1 Enunciado El interruptor de la luz interior de un frigorífico está estropeado, de modo que la luz está siempre encendida. La luz interior consume una potencia de 40.0 W. Si la eficiencia del frigorífico es 1.3, y el coste de la electricidad es de 11.0 céntimos por kWh, calcule el incremento en el consumo del frigorífico y el coste añadido por año si no se arregla el interruptor. 2 Solución En condiciones normales, la luz interior del frigorífico sólo debe encenderse cuando lo abrimos. El problema aquí es que, al estar el interruptor estropeado, la luz interior está encendida siempre. El sobrecoste proviene del tiempo añadido que la luz está encendida respecto a su funcionamiento normal. Cuando la luz está encendida, la potencia que consume, , se convierte íntegramente en calor. Así pues, cuando la luz se enciende la potencia consumida aumenta por dos motivos: la potencia de la bombilla, , y la potencia que debe suministrar el frigorífico para evacuar el calor generado por la bombilla, . Como nos dan la eficiencia del frigorífico, es Así pues, la potencia que debe suministrar el frigorífico a causa de la luz es Ahora vamos a calcular el número de horas de más que está encendida la luz interior a causa de la avería. El número total de horas en un año es Ese el tiempo que está encendido la luz durante un año con la avería. Si el funcionamiento es normal, el frigorífico se abre unas 20 veces al día, con una duración media de cada apertura de 30 s. Entonces, el número de horas que está abierto durante el año es Por tanto, la energía de más que debe suministrar el frigorífico durante un año es El sobrecoste anual debido a la avería se obtiene de multiplicar esta energía suplementaria por el coste del kWh. Obtenemos Es una cantidad importante, pues es del orden de magnitud del coste total de la energía consumida por el frigorífico cuando el interruptor no está averiado. 1 Enunciado Un gas ideal diatómico recorre el siguiente ciclo: partiendo del el estado de coordenadas, , , , se dilata isotérmicamente hasta duplicar su volumen. Después se comprime a presión constante hasta su volumen inicial. Finalmente se calienta a volumen constante hasta que alcanza la presión original. Calcule el rendimiento del ciclo. 2 Diagrama La figura muestra el ciclo en el diagrama PV. El rendimiento del ciclo es el trabajo neto obtenido dividido por el calor suministrado al gas. Vamos a calcular el trabajo y el calor absorbido en cada fase del ciclo 3 Proceso isotermo 1→2 Los datos de los estados inicial y final son El trabajo realizado por una gas ideal en un proceso isotermo es Como el proceso es isotermo, la variación de energía interna es nula. Entonces El trabajo es negativo, lo realiza el gas sobre el entorno, y el calor es positivo, es suministrado al gas. 4 Proceso isobaro 2→3 En este caso, los datos de los procesos son El trabajo realizado en este proceso es W23 = − P2(V3 − V2) = − P2(V1 − V2) = P2V1 Necesitamos el valor de P2. Para ello aplicamos la ley de Boyle entre los estados 1 y 2 Por tanto el trabajo es Al ser el proceso isobaro, el calor absorbido por el gas es Q23 = ncp(T3 − T2) El enunciado dice que el gas es diatómico. Entonces cp = 7R / 2. Para averiguar T3 relacionamos los estados 2 y 3 con la ecuación de estado del gas ideal El calor es En este caso el trabajo contribuye se realiza sobre el gas, mientras que el gas cede el calor al entorno. 5 Proceso isócoro 3→1 Aquí no hay variación de volumen, por lo que el trabajo es nulo W31 = 0 Como el gas es diatómico, cv = 5R / 2. Entonces, el calor transferido es Al ser positivo, este calor es absorbido por el gas. 6 Rendimiento del ciclo En el rendimiento debemos comparar el trabajo neto proporcionado por el gas y el calor total suministrado. De los apartados anteriores tenemos y Entonces el rendimiento es Podemos verificar que el resultado es razonable usando que, como el proceso es cíclico, la variación total de energía interna debe ser nulo, esto es, debe cumpplirse W12 + W23 + W31 = − (Q12 + Q23 + Q31) En el diagrama se han añadido los calores y trabajos realizados indicando cómo contribuyen a la variación de energía interna del gas. 7 Comparación con una máquina de Carnot Podemos comparar el rendimiento obtenido en este ciclo con el que proporcionaría una máquina de Carnot trabajando entre las temperaturas extremas alcanzadas en el ciclo, T1 y T3. Tenemos Así pues, el ciclo del enunciado proporciona un rendimiento que es el 20% del máximo que se puede alcanzar trabajando entre estas temperaturas. 1 Enunciado Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable? Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el espacio refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, teniendo una eficiencia de 13.5. ¿Le hacemos caso? 2 Motor hipotético 2.1 A partir del teorema de Carnot El rendimiento de la supuesta máquina inventada es De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta. 2.2 Empleando la desigualdad de Clausius Una forma equivalente de llegar al resultado anterior es partiendo de la desigualdad de Clausius, que nos dice que, en todo proceso cíclico En el caso particular de un ciclo que opere solamente entre dos temperaturas, esta desigualdad se transforma en A partir de los datos proporcionados por el inventor tenemos Sustituyendo todo esto que viola la desigualdad de Clausius y nos permite rechazar el invento. 2.3 A partir de la variación en la entropía Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo. Matemáticamente los cálculos son casi idénticos a los que acabamos de hacer, pero su interpretación es distinta. La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente. La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico. (proceso cíclico) La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura Tc), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura Tf). Sustituyendo los valores queda la variación de entropía La variación de entropía del universo será Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible. 3 Refrigerador hipotético Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el coeficiente de desempeño (COP, por las siglas de “coefficient of performance”), que se define usando el mismo principio que para el rendimiento: donde en este caso “lo que se obtiene” es la extracción de un calor | Qf | del foco frío y “lo que cuesta” es el trabajo necesario para hacer funcionar el refrigerador: A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Puesto que, por el primer principio el trabajo realizado por el sistema es la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale, podemos expresar el COP en función del calor solamente Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es Para los datos del enunciado puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta. 1 Enunciado Una máquina frigorífica de las que se emplean para fabricar hielo funciona según un ciclo de Carnot reversible absorbiendo calor de un tanque de agua a 0.00°C y cediéndolo al aire en el interior de un local que se mantiene a 26.0°C. La máquina fabrica 223 kg de hielo en un día. Calcule el trabajo consumido y el calor cedido al aire. 2 Solución El coeficiente de desempeño (COP) de un refrigerador que funciona según el ciclo de Carnot es que, para este caso, da Esto quiere decir que para extraer una cantidad de calor | Qf | debe realizar un trabajo En este caso, el calor que extrae es el de fusión del hielo así que el trabajo necesario es y la cantidad de calor emitida al ambiente es la que extrae, más el trabajo necesario para hacerlo 1 Enunciado Para refrescar una habitación se emplea un aparato de aire acondicionado con un coeficiente de despeño (COP o η) de 4. El exterior se encuentra a 34°C mientras que el interior del despacho se mantiene a 24°C. El despacho, que esta vacío, tiene una ventana de vidrio por la cual entra calor desde el exterior. 1. Si el calor que entra por la ventana en la unidad de tiempo es , calcule el trabajo por segundo (potencia) que debe realizar el aparato para mantener la temperatura interior y la cantidad de calor que es arrojada al exterior. 2. Determine el COP máximo que podría tener un aparato de aire acondicionado que operara entre estas dos temperaturas. 3. Halle la potencia mínima que se requeriría para extraer la misma cantidad de calor por segundo, así como la potencia extra que requiere el aparato real. 4. Demuestre que el calor que entra por segundo en la habitación coincide con el valor dado en el primer apartado, si las dimensiones de la ventana son de 5 mm de espesor, 160 cm de ancho y 120 cm de alto. La conductividad calorífica del vidrio es . 5. Si se sustituye el cristal por uno doble, formado por dos láminas de vidrio como la anterior, entre las cuales hay una capa de aire de 2 cm de espesor, con una conductividad térmica efectiva , ¿cómo cambian los resultados anteriores? (Septiembre 2009, P2) 2 Trabajo y calor expulsado El coeficiente de desempeño (COP) de una máquina frigorífica es el cociente entre lo que se saca (el calor extraido del foco frío) y lo que cuesta (el trabajo de operación de la máquina), por lo que Esta relación también se cumple en la unidad de tiempo, por lo que también se aplica al calor extraído por segundo y a la potencia del ap0arato de donde la potencia del aparato es Aquí el calor extraído del foco frío es el que entra por la ventana, ya que para mantener la temperatura interior, hay que ir evacuando todo lo que entra. El calor que sale al exterior (foco caliente) en la unidad de tiempo es 3 Valores máximos El COP máximo lo obtendríamos con una máquina de Carnot que operara entre la temperatura interior y la exterior. El COP de esta máquina sería 4 Diferencia con el valor máximo La potencia mínima para extrae esta cantidad de calor por segundo sería y la diferencia entre la potencia real y la ideal Vemos que el COP real es solo un 13% del ideal. 5 Cálculo del calor entrante El valor del calor que entra por la ventana puede obtenerse a partir de los datos indicados. Al tratarse de un proceso de conducción de calor, el flujo de calor a través de la ventana es y sustituyendo los datos de la conductividad, el área y el espesor nos da 6 Caso de una ventana aislante Cuando tenemos una ventana doble, el calor debe atravesar tres capas: las dos de vidrio y la intermedia de aire. La cantidad de calor que atraviesa las tres capas es la misma (pues si no, algo dentro de la ventana se estaría calentando o enfriando), por lo que siendo Ta y Tb las temperaturas en los dos extremos de la capa de aire y l' el espesor de esta capa (l es el espsor de las láminas de vidrio). Aquí no es la entrada de calor del primer apartado, sino la nueva entrada de calor que queremos calcular. Despejando de las igualdades anteriores Sumando las tres ecuaciones Sustituyendo los valores numéricos esto es, la cantidad de calor que entra se ha reducido ¡en un 99.5%! A partir de aquí tenemos la potencia necesario para extraer este calor. Sería solo y si el aparato fuera una máquina de Carnot con una diferencia entre la ideal y la real de 5.1 W. 1 Enunciado Un tanque de volumen constante contiene 100 moles de aire a una presión de 100 kPa y una temperatura de 327°C. El aire se enfría hasta la temperatura del ambiente de 27.0°C. Suponiendo que el aire se comporta como un gas ideal diatómico, determine la variación de entropía del aire y del Universo durante el proceso. 2 Variación de entropía del ambiente Cuando el aire se enfría intercambia una cierta cantidad de calor igual a Puesto que el proceso ocurre a volumen constante, el trabajo realizado sobre el gas es nulo y el calor equivale a la variación de la energía interna cuyo valor es Este calor es negativo pues en realidad sale del sistema El calor que entra en el ambiente es este mismo, cambiado de signo Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente), por lo que el aumento de entropía del ambiente es Un cálculo más preciso, usando los valores empíricos de la capacidad calorífica del aire da 3 Variación de entropía del sistema El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. En el gas, el enfriamiento se producirá en general de una forma complicada, enfriándose primero las partes en contacto con las paredes y luego, por conducción, difusión o radiación, las partes del interior. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados. Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el gas se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente superior al siguiente, de forma que situaríamos al gas en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía. La variación de entropía cuando el gas pasa de una temperatura T a una T + dT es Si suponemos que la capacidad calorífica no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía Sustituyendo nos queda La variación es negativa porque al enfriarse el sistema reduce su agitación térmica, ordenándose y disminuyendo su entropía. De nuevo, un cálculo más exacto usando , da 4 Variación de entropía total Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo. (0, más exactamente, ). La variación neta es positiva pues estamos considerando un proceso irreversible. http://laplace.us.es/wiki/index.php/Problemas_del_segundo_principio_de_la_termodin%C3%A1mica