Cursul - 6 Sistemul axiomatic al lui Birkhoff Avantaje: - număr mai mic de axiome - practic din punct de vedere didactic Se presupun cunoscute: - th. naivă a multimilor si logica uzuală - th. numerelor reale SB ={ N, R , A } N : punct, dreaptă, plan, distantă “δ ”, masură “m” R : “∈” , ( operaţiile din R , simbolurile logice ⇒, ∧ ∨ ∀, ∃ ) , , A: B1 – B13 Notam cu S – spaţiul pe cre il organizăm B1 – Două puncte distincte determină o singură dreaptă ⇒ puncte coliniare B2 – Trei puncte necoliniare determină un singur plan ⇒ puncte coplanare B3 – Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan atunci dreapta este conţinută in acel plan B4 - Dacă două plane distincte se intersectează, atunci intersecţia acestora este o dreaptă B5 – Orice dreaptă contine cel puţin două puncte distincte. Orice plan conţine cel puţin trei puncte necoliniare. S conţine cel puţin patru puncte necoplanare Obs. Axiomele B1-B5 sunt echivalente cu I1-I8 din s.ax. SH Definitia 1. Se numeste sistem de coordonate pe dreapta a o aplicatie Teorema 1. Functia distantă are proprietatile: a) δ (P,Q) ≥ 0, δ (P,Q) = 0 ⇔ P=Q b) δ (P,Q) = δ (Q,P) , ∀ P, Q ∈ S . bijectivă f : a → R cu proprietatea ∀ P, Q ∈ a, δ (P,Q) = | f(P) – f(Q) | . B6 – (Axioma riglei) Orice dreapta a poate fi inzestrata cu cel putin un sistem de coordonate. Teorema 2. (de asezare a riglei) Dacă O si A sunt două puncte ale dreptei a, atunci există un singur sistem de coordonate f : a → R, aşa încât f(O) = 0 si f(A) > 0. ” a fi intre” , A – B – C ⇔ δ (A,B) + δ (B,C) = δ (A,C) , segment ⇒ punct interior unui segment ⇒ semidreaptă deschisă de origine O d+ = { X ∈ a | f(X) > 0 } d- = { X ∈ a | f(X) < 0 } ⇒ Orientare pe dreaptă, relatia “precede” ⇒ masura unui segment m(|AB|) = δ (A,B) ⇒ segmente congruente ⇒ mijlocul unui segment ⇒ xP = f(P) – coordonata punctului P in sist.de coor. f Teorema 3. Orice segment nenul are un unic mijloc. B7 – (Axioma de separare a planului) Pentru orice plan α si orice dreaptă a ⊂ α , mulţimea {α - a} se descompune în două submulţimi nevide si disjuncte astfel încât, P si Q aparţin la submulţimi disjuncte dacă si numai dacă exista pe a un punct X intre P si Q. Obs. In baza axiomelor B1 – B6 , axioma B7 este echivalenta cu axioma lui Pash ( SHI-II ⇔ SB1-7) Definitia 1. Se numeste unghi o pereche de semidrepte cu aceeasi origine. ⇒ Unghiuri : propriu, nul, alungit ⇒ Triunghi Masura pe multimea unghiurilor o consideram o aplicatie m : U → [1,180] . B8 – m(∠ AOB) = 0 ⇔ ∠ AOB este unghiul nul m(∠ AOB) =180 ⇔ ∠ AOB este unghiul alungit B9 – (axioma de constructie a unghiului propriu) Pentru orice dreapta a, h o semi- dreapta a sa si u∈ (0, 180), intr-un semiplan determinat de dreapta a exista o semidreapta unica k asa incat m (h,k) = u. B10 – (axioma adunarii unghiurilor) Daca B este un punct interior unghiului ∠ AOC, atunci m(∠ AOC) = m(∠ AOB) + m(∠ BOC) . B11 – (axioma suplementului) Daca O este între A si C atunci pentru orice punct B ∉ |AC| avem m(∠ AOB) + m(∠ BOC) = 180. B12 – (axioma LUL) In triunghiurile ABC si A’B’C’ daca avem |AB| ≡ |A’B’|, |AC| ≡ |A’C’|, m(∠ BAC) = m(∠ B’A’C’) |BC| ≡ |B’C’|, m(∠ ABC) = m(∠ A’B’C’) , m(∠ ACB) = Teorema 3. Intr-un triunghi ABC avem |AB|< |AC| ⇔ ∠ ACB < ∠ ABC. m(∠ A’C’B’) Teorema 4. Intr-un triunghi o latura este mai mica decat suma ⇒ δ (A,C) < δ (A,B) + δ (B,C) Obs. Axiomele grupelor III si IV din SH sunt consecinte ale axiomelor T ({ N, R , B1 – B12 }) – geometria absoluta ⇒ celorlalte doua B1- B12 ⇒ B13 – Fiind dată o dreaptă a şi un punct exterior A, in planul determinat de dreaptă şi punct, exista cel mult o dreaptă prin punctul A la dreapta a. SB = {N, R , B1 – B13} sist. ax. al lui Birkhoff T ( SB ) – gometria euclidiană Metateorema 1. SB ≅ SH Metateorema 2. SB este necontradictoriu, independent, complet si categoric - Consideram cunoscute necontradictia aritmeticii si constructia numerelor reale - Construim un model G: Numim punct din G terna ordonata de numere reale A=: (x1,x2,x3) = (xi) Notam cu M = { (a1,a2,a3,a4)=(ah) | rang║a1a2a3║=1, ai ∈R, i=1,2,3,4 } (ah) ~ (bh) ⇔ ∃ ρ ∈R a.i. ah = ρ bh , ⇒ D = { ( (a ),(b )) ∈M x M | rang h h h=1,2,3,4 ⇒ P = M/~ = { α = [ah] } – multimea planelor modelului G = 2}