X (5.5 m ) 2 = 3.2 X 1 0 s k g • m 2 b) A 175 revoluc iones p o r m i n u t o , la v e l o c i d a d angular es w = 18 radianes/s (véase el e j e m p l o 5) y la energía c i n é t i c a r o t a c i o n a l es K- ¡Ico2 = \ 3 .2 X 1 0 5 k g • m 2 X (18 radianes/s) 2 = 5.2 X 1 0 7 J 384 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido FIGURA 12.19 a) U n a barra doblada en u n arco de círculo de radio R, que gira en torno de su centro de curvatura, b) U n a placa cuadrada que gira en torno de u n eje a lo largo de u n borde, c) U n a mancuerna. Revisión 12.5 PREGUNTA 1 : ¿ C u á l es el m o m e n t o de inerc ia de u n a barra de masa M d o b l a d a en u n arco de círculo de r a d i o R, c u a n d o g i r a en t o r n o de u n eje a través d e l c e n t r o y p e r p e n - d i c u l a r al c írculo (véase la figura 12.19a)? PREGUNTA 2: C o n s i d e r e u n a barra que g i r a en t o r n o de a) u n eje a l o largo de la barra . b) u n eje p e r p e n d i c u l a r a la barra a través de su c e n t r o y c) u n eje p e r p e n d i c u l a r a la barra a través de su e x t r e m o . ¿Para cuál eje es m á s g r a n d e e l m o m e n t o de inerc ia y para cuál es m á s p e q u e ñ o ? PREGUNTA 3: ¿ C u á l es e l m o m e n t o de inerc ia de u n a placa cuadrada de masa A i y área L X L que g i r a en t o r n o de u n eje a l o largo de u n o de sus lados (véase la figura 1 2 . 1 9 ¿ ) ? ¿ C u á l es e l m o m e n t o de inerc ia de esta placa cuadrada que g i r a en t o r n o de u n eje a través de su c e n t r o parale lo a u n lado ? PREGUNTA 4 : ' U n a m a n c u e r n a consiste de dos part ículas de masa m u n i d a cada u n a a los ex t remos de u n a barra r ígida s i n masa de l o n g i t u d / ( f i g u r a 12.19c). S u p o n g a que las part ículas son part ículas p u n t u a l e s . ¿ C u á l es e l m o m e n t o de inerc ia de este cuerpo r í - g i d o c u a n d o g i r a e n t o r n o de u n eje a través d e l c e n t r o y p e r p e n d i c u l a r a la barra? ¿ C u á l es c u a n d o g i r a e n t o r n o de u n eje parale lo a través de u n extremo? ¿ E s t o s m o m e n t o s de inerc ia son consistentes c o n e l t e o r e m a de los ejes paralelos? PREGUNTA 5: D e acuerdo c o n la tabla 12.3, e l m o m e n t o de inerc ia de u n aro en t o r n o de su eje de s imetr ía es 7 C M = MR2. ¿ C u á l es e l m o m e n t o de i n e r c i a si us ted g i r a u n g r a n aro a lrededor de su dedo , de m o d o que, e n esencia, g i r a en t o r n o de u n p u n t o sobre e l aro, en t o r n o de u n eje parale lo al eje de s imetr ía? ( A ) SMR2 ( D ) MR2 ( B ) 2MR2 ( E ) \2 (C)¡MR2 RESUMEN T É C N I C A S PARA R E S O L U C I Ó N DE PROBLEMAS M o v i m i e n t o angular D E F I N I C I Ó N DE Á N G U L O (en radianes) CONVERSIONES DE ANGULOS VELOCIDAD ANGULAR PROMEDIO [ l o n g i t u d de arco] [ r a d i o ] R 1 revolución = 2rr radianes = 3 6 0 ° A 0 ( p á g i n a 375) (12.1) (12.2) VELOCIDAD ANGULAR INSTANTANEA dcp dt (12.3) Resumen 385 FRECUENCIA 2TT PERIODO DE MOVIMIENTO T 1 _ 2TT ACELERACION ANGULAR PROMEDIO ACELERACION ANGULAR INSTANTANEA Ato ~At da) dt RAPIDECES DE PARTICULAS EN UN CUERPO EN ROTACION v = iüR ACELERACION DE PARTICULA EN UN CUERPO EN ROTACION tangencial aR, ^centrípeta ~ ^ R o i tangencial •^centrípeta "•. \ MOVIMIENTO CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE w = co0 + at cp = cp0 + coQt + \at2 a{4> - 386 CAPÍTULO 12 Rotación de un cuerpo rígido MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO (véase t a m b i é n la tabla 12.3) d o n d e R es la d is tanc ia r a d i a l d e l e l e m e n t o de masa dm desde el eje de rotac ión ; para masa d i s t r i b u i d a u n i f o r m e m e n t e , dm está dada p o r R2dm dm dm dm M [ l o n g i t u d ] M T, ñ ^ [área] M [ v o l u m e n ] dx (12.331 dV TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS I = I C M + Md2 (12.381 d o n d e M es la masa t o t a l y d es la dis tanc ia desde el eje C M . E N E R G Í A C INÉT ICA DE R O T A C I Ó N K = ¡Ico2 (12.28 PREGUNTAS PARA DISCUSION 1 . U n volante giratorio con forma de disco súbitamente se rompe en muchos pequeños fragmentos. Dibuje las Trayectorias de al- gunos de éstos; suponga que los fragmentos no interfieren unos con otros. 2. Es posible que usted haya notado, en algunas películas antiguas, que las ruedas de los carruajes o diligencias en movimiento pa- recen girar hacia atrás. ¿Cómo explica esto? 3. E n relación con u n marco de referencia inercial, ¿cuál es su ve- locidad angular justo ahora en torno de u n eje que pasa a través de su centro de masa? 4. Considere la rueda de u n automóvil en aceleración. Dibuje los vectores de aceleración instantánea para algunos puntos en el borde de la rueda. 5. Las manecillas de u n reloj son pequeños rectángulos con u n eje común que pasa a través de u n extremo. E l minutero es largo y delgado; el horario es corto y más grueso. Suponga que ambas manecillas tienen la misma masa. ¿Cuál tiene el mayor m o m e n - to de inercia? ¿Cuál tiene mayor energía cinética y cantidad de movimiento angular? 6. ¿Cuál configuración y cuál eje elegiría para dar a su cuerpo el menor momento de inercia posible y cuál para proporcionarle el mayor? 7. ¿En torno de cuál eje, a través del centro de masa, el momento de inercia de este l ibro es más grande y en torno de cuál es más pequeño? (Suponga que el l ibro está cerrado). 8. U n aro circular hecho de alambre delgado tiene radio R y masa M. ¿En torno de cuál eje, perpendicular al plano del aro debe girar este aro para obtener el momento de inercia mínimo? ¿Cuál es el valor de este momento de inercia mínimo? 9. E l motor de u n automóvil y otros motores de combustión i n - terna tienen volantes unidos a sus cigüeñales. ¿Cuál es el propó- sito de estos volantes? (Sugerencia: Cada combustión explosiva en uno de los cilindros de determinado motor da u n súbito em- pujón al cigüeñal. ¿Cómo responde el cigüeñal a este empujón si no tiene volante?) 10. Suponga que usted bombea una masa M de agua de mar en un estanque en una colina en el ecuador. ¿Cómo cambia esto el momento de inercia de la Tierra? PROBLEMAS 12.2 Rotación en torno de un eje fijo 1 . E l minutero de u n reloj de pared mide 20 cm. ¿Cuál es la velo- cidad angular de esta manecilla? ¿Cuál es la rapidez de la punta de esta manecilla? 2. Q u i t o está en el ecuador de la Tierra ; Nueva York está a una la- t i t u d de 41° norte. ¿Cuál es la velocidad angular de cada ciudad en torno del eje de rotación de la Tierra? ¿Cuál es la rapidez l i - neal de cada una? 3. U n automóvil tiene ruedas con radio de 30 cm. ¿Cuáles son la velocidad angular (en radianes por segundo) y la frecuencia (en revoluciones por segundo) de las ruedas, cuando el automóvil viaja a 88 km/h? 4. E n u n experimento en el Oak Ridge Laboratory, u n disco de fi- bra de carbono, de 0.70 m de diámetro, se puso a girar a 37000 rev/min. ¿Cuál fue la rapidez en el borde de este disco? 5. E l borde de u n disco de fonógrafo está a una distancia de 15 cm del centro y el borde de la etiqueta de papel en el disco está a una distancia de 5 cm del centro. d) Cuando este disco gira a 33-j rev/min, ¿cuál es la rapidez traslacional de u n punto sobre el borde del disco? ¿Cuál es la rapidez traslacional de u n punto sobre el borde de la e t i - queta de papel? b) ¿Cuáles son las aceleraciones centrípetas de estos puntos? 6. U n taladro eléctrico gira a 5 000 rev/min. ¿Cuál es la frecuencia de rotación (en rev/s)? ¿Cuál es el t iempo para una revolución? ¿Cuál es la velocidad angular (en radianes/s)? 7. U n disco compacto de audio ( C D ) gira a 210 rev/min cuando toca una pista exterior de 5.8 cm de radio. ¿Cuál es la velocidad angular en radianes/s? ¿Cuál es la rapidez tangencial de u n punto en la pista exterior? Puesto que el C D tiene la misma densidad lineal de bits en cada pista, el sistema de propulsión mantiene una rapidez tangencial constante. ¿Cuál es la veloci- dad angular (en radianes/s) cuando toca una pista interior de 2.3 cm de radio? ¿Cuál es la correspondiente frecuencia rota- cional (en rev/s)? 8. U n automóvil recorre u n cuarto del camino alrededor de una glorieta en 4.5 s. E l diámetro de la glorieta es de 50 m . E l auto- móvil viaja con rapidez constante. ¿Cuál es dicha rapidez? ¿Cuál es la velocidad angular en radianes/s? 9. Cuando se enciende el motor de una rueda de alfarero, la rueda acelera desde el reposo hasta 90 rev/min en 5.0 s. ¿Cuál es su velocidad angular en t = 5.0 s (en radianes/s)? ¿Cuál es la rapi - dez lineal de u n trozo de masilla a 10 cm del centro de la rueda en t = 5.0 s? ¿Cuál es su aceleración angular promedio durante la aceleración? 10. U n a rueda de afilar de 6.S cm de radio acelera desde el reposo hasta su rapidez operativa de 3450 rev/min en 1.6 s. Cuando deja de acelerar, ¿cuál es su velocidad angular en radianes/s? ¿Cuál es la rapidez lineal en el borde de la rueda? ¿Cuál es su aceleración angular promedio durante estos 1.6 s? Cuando se apaga, desacelera hasta detenerse en 35 s. ¿Cuál es su acelera- ción angular promedio durante este tiempo? 11 . Cuando taladran agujeros, los fabricantes permanecen cerca de una rapidez de corte lineal recomendada con la finalidad de mantener la eficiencia mientras evitan el sobrecalentamiento. L a rapidez rotacional del taladro depende por tanto del diámetro del agujero. Por ejemplo, las rapideces de corte lineal recomenda- das son comúnmente de 20 m/min para acero y 100 m/min para aluminio. ¿Cuál es la correspondiente rapidez de rotación (en rev/s) cuando se taladra u n agujero de 3.0 m m de diámetro en aluminio y cuál cuando se taladra u n agujero de 2.5 cm de diá- metro en acero? 12. U n a batidora eléctrica acelera desde el reposo hasta 500 radianes/s en 0.80 s. ¿Cuál es la aceleración angular promedio? ¿Cuál es la correspondiente aceleración tangencial promedio para u n punto ubicado sobre la punta de u n aspa de batidora a una distancia de 3.0 cm del eje? Si este punto tiene dicha acele- ración tangencial cuando la velocidad angular de la batidora es de 50 radianes/s, ¿cuál es la correspondiente aceleración total del punto? 13. La posición angular de u n ventilador de techo durante los p r i - meros dos segundos después del arranque está dada por = C[t2 — (t3/4 s)], donde C = 20/s2 y / está dado en segun- dos. ¿Cuáles son la posición angular, la frecuencia angular y la aceleración angular para / = 0, para t = 1.0 s y para t = 2.0 s? *14. U n avión pasa directamente sobre usted con una rapidez de 900 km/h a una altura de 10 000 m . ¿Cuál es la velocidad angu- lar del avión (en relación con usted) cuando está directamente arriba y cuál tres minutos después? *15. E l borde exterior del área surcada de u n disco de larga duración está a una distancia radial de 14.6 cm del centro; el borde inte- r ior lo está a una distancia radial de 6.35 cm. E l disco gira a 33-j rev/min. L a aguja del brazo tarda 25 m i n en reproducir el disco, y en dicho intervalo de t iempo se mueve de manera uniforme v radialmente desde el borde exterior hasta el borde interior. ¿Cuál es la rapidez radial de la aguja? ¿Cuál es la rapidez del borde exterior en relación con la aguja? ¿Cuál es la rapidez del borde interior en relación con la aguja? *16. Considere el disco de fonógrafo descrito en el problema 15. ¿Cuál es la longi tud total del surco por el que viaja la aguja? 12.3 Movimiento con aceleración angular constante 17. E l disco de una sierra circular de 20 cm de diámetro acelera uniformemente desde el reposo hasta 7 000 rev/min en 1.2 s. ¿Cuál es la aceleración angular? ¿Cuántas revoluciones dará el disco cuando alcance la rapidez completa? 18. U n gran ventilador de techo tiene aspas de 60 cm de radio. Cuando se enciende, tarda 20 s en lograr su rapidez estacionaria final de 1.0 rev/s. Suponga una aceleración angular constante. a) ¿Cuál es la aceleración angular del ventilador? b) ¿Cuántas revoluciones realiza en los primeros 20 s? c) ¿Cuál es la distancia cubierta por la punta de u n aspa en los primeros 20 s? 19. Cuando usred enciende una computadora, el disco en la unidad de disco tarda 5.0 s en alcanzar su rapidez estacionaria final de 7200 rev/min. ¿Cuál es la aceleración angular promedio? 20. Cuando usted apaga el motor, una tornamesa fonográfica que inicialmente giraba a 33% rev/min da 25 revoluciones antes de detenerse. Calcule la aceleración angular de esta tornamesa; su- ponga que es constante. 2 1 . U n gran tiovivo efectúa una revolución cada 9.0 segundos. Cuando se apaga, desacelera uniformemente hasta detenerse en 16 s. ¿Cuál es la aceleración angular? ¿Cuántas revoluciones da durante la desaceleración? 22. U n gato golpetea u n carrete de hi lo , que luego rueda a través del piso con una rapidez inicial de 1.0 m/s. E l carrete desacelera 388 CAPÍTULO 12 Rotación de un cuerpo rígido uniformemente hasta detenerse a 3.0 m de su posición inicial . E l carrete tiene u n radio de 1.5 cm y rueda sin deslizarse. ¿Cuál es la velocidad angular inicial? ¿ Qué ángulo total gira el carrete mientras se frena hasta detenerse? ¿Cuál es la aceleración angu- lar durante este movimiento? 23. Si usted levanta la tapa de una lavadora durante el ciclo de se- cado rápido, el ciclo se detiene (por seguridad), por lo general después de 5.0 revoluciones. Si las ropas inicialmente giran a 6.0 rev/s, ¿cuál es su aceleración angular constante durante el movimiento de frenado? ¿Cuánto tardan en detenerse? 24. U n a perinola de juguete que inicialmente gira a 30 rev/s frena uniformemente hasta detenerse en 25 segundos. ¿Cuál es la aceleración angular durante este movimiento? ¿Cuántas revolu- ciones da la perinola mientras frena y hasta detenerse? *25. L a rotación de la T ierra está bajando su velocidad. E n 1977, tardaba 1.01 s más en completar 365 rotaciones que en 1900. ¿Cuál fue la desaceleración angular promedio de la Tierra en el intervalo de t iempo de 1900 a 1977? *26. E l motor de u n automóvil acelera de manera constante de 200 rev/min a 3 000 rev/min en 7.0 s y luego se mantiene con rap i - dez constante. a) Encuentre la velocidad angular y la aceleración angular en í = 0 (justo después de comenzar la aceleración) y en / = 7.0 s (justo antes de terminar la aceleración). b) U n volante de 18 cm de radio se une al eje del motor. Calcu- le las aceleraciones tangencial y centrípeta de u n punto en el borde del volante en los tiempos dados anteriormente. c) ¿Qué ángulo forma el vector aceleración neta con el radio en t = 0 y en / = 7.0 s? Dibuje diagramas que muestren la rueda y el vector aceleración en estos tiempos. 12.4 Movimiento con aceleración angular en función del tiempo 27. U n disco tiene una velocidad angular inicial de co0 = 8.0 radianes/s. E n t = 0, experimenta una aceleración angular en función del t iempo dada por a = Ct1, donde C= 0.25 radia- nes/s4. ¿Cuál es la velocidad angular instantánea en / = 3.0 s? ¿Cuál es el cambio en la posición angular entre t = 0yt = 1.0 s? 28. U n cuerpo rígido inicialmente está en reposo. E n t = 0 co- mienza a girar con una aceleración angular dada por a = a 0 { 1 - [r 2 /(4 s 2 ) ] } , para 0 < t < 2.0 s y a = 0 de ahí en ade- lante. E l valor inicial es a0 = 20 radianes/s2. ¿Cuál es la veloci- dad angular del cuerpo después de 1.0 s y cuál después de u n largo tiempo? ¿Cuántas revoluciones realizó después de 1.0 s? *29. U n a esfera inicialmente gira con velocidad angular co0 en u n lí- quido viscoso. L a fricción causa una desaceleración angular que es proporcional a la velocidad angular instantánea, a = —ALO, donde A es una constante. Demuestre que la velocidad angular como función del t iempo está dada por 12.5 Energía cinética de rotación; momento de inercia 30. Encuentre el momento de inercia de una naranja de 300 g de masa y 9.0 cm de diámetro. Trate la naranja como una esfera uniforme. 3 1 . L a rueda de la fortuna original , construida por George Ferris (véase la figura 12.20), tenía u n radio de 38 m y una masa de 1.9 X 10 6 kg. Suponga que toda la masa de la rueda se d is t r i - buía de manera uniforme a lo largo de su borde. Si la rueda g i - raba a 0.050 rev/min, ¿cuál era su energía cinética? F I G U R A 1 2 . 2 0 L a original rueda de la fortuna (Ferris wheel) . 32. ¿Cuál es el momento de inercia de u n palo de escoba de 0.50 kg de masa, 1.5 m de longi tud y 2.5 cm de diámetro, en torno de su eje longitudinal y cuál en torno de u n eje en ángulo recto con respecto al palo de escoba, que pasa a través de su centro? 33. D e acuerdo con mediciones espectroscópicas, el momento de inercia de una molécula de oxígeno en torno de u n eje a través del centro de masa y perpendicular a la línea que une los áto- mos es de 1.95 X 10 4 6 k g • m 2 . L a masa de u n átomo de oxí- geno es de 2.66 X 10 2 6 kg. ¿Cuál se la distancia entre los átomos? Trate los átomos como partículas puntuales. 34. E l momento de inercia de la T ierra en torno de su eje polar es 0.331MERE, donde ME es la masa y RE es el radio ecuatorial. ¿Por qué el momento de inercia es menor que el de una esfera de densidad uniforme? ¿Cuál tendría que ser el radio de una es- fera de densidad uniforme si su masa y momento de inercia coincidieran con los de la Tierra? 35. E l problema 41 del capítulo 10 da las dimensiones de una m o - lécula de ácido nítrico ( H N 0 3 ) . ¿Cuál es el momento de inercia de esta molécula cuando gira en torno del eje de simetría que pasa a través de los átomos H , O y N? Trate los átomos como partículas puntuales. 36. L a molécula de agua tiene una forma como la que se muestra en la figura 12.21. L a distancia entre el oxígeno y los átomos de hidrógeno es dy el ángulo entre los átomos de hidrógeno es 0. A partir de investigaciones espectroscópicas, se sabe que el m o - mento de inercia de la molécula es 1.93 X 1 0 ~ 4 7 k g • m 2 para rotación en torno del €ytAA' y 1.14 X 1 0 ~ 4 7 kg • m 2 para rota- ción en torno del eje BB'.A partir de esta información y de los valores conocidos de las masas de los átomos, determine los va- lores de dy 0.Trate los átomos como masas puntuales. B' F I G U R A 12 .21 A t o m o s en una molécula de agua. 37. ¿Cuál es el momento de inercia (en torno del eje de simetría) de una rueda de bicicleta de 4.0 kg de masa y 0.33 m de radio? Ignore la masa de los rayos. 38. L a hélice de u n avión consiste de tres aspas radiales, cada una de 1.2 m de longi tud y 6.0 k g de masa. ¿Cuál es la energía ciné- tica de esta hélice cuando gira a 2 500 rev/min? Suponga que cada aspa es (aproximadamente) una barra uniforme. 39. Calcule el momento de inercia de u n cuerpo humano que gira rígidamente en torno de su eje longitudinal . Trate el cuerpo como u n ci l indro uniforme de 70 kg de masa, 1.7 m de l o n g i - t u d y 23 cm de diámetro promedio. 40. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el m o m e n - to de inercia de u n disco o ci l indro sólido de masa M y radio R que gira en torno de u n eje paralelo a su eje de simetría pero tangente a su superficie. 4 1 . E l momento de inercia de la Tierra es aproximadamente 0.33ÍMERE (véase también el problema 34). Calcule la energía cinética rotacional de la Tierra . 42. Suponga que la rueda de moldear de u n alfarero es u n disco de 60 cm de radio y 120 kg de masa. ¿Cuál es su momento de iner- cia? ¿Cuál es su energía cinética rotacional cuando gira a 2.0 rev/s? 43. U n sistema de almacenamiento de energía mediante volante, d i - señado para la Estación Espacial Internacional, tiene una rapi - dez rotacional máxima de 53 000 rev/min. E l volante cil indrico tiene una masa de 75 kg y u n radio de 16 cm. Por simplicidad, suponga que el ci l indro es sólido y uniforme. ¿Cuál es el m o - mento de inercia del volante? ¿Cuál es la máxima energía cinéti- ca rotacional almacenada en el volante? *44. Una lata de cerveza vacía tiene una masa de 15 g, una longitud de 12 cm y u n radio de 3.3 cm. Encuentre el momento de inercia de la lata en torno de su eje de simetría. Suponga que la lata es un cilindro perfecto de hojalata sin arrugas, muescas n i agujeros. *45. Suponga que u n supertanque transporta 4.4 X 10 8 kg de petró- leo desde u n tanque de almacenamiento en Venezuela ( lat i tud 10° norte) hasta u n tanque de almacenamiento en Holanda (la- t i t u d 53° norte). ¿Cuál es el cambio del momento de inercia del sistema Tierra-petróleo? *46. Una mancuerna consiste de dos esferas uniformes de masa My radio R unidas mediante una barra delgada de masa m. L a dis- tancia entre los centros de las esferas es / (figura 12.22). ¿Cuál es el momento de inercia de este dispositivo en torno de u n eje a través del centro de la barra perpendicular a ésta v cuál en tor- no de u n eje a lo largo de la barra? *47. *48 *49. *50. *51 *52 *53 F I G U R A 1 2 . 2 2 U n a mancuerna. Suponga que la Tierra consiste de u n núcleo esférico de 0 . 2 2 A Í £ de masa y 0 .54i? £ de radio y de u n manto circundante (un cas- carón esférico) de 0.7SME de masa y RE de radio exterior. Su- ponga que el núcleo y el manto son de densidad uniforme. D e acuerdo con este modelo simple, ¿cuál es el momento de inercia de la Tierra? Exprese su respuesta como u n múltiplo de MERE. C o n la finalidad de aumentar su momento de inercia en torno de u n eje vertical, una patinadora que gira estira sus brazos h o - rizontalmente; con la finalidad de reducir su momento de iner- cia, los baja verticalmente a lo largo de sus costados. Calcule el cambio de momento de inercia entre estas dos posiciones de los brazos. Suponga que cada brazo es una delgada barra uni forme de 0.60 m de longi tud y 2.8 k g de masa unidos a los hombros a una distancia de 0.20 m del eje de rotación. Encuentre el momento de inercia de una delgada barra de masa A i y longi tud L en torno de u n eje a través del centro inclinado a u n ángulo 8 con respecto a la barra. Dado que el momento de inercia de una esfera en torno de u n diámetro es JMR2, demuestre que el momento de inercia en torno de u n eje tangente a la superficie es j M R 2 . Encuentre una ecuación para el momento de inercia de una delgada placa cuadrada uni forme (masa m, superficie / X /) que gira en torno de u n eje que coincide con uno de sus bordes. U n cascarón cónico tiene masa A?, altura h y radio de la base R. Suponga que está hecho de una delgada hoja de grosor uniforme. ¿Cuál es su momento de inercia en torno de su eje de simetría? Suponga que u n durazno de radio R y masa M consiste de una semilla de radio 0.50Í? y masa 0 .050M, rodeada por un casca- rón esférico de fruta de 0 . 9 5 M d e masa. ¿Cuál es el momento de inercia del durazno? Rotación ie un cuerpo n< *54. Encuentre el momento de inercia del volante que se muestra en la figura 12.23, que gira en torno de su eje. E l volante está he- cho de material de grosor uniforme; su masa es M. FIGURA 12.23 U n volante. *55. U n ci l indro sólido, tapado con dos hemisferios sólidos, gira en torno de su eje de simetría (figura 12.24). E l radio del ci l indro es R, su altura es h y la masa total (hemisferios incluidos) es M. ¿Cuál es el momento de inercia? *57. Obtenga una ecuación para el momento de inercia de u n casca- rón esférico uniforme de masa M, radio interior Rx y radio ex- terior R2, que gira en torno de u n diámetro. *58. Determine el momento de inercia de u n volante de masa M he- cho al cortar cuatro grandes orificios de radio r de u n disco u n i - forme de radio R (figura 12.26). Los orificios tienen centro a una distancia RJ2 del centro del volante. FIGURA 12.24 U n ci l indro sólido tapado con dos hemisferios sólidos. *56. E n una placa circular plana de radio R se taladra u n orif ic io de radio r (figura 12.25). E l centro del orif icio está a una distancia d del centro del círculo. L a masa de este cuerpo es M. Encuen- tre el momento de inercia para rotación en torno de u n eje a través del centro del círculo, perpendicular a la placa. FIGURA 12.26 Disco con cuatro orificios. *59. Demuestre que el momento de inercia de u n largo cono, muy delgado (figura 12.27), en torno de u n eje a través del ápice y perpendicular a la línea central es \Ml , donde M es la masa y / es la altura del cono. FIGURA 12.27 U n largo cono delgado que gira en torno de su ápice. *60. L a distribución de masa dentro de la Tierra puede aproximar; ; burdamente mediante varios cascarones esféricos concéntricos, cada uno de densidad constante. L a siguiente tabla indica los radios exteriores e interiores de cada cascarón y su masa (expre- sada como una fracción de la masa de la Tierra) : FIGURA 12.25 Placa circular con u n orificio. CASCARÓN RADIO EXTERIOR RADIO INTERIOR FRACCIÓN DE MASA 1 6400 k m 5 400 k m 0.28 2 5400 4400 0.25 3 4400 3400 0.16 4 3400 2400 0.20 5 2400 0 0.11 Use estos datos para calcular el momento de inercia de la T ie r ra en torno de su eje. 61 . L a tubería de perforación de una instalación petrolera tiene 2.0 k m de largo y 15 cm de diámetro, y tiene una masa de 20 k g por metro de longi tud. Suponga que la pared de la tubería es muy delgada. d) ¿Cuál es el momento de inercia de esta tubería que gira en torno de su eje longitudinal? b) ¿Cuál es la energía cinética cuando gira a 1.0 rev/s? 62. Los ingenieros han propuesto que se usen grandes volantes para el almacenamiento temporal del exceso de energía genera- do por las plantas generadoras de electricidad. U n volante ade- cuado tendría u n diámetro de 3.6 m y una masa de 300 toneladas métricas y giraría a 3 000 rev/min. ¿Cuál es la energía cinética de rotación de este volante? D é la respuesta tanto en joules como en kilowatts-hora. Suponga que el momento de inercia del volante es el de u n disco uniforme. 63. U n automóvil de 1 360 kg de masa tiene ruedas de 76.2 cm de diámetro y 27.2 k g de masa cada una. Si toma en cuenta la energía cinética rotacional de las ruedas en torno de sus ejes, ¿cuál es la energía cinética total del automóvil cuando viaja a 80.0 km/h? ¿Qué porcentaje de la energía cinética pertenece al movimiento rotacional de las ruedas en torno de sus ejes? Su- ponga que cada rueda tiene una distribución de masa equiva- lente a la de u n disco uniforme. *64. E l autobús O e r l i k o n Electrogyro usa un volante para almacenar energía con el fin de impulsar al autobús. E n cada parada de autobús, éste se conecta brevemente a una línea de corriente eléctrica, de modo que u n motor eléctrico en el autobús puede girar el volante a 3000 rev/min. Si el volante es u n disco de 0.60 m de radio y 1500 k g de masa, y si el autobús requiere u n promedio de 40 hp para propulsión a una rapidez promedio de 20 km/h, ¿cuánto puede avanzar con la energía almacenada en el volante giratorio? *65. Los pulsares son estrellas giratorias hechas casi por completo de neutrones apiñados muy cercanos. L a rapidez de rotación de la mayoría de los pulsares disminuye en forma gradual porque la energía rotacional poco a poco se convierte en otras formas de energía mediante diversos procesos "friccionantes" comple- jos. Suponga que u n pulsar de 1.5 X 1 0 3 0 k g de masa y 20 k m de radio gira a una rapidez de 2.1 rev/s y frena a 1.0 X 10 1 5 rev/s2. ¿Cuál es la relación (en joules por segundo o watts) a la que disminuye la energía rotacional? Si esta relación de d i s m i - nución de la energía permanece constante, ¿cuánto tardará el pulsar en detenerse? Trate el pulsar como una esfera de densi- dad uniforme. 66. Por cuestión de estabilidad direccional, la bala disparada con u n rifle adquiere una velocidad angular de giro en torno de su eje, mediante surcos espirales (rayado del ánima o "r i f l ing" ) corta- dos en el cañón. L a bala disparada por u n rifle Lee-Enf ie ld es (aproximadamente) u n ci l indro uniforme de 3.18 cm de l o n g i - t u d , 0.790 cm de diámetro y 13.9 g de masa. L a bala sale de la boquilla con una velocidad traslacional de 628 m/s y una veloci- dad angular de giro de 2.47 X 10 rev/s. ¿Cuál es la energía ciné- tica traslacional de la bala? ¿Cuál es la energía cinética rotacional? ¿Qué fracción de la energía cinética total es rotacional? *67. Encuentre una ecuación para el momento de inercia de u n dis- co delgado de masa My radio R que gira en torno de u n diámetro. *68. Obtenga la ecuación para el momento de inercia de u n aro del - gado de masa M y radio R que gira en torno de un diámetro. *69. Encuentre una ecuación para el momento de inercia de una delgada placa cuadrada uniforme (masa M, dimensión IX l) que gira en torno de u n eje a través del centro v perpendicular a la placa. *70. Encuentre el momento de inercia de u n cubo uniforme de masa M y borde /. Suponga que el eje de rotación pasa a través del centro del cubo y es perpendicular a dos de las caras. * 7 1 . ¿Cuál es el momento de inercia de una placa plana delgada con forma de semicírculo, que gira en torno del lado recto (figura 12.28)? L a masa de la placa es My el radio es R. z FIGURA 12.28 U n semicírculo que gira en torno de su lado recto. **72. Encuentre el momento de inercia del disco delgado con dos cortes semicirculares que se muestra en la figura 12.29, que gira en torno de su eje. E l disco está hecho de material de grosor uniforme; su masa es M. > í í ( . > í V -» h FIGURA 12.29 Disco con dos cortes semicirculares. 73 . U n cono de masa M tiene una altura h y u n diámetro de base R. Encuentre su momento de inercia en torno de su eje de simetría. 74 . Obtenga la ecuación dada en la tabla 12.3 para el momento de inercia de una esfera. 3 9 2 CAPITULO 12 Rotación de un cuerpo rígido PROBLEMAS DE REPASO 75. U n automóvil tiene ruedas de 0.63 m de diámetro. Si el auto- móvil viaja a 80 km/h, ¿cuál es el vector velocidad instantánea (en relación con el suelo) de u n punto en lo alto de la rueda, cuál en el fondo y cuál en el frente? 76. L a hélice de u n avión gira a 2 500 rev/min mientras el avión vuela a 200 km/h. Las aspas de la hélice tienen 1.5 m de largo. Si toma en cuenta tanto el movimiento rotacional de la hélice como el movimiento de traslación del avión, ¿cuál es la veloci- dad (magnitud y dirección) de la punta de la hélice? 77. U n automóvil acelera uniformemente de 0 a 80 km/h en 6.0 s. E l automóvil tiene ruedas de 30 cm de radio. ¿Cuál es la acele- ración angular de las ruedas? ¿Cuál es su velocidad angular fi- nal? ¿Cuántas vueltas gira durante el intervalo de 6.0 s? 78. E l minutero de u n reloj de pared es una barra de 5.0 g de masa y 15 cm de longi tud que gira en torno de u n extremo. ¿Cuál es la energía cinética rotacional del minutero? 79. ¿Cuál es la energía cinética de rotación de u n disco fonográfico de 170 g de masa y 15.2 cm de radio que gira a 33-j revolucio- nes por minuto? Para dar a este disco una energía cinética tras- lacional de la misma magnitud, ¿cuan rápido tendría que lanzarlo? 80. L a rueda de u n vagón consiste de u n borde de 20 kg de masa y ocho rayos con forma de barras de 0.50 m de longi tud y 0.80 kg de masa cada uno. a) ¿Cuál es el momento de inercia de esta rueda en torno de su eje? b) ¿Cuál es la energía cinética de esta rueda cuando gira a 1.0 rev/s? *81 . U n cuerpo sólido consiste de dos esferas sólidas uniformes de masas M y radio R soldadas en el punto donde se tocan (véase la figura 12.30). ¿Cuál es el momento de inercia de este cuerpo rígido en torno del eje longi tudinal a través del centro de las es- feras y cuál en torno del eje transversal a través del punto de contacto? de material de grosor uniforme, su masa es M y su radio es R. Trate los rayos como delgadas barras de longi tud RI2 y ancho Rl\2. F I G U R A 1 2 . 3 0 Dos esferas sólidas conectadas. *82. U n a bala calibre .22 es u n ci l indro sólido de 7.0 m m de l o n g i - t u d y 2.7 m m de radio tapada en su frente con u n hemisferio del mismo radio. L a masa de la bala es de 15 g. d) ¿Cuál es el momento de inercia de esta bala cuando gira en torno de su eje de simetría? b) ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la bala cuando gira a 1.2 X 10 3 rev/s? *83. Encuentre el momento de inercia de la rueda que se muestra en la figura 12.31, que gira en torno de su eje. L a rueda está hecha F I G U R A 12.31 U n a rueda. *84. L a energía cinética total de u n cuerpo que rueda es la suma de su energía cinética traslacional jMv2 y su energía cinética rota- cional y / w 2 . Suponga que u n ci l indro, una esfera y u n tubo (un cascarón ci l indrico) , de iguales masas de 2.0 kg, ruedan con iguales rapideces de 1.0 m/s. ¿Cuál es la energía cinética total de cada uno? *85. U n ci l indro sólido uni forme inicialmente está en reposo en lo alto de una rampa de 1.5 m de alto. Si el c i l indro rueda por esta rampa sin deslizarse, ¿cuál será su rapidez en el fondo? (Suge- rencia: Use conservación de la energía. L a energía cinética del ci l indro en el fondo de la rampa es la suma de su energía cinéti- ca traslacional ^Mv2 y su energía cinética rotacional \lto2)- **86. L a hélice de u n avión (figura 12.32) gira a 3 000 rev/min cuan- do una de las aspas se rompe en el eje. Trate el aspa como una barra de 1.2 m de largo. E l aspa es horizontal y se balancea ha- cia arriba cuando se rompe. d) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del m o v i - miento del centro de masa del aspa inmediatamente des- pués de este instante? b) ¿Cuál es la velocidad angular del movimiento rotacional del aspa en torno de su propio centro de masa? c) Suponga que esto ocurre mientras el avión está en la super- ficie, con el eje de la hélice a 2.4 m del suelo. ¿Cuan alto en relación con el suelo se eleva el centro de masa de la hélice que gira? Desprecie la resistencia del aire. F I G U R A 1 2 . 3 2 Hélice de u n avión. Respuestas a las revisiones Respuestas a las revisiones Revisión 12.1 1 . L a puerta que se balancea sólo ejecuta movimiento rotacional en torno de sus bisagras (fijas). Los movimientos de la rueda de u n tren y de la hélice de u n avión involucran movimiento tanto rotacional como traslacional; la rueda y la hélice giran conforme el vehículo se mueve en el espacio. 2. Sí, el movimiento puede describirse como rotación en torno de u n eje y movimiento de traslación simultáneo. E l movimiento rotacional es rotación en torno de u n eje a través del extremo del mart i l lo ; sin embargo, el movimiento de traslación no es a lo largo de una trayectoria parabólica, sino que involucra u n movimiento de bucle más complicado (véase la figura 12.1). 3. U n automóvil muestra movimiento de balanceo cuando se con- duce sobre una superficie peraltada; entonces el auto se inclina. E l movimiento de paso puede ocurrir durante u n frenado súbito, cuando el frente del auto se clava hacia abajo. E l m o v i - miento de giro ocurre siempre que el auto es conducido por una curva (compare la figura 12.2). 4. ( D ) L a puerta que se balancea. E l eje de rotación es a través de las bisagras, a lo largo del borde de la puerta. Revisión 12.2 1 . E l punto P tiene la mayor rapidez instantánea (viaja a través de una mayor distancia por unidad de t iempo). Ambos puntos t ie - nen la misma velocidad angular instantánea w y la misma acele- ración angular a (como todos los puntos en el mismo cuerpo rígido). Por tanto, el punto P tiene la mayor aceleración tangen- cial ( « t a n K c n c i ¡ 1 i = aR) y también la mayor aceleración centrípeta centrípeta 2. E l radio R para movimiento circular es la distancia perpendicu- lar desde el eje de rotación, y por tanto es igual al radio de la Tierra sólo en el ecuador, y se hace cada vez más pequeño con- forme uno se mueve hacia los polos; en un polo, R es cero. Todos los puntos tienen la misma velocidad angular ai, como para cualquier cuerpo rígido. L a velocidad no es la misma para todos los puntos; dado que v = 10R, v es más grande en el ecuador. Todos los puntos no tienen la misma aceleración cen- trípeta; dado que « c c n t r ¡ p < ; t a = to2R, la aceleración centrípeta es mayor en el ecuador. 3. H a y una aceleración centrípeta; en lo alto del arco, ésta se dirige hacia abajo ( « c e n t r i p e t a = v2/R). E n la parte superior, no hay acele- ración tangencial (no actúan fuerzas en esta dirección). A cierta distancia más allá del punto más alto, habrá tanto aceleración centrípeta (dado que el automóvil todavía se mueve a lo largo de u n arco) como aceleración tangencial (pues ahora u n compo- nente de la fuerza gravitacional es tangente a la trayectoria). 4 . ( D ) Extremo del mango; extremo del mango. Puesto que la rotación es en torno de u n eje a través del centro de masa (cerca de la cabeza del mart i l lo ) , el extremo del mango está más lejos del eje. Por tanto, tanto la rapidez v = IÜR como la aceleración centrípeta « c e n t r i p c t . , = u>2R son más grandes en el extremo del mango, pues R es más grande ahí (y co es una constante para todos los puntos en un cuerpo rígido). Revisión 12.3 1 . L a aceleración centrípeta siempre apunta hacia el centro de curvatura del arco circular del problema; aquí, está vertical- mente hacia abajo. L a aceleración tangencial apunta perpendicu- larmente a u n radio en cualquier punto; dado que el elevador acelera hacia arriba, la aceleración tangencial en la parte supe- rior de la rueda apunta de manera horizontal hacia la izquierda. 2. Sí para ambos. E n tanto no haya deslizamiento, se tiene w = v/Ry a = a/R, por lo que el comportamiento de una cantidad angular es la misma que la correspondiente cantidad traslacional. 3. ( D ) 20. Para aceleración constante y partiendo del reposo, la posición angular es = jctt2. C o m o esto es proporcional a t2, la posición angular será cuatro veces mayor en el doble de tiempo. Por tanto, el número total de revoluciones en los p r i - meros dos segundos es 4 X 5 = 20. Revisión 12.4 1 . Dado que la velocidad angular es proporcional a t1/2, la posición angular, que es la integral de la velocidad angular respecto al t iempo [ecuación (12.23)], será proporcional a /^ 2 + 1 = t 3 / 2 . Por tanto, la posición angular será 4 3 / 2 = 8 veces mayor en t = 4 de lo que era en t = 1 s. 2. ( D ) t 4 . Si la aceleración angular a aumenta en proporción al t iempo entonces la velocidad angular tú = / a dt aumenta en proporción a t2. L a aceleración centrípeta está dada por c^entrípeta = ""IR = ^R Y P o r tanto aumenta en proporción a la cuarta potencia del tiempo. Revisión 12.5 1 . Dado que toda la masa M está a la misma distancia del eje de rotación, el momento de inercia simplemente es I = MR2. 1. La rotación en torno de un eje perpendicular a la barra a través de su extremo produce el mayor momento de inercia, pues más masa se ubica a una mayor distancia del eje de rotación. L a rotación en torno de u n eje a lo largo de la barra debe producir el menor momento de inercia, pues en este caso toda la masa está muy cerca del eje. 3. E n torno de un eje a lo largo de u n borde o a través de su centro paralelo a un borde, la distribución de masa (en relación con el eje de rotación) en cada caso es la misma que para la correspondiente barra (imagine ver la figura 12 .19¿ desde arriba; esto es, a lo largo del eje de roTación). Por tanto, el momento de inercia del cuadrado en torno de u n eje a lo largo de u n borde es I = \Ml}; en torno de u n eje a través de su centro, paralelo a u n borde, es 4. E n torno de u n eje a través del centro, cada partícula está a u n distancia 1/2 del eje, y por tanto el momento de inercia es / = m(l/2)2 + m(l/2)2 = \ml2. E n torno de u n eje a través de una partícula, una partícula está a una distancia / del eje y la otra está a distancia cero, así que I = mí2 + 0 = mi2. Dado que el eje se corrió por d = 112 en el segundo caso, de hecho se tiene 1= I C M + Md2 = \ml2 + (2m)(//2)2 = mi2, así que el teo- rema de los ejes paralelos se satisface (observe que debe usarla masa total M = 2m). 5. (B) 2MR2. C o m o el eje se corrió por una distancia d — R.él teorema de los ejes paralelos da I = I C M + Md" = MBr + MR2 ~ 2MR2 para rotación en torno de u n punto en el aro. C A P Í T U L O 13.1 T r a b a j o , e n e r g í a y potencia en el movimiento de ro tac ión ; torca 13 .2 Ecuación del movimiento de rotac ión 13 .3 C a n t i d a d d e movimiento a n g u l a r y su c o n s e r v a c i ó n 13 .4 Torca y cant idad de movimiento a n g u l a r como vectores 394 Dinámica de un cuerpo rígido CONCEPTOS EN CONTEXTO E l satél i te Gravity Probé B ( sonda g r a v i t a c i o n a l B ) , que c o n t i e n e c u a t r o g i roscopios de alta prec is ión, r e c i e n t e m e n t e se puso e n órb i ta m e d i a n t e u n cohete . Estos g i roscopios se usan para u n a del icada p r u e b a de la teor ía de la r e l a t i v i d a d genera l de E i n s t e i n . A q u í se m u e s t r a e l r o t o r de u n o de estos g i roscopios . Cons i s te en u n a esfera de cuarzo casi perfecta , de 3.8 c m de diámetro , suspendida e l é c t r i c a m e n t e y que g i r a a 1 0 0 0 0 revoluc iones p o r m i n u t o . A l g u n a s de las preguntas que pueden abordarse con los conceptos desa- rrol lados en este capítulo son: ? C u a n d o i n i c i a l m e n t e se c o l o c ó e n órbi ta , e l r o t o r estaba e n reposo. ¿ Q u é torca y qué fuerza se necesi tan para hacer g i r a r e l g i r o s c o p i o c o n u n a acelerac ión angular dada? ( E j e m p l o 4 , página 4 0 1 ) ? U n c u e r p o e n rotac ión , c o m o este r o t o r , n o sólo t i ene energía c inét ica , s ino t a m b i é n u n a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular , que es el análogo para la ro tac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o l i n e a l i n t r o d u c i d a Conceptos e n — contexto 1 3.1 Trabajo, energía y potencia en el movimiento de rotación; torca 3 9 5 en el capí tulo 10. ¿ C ó m o se expresa la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular d e l g i r o s - c o p i o en t é r m i n o s de su v e l o c i d a d angular? ( E j e m p l o 8, página 4 0 6 ) ? E l g i r o s c o p i o se usa c o m o u n a brú jula , para establecer u n a direcc ión de referencia e n e l espacio. ¿ C ó m o m a n t i e n e e l g i r o s c o p i o u n a d i recc ión de referencia fija? ( L a f ís ica en la práct ica : E l g i r o c o m p á s , pág ina 414) Co m o se v i o e n el capí tulo 5 , la segunda ley de N e w t o n es la ecuac ión que d e t e r m i n a e l m o v i m i e n t o de tras lac ión de u n cuerpo . E n este capí tulo se o b t e n d r á u n a ecua- c ión que d e t e r m i n e el m o v i m i e n t o de ro tac ión de u n c u e r p o r íg ido. T a l c o m o c o n la ecuac ión de N e w t o n d e l m o v i m i e n t o se o b t i e n e la ace lerac ión de traslación y se puede calcular e l c a m b i o en v e l o c i d a d y pos ic ión , la ecuac ión análoga para m o v i m i e n t o de rotac ión p e r m i t e obtener la ace lerac ión angular y calcular a d e m á s e l c a m b i o e n v e l o - c i d a d y pos ic ión angulares. L a e c u a c i ó n para m o v i m i e n t o de ro tac ión n o es u n a ley nueva de la f ís ica, d i s t i n t a de las tres leyes de N e w t o n . Por e l c o n t r a r i o , es u n a conse- cuencia de dichas leyes. 13.1 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN; TORCA Se c o m i e n z a c o n el cá lculo d e l t raba jo real izado p o r u n a fuerza externa so- bre u n c u e r p o r íg ido r e s t r i n g i d o a r o t a r en t o r n o de u n eje fijo. L a figura 13 .1 m u e s t r a el c u e r p o c o n e l eje de ro tac ión p e r p e n d i c u l a r a la página . L a fuerza se aplica en algún p u n t o de l c u e r p o a u n a d is tanc ia R d e l eje de r o t a - c ión. E n u n i n i c i o , se supondrá que la fuerza n o t iene c o m p o n e n t e parale lo al eje; cua lquiera de esos c o m p o n e n t e s n o es de interés en e l presente c o n - texto , pues el c u e r p o n o se m u e v e e n la direcc ión paralela al eje y, p o r t a n t o , una f u e r z a paralela al eje n o puede real izar trabajo . E n la figura 1 3 . 1 , la fuerza se m u e s t r a p o r c o m p l e t o en e l p l a n o de la página . E l t raba jo real izado p o r esta fuerza d u r a n t e u n p e q u e ñ o d e s p l a z a m i e n t o d e l p u n t o e n e l que actúa la fuerza es e l p r o d u c t o de la fuerza F, el d e s p l a z a m i e n t o ds y e l coseno del ángulo entre la fuerza y el d e s p l a z a m i e n t o [véase la ecuac ión ( 7 . 5 ) ] . E l coseno de este ángulo es i g u a l al seno d e l ángulo 6 entre la fuerza y la l ínea radia l (véase la figura 13 .1 ) . Por t a n t o , el t raba jo puede escribirse c o m o dW= Fds sent? Si el c u e r p o g i r a a través de u n p e q u e ñ o ángulo d 396 CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido D e acuerdo c o n la ecuac ión (13 .3 ) , cada apor tac ión a l t raba jo es el p r o d u c t o de la torca r y el p e q u e ñ o d e s p l a z a m i e n t o angular d 13.1 Trabajo, energía y potencia en el movimiento de rotación; torca 397 EJEMPLO 1 S u p o n g a que, m i e n t r a s abre u n a p u e r t a de 1.0 m de ancho, us ted e m p u j a c o n t r a el b o r d e m á s alejado de las bisagras y apl ica u n a fuerza c o n u n a m a g n i t u d constante de 0.90 N en ángulo recto a la superf ic ie de la p u e r t a . ¿ C u á n t o t raba jo realiza sobre la p u e r t a d u r a n t e u n d e s p l a z a m i e n t o angular de 3 0 ° ? S O L U C I Ó N : Para u n a torca constante , e l t raba jo se o b t i e n e c o n la ecuac ión (13 .5 ) , W — T Acp. L a def in ic ión de torca , ecuac ión (13 .2 ) , c o n F = 0 .90 N , R = 1.0 m y 6 = 9 0 ° , p r o d u c e T = FR sen 9 0 ° = 0 .90 N X 1.0 m X 1 = 0.90 N • m Para evaluar e l t raba jo , e l d e s p l a z a m i e n t o angular debe expresarse en radianes; Acp = 3 0 ° X (2TT r a d i a n e s / 3 6 0 ° ) = 0.52 radianes. E n t o n c e s W = TACJ) = 0 .90 N - m X 0 .52 radianes = 0 .47 J L a ecuac ión para la p o t e n c i a en el m o v i m i e n t o de ro tac ión y las ecuaciones que expresan el t e o r e m a t r a b a j o - e n e r g í a y la ley de conservac ión para la energía en el m o - v i m i e n t o de ro tac ión son análogas a las ecuaciones f o r m u l a d a s para el m o v i m i e n t o de traslación e n los capí tulos 7 y 8. Si d i v i d e ambos lados de la ecuac ión (13 .3 ) entre dt, se obt iene la potencia instantánea entregada por la torca: dW d P = = T dt dt P = TÍÜ (13 .6) potencia entregada por una torca d o n d e co = dcp/ dt es la v e l o c i d a d angular . O b v i a m e n t e , esta ecuac ión es análoga a la ecuac ión P = Fv o b t e n i d a en la secc ión 8.5 para la p o t e n c i a en el m o v i m i e n t o de t ras- lación u n i d i m e n s i o n a l . E l t raba jo rea l izado p o r la torca c a m b i a la energía c iné t i ca de ro tac ión d e l cuerpo . C o m o el t e o r e m a t r a b a j o - e n e r g í a para m o v i m i e n t o de traslación, e l t e o r e m a t r a b a j o - energía para m o v i m i e n t o de ro tac ión dice que el t raba jo real izado sobre el cuerpo p o r la torca externa es i g u a l al c a m b i o en energía c inét i ca de ro tac ión (las fuerzas in ternas y torcas e n u n c ue rpo r íg ido n o rea l izan t raba jo n e t o ) : W = K2 - Kx = \lco\ \lco\) S i l a fue rza que actúa sobre e l cuerpo es conservat iva , c o m o la fue rza de gravedad o la fue rza de u n resorte , entonces e l t raba jo es i g u a l a l n ega t ivo d e l c a m b i o en energ ía p o t e n c i a l y la e c u a c i ó n (13 .7) se c onv i e r t e en - C 7 2 + UX = \I(Ú\ -2ILO\) \ILO\ Ux= \lco\ U2 (13 .9) E s t o expresa la c o n s e r v a c i ó n de l a e n e r g í a e n e l m o v i m i e n t o de r o t a c i ó n : l a s u m a de las energías c iné t i ca y p o t e n c i a l es constante , es decir , E = \lco2 + U = [ cons tante ] (13 .10) conservación de la energía en el movimiento de rotación 398 CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido Inicial- mente, í Cuando el metro golpea el suelo, y2 = o. F I G U R A 1 3 . 3 M e t r o que gira en torno de su extremo inferior. EJEMPLO 2 U n m e t r o i n i c i a l m e n t e está de p ie de m a n e r a v e r t i c a l sobre e l suelo. Si e l m e t r o cae, ¿con qué v e l o c i d a d angular golpeará el sue- lo? S u p o n g a que e l e x t r e m o en c o n t a c t o c o n el suelo n o se desl iza. S O L U C I Ó N : E l m o v i m i e n t o d e l m e t r o es ro tac ión e n t o r n o de u n eje fijo que pasa a través d e l p u n t o de c o n t a c t o c o n e l suelo (véase la figura 13 .3 ) . E l m e t r o es u n a barra u n i f o r m e de masa M y l o n g i t u d / = 1.0 m . Su m o m e n t o de inerc ia e n t o r n o d e l e x t r e m o es MI2/ 3 (véase la tab la 12.3) y su energ ía c iné t i ca de ro tac ión es, p o r t a n t o , \liú2 = M / V / 6 . L a energía p o t e n c i a l g r a v i t a c i o n a l es Mgy, d o n d e y es la a l tura d e l centro de masa sobre e l suelo. C u a n d o el m e t r o está de p ie v e r t i c a l m e n t e , la v e l o c i d a d angular i n i c i a l es coí = 0 y yt = 1/2, así que la energía t o t a l es E = \Ml2co\ Mgyx = 0 + Mgl/2 (13 .11) Justo antes de que el m e t r o golpee e l suelo, la v e l o c i d a d angular es co2 y y2 = 0. L a energía es E = \Ml2w22 + Mgy2 = \Ml2co\ 0 L a conservac i ón de la energ ía i m p l i c a , p o r t a n t o , (13 .12) de d o n d e se ob t i ene \M12ÍO\ Mgl/2 3g 1 3.2 Ecuación del movimiento de rotación 399 PREGUNTA 1 : U s t e d i n t e n t a apretar u n t o r n i l l o c o n u n a l lave. ¿ D ó n d e , a l o la rgo d e l mango , debe colocar su m a n o de m o d o que p u e d a ejercer t o r c a m á x i m a ? ¿ E n qué d i - rección debe empujar? PREGUNTA 2: U n a fuerza se ejerce c o n t r a el b o r d e de u n a r u e d a que g i r a l i b r e m e n t e , reero el t raba jo real izado p o r esta f u e r z a es cero. ¿ Q u é puede c o n c l u i r acerca de la d i r e c - ción de la fuerza? ¿ C u á l es la torca de la fuerza? PREGUNTA 3: C o n s i d e r e el m e t r o que cae, c o m o e n e l e j e m p l o 2 . ¿ C u á l es la torca que el peso ejerce sobre el m e t r o c u a n d o está en la pos ic ión i n i c i a l recta? D e s p u é s de que la regla e m p i e z a a caer, se i n c r e m e n t a la torca . ¿ C u á n d o l lega la t o r c a a ser m á x i m a ? PREGUNTA 4: S u p o n g a que p r i m e r o e m p u j a u n a p u e r t a e n su b o r d e ex ter ior e n ángulo recto c o n la superf ic ie de la p u e r t a , c o n u n a fuerza de m a g n i t u d F. A c o n t i n u a c i ó n empuja la p u e r t a en su centro , de nuevo e n ángulo recto c o n la superf ic ie , c o n u n a raerza de m a g n i t u d F/2. E n ambos casos us ted e m p u j a la p u e r t a c o n f o r m e se mueve a través de 3 0 ° . L a razón d e l t rabajo real izado p o r el segundo e m p u j ó n al t raba jo rea l iza- do p o r el p r i m e r e m p u j ó n es: ( A ) \i ( C ) l ( D ) 2 ( E ) 4 13.2 ECUACION DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN _ a intuic ión dice que u n a t o r c a que actúa sobre u n a r u e d a o sobre algún o t r o c u e r p o -ibre para r o t a r e n t o r n o de u n eje producirá u n a acelerac ión angular . Por e j e m p l o , e l rmpujón de su m a n o c o n t r a u n a m a n i v e l a sobre u n a rueda (véase la figura 13.4) ejerce -na torca o " t o r c i m i e n t o " que p o n e a g i rar la r u e d a . L a ace lerac ión angular depende de • m a g n i t u d de su e m p u j ó n sobre la m a n i v e l a y t a m b i é n sobre su direcc ión (así c o m o - rbre la inerc ia de la r u e d a ) . Su e m p u j ó n será m á s efect ivo si se ejerce t a n g e n c i a l m e n t e , pb ángulo recto al r a d i o (en 6 = 9 0 ° ; véase la figura 13 .4a) . S e r á menos efect ivo si se eierce a u n ángulo m e n o r o m a y o r (véase la figura 1 3 . 4 ¿ ) . Y será p o r c o m p l e t o ine f i caz se ejerce parale lo al r a d i o (en 6 = 0 ° o 1 8 0 ° ; véase la figura 13.4c); t a l e m p u j ó n en la dirección r a d i a l n o p r o d u c e r o t a c i ó n en absoluto . Estas consideraciones cual i tat ivas están en concordanc ia c o n la de f in ic ión de torca , t = FR sen 8 (13 .14) «) b) c) 400 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido eje de rotación F I G U R A 13 .5 L a distancia entre el centro de rotación y el punto de aplicación de la fuerza es R. La distancia perpendicular entre el centro de rotación y la línea de acción de la fuerza es R sen 6. D e acuerdo c o n esta ecuac ión , la torca p r o p o r c i o n a d a p o r u n a f u e r z a de u n a m a g n i t u d dada Fes m á x i m a si la fuerza está en ángulo recto c o n e l r a d i o {8 = 9 0 ° ) y es cero si la fuerza es paralela al r a d i o (8 = 0° o 1 8 0 ° ) . L a c a n t i d a d R sen 8 que aparece e n la ecuac ión (13 .14) t i ene u n a interpretac ión g e o m é t r i c a s i m p l e : es la d is tanc ia p e r p e n d i c u l a r entre la l ínea de acc ión de la fuerza v el eje de ro tac ión (véase la figura 13 .5 ) ; esta d is tanc ia p e r p e n d i c u l a r se l l a m a b r a z o de l a torca . Por t a n t o , la ecuac ión (13 .14) a f i r m a que la t o r c a es i g u a l a la m a g n i t u d de la fuerza m u l t i p l i c a d a p o r el brazo . Para e n c o n t r a r u n a re lac ión c u a n t i t a t i v a entre la t o r c a y la ace lerac ión angular, recuerde de la ecuac ión (13 .6 ) que la p o t e n c i a entregada p o r u n a torca que actúa sobre u n c u e r p o es dW dt TU) (13.15) E l t e o r e m a t r a b a j o - e n e r g í a dice que el t raba jo dWes i g u a l al c a m b i o de energ ía c iné t i - ca e n e l p e q u e ñ o i n t e r v a l o de t i e m p o dt. E l p e q u e ñ o c a m b i o en la energía c iné t i ca es dK = dígito2) = \ X 2 (13.16 ecuación del movimiento de rotación A l s u s t i t u i r esto e n el l ado i z q u i e r d o de la ecuac ión (13 .15 ) , se e n c u e n t r a la) da) = T O ) dt A l cancelar el f ac tor de o) a ambos lados de la ecuac ión se ob t iene dw I — = T dt Pero du>/dt es la ace lerac ión angular a ; en consecuencia IoL — T ( 1 3 . 1 7 ' (13.18 (13.19 É s t a es la ecuac ión para m o v i m i e n t o de ro tac ión . C o m o se esperaba, esta e c u a c i ó n dice que la aceleración angular es directamente proporcional a la torca. L a ecuac ión (13 .19) es m a t e m á t i c a m e n t e análoga a la segunda ley de N e w t o n , ma. = F , para el m o v i m i e n t o de t ras lac ión de u n a part ícula ; e l m o m e n t o de inerc ia t o m a e l l u g a r de la masa; la acelera- c ión angular , e l l u g a r de la ace lerac ión; y la torca , el l u g a r de la fuerza . E n la o b t e n c i ó n de la ecuac ión (13 .19) se supuso que sólo u n a fuerza externa actúa sobre el c u e r p o r íg ido. Si ac túan varias fuerzas, entonces cada u n a p r o d u c e su p r o p i a torca . S i u n a t o r c a i n d i v i d u a l p r o d u c e u n a ace lerac ión angular en la d i recc ión de ro ta - c ión e legida c o m o p o s i t i v a , se cons idera c o m o p o s i t i v a , y si u n a torca p r o d u c e una ace lerac ión angular e n la d i recc ión opuesta , se cons idera c o m o negat iva . L a t o r c a neta es la s u m a de estas torcas i n d i v i d u a l e s y la acelerac ión angular es p r o p o r c i o n a l a est¿ torca neta : ecuación del movimiento de rotación para torca neta l a = t (13 .20 E n e l cálculo de la t o r c a neta es necesario considerar todas las fuerzas externas que actúan sobre el c u e r p o r íg ido, pero p u e d e n ignorarse las fuerzas in ternas que las part ícu- las e n el cuerpo ejercen sobre las otras part ículas t a m b i é n en e l cuerpo . L a s torcas de tales fuerzas in ternas se cancelan (éste es u n e j e m p l o d e l resul tado genera l m e n c i o n a d o en la secc ión 10.4: para u n cuerpo r íg ido, el t raba jo de las fuerzas in ternas se cancela I 13.2 Ecuación del movimiento de rotación EJEMPLO 4 E l r o t o r d e l g i r o s c o p i o d e l e x p e r i m e n t o Gravity Probé B (véase la fo tograf ía de i n i c i o d e l capí tulo y la f i g u r a 13.6) es u n a esfera de cuarzo de 3.8 c m de d i á m e t r o y 7 .61 X 10 2 k g de masa. Para p o n e r a g i r a r esta esfera, u n c h o r r o de gas h e l i o que fluye en u n canal ecuator ia l en la superf ic ie d e l a l o j a m i e n t o se sopla t a n g e n c i a l m e n t e c o n t r a el r o t o r . ¿ Q u é t o r c a debe ejercer este c h o r r o de gas sobre el r o t o r para acelerarlo u n i f o r m e m e n t e de 0 a 10 000 r p m ( r e - vo luc iones p o r m i n u t o ) en 30 m i n u t o s ? ¿ Q u é fuerza debe ejercer sobre el ecuador de la esfera? S O L U C I Ó N : L a v e l o c i d a d angular final es 2n X 1 0 0 0 0 radianes/60 s = 1.05 X 1 0 3 radianes/s y, p o r t a n t o , la acelerac ión angular es 1.05 X 1 0 3 radianes/s - 0 „ , , , = = 0 .582 radianes/s 30 X 60 s - 0 E l m o m e n t o de inerc ia d e l r o t o r es el de u n a esfera (véase la tabla 12 .3 ) : / = ¡MR2 = \ 7 .61 X 1 0 " 2 k g X (0 .019 m ) 2 = 1 .1 X 1 0 " 5 k g • m 2 Por t a n t o , la torca r e q u e r i d a es, de acuerdo c o n la ecuac ión (13 .19 ) , T = la = 1 .1 X 1 0 " 5 k g • m 2 X 0 .582 radianes/s 2 = 6.4 X 1 0 ~ 6 N • m L a fuerza i m p u l s o r a es a l o la rgo d e l ecuador d e l r o t o r , es decir , es p e r p e n d i c u l a r al r a d i o , de m o d o que sen 0 = 1 y la ecuación (13.2) se reduce a T = FR, que produce T 6 .4 X 10 6 N m = - . . . = 4 R 0 .019 m EJEMPLO 5 D o s masas y m2 es tán suspendidas de u n a cuerda que corre , s in deslizarse, sobre u n a polea (véase la figura 13 .7a) . L a polea t iene u n r a d i o R y u n m o m e n t o de inerc ia / en t o r n o de su eje, y g i r a s in f r i cc ión . E n c u e n t r e las aceleraciones de las masas. S O L U C I Ó N : Ya se e n c o n t r ó e l m o v i m i e n t o de este s istema en e l e j e m p l o 10 d e l capítulo 5, d o n d e las dos masas eran u n elevador y su contrapeso, y d o n d e se des- preció la inerc ia de la polea . A h o r a se t o m a r á e n cuenta esta inerc ia . L a figura 13.7c m u e s t r a los diagramas de " cuerpo l i b r e " para las masas mx y m2. E n estos d i a g r a m a s , Tx y T2 son las tensiones e n las dos partes de la cuerda u n i d a a las dos masas. ( O b s e r v e que ahora Tt y T2 n o son iguales. Para u n a polea de m o m e n t o de inerc ia cero, estas tensiones serían iguales; pero para u n a polea de m o - m e n t o de inerc ia d i s t i n t o de cero, se requiere u n a d i f e r e n c i a entre Tt y T2 para p r o d u c i r la acelerac ión angular de la polea. ) S i la acelerac ión de la masa mx es a (considerada c o m o p o s i t i v a si es hacia a r r i b a ) , entonces la acelerac ión de la masa m2 es -a y las ecuaciones de m o v i m i e n t o de las dos masas son 402 CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido La polea está montada en un soporte fijo. La cuerda hace girar la polea sin deslizarse. La fuerza del soporte actúa en el centro, por lo que no produce torca. ser diferentes para producir una aceleración angular de la polea (grande). c) F I G U R A 1 3 . 7 a) Dos masas, y m2, suspendidas de una cuerda que corre sobre una polea, b) Diagrama de "cuerpo l ibre" para la polea. c) Diagramas de "cuerpo l ibre" para las masas mx y m2. (13 .21) (13 .22) L a figura 1 3 . I b m u e s t r a e l d i a g r a m a de " cuerpo l i b r e " p a r a la polea . Las fuerzas de t e n s i ó n actúan e n los extremos d e l d i á m e t r o h o r i z o n t a l (puesto que la cuerda n o se desl iza; se c o m p o r t a c o m o si se u n i e r a i n s t a n t á n e a m e n t e a la polea en e l p u n t o de p r i m e r c o n t a c t o ; véase los p u n t o s Py P' en la figura 13.7a). L a fuerza de sopor - te hacia a r r iba d e l eje actúa en e l centro de la polea y n o genera torca en t o r n o de ese cent ro . Las tensiones actúan perpendiculares a la d i recc ión r a d i a l , de m o d o que sen 6 = 1 en la ecuac ión (13 .2 ) . A l t o m a r la d i recc ión de ro tac ión p o s i t i v a c o m o c o n t r a las manec i l las d e l re lo j (para igualar la d i recc ión p o s i t i v a para el m o v i m i e n - t o de la masa OT,), se ve que las fuerzas de tens ión T , y T2 g e n e r a n torcas —RTy y RT2 en t o r n o d e l cent ro . L a ecuac ión de m o v i m i e n t o de ro tac ión de la polea es la = r „ -RTy + RT2 (13 .23) L a aceleración de traslación de cada parte que cuelga de la cuerda debe c o i n c i d i r c o n la aceleración de traslación ins tantánea d e l p u n t o de p r i m e r contac to (para la c o n d i - c ión dada de n o d e s l i z a m i e n t o ) . Por t a n t o , la aceleración de traslación a de las masas se re lac iona c o n la ace lerac ión angular a p o r a = aR, o a = a/R [véase la ecuac ión ( 1 2 . 1 3 ) ] . M á s aún, de acuerdo c o n las ecuaciones (13 .21) y (13 .22 ) , Tx = mxg + mxa y T2 = m-^g - m2a. C o n estas sust i tuciones , la ecuac ión (13 .23) se c o n v i e r t e e n I{a/R) = —Rimyg + mxa) + R(m2g — m2a) A l resolver esto para a se encuentra m2 — #Zj mx + m2 + (I/R2) g (13 .24) 13.2 Ecuación del movimiento de rotación 403 C O M E N T A R I O : S i la masa de la polea es p e q u e ñ a , entonces I/R2 puede despre- ciarse; c o n esta aprox imac ión , la ecuac ión (13 .24) se reduce a la ecuac ión (5 .44 ) , que se o b t u v o s in t o m a r en cuenta la i n e r c i a de la polea . U n d i s p o s i t i v o de este t i p o , l l a m a d o m á q u i n a de A t w o o d , puede usarse para máquina de Atwood d e t e r m i n a r el va lor de g. Para este propósi to , es m e j o r usar masas m1 y m2 que sean casi iguales. E n t o n c e s a es m u c h o m e n o r que g y más fáci l de m e d i r ; el va lor de g puede calcularse a p a r t i r d e l va lor m e d i d o de a, de acuerdo c o n la ecuac ión (13 .24) . E n a lgunos casos ( p o r e j e m p l o , e l m o v i m i e n t o de r o d a m i e n t o de u n a l l a n t a ) , e l eje de rotac ión está en m o v i m i e n t o , acaso en m o v i m i e n t o acelerado y no es un ejefijo. Para tales p r o b l e m a s , p u e d e n usarse algunos a r g u m e n t o s adicionales a fin de d e m o s t r a r que la ecuac ión (13 .19) sigue s iendo vál ida para r o t a c i ó n e n t o r n o de u n eje e n m o v i m i e n - to de tras lación acelerado, siempre que el eje pase a través del centro de masa del cuerpo en rotación. C u a n d o se satisface esta c o n d i c i ó n , puede usarse la ecuac ión de m o v i m i e n t o de ro tac ión (13 .19 ) , c o m o en los s iguientes e jemplos . EJEMPLO 6 U n a u t o m ó v i l c o n t racc ión trasera acelera a 4 .0 m/s 2 a l o la rgo de u n c a m i n o recto . C o n s i d e r e u n a de las ruedas delanteras de este automóvi l (véase la figura 13 .8a) . E l eje e m p u j a la rueda hacia adelante y p r o - p o r c i o n a u n a acelerac ión de 4 .0 m/s 2 . S i m u l t á n e a m e n t e , la fuerza de f r i c c i ó n d e l c a m i n o e m p u j a e l f o n d o de la r u e d a hacia atrás y p r o p o r c i o n a u n a t o r c a que da a la rueda u n a acelerac ión angular . L a r u e d a t iene u n r a d i o de 0.38 m y u n a masa de 25 k g . S u p o n g a que la rueda es ( a p r o x i m a d a m e n t e ) u n disco u n i f o r m e y que rueda s in deslizarse. E n c u e n t r e la fuerza hacia atrás que la fuerza de f r i c c i ó n ejerce sobre la rueda y hal le la fuerza hacia adelante que el eje ejerce sobre la rueda . S O L U C I Ó N : L a figura 13 .Sb mues t ra u n d i a g r a m a de " cuerpo l i b r e " d e la rueda, c o n las fuerzas h o r i z o n t a l e s ac tuando sobre ella (además de estas fuerzas h o r i z o n t a l e s , t a m b i é n h a y u n e m p u j e v e r t i c a l hacia abajo e jerc ido p o r el eje y u n a fuerza n o r m a l v e r t i c a l hacia a r r iba e jercida p o r e l c a m i n o ; estas fuerzas n o ejercen torcas y se cancelan, así que n o deben preocupar le en este caso). E l e m p u j e hacia adelante d e l eje es P y e l e m p u j e hacia atrás d e l suelo es f. L a fuerza P, que actúa en e l centro de la rueda, n o ejerce torca ; la fuerza f que actúa en el b o r d e , ejerce u n a torca Rf. Por t a n t o , la ecuac ión para e l m o v i m i e n t o de r o t a c i ó n de la rueda es b) El empuje hacia adelante P del eje no ejerce torca en torno del centro de la rueda. La fuerza de fricción f del camino empuja la rueda hacia atrás. Ia = Rf o, dado que para u n disco u n i f o r m e (véase la tab la 12 .3) , ¡MRa = f C o m o se v i o e n el e j e m p l o 4 d e l capí tulo 12, la acelerac ión angular de u n a rueda en r o d a m i e n t o se re lac iona c o n la acelerac ión de traslación m e d i a n t e a = a/R. E n consecuencia, F I G U R A 13.8 a) Rueda delantera de u n automóvil, b) Diagrama de "cuerpo l ibre" para la rueda. L a fuerza de fricción del camino empuja la rueda hacia atrás. E l eje empuja la rueda hacia adelante. de d o n d e \Ma=f f = \Ma = \ 25 k g X 4 .0 m/s = 50 N 404 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido Para e n c o n t r a r la fuerza P es necesario e x a m i n a r la ecuac ión para e l m o v i m i e n - t o de traslación. L a fuerza h o r i z o n t a l neta es F n e a = P - f. Por t a n t o , la ecuación para el m o v i m i e n t o de tras lación de la rueda es Ma = P - f de d o n d e P= Ma + / = 25 k g X 4 .0 m/s 2 + 50 N = 150 N Por t a n t o , la fuerza requer ida para acelerar u n a rueda e n r o d a m i e n t o es m a y o r que la fuerza requer ida para u n a rueda que se desliza sobre u n a superf ic ie s in f r icc ión s i n r o d a m i e n t o ; p a r a t a l r u e d a , la f u e r z a ser ía só lo Ma = 25 k g X 4 . 0 m/s 2 = 100 N . A q u í , la i n e r c i a de ro tac ión a d i c i o n a l \2 agrega u n a c a n t i d a d adic iona l f = \Ma a la fuerza requer ida , de m o d o que la fuerza r e q u e r i d a t o t a l es § la del d e s l i z a m i e n t o s in r o d a m i e n t o . La fuerza normal actúa a lo largo de la línea radial, que ejerce torca cero. Sólo la fuerza de fricción f ejerce una torca en tor- no del eje del cilindro. El peso actúa en el centro de masa y no ejerce torca en torno del eje. F I G U R A 1 3 . 9 a) U n ci l indro que rueda por u n plano inclinado, b) Diagrama de "cuerpo l ibre" para el ci l indro. EJEMPLO 7 U n c i l i n d r o sól ido de masa M y r a d i o R rueda p o r u n a r a m p a i n c l i n a d a que f o r m a u n ángulo ¡3 c o n el suelo (véase la figura 13 .9a) . ¿ C u á l es la ace lerac ión d e l c i l i n d r o ? S u p o n g a que el c i l i n d r o es u n i f o r m e v que rueda s in deslizarse. S O L U C I Ó N : L a figura 13.9b mues t ra e l d i a g r a m a de "cuerpo l i b r e " p a r a el c i l i n d r o . Las fuerzas sobre el c i l i n d r o son la fuerza n o r m a l N ejercida p o r la r a m p a , la fuerza de f r i cc ión f e jercida p o r la r a m p a y el peso w . L a fuerza de f r i cc ión se ejerce sobre e l b o r d e d e l c i l i n d r o y el peso e fec t ivamente se ejerce e n el c e n t r o d e l c i l i n d r o (en e" capí tulo s iguiente se verá que e l peso s iempre puede considerarse c o m o concentra - d o en el centro de masa) . C o m o eje de ro tac ión , t o m e el eje que pasa a través dé'. centro d e l c i l i n d r o . E l peso n o ejerce t o r c a e n t o r n o de este eje y t a m p o c o l o hace la fuerza n o r m a l (brazo cero) . E n consecuencia, la ú n i c a fuerza que ejerce u n a torca es la fuerza de f r i c c i ó n , y así r = Rf L a ecuac ión de m o v i m i e n t o de ro tac ión es entonces l a = Rf E l m o m e n t o de inerc ia de u n c i l i n d r o u n i f o r m e es el m i s m o que el de u n disc I = \MR2. M á s aún, para m o v i m i e n t o de r o d a m i e n t o s in d e s l i z a m i e n t o , a = a/R. Por t a n t o , \MRa = Rf V M (13 Para calcular la ace lerac ión, necesita e l i m i n a r la fuerza de f r i c c i ó n y de esta ec c ión . E s t o puede hacerse al u t i l i z a r la ecuac ión para la c o m p o n e n t e d e l m o v i m i t o de tras lación a l o l a r g o de la r a m p a (e l m o v i m i e n t o a l o la rgo de la direcc ión t la figura 13.9b). 1 3.2 Ecuación del movimiento de rotación 401 Las c o m p o n e n t e s de las fuerzas a l o la rgo de la r a m p a son —f para la fuerza de f r i c - c ión y Mg sen /3 para e l peso. Por t a n t o Ma = Mg sen |8 - / o / = Mg-sen/3 - Ma A l s u s t i t u i r esto e n la ecuac ión (13 .25) se encuentra a = 2gsen ¡i —2a que i n m e d i a t a m e n t e puede resolverse para a: a = 5£sen/3 C O M E N T A R I O : O b s e r v e que la fuerza Mg sen (3 a l o la rgo de la r a m p a p r o d u c e aquí u n a acelerac ión que es dos tercios de la acelerac ión que el c i l i n d r o tendr ía si se desl izara sobre u n a r a m p a s in f r i c c i ó n s in r o d a m i e n t o . E s t o es consistente c o n el ú l t i m o e j e m p l o , d o n d e se v i o que se requería u n a f u e r z a de j para p r o d u c i r u n a acelerac ión dada. E l m i s m o fac tor ocurre en ambos casos, p o r q u e t a n t o el disco c o m o el c i l i n d r o t i e n e n e l m i s m o m o m e n t o de inerc ia , j MR2. TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS L a s t é c n i c a s genera les p a r a la s o l u c i ó n de p r o b l e m a s de m o v i m i e n t o de ro tac ión son s imilares a las técnicas a p r e n d i - das en los capí tulos 5 y 6 para m o v i m i e n t o de traslación. E l p r i m e r paso s iempre es u n a e n u m e r a c i ó n cuidadosa de t o d a s las f u e r z a s . H a g a u n a l i s t a c o m p l e t a de d i c h a s fuerzas y m a r q u e cada u n a c o n u n s í m b o l o de vector . 2 I d e n t i f i q u e el c u e r p o cuyo m o v i m i e n t o o cuyo e q u i l i b r i o se invest igará y d i b u j e e l d i a g r a m a de "cuerpo l i b r e " que muestre las fuerzas que actúan sobre este cuerpo. S i hay m u c h o s c u e r p o s d i s t i n t o s e n e l p r o b l e m a ( c o m o e n e l e j e m p l o 5 ) , e n t o n c e s necesi ta d i b u j a r u n d i a g r a m a de "cuerpo l i b r e " separado para cada u n o . C u a n d o d i b u j e las flechas para las fuerzas que a c t ú a n sobre u n c u e r p o e n r o t a c i ó n , asegúrese de d i b u j a r la p u n t a o la co la de la flecha en el p u n t o real d e l cuerpo d o n d e actúa la fuerza , pues esto será i m p o r t a n t e p a r a e l c á l c u l o de la t o r c a . O b s e r v e que el peso actúa en el centro de masa (éste se es tablecerá e n e l s iguiente cap í tu lo ) . 3 Seleccione cuál dirección de rotación se considerará c o m o p o s i t i v a ( p o r e j e m p l o , e n e l e j e m p l o 5 , se s e l e c c i o n ó c o m o p o s i t i v a la d i recc ión de ro tac ión c o n t r a las m a n e - cillas d e l r e l o j ) . S i el p r o b l e m a i n v o l u c r a m o v i m i e n t o s de r o t a c i ó n y t ras lac ión c o n j u n t o s , seleccione ejes c o o r d e - nados para e l m o v i m i e n t o de t ras lac ión , de p r e f e r e n c i a TORCAS Y MOVIMIENTO DE R O T A C I Ó N c o l o c a n d o u n o de los ejes a l o l a r g o de la d i r e c c i ó n de m o v i m i e n t o . 4 Seleccione u n eje para la ro tac ión d e l c u e r p o r ígido, o u n eje a través d e l centro de masa o u n eje fijo ( c o m o u n eje o u n p i v o t e m o n t a d o sobre u n soporte) en t o r n o de l cua l se r e s t r i n g e la r o t a c i ó n d e l c u e r p o . C a l c u l e la t o r c a de cada f u e r z a que ac túa sobre e l c u e r p o e n t o r n o de este c e n t r o . Recuerde que e l s i g n o de la t o r c a es p o s i t i v o o n e g a t i v o , d e p e n d i e n d o de si p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n angular en la d i recc ión de ro tac ión p o s i t i v a o negat iva . 5 L u e g o a p l i q u e la e c u a c i ó n de m o v i m i e n t o de r o t a c i ó n , la = T , a cada cuerpo en rotación, d o n d e T es la torca neta sobre u n c u e r p o d a d o . 6 S i e l c u e r p o r í g i d o t i e n e u n m o v i m i e n t o de t r a s l a c i ó n además d e l m o v i m i e n t o de ro tac ión , ap l ique la segunda ley de N e w t o n , F = a a para el m o v i m i e n t o de traslación (véanse los e jemplos 5 y 6 ) . Para r o d a m i e n t o s in des l iza- m i e n t o , los m o v i m i e n t o s de t ras lac ión y de r o t a c i ó n se re lac ionan m e d i a n t e v = coR y a = aR. 7 S i hay m u c h o s cuerpos d i s t i n t o s en el p r o b l e m a , necesita aplicar a cada u n o la ecuación de m o v i m i e n t o de rotación o la segunda ley de N e w t o n p o r separado (véase el e j e m - pío 5 ) . 406 CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido Revisión 13.2 PREGUNTA 1 : C o n s i d e r e u n m e t r o que cae, c o m o en el e j e m p l o 2 . ¿ E n qué instante I acelerac ión angular p r o d u c i d a p o r la fuerza d e l peso es m á x i m a ? PREGUNTA 2: U n c i l i n d r o e n r o d a m i e n t o t i ene t a n t o energía c iné t i ca (considerada er. t o r n o de su c e n t r o de masa) c o m o energía c inét i ca de traslación. ¿ C u á l es m á s grande'- PREGUNTA 3: C o n s i d e r e el c i l i n d r o en r o d a m i e n t o d e l e j e m p l o 7. C u a n d o este c i l i n d r e alcanza e l f o n d o de la r a m p a , ¿su energía c iné t i ca es mayor , m e n o r o la m i s m a que la de u n c i l i n d r o s i m i l a r que se desliza s in r o d a m i e n t o p o r u n a r a m p a s in f r i c c i ó n ? PREGUNTA 4: U n a esfera y u n c i l i n d r o de masas iguales r u e d a n en u n p l a n o i n c l i n a d o s i n deslizarse. ¿ T e n d r á n energías c inét icas iguales c u a n d o alcanzan e l f o n d o ? ¿ C u á l l l e - gará p r i m e r o al f o n d o ? PREGUNTA 5: U n aro de lgado y u n c i l i n d r o sól ido r u e d a n p o r u n p l a n o i n c l i n a d o sin deslizarse. C u a n d o a lcanzan el f o n d o , la r a p i d e z de traslación d e l aro es ( A ) M e n o r que la d e l c i l i n d r o ( B ) M a y o r que la d e l c i l i n d r o ( C ) I g u a l que la d e l c i l i n d r o 13.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN E n el capí tulo 10 se v i o c ó m o expresar la ecuac ión para e l m o v i m i e n t o de traslación (o tras lac ional ) e n t é r m i n o s de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o : la r a p i d e z de c a m b i o de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o es i g u a l a la fuerza {dpj dt = Fx). D e l m i s m o m o d o , la ecua- c i ó n para m o v i m i e n t o de ro tac ión puede expresarse e n t é r m i n o s de c a n t i d a d de m o v i - m i e n t o angular . La cantidad de movimiento angular de un cuerpo en rotación en torno de un eje fijo se define como el producto del momento de inercia y la velocidad angular, cantidad de movimiento angular L = Iw (13.26 E s t a ecuac ión para la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular es análoga a la ecuac ión = mi para c a n t i d a d de m o v i m i e n t o de traslación. La unidad SI de cantidad de movimiento angu- lar es k g - m 2 /s , que t a m b i é n puede escribirse en la f o r m a a l te rna t iva J • s. L a tabla 13 .1 m u e s t r a a lgunos e jemplos de valores comunes de cantidades de m o v i m i e n t o angular. Conceptos en contexto EJEMPLO 8 D e acuerdo c o n los datos dados e n e l e j e m p l o 4 , ¿cuál es la can- t i d a d de m o v i m i e n t o angular d e l r o t o r d e l g i r o s c o p i o Gravit\ Probé B c u a n d o g i r a a 1 0 0 0 0 revoluc iones p o r m i n u t o ? S O L U C I Ó N : D e l e j e m p l o 4, la v e l o c i d a d angular es to = 1.05 X 1 0 3 radianes/s, v el m o m e n t o de inerc ia es I = 1 .1 X 10 5 k g - m 2 . D e m o d o que L = Ití¡ 1.1 X 10 5 k g - m 2 X 1.05 X 1 0 3 radianes/s = 1.2 X 1 0 " ' ke • m /s 13.3 Cantidad de movimiento angular y su conservación 407 Para expresar la ecuac ión para m o v i m i e n t o de rotac ión en t é r m i n o s de c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular , proceda c o m o se h i z o e n el caso de traslación. O b s e r v e que , si e l c a m b i o de v e l o c i d a d angular es dio, entonces dL = Ida). A l d i v i d i r ambos lados de esta re lación entre dt, se ve dL dt . du> dt Si ésta se c o m p a r a c o n la ecuac ión (13 .18 ) , se ve que el l a d o derecho puede expresarse c o m o la torca , de m o d o que dL dt = T (13 .27) Esta dice que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular es igual a la torca. O b v i a m e n t e , esta ecuac ión es análoga a la ecuac ión dpj dt = Fx para m o v i m i e n t o de tras lac ión. A h o r a se ve que la analogía entre las cant idades de r o t a c i ó n y de tras lación m e n c i o - nadas en la secc ión 12.3 puede extenderse a la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular y a la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o . L a tabla 13.2 m e n c i o n a cant idades análogas , i n c l u i d a s las cantidades para traba jo , p o t e n c i a y energía c iné t i ca . S i n o hay torca que actúe sobre el cuerpo en rotac ión, T = 0 y, p o r t a n t o , dL/dt = 0, lo que s i g n i f i c a que la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular n o c a m b i a : L = [ cons tante ] ( c u a n d o T = 0 ) (13 .28) É s t a es la ley de c o n s e r v a c i ó n de l a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular . D a d o que L la), esta ley t a m b i é n puede escribirse c o m o ecuación de movimiento oe rotación en términos de ccniooc de movimiento angular I conservación de cantidad de movimiento angular la) = [ cons tante ] (13 .29) ALGUNAS CANTIDADES DE MOVIMIENTO ANGULAR M o v i m i e n t o orbital de la Tierra 2.7 X 1 0 4 0 J • s Rotación de la T ierra 5.8 X 1 0 3 3 J s Rotor de helicóptero (320 rev/min) 5 X 10 4 J s Rueda de automóvil (90 km/h) 1 x 1 0 2 J s Ventilador eléctrico 1J s Frisbee 1 x i o _ 1 J s Giroscopio de juguete 1 x 1 0 " 2 J s Disco fonográfico (33.3 rev/min) 6 X 10~ 3 J s Disco compacto (revestimiento de pista exterior) 2 X 10~ 3 J s Bala disparada de u n rifle 2 X 10~ 3 J s M o v i m i e n t o orbital del electrón en u n átomo 1.05 X 1 0 " 3 4 J s Espín del electrón 0.53 X 1 0 ~ 3 4 J s TABLA 13.2 MAS ANALOGIAS ENTRE CANTIDADES 1-D DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN dW = Fdx —> dW= Td P= Fv -> P= TÍO ir 1 2 K — j m K=\lw2 ma = F - > la = t p = mv — > L = lio dp dt dL _ dt ~ 7 408 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido di La patinadora tiene un momento de inercia mayor cuando extiende sus brazos.. m t b) .. .y un momento de inercia menor y velocidad angular mayor cuando sus brazos están pegados al cuerpo. wmmm. F I G U R A 1 3 . 1 0 Patinadora de figura que realiza una pirueta, a) Brazos extendidos. b) Brazos plegados contra el cuerpo. F I G U R A 1 3 . i l U n a patinadora de figura que gira a rapidez alta. U n a p i r u e t a real izada p o r u n a p a t i n a d o r a de figura p r o p o r c i o n a u n a buena i l u s t r a - c ión de la conservac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular. L a p a t i n a d o r a c o m i e n z a la p i r u e t a al g i rar e n t o r n o de su eje v e r t i c a l c o n sus brazos ex tendidos h o r i z o n t a l m e n - te (véase la figura 13 .10a) ; e n esta conf igurac ión , los brazos p r o d u c e n u n m a y o r m o - m e n t o de inercia. L u e g o ella l leva sus brazos cerca de su cuerpo (véase la figura 13.10/>), lo que s ú b i t a m e n t e d i s m i n u y e su m o m e n t o de inerc ia . D a d o que el h i e l o es casi s in f r i c - c ión , la t o r c a externa sobre la p a t i n a d o r a es casi cero y, p o r t a n t o , se conserva la c a n t i - d a d de m o v i m i e n t o angular . D e acuerdo c o n la ecuac ión (13 .26 ) , u n a reducc ión de I requiere u n a u m e n t o de co para m a n t e n e r constante la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular . Por t a n t o , e l c a m b i o de c o n f i g u r a c i ó n de sus brazos hace que la p a t i n a d o r a g i re e n t o r n o de su eje v e r t i c a l c o n u n a u m e n t o de v e l o c i d a d angular drást ico (véase la figura 13 .11) . C o m o la ley de conservac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o de tras lación, la ley de conservac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular c o n f recuenc ia es útil en la s o l u - c ión de p r o b l e m a s en los que las fuerzas n o se conocen c o n detal le . EJEMPLO 9 S u p o n g a que u n a rueda de alfarero g i r a ( c o n e l m o t o r desengan- chado) a 80 r e v / m i n c u a n d o u n a b o l a de arci l la de 6.0 k g se suelta s ú b i t a m e n t e en el c e n t r o de la rueda (véase la figura 13 .12) . ¿ C u á l es la v e l o - c i d a d angular después de soltarla? T r a t e la b o l a de arci l la c o m o u n a esfera u n i f o r m e de 8.0 c m de r a d i o . L a rueda de alfarero t iene u n m o m e n t o de inerc ia I = 7.5 X 1 0 ~ 2 k g - m 2 . I g n o r e la (pequeña) fuerza de f r i cc ión e n el eje de la tornamesa . S O L U C I O N : D a d o que n o hay torca externa sobre el s istema de la rueda de a l fare- r o y de la arc i l la , se conserva la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de este sistema. L a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular antes de sol tar la es L = Ico (13.30) d o n d e co es la v e l o c i d a d angular i n i c i a l e I el m o m e n t o de inerc ia de la rueda de alfarero. L a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular después de la ca ída es L' = Veo' (13.311 d o n d e co' es la v e l o c i d a d angular final e /'es e l m o m e n t o de inerc ia de la rueda de alfarero y de la arc i l la c o m b i n a d a s . Por t a n t o , de d o n d e se encuentra Ico = Fio' co = — co (13.32 (13.33 L a rueda i n i c i a l m e n t e r o t a c o n v e l o c i d a d angular „ „ 80 rev n co = 2TT X f = 277 X = 8.4 radianes/s J 60 s E l m o m e n t o de inerc ia de la rueda de alfarero es 1= 7.5 X 1 0 ~ 2 k g - m 2 13.3 Cantidad de movimiento angular y su conservación 409 y e l m o m e n t o de inerc ia de la arc i l la es la de u n a esfera u n i f o r m e (véase la tabla 12 .3 ) : MR2 = f X 6.0 k g X (0 .080 m ) ' arcilla 5 = 1.5 X 1 0 ~ 2 k g - m 2 C o m o consecuencia, co = —co 1 I' I + l ' co arcilla 7.5 X 1 0 ~ 2 k g • 7.5 X 1 0 ~ 2 k g - m 2 + 1.5 X 1 0 ~ 2 k g - m 2 X 8.4 radianes/s 7.0 radianes/s C o m o ya se m e n c i o n ó en el capí tulo 9, la ley de conservac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular t a m b i é n se apl ica a u n a sola part ícula que se m u e v e e n u n a órbi ta bajo la i n f l u e n c i a de u n a fuerza cent ra l . T a l fuerza s iempre se d i r i g e a l o la rgo de la l ínea r a d i a l y, p o r t a n t o , n o ejerce torca . Si la part ícula se mueve a l o la rgo de u n círculo de r a d i o r c o n v e l o c i d a d v (véase la figura 13 .13) , su m o m e n t o de inerc ia es mr2 y su v e l o - Para una partícula, toda la masa está a una distancia r del eje. c i d a d angular es co = v/r. P o r t a n t o , Ití> = mr X v/r = mvr, y la c a n t i d a d de m o v i - círculo, es / = mr2. m i e n t o angular de la part ícula es F I G U R A 13.13 U n a partícula que se mueve con rapidez i ; a lo largo de u n círculo de radio r. E l momento de inercia de esta partícula, con respecto al centro del (órb i ta c i rcular ) (13 .34) cantidad de movimiento angular para órbita circular Esta ecuac ión es válida n o sólo para u n a órb i ta c ircular , s ino t a m b i é n para los p u n t o s de p e r i h e l i o y afe l io de u n a órbi ta e l ípt ica , d o n d e la v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a es p e r p e n d i - cular al r a d i o . E n e l capí tulo 9 se sacó venta ja de la conservac ión de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular L = mvr para c o m p a r a r las rapideces de u n p laneta en p e r i h e l i o y afel io . L a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular d e f i n i d a p o r la ecuac ión (13 .34) se l l a m a c a n - t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r orbi ta l , para d i s t i n g u i r l a de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r de s p i n de u n c u e r p o que g i r a e n t o r n o de su p r o p i o eje. Por e j e m p l o , la T i e r r a t iene t a n t o c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular o r b i t a l (deb ida a su m o v i m i e n t o a l rededor de l Sol) c o m o u n a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de s p i n (deb ida a su ro tac ión en t o r n o de su p r o p i o eje). L a tab la 13 .1 i n c l u y e e jemplos de ambos t i p o s de c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular . cantidad de movimiento angular orbital y cantidad de movimiento angular de spin CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR E l uso de la c o n s e r v a c i ó n de l a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular en u n p r o b l e m a que i n v o l u c r a m o v i m i e n t o de r o t a - c i ó n i m p l i c a los tres pasos fami l ia res u t i l i z a d o s c o n la c o n - servación de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o o de la energía e n e l m o v i m i e n t o de tras lac ión: Escr iba p r i m e r o u n a expresión para la c a n t i d a d de m o v i - m i e n t o angular e n u n instante d e l m o v i m i e n t o [ecuación ( 1 3 . 3 0 ) ] . L u e g o escriba u n a expres ión para la c a n t i d a d de m o v i - m i e n t o angular e n o t r o ins tante [ecuac ión ( 1 3 . 3 1 ) ] . Y l u e g o apóyese e n la c o n s e r v a c i ó n de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r p a r a i g u a l a r las d o s expres iones [ecuación (13 .32 ) ] . E s t o produce u n a ecuación, que puede resolverse para u n a c a n t i d a d desconocida, c o m o la rapidez angular final. | |Q^Rev¡s¡ón 13.3 PREGUNTA 1 : U n aro y u n disco u n i f o r m e s t i e n e n radios y masas iguales. A m b o s g i r a n c o n r a p i d e z angular i g u a l . ¿ C u á l t iene la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular m a y o r y en qué factor? PREGUNTA 2: D o s automóvi les de masas iguales v i a j a n a l rededor de u n a g l o r i e t a l ado a lado , c o n velocidades angulares iguales. ¿ C u á l t iene la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular mayor? PREGUNTA 3: U s t e d está sentado en u n b a n q u i l l o g i r a t o r i o c o n sus piernas plegadas bajo el asiento. L u e g o est ira sus piernas hacia afuera. ¿ C ó m o c a m b i a su v e l o c i d a d angular? PREGUNTA 4 : C o n s i d e r e la p a t i n a d o r a que g i r a descri ta e n la figura 13.10. M i e n t r a s l l e - va sus brazos cerca de su cuerpo, ¿la energía c inét ica de rotac ión permanece constante? PREGUNTA 5: Tres niños están sentados en u n c o l u m p i o de n e u m á t i c o (véase la figura 13 .14) y se i n c l i n a n hacia atrás c o n f o r m e la rueda g i r a e n t o r n o de u n eje ver t i ca l . ¿ Q u e ocurre a la frecuencia de rotación si los niños se sientan derechos? ( A ) L a f recuenc ia a u m e n t a ( B ) L a f recuenc ia d i s m i n u y e ( C ) L a f recuenc ia permanece constante 13.4 TORCA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR COMO VECTORES 1 E l m o v i m i e n t o de ro tac ión de u n c u e r p o r íg ido en t o r n o de u n eje fijo es análogo a u n m o v i m i e n t o de traslación u n i d i m e n s i o n a l . D e m a n e r a m á s general , si e l eje de rotación n o está fijo s ino que c a m b i a en direcc ión , e l m o v i m i e n t o se vuelve t r i d i m e n s i o n a l . L r.a p e r i n o l a que g i r a y se b a m b o l e a p r o p o r c i o n a u n e j e m p l o de t a l m o v i m i e n t o de rotación t r i d i m e n s i o n a l . E n este caso, la torca y la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular deben t r a - tarse c o m o vectores, análogos al vec tor fuerza y al vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o . Las d e f i n i c i o n e s d e l vec tor torca y d e l vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular i n v o l u c r a n ¿ p r o d u c t o c r u z v e c t o r i a l que se i n t r o d u j o e n la secc ión 3 .4 . C u a n d o u n a fuerza F acnai en algún p u n t o c o n e l vec tor de pos ic ión r, el vec tor t o r c a resultante es el producto crxz del vector de posición y el vector fuerza: vector torca T = r X F (13.35* 13.4 Torca y cantidad de movimiento angular como vectores 411 D e acuerdo c o n la def in ic ión d e l p r o d u c t o cruz , la m a g n i t u d de T es T = rF sen 6 (13 .36) Oriente su mano derecha de modo que pueda doblar sus dedos de la dirección de r a la de F. y la dirección de T es p e r p e n d i c u l a r al vector fuerza y al vec tor de pos ic ión , c o m o se especifica m e d i a n - te la regla de la m a n o derecha (véase la figura 13.15) . O b s e r v e que, c o m o el vec tor de pos ic ión depende de la e lección de l o r i g e n , la torca t a m b i é n depende de la elección del origen. Por lo general, el o r i g e n se c o l o - ca en algún eje o algún p i v o t e y la t o r c a (13 .35) se cons idera entonces en re lación c o n este p i v o t e . Por e j e m p l o , para rotac ión e n t o r n o de u n eje fijo, el o r i g e n se coloca sobre d i c h o eje, de m o d o que r está en e l p l a n o d e l m o v i m i e n t o c i rcular d e l p u n t o d o n d e actúa la fuerza ; entonces r = i? , y la ecua- c ión (13 .36) concuerda c o n la ecuac ión (13 .2 ) . L a def in ic ión d e l v e c t o r c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r de u n c u e r p o r íg ido se basa en la def in ic ión d e l vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular para u n a sola p a r t í c u - la . S i u n a part ícula t iene c a n t i d a d de m o v i m i e n t o de tras lación p en la p o s i c i ó n r, e n - tonces su vector cantidad de movimiento angular se define como el producto cruz del vector de posición y el vector cantidad de movimiento: Su pulgar apunta en- tonces a lo largo de T. L = r X p (13 .37) C o m o en e l caso de la torca , el vector cantidad de movimiento angular depende de la elec- ción del origen. Por e j e m p l o , si la part ícula se mueve a l o la rgo de u n círculo, el o r i g e n se coloca e n e l c e n t r o d e l c í rculo , de m o d o que r y p es tán e n e l p l a n o d e l m o v i m i e n t o c ircular . D a d o que los vectores r y p son perpendicu lares , la m a g n i t u d de su p r o d u c t o c r u z es entonces L = rp sen 9 0 ° = rp = rmv. Por la regla de la m a n o derecha, la d i r e c - c ión de r X p es p e r p e n d i c u l a r al p l a n o d e l m o v i m i e n t o c ircular , para le lo al eje de r o - t a c i ó n (véase l i f i g u r a 13. .16) . Para u n cuerpo r ígido que g i r a en t o r n o de algún eje ( i n s t a n t á n e o ) , el vec tor c a n t i - d a d de m o v i m i e n t o angular se def ine c o m o la suma de los vectores c a n t i d a d de m o v i - m i e n t o angular de todas las part ículas e n e l cuerpo , L = rj X P l + r 2 x p 2 + • • • (13 .38) C o m o e n e l caso de u n a sola part ícula , e l v a l o r de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular o b t e n i d o a p a r t i r de estas ecuaciones depende de la e lecc ión d e l o r i g e n de coordenadas . Para el cálculo de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de u n cuerpo rígido que g i ra en t o r - n o de u n eje fijo, p o r l o general es conveniente elegir u n o r i g e n sobre el eje de rotación. EJEMPLO 10 L a figura 13 .17 m u e s t r a u n a m a n c u e r n a , u n c u e r p o r ígido que consiste de dos part ículas de masa m un idas a los extremos de u n a barra r ígida s in masa de l o n g i t u d 2r . E l c u e r p o r o t a c o n v e l o c i d a d angular co en t o r n o de u n eje p e r p e n d i c u l a r a través d e l c e n t r o de la barra . E n c u e n t r e la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular e n t o r n o de este cent ro . S O L U C I Ó N : C a d a part ícula ejecuta m o v i m i e n t o c i rcular c o n r a p i d e z v = reo. Por t a n t o , la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de cada u n a t iene u n a m a g n i t u d L = rmv = mr2co ( c o m p a r e el caso de u n a sola part ícula , que se i l u s t r a en la figura 13 .13) . L a d i recc ión de cada vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular es paralela al eje de r o t a - c ión (véase la figura 13 .16) . Por t a n t o , la d i recc ión de la s u m a v e c t o r i a l de los dos vectores c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular t a m b i é n es paralela al eje de ro tac ión , y su m a g n i t u d es F I G U R A 1 3 . 1 5 E l vector torca t es perpendicular a la fuerza F v al vector de posición r, en la dirección especificada por la regla de la mano derecha: coloque los dedos de su mano derecha a lo largo de la dirección de r y dóblelos hacia F a lo largo del menor ángulo entre estos vectores; su pulgar apuntará entonces en la dirección de r X F . vector cantidad de movimiento angular Su pulgar apunta en- tonces a lo largo de L. Oriente su mano derecha de modo que pueda girar sus dedos de la dirección de r a la de p. F I G U R A 1 3 . 1 6 Vector cantidad de movimiento angular para una partícula. La barra rota en tor- no de un eje perpen- dicular a través de su centro. 2 2 L = mr co + mr co 2mr co F I G U R A 1 3 . 1 7 U n a mancuerna en rotación. 412 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido La cantidad de movimiento angular L = r X p no necesita estar a lo largo del eje de "^90° -p F I G U R A 1 3 . 1 8 U n a mancuerna giratoria orientada a u n ángulo ¡3 con el eje de rotación. EJEMPLO 1 1 S u p o n g a que la barra de la m a n c u e r n a descr i ta e n e l e j e m p l o a n t e r i o r está soldada a u n eje i n c l i n a d o a u n ángulo ¡3 c o n res- pecto a la barra . L a m a n c u e r n a r o t a c o n v e l o c i d a d angular co e n t o r n o de este eje. que está sostenido p o r coj inetes f i jos (véase la figura 13 .18) . E n c u e n t r e la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular co en t o r n o de u n o r i g e n sobre e l eje, e n e l centro de masa. S O L U C I O N : C a d a part ícula ejecuta m o v i m i e n t o c ircular , pero , d a d o que e l o r i g e n n o está en el centro d e l c írculo, la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular n o es la m i s m a que en el e j e m p l o 10. L a d is tanc ia entre cada part ícula y e l eje de ro tac ión es R = r sen ¡3 y la m a g n i t u d de la v e l o c i d a d de cada part ícula es v = coR = corsan ¡3 L a direcc ión de la v e l o c i d a d es p e r p e n d i c u l a r al v e c t o r de pos ic ión . Por t a n t o , el vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de cada masa t iene u n a m a g n i t u d = l L 2 l = m\t X v mear sen ¡3 (13.39 L a d i recc ión d e l vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de cada masa es per p e n d i c u l a r a los vectores v e l o c i d a d y de pos ic ión , c o m o se especifica m e d i a n t e 1 regla de la m a n o derecha. E l vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de cada mas; se m u e s t r a en la figura 13 .18 ; estos vectores son m u t u a m e n t e paralelos, están en e p l a n o d e l eje y de la barra y f o r m a n u n ángulo de 9 0 ° — /3 c o n e l eje. L a cantidad de m o v i m i e n t o a n g u l a r t o t a l es la s u m a v e c t o r i a l de estas cant idades de m o v i m i e n - t o angular i n d i v i d u a l e s . Este vec tor está e n la m i s m a direcc ión que los vectores c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular i n d i v i d u a l e s y t i ene u n a m a g n i t u d d e l dob le de cua lquiera de los que aparecen en la ecuac ión (13 .39 ) : L = Imcor sen/3 (13.40 C o n f o r m e el c u e r p o r o t a , l o m i s m o hace e l v e c t o r de c a n t i d a d de m o v i m i e n - t o , que permanece e n e l p l a n o d e l eje y la barra . Si en u n ins tante la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular se encuentra en el p l a n o z-y u n c u a r t o de c ic lo m á s tarde se e n c o n t r a r á en e l p l a n o z-x, e tcé tera . C O M E N T A R I O : O b s e r v e que la c o m p o n e n t e z de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n - g u l a r es Lz = L e o s ( 9 0 o - P) = 2mwr2sen/3eos(90° E s t o t a m b i é n puede escribirse c o m o L, = 2miúR2 ¡3) = 2mcú2 sen 2¡3 (13 .41 d o n d e R = r sen ¡3 es la d is tanc ia p e r p e n d i c u l a r entre cada masa y el eje de r o t a - c i ó n . D a d o que 2mR2 es s i m p l e m e n t e el m o m e n t o de inerc ia de las dos partículas e n t o r n o d e l eje z , la ecuac ión (13 .41) es la m i s m a que Lz = Ico (13.42 C o m o se verá m á s adelante, esta ecuación es de v a l i d e z genera l para rotac ión en t o r n o de u n eje fijo. E l e j e m p l o a n t e r i o r mues t ra que el vector cantidad de movimiento angular de un cuerpo en rotación no siempre necesita estar a lo largo del eje de rotación. S i n e m b a r g o , si el cuerpo es s imétr i co e n t o r n o d e l eje de ro tac ión , entonces e l v e c t o r c a n t i d a d de m o v i - m i e n t o angular estará a l o la rgo de este eje. E n t a l c u e r p o s imétr i co , cada part ícula en u n l ado d e l eje t iene u n a c o n t r a p a r t e en e l o t r o lado d e l eje y, c u a n d o se s u m a n los 13.4 Torca y cantidad de movimiento angular como vectores vectores c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular aportados p o r estas dos part ículas (o c u a l - q u i e r o t r o par de part ículas) , la resul tante está a l o la rgo d e l eje de ro tac ión (véase la f i g u r a 13 .19) . Puesto que la segunda ley de N e w t o n para m o v i m i e n t o de tras lación establece que la r a p i d e z de c a m b i o de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o es i g u a l a la fuerza , la analogía entre las ecuaciones para m o v i m i e n t o de tras lación y de ro tac ión sugiere que la r a p i d e z de c a m b i o de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular debe ser i g u a l a la torca . Es fáci l v e - r i f i c a r esto para e l caso de u n a sola part ícula . C o n la regla usual para la d i ferenc iac ión de u n p r o d u c t o , dt d_ dt (r X p) (13 .43) dt X p + r X dp dt E l p r i m e r t é r m i n o en e l l a d o derecho es dt — X p = v X ( ) » t ) = m(\ v ) = 0 dt (13 .44) r X X F E s t o es cero p o r q u e e l p r o d u c t o c r u z de u n vec tor cons igo m i s m o s iempre es cero. D e acuerdo c o n la segunda ley de N e w t o n , el segundo t é r m i n o en el l ado derecho de la ecuac ión (13 .43) es dp dt d o n d e ¥ es \ f u e r z a que actúa sobre l a part ícula . P o r t a n t o , l a ecuac ión (13 .43) se c o n - v ier te en — — = r X F = T (13 .46) dt E n e l caso de u n c u e r p o r ígido, la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular es la s u m a de todas las cant idades de m o v i m i e n t o angular de las part ículas en e l cuerpo , y la r a p i d e z de c a m b i o de esta c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular t o t a l puede demostrarse que es i g u a l a la torca externa neta: dL dt (13 .45) (13 .47) Esta ecuac ión para la r a p i d e z de c a m b i o de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de u n cuerpo r ígido es análoga a la ecuac ión dp/dt = F para la r a p i d e z de c a m b i o de la c a n - t i d a d de m o v i m i e n t o de tras lación de u n a part ícula . Para c o m p a r a r la ecuac ión v e c t o r i a l (13 .47) c o n la ecuac ión a n t e r i o r la = T , debe enfocarse en la c o m p o n e n t e de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular a l o la rgo d e l eje de ro tac ión , es decir , e l eje z . L a figura 13 .20 m u e s t r a u n c u e r p o r íg ido a r b i - t r a r i o que g i r a e n t o r n o de u n eje fijo, que c o i n c i d e c o n e l eje z. C o m o e n e l e jemplo 1 1 , e l vector c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de este cuerpo f o r m a u n ángulo c o n e l eje de ro tac ión . S i n e m b a r g o , c o m o se discut ió en el e j e m p l o 1 1 , la c o m p o n e n t e z de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular de cada part ícula e n e l cuerpo en rotac ión es s i m p l e m e n t e i g u a l a su m o m e n t o de inerc ia e n t o r n o d e l eje z m u l t i p l i - cado p o r la v e l o c i d a d angular [véase la ecuación ( 1 3 . 4 2 ) ] . Por t a n t o , c u a n d o se s u m a n las ¿portaciones de todas las partículas en e l c u e r p o en ro tac ión , se encuentra que la c o m - ponente z de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular neta de t o d o e l c u e r p o e n ro tac ión es ¡gual al m o m e n t o de inerc ia n e t o de t o d o el c u e r p o m u l t i p l i c a d o p o r la v e l o c i d a d a n - gular. E s t o establece que la ecuac ión Si un cuerpo es s:~.rrr. en torno de un eje ce rotación, la cantidac | movimiento angular resultante estará a lo hap del eje de rotación. F I G U R A 1 3 . 1 9 Para u n cuerpo simétrico en rotación, la cantidad de movimiento angular siempre está a lo largo del eje de rotación. ecuación de movimiento de rotación para cantidad de movimiento angular vectorial La cantidad de movi- miento angular forma un ángulo con el eje z La componente de la cantidad de movimiento angular a lo largo del eje z es Lz. Ico (13 .48) de v a l i d e z general . F I G U R A 1 3 . 2 0 U n cuerpo que gira er. torno del eje z. 414 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido LA FISICA EN LA PRACTICA EL GIROCOMPAS Conceptos contexto U n g i r o s c o p i o es u n v o l a n t e s u s p e n d i d o e n car- danes (arrilk)"s p i v o t e a d o s ; véase la figura 1 ) . E l v e c t o r ^ c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r d e l v o l a n t e se e n c u e n t r a a l o la rgo de su eje de r o t a - c i ó n . D a d o ^ j u e n o hay torcas en/este v o l a n t e , excepto p o r las m u y pequeñas y despreciables torcas de f r icc ión en los pivotes de los cardanes, e l v e c t o r c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u l a r permanece constante t a n t o en m a g n i t u d c o m o en d i recc ión . E n consecuencia, la d i recc ión d e l eje de s p i n permanece fijo en el espacio: el g i roscopio puede transportarse , su base puede girarse y voltearse en cua lquier f o r m a , y aún así e l eje s iempre c o n t i n ú a a p u n t a n d o e n su dirección^ o r i g i n a l . P o r t a n t o , e l g i r o s c o p i o sirve c o m o brújula . L o s g i roscopios de alta p r e c i - s ión se usan e n sisternas de guía i n t e r n a para barcos, aviones, cohetes y naves espaciales (véase la figura 2 ) . E l l o s p r o p o r c i o - n a n u n a d i r e c c i ó n de r e f e r e n c i a a b s o l u t a e n r e l a c i ó n c o n c u a l q u i e r o r i e n t a c i ó n que e l v e h í c u l o p u e d a establecer. E n tales aplicaciones, tres giroscopios apuntados a l o largo de ejes m u t u a m e n t e perpendiculares d e f i n e n la or ien tac ión absoluta de u n a re j i l l a coordenada x,y y z. L o s m e j o r e s g i r o s c o p i o s de a l ta p r e c i s i ó n d i s p o n i b l e s , c o m o los u t i l i z a d o s e n el s istema de guía i n t e r n a d e l telesco- p i o espacial H u b b l e , son capaces de m a n t e n e r u n a d i recc ión de referencia fija c o n u n a desviación, o der iva , de n o m á s de 10 s e g u n d o s de a r c o p o r h o r a . L o s g i r o s c o p i o s e s p e c i a - les d e s a r r o l l a d o s p a r a e l e x p e r i m e n t o Gravity Probé B s o n i n c l u s o mejores : ¡su der iva es m e n o r a 1 m i l i s e g u n d o de arco p o r año ! Giroscopio montado sobre cardanes. F I G U R A 2 Sistema de guía interna para u n cohete Atlas. Este sistema contiene giroscopios para "sentir" la orientación del cohete y acelerómetros para medir la aceleración instantánea. A partir de estas mediciones, las compu- tadoras calculan la posición del cohete y lo guían a lo largo de la trayectoria de vuelo deseada. ¿Cómo empujaría para rotar el eje del giroscopio en el plano horizontal? F I G U R A 13.21 U n giroscopio sostenido con ambas manos. E l eje del giroscopio es horizontal y las manos giran este eje a los lados a través de u n ángulo en el plano x-y. EJEMPLO 12 U s t e d sostiene c o n ambas m a n o s los cardanes de u n g i roscopio que g i r a ; c o n fuerza g i r a el eje d e l g i r o s c o p i o a través de u n án- g u l o en el p l a n o h o r i z o n t a l (véase la figura 13 .21) . Si la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular d e l g i r o s c o p i o que g i r a en t o r n o de su eje es de 3.0 X 10 J • s, ¿cuáles son la m a g n i t u d y la d i recc ión de la t o r c a que necesita ejercer para g i r a r e l eje d e l g i ros- c o p i o a u n a r a p i d e z constante a través de 9 0 ° en el p l a n o h o r i z o n t a l en 1.0 s? S O L U C I O N : L a figura 1 3 . 2 2 « m u e s t r a el vector c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angula i L d e l g i r o s c o p i o que g i r a en u n t i e m p o i n i c i a l y el nuevo vec tor de c a n t i d a d C; m o v i m i e n t o angular L + dL, después de haber g i r a d o e l g i r o s c o p i o a través de ur. p e q u e ñ o ángulo d¡3. A p a r t i r de la figura, se ve que d~L es a p r o x i m a d a m e n t e p e r p e n - d i c u l a r a L , y que la m a g n i t u d de dL, es dL = Ld/3 13.4 Torca y cantidad de movimiento angular como vectores E n consecuencia dL dt L dfi dt (13 .49) D e acuerdo c o n la ecuac ión (13 .49 ) , la m a g n i t u d de la t o r c a es dL L d/3 C o n L 3.0 X 1 0 " 2 J - s y dp/dt dt ( 9 0 ° ) / ( 1 . 0 s ) TT/2 radianes/s, a) :i gira el eje || - entidad de azular camba T = 3 .0 X 10 2 J - s X — radianes/s = 4 .7 X 10 2 N - m J 2 C o m o T = dL,/dt, la d irecc ión d e l v e c t o r torca r debe ser la d i recc ión de dL,, es decir , el v e c t o r t o r c a debe ser p e r p e n d i c u l a r a L, o i n i c i a l m e n t e hacia e l p l a n o de la página (véase la f i g u r a 13.22b). Para p r o d u c i r t a l to rca , su m a n o i z q u i e r d a debe e m p u j a r hacia arr iba y su m a n o derecha debe ja lar hacia abajo. E s t o es c o n t r a r i o a la in tu ic ión , que sugeriría que , para g i r a r e l eje e n e l p l a n o h o r i z o n t a l , ¡debe e m p u j a r hacia adelante c o n su m a n o derecha y j a l a r hacia atrás c o n su m a n o i z q u i e r d a ! Este s o r p r e n d e n t e c o m p o r t a m i e n t o t a m b i é n expl ica p o r qué u n a fuerza g r a v i t a c i o n a l hacia abajo causa la l e n t a preces ión de u n a peonza que g i ra , c o m o se cons idera e n el s iguiente e j e m p l o . EJEMPLO 13 U n a p e o n z a de j u g u e t e g i r a c o n c a n t i d a d de m o v i m i e n t o a n g u - lar de m a g n i t u d L; e l eje de ro tac ión está i n c l i n a d o a u n ángulo 8 c o n respecto a la v e r t i c a l (véase la f i g u r a 13 .23) . L a peonza que g i r a t iene masa M; su p u n t o de c o n t a c t o c o n e l suelo permanece f i j o y su centro de masa está a u n a d is tanc ia r d e l p u n t o de contac to . L a p e o n z a precede, es decir , su vec tor c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular r o t a en t o r n o de la v e r t i c a l . E n c u e n t r e la v e l o c i d a d angular Í L de este m o v i m i e n t o de preces ión . S i u n a p e o n z a t iene r = 4 .0 c m y m o m e n t o de i n e r c i a / = MR2/4, d o n d e R = 3 .0 c m , e n c u e n t r e e l p e r i o d o d e l m o v i m i e n t o de preces ión c u a n d o la p e o n z a g i r a a 2 5 0 radianes/s. S O L U C I Ó N : A p a r t i r de la figura 13.24a, se ve que e l peso, Mg, que actúa en e l centro de masa, p r o d u c e u n a t o r c a T de m a g n i t u d T = rMg sen 6 (13 .50) C o m o e n e l e j e m p l o 12, el c a m b i o e n c a n t i d a d de m o v i m i e n t o angular dL, será parale lo a la torca , pues T = dL,/dt. E n u n t i e m p o dt, la p e o n z a precederá a través de u n ángulo dp dado p o r (véase la figura 13.24Z>) dp = dL Lsen0 dt C o n dL = T dt = rMg send dt, se t i ene p o r t a n t o rMg sen 8 dt rMg d $ = —}—a— = ~ r LsenO L L a v e l o c i d a d angular de preces ión es la r a p i d e z de c a m b i o de este ángulo : dp _ rMg dt L P o r t a n t o , la v e l o c i d a d angular de preces ión es i n d e p e n d i e n t e d e l ángulo de i n c l i - nac ión 0. t (13 .51) Dado zjt T = di, a. - - parale!: . . Para el deseado r = r ? la dirección de la fuer^i debe ser hacia abajo! F I G U R A 1 3 . 2 2 a ) ¿ L e s ¡ " : - _ - ^ i mente perpendicular a L , en el r l i n ; s~ b) L a torca T es paralela a dL. ;¡r. : el plano x-y. F I G U R A 1 3 . 2 3 U n a peonza inclinada que gira con velocidad angular co. 418 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido VECTOR TORCA x = r X F F f Y 0 f (13.35) ECUACION DE MOVIMIENTO DE ROTACION PARA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR VECTORIAL VELOCIDAD ANGULAR DE P R E C E S I Ó N G I R O S C Ó P I C A d o n d e r es la d is tanc ia desde e l p u n t o de c o n t a c t o al c e n t r o de masa. dh — = T dt rMg c / L (13.47) (13.51) PREGUNTAS PARA DISCUSION 1 . Suponga que usted empuja hacia abajo el borde de una torna- mesa fonográfica estacionaria. ¿Cuál es la dirección de la torca que ejerce en torno del centro de la tornamesa? 2. Muchos granjeros se han lesionado cuando sus tractores súbita- mente se voltean hacia atrás mientras jalan u n pesado trozo de provisiones agrícolas. ¿Puede explicar por qué ocurre esto? 3. A las balas de rifle se les proporciona u n giro en torno de su eje mediante surcos espirales (rayado de cañón, " r i f l ing" ) en el ca- ñón del arma. ¿Cuál es la ventaja de esto? 4. Usted está de pie sobre una tornamesa sin fricción (como una tor- namesa fonográfica, pero más maciza). ¿Cómo puede girar 180° sin dejar la tornamesa o empujar contra cualquier cuerpo exterior? 5. Si usted hace girar con sus dedos u n huevo cocido que descansa sobre la mesa, el huevo continuará girando. Si intenta hacer lo mismo con u n huevo crudo, no lo girará. ¿Por qué? 6. U n funámbulo usa una pértiga de equilibrio para mantenerse estable (figura 13.25). ¿Cómo ayuda esto? 7. ¿Por qué los helicópteros necesitan una pequeña hélice vertical en su cola? 8. L a rapidez de rotación de la Tierra está sujeta a pequeñas varia- ciones estacionales. ¿Esto significa que la cantidad de m o v i - miento angular no se conserva? 9. ¿Por qué el frente de u n automóvil se "clava" cuando el automó- v i l frena bruscamente? 10. L a fricción de las mareas contra las costas oceánicas y las aguas oceánicas poco profundas poco a poco frena la rotación de la T i e - rra. ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento angular perdida? 11 . U n automóvil viaja sobre u n camino recto a 90 km/h. ¿Cuál es la rapidez, en relación con el suelo, del punto más bajo de una de sus ruedas, cuál en relación con el punto más alto y cuál con el punto medio? 12. U n a esfera y u n aro de iguales masas ruedan por u n plano i n c l i - nado sin deslizarse. ¿Cuál llega primero al fondo? ¿Tendrán igual energía cinética cuando lleguen al fondo? 13. U n yoyo descansa sobre una mesa (figura 13.26). Si usted jala • cuerda horizontalmente, ¿en qué forma se moverá? ¿Cómo se moverá si jala en forma vertical? La cuerda se jala horizontalmente. i La cuerda se jala de manen vertical. FIGURA 13.25 U n funámbulo. FIGURA 1 3.26 Yoyo que descansa sobre una mesa, a) L a cuerda se jala de manera horizontal , b) L a cuerda se jala verticalmente. 14. Coloque u n lápiz verticalmente sobre su punta en una mesa y suéltelo. E l lápiz caerá. a) Si la mesa es muy lisa, la punta del lápiz se deslizará en la dirección opuesta a la de caída. ¿Por qué? b) Si la mesa es u n poco rugosa, o está cubierta con u n trozo de papel, la punta del lápiz saltará en la dirección de la caída. ¿Por qué? (Sugerencia: Durante las primeras etapas de la caída, la fricción mantiene fija la punta del lápiz; por tanto, el lápiz adquiere cantidad de movimiento horizontal .) 15. U n automóvil viaja con rapidez constante a lo largo de u n ca- mino que consta de dos segmentos rectos conectados mediante una curva con forma de arco de círculo. Si considera el centro del círculo como el origen, ¿cuál es la dirección de la cantidad de movimiento angular del automóvil? ¿La cantidad de m o v i - miento angular es constante conforme el automóvil viaja a lo largo de este camino? 16. ¿La cantidad de movimiento angular del movimiento orbital d u n planeta es constante si se elige u n origen de coordenadas er el Sol? 17. U n péndulo se balancea de ida y vuelta. ¿La cantidad de m o v i - miento angular de la lenteja del péndulo es constante? 18. ¿Cuál es la dirección del vector cantidad de movimiento angu- lar de la rotación de la Tierra? 19. U n a bicicleta viaja hacia el este a lo largo de u n camino a nivel ¿Cuáles son las direcciones de los vectores de cantidad de m o - vimiento angular de sus ruedas? PROBLEMAS 13.1 Trabajo, energía y potencia en movimiento de rotación; torca 1 . Las instrucciones de operación para una pequeña grúa especi- fican que, cuando la pluma está a u n ángulo de 20° sobre la h o - rizontal (véase la figura 13.27), la máxima carga segura para la grúa es de 500 kg. Si supone que esta carga máxima está determi- nada por la torca máxima que puede soportar el pivote, ¿cuál es la torca máxima para 20° en términos de la longitud R de la p l u - ma? ¿Cuál es la máxima carga segura para 40° y cuál para 60o? FIGURA 13.27 Grúa pequeña. 2. U n simple malacate manual consiste de u n tambor de 4.0 cm de radio al que se une una manivela de 25 cm de radio (véase la figura 13.28). Cuando usted gira la manivela, la cuerda se en- rolla en el tambor y jala la carga. Suponga que la carga trans- portada por la cuerda es de 2500 N . ¿Qué fuerza debe ejercer sobre la manivela para sostener esta carga? -25 cm H 9 2 5 0 0 N FIGURA 13.28 Malacate manual. 4.0 cm 3. E l manual de reparaciones de un automóvil especifica que los tornillos roscados del bloque deben apretarse a una torca de 61 N • m . Si u n mecánico usa una llave de 20 cm de longi tud en tí les tornil los, ¿qué fuerza perpendicular debe ejercer esta llave sobre el extremo para lograr la torca correcta? 4. U n a trucha cuelga del extremo de una caña de pescar rígida de 2.0 m de largo que el pescador sostiene con una mano por el otro extremo. Si la caña está horizontal , ¿cuál es la torca que el peso de la trucha ejerce en torno del extremo que sostiene el pescador? ¿Cuál es la torca si la caña se inclina hacia arriba en u n ángulo de 60o? 5. Usted sostiene u n l ibro de 10 k g en su mano, con su brazo ex- tendido horizontalmente enfrente de usted. ¿Cuál es la torca que el peso de este l ibro ejerce en torno de la articulación de si hombro, a una distancia de 0.60 m del libro? 6. Si usted se dobla, de modo que su tronco esté horizontal , el peso de su tronco ejerce una torca más bien fuerte en torno de sacro, donde su columna vertebral está pivoteada en su pelvis. Suponga que la masa de su tronco (incluidos brazos y cabeza) es de 48 kg y que el peso efectivamente actúa a una distancia c 0.40 m desde el sacro. ¿Cuál es la torca que ejerce este peso? 7. E l motor de u n automóvil entrega una torca máxima de 203 N • m cuando corre a 4 600 rev/min, y entrega una potencia máxima de 142 hp cuando corre a 5 750 rev/min. ¿Qué poten- cia entrega el motor cuando corre a torca máxima? ¿Qué torca entrega cuando corre a potencia máxima? 8. E l volante de u n motor está conectado al volante de una b o m l mediante una correa de transmisión (figura 13.29). E l primer volante tiene u n radio Rx y el segundo u n radio R2. Mientras \ rueda del motor rota con una velocidad angular constante tt».. las tensiones en las porciones superior e inferior de la eorrü J transmisión son Ty T', respectivamente. Suponga que l i de transmisión no tiene masa. a) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda de la bombar b) ¿Cuál es la torca de la correa de transmisión sobre Dinámica de un cuerpo rígido F I G U R A 1 3 . 2 9 Ruedas de motor y bomba conectadas mediante una correa de transmisión. c) A l tomar el producto de torca y velocidad angular, calcule la potencia entregada por el motor a la correa de transmisión y la potencia removida por la bomba de la correa de transmi- sión. ¿Estas potencias son iguales? 9. E l motor W r i g h t Cyclone en u n avión D C - 3 entrega una po- tencia de 850 hp con la hélice girando estacionariamente a 2100 rev/min. ¿Cuál es la torca ejercida por la resistencia del aire sobre la hélice? 10. U n a mujer en una bicicleta de ejercicio tiene que ejercer u n empuje tangencial (promedio) de 35 N sobre cada pedal para mantener la rueda girando con rapidez constante. Cada pedal tiene una longi tud radial de 0.18 m . Si ella pedalea a la rapidez de 60 rev/min, ¿cuál es la potencia que gasta contra la bicicle- ta de ejercicio? Exprese su respuesta en watts y en kilocalorías por minuto . 11 . ¿Con qué rapidez de traslación el extremo superior de la regla del ejemplo 2 golpea el suelo? Si en lugar de una regla de 1.0 m usa una de 2.0 m , ¿con qué rapidez de traslación golpea? 12. U n ventilador de techo usa 0.50 hp para mantener una frecuen- cia de rotación de 150 rev/min. ¿Qué torca ejerce el motor? 13. E l motor de una muela ejerce una torca de 0.65 N • m para mantener una rapidez operativa de 3 450 rev/min. ¿Qué poten- cia entrega el motor? 14. A partir de los datos del cuerpo humano de la figura 10.17, calcule a) la torca en torno del hombro para u n brazo que se mantiene horizontalmente y b) la torca en torno de la cadera para una pierna que se mantiene horizontalmente. 15. U n a gran mesa de lijado se usa para adelgazar lotes de obleas de silicio en la etapa final de la fabricación de semiconductores, u n proceso llamado backlap. Si el motor impulsor ejerce una torca de 250 N • m mientras rota la mesa 1200 veces por u n lote de obleas, ¿cuánto trabajo realiza el motor? 16. Recientemente, u n sensor de torca microfabricado midió una torca tan pequeña como 7.5 X 10 2 4 N • m . Si la torca es pro- ducida por una fuerza aplicada perpendicular al sensor a una distancia de 25 /um del eje de rotación, ¿cuál es la fuerza más pequeña que el sensor puede detectar? *17. L a posición angular de u n ventilador de techo durante los p r i - meros dos segundos después del arranque lo da (f> = Ct2, donde C = 7.5 radianes/s2 y / está en segundos. Si el motor del ventila- dor ejerce una torca de 2.5 N • m , ¿cuánto trabajo tiene que reali- zar el motor después de t = 1.0 s y cuánto después de / = 2.0 s? *18. Mientras frena, u n automóvil de 1500 kg desacelera a la rapi - dez de 8.0 m/s 2. ¿Cuál es la magni tud de la fuerza de frenado que el camino ejerce sobre el automóvil? ¿Qué torca genera esta fuerza en torno del centro de masa del automóvil? ¿Esta torca tenderá a levantar el frente del automóvil o tenderá a bajarlo? Suponga que el centro de masa del automóvil está 60 cm arriba de la superficie del camino. *19. U n tractor de 4500 kg de masa tiene ruedas traseras de 0.80 m de radio. ¿Qué torca y qué potencia debe proporcionar el motor al eje trasero para mover el tractor sobre u n camino con pen- diente 1:3 a rapidez constante de 4.0 m/s? *20. U n a bicicleta y su conductor tienen una masa de 90 kg. M i e n - tras acelera desde el reposo a 12 km/h, el conductor gira los pe- dales a través de tres revoluciones completas. ¿Qué torca debe ejercer el ciclista sobre los pedales? Suponga que la torca es constante durante la aceleración e ignore la fricción dentro del mecanismo de la bicicleta. *21 . U n metro se mantiene en una pared mediante u n clavo que pasa a través de la marca de 60 cm (véase la figura 13.30). E l metro tiene libertad para balancearse en torno de este clavo, sin fricción. Si el metro se libera desde una posición inicial h o r i - zontal, ¿qué velocidad angular logrará cuando se balancee a tra- vés de la posición vertical? J L jt. F I G U R A 1 3 . 3 0 U n metro. *22. Una esfera sólida uniforme de masa My radio R cuelga de una cuerda de longi tud R/2. Suponga que la esfera se libera desde una posición inicial que forma u n ángulo de 45° con la vertical (véase la figura 13.31). a) Calcule la velocidad angular de la esfera cuando se balancea a través de la posición vertical. b) Calcule la tensión en la cuerda en este instante. 1 F I G U R A 13 .31 U n a esfera colganre. *23. La aceleración máxima (positiva) que u n automóvil puede lo- grar sobre u n camino a nivel depende de la torca máxima que motor puede entregar a las ruedas. a) E l motor de u n carro deportivo Maserati entrega una torc. máxima de 441 N • m a la caja de cambios. Ésta baja la ra? dez de revoluciones por u n factor de 2.58; es decir, siempr: que el motor hace 2.58 revoluciones, las ruedas dan una revolución. ¿Cuál es la torca entregada a las ruedas? Igncr ; las pérdidas por fricción en la caja de cambios. b) L a masa del automóvil (incluidos combustible, conducto- etc.) es de 1770 k g y el radio de sus ruedas es de 0.30 m_ ¿Cuál es la aceleración máxima? Ignore el momento de i r * cia de las ruedas y las pérdidas por fricción. *24. U n automóvil de 1200 kg de masa tiene cuatro tambores de freno de 25 cm de diámetro. Los tambores de freno están rígi- damente unidos a las ruedas de 60 cm de diámetro. E l mecanis- mo de frenado presiona las zapatas de freno contra el borde de cada tambor y la fricción entre la zapata y el borde genera una torca que frena la rotación de la rueda. Suponga que las cuatro ruedas contribuyen igualmente al frenado. ¿Qué torca deben ejercer las zapatas del freno sobre cada tambor con la finalidad de desacelerar el automóvil a 7.8 m/s2? Si el coeficiente de f r i c - ción entre la zapata y el tambor es de ¡xk = 0.60, ¿qué fuerza normal debe ejercer la zapata del freno sobre el borde del t a m - bor? Ignore las masas de las ruedas. *25. E n uno de los cilindros del motor de u n automóvil, el gas l ibe- rado por combustión interna empuja sobre el pistón, que, a su vez, empuja sobre el cigüeñal mediante una barra de pistón (véase la figura 13.32). Si el cigüeñal experimenta una torca de 31 N • m y si las dimensiones del cigüeñal y la barra del pistón son como se muestra en la figura 13.32, ¿cuál debe ser la fuerza del gas sobre el pistón cuando el cigüeñal está en la posición horizontal , como en la figura 13.32? Ignore la fricción y t a m - bién las masas del pistón v la barra. pistón • 3.8 i cigüeñal FIGURA 1 3 . 3 2 Pistón y cigüeñal de automóvil. 13.2 La ecuación del movimiento de rotación 26. Mientras arranca una rueda de ruleta, el croupier ejerce una tor- ca de 100 N • m con su mano sobre los rayos de la rueda. ¿Qué aceleración angular produce esto? Trate la rueda como u n disco de 30 k g de masa y 0.25 m de radio. 27. E l tramo central de u n puente móvil giratorio consiste de una viga uniforme de 300 toneladas métricas de masa y 25 m de l o n - gi tud. Esta viga, quede considerarse como una delgada barra u n i - forme. E l puente se abre al girar en torno de u n eje vertical a través de su centro. ¿Qué torca se requiere para abrir este puente en 60 s? Suponga que el puente primero acelera uniformemente a través de u n intervalo angular de 45° y luego se invierte la torca, de modo que el puente desacelera de manera uniforme a través de u n intervalo angular de 45° y llega al reposo después de rotar 90°. 28. L a rueda de la fortuna original , cons—_ r : r George Ferr:;. tenía u n radio de 38 m y una masa de L 9 X 10 kg. Suponga que toda su masa se distribuía de mar . t r ; - - ' ::~e a lo largo del borde de la rueda. Si la rueda inicial— - - - : - - ra a 0.050 rev/min, ¿qué torca constante tendría c r ; vara llevarla a alto total en 30 s? ¿Qué fuerza ejerció^ - r é d e l a rueda habría dado tal torca? 29. L a polea de una máquina de A t w o o d par ; . u n disco de latón de 120 g de masa. Cuanc : >: 0.450 0 k g y m2 = 0.455 0 kg, u n experimer. : ; ; que la masa más grande desciende 1.6 m en 8.0 y . : reposo. ¿Cuál es el valor de gí 30. U n aro huía rueda por una pendiente de 1:10 sin desmese. ¿Cuál es la aceleración (lineal) del aro? 3 1 . U n cil indro uniforme rueda por u n plano incl inac: ; 9 con la horizontal . Demuestre que, si el c i l indro rueda sz. áes- lizarse, la aceleración es a — jg sen 6. 32. L a rueda de repuesto de u n camión, accidentalmente li'r i : ; ; . sobre u n camino recto que conduce hacia abajo por una c o l i r i escarpada, rueda colina abajo sin deslizarse. L a masa de la r _ t - da es de 60 kg y su radio es de 0.40 m ; la distribución de masa de la rueda es aproximadamente la de u n disco uniforme. E n el fondo de la colina, a una distancia vertical de 120 m bajo el punto de liberación, la rueda golpea una caseta telefónica. ¿Cuál es la energía cinética total de la rueda justo antes del impacto? ¿Cuánta de esta energía cinética es energía de traslación del cen- tro de masa de la rueda? ¿Cuánta es energía cinética de rotación en torno del centro de masa? ¿Cuál es la rapidez de la rueda? 33. Galileo midió la aceleración de una esfera que rodaba por u n plano inclinado. Suponga que, partiendo del reposo, la esfera tarda 1.6 s en rodar una distancia de 3.00 m por u n plano i n c l i - nado 20° . ¿Qué valor de g puede deducir de esto? 34. U n yoyo consiste de u n disco uniforme con una cuerda devana- da alrededor del borde. E l extremo superior de la cuerda se mantiene fijo. E l yoyo se desenreda conforme cae. ¿Cuál es su aceleración descendente? 35. U n hombre intenta rodar u n barr i l a lo largo de una calle a n i - vel al empujar hacia adelante a lo largo de su borde superior. A l mismo tiempo, otro hombre empuja hacia atrás en el medio, con una fuerza de igual magnitud F(véase la figura 13.33). El barri l rueda sin deslizarse. ¿En cuál dirección rodará el barril? Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza de fricción en el punto de contacto con la calle. E l barr i l es u n cil indro uni forme de masa M y radio R. FIGURA 1 3.33 U n hombre empuja horizontalmente en La parte superior de u n ci l indro; otro empuja con igual tuerza en la dirección opuesta en su parte media. ¿En qué dirección rueda? 422 CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido 36. U n a batidora eléctrica acelera uniformemente desde el reposo, comenzando en t = 0; en t = 0.50 s, la batidora alcanza 250 radianes/s y continúa acelerando. Si los componentes giratorios tienen u n momento de inercia de 2.0 X 10~ 4 k g - m 2 , ¿ a qué ra- pidez instantánea el motor entrega energía en t = 0.50 s? 37. U n balón de basquetbol se suelta desde el reposo sobre u n pla- no inclinado 15°. ¿Cuántas revoluciones experimentará el balón en 4.0 s? Suponga que el balón es u n cascarón esférico delgado con u n diámetro de 23 cm y que rueda sin deslizarse. 38. U n a cuerda delgada de 25 cm de longirud está enredada en el eje de u n giroscopio de juguete que rota en cojinetes fijos; el ra- dio del devanado es de 2.0 m m . Si la cuerda se jala con una fuerza estable de 5.0 N hasta estar completamente desenrolla- da, ¿cuánto tarda en completar el jalón? ¿Cuál es la velocidad angular final? E l momento de inercia del giroscopio (incluido el eje) es de 5.0 X 1 0 - 5 kg • m 2 . 39. U n a tornamesa fonográfica impulsada por u n motor eléctrico acelera a una rapidez constante desde 0 hasta 33.3 revoluciones por minuto en u n t iempo de 2.0 s. L a tornamesa es u n disco uniforme de metal, de 1.2 kg de masa y 15 cm de radio. ¿Qué torca se requiere para producir esta aceleración? Si la rueda i m - pulsora hace contacto con la tornamesa en su borde exterior, ¿qué fuerza debe ejercer? *40. Una bola de boliche está sobre el suelo liso de u n carro del subte- rráneo. Si el carro tiene una aceleración horizontal a, ¿cuál es la aceleración de la bola? Suponga que la bola rueda sin deslizarse. *41 . U n aro rueda por una rampa inclinada. E l coeficiente de f r i c - ción estática entre el aro y la rampa es fis. Si la rampa es muy inclinada, el aro se deslizará mientras rueda. Demuestre que el ángulo crítico de inclinación al que comienza a deslizarse el aro es 9 = 2fis. *42. U n cil indro sólido rueda por u n plano inclinado. E l ángulo de inclinación 9 del plano es grande, de modo que el cilindro se des- liza mientras rueda. E l coeficiente de fricción cinética entre el ci l indro y el plano es ¡j.t. Encuentre las aceleraciones de rotación y de traslación del cilindro. Demuestre que la aceleración de tras- lación es la misma que la de u n bloque que se desliza por el plano. '*43. Suponga que u n tractocamión aplica una fuerza horizontal de 4000 N al frente de u n automóvil, similar a la descrita en el problema 63 del capítulo 12. Si toma en cuenta la inercia de ro - tación de las ruedas e ignora las pérdidas por fricción, ¿cuál es la aceleración del automóvil? ¿Cuál es la diferencia porcentual entre este valor de la aceleración y el valor calculado al despre- ciar la inercia de rotación de las ruedas? "44 . U n carro consiste de u n cuerpo y cuatro ruedas sobre ejes sin fricción. E l cuerpo tiene una masa m. Las ruedas son discos uniformes de masa My radio R. Si toma en cuenta el momento de inercia de las ruedas, encuentre la aceleración de este carro si rueda sin deslizarse por u n plano inclinado que forma u n ángu- lo 9 con la horizontal . '*45. Cuando las ruedas de un avión que aterriza tocan la pista, i n i - cialmente no giran. Primero las ruedas se deslizan sobre la pista (y producen nubes de humo y marcas de quemadura sobre la pista, que posiblemente usted ha notado; véase la figura 13.34), hasta que la fuerza de fricción cinético acelera las ruedas a la rapidez de rotación requerida para rodamiento sin deslizamien- to. A partir de los siguientes datos, calcule cuánto se deslizan las ruedas del avión antes de comenzar a rodar sin deslizarse: la rueda tiene u n radio de 0.60 m y una masa de 160 kg, la fuerza normal que actúa sobre la rueda es de 2.0 X 10 3 N , la rapidez del avión es 200 km/h y el coeficiente de fricción cinético para la rueda sobre la pista es de 0.80. Trate la rueda como u n disco uniforme. F I G U R A 13.34 U n avión que aterriza. 13.3 Cantidad de movimiento angular y su conservación 46. Usted gira u n huevo cocido sobre una mesa, a 5.0 rev/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del huevo? Trate al huevo como una esfera de 70 g de masa y diámetro medio de 5.0 cm. 47. L a L u n a se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular (aproximada) de 3.8 X 10 8 m de radio en 27.3 días. Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la Luna . Su- ponga que el origen de coordenadas tiene su centro en la Tierra. 48. E n el acelerador Fermilab, protones con cantidad de m o v i - miento de 5.2 X 10 kg-m/s viajan alrededor de una trayec- toria circular de 2.0 k m de diámetro. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular orbital de uno de estos protones? Suponga que el origen está en el centro del círculo. 49. Previamente al lanzamiento de una piedra desde una honda, un nativo boliviano gira la piedra a 3.0 rev/s alrededor de u n círcu- lo de 0.75 m de radio. L a masa de la piedra es de 0.15 kg. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la piedra en relación con el centro del círculo? 50. U n satélite de comunicaciones, de 100 k g de masa, está en una órbita circular de 4.22 X 10 7 m de radio alrededor de la Tierra . La órbita está en el plano ecuatorial de la Tierra y el satélite se mueve a lo largo de ella de oeste a este con una rapidez de 4.90 X 10 2 m/s. ¿Cuál es la magni tud de la cantidad de movimiento angular de este satélite? 5 1 . De acuerdo con la teoría de Bohr (sobresimplificada), el electrón en el átomo de hidrógeno se mueve en una u otra de varias po- sibles órbitas circulares alrededor del núcleo. Los radios y las velocidades orbitales de las tres órbitas más pequeñas son, res- pectivamente, 0.529 X 1 0 ~ 1 0 m , 2 . 1 8 X 10 6 m/s; 2.12 X 1 0 " 1 0 m , 1.09 X 10 6 m/s; y 4.76 X 1 0 " 1 0 m , 7 . 2 7 X 10 5 m/s. Para cada una de estas órbitas, calcule la cantidad de movimiento angular orbital del electrón, con el origen en el centro. ¿Cómo se comparan estas cantidades de movimiento angular? 52. U n meteoroide de alta rapidez pasa j u n t o a la Tierra a lo largo de una línea (casi) recta. L a masa del meteoroide es de 150 kg, su rapidez relativa a la Tierra es de 60 km/s y su distancia de máximo acercamiento al centro de la Tierra es de 1.2 X 10 4 k m . d) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del meteoroide en el marco de referencia de la Tierra (origen en el centro de la Tierra)? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la T ierra en el marco de referencia del meteoroide (origen en el centro del meteoroide)? 53. U n tren de 1500 toneladas métricas corre a lo largo de una vía recta a 85 km/h. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del tren en torno de un punto a 50 k m al lado de la vía, a la izquierda del tren y cuál es esa cantidad en torno de u n punto sobre la vía? 54. E l electrón en u n átomo de hidrógeno se mueve alrededor del núcleo bajo la influencia de la fuerza eléctrica de atracción, una fuerza central que jala al electrón hacia el núcleo. D e acuerdo con la teoría de Bohr, una de las posibles órbitas del electrón es una elipse con cantidad de movimiento angular 2h, con una distancia de acercamiento máximo (1 — 2X^2/3)a0 y una dis- tancia de recesión más lejana (1 + 2 V 2 / 3 ) « 0 > donde h y a0 son dos constantes atómicas con los valores numéricos 1.05 X 1 0 " 3 4 kg-m 2 /s ("constante de Planck") y 5.3 X 1 0 " 1 1 m ("radio de Bohr" ) , respectivamente. E n términos de h y a0, encuentre la rapidez del electrón en los puntos de acercamiento máximo y recesión más lejana; luego evalúe numéricamente. 55. D e acuerdo con u n modelo simple (pero erróneo), el protón es una esfera rígida uniforme de 1.67 X 1 0 ~ 2 7 k g de masa y 1.0 X 10 1 5 m de radio. L a cantidad de movimiento angular de spin del protón es 5.3 X 10 3 5 J • s. De acuerdo con este modelo, ¿cuál es la velocidad angular de rotación del protón? ¿Cuál es la velocidad lineal de u n punto en su ecuador? ¿Cuál es la energía cinética de rotación? ¿Cómo se compara esta energía de rota- ción con la energía de masa en reposo me2? 56. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de u n frisbee que gira a 20 rev/s en torno de su eje de simetría? Trate al frisbee como u n disco uniforme de 200 g de masa y 15 cm de radio. 57. Un a tornamesa fonográfica es u n disco uniforme de 15 cm de radio y 1.4 k g de masa. Si esta tornamesa acelera de 0 rev/min a 78 rev/min en 2.5 s, ¿cuál es la rapidez de cambio promedio de la cantidad de movimiento angular en este intervalo de tiempo? 58. E l eje de la hélice de u n barco de carga tiene u n diámetro de 8.8 cm, una longi tud de 27 cm y una masa de 1200 kg. ¿Cuál es la energía cinética de rotación del eje de la hélice cuando gira a 200 rev/min? ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular? 59. E l Sol gira en torno de su eje con u n periodo de aproximada- mente 25 días. Su momento de inercia es 0.20MSRS, donde Ms es su masa y R S su radio. Calcule la cantidad de movimiento angular de rotación del Sol. Calcule la cantidad de movimien- to angular orbital total de todos los planetas; suponga que cad¿ planeta se mueve en una órbita circular de radio igual a su dis- tancia media desde el Sol, que se menciona en la tabla 9 .1 . ¿Qué porcentaje de la cantidad de movimiento angular del Sis- tema Solar está en el movimiento de rotación del Sol? 60. Suponga que se mide la rapidez vx y la distancia radial rx de u n cometa cuando alcanza el perihelio. Use conservación de canti- dad de movimiento angular y conservación de la energía para determinar la rapidez y el radio en el afelio. 6 1 . U n tiovivo de jardín gira a 2.0 radianes/s. Considere al t iovivo como u n disco uniforme de 20 k g de masa y 1.5 m de radio. U n niño de 25 kg, que se mueve a lo largo de una línea radial, salta al borde del t iovivo. ¿Cuál es su nueva velocidad angular? L u e - go el niño patea el suelo hasta que el t iovivo (con el niño) de nuevo gira a 2.0 radianes/s. Si entonces el niño camina radial- mente hacia el interior, ¿cuál será la velocidad angular cuando el niño está a 0.50 m del centro? 62. E l momento de inercia de la Tierra es aproximadamente 0.331 MERE. Si u n asteroide de 5.0 X 1 0 1 8 k g de masa que se mueve a 150 km/s golpea (y se pega a) la superficie de la Tierra , ¿en cuánto cambiará la longi tud del día? Suponga que el asteroide viajaba hacia el oeste en el plano ecuatorial y golpea la superfi- cie de la Tierra a 45°. 63. E n una demostración popular, una profesora gira sobre u n ban- quillo a 0.50 rev/s y sostiene dos masas de 10 kg, cada una a 1.0 m del eje de rotación. Si ella jala los pesos hacia adentro hasta que están a 10 cm del eje, ¿cuál es la nueva frecuencia de rotación? Sin los pesos, la profesora y el banquillo tienen u n momento de inercia de 6.0 kg • m 2 con los brazos extendidos y 4.0 k g • m 2 con los brazos hacia adentro. 64. E n una demostración, una rueda de bicicleta con momento de inercia de 0.48 k g • m 2 gira hasta 18 radianes/s en torno de u n eje vertical. U n estudiante sostiene la rueda mientras se sienta en u n banquillo giratorio. E l estudiante y el banquillo in ic ia l - mente están estacionarios y tienen u n momento de inercia de 3.0 k g - m 2 . Si el estudiante da vuelta a la rueda de bicicleta, de modo que su eje apunta en la dirección opuesta, ¿con qué velocidad angular girarán el estudiante y el banquillo? Por s im- plicidad, suponga que la rueda se mantiene sobre la cabeza, de modo que el estudiante, la rueda y el banquillo tienen el mismo eje de rotación. 65. U n tren de carga muy pesado, conformado por 250 vagones, tiene una masa total de 7 700 toneladas métricas. Suponga que tal tren acelera desde 0 hasta 65 km/h sobre una vía que corre exactamente al este desde Q u i t o , Ecuador (en el ecuador). L a fuerza que la máquina ejerce sobre la Tierra frenará el m o v i - miento de rotación de la Tierra . ¿Por cuánto habrá disminuido la velocidad angular de la Tierra cuando el tren alcance su rapi- dez final? Exprese su respuesta en revoluciones por día. E l m o - mento de inercia de la Tierra es 0.3371^2?^. 66. E n Estados Unidos hay 1.1 X 10 8 automóviles, cada uno con una masa promedio de 2 000 kg. Suponga que una mañana todos estos automóviles simultáneamente arrancan para moverse en una dirección hacia el este y aceleran hasta una rapidez de 80 km/h. a) ¿Qué cantidad de movimiento angular total en torno del eje de la Tierra aportan estos automóviles juntos? Suponga que los automóviles viajan en una lat i tud promedio de 40°. b) ¿Cuánto cambiará la rapidez de rotación de la Tierra debido a la acción de estos automóviles? Suponga que el eje de la Tierra permanece fijo. E l momento de inercia de la T ierra es de 8.1 X 1 0 3 7 k g - m 2 . *67. Dos satélites artificiales de iguales masas están en órbitas circu- lares de radios y r2 alrededor de la Tierra . E l segundo tiene una órbita de mayor radio que el primero ( r 2 > r^). ¿Cuál es la rapidez de cada uno? ¿Cuál es la cantidad de movimiento an- gular de cada uno? ¿Cuál tiene la rapidez más grande? ¿Cuál tiene la cantidad de movimiento angular más grande? *68. Considere el movimiento de la T ierra alrededor del Sol. Tome como origen el punto donde está actualmente la Tierra y trate a ésta como una partícula. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la T ierra en torno de este origen? b) ¿Cuál será la cantidad de movimiento angular de la Tierra en torno del mismo origen después de tres meses a partir de ahora? ¿Cuál será después de seis meses a partir de ahora? ¿Cuál será después de nueve meses a partir de ahora? ¿Se conserva la cantidad de movimiento angular? *69. L a fricción de las mareas sobre las aguas costeras poco profundas y el suelo marino gradualmente frena la rotación de la T ierra . E l periodo de rotación ( longitud de un día sideral) gradualmente aumenta en 0.0016 s por siglo. ¿Cuál es la desaceleración angu- lar (en radianes/s ) de la Tierra? ¿Cuál es la rapidez de d isminu- ción de la cantidad de movimiento angular? ¿Cuál es la rapidez de disminución de la energía cinética de rotación? E l m o m e n - to de inercia de la T ierra en t o m o de su eje es Q.33\MERE, donde ME es la masa de la Tierra y RE su radio ecuatorial. *70. Fobos es una pequeña luna de M a r t e . Para propósitos del si- guiente problema, suponga que Fobos tiene una masa de 5.8 X 10 k g y que su forma es la de una esfera uni forme de 7.5 X 10 m de radio. Suponga que u n meteoroide golpea Fobos a 5.0 X 10 3 m del centro (véase la figura 13.35) y permanece adherido. Si la cantidad de movimiento del meteoroide era de 3 X 1 0 1 3 k g - m/s antes del impacto y la masa del meteoroide es despre- ciable en comparación con la masa de Fobos, ¿cuál es el cambio en la velocidad angular de rotación de Fobos? . 3 5 *71 . U n a mujer está de pie en medio de u n pequeño bote de remos. E l bote flota en forma libre y no experimenta fricción contra el agua. La mujer inicialmente está de cara al este. Si ella gira 180°, de modo que da cara al oeste, ¿a través de qué ángulo girará el bote? Suponga que la mujer realiza su movimiento de giro con velocidad angular constante y que su momento de inercia per- manece constante durante este movimiento . E l momento de inercia del bote en torno del eje vertical es de 20 k g • m y el de la mujer es de 0.80 kg • m . *72. Dos automóviles, ambos de 1200 kg, viajan a 30 km/h y chocan sobre una pista helada sin fricción. Inicialmente se movían so- bre trayectorias paralelas en direcciones opuestas, con una dis- tancia de centro a centro de 1.0 m (véase la figura 13.36). E n el choque, los automóviles quedan unidos y forman u n solo cuer- po de restos; el momento de inercia de este cuerpo en torno de su centro de masa es de 2.5 X 10 3 kg • m 2 . a) Calcule la velocidad angular de los restos. b) Calcule la energía cinética antes del choque y después de éste. ¿Cuál es el cambio en energía cinética? J . I > 1.0 m r t F I G U R A 1 3 . 3 6 Choque de dos automóviles. *73. E n u n experimento realizado bajo condiciones sin peso en el Skylab, los tres astronautas corren alrededor de una trayectoria en la pared interior de la nave espacial, de modo que generan gravedad artificial para sus cuerpos (véase la figura 13.37). Su- ponga que el centro de masa de cada astronauta se mueve alre- dedor de u n círculo de 2.5 m de radio; trate a los astronautas como partículas. a) ¿Con qué rapidez debe correr cada astronauta si la fuerza nor- mal promedio sobre sus pies es igual a su peso normal (mg)} b) Suponga que, antes de comenzar a correr los astronautas, el Skylab flota en su órbita sin rotar. Cuando los astronautas comienzan a correr en la dirección de las manecillas del reloi. el Skylab comenzará a girar contra las manecillas del reloj. ¿Cuál será la velocidad angular del Skylab cuando los astro- nautas corran de manera estable con la anterior rapidez calcu- lada? Suponga que la masa de cada astronauta es de 70 kg v que el momento de inercia del Skylab en torno de su eje longi tudinal es de 3 X 10 k g • m 2 . c) ¿Con qué frecuencia los astronautas deben correr alrededor del interior si quieren que el Skylab gire a través de u n ángulo de 30o? F I G U R A 1 3 . 3 7 Tres astronautas a punto de empezar a correr alrededor del interior del Skylab. *74. U n volante que gira libremente sobre u n eje se acopla de mane- ra súbita mediante una banda de transmisión a u n segundo v o - lante que se asienta sobre u n eje paralelo (véase la figura 13.38). L a velocidad angular inic ial del pr imer volante es co; la del se- gundo es cero. Los volantes son discos uniformes de masas Mt, M2 y radios i? j y R2, respectivamente. L a banda de transmisión no tiene masa y los ejes no tienen fricción. a) Calcule la velocidad angular final de cada volante. /') Calcule la energía cinética perdida durante el proceso de acoplamiento. ¿Qué ocurre con esta energía? F I G U R A 1 3 . 3 8 Dos volantes acoplados mediante una banda de transmisión. *75. Una barra delgada de masa My longitud / cuelga de un pivote en su extremo superior. Una bola de arcilla de masa m y veloci- dad horizontal v golpea el extremo inferior en un ángulo recto y permanece adherida (un choque totalmente inelástico). ¿Cuan alto se balanceará la barra después de este choque? *76. Si la fusión de las capas de hielo polar elevase el nivel del agua en la Tierra en 10 m , ¿en cuánto se alargaría el día? Suponga que el momento de inercia del hielo en los casquetes polares es despreciable (están muy cerca del eje) y que el agua adicional se distribuye uniformemente sobre toda la superficie de la Tierra (es decir, ignore el área de los continentes en comparación con el área de los océanos). E l momento de inercia de la T ierra (ahora) es de 8.1 X 1 0 3 7 k g • m 2 . 77. Considere u n proyectil de masa m lanzado con una rapidez v0 a u n ángulo de elevación de 45° . Si el punto de lanzamiento es el origen de coordenadas, ¿cuál es la cantidad de movimiento an- gular del proyectil en el instante del lanzamiento, cuál es en el instante en que alcanza altura máxima y cuál es en el instante en que golpea el suelo? ¿Se conserva la cantidad de movimiento angular en este movimiento con su elección del origen? 13.4 Torca y cantidad de movimiento angular como vectores 78. Demuestre que, para una placa plana que gira en torno de un eje perpendicular a la placa, el vector cantidad de movimiento angular se encuentra a lo largo del eje de rotación, incluso si el cuerpo no es simétrico. 79. U n a perinola de juguete de u n niño consiste de u n delgado dis- co uni forme de 5.0 cm de radio y 0.15 kg de masa, con u n del - gado clavo que pasa a través de su centro. L a parte inferior del clavo se proyecta 6.0 cm desde el disco. Si usted pone esta per i - nola sobre su clavo y comienza a girarla a 200 rev/s, ¿cuál será su frecuencia de precesión? 80. Suponga que el volante de un giroscopio es u n disco uniforme de 250 g de masa y 3.0 cm de radio. La distancia del centro de este volante desde el punto de soporte es de 4.0 cm. ¿Cuál es la frecuencia de precesión si el volante gira a 120 rev/s? 81 . Si una bicicleta en movimiento hacia adelante comienza a i n c l i - narse a un lado, la torca que ejerce la gravedad tenderá a girar la bicicleta. Dibuje un diagrama que muestre la cantidad de m o v i - miento angular de una rueda delantera (ligeramente inclinada), el peso de la rueda y la torca resultante. ¿En cuál dirección es el cambio instantáneo en cantidad de movimiento angular? ¿Este cambio hará que la inclinación empeore o mejore? 82. La precesión lenta puede usarse para determinar una frecuencia de rotación mucho más rápida. Considere una perinola hecha al insertar una pequeña tachuela radialmente en una bola (una es- fera uniforme) de radio R = 6.0 cm. L a tachuela se extiende 1.0 cm de la superficie de la bola v soporta a la perinola. Cuando se pone a girar, se observa que la perinola precesa con un periodo de 0.75 s. ¿Cuál es la frecuencia de rotación de la perinola? L a rueda de u n automóvil tiene una masa de 25 kg y u n diáme- tro de 70 cm. Suponga que la rueda puede considerarse como un disco uniforme. *83 a) b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la rueda cuando el automóvil viaja a 25 m/s (90 km/h) sobre un camino recto? ¿Cuál es la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de la rueda cuando el automóvil viaja a la misma rapidez a lo largo de una curva de 80 m de radio? c) Para esta rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular, ¿cuál debe ser la torca sobre la rueda? Dibuje un dia- grama que muestre la trayectoria del automóvil, el vector can- tidad de movimiento angular de la rueda y el vector torca. *84. Considere la hélice de avión descrita en el problema 38 del ca- pítulo 12. Si el avión vuela alrededor de una curva de 500 m de radio, con una rapidez de 360 km/h, ¿cuál es la rapidez de cam- bio de la cantidad de movimiento angular de la hélice? ¿Qué tor- ca se requiere para cambiar la cantidad de movimiento angular a esta rapidez? Dibuje u n diagrama que muestre L , dL/dty T. *85. U n gran volante diseñado para almacenamiento de energía en una planta eléctrica tiene u n momento de inercia de 5 X 10 5 k g - m 2 y gira a 3000 rev/min. Suponga que el volante está m o n - tado sobre un eje horizontal orientado en la dirección este-oeste. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de su cantidad de m o v i - miento angular? ¿Cuál es la rapidez de cambio de esta cantidad de movimiento angular debida al movimiento de rotación de la Tierra y el consecuente movimiento del eje del volante? ¿Cuál es la torca que el eje del volante ejerce contra los cojinetes que lo sostienen? Si los cojinetes están a una distancia de 0.60 m del centro del volante a cada lado, ¿cuáles son las fuerzas asociadas con esta torca? CAPÍTULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido PROBLEMAS DE REPASO 86. Una puerta tiene Ü.80 m de ancho. ¿Cuál es la torca que usted ejerce en torno del eje que pasa a través de las bisagras si empu- ja contra esta puerta con una fuerza perpendicular de 200 N en su parte media? ¿Cuál es si empuja en el borde? U n viento sopla contra el otro lado de la puerta e intenta mantenerla abierta. ¿Dónde debe empujar usted para cerrar la puerta? 87. U n elevador de 900 kg de masa se eleva con rapidez constante mediante un cable enrollado alrededor de una rueda (véase la figura 13.39). El radio de la rueda es de 0.35 m. -Qué torca ejerce el cable sobre la rueda? 0.35 i FIGURA 13.39 Cable de elevador unido a una rueda. 88. Cada una de las dos turbobombas de combustible del transbor- dador espacial entrega una potencia de 700 hp. E l rotor de esta bomba gira a 37000 rev/min. ¿Cuál es la torca que el rotor ejer- ce mientras empuja contra el combustible? 89. U n malacate manual tiene una manivela de 0.25 m de longi tud (radio). Si un trabajador empuja contra esta manivela tangen- cialmente con una fuerza de 200 N , ¿cuánto trabajo realiza el trabajador mientras gira la manivela a través de 10 revoluciones? 90. U n metro inicialmente está de pie en forma vertical sobre el suelo. Si el metro cae, ¿con qué velocidad angular golpeará el suelo? Suponga que el extremo en contacto con el suelo no experimenta fricción v se desliza libremente. *91 . Una escotilla pesada de un buque está hecha de una placa u n i - forme de acero que mide 1.2 m X 1.2 m y tiene una masa de 400 kg. L a escotilla tiene bisagras a lo largo de u n lado; está h o - rizontal cuando se cierra y se abre hacia arriba. U n resorte de torsión auxilia en la apertura de la escotilla. E l resorte ejerce una torca de 2.00 X 10 3 N • m cuando la escotilla está hor izon- tal y una torca de 0.30 X 10 ' N • m cuando la escotilla está ver- tical; en el rango de ángulos entre horizontal y vertical, la torca disminuye linealmente (por ejemplo, la torca es de 1.15 X 10 ' • m cuando la escotilla está a 45°) . N a) ¿A qué ángulo la escotilla estará en equil ibrio de modo que el resorte compense exactamente la torca debido al peso? ¿Qué empuje mínimo debe ejercer un marinero sobre la escotilla para abrirla desde la posición cerrada y qué empuje para cerrarla desde la posición abierta? Suponga que el marinero empuja perpendicularmente sobre la escotilla en d borde que está más alejado de la bisagra. 92. C o n su bicicleta bocabajo sobre el suelo, y la rueda libre para rotar, usted agarra la rueda delantera en la parte superior y le ¿= u n empujón horizontal de 20 N . ¿Cuál es la aceleración angular instantánea de la rueda? L a rueda es u n aro de 4.0 k g de masa 0.33 m de radio; ignore la masa de los rayos. 93. Una perinola de juguete consiste en u n disco de 4.0 cm de ra- dio con u n borde reforzado (un anillo). L a masa del disco es de 20 g y la masa del borde es de 15 g. L a masa del pivote de esta perinola es despreciable. a) ¿Cuál es el momento de inercia de esta perinola? b) Cuando usted le da u n giro a esta perinola y comienza a girar a 100 rev/min sobre el suelo, la fricción frena la perinola hasta detenerse en 1.5 m i n . Si supone que la des- aceleración angular es uniforme, ¿cuál es la desaceleración angular? c) ¿Cuál es la torca friccionante sobre la perinola? d) ¿Cuál es el trabajo realizado por la torca friccionante? 94. L a tornamesa de u n reproductor de discos es un disco u n i f o r r r ; de 0.15 m de radio y 1.2 kg de masa. Cuando está en operador, gira a 33y rev/min. Si apaga el reproductor de discos, encuentra que la tornamesa avanza hasta detenerse en 45 s. a) Calcule la torca friccionante que actúa sobre la tornamesa. Suponga que la torca es constante, es decir, independiente de la rapidez angular. b) Calcule la potencia que debe suministrar el motor del reproductor para mantener la tornamesa en operación a 33-j rev/min. *95. U n barr i l de 200 k g de masa y 0.50 m de radio rueda por una rampa de 40° sin deslizarse. ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción que actúa en el punto de contacto entre el barr i l y la rampa? Trate al barr i l como u n ci l indro de densidad uniforme. *96. U n disco de masa M es libre de rotar en torno de u n eje h o r i - zontal fijo. Una cuerda se enrolla alrededor del borde del disco y una masa m se une a esta cuerda (véase la figura 13.40). ¿Cu^l es la aceleración descendente de la masa? FIGURA 1 3.40 Una masa m que cuelga de un disco. Problemas de repaso 427 *97. U n aro de masa M y radio R rueda por una rampa inclinada que forma u n ángulo de 30° con el suelo. ¿Cuál es la aceleración del aro si rueda sin deslizarse? *98. U n automóvil tiene el arreglo de ruedas que se muestra en la fi- gura 13.41. L a masa de este automóvil es de 1800 kg, el centro de masa está en el punto medio del rectángulo formado por las ruedas y el momento de inercia en torno de u n eje vertical a través del centro de masa es de 2200 k g -m . Suponga que, d u - rante el frenado en una emergencia, las ruedas delantera y tra- sera izquierdas se bloquean y comienzan a derrapar mientras las ruedas derechas continúan girando a poco de deslizarse. E l co- eficiente de fricción estática entre las ruedas y el camino es yu, = 0.90, y el coeficiente de fricción cinética es iik = 0.50. Calcule la aceleración angular instantánea del automóvil en torno del eje vertical a través del centro de masa. 3.0 m FIGURA 13.41 U n automóvil. *99. Las estrellas de neutrones, o pulsares, giran muy rápidamente en torno de sus ejes. Su rapidez de giro alta es el resultado de la conservación de la cantidad de movimiento angular durante la formación de la estrella de neutrones mediante la contracción gradual (encogimiento) de una estrella inicialmente normal . a) Suponga que la estrella inicial es similar al Sol, con u n radio de 7.0 X 10 8 m y una rapidez de rotación de 1.0 revolucio- nes por mes. Si esta estrella se contrae a u n radio de 1.0 X 10 4 m , ¿por qué factor aumenta el momento de inercia? Suponga que la distribución de masa relativa en las estrellas inicial y final es aproximadamente la misma. b) ¿Por qué factor aumenta la velocidad angular? ¿Cuál es la velocidad angular final? *100. U n a barra de masa M y longi tud /yace sobre una superficie pla- na sin fricción. U n a bola de masilla, con masa m y velocidad inicial v en ángulo recto con la barra, golpea la barra a una dis- tancia //4 del centro (véase la figura 13.42). E l choque es inelástico y la masilla se adhiere a la barra. a) ¿Dónde está el centro de masa de la barra con la masilla adherida? b) ¿Cuál es la velocidad de este centro de masa después del choque? i/A FIGURA 13.42 U n a bola de masilla golpea una barra. c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular en torno de este centro de masa? ¿Cuál es el momento de inercia v cuál la velocidad angular? *101. U n satélite de comunicaciones de 1000 k g de masa está en una órbita circular de 4.22 X 10 7 m de radio alrededor de la Tierra . L a órbita está en el plano ecuatorial de la T ierra y el satélite se mueve a lo largo de ella de oeste a este. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del vector de cantidad de movimiento angular de este satélite? *102. L a cantidad de movimiento angular de spin de la Tierra tiene una magni tud de 5.9 X 1 0 3 3 kg • m 2/s. Debido a las fuerzas ejercidas por el Sol y la Luna , la cantidad de movimiento angu- lar de spin gradualmente cambia de dirección y describe u n cono de 23.5° de medio ángulo (véase la figura 13.43). E l vector cantidad de movimiento angular tarda 26 000 años en dar la vuelta una vez por este cono. ¿Cuál es la magni tud de la rapidez de cambio del vector cantidad de movimiento angular; es decir, cuál es el valor de \dL/dt\} FIGURA 13.43 L a precesión de la Tierra . 428 CAPITULO 13 Dinámica de un cuerpo rígido Respuestas a las revisiones Revisión 13.1 1 . Debe colocar su mano en el extremo de la manivela más alejado ¿el torni l lo ; esto proporcionará el mayor R en la ecuación (13.2) y maximizará la torca. D e igual modo, su empuje debe ser perpendicular al mango de la llave, con la finalidad de maxi - mizar sen 8 al valor sen 90° = 1 en la ecuación (13.2). 2. La dirección debe ser hacia el eje (a lo largo del radio), de modo que sen 6 = sen 0 o = 0; por esto, tanto la torca como el trabajo realizado serán cero. 3. Inicialmente, cuando el metro está derecho, el peso actúa hacia abajo, a lo largo de la dirección radial, y por tanto la torca es cero. Conforme el metro cae, el peso (mg) y el punto donde ac- túa (R = y C M = 1/2) permanecen constantes. Sólo el ángulo entre la fuerza y la línea radial cambia; el seno de este ángulo es máximo justo conforme el metro golpea el suelo (cuando sen 8 = sen 90° = 1), de modo que la torca es máxima entonces. 4. ( A ) \ E l trabajo realizado es W'= T Acb = FR sen 0 Atj>. E n ambos casos, empujar en ángulo recto implica sen 0 = 1 , y a m - bos desplazamientos angulares Acb son los mismos. Pero con la mi tad de la fuerza aplicada a la mi tad del radio para el segundo empuje, el trabajo será u n cuarto del primer empujón. Revisión 13.2 1. L a aceleración angular resulta de la torca ejercida por la grave- dad en el centro de masa; esto es máximo cuando el peso es perpendicular a la dirección radial (cuando sen 8=1). Esto ocurre cuando el metro está horizontal , justo antes de golpear el suelo. 2. L a energía cinética de traslación es el doble para u n ci l indro (uniforme) en rotación, porque la energía cinética de rotación es ¡Ico2 = \ \MR2 X (v/R)2 = \ \Mv2. 3. L a energía cinética total del ci l indro que rueda es la misma que para u n cil indro que se desliza; en cada caso, es igual al cambio en energía potencial Mgh. Para el c i l indro que rueda, u n tercio de la energía cinética total es energía cinética de rotación y dos tercios es energía cinética de traslación; por tanto, la rapidez de traslación del ci l indro que rueda es menor cuando alcanza el fondo que la de u n ci l indro que se desliza (por u n factor de V2/3) 4. L a esfera y el c i l indro deben tener iguales energías cinéticas cuando alcanzan el fondo; cada energía cinética es igual al cam- bio en energía potencial Mgh. E l momento de inercia de la esfera sólo es jMR2, comparada con \MR2 para el c i l indro, de modo que la esfera logrará una mayor rapidez y llegará al fondo primero. 5. ( A ) M e n o r que la del ci l indro. Para el aro delgado (I = MR2), sólo la mi tad de su energía cinética es de traslación; para el ci l indro (/ = ^MR2), dos tercios de su energía cinética serán de traslación. Dado que la energía cinética en cada caso igualará el cambio en energía potencial (Mgh), la rapidez del aro será menor. Revisión 13.3 1 . Dado que la cantidad de movimiento angular es L = Ico y la ra- pidez angular (co) son iguales, el aro (con momento de inercia / = MR2; véase la tabla 12.3) tiene una cantidad de movimien- to angular mayor por u n factor de 2, en comparación con el dis- co uni forme (que tiene I = \MR2). 2. Dado que las velocidades angulares son iguales y la cantidad m movimiento angular es L = Ico, el automóvil con el momento de inercia mayor I = MR2 tiene la cantidad de movimiento an- gular mayor. Dado que las masas son iguales, éste es el automó- v i l en el exterior, con el mayor valor de R. 3. Puesto que no hay torcas externas sobre usted, la cantidad de movimiento angular L = Ico se conserva. Dado que usted au- menta su momento de inercia / al estirar sus piernas hacia afue- ra (aumenta R2), su velocidad angular co debe disminuir. 4. N o . C o m o la cantidad de movimiento angular L = Ico se con- serva y ella disminuye su momento de inercia I, su velocidad angular co aumenta. Pero la energía cinética de rotación de ella es K = \lco2 = ^Ico X co. C o m o Ico es constante y co aumenta, la energía cinética aumenta. Por tanto, la patinadora debe efec- tuar trabajo para llevar sus brazos más cerca de su cuerpo. 5. ( A ) L a frecuencia aumenta. E l momento de inercia disminuye cuando los niños se sientan derechos, pues más parte de su masa está más cerca del eje. Dado que la cantidad de m o v i - miento angular L = Ico se conserva, momento de inercia menor requiere mayor frecuencia angular. Revisión 13.4 1 . Sí; dado que el vector de cantidad de movimiento angular es L = r X p, será cero cuando r y p sean paralelos (o antiparalelos). 2. Dado que el vector cantidad de movimiento angular es L = r X p. L siempre es perpendicular a p; el ángulo entre ellos es de 90°. 3. Los vectores cantidad de movimiento angular individuales es- tarán inclinados a u n ángulo con respecto al eje z; sin embargo, cada uno apuntará hacia el eje z, como los vectores cantidad de movimiento angular L j y L 2 en la figura 13.19. E n este caso, los componentes horizontales de los dos vectores cantidad de m o - vimiento angular apuntarán a lo largo del eje z. 4. Sí; la cantidad de movimiento angular total cambia conforme la mancuerna rota en torno del eje z (puesto que la dirección de L cambia), de modo que se requiere una torca para producir dicho cambio en la cantidad de movimiento angular. 5. (E) Perpendicularmente hacia la carátula del reloj. Por la regla de la mano derecha, con r apuntando a lo largo del minutero y p en la dirección de movimiento, la rotación en sentido de las ma- necillas del reloj implica que el vector cantidad de movimiento an- gular L = r X p está perpendicularmente hacia la carátula del reloj.