CAP. 1 INTERES SIMPLE 1 UNIDAD 1 INTERÉS SIMPLE En el régimen de interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial: es decir, que los intereses no producen intereses. Por tanto, los intereses serán una cantidad constante. Interés En una operación se denomina interés al beneficio que reciben una de la partes por haber dado un préstamo a la otra una determinada suma de dinero, durante un cierto tiempo. Monto (Cn) Es la suma del capital más el interés que el mismo produce. I s = CO * i * n ec.(1.1) ec. (1.4) C n = Co ( 1 + i * n ) (1.2) n= Cn − Co Co * i ec. Cn Co = 1+ i *n (1.3) ec. (1.5) C − Co i= n Co * n ec. I s = C n − Co (1.6) ec. Donde: I s = Interés simple ganado Co = Capital origen de la operación Cu = Capital al final de la operación o monto n = Tiempo durante el cual se presta el capital i = Tasa de interés. Notas: Las unidades de la tasa de interés y del tiempo deben ser iguales. Problemas sobre el cálculo de intereses 1. ¿Cuál es el interés que produce $13.000 en 9 ½ meses al 24% anual? Solución Datos: Convertimos n en años n = 9,5 meses 1 año = 0,7917 años 12 meses Is = ? C o = 13.000 $ n = 9,5 meses = 0,7917 años i = 24 % = 0,24 anual Lic. Ricardo Lenis M. I s = Co * i * n ec. (1) CAP. 1 INTERES SIMPLE 2 I s = 13.000 * 0,24 * 0,7917 I s = 2.470 $ (Solución) 2. ¿Calcular el interés producido por $14.500 en 3 meses al 20% anual? Solución Datos: Is = ? C o = 14.500 $ n = 3 meses = 0,25 años i = 0,20 anual I s = Co * i * n I s = 14.500 * 0,20 * 0,25 I s = 725 $ (Solución) 3. ¿Cual es el interés de $34.000 que permanece colocados 15 meses al 12% semestral? Solución Datos: Is = ? C o = 34.000 $ n = 15 meses i = 12% = 0,12 semestral Convertimos n a semestres 1 semestre n = 15 meses = 2,5 semestres 6 meses I s = Co * i * n I s = 34.000 * 0,12 * 2,5 I s = 10.200 $ 4. ¿Cuál es el interés producido por un capital de $14.800 en 7 meses y 10 días al 18% anual? Solución Datos: Is = ? C o = 14.800 $ n = 7 meses y 10 dias i = 18% = 0,18 anual Convertimos el tiempo n en años, 1 año 1 año n = 7 meses + 10 dias 12 meses 360 dias n = 0,5833 años + 0,0278 años n = 0,61111 años I s = Co * i * n I s = 14.800 * 0,18 * 0,61111 I s = 1.628 $ (Solución) 5. Un capital de $76.000 se coloca por mitades en dos instituciones de créditos, durante 8 meses. En la primera institución gana el 24% anual y el segundo el 20% anual. Calcule el interés anual al final del plazo estipulado. Razonamiento. El interés total ganado es igual a la suma de los intereses individuales ganados en cada operación, es decir, I ST = I S 1 + I S 2 ec.(A) IS1 = C01 * i * n1 Solución ec.(1.1) Datos: IS1 = 38.000 * 0,24 * 0,667 IS1 = 6.080 $ Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 3 Operación 1: Co1 = 76.000 / 2 = 38.000 $ n1 = 8 meses = 0,667 años i1 = 24% = 0,24 anual Operación 2 C O2 = 76.000 / 2 = 38.000$ I S 2 = CO1 * i2 * n2 I S 2 = 38.000 * 0,20 * 0,667 I S 2 = 5.066,67 $ ec.(1.2) n 2 = 8 meses = 0,667 años I ST = ? i2 = 20 % = 0,20 anual Reemplazando los valores determinados en la ec. (A) tenemos: I ST = 6.080 $ + 5.066,67 $ I ST = 11.146,67$ Problemas sobre el cálculo de capital 1. Determinar cual es el capital que en 120 días produce $1.224 de interés al 18% anual. Solución Datos: CO = ? n = 120 dias = 0,333 años tenemos Is = 1.224 $ i = 0,18 anual Is = CO * i * n ec.(1.1) Despejando de la ec. (1.1) Co tenemos Is C:O = Reemplazando valores en esta ec. i*n CO = 1.224 0,18 * 0,333 : (Solución) C O = 20.400 $ 2. Calcule el capital que en 5 meses y 20 días produce $1.020 al 18% anual Solución Datos: CO = ? n = 5 meses y 20 dias I S = 1.020 $ i = 18 % = 0,18 anual 1.año 1.año + 20 dias 12.meses 360 dias n = 0,4722 años n = 5 meses Is i*n 1.020 CO = 0,18 * 0,4722 CO = CO = 12.000 $ (Solución) 3. Si las 2/3 partes de un capital producen $3.300 de interés en 7 meses y 10 días al 24% anual. ¿cuál es el valor del mencionado capital? n = 7meses * Solución Datos: CO = 2 / 3 * C O I S = 3.300 $ n = 7 meses y 10 dias Lic. Ricardo Lenis M. i = 24 % = 0,24 anual CO = ? 1año 1año + 10dias 12meses 360 dias n = 0,6111 años Sabemos que: CO = IS i*n CAP. 1 INTERES SIMPLE 4 Remplazando datos Tenemos: 2 3.300 CO = = 22.500 3 0,24 * 0,6111 3 * 22.500 Despejando : C O = 2 C o = 33.750 $ 4. Calcule el capital inicial de un depósito, si el duplo del mismo produce en 5 meses y 20 días, un interés de $2.720 al 18% anual. CO = IS i*n Solución Datos: CO = 2CO n = 5meses y 20 dias = 0,4722 años I S = 2.720$ i = 18% = 0,18 anual remplazando datos, tenemos 2C O = 2.720 = 32 .000 0,18 * 0,4722 Despejando : CO : CO = 32 .000 / 2 CO = 16 .000 $ 5. El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de interés durante 9 meses. El resto de ese capital se coloca en la misma fecha al 24% anual durante el mismo lapso. Si el interés total al 15 de diciembre es $120.000. ¿Cuál es el capital originario? Solución e Interpretación.- Un solo capital se divide de la siguiente forma: 1/3 (la tercera parte) y 2/3 (el resto, que se determina restando 1-1/3) los cuales ganan intereses haciendo un total de $120.000 Datos: IS = IS + IS ec. ( A) T 1 2 Operación 1 I S = CO * i * n ec. (1.1) C O1 = C O / 3 i1 = 0,20 anual n1 = 9 meses = 0,75 años Operación 2 aplicando la ec. (1.1) para ambas operaciones. C I S 1 = O * 0,2 * 0,75 3 I S1 = 0,05C O I S 2 = 2 / 3 * C O * 0,24 * 0,75 I S 2 = 0,12 C O remplazando en la ec.( A) tenemos : 120.000 = 0,05 C o + 0,12 C O 120.000 = 0,17 C O C O = 120.000 / 0,17 C O = 705.882,35 $ despejando C o CO2 = 2 / 3 * CO i2 = 24% = 0,24anual n2 = 9meses = 0,75año I ST = 120.000$ CO = ? Problemas sobre la tasa de interés ( i ) Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 5 1. ¿A que porcentaje anual se colocaron $23.000 si en 14 meses ganaron $5.903,33? Solución: Datos: i = ? anual C O = 23.000 $ n = 14 meses = 1,167 años I S = 5.903,33 $ I S = CO * i * n despejando i: i= i= IS .reemplazando datos : CO * n ec.(1.1) 5.903,33 23.000 * 1,167 i = 0,22 = 22% anual 2. Un capital de $32.560 permaneció colocado durante 8 ½ meses ganando en conceptos de intereses la suma de $4.151,40. ¿A que tasa de interés se colocó? del anterior problema: IS Solución Datos: C O = 32.560 $ n = 8,5 meses I S = 4.151,40 $ i=? i= i= Co * n 4.151,40 32.560 * 8,5 i = 0,015 = 1,5 % mensual i = 1,5 % *12 = 18 % anual 3. ¿A que tasa de interés anual se colocó un capital de $46.885 que en 7 meses y 15 días se incremento en $7.032,75? Solución. Del problema anterior: Datos: IS i= i = ? anual CO * n C O = 46.885 $ 7.032,75 i= n = 7 mes y 15 dias = 0,625 años 46.885 * 0,625 I S = 7.032,75 $ i = 0,19 = 19% anual 4. Calcule la tasa de interés anual que en 8 meses hizo que un capital de $71.325 produjera una ganancia de $9.034,50. i= i= IS CO * n Solución Datos: i = ? .anual n = 8 meses = 0,667 años C O = 71.325 $ I S = 9.034,50 $ Lic. Ricardo Lenis M. 9.034,50 71.325 * 0,667 i = 0,19 = 19%.anual CAP. 1 INTERES SIMPLE 6 5. Las 2/3 partes de un capital de $10.500 se colocaron durante 6 meses al 10% anual, mientras que el resto de ese capital se colocó durante el mismo lapso a una tasa de interés distinta. Si el interés producido por ambas partes del capital inicial es $560, ¿cuál es la tasa de interés a la que se colocó la tercera parte restante? Solución: Datos: Operación 1: Co1 = 2/3*10.500 = 7.000 $ n1 = 6 meses = 0,5 años I ST = I S 1 + I S 2 ec. ( A) donde : I S 1 = C O1 * n1 * i1 = 7.000 * 0,5 * 0,10 = 350 I S 2 = C O 2 * n2 * i 2 = 3.500 * 0,5 * i 2 = 1.750 * i 2 reemplazando en la ec.( A) y despejando i 560 = 350 + 1.750 * i 2 1.750 * i 2 = 560 − 350 = 210 i 2 = 210 1.750 i 2 = 0,12 = 12% anual Operación 2 i1 = 10 % = 0,10 anual C O 2 = 1 3 * 10.500 = 3.500 $ n 2 = 6 meses = 0,5 año i2 = ? I ST = 560 $ 6. Se tiene dos capitales de $10.000 y $15.000 respectivamente; el primero se coloca durante 9 meses al 18% anual, mientras que el segundo se coloca durante medio año a un interés tal que, al final del plazo, el interés ganado asciende en total a $2.850. ¿Cuál es la tasa de interés a la que se colocó el segundo capital? Solución: Datos: Operación 1 CO1 = 10.000 $ n1 = 9 meses = 0,75 años i = 18% = 0,18 anual I ST = I S 1 + I S 2 ( A) Este problema es similar al anterior , el cual podemos resolver por otro proce dim iento, reemplazar directamente datos. en la ec. ( A) 2.850 = C O1 * i1 * n1 + C O 2 * i 2 * n 2 2.850 = 10.000 * 0,18 * 0,75 + 15.000 * i 2 * 0,5 2.850 = 1.350 + 7.500 * i 2 7.500 * i 2 = 2.850 − 1.350 = 1.500 i 2 = 1.500 / 7500 i 2 = 0,20 = 20% anual (solución) Operación 2 C O 2 = 15.000 $ n 2 = 0,5 años i2 = ? I ST = 2.850 $ Problemas sobre el tiempo de colocación 1. ¿Cuánto tiempo debe permanecer depositado un capital de S30.000 colocado al 24% anual para ganar S8.400 de interés? I S = CO * i * n Solución Datos: n=? C O = 30.000 $ i = 24% = 0,24 anual I S Ricardo Lenis Lic. = 8.400 $ M. despejando de la ec.(1.1) la var iable n : I n= S reemplazando datos : CO * i 8.400 = 1,167 años 30.000 * 0,24 12 meses n = 1,167 años 1 año n = 14 meses (solución) n= CAP. 1 INTERES SIMPLE 7 2. Calcule cuanto tiempo $25.000 ganan $3.333,33 de interés si se colocan al 20% anual. Solución Datos: del anterior problema: I n= S CO * i n=? CO = 25.000 $ I S = 3.333,33 $ i = 20% = 0,20 anual Reemplazando datos: 3.333,33 = 0,6667 año 25.000 * 0,20 12 meses n = 0,6667 año = 8 meses 1 año n= ( Solución) 3. Calcule en cuanto tiempo $16.000 ganan $16.000 de interés si se colocan al 24% anual. Solución Datos: n=? C O = 16.000 $ I S = 16.000 $ i = 24% = 0,24 anual sabemos que: n= IS CO * i reemplazando datos: 16.000 = 4,1667.años 16.000 * 0,24 Podemos convertir la parte decimal a meses 12 meses n = 4 años + 0,1667 años 1 año n = 4 años y 2 meses (solución) n= 4. ¿En cuánto tiempo $25.000 se incrementan en $7.800 si permanecen colocados al 20% anual? Solución Datos : n=? C O = 25.000 $ I S = 7.800 $ i = 0,20 anual meses n= Sabemos que: n= IS CO * i reemplazando datos: 7.800 = 1,56 años Convirtiendo la parte decimal a 25.000 * 0,20 12 meses 1 año convertir la parte decimal a dias n = 1 año + 0,56 año n = 1 año + 6,72 Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 8 n =1 año + 6 meses + 0,72 mes 30 dias 1 mes n = 1 año; 6 meses y 21,6 dias (Solución) 5. ¿En cuánto tiempo S47.000 colocados al 20% anual, ganan $5.000 de interés? Solución Datos : n=? C O = 47.000 $ i = 0,20 anual I S = 5000 $ IS reemplazando datos: CO * i 5.000 n= = 0,5319 año 47.000 * 0,20 n= Convirtiendo a mes: n = 0,5319.año 12.meses = 6,3829.meses 1.año 30 dias 1 mes (solución) Convirtiendo la parte decimal a días: n = 6 meses + 0,3829 mes n = 6 meses y 11,5 dias 6. Una persona posee $27.000. Las 2/3 partes de ese capital consigue colocarlas al 24% anual, durante 6 meses, mientras que el resto se coloca al 20% anual durante un periodo de tiempo tal que, finalizando el mismo se obtiene una ganancia total de $3.510 ¿cuál es el tiempo de colocación del resto del capital inicial? Solución Datos: Operación 1: C O1 = 2 3 * 27.000 = 18.000 $ I ST = I S 1 + I S 2 ec. (A) Reemplazando valores y términos : 3.510 = C01 *i1 *n1 +C02 *i2 *n2 3.510 = 18.000 * 0, 24 * 0, 5 +9.000 * 0, 2 *2 n 3.510 = 2.160 + 1.800 * 2 n 1.800* n2 = 3.510 − 2.160 1.800* n2 = 1.350 1.350 1.800 n2 = 0, 75 año = 9 meses n2 = i1 = 0,24 anual n1 = 6 meses = 0,5 año Operación 2: C O 2 = 1 3 * 27.000 = 9.000 $ i 2 = 0,20 anual n2 = ? I ST = 3.510 $ (solución) Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 9 SOLUCIÓN A PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El 15 de abril se depositaron $30.000 al 72% anual. Determinar cuanto se retira el día 15 de diciembre. Solución Datos: C O = 30.000 $ i = 72% = 0,72 anual n = 8 meses = 0,667 año Cn = ? C n = C O (1 + i * n ) reemplazan do datos : C n = 30.000 * (1 + 0,72 * 0,667 ) C n = 30.000 * (1 + 0,48 ) C n = 30.000 * 1,48 C n = 44.400 $ ec. (1.2) (Solución) 2. Se depositaron $25.000 durante 120 días en un banco que paga el 84% anual de interés. Calcular cual es el total retirado sí: a). Se toman 360 días en el año. b). Si se toman 365 días al año. Solución Datos: C O = 25.000 $ n = 120 dias i = 84% = 0,84 anual a ).C n = ? Si 1 año = 360 dias año comercial b).C n = ? Si año = 365 dias año calendario a )..n = 120 dias C n = C o * (1 + i * n ) C n = 32.000 $ 1 año = 0,333 año 360 dias ec. (1.2) C n = 25.000 * (1 + 0,84 * 0,333) b)..n = 120 dias 1.año = 0,329 año 365.dias C n = C o * (1 + i * n ) ec. (1.2) C n = 25.000 * (1 + 0,84 * 0,329 ) C n = 31.904,1 $ (solución) 3. El 15 de abril se depositaron $20.000 al 80% anual de interés. Determinar cuanto se retira a los 200 días, considerando: a). Año comercial = 360 días, b). Año civil = 365 días. Solución Datos: Co = 20.000 $ i = 0,80 anual n = 200 dias Cn = ? a) Si n = 360 dias b) Si n = 365 dias 1 año = 0,556 año 360 C n = C o * (1 + i * n ) ec. (1.2) a) .n = 200 dias Cn = 20.000 * (1 + 0,80 * 0,556 ) Cn = 28.889 $ b) .n = 200 dias 1 año = 0,548 año 360 dias ec. (1.2) (solución) C n = C o * (1 + i * n ) Cn = 28.767,12 $ Cn = 20.000 * (1 + 0,80 * 0,548) Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 10 4. El 15 de junio se colocaron $15.000 al 70% anual durante 6 meses. Fecha en la cual se retira el total producido y se lo deposita en otro banco al 78% anual durante 4 meses más. Calcular el saldo total acumulado al cabo de 10 meses. Solución. Primeramente calculamos el monto formado en la primera operación (Cn1) Datos: C n1 = C O1 * (1 + i1 * n1 ) ec. (1.2) Operación 1 C n1 = 15.000 * (1 + 0,70 * 0,50) C O1 = 15.000 $ C n1 = 20.250 $ este.monto formado es depositado nuevamente, i1 = 70% = 0,70 anual por lo que se convierte en el capital inicial de la segunda operacion. n1 = 6 meses = 0,5 año C O 2 = C n1 = 20.250 $ Operación 2 C n 2 = C O 2 * (1 + i 2 * n 2 ) ec. (1.2) CO 2 = Cn1 C n 2 = 20.250 * (1 + 0,78 * 0,333) i2 = 78% = 0, 78 anual C n 2 = 20.250 * (1 + 0,26) n2 = 4 meses = 0,333 año C nT = C n 2 = 25.515 $ (solución) CnT = ? 5. ¿Cuál es el capital que en 7,5 meses produjo un monto de $72.875 al 60% anual de interés? Solución Datos: CO = ? n = 7,5 meses = 0,625 año C n = 72.875 $ i = 0,60 anual Co = Co Co Cn ec. (1.3) 1+ i* n 72.875 = 1 + 0,60*0, 625 72.875 = = 53.000 $ (solución) 1 + 0,375 6. Calcular el capital que, colocado al 66% anual durante 4 meses y 10 días, produjo un monto de $43.961. Solución Datos: CO = ? i = 0,66 anual n = 4 meses y 10 dias = 0,3611 año C n = 43.961 $ Cn 1+ i *n 43.961 CO = 1 + 0,66 * 0,3611 C O = 35.500 $ CO = ec. (1.3) (solución) 7. ¿Qué capital dio origen a $100.000 en 4 meses y 20 días, ganando 80% anual de interés? Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 11 Cn 1+ i *n 100.000 CO = 1 + 0,80 * 0,3889 C O = 76.271,19 $ CO = ec. (1.3) Solución Datos: CO = ? Cn = 100.000 $ n = 4 meses y 20 dias = 0,3889 año i = 0,80anual (solución) 8. ¿Qué capital se deposito hace 72 días si hoy se pudo retirar la suma de $22.052 calculados al 96% anual? Solución Cn CO = ec. (1.3) Datos: 1+ i *n CO = ? reemplazando los datos : n = 72 dias = 0,2 años 22.052 CO = C n = 22.052 $ 1 + 0,96 * 0,2 i = 0,96 anual tasa anual se coloco un O capital $de $36.000 que en 126 días se C = 18.500 (solución) 9. ¿A que convirtió en $46.710? Solución Datos: i = ? anual C o = 36.000 $ n = 126 dias = 0,35 año C n = 46.710 $ i= i= C n − Co Co * n ec. (1.4) 46.710 − 36.000 36.000 * 0,35 operando .tenemos : i = 0,85 = 85% anual (solución) 10. ¿Cuál es la tasa mensual de interés que en 3 meses convirtió la suma de $14.500 en $17.110? Solución. Para calcular i mensual, el tiempo n debe estar en meses. Datos: C − Co i= n ec. (1.4) i = ? mensual Co * n n = 3 meses 17.110 − 14.500 i= C o = 14.500 $ 14.500 * 3 C n = 17.110 $ i = 0,06 = 6%.mensual (solución) 11. ¿Cual es la tasa mensual de interés que en 68 días permitió transformar un capital de $23.500 es un monto de $27.655? Solución Datos: i = ? mensual n = 68 dias = 2,267 mes C o = 23.500 $ C = 27. Lenis Lic.nRicardo655 $M. i= i= C n − Co Co * n ec. (1.4) 27.655 − 23.500 23.500 * 2,267 i = 0,078 = 7,8% mensual (solución) CAP. 1 INTERES SIMPLE 12 12. ¿A que tasa mensual de interés se colocaron $13.200 si en 100 días produjeron un monto de $16.500? Solución Datos: i= i= Cn − Cn Cn * n ec. (1.4) i = ? mensual C o = 13.200 $ n = 100 dias = 3,333 mes C n = 16.500 $ 16.500 − 13.200 13.200 * 3,333 i = 0,075 = 7,5%mensual (solución) 13. ¿En cuanto tiempo un capital de $15.500 se convierte en $19.220 si se lo ha colocado al 8% mensual de interés? 14. Solución Como i está en meses, el cálculo que realicemos de n también será mensual: Datos: Cn − Co n=? n= n= C o = 15.500 $ C n = 19.220 $ i = 0,08mensual Co * i ec. (1.5) 19.220 − 15.500 15.500 * 0,08 n = 3 meses (solución) 15. ¿En cuánto tiempo un capital de $25.000 se transforma en $32.500 si está colocado al 6% mensual de interés? Solución Datos: n= n= C n − Co Co * i ec. (1.5) n=? C o = 25.000$ C n = 32.000$ i = 0,06mensual 32.500 − 25.000 25.000 * 0,06 n = 5 meses (solución) 16. Calcular en cuanto tiempo se duplican $28.000 al 20% trimestral. Solución y razonamiento: Duplican, significa que el monto a formarse será 2 veces el capital inicial, tal como se indica en los datos. Cn − Co Datos: n=? Co = 28.000$ Cn = 2 * Co = 56.000$ i = 0,20trimestral n= n= Co * i ec. (1.5) 56.000 − 28.000 28.000 * 0,20 n = 5 trimestres (solución) Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 13 17. Calcular en cuanto tiempo un capital de $70.000 se transformo en $112.000 si fue colocado al 24% de interés trimestral. Solución Datos: n=? C o = 70.000$ C n = 112.000$ i = 0,24 trimestral n= n= Cn − Co Co * i ec. (1.5) 112.000 − 70.000 70.000 * 0,24 operando tenemos n = 2,5 trimestres (solución) 18. ¿En cuanto tiempo se trasforma un capital de $30.000 en $42.000 si se coloco al 12% trimestral de interés? Solución. Datos: n= ? C o = 30.000 $ Cn = 42.000 $ i = 0,12 trimestral n= n= Cn − C0 C0 * i ec. (1.5) 42.000 − 30.000 = 3,3333 trimestres 30.000 * 0,12 Convirtiendo la parte decimal a mes 3 meses n = 3 trimestre + 0,333 trimestre * 1 trimestre n = 3 trimestres + un mes n = 3 trimestres y 1 mes (solución) 19. Un capital colocado al 20% anual produce en 9 meses $600 más de monto que si se lo coloca al 24% anual durante 180 días. Determinar ese capital. Solución y razonamiento. Si un capital “X” (no conocido) colocamos al 24% anual de interés y durante 180 días producirá un monto “Y” (no conocido). Pero si ese mismo capital X colocamos a un interés del 24% anual durante 9 meses, producirá $600 más que la primera operación, es decir Y + 600. Este problema es una comparación entre las dos operaciones: Datos: Sabemos que: Cn = C 0 (1 + i * n) ec. (1.2) 1ª Operación: aplicando la ec. (1.2) a ambas operaciones: i 1 = 0,24 anual Oper. 1: Y = X (1 + 0,24 * 0,5) = X (1 + 0,12) operando obtenemos n 1 = 180 días = 0,5 años Y = 1,12 X (A) Co 1 = X Oper. 2: Y + 600 = X (1 + 0,20 * 0,75) operando obtenemos, Cn1= Y Y + 600 = 1,15 X (B) 2ª Operación: Tenemos un sistema de 2 ec. (A y B) con dos incógnita (X y Y), i 2 = 0,20 anual la cual, resolvemos por el método de sustitución: Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 14 n 2 = 9 meses = 0,75 año (B) Co 2 = X Cn 2 = Y + 600 La ec. (A) remplazamos o sustituimos en la ec. 1,12 X + 600 = 1,15 X 1,15 X − 1,12 X = 600 0,03 X = 600 X = 600 / 0,03 X = 20.000 $ = C 0 ordenando despejando X (solución) 20. Un capital colocado al 24% anual durante 1,5 años produce un determinado monto. Si el capital fuese superior en $15.200 y se colocase durante 1 año al 20% anual, se obtendría un monto equivalente al duplo del monto anterior. Se pide el cálculo del capital y del monto de la primera operación. Solución y razonamiento. Para la segunda operación el capital debe ser mayor al capital de la primera operación, además, el monto formado debe ser igual al doble del monto formado en la primera operación, tal como se indica en los datos. Como no conocemos el capital ni el monto de la primera operación les asignamos variables “X” y “Y” respectivamente. 1ª Operación C n = C 0 ( 1 + i * n) ec. (1.2) i 1 = 0,24 anual Aplicando la ec. (1.2) para ambas operaciones: n 1 = 1,5 años Oper. 1: Y = X (1 +0,24 * 1,5) Co 1 = X Y = 1,36 X (A) Cn 1 = Y Oper. 2: 2 Y = (X + 15.200) * (1 + 0,2 * 1) 2ª Operación 2 Y = (X + 15.200) * 1,2 Co 2 = X + 15.200 2 Y = 1,2 X + 18.240 (B) n 2 = 1 año Nuevamente tenemos 2 ec. con 2 incógnita (X,Y). i 2 = 0,20 anual Resolviendo por el método de sustitución: Cn 2 = 2Cn 1 = 2y Remplazando la ec. (A) en la ec. (B) tenemos, 2 (1,36 X) = 1,2 X + 18.240 2,72 X = 1,2 X + 18.240 la ecuación, 2,72 X – 1,2X = 18.240 términos semejantes, 1,52 X = 18.240 Lic. Ricardo Lenis M. ordenando restando los despejando X, CAP. 1 INTERES SIMPLE 15 X = 18.240/1,52 X = 12.000 $ = Co 1 (solución) 21. Se tiene un capital de $8.000 y otro de $12.000, que se colocan en distintas entidades. El primer capital gana el 20% anual y permanece colocado durante 9 meses. El segundo capital se coloca al 24% anual durante un tiempo tal que, en conjunto, logrará obtener un monto de $23.840. Calcular durante que tiempo permanece depositado el segundo capital. Solución y razonamiento. El monto de $23.840 es igual a la suma de los montos producidos en ambas operaciones, es decir: CnT = Cn 1 + Cn ec.(A) 2 = 23.840 Datos: Sabemos que: C n = C 0 (1 + i * n) ec. (1.2) 1ª Operación: Aplicando la ec. (1.2) a ambas operaciones: Co 1 = 8.000 $ Oper. 1: Cn 1 = 8.000 (1 + 0,20 * 0,75) i 1 = 0,20 anual Cn 1 = 9.200 $ ec. (B) n 1 = 9 meses = 0,75 año Oper. 2: Cn 2 = 12.000 (1 + 0,24 * n 2 ) ec. (C) Cn 1 = ? Remplazando las ecs. (B) y (C) en la ec. (A) tenemos, 2ª Operación: 9.200 + 12.000 (1 + 0,24 * n 2 )= 23.840 Co 2 = 12.000 $ Ordenando la ec. para despejar n 2 i 2 = 0,24 anual 12.000 (1 + 0,24 * n 2 ) = 23.840 – 9.200 = 14.640 n 2 =? 1 + 0,24 * n 2 = 14.640 / 12.000 = 1,22 Cn t = Cn 1 + Cn 2 = 23.840 $ 0,24 * n 2 = 1,22 – 1 = 0,22 n 2 = 0,22/0,24 n 2 = 0,9167 año convertimos a meses n 2 = 0,9167 año * 12 mes/1 año = 11 meses (Solución) 22. He depositado $20.000 ganando 6% mensual de interés. Luego de un cierto tiempo retire el monto así formado y lo deposite en un banco que pagaba el 8% mensual de interés, dejándolo un tiempo igual a tres meses más que el primer deposito. Se desea saber cuantos meses estuvo colocada la primera suma si, al finalizar el plazo total de colocación, pude retirar un monto de $38.688. Solución y razonamiento. Se desea conocer el tiempo n1 que estuvo depositado inicialmente el capital de $20.000 sabiendo que el tiempo n2 es tres meses más que n1 y que además se retira finalmente un monto de $38.688. Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 16 El monto formado en la primera operación es nuevamente depositado, convirtiéndose así en el capital de la segunda operación. Datos: 1ª Operación: Sabemos que: Cn = Co ( 1 + i * n) ec. (1.2) Co 1 = 20.000 $ Aplicando la ec. (1.2) para ambas operaciones i 1 = 0,06 mensual Oper. 1: Cn 1 = 20.000 ( 1 + 0,06 * n 1 ) ec. (A) n1 = ? Oper. 2: 38.688 = Cn 1 [1 + 0,08 * (n 1 + 3 )] Cn 1 = ? Haciendo operaciones en esta ultima ec. : 2ª Operación: 38.688 = Cn 1 [1 + 0,08 n 1 + 0,24] Co 2 = Cn 1 38.688 = Cn 1 [1,24 + 0,08 n 1 ] ec. (B) i 2 = 0,08 mensual Tenemos un sistema de 2 ec. (A y B) con 2 incógnitas (Cn 1 y n 1 ). n 2 = n1 + 3 Por el método de sustitución la ec. (A) remplazamos en la ec. (B). Cn 2 = 38.688 $ 38.688 = 20.000 (1 + 0,06 n 1 ) (1,24 + 0,08 n 1) Ordenando y multiplicando los dos binomios tenemos: 38.688/20.000= 1,24 + 0,08 n1 + 0,0744 n1 + 0,0048 n1 2 1,9344 = 1,24 + 0,1544 n1 + 0,0048 n1 2 Ordenando en forma descendente: 0,0048 n1 2 + 0,1544 n1 – 1,9344 + 1,24 = 0 0,0048 n1 2 + 0,1544 n1 – 0,6944 = 0 Tenemos una ec. de 2º grado que la resolvemos aplicando la ec. general de 2º grado. − b ± b 2 − 4ac x= 2a n1 = n1 = − 0,1544 ± 0,1544 2 − 4 * 0,0048 * (−0,6944) 2 * 0,0048 ( Solucion) n1 = 4 meses − 0,1544 ± 0,193682 ⇒ 0,0096 n1 = −36,25 meses Nota: No tomamos en cuenta como resultado n 1 = - 36.26 por que un tiempo negativo no tiene sentido. Lic. Ricardo Lenis M. CAP. 1 INTERES SIMPLE 17 23. El Sr. Z deposito $20.000 al 80% anual y luego de un cierto tiempo ha retirado el total producido depositándolo nuevamente al 95% de interés anual. Se sabe que, en conjunto, las sumas de dinero estuvieron depositadas exactamente 1 año y se desea saber en que fracción del año se pudo haber efectuado el cambio de tasa de interés, si se retiraron $41.408. Solución. Sabemos que: Cn = Co ( 1 + i n) ec. (1.2) Datos: aplicando esta ec. a ambas operaciones, tenemos: Operación 1: Oper. 1: Cn 1 = 20.000(1 + 0,80 n 1 ) ec. (A) Co 1 = 20.000 $ Oper. 2: 41.408 = Cn 1 (1 + 0,95 n2 ) ec. (B) i 1 = 0,80 anual Ademas: n1 + n 2 = 1 ec. (C) n1 = ? Tenemos un sistema de 3 ec. con 3 incog. (Cn 1 ; n 1 y n 2 ) Cn 1 = ? De la ec. (C): n 2 = 1 - n1 remplazando en (B) la ec. (A) y (C) Operación 2: 41.408 = 20.000 (1 + 0,80 n 1 ) [1 + 0,95 (1 n 1 )] Co 2 = Cn 1 41.408/20.000 = (1 + 0,80 n 1 ) (1,95 – 0,95 n 1 ) i 2 = 0,95 anual 2,0704 = 1,95 – 0,95 n 1 + 1,56 n 1 – 2 0,76 n 1 n2 = ? 0,76 n1 2 - 0,61 n1 + 2,0704 – 1.95 = 0 Cn 2 = 41.408 0.76n 1 2 - 0.61n 1 + 0.1204 = 0 n 1 + n 2 = 1 año 2 n1 = n1 = 0,61 ± 0,61 − 4 * 0,76 * 0,1204 2 * 0,76 0,61 ± 0,78 n1 = 0,4526 año ⇒ 1,52 n1 = 0,35 año (solución) (solución) Nota.- Los dos resultados son validos porque ambos son positivos. Lic. Ricardo Lenis M.