Control 2° Parte

April 6, 2018 | Author: Anonymous | Category: Documents
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Universidad de la Frontera Departamento de Ingeniería Eléctrica APUNTES DE CONTROL AUTOMATICO 2ª PARTE Profesor: Sr. Norberto Méndez Primer Semestre del 2002 INDICE INDICE................................................................................................................................... 1 LIMITACIONES DE LOS MODELOS MATEMATICOS .................................................. 3 LINEALIZACION DEL MODELO EN TORNO AL PUNTO DE OPERACION DEL SISTEMA ............................................................................................................................... 4 Linealización de z = f (x ) alrededor de un punto x, y ..................................................... 4 Linealización de z = f (x ) alrededor de un punto ( x, y , z ) ............................................... 5 REPRESENTACION DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO ............................................ 7 Efectos de la retroalimentación en el problema de retroalimentación de la salida............. 7 Configuraciones de lazo cerrado ...................................................................................... 12 Polos y Ceros en Lazo Cerrado ........................................................................................ 14 Condiciones para un Controlador Propio por Ubicación de Polos................................... 15 RETROALIMENTACIÓN LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO ..................... 18 Razones Básicas para escoger el Sistema de Retroalimentación ..................................... 19 Propiedades de la Retroalimentación Lineal de las Variables de Estado ......................... 29 CONTROLABILIDAD Y UBICACIÓN DE POLOS......................................................... 33 RESPUESTA EN EL TIEMPO............................................................................................ 40 Respuesta al escalón de un sistema de primer orden........................................................ 40 Efecto de un polo adicional .............................................................................................. 42 Efecto de un cero en u sistema dominante de primer orden............................................. 43 Efecto de un cero en el semiplano derecho (S.P.D.) ........................................................ 44 RESPUESTA A LA FUNCIÓN ESCALÓN DE UN SISTEMA DOMINANTE DE SEGUNDO ORDEN. ........................................................................................................... 46 1 ( ) Localización de los polos en lazo cerrado con respecto a ξω1 ......................................... 47 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LAS VARIABLES DE ESTADO .............................. 52 Métodos de Dominio en el Tiempo .................................................................................. 58 Propiedades de las matrices de estado.............................................................................. 59 ERRORES DE ESTADO PERMANENTE ......................................................................... 61 Entrada escalón................................................................................................................. 62 Entrada Rampa ................................................................................................................. 63 2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS MATEMATICOS Cualquier representación matemática, ya sea mediante variables de estado o a través de la función de transferencia, es en el mejor de los casos una aproximación del comportamiento del sistema físico real. Algunas limitaciones comunes que los modelos pueden tener al describir sistemas físicos son: 1. Imprecisiones en los parámetros. 2. Dinámicas no operadas 3. No-linealidad. La propiedad de linealidad se requiere para emplear, ya sea modelos mediante función de transferencia o en variables de estado y usamos modelos lineales debido a que las técnicas desarrolladas para modelos lineales son más poderosas que para técnicas no lineales. Mientras los sistemas físicos son no lineales; en general, sus respuestas a cierto tipo de entradas se puede modelar con precisión mediante sistemas lineales, mientras que todas las variables asociadas al sistema se mantengan dentro de un cierto rango permisible. Mediante la técnica de linealización se pueden obtener sistemas lineales. Esta técnica emplea la expansión en serie de Taylor de una función (método de la tangente). 3 LINEALIZACION DEL MODELO EN TORNO AL PUNTO DE OPERACION DEL SISTEMA Linealización de z = f (x ) alrededor de un punto x, y ( ) Consideremos un sistema no lineal cuya entrada es x y cuya salida es z, entonces la relación entre z y x se puede escribir como z = f (x ) ec. (1) − − Si la condición de operación normal corresponde al punto ( x, y ) , entonces la ec.(1) puede expandirse en serie de Taylor alrededor de este punto como sigue: z = f ( x) = f ( x) + − − − d d2 f ( x − x) + 2 f ( x − x) 2 + K dx dx ec.(2) donde las derivadas operación x = x , z = z . − − − d d2 f ( x − x), 2 f ( x − x) 2 , K están evaluadas en el punto de dx dx − Si la variación de ( x − x) es pequeña podemos despreciar los términos de más alto orden en ( x − x) . Nótese que z = f (x ) . Luego, la ecuación (2) puede escribirse como: z − z = a ( x − x) donde − − − ec.(3) a= df dx x = x, z = z La ecuación (3) indica que ( z − z ) es proporcional a ( x − x ) .Este es un modelo matemático lineal del sistema no lineal dado por la ecuación (1) cerca del punto de operación x = x , z = z . 4 Linealización de z = f (x ) alrededor de un punto ( x, y , z ) Considérese un sistema no lineal cuya salida z es función de dos entradas x e y. z = f ( x, y ) ec.(4) expandiendo en serie de Taylor alrededor del punto ( x, y , z ) la ecuación (4) queda: ⎡ ∂2 ⎤ ∂2 f ( x − x) 2 + f ( x − x) f ( y − y ) + ⎥ ⎢ 2 ∂y∂x ∂ ⎡∂ ⎤ 1 ∂x ⎥ +K z = f ( x, y ) + ⎢ f ( x − x ) + f ( y − y )⎥ + ⎢ 2 ⎥ ∂x ∂x 2! ⎢ ∂ ⎣ ⎦ 2 ⎢ 2 f ( y − y) ⎥ ⎣ ∂y ⎦ donde las derivadas parciales se evalúan en el punto de operación x = x , y = y , z = z . Cerca de este punto los términos de más alto orden pueden despreciarse.. Entonces, ahora z = f ( x, y ) y un modelo matemático lineal de este sistema no lineal, cerca del punto de operación ( x, y, z ) es: z − z = a ( x − x) + b( y − y ) donde a= ∂f ∂x x = x, y = y, z = z b= ∂f ∂y x = x, y = y, z = z Nótese que las desviaciones de las variables deben ser muy pequeñas, de otro modo no se aplica este método. Ejemplo: Linealice la ecuación no lineal z = xy en la región 5 ≤ x ≤ 7 , 10 ≤ y ≤ 12 . Encuentre el error si la ecuación linealizada se usa para calcular el valor de z cuando x=5 e y=10. Solución: 5 Como la región considerada está dada por 5 ≤ x ≤ 7 , 10 ≤ y ≤ 12 , tomamos como punto de operación ( x = 6, y = 11, z = 66) . x=6 e y = 11 . Entonces, z = x y = 6 *11 = 66 , es decir Expandiendo en serie de Taylor alrededor del punto de operación y despreciando los términos de orden mayor se tiene: z − z = a ( x − x) + b( y − y ) a= ∂f ∂x x = x, y = y, z = z ∂f ∂y x = x, y = y, z = z = y = 11 b= = x=6 Por lo tanto la ecuación linealizada es : z − 66 = 11( x − 6) + 6( y − 11) z = 11x + 6 y − 66 para x=5 e y=10 la ecuación linealizada es z = 11x + 6 y − 66 = 55 + 60 − 66 = 49 z = xy = 50 ecuación exacta ecuación error es 50 - 49 = 1 ⇒ 2% de error. 6 REPRESENTACION DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO En el problema de realimentación de la salida, la señal que recibe el controlador de la planta es la salida y(t). En el problema de la retroalimentación de estado se supone que el controlador puede medir y usar todos los estados. Es posible analizar configuraciones por medio de los mismos métodos. Es importante reconocer la diferencia que hay entre el término planta y el término sistema de control. En el problema de retroalimentación de estado la planta se describe por las ecuaciones: x = Ax + bµ . ec.(1) ec.(2) y = cT x y la entrada µ se denomina entrada de control. El sistema de control de lazo cerrado está descrito por las ecuaciones (1) y (2) más una ecuación adicional que especifica la señal de control. µ = K ( r − k T x ) = K ( r − k 1 x1 − k 2 x 2 − K − k n x n ) r : entrada de referencia, la cual el control pretende seguir; ki: ganancia lineal o factor de adecuación. ec.(3) En el problema de retroalimentación de la salida, la entrada de control µ se relaciona con la entrada de referencia µ y la salida de la planta a través de la función de transferencia. Efectos de la retroalimentación en el problema de retroalimentación de la salida. Los efectos de la retroalimentación son muchos, pero cinco son de interés fundamental. 1. Reducción de la sensibilidad para las variaciones en los parámetros de la planta. 2. Reducción de la sensibilidad a perturbaciones del sistema. 7 3. Capacidad para controlar el ancho de banda del sistema. 4. Estabilización de un sistema inestable. 5. Capacidad para controlar la respuesta transitoria del sistema. La meta primaria de un sistema de control realimentado es por lo general uno o más de estos efectos. Reducción de la Sensibilidad para las Variaciones en los Parámetros de la Planta. R G1 Gp Y R G1 + Gp Y - H Created with Visi La función de transferencia (ganancia) para sistemas de lazo abierto es Y ( s) = M o ( s ) = M o = G1 G p R( s) Para lazo cerrado es G1 G p Y ( s) = M c (s) = M c = R( s) 1 + HG p si para todas las funciones de interés HGp >>1, entonces Mc = G1 H 8 Si asumimos que G1=1, entonces la ganancia en lazo cerrado Mc depende solo de H cada vez que GpH >>1. La cantidad GpH se llama ganancia de lazo. Entonces, dada la función de transferencia del sistema en lazo cerrado Mc = G1G p 1 + HG p la sensibilidad se define como: S Mc Gp = G p dM c 1 = M c dG p 1 + HG p En general, S α α Mc dM %.cambio.deM α dM = = M = dα %.cambio.de.α M dα α donde M : ganancia (función) : parámetro. Como Mc y Gp son funciones de la frecuencia, entonces: S M c (s) G p (s) = 1 1 + H ( s)G p ( s) ec.(4) Para que la sensibilidad sea menor que la unidad de tal manera que la retroalimentación reduzca la sensibilidad: 1 + G p ( s ) H ( s ) >1 para el rango de interés de s. A la expresión 1 + G p ( s ) H ( s ) se le llama diferencia de retorno. Ejemplo: Sensibilidad con respecto a la retroalimentación del sistema S Mc H = − G p (s) H (s) 1 + G p (s) H (s) 9 Reducción de la Sensibilidad a Perturbaciones del Sistema. Dado el sistema de control de la figura D R G1(s) + - U Gp(s) Y H(s) Created with Visi La perturbación D representa cualquier perturbación que tienda a modificar la salida y para mantener el control se desea minimizar el efecto de las perturbaciones. Considerando R=0 y D como entrada, entonces la función de transferencia Y ( s) es: D( s) D + Gp(s)H(s) Y Created with Visi El resultado es muy similar al expresado por la ecuación (4). Entonces, para reducir el efecto de la perturbación de la salida a cualquier frecuencia es necesario asegurarse que la diferencia de retorno para esta frecuencia sea mucho mayor que uno (>>1). Control del Ancho de Banda Para ilustrar el efecto de la retroalimentación en el ancho de banda del sistema supongamos el siguiente sistema de lazo abierto: 10 D 1 S +1 Y Created with Visi Donde Y (S ) 1 − M o (s) = R(S ) s +1 M o (s) = 1 1 = δ +1 2 cuando s − jω = j1 Esto es 0.707 veces la magnitud de Mo(s) en s = 0 . Por lo tanto, el ancho de banda del sistema es 1 rad/seg. Si realimentamos el sistema anterior tenemos D 1 s +1 Y β Created with Visi M o (s) = 1 1+ s + β cuando s → 0 M o (s) = 1 1+ β Si ω = 1 + β , entonces M o ( j (1 + β )) = 1 (1 + β ) 2 Es decir, 0,707 veces el valor de la corriente continua. Entonces, el ancho de banda del sistema en lazo cerrado es (1 + β ) rad / seg . Por lo tanto, el ancho de banda en lazo cerrado es mayor que en el sistema de lazo abierto mientras β sea positivo (retroalimentación negativa), pero se ha reducido su ganancia en un factor 1 1+ β 11 s β = 0 β =1 0.5 Created with Visi Configuraciones de lazo cerrado R G1(s) + - E Gp(s) Y Y H(s) Created with Visi FIGURA 1 Para reducir la sensibilidad de la salida debido a perturbaciones de la planta y de la salida, se debe maximizar H(s). Para un H(s) grande se tiene: G1 ( s )G p ( s ) G (s) Y (s) = ≈ 1 R( s) 1 + G p ( s) H ( s) H ( s) Con frecuencia es necesario que la salida Y(s) siga lo más cerca a la referencia R(s), es decir, la señal de comando. En tal caso es natural elegir: G1 ( s) = H ( s) = Gc ( s) y el diagrama de bloques es el siguiente: 12 R E Gc(s) µ Gp(s) Y Created with Visi FIGURA 2 A los sistemas con esquemas como el representado en la figura (2) se les llama configuración G o sistemas de retroalimentación unitario con compensador serie. La ventaja de este sistema con respecto a la figura (1) − G p ( s) H ( s) 1 + G p ( s) H (s) S M c (s) H (s) = figura (1) S Mc Gc ( s ) = 1 1 + Gc ( s)G p ( s ) figura(2) La sensibilidad en cambio en la planta es la misma para los dos sistemas si H(s)=G(s). Además, a esta última configuración (G), se le puede agregar un prefiltro para el ajuste fino de la forma de la función de transferencia del sistema y de la respuesta también. R G(s) + - E Gc(s) µ Gp(s) Y Created with Visi Otro tipo de configuración R + - K µ Gp(s) Y H(s) Created with Visi K: ganancia constante en trayectoria directa 13 A este sistema se le conoce como configuración H, donde K es la ganancia constante en trayectoria directa. Se puede añadir un prefiltro para alterar la función de transferencia de un sistema en lazo cerrado. Polos y Ceros en Lazo Cerrado El control realimentado, con frecuencia puede mover los polos del sistema de lazo cerrado hacia posiciones cerradas, pero no puede mover los ceros de la planta. Los ceros originales de la planta pueden aparecer en la función de transferencia en lazo cerrado o ser cancelado por los polos. Sea R + - E K µ Gp(s) Y Created with Visi Para investigar los polos y sus ceros, la función de transferencia Gc(s)y Gp(s) se presentan en términos de los polinomios del numerador y denominador. G p ( s) = N p (s) D p ( s) Gc ( s ) = N c (s) Dc ( s) ec.(5) La función de transferencia en lazo cerrado es G c ( s )G p ( s ) N c ( s) N p ( s) Y ( s) = = R ( s ) 1 + Gc ( s )G p ( s ) Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s ) ec(6) Suponiendo que en la planta no hay cancelación de polos ni ceros, no hay ceros comunes como factores en Dp(s) ni en Np(s). Esto es importante porque si hubiere un cero común como factor de Dp(s) y Np(s) este factor necesariamente aparecerá en el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado y sería un polo del sistema en lazo cerrado (polo no controlable). No existiendo un factor común, un polinomio para los 14 polos deseados al hacer la expansión para el polinomio del denominador de la ecuación (6) igual al polinomio de los polos deseados y resolviéndolo para el numerador del controlador en Nc(s) y del denominador de Dc(s), entonces: Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s ) = D d ( s ) ec.(7) donde Dd (s ) : polinomio de polos deseados. Al resolver a ecuación (7) para los parámetros del controlador en Nc(s) y Dc(s), el sistema en lazo cerrado resultante tendrá los polos deseados determinados por los ceros de Dd(s). La ecuación (7) se llama DIOPHANTINE y siempre se puede resolver. Si la función de transferencia del controlador resultante es propia, entonces, es realizable. El diseño de control basado en la obtención de un conjunto particular de polos en lazo cerrado se llama diseño por oscilación de polos. Condiciones para un Controlador Propio por Ubicación de Polos Teorema: Supóngase que se tiene una planta estrictamente propia, de orden n, donde el orden del polinomio mónico Dp(s)es n y el orden de Np(s) es estrictamente menor que n. Un compensador propio de orden m será establecido, es decir, el orden del polinomio mónico Dp(s) es m y el orden de Np(s)es menor o igual a m. El polinomio en lazo cerrado resultante es un polinomio mónico de orden n+m. Los coeficientes que no son líderes del polinomio en lazo cerrado que determinan los polos del sistema en lazo cerrado se pueden escoger arbitrariamente sí y sólo sí no hay cancelaciones de polos ni ceros entre Dp(s) y Np(s) y si m ≥ n −1 Ejemplo: Sea G p ( s ) = N p ( s) D p (s) = 1 s +s 3 y sea Gc(s) un controlador de primer orden de modo que: Dc ( s ) = s + d 0 N c ( s) = c1 s + c0 15 Sustituyendo en la ecuación (7) se tiene: Dc ( s) D p ( s) + N c ( s) N p ( s) = ( s 3 + s)(s + d 0 ) + (c1 s + c0 ) = s 4 + d 0 s 3 + s 2 + ds + c1 s + c 0 = s 4 + d 0 s 3 + s 2 + ( d + c1 ) s + c 0 El polinomio de polos a lazo cerrado no se puede escoger arbitrariamente, al escoger los coeficientes ci y di porque el coeficiente s2 no es afectado por la elección de los coeficientes. En este problema n=3 y el teorema establece que para una población arbitraria de polos para una función de transferencia propia se debe escoger m ≥ n − 1 = 2 . El compensador de primer orden que se elige no es suficiente. Sea Dc ( s) = s 2 + ds + d 0 N c ( s ) = c2 s 2 + c1s + c0 Dc ( s) D p ( s) + N c ( s ) N p ( s) = s 5 + d1 s 4 + (1 + d 0 ) s 3 + d1 s 2 + d 0 s + c2 s 2 + c0 = s 5 + d 1 s 4 + (1 + d 0 ) s 3 + ( d 1 + c 2 ) s 2 + d 0 s + c 0 Los coeficientes correctos ahora se pueden escoger al hacer el polinomio en lazo cerrado igual a cualquier polinomio deseado de quinto orden de este modo se permite una ubicación arbitraria de los cinco polos en lazo cerrado. Ejemplo: Se quiere ubicar los polos en lazo cerrado en: s = −3 + j3 s = −3 − j3 s = −5 s = −5 s = −10 Dd ( s) = ( s + 3 − j3 )( s + 3 + j3 )( s + 5)( s + 5)( s + 10) = s 5 + 26 s 4 + 263s 3 + 1360 s 2 + 3750 s + 450 Igualando Dc ( s ) D p ( s ) + N c ( s ) N p ( s ) = Dd ( s ) , tenemos: d1 = 26 c 2 = 1334 d 0 = 262 c1 = 3488 c 0 = 4500 16 El contador Gc ( s ) = 1334s 2 + 34885s + 4500 s 2 + 26s + 262 Se observa que el control realimentado es una herramienta muy poderosa para rearreglar los polos de un sistema, sin embargo los ceros no se pueden rearreglar. La ecuación (6) muestra que los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado son la unión de los ceros de la planta y del compensador en serie (los ceros se pueden añadir al sistema en lazo cerrado al ir adicionando ceros del compensador en serie. Los ceros solo se pueden quitar al cancelar los polos en lazo cerrado. En la configuración H ocurren resultados parecidos. R + - K µ Gp(s) Y H(s) Created with Visi Entonces la función de transferencia en lazo cerrado se calcula como: KG p ( s ) KN p ( s ) D H ( s ) Y (s) = = R ( s ) 1 + KG p ( s ) D p ( s ) D H ( s ) + KN p ( s ) N H ( s ) Los ceros del sistema en lazo cerrado están formados por la unión de los ceros de la planta y los polos del compensador retroalimentador H(s). Los ceros no se pueden mover por retroalimentación solo se pueden cancelar o aumentar. Un polinomio de los polos deseados se puede realizar por la solución de la ecuación Diaphantine D p ( s ) D H ( s ) + KN p ( s ) N H ( s ) = Dd ( s ) Las restricciones en el orden de los polinomios para obtener un controlador propio son las mismas que las restricciones para la configuración G 17 RETROALIMENTACIÓN LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Hay una gran diferencia entre retroalimentación del estado y la de salida. En la retroalimentación del estado, el vector de estado completo se mide y está disponible para la realimentación mientras que en el problema de realimentación de salida solo esta disponible para la realimentación la salida de la planta. Sea el sistema de la figura: entrada control µ b + sx + 1 s x c T Y K A R + - kT entrada referencia Created with Visi Figura 1 En este caso µ = f ( x, r ) = K [r − (k1 x1 + k 2 x 2 + K + k n x n )] donde ki= coeficiente de retroalimentación K= ganancia del controlador ec.(8) 18 Razones Básicas para escoger el Sistema de Retroalimentación 1. La configuración da como resultado un sistema lineal, lo cual permite hacer uso de las técnicas basadas en transformadas para análisis y síntesis. 2. Esta configuración es lo suficientemente general como para obtener un desempeño satisfactorio en muchos problemas prácticos de control. 3. La retroalimentación de las variables de estado es un enfoque que sirve como una introducción adecuada para una gran gamma de tareas, conocido como la teoría del control moderno. El siguiente ejercicio específico nos proporcionará una generalización de un motor controlado por campo. controlador x1 = θ 0 = y K1 K + + K2 R Lf Rf RA Potenciómetro r(t) + K1 θ0 = y τ = KT i f K3 x2 = θ 0 . Tacómetro Created with Visi Figura 2 Donde E 0 ( s) =K θ 0 ( s) potenciómetro E 0 (s) =K Ω representan transductores. tacómetro 19 Transductor: dispositivo de medida que se usa para obtener una señal eléctrica representativa de cierta cantidad física. El control de la planta, esto es motor y la carga, se obtiene a través de la retroalimentación de las variables de estado como se muestra en la figura (2). Las variables que se utilizan para describir al sistema son : Posición angular: Posición vectorial: θ = x1 = y θ = x2 . Corriente de campo: i f = x 3 Un diagrama de bloques para este sistema se muestra en la figura (3) Planta controlador + + r(t) + + + + K µ s+ 1 R Lf f x3 = i f Lf I s+ s KT x 3 = 5θ 0 I 1 s θ 0 = x1 Y K3 K2 K1 Created with Visi Figura 3.a 20 R + kT x K µ 2 s+4 x3 2 s+2 x2 1 s x1 Y K3 K2 K1 + + + + Created with Visi Figura (3.b) diagrama de bloques de la representación en variables de estado. . x1 = x2 x 2 = − x 2 + 2 x3 x 3 = −4 x 3 + µ Existen cuatro elementos en el sistema que se pueden escoger y son: los tres coeficientes de retroalimentación K1,K2,K3 y la ganancia K del controlador. La representación en variables de estado de la planta se puede obtener de la figura (3.b) . . 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 1 ⎢0 − 1 2 ⎥ x + ⎢ 0 ⎥ µ x=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . ec.(10) y = [1 0 0]x ec.(11) La función de transferencia de entrada-salida de la planta se puede obtener directamente de la figura 3 o a partir de la ecuación G p ( s) = c T φ ( s )b Y (s) 4 = G p (s) = R( s) s( s + 1) s + 4) Para encontrar la representación en variables de estado del sistema en lazo cerrado completo solo es necesario sustituir la variable de la ecuación (10) por el valor de la ecuación (9). 21 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 1 x = ⎢0 − 1 2 ⎥ x + ⎢ 0 ⎥ K ( r − k 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 − 4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . [ k k 3 x) ] 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 1 ⎢0 − 1 2 ⎥ x + ⎢0⎥ Kr − ⎢0⎥ K k x=⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢0 0 − 4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ . [ k k 3 x) ] Realizando las multiplicaciones de matrices y agrupando los términos relacionados con x se tiene: ⎛ ⎡0 1 0⎤ ⎡ 0 ⎜⎢ x = ⎜ ⎢0 − 1 2 ⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎜ ⎢0 0 − 4⎥ ⎢− 2 Kk 3 ⎦ ⎣ ⎣ ⎝ . 0 0 − 2 Kk 2 ⎤ ⎞ ⎡0 ⎤ ⎟ 0 ⎥ ⎟ x + ⎢0⎥ Kr ⎥ ⎢ ⎥ − 2 Kk 1 ⎥ ⎟ ⎢2⎥ ⎦⎠ ⎣ ⎦ 0 lo cual se reduce ⎡ 0 x=⎢ 0 ⎢ ⎢− 2 Kk 3 ⎣ . 0 −1 − 2 Kk 2 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ x + ⎢0⎥ Kr 2 ⎥ ⎢ ⎥ − 4 − 2 Kk1 ⎥ ⎢2⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ec. (12) y = [1 0 0]x ec.(13) Las ecuaciones (12) y (13) son la representación en variables de estado del sistema. Existen dos diferencias entre la representación del sistema y la representación de la planta, dadas por las ecuaciones (12) y (13). Kr reemplaza la entrada de control µ . La matriz A se ha modificado con las realimentaciones de las variables de estado. Los vectores b y c permanecen sin cambio. Aunque la función de transferencia en lazo cerrado Y ( s) se puede obtener de las R / s) ecuaciones (12) y (13),. Se enfocará el problema a forzar el sistema hacia una de las configuraciones de la figura (4) 22 R + - K µ Gp(s) Y (a) H(s) R + - E Geq(s) Y (b) Created with Visi Figura 4 Estas configuraciones se refieren a las formas Gequivalente y Hequivalente , debido a que en el problema de retroalimentación lineal de las variables de estado ni Geq ni Heq son funciones de transferencia físicas, esto se hace solo para poder aplicar las técnicas desarrolladas en el enfoque de al función de transferencia para las configuraciones G y H en el problema de la realimentación de salida. En el sistema de la figura 3b se reduce a cualquiera de las configuraciones de la figura 4. La función de transferencia de lazo cerrado puede ser KG p ( s ) G eq ( s ) Y ( s) = = R ( s ) 1 + KG p ( s ) H eq ( s ) 1 + G eq ( s ) Consideremos la reducción del sistema de la figura 3b a la forma H equivalente. Para eso movemos hacia afuera los lazos interiores de retroalimentación de las variables de estado empezando por el más interno y así sucesivamente. 23 R + - 2K s+4 2 s +1 1 s Y k2 K1 + K 3 ( s + 1) s 2 + + R + - K 4 ( s + a)( s + 1) s Y k3 s 2 + (k3 + 2k 2 ) s + 2k1 2 Created with Visi Figura 17 H eq ( s) = k 3 s 2 + ( k 3 + 2k 2 ) s + 2k 1 2 Nótese que el numerador de Heq es una ecuación cuadrática en s de la forma s 2 + Bs + c y que la localización de los ceros se puede determinar como se desee por medio de la elección adecuada de los valores k1, k2 , k3. La localización de los ceros es independiente de la ganancia K del controlador. La función de transferencia es: Y ( s) 4k = 3 2 R ( s ) s + ( s + 2k 3 ) s + ( 4 + 2 Kk 3 + 4 Kk 2 ) s + 4 Kk1 Es importante recordar que Heq no es una realización formada por los elementos físicos, por lo tanto no es importante que Heq sea una función de transferencia impropia. Una ventaja que se obtiene es que Heq puede realizar el equivalente a una función de transferencia impropia y ubicar los polos de un sistema de lazo cerrado si las restricciones impuestas al crear un Heq propia para que el control sea realizable. Para reducir el sistema de la figura 3b a la forma de Geq empezamos reduciendo los lazos más internos y el último lazo debe romperse en dos lazos teniendo k1 − 1 y 1 como 24 coeficiente de realimentación. De este modo se puede obtener la forma de realimentación con ganancia unitaria. R + - + - 2K s + (4 + 2 Kk 3 ) 2 s +1 1 s Y k2 k1 R + - + - 4K s 2 + ( s + 2 Kk 3 ) s + (4 + 2k 3 + 4k 2 ) 1 s Y k1-1 R + 3 2 4K s + ( s + 2 Kk 3 ) s + (4 + 2 Kk 3 + 4k 2 ) s + (4k1 − 4 K ) Y Created with Visi La función de transferencia es la misma que para la configuración Heq(s) G eq = 4k s + ( s + 2k 3 ) s + ( 4 + 2 Kk 3 + 4 Kk 2 ) s + ( 4k + 4 K ) 1 3 2 A partir de este ejemplo de tercer orden podemos asumir que todos los sistemas de control lineales con .............pueden representarse en la forma Heq o Geq. Con respecto a este ejemplo de tercer orden se puede concluir que los ceros del sistema en lazo cerrado son idénticos a los de la planta en lazo abierto y que los polos del sistema en lazo cerrado se pueden colocar en cualquier lugar. 25 En muchas situaciones, los métodos de los diagramas de bloques proporcionan un método fácil para reducir el sistema a la forma Heq= Geq. En otra situaciones con enfoque matricial es más útil. En general, donde no se dispone de diagramas específicos o cuando se trabaja en problemas específicos y están disponibles los valores numéricos. Asumamos una planta de orden n descrita por x = Ax + bµ y = cT x . ec.(14) ec.(15) asumamos también que se genera por retroalimentación lineal en las variables de estado mediante la relación µ = k (r − k T x) ec.(16) Sustituyendo las ecuaciones (16) en (14), se obtiene la representación en lazo cerrado. x = Ax − Kbk T x + Kbr x = (a − Kbk T ) x + Kbr y = cT x haciendo Ak = A − Kbk T . . ec.(17) x = Ak x + Kbr . ec.(18) ec.(19) y = cT x donde AK : matriz del sistema en lazo cerrado µ : Kr Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (18) y (19) con condiciones iniciales iguales a cero (c.i.=0) se tiene: Sx( s) = Ak x( s ) + KbK ( s) y ( s ) = c T x( s) x( s) = K ( SI − Ak ) −1 bK ( s ) Se define la matriz resolvente de lazo cerrado ec.(20) φ k ( s ) = ( SI − Ak ) −1 = ( SI − A + Kbk T ) −1 ec.(21) 26 La función de transferencia en lazo cerrado es: Y ( s) = Kc T φ K ( s )b R( s) ec.(22) Y ( s) Kc T adj ( SI − Ak )b = R( s) det(SI − Ak ) ec.(23) El det( SI − Ak ) es el polinomio del denominador o polinomio característico en lazo cerrado. Al hacer det( SI − Ak ) =0, los valores de s que satisfacen esta ecuación característica son entonces los polos de lazo cerrado, que corresponden a los valores característicos del sistema en lazo cerrado. Es importante distinguir entre los polos a lazo cerrado y polos en lazo abierto. Los polos en lazo abierto se asocian con la planta y con el compensador diseñado. Los polos del sistema en lazo cerrado son la consecuencia de los efectos de la retroalimentación y se deben encontrar al factorizar al polinomio en lazo cerrado. Para establecer la expresiones matriciales para G eq y H eq consideremos la siguiente figura R + kT x K µ H(s) Gp(s) Y Figura(6.a) R + - E Geq(s) Y Figura(6.b) Created with Visi De la figura 6.a se ve que H eq ( s ) es la función de transferencia de Y(s) a kTx, y la combinación lineal de los estados que se usan para formar la señal de control. 27 H eq ( s ) = pero k T x( s) c T φ ( s)b x ( s ) = φ ( s )bµ ( s ) , entonces H eq ( s) = k T φ ( s)b c T φ ( s )b ec.(23) La función de transferencia directa es KG p ( s ) = Kc T φ ( s)b La función de transferencia de la ganancia del lazo es: ec.(24) k T φ (s)b KGp (s) H eq (s) = Kc φ (s)b T c φ (s)b T KG p ( s ) H eq ( s) = Kk T φ ( s)b Como la función de transferencia dada por la ecuación KG p ( s ) Y ( s) = R ( s ) 1 + KG p ( s ) H eq ( s ) ec.(25) y reemplazando los resultados anteriores podemos escribir Y (s) Kc T φ ( s )b = R ( s ) 1 + Kk T φ ( s )b ec.(26) La ecuación (26) proporciona un método alternativo para determinar Y(s)/R(s) por métodos matriciales. Para determinar Geq consideremos: KG p ( s) G eq ( s ) Y ( s) = = R ( s ) 1 + KG p ( s ) H eq ( s ) 1 + G eq ( s) ec.(27) Resolviendo la ecuación (27) para Geq(s) se tiene G eq ( s ) = KG p ( s ) 1 + KG p ( s ) H eq ( s ) − KG p ( s ) Kc T φ ( s )b G eq ( s) = 1 + K (k − c) T φ ( s )b ec.(28) 28 Propiedades de la Retroalimentación Lineal de las Variables de Estado Consideremos una planta de n polos y m ceros cuya función de transferencia es: G p ( s) = c m s m + c m −1 s m −1 + K + c 0 s n + a n −1 s n −1 + K + a 0 utilizando variables de fase, se tiene que: ⎛ 0 ⎜ . ⎜ 0 x=⎜ M ⎜ ⎜− a ⎝ 0 y = (c 0 0 L 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 L 0 ⎟ ⎜ 0⎟ x+ b M M M ⎟ ⎜M⎟ ⎟ ⎜ ⎟ − a1 L − a n −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ c1 L c m 0 0)x ec.(29) ec.(30) Si se parte de la función de transferencia la planta se puede expresar siempre en variables de fase. Si se parte de una realización física en variables de estado, normalmente se puede proporcionar una transformación lineal para llegar a las variables de fase, una vez analizado o diseñado el sistema se transforma a través del problema a la forma física de las variables de estado para su implementación práctica. Considerando H eq = H eq = k T φ ( s)b c T φ ( s )b adj ( SI − A) det( SI − A) φ ( s) = k T adj ( SI − A)b c T det( SI − A)b G p ( s) = c T φ ( s)b = ec.(31) c T adj ( SI − A)b det(SI − A) Recordando que = se sabe que: c m s m + c m−1 s m−1 + K + c0 s n + a n −1 s n −1 + K + a0 det( SI − A) = s n + a n −1 s n −1 + K + a 0 ec.(32) ec.(33) y que : c T adj ( SI − A)b = c m s m + c m −1 s m −1 + K + c 0 29 Mediante razonamiento análogo k T = adj ( SI − A) debe ser por lo tanto: k T = adj ( SI − A) = k n −1 s n −1 + k n − 2 s n − 2 + K + k 0 ec.(34) las puesto que el único cambio en la ecuación (33) es k, se sustituye por c. Reemplazando ecuaciones (33) y (34) en la ecuación (31), se tiene: H eq ( s ) = k n −1 s n −1 + k n − 2 s n − 2 + K + k 0 c m s m + c m −1 s m −1 + K + c 0 ec.(35) H eq ( s ) tiene (n-1) ceros ubicados arbitrariamente cuyas localizaciones están bajo control directo del diseñador. La función de transferencia de la ganancia del lazo está dada por: KG p ( s) H eq ( s) = K (k n −1 s n −1 + k n − 2 s n − 2 + K + k 0 ) s n + a n −1 s n −1 + K + a 0 ec.(36) La función de transferencia tiene polos donde Gp(s) tiene polos y (n-1) ceros cuyas localizaciones se determinan por la ............................ Consideremos ahora la función de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s): Y ( s) Kc T φ ( s)b Kc T adj ( SI − A)b / det(SI − A) = = R( s) 1 + Kk T φ ( s)b 1 + Kk T adj ( SI − A)b / det( SI − A) Y ( s) Kc T adj ( SI − A)b = R( s) det( SI − A) + Kk T adj ( SI − A) usando las ecuaciones (32), (33) y (34) K (c m s m + c m −1 s m −1 + K + c 0 ) Y (s) = R( s) s n + (a n −1 + Kk n −1 ) s n −1 + K + (a 0 + Kk 0 ) ⎛ ⎜ . ⎜ x=⎜ ⎜ ⎜ − (a 0 ⎝ y = (c 0 0 0 L ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ L 0 0 ⎟ ⎜ 0⎟ x + ⎜ ⎟kr ⎟ M M M M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎟ + Kk1 ) L − (a n −1 + Kk n −1 ⎠ ⎝ ⎠ ec.(38) ec.(37) La representación del sistema en variables de fase en lazo cerrado es: 0 0 M + Kk 0 ) − (a1 c1 L c m ec.(39) 0 L 0)x Los coeficientes del denominador de la ecuación (39) se pueden ajustar a voluntad por medio de una apropiada selección de K y k. 30 De las ecuaciones (38) y (39) se puede ver que el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado que resulta de la retroalimentación lineal de las variables de estado de una planta descrita mediante las variables de fase está dada por D n ( s ) = s n + ( a n −1 + Kk n −1 ) s n −1 + ( a n − 2 + Kk n − 2 ) s n − 2 + K + ( a1 + Kk 1 ) s + ( a 0 + Kk 0 ) y sea D(s) un polinomio de orden n que se desea como el polinomio de los polos en lazo cerrado (polos en lazo cerrado deseados). D n ( s ) = s n + d n −1 s n −1 + d n − 2 s n − 2 + K + d 1 s + d 0 entonces los polos del sistema en lazo cerrado se pueden colocar en la forma que se desee al hacer los coeficientes de retroalimentación de las variables de fase de acuerdo como kp = d −a K ec.(40) donde d: vectores formados por los términos di a: vectores formados por los términos ai Ejemplo: Sea la planta Gp(s) dada por G p ( s) = 4 s ( s + 1)( s + 4) las variables de fase de esta planta son: 0 ⎞ ⎛0 1 ⎜ ⎟ A p = ⎜ 0 0 10 ⎟ ⎜ 0 − 4 − 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ bp = ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ c T = (4 0 0) p se desean ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en s=-2, s=-2 ± 2j, así: (s+2)(s+2+2j)(s+2-2j). D d ( s ) = s 3 + 6 s 2 + 16 s + 16 los vectores que se necesitan para aplica la ec.(40) son: ⎛0⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 4⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎛16 ⎞ ⎜ ⎟ d = ⎜16 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ tenemos n coeficientes y (n+1)parámetros ajustables: 31 Haciendo K=1 ⎛16 ⎞ ⎜ ⎟ k = ⎜12 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 1 2 s + 3s + 4 4 H eq ( s ) = Para resumir se tienen las siguientes conclusiones respecto a los efectos de la retroalimentación lineal de variables de estado que se pueden alcanzar. 1. Función de transferencia retroalimentada a) Los polos de Heq(s) son los ceros de Gp(s). b) Heq(s) tiene (n-1) ceros ubicados arbitrariamente 2. Función de transferencia de la ganancia del lazo a) Los polos de KGp(s)Heq(s) son los polos de Gp(s). b) Los ceros de KGp(s)Heq(s) son los ceros de Heq(s), esto es hay (n-1)ceros ubicados arbitrariamente 3. Función de transferencia de lazo cerrado a) Los polos de Y(s)R(s) se pueden arbitrariamente por una elección apropiada de K y k. Para las descripciones de la planta en forma de variables de fase se encuentra fácilmente el k al usar la ecuación (40) b) Los ceros de Y(s)R(s) son los ceros de Gp(s). 32 CONTROLABILIDAD Y UBICACIÓN DE POLOS Si la planta se expresa en la forma de variables de fase cualquier polinomio de orden n se utiliza como el polinomio de los polos de lazo cerrado al usar las ganancias de la retroalimentación de las variables de estado que satisfacen la ecuación: kp = d −a K donde d: coeficiente polinomio polos en lazo cerrado deseados a: coeficientes polinomio de la planta Todas las descripciones en variables de estado cuyos polos en lazo cerrado se pueden ubicar arbitrariamente comparten una propiedad llamada controlabilidad (todas las representaciones controlables) se puede transformar en descripciones de las variables de fase mediante transformaciones lineales. Para la descripción en variables de estado dada por las ecuaciones x = Ax + bµ y=c x T . ec.(41) La matriz de controlabilidad CAB, es una matriz cuadrada cuya primera columna está dada por b, la segunda por Ab, la tercera por A2b, y así sucesivamente hasta la columna n dada por An-1b. C AB = (b Ab A 2 b K A n −1b ) ec.(42) El vector cT no entra en la matriz de controlabilidad, luego tampoco entra en el problema de controlabilidad. Una descripción en variables de estado dada por la ecuación (41) establece que es controlable si su matriz de controlabilidad asociada es invertible. La controlabilidad no cambia cuando el sistema sufre una transformación lineal de las variables de estado. Si dos grupos de variables de estado están relacionados por una transformación lineal invertible x (t ) = Px * (t ) ec.(43) P: transformación lineal 33 entonces las matrices de la descripción en variables de stado están dadas por: A* = P −1 AP b* = P −1b c* = P −1 c ec.(44) Entonces, la matriz de controlabilidad de la descripción de x* está dada por: * C A*B* = P −1 C AB ec.(45) * como P es invertible C A*B* es invertible sí ysolo sí CAB es invertible, luego la transformación lineal de una representación controlable es controlable y la transformación lineal de una representación no controlable es no controlable. La representación en variables de estado de un sistema general de orden n en variables de fase está representada por las matrices ⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ Ap = ⎢ M ⎢ ⎢ M ⎢− a 0 ⎣ 1 0 M M L L M M 0 0 1 M 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ 1 ⎥ − a n −1 ⎥ ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ bp = ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ − a1 L − a n − 2 c T = [c 0 p c1 L c m −1 cm 0 L 0] ⎡ 0 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ M ⎥ 2 ⎥ A b=⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎢ − a n −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− a n − 2 ⎥ ⎣ ⎦ Las primeras columnas de la matriz de controlabilidad para esta representación son: ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ b = ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ Ab = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢− a n −1 ⎥ ⎣ ⎦ El patrón importante es que i-ésima columna de la matriz de controlabilidad tiene n ceros en los primeros (n-i) reglones, un 1 en el reglón (n-i+1) y otros elementos en los reglones inferiores. La matriz de controlabilidad para la representación en variables de fase tiene la forma 34 C Apbp ⎡0 ⎢M ⎢ ⎢M =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎣ 0 L L 0 1⎤ M M M 1 *⎥ ⎥ M M M M *⎥ ⎥ 0 1 L 1 *⎥ 1 * L * *⎥ ⎥ * * L * *⎥ ⎦ ec.(46) *: valores distintos de cero Puesto que el determinante de la matriz (46) es la unidad, la matriz es invertible y la representación variables de fase es controlable. Como la representación en variables de fase es controlable las representaciones en variables de estado que se pueden transformar en una representación en variables de fase Son controlables pero primero tenemos el problema de encontrar la transformación lineal necesaria para transformar una representación arbitraria controlable a una representación en variable de fase. Este problema se resuelve primero al transformar el sistema a una nueva forma llamada forma canónica contable y entonces transformar de la forma canónica contable a la forma en variables de fase. Los elementos Acc y bcc de la forma canónica contable son ⎡0 0 L 0 0 − a 0 ⎤ ⎢1 0 L L L − a ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎢M M M M M − a2 ⎥ Acc = ⎢ ⎥ M ⎥ ⎢M M M M M ⎢0 L L 1 0 − a n − 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 L L 0 1 − a n −1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ bcc = ⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ec.(47) ai: coeficiente del polinomio de los polos de la planta Acc=ApT La matriz de controlabilidad C Accbcc = I ec.(48) Una propiedad importante de la forma canónica controlable, es que hay una expresión sencilla, la cual proporciona la transformación lineal entre la forma canónica controlable y otra representación controlable en variables de estado. 35 Esta relación se obtiene al encontrar la matriz P en la expresión x = Px cc ec.(49) x : vector de estado de cualquier representación en variables de estado xcc: vector de estado de la forma canónica. De la ecuación (44), se tiene: Pbcc = b PAcc = AP ec.(50) ec.(51) M etc. Finalmente se tiene que P= b [ Ab A 2 b L A n −1b ] ec.(52) Cualquier representación controlable se puede transformar a una forma canónica controlable mediante la ecuación −1 x cc = c AB x ec.(53) Una representación canónica controlable se puede transformar en cualquier otra representación controlable por la ecuación (49), con P definido como en la ecuación (52), especialmente una representación canónica controlable se puede transformar en una representación en las variables de fase mediante la ecuación x p = C Apbp x cc ec.(54) Al combinar las ecuaciones (53) y (54), tenemos la transformación que se necesita entre cualquier representación controlable y la representación en variables de fase. −1 Pp = C Apbp C Ab ec. (56) Ejemplo: Sea la representación en variables de físicas ⎡0 1 0 ⎤ A = ⎢0 − 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 4 ⎥ ⎣ ⎦ La matriz de controlabilidad es: ⎡0 ⎤ b = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ c T = [1 0 0] 36 C Ab 4 ⎤ ⎡0 0 = ⎢0 4 − 20⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 − 8 32 ⎥ ⎣ ⎦ Como esta matriz es invertible CAb-1, el sistema es controlable; C Cb −1 1 0.5⎤ ⎡ 1 = ⎢1.25 0.25 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.25 0 0⎥ ⎣ ⎦ La función de trasferencia de la planta G(s) = 4 4 = 3 s ( s + 1)( s + 4) s + 5s 2 + 4 s Las matrices de la representación en variables de fase son: 0⎤ ⎡0 1 ⎢0 0 Ap = ⎢ 1⎥ ⎥ ⎢0 − 4 − 5⎥ ⎣ ⎦ 1⎤ ⎡0 0 ⎢0 1 − 5⎥ =⎢ ⎥ ⎢1 − 5 21 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 ⎤ b p = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ c T = [4 0 0] p C Apbp La matriz de transformación entre variables físicas y de fase −1 Pp = C Apbp C Ab 0 0⎤ ⎡0.25 0.25 0 ⎥ =⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0.25 0.5⎥ ⎣ ⎦ P −1 p ⎡4 0 0⎤ = ⎢0 4 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 2 2⎥ ⎣ ⎦ Comprobar que : Ap=PpAPp-1; bp=Ppb; cp=PpTc Para resolver el problema de ubicación de polos por retroalimentación de las variables d estado, usando cualquier retroalimentación en variables de estado, debemos encontrar las ganancias para las variables físicas medidas en términos de la ganancia de retroalimentación kp; que se calcula por kp = d −a K 37 Para la representación de las variables de fase, la entrada de la planta es: µ = K (r − k T x p ) p como x p = Pp x ec.(57) (relación entre variables de fase y variables físicas) µ = K (r − k T Pp x p ) p µ = K (r − k T x) k T = k T Pp p −1 Pp = C Apbp0 C Ab ec.(58) ec. (59) Finalmente la ecuación general para la ganancia de la retroalimentación necesaria para ubicar los polos de una realización controlable arbitraria en variables de estado es: kT = d T − aT −1 C Apbp C Ab K ec.(60) La constante K se puede asignar arbitrariamente. Los parámetros que se necesitan en la ecuación (60) vienen de los polinomios de los polos en lazo cerrado y del polinomio de los polos de realización controlable en variable de estado original. Ejemplo: ⎡0 1 0 ⎤ A = ⎢0 − 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 ⎤ b = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ c T = [1 0 0] ⎡16⎤ d −a ⎢ ⎥ = ⎢12⎥ kp = K ⎢1⎥ ⎣ ⎦ K=1 k T = [16 12 1] p −1 Ap C Apbp C 0 0⎤ ⎡0.25 ⎢ 0 0.25 0 ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ 0 0.25 0.5⎥ ⎣ ⎦ k T = k T Pp p 38 ⎡ 4 ⎤ k = ⎢2.75⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.5 ⎥ ⎣ ⎦ Resumen: Un sistema es controlable si su matriz de controlabilidad es invertible. Si un sistema es controlable, sus n polos se pueden ubicar arbitrariariamente con las ganancias de retroalimentación por la ecuación (60). Nota: Modo no Controlable: implica que existe un λi (raíz característica), en lazo abierto o lazo cerrado que no se puede mover. Los polos no controlables siempre se cancelan por ceros tanto en la plante como en el lazo cerrado y en las funciones de transferencia de la ganancia del lazo (lazo abierto). 39 RESPUESTA EN EL TIEMPO En teoría de control la entrada de referencia escalón es tan común como el deseo de mover la salida de un sistema de un valor a otro. Al conocer la respuesta de escalón, también se puede obtener una cierta habilidad para determinar en general como responderá el sistema a otras entradas. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden Se basa en una ecuación diferencial de primer orden: dy (t ) 1 A + ϕ (t ) = r (t ) dt τ τ En este sistema hay dos parámetros τ y A. ec.(1) τ : Constante de tiempo de sistema ya que proporciona la información referente a la velocidad de respuesta del sistema. A: Ganancia en corriente directa (c.d.)del sistema y establece el valor final al que se aproxima la salida en la respuesta. Función de transferencia: A Y ( s) τ = A = R( S ) s + 1 τs + 1 ec.(2) τ Hay un polo en s = − 1 Sea R( s ) = 1 s A Y (s) = τ escalón unitario τ τ A A Y ( s) = − s s+ 1 y (t ) = A − Ae −t s(s + 1 ) ec.(3) respuesta escalón ec.(4) 40 τ τ Si τ es negativo implica que los polos en el semiplano derecho y la magnitud de la respuesta escalón crece exponencialmente con t y el sistema es inestable. Cualquier polo en el semiplano derecho, la exponencial asociada a él es creciente y a la larga domina todas las otras respuestas. A t 4 Created with Visi τ Cuando t → ∞ la respuesta se aproxima al valor de la función de transferencia de la ecuación (2), calculada en s=0, en este caso a esto se le llama valor final de la respuesta. Frecuentemente el valor 5τ se usa como regla para el tiempo en que el efecto de un polo es completado (régimen estacionario). Mientras τ aumenta el polo del sistema de primer orden se mueve a lo largo del eje real negativo al origen y la respuesta del sistema se hace más lenta. En general, si todos los polos del sistema están en el semiplano izquierdo, en la medida que los polos están más alejados del origen, la respuesta es más rápida. 41 Efecto de un polo adicional Sea Y ( s) P = R( s) ( s + 1)(s + p) p 1 p −1 p −1 1 + Y (s) = − s +1 s+5 s ec.(5) ec.(6) ec.(7) y (t ) = 1 − Supongamos que palo p −t 1 − pt e + e p −1 p −1 La respuesta se considera como la misma de dos términos, el término lento o dominante está dado por los dos primeros términos de la ec.(7). y d (t ) = 1 − 10 − t e = 1 − R1 e −t 9 ec.(8) y el término rápido y f (t ) = 1 −10t e 9 ec.(9) 0.1 y f (t ) y (t ) y d (t ) 0 -0.1 Created with Visi El término rápido asociado por el polo en s=-10 tiene relativamente pequeño ∀ t. El resultado es que la respuesta total está cerca de la respuesta dominante, en especial para todos los valores de t>0.5 seg y d (t ) = 1 − e ln R1e − t = 1 − e − ( t −ln R1) τ = 0.1 seg. yf(t) es ec.(10) 42 El efecto de agregar un segundo polo que se sitúa muy alejado de la porción del polo original, es para modificar la respuesta al escalón del sistema retardando o retrasando la respuesta al escalón original. Como la respuesta permanece muy similar a la respuesta de un sistema de un sólo polo se dice que el sistema es dominante de primer orden. Al variar el parámetro P en la ecuación (5) la posición del segundo polo cambia e influye la respuesta del escalón 100% ρ →∞ 10 0.5 50% 0 1 2 Created with Visi 3 4 Respuesta al escalón de un sistema de un polo y otro adicional en . y d (t ) = 1 − y f (t ) = p −t e = 1 − e −( t −ln R1) p −1 ec.(11) dominante 1 − pt e p −1 rápida p>1 (polo adicional) Efecto de un cero en u sistema dominante de primer orden Sea 10 (s + z) Y (s) = z R ( s) ( s + 1)( s + 10) ec.(13) Un polo adicional está en s = −10 , para que la función de transferencia sea estrictamente propia y la respuesta al escalón continua. Entonces, si R( s) = 1 s 43 10 ( z − 1) 1 ( z − 10) 1 z +9 z Y ( s) = − 9 s s +1 s + 10 ec.(14) Cuando z es un poco mayor que 1 el sistema tiene un polo rápido en s = −10 y el polo dominante en s = −1 la respuesta dominante es: y d (t ) = 1 − 10 ( z − 1) −t e = 1 − R1e −t = 1 − e −( t −ln R1) 9 z ec.(15) Si z está muy alejado del polo s = −10 el cero tiene poco efecto, respuesta ligeramente retardada. cuando el cero se cancela con el polo rápido resulta una respuesta de primer orden. La velocidad de al respuesta incrementa cuando el cero se mueve a lo largo del eje real (-) hacia el polo ubicado en s = −1 Cuando z1 → polos en lazo cerrado reales. 2. Si ε =1 → polos en lazo cerrado = −εω n 3. Si ε 3 luego ts = ts = 3 ξω n 4 = 3τ = 4τ 5% 2% ξω n La figura muestra la respuesta típica de un sistema de segundo orden sobre amortiguado (0 < ξ < 1) , para una entrada escalón 48 Donde td: tiempo de retardo tr: tiempo de subida tp: tiempo pico PO: sobrepeso ts: tiempo de asentamiento tr = Π−β ωd β = sen −1 ωd ωn τ d , t p , t s son inversamente proporcionales a ω n . y(t) solo es función de ξ . Para explicar más claramente la influencia de ξ y ω n sobre la respuesta en el tiempo, se consideran 3 casos especiales. 1. variar ξ con ω1 = cte 2. variar ω1 con ξ1 = cte 3. variar ξ , ω n con ξω1 = cte 49 Nótese que τ d , t s , t p , PO varían cuando ξ varía 2) P,o es constante y Td, ts y tp disminuyen a medida que Wn aumenta. 50 3) Cuando ξ y ω n varían mientras ξ ω n =cte, el lugar geométrico de los polos en lazo cerrado se convierten en una línea vertical en s = −ξω n y t s = cte . Si ξ =1, la respuesta a la función escalón se dice que es críticamente amortiguada y es de la forma y (t ) = 1 − ω n te −ω nt − e −ω nt Si ξ >1, la respuesta es sobre amortiguada y la respuesta contiene dos términos exponenciales con diferentes constantes de tiempo, como en el caso de los sistema dominantes de primer orden. Resumen La respuesta de un sistema dominante de segundo orden se aceleran debido a un cero adicional y se hace más lenta con un polo adicional. Además un cero adicional también tiene el efecto de aumentar la oscilación en el sistema, mientras que si se le agrega un polo el efecto es de disminuir la oscilación. Un cero en SPD causa una respuesta mal comportada Los polos y ceros en lazo cerrado de un sistema de control se pueden manipular para alcanzar la respuesta transitoria en lazo cerrado deseado. 51 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LAS VARIABLES DE ESTADO En este caso ni el orden del sistema, ni la naturaleza de la entrada están restringidas. Se pueden tener condiciones iniciales en cualquiera de las variantes de estado y además en la respuesta de salida. Aquí se determina el comportamiento de todas las variables de estado como función del tiempo. Asumamos que la planta a controlar está descrita por la ecuación x = Ax + b µ y el control se lleva a cabo mediante la retroalimentación de las variables de estado, de modo que µ está definido por: . µ = K (r − k T x) El sistema en lazo cerrado es x = ( A − Kbk . T ) x + Kbr x = AK x + Kbr donde AK = A − Kbk T . ec.(1) la salida está dada por y (t ) = c T x ec.(3) Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación (1) se tiene: L ( x ( t )) = X ( S ) − X ( 0 ) . L( AK x + Kbr ) = AK X ( s) + KbR( s) X ( s) − X (0) = AK X ( s) + KbR( S ) X ( s ) = ( SI − AK ) −1 X (0) + K ( SI − AK ) −1 bR( s ) X(s)= φ K ( s) X (0) + Kφ K ( s)bR( s) La respuesta en el tiempo es x(t ) = L−1 (φ K ( s )) X (0) + KL−1 (φ K ( s )bR( s )) ec.(5) ec.(3) ec.(4) x(t) se divide en dos partes: una asciende a las condiciones iniciales y la otra asociada a la función de exitación. Como un ejemplo de segundo orden consideremos el sistema mostrado en la figura 52 R + - K=10 2.5 1 s+3 1 s Y 3 25 + Created with Visi Las ecuaciones del sistema son x1 = x 2 x 2 = −3 x 2 + 25(r − x1 = x 2 x 2 = −25 x1 − 6 x 2 + 25r 1⎤ ⎡ 0 AK = ⎢ ⎥ ⎣− 25 b ⎦ ⎡0⎤ Kb = ⎢ ⎥ ⎣25⎦ . . . . 3 x 2 − x1 ) 25 −1 ⎤ ⎡s ( SI − AK ) −1 = φ K = ⎢ ⎥ ⎣25 s + 6⎦ ⎡ s + 6 1⎤ 1 ⎥ 2 2 ⎢ ( s + 3) + 4 ⎣ − 25 s ⎦ La forma como se comporta cada una de las variables de estado es al misma ya que φ K ( s) = tienen la misma ecuación característica y por lo tanto la misma ubicación de polos X ( s) = ⎡ s + 6 1⎤ ⎡ x1 (0) ⎤ ⎡ s + 6 1⎤ ⎡ 0 ⎤ 1 1 ⎥ ⎢ x (0)⎥ + ⎥ ⎢ ⎥ R( s) 2 2 ⎢ 2 2 ⎢ ( s + 3) + 4 ⎣ − 25 s ⎦ ⎣ 2 ⎦ ( s + 3) + 4 ⎣ − 25 s ⎦ ⎣25⎦ T X (0) = [2 1] X ( s) = 1 ( s + 3) 2 + 4 2 ⎡2s + 13⎤ 1 ⎢ s + 50 ⎥ + 2 2 ⎣ ⎦ ( s + 3) + 4 ⎡ 25 ⎤ ⎢25s ⎥ R( s ) ⎣ ⎦ 53 La respuesta para las c.i. con R(s)=0 es x1 ( s ) CI = x 2 ( s ) CI = Aplicando L-1 2( s + 6.5) ( s + 3) 2 + 4 2 s + 50 ( s + 3) 2 + 4 2 x1 (t ) = 2.65e −3t sen(4t + 48.8) x 2 (t ) = 13.3e −3t sen(4t + 175.7) FIGURA Respuesta en el tiempo de x1(t) y x2(t) La respuesta forzada es la contribución del último término de la ec.(5) Suponiendo la entrada escalón R(s)=1/s x1 (t ) f = 1 − 1.25e −3t sen(4t + 53.2) x 2 (t ) f = 6.25e −3t sen4t aplicando superposición tenemos la respuesta total x1 (t ) = x1 (t ) CI + x1 (t ) f x1 (t ) = 1 − 1.25e −3t sen(4t + 53.2) + 2.65e −3t sen(4t + 48) x1 (t ) = 1 + 1.41e −3t sen(4t + 45) x 2 (t ) = x 2 (t ) CI + x 2 (t ) f x 2 (t ) = 7.08e −3t sen(4t + 171.9) Otro método alternativo para determinar la transformada inversa es la notación matricial. 54 Por ejemplo, supongamos que X(s) se determinan por la ecuación (4) X(s)= φ K ( s) X (0) + Kφ K ( s)bR( s) y se escribe en la forma X (S ) = N (s) N (s) = D ( s ) (s + s 1 )(s + s 2 ) L (s + s n ) ec.(7) N(s): es un vector de polinomios en S, que son los polinomios del numerador de cada una de las variables. X ( s) = rn1 r11 r21 + +K+ ( s + s1 ) ( s + s 2 ) (s + sn ) ec.(8) donde los residuos vectoriales están dados por: ri1 = ( s + s1 ) N ( s ) D( s ) ec.(8) s = s1 Al usar la ecuación en fracciones parciales la respuesta en el, tiempo x(t) se puede escribir como: x (t ) = r11 e − s1t + r21 e − s 21 t + K + rn1e − snt La ventaja que tiene este método es que agrupa la evaluación de los residuos asociados con cada una, en una sola operación. Ejemplo: Determinar la respuesta del ejercicio anterior X (0) = [2 1] R( s) = 1 s T De este modo X(s), a partir de la ecuación (4), se convierte en 1 X ( s) = s ( s + 3) 2 + 4 2 [ ] ⎡2s 2 + 13s + 25⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎣ s − 25s ⎦ ec.(9) X ( s) = r11 αs + β + s ( s + 3) 2 + 4 2 ⎡2 s 2 + 13s + 25⎤ ⎡1⎤ 1 r11 = SX ( s) = =⎢ ⎥ ⎥ 2 2 ⎢ 2 ( s + 3) + 4 ⎣ s − 25s ⎦ s =0 ⎣0⎦ 55 X ( s) = X ( s) = X ( s) = αs + β 1 ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ + s ⎣ ⎦ ( s + 3) 2 + 4 2 r11 ( s + 3) 2 + 4 2 + αs 2 + β s ( s + 3) 2 + 4 2 [ [ ] ] (r11 + α ) s 2 + (6r11 + β ) s + 25r11 s ( s + 3) 2 + 4 2 [ ] ⎡(1 + α 1 ) s 2 + (6 + β 1 ) + 25⎤ ⎢ ⎥ α2s2 + β2s ⎣ ⎦ X ( s) = 2 2 s ( s + 3) + 4 [ ] ec.(10) Comparando la ecuación (10) con la (9) α = [1 1]T β =⎢ ⎥ ⎣− 25⎦ ⎛ 1 ⎡1⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎞ ⎜ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎟ ⎜s 1 ⎟ ⎣ ⎦ ⎣− 25⎦ ⎠ ⎝ ⎡ 7 ⎤ 1 ⎡1⎤ 1 X ( s) = ⎢ ⎥ + s ⎣0⎦ ( s + 3) 2 + 4 2 ⎡1⎤ ⎡ 1.41e −3t sen(4t + 45) ⎤ x(t ) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ − 3t ⎣0⎦ ⎣7.07e sen(4t + 171.9)⎦ A menudo se observa que en los sistemas en cascada, o sea, sistemas en los cuales los bloques de las funciones de transferencia aparecen en serie, solo con un elemento de b, el enésimo es ≠ 0 . Bajo estas circunstancias es más fácil encontrar solo x1(t) y después las otras variables en función del tiempo a partir de x2(t). Ejemplo: Sea el sistema de la figura con CI=0 , la entrada es una función escalón en t=0 R + - K=10 4 s+5 2 s+2 1 s Y 7 40 3 10 + + + + Created with Visi 56 Se determina X1(s) a partir del conocimiento de Heq(s) transferencia. KG p ( s ) Y ( s) = R( s ) 1 + KG p ( s ) H eq ( s ) G p ( s) = H eq ( s ) = 8 ( s + 5)( s + 2) s 1 (7 s 2 + 38s + 80) 80 y de la función de Y ( s) 80 = 3 2 R( s ) s + 14s + 48s + 80 Y ( s) 80 = 2 R( s ) ( s + 2) + 2 2 ( s + 10) [ ] Para una entrada escalón Y ( s) = X 1 ( s) = [ 80 ( s + 2) + 2 2 ( s + 10) 2 ] de donde x1 (t ) = 1 − . 2 −10t e − 1.72e − 2t sen(2t + 30.9) 17 x 2 (t ) = x 1 (t ) x3 (t ) = x3 (t ) = x3 (t ) = 1⎡d ⎤ ⎢ dt x 2 (t ) + 2 x 2 (t )⎥ 2⎣ ⎦ 1. x 2 (t ) + x 2 (t ) 2 1 .. x 1 (t ) + x1 (t ) 2 En teoría de control la entrada de referencia escalón es tan común como el deseo de mover la salida de un sistema de un valor a otro. Al conocer la respuesta de escalón, 57 también se puede obtener una cierta habilidad para determinar en general como responderá el sistema a otras entradas. Métodos de Dominio en el Tiempo El método utiliza la transformad inversa de Laplace de la matriz resolvente la que se refiere como la matriz de transferencia de estado φ K (t ) y que requiere el uso de la integral de convolusión. Dada la ecuación x(t ) = KL−1 [φ K ( s )]x(0) + KL−1 [φ K ( s )bR ( s )] ec.(11) Para encontrar la contribución a x(t) debido a la función de exitación r(t), es necesario encontrar la transformada de Laplace inversa. x f (t ) = KL−1 [φ K ( s )bR( s )] ec.(12) La transformada inversa de Laplace involucra la inversa del producto de dos transformadas inversas de Laplace R(s) y φ K (s) . Puesto que la multiplicación en el dominio de la transformada corresponde a la convolución en el dominio del tiempo, entonces se puede tomar la transformada inversa requerida por la ecuación (11). Al reemplazar la multiplicación en el dominio de S por la integral de convolución. El resultado, todavía en notación matricial, es: x(t ) = φ k (t ) x(0) + K ∫ φ K (t − τ )br (τ )dτ 0 b La matriz de transmisión de estados φ k (t ) del sistema en lazo cerrado se define como: φ k (t ) = L−1 [φ k ( s )] = L−1 [( SI − AK ) −1 ] φ k (t ) = e A (t ) k φ k (t ) = e A(t ) 58 Propiedades de las matrices de estado 1. φ (0) = e A0 = I 2. φ (t ) = (e At ) −1 = φ (t ) ∨ φ −1 (t ) = φ (−t ) 3. φ (t1 + t 2 ) = e A(t1 +t2 ) = e At1 e At2 = φ (t1 )φ (t 2 ) 4. [φ (t )]n = φ ( nt ) 5. φ (t 2 − t1 )φ (t1 − t 0 ) = φ (t 2 − t 0 ) = φ (t1 − t 0 )φ (t 2 − t1 ) Ejemplo: Obtener la respuesta temporal del siguiente sistema ⎡. ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ x1 ⎥ = ⎢ . ⎥⎢ ⎥ + ⎢ ⎥µ ⎢ x 2 ⎥ ⎣− 2 − 3⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1⎦ ⎣ ⎦ µ t>0 se aplica µ (t ) = 1 : función escalón Para este sistema 1⎤ ⎡0 A⎢ ⎥ ⎣− 2 − 3⎦ ⎡0 ⎤ b=⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ φ (t ) = e At = L−1 [( SI − A) −1 ] 1 ⎤ ⎡s − 1 ⎤ ⎡ s 0⎤ ⎡ 0 SI − A = ⎢ −⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0 s ⎦ ⎣− 2 − 3⎦ ⎣2 s + 3⎦ ( SI − A) −1 = ⎡ s + 3 1⎤ 1 ( s + 1)( s + 2) ⎢ − 2 s ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎤ ( s + 1)( s + 2) ⎥ ⎥ s ⎥ ( s + 1)( s + 2) ⎥ ⎦ ( SI − A) −1 s+3 ⎡ ⎢ ( s + 1)( s + 2) =⎢ −2 ⎢ ⎢ ( s + 1)( s + 2) ⎣ φ (t ) = e At = ⎢ ⎡ 2e −t − e −2t −t − 2t ⎣− 2e + 2e e −t − e −2t ⎤ ⎥ − e −t + 2e − 2t ⎦ La respuesta al escalón 1 59 t ⎡0 ⎤ x(t ) = φ (t ) x(0) + 0∫ [φ K (τ )]⎢ ⎥[1]dτ 0 ⎣1 ⎦ 1 1 ⎡ x1 (0) ⎤ ⎡ e −t + e − 2t ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎢2 ⎥ 2 ⎢ x (t )⎥ = φ (t ) ⎢ x (0)⎥ + ⎢ ⎥ −t − 2t ⎣ 2 ⎦ ⎣ e −e ⎣ 2 ⎦ ⎦ 60 ERRORES DE ESTADO PERMANENTE Una de las grandes ventajas de los sistemas retroalimentados es la capacidad para seguir a la entrada de referencia y mantener esta posición a pesar de las perturbaciones. El teorema del valor final de la transformas de Laplace es el instrumento que se utiliza para investigar la operación en estado estacionario (SS). El teorema plantea que si la señal e(t) tiende a un valor constante, el valor en estado estacionario se puede calcular como: e ss = lim e(t ) = lim SE ( s ) t →∞ s →0 ec.(1) dado el sistema de la figura D R E 1 S +1 Y Created with Visi El error en la señal de entrada de referencia R y la salida Y aparece como la señal E. La relación entre el error y la entrada es E (s) = 1 {R( s ) − D( s)} 1 + G ( s) ec.(2) A excepción del cambio de signo, el error responde de un modo idéntico a la entrada de referencia y perturbaciones. 1. Si el error=0 para entradas de referencia a la planta entonces Y(S)=R(s) 2. Si el error=0 para respuesta a una perturbación, entonces el efecto de la perturbación se elimina a la entrada de la planta. A partir de la ecuación (1) se ve que el método básico para mantener pequeño el error es hacer que S sea grande. 61 Entrada escalón Sea r(t) un escalón de altura A de modo que R(s)=A/s ⎞A ⎛ A 1 ⎟ = e ss = lim s⎜ s →0 ⎜ 1 + G ( s ) ⎟ s 1 + lim G ( s ) ⎠ ⎝ s →0 Entonces es deseable que lim G ( s ) sea lo más grande posible, en efecto si G(s) tiene s→ 0 uno o más polos en s=0, entonces habrá un error en estado estacionario igual a cero en respuesta a una entrada de referencia o perturbaciones constantes. El número de integradores, es decir, el número de polos en el origen de la función de transferencia de la ganancia de lazo cerrado define el número del tipo del sistema. Para un sistema tipo 0 , no hay integradores y la cantidad G(0) es finita. Una constante llamada error de posición Kp se utiliza para indicar el tamaño de de G(0). K p = G (0) = lim G ( s ) s →0 Kp solo tiene importancia con respecto a la entrada escalón ya que un escalón físicamente significa un cambio en la posición de la referencia para un sistema posicionador. ess = para A A = 1 + G (0) 1 + K p Kp grande, entonces ess pequeño Kp = Yss ess Para un sistema tipo 1 o mayor, el error en estado estacionario para la entrada escalón es cero, K p → ∞ s+2 s ( s + 1)( s + 2) Ejemplo: G(s) = sistema tipo 1, pues tiene un polo en el origen. 62 Entrada Rampa r (t ) = At R( s) = A / s 2 ⎞ A ⎛ A 1 ⎟ e ss = lim s⎜ = s →0 ⎜ 1 + G ( s ) ⎟ s 2 lim SG ( s ) ⎠ ⎝ s →o Puesto que la entrada rampla corresponde a un cambio de velocidad a un sistema de control de posición, a la constante de error asociada con la entrada rampla se le llama constante de error de velocidad K v = lim SG ( s ) s →o Si G(s) es sistema tipo 0, entonces Kv es cero y ess es infinito, esto crece con el tiempo. Si se tiene un sistema tipo 1 y se desea que este siga a una rampla dentro de algún grado de exactitud, se debe asociar por lo menos un integrador al controlador. Si G(s) es un sistema tipo dos o mayor, el error ess=0 para entrada o perturbación rampla. Para un sistema tipo 1, Kv tiene el valor finito ( ≠ 0 ) y el error en estado estacionario es: ess = A Kv 63 Figura Entrada Parabolica.. 64


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