【Issue】BDT(1990) 채권옵션 평가모형에서 단기이자율의 이항수형도 생성방법 리포트 【 ISSUE 】 BDT(1990) 채권옵션 평가모형에서 단기이자율의 이항수형도 생성방법 김계홍 팀장 – 나이스채권평가 리서치팀 1. 머리말 BDT 1 모형은 이항수형도(binomial tree) 형태로 단기이자율을 생성시켜서 채권옵션의 가치를 평가하는 모형임. 미래 단기이자율은 현재의 현물수익률과 변동성 기간구조를 이용하여 도출됨. 기존에 BDT모형을 설명하고 구현하는 자료들이 많이 있지만, 대부분 원 논문의 방식과는 다른 형태로 설명을 하고 있음. 차이가 발생하는 원인은 원 논문의 알고리즘을 직접 구현할 경우 다소 복잡한 형태를 나타내므 로 가격의 동학을 확산과정(diffusion process)으로 표현하여 전통적인 CRR(Cox-RossRubinstein)형태의 이항수형도로 근사시켜서 구현하기 때문임. 단기이자율을 확산모형으로 근사시키는 것은 변동성이 기간마다 다를 경우 이항수형도가 ‘recombining’ 하지 않는 단점이 존재함. 그러므로 기존 문헌에서 BDT모형은 대부분 변동성을 고정시켜서 설명을 하고 있고, 일부 문헌 에서는 전혀 맞지 않는 설명을 하고 있음(Clewlow & Stickland의 ‘Implementing Derivative Models’ 에서 변동성 기간구조를 고려한 경우의 알고리즘 설명은 틀렸음). 본고는 원논문에 실린 알고리즘을 설명하고, Excel의 “해찾기” 기능을 이용하여 이 알고리즘을 구현한 예를 보임. 이후의 논의의 전개는 2장에서 BDT모형의 개요를 설명하고, 3장에서 원 논문에 제시된 단기 이자율 수형도를 복제하는 과정을 설명하며, 마지막으로 4장에서 결론을 언급함. 2. BDT(1990) 방법론 모형의 전개는 먼저 특정시점에서 현물수익률과 변동성의 기간구조가 주어져 있어야 함 어떤 시점에서 단기이자율은 그 다음 기로 이전할 경우 오르거나 내리는 두가지 상태만 존재하 며 각 상태에 부여된 가중치(또는 확률)은 1/2 임 즉, 시작시점에서 단기이자율( r1 )은 다음기에 오르거나( ru ) 내린( rd ) 두 수치가 존재하며 그 다 음기에는 recombining을 고려하여 두번 오른 경우( ruu ), 한 번 오르고 한번 내린 경우( rud ) 그 리고 두번 내린 경우( rdd )의 3가지 상태가 존재함 이러한 상태를 그림으로 표시하면 다음과 같음 Black, Derman & Toy(1990), A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options, Financial Analysts Journal, January-February. 1 Fixed Income Weekly || 2004.07.12 1 【Issue】BDT(1990) 채권옵션 평가모형에서 단기이자율의 이항수형도 생성방법 ru 3 ruu ru r1 rd rdd rd 3 rud ru1d 2 ru 2 d 1 .... 1 2 3 4 ... 위에서 ru 2 d 1 는 단기이자율이 오른 경우가 2번, 내린 경우가 1번임을 표시하며 밑의 숫자는 시 간을 의미함. 기간이 1년 단위일 경우, r1 은 기간구조상의 1년 현물수익률을 나타내며, ru 는 2년후 오른 경 우의 이자율을 의미함. 2기후의 이자율은 주어진 조건(수익률과 변동성의 기간구조)을 이용하여 다음과 같은 원칙을 적용하여 계산됨. 1. 기간구조를 이용하여 계산된 특정만기 채권의 가치는 이자율 수형도상의 이자율을 이 용하여 축차적으로 할인하여 계산된 채권의 가치와 같음 2. 인접한 이자율 비율의 자연로그값을 2로 나눈 값이 해당기간 변동성과 같아야 함 즉, 2기 이자율은 다음의 두 식을 풀어서 구할 수 있음 1 1 0.5 × 1+ r + 1+ r u d 1 + r1 ru 0.5 × ln r d =σ2 = 1 (1 + r2 ) 2 , 여기서 r2 : 기간구조상의 2기간 수익률, σ 2 : 2기간 수익률의 변동성 미지수가 ru 와 rd 로 2개이고 식이 2개이므로 계산할 수 있음 3기의 경우, 미지수는 ruu , rud 그리고 rdd 로 3개이고, 식은 2개이지만, 2번째 원칙에 의해 rud 를 ruu 와 rdd 로 표시할 수 있으므로 여전히 미지수는 2개임 ruu 0.5 × ln r ud r = 0.5 × ln ud r dd = σ 3 이므로 첫 번째 등호에서 rud = (ruu rdd )1 / 2 이 성립 일반적으로 N 기의 경우, rumdn = ruu m rdd n ( ) 1 /( m + n ) 이 성립함 이상의 과정은 매우 복잡하고 번거로운 작업처럼 보이지만, 실제 구현은 Excel의 해찾기를 이 용하여 비교적 용이하게 미래 단기이자율을 계산할 수 있음 따라서 이러한 방식으로 구현하는 것이 진정한 BDT모형이며, 이것의 구현이 불가능한 것이 아 니므로 제약이 많은 확산모형 근사치를 사용할 이유가 없음 Fixed Income Weekly || 2004.07.12 2 【Issue】BDT(1990) 채권옵션 평가모형에서 단기이자율의 이항수형도 생성방법 3. BDT모형의 구현 예 BDT(1990)는 미래 단기이자율 수형도를 계산한 결과를 제시하였음 기본조건은 아래 표와 같음(1년 단위로 5년을 고려) Maturity Yield Yield Volatility 1 10.00% 20.00% 2 11.00% 19.00% 3 12.00% 18.00% 4 12.50% 17.00% 5 13.00% 16.00% 위 조건에 2장에 언급한 방법을 적용하여 계산된 결과는 아래와 같음 1 2 3 4 5 28.01%(25.53%) 22.84%(21.79%) 19.69%(19.42%) 14.32% 10.00% 9.79% 9.59%(9.76%) 8.24%(8.72%) 7.79%(8.65%) 3기 이후 괄호안의 수치는 BDT(1990)가 계산한 결과로서 이러한 차이가 존재하는 이유는 저 자들이 엄밀한 비선형 최적화기법을 사용하지 않고, 시행착오(trial and error)를 거쳐서 계산한 것에 기인하는 것으로 사료됨 앞의 2장의 계산원칙2에 의하여 인접한 단기이자율간 비율의 자연로그값의 절반에 해당하는 값 이 해당기간 변동성과 같다는 조건을 조사해 본 결과, BDT의 계산값은 주어진 변동성과 일치 하지 않음을 알 수 있음 아래 표는 변동성원칙에 따라 인접 이자율간의 비율을 계산한 결과임 2 3 4 5 13.1% 15.3% 17.2% BDT제시 19.0% 17.2% 15.3% 13.5% 본고제시 19.0% 18.0% 17.0% 16.0% 15.3% 13.5% 13.5% 13.74%(13.77%) 11.57%(11.83%) 10.72%(11.34%) 16.26%(16.06%) 14.77%(14.86%) 20.34%(19.48%) Fixed Income Weekly || 2004.07.12 3 【Issue】BDT(1990) 채권옵션 평가모형에서 단기이자율의 이항수형도 생성방법 4. 맺음말 본고는 BDT(1990)의 방법론 중 이항수형도의 생성방법을 설명하고 이의 구현에 관하여 언급 하였음 계산된 이항수형도를 이용한 채권옵션의 가치평가 방법은 주식의 경우와 동일함 엄밀한 방법론을 적용하는 것이 불가능하거나 또는 어려운 일이 아니므로 근사적 방법을 사용 할 이유가 없음 BDT방법은 기본적으로 Backward Induction방법으로서 미래 단기이자율을 계산할 때 관계식이 매우 복잡해지는 단점이 있음 Backward Induction방법과 쌍대관계(dual relationship)에 있는 Forward Induction방법은 그 개념이 다소 난이하게 보이는 점이 있지만, 일단 구현될 경우 보다 신속하게 미래 이자율을 계 산하는 것이 가능함 다음에는 Jamshidian(1991)의 Forward Induction방법을 소개하고자 함 Fixed Income Weekly || 2004.07.12 4