3.1 Definición de función vectorial de una variable real Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es, De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que, Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como, Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como, Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial. Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo. Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nosproveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja. Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como, Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como, Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2. Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una función vectorial puede ser escrita como, Es decir, todos los componentes de la presente función son funciones del tiempo, dado que varían con el tiempo. Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A ( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x,y, z, o sea: A ( t ) = Ax ( t ) i + Ay ( t ) j + Az ( t ) k Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector. 3.2 Graficación de curvas en función de parámetro t El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polarestenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo. La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t). Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, COMPROBAR la simetría de la curva. La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r. Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de COMPROBAR la simetría de la curva: 1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado.Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar. 2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2. 3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo. Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son loscardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc. Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t) Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar. Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos.Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4. COMPROBEMOS la simetría de la curva, Attach:cv259.jpg Δ El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t. Finalmente dibuje los puntos trazados en un sistema de coordenadas polar como, Con la ayuda de los tests de simetría realizados anteriormente complete la curva como, 3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial. Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales. Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta función se denota como, lim = [ (t + h) - (t)]/ h Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto. Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’. 2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo. Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado. Ahora diferenciemos una función valorada vectorial. (t) = t cos (t), −2 sin (t)> f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = < cos (t) – t sin (t), −2 cos (t) Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuación. Asuma que que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo ‘t’. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo ‘t’, y que s es una cantidad escalar.Entonces, 1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial. 2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales. Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales. 3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la función real con la función vectorial. 3.4 Integración de funciones vectoriales Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como, Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada. La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora, Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable. Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será, El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces si, f R en [a, b]. Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 . Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales, r’(t) = r(0) = Ahora integremos r’(t) como, r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) = Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como, r(0) = = c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2 Entonces la función r(t) se calcula como . Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario. De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado. 3.5 Longitud de arco Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación, La primera derivada de la función será, Tenemos la longitud del arco de la función como, Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t). Sin embargo, tenemos, Esto puede ser escrito como, La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial, Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n Por lo tanto, se puede concluir que, Esto implica que tenemos, La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta. La longitud del arco también está representada por la ecuación, En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que, Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente. Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s)) será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco. Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt) Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente. Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0