Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a La Biologia

- 2012  INTRODUCCION: ………………………………………………………… 1  APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES 2.1Desintegración Radioactiva………………………………………3 Método del carbono 14………………………………………………..8 Vida Media ……………………………………………………………...11 2.2 Modelos de Población…………………………………………..15 Dinámica de Epidemias………………………………………………18 Dinámica de crecimiento de un individuo: modelo de Bertalanffy………………………………………………………….24  Bibliografía……………………………………………………… ……29 integrantes: altamirano guzman jaison diaz parvina cristhian flores yarasca manuel hernandez herrera harold huamani gonzales clinton ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA 1.Introducción: Existen numerosos modelos matemáticos de diversa índole que se utilizan hoy en día para el estudio de problemas en Biología y otras ciencias experimentales; sus objetivos principales son describir, explicar y predecir fenómenos y procesos en dichas tareas. La gran parte de tales modelos matemáticos se expresa mediante ecuaciones diferenciales. El objetivo de este tema es describir brevemente algunos de los conceptos básicos relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, mostrar técnicas elementales de su resolución, así como exponer ejemplos prácticos de aplicaciones. Una ecuación diferencial es una ecuación en que la incógnita es una función: no el valor de la función en uno o varios puntos, sino la función en sí misma. Además, la ecuación involucra no sólo la función (incógnita), sino también sus derivadas hasta un cierto orden. Cuando la incógnita es una función de una sola variable se dice que la ecuación es ordinaria, debido a que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposición a las derivadas parciales de las funciones de varias variables). 2.Aplicaciones de las diferenciales ordinarias ecuaciones Las ecuaciones diferenciales, debido a que relacionan los valores de una función con los de su(s) derivada(s), son una herramienta fundamental en el tratamiento matem ´atico de cualquier fen´omeno din´amico, es decir, que involucre magnitudes que cambian con el tiempo (o con cualquier otra magnitud. 2.1 Desintegración Radiactiva. Ley La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átomos de una cantidad inicial de dicha sustancia. EJEMPLO 1: La velocidad con que desintegran núcleos radiactivos es proporcional al número de núcleos que están presentes en una muestra dada. La mitad del número original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un período de 1500 años. a) ¿Qué porcentaje de núcleos radiactivos originales continuarán después de 4500 años? b) ¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos radioactivos? Solución. Sea x(t) la cantidad de núcleos radiactivos presente después de t años y sea XQ el número original de núcleos radiactivos. Entonces la velocidad con la que se desintegran los núcleos al tiempo t. Así, este problema queda formulado por la siguiente ecuación diferencial de desintegración radiactiva. dónde k es la constante de proporcionalidad, junto con las condiciones La solución de la ecuación (1.1) es: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (1.2) reemplazar: ert(r-t)=0 r=k luego la ecuación es : Usando la condición inicial x(0) = X0 encontramos que a) Para calcular el porcentaje de núcleos radiactivos originales después de 4500 años, determinamos x(4500). Considerando que z(1500) = xo/2 obtenemos. Sustituyendo k en (1.2) resulta Luego lo cual nos dice que después de 4500 tenemos un 12.5% de x0. Para determinar en cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos, es necesario hallar el valor de t tal que x(t) = XQ/10, es decir (1.4) (1.3) EJEMPLO 2: Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material y después de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, encuentre a) Una expresión para la masa de material restante en un momento t. b) ¿Cuántos miligramos del material quedan después de cuatro horas? c) ¿Cuál es la vida media de este material? Solución. Sea x(t) la masa del material restante después de cierto tiempo t. Como al cabo de dos horas el material se ha desintegrado el 10% de su masa original, es decir el 10% de 50 mg que son 5 mg, tenemos que x(2) = 45 mg. Igual que antes , es la velocidad con que se desintegra el material radiactivo. Así este problema queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y sus condiciones con k una constante de proporcionalidad, y las condiciones Sabemos que la solución general de (1.3) es Empleando la condición inicial (1.4), resulta por lo cual y ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA Por otra parte, de (1.5) tenemos que a) Con esto podemos afirmar que una expresión para la masa del material restante después del t horas es b) El número de miligramos del material después de cuatro 4 horas es c) Para calcular la vida media, determinamos el valor de t para el cual Es decir, Por lo tanto la vida media de este material es de 13 horas. Método del Carbono 14. Este método se debe al químico Willard Libby cuyo descubrimiento le valió el Premio Nobel de Química en 1960. La teoría se basa en lo siguiente. La atmósfera terrestre es continuamente bombardeada por rayos cósmicos, los cuales producen neutrones libres que se combinan con el nitrógeno de la atmósfera para producir el isótopo C-14 (Carbono 14 o bien radiocarbono). Este C-14 se combina con el bióxido de carbono presente en la atmósfera, el cual es absorbido por las plantas y éstas a su vez son alimento para los animales. Así es como se incorpora el radiocarbono a los tejidos de seres vivos El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad de carbono ordinario presentes en la atmósfera es constante, y en consecuencia la proporción de isótopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la velocidad de incorporación de radiocarbono a él se hace nula y entonces comienza el proceso de desintegración radiactiva del C14, que se encontraba presente en el momento de su muerte. Así comparando la proporción de C-14 que hay en un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posible obtener una estimación razonable de su edad. EJEMPLO 3: Se ha encontrado que un hueso antiguo contiene de la cantidad original de C-14 de un hueso al tiempo actual. ¿Cuál es la antigüedad del fósil? Solución. Sea x(i) la cantidad de C-14 presente en el hueso al tiempo t y sea x0 la cantidad de C-14 cuando se formó la muestra, es decir x(0) = x0. La vida media del C-14 es de 5,568 años, por lo cual velocidad de desintegración radiactiva del C-14. . Además es la Determinaremos la edad del fósil al encontrar el valor de t para el cual Para eso, partimos de que cuya solución es Considerando que x(5568) = X0/2, obtenemos y así Buscamos el valor de t para el cual Tenemos que (1.4) ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (1.2) (1.3) (1.1) Así, el fósil tiene una antigüedad de 16705 años. EJEMPLO 4: En 1950 se hicieron excavaciones en Nipur (Babilonia), en las cuales se encontraron muestras de carbón que reportaron 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo. Una muestra actual reportó 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo. Se sabe que la primera muestra se formó en la época del reinado de Hammurabi. Con estos datos, determine hace cuánto tiempo Hammurabi reinó en Babilonia. Solución. Sea x(t) la cantidad de C-14 presente en el tiempo t. Entonces es la velocidad de desintegración del C-14 al tiempo í y Sabemos por la ley de decaimiento radiactivo que el modelo a seguir es Además Como se vio en el problema anterior Sustituyendo (1.3) en (1.2), se tiene Considerando (1.1) en (1.4), resulta Ahora bien, para determinar hace cuánto tiempo Hammurabi reinó en Babilonia, tendremos que calcular para que valor de í, se cumple que Aproximadamente hace 3941 años que Hammurabi reinó en Babilonia. VIDA MEDIA. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda una cierta cantidad de dicha sustancia en desintegrarse a la mitad. Es distinta para cada sustancia. Por ejemplo, el Carbono-14, C14, tiene una vida media de Sudario de Tur?n 5730 años, lo que significa que una cantidad cualquiera se reduce, al cabo de ese tiempo, a la mitad. La otra mitad se habrá convertido en otras sustancias. La vida media sólo depende de la constante de descomposición y no depende de la cantidad de sustancia presente inicialmente, A0. En efecto, sea Vm la vida media de una sustancia radiactiva. Puesto que Y que en el tiempo t = Vm los valores de A serán A(Vm) = A0/2, se deduce que Por lo tanto, la vida media para un elemento radiactivo es: EJEMPLO 5: La tecina de C14 se utilizó en el año 1988 para estimar la edad del Sudario de Turín, tela de lino hallada en 1356 que muestra la imagen de un hombre que presenta manchas y traumas físicos, y de la que se pensaba que podría ser la tela que cubría a Jesús de Nazaret en el sepulcro, llamada también Sábana Santa. Se observ´o que las fibras del tejido conten´ıan entre un 92 % y un 93 % del nivel inicial de C14. Teniendo en cuenta que, el tiempo transcurrido desde que el Sudario fue confeccionado hasta la fecha de 1988 debería ser un valor tx que verifique : 0.93A0 ≥ A(tx) ≥ 0.92A0 o, lo que es lo mismo, De la expresi de las solucionesse tiene ´on ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA luego se busca tx tal que es decir, puesto que λ es positiva, La constante de desintegración λ, del C14 vale cer(2.1) por consiguiente,se tiene Este resultado indica que el Sudario fue fabricado entre 689 y 599 años antes del momento en que fueron realizadas las pruebas, en el año de 1988. Es decir, mucho después de la época en que Jesús. Lo probo que no podía ser la Sábana Santa. EJEMPLO 6: Datación de fósiles mediante C14. El carbono-14 (C14), sustancia radiactiva presente en ciertos fósiles, se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media (tiempo en desintegrarse a la mitad a una cantidad inicial) es de 5730 años. Averiguar la edad del fósil sabiendo que contiene 77.7% del C14 inicial. La ecuación diferencial que rige la desintegración de una sustancia radiactiva es Donde λ > 0 y A (t) el número de átomos de dicha sustancia presentes en el tiempo t. La solución general de esta situación es Supongamos que, en el instante inicial, t=0 (que corresponde al momento en Con ? = 0.000121. que “murió” el fósil), éste contuviera una cantidad A0 de átomos de C14: Por otro lado, la vida media del C14 es de 5730 años, lo cual significa que cualquier cantidad inicial de C14 se habrá reducido a la mitad al cabo de 5730 años. Es decir: de donde, tomando logaritmos en ambos miembros, Por lo tanto, la cantidad de átomos de C14 presentes en el fósil en un instante t>0 posterior al de su “muerte” viene dado por: Lo que queremos es hallar el tiempo t* que ha transcurrido desde el instante de la “muerte” del fósil, y del que sabemos que Luego EJEMPLO 7: Papiros del Qumram. En 1947 fueron encontradas unos 800 rollos de papiros, incluyendo los manuscritos más antiguos del Antiguo Testamento, en unas cuevas cercanas a la ribera nor-occidental del Mar Muerto, que se conocen como \los papiros de Qumram". El manuscrito que contiene el libro de Isaías fue datado en 1994 a partir de la Técnica del carbono 14. Se observó que tenía entre un 75% y un 77% del nivel inicial de C14. Estimar la fecha en la que fue escrito el manuscrito. El número de átomos de C14 contenido en una muestra del papiro sigue, según se ha visto en el Ejercicio anterior, la ley Siendo λ = 0.000121 la constante de desintegración radiactiva del C14 y A0 el número de átomos de dicha muestra en el momento de su fabricación. La edad del papiro será algún valor t* comprendido entre el instante t1 en el que la cantidad de C14 presente en la muestra era el 77% de la cantidad inicial, A0, y el instante t2 en el que dicha cantidad era el 75% de dicha cantidad inicial: De donde ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA Y de aquí En consecuencia, puesto que la datación del papiro fue realizada en el año 1994, la fecha en que se escribió fue entre 2377 y 2160 años antes, es decir, entre los años 383 y 166 a.C. 2.2 Modelos de Población. Sea x(t) el número de individuos en el tiempo t. La ley de Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la razón de cambio de la población es proporcional al número de individuos en ese tiempo, es decir Este modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satisfactorios siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futuro distante. Cuando la población es demasiado grande, este modelo no puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre sí por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Así pues, hay que agregar un término de competición para que el crecimiento de la población esté representado en forma más realista. Una elección adecuada del término competitivo es —bx2, llamada ley logística (Verhulst, en 1837): Ahora bien, en general la constante b es muy pequeña comparada con a, de tal modo que si x no es demasiado grande, entonces el término -bx2 es insignificante comparado con ax. Sin embargo, si x es grande entonces el término -bx2 debe tomarse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento. EJEMPLO 1. En un cultivo de bacterias se tenían x número de familias. Después de una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de cuatro horas, 3000 familias. Encontrar la expresión para el número de familias de la bacteria presentes en el cultivo al tiempo t y el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. Solución. Sea x(t) el número de familias de la bacteria que hay en t horas. De ahí que es la velocidad a la que crece el cultivo de bacterias. Por la ley malthusiana este problema se formula de la siguiente manera cuya solución es ya conocida y considerando las condiciones se tiene que es la expresión que nos da el número de familias presentes en un momento t. Observamos que el número de familias que había originalmente en el cultivo es EJEMPLO 2: Cultivo de bacterias en laboratorio. Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada población de bacterias es directamente proporcional al número de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio, introduciendo 2.5 millones de bacterias en un recipiente. Se observa que la población se duplica cada 3 horas. Calcular la población existente al cabo de 11 horas. La población considerada sigue la ley (Malthus) Para determinar las dos constantes C y K hay que utilizar las dos informaciones dadas: De la primera de ellas se tiene y de la segunda Luego finalmente, la ley seguida por la población de bacterias es en donde ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA Dinámica de epidemias. Se sabe que la velocidad de propagación de una epidemia es proporcional al número de personas infectadas multiplicando por el número de personas infectadas. Si denotamos por I(t) el número de personas infectadas en el tiempo t y por P la población total, la dinámica de la infección viene dada por Donde k>0 es el coeficiente de proporcionalidad. EJEMPLO 3: En una población de 1000 habitantes se detecta una enfermedad que afecta inicialmente a 50 personas. Al cabo de tres días, se observa que son 250 las personas afectadas. Averiguar el número de enfermo que habrá pasados 12 días. La ecuación es de variables separables Para calcular la integral del primer miembro hay que expresar el integrando como suma de fracciones simples: En consecuencia Así pues, la solución general de la ecuación es en donde, despejando I se tiene Para determinar las contantes C y K disponemos de la siguiente información: I(0) = 50 e I(3) = 250: En primer lugar, En segundo lugar, de donde, tomando logaritmos en amos miembros de la igualdad se tiene En consecuencia, el número de infectados en cualquier instante t>0 viene dado por y se tiene EJEMPLO 4: En una granja de 40.00 aves hay un pollo contagiado con la gripe aviar. Si suponemos que la rapidez de contagio es directamente proporcional tanto al número de aves contagiadas como al número de no contagiadas, siendo la constante de proporcionalidad K= 4x10-5, determinar en cuánto tiempo un 75% de pollos de la granja quedarían infectados. La ecuación que verifica, I(t), el número de infectados por la epidemia en el instante t es I´= Ki(P-I) Siendo P = 4 x 104 la población total y k = 4 x 10-5 (de donde kP = 16 x 104 x 10-5 = 1.6).La Solución de la ecuación es Puesto que inicialmente sólo hay un pollo infectado se tiene I(0) = 1, de donde Buscamos ahora el valor del tiempo t* para el cual t* se tendrá .Para este de donde se deduce que ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA (3.1) EJEMPLO 5: Este es un modelo para la propagación de una infección o un rumor en una población fija. Supóngase que un estudiante portador de un virus de gripe, regresa a un campus universitario, aislado, que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que la rapidez con que el virus se propaga, es proporcional no sólo al número de estudiantes contagiados, sino también, al número de estudiantes no contagiados. Determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, si además se observa que después de 4 días ya eran 50 los contagiados. Solución. Denotemos con x(t) al número de estudiantes contagiados en t días. Entonces expresa el número de estudiantes no contagiados y es la velocidad con la que aumenta el número de estudiantes contagiados. Por hipótesis Este problema queda formulado así es proporcional a Podemos observar que es la ecuación logística con a = 1000/c y b = k. Separamos variables en (3.1) y por fracciones parciales se tiene que Integrando en ambos lados, obtenemos (3.2) (3.3) y simplificando, se tiene de donde Como x(0) = 1 tenemos que c 0, la constante de proporcionalidad, propia de cada especie. Si en el instante inicial, t = 0, la longitud del individuo es 0 < L0 < A , entonces la funci´on L(t), talla en el instante t, ser´a soluci´on del siguiente problema de valor inicial: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA Como la diferencia entre la longitud actual y la longitud máxima alcanzable disminuye con el tiempo, la velocidad de crecimiento disminuye también con el tiempo, lo que implica que los ejemplares de menor edad crecen a mayor velocidad que los de mayor edad. En este modelo, la velocidad de crecimiento es siempre positiva. Esto significa quelos peces crecen durante toda su vida, que es lo que ocurre en la realidad. La ecuación diferencial (4.1) se puede integrar fácilmente,ya que es de variables de separable Por tanto, la solución generalde la ecuación es Imponiendo la condici ´on inicial, L(0) = L0 , se tiene luego la soluci´on del problema (2.15) es En la figura (2.7) está representada la solución del problema (4.1) para A=50, K=0.5 y L0=0. Obsérvese que la recta horizontal L=A es una asíntota horizontal de la solución, es decir, Lo que expresa matemáticamente el hecho de que la talla de los peces tiende, cuando pasa el tiempo, a aproximarse al valor A, pero sin nunca alcanzando. Para ellos se puede decir que A es la longitud asintótica de la especie. EJEMPLO 6: Sea L(t) la longitud (en centímetros) de un pez en el tiempo t, medido en meses. Se supone que el pez crece de acuerdo con la siguiente ley (de Bertalanffy): 1. Sabiendo que a la edad de 4 meses, el pez mide 10 centímetros, determinar la constante de crecimiento k. 2. Calcular la longitud del pez a los 10 meses. 3. Calcular Y dar la interpretación de la dinámica en el crecimiento del pez. La solución del problema del valor inicial se calcula fácilmente por ser la ecuación de variables separables: de donde se tiene L = 34 – Ce-kt e, imponiendo la condición inicial L(0) = 2 , se encuentra el valor de la constante C=32. Luego de la longitud del pez viene dada por Para determinar el valor de k es necesario utilizar más información: L (4) = 10 .Entonces, Una vez conocido el valor de k se puede calcular la longitud del pez en cualquier instante t>0: Por último, es obvio que ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA BIOLOGIA Lo que significa que la curva que representa la longitud del pez tiene una asíntota horizontal en L = 34. El pez sigue creciendo, pero cada vez a menor velocidad, y su longitud tiene a acercarse al valor 34, aunque sin nunca llegar a él. • Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones (José Ventura Becerril Espinosa – David Elizarraraz Martínez). http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICBIO/LBII/Teoria 2BIOII0910.pdf http://www.matematica1.com/2012/08/ejercicios-resueltosde-ecuaciones.html • •