CALCULO 12 GRADO AMERICANO

1. Este programa interactivo le va a ser de mucha ayuda. Contiene todo lo necesariopara hacer de su proceso de aprendizaje más sencillo y sistemático. Estáorganizado de tal forma que con sólo un clic, usted tenga acceso a toda lainformación necesaria para convertirse en un experto.Con hipervínculos, explicaciones claras, ejemplos, y ejercicios de práctica, quisimoshacer una guía completa con la cual esperamos aportar a su proceso deaprendizaje una forma sencilla y útil a la vez. Deseamos que lo disfrute y que seade mucha ayuda para usted.Ir a Menú deEjercicios y TareasPor:Daniel Camilo Rodríguez PintoIván Barriga González-RubioJuan Camilo Rivera González 2. IInnttrroodduucccciióónnPara algunas personas, las matemáticas representan uno de los principalesdolores de cabeza a la hora de estudiar en el colegio, pero creemosfirmemente que con un método práctico de estudio todo se vuelve mássencillo y este “dolor de cabeza” se alivia. Por eso hemos creado un“Programa de matemáticas de grado 12 interactivo” que resume todos lostemas tratados en esta área durante este año de una manera práctica parahacer de sus tiempos de estudio algo más organizado y fácil. Se trata de unapresentación diseñada en forma de página web utilizando hipervínculos paranavegar a través de cada tema de una manera muy fácil. Contieneexplicaciones para todos los temas que se tratan en el área de matemáticasde este grado, además de otros recursos como ejemplos explicados paso apaso y ejercicios de práctica para que comprenda a la perfección todo lorelacionado con las matemáticas del grado 12. 3. OObbjjeettiivvooss• Presentar un material de estudio dinámico e interactivo que facilite alestudianteel aprendizaje de las Matemáticas.• Facilitar a los alumnos la preparación de los exámenes del grado 12.• Ayudar a resolver las dudas relacionadas con los temas .• Fomentar el interés hacia la investigación en los temas de Matemáticas.• Proporcionar material que pueda servir de repaso.Regresar aPágina dePresentación 4. JJuussttiiffiiccaacciióónnSe ha observado que muchos alumnos presentan dificultades en el aprendizaje delas Matemáticas y no cuentan con herramientas o programas que faciliten ymotiven al alumno hacia el interés por las Matemáticas, por el contrario muchosterminan con fobia hacia ellas.Aprovechando los avances de la tecnología decidimos elaborar un programainteractivo, ameno, de fácil acceso, que permita a los alumnos resolver elproblema de aprendizaje de las Matemáticas.Regresar aPágina dePresentación 5. MMeettooddoollooggííaaSe elaboraron diapositivas en formato PowerPoint, con hipervínculos para mayoraccesibilidad y rapidez, similar a una página web.Se recopiló información de fuentes confiables mediante un proceso deinvestigación exhaustiva, que luego fue organizada y resumida.Fueron diseñados fondos coloridos abstractos y modernos, uno a uno paraamenizar el aprendizaje de los temas.Regresar aPágina dePresentación 6. CCrroonnooggrraammaa1. Elaboración de la parte escrita, para justificar e introducir lo que es el proyecto“Programa 12” como tal.2. Se elaboraron las diapositivas para los temas, de acuerdo al orden como se venen el año.3. Dentro de cada tema primero se elabora el menú principal donde tieneconexión a los subtemas, luego la explicación teórica de cada tema,seguidamente los ejemplos, y por último se elaboran los ejercicios de práctica,con sus respectivas respuestas.4. El ideal propuesto para la elaboración del proyecto era tomarse dos semanaspor tema, se logró en ciertos temas, mientras que otros tomaron hasta tressemanas.Regresar aPágina dePresentación 7. CCoonncclluussiióónnA lo largo de todo este trabajo pudimos comprobar que si organizamos de unaforma sistemática todo lo que necesitamos estudiar, ya sea en el área dematemáticas o en cualquier otra, todo va a ser mucho más sencillo y vamos apoder aprender de una mejor manera. En conclusión, este tipo de proyectos sonuna herramienta muy útil que los docentes deberían implementar para susclases y para que los alumnos tengan un mejor aprendizaje. Es hora de aplicar latecnología en nuestras aulas de clase ya que la misma es lo que hoy en díamueve al mundo y la educación no debe ser la excepción, dada la importanciaque tiene en todas las sociedades.Regresar aPágina dePresentación 8. BBiibblliiooggrraaffííaa• http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss• http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_01100.html• http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math110/4.Desigualdades%20con• http://www.geocities.com/CollegePark/Campus/5534/index.htl• http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica• http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id20.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada• http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral• http://es.wikipedia.org/wiki/Integrales• 20Valor%20Absoluto.pdf• CALCULUS, EARLY TRASCENDENTALS, Third edition-JAMES STEWART, Brooks/Cole Publishing Company• Algebra de Baldor, ediciones y publicaciones preludio © 1996 FFCLA• Ejercicios y ejemplos dados por la profesora Carmen A. de PaterninaRegresar aPágina dePresentación 9. CCrrééddiittoossRegresar aPágina dePresentación 10. EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAALa estadística es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio einterpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedadde disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, ciencias de la salud como laPsicología y la Medicina, y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios einstituciones gubernamentales.La Estadística se divide en dos ramas:• La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción,visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Losdatos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptoresnuméricos son la media y la desviación estándar. Resúmenes gráficos incluyen variostipos de figuras y gráficos.• La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias ypredicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio eincertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraerinferencias acerca de la población de estudio. Estas inferencias pueden tomar la formade respuestas a preguntas si/no (hipótesis), estimaciones de características numéricas(estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación(correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión).RReeggrreessaarr a al lM Meennúú 11. Elementos ddee llaa eessttaaddííssttiiccaa ddeessccrriippttiivvaaCenso o MuestreoExtracción de datos de un conjunto de elementos en una o varias de sus cualidades comunes,las cuales se llaman variables estadísticas.PoblaciónConjunto al cual se aplica el censo o muestreo.Variable estadísticaEs el factor de estudio de cierta estadística (edades, notas, etc.).DatoResultado particular obtenido en el censo o muestreo de un elemento de la población.Datos TotalesNúmero total de datos del censo o muestreo.ItemsSon los valores diferentes que la variable estadística toma.Frecuencia AbsolutaEs el número de veces que aparece un mismo dato en el censo o muestreo.Frecuencia RelativaEs la proporción con que aparece cierto dato con relación al número de veces que podríahaber ocurrido, se halla dividiendo la frecuencia absoluta del dato entre la población,multiplicándolo por 100; es un porcentaje.ModaEs el dato con mayor frecuencia absoluta, es decir el que aparece más seguido en el censoo muestreo.MedianaEs el dato que al ordenar los datos totales se encuentra exactamente en la mitad. Si el númerode datos totales es par, se suman los dos datos de la mitad y se dividen entre 2. 12. RangoEs el recorrido que tiene la encuesta, es decir, la diferencia entre el dato mayor y elmenor.Media o PromedioEs el resultado de sumar todos los datos de la encuesta y dividirlos entre el número total deellos, es decir entre la población.DesviaciónSe hace con un dato determinado y es la diferencia de éste dato y el promedio.Desviación mediaEs el promedio del valor absoluto de las desviaciones de los datos.Frecuencia|dato-media|…..Número total de datosVarianciaEs el promedio del cuadrado de las desviaciones de los datos.Frecuencia(dato-media)²…..Número total de datosDesviación TípicaEs la raíz cuadrada de la variancia.Gráfico de BarrasEs un gráfico que representa los datos obtenidos por medio de rectángulos conlongitudes proporcionales a las frecuencias correspondientes.Gráfico de Círculo o PastelEs un gráfico que representa los datos obtenidos, donde los 360º de un círculo sereparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos datos. 13. Fueron encuestados cierto número de alumnos de 10° para obtener el promedio de las diferentes áreasacadémicas, en escala de 1 a 10; los resultados son los mostrados a continuación:4.8 8.8 6.8 6.5 5.3 7.5 8.3 5.9 7.5 6.3 5.9 9.8 9.8 7.5 6.5 6.9 7.5 9.87.2 5.3 6.3 7.5 7.5 6.5 7.0 9.5 7.7 5.9 7.0 6.8 7.5 9.6 10.0 7.0 9.7 6.3Elaborar un tabla con los resultados, dar todos los elementos de la encuesta y los gráficos:1. Variable estadística: Notas2. Población: 363. # de Items: 184. Moda: 7.55. Mediana: 7.0+7.2= 7.126. Rango: 10-4.8= 5.27. Media:4.8+2(5.3)+3(5.9)+3(6.3)+3(6.5)+2(6.8)+6.9+3(7.0)+7.2+7(7.5)+7.7+8.3+8.8+9.5+9.6+9.7+3(9.8)+10367.38≈ 7.48. Desviación de 5.3: 5.3-7.4= -2.19. Frecuencia Absoluta de 7.5: 710. Frecuencia Relativa 33336666 de 7.5: 7/36*100= 19.4% 14. NNoottaa 4.8 5.3 5.9 6.3 6.5 6.8 6.9 7.0 7.2 7.5 7.7 8.3 8.8 9.5 9.6 9.7 9.8 10.0FFrreeccuueenncciiaa 1 2 3 3 3 2 1 3 1 7 1 1 1 1 1 1 3 111. Desviación media:[|4.8-7.4|+2|5.3-7.4|+3|5.9-7.4|+3|6.3-7.4|+3|6.5-7.4|+2|6.8-7.4|+|6.9-7.4|+3|7.0-7.4|+|7.2-7.4|+ 7|7.5-7.4|+ |7.7-7.4|+ |8.3-7.4|+|8.8-7.4|+|9.5-7.4|+|9.6-7.4|+|9.7-7.4|+3|9.8-7.4|+|10-7.4|]÷36[2.6+4.2+4.5+3.3+1.8+1.2+0.5+1.2+0.2+0.7+0.3+0.9+1.4+2.1+2.2+2.3+7.2+2.6]÷3639.2÷361.089 ≈ 1.112. Variancia:[(4.8-7.4)²+2(5.3-7.4)²+3(5.9-7.4)²+3(6.3-7.4)²+3(6.5-7.4)²+2(6.8-7.4)²+(6.9-7.4)²+3(7.0-7.4)²+(7.2-7.4)²+7(7.5-7.4)² +(7.7-7.4)²+(8.3-7.4)²+(8.8-7.4)²+(9.5-7.4)²+(9.6-7.4)²+(9.7-7.4)²+3(9.8-7.4)²+(10-7.4)²]÷36[(2.6)²+(4.2)²+(4.5)²+(3.3)²+(1.8)²+(1.2)²+(0.5)²+(1.2)²+(0.2)²+(0.7)²+(0.3)²+(0.9)²+(1.4)²+(2.1)²+(2.2)²+(2.3)²+(7.2)²+(2.6)²]÷36[6.76+17.64+20.25+10.89+3.24+1.44+0.25+1.44+0.04+0.49+0.09+0.81+1.96+4.41+4.84+5.29+51.84+6.76]÷36138.44÷363.845 ≈ 3.813. Desviación Típica:3.845= 1.96 15. Frecuencia del dato = x°Población 360°Frec. Rel. Del dato = x°360 16. EEjjeerrcciicciioossLas calificaciones finales en matemáticas de 80 estudiantes figuran en la siguiente tabla:68 84 75 82 68 90 62 88 76 9373 79 88 73 60 93 71 59 85 7561 65 75 87 74 77 95 78 63 7266 78 82 75 94 62 69 74 68 6096 78 89 61 75 95 60 79 83 7179 62 67 97 78 85 76 65 71 7565 80 73 57 88 78 62 76 53 7486 67 73 81 72 63 76 75 85 77 17. RReessppuueessttaass1. Notas2. 803. 374. 755. 756. 447. 38. 6.25%9. 8.75%10. 75.25≈7511. -14.25 ≈-1412. 17.75 ≈1713. ≈ 8.22514. ≈ 108.67515. ≈ 10.4216. 9717. 5318. 97, 96, 95, 94, 9319. 53, 57, 59, 60, 6120. 8821. 30%22. 57.5%24.25. 18. PPRROOGGRREESSIIOONNEESSToda secuencia ordenada denúmeros reales recibe el nombrede progresión. Dentro del grupode progresiones existen dosparticularmente interesantes porel principio de regularidad quepermite sistematizar la definiciónde sus propiedades:RReeggrreessaarr a al lM MeennúúDato Curioso:Un día en la escuela, el profesor del célebrematemático Carl Friedrich Gauss, cuando teníaapenas 10 años; le manda sumar los cienprimeros números naturales, con el propósitode unos minutos de tranquilidad. Perotranscurridos pocos segundos Gauss levanta lamano y dice tener la solución: los cienprimeros números naturales suman 5.050. Yefectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss?Pues mentalmente se dio cuenta de que lasuma del primer término con el último, la delsegundo con el penúltimo, etc., era constante:100+1 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ... = 101Y deduce que con los 100 números se puedenformar 50 pares de igual resultado; por lotanto el resultado de esta suma se da por lafórmula que conocemos hoy gracias a él:(u+a)n2 19. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASSEn matemáticas, una progresión aritmética es una serie de númerostales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de lasecuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de laprogresión o simplemente diferencia. Por ejemplo, la progresión 3, 5, 7,9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común)2.Fórmula General:u=a+(n-1)du= último términoa= primer términon= número de términosd= diferenciaFórmula de Suma:S= (u+a)n = [2a+(n-1)d]n2 2 20. EEjjeemmppllooss::RReeggrreessaarr a a P Prrooggrreessioionneessu=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n2Recordar: 21. EEjjeemmppllooss,, PPrroobblleemmaass u=a+(n-1)d ; [2a+(n-1)d]n1. Compré 50 libros. Por el primero pagué 8 cts. y por cada uno de los demás 3 cts. más que por el anterior. Hallar elimporte de la compra.n=50 S= [2*8+(50-1)3]50 = [16+(49)3]25= [16+147]25= [163]25= 4075cts= $40.75a=8cts 2d=3ctsS= ?2. Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en progresión aritmética. El primer año ganó $1180 yel último $6180. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año, que en el anterior?n=11a=$1180 u=a+(n-1)d → d= u-a → d= 6180-1180 = 5000 = $500u=$6180 n-1 11-1 10d= ?3. En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900. Si en cada año ganó $200 más que enel año anterior, ¿Cuántos años tuvo el negocio?a= $500u= $1900 n= u-a+1 → n= 1900-500+200 → 1600 = 8d= $200 d 200 200n= ?2Recordar: 22. PPRROOGGRREESSIIOONNEESS GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAASSEn matemáticas, las progresiones geométricas se definen comoaquellas secuencias en las que cada término se obtiene multiplicandoel anterior por un valor fijo, llamado razón.u= último términoa= primer términon= número de términosr= razónFórmula General:u=arⁿ⁻¹Fórmula de Suma:S= (ur) – a= a(1-rⁿ)1 – r 1 – r 23. EEjjeemmppllooss::RReeggrreessaarr a a P PrrooggrreessioionneessRReeccoorrddaarr:: SS== aa((11--rrⁿⁿ))uu==aarrⁿⁿ⁻⁻¹ ;;11--rr 24. Recordar: S= a(1-rⁿ)EEjjeemmppllooss,, PPrroobblleemmaass:: u=arⁿ⁻¹ ;1-rRReeggrreessaarr a a P Prrooggrreessioionneess 25. EEjjeerrcciicciiooss PPrrooggrreessiioonneess::Respuestas ProgresionesProgresiones AritméticasProgresiones GeométricasIr a:Regresar a: 26. Ejercicios PPrrooggrreessiioonneess--PPrroobblleemmaass::32. Un dentista arregló a un hombre todas las piezas de la boca que tenía completas. Por la primera le cobró $1, y porcada una de las de las demás 20cts más que por la anterior. ¿Cuánto cobro el dentista?33. Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6m y en cada segundo posterior avanza 25cm más que en elanterior. ¿Cuánto avanzó en el 8° segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segundos?38. Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 cts. por la segunda, 4 cts. por latercera, 8 cts. por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?35. Una Persona viaja 50km el primer día y en cada día posterior 5½ kilómetros menos de lo que recorrió el día anterior.¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 8 días?36. Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segundo, y en cadasegundo posterior recorre 32.2 pies más que en el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo¿cuál es la altura del edificio?37. El lunes gané 2 lempiras y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el sábado y cuántode lunes a sábado?38. Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 cts. por la segunda, 4 cts. por latercera, 8 cts. por la cuarta, y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?39. Un hombre jugó durante 8 días y cada día ganó 1/3 de lo que ganó el día anterior. Si el 8° día ganó 1 balboa, ¿cuántoganó el 1er. día?40. La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59049 almas que era en 1953 a 100000 almasen 1958. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?Ir a:Respuestas ProgresionesRegresar a: Progresiones AritméticasProgresiones Geométricas 27. Respuestas a los Ejercicios ddee PPrrááccttiiccaa::Teoría Coordinatoria1. 1202. 1203. 304. 7925. 50406. 357. 7208. 720; 50409. 720; 12010. 50411. 612. 1013. 614. 3’628,80015. 5616. 12017. 40320; 12018. 2419. -210,23420. 3231Regresar a Ejercicios de: Progresiones Teoría coordinatoria 28. TTEEOORRÍÍAA CCOOOORRDDIINNAATTOORRIIAALa teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosaso elementos.La distinta ordenación de lascosas o elementos origina las:Regresar al MenúDe aquí también se derivanformas de representar sumas omultiplicaciones muy extensas:RReeggrreessaarr a al lM Meennúú 29. CCoooorrddiinnaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con varios elementos (letras, objetos, personas),tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc., de modo que dos grupos del mismo númerode elementos se diferencien por lo menos en un elemento o, si tienen los mismos elementos,por el orden en que están colocados; por ejemplo, colocando las letras a,b,c,d en grupos de dos:ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc= 12 formas diferentes.Cálculo del número de coordinaciones de m elementos tomados n A nCon m elementos, tomados de uno en uno, se pueden formar m coordinaciones monarias,entonces:¹Am=mPara formar las binarias, a la derecha de cada uno de los m elementos se escriben, uno a uno,los demás m-1 elementos; luego, cada elemento origina m-1 coordinaciones binarias y los melementos darán m(m-1) coordinaciones binarias; luego:²Am= m(m-1)→ ²Am= ¹Am(m-1); para las ternarias será: ³Am= ²Am(m-2) y así sucesivamente con lascuaternarias etc.; entonces multiplicando miembro a miembro estas igualdades y suprimiendolos factores comunes a los dos miembros se obtiene:Fórmula de Coordinación:Nota:Si se establece la condición de que cierto número de elementos tienen que ocupar lugares fijosen los grupos que se formen, al aplicar la fórmula, m y n se disminuyen en el número deelementos fijos. 30. EEjjeemmppllooss::1. ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9?⁴A₉= 9X8X7X6=3024 modos2. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 7 banderas izando 3 cada vez?³A₇= 7X6X5= 210 modos3. Con 10 jugadores de basket, ¿de cuántos modos se puede disponer el equipo de 5jugadores si los dos forwards han de ser siempre los mismos?⁵⁻²A₁₀₋₂= ³A₈= 8X7X6= 336 modos4. ¿De cuántos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?³A₅= 5X4X3= 60 modos5. Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre losmismos. ¿De cuántos modos se puede disponer la tripulación?⁵⁻²A₇₋₂= ³A₅= 5X4X3= 60 modos 31. PPeerrmmuuttaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con varios elementos entrando todos en cada grupo, demodo que un grupo se diferencie de otro cualquiera en el orden en que están colocados loselementos.Por ejemplo con: a, b y c: abc, acb, bac, bca, cab, cba → 6Cálculo de elementos de una permutación:Las permutaciones son un caso particular de las coordinaciones, en donde todos suselementos entran en cada grupo. Por lo tanto, la fórmula del número de permutaciones de melementos, Pm, se obtiene de la fórmula que nos da el número de coordinaciones:ⁿAm= m(m-1)(m-2)……(m-n+1)Ya que m=n, entonces:Pm= m(m-1)(m-2)….X1 = m!La expresión m! se llama factorial, que indica el producto delos números enteros consecutivos de 1 hasta m. Por lo tanto :En Permutaciones Circulares:Fórmula dePermutación:Cuando m elementos se disponen alrededor de un círculo, el número de permutacioneses (m-1) si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento. 32. EEjjeemmppllooss::1. ¿De cuántos modos pueden colocarse en un estante 5 libros?P₅= 5!= 1X2X3X4X5= 120 modos2. ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas de un mismo lado de una mesa?P₆= 6!= 1X2X3X4X5X6= 720 modos3. Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer una novena si el pítcher y el cátcherson siempre los mismos?P₉₋₂= P₇= 7!= 1X2X3X4X5X6X7= 5040 modos4. ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda, contando en un solosentido, a partir de una de ellas?P₆₋₁= P₅=5!= 1X2X3X4X5= 120 modos5. Se tiene un libro de Aritmética, uno de Álgebra, uno de Geometría, uno de Física y uno deQuímica. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de Geometría siempreestá en el medio?P₅₋₁=P₄= 1X2X3X4= 24 modos 33. CCoommbbiinnaacciioonneessSon los grupos que se pueden formar con varios elementos, tomándolos uno a uno, dos a dos,tres a tres, etc., de modo que dos grupos que tengan el mismo número de elementos sediferencien por lo menos en un elemento.Formando combinaciones binarias con las letras a, b, c, d quedarían: ab,ac,ad,bc,bd,cd= 6 modosFormando combinaciones ternarias con las mimas letras, quedarían: abc, abd, acd, bcd= 4 modosCálculo del número de combinaciones de m elementos tomados de n a nSi en las combinaciones binarias anteriores permutamos los elementos de cada combinación,obtendremos las coordinaciones binarias; si en las combinaciones ternarias anteriorespermutamos los elementos de cada combinación, obtendremos las coordinaciones ternarias;pero al permutar los elementos de cada combinación, el número de grupos (coordinaciones)que se obtiene es igual al producto del número de combinaciones por el número depermutaciones de los elementos de cada combinación. Por lo tanto, designado por ⁿCm , lascombinaciones de m cosas tomadas n a n, por Pn las permutaciones que se pueden formar conlos n elementos de cada grupo y por ⁿAm las coordinaciones que se obtienen al permutar los nelementos de cada grupo. Por lo tanto:Es decir, el número de combinaciones de m elementos tomados n a n es igual al número decoordinaciones de los m elementos tomados n a n dividido entre el número de permutacionesde los n elementos de cada grupo. 34. EEjjeemmppllooss:: 35. SSuummaattoorriiaaLas sumatorias nos permiten representar sumas muy grandes, de n sumandos o inclusosumas infinitas y se expresan con la letra griega sigma ( Σ ) .Una sumatoria se define como:La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior,m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n.Necesariamente ha de cumplirse: m ≤ nEEjjeemmppllooss:: 36. PPrroodduuccttoorriiaaLas productorias nos permiten representar productos muy grandes, de n factores oincluso productos infinitos y se expresan con la letra griega mayúscula pi ( Π ) .La productoria se define como:El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valormínimo m (indicado en el subíndice) y un valor máximo n (indicado en el superíndice).n=4 1.Π(7x-20)²= [7(2)-20]² X [7(3)-20]² X [7(4)-20]²j=2[14-20]² X [21-20]² X [28-20]²[-6]² X [1]² X [8]²36X1X64= 2304n=3 2. Π (4x-10)³= [4(1)-10]³ X [4(2)-10]³ X [4(3)-10]³j=1[4-10]³ X [8-10]³ X [12-10]³[-6]³ X [-2]³ X [2]³-216X-8X8= 13824EEjjeemmppllooss:: 37. FFaaccttoorriiaallLa expresión m! se llama factorial, que indica el producto de los números enterosconsecutivos de 1 hasta m.EEjjeemmppllooss::1. 5!= 1X2X3X4X5= 1202. 8!= 1X2X3X4X5X6X7X8= 40,3203. 7!= 1X2X3X4X5X6X7= 5,0404. 6!= 1X2X3X4X5X6= 7205. 10!= 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10= 3’628,800EEjjeemmpplloo ddee eejjeerrcciicciiooss ccoonn ooppeerraacciioonneess ccoommbbiinnaaddaass ::n=4 n=4 Σ (3x-2)² + (7-3)!- Π(3x-1)³=j=1 j=3{[3(1)-2]²+ [3(2)-2]²+[3(3)-2]²+[3(4)-2]²} + 4! – {[3(3)-1]³ X [3(4)-1]³{[3-2]²+[6-2]²+[9-2]²+[12-2]²} + (1X2X3X4) – {[9-1]³ X [12-1]³}{1²+4²+7²+10²} + 24 – {8³ X 11³}{1+16+49+100} + 24 – {512X1331}166+24-681472= -681,282 38. EEjjeerrcciicciiooss TTeeoorrííaa CCoooorrddiinnaattoorriiaa1. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 8 y 9?2. Con 5 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres?3. Entre la Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los viajes. ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y vueltauna persona, si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto al de ida?4. De 12 libros, ¿cuántas selecciones de 5 libros pueden hacerse?5. ¿De cuántos modos pueden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?6. ¿Cuántas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?7. ¿Cuántos números distintos de 6 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6?8. ¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?, ¿Siel sargento no ocupa lugar fijo?9. ¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco?, ¿En una mesa redonda,contando siempre a partir del padre?10. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 cada vez?11. ¿Cuántos números mayores que 2000 y menores que 3000, se pueden formar con los números 2, 3, 5 y 6?12. ¿Cuántas selecciones de 3 monedas pueden hacerse con una pieza de 5cts, una de 10, una de 20, una de 40 y una dea peso?13. ¿De cuántos modos puede disponerse una tripulación de 5 hombres si el timonel y el stroke son siempre los mismos?14. ¿De cuántos modos pueden disponerse 11 muchachos para formar una rueda?15. De entre 8 candidatos, ¿cuántas ternas se pueden escoger?16. ¿Cuántos números de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben por 8 se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8?17. Con 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras distintas de 8 letras pueden formarse?, ¿Cuántas, si las vocales sonfijas?18. ¿De cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres con 5 jugadores si el centre es fijo?Hallar:n=5 n=419. Σ (7x+15)²- (12-6)! - Π(17x-48)³j=2 j=3n=6 n=320. Σ (3x+6)² + Π(4x-7)³+ (35-28)!j=3 j=1 39. Lóóggiiccaa MMaatteemmááttiiccaaAArriissttóótteelleess ffuuee eell pprriimmeerroo eenn llooggrraarr llaa pprriimmeerraa ssiisstteemmaattiizzaacciióónn ddeellaa llóóggiiccaa mmaatteemmááttiiccaa.. MMuucchhoo ttiieemmppoo ddeessppuuééss Leeiibbnniizz uuttiilliizzóóssíímmbboollooss mmaatteemmááttiiccooss eenn ssuu eessttuuddiioo yy llaa ddeessaarrrroollllóó ccoommooiinnssttrruummeennttoo ddee llaa mmaatteemmááttiiccaa.. EEnn eell ssiigglloo XXIIXX GGeeoorrggee BBoooollee rreeaalliizzaauunn eessttuuddiioo mmááss aammpplliioo ssoobbrree llaa llóóggiiccaa ssiimmbbóólliiccaa.. AA ccoommiieennzzooss ddeellssiigglloo XXXX,, ccoonn ssuu oobbrraa ““PPrriinncciippiiaa MMaatteemmááttiiccaa””,, BBeerrttrraanndd RRuusssseellll yyAAllffrreedd NNoorrtthh WWhhiitteehheeaadd rreeddeeffiinneenn llooss ccoonncceeppttooss bbáássiiccooss llóóggiiccoosseessttaabblleecciieennddoo aassíí uunnaa ffuunnddaammeennttaacciióónn ppaarraa llaass mmaatteemmááttiiccaassppuurraass..RReeggrreessaarr a al lM Meennúú Ejercicios 40. Conectivos LógicosMediante la siguiente tabla se muestran los diferentes conectivoslógicos con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura:Ejercicios 41. PPrrooppoossiicciioonneess LóóggiiccaassUna proposición lógica es un enunciado del cual se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a lavez. Las proposiciones pueden ser simples (formada por una sola proposición) y compuestas (formadas por dos o másproposiciones) Ejemplos:2 + 2 = 4La primera vocal del alfabeto es “e”.Nuestro planeta se encuentra en la “Vía Láctea”.Estas son proposiciones ya que de ellas se puede afirmar que son verdaderas o falsas sin ninguna duda. En cambio sise dice:Buenos díasCepíllate los dientes.Estudia inglés.Estas no son proposiciones ya que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas o falsas, son saludos u ordenes; si sedice:La vida es bella.Hace frio.Las matemáticas son difíciles.Tampoco son proposiciones ya que su valor de verdad depende de la persona, de sus gustos o circunstancias.Las proposiciones se representan con letras minúsculas:Álvaro está leyendo: pAyer fue Domingo: qProposiciones como:2x + 9 = 13X² - 5x + 6 = 0Son proposiciones abiertas, porque su valor de verdad depende del valor que se le asigne a la variable “X”. 42. Las proposiciones compuestas también deben ser verdaderas o falsas, esta veracidad ofalsedad depende de las proposiciones componentes. Las proposiciones se ligan por medio deconectivos según lo dicho en la tabla de conectivos lógicos.Conjunción (y) Λ :Significa simultaneidad de las afirmaciones. Es verdadera sólo si las dos proposiciones sonverdaderas.Ejemplo:Sen30 = ½ Λ 2 es primo par:Sen= O/H : ½ = V 2 es primo par = V V Λ V = VDisjunción (o) V:Significa que se hace una de las dos afirmaciones o ambas. Basta que una de las preposicionessea verdadera para que el resultado sea verdadero.Ejemplo:Cos 135 = √2/2 V ³√-27 = -3 F V V = VCos= A/H= - √2/2 V -3 x -3 x -3 = -27El Signoes “-” 43. Disjunción exclusiva ( esto o lo otro) V :Significa que es una de las dos, p o q pero no ambas.Las dos proposiciones deben tener valores de verdad diferentes para que la proposición seaverdadera.Ejemplo:¾ + ²/₃ = 17/12 V ⁵√64 = 2√2¾ + ²/₃ = 9 + 8 / 12 = 17/12= V V V F = V⁵√64 =2⁵√2= FCondicional (Entonces) →:Significa que la primera afirmación (antecedente) condiciona a la segunda (consecuente). Estadependencia se puede explicar mejor así: La primera es condición suficiente para la segunda,también la segunda es condición necesaria para la primera.En la implicación las dos proposiciones deben tener el mismo valor de verdad ( V V o F F) o laprimera proposición (antecedente) falsa y la segunda proposición (consecuente) verdadera para quela proposición sea verdadera.Ejemplo:809 + 234 – 1043 = 1 → (234)² =54756809 + 234 = 1043 – 1043 = 0 = F F → V= V(234)² = 54756= V 44. Bicondicional (Si, sólo si) ↔:Significa que las dos proposiciones son de igual valor lógico (VV o FF), también la primeraproposición es condición necesaria y suficiente para la segunda proposición.Ejemplo:3x – 5 = 45, si x es igual a 16 ↔ ³√128 = 4√23(16) – 5 = 48 – 5 = 43= F³√128 = 4³√2 = FF ↔ F = VNegación (Es Falso que) ~:Dada una proposición simple se puede hallar una proposición que es exactamente su negación osu opuesto; basta anteponer la expresión “es falso que”, ejemplo:El museo nacional está abierto los domingos = pEs falso que el museo nacional está abierto los domingos = ~pEjercicios 45. TTaabbllaass ddee VVeerrddaaddLas tablas de verdad se construyen mediante polinomios booleanos que sonexpresiones algebraicas formadas por preposiciones unidas mediante conectivoslógicos.Por ejemplo:{~ (p Λ q) V [(~p V r ) ↔ (~p → q)]}La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestaspara cada uno de los diferentes conectivos.p Λ q p V q p V q p→ q p ↔ q ~pV V F V V FF V V F F FF V V V F VF F F V V Vp qV VV FF VF F 46. Para recordar:• La conjunción (y) sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.•La disjunción (o) es verdadera cuando una de las dos proposiciones son verdaderas.•La disjunción exclusiva (esto o lo otro) es verdadera cuando las proposiciones tienen diferentevalor de verdad (V F) (F V).• El condicional (entonces) es verdadero cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor deverdad o cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.•El Bicondicional (si, sólo si) es verdadero cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor deverdad.•En negación (es falso que) el valor de verdad original de la proposición se cambia por el contrario.•Cuando el valor de verdad resultante de la tabla de verdad es verdadero se dice que es“cautología”, si es falso se dice que es “falacia”, si los valores están mezclados se dice que es“incierta”.•Si una tabla se forma con polinomios Booleanos formados por dos proposiciones tiene2² = 4 posibilidades, si es formado por tres proposiciones tiene 2³ = 8 posibilidades que serán:V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F 47. Tener en cuenta:En un caso que intervengan 2 proposiciones el total de combinaciones que se consideran son 4. Entérminos generales, el total de combinaciones para una tabla es 2ª, siendo “a” el número deproposiciones. Para facilitar el desarrollo se procura llevar un orden en la disposición de losvalores dentro de la tabla de la siguiente manera:•Si hay dos proposiciones se colocan en la primera dos verdades y dos falsas y en la segundauna verdad y una falsa (intercaladas).•Si hay tres proposiciones se colocan en la primera de 4 en 4, es decir, cuatro verdades y cuatrofalsas; en la segunda de 2 en 2, es decir, dos verdades y 2 falsas y en la tercera intercaladas, esdecir, una verdad y una falsa. Seguidamente se hallan los valores de verdad de las diferentesproposiciones compuestas.•Cuando la respuesta final de la tabla da toda verdadera se dice que es una Cautología, si datoda falsa se dice que es una Contradicción o Falacia; y si aparecen falsos y verdaderos se diceque es Incierta. 48. 6 1 5 2 4 3p q r ~p ~qV V V F FV V F F FV F V F VV F F F VF V V V FF V F V FF F V V VF F F V V Tabla Incierta~ {(p Λ q) V [(~q → p) ↔ (r V ~p)]}V VF V V VF VV V F FF FV V V VV FF V F FF FV V V VF FV V V VV FF F F VV FF F F VPrimero le damos todos los valores de verdad posibles a las proposiciones que aparecen en el polinomio Booleano: p, q y r, y también a lasnegaciones que aparezcan de estas, que son solamente ~p y ~q y cuyos valores de verdad serán exactamente los valores de verdad opuestosa los de p y q, respectivamente.Como en un polinomio aritmético, en un polinomio booleano se comienza por los paréntesis luego los corchetes y por último las llaves.Entonces, empezando por los paréntesis, comenzamos con (pΛq) (los números encima de cada conectivo lógico indican el orden en que sevan resolviendo), por lo tanto seguimos las leyes de los conectivos lógicos usando todos los valores de verdad posibles para cada una de lasproposiciones P y Q, entonces: V y V= V; V y V= V; V y F= F... Y así sucesivamente hasta que demos respuesta a todos los valores posibles de Py Q en el orden ya dado. Luego resolvemos los siguientes paréntesis (~q → p) y (r V ~p) utilizando las leyes de cada conectivo lógico.Podemos ver que estos dos últimos paréntesis están unidos por el conectivo lógico sí sólo sí (↔), por lo tanto unimos las dos respuestas delos paréntesis con la regla del conectivo lógico de bicondicional y luego unimos esta respuesta con la de la primera proposición (pΛq) con elconectivo lógico de disyunción (este o lo otro). Y la respuesta final, como nos indica esta tabla, será la negación de esta disyunción, es decirlos valores de verdad contrarios de la repuesta de la disyunción. También se puede concluir que esta tabla es incierta ya que los valores deverdad finales son algunos verdad y algunos falsos.Ejercicios 49. Análisis ddee PPoolliinnoommiiooss BBoooolleeaannoossPara analizar un polinomio Booleano se halla el valor de verdad de cada proposición,teniendo en cuenta cuando los conectivos lógicos son falsos y cuando son verdaderos,como nos recuerda la tabla de abajo; y luego se realiza la operación dada.• La Conjunción (y) sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.• La Disyunción (o) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.• El Condicional (entonces) sólo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.• La Disyunción Exclusiva (esto o lo otro) es verdadera cuando las proposiciones tienen diferente valorde verdad y falsa cuando ambas tienen el mismo valor de verdad.• El Bicondicional (si, sólo si) es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor deverdad y falsa cuando tienen valores de verdad diferentes. 50. Ejemplo:Si (Q→~P)V(~Q↔R) es Falso, entonces:~{~(~Q→P)Λ[(P V Q)↔(QΛR)]} es?La disyunción (o) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.(Q→~P)V(~Q↔R)F FEl condicional (entonces) sólo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.El Bicondicional (si, sólo si) es falso cuando las dos proposiciones tienen valores de verdad diferentes, yse puede concluir que:Y ahora se reemplazan los valores de verdad o falsedad de cada proposición en el polinomio Booleano y seresuelve el polinomio con las leyes de los conectores lógicos teniendo en cuenta también que se resuelvenprimero los paréntesis luego los corchetes, luego las llaves y por último lo que se encuentra fuera de ellas.~{~(F→V)Λ[(V V V)↔(VΛV)]}~{~V Λ[F ↔ V]}~{ F Λ F}~F= VArgumentos Lógicos:Un argumento lógico es un razonamiento en el cual partiendo de una serie de enunciados seobtiene un resultado llamado: CONCLUSIÓN, aquí hay un ejemplo de cómo se llega a unargumento lógico.Ejercicios 51. Ejercicios:Determine la negación de las siguientes proposiciones y encuentre el valor de verdad original y dela negación:1. 11 es divisor de 1212. 2 es número par primo3. Es falso que 18 es divisor de 90Simboliza las siguientes proposiciones compuestas y determina su valor de verdad:4. O España es un país de Europa o de América Latina.5. 25 es divisor de 100 y 43 es número primo.6. (3/4)⁻³ = 64/27 entonces Log₁₂₅ 5 = ¼7. Sen225° = √2/2 si, sólo si ³√128 = 4 ³√2Reemplaza el término variable para convertirlas a proposiciones cerradas:8. X es un entero positivo mayor que 12 y menor que 159. 4x – 2 = 5510. X es la capital de Francia 52. Determinar el valor de verdad o falsedad de los siguientes enunciados:11. Si 2+2=4, entonces 3+3=7, sí sólo sí 1+1= 412. 6+4= 10 y √2 x √2 =213. 5²=25 o 3x3=914. 2+5= 7 este o lo otro 3+6= 915. 5+1= 8, sí sólo si 3+6= 916. 27 es número primo y 15 es múltiplo de 517. El MCD de 12 y 15 es 60, y el MCM de 9 y 12 es 3618. Todo múltiplo de 12 es múltiplo de 4, entonces (-5)³= -12519. El 20% de 50 es 20, este o lo otro, el triple de 83 es 24920. En la ecuación , el valor de x es ±6, entonces la tercera parte de 45 es 1221. Tan π/2= 1, ↔ Cos45°= √2/222. Cos2x= 2Cosx, ↔ Cos180°= 2Cos90°23. x²+y²=16, es un círculo de radio=±4 Λ 3x+2y-7=0 es una línea de m=-3/224. 4x²+9y²-4x-3y+5=0 , es la ecuación de una elipse V ⁵√486=3√225. Sen²x+Cos²x= 1 ↔ Secxcosx=126. Sen225°=-√2/2 Λ log₂64=627. La excentricidad de una parábola es 3} C= {x Є U/ x es primo}•Realizar un diagrama de Venn•(A U B) C’•(B’ – C’)•(A U B) (B’ – C)’•(B Δ C) U (A’ C)UUUUU 91. OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneessDos o mas funciones pueden combinarse para obtener nuevas funciones. Dichascombinaciones se logran mediante los signos de operación (+, x, –, ÷) y sedefinen de la siguiente formas: Suma de Funciones: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia de Funciones: (f − g) (x)= f (x) − g(x) Producto de Funciones: (f • g)(x) = f (x) • g(x) Cociente de Funciones: (f ÷ g)(x) = f (x) ÷ g(x)En cada una de estas operaciones está el dominio de F y el dominio de G. Composición de Funciones: (f o g)(x) = f (g(x)) Función Inversa: f -1(x) 92. 1. Funcione1. Suma de Funcioness (f + g)(x) = f(x) + g(x)Para hallar la suma de dos funciones simplemente se suman los valores correspondientesa f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f + g)(x)3x(f + g)(x)= 3x – 1 + 4x – 53x(f + g)(x)= 9x2 – 3x + 4x – 53x(f + g)(x)= 9x2 + x – 53x22.. DDiiffeerreenncciiaa ddee FFuunncciioonneess:: (f – g)(x) = f(x) –Para hallar la diferencia de dos funciones simplemente se restan los valorescorrespondientes a f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f – g)(x)3x(f – g)(x)= 3x – 1 – 4x – 53x(f – g)(x)= 9x2 – 3x – 4x + 53x(f + g)(x)= 9x2 – 7x + 53xg(x) 93. 3. Funcione3. Producto de Funcioness (f • g)(x) = f(x) •g(Pxa)ra hallar el producto de dos funciones simplemente se multiplican los valorescorrespondientes a f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f • g)(x)3x(f • g)(x)= 3x – 1 • 4x – 53x(f • g)(x)= 12x2 – 15x – 4x + 53x(f • g)(x)= 12x2 – 19x + 53x44.. CCoocciieennttee ddee FFuunncciioonneess:: (f ÷ g)(x) = f(x) ÷Para hallar el cociente de dos funciones simplemente se dividen los valoresg(x)correspondientes a f (x) y g(x).Ejemplo:Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f ÷ g)(x)3x(f ÷ g)(x)= 3x – 114x – 53x(f ÷ g)(x)= 9x2 – 3x4x – 5 94. 55.. FFuunncciióónn CCoommppuueessttaa (f o g)(x) = f(g(x))Es una función formada por dos o más funciones completas conectadas entre si, una despuésde la otra.(f o g)(x)= f (g(x)) se lee f de g(x) o g compuesto f (x).(g o f )(x)= g(f (x)) se lee g de f (x) o f compuesto g(x).Esta función no es conmutativa: (f o g)(x) ≠ (g o f )(x)g compuesto de f (x) se halla reemplazando el valor de g en las variables de la función f.Ejemplo:Dados: f (x)= 3x – 1 Λ g(x)= 4x – 5 , Hallar (f o g)(x)3x(f o g)(x)= 3 4x – 5 – 1 →3x(f o g)(x)= 4x – 5 – xx(f o g)(x)= 3x – 5xSi una función f: a r b es biyectiva entonces su función inversa es f-1: b r a. La función inversatiene como dominio el rango de la función de la cual se originó y como rango el dominio.Para hallar la función inversa de una función dada, primero se verifica que la función seabiyectiva, luego se intercambian posiciones, es decir, donde hay x se escribe y, y donde hayy se escribe x, por último se despeja y, y se expresa como “f-1(x)”.Dado: g(x)= 4x – 5 , Hallar g-1(x)3xy= 4x – 5 → x= 4y – 53x 3y3xy – 4y= -5y(3x – 4)= -5g-1(x)= _ 53x – 4//66.. FFuunncciióónn IInnvveerrssaa f-1(x) 95. EEjjeemmpplloossDados: f (x)= 4x2 – 3x + 5 ; g(x)= 3x – 5 ; h(x)= 4x – 54 3xHallar:√ g(x) – h(x) = √3x – 5 _ 4x – 5 3x√3x – 5 – 8x + 10f (x) 2 3x = 6x4x2 – 3x + 5 4x2 – 3x + 51gg((xx)) –– hh((xx)) == 33xx√√33xx –– 55 –– 88xx ++ 1100ff ((xx)) 2244xx33 –– 1188xx22 ++ 3300xx (f o g o h)(x) ; (g o h)(x)= 3(4x – 5) – 53x = 4x – 5 – 5x = -x – 5 • x = √-x2 – 5x4 4x 4x • x 2x(f o g o h)(x)= 4 (√-x2 – 5x)2 – 3(√-x2 – 5x) + 5(2x)2 2x(f o g o h)(x)= 4(-x2 – 5x) – 3(√-x2 – 5x) + 5→ (f o g o h)(x)= -2x2 – 10x – 3x(√-x2 – 5x) + 10x24x2 2x 2x2((ff oo gg oo hh))((xx))== 88xx22 –– 1100xx –– 33xx√√--xx22 –– 55xx22xx22 Dado f (x)= 3x – 5 , hallar f -1(x)4x + 2y= 3x – 5 → x= 3y – 5 → 4xy + 2x= 3y – 54x + 2 4y + 2 4xy – 3y= -2x – 5y(4x – 3)= -2x – 5ff --11((xx))== __ 22xx ++ 5544xx –– 33√//b √ √// 96. DDoommiinniioo yy RRaannggooDDoommiinniiooCorresponde a todos los valores posibles de una variable x en una ecuación ófunción. Si esta corresponde a todos los números reales, como en una ecuaciónlineal, cúbica, entre otras y en la mayoría de las ocasiones, se dice que x Є R.El dominio se halla despejando y en la función o ecuación, hallando los valorescorrespondientes a x.RRaannggooCorresponde a todos los valores posibles de una variable y en una ecuación ófunción. Si esta corresponde a todos los números reales, como en una ecuaciónlineal, cúbica, entre otras y en la mayoría de las ocasiones, se dice que y Є R.El rango se halla despejando x en la función o ecuación, hallando los valorescorrespondientes a y.Casos especiales de Dominio y Rango:• EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaa ((PPaarráábboollaa))• VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr • RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee 97. El Dominio y el Rango de una función ó ecuación se pueden hallar de dos formas:Gráficamente y Analíticamente.Gráficamente, observando la gráfica determinar si la variable x y/ó y, tienen como valortodos los números reales, o que puntos o tramos, no tienen como valor, teniendo en cuentasi la gráfica posee asíntotas, si es cerrada ó si sólo va en una dirección, como una parábola.Analíticamente, despejando la variable, dependiendo si se desea hallar el dominio o el rangode la expresión, y a partir de esto determinar si la variable puede tener como valor todos losnúmeros reales ó que puntos o tramos no puede tener como valor, de acuerdo a los casos aver a continuación.Existen casos en que tramos de la función son indefinidos debido a que no se pueden realizarciertas operaciones dentro de los números reales, como: la división entre cero, raíz de índicepar de un número negativo etc. Además existen curvas como la parábola, en donde partendos líneas con el mismo sentido desde un punto llamado vértice. En estas el dominio o elrango contienen todos los números reales exceptuando los valores menores o mayores alvértice, dependiendo de la concavidad de la curva.A partir de esto se establecen algunas excepciones donde tanto el dominio como el rango no sontodos los números reales:• EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaa ((PPaarráábboollaa))ó al despejar y ó x para el dominio o el rango se presentan del otro lado de la ecuación:• VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorr • RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabbllee 98. EEccuuaacciióónn CCuuaaddrrááttiiccaaHallar el dominio y el rango de laexpresión: x2 + 4x – y – 5= 0y= x2 + 4x – 5D: x Є RVx= - 42(1)Vx= -4/2Vx= -2Vy= (-2)2 + 4(-2) – 5Vy= 4 – 8 – 5Vy= -9V(-2, -9)R: y Є R/ y ≥ -9R 99. VVaarriiaabbllee eenn eell ddeennoommiinnaaddoorrEn caso de que al despejar una de las variables se presenten variables en el denominadordel otro lado de la ecuación, este se debe igualar a cero para determinar la asíntota, elvalor que x o y no puede tomar, ya que la división entre cero para los números reales noexiste.Ejemplo:HDaolmlairn eiol dominio y el rango de la expresión: 3x + 2xy – 5y + 9= 02xy – 5y= -3x – 9y(2x – 5)= -3x – 9y= -3x – 92x – 52x – 5= 02x= 5x= ⁵⁄₂D: x Є R/ x≠ ⁵⁄₂Rango3x + 2xy= 5y – 9x(3 + 2y)= 5y – 9x= 5y – 92y + 32y + 3= 02y= -3y= -³⁄₂R: y Є R/ y≠ -³⁄₂Asíntota VerticalAsíntota Horizontal 100. RRaaíízz ddee íínnddiiccee ppaarr ddee uunnaa vvaarriiaabblleeEn caso de que al despejar una de las variables se presente una variable dentro de un radical deíndice par, se debe hacer una desigualdad indicando que lo que está adentro del radical debese mayor o igual a cero, ya que no existe solución en los números reales para una raíz deíndice par negativa. Si hay radicales de índice par con variables en el denominador, se debecolocar la desigualdad sólo mayor que, ya que la división entre cero tampoco existe en losnúmeros reales.Ejemplo:HalDlaorm eli ndioominio y el rango de la expresión: 8x2 + 10y2 – 2= 04x2 + 5y2 – 1= 05y2= 1 – 4x2y2= 1 – 4x25y= √1 – 4x2√51 – 4x2 ≥ 0-4x2 ≥ -1x2 ≤ ¼-½ ≤ x ≤ ½D: x Є R / -½ ≤ x ≤ ½Rango4x2 + 5y2 – 1= 04x2= 1 – 5y2x2= 1 – 5y24x= √1 – 5y221 – 5y2 ≥ 0-5y2 ≥ -1y2 ≤ ⅕-1⁄√5 ≤ x ≤ 1⁄√5R: y Є R / -√5⁄5 ≤ x ≤ √5⁄5 101. EEjjeemmpplloossHallar el Dominio y Rango de las siguientes expresiones.1. 3x – 2y + 7= 02. y2 – 4y + 4x – 8Rango3x= 2y – 7x= 2y – 73R: y Є RRango4x= -y2 + 4y + 8x= -y2 + 4y + 84R: y Є RDominio2y= 3x + 7y= 3x + 72D: x Є RDominio-y2 + 4y + 8 = 4x-y2 + 4y + 8 = x4Abre hacia la izquierdaVy= -4/-2Vy= 2Vx= -(2)2 + 4(2) + 84Vx= 12/4Vx= 3V(3, 2)D: x Є R/ x ≤ 33. 4x2y – 5y + 9 = 0Rango4x2y = 5y – 9 = 0x2= 5y – 94. x3 – 6x2 + 12x – 8 – y= 04yx= √5y – 92√y5y – 9 ≥ 0 Λ y > 05y ≥ 9 Λ y > 0y ≥ 9/5 Λ y > 0R: y Є R/ y ≥ 9/5Rango(x – 2)3= yx – 2=3√yx= 3√y + 2R: y Є RDominio4x2y – 5y = -9y(4x2 – 5)= -9y= -94x2 – 54x2 – 5= 04x2= 5x2= 5/4x=√5/2D: x Є R/ x ≠ ± √5/2Dominioy= x3 – 6x2 + 12x – 8D: x Є R 102. 1.2.3.4. 103. GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneessLas funciones con mayor uso son las reales, estas son:Funciones Polinómicas:Funciones Especiales• Función Constante• Función Idéntica• Función Lineal• Función Cuadrática• Función Cúbica• Función de n° grado• Función Exponencial• Función Logarítmica• Función TrigonométricaFunciones Trascendentes• Función Inversa• Función Valor Absoluto• Función Racional• Función Escalonada• Función Signo• Función Mayor Entero• Función Segmentada Por TramosLa forma común para graficar estas funciones es creando una tabla de valores.En esta sección se hace una breve explicación de cada función y se muestra el tipo degráfica de cada una. 104. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaassFunción ConstanteEs una función en la cual la imagen de todos los elementos del dominio es la misma.Ejemplo:f (x)= -1x y1 -10 -1-1 -1-2 -1Función IdénticaEs una función en la cual el elemento de la imagen es igual al elemento del dominio.Ejemplo:f (x)= xf (x)= -1x y2 21 10 0-1 -1f (x)= x 105. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaassFunción LinealTransforma los elementos del dominio en elementos del rango por medio de la expresión:y= mx + bEjemplo:3x + 2y – 5= 02y= 5 – 3xy= 5 – 3x2x y2 -½1 10 5/2-1 4Función CuadráticaEs una función de la forma ax2 + bx + c, es decir, una ecuación de 2do grado.Ejemplo:f (x)= 5 – 3x2x y3 -22 03/2 ¼1 00 -2f (x)= -x2 + 3x – 2f (x)= 5 –3x2f (x)= -x2 + 3x – 2Se halla primero el vérticeen x, Vx= -b/2a. Y se colocandos valores mayores y dosvalores menores.Vx= -3 = 3/22(-1) 106. FFuunncciioonneess PPoolliinnóómmiiccaassFunción CúbicaEs una función de tercer grado.Ejemplo:x y2 91 20 1-1 0-2 -7f (x)= x3 + 1Función de n°Es una función de grado n. Algunas gráficas de las funciones de n° par serán parábolas, yalgunas de grados impares tendrán la forma de una gráfica de una función cúbica, algunasotras gráficas tendrán puntos máximos y puntos mínimos y luego continúan. Ejemplos:x y2 321 10 0-1 -1-2 -32f (x)= x5f (x)= x3 + 1f (x)= x5 f (x) = x3 – 3x + 4x y2 61 2½ 21/80 4-½ 43/8-1 6-2 2f (x) = x3 – 3x + 4 107. FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteessFunción ExponencialEs una función de la forma f (x)= ax ; a Є R Λ a ≠ 1. Esta función es asíntota respecto al eje x.Ejemplos:x y1 20 1-1 ½Función LogarítmicaEs la función inversa de la exponencial, es de la forma f (x)= logax ; a Є R Λ a ≠ 1. Esta función es asíntotarespecto al eje y. Cuando la base de la función es e, se le llama función , f (x)= ℓn x.Ejemplos:f (x)= 2xx y3 11 0⅓ -1f (x)= log3xf (x)= 2xf (x)= log3xx y1 ½0 1-1 2f (x)= (½)xf (x)= (½)xf (x)= log3x3y= xEn la tablade valores deeste tipo defunción se ledan valores ay para hallarlos de x.f (x)= log⅓xx y3 -11 0⅓ 1(⅓)y= xllooggaarriittmmoo nnaattuurraallf (x)= log⅓x 108. FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteessFunciones TrigonométricasSon funciones basadas en las diferentes razones trigonométricas: Seno, Secante, Tangente, Coseno,Cosecante y Cotangente.Estas son funciones periódicas en el punto 2π rad ó 360°.Variaciones en la función Seno y Coseno se dan por la expresión: y = c ± a b(θ – d), donde a es laSenCosamplitud, b el número de ciclos, c el desplazamiento vertical, d desplazamiento horizontal, y Pperíodo; el signo determina la función: Seno, -Seno, Coseno, -Coseno. A partir de estos elementosse puede hacer la gráfica (más rápido que hacer una tabla de valores) y también lo contrario, apartir de la gráfica se puede formar la ecuación, encontrando sus elementos.Ejemplo:f (x)= 1 + 2Sen(2θ + 60)y= 1 + 2Sen 2(θ + 30)Entonces:a= 2b= 2c= 1d= -30°f = SenaadcP= 360bP= 360 = 180°2f (x)= 1 + 2Sen(2θ + 60)Es de recordar:•La función Seno empieza desde cero y es inicialmente creciente (hacia arriba), por lo tanto lafunción - Seno empieza desde cero y es inicialmente decreciente (hacia abajo).•La función Coseno empieza desde el máximo y es inicialmente decreciente, por lo tanto la función– Coseno empieza desde el mínimo y es inicialmente creciente. 109. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleessFunción InversaSi una función en donde a relaciona a b es biyectiva, su función inversa será entonces unafunción donde b relaciona a a. Para hallar la función inversa de una función dada se siguenlos pasos estudiados en “Operaciones con Funciones”.Ejemplo:x y1 20 ½-1 -1-2 -f (x)= 3x + 12Función Valor Absoluto5/2Es una función donde la variable independiente está dentro de valor absoluto. Hay querecordar que el valor absoluto de un número siempre es positivo.Ejemplo:f (x)= |x – 1|f (x)= 3x + 12f (x)= |x – 1|f (x)= 3x + 12x= 3y + 122x= 3y + 13y= 2x – 1f-1(x)= 2x – 13x y2 1½ 0-1 -1-5/2-2f-1(x)= 2x – 13f -1(x)= 2x – 13x y3 22 11 00 1-1 2 110. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleessFunción Segmentada Por TramosEsta función está compuesta por una cantidad finita de funciones, desconectadas o conectadasentre sí. Se representa mediante una llave abierta después de la función, con otras funcionesorganizadas debidamente según sus intervalos. Al final su dominio y su rango son la unión delos dominios y los rangos de las funciones componentes.Ejemplo:x x2 +1-2 5-1 20 11 2x y1 2f (x) =x 12x >1x +121 12 3/23 2f (x) =3x – 2 , x < -2x2 + 1 , -2 ≤ x 12 111. FFuunncciioonneess EEssppeecciiaalleessFunción RacionalEs una función formada por el cociente de dos funciones o dos polinomios algebraicos.Ejemplo:x y1 -1/30 -5/6-1 -7/3-2 ∞-3 11/3-4 13/f (x)= 2x – 53x +63x + 6= 03x= -6x= -2Función Escalonada6Es una función segmentada por -5 tramos. 5/3Se simboliza μ (x).Ejemplo:x 0f (x)= || x || 113. GGeeoommeettrrííaa AAnnaallííttiiccaaEn esta sección de Relaciones y Funciones se incluyen también el resto detemas referentes a la geometría analítica: Ecuación de la línea, círculoy las secciones cónicas: Elipse, Hipérbola y Parábola; donde se debenencontrar sus elementos en la ecuación y a partir de estos hacer lagráfica; ó lo contrario, a partir de la gráfica, determinar sus elementosy formar la ecuación.Ver en el programa 11°. 114. FFuunncciióónn LLooggaarriittmmoo NNaattuurraalley = xe = 2.7 1828FFuunncciioonneess TTrraasscceennddeenntteessf (x)= Logexf (x)= ℓn xx ≈ y0.135 -20.368 -11 02.72 17.39 2 115. Gráficas de Funciones Trigonométricas eenn PPoossiicciióónn nnoorrmmaall::Θ° y aa== 11,, bb== 11,, cc== 00,, dd== 000 130 0,86602545 0,70710760 0,590 0120 -0,5135 -0,70711150 -0,86603180 -1210 -0,86603225 -0,70711240 -0,5270 0300 0,5315 0,707107330 0,866025360 1FFuunncciióónnSSeennooFFuunncciióónnCCoosseennooΘ° y0 130 0,86602545 0,70710760 0,590 0120 -0,5135 -0,70711150 -0,86603180 -1210 -0,86603225 -0,70711240 -0,5270 0300 0,5315 0,707107330 0,866025360 1 116. Θ° y0 130 1,154700545 1,4142135660 290 ∞120 -2135 -1,4142136150 -1,1547005180 -1210 -1,1547005225 -1,4142136240 -2270 ∞300 2315 1,41421356330 1,1547005360 1Θ° y0 ∞30 245 1,4142135660 1,1547005490 1120 1,15470054135 1,41421356150 2180 ∞210 -2225 -1,4142136240 -1,1547005270 -1300 -1,1547005315 -1,4142136330 -2360 ∞FFuunncciióónnSSeeccaanntteeFFuunncciióónnCCoosseeccaannttee360360 117. Θ° Y°0 030 0,57735045 160 1,73205090 ∞120 -1,73205135 -1150 -0,57735180 0210 0,577350225 1240 1,732050270 ∞300 -1,73205315 -1330 -0,57735360 0FFuunncciióónnTTaannggeenntteeFFuunncciióónnCCoottaannggeenntteeΘ° Y°0 ∞30 1,7320508145 160 0,5773502790 0120 -0,5773503135 -1150 -1,7320508180 ∞210 1,73205081225 1240 0,57735027270 0300 -0,5773503315 -1330 -1,7320508360 ∞ 118. EEEEjjjjeeeerrrrcccciiiicccciiiioooossss RRRReeeellllaaaacccciiiioooonnnneeeessss yyyy FFFFuuuunnnncccciiiioooonnnneeeessssI. Dados : A = {0,1,2,3} B = {0,2,3,4,5,6,7,8}, analice cada relación, elabore un diagrama sagital para cada una, diga si esfunción y si es, analícela también.1. X r Y Є A x B/ x ≤ y2. X r Y Є A x A/ y es divisor de x3. X r Y Є A x B/ y = 2x4. X r Y Є A x B/ y = 2x + 15. X r Y Є A x B/ y = x + 2II. De las siguientes relaciones diga cual es función:a. b. c. d.12341231234123412341234III. Analice las siguientes ecuaciones dando todos sus elementos y graficando, diga si el gráfico obtenido corresponde a unarelación o a una función, y diga que tipo de gráfica es:1. 3x – 2y + 5 = 0 7. 4y² – 9x² – 16y – 54x – 101 = 02. 2x – 3 = 0 8. x² – 6x + 8y +17 = 03. 4y + 5 = 0 9. y² + 2y – 12x + 25 = 04. 3x² + 3y² – 9 = 0 10. (x – 5)² + (y + 5)² = 15. 2x² + 2y² – 12x + 8y + 26 = 06. 9x² + 4y² – 36x + 24y – 36 = 012341234169 49AAnnáálliissiiss ddee RReellaacciioonneess yyGGeenneerraalliiddaaddeess FFuunncciioonneess OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneessDDoommiinniioo yyRRaannggoo GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess11. 169(x – 1)2 + 144(y – 3)2= 24 33612. x2 + 4y + 8= 013. y2 – 14y – 24x – 119= 014. x2 + 16y – 32=015. 4x2 + 4y2 + 23x – 32y – 48= 0 119. 13. f(x) = 15. Sgn(x) =14. f(x) =2x+16. (g + h)(x)7. (h – g)(x)8. (h • g)(x)9. (g / h)(x)10. (f o g)(x)11. (g + f)(x)h(x)12. (h o f o g)(x)2x 120. VII. Hallar el dominio y rango de las siguientes expresiones:1.3xy + 5x – 9y = 06. 4xy2 – 8x + 3 = 02.2x2 + 3y – 5 = 07. 2x2y – 3xy +7 = 03.4x – 5xy + 7y = 08. 5x2 – 3xy – 9 = 04.3y2 + 5x – 9 = 09. 7xy – 3x + 12y = 05.4x2y + 5y – 13 = 010. 9x2 – 3y + 7 = 0VIII. Escriba la ecuación de la línea según las condiciones dadas y grafique cada una.1.m= -¾, pasa por (-5, 4)2.x-int= -²⁄₇, y-int= -⁵⁄₄3.m= ⁵⁄₁₁ y-int= 44.Pasa por los puntos A(⅓, 4) B(0, -⅔)5. Pasa por (-5, 3) y es paralela a 3x – 2y + 7 = 06. Pasa por (3, -7) y es perpendicular a 2x – 5y + 9 = 07. Es bisectriz perpendicular del segmento A (-5, 3) B(2, -4)8. Pasa por el punto de intersección de 3x + 2y= 8 ; 2x – 3y= 4 y esperpendicular a 5x – 3y + 9= 0IX. Escriba la ecuación del circulo según las condiciones dadas y grafique cada uno.1.C (3, - ½), r=√172.El diámetro es el segmento (-1, 5) (-5, 9)3.C(5, -3) pasa por (3, 11)4.C(3, -4) tangente al eje5.Tangente a línea 5x – 12y = 24 , C(5, -5)6.Circunscrito al triangulo de vértices (3, -2) (2, 5) (-1, 6) 121. X. Escriba la ecuación de las cónicas dadas y grafique.1.e=1 V(0, 0) F(0, 3)2.e=1 V(0, 0) D: y – 4=03.e=1 V(0, 0) lr=10 , abre a la derecha4.e=1 V(0, 0) pasa por (-3, 4) abre hacia abajo5.e=1 V(3, 2) F(3, 4)6.e=1 V(4, 1) D: x – 2=07.e=1 V(4, -2) abre a la derecha, lr=88.e=1 V(3, -2) PF (-2, ½) (8, ½)9.e=1 F(2, -3) D: x – 6=010.e=1 V(3, -4) eje horizontal pasa por (2,-5)11. e < 1 C (5, 1) V(5, 4) B(3, 1)12. e < 1 V(6, 3) F(-4, 3) (4, 3)13. e < 1 B (-1, 2) (-1, 4) F(1, -1)14. e < 1 V(-1, 3)(5, 3) longitud del eje menor = 415. e < 1 C(3, 2) F(3, 7) V(3, -5)16. e > 1 C(2, 0), eje transversal paralelo al eje x, F(10, 0) V(6, 0)17. e > 1 C(0, 0) eje conjugado || al eje x, eje transversal=12 , lr=618. e > 1 C(-2, 2) V(4, 2) F(6, 2)19. e > 1 C(-2, 2) V(-2, -4) F(-6, -2)20. e > 1 C(2, 5) eje transversal paralelo al eje x, F(8, 5) B(2, 9)Análisis ddee RReellaacciioonneess yyGGeenneerraalliiddaaddeess FFuunncciioonneess OOppeerraacciioonneess ccoonn FFuunncciioonneessDDoommiinniioo yyRRaannggoo GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess 122. RReessppuueessttaass 123. RReessppuueessttaass 124. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculoinfinitesimal (diferencial e integral).El límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independientetiende a un número determinado o al infinito.El concepto de continuidad se aplica a una función, y se refiere a una curva quecontinúa sin interrupción, si esta presenta un valor indeterminado, o cualquiertipo de interrupción se dice que f (x) no es continua o es discontinua en el puntox = a. 125. Sea f una función definida en algún intervaloabierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando xtiende a a es L, y se escribe según la definiciónépsilon-delta:limx→a f (x) = L:Si el siguiente enunciado es verdadero:Dada cualquier ε > 0, sin importar cuan pequeñasea, existe una δ > 0, tal que si:0