Broitman Itzcovich Secuencia Geometría

Enseñar Matemática Colaboran en estenúmero: Claudia Broitman • Bernard Charlot• Rosa María Garrido• Diana Giuliani • HoracioItzcovich • CarmenSessa • Edith Nora Weinstein Equipo editorial: Claudia Broitman(Coord.J- Mercedes Etchemendy • Graciela Zilberman DVD: • Experiencia de aula: "Inicioen el registro de cantidades en sala de 5 años". Docentes: DelfinaPearson y JulietaFerro. La geometríacomo mediopara"entraren la racionalidad".Una secuencia para laenseñanza de los triángulosen la escuelaprimaria. Claudia Broitman y HoracioItzcovich HoracioItzcovich ProfesorUniversitario deMatemática fUBA) .Coordinadordel equipode matemática delaDireccióndeCurricula delGobiernodela CiudaddeBuenosAires.Miembro del equipodematemática dela DireccióndeEducaciónPrimaria dela Provinciade BuenosAires.CoordinadordelequipodematemáticaProyectoEscuelasdeiFuturo de la Universidad de San AndrésCoordinador del equipo de Matemática del Proyecto BicentenarioIIPE-UNESCO Claudia Broitman Prof.deEnseñanzaPrimariayLicenciadaenCienciasdelaEducación(UBA).Profe- soraAdjuntadeDidáctica deMatemática. FHyCE,Universidad NacionaldeLa Plata. ProfesoradeMatemática enelNivelInicialenInstituto deFormación Docente N°l, Gobiernode la Ciudad de Buenos Aires. Coordinadora de Matemática dela Dirección deEducación Primariadela ProvinciadeBs. As. Miembrodelequipode matemática dela DreccióndeCurricula, Gobiernodela CiudaddeBuenos Aires. Coordinadora de Matemática de la Red Latinoamericana de Alfabetización. CoordinadoradeRevista I2ntes Estudiar Matemática. "...lageometríadelas matemáticasnoesel estudiodelespacio ydenuestras relacionesconel espacio,sinoel lugarenqueseejercitaunaracionalidad llevadaasu excelenciamáxima"(Laborde,1984 citado en Gálvez, 1994)1 I- Breve panoramade la enseñanzade lageometría. La preocupaciónpor la poca presenciade la geometríaen las escuelasprima- riashoy escompartidapor granpartedelsistemaeducativo.Maestros,directo- res,supervisores,suelencoincidiren que"es el tema delprogramaque se deja para el final" y quemuchas veces"cae del programa".Por otra parte,los mismos docentesquesepreocupanpor su ausenciano dudaríanen excluirlosconoci- ••1 La lectura del texto completo permite interpretar que cuando Laborde afirma que la geometría de las matemáticas "no estudiael espacio", se refiere a que no estudia el "espacio físico". EnseñarMat e mát i ca- #04- 2008 mientosgeométricosdeloscontenidos"promocionables"(nadiedejaríadepro- mover a un alumnode quinto a sexto año dela escuelaprimariapor noconocer lapropiedaddela sumade los ángulosinteriores deuntriángulo). Simultáneamente,eshabitualencontrarmaestrosautodenominados"dela vieja escuela"añorandoel estatus del que gozabala geometríaen laenseñanza clásica. Una mirada a la enseñanza tradicional permiteencontrar una fuerte presencia en las aulas de actividades consideradasgeométricas:métodos deconstrucción centrados en la obtención de dibujos precisos y en el uso de instrumentos geomé- tricos,definiciones,teoremas,vocabularioespecifico,convenciones y hastade- mostraciones amemorizar. ¿Porqué fueperdiendolugardichageometría enla escuela? Visitar algunos momentosdelahistoriadelaenseñanzaabonaráalacomprensióndeestas cuestiones. Entre1959 y 1960 se sentaronlas bases para llevar a cabo una reforma en los programasdematemáticasenEstadosUnidosyEuropa, conlaideadeformar técnicosycientíficosquealcanzaranelniveldelosrusos-quienessehabían destacado con el lanzamiento delSputnik-.Los matemáticos enEstados Unidos enfocaronlasoluciónhacialallamadaReformadelaMatemática Moderna.Se pretendíallevar desdela universidada la enseñanza básicaysecundaria elmé- todo axiomático y el lenguaje lógico-simbólicoque habían servido durante el siglo precedenteparaunificarlas matemáticasa través de la Teoríade Conjuntos2. Seargumentaba,desdeelespírituestructura listareinante,que sise cons- truíanlasmatemáticaselementaleslógicamentecomenzandoporaxiomasy definicionesyavanzandocon teoremasypropiedades,sepodríancomprender "todaslasmatemáticas".Losimpulsoresdeesacorriente eran losmatemáticos bourbakistas3 que,entre otras ideas,impulsaronla "muerte al triángulo" y "¡abajo Euclides!" ya que sosteníanquelas demostracionesdeEuclideseranincomple- tasporquesu desarrollodeductivono erarigurosoyusabaimplícitamente axio- mas y teoremasno citados"por evidentes"(Kline,1976) En unosaños la Reformaconsiguióimponer su criterio en el sistema deedu- caciónnorteamericano.Enpocotiempoocurriólomismo enEuropa.Ymuchos 2 En 1959 se realizó un congresoen Royaumont, Francia, en el que algunos matemáticos sostuvieron la necesidadde abandonarla enseñanzaeuclideasustituyéndola por una matemática más viva, más motivadoraquecorrespondíaalainvestigaciónmoderna.En1960enDubrownik,Yugoslavia,un nuevocongresorecomendabaelaborarnuevosprogramas destacando la unidad entre lasdiferentes ramas dela matemática. 3 Al finaldelosañostreintaun grupode jóvenesybrillantesmatemáticos franceses (entrelos que estaban Pisot,Weil, Dieudonné y Ehresmann) empezarona reunirse adoptando el pseudónimocolec- tivodeNicolásBourbakiconlafinalidadde elaborar un tratado queofrecierademodosistemático y riguroso todas las bases para una presentaciónunificadade toda la matemática. En los congresosde 1935 y1938 emplearon dos instrumentosfundamentalespara llevar a cabo sus fines: la axiomática y las estructuras.En "La arquitecturade las Matemáticas"utilizan la axiomática en su versiónmoderna paramostrarlas relacionesyconexionesentre distintaspartesdela Matemáticaayudándosesobre todo de lasestructuras. (56)liínki)EnseñarMatemática • #04 • 2008 añosdespuésseinstalabaenlospaíses latinoamericanos,cuando yalacrítica en el ámbito científico la desechaba para EEUU y Europa4. En América Latina5, la ReformadelaMatemáticaModerna,vino "dela mano" deldiscursopedagógico circulanteenlaépocapromovidoporlascorrientesactivistas y escolanovistas, quecriticabandel modelo tradicionallaconcepción acumulativaymemorística {Montessori,Froebel,etc).La Escuela Nuevapromulgabalanecesidad de "des- pertarelinterés" delos alumnos y se considerónecesariobuscarcomo "motiva- ción" las relacionesentre los objetos matemáticos y la "vida cotidiana". Por un lado, entonces, un proyecto de enseñanza de un altonivel deabstrac- ción para enseñar las estructuras lógicas; por el otro, un riesgo de banalizaciónal "cotidianizar" la geometría escolar e interpretarque la dificultad de su enseñanza reside en su abstracción.El aplicacionismo que se hizo de los textospiagetianos agregó el discurso de la necesidad de enseñar "de lo concreto a lo abstracto". Du- rantelos años 60' y 70' se elaboraron grandes cantidades de materiales didácti- cos que se mostraban como seudo-concretos y que prometían ser intermediarios entre los niñosy los objetosmatemáticos {Brun,1994: Charlot, 1991). Lavaloración delosaños60'sobrelosinteresesdelosalumnosysusne- cesariasrelaciones con la vida cotidianahacen sufrir a los objetos geométricos nuevasexigencias:relacionesconlarealidad,utilidadpráctica,cotidianeidad, realidadconcreta.Ideasque circulany encabezanpropuestasdidácticasbiblio- gráficas son: "la geometría está en todos lados", "la geometría está en la realidad", "los niños aprendengeometría sin darse cuenta", "se aprende geometría eninte- racciónconel espacioreal". Seempiezaa confundirla actividad intelectualcon la actividad física del alumno,se fortalecenlasideas en tornoa que "se aprende haciendo" - en oposiciónalasperspectivas más clásicas queconsideraban que la matemática se aprendemirando,practicando, repitiendo y memorizando-. También,bajo laReforma delaMatemáticaModernaseintentaenseñarno- cionestopológicasenelNivelInicialyprimerciclodelaescuelaprimaria apo- yadosenla evoluciónespontáneadelos conocimientosespacialesdelosniños estudiadapor Piaget6. En estos años se "cruzan" dos ideas casi contradictorias: enseñar la abstrac- ciónqueproponelaReformaytrabajar con"lo concreto"apartirdelaplicacio- nismo.SibienlaReformapretendía la enseñanzadeestructurasabstractas, el fracasoensucomunicaciónprodujoun efectodedeslizamientometadidáctico: ellenguajeconjuntistaprevisto comomediode enseñanza,alresultarinaccesi- bleparalosniñospequeñosseconvirtióenobjetodeenseñanza(Brousseau, 2007). 4 En1976serealizaenKalsruhe, Alemania,el congresodeíICMIdondeseacusaamatemáticos especialistasenla enseñanza dehabersuprimido la geometría enlas escuelas. 5Ha circuladotambiénlainterpretaciónacercadel"beneficiosecundario"queencontraronlasdic- taduraslatinoamericanaspara-apoyándoseenlaReforma delaMatemáticaModerna,yenlain- terpretaciónaplicacionistade la teoría piagetiana - producirdiseñoscurricularesque favorecieran el vaciamiento de contenidosa partirde la llamada "pedagogíade la espera". 6HasidosuficientementeanalizadalaconfusiónentrePsicologíayDidácticayelaplicacionismo directo deresultadosde indagaciones psicogenéticas a la enseñanza(Brun,1980;Coll,1983;Cas- torina, Coll. 1998,etc.). UMei)EnseñarMatemática • #04- 2009 Otra de ias críticas a la Reformade la Matemática Moderna fue el intento de ofreceralosaprendicesla versiónúltimayperfeccionadadeunacienciaque, sin embargo, fue creadacon intuiciones,intentos,aproximacionesy también fra- casos.Se transmitía asíuna visiónfalsadelpensamientomatemático, distante yfríoensuperfección(Kline,1976).Elniveldeabstracciónal queaspirabala Reformaresultó sermayoral que ya existía y terminó desvinculando a la ma- temáticaescolardelarealidadquevivíanlosniños.Sefueron"forzando"los objetos geométricos;la exigenciade "utilidad"hizo dejar afuera de la enseñanza conocimientos,relaciones y prácticas geométricas. En síntesis,entrelosaños 60'y 80' ennuestropaísrecibimosaportes que impactan aún sobre la enseñanza de la matemática en general y de la geometría en particular de tres orígenes diferentes, en algunos casos articulados entre sí y en otros casi contradictorios. Por un lado la Reforma de la MatemáticaModerna, por el otro el aplicacionismode la Psicología Genética a la enseñanza, y en tercer lugar las corrientes de la Pedagogías Activas. Los diferentes discursospedagógi- cos abonaron a la confusiónrespecto del tipo de trabajo matemático, desplazan- do o postergando el trabajo intelectual y poniendo en su lugar otras prioridades, contenidosyprácticas. Poco a poco se fueperdiendoen parte el sentido que había tenido la Geome- tría en las tradicionales aulas de mediadosde siglo (Broitman e Itzcovich, 2003). Tanto en la enseñanza clásica como en la Reforma de la Matemática Moderna se perdieron algunos rasgos de su actividad de origen.El concepto de transposición didáctica(Chevallard,1997)permitió analizar los cambios operados, interpretar cómo se transformaron a lo largo del siglolos objetosgeométricosendiferentes objetosaserenseñados.LaactividaddelalumnoqueaprendeGeometríafue consideradasucesivamentecomo"memorizar,trazar,clasificar,recitardemos- traciones"yluegocomo"vivenciar,concretizar,vincularala realidadempírica". En ambos casos se produjo cierta desnaturalización de los objetos geométricos. Las sucesivas transformaciones del sentido de la geometría y las nuevas con- tradicciones anunciabanla progresiva desapariciónde esta rama de la matemá- ticadel escenario delas aulas. Actualmentees posible enunciarunadisyuntiva: abandonardefinitivamente la enseñanzade la geometría por la pérdida desen- tidoalaquesehaarribadodesdeelmundopedagógicodelsigloXX,obien ejercer una vigilancia epistemológica (Chevallard.1997)que recupere sentidos, prácticas y rasgos del saber geométricopara reorientar la enseñanza. II. Recurrir a la historia para entender quées la Geometría Es reconocidopor diferentesautores quenumerososconocimientosgeomé- tricos se originan a partirde la necesidad de resolver diferentes problemas de índole espacialligados a la medida. Míchel Serres (1996), en cambio, plantea a la vez orígenes naturalistas y culturalistas de la geometría. Compartepor un lado la idea de que los primerosconocimientosgeométricosse asociaron a las crecidas (¿ futes)EnseñarMatemática • #01 • 2008 periódicas delríoNilo enEgipto,queprovocaban la inundación de las tierras de cultivo.He allíla cuestiónnaturalista, asociada a un tratamiento más empírico de losobjetos:seprecisabaredistribuir a suspropietarios terrenos dedimensiones equivalentesa losperdidos.La resolucióndeeste problemademandaba "medir lo queno se podíamedir". Se presentaquizá aquíla primeraseparación entre el espacio físicoreal(y su tratamiento empírico) y un espacio imaginado, obien representado:¿cómomedirlo queno se alcanza, lo queno se puede tocar? Serresseinterrogatambiénacercadecuáleralanecesidaddemedirpara redistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que los propietarios de las tierras debían efectuar. Y este pago debía ser proporcionala las dimensiones delterreno.Es decir,entraen juegouna visiónmásculturalista: se disputauna porcióndelpoder.De este modoy según Serres,la geometría"noreproducela tierrani el cielo", sino queponeen comunicaciónla naturaleza y la cultura. Hayquienesinclusodenominanalasprácticascasifísicasconobjetosdo- tadosde formasespacialesconelnombrede "mundopregeométrico"(Husserl, 19367). Se plantea que las figuras geométricas no se encuentran en las experien- cias vividas, aunque de ellasderiven. Es decir,variados actos de mediciónfavo- recen la aproximación a límites ideales o formas exactas pero sólo una dimensión teóricaposibilitala construcción de figurasgeométricasen tanto objetosideales. Parecieraser entoncesquela variedad de experiencias empíricasasociadas alasmedicioneshabilitaronlabúsquedadeciertasregularidades,quenoson otracosaquelasllamadas"formas"y susrepresentaciones.Pero,apartir de ellas,comenzóunprocesodenaturalezadiferente,precisamenteparamedirlo inalcanzable. Otrosautores(Santaló,1961)afirmanquetodala geometría -hastaquese elaboraron los Elementos de Euclides- no es más que "unareunión de reglas em- píricas paramediro dividir figuras". Parecería ser quela construcción de objetos geométricos se fue desprendiendo de los objetos reales que pudieronhaber sido "fuente de inspiración"y se transformaron en objetosideales:punto,línea, trián- gulo,cuadrado8,etc.Estosobjetosteóricosrespondenapropiedadesquelos objetos reales no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia: líneaformadapor todoslospuntosqueequidistandeunodado(el centro dela circunferencia).Cualquiercircunferenciatrazadasobrela arena,la pizarrao un papelesunarepresentación deesaidea;en otraspalabras,esacircunferencia trazada es la imagen sensible, visible, del "lugar" que ocuparía unacircunferencia ideal, y nos remite a esa idea (Zabala, 2006). Las propiedades que se formulan sobre ellas ya no tienen necesariamentereferentes físicos. Habríaentoncesuna "pregeometría"quepuedeserdenominada"geometría empírica", "geometría intuitiva" o "geometría de la observación"y una geometría ya desprendida del espacio sensible que sería la "geometría de las matemáticas" o "geometría de la demostración"(Broitman e Itzcovich, 2003). 7Husserl, "El origen de la geometría" mencionadoen Zabala, 2006 8Babini(1967) señalaincluso que los nombresque Euclides utilizapara las figuras geométricas ha- cen referencia a dichos objetos que le dieron su origen. EnseñarMatemáti ca- #04 -200B Tal vezhayan sido los griegosquienespudierondesprenderse de los objetos realesyhayan"subido"losobjetosgeométricosalniveldelaidealidad.Una marcadelaseparacióndelosconceptosgeométricosdelosensiblesonLos ElementosdeEuclidesendondelosresultadosqueseproducenexcedenala intuición y la verificación empírica y por el contrario instalan seguridad y certeza apartir deun modo de hacer.Babini(1967) Asumirestaconcepciónacercadelageometríaimplicatambiéncentrarla atención en el modo de dar cuentade la validezde los resultadosy propiedades quese elaboran.Esdecir,silosobjetos yano sonreales,sise alejarondelas mediciones,decidirsi algo es verdadero o falsono puede apoyarse en la percep- ciónni en la medida9. Requeriráde argumentosque se sostengan en las propie- dadesde los objetos geométricos.La validaciónracionalseráuno de los aspec- toscentralesdeltrabajogeométrico.Introducira losalumnosenlaGeometría -loretomaremosmás adelante -implicarátanto el abandono o la superación de la justificación por medio de la percepción o la medida, comola entrada en esta clase de racionalidad.Para justificar la verdad de una proposiciónseránecesario estableceruna red derelaciones quepermitan darcuentade esaverdadsolo desdelas razones.La validación implicará encontrar razones a "por quépasalo quepasa", y a "por qué es necesariamenteasí". Progresivamentese ha ido configurandoun modo particular de hacer geome- tría, que podría caracterizarse,sintéticamente,de la siguientemanera (Itzcovich, 2006): •Los objetos dela geometría(puntos, figuras, cuerpos,etc.)nopertenecena un espacio físico real, sino a un espacio teórico. •Los dibujos trazados son representantesde esos objetos teóricos. •Muchosproblemasgeométricospuedenser,enuncomienzo,explorados empíricamente, analizandodiferentes dibujos que resultan sumamenteútiles (comose verámásadelante)orecurriendoamediciones.Estasexperien- cias permiten la obtención de resultados y la formulación de conjeturas. Será necesario transformar medianteargumentos dichas conjeturasen verdades demostradas. • Los enunciados,relacionesy propiedades son generales, y se explicitan las condicionesapartirdelascualesuna colecciónde objetoslascumplen. Parasocializarlasadquierenunciertoniveldeconvencionalidadensu for- mulación. Un análisis histórico y epistemológico acerca del origen y evoluciónde la geo- metría colaborapara proveerde un nuevo sentido a este recorte de saber al pen- sarlo como objeto de enseñanza:la geometría es una "buena vía" para la entrada enla racionalidad,enla abstracción,enla justificación,enla argumentación.La geometríaessindudauno delos modelosdeproduccióndeideasposiblesde ser transmitidos y recreados por los alumnos bajo cierto conjunto de decisiones didácticas. *•9 La distinciónentre los objetos Geometríay Medida, entre sus modos de producir y de justificar ge- nerala necesidadde un ciertotratamientoindependientede amboscampos,sindescuidar algunas relacionesentreellos. )EnseñarMat emát i ca-# 04 - 2009 1 .Problemasdidácticosdela geometría La enseñanza de la geometría en la escuela primaria puede apuntar a la cons- trucción de conocimientos cada vez más próximos a "porciones" de saber geomé- tricoelaborados alo largo delahistoriadela humanidady alinicioenunmodo de pensarpropio del saber geométrico. Considerar como prioritaria la entrada en "elmodo depensar" dela geometría pareceoponerse ala ideainstrumentalista de la enseñanza de la matemática ligada a la "utilidad práctica" que podríahacer perder de vistaalgunos rasgos de su génesis y de su evolución. Promoveruntratamientodelosobjetosgeométricosenlaenseñanzaque seaproximelomásfielmenteposiblealaactividadgeométricaplanteanume- rosos interrogantes: ¿cómo generarcondiciones quepermitan a los alumnosin- volucrarseenlaproduccióndeconocimientosgeométricos?¿Cómointroducira losalumnos en aquellosobjetosreconocidosenelsistemaeducativo {sumade los ángulos interiores del triángulo,propiedad triangular, clasificación de triángu- los,etc. ) simultáneamenteconesaracionalidadpropiadeltrabajo geométrico? ¿Cómoenseñar a los alumnos, a inferir - a partir de los datosy de laspropieda- des-, relacionesque no están explicitadas y que llevarán a establecer elcarác- ternecesariodelosresultados? (Sadovsky y otros, 1 998;BroitmaneItzcovich, 2003;Itzcovich, 2006). Unaprimeracuestiónaconsideraresladistinciónentredibujosyfiguras geométricas(Arsac 1 989;Laborde 1 990; Fregona,1 995). Los dibujosno "mues- tran"laspropiedadesquedefinenalas figuras,sinoquelosconocimientosde los sujetos acerca de los objetos geométricos son los que determinan quépuede "verse" en ellos. La presentación ostensiva1 0 de dibujos promuevealgunoserro- reshabituales:los alumnos asignanpropiedades "observables"en los dibujosa las figuras, por ejemplola posiciónen la hoja, el color, proporciones típicas aun- queinnecesarias entre elementos, etc. (Bertheloty Salin1 994,Fregona,1 995). Partedeldesafío consisteentonces en ofreceroportunidades alos alumnosde reconocerquela figuraesun conjunto derelaciones quela defineny caracteri- zan. Otroaspectoqueresultadificultosoalmomentodepensarlaenseñanzalo constituyeelhechodequelaspropiedadesqueseverificanenlasfiguras ad- mitendiferentes niveles degeneralidad. Por ejemplo,todos losparalelogramos tienensus lados opuestosiguales y paralelos.Pero solo algunos de ellos tienen suscuatro ángulosrectos.Es decir, el problemaradica encómo se establece la generalidaddeunapropiedad, obien cómose establece el dominiode validez, cuándo "vale" y cuándo "deja de valer".Los dibujos que los alumnos pueden usar paraexplorarunapropiedadrepresentanunafiguraparticular,perosisetrata deanalizareldominiodevalidezdeberántransformarseenrepresentantes de ununiverso de figuras. Este juegoexploratorio exigirá apoyarse inicialmenteen 1 0Berthelot y Salin (1 994) caracterizan a la enseñanza ostensiva como aquella en la que las figuras son "mostradas".Analizan críticamente el supuesto psicológico y didáctico de que los alumnos podrán identificarpropiedadesdelas figurasa través de la percepción. EnseñarMatemáti ca-# 04 - 2008 dichosdibujos,pero tambiénabandonarlosparapensarenun caminodegene- ralización. Otradificultaddidácticaestáasociadaalmodoenquelosalumnospueden involucrarseenlaracionalidadgeométrica.Esclaroquenoessuficientecon eltratamientodeciertosproblemasquemotoricenlabúsquedadeargumentos para obtenerun resultadoo decidirla validez o no deuna afirmación.Hay un en- tramadosumamentecomplejoqueimplicaelaborary formularunrazonamiento lógicamentesólido, coherente, queno permita ambigüedades,que dé cuenta de una cierta generalidady sea acorde a las características del trabajomatemático. Paraexplicitarestadificultadseproponeelsiguienteejemplo:Dibujenunacir- cunferencia.Dibujenun diámetro y designena sus extremoscon las letras AyB. MarquenotropuntocualquieradelacircunferenciaydesígnenloconlaletraC. ¿Quétipodetriánguloes ABC? Esteproblemapodría ser inicialmenteexplorado con un programadecompu- tadora(CABRI, Sketch-Pad, etc.).Mediantelos dibujosque se puedenrealizar y las medidasque se puedenidentificar,un alumnopodría "reconocer" que se trata de un triángulorectángulo,con su ángulorecto en C. Se presentanmuestras de dibujosrealizadosconla computadora,enlosqueelprogramamideeinforma que el ánguloC es de90°: Es decir,a medidaque se va trasladando el puntoC, pasandopor todos11los puntosdelasemicircunferencia,novaríalamedidadelángulo.Yestamedida es establecidapor el programa dela computadora.Si la computadora"dice"que mide90°,losalumnospodríanpensarque"ya está, esun triángulorectángulo". Peroloquenomuestrala computadora-ysípuedendemostrar lamatemática ysu racionalidad - es por quésiempreocurreesto12.Se trata deun enormede- safío que los alumnos asuman comoparte del trabajo identificarlas razones que explican por qué valen ciertas propiedades,más allá de lo "visible".Como señala Brousseau (2007) "...El alumno no sólo tiene que comunicaruna informaciónsino quetambién tiene queafirmarque loque dicees verdaderoen un sistemadeter- minado, sostenersu opinión o presentaruna demostración." Unanuevadificultad,asociadaalaenunciadaanteriormente,refiereauna cierta tensión entrelos conocimientosdisponibles por los alumnos y las propieda- des que se intenta elaborareidentificar.Algunaspropiedadesson insumespara identificarodemostrarotras.Peronosiempreesposiblequelos alumnosdis- pongan de todoslos recursos necesariospara dar cuentade la validezde ciertas 11 La referenciaa "todos"surgepor lo que se percibeusandola computadora. 12Por ejemplosi se traza un radioal vérticeC, se obtienendos triángulosisósceles y usando la pro- piedad de la suma de los ángulosinterioresde ios triángulosse podráarribar a unademostración. EnseñarMatemáti ca - # 0 4 - 2008 afirmaciones.Seránecesarioentoncesconsiderarválidas -intuitivamenteo por medio de un trabajo exploratorio -relaciones que parala matemática deberían ser demostradasrigurosamente.Este problemaestáen estrecharelacióncon las contradiccionesenelprocesomismodeproduccióndelosaxiomasdelageo- metría euclidiana13. Ahorabien, aunque no sea posible desplegar en la escuela primariaunaréplicadelrecorridoaxiomático(porsucomplejidadmatemáticay porquenoinvolucraríaalosalumnosenuntrabajoconstructivo),síesviable que los alumnos entren en el terreno deductivo "haciéndose cargo" de demostrar (asumaneraybastantepróximaaladelamatemática)algunaspropiedades geométricas que verificanlas figuras14. Paraexplicitarmásaúnestadificultad,analicemosunproblema:Dibujenun triánguloquetengaunladode3 cm,otroladode5 cm yeltercerladode7 cm. ¿Sepodrándibujardostriángulosdiferentes?Losalumnospuedendibujarel triángulo usandoregla y compás. Comienzanpor uno de suslados y luego dibu- janlos otros dos. Sospechan que si comienzanpor otro lado, el triánguloque ob- tendrán será diferente. Y algunos sostienen que es el mismo, pero "dado vuelta". Sibiencon estosdatosesposibleconstruirun únicotriángulo,darcuentade la unicidad de la construcciónrequiere deherramientasmuchomás complejasque las que podría disponer un alumno en quinto grado.Sin embargo sí será posible instalar un debate con los alumnos en torno a la cantidad de soluciones,apoyado enciertasrelaciones,aproximacionesmásintuitivas,dibujos,etc.Setratade asumir,en términos didácticos,que ciertas verdadesse establecenparapoder instalar un modo de hacer. En el caso del ejemplo, los alumnospodránidentificar que serán iguales -aunque no pueda ser demostrado -medianteexplicaciones comola siguiente:"si esteladodeltriángulolo corresparaacá,secorrenestos otrosladosysesuperponenlostriángulos".Estosargumentospuedenserun punto de partidapara "entrar" progresivamenteen una justificación racionalacer- ca de por qué necesariamente es el único triángulo posible. IV. Unasecuenciadidácticaparael estudiodealgunas característicasde los triángulos Estasecuenciaestáformadapor variasetapas1^.La primeraetapatiene la intención de que los alumnos puedanrecuperarsusconocimientossobre eluso delcompásparatrasladar segmentosyestudiarlapropiedadtriangularapartir deproblemasqueimplicanconstruirtriángulos dados suslados.Seinvolucraa losalumnosenun tipoparticulardetarea:analizarlacantidaddesolucionesy *13 Como ya ha sidomencionadoEuclides fue criticadopor ello,a tal puntoque la discusiónsobre su 5°postulado generóla producciónde otras geometrías. 14Esta tensiónse juegaen la secuenciadidácticaque presentamossobretriángulos, cuandoen la etapa 4, problema 3, 2°demostración se incluye un "apoyo" en una propiedad no demostrada. 15Parasu¡mplementaciónse esperaquealgunoscontenidoshayansidotrabajadosentre4°y5° grados/años(Uso delcompás.Conceptodecirculoycircunferencia entérminosdedistanciaaun punto.Uso de la escuadra y del transportador.Conceptode ángulo), sin embargodichascuestiones son retomadas y revisitadas en estasecuencia desde diferentespuntos de vista en las etapas I yIII. (¿UteOEnseñarMat emát i ca-# 0 4-20 0 8 las condiciones de posibilidad de la construcción. Asimismo los introduce en una norma del trabajo geométrico: la insuficiencia de la percepciónpara "estar segu- ros" y la necesidad de justificar. Lasegundaetapa busca iniciara los alumnosen el estudio de algunasca- racterísticas de los triángulos en función de sus lados. Se introduce esta cuestión en relación con las condicionesque permitan dividir un triánguloen dostriángu- los iguales. Los problemasde copiadopermitenanalizarcuáles son los datos a tomar y la suficiencia de considerar la longitud de los lados para determinar un único triángulo. Este tipo de problemas intenta avanzar hacia un trabajo anticipa- torio:"se puede saber sin medir". Latercera etapa comienzaconunproblemadecopiadodeun cuadrilátero para el cual se pondrá en evidencia la insuficiencia de considerar la longitud de suslados.Seretomaelconceptodeánguloyelusodeltransportadorcomo instrumento de medida.Luegose presentanproblemasque apuntan a rechazar algunas ideas habituales en torno a este concepto, tales como la confusión entre amplitudy "longitud"delassemirrectasqueforman eldibujo deun ángulo.Se finalizalaetapapresentandolaclasificaciónde ángulosque seretomaráen la siguiente. En la cuartaetapa plantea el estudio delas propiedades de los ángulosdel triánguloapartirdeunproblemaqueapuntaaquelosalumnosexplorenlas condicionesparala producción de triángulos con un ángulo obtuso, recto, o tres agudos. En los siguientes problemas se proponeun trabajo exploratorio en torno de la propiedad de la suma de los ángulos interiores.Esta propiedad permitirá abordar un conjunto de problemas en los cuales los conocimientos se constituyen en herramientaspara la anticipacióny parala argumentación. Este trabajo abo- nará a la elaboración de conjeturas sobre el valor de su suma. Se inicia también a los alumnosen la interpretaciónde sencillas demostraciones matemáticas. Finalmente,la quinta etapa involucra una colección de problemas que tienen la intencionalidad de que los alumnos puedan, desde las propiedades y conoci- mientos abordados en etapas anteriores, realizar construcciones a partir de infor- mación sobre algunos de suslados y ángulos, y analizarla cantidad de solucio- nes que admiten. Asimismo se proponen situaciones que exigen involucrarse en la determinaciónde datos sin medir, estableciendo relaciones y apoyándoseen las propiedades estudiadas. En otras actividades se proponen afirmaciones para analizar su validez y esto requeriráia producción de justificaciones y la elabora- ción de razones. Finalmentese propone sistematizar los conocimientosaborda- dos a lo largo de toda la secuencia. Es decir que se estudianlaspropiedadesde los triángulosyparalelamente, se introduce a los alumnos en ciertas clases de prácticas geométricas.Se espera que los alumnos aprendan los "resultados" organizados del saber (la suma de los ángulosinteriores,la clasificaciónde triángulos,la propiedad triangular, etc.) almismo tiempo quelas maneras de pensar yproducir en geometría(lainsufi- cienciade la medidapara validar, la necesidad de abandonar lo perceptivopara justificar, las formas de demostrar apoyándose en propiedades,la posibilidad de saber medidas sin medir,etc.) 64)\LMti) EnseñarMatemática • *04 • 200B Primera etapa:Recuperar el uso del compás y estudiarla propiedad triangular Problema1: a)Dados estos dos segmentos,usandola regla no graduada16y elcompás, construíun triángulo: ab b)Construí otro triángulo distinto al anterior con esosmismosdos lados. c)¿Cuántos triángulosdiferentesse puede construir?¿Porqué? Este problema busca que los niños usen el compás para trasladar segmentos. La regla no graduada inhibela posibilidad de medir con centímetros la longitud de los segmentos. Por lo tanto, los alumnos podrán trasladar uno de los lados usan- do el compás y usar la regla no graduadapara garantizar el trazado recto. Luego, apartirdeunodelosvértices determinadoporelprimersegmentoelegido,el compás permitirá trazar el segundo lado. El tercer lado quedará determinado por laubicación que cada alumno decida para el segundolado. En elpuntoa)delproblemanosesolicita determinarla cantidadde solucio- nes: los niños probablemente construyan un solo triángulo. La comparación entre lasdiferentes construcciones queproduzcan enel aulapermitiráidentificar que sepuedenconstruirdistintostriángulosqueverificanlascondicionesenuncia- das.El puntob) tienela intención dehacer explícitala "presencia" de diferentes triángulos. El punto c) busca instalar un nuevoaspecto: son muchos (infinitos17) los trián- gulosquesepuedenconstruirconociendolalongituddedosdesuslados. Se buscará en la fase colectiva que los alumnos puedan analizar los motivos por los cuales es posible construir diferentes triángulos: a medida que varía el ángulo en- trelos doslados, varía la longituddel tercer lado.El docente podrá construircon los alumnos algunas representacionesque abonen dichoanálisis, por ejemplo: ••16Como regla no graduada podrán usar la "hipotenusa" de la escuadra o cualquierinstrumento que permitatrazarlíneasrectas. 17 Si bien el docente puede tracclonar desdela ¡dea de "muchos" hasta la de "infinitos", la complejidad de estanoción requerirá de varios años para sucomprensión. EnseñarMatemática • #04 • 2008 Este problema permite empezara hacer jugarla diferenciaentre los dibujosy los resultados:los alumnosdibujaránalgunos,peropodránimaginarmuchos de los no dibujados(el conceptode circunferenciapermiteafirmar que soninfinitos). Estacuestión poneen juegoproblemasdidácticosmencionados anteriormente: el inicio en la generalizacióny el "abandono" de los dibujos para pensaren otras posiblesfiguras. Problema 2 a)Construí,siesposible,untriánguloquetengaestossegmentoscomo lados.Usa el compás y la regla nograduada. b)Construí,siesposible,untriánguloquetengaestossegmentoscomo lados.Usa el compás y la reglanograduada. c)Construí,siesposible,untriánguloquetengaestossegmentoscomo lados. Usa el compás y la regla no graduada. Este problematiene la intenciónde que los alumnos exploren las condiciones bajolascuálessepuedeonoconstruiruntriángulosegúnlalongituddesus lados.Enelcasoa)podránconstruirloy tieneunasolasolución.Elítemb)no puedeser construidodado quelas medidas de los lados son 6 cm, 2 cm y1 cm y posiblemente,los niños, reconozcanla imposibilidada partir del primerintento, porla distancia que les quedará entre los lados. En el ítem c) si bien no esposible la construcción, a algunoslesresultarádudoso.Muchos intentarán construirloy les quedaráun "triánguloachatado"18yaquealtrasladar loslados seráinevita- bleproducirerroresdemedida.Serásuficienteparaque"salga"conconstruir ladosde, por ejemplo, 4,01cm y 2,01 cm o trazar el tercer lado de 5,99 cm, con diferenciasimperceptiblesala vista.Luegodequealgunosalumnosmuestren quesílessalióyotrosrespondanque"nolessale",eldocentepodráorgani- zarun espacio colectivoquepermita discutirlosresultadosobtenidos y analizar lasdiferenciasderespuestasrespectodelpuntoc).Seránecesariocuestionar aquíprácticas empíricas o perceptivas("me sale", "lo veo") para que los alumnos puedanargumentarsidichotriánguloexiste ono. A partirdelintercambioyde las intervenciones deldocente,se esperaque aparezcan ideas talescomo"nos sa//ó, pero en realidad no tiene esas medidas" o"si a un lado de 6 cm lo cortas en 2cm y 4 cm los lados no suben", argumentando-con suspropios términos-que esimposiblequeexista.Estadiscusiónpodrá estaracompañada porun dibujo similaral siguiente,quepermite analizar si las circunferencias se cruzan o no, en función dela longitudde susradios: 18VerBalacheff(1987). I Z Í - t es )E n señ arMat emát i ca • #04•Z O O S El docente - además de instalar el reconocimientoacerca de en cuálesde las trespartes delproblemaesposibley en cuálesno construir eltriángulo- podrá dirigirla discusiónhacia el análisis de un aspectoligado a las normas del trabajo geométrico: los límites de la percepción y la medidapara validar, temaplanteado anteriormente.Por ejemplo: "parece que se puedeconstruir, peroestetriángulo no existe" o"no nos podemos apoyar en el dibujopara estar seguros". Problema 3 (Para hacer en pequeñosgrupos): a) A continuaciónse proponenmedidas de segmentos.Decidanen cadacaso si con ellas se puede o no construirun triángulo. - 3cm, 2 cm,1 cm - 8 cm, 12 cm, 5 cm - 8 cm, 4 cm, 4 cm - 7 cm, 1 cm, 2 cm. b) Con estos segmentosno es posibleconstruirun triángulo:8 cm, 3 cm, 2 cm. ¿Quéexplicación darían de por qué no sepuede? El ítem a) busca que los alumnos puedan ahora anticipar -preferentemente sin dibujar- si es posibleo no realizar las construccionesconlas medidassolici- tadas.Esteproblemainvolucraotrotipodetrabajo geométrico:el conocimiento de las propiedadespermite una actividad anticipatoria(en términosde los niños: "sepuedesabersin dibujar").El ítem b) apuntaa que losalumnosse formulen, con sus propias palabras, la propiedad triangular. Se esperaque puedan llegar a expresionesaproximadas a:"los dos ladoschiquitos tienen que sumar másque el lado largo","si la suma da lomismo te queda pegado y no podesconstruirlo", "si los otros dos lados sonmuy cortos no se juntan y el triángulo nocierra". Luegodeestosproblemaseldocentepodrácomunicarmás formalmentela propiedad triangular: "La suma de dos lados de cualquier triángulo siempre tiene quesermayor queel tercerlado"19. A su vezel docentepodrá generarun espa- ciode discusión, en basealas construccionesrealizadas, que permitaarribar a laideade queenlos casos enlosque sí esposibleconstruir a partir delos tres lados, la solución es única20. Enseñar Matemática •*04 •2008 Segunda etapa: Propiedades de los triángulos en función de sus lados Problema1 a)Construirun triángulo de talmaneraque,alplegarlo,quede dividido en dos triángulos¡guales21. b) ¿Cuálesde los siguientes triángulospuedenser partidos en dostriángulos igualesy cuáles no? c) ¿Quécaracterísticasdeberíatenerun triángulopara que se pueda partir en dos triángulosiguales? d)¿Esverdadqueeltriánguloquesepresentadibujadotambiénsepuede partir en dos triángulosiguales? e)¿Es verdad que este triángulo no se puedepartir en dos triángulos¡guales? 19LapropiedadtriangularapareceenelLibro1ElementosdeEuclidesformuladadediferentes maneras: Proposición20:Encualquiertriángulola sumadecualesquieradosladosesmayorqueeltercero. Proposición21: Si de losextremosde uno de loslados de un triángulo se construyendossegmentos que se encuentrendentrodel triángulo, entoncesla sumade los ladosasiconstruidoses menor que lasumadelosotrosdosladosdeltriángulo,perolossegmentosasiconstruidoscomprendenun ángulomayorqueelcomprendidoporesosdoslados.Proposición22:Paraconstruiruntriángulo apartirdetressegmentosdadosesnecesarioquelasumadecualesquieradelosdossegmentos dados seamayorqueeldel tercero. Enotras formulaciones,la propiedadtriangularincluyetambiénquela longitudde unode suslados debesermayor quela diferencia entrelaslongitudesdelos otrosdos.aspecto queno serátomado en este nivel de escolaridad. 20 El análisisacerca de la cantidad de solucionespodrá proponerse a partir de que es posible que los alumnosconsideren quese puedenconstruirdos o tres triángulos distintos (rotadoso trasladados). Una manera de dirimir esta cuestión será proponer como criterio de "igualdad" la posibilidad de super- posición. La unicidad no podrá ser demostradapor los alumnos. El trabajo empírico permitirá elaborar la conjetura, peroestará a cargodeldocentesu comunicación.Tal comoha sidomencionadoen la parteIII deestetrabajo,estacuestiónnoasumelas características específicasdelademostración matemática. Si bien existe una demostraciónde la unicidad de la solución,no es accesible a ¡os alum- nos en esta etapa de la escolaridad.Por ellose propondrá,provisoriamente,un criterioque - aunque tenga componentesempíricos - admiteciertonivel de argumentos. 21 Algunos textos denominan a esta relación con el nombrede congruencia. IZÍitEi)EnseñarMatemática • #0* • 2008 f)¿Es verdad que et triángulodesignadoconla letra A se puedepartirdeva- rias maneras y el triángulo designado con la letra B se puede partir de una solamanera para que quedendos triángulosiguales? A B Los ítems a) y b) invitan a los alumnos a explorar con diferentes triángulos una primeraideaintuitiva de simetría22 quepermitiráciertonivelde anticipación. Hay uninterjuego entre"probarydeterminarapriori"lascaracterísticas requeridas. Posiblemente en el ítem a) los alumnos construyantriángulos isósceles oequilá- teroscon sus alturasmarcadas23, paraindicarpor dondeplegarlos,resolviendo el problemadesde el inicio. El ítem b) apuntaa que los alumnospuedan,apartir del trabajo exploratorio, poner en acto una ideaaún implícita respecto de que los isóscelesy equiláteros-sinusaraún estostérminos-admitenser "partidos"en dos triángulos iguales.Se esperaque dicha¡dea sea explicitadaa partir delítem c),aunquese continúesinutilizardenominacionesconvencionales.Losítems d)y e)buscanidentificaralgunascaracterísticasdeloslados: laigualdadentre ellos. Comoproducto del análisis colectivo en torno a estos problemas el docente podrá retomar los conocimientosquehan circuladoacerca de la posibilidado no de que un triángulo tengados o tres lados iguales, e instale los nombres, enfun- ción de las medidas de sus lados: escalenos,isósceles, equiláteros24. A la vez se establecerá que los triángulos equiláteros e isósceles satisfacen las condiciones requeridasen elproblema. Problema2 (Conreglaycompás) a) Usando segmentos de 4 cm, 5 cm ó 6 cm como lados intenta hacer varios triángulosescalenos,isóscelesy equiláteros25. b) ¿Se puedenconstruir dos equiláteros distintos conlados de 4 cm? c)¿Se puedenconstruir dosisósceles distintosconun ladode 5 cm y otrode 6cm? Este problema tiene la intención de que los alumnos usen la clasificación dada para una nueva cuestión: analizar la variedad de triángulosque pueden ser cons- *22Concepto que no seráformalizadosino apenasusado en forma exploratoria. 23 Aunque no identifiquenel conceptode altura. 24 Se considerarácomo "independientes" a los triángulosisóscelesy equiláterosponiendoen juego la definiciónde triángulos isósceles comoaquellos que tienen dosladosigualesy equiláteros,como aquellosque tienen tres lados iguales.La cuestión acerca de que los equiláterostambién llenen dos lados igualesy por lo tanto son isósceles depende de la definición que se considere y no será tratada en estemomento. 25 Posiblemente el docente deberá aclarar que se pueden "repetir" y que "no es necesario usar todos". EniertarMatemática • #01 • 2008 truidos en función de las medidas de sus lados. A partir del análisis de la situación planteada, el docentepodrágenerarun intercambioque prepareel terreno para instalar que existe un solo triángulo posiblecon treslados igualesde 4 cm, pero que existen dos triángulosisósceles diferentes con lados de 5 cm y 6 cm respec- tivamente (5 cm, 6 cm y 6 cm ó bien 5 cm, 5 cm y 6 cm)26. Problema3 (usandoregla ycompás) a)¿Quéinformaciónesnecesariaconsiderarparapodercopiarenuna hoja lisa estostriángulos? b)¿Quéinformaciónesnecesariaconsiderarparapodercopiar en unahoja lisa estos triángulos sabiendoque el triángulo A es isósceles y eltriángulo Bes equifátero? A partirdel ítem a) es posible identificarla necesidad de medir los treslados y se evidencielainsuficienciadelasaparienciaspara determinar la igualdado no de suslados, ya que "parecen"ser triángulos equiláteros o isósceles, pero "no lo son"27. En el ítem b) se apunta a que los alumnosidentifiquen que la información ofrecidapor el enunciado -queA es isósceles y B equilátero -permite "ahorrar" mediciones.Sibienelproblemaestápresentadoentérminos anticipatorios, el docentepodrá solicitaralos alumnos que efectivamente los copien para corrobo- rar(aunquedemaneraempírica)sila informaciónquehan decididoconsiderar fue suficiente. 26 Esta cuestión será retomada más adelante al proponer a los alumnosexplorar las condicionesbajo las cualespuede construirseun único triánguloisóscelesdados dos de sus lados. 27El análisis didácticode este problema pone en juego dos de las tensiones mencionadasen el pun- toIII.Por una parte,para determinar silos triángulosson o no isósceleso equiláteros,losalumnos deberánmediryusardichainformaciónparaconcluirquenoloson.Sibienlamedidanopermite validar en geometría,un ciertotratamientocondibujosde figuras yconmedidasespuntode apoyo para una entrada posterior enla argumentación y en el terreno más deductivo.La segundatensión se produce al considerara estos dibujos como figuras,cuestión que está a lo largo de casi todo el trabajo en la escuela primaria. Se tratará de controlar desde la gestión"no pedirle"a los dibujosquepermitan "mostrar" propiedades,peroes inevitable apoyarseen ellos. )íí»fei)EnsertarMatemática • «04 • 2008 Tercera etapa:Revisión del concepto de ángulo. Uso del transportador Problema1: (en pequeños grupos) a)Cadagruporecibeundibujo-sinquelosotrosgruposiovean-ydebe enviaraotrogrupounmensajesindibujosparaquealrecibirlo,puedan construiruna figuraigual a la que ustedes tienen.(Todos los gruposreciben dibujosde paralelogramos cuyos ladosmidan 4 cm y 6 cm, pero todos con diferentesmedidasde los ángulosentre ladosconsecutivos.Algunosgru- pos reciben rectángulos28). b) Cada gruporecibelasinstrucciones de otro grupo y deberealizarlacons- trucción. c)Finalizadala construccióna partir de las indicacionesrecibidas, cadagrupo se reúne con el que le ha enviadoel mensaje para determinar, por superpo- sición, si las figurasles han quedadoiguales. Posiblementelosalumnosnombrenalosparalelogramosnorectángulos como"rectángulosacostados","rectángulostorcidos","cuadradosalargados paraelcostado",etc.Estasituacióndecomunicaciónbuscaprovocarlanece- sidaddeconsiderarcomoinformaciónlamedidadelosángulos.Comotodos losparalelogramosdadostienensusladosde 4cmy6 cm,losmensajesque indiquenúnicamente laslongitudesde los ladosevidenciarán la insuficienciade la información en el texto enviado. Al dibujarlos, en la fase b) producirán ángulos cualesquierapara"inclinarlos".El intentodecomprenderel fracaso enel envío de algunosmensajes prepararábuenascondicionespara que,en la fase colec- tiva, el maestro encauce el análisishaciala necesidad de considerar alguna otra información: medir "la inclinación"entrelados consecutivos. El problema habilita aintroducir el transportadorcomoun instrumentoquepermitemedirdichaincli- nación entre los lados. Luegodeinformaralosalumnosacercadesuusolaactividadpodráser nuevamente propuestapara que en el segundo intento, efectivamente,informen tambiénlasmedidas delos ángulosy puedanteneréxitoenla reproducción de las figurasrecibidas. Silosniños conocieranya lanociónde ángulo yusaran el transportador,esteproblemapermitirátraerala escena del auladichosconoci- mientos y sistematizarlos. En caso contrario, esta situación permitirá introducir un nuevo objeto:la nociónde ángulo y cómomedirlo,requiriendounas clases para el trabajo técnico en tornoal uso deltransportador. »•28 No se requiere paraeste problemaque los alumnos conozcan la denominación "paralelogramos". Si algunos dispusieran de dicho vocabulario, podránusarlo librementeperono se modificael asunto que proponelasituación. EnsenarMatemáti ca • «04 • 2008 .71 Problema2. a) Copiaren una hoja en blanco los siguientesdibujos b) ¿Cuál de estos dos ánguloses mayor? A c)¿Cuántas veces entra el ángulomenor en el ángulo mayor? d) ¿Cuáles de estos ángulos son mayores,menoreso ¡guales que el ángulo de 90o? Podesusar la escuadrapara medirel ángulo recto. K Elítema)apuntaaquelosalumnosse familiaricenconla¡deadeánguloy eluso del transportadorparacopiar dibujos.Elítemb)buscaque identifiquen quela medida de un ángulo no depende de la longitud delas semirrectas quelo definen.Es probable que algunosniñoscrean queel ángulo B esmayor queel ángulo A por la medida de sus "lados". El docente deberá propiciar una discusión paraidentificarquelamedidadelánguloestádadaporalamplitud ynoporla longitudde suslados.Nuevamenteeltrabajogeométricoexigirá"pelearcontra lasapariencias"para reconocer que A esmayor queB. Elítem c) permitirá usar el ángulo B comounidad de mediday determinar que "entra" cuatro vecesen A. Esteproblema permite instalar dos cuestiones.Una es queesposible medirsin transportador,usando ángulos como unidades demedidade otros ángulos. La segundaes que conociendola medida deun ángulo, enalgunasoportunidades es posibledeterminarla medidade otro. Elítem d) tienela intenciónde generar una primera clasificación deángulos. El uso de la escuadra permitirá determinar si los ángulosson iguales,mayores o menores que 90°sinnecesidad de usar el transportador. Al finalizareste proble- ma el maestro podrá presentar que un ángulo recto es aquel que mide 90°y las denominacionesconvencionales de ángulos agudos, obtusos y rectos, así como identificar la escuadra como instrumento para reconocerlos o construirlos. EnieñarMaterna t i ca- # 04 - 2 008 Cuarta etapa: Propiedades de los ángulos del triángulo Problema 1 a) Construí 5 triángulos diferentesque todos tengan como uno de sus lados el segmento AB y que el vértice C esté en la recta L L A B b) ¿En qué lugaresde la recta L podría estar el vértice C para que eltriángulo ABC tengaun ángulorecto? ¿Y para que tenga un ángulo obtuso? ¿Y para que tenga tres ángulosagudos? Este problema tiene la intención de promover un trabajo exploratorio en torno alascondicionesparaproducirtriángulosconciertosángulos.Setrataránlas relacionesentre la ubicación del vérticeC sobrela rectaL y la amplitud delán- gulo A (o B, según dónde se ubique C), ya queal variar la posición del vértice C, varíala amplitud del ángulo A (o B). Será interesante - luego de encontraralgu- nas soluciones para cada caso - que el docente ayude a identificar que solo hay un punto posible parala ubicación del vértice C que determina que el ángulo A searecto (y un único punto para la ubicación del vérticeC para que el ángulo B searecto).En cambio,hay "muchos"(infinitos) puntosposiblesdondesepuede ubicar el vérticeC que provocan que el ángulo A sea agudou obtuso (todos los que se encuentran a la derecha o a la izquierda del punto que permite obtener un ángulorecto en A). Nuevamente se pone en juego el apoyo en "algunos" dibujos para pensaren "todas" las figuras posibles. Una vez analizado el problema, el maestro podrá comunicar los nombres que recibendichos triángulos, en funciónde la medidade sus ángulos:rectángulos, acutángulos y obtusángulos. Problema2: a) Construí en cada caso, si es posible,un triángulocon las medidasde án- gulos que se proponen: 30°, 50°, 100°40°, 30°, 50°100°, 20°, 20°75°, 75°, 30°100° , 35° y 40° b) Construí en cada caso un triángulo con: Un ángulo de 90° y otro de 40°. ¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo? Uno de 90° y otro de 30°.¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo? Uno de 90° y otro de 70°.¿Cuánto te parece que mide el tercer ángulo? (¿Mes)EnsertarMaterna tica - # 04- 2008 Aquíse buscainiciara los alumnosen el estudiodela propiedadde lasuma delosángulosinterioresdeuntriángulo29.Lapartea)invitaaunprocesoex- ploratoriodeensayoyerror.Conalgunasdelasternaspropuestasesposible construir triángulosen tanto que con otras resulta imposible.Algunosniñoscons- truyen un lado de un triángulo y sobre sus extremos "levantan" dos de los ángulos ofrecidoscomodatos.El triángulo"cierra"peronomidenlaamplituddeltercer ángulo.Porejemplo,enelcasode 40°,30° y50°,esposiblequelos alumnos dibujenunlado: Y queluegoconstruyan los ángulosde 40°y 30°a partirdelos extremosdel lado dibujado: Efectivamente el ángulo A mide 40°, el ánguloB mide 30: y el ángulo C queda determinadopor los ángulos ya trazados.Perolos alumnos suelenno medirlo.Y su medidano resulta de 50°, sino110°. Es el docentequienpuede poner enevi- dencia esta contradicción solicitando a los niños que midanel tercer ángulo. En estos casos, es posibleque intenten"achicar" el lado que usaron paracomenzar la construcción,suponiendoque,al disminuirsulongitud,disminuirála amplitud del ángulo en cuestión: PeroelánguloC siguearrojandounamedidacercana oigual a110°, yno a 50°como solicita elproblema. Estas contradicciones deberán permitir a los alumnos elaborar ciertas conje- turas acercadelo que ocurre, próximasa "enalgunoscasos se puedeconstruir ylasmedidasde losángulossirven, peroen otroscasosnose puede". Aúnno podránexplicar qué está ocurriendo.La variedad de construccionespropuestas invita a explorar y conjeturarsobre estehecho.El docentepodrá propiciarespa- ••29 En el libro de los Elementos, de Euclides, aparece comoProposición 32: "En cualquier triángulo, si uno de los lados se prolonga,entoncesel ángulo exteriores igual a la sumade los ángulosinteriores y opuestos,y la suma de los tres ángulosdel triánguloes de dos rectos".La versiónescolarde esta proposición"La suma de los ángulos interiores de cualquier triánguloes 180°" se propone que "espe- re" hasta finalizar el problema 3 de esta etapa. ( ¿f nf eOEnseñarMat emát i ca- #04- 2008 cios de intercambio entre los alumnos para que busquen argumentos a favor o en contra de lo que sospechan, convenciendoo dejándoseconvencer. Siluegodelasconstrucciones yeldebate,surgieraquelasumadebeser 180°30, el docentemantendrá cierta incertidumbre y podrá proponerparael aná- lisismedidasdelosánguloscuyasumase aproxime a180°:100° , 35°y 40°o 100°, 40° y 39°.En estos casos, los errores propiosdelacto demediry del uso deltransportador pondrán, tal vez,en duda,la certeza de quela suma debeser 180°.Lacuestiónesgenerarlascondiciones(contradicciones)quedemanden una explicación acerca de cuánto debe valer la suma de los ángulos interiores del triánguloy depor quédebeserese valor ynopodríaserotro.Una vezmás se pone en evidencia el límite de la medida para justificar lo que "parece ser así". El docente podrá retomar la ¡dea: "en geometría los resultados no pueden apoyarse en loqueseve ni enlo quese mide". Problema 3 Enpequeñosgruposintentenentenderestasdemostracionesqueexplican por qué la suma de los ángulosinterioresde cualquier triánguloes180°. Demostración1: La suma de los ángulosinterioresde un rectánguloes 360°pues cadaángulo mide90°. O sea, 90°x 4 = 360°. Si a cualquierrectánguloselo divideal medio trazandouna de susdiagona- les,se obtienen dos triángulosrectángulosiguales. En cada uno de ellos, la suma de susángulos interioresserá180°, para que todoslosángulos sumen los 360°. Esto permiteafirmarque la suma de los ángulosinterioresde cualquiertrián- gulo rectánguloes180°. Si ahora se consideraun triánguloque no es rectángulo, como el del siguiente dibujo,el mismopuedeserpartidoen dos triángulosrectángulos,medianteuna perpendicular a uno de sus lados, que pase por el vérticeopuesto: En este triángulo, formado pordos triángulos rectángulosAy B, la suma de todos los ángulos de los dos triánguloses 360°, resultado de hacer 180°+ 180°. Pero los dos ángulos rectos marcados no son ángulosinteriores.Entonces, si a los 360°le quitamosesos dos ángulos rectos, se obtienen180°,pues 360°-90°-90°= 180°. Luego, la suma de los ángulosinterioresde cualquiertriángulo es180° 30 A veces algún alumnoevocala propiedadpor ser "voxpopuli". EnseñarMatemática • «04 • 2 008 Demostración2: Elsiguientedibujorepresentauntriángulo "dentro" de unrectángulo: A!trazarunalíneaperpendicularalabase quepasaporelvérticeopuesto,elrectángulo grandequedadivididoendosrectángulosmás pequeños. Los lados del triángulo forman las dia- gonalesdeesosrectángulos.Porlotanto cada rectánguloquedadivididoen dostriángulosiguales.Entoncesel ánguloamide los mismo que el ángulob y el ánguloc midelo mismo que el ángulo d. Como la suma entre las medidasde los ángulos m, b y c, es180°, entonces la sumaentre lasmedidasde los ángulos m, ayd tambiénes 180°. Luego, la sumade los ángulosinterioresde un triánguloes 180°. Estaactividadbuscaquelosalumnosseenfrentenaldesafíodeinterpretar unaexplicación delosmotivos porloscualeslasumadelosángulosinteriores decualquiertriánguloes180°.Seproponendosdemostraciones diferentes de manera tai de permitiralos niños tener alternativas parainterpretar estapropie- dad.Partedeloquedebenaprenderesaleertextosmatemáticos, adaptados asusposibilidadesyconocimientoscomoparte delproceso deinvolucrarse en prácticas argumentativas31. Luego del análisis de estas demostraciones, el docente podrá enunciarla pro- piedadenlostérminosqueconsiderepertinente.Porejemplo: La sumadelos ángulos interiores de cualquier triángulo es180". Problema 4: a)Dibujenun triánguloisóscelesquetengaunángulode40° yotroángulo de 70°. ¿Es posibleanticiparla medidadel tercerángulo? b)¿Seráciertoquesise conocenlasmedidasdedosdelosángulosdeun triánguloisósceles,es posible encontrarla medidadel tercero?Y que si se conoceuno,¿se puedesaberla delos otros dos? c)¿Será cierto que en cualquiertriánguloequilátero,los tres ángulosmiden lo mismo?¿Cuántomide cadaángulo? Este problema invita a desplegar un trabajo de neto corte deductivo, ya que se trata de encontrar ciertos valores sin el recurso de la medida y apelando a las pro- piedadesestudiadasanteriormente.Laspartesa)yb)buscanqueidentifiquen 31Retornamos aquí el problemadidácticomencionadoen la parteIII relativo a los puntosde apoyo para la elaboración de nuevos conocimientos.En este caso el problemalo constituye la referencia, en la segundademostración,a la propiedadde la diagonaldel rectángulo,que lo divide en dos triángulos iguales.Estacuestiónesnecesariaparalademostración,peroala vezpuedenoformarpartede losconocimientosdisponiblesdelos alumnos,Comoyaha sidoseñalado,eldiseñode secuencias didácticas"tropieza"conla contradicción entrela lógicaaxiomáticaylasposibilidadesreales delos alumnos. Aquí seopta por"mostraruna demostración"enla cualesta propiedadfuncionaimplícita- mente,propiedadqueenla geometríaesdemostrada(a partirdeotros axiomas),y queparaestos supuestosalumnos puede ser consideradaun "axioma". EnseñarMat emát i ca • #04 • 2008 que en todo triángulo isósceles,los ángulosque se apoyan sobre el lado desigual soniguales.Esesperablequelosalumnosenlapartea)logrenconstruirun triángulo con las medidas de los ángulospropuestasa partir de ensayar dibujosy usandola propiedaddela suma delos ángulosinteriores.De allíse espera que reconozcanqueeltercerángulodeberámedir70°. El docentepodráintervenir preguntandopor quéno pueden ser dos ángulos de 40°y uno de 70°. Losítems b) y c)buscanintroducira losniños en el desafío de tener quede- terminarla validez o no de ciertas afirmaciones y justificaral respecto.El ítem b) buscaquese identifique quesiempre,enlos triángulosisósceleshay dosángu- los iguales.Luegodel trabajo exploratorioporparte delos alumnos, y dela ela- boraciónderespuestas másintuitivas, el docentepodráabonar ala explicación mostrandoel trazado de una perpendicularal lado desigualpor su puntomedio: De esta maneraquedandos triángulosigualespor tener sus tresladosigua- les, que se puedensuperponerplegando por la líneadibujada y por lo tanto, tam- biénsesuperponenlos ángulos.La segundapreguntadelítemb) apuntaa que los alumnosanalicen que sabiendouno de los ángulos pueden saberse los otros dos, pero hay dos solucionesposibles.Por ejemplo, si el ángulo conocido es 40°, podráhaber dos ángulos de 40°y uno de100°, o biendos ángulos de 70°y uno de 40°. El ítem c) también apunta a un trabajo exploratorio en el cuallos alumnos esbozarán,demaneraintuitiva,quesiemprelostresángulosdeunequilátero seránigualesyporlo tantomedirán 60°. Delmismomodoqueenelítemb)el docentepodrá mostrar una explicación más,por ejemplo que si se trazan perpen- diculares a cada lado, siempre se van a poder superponerlos ángulos, dos a dos, "demostrando"conuna baseempírica aún, que son todosiguales. Problema5 a)¿Es cierto que si un triánguloes rectánguloe isósceles, dos de susángulos medirán45o? b)Encontrar,sinmedir, la medidadel ánguloC dela siguiente figuraqueestá formadaporun triángulo ABDequiláteroyun triánguloBDCisósceles,Al ángulo ABC mide 90°.n C B L.'-i i fn.i rMaterna t i ca - #04- 2008 Al igual que el problema 4, se motoriza el trabajo deductivo.La parte a) busca elreconocimientodequesiun triángulotieneun ángulorecto,lasumadelos otros dos será de 90°. Al ser isósceles, tiene dos ángulosiguales -como ha sido considerado en el problema 4- de donde se deduce que cada uno debe medir 45° para quela suma de los tres ángulossea180°. La parteb) presenta un nuevodesafio:se trata de "leer"información queno está explícita. Es decir, la información del ángulo recto deberá permitir a los alum- nos identificarque dichoángulorecto está formadoporuno de 60° (el deltrián- guloequilátero ABD)yunode30° (eldeltriánguloisóscelesDBC).Conestos datos se podrá establecerque el valor del ángulo C es 75°pues debe ser igual al otro ánguloy juntossumar150°. Ahora bien, es posible que los alumnos utilicen erróneamenteelresultadodelapartea)parapensarlaparteB yafirmenque elánguloC es de 45°.Seráinteresante volver a la propiedaddela suma de los ángulos interioresy verificar que este valorno es posible.El docente, a partirde esteproblema,podráhacernotar nuevamente,cómorecurriralaspropiedades permitesaber, sin medir, la medida de losángulos. Quinta etapa: Construir y eíaborarrazones Problema 1 a) Construíun triángulo obtusánguloque tengados lados de 5 cm que formen el ángulo obtuso. ¿Cuántos hay? b)Construíun triángulo rectánguloque tengadoslados de 5 cm queformen el ángulorecto. ¿Cuántos hay? Este problemapromueve el análisis de la cantidad de triángulos que es posi- ble construir con ciertos datos. En la parte a) se espera quelos alumnos,a partir de construiralgunos triángulos, puedanidentificar quehaymuchos (enrealidad sepuedenconstruirinfinitos) debidoa queno estádeterminado el valor del án- gulo obtuso.En tanto, en la parte b), al solicitar que el triángulo sea rectángulo, el ánguloestádeterminado:debeser recto. De allíquela construcción será única. Es una oportunidad para comenzar a analizar con los alumnos que la cantidad de solucionesdependeráde los datos que proponga el problema y de las relaciones que se puedanestablecerentreellos. Si bienlos alumnos en estasecuenciaya hanresueltoproblemas similares,se busca profundizaren el uso de las diferen- tespropiedadesestudiadasparaanalizarlasrelacionesentrelascondiciones que se presentan para la construcción y la cantidad desoluciones. Problema 2 a) Construíun triánguloisóscelesque tengaun ladode 5 cm y otrode8 cm. ¿Se puedeconstruirotrodistinto? b) Construí un triángulo isósceles con un lado de 4 cm y otro de 8 cm. ¿Se puede construirotrodistinto? EnseñarMaterna t i c a- # 04- 2 006 Nuevamenteseproponeanalizar,enfuncióndelosdatos,laposibilidado nodeconstruirunoovariostriángulos,retomandolorealizadoenlasegunda etapa,problema2.Enlapartea)probablementealgunosalumnosdibujenun triángulo que tenga sus lados de 8 cm, 5 cm y 5 cm. y otros dibujen el que tenga susladosde5cm,8cm, y8cm.El docentepodráorganizarelintercambiode estasconstruccionespara favorecerlapuestaenevidenciadelaposibilidadde construir dos triángulosdiferentescon estos datos y que los niñosreconozcanla existencia de otroposible. La parteb) podría ser tratada de lamismamanera quela partea),pero apa- rece la siguiente contradicción: el triánguloisóscelesde lados 8 cm, 8 cm y 4 cm se puedeconstruir en tanto que el de 4 cm, 4 cm y 8 cm no puedeser construido pues estas medidas no verificanla propiedadtriangular. Se trata de analizar con los alumnos estas características de las longitudesde los lados y las diferencias con los datospresentados en la parte a). Lasmedidas"justas" seguramentegeneraránque algunosniñosconstruyan eltriánguloconciertoserroresdemedidayqueles salgaa pesardesuinexis- tencia.El docentedeberáretomarlasconclusioneselaboradasenlaetapaI y volver a identificar los límites del trabajo empírico para "estar seguros" de que sí esposible. Problema3 a)¿Cuantos triánguloshay con lados de 4 cm, 5 cm y 6 cm? b)¿Cuantos triánguloshay con ángulosde 60°, 40°y 80o? Esteproblemavuelvea poneren juegoía ideadeque,dadoslos treslados de un triánguloque verificanla propiedad triangular, siempre es posibleconstruir un únicotriángulo.Algunosalumnossospechanque el triánguloquese obtiene dependedelladoporelcualseempiezaaconstruir.Esdecir,suponenquesi empiezanpor el de 4 cm obtienenun triánguloy si empiezanpor el de5 cm ob- tienen otro diferente. Es una buenaoportunidad para analizar si los triángulos así construidosson diferentes ono. Algunosargumentos queesbozanlos alumnos para explicar quehay un único triánguloson similares al siguiente: "Son iguales, noves quesi lo dasvuelta te queda este otro"o"Si lo cortas y lo giras, se super- ponen".Estasexplicaciones,apoyadasseguramenteenlosdibujos,sibienno son suficientesen términosmatemáticos, podrán ser aceptadas provisoriamente para establecer que con las medidas de los tres lados se puedeconstruirun úni- co triángulo32. Cuestionessimilares se espera queocurranenlaparte b). Algunosalumnos sospecharánquesepuedeconstruirunúnicotriánguloapartirdelasmedidas de sus ángulos.Probablemente haya otros que recuperen los conocimientos pro- ducidosentornoalproblema2delacuartaetapayproponganquees posible «•32Esta característicaestáasociadaa uno de los criterios de congruencia:dos triángulos son con- gruentessi tienensus treslados iguales.Por lo tanto,cualquier otro triángulo quese construya con esos tres lados seráigual al que ya se construyó. La demostración de esta condiciónde congruencia requiereconocimientosquelosalumnosaúnnotienendisponiblesycorrespondenaotraniveldel sistemaeducativo,ya quese debe disponer delas ideas de traslación,rotación y simetría. EnseñarMatemática • #04 • 2008 construirvariostriángulos.Unmododeresolverestacuestiónesmediantela comparacióndelasdiferentesconstruccionesquehayanrealizadolosniñosy quemuy probablemente sean diferentes entresí. De allí que se podrá establecer que conociendolas medidas de sus ángulos,si suman180°, es posible construir muchos(infinitos) triángulos diferentes- aunquelos alumnosno esténencondi- cionesde considerardel todoquesusladosseránparalelosni se avancesobre laideadesemejanza,cuestionesquefundamentanconmayorprofundidad las relacionesestablecidas-.Esdecir,setratadeinvolucraralosalumnosenun proceso exploratorio, de elaboración de ciertas conjeturas y algunas primeras ex- plicaciones de tales conjeturas. El recorrido escolarpermitirá afinar losargumen- tos,hacerlosmássólidosymás coherentes. Peroporahora,se aceptarácomo provisoriala explicación,por cierto verdadera, de que dadoslos tres ángulosque suman180°, hay infinitostriángulosposibles ya que los lados pueden "achicarse" o "agrandarse" pero quedan"de la misma forma", tal como seilustra: Problema 4 a)¿Cuálde estos triángulospuedeser descriptocon el siguientemensaje: "Uno de sus ladosmide 4 cmyeíotromide 3 cm"? b)¿Cuál de estos triángulospuedeser descripto con el siguientemensaje: "Tieneun ángulo de40°yotroángulode60°"? c)¿Qué datosseríanecesarioagregarpara que,en cada caso,eltriángulo descriptoseaúnico? En esteproblemase promueveun análisis en términos delos datosque son necesariosconsiderarparaidentificara unúnicotriángulo.Intencionalmenteen ( 8 ü : EnseñarM at emát i ca • #04 • 2008 lapartea) y enla parteb) sehanincluidodatos quecorresponden acualquiera de los triángulos dibujados. Para pensar la parte c) los alumnos podrán apoyarse en los problemas anteriores e incorporar nueva información que permitadescribir a un único triángulo. En el caso de la parte a) podrán considerarcomo nuevo dato lalongituddeltercerlado.Perotambiénesposibleincluircomoinformaciónla amplitud del ánguloconformado por los dos lados que ya son parte de los datos. De esta manera también se determinaun único triángulo33. La incorporación de un dato máspara el ítem b) quizá seaun pocomás com- pleja.Puedeser quealgunosalumnosproponganelterceránguloyseránece- sario retomar el problema anterior acerca de que hay muchos triángulosposibles dadossus tres ángulos (si suman180°).Probablementeotros sugieraninformar delamedidadelostreslados,ademásdelosdosángulosdados,criterioya utilizadoanteriormente.Seráoportunoque eldocentepongaendiscusiónsi es necesaria tantainformación o si es posible agregarun único dato más.El estudio delas figuraspodráhabilitarla conjeturadequeconeldato dellado enelque "apoyan"losdosángulosserásuficienteparaidentificarlo,ynoesnecesario saberlasmedidasdelostreslados34.Frentealaspropuestasdelosalumnos el docentepodrá sugerir que dibujenpara probar si les sale uno solo o les salen varios, y que puedan elaborar conjeturas a partir de los dibujos realizados. Finalizada la parte c), el docente podrá proponer a los alumnos establecer que paraidentificar(obienparaconstruir)unúnicotriánguloesposibleconsiderar diferentes datos: -los tres lados - dos ladosy el ángulo que forman - dos ángulos y el lado en el que esos ángulosseapoyan También podráidentificar quese pueden tomar todoslos ángulos y todos los ladosperoqueesinnecesario. Asimismorecordar lainsuficienciade considerar los tresángulos. Problema 5 a)¿Existen triángulosisósceles con un ángulorecto? b) ¿Y con un ánguloobtuso? c)¿Existen triánguloscon tres ángulos obtusos? ¿Y con dos? d)¿Hay triángulos obtusángulosequiláteros? e)¿Y triángulosrectángulosequiláteros? f)¿Hay triángulos con dos ángulosrectos? Esteproblemainstalaunanuevapráctica asociada al trabajogeométrico. La 33 Conocerlamedidadedosladosde un triánguloy elánguloqueforman permiteidentificara un únicotriángulo.Esto seapoya en un criterio de congruencia queno se esperaseaenunciadocomo tal. Se apunta con esteproblema a una primera aproximación a quehay varios conjuntos posibles de datos que determinanun único triángulo. 34 Esteresultado sebasa en otrocriterio de congruencia:dos triángulos son congruentessi tienen congruentesdosángulos yelladoenelqueesosángulosse apoyan. Una vezmás, eneste caso, se tratadeconsiderarestainformación comodatosquedeterminan aunúnicotriángulo.Hay otros criterios de congruencia queno son abordados en esta secuencia. Uinte*)EnseñarMat emát i ca-104-2008(&1 tarea solicitadaal alumnono es construir ni medir,sino anticipar.Por lo tanto, los dibujosque se realicen serán meros bosquejoso figurasde análisisque permiti- rán tener una aproximación un poco más controladasobre lo que ocurre en cada caso.Por ejemplo,enlapartea)los alumnospodránrealizardiferentesdibujos detriángulosrectángulosidentificandoquealgunosdeellospuedenserisós- celes,yaqueno existe ningunarestricciónqueimpidasuconstrucción.Podrán arribar a esta "verdad" aunquela construcción no se realice o conconstrucciones a "mano alzada". Por otro lado,se pone en escenala posibilidad de comenzar a imaginar esas figurasde análisis comodibujosquerepresentanuna coleccióninfinita de trián- gulos,ynounosolo.Eslageneralizaciónloquesevuelveamovilizar enesta clase de trabajo. Laparteb) tienecaracterísticas similares alapartea)yserásuficientecon encontrar algún triánguloque cumplacon dicha condiciónparaarribar a su posi- bilidad.En tanto que la parte c) involucrala necesidad de elaborar argumentos un pocomás sólidos.Algunosalumnos,ayudados en las figuras de análisispodrán sostenerquenosepuedenconstruir dichostriángulospues"nocierran".Pero tambiénes esperableque aparezcan argumentos basados explícitamente en las propiedadesyaestudiadas:"untriángulonopuedetenertresángulosobtusos (nidos) puescadaobtusoesmayorque90°, porlotantosusumaserá mayor que180°".Esunaoportunidaddeidentificaralgunasmarcasdeltrabajoargu- mentativo.Sila figuradeanálisis "muestra" queno sepuede armar el triángulo, esnecesarioencontrar alguna explicación deeste hecho, ya queesinsuficiente con que"no salga"paradecir"que no esposible"35.¿Qué propiedadnose está cumpliendo?¿Tienequeverconloslados?¿Tienequeverconlosángulos? Éstas son algunasposiblesintervencionesdelmaestro para favorecer la puesta enfuncionamientodepropiedadesqueexpliquen,másalládelosdibujosque "muestran".El docente,luegodequelosalumnos elaboren diferentes explica- ciones,instalará elreconocimientodelaimposibilidad paralas preguntas delos ítemsc), d),e) y f)retomandolasexplicacionesapoyadas enlapropiedadde la sumade los ángulosinterioresde cualquier triángulo. Problema 6 (en pequeñosgrupos): El siguientedibujoestá formadopor un triángulo ABD equiláteroy otro,BDC, isósceles.Sabiendo que el ánguloB mide130°, calcularla medidadel ánguloC, sinmedirlo.A 35Para los alumnos sería imposibleconstruir un triángulo de 0,5 mm; 0.4 mm y 0,3 mm sin embargo existe.O un triángulode 3, 4 y 5 km. La distinciónentrelo posible empíricamentey lo existente teóri- camentevuelvea jugarseen esteproblema. (82-, Esteproblemaretoma,enciertamedida,elproblema4delacuartaetapa. Asociada a la difícil tarea de iniciar a los alumnos en los procesos deductivos, una cuestióncentral involucra la posibilidad de "leer" información queno es explícita, enuna colecciónde datos. Seguramenteel docentedeberáexplicar a losalum- nos en forma oral, lo que"sí se sabe" del dibujo, releyendo entre todoslas infor- maciones dadas y aclarando las convenciones usadas para darinformación. Luegopropondráun trabajoexploratorioenpequeñosgrupos.Seráposible quelos alumnosreconozcan queuna partedel ánguloB -la que correspondeal triánguloequilátero-mide60°(pueslos ángulosinterioresdeun triánguloequi- láteromiden60°cadauno)poniendo en juegoconocimientoselaboradosapro- pósitodelosproblemasanteriores.Porlo tanto,laotrapartedelánguloBque correspondealtriánguloisóscelesdeberámedir70°,paraque juntoalde60° formenlos130°.Para aquellosalumnosqueles resultaramás complejoelpro- blema,eldocentepodrárealizarciertaspreguntasparaquepuedanidentificar algunascuestiones.Por ejemplo:"¿se podrásabercuánto midecada partedel ánguloB?";"¿de qué manera?;¿qué información hacefalta?",etc. Lainformaciónquesevaelaborando,juntoconlaqueproveeelproblema, empiezaa dejardeestar"oculta"ypermiteidentificarqueelánguloDtambién está formadopor dos ángulos:uno de 60°y el otro de 70°, pues la parte que co- rresponde al equiláterodebemedir 60°en tantoque la que correspondeal isós- celes debe medir 70°. De estas relaciones es posible inferir que el ángulo C debe medir 40°,paraque junto alos dos de70°sumenlos180°quecorrespondenal triánguloisósceles. Sindudaesteesunproblemamáscomplejo,peromásalládequetalvez noseaposibledeserresueltodemaneraindividualyenformaautónomapor todoslosalumnos,consideramosqueesformativoqueenpequeñosgruposy ayudadossi esnecesariopor eldocente,puedanempezara realizarpequeñas deducciones de datos que les permitanir arribando a las respuestas. Una vez re- suelto el problemaseles podráproponerla elaboración de un registroescrito de las "demostraciones", de tal manera de que los niños puedan empezara ensayar la producción de textos próximos a los matemáticos leídos por ellos, porejemplo, para la demostraciónde la sumade los ángulosinterioresdel triángulo. Seráinteresante que se enfatice también cómoel estudiode laspropiedades nuevamenteles permitededucir ciertas medidas y realizar anticipacionesque no requieren dela mediciónefectiva. Al finalizar la quinta etapa se podrá organizar un momento de trabajo colectivo paraevocar los diferentesproblemasresueltos,releerlas conclusioneselabora- das,sintetizarlasprincipalespropiedadesestudiadasyrecuperarel análisis de loserroresmáshabituales.Estarecapitulacióngenerarámejorescondiciones para el estudio y la reutilización delo aprendidoen nuevosproblemas. Seráimportantequeseexpliciten-ademásdelosresultadosgeométricos elaborados, y los problemas que les dieron origen - ciertos conocimientosprodu- cidosen tornoa las prácticasgeométricas.Se esperaqueporejemplo,aparez- canconclusionescomolas siguientes(se expresan en los "términos"en las que EnseñarMat emát i ca • #04 • 2008 podrían aparecerenun quinto o sexto grado): Aprendimos: - a trazar triánguloscon compáscuandote dan loslados -quela sumadedosladostiene quesermayorqueel tercero ysi noeltrian guiono se puedehacer - que a veces el triángulo pareceque"sale" peroigual no existe(10 cm,5 cm y5cm) -quela sumade los ángulosinterioresda siempre180° -queconlostresladosdadossaleunosolo yqueconlostresánguloshay muchosposibles - que no haytriángulosequiláterosobtusángulosni equiláterosrectángulos - que se puede saber mucho de los triángulossin medir,usando las propiedades ~queaveces untriángulo note sale peroexiste -queparaquequedendostriángulosigualesse puedentomarmuchasme- didasdiferentes -queen los equiláterossus ángulos siempremiden60° -etc. La elaboraciónde conclusiones,si bienserealizaconlos alumnos,y a partir delo queellosaportan,sindudaestápromovidaydirigidaporeldocente,que ayudaa determinarquées importanteretener, en qué casoses convenientepo- ner ejemplos,etc. Los conocimientosproducidospor el grupoa partirde esta secuenciadidácti- ca tendránuna cierta aproximación al saber geométricoy a la vezuna inevitable distancia36. Propiedadesde los triángulos que aparecen "separadas" se despren- denunasdeotras,peroaúnno sonevidentesparalosalumnos dichasrelacio- nes.Retenerlapropiedadmásformalnoimplica,paraquienestáaprendiendo, identificartodas susimplicaciones. Hemosintentadoanalizar algunascondicionesdidácticasquepermitana to- doslosalumnosinvolucrarseenun "mododehacer"propio dela geometría.Es posibleconcebirla enseñanza de la geometría de manera tal de favoreceren los alumnosuna "manerade pensar". "La matemáticaconstituyeel campo en el que elniño puedeiniciarsemástempranamenteen laracionalidad,enel quepuede forjarsurazónenelmarcoderelacionesautónomasysociales".(Brousseau, 2007). Laimportanciade"retener"alageometríaenlaescuelaprimariaestaría- desde nuestropunto de vista- vinculada a otorgara todoslos niños el derecho a accederadichas formasderazonamientopues,fueradela escuela,noparece serun bienatrapable. ••36Distinguimosconocimientoscomoaquellosmás provisoriosproducidospor la comunidad de alumnos,ysabercomosaber"sabio","cultural",elreconocidoporlacomunidaddematemáticos (Brousseau,1994,2007). EnseñarMatemática-S 04- 200S Bibliografía - Arsac,G.(1989):"Laconstructionduconceptdefigurechezleselevesde12 ans"en Anales dela ConferenciaPME,París. - Babini, J. (1967): Historia delas ideas modernasen matemática.Publicación del Depto. de AsuntosCientíficos. OEA. Washington DC. -Balacheff, N. (1987): "Devolution d'unprobleme et constructiond'uneconjecture.Lecas de la somme des angles d'untriangle". Cahier de Didactiquedes Mathematiques39. Irem deParis 7. - Berthelot, R.. Salin, M. H. (1993): "La enseñanza de la Geometríaen la Escuela Primaria" enGrandN, N°53 Grenoble,Franciay traducido para elPTFDporCapdevielle,Várela y Willschen1994. -Broitman,C.,Itzcovich,H.(2001):Orientacionesdidácticasparalaenseñanzadela GeometríaenEGB.DocumentoN° 3/01.GabinetePedagógicoCurricular.Matemática Direcciónde EducaciónGeneralBásica.Prov. Bs. As. -Broitman,C.;Itzcovich,H.(2003):"Geometríaenlosprimerosgradosdelaescuela primaria:problemasdesuenseñanza,problemasparasuenseñanza"en:Panizza,M. (comp):La enseñanza de la Matemática en el Nivel Inicial y en el Primer Ciclo,Paidós. -Brousseau,G.(1986):Fondementsetméthodesdeladidactique desMathematiques. Tesis.Burdeos. -Brousseau,G.(2007):Iniciaciónalestudiodela TeoríadelasSituacionesDidácticas. Librosdel Zorzal. Bs. As. -Brun,J(1994):"Evolutiondesrapportsentrelapsychologiedudeveloppementcognitiv etladidactiquedesmathematiques"enVingtansdeDidactiquedesMathematiquesen France.Paris,La PenseeSauvage. -Castelnuovo,E.(1989):"Panoramadela enseñanzamatemáticaeneltiempoyenel espacio" enRevista EducaciónMatemáticaVol1.N°3.GrupoEditorIberoamericano. - Castorina, Coll y otros (1998):Piaget en la Educación.Debateen torno de susaportacio- nes.México,EditorialPaidós. -Chevallard, Y. (1997):La TransposiciónDidáctica. Ed. Aique. Bs.As. -Coll(1983):"Las aportacionesdelaPsicología a la Educación.Elcasodela psicología Genéticay de los aprendizajesescolares" en Coll(comp.):Psicología genética y aprendi- zajes escolares. Madrid.Siglo XXI. -Charlot, (1991):"La epistemologíaimplícitaenlasprácticas deenseñanzadelasmate- máticas", texto mimeografiado de la conferenciapronunciada en Cannesde1986. -Fregona,D. (1995):Les figuresplanescomme"milieu"dans l'enseignementdela géo- méthe : interactions,contrats et transpositions didactiques. Thése,Université de Bordeaux I -Fregona, D. (1995): Diferentesdominiosde declaración sobre las figuras.Ponencia de la IX CIAEM. Chile. - Calvez,G.(1994):"La Geometría, la psicogénesis delas nocionesespacialesy laense- ñanzade la geometríaenla escuela elemental".EnParra,C y Saiz(comp.),Didácticade Matemática.Bs. As.,EditorialPaidós. -GobiernodelaCiudaddeBuenos Aires(2004):DiseñoCurricular.Matemática.Marco Gral., EGB 1 y EGB 2. Direcciónde Curricula. -Itzcovich,H.(2006):IniciaciónalestudiodidácticodelaGeometría.LibrosdelZorzal. Bs. As. -Kline,M (1976):El fracaso dela matemáticamoderna.Por qué Juanitono sabe sumar. Sigloveintiuno editores.México - Laborde, C. (1990):"L'enseignementde la géométhe en tant que terrain d'explorationde phénoménes didactiques".Recherches en Didactiquedes Mathematiques,Vol 9.3 | ZÍ ->tei)EmeñarMatemática • «04 • 2008 -Sadovsky,Parra,Itzcovich,Broitman(1998):Documentode ActualizaciónDidácticaN° 5. Matemática.SegundoCiclo dela EGB, GCBA - Santaló, L (1961):Geometrías no euclidianas.Bs. As.Eudeba - Serres,M (1996): Los orígenes de la geometría. SigloVeintiunoEditores.México - Zabala,M (2006):Cuaderno N° 12. Geometría: Conceptosy construcciones.Programa InternacionaldeFormación de Educadores Populares.Caracas. Venezuela (36)lifntíi)EnseñarMat emát i ca- #04- 2008