Dima Dima science physique

May 3, 2018 | Author: Anonymous | Category: Documents
Report this link


Description

��� � �� � ��������� ����� ��� ���� ������ ��� ���� � ��� � W� ��� �� ���������� א� ����� � �א������������ �א��� �� ���א���� �����א��� ��א��������� � ��א������� ���א ����������� � ������א������א����� ���� � ������א������א���א���� � � � ����א��������א���� �����א��� ���� � ���א��������� ��א��� ����������א������ � ������� ��א��"! �����א��������א������ �&�� � %��$�#"!� : �� ����� 2 3 @ @ � �Wא��&%�� �Wא# " ! 4� �&% �����-�,�+�)*)���א #�(J �&% ���$#א��� 5� �2,����-�!�1�(א�� J ���0 / ��. �� 6� �א��" � � 8� �א5-4 3 01� �א5%�/ 6 21� ���/0��א5��0 9J ���!8��א��, )+J �7���א��, )+ 31� �א��!�:�א�*�" ��� 41� �א�#א���א������ 61� �n#���=�א�!-��� 22� �א��� �+ 42� �א�#�א3�א���? ���,�� 62� �א�#�א3�א�@�� 82� �א��#א(�א��/#�� 13� �א�� (5��א��� A��� 23� �אC�#@��א��B ��� 43� �א���#א( 63� �א5$�, 5� 83� �א � F�א�E�ED 4 �'����א()�*��� � +�(,א���-.-�/�0�1���*���'���� ���������2�K4����א�(05� � ↖���א(,א�*���'�Wax b+�������( )0a ≠ +∞ b a − −∞ x ��� %&a � � � ���� %&�G��a� �ax b+� � ↖+�(,א���-.-�/�0�1���*���'W�²ax bx c+ +�������( )0a ≠� � �HB�W�( ) ²x ax bx cΡ = + + ��,�א��,�א��,�א��,�א� �� �� �� � ��( ��א�+$��( ��א�+$��( ��א�+$��( ��א�+$WWWW�������� ( ) 0x x∈ Ρ =� � �� �� �� � ��� %&��� %&��� %&��� %&( )xΡ� �� �� �� ��+�,�-�+�,�-�+�,�-�+�,�-( )xΡ� �� �� �� � 0∆ < � �S = ∅� � +∞ −∞ x ��� %&a� �( )xΡ � � �=�J�K?� � L���א#$��0@א� � � 0∆ = � �{ }2 b S a − =� � +∞� ��b a − −∞� �x ��� %& a� �� � ��� %& a� � ( )xΡ � � ( ) ² 2 b x a x a  Ρ = +    � � = b² - 4ac∆ �� � 0∆ > � � { };1 2S x x=� � M�$W� � 1 2 b x a − − ∆ =� � � 2 2 b x a − + ∆ = � � +∞� � 2x�� �1x −∞� � x� � ��� %& a� �� � �G�� ��� %& a� �� � ��� %& a� � ( )xΡ � � FOP��Q��W1 2x x 5 ���6���78�9��� � � ���א+�:���1��� 0;��+(� ���������2�K4����א�(05 ↖���6���78�9��W� � �=�(#��+��L�/�/$�a�b� � ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ( )2 2 22a b a ab b− = − + ( )( )2 2a b a b a b− = − + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− −− = + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b−+ = + + ↖(�א�>>> ( ) ( ) ( ) x f x Q x Ρ = ( ) }0Q x >>>>��( ){ / 0fD x x= ∈ Ρ ≥�� � ( ) ( ) ( ) x f x Q x Ρ = ( ) }0Q x ≠�( ) ( ) / 0f x D x Q x  Ρ= ∈ ≥ �� � 6 �����=��א)> ?1(���� ���������2�K4����א�(05� � ↖�4א�(�א�����=�( )* nn x x∈� � ��x x�� �7����=1�8 W� � 0 lim 0n x x → = 0 lim 0 x x → = >>>> 1 lim 0n x x→−∞ = 1 lim 0n x x→+∞ = lim x x →+∞ = +∞ 1 lim 0 x x→+∞ = �O 8�אS&�O 8�אS&�O 8�אS&�O 8�אS&nOTU� ���X�א(#��OTU� ���X�א(#��OTU� ���X�א(#��OTU� ���X�א(#��WWWW� �� �� �� ��O 8�אS&�O 8�אS&�O 8�אS&�O 8�אS&nOTU� �(!U�א(#��OTU� �(!U�א(#��OTU� �(!U�א(#��OTU� �(!U�א(#��WWWW� �� �� �� � lim n x x →+∞ = +∞ lim n x x →−∞ = +∞ 0 1 lim n x x→ = +∞ >>>> 0 1 lim n x x→ = +∞ > 0 1 lim n x x→ = −∞ �^/ 7 ↖B�1C�א�������=��אW ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 x x x x f x V x f x V x → → − ≤  ⇒ ==  l l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim x x x x x x u x f x V x u x f x V x → → → ≤ ≤ = ⇒ ==  l l l ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x u x f x f x u x → → ≤  ⇒ = +∞= +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x u x V x f x V x → → ≤  ⇒ = −∞= −∞ �א�]Z. � "�#���� >�^/>>>l 0>>>l 0 8 ������������������4��1Jא���������2�K4����א�(05� � ↖�97��K�4��1JאW � � :���1W� �( ) ( ) 0 0lim x x f f x f x → ⇔ =�a���4���0x� � �E0��א�D���4��1Jא–�����א�D���4��1Jא�W� � • ( ) ( ) 0 0lim x x f f x f x → > ⇔ =�^�����4����א�L,�a0x • ( ) ( ) 0 0lim x x f f x f x → < ⇔ =�^�����4����א�� ��a0x� � f�^�����4���אL,��^������א� ���a0f x⇔�a���4����0x� � ↖4�;�D���4��1JאW� � �O��-f���א(�b�����3 2�^�����4��] [,a bc� 8�אS&f�+8�a���4���!4���3 dא�=��] [,a b� � �O��-f���א(�e�V��3 2�^�����4��[ ],a bc� 8�אS&f�b����א�3 dא�^�����4���] [,a b� � ^�����4�����א�L,�a��a������4��^���א��� ��ab� � ↖����#א�4א�(�א�D�������0��אW �=���f�g3 2�^���L��4���L��א(��I��kD/�/$�(#��� � • �3א�#�אf g+�f g×��kf�3 dא�^�����4���I • �c� 8�אS&g�^����#��-�5�I�L��א#�א�OTU1 g ��f g �3 dא�^���L��4���I� � LM���W� �• �^�����4�����(�#$���א(�+8� • ^�����4������Z����א(�+8 "��!�-����,2� • ���א#�אx x�^�����4��+� • �O ��א#�אsinx x���cosx x�^���O ��4��� • ���א#�אtanx x� "��!�-����,2�^�����4���{ }/2 k k pi pi− + ∈� �� � ↖E��א+�B ���4��1אW� � c� 8�אS&f����א(3 2�^�����4��I��g�3 2�^�����4��JM�f�W ( )f I J⊂� � OTUW g fο�3 dא�^�����4��I� � ↖��������א(8�4�;�*� NW� � • ���0g�D.���4�����א# ���0g����> • 3 2�D.���4�����א# �3 2����>� � �N�H��J�)W���=��f3 2�^��� �0g�� 9 �3 dא�3 dא�3 dא�3 dא( )f I� �� �� �� � �3 dא�3 dא�3 dא�3 dאI� �� �� �� � f�^��� �0g���#�א�-�^��� �0g���#�א�-�^��� �0g���#�א�-�^��� �0g���#�א�-I� �� �� �� �f�^��� �0g���4g �-�^��� �0g���4g �-�^��� �0g���4g �-�^��� �0g���4g �-I� �� �� �� � [ ],a b ( ) ( )[ ];f a f b ( ) ( )[ ];f b f a [ [,a b ( ) ( ); lim x b f a f x−→       ( ) ( )lim ; x b f x f a−→       ] ],a b ( ) ( )lim ; x a f x f b +→        ( ) ( ); lim x a f b f x +→        ] [,a b ( ) ( )lim ; lim x bx a f x f x−+ →→        ( ) ( )lim ; lim x b x a f x f x− +→ →        [ [,a +∞ ( ) ( ); lim x f a f x →+∞        ( ) ( )lim ; x f x f a →+∞        ] [,a +∞ ( ) ( )lim ; lim xx a f x f x + →+∞→        ( ) ( )lim ; lim x x a f x f x +→+∞ →        ] ],a−∞ ( ) ( )lim ; x f x f a →−∞       ( ) ( ); lim x f a f x →−∞       ] [,a−∞ ( ) ( )lim ; lim x x a f x f x−→−∞ →       ( ) ( )lim ; lim xx a f x f x− →−∞→       � ( ) ( )lim ; lim x x f x f x →−∞ →+∞        ( ) ( )lim ; lim x x f x f x →+∞ →−∞        ↖��9�� �א�O�7�א���6P�W� � �c� 8�אS&f�3 2�^�����4��[ ],a b�D/�/$�(#��+���j�TUβ�=�(#��א�L ���47( )f a���( )f b� �D/�/$�(#��+g�א�^���#���αdא�=��3 [ ],a bM�fW ( )f α β=� � � � �����W � � �c� 8�אS&f�3 2�^�����4��[ ],a b���( ) ( ) 0f a f b× 10 � S�7��Jא������������������ ���������2�K4����א�(05 ↖+(��K�S�7��Jא����8�TW� � �3�/�&��א(�Of�(#��א�a�6 /�%*���� g�0x�� "��א�c� 8�אS&�W ( ) ( )0 0 0 lim x x f x f x x x→ − − ��"����� � ���א#���e�p�א�(#��א�^,�-��� "��א�]Z.fa0x��!� �j����!����W( )0'f x� � ↖��א+�D�%�#�U�0#א�4+���J��א+�D�%�#����0#א���&�W��א���א(�א�W� � =���f�a�6 /�%*���� g���א(0x� � ���א#�א�^�n���q ,�א���( ��f� C�4UP�r�א��0/��א�a0xD.�W ( )( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= − +� � ��א#�אu^����U!��א��D��� ,8�W ( ) ( )( ) ( )0 0 0'u x f x x x f x= − +� � ���א#�א�^�n����@ ,�א�����s��א���א#�א�^,�-f� C�4UP�r�א��0/��א�a0x��א#���t�!/-�D.���f�א�u��0x������������������� ↖E0��א�D���S�7��Jא����8�T�J�E0��א�D���S�7��Jא����8�T�W �3�/�&���א(�Ofa�L,��א�^���6 /�%*���� g0x��� "��א�c� 8�אS&� ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x→ − − > ��"���� � ���א#���e�p�א�(#��א�^,�-��� "��א�]Z.f�^���א�L,�a0x��!� �j����!���W ( )0'f xd� � �3�/�&���א(�Of�^���6 /�%*���� g�א� �� a0x�� "��א�c� 8�אS&�W ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x→ − − < ��"���� � �]Z.^,�-��� "��א���א#���e�p�א�(#��א�f�^���א�� ��a0x��!� �j����!���W ( )0'f xg� � ���א(�O��-fa�6 /�%*���� g0x�c� 8�אS&�fa�� ���א�^�����L,��א�^���6 /�%*���� g0x���( ) ( )0 0' 'f x f xg d=� � ↖4��1Jא���S�7��JאW� � ���א(�c� 8�אS&f�(#��a�6 /�%*���� g0x�OTU�f�a���4���O��-0x� � ↖��+����Jא�4א�(�א� 11 ↖�7�X#א�4א�(�א�D�������0��א-E��א+�B ����7�X���J�?@א���א+��7�X��W� � ( )u v u v′ ′ ′+ = + ( )u v u v′ ′′− = − ( ) ( ) ( )k ku k u′ ′∈ =� ( )uv u v uv′ ′′ = + ( ) 1.n nu nu u −′ ′= ( )1 ² v v v ′ ′− = ( ) ² u u v uv v v ′ ′ ′− = ( )u v u v vο ο ′ ′′ = ×  ( ) 2 u u u ′′ = ↖��א+��א>Y1���S�7��JאW� � =���f�3 2�^���6 /�%*���� g���א(I� � ( ) 0f x I f x′⇔ ∀ ∈ ≥ א�-�3 dא�^�����#�I ( )' 0f x I f x⇔ ∀ ∈ ≤ �3 dא�^�����4g �-I ( )' 0f x I f x⇔ ∀ ∈ = �3 dא�^����� )I� � ↖Q�(�Zא�/��[��א���S�7��JאW� � �� "��א�� "��א�� "��א�� "��א� �� �� �� �[ ���@א[ ���@א[ ���@א[ ���@א� �� �� �� ��,���D@#�Cא�+��l��א�,���D@#�Cא�+��l��א�,���D@#�Cא�+��l��א�,���D@#�Cא�+��l��א�^�n�^�n�^�n�^�n( )fC+ 12 �/-�0��א�� 5–/-�0��א�\ ���� � ]�9��Jא��97� ������������� ���������2�K4����א�(05 ↖/-�0��א�� 5W� � j��( ���vZ�א�o�/���א�O���x a=�^�n�,���+) x���7�( )fC� � �e/y�אS&�O �� ��א�O h!p�אW� � • ( )2f fx D a x D∀ ∈ − ∈ • ( ) ( )2fx D f a x f x∀ ∈ − = � � ↖/-�0��א�\ ��W� � -�O����0/��א( ),I a b�^�n�,���+) x��8!�( )fC� � O �� ��א�O h!p�א�e/y�אS&�W� � • ( )2f fx D a x D∀ ∈ − ∈ • ( ) ( )2 2fx D f a x f x b∀ ∈ − + = � � ↖���7��א–�^(%��א�-]�9��Jא��97��W� � �א!�/����א(�^�n���O���#����O 8�אS&�3 2�^��� � 3 dא�אZ.�^���j- @ J�H�z�cy� � �������������������O 8�אS&�W( ) 0x I f x′′∀ ∈ ≤ ���� � OTUW^�n��א�( )fC�O���!�/�א�^���dא�3 I� �� � 7���א(�^�n���O���� ##����O 8�אS&�3 2�^��� � 6�U�3 dא�אZ.�^���j- @ J�H�z� � O 8�אS&�W( ) 0x I f x′′∀ ∈ ≥ ������������������������������������������ OTUW^�n��א��( )fC��O����� #7 �^���dא�3 I� � ���r�א�^�n��א�=���0/��D.���א(�^�n���9 0��א��0/� .#� � ^�n��א�אZ.�!�/-�KV��� � �c� 8�אS&f ′′�a��#��-�0x��� %{א�K�V-�H��� � �^�n��א�OTU( )fC�� C�4UP�9 0��א��0/��+ 13 � M � = � . � א � ! � � & � א � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 � K 4 � � � � א � ( 0 5 ( ) ( )[ ]lim 0 x f x ax b →∞ − + = ( ) ( )0 lim x a f x a x→∞ ≠ = ( )lim x f x →∞ =∞ ( ) lim x f x x→∞ = ∞ ( ) lim 0 x f x x→∞ = ( )[ ]lim x f x ax b →∞ − = ( )[ ]lim x f x ax →∞ − = ∞ � � ( )fC�+ 14 ������א���א(�א� ����� ���������2�K4����א�(05 ↖��N�H�W � � �c� 8�אS&f�3 2�^��� �0g�� 15 ↖������א���א(�א��8�1�W� � =���f�3 2�^��� �0g�� 16 ���1��א�����?@א���א+( )*n n∈�� � � �������?@א�` 7�א���� ���������2�K4����א�(05 ↖:���1����N�HW� � ���א#�אW nx x��^����U!��א+�א(�^,�-���������א(�+ � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 *; ; 0 n nn m mnn n n n n m n m x y m n x y x y x x x x y y y x x + × ∀ ∈ ∀ ∈ × = × = = ≠ = � � ���6��I).�W� � x y x y x y − − = + 3 3 3 3 33² ² x y x y x x y y − − = + + ↖:�����א��� 0;W� � ���א#�א���א#�א���א#�א���א#�אf� ,8��U!��� ,8��U!��� ,8��U!��� ,8��U!��D��D��D��D��WWWW� �� �� �� ����א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2fD.D.D.D.WWWW� �� �� �� � ( ) nf x x= [ [0;fD = +∞ ( ) ( )nf x u x= ( ) }0u x ≥��{ /f uD x x D= ∈ ∈� ↖����=��אW� � � � �א�]Z. � "�#���� >�^/ 17 ↖4��1JאW� � ��א#�אnx x��^�����4��+�� � � � =���u����U!�����א(�^3 2�I� � c� 8�אS&u�3 2�^�����4��������{ /f uD x x D= ∈ ∈�� � • ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 1 1 11 'n n nu x u x u x u x n − ′ ′ = = × ×   =�!4���+��x�y=�*+�!4���+���=��r��r ′�=��*��� � • ( ) ' 'rr r rx x ×=� �• ' 'r r r rx x x +× =� � • r r r x x y y   =   � �• ( )r r rx y x y× = ×� � • ' ' 1 r r x x −=� �• r r r r x x x ′− ′   =    � � 18 � ��+(��א��������#א�������� ���������2�K4����א�(05 ↖���8��,א�������#א–���(�Zא�������#א�W� � � �� �� �� ��� �$���� ����� �$���� ����� �$���� ����� �$���� ���� �� �� �� ���@#�.���� �����@#�.���� �����@#�.���� �����@#�.���� ���� �� �� �� � 1�!�-1�!�-1�!�-1�!�-� �� �� �� �1n n u u r+ = +� � rq @�א��.�� � 1n nu q u+ = ×� � qq @�א��.�� � � ��א�# א� ��א�# א� ��א�# א� ��א�# א� �� �� �� � ( )n pu u n p r= + −� � ( )p n≤� � n p n pu u q − ×=� � ( )p n≤� � �(�#$�:�,2�(�#$�:�,2�(�#$�:�,2�(�#$�:�,2 �� ����� ����� ����� ���� �� �� �� � 1 1 ... 1 n p p n p q u u u q − + −  + + = ×   −  � � 1 1 ... 1 n p p n p q u u u q − + −  + + = ×   −  ( )1q ≠� � a��������b��������c���� �(�#$��)*)�(�#$��)*)�(�#$��)*)�(�#$��)*) �� ����� ����� ����� ���� �� �� �� � 2b a c= +� �²b a c= ×� � ↖�*� ��#א�������#א–�����#א��*� Y�#א�: =���������( )n n Iu ∈��(#����� ����� � • ( ) nn n Iu n I u M∈ ⇔ ∀ ∈ ≤ �(#�� ���� 19 ↖�����������=�W� � �������#א����=�( )nαa�)W *α ∈ �W 0α > 0α < lim n nα →+∞ = +∞ lim 0 n nα →+∞ = ����(�Zא�������#א����=�( )nqa�)W q ∈ �W 1q > 1q = 1 1q− < < 1q ≤− lim n n q →+∞ = +∞� �lim 1n n q →+∞ =� �lim 0n n q →+∞ =� �א��� ���( ) nq� � �� "�� C�G��� � ↖^��7��א�b�+���W� � • ��� 20 � �א4א�(���Ncא�������������� ���������2�K4����א�(05 ↖4�;�D�����������א(�����Ncא�4א�(�אW� � :���1�W� � �=���f�3 2�^����U!�����(#����א(�I� � �OP�3�/�F���א#������>P���א(�D.�f�3 dא�^��I� � O �� ��א�O h!p�א�e/y�אS&W� � • F/�%*���� g��3 dא�^���6 I • ( ) ( )'x I F x f x∀ ∈ = ���N�HW 3 dא�אZ.�^������>P���א(�+P���א(�f�3 dא�^��IOTU�W� � ���א#������>�א�3א�#�א�H�zf�^����U!���ID��� W�W� � ( ) ( )x F x k k+ ∈� � �=���f�+PI� � �=����0x�=��א!4���I��0y�=��א!4����� � $�����>P���א(�#��-���#Fא#������f�3 dא�^���I D�#P�L��א(f���g�3 dא�^���IOTU�D�א���א�^��W� � • F G+���א#������>P���א(f g+�^����3 dאI • kF��א#������>P���א(�kf�^����3 dאI 21 ↖��+����Jא�4א�(�א� 22 Q������א�^��,א����������������������2�K4����א�(05� � � � ↖��9T�D�����������א+�/���1W :���1W� � � � �=���f3 2�^�����4�����א(I��F���א#������>P���א(f3 dא�^��I �a�b3 dא�=��=�!4����I� � ��א#�א�+� �-f=�ak&bD/�/ א�(#��א��.���W ( ) ( )[ ] ( ) ( )b a b f x dx F x F b F a a = = −∫ � � ↖���N�HW� � ����9fאW� � ( ) 0 a f x dx a =∫ � �( ) ( ) a b f x dx f x dx b a = −∫ ∫ � � ( ) ( ) ( ) b b k kf x dx k f x dx a a ∈ =∫ ∫� � �( ) ( )[ ] ( ) ( ) b b b f x g x dx f x dx g x dx a a a + = +∫ ∫ ∫ � � 4����T.�W� � ( ) ( ) ( ) b c b f x dx f x dx f x dx a a c = +∫ ∫ ∫ ↖B�1C�א���/�����אW� � O 8�אS&W [ ] ( ), 0x a b f x∀ ∈ ≥ � � OTU�W( ) 0b f x dx a ≥∫ � � O 8�אS&�W[ ] ( ) ( ),x a b f x g x∀ ∈ ≤ � � OTU�W( ) ( )b bf x dx g x dx a a ≤∫ ∫ � � ↖�9� �#א��0�7�אW� � �=���f�3 2�^�����4�����א(�[ ],a b� � �3 dא�^�����א#����0@���א��,�/�א�D.D/�/ א�(#��אW ( )1 b f x dx ab a− ∫ � � ↖Fא\ c�8������#אW �=���u�v3 2�^���6 /�%*���L�� g�L��א(IL��א#�א�M�fu′�v′ dא�^���L��4���3I �a�b3 dא�=��=�!4����I ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ba b b u x v x dx u x v x u x v x dx a a ′ ′= −∫ ∫� � ↖\�)��)��� �#� ����o����k&� �����‚����א�=���( ), ,o i j � � � � �$ ��א��#$� .u A�(#ƒא�+�0���א��$ ���D.��0/�� �o�L�"|��א���i � ��j � � � 1. .u A i j= × � � � � � � 23 �=���f�3 2�^�����4�����א([ ],a b� � ����^ �n��א�L ���4ƒא��� א��$ ��fC���+�„> U�א���7� ,. ��( ���=�Z��א�L,�/���א�W� � x a=�x b=� � D.W ( ) . .b f x dx u A a     ∫ � � � ��=���f��g�3 2�^���L��4���L��א([ ],a b� � �L��n��א�L ���4ƒא��� א��$ ��fC���gC���7� �> U�א ,. ��( ���=�Z��א�L,�/���א��+�W x a=�x b=D.W� � D.W ( ) ( ) . .b f x g x dx u A a   −   ∫ � � �N�H��J�)W� � o@�o@�o@�o@� Dn�A�-Dn�A�-Dn�A�-Dn�A�-� �� �� �� �� €$*�� €$*�� €$*�� €$*�� �� �� �� ��א��� א��$ ���א��� א��$ ���א��� א��$ ���א��� א��$ ��D|��� 24 �0����g ��א�4א�(�א��������������������2�K4����א�(05� � � � ↖�0����g ��א���א(�א���>���א�� � :���1W� � ��א(���א#������>�א���א#�א�D.�vK ⇔ > ] [0; ln y x y x y x e ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ = ⇔ = � ] [ ] [ ( ) ( ) 0; 0; ln ln ln ln ln 1 ln ln ln ln ln r x y xy x y x r x x x x x y y ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = + =   = −     = −   ( )r ∈ � �O 8�אS&n ���X�א(#��� OTU���W( )* ln lnnx x n x∀ ∈ =� � � ;:�����א��� 0W� � ��א#�א��א#�א��א#�א��א#�אfD��� ,8��U!���D��� ,8��U!���D��� ,8��U!���D��� ,8��U!���WWWW� �� �� �� ����א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2fD.D.D.D.WWWW� �� �� �� � ( ) ( )[ ]lnf x u x= ( ) }0u x > و{ /f uD x x D= ∈ ∈� ( ) ( )( )2lnf x u x=    ( ) ( )lnf x u x=� � ( ) }0u x ≠ و{ /f uD x x D= ∈ ∈� �����A�����=�W ( )lim ln x x →+∞ = +∞ lnlim 0n x x x→+∞ = ( ) 0 lim ln x x → = −∞ > ( ) 0 lim ln 0n x x x → = > 1 ln lim 1 1x x x→ = − ( ) 0 ln 1 lim 1 x x x→ + = ( )n *∈� 4��1JאW ���א#�אlnx x��3 dא�^�����4��] [0;+∞� � � � =���u����U!�����א(�^3 2�I� � c� 8�אS&u3 2�^�����4����� �0g�� 25 S�7��JאW ���א#�אlnx x�6 /�%*���� g�^���] [0;+∞� � ��#��: ] [ ( ) 1 0; lnx x x ′∀ ∈ +∞ = � � � � =���u����U!�����א(�^3 2�I� � c� 8�אS&u�3 2�^���6 /�%*���� g��� �0g�� 26 ����cא�4א�(�א����������������������2�K4����א�(05� � � � ↖�0����g ��א���א(�א���>���א�� � :���1W �א�א���א#��@�K > > > > > > > x y∀ ∈ ∀ ∈� � x y x ye e e +× = ( )r ∈ � ( )rx rxe e= 1 x x ee −= x x y y e e e −= :�����א��� 0;W ��א#�א��א#�א��א#�א��א#�אfD��� ,8��U!���D��� ,8��U!���D��� ,8��U!���D��� ,8��U!���WWWW� �� �� �� ����א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2���א#�א�1�!�-����,2fD.D.D.D.WWWW� �� �� �� � ( ) xf x e=� �fD = �� � ( ) ( )u x f x e=� �{ }/f uD x x D= ∈ ∈�� � �����A�����=�W lim x x e →+∞ = +∞ lim 0x x e →−∞ =� � lim x n x e x→+∞   = +∞   � � ( )lim 0n x x x e →−∞ =� � 0 1 lim 1 x x e x→ − =� � ( )n *∈� 4��1JאW� � ���א#�אxx e��^�����4���� � � � =���u��א(�����U!���^3 2�I� � c� 8�אS&u�^�����4���dא3 I���א#�א�OTU( )u xx e��3 dא�^�����4��I� � 27 S�7��JאW� � ���א#�אxx e��� g 6 /�%*��^���� ��#����W( )x xx e e′∀ ∈ =� � � ��=���u����U!�����א(�^3 2�I� � c� 8�אS&u�^���6 /�%*���� g� dא�3 IOTUWא����א#�( )u xx e��3 dא�^���6 /�%*���� gI� � � ��#��W �������( )( ) ( ) ( )'u x u xx I ue x e′∀ ∈ = × ��א(���Q����#א�/��0��אlnW� � � � ↖��א(�א��U��h�����cאaa�)�W}{1a ∗+∈ −� :���1W � � ��א#�א������א����א#���aog l��q @…����@�א���א#�א�^,�-a�� ��!� � C���!��Wexpa� � +���HB�x=���������������������( )exp xa x a=� � �� �����א�����N�HW lnx x ax a e∀ ∈ =� ( )xaog a x=l ] [ ( )0; og xax a a∀ ∈ +∞ = l ( ) 2; x yx y a a x y∀ ∈ = ⇔ =� ] [0;x y∀ ∈ ∀ ∈ +∞� ( )aog y l xa y x= ⇔ = ( ) 2;x y∀ ∈ � x y x ya a a +× = ( )r ∈ � ( )rx rxa a= 1 x x aa −= x x y y a a a −= ���������=���1��&W 1a > 0 1a< < x ya a x y⇔> > x ya a x y⇔< < lim x x a →+∞ = +∞ lim 0x x a →−∞ = lim 0x x a →+∞ = lim x x a →−∞ = +∞ 0 1 lim ln x x a a x→ − = ��7�X#אW� �( ) ( )lnx xa a a′ = ×� � 28 ��(7��א�+א(�cא 2�K4����א�(05 D.���#/��א�(א#��א����,2W }² 1i = −���( ){ / ; ²z a ib a b= = + ∈� �� � ↖i(7��+(�����P@א��8����אW� � �=���z a ib= +$� �#/��א(#�M��W( ); ²a b ∈ �� � • a ib+�v#/��א�(#������Y;א�� ���א�^,�-z • �(#��אa�(#����D/�/ א�†�;א�^,���z��!� �j����!�����W( )Re z • �א�(#�b�(#����D��‡��א�†�;א�^,���z��!� �j����!����W ( )Im z� � j��N�H�j����)W� �• O 8�אS&W ( )Im 0z =�OTUzD/�/$�(#���.� • O 8�אS&W ( )Re 0z =��( )Im 0z ≠�OTUz U!>� ���ˆ�א(#��^,��� � ↖E�(7����+(��i���1W� � ��=��z�z ′L�#/��=�(#�� � ( ) ( )Im Imz z ′=��( ) ( )Re Rez z z z′ ′= ⇔ =� � ↖#א�/��0��אi(7��+(���Q����W� � ������o€�J�#� ����o����k&� �����v#/��א�‚����א�=���( )1 2, ,o e e �� �� � � � � ↖i(7��+(��bkא��W� � �=���z a ib= +M�$� �#/��א(#�W( ); ²a b ∈ �� � �(#��א�eUא!�zv#/��א�(#��א��.��Wz a ib= −� � � � ( )M z��( )M z′D/�/ א���n,���� 29 ( ) ( ) * ' 0 n nz z n z z z z z z z = ∈ − = = ≠ ′ ′ � 1 1 z z z z z z z z ′ ′× = × = = ′ ′ ↖�/�X�א�Q���#א�(����>g�i(7��+(������cא��8����א��W �=���z�j-��>��#����K?� �#/��א(#�M� � �v#/��א�(#��א��#,�z��.θ�"���א����א��א�� @ �g�#$P�W ( ),1 OMe ������� ��!� �j����!���Wargz�� � t��������������������������W[ ]arg 2z θ pi=�� �� � �=���z�#����K?� �#/��א(#�� � �HB�r z=��[ ]arg 2z θ pi=� � • #����DE�E�א�+�p�א�v#/��א�(z�.W ( ) [ ]cos sin ,z r i rθ θ θ= + = • �v#/��א�(#������@�א�� ���אzD.�����Wiz re θ=�� � �N�H��J�)W� � �D/�/$�(#�����E�E�א�� ���אa�#����K?�� � 0a >� �0a ��A���Y�NW� � ( ) ( ) ( )cos sin cos sinn n i n n i nθ θ θ θ ∀ ∈ + = + � � �( )1cos 2 i ie eθ θθ θ −∀ ∈ = +� � ( )1sin 2 i ie e i θ θ θ −= − ↖�+��#א�/)��²z z a∈ =� �a�)�( )a ∈�W� � ��( ��א��( ��א��( ��א��( ��אWWWW� �� �� �� �2222�א�3��$����,�א�3��$����,�א�3��$����,�א�3��$����,��( ���( ���( ���( �WWWW� �� �� �� � 0a > { };S a a= − 0a = { }0S = ²z z a∈ =� 0a < { };S i a i a= − − − 30 ↖��+��#א�/)W ² 0z az bz c∈ + + =� a�)Wa���b ��c��7�7)�+א(�A( )0a ≠� � ��( ��א��( ��א��( ��א��( ��אWWWW� �� �� �� ���( ��א�3��$����,2��( ��א�3��$����,2��( ��א�3��$����,2��( ��א�3��$����,2WWWW� �� �� �� � 0∆ > ; 2 2 b b S a a   − − ∆ − + ∆ =      0∆ = { }2 b S a − = ( ) 2 2 0 4 z az bz c b ac ∈ + + = ∆ = − � 0∆ < ; 2 2 b i b i S a a   − − −∆ − + −∆ =      ↖��(7��א�+א(�cא���%�9��������(�6�O�6�&�W� � D@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��א� �� �� �� ���#/��א��g*��א��#/��א��g*��א��#/��א��g*��א��#/��א��g*��א� �� �� �� � �U ��אAB� �B AAB z z= − I���0/�א�14���[ ];A B� � 2 A B I z z z + = ���א��א�q �g ( );AB AC���� ����� �( ) [ ]; arg 2c A B A z z AB AC z z pi  −  ≡    −  ���� ���� A�B�C���,�/����‰/�� �C A B A z z z z − ∈ − � A�B�C��D���א#���‰/�� �D A B C B A D C z z z z z z z z − − × ∈ − − ���PD A D C B A B C z z z z z z z z − − × ∈ − − �� � ��#/��א��g*��א��#/��א��g*��א��#/��א��g*��א��#/��א��g*��א� �� �� �� �D@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��אD@#�Cא���"��א� �� �� �� � Az z r− = ( )0r > • AM r= • M� .�8!��r�א��!�א#�א�k&�D,��-A "� �%��r� � A Bz z z z− = − • AM BM= • M‰@א��k&�D,��-[ ]AB� � ; 2 C A B A z z r z z pi−   = ±  −   ABCa����א��א�o� g�M�E�A� � [ ]1;C A B A z z z z θ − = − ABCv� ����M�E�a�Lg ��א�A� � 1; 2 C A B A z z z z pi−   = ±  −   ABCa����א��א�o� g���Lg ��א�v� ����M�E�A� � 1; 3 C A B A z z z z pi−   = ±  −   ABC:*A�א�v� ����M�E�� � ↖ 31 ���" �&��א��J+��#א � ������ ����������������� 2�K 4����א�(05 ���A ���א���( ��א���A ���א���( ��א���A ���א���( ��א���A ���א���( ��אWWWW� �� �� �� � א א א א����A ���א���( �,���� ��א�+����A ���א���( �,���� ��א�+����A ���א���( �,���� ��א�+����A ���א���( �,���� ��א�+WWWW� �� �� �� � 'y ay b= + ( )0a ≠ ( ) ax b y x e a α= − ( )α ∈ � ���A ���א���( ��א���A ���א���( ��א���A ���א���( ��א���A ���א���( ��אWWWW� �� �� �� ����,�א� "��( �����,�א� "��( �����,�א� "��( �����,�א� "��( ��WWWW� �� �� �� ��+ 32 ��M�m&�א���(�Zא������ ���������2�K4����א�(05 o€�J�#� ����o����k&� �����† B��א�=����‹‡��א�אZ.�6 �@�a!% 33 ����U���( ��( )S� .� 0gP�#$P[ ]AB��� ��@5 � .#�#y�=�m� D� ��א�~U ��� ����W �( ) . 0M S AM BM∈ ⇔ = ���� ���� � � �€$*���W������א( )S� .�8!��Ω�14����[ ]AB� "� �%�� 2 AB� � � � ↖����k�nR�71( ),S RΩ�` ������( ) : 0ax by cz dΡ + + + =� � ��=�H�,��א�‰/��א��8!,���v(Ω�‚����א�^���( )Ρ� � HB��W( )( );d H d= Ω = Ω Ρ � �� � ‚����א( )P�������א( )S� � ���������5�O �h /��� � ‚����א( )P�������q J( )S� � �������������0/��א�aH� � � � � � � � � �‚����א( )P����א�H0/��( )S� � �!�א(�eU�( )C� � ��� .�8!����WH� � "� �%��W2 2r R d= −� � ↖����k�nR�71( ),S RΩO�7�������( )∆W� � =���H��8!,���v(�,��א�‰/��אΩo�/���א�^����( )∆� � HB��W( )( );d H d= Ω = Ω ∆ � � �o�/���א( )∆�����א( )S� � ���������5�O �h /��� � � ��o�/���א( )∆�������q J�( )S� � ��������������0/��א�aH� � � ��o�/���א( )∆����א�H0/��( )S� � �����������L����Š�L�0/��a� � 34 ��+א(���א��������������������������2�K4����א�(05� � � � ↖�� 0;�Q��M�W :���1W ��"�������,2�D����E���,dא�!> ���(#���.�E��!� �j����!����WCardE� � �N�H����)W 0Card∅ =� � ��N�HW A�BO ��"����O ���,2� � ( ) ( )Card A B CardA CardB Card A B∪ = + − ∩ ↖�� 0;�O0��W :���1W� � �=���A��"�������,2�=��א†��E� � o,��A�� ���,|,���� 35 א�(8�����1C�j�א���8�W =���n�p=��=�!4��*�( )p n≤� � 36 ������J�0�)Jא���������������������2�K4����א�(05� � � � ↖����%�9� � �i�04�א�i�04�א�i�04�א�i�04�אD� ,�$5אD� ,�$5אD� ,�$5אD� ,�$5אWWWW� �� �� �� �] ���] ���] ���] ���WWWW� �� �� �� � ���א�p��� !}� ��+ 37 ↖QR�X�א�4�0�)JאJE-()����.7��א�W� � :���1W� ��=���A���BM�f����א�p��א�� !|��א�G�� �L0 38 �Q���#א�^��,א)> ?1(������������������2�K4����א�(05� � � � ↖�����#א�*�Mא(�א�����+����Jא�O�7�א�4�( W ↖�����#א�B���א�E8���T.��אW� � -1 cos 1 -1 sin 1 cos ² sin ² 1 x x x x ≤ ≤ ≤ ≤ + = sin tan cos 1 1 tan ² cos ² x x x x x = + = ( ) ( ) ( ) cos 2 cos sin 2 sin tan tan x k x x k x x k x pi pi pi + = + = + = ↖�����A���������J+���W� � - 2x a kpi= + ��Pcos cos 2x a x a kpi= ⇔ = + ( )- 2x a kpi pi= + �P sin sin 2x a x a kpi= ⇔ = + ( ) tan tanx a x a k kpi= ⇔ = + ∈ � 2 pi 3 pi 4 pi 6 pi 0 x 1 3 2 2 2 1 2 0 sinx 0 1 2 2 2 3 2 1 cosx 3 1 3 3 0 tanx 2 x pi + 2 x pi − +xpi xpi− x− cosx cosx -sinx sinx -sinx sin sinx− sinx - cosx - cosx cosx cos 39 ↖! 0;�/� _�e�NW� � ( ) ( ) ( ) cos cos cos - sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 - tan tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b + = × × + = × + × + + = × ( ) ( ) ( ) cos - cos cos sin sin sin - sin cos - cos sin tan - tan tan - 1 tan tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b = × + × = × × = + × ↖LM���W� � cos 2 cos ² - sin ² 2 cos ² - 1 1 - 2 sin ² sin 2 2 sin cos 2 tan tan 2 1 - tan ² a a a a a a a a a a a = = = = × = 1 cos 2 cos ² 2 1 - cos 2 sin ² 2 a a a a + = = HA� W tan 2 a t = 2 sin 1 ² 1 - ² cos 1 ² 2 tan 1 - ² t a t t a t t a t = + = + = ↖�! 0;�r'�Fא( �/� _W�����������������������������↖�Fא( �r'�! 0;�/� _W� � ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 1 cos cos cos cos - 2 1 sin sin cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin - sin 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b × = + + × = − + − − × = + − − × = + − cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q + −     + =         + −     − = −         + −     + =         + −     − =         � � ↖/� _W�cos sina x b x+����������( ) ( ), 0,0a b ≠� � ( ) cos sin ² ² cos sin ² ² ² ² ² ² cos a b a x b x a b x x a b a b a b x α  + = + +   + + = + − �M�$αe/�D/�/$�(#��W� � sin ² ² b a b α = + ��������������������cos ² ² a a b α = +


Comments

Copyright © 2025 UPDOCS Inc.