CERCUL Prof. ŢĂRANU Marin – Şcoala cu cls. I-VIII Topolovăţu-Mare Definiţie : locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix ( loc geometric – mulţime de puncte care au toate aceeaşi proprietate ). Punctul fix se numeşte centrul cercului, iar distanţele egale de la centru la cerc ( de fapt circumferinţa cercului ) sunt raze. Un cerc se notează C (O; r) , care de fapt arată elementele care determină un cerc. - printr-un punct trec o infinitate de cercuri de diferite raze - prin două puncte trec o infinitate de cercuri de raze diferite, dar numai câte două au aceeaşi rază – centrele lor se află pe mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte - prin trei puncte necoliniare trece un singur cerc şi numai unul – unicitatea cercului ; cele trei puncte sunt vârfurile triunghiului înscris în cerc, al cărui centru este la intersecţia mediatoarelor segmentelor r - prin patru puncte necoliniare poate trece sau nu un cerc - cercul împarte planul în regiune exterioară şi interioară ; un punct este exterior B unui cerc (B) dacă distanţa de la el la centru (OB) este mai mare ca raza O cercului ( r ), şi este punct interior (A), dacă distanţa de la el la centru (OA) este mai mică decât raza r . A Coarda – segmentul ce uneşte două puncte oarecare de pe cerc ( AB ) Diametru – coarda ce trece prin centrul cercului ; este cea mai lungă coardă şi are două raze ( D= 2∙r ) ; punctele ce sunt capetele unui diametru sunt diametral opuse ; r - diametru împarte cercul în două părţi egale numite semicercuri ; dacă un cerc are măsura de 3600 , un semicerc are 1800 ; pot fi duse o infinitate de diametre A Arc de cerc – porţiune de cerc determinată de două puncte oarecare de pe cerc B şi se notează AB , BC , etc. ; capetele arcului determină o coardă ce se numeşte coardă ce subîntinde arcul ; dacă această coardă este mai mică decât un diametru, atunci arcul este un arc mic ( AB , AC , etc. ) ; arcul com plementar arcului mic – cel ce completează cercul – se numeşte arc mare ABC C 0 0 - în funcţie de măsura lor, un arc mic are mai puţin de 180 , iar unul mare mai mult de 180 , adică mai mic decât un semicerc, respectiv mai mare decât un semicerc. Unghiuri în cerc – i) unghi la centru : unghi cu vârful în centrul cercului şi laturile raze ( fig. 1 ) – are mă sura cât măsura arcului cuprins între laturi m (∢AOB) = m ( AB ) ii) unghi înscris în cerc : unghi cu vârful pe cerc şi laturile coarde ( fig. 2 ) – are măsura 1 jumătate din măsura arcului cuprins între laturi m (∢BAC ) = ⋅ m ( AB ) . 2 - laturile unghiului înscris în cerc pot fi şi secante ale cercului , iar vârful lui poate fi interior sau exterior cercului – în acest caz măsura lui este semisuma arcelor cuprinse între laturi ( fig. 3 , 4 ) 1 m (∢MNP ) = ⋅ [ m ( MP) + m (QS )] . 2 N Q A A P M O B capabil fig. unghi de 1 B C fig. 2 N Q O S S O M fig. 4 A P O B 2 1 fig. 3 dat – locul geometric al punctelor dintr-un semiplan din din care un segment dat ( [AB] ) se vede sub un unghi constant – fig. 5 3 - este un arc de cerc cu aceleaşi extremităţi ca şi ale segmentului dat ; se verifică pe baza unghiului înscris în cerc (∢1, ∢2, ∢3) care cuprind între laturile lor acelaşi arc de cerc şi acelaşi segment AB. Săgeata – distanţa maximă dintre o coardă şi arcul pe care îl subîntinde ; este porţiuA nea din raza perpendiculară pe coarda dată, cuprinsă între coardă şi arcul de cerc Segment circular – porţiune interioară cercului cuprinsă între o coardă şi arcul pe Arc B fig. 5 1 π n 0 sin n 0 0 care îl subîntinde ; aria lui este A = r ⋅ 1800 − 2 , n – măsura arcului de cerc sau unghilui la centru corespunzător - există formule mai simple de calcul al ariei segmentului circular, dar dau h 2 4c 2 + 3h 2 , sau S ≈ ⋅ h ⋅ c , unde c – lungi- 0 valori aproximative S ≈ n r 6c 3 c mea coardei AB , iar h săgeata segmentului circular ( ultima relaţie dă o precizie mai mică ) Sectorul circular – porţiunea de cerc cuprinsă între două raze şi arcul de cerc determinat de capetele lor ; unghiul format de cele două raze ( n0 ) se A numeşte unghiul sectorului ; ptr. n=900 sectorul este un sfert de cerc, 0 0 O n=180 este semicerc, n=270 este trei sferturi de cerc ; în primul şi ultimul caz razele sunt perpendiculare, iar în cazul doi sunt în prelungire. n0 0 2 0 π ⋅r ⋅n π ⋅r ⋅n B - lungimea sectorului de cerc L = , iar aria A = ; 0 180 360 r Lungimea cercului : L = 2∙π∙r ; aria cercului : A = π∙r2 , unde r = raza cerc -π este un nr. iraţional, cu valoare aproximativă π≈3,14…… , şi se numeşte constanta cercului ; reprezintă , în orice cerc, raportul constant între lungimea unui cerc şi diametrul său. Poziţia unei drepte faţă de un cerc : i) exterioară – nu are nici un punct comun cu cercul şi d > r , unde d = distanţa de la centrul cercului la dreaptă , iar r = raza ( fig. 6 ) ii) secantă – taie cercul în două puncte şi d < r ( fig. 7 ) iii) tangentă – un singur punct comun cu cercul – punct de tangenţă şi d = r , în punctul de tangenţă raza şi tangenta fiind perpendiculare ( fig. 8 ) 2 ( ) r O r T r=d O O d s A fig. 7 B t d e fig. 6 Poziţiile relative a două cercuri : i) exterioare – nu au nici un punct comun şi d > R + r (fig. 9) ii) tangente exterior – un singur punct comun şi d = R + r (fig.10) iii) secante – au două puncte comune şi R – r < d < R + r (fig.11) iv) tangente interior – un singur punct comun şi d = R – r (fig.12) v) interioare – nu au nici un punct comun şi d < R – r (fig.13) r R vi) concentrice – nici un punct comun, au acelaşi centru şi d = 0 (fig.14) r B R T d fig.9 R r d R r T r d fig.14 T1 d fig.10 R d A fig.11 r R fig.12 d fig. 8 fig.13 Tangente duse din acelaşi punct la cerc : tangente duse dintr-un punct exterior la cerc 2 - tangentele duse din acelaşi punct la cerc sunt congruente PT1≡ PT2 - dreapta ce uneşte punctul comun al tangentelor cu centrul cercului este O bisectoarea unghiului format de tangente - aceaaşi dreaptă este mediana segmentului T1T2 Tangentele comune a două cercuri : pentru două cercuri de raze diferite se P T2 pot duce 4 tangente - 2 exterioare şi 2 interioare- astfel : - cercuri exterioare – 2 tangente exterioare şi 2 tangente interioare - cercuri tangente exterior – 2 tangente exterioare şi una interioară în pct. de tangenţă - cercuri secante – 2 tangente exterioare - cercuri tangente interior – 1 tangentă exterioară în punctul de tangenţă T2 - cercuri interioare şi concentrice – nici o tangentă comună Calculul tangentelor comune a două cercuri T1 i) tangenta comună exterioară T1T2 se poate calcula prin r Q asemănarea ∆ PO1T1 ∼ ∆ PO2T2 , sau ∆ PO2T2 ∼ ∆ T1QT2 , sau teorema Pitagora în ∆ T1QT2, cu T1Q = O1O2 , T1Q = R - r ii) tangenta comună interioară T1T2 din suma P T1P + T2P , iar acestea se calculează din asemănarea triunghiurilor ∆ PT1O1 ∼ ∆ PT2O2 , cu O1P + O2P = O1O2 Coroana circulară – porţiunea plană cuprinsă între două cercuri concentrice de raze diferite – în limbaj tehnic şaibă O1 O2 - aria ei este A = π ( R2 – r2 ) , unde R şi r sunt razele celor două cercuri , d = lăţimea coraonei R R-r T2 r R d P O2 Puterea punctului faţă de cerc (p)– produsul constant dintre O1 distaţele de la un punct P la punctele la punctele de T1 intersecţie A şi B ale secantei ce trece prin P şi taie cercul - pentru P interior cercului p = PA∙PB = | d2 – R2 | , cu d = PO şi R = rază (fig.15) - pentru P exterior cercului p = PA∙PB = PT2 (fig.16) Axa radicală a două cercuri – dreaptă ale cărei puncte au puteri egale faţă de două cercuri neconcentrice. Ea este perpendiculară pe linia centrelor. Pentru cercuri secante este secanta comună a celor două cercuri,iar pentru cele tangente estetangenta comună. - punctul P de intersecţie al axei radicale cu linia centrelor se determină cu relaţiile : 2 O1P d 2 + R12 − R2 = 2 , cu O1,O2 – centrele cercurilor; R1,R2 – raze şi d = O 1O2 – distanţa centrelor (fig.17) O2 P d 2 − R12 + R2 T1 A P d O B B R P A T T2 O1 M P Centrul radical a trei cercuri – punctul care are aceeaşi putere faţă de trei cercuri coplanare, de centre necolifig.17 fig.16 niare ; el se află la intersecţia axelor radicale a celor trei cercuri fig.15 Tipuri de cercuri : - cerc circumscris unui poligon : cercul ce trece prin toate vârfurile unui poligon - cerc înscris în poligon : cercul tangent , în interior, tuturor laturilor unui poligon - pentru poligoanele regulate centrele acestor cercuri se află în centrul poligonului, adică la intersec3 ţia diagonalelor poligonului - cerc exînscris unui poligon : cercul tangent în exterior la una din laturile unui triunghi şi prelungirile celorlalte două ; centrul său se află la intersecţia bisectoarelor a două unghiuri exterioare şi a bisectoarei unghiului exterior neadiacent cu ele – vezi triunghiul - cerc trigonometric : cercul de rază egală cu unitatea ( = 1 ), pe care se studiază funcţiile trigonometrice ; centrul său se află în originea unui sistem de axe de coordonate - cercuri ortogonale : două cercuri care se taie sub un unghi drept ; unghiul se formează între tangentele duse la cele două cercuri ce trec fiecare prin centrul celuilalt - cercul lui Euler – cercul celor 9 puncte : cercul ce trece prin mijloacele laturilor unui triunghi ; picioarele înălţimilor ; mijloacele segmentelor cuprinse între vârfuri şi ortocentru . Centrul lui se găseşte la mijlocul segmentului HO ( H – ortocentrul ; O – centrul cercului circumscris ) şi are raza egală cu jumătatea razei cercului circumscris. Câteva teoreme despre cerc : i) În acelaşi cerc sau în cercuri congruente , la arce congruente corespund coarde congruente, şi reciproc ii) Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă şi numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului (fig.18) iii) Perpendiculara din centrul unui cerc pe o coardă trece prin mijlocul coardei şi a arcului subîntins (fig.19) iv) Dacă două coarde AB şi CD sunt congruente, atunci ABǁCD sau ACǁBD v) Dacă două coarde sunt paralele într-un cerc, atunci coardele cuprinse între ele sunt congruente. C A O O D ii) iii) B v) iv) 4