CALCULUL CAMPULUI MAGNETIC, INTR-UN ELECTROMAGNET, PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE. 1. INTRODUCERE Problemele de calcul al câmpului electromagnetic macroscopic, în medii fixe sau mobile se pot clasifica în două categorii: • probleme de analiză a câmpului electromagnetic, la care fiind date : domeniul de existenţă a câmpului distribuţia spaţio-temporală a surselor câmpului şi condiţiile de unicitate asociate, se cere determinarea mărimilor de stare macroscopică, locală şi instantanee, a câmpului electromagnetic (E,D) şi (B,H) • probleme de sinteză a câmpului electromagnetic la care se presupun: complet cunoscute repartiţia spaţială şi evoluţia în timp a câmpului electromagnetic în domeniul de definiţie şi se cere determinarea corespunzătoare a surselor câmpului. Formularea corectă a problemei de câmp electromagnetic presupune în primul rând, definirea fenomenologiei de bază a problemei, apoi reflectarea acesteia, într-un model matematic adecvat iar împreună, modelul fenomenologic şi cel matematic constituie modelul teoretic de câmp. Ecuaţiile specifice oricărui model teoretic de câmp trebuie să formeze un sistem complet, adică să satisfacă teorema de existenţă şi unicitate a soluţiilor. Modelul matematic de câmp electromagnetic poate fi descris prin ecuaţii de tip: • diferenţial • variaţional • integral • topologic. Un model diferenţial specific unui fenomen reprezintă: ansamblul format de ecuaţia diferenţială sau cu derivate parţiale a mărimii de stare ce caracterizează fenomenul şi de condiţiile de unicitate a soluţiei acestei ecuaţii. Soluţia problemei de câmp electromagnetic macroscopic, se poate obţine prin rezolvarea modelului matematic prin următoarele metode: • analogice • grafice • analitice • numerice Dezvoltarea mijloacelor de calcul, capabile de a memora toate punctele domeniului de calcul al câmpului, a determinat o modificare structurală a proceselor de modelare prin integrarea sistematică a metodelor numerice. Metodele numerice au o arie de aplicabilitate mai mare, fiind supuse la restricţii mai puţine, comparativ cu metodele analitice. Deşi aproximative, metodele numerice dacă satisfac criteriile de convergenţă şi rigoare, conduc cu aceeaşi certitudine ca şi metodele directe ale analizei matematice la rezultate acceptabile. Cu ajutorul metodelor numerice se determină distribuţia mărimilor de stare ale câmpului electromagnetic şi a temperaturilor în domeniul de calcul cu proprietăţi de material cunoscute, dar şi solicitările mecanice datorate forţelor electromagnetice. Construcţia unor prototipuri şi testarea acestora în laborator a fost înlocuită cu modelarea pe calculator şi optimizarea dispozitivelor electromagnetice chiar din faza de proiectare. 1 Modelarea numerică a cunoscut o evoluţie de la modelele 2D, respectiv problemele plan paralele sau cu simetrie axială, la modelele care pot trata geometria reală 3D a dispozitivului studiat.Din punct de vedere al metodelor de analiză numerică utilizate în proiectarea asistată de calculator, doar câteva se folosesc pe scară largă în programele profesionale: metoda elementelor finite(MEF) şi metoda elementelor de frontieră(MEFR). În continuare evaluarea numerică a câmpului magnetic într-un electromagnet se face prin metoda elementelor finite 2D cu ajutorul programului FEMM 4.2 care este divizat în trei părţi: 1. Preprocesorul (femme.exe). Acesta este un program de tip CAD pentru realizarea geometriei domeniului de calcul, pentru definirea proprietăţilor materialelor şi pentru definirea condiţiilor de frontieră. Pot fi importate şi fişiere Autocad cu extensia dxf pentru a facilita analiza geometriilor existente în acest format. 2. Rezolvatorul (fkern.exe). Rezolvatorul citeşte un set de date ce descriu problema şi rezolvă ecuaţiile lui Maxwell în vederea obţinerii valorilor mărimilor ce descriu câmpul magnetic în domeniul ales. 3. Postprocesorul (femmview.exe). Acesta este un program care afişează câmpul magnetic rezultat în urma calculului sub forma unor linii de câmp sau sub formă de densităţi de flux magnetic. Deasemenea, programul permite utilizatorului atât să observe care sunt valorile diferitelor mărimi magnetice în puncte arbitrar alese cât şi să evalueze diferite integrale şi grafice ale mărimilor de interes pe un anumit contur predefinit. Mai sunt folosite şi alte două programe dedicate afişării corecte a rezultatelor: •triangle.exe. Triangle împarte toată geometria domeniului de calcul într-un număr mare de elemente finite în formă de triunghiuri, propagând discretizarea frontierelor spre interiorul suprafeţelor 2D ale domeniului de calcul. Această aplicaţie a fost creeată de Jonathan Shewchuk, ea putând fi găsită şi pe pagina de Internet a universităţii CarnegieMellon sau pe Netlib. •femmplot.exe. Acest program este folosit pentru a afişa grafice bidimensionale. Este posibilă deasemenea salvarea şi vizualizarea oricăror fişiere în formatul Extended Metafile (emf). 2. FORMULAREA PROBLEMEI Să se construiască modelul numeric în element finit al unui electromagnet cu miez magnetic din oţel masiv având structură simetrică şi întrefier paralelipipedic destinat studiului regimului magnetostatic ulterior conectării la o sursă de tensiune continuă. Aplicaţiile numerice ale modelului vor evidenţia: harta câmpului magnetic pentru trei întrefieruri diferite ale electromagnetului. - sensul liniilor de câmp magnetic pentru două solenaţii cu sensuri diferite - calculul integralelor de linie pentru diferite contururi - calculul integralelor de suprafaţă - calculul forţei de atracţie a electromagnetului si reprezentarea grafica a fortei in functie de intrefier 3. MODELUL MATEMATIC DE CÂMP AL ELECTROMAGNETULUI. 2 Regimul magnetic staţionar al câmpului electromagnetic caracterizează câmpul magnetic în domenii de calcul în care pot exista numai corpuri imobile, ce pot fi parcurse de curent electric de conducţie ( J ≠ 0 ) şi care pot prezenta o stare de magnetizare remanentă invariabilă în timp. Mărimile asociate acestui regim nu variază în raport cu timpul ( În cazul electromagnetului, sursa câmpului magnetic este constituită din bobina parcursă de curent continuu. Acest regim este descris de ecuaţiile lui Maxwell: rot H = J Legea circuitului magnetic (1) div B = 0 Legea fluxului magnetic (2) unde : H este intensitatea câmpului magnetic B este inducţia magnetică J este densitatea curentului care generează câmpul. Mărimile magnetice B şi H sunt legate prin relaţia constitutivă de material: B = µ( H ) H sau H = v( B )B (3) unde μ este permeabilitatea magnetică. Soluţionarea de poate face prin reducerea la o problemă mai simplă ce poate fi rezolvată cu ajutorul potenţialului magnetic vector A Câmpul magnetic staţionar poate fi determinat şi cu ajutorul potenţialului magnetic vector A, introdus prin intermediul legii fluxului magnetic (2), care pune în evidenţă existenţa unei funcţii vectoriale A astfel încât : B = rotA (4) Relaţia (4) nu asigură şi unicitatea potenţialului vector A. Într-adevăr orice alt potenţial A’ = A + grad φ, cu φ arbitrar satisface relaţia de mai sus. Conform teoremei de unicitate a câmpurilor vectoriale, A este unic determinat dacă se cunoaşte rotorul şi divergenţa sa. Această ultimă restricţie se numeşte condiţia de etalonare şi cel mai frecvent se utilizează etalonarea Coulomb. div A = 0. (5) Dacă se face o schimbare de variabilă conduc la ecuaţia următoare asociată formulării în potenţial magnetic vector A, considerând magnetizaţia permanentă Mp( r,t) = 0: rot[υ(B)rotA]= J (6) Pentru determinarea câmpului magnetic staţionar este necesar sa se integreze ecuaţia vectorială (6) pentru potenţialul magnetic vector A , iar unicitatea soluţiei conform (6) se determină din studiul energiei, exprimând energia în funcţie de potenţialul magnetic vector A . Ecuaţia (6) este valabilă în orice sistem de coordonate, iar problema este corect formulată dacă soluţia există , este unică şi depinde continuu de datele problemei . Câmpul magnetic staţionar este univoc determinat dacă se dau : 1) Condiţia de sursă : J( M) pentru orice M Є DΣ 2) proprietăţile de material υ(r) 3) Condiţiile pe frontieră trebuiesc întărite astfel a) pe S’ se dă (υ rot A )t = f b) pe S’ se dă An = h ( uzual h = 0 ) c) pe S’’ = Σ \ S’ se dă At = g d) dacă S’’ este format din n suprafeţe Sk disjuncte, atunci pe (n-1) suprafeţe se dau fluxurile SK ∂ = 0 ). ∂t ∫ Ads = Φ k k = 1,2,…….n-1 Problema de câmp poate fi simplificată prin utilizarea simetriilor dispozitivului analizat. Dacă este o problemă cu simetrie plan-paralelă adică toate proprietăţile ce definesc problema 3 (geometrie , surse , condiţii pe frontieră , materiale ) se regăsesc în orice plan paralel cu xOy condiţia de etalonare (5) conduce la A = A(x,y) k Coservarea componentei tangenţiale a intensităţii câmpului electromagnetic pe suprafaţa ’ S ce separă două medii 1 şi 2 cu reluctivităţile magnetice υ1 şi υ2 diferite, exprimată prin condiţia a) de mai sus, se defineşte cu relaţia: (υ 1rot A1 – υ2 rot A2) × n12 = 0 (7) unde n12 reprezintă normala pe suprafaţa S’ orientată de la mediul1spre mediul 2. Continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice este verificată automat prin continuitatea potenţialului magnetic A. Formularea prin intermediul potenţialului magnetic vector A este generală, în sensul că poate fi utilizată în toate regiunile domeniului de calcul. În cazul problemelor plan-paralele, rezolvarea prin A este la fel de eficientă ca şi rezolvarea prin potenţial scalar redus ( Φr ) deoarece direcţia lui A este constantă şi cunoscută , rămânând să fie determinat doar modulul vectorului. O situaţie similară de simplificare a modelului numeric, se întîlneşte şi pentru probleme cu simetrie axială , în care studiul se reduce la un plan oarecare zOr. Prezenţa coordonatelor cilindrice modifică expresiile operatorilor (grad ,div, rot) şi conduce la forme complicate. Folosind însă potenţialul magnetic modificat A* = r A problema axială în planul zOr este identică cu problema plan-paralelă în planul xOy. Trebuie remarcat că această formulare poate fi utilizată şi în regimui magnetostatic. In abordarea numerică a problemele tridimensionale, această formulare presupune un număr mare de necunoscute, un timp de calcul important şi un necesar important de memorie, fiecare nod al reţelei de discretizare având 3 necunoscute. În calculele pe care le face, FEMM foloseşte relaţia (6), putând astfel rezolva probleme magnetostatice în care intervine relaţia neliniară dintre B şi H. În cazul tridimensional, A este un vector cu trei componente.Cu toate acestea, în cazurile bidimensionale şi axisimetrice, două dintre aceste trei componente sunt zero, rămânând doar componenta “care iese din pagină”. Avantajul metodei potenţialului magnetic vector este că toate condiţiile ce trebuie satisfăcute sunt conţinute într-o singură ecuaţie.Dacă prin rezolvarea acestei ecuaţii se poate afla A atunci, prin derivare, se pot afla şi B, şi H.În plus, ecuaţia (6), care este o ecuaţia eliptică cu derivate parţiale, este folosită în descrierea mai multor fenomene specifice ingineriei.În acest sens, s-au dezvoltat multe metode de-a lungul anilor pentru a rezolva această ecuaţie. Modul de realizare a desenului tolei si rezolvarea problemei in FEMM sunt descrise in detaliu in fisierul femm.pdf 4