Chuyen de- Phuong Trinh Nghiem Nguyen

Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 1 Phöông trình vôùi nghieäm nguyeân Daïng toaùn naøy laø moät trong nhöõng daïng toaùn khoù trong boä moân Toaùn Soá , nhöõng phaàn maø toâi neâu ra döôùi ñaây chæ laø nhöõng daïng cô baûn nhaát . Tuy nhieân, ñeå hieåu ñöôïc noù tröôùc heát caàn naém ñöôïc Lyù thuyeát soá . Daïng Phöông trình moät aån - heä soá nguyeân Daïng toång quaùt : anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + ao = 0 (1) Caùch giaûi : vaän duïng caùc tính chaát sau Neáu x = b laø nghieäm cuûa phöông trình (1) thì b laø öôùc cuûa Neáu an = 1 thì nghieäm höõu tæ neáu coù cuûa (1) laø soá ao nguyeân Qui taéc tìm nghieäm :  Tìm caùc öôùc cuûa ao  Thöû laàn löôït caùc öôùc cuûa ao vaøo veá traùi cuûa (1) Phöông trình baäc nhaát hai aån ( Phöông trình Diophante - Giaûi tích Diophante) {Diophante - Ngöôøi ñaàu tieân nghieân cöùu coù heä thoáng veà Phöông trình voâ ñònh , soáng ôû theá kyû thöù III.Taäp saùch “Soá hoïc “ cuûa oâng coù aûnh höôûng raát lôùn ñeán söï phaùt trieån cuûa Lyù thuyeát Soá} Daïng toång quaùt : ax + by = c (2) Caùch giaûi : vaän duïng caùc tính chaát sau Giaû söû a, b, c ∈ Z ; a, b ≠ 0 vaø d = (a , b) . Khi ñoù : Phöông trình (2) coù nghieäm khi vaø chæ khi d ∈Ö( c ) Neáu (xo , yo) laø moät nghieäm cuûa ax + by = 1 vôùi (a , b) = 1 thì (cxo , cyo) laø moät nghieäm cuûa phöông trình (2) Neáu (xo , yo) laø moät nghieäm nguyeân cuûa (2) vôùi (a , b) = 1 thì moïi nghieäm nguyeân cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh bôûi heä thöùc : x = xo + bt y = yo - at ; vôùi t ∈Z Thaät vaäy , vì (xo , yo) laø moät nghieäm nguyeân cuûa (2) ⇒ axo + byo = 1 ⇒ axo + byo = ax + by axo + by o − by b( y o − y ) y −y =t ∈ Z ⇒y = ⇒x = = xo + ⇒ { (a , b) = 1 ⇒ o a a a yo - at } Phöông trình voâ ñònh daïng x2 + y2 = z2 ( Phöông trình Pithago ) Caùch giaûi : 2 2 2  Phöông trình voâ ñònh daïng x + y = z coù voâ soá nghieäm nguyeân xaùc ñònh bôûi coâng thöùc ( Ñònh lyù tìm nghieäm naøy ñaõ ñöôïc bieát töø Euclide ) : u2 − v 2 u2 + v 2 x = u.v ; y = ;z= 2 2 vôùi u , v ∈ Z ; u , v leû ; u > v ; (u, v) = 1  Phöông trình voâ ñònh daïng x2 - Py2 = 1 ( Phöông trình Pell ) ( P ∈Z+ , khoâng laø soá chính phöông ) { Ñaây laø moät daïng phöông trình Diophante baäc 2, xuaát phaùt töø moät baøi toaùn do Archimeøde ñaët ra, baøi toaùn coù 8 aån soá thoûa maõn 7 phöông trình, ñöa ñeán vieäc tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Ví duï * Khi u = 3 ; v = 1 ⇒ x = 3 ; y = 4 ; z = 5 * Khi u = 5 ; v = 3 ⇒ x = 15 ; y = 8 ; z = 17 Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 2 Naêm 1880 ngöôøi ta ñaõ tìm ra nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát cuûa (1) vôùi x laø soá coù 45 chöõ soá , y coù 38 chöõ soá } Caùch giaûi :  taàm thöôøng .   Phöông trình Pell coù nghieäm x = ± 1 , y = 0 ñöôïc goïi laø nghieäm Phöông trình Pell luoân coù voâ soá nghieäm khoâng taàm thöôøng. Giaû söû xo , yo laø caùc soá nguyeân döông nghieäm ñuùng phöông trình Pell, theá thì caùc caëp soá (x o , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuõng laø nghieäm. Do ñoù ñeå tìm nghieäm khoâng taàm thöôøng cuûa phöông trình Pell, ta chæ caàn tìm caùc nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình ñoù. Taát caû caùc nghieäm nguyeân döông (xk ; yk ) cuûa phöông trình ñöôïc xaùc ñònh töø ñaúng thöùc : vôùiù k = 1, 2, 3,...trong ñoù (x1 , y1) laø nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát .  Vôùi P nhoû , vieäc tìm (x 1 , y1) khoâng khoù khaên laém - chuùng ta chæ vieäc thöû laàn löôït y = 1, 2, 3, 4, 5... ñeå tìm x2 = Py2 + 1 laø moät soá chính phöông . Vì x, y coù maët ôû veá traùi cuûa (*) döôùi daïng bình phöông neân ta coù theå haïn cheá ôû vieäc tìm caùc nghieäm nguyeân khoâng aâm . Hieån nhieân raèng x = 1 ; y = 0 laø moät nghieäm - goïi laø nghieäm taàm thöôøng cuûa (*). Ta coøn phaûi tìm caùc nghieäm khoâng taàm thöôøng (x, y > 0) Neáu trong phöông trình P laø moät soá chính phöông P = k2 (k∈Z+) thì (*) chæ coù nghieäm taàm thöôøng, thaät vaäy khi ñoù (*) coù daïng x2 - (ky)2 = 1 vaø chuù yù raèng hieäu cuûa hai soá chính phöông baèng 1 khi hai soá chính phöông aáy laø 1 hoaëc 0 ⇒ x2 = 1 ; (ky)2 = 0 ⇒ x = 1 ; y = 0 . Taïi sao P laø soá nguyeân döông khoâng chính phöông ? . Ta haõy xeùt phöông trình toång quaùt hôn, ñoù laø phöông trình : x 2 - Py2 = 1 (*) trong ñoù P laø soá nguyeân döông cho tröôùc . Nhö vaäy : Ñieàu kieän caàn ñeå phöông trình (*) coù nghieäm khoâng taàm thöôøng laø P khoâng phaûi laø moät soá chính phöông . @ Ñeå tìm söï thuù vò khi nghieân cöùu phöông trình nghieäm nguyeân , môøi caùc Baïn nghieân cöùu kyõ daõy caùc minh hoïa sau : Minh hoïa Tìm nghieäm nguyeân cuûa x2 - 5x + 6 = 0 Nghieäm nguyeân neáu coù phaûi laø öôùc cuûa 6, bao goàm caùc soá : ± 1 ; ± 2;± 3;± 6 Ñaët f( x ) = x2 - 5x + 6 ⇒ f( 2 ) = f( 3 ) = 0 ⇒ Phöông trình coù 2 nghieäm nguyeân x = 2 ; 3 Tìm nghieäm höõu tæ cuûa 3x2 - 5x + 2 = 0 (1) Ta coù (1) ⇔ 9x2 - 5.3x - 6 = 0 ; ñaët 3x = t ⇒ t2 - 5t - 6 = 0 (2) Nghieäm nguyeân neáu coù cuûa (2) phaûi laø öôùc cuûa 6 ; deã thaáy (2) coù hai nghieäm t = -1 , t = 6 1 Khi t = -1 ⇔ 3x = -1 ⇔ x = 3 Khi t = 6 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 {Phöông phaùp ñaët lieân tieáp caùc aån phuï } Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình 8x + 11y = 73 1 − 3y + . 8 Vì (8 , 11) = 1 neân phöông trình coù nghieäm nguyeân 8x = 73 - 11y ⇒ x = 9 - y 1 − 3y 1+ t = t ∈ Z ⇒ Ta coù : 3y + 8t = 1 ⇒ 3y = 1 - 8t ⇒ y = -3t + 8 3 1+ t Ñaët = u ∈ Z ⇒ Ta coù : t = 3u - 1 3 Ñaët Z Vaäy : x = 9 - y + t ; y = -3t + u ; t = 3u - 1 ⇒ x = 11u + 5 ; y = -8u + 3 vôùi u ∈ Tìm nghieäm nguyeân döông , nhoû nhaát ( x , y ) cuûa phöông trình 17x - 29y = 100 (1) Vì (17 , 29) = 1 ⇒ phöông trình coù nghieäm nguyeân Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 3 (1) ⇒ x = 6 + 2y - ∈ Z ⇒ t = 5u + 1 Vaäy : x = 29u + 11 ; y = 17u + 3 t -1 t -1 2 + 5y 2 + 5y . Ñaët = t ∈ Z ⇒ y = 3t + 2. ; ñaët =u 17 17 5 5 -3 vaø u ∈ Z ⇒ u = 0 , 1 , 2 , 1 7 Vì x , y > 0 ⇒ 29u + 11 > 0 vaø 17u + 3 > 0 ⇒ u > ... Nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát laø x = 11 ; y = 3 khi u = 0 {Söû duïng tính chia heát cuûa ña thöùc } Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình : z = Ta coù yz = x - 1 + 2t x2 − x +2 x + y 1 1+2 - x y ⇒ 1 + 2y - x = 0 hoaëc 1 + 2y - x ≥ xy + 1 xy + 1 Neáu 1 + 2y - x = 0 thì yz = x - 1 neân yz = 2y ⇒ z = 2 ; y = t ∈ N* ; x = 1 + Neáu 1 + 2y - x ≥ xy + 1 thì 2y ≥ x(y + 1) hay x ≤ y + 1 = 2 − y +1 0 neân x + 9y > 0 ⇒ x - 9y > 0 ⇒ x + 9y = 1 ⇒ ; x - 9y = 1 ⇒ x = y = 0 : giaù trò khoâng thoûa. ⇒ phöông trình ñaõ cho chæ coù nghieäm : (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) ⇒ Toång quaùt : 1 ; 2 Phöông trình x2 - k2y2 = 1 vôùi k∈ N chæ coù nghieäm taàm thöôøng x = ± 1 ; y = 0 Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x2 + 3y2 = 6xy - 6 (1) (1) vieát laïi nhö sau : x2 - 6xy + 3y2 + 6 = 0 Ñeå phöông trình coù nghieäm x nguyeân thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû (do heä soá x2 laø 1) laø ∆ = 6y2 - 6 = m2 : laø moät soá chính phöông . Roõ raøng m2 laø boäi 6 ⇒ m laø boäi 6 ⇒ xem m = 6t vôùi t ∈Z ⇒ y2 - 6t2 = 1 : Phöông trình Pell ⇒ Nghieäm taàm thöôøng laø (y , t) = (1 , 0) ; (-1 , 0) vaø nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát laø y1 = 5 ; t1 = 2 ⇒ Caùc nghieäm nguyeân döông (yk , tk) ñöôïc xaùc ñònh töø ñaúng thöùc : yk + t k 6 = (5+ 2 6)k Giaûi phöông trình trong taäp soá nguyeân : 3x2 + 48y2 = 1003 + 30xy (1) Xem (1) laø moät phöông trình baäc II theo x : 3x2 - 30xy + 48y2 - 1003 = 0 ⇒ ∆ ‘ = 81y2 + 3009 = k2 : laø soá chính phöông ñeå coù x nguyeân ( k∈Z+) ⇒ k2 - 81y2 = 3009 ⇒ (k + 9y)(k - 9y) = 3.17.59 . Vì k + 9y > k - 9y ⇒ Xaûy ra 4 khaû naêng sau ñaây : Trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng thaáy y khoâng nguyeân ⇒ Baøi toaùn voâ nghieäm ! { Chuù yù , deã daøng keát luaän ngay baøi toaùn voâ nghieäm vì 1003 khoâng chia heát cho 3 } Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình sau ñaây : 9x2 - 15xy + 4y2 + 38 = 0 (1) Xem (1) laø phöông trình coù aån x vaø tham soá laø y . Ñeå x nguyeân , ñieàu kieän caàn laø ∆ = 81y2 - 1368 = k2 : chính phöông (k ≥ 0) (2) Nhaän thaáy 81y2 - k2 = 1368 chæ chöùa luõy thöøa baäc chaün neân chæ vieäc tìm caùc nghieäm nguyeân döông seõ suy ra caùc nghieän coøn laïi .Töø ñoù (2) coù theå vieát laïi laø : (9y + k)(9y - k) = 23.32.19 . Vì y, k > 0 ⇒ 9y + k > 0 ⇒ 9y - k > 0  k − 9y = 1  k + 9y = 3 0 0 9   k − 9y = 1 7  k + 9y = 1 7 7   k − 9y = 3  k + 9y = 1 0 0 3   k − 9y = 5 1  k + 9y = 5 9  Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 5 vaø do (9y + k) + (9y - k) = 18y ⇒ Ta chæ xeùt 2 tröôøng hôïp toång hai soá laø boäi cuûa 18 . ⇒x = 15 y ± k 15.7 ± 51 = =3 18 18 ⇒ caùc nghieäm laø (x , y) = (3 , 7) ; (-3 , -7) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 2x2 + 3y2 - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0 (1) 15 .13 ± 111 = 17 18 ⇒ caùc nghieäm laø (x , y) = (17 , 13) ; (17 , -13)  9y + k = 2 2 8  9y− k= 6 ⇒ y= 1 ;k= 13 1 1  ⇒x = Xem phöông trình laø baäc II ñoái vôùi x . Khi ñoù (1) ⇔ 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y -3=0 Ñeå coù x nguyeân thì ñieàu kieän caàn laø ∆ = y2 - 14y + 33 = k 2 ( k nguyeân khoâng aâm) (2) Xem (2) laø phöông trình baäc II ñoái vôùi y ⇒ { (2) ⇔ y2 - 14y + 33 - k2 = 0 } vaø δ ‘(2) = 16 + k2 = m2 ( m ∈Z+) Vì m > k ≥ 0 ; 16 = (m + k)(m - k) maø m + k > 0 ⇒ m - k > 0 . Ñeå yù (m + k) + (m - k) = 2m neân chuùng ñoàng thôøi chaün hay leû . Ta coù baûng :  m+ k = 8 ⇒m = 5 ; k = 3   m− k = 2  m+ k = 4   m− k = 4 ⇒ ( x , y ) = (15 , 12) ; (1 , ⇒ ( x , y ) = (13 , 11) ; 2) (3 , 3) ( Söû duïng tính chaát cuûa soá nguyeân toá ) Tìm 3 soá nguyeân toá khaùc nhau bieát tích cuûa 3 soá ñoù gaáp 3 laàn toång cuûa chuùng . Goïi 3 soá nguyeân toá ñoù laø a , b , c ⇒ abc = 3( a + b + c ) ⇒ abc  ⇒ coù 3 moät soá chia heát cho 3, giaû söû laø soá a M 3 . Vì a nguyeân toá neân a = 3 ⇒  b + c = 3 + b + c ⇒ b( c - 1 ) = 3 + c ⇒ b = 3 + c = 1 + ⇒ c - 1 4 Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x53 + y53 = 53z (1) Vì z ∈Z ⇒ x53 + y53  Vì 53 laø soá nguyeân toá neân theo ñònh lyù Fermat : 53. Töø ñoù tính ñöôïc c = 2 ⇒ b = 5 ; c = 5 ⇒ b = 2 c −1 x53 - x  vaø y53 - y  53 53 Khi ñoù (1) ⇔ 53z = (x53 - x) + (y53 - y) + (x + y) coù nghieäm ⇔ x + y = 53t ( t ∈ Z) ⇒ Nghieäm baøi toaùn : x = u (u ∈Z) ; y = 53t - u ; z = Giaûi phöông trình 1 + p + p2 + p3 + p4 = x2 (1) ( p nguyeân toá , x nguyeân ) Ta coù (1) ⇔ 4x2 = 4 + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 (2) Maët khaùc : (2x)2 = 4x2 > 4p4 + 4p3 + p2 = ( 2p2 + p)2 vaø (2x)2 = 4x2 < 4p4 + p2 + 4 + 4p3 + 8p2 + 4p = ( 2p2 + p + 2)2 ⇒ (2x)2 = ( 2p2 + p + 1)2 (3) . Töø (2) & (3) ⇒ p2 - 2p - 3 = 0 ⇒ p = -1 (loaïi) hoaëc p = 3 . Vôùi p = 3 ⇒ x = 121 ⇒ nghieäm phöông trình ( p , x ) = ( 3 , 11 ) ; ( 3 , -11) u53 + (53t − u) 53 53 Coù hay khoâng caùc soá nguyeân toá x , y , z thoûa maõn phöông trình : x 2 + y3 = z4 (1) ( Voâ ñòch LX laàn thöù 14 - 1980 ) . Töø (1) , ta thaáy 3 soá x, y, z khoâng cuøng leû ⇒ coù ít nhaát moät soá baèng 2 Neáu z = 2 thì x2 + y3 = 16 ⇒ y < 3 ⇒ x2 = 8 (voâ lyù !). Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 6 Tìm hai soá x, y nguyeân vaø soá nguyeân toá p sao cho : x4 + 4y4 = p (1) Ta thaáy ñeå p nguyeân toá thì x ≠ 0 hay y ≠ 0 ; (1) chæ chöùa luõy thöøa baäc chaün cuûa x, y neân tröôùc heát ta xeùt caùc x, y nguyeân döông. Ta coù p = (x2 + 2y2)2 - 4x2y2 = [(x - y)2 + y2][(x + y)2 + y2] Vì (x + y)2 + y2 > 0 ⇒ (x - y)2 + y2 = 1 ⇒ x = y = 1 ; z = 5 ⇒ coù 4 boä nghieäm ! Neáu y = 2 thì 8 = (z2 + x)(z2 - x) , maø z2 + x > 0 ⇒ z2 - x > 0 vaø (z2 + x) + (z2 x) = 2z2 ⇒ phaân tích 8 = 2.4 , nhöng khi ñoù 2 + 4 = 2z 2 ⇒ z khoâng nguyeân (loaïi) Neáu x = 2 thì y3 = (z2 + 2)(z2 - 2) vaø do(z2 + 2) - (z2 - 2) = 4 ⇒ y = 2 hoaëc z2 2 = 1(loaïi). x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z chaün ⇒ z = 2 : khoâng nghieäm ñuùng phöông trình ⇒ Baøi toaùn voâ nghieäm ! Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 1 + x + x 2 + x3 = y3 ( Thi Toaøn quoác lôùp 9 - 1982 ) 1 2 3 Nhaän thaáy : 1 + x + x2 = (x + ) + > 0 ⇒ y3 > x 3 ⇒ y > x ⇒ y ≥ x + 1 2 4 Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) Neáu y = x + 1 thì 1 + x + x2 + x3 = (x + 1)3 ⇒ 2x (x + 1) = 0 ⇒ (x , y) = (0 , 1) ; (-1 , 0) Neáu y > x + 1 thì 2x2 + 2x < 0 ⇒ -1 < x < 0 : loaïi ! Ñaët a = y2 + 3y ⇒ x2 = (y2 + 3y)( y2 + 3y + 2) = a2 + 2a . Neáu a > 0 thì a2 < x2 = a2 + 2a < a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 ⇒ x2 : khoâng chính phöông ( Voâ lyù ! ) Vaäy a ≤ 0 ⇒ y2 + 3y ≤ 0 ⇔ -3 ≤ y ≤ 0 ⇒ (x , y) = (0 , 0) ; (0 , -1) ; (0 , -2) ; (0 , -3) Tìm boä soá (x , y , u , v) nguyeân thoûa maõn ñaúng thöùc : 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + 2 = 1 (1) x y u v 1 1 1 1 1 Deã thaáy raèng : 2 ; 2 ; 2 ; 2 ≤ ⇒ Veá traùi (1) ≤ 1 x y u v 4 Vaäy daáu ‘=‘ xaûy ra khi  x = y = u = v = 2 ⇒ x , y , u , v nhaän caùc giaù trò tuøy yù 2 hoaëc -2 . Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình :  12x2 - 3x - 2 = 5y - 8x - 2x2 (1) Xeùt x = 0, 1, 2 ⇒ 5y = 2, 13, 24 ⇒ y khoâng nguyeân Xeùt 5y = 4x2 + 5x - 2 ⇒ 4x2 - 2  5 vaø do 4x2 - 2  ⇒ 2x2 ≡ 1 (mod 10) ⇒ x ∉ Z 2 ⇒ Baøi toaùn voâ nghieäm ! Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 = y3 + 2y2 + 3y + 1 (1) Töø (1) ⇒ x3 + y2 = (y + 1)3 ⇒ x ≤ y + 1. Vì x3 - y3 = 2y2 + 3y + 1 ≥ 0 vôùi moïi y nguyeân ⇒ x ≥ y. ⇒ x = y hoaëc x = y + 1 ⇒ nghieäm cuûa phöông trình : ( x , y ) = (-1 , -1) ; (1 , 0) Tìm nghieäm (x , y , z) nguyeân thoûa maõn ñaúng thöùc : 4xy - x - y = z2 (1) Ta coù : (1) ⇔ (4x - 1)(4y - 1) = 4z2 + 1. Goïi p laø öôùc nguyeân toá baát kyø cuûa 4x - 1 (hieån nhieân p cuõng laø öôùc cuûa 4z 2 + 1) ⇒ 4z2 ≡ -1 (mod p) ⇒ (2z)p - 1 ≡ 1 (mod p) {ñònh lyù nhoû Fermat } ⇒ (4z 2 ) p− 1 p −1 2 1  1 1 + x2 k h- i ≤ x ≤ 2  21 Töø (1) ⇒ 5 y = 2  4 x+ 5 −x2 k hx ≤i − ;x ≥ 2 2  ≡ (−1) p −1 2 (mod p) + Töø ñoù : 1 ≡ ( − 1) 2 (mod p) ⇒ p - 1 = 4k (k∈Z ) ⇒ p = 4k + 1 . Vaäy moïi öôùc nguyeân toá cuûa 4x - 1 ñeàu coù daïng 4k + 1 ⇒ 4x - 1 cuõng coù daïng 4k + 1 hay 4x - 1 = 4k + 1 ⇒ 4(x - k) = 2 ⇒ 2  voâ lyù ! ) ⇒ Vno ! 4( Tìm nghieäm x , y nguyeân döông cuûa phöông trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1) Töø phöông trình (1), ta coù y2 = (x + 6)2 + 1959 ≥ 1959 ⇒ y ≥ 45 . Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 7 Maët khaùc -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) vôùi x + y + 6 ≥ 52 vaø 1959 = 3 . 653 ⇒ x + y + 6 = 653 ; x - y + 6 = -3 hoaëc x + y + 6 = 1959 ; x + 6 - y = -1 ⇒ nghieäm phöông trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944) Tìm caùc soá töï nhieân n sao cho : k2 = n2 + 6n + 1989 (1) laø moät soá chính phöông Töø (1) ⇒ k ≥ 45 vaø (n + k + 3)(n - k + 3) = -22.32.5.11 Maët khaùc n + k + 3 > n - k + 3 vaø (n + k + 3) + (n - k + 3) laø soá chaün ⇒ (n + k + 3 , n - k + 3) = (990 , -2) ; (330 , -6) ; (198 , -10) ; (110 , -18) ; (90 , -22) ; (66 , -30) . ⇒ n ∈ { 491 , 159 , 91 , 43 , 31 , 15 } Giaûi phöông trình trong taäp Z : xy.(y + 4) = 4.(289y - x) (1) Neáu x = 0 thì y = 0 Neáu y ≠ 0 thì (1) ⇔ 4x + 1 = y3 + 8y (2) Ta coù (2) ⇔ 4(x - 2y) = y3 - 1 ⇒ { x - 2y nguyeân ⇔ y - 1 = 4t , x (y + 2)2 = 1156 = y 22.172 ⇒x  y vaø (y + 2)2 laø öôùc chính phöông cuûa 1156 ⇒ (y + 2)2 = 1 , 4 , 172 ⇒ coù 6 nghieäm ! t∈Z} ⇒ y = 4t + 1 vaø x = 16t3 + 12t2 + 11t + 2 ; t∈Z Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : x2 + y2 + z2 = x2y2 (1) { Theo mod 4, neáu x2 ≡ y2 ≡ 1 ⇒ x2 . y2 ≡ 1 ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ 1 ⇒ z2 ≡ 1 ( voâ lyù ! ) } ⇒ x, y khoâng theå ñeàu laø soá leû ⇒ x chaün hoaëc y chaün ⇒ x2 . y2  4 ⇒ x2 + y2 + z2  x = 2x1 ; y = 2y1 ; z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x12y12 (2). 4⇒ Nhö vaäy, neáu (x, y, z) laø nghieäm (1) thì x1 ; y1 ; z1 laø nghieäm cuûa (2). Tieáp tuïc nhö vaäy, ta coù : x2 = x22 + y22 + z22 = 16x22y22 (2). Quaù trình naøy coù theå tieáp tuïc maõi vaø khi ñoù x1 x y y z z (= ); y2 = 1 (= ); z2 = 1 (= ) laø nghieäm cuûa 2 4 2 4 2 4 x y z chaün vôùi moïi k ⇒ (x, y, z) chæ coù theå laø (0, 0, 0) . ; ; 2k 2k 2k Giaûi caùc phöông trình nghieäm nguyeân sau : x6 + 3x3 + 1 = y4 (x + 2)4 - x4 = y3 (1) caùc soá Neáu x > 0 thì (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + 1 = y4 < x6 + 4x3 + 4 = ( x3 + 2)2 ⇒ ∃ y2 : (x3 + 1)2 0 , ta coù 10x - 1 =    vaø neáu laáy  chia cho 7 thì soá x x döông x nhoû nhaát thoûa ñeà laø x = 6 hay A = 999999 BB...BB  7 vaø chæ nhöõng soá ñoù ⇒ nghieäm phöông trình laø y =     , vôùi B = n 7⇒  caùc soá AA...AA  142857 (öùng vôùi x = 6) ; x = 6n ( n ∈Z , n ≥ 0 ) d) px = y2 - 1 = (y + 1)(y - 1) ⇒ x ≥ 0 ; vì p nguyeân toá neân y + 1 , y - 1 laø caùc luõy thöøa cuûa p . ⇒ Xem y - 1 = pk ; y + 1 = pk + l ( k , l nguyeân khoâng aâm ) Maø (y + 1) - (y - 1) = p k ( pl - 1 ) ⇒ p = 2 ; k = 1 ; l = 1 . Vaäy y = 1 + p k = 3 ; x = 3 x 2 3 2 5 2 38) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : (4x ) +( ) = (x2 + ) y 2 2 x2 5 3 5 3 Ta coù : 2 = ( x 2 + + 4 x − )( x 2 + − 4 x + ) ⇒ y2 = x2[(x + 2)2 - 3](x - 2)2 y 2 2 2 2 ⇒ { y nguyeân ⇔ x = 0 hoaëc x = 2 hoaëc (x + 2)2 - 3 = k2 laø soá chính phöông ( k ∈Z+ ) } Xeùt (x + 2)2 - 3 = k2 ⇒ 3 = (x + 2 + k)(x + 2 - k) : tích hai soá nguyeân cuøng daáu ; xeùt caùc tröôøng hôïp coù theå xaûy ra, chuùng ta coù theâm nghieäm x = -4. Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình laø (x , y) ∈ { (0 , 0) ; (2 , 0) ; (-4 , 24) ; (-4 , -24) } 39) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : (2x + 1)2 - 1 = 384y (1) (2x − 1) 2 − 1 Töø (1) ⇒ 384y = (4x2 + 4x)(4x2 - 4x) ⇒ 24y = x2.(x - 1)(x + 1) Neáu x leû thì (x - 1)(x + 1)  8 vaø trong 3 soá x , x - 1 , x + 1 coù moät soá chia 1 heát cho 3 ⇒ x2.(x - 1)(x + 1) = 24t ( t ∈Z ) ⇒ nghieäm x = 2k + 1 ; y = k.(k + 1). 6 (2k + 1)2 ( k ∈Z ) Neáu x chaün thì x - 1 , x + 1 laø caùc soá leû ⇒ ñieàu kieän ñeå phöông trình coù nghieäm laø x2  x2  8⇒ 4 1 Vaäy : nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 4k ; y = = k.(4k - 1).4k.(4k + 1) . 6 40) Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân : x3 + x2y + xy2 + y3 = 8(x2 + xy + Nhaän xeùt x , y cuøng tính chaün - leû vaø neáu x = y thì phöông trình trôû thaønh x3 - 6x2 - 2 = 0 ⇒ nghieäm nguyeân neáu coù (öôùc cuûa -2) seõ laø ± 1 ; ± 2 , nhöng khoâng coù giaù trò naøo thoûa maõn ! Do x , y cuøng tính chaün - leû ⇒  x - y ≥ 2 ⇒ (x - y)2 ≥ 4 ⇒ x2 + y2 ≥ 4 + 2xy ⇒ x2 + y2 ≥  2 + 2xy (1) y2 + 1) (Voâ ñòch Balan-1981) Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 10 ( Pt ñaõ cho ) ⇔ (x2 + y2)(x + y) = 8(x2 + y2) + 8(xy + 1) ⇔ (x2 + y2)(x + y - 8) = 8xy + 8 ⇒ Pt heä quaû :  (x2 + y2)  (x + y - 8) = 4 xy + 2 ⇒ { (1) ⇒  x + y - 8 < 4 } ⇒ 4 < x + y < 12 ⇒ x + y = 6 , 8 , 10 . Vôùi x + y = 6 , 8 ⇒ voâ nghieäm ! Vôùi x = 10 ⇒ xy = 14 ⇒ x , y laø hai nghieäm cuûa phöông trình : a 2 - 10a + 16 = 0 ⇒ (x , y) = (2 , 8) ; (8 ; 2) 41) Tìm nghieäm nguyeân cuûa caùc phöông trình sau ñaây : a) xy2 + 2y(x - 14045) + x = 0 c) x2 - 38y = 23 13 51 5 b) 7x2 + 7y2 = 1820 d) y = x 2 + x 2 − x ( HSG Lôùp 9 - 1994 ) 6 2 3 a) Neáu y = 0 thì x = 0 ; xeùt y ≠ 0 . Khi ñoù phöông trình coù theå ñöa veà daïng : x ( y +1 ) 2 = 28090 y Ñieàu kieän caàn ñeå y + 1 ∈Z laø x ∈Z ⇒ (y + 1)2 laø öôùc soá chính phöông cuûa y 28090 = 532.2.5 ⇒ (y + 1)2 chæ coù theå laø 1 hoaëc 532 ♦ Neáu (y + 1)2 = 1 thì y = -2 ⇒ x = - 56180 ♦ 53 2 .10 y = 10 y = 520 ; − 540 Neáu (y + 1) = 53 thì y = 52 ; - 54 ⇒ x = 53 2 2 b) Nhaän thaáy 7 vaø 13 laø caùc öôùc cuûa 1820 neân x 2  ⇒ x  ; y2 13 13 ⇒y  7 Xem x = 13u ; y = 7v ( u, v ∈Z) ⇒ 13u2 + 7v2 = 20 ⇒ 13u2 ≥ 13 ; 7v2 ≥ 7 ⇒ 13u2 + 7v2 ≥ 20 ⇒ ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi u2 = v2 = 1 ⇒ (x , y) = (13 , 7) ; (13 , -7) ; (-13 , 7) ; (-13 , -7) c) Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát döôùi daïng : x2 - 4 = 38y + 19 = 2(2y + 1) ⇔ (x + 2)(x - 2) = 19(2y + 1) ⇒ x leû ⇒ x + 2 hoaëc x - 2 chia heát cho 19 ♦ Neáu x + 2 = 19t ( t nguyeân döông leû ) thì x = 19t - 2 vaø y = x 2 − 23 (19 t − 2) 2 − 23 19 t 2 − 4 t − 1 = = 38 38 2 19 t 2 + 4 t −1 ♦ Neáu x - 2 = 19t ( t nguyeân döông leû ) thì x = 19t + 2 vaø y = 2 x( x +1)( x + 2) 13 2 51 2 5 x + x − x = 2x3 + 25x2 - 2x + d) Ta coù : y = ∈ Z , vôùi moïi x 6 2 3 6 ∈Z (Chuù yù raèng : vôùi moïi x ∈Z : x( x +1)( x + 2) luoân chia heát cho 6 ) 42) Chöùng minh raèng phöông trình khoâng coù nghieäm y nguyeân aâm 7  vôùi moïi m nguyeân : 7 ±k vôùi k = ∆ = 49 + 10 7 +k 7 −k 160(4 - m2) maø deã thaáy k ∈Z+ ( k = 0 ⇒ y ∉Z ) ⇒ y = vaø y = < 0 ⇔k 10 10 > 7 . Khi ñoù ∆ = k2 > 49 ⇒ m2 < 4 ⇒ m2 = 0 ; 1 Neáu m2 = 0 thì ∆ = 689 : khoâng chính phöông ⇒ y ∉Z 7 − 23 ∉Z ⇒ ñpcm ! Neáu m2 = 1 thì ∆ = 529 = 232 ⇒ y = 10 5y2 - 7y - 32 + 8m2 = 0 Nghieäm cuûa phöông trình phaûi coù daïng y = AÙp duïng Baøi 65 : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình a) 12x - 5y = 21 a) x = 3 + 5t ; y = 3 + 12t , t b) 12x + 17y = 41 ∈Z Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà Phuong Trinh Nghiem Nguyen Trang 11 c) x + 3y = 0 d) 2x - y = 1 e) 3x + 2y = 4 b) x = 2 + 17t ; y = 1 - 12t , t ∈Z Baøi 66 : Tìm nghieäm nguyeân döông , nhoû nhaát cuûa phöông trình f) 16x - 25y = 1 a) x = 11 ; y = 7 g) 41x - 37y = 187 b) x = 19 ; y = 16 Baøi 67 : Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình h) x2 - 6xy + 5y2 = 121 a) (x - 5y)(x - y) = 121 4 i)x + 2x7y - x14 - y2 = 7 (x, y∈Z+) b) (x2 - x7 + y)(x2 + x7 - y) j)2x2 + 2xy - x + y = 112 (x, y∈Z+) =7 k) xy2 + 2xy - 243y + x = 0 c) y = -x + 1 + 111 : (2x (x, y∈Z+) c) x = -3t ; y = t , t ∈ Z d) x = t ; y = 2t - 1 , t ∈ Z e) x = 2t ; y = 2 - 3t , t ∈ Z l)6x2 + 5y2 = 74 m) xy + 3x - 5y = -3 n) x2 = y2 + 2y + 13 o) 19x2 + 28y2 = 729 + 1) d) e) f) g) x.(y + 1)2 = 243y 6(x2 - 4) = 5(10 - y2) (x - 5)(y + 3) = -18 (x - y - 1)(x + y + 1) = 12 h) Voâ nghieäm ! Baøi 68 : Giaûi caùc phöông trình sau trong taäp soá nguyeân : a) -6x2 - 2y2 + 6xy + 8x + 3y a) δ (x) = -3[(y - 7)2 + 5:3] < 0 = 168 b) 2x2y2 c) d) Baøi 69 : e) f) g) b) Voâ nghieäm ! c) 6y2 = 42 - k2 ⇒ y2 = 7 - k2 : 6 ≤ 7 ⇒ k2 = 36 2x2 + 3y2 = 19 - 4x d) 3(2x2 + 1) = 5(y2 - 8x) ⇒ 2x2 + 1  5 6x2 - 5y2 = -40x - 3 ⇒ Vno ! Giaûi caùc phöông trình sau trong taäp soá nguyeân : 4x2 + 231y2 = 1631 a) Voâ nghieäm ! x2 - 100y2 = 1 b) (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) 2 2 2 2 2 (x + y ) = 8x y + 4xy + c) Daãn ñeán pt Pell vaø ñoái 1987x2 + 1988y2 = 3000 Pell d) x = 12 e) (x, y, z, t) = (4, 2, 1, 1) vaø + caùc hoaùn vò . z, t∈Z ) Baøi 70 : Giaûi caùc phöông trình sau trong taäp soá nguyeân : j) x3 - 3y3 - 9z3 = 0 a) T/c chia heát cho 3 k) 5x3 + 11y3 + 13z3 = 0 b) T/c chia heát cho 13 h) i) 1 x + x + x + x = 271440 x + y + z + t = xyzt (x, y, 2 3 4 5 Đoàn Quốc Việt THCS Nhân Hoà