Examen Final Calculo Integral 2012-1 Con Solucion

VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 CUADERNILLO DE PREGUNTAS PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Analizando y conceptualizando la antiderivada, podemos pensar que si tenemos una función f ( x ) , la tarea consiste en encontrar otra función D ( x ) tal que D ′( x ) = f ( x ) . Por lo tanto D ( x ) es una antiderivada de f ( x ) . Para solucionar integrales se debe identificar como primero paso el método a emplear, una sugerencia puede ser la siguiente: 9 Identificar si la integral a solucionar en directa. n ax ( n +1 ) + k Para n ≠ − 1 9 Si podemos aplicar la formula a ∫ x dx = (n + 1 ) 9 Aplicar nuestros conocimientos previos del algebra como la factorización, la simplificación, al división sintética, etc. 9 Utilizar la técnica de la sustitución, por partes, por fracciones parciales y otras. Con base en los anteriores conceptos, solucione las preguntas del 1 hasta el 10 1. Las integrales son importantes dentro de las matemáticas y para resolverlas (n + 1 ) podemos utilizar la ecuación n ∫ ax dx = n ≠ − 1 . Teniendo x−3 ∫ x 3 dx , es: A. B. ax +k n +1 siempre y cuando en cuenta lo anterior, la solución de la integral indefinida 1 3 + +k . x 2x2 −1 3 + +k x 2x2 . RTA ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 1 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ AUTOR: JOSE BLANCO VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 C. D. −1 3 − +k x 2x2 1 3 − +k. x 2x2 . Solución: x −3 dx dx x −1 3 x −2 − 1 3 −2 −3 ∫ x 3 dx = ∫ x 2 − 3∫ x 3 = x − 3x = − 1 − − 2 = x + 2 x 2 + k 2. La solución de la integral −1 + c RTA b(a + bx ) 1 B. +c 2(a + bx ) −1 C. +c 2(a + bx ) 1 D. +c a(a + bx ) A. Solución: ∫ (a + bx ) dx 2 , donde a y b son constantes, es: ∫ ⎧ u = a + bx 1 dx ⇒ ⎨ ⇒ b a + bx ⎩ du = bdx ∫ (u ) −2 u −1 −1 du = +c = +c b (a + bx ) −b x2 − x + c , en donde para su 4 3. La solución de la integral x2 − 4 ∫ 2(x + 2)dx , es D( x ) = adecuada solución se utilizo el método de: A. B. C. D. Fracciones parciales. Identidades trigonométricas. Sustitución por cambio de variables. Operaciones algebraicas. RTA Solución: AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 2 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 ∫ x2 − 4 dx = 2 (x + 2 ) ∫ ( x − 2 )(x + 2 )dx 2 (x + 2 ) = ∫ ( x − 2 )dx 2 = 1 2 ∫ xdx − ∫ dx x2 = −x+c 4 4. La solución de la siguiente integral indefinida A. x + ln x + 1 + c RTA B. log x + 1 + c C. ln x + 1 + c D. x + c Solución: ∫ x+2 dx , es: x +1 x+2 x+2 1 dx 1 ⇒ = + ⇒ ∫ x +1 x +1 x +1 dx = ∫ dx + ∫ = x + ln x + 1 + c x +1 5. Calcule la siguiente integral indefinida constante. A. (a + x ) + c 4 ∫ 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ dx x 1 + ⎝ ⎠ ∫ (a + x ) dx , donde 3 a se considera una +c 2 4 ( a + x) + c RTA C. 4 (a + x ) + c D. 2 Solución: B. (a − x )4 ∫ u = a+x (a + x ) dx ⇒ ⎧ ⇒ ⎨ ⎩ du = dx 3 ∫ (a + x ) + c u4 u du = +c = 4 4 4 3 BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 3 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 6. Calcule la siguiente integral indefinida, constantes. A. (a + bx )3 + c 2 3 (a + bx )3 + c RTA B. 2b 2 3 (a + bx )3 + c C. 2a 2 1 D. (a + bx )3 + c3 2 Solución: 2 ∫ dx (a + bx ) 1 3 donde a y b se consideran ∫ = dx (a + bx ) 1 3 ⎧ u = a + bx ⇒ dx ⇒ ⎨ ⎩ du = bdu ∫ u −1 3 1 u du = ⋅ +c b b 23 2 3 2 3 (a + bx )3 + c 2b 7. Al solucionar la siguiente integral indefinida ∫ (2 A. B. C. D. 0 − 3 0 dx ) n se obtiene: 0. k . RTA 0+k . n+k . Solución: ∫ (2 0 − 30 ) dx = ∫ 0 n n dx = k 8. Al resolver de forma adecuada la siguiente integral mejor método de integración a utilizar es: A. Integración directa AUTOR: ∫ [( Sen (3 x ) Cos (3 x ) dx , el ) ] JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 4 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 B. Integración por Sustituciones trigonométricas C. Integración por partes. D. Integración por cambio de variable. RTA Solución: ∫ Sen (3 x )Cos (3 x )dx = 3 3 ∫ (Sen (3 x ))2 Cos (3 x )dx 1 ⎧ u = Sen (3 x ) ⇒ ⎨ ⎩ du = 3 Cos (3 x )dx 1 (Sen ( x ))2 2 = = 3 3 9 2 Sen (x ) + c 9. La solución de la siguiente integral indefinida A. 2Cos 2 ( x ) + c B. 2 Sen 2 ( x ) + c ∫ Sen ( x ) + Cos ( x ) dx es: Sen ( x ) − Cos ( x ) D. 2Tan 2 ( x ) + c Solución: C. 2 Sen( x ) − Cos ( x ) + c RTA ∫ = ⎧ u = Sen ( x ) − Cos ( x ) Sen ( x ) + Cos ( x ) dx =⇒ ⎨ Sen ( x ) − Cos ( x ) ⎩ du = (Sen ( x ) + Cos ( x ))dx u −1 2 ∫ [Sen (x ) + Cos (x )]⋅ du = 2 Sen ( x ) − Cos ( x ) + c Sen ( x ) + Cos ( x ) 10. La solución a la siguiente integral Cos ( x ) + c Tan( x ) + c Sec( x ) + c Sen( x ) + c RTA JOSE BLANCO ∫ sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos 2 (x ) dx es : A. B. C. D. AUTOR: ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 5 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 Solución: ∫ = sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos 2 (x ) dx = ∫ sen ( x ) cos ( x ) Sen 2 (x ) dx = ∫ sen ( x ) cos ( x ) dx sen ( x ) ∫ Cos ( x )dx = Sen ( x ) + c f ( x ) de una variable real x y un intervalo [a , b ] la integral definida es igual al área encerrada entre las graficas de f ( x ) , el eje de las abscisas y las líneas verticales x = a y x = b Dada una función Solucione las preguntas del 11 hasta el 15 las cuales se refieren a integrales definidas 11. La solución de la integral definida ∫ (x + k )dx , siendo k una constante, es: a b ⎛b a⎞ A. ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ ⎛ b2 a2 B. ⎜ ⎜ 2 − 2 ⎝ 2 + k (b − a ) . ⎞ ⎟ ⎟ + k (b − a ) .RTA ⎠ 2 2 C. b + a + k (b + a ) . D. (b − a ) + k (b − a ) . 2 ( ) Solución: ∫ (x + k )dx a b = ∫ a b x2 xdx + k ∫ dx = + kx 2 a π b b a ⎛ b2 a2 =⎜ ⎜ 2 − 2 ⎝ es. ⎞ ⎟ ⎟ + k (b − a ) ⎠ 12. La solución de la siguiente integral definida A. B. C. D. Sen ( x )dx ∫ π /2 0 2 1 −1 RTA BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 6 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 Solución: π ∫ Sen (x )dx 0 π ⎛π ⎞ = − Cos ( x ) π / 2 = − Cos (π ) − Cos ⎜ ⎟ = − (− 1 ) − 0 = 1 ⎝ 2⎠ 13. La solución de la siguiente integral definida A. 0 RTA B. 1 C. Infinito. D. 5 Solución: Por propiedad de la integral definida ∫ 2 2 ( 2 x3/2 ) 5/2 dx es ∫ b a f ( x )dx = 0 , para a = b 14. La siguiente expresión A. B. C. D. 1 b−a ∫ b a f ( x )dx define : Teorema de simetría. Teorema del valor medio. RTA Primer teorema fundamental del cálculo. Segundo teorema fundamental del cálculo. Solución: Teorema del valor medio. f ( x ) = lim n →∞ 1 b−a 1 ∑ f (x )Δ x = b − a ∫ i =1 i n b a f ( x )dx 15. La solución de la siguiente integral definida A. B. C. D. x 2 + 3 x − 70 dx ∫ − 7 x −10 0 es: 50 RTA 0 150 25 Solución: AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 7 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A 0 ⎡ (− 10 )2 ⎤ x 2 + 3 x − 70 x2 ( ) ( ) dx = x + 10 dx = + 10 x = − + 10 * − 10 ⎢ ⎥ = 50 ∫ ∫ x − 7 2 2 −10 −10 ⎣ ⎦ 0 CÓDIGO: 100411 Las integrales tienen múltiples aplicaciones para solucionar problemas en diversos campos de las ciencias y la tecnología, partiendo del análisis de graficas (área bajo curvas, longitud de curva), los volúmenes de sólidos de revolución, las aplicaciones en la solución de problemas prácticos de la física y la economía. Solucione las preguntas del 16 hasta el 22 las cuales se refieren a las aplicaciones de las integrales 16. Calcule el área total bajo la curva de la siguiente función y = x − 3 x − x + 3 , con respecto al eje x , tomando como intervalo el origen y el primer punto de intersección de la función y el eje x positivo. 3 2 A. 4 B. 9 C. 12 D. 27 21 9 7 7 Unidades Cuadradas RTA Solución: Se calculan las intersecciones con el eje x, Factorizando el polemonio se obtienen x 3 − 3 x 2 − x + 3 = ( x − 1 )( x + 3 )( x + 1 ) por lo tanto se observa que las intersecciones son en los puntos x = 1 , x = 3 y x = − 1 , pero como -1 y 3 está en la fuera del rango de integración, se deja por fuera de la integral. A= ∫( 1 0 7 x4 x2 3 x − 3 x − x + 3 dx = −3 − + 3x = 4 2 4 0 3 2 ) 1 AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 8 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 17. Las estadísticas del DANE indican que t meses después del principio de año el Dólares por kilo. El precio del arroz estaba dado por la función 16 − 9 t 2 P (t ) = 3t + 4 precio medio del kilo de arroz, durante los dos primeros meses fue de: A. B. C. D. 2 .0 4 .0 3 .0 1 .0 Dólares. Dolares. Dólares. Dólares. RTA Solución: b 2 1 1 ⎛ 16 − 9t 2 ⎞ 3t 2 2 2 ⎟ ⎜ ( ) VM = f x dx dt t t = 4 − 3 = 4 − = 8 − 6 = =1 = ∫ ⎜ 3t + 4 ⎟ b−a ∫ 2 0 2 2 − 0 ⎠ a 0⎝ AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 9 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 18. La longitud de la línea generada por x = 4 A. B. C. D. 3x2 − 3x − 6 f (x ) = x +1 entre x = 2 y , es: RTA 2 10 20 2 2 40 4 40 2 Solución: 3 ( x − 2 )( x + 1 ) = 3x − 6 x +1 f ′(x ) = 3 f (x ) = L = ∫ 2 4 1 + 9 dx = 4 10 x 2 = 4 . 10 − 2 . 10 = 2 10 19. De un tambor cilíndrico se han desenrollado 50 metro de cable que pesa 3 Kilopondios (Kilogramo-Fuerza) por metro. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad A. B. C. D. (9 . 8 m / s ) , para desenrollar 250 metros más, es: 2 153245 176458 125798 131250 kp ⋅ m kp ⋅ m kp ⋅ m kp ⋅ m RTA Solución: x= Sea Longitud F (x ) = 3 x desenrollada en un momento dado, entonces AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 10 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 ⇒W = ∫ 300 50 3 3 xdx = x 2 2 ⎠ 300 50 ⎛3 ⇒ W = ⎜ ⋅ (300 ⎝2 ⎛3 2 ⎞ )2 ⎞ ⎟ − ⎜ ⋅ (50 ) ⎟ = 135000 ⎝2 ⎠ − 3750 = 131250 kp ⋅ m PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA De la pregunta 20 a 22, constan de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas. 20. El área entre las siguientes funciones f x las coordenadas de un punto de corte, son: 1. ( )= 6x − x2 y g (x ) = x 2 − 2 x ( ) y 64 Unidades Cuadradas RTA 3 2. [4,8] RTA 3. 21.34 Unidades Cuadradas 4. [0,1] Solución: El área es: Los puntos de corte se hallan igualando las dos funciones 6 x − x 2 = x 2 − 2 x ⇒ 8 x = 2 x 2 ⇒ 4 = x , siendo este el punto de corte entre las dos funciones, ambas funciones se interceptan en el origen. AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 11 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 A= ∫ (6 x − x ) − (x 4 2 0 4 2 0 2 − 2 x dx = 2 ) ∫ 4 0 8 x − 2 x 2 dx = 8 ∫ xdx − 2 ∫ x 2 dx 2 A = 4x − x3 3 A = 64 − = 4 (4 ) − 2 (4 )3 − 4 (0 )2 − 2 (0 )3 3 3 128 = 21 . 3333 3 21. En electrónica, se entiende por voltaje RMS al valor de la señal alterna (AC – Corriente Alterna) que disipa la misma potencia en la misma carga que en la señal directa (DC – Corriente directa); teniendo que la ecuación para hallar el valor RMS de una señal es V RMS = 1 T ∫ [ f (wt )] dwt T 2 0 . De acuerdo con la información anterior el valor RMS de la grafica y el punto de corte con el eje x, son: 1. V RMS = 2. 3. Vp 2 RTA V RMS = V p [π , 0 ] RTA BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 12 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 4. Solución: ⎡π ⎤ ⎢ 2 ,0 ⎥ ⎣ ⎦ V RMS = V RMS = 1 T ∫ T T 0 f 2 (wt )d (wt ) = 1 T ∫ [VpSen (wt )] d (wt ) 2π 2 0 (Vp )2 ∫π 2π ⎡ 1 − Cos (22 wt ) ⎤ d (wt ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣ ) V RMS = Vp V RMS = VP V RMS = Vp 1 ⎡ 2π d (wt ) − ⎣ ∫0 2T ⎢ 1 2 ⋅ 2π ⎡ ⎢ (wt ⎢ ⎣ ∫ 2π 0 Cos (2 wt )d (wt )⎤ ⎥ ⎦ 2 ⎥ = Vp ⎥ ⎦ 1 [2 π − (0 )] 4π )0 2π − (Sen (2 wt )) 2 π ⎤ 0 2π = Vp 4π Vp 1 = 2 2 22. Las funciones oferta y demanda están dadas por S x = x , D x = − x + 12 respectivamente. El excedente del consumidor (EC) y el excedente del productor (EP) en el punto de equilibrio, son: 2 () () 1. 2. 3. 4. EC = 4.5 EP = 27 EC = 4.5 EP = 18 RTA RTA AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 13 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 x 2 = − x + 12 x 2 + x − 12 = 0 x=3 y =9 3 3 − x2 EC = ∫ (− x + 12)dx − 3 * 9 = + 12x = −4.5 + 36 − 27 = 4.5 2 0 0 3 EP = 3 * 9 − ∫ x 2 dx = 27 − 0 ( ) x3 3 = 27 − 9 = 18 3 0 PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN De la pregunta 23 a 25, constan de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de preguntas, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 14 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 23. La solución a la integral ∫ 4 0 1⎞ ⎛ ⎜ 4 x − ⎟ dx es 20 PORQUE se trata de una integral 2⎠ ⎝ definida cuyos límites de integración son 0 y 4 Solución: Al resolver la integral se tiene: ∫ 4 0 1⎞ ⎛ ⎡ 2 x⎤ ⎜ 4 x − ⎟ dx = ⎢ 2 x − ⎥ = 30 2⎠ 2 ⎦0 ⎝ ⎣ 4 Es decir, la afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D 24. Sea f ( x ) una función discontinua en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en un intervalo cerrado [a , b ] , sea P ( x ) una antiderivada de f ( x ) , en el intervalo dado, entonces cumpla el segundo teorema fundamental del cálculo, la función f ( x ) tiene que ser continua en un intervalo definido y cumplir que Solución: La afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D ∫ f (x )dx b a = P (a ) − P (b ) PORQUE para que se ∫ f (x )dx b a = P (b ) − P (a ) [a , b ] , sea P (x ) una antiderivada b intervalo dado, entonces ∫ f ( x )dx = P (b ) − P (a ) . a en un intervalo cerrado Sea f ( x ) una continua en un o intervalo definido, por consiguiente es integrable de f ( x ) , en el 25. En un salón de clases de la UNAD, el tutor plantea la siguiente integral indefinida ∫ 1− x dx (1 + x )3 , la cual es desarrollada por un estudiante con el siguiente BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 15 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ procedimiento: AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 ∫ (1 + x ) ∫ ∫ 1− x 3 dx = ∫ (1 + x ) ∫ −2 1− x +1−1 3 dx = ∫ (1 + x ) 2 − (1 + x ) 3 dx 1− x dx = (1 + x )3 2 dx − (x + 1 )3 − ∫ 1+ x dx (1 + x )2 = −1 1 + +c 2 x +1 2 (x + 1 ) (x + 1 ) 1− x dx = 3 −2 (1 + x ) (x + 1 )−1 −1 La solución planteada por el estudiante al ejercicio del tablero es incorrecta PORQUE el procedimiento desarrollado por el mismo estudiante es claro y conciso, llegando a la respuesta correcta. Solución: La afirmación es verdadera pero la razón es falsa. Respuesta C u = 1+ x du = dx x = u −1 1 − (u + 1 ) 2 − u −3 −3 −2 ∫ u 3 = u 3 = (2 − u )u = 2 u − u −1 1 2 u −2 u −1 − = 2 + +k −2 −1 u u Formulario: ax(n+1) ∫ ax dx = (n +1) + k con n ≠ −1 n Integral básica: Área entre dos funciones: A = ∫ [ f (x) − g (x)]dx a b AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 16 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral TEMA A CÓDIGO: 100411 Volumen de un sólido entre dos funciones: V = π ∫ [ f ( x)] − [g( x)] dx 2 2 a b { } Longitud de línea: L = ∫ 1 + [ f ′( x)] dx 2 a b Excedente del consumidor (EC): EC = ∫ D(x)dx − QP 0 Q Excedente del productor (EP): EP = QP − ∫ S (x)dx 0 Q Identidad trigonométrica: sen ( x) = 2 1 − cos(2x) 2 b Valor promedio: 1 VM = f ( x )dx b−a∫ a AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 17 de 17 CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ