Bentuk Tak Tentu Dan Integral Tak Wajar

Tugas Mata kuliah Komputer PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL Disusun Oleh : Nama NIM Pengampu : Muh. Miftah : S 850208016 : Drs. Sarngadi Palgunadi Yohanes, MSc. Aspek Originalitas Kedalaman Materi Peranan Maple Kebenaran Konsep Total Skor Max 3 3 2 2 10 Nilai PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR A. Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar ini antara lain: a. mahasiswa dapat lebih menguasai materi mengenai Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar b. mahasiswa dapat membedakan bentuk limit tak-tentu dan dapat menyelesaikan bentuk integral tak wajar. c. mahasiswa dapat menggunakan program maple dalam menentukan bentuk limit dan bentuk integral. B. Alokasi Waktu Alokasi waktu untuk pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar ini adalah 3 x 2 jam pelajaran. C. Materi Pembelajaran Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 1. Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0 2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain 3. Integral Tak-Wajar : Batas Tak-Terhingga 4. Integral Tak-Wajar : Integran Tak-Terhingga 1. Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0 Di bawah ini ada tiga masalah limit yang telah kita kenal, yaitu lim sin x , xp 0 x lim xp3 x2  9 , x2  x  6 lim xpa f ( x )  f (a) xa Limit yang pertama telah dibahas dalam pasal 3.4 dan limit yang ketiga sebenarnya mendefinisikan turunan f ' (a ) . Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama, yaitu ada hasil bagi dan dalam ketiga limit itu pembilang dan penyebut berlimit nol. Kalau kita menghitung limit itu dengan menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. memang aturan tersebut tak dapat digunakan disini oleh karena aturan itu hanya berlaku apabila limit penyebut bukan 0. kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut diatas tidak ada. Kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit. Penulisan limit dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut : Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk limit di atas ke dalam program maple, maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah : > Limit(sinx/x,x=0); Maka hasil yang akan muncul adalah lim xp0 sinx x > Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); Maka hasil yang akan muncul adalah lim xp3 x 2 9 x2 x 6 > Limit((f(x)-f(a))/(x-a),x=a); Maka hasil yang akan muncul adalah lim xpa f( x ) f( a ) x a Anda tentunya ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat membuktikan bahwa lim (sin x ) x ! 1 . Di lain pihak, dengan menggunakan xp 0 pemaktoran dalam aljabar, kita peroleh lim x p3 ( x  3)( x  3) x2  9 x3 6 ! ! lim ! lim 2 x  x  6 x p3 ( x  3)( x  2) x p3 x  2 5 Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan l¶Hôpital (baca: loupital). ATURAN L¶HÔPITAL Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de l¶Hôpital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli. Teorema A (Aturan l¶Hôpital untuk bentuk 0/0). Andaikan lim f ( x) ! lim g ( x) ! 0 . x pu x pu Apabila lim[ f ' ( x ) / g ( x )] ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga (jadi bilangan terhingga L, ’, atau -’), maka lim x pu f ( x) f ' ( x) ! lim x p u g ' ( x) g ( x) Di sini,u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-’ atau +’. Sebelum kita mencoba membuktikan teorema tersebut, terlebih dahulu akan kita berikan beberapa contoh. Perhatikan bahwa dalam aturan l¶Hôpital, suatu limit dapat diganti dengan limit yang lain lebih sederhana dan tidak lagi berbentuk 0/0. Contoh 1 Tentukan lim x 3 x 2  3 x  10 x2  9 dan lim 2 xp2 x  4 x  4 x2  x  6  Penyelesaian Kedua limit berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan l¶Hôpital sebagai berikut,   lim x p3 2x 6 x2  9 ! lim ! 2 x  x  6 x p3 2 x  1 5 x 2  3 x  10 2x  3 ! lim !g 2 x  4 x  4 xp2 2 x  4  x p 2 lim Limit yang pertama telah dihitung dengan menguraikan penyebut dan pembilang dalam bab permulaan tentang limit. Jelas bahwa jawabannya sama dengan jawaban di atas, yang diperoleh dengan aturan l¶Hôpital. Kita juga dapat menyelesaikan pembuktian limit di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut, > Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); lim xp3 x 2 9 x2 x 6 Selanjutnya kita dapat langsung menentukan nilai dari limit di atas, yaitu dengan menuliskan > limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3); 6 5 Hasil dari proses manual dan program maple sama yaitu 6/5. Dan untuk > Limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2); lim xp2 x2 3 x 10 x2 4 x 4 Hasilnya adalah > limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2); undefined Jadi nilai dari limit tersebut adalah ’ Contoh 2 Tentukan lim xp 0 tan 2 x ln(1  x ) Penyelesaian Pembilang dan Penyebut menuju 0.Sehingga menurut aturan l¶Hôpital kita peroleh, lim 2 sec 2 2 x 2 tan 2 x ! lim ! !2 x p 0 ln(1  x ) x p 0 1 (1  x ) 1 Seringkali f ' ( x ) / g ' ( x ) juga berbentuk 0/0. Oleh karena itu kita dapat lagi menggunakan aturan l¶Hôpital. Dalam program maple dapat ditulis; > Limit((tan2*x)/ln(1+x),x=0); lim xp0 tan2 x ln( 1 x ) Hasilnya adalah > limit((tan(2*x))/ln(1+x),x=0); 2 Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2 Contoh 3 Tentukan lim sin x  x xp 0 x3 Penyelesaian Kita dapat menggunakan aturan l¶Hôpital berturut-turut tiga kali, sebagai berikut, lim sin x  x cos x  1 ! lim 3 xp 0 xp 0 3x 2 x ! lim ! lim x p0  sin x xp 0 6x  cos x 6 ! 1 6 Walaupun Aturan l¶Hôpital mudah digunakan, namun kita harus hati-hati dalam pemakaiannya, khususnya harus diteliti benar apakah persyaratan yang diminta terpenuhi. Apabila tidak, kiya dapat melakukan kesalahan-kesalahan seperti dalam contoh di bawah ini. Untuk penyelesaian di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut, > Limit((sinx-x)/x^3,x=0); lim xp0 sinx x x3 Maka hasil yang akan muncul adalah > limit((sin(x)-x)/x^3,x=0); -1 6 Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2 TEOREMA NILAI RATA-RATA CAUCHY Bukti mutakhir Aturan l¶Hôpital didasarkan pada Teorema Nilai Rata-rata dari Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Teorema B (Teorema Nilai Rata-rata Cauchy). Andaikan f dan g fungsi yang terdiferensialkan pada selang (a,b) dan kontinu pada selang [a,b]. apabila g¶(x)  0 untuk semua x di (a,b), maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga f (b)  f (a ) f ' (c) ! g (b)  g (a ) g ' (c) Perhatikan bahwa teorema tersebut berubah menjadi Teorema Nilai Rata-rata yang lebih kita kenal apabila g(x)=x. (Teorema 4.8A). Bukti Bentuk di atas mendorong kita untuk menggunakan Teorema Nilai Rata-rata pada pembilang dan penyebut di ruas kiri. Kita akan memperoleh (1) f(b)-f(a)=f¶(c1)(b-a) dan (2) g(a)-g(b)=g¶(c2)(b-a) Untuk nilai c1 dan c2 dalam selang (a,b). kalau c1 dan c2 sama, yang tentunya tidak perlu sama sekali, kita dapat membagi persamaan pertama dengan yang kedua dan terbuktilah Teorema B di atas. Walaupun c1 dan c2 tak sama, dari persamaan (2), oleh karena g(b)-g(a) 0, karena kenyataan yang kelak kita butuhkan (hal ini mengikuti dari hipotesis yang menyatakan, bahwa g¶(x) 0 untuk semua x di (a,b). Dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 4.8A) kita telah menggunakan fungsi-fungsi s. jika kita coba mengambil bukti-bukti sebelumnya, maka kita diarahkan ke pilihan berikutnya untuk s(x). misalkan s ( x) ! f ( x)  f ( a)  f (b)  f (a) [ g ( x)  g (a )] g (b)  g (a ) Tidak ada pembagian oleh nol yang tercakup, karena kita sejak awal telah menjelaskan, bahwa g(b)-g(a) 0. Perhatikan bahwa s(a) =0=s(b). Juga s kontinu pada [a,b] dan dapat dideferensialkan pada (a,b); ini mengikuti dari fakta yang beresuaian untuk f dan g. Jadi kita dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-rata terhadap x, maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga: s ' (c ) ! s (b )  s ( a ) 0  0 ! !0 ba ba tetapi s (c ) ! f (c )  atau f ' (c ) f (b )  f ( a ) ! g ' (c ) g (b )  g ( a ) yang kita inginkan untuk membuktikannya. BUKTI ATURAN L¶HÔPITAL Bukti Acu kembali ke Teorema A, yang sebenarnya menyatakan beberapa teorema sekaligus. Kita akan membuktikan kasus untuk L terhingga dan lim kita maksud adalah lim . xpa f (b)  f (a) g (c ) ! 0 g (b)  g (a) Menurut apa yang diketahui di dalam Teorema A, adanya lim [ f ( x) / g ( x )] xpa mengandung pula sifat adanya f¶(x) dan g¶(x) paling sedikit dalam lingkungan (a,b] dari a dan bahwa g¶(x)0. Di a kita tidak mengetahui apakah f dan g ada; kita hanya mengetahui bahwa lim f ( x) ! 0 dan lim g ( x ) ! 0 . Jadi kita dapat mendefinisikan xpa xpa (atau apabila perlu mendefinisikan kembali) di a. Ini semua perlu agar f dan g memenuhi syarat-syarat dalam Teorema Nilai Rata-rata Cauchy pada selang [a,b]. Dengan demikian maka ada c dalam (a,b) sehingga f (b)  f (a ) f ' (c) ! g (b)  g (a ) g ' (c) oleh karena f(a)=0=g(a), maka f (b) f ' (c) ! g (b) g ' (c) Apabila b p a  , jadi juga c p a  maka kita peroleh lim bp a  f (b) f (c ) ! lim g (b) c p a g (c)  ini sesuai dengan yang harus dibuktikan. Bukti yang serupa berlaku untuklimit kiri, jadi dengan demikian terbukti pula untuk limit yang dua arah. Bukti untuk a atau L yang tak terhingga agak sulit dan tidak akan kita buktikan di tempat ini. 2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain Dalam penyelesaian contoh 6, pasal yang lalu, kita berjumpa dengan persoalan limit sebagai berikut. lim x x pg e x Dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut; > limit(x/e^x,x=infinity); lim xpg x ex Bentuk limit ini tergolong bentuk lim f ( x ) g ( x ) , yang memiliki sifat bahwa x pg pembilang dan penyebut menuju tak-terhingga. Bentuk tersebut dinamakan bentuk tak-tentu dari jenis ’/’. Ternyata bahwa Aturan l¶Hôpital juga berlaku dalam hal ini. Jadi, lim x pg f ( x) f ' ( x) ! lim g ( x) x p g g ' ( x ) Bukti yang tepat agak rumit. Akan tetapi ada suatu cara yang meyakinkan kita bahwa hasilnya memang benar. Andaikan bahwa f(t) dan g(t) menunjukkan kedudukan dua kendaraan pada sumbu-t pada saat t. Kedua kendaraan itu, yang kita sebut kendaraan-f dan kendaraan-g sedang dalam perjalanan tanpa akhir dengan laju masing-masing f¶(t) dan g¶(t). Andaikan bahwa lim t pg f (t ) !L g (t ) ini berarti bahwa pada suatu saat tertentu laju kendaraan-f menjadi L kali laju kendaraan-g. Jadi masuklah akal mengatakan bahwa pada suatu saat, kendaraan-f akan menempuh jarak L kali lebih jauh. Dalam rumus lim tpg f (t ) !L g (t ) Uraian diatas tentulah bukan bukti secara matematika. Mengenai rumus di atas, ada teorema sebagai berikut. Teorema A Andaikan lim f ( x ) ! lim g ( x) ! g. Jika lim?f ( x ) g ( x )A ada (terhingga atau x pu x pu tak terhingga), maka f ( x) f ' ( x) ! lim x pu g ( x ) x p u g ' ( x) Di sini u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-’ atau +’. lim BENTUK TAK-TENTU ’/’ contoh 6, pasal yang lalu. Kita gunakan Teorema A, untuk menyelesaikan Contoh 1 Tentukan lim x p0 ln x cot x Penyelesaian Apabila x 0+, maka x í’ dan cot x ’, dengan demikian kita dapat menggunakan Aturan l¶Hôpital, sehingga x p0 lim ln x « 1x » ! lim ¬ 2 x p 0 ­  csc x ¼ cot x ½  Limit terakhir ini masih tetap tentunya. Walaupun demikian kita tidak akan menggunakan Aturan l¶Hôpital, sebab bentuk tersebut akan menjadi makin rumit. Untuk menghitung limit terakhir itu, kita ubah sebagai berikut 1x sin 2 x sin x ! !  sin x 2 x x  csc x sehingga x p0 lim sin x » ln x « ! 0.1 ! 0 ! lim ¬ sin x xp 0 ­ cot x x ¼ ½  Jika ditulis pada program maple adalah > Limit(ln(x)/cot(x),x=0); lim xp0 ln( x ) cot ( x ) Dan hasilnya adalah > limit(ln(x)/cot(x),x=0); 0 BENTUK TAK-TENTU 0-’ DAN ’-’. Andaikan A(x) 0, tetapi B(x) ’. Bagaimana dengan hasilkali A(x)B(x)? Apakah akan menuju nol, ataukah tak terhingga atau akan memiliki limit yang lain? Ini semua tergantung pada masingmasing A(x) dan B(x) caranya fungsi-fungsi ini menuju nol maupun tak terhingga. Di sini pula Aturan l¶Hôpital dapat membantu kita menentukan limit fungsi A(x)B(x) setelah kita mengubahnya menjadi bentuk 0/0 atau ’/’. 1 ¸ ¨ x  Contoh 2 Tentukan lim © ¹. x p1 ª x  1 ln x º  Penyelesaian Suku pertama bertumbuh tanpa batas: demikian juga suku kedua. Kita katakan bahwa limit tersebut memiliki bentuk tertentu ’-’. Kembali pertentangan hebat terjadi. Aturan l¶Hôpital akan menentukan hasilnya, tetapi hanya setelah kita menuliskan kembali persoalantersebut dalam bentuk yang memungkinkan aturan ini berlaku. Pada kasus ini, kedua pecahan haruslah dikombinasikan, prosedur yang akan mengubah persoalan tersebut menjadi dalam bentuk 0/0. PenerapanAturan l¶Hôpital dua kali akan menghasilkan x.1 x  ln x  1 x ln x  1 1 ¸ ¨ x ! lim lim ©  ¹ ! lim x p1 ª x  1 ln x º xp1 ( x  1) ln x xp1 ( x  1)(1 x )  ln x    ! lim x p1  x ln x 1  ln x 1 ! lim ! x  1  x ln x xp1 2  ln x 2  Dapat juga di tulis dalam program maple sebagai berikut > Limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1); lim xp1 x 1  x 1 ln( x ) Maka hasil yang diperoleh adalah > limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1); 1 2 BENTUK TAK-TENTU 00, ’0, 1’ Sekarang kita akan membahas bentuk tak-tentu jadi eksponen. Cara yang kita pakai ialah menulis bentuk tak-tentu tersebut sebagai logaritma. Kemudian Aturan l¶Hôpital kita gunakan pada bentuk logaritmaini. Contoh 3 Tentukan lim ( x  1) cot x x p0 Penyelesaian Bentuk limit tersebut adalah 1’ yang tak-tentu. Andaikan y=(x+1)cot x maka ln y ! cot x ln( x  1) ! ln( x  1) tan x dengan menggunakan Aturan l¶Hôpital bentuk 0/0, kita peroleh, 1 ln( x  1) lim ln y ! lim ! lim x  1 ! 1 x p0 xp 0 x p 0 sec 2 x tan x    Kini y=eln y, dan oleh karena fungsi eksponensial f(x)=ex adalah kontinu,maka lim y ! lim exp(ln x) ! exp lim ln y ! exp1 ! e xp 0 x p0 x p0  Jika dikerjakan dalam program maple, maka hal yang dilakukan adalah > Limit((x+1)^cot(x),x=0); lim ( 1 x ) xp0 cot( x ) Dan hasil yang muncul, sebagai berikut; > limit((x+1)^cot(x),x=0); e IKHTISAR Kita telah menggolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk taktentu, dengan menggunakan tujuh buah simbol 0/0, ’/’, 0.’, ’-’, 00, ’0, dan 1’. Masing-masing bentuk melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang berarti bahwa hasilnya tidak jelas terluhat. Akan tetapi, dengan bantuan Aturan l¶Hôpital, yang hanya diterapkan secara langsung pada bentuk 0/0 dan ’/’. Kita biasanya dapat menentukan harga limit yang tepat. Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/’, ’/0, ’+’, ’.’,0’, dan ’’. Mengapa yang ini tidak kita sebut bentuk tak-tentu? Karena pada tiap kasus ini, gaya-gaya itu saling membantu, bukannya bersaing. 3. Integral Tak-Wajar (Improre), Batas Tak Hingga Dalam mendefinisikan ´ b a f ( x) dx , telah diandaikan bahwa selang [a,b] terhingga. Walaupun demikian, banyakpenerapan integral tentu dalam fisika, ekonomi dan teori peluang yang menghendaki a atau b (atau keduanya) menjadi tak-terhingga. Oleh karena itu, kita harus memberikan arti pada lambang seperti ´ g 0 1 dx , 1 x2 ´ 1 xe  x dx , 2 g ´ g x 2 e  x dx 2 g Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak terhingga. Penulisan integral dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut : Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk integral di atas ke dalam program maple, maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah : Untuk bentuk integral pertama > Int(1/(1+x^2),x=0..infinity); g µ 1 ¶ dx ¶ ¶ 1 x2 ¶ · 0 Untuk bentuk integral kedua > Int(x*e^(-x^2),x=0..infinity); 2 ( x ) µ ¶ xe dx ¶ · 0 g Untuk bentuk integral ketiga > Int(x^2*e^(-x^2),x=0..infinity); µ 2 ( x2 ) ¶ x e dx ¶ · 0 g SATU BATAS TAK TERHINGGA Integral ´ b 0 e  x dx mempunyai arti yang jelas bagaimana pun besarnya nilai b. malahan kita dapat menghitungnya, sebagai berikut. ´ bp g b 0 e  x dx !  ´ e  x (  dx ) !  e  x 0 b ? A ! 1 e b 0 b Oleh karena lim(1  e  b ) ! 1 , kita dapat mendefinisikan ´ g 0 e  x dx ! 1 Di bawah ini kita cantumkan definisi yang umum. Definisi ´ ´ b g g f ( x) dx ! lim a p g a b ´ b f ( x )dx a f ( x) dx ! lim ´ f ( x ) dx bpg a Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, kita katakan bahwa integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang terhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen. Contoh 1 Tentukan, jika mungkin, Penyelesaian ´ 1 g xe  x dx 2 ´ Maka, 1 a xe x2 1 1 2 « 1 2» dx !  ´ e  x ( 2 xdx ) ! ¬  e  x ¼ 2 a ­ 2 ½a 1 ´ 1 1 « 1 » xe  x dx ! lim ¬ e 1  e  a ¼ !  g a p g 2 2e ­ 2 ½ 1 2 2 Kita katakan bahwa integral tak-wajar di atas konvergen dengan bernilai -1/2e. Kita juga dapat mengerjakan perhitungan integral diatas dengan menggunakan program maple, integral diatas bila ditulis dalam program maple adalah; > Int(x*exp(-x^2),x=(-infinity)..(-1)); 2 ( x ) µ ¶ xe dx ¶ · g -1 Hal pertama yang dilakukan adalah memisalkan fungsi rasional diatas dengan f(x), yaitu; > f(x):=x*exp^(-x^2); f( x ) : x exp ( x2 ) Kemudian mengintegralkan f(x), > int(x*exp^(-x^2),x); 1 exp  2 ln( exp ) ( x2 ) Contoh 2 Tentukan jika mungkin Penyelesaian ´ g 0 sin xdx ´ g 0 sin xdx ! lim ´ sin xdx ! lim? cos x A0 b bp g 0 bpg b ! lim?  cos b A 1 bp g Limit terakhir ini tidak ada, jadi integral tak-wajar diatas adalh divergen. Perhatikan arti geometri integral ´ g 0 sin xdx itu untuk dapat memahami hasil tersebut. Pengerjaan dalam program maple adalah; > Int(sin(x),x=0..infinity); µ ¶ sin( x ) d x · 0 g KEDUA BATAS INTEGRAL TAK TERHINGGA Kita mulai dengan definisi berikut. Definisi 0 Apabila ´ g g f ( x) dx dan ´ 0 g g f ( x ) dx konvergen, maka dikatakan ´ f ( x)dx g konvergen dengan nilai 0 ´ f ( x) dx ! ´ g f ( x) dx  ´ f ( x) dx 0 g g g Dalam hal yang lain f ( x) dx dinamakan divergen. PARADOKS CORONG GABRIEL Andaikan kurva y ! 1 / x pada selang [1,’) diputar mengelilingi sumbu x. maka terbentuklah suatu permukaan yang disebut corong Gabriel (Gambar 4). Akan kita tunjukkan bahwa: 1. volume V corong adalah terhingga. 2. luas permukaan corong A tak terhingga. Jadi apabila corong itu kita isi dengan cat, banyaknya cat ini terhingga. Namun tidak cukup untuk untuk mengecat seluruh corong itu. Untuk menjelaskan paradoks ini, terlebih dahulu kita buktikan sifat-sifat pada (1) dan (2). Berturut-turut kita peroleh ¨1¸ V ! ´ T © ¹ dx ! limT ´ x  2 dx bpg xº 1 ª 1 g 2 b « T» ! lim ¬ ¼ ! T bpg ­ x ½1 g g b A ! ´ 2Ty ds ! ´ 2Ty 1  y 2 1 g dx 1 2 1 ¨  1¸ ! 2T ´ 1  © 2 ¹ dx x ªx º 1 b ! lim 2T ´ bpg 1 x4 1 dx x3 Oleh karena, x4 1 x4 1 " 3 ! x x3 x Maka, b ´ 1 1 x4 1 dx " ´ dx ! ln b 3 x x 1 b GABRIEL MELAPIS JALAN Ketika diminta untuk melapis jalan yang tak terhingga 0”x”’,0”y”1 dengan emas murni, Gabriel mematuhi tetapi membuat tabel h emas murni di titik x memenuhi h ! ex Berapa banyak emas yang diperlukan? V ! ´ e  x dx ! lim ´ e  x dx ! lim  e 1 0 bpg 0 bp g g b ? A !1 b 0 dan karena ln b ’ apabila b ’, maka A tak terhingga. Hanya 1 kubik Apakah ada kekeliruan pada matematik kita? Tidak. Bayangkan bahwa corong tersebut akan dibelah, dibuka, dan diratakan. Berikan jumlah cat yang terhingga banyaknya, kita tidak dapat mencat permukaan corong ini dengan lapisan cat yang merata tebalnya. Akan tetapi, kita dapat melakukan hal itu jika mengijinkan lapisan cat tersebut semakin tipis untuk permukaan yang sedemikian jauh dari ujung besar corong. Dan, tentu saja, inilah yang sebenarnya terjadi ketika kita mengisi corong utuh dengan keenceran). kubik cat (cat imajiner dapat disebarkan dengan sebarang 4. Integral Tak-Wajar: Integran Tak Terhingga Dengan meninjau banyak pengintegralan rumit yang telah kita kerjakan berikut salah satu yang kelihatannya cukup sederhana 1 1 3 « 1» ´2 x 2 dx ! ¬ x ¼  2 ! 1  2 !  2 ­ ½  1 1 ??? Apabila kita memperhatikan, grafik pada Gambar 1 ini, tampaknya ada sesuatu yang aneh. Sebab jawaban integral (jika memang ada) tentunya harus suatu bilangan positif. Mengapa? Di manakah letak kesalahan dalam perhitungan integral tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, lihatlah kembali Pasal 5.5 (Fungsi-fungsi apa yang dapat diintegralkan) khususnya halaman 278. Seperti diketahui, agar suatu fungsi dapat diintegralkan dalam arti yang biasa, fungsi tersebut harus terbatas. Dalam contoh di atas, fungsi itu adalah f(x)=1/x2, yang tak 1 terbatas. Jadi tak dapat diintegralkan dalam arti yang biasa. Dikatakan bahwa ´x 2 2 dx adalah integral yang tak-wajar dengan integral yang tak terhingga (lebih tepat untuk mengatakan integral yang tak-terbatas). Hingga saat ini, kita menghindarkan dengan sengaja integral-integral yang integrannya tak terhingga dalam soal maupun contoh. Dalam pasal ini kita akan mendefinisikan dan membahas integral-integral itu. INTEGRAN YANG TAK TERHINGGA PADA TITIK UJUNG SUATU SELANG. Kita berikan definisi integral yang ontegrannya menuju taj terhingga di titik ujung sebelah kanan selang pengintegralan. Untuk sifat ynag sama di titik sebelah kiri ada definisi yang hampir serupa. Definisi Andaikan f kontinu pada selang setengah buka [a,b) dan andaikan lim f ( x) ! g . x pb Maka, b t ´ a f ( x ) dx ! lim ´ f ( x ) dx t pb a Asalkan limit itu ada dan terhingga. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tersebut konvergen. Dalam hal yang lain, integral disebut divergen. 1 Contoh 1 Jika mungkin hitunglah Penyelesaian ´ x dx . 0 1 1 1 1 ´ x dx ! tlim ´ x dx ! tlim ?ln x At p0 p0 t 0   1 1 ! lim ? ln t A! g t p0 Jadi integral ini divergen. Jika dikerjakan dalam program maple, sebagai berikut; > Int(1/x,x=0..1); µ 1 ¶ dx ¶ ¶ x ¶ · 0 1 Jika dihitung dalam penghitungan maple, adalah > int(1/x,x=0..1); g Sehingga hasil yang diperoleh dalam penghitungan manual dan dalam maple adalah sama, yaitu; ’. INTEGRAN YANG TAK-TERHINGGA PADA SEBUAH TITIK DALAM 1 Integral ´1/ x 2 2 dx adalah sebuah contoh pasal ini. Perhatikan bahwa integran ini tak- terhingga pada x = 0. definisi tepatnya adalah sebagai berikut: Definisi Andaikan f kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b. Andaikan lim f ( x) ! g . Kita definisikan x pc b c b ´ f ( x )dx ! ´ f ( x )dx  ´ f ( x)dx a a c b Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral disebut divergen. ´ f ( x )dx a 1 Contoh 3 Buktikan bahwa ´ 1 / x 2 dx divergen. 2 Penyelesaian 1 1 1 ´ x 2 dx ! ´ x 2 dx  ´ x 2 dx 2 2 0 1 0 1 Menurut Contoh 4, integral kedua pada ruas kanan divergen. Jadi integral yang diberikan adalah divergen. Soal ± Soal Evaluasi dan penyelesaiannya Selesaikan integral berikut dengan program maple : 1. lim 2. 3. sin x  2 x xp 0 x lim x sec x  1 x pT / 2 tan x g ´ e dx 1 2 4. ´ (x  1) 1 dx 13 Penyelesaiannya : 1. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam program maple akan muncul sebagai berikut : Limit((sin(x)-2*x)/x,x=0); lim xp0 sin( x ) 2 x x Hasil yang diperoleh adalah > limit((sin(x)-2*x)/x,x=0); -1 2. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam program maple akan muncul sebagai berikut : Limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2); lim T xp¨ ¸ © ¹ ©2¹ ª º sec ( x ) 1 tan( x ) Hasil yang diperoleh adalah > limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2); T sec ¨ ¸ 1 © ¹ ©2¹ ª º T tan¨ ¸ © ¹ ©2¹ ª º 3. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam f(x), maka dalam program maple dapat kita tuliskan sebagai berikut; > f(x):=e^x; f( x ) : ex Kemudian kita integralkan fungsi tersebut. > int(f(x),x=1..infinity); ex e lim  ln( e ) xpg 5. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam g(x), maka dalam program maple dapat kita tuliskan sebagai berikut; > g(x):=1/((x-1)^(1/3)); g( x ) := 1 ( x 1 ) ( 1/3 ) Kemudian kita integralkan fungsi tersebut. > int(g(x),x=1..2); 3 2 D. Penutup 1. Kelebihan pembelajaran ini Dalam pembelajaran ini kita dapat mengetahui bagaimana kita bisa membedakan bentuk-bentuk limit dan menyelesaikan limit dan pengintegralan. 2. Kekurangan pembelajaran ini Kekurangan dalam pembelajaran ini ialah, di dalam program maple kita tidak diajarkan bagaimana kita bisa memperoleh konstanta-konstanta yang mana pada perhitungan secara manual dapat kita hitung.