Universidade de Caxias do Sul Matemática para Engenharia IV PROFESSOR: DR. VALDECIR BOTTEGA 1: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 Conceitos Básicos Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Por exemplo y 2y 0, onde y f x (y é uma função incógnita dependente de uma outra variável x). Observação: As derivadas ordinarias (dependentes de uma variável) serão descritas ao longo deste d 3 y d 2 y dy curso com a notação de Leibniz , , , ou com a notação linha y , y , y . Também existe a 3 dx 2 dx ... .. . dx notação ponto de Newton y, y, y, para denotar derivadas com relação ao tempo. Exemplos: dy a) fx dx dy d2y 2 b) 2 dx dx 3 d y c) x3 dx 3 d2y 3 d) y dx 2 2 2 y y e) 2 c 2 t x d2x t f) m F dt 2 ou y f x 2 y : função incógnita, onde y y x , ou seja, por exemplo, y x 3 yyx yyx yyx y y x, t 1 d2y dy xy 0 2 dx dx dy 7 dy 2 y3 5x 0 dx dx t, x t , dx t dt (Lei de Newton) 1.1.1 Classificação: 1. Tipo: Eq, Diferencial Eq.Diferencial Ordinária(EDO) Eq. Diferencial Parcial (EDP) - EDO: uma equação diferencial ordinária é aquela cuja função incógnita depende de apenas uma variável independente. Exemplos.: a), b), c), d) e f). - EDP: uma equação diferencial parcial é aquela cuja função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes. Exemplo: e). Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece. Exemplos.: a) é equação diferencial de primeira ordem. b), d), e) e f) são equações diferenciais de segunda ordem. c) é equação diferencial de terceira ordem. 2. 1 3. Linearidade: Eq. Diferencial Linear Não - linear - Linear: uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n é linear se for linear com relação a y e suas derivadas. Uma EDO linear pude ser escrita na forma: dny dn 1y a0 x . . . a n x y g x n a1 x dx dx n 1 (Definição semelhante aplica-se a EDP). - Não-linear: uma equação diferencial que não tenha a forma da equação acima é dita não-linear. Exemplos.: a), c) e e) são lineares. b) e d) são não-lineares (potências das derivadas). 1.1.2 Verificação de uma Solução Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, num intervalo I, é uma função que verifica a equação diferencial identicamente para todo x em I. Exemplo 1: y x C 1 sin 2x C 2 cos 2x é solução de y 4y 0 ? y x y x Substituindo na EDO, verifica-se que y x satisfaz a equação diferencial para x Portanto, y x é solução da EDO no intervalo Ý, Ý . Exemplo 2: y x x 2 ln x é solução de x 2 y 3xy 4y 0 , x 0 ? y x 2x ln x x y x 2 ln x 3 Ý, Ý . Definição: Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução. A solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções. Exemplo 3: Pode-se mostrar que y x C 1 sin 2x C 2 cos 2x é a solução geral de y 4y 0. Isto é, toda a solução particular da EDO tem esta forma. Por exemplo, são soluções particulares: y 5 sin 2x 3 cos 2x C 1 5, C 2 3 y sin 2x C 1 1, C 2 0 y0 C 1 0, C 2 0 1.1.3 Problemas de Valores Iniciais e de Valores no Contorno: Condições Iniciais: Uma equação diferencial acompanhada de condições adicionais sobre a função incógnita e suas derivadas (todas no mesmo valor da variável independente) constitui um problema de valores iniciais. Estas condições são chamadas C.I. (condições iniciais). Exemplo 1: y 2y e x y 1 , y 2 (CI) Este é um problema de valor inicial, pois as condições adicionais são dadas em x . Condições de Contorno: Se as condições adicionais são dadas para mais de um valor da variável independente, temos um problema de valores no contorno e as condições são C.C. (condições de 2 contorno). Exemplo 2: y 2y e x y 0 1 , y 1 1 (CC) Este é um problema de valor no contorno, pois as condições adicionais são dadas em x 0 e x 1. Exemplo 3: Determine uma solução do problema y 4y 0 onde y 0 0 , y 0 1 se a solução geral é y x C 1 sin 2x C 2 cos 2x y0 y x y 0 Solução particular: y x 1 sin 2x 2 Observação Solução geral: conjunto de todas as soluções (família de curvas) Solução particular: solução que satisfaz as CI ou as CC (uma única curva) 0.5 y y 2.5 0.25 1.25 0 -4 -2 0 2 x 0 -4 -2 0 2 x -1.25 -0.25 -2.5 -0.5 Solução particular do exemplo 3: Soluções particulares C 2 0 e C 1 1 2 , 1, 2, 3. 1.2 LISTA DE EXERCÍCIOS I 1- Nos exercícios seguintes, determine: (a) a ordem da eq. diferencial. (b) o tipo EDO ou EDP. (c) a variável independente. (d) a função incógnita. 2 3 1.1 y xy x 1.2 y sin x 2 2 2 u u 7 u 8 u 2u sin xy 1.3 x y x x2 y2 3 2 d y d y d4y d3y d2y dy 1.4 3 2 y ex 1.5 3 4 3 2 dx dx dx dx dx dx dny 1.6 y 2 3yy xy 0 1.7 x 4 y IV xy e x 1.8 y2 1 dx n 2 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções de y 5y 0? a) y 5 b) y 5x c) y x 5 d) y e 5x e) y 2e 5x f) y 5e 2x 3 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções de x 4x 4x e t ? t 2t 2t t 2t a) x e b) x e c) x e e d) x te e t e) x e 2t te t 4 - Determine os valores das constantes, de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais indicadas: 4.1 y x C 1 e x C 2 e 2x 3e 3x ; y 0 0; y 0 0 4.2 y x C 1 sin x C 2 cos x 1; y 0; y 0 3 Respostas: 1.1 (a) 1 (b) E.D.O. 1.2 (a) 1 (b) E.D.O. 1.3 (a) 2 (b) E.D.P. 1.4 (a) 3 (b) E.D.O. 1.5 (a) 4 (b) E.D.O. 1.6 (a) 2 (b) E.D.O. 1.7 (a) 4 (b) E.D.O. 1.8 (a) n (b) E.D.O. 2- (d) e (e) 3- (a), (c) e (d) 4.1 C 1 3, C 2 6 4.2 C 1 0, C 2 1. (c) x (c) x (c) x, y (c) x (c) x (c) x (c) x (c) x (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) yx yx u x, y yx yx yx yx yx 2: EDO DE PRIMEIRA ORDEM 2.1 Equações a Variáveis Separáveis: dy A forma padrão de uma EDO de primeira ordem é f x, y . No entanto, podemos escrever f x, y dx M x, y , assim, como N x, y dy M x, y dx N x, y -N x, y dy M x, y dx e obtemos a forma diferencial para esta equação: M x, y dx N x, y dy 0 Exemplo 1: Escreva y yy 1 x na forma padrão e na forma diferencial: xy dy Forma padrão: dx y2 xy Forma diferencial: (existem infinitas) dx dy 0 ou x y dx y 2 dy 0 2 y Uma EDO de primeira ordem é uma equação a variáveis separáveis se pode ser escrita como: M x dx N y dy 0 e sua solução geral é obtida via integração: Þ M x dx Þ N y dy C Exemplo 2: Determinar a solução geral da equação Solução: x 3 y 3 3y C Obs.: y y x implícitamente. Exemplo 3: Determinar a solução geral da equação Solução: y x 3 C Obs.: dependência explícita ( y x está isolado) dy 3x 2 : dx 2 dy x 2 : dx 1 y 4 Exemplo 4: Determinar a solução geral da equação Solução: y Ce 4x dy 4y : dx 2.2 Lista de Exercícios II 1 - Escreva as seguintes equações diferenciais na forma padrão: 1.1 e x y e 2x y sin x 1.2 y yy 1 x 2 1.3 xy 3 dx 2x y 1 dy 0 1.4 xy cos y y 1 2 - Determine a equação da curva que passa pelo ponto P 5, 6 , conhecendo a declividade de sua dy 2x . tangente num ponto qualquer dada por: 3y dx 3 - Resolva as seguintes equações diferenciais: db 2b 3.4 dy sin x 3.5 xdx ydy 0 3.1 y 5y 3.2 y 5 x 2 3.3 dp dx 4) Resolva as seguintes equações diferenciais: a) 3x y 2 1 dx y x 2 2 dy 0 d) v dv g (g é constante) dt dy b) 8xy 3y e) y 1 x y 2 xy 2 dx c) yy cos 2 wx. (w é constante) 5) Resolva os seguintes problemas de valor inicial: c) dI 5I 10 , I 0 0 a) y x , y 1 2 y dt dv g 2 2 d) v , v t0 v0 b) sin ydx cos xdy 0 , y 4 4 dt Respostas 1.1 y e x y e x sin x, onde f x, y e x y e x sin x 1.3 y 2 3y 2 xy 3 y 2x 1 2x 2 58 2 1.2 y xy y2 1.4 Não pode ser escrita na forma padrão. 3.1 y ce 5x 4.a) x 2 2 3 5 3 x c 3.3 b Ce 2p 3.4 y cos x c 3 2 y 2 1 k. 4.b) y ke 4x 3x . 4.c) (use cos 2 wx 1 2 3.2 y 4.e) (use Þ 5.b) tgx 2 dy arctgy) arctgy x x k. 2 cot gy 0 5.c) I t 2 1 e 5t 5.d) v 2 1 y 2 1 3.5 y 1 2 k x2 cos 2wx) y 2 x sin 2wx . 2w 2gt v 2 0 2gt 0 4.d) v 2 2gt k. 5.a) x 2 y 2 5 Exercícios Extras: 1) Encontre o(s) valor(es) de m para os quais y e mx seja solução das equações diferenciais que seguem: 1.1) y 2y 0 1.2) y 5y 6y 0 2) Encontre a solução geral ou uma solução particular para as equações diferencias a seguir, conforme o caso: y 2.1) y x ; 2.2) r r 1; 2.3) y xy; 2.4) 2; 2.5) yy x; 2.6) dT 0, 5 T 10 y y 2 dt satisfazendo T 0 T 0 ; 2.7) y y 2 satisfazendo y 1 2; 2.8) r 2r 20 satisfazendo r 1 10; dy 2.9) x 2 y xy satisfazendo y 1 1; 2.10) xe y sin xdx ydy 0; dx 5 Respostas: 2.1) y 2 x 2 C; 2.2) r x 1 ke x ; 2.3) y x ke 2 x ; 2.4) y x 2 ke 2x ; 2.5) y 2 1 x 2.6) T t 10 T 0 10 e 0,5t ; 2.7) y x 3 22x ; 2.8) r x 10 ke 2r ; 2.9) y x eex ; 2.10) e y 1 y x cos x sin x C 1 2 x2 k 2.3 Exemplo de Aplicação 2.3.1 Cultura de Bactérias Considere uma cultura de bactérias cuja taxa de crescimento populacional é proporcional à população presente. Determinar a quantidade de bactérias presentes, após 15 horas, sabendo que após 3 horas a quantidade inicial duplicou: Sejam N t o número (população) de bactérias no intante t, k uma constante de proporcionalidade, N 0 a população inicial (no instante de tempo t 0) e dN , a taxa de crescimento populacional (velocidade de dt crescimento). Então, a EDO é dada por: dN kN t dt N 0 N 0 e N 3 2N 0 A solução desta EDO é N Ae kt , substituindo as condições de contorno, determinamos A e k : t ln 2 N t N 0 e 3 e, em t 15, obtemos N 15 32N 0 2.3.2 Problemas de Temperatura: Lei do Resfriamento de Newton (válida também para aquecimento). “ A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a temperatura do ar”. Sejam T: temperatura do corpo T m : temperatura do meio k: constante de proporcionalidade. dT k T dt Tm Exemplo 1: Considere a temperatura do ar 25 0 C. Se uma substância resfria, neste ambiente, de100 0 C para 70 0 C, em 20 minutos, ache o intante em que a temperatura da substância é 50 0 C. Obs.: Suponha que a temperatura da substância é homogênea. Sejam T t a temperatura da substância 0 C no instante t (min) e k uma constante de proporcionalidade. Então, a EDO é dada por: dT k T 25 dt T 0 100 e T 20 70 A solução desta EDO é T Ae kt 25 , substituindo as condições de contorno, encontramos A e k : t ln 3 5 25 e, queremos encontrar t 1 tal que T t 1 50. Substituindo na solução, obtemos 20 T t 75e t 1 42, 25 min, ou seja, 42 min e 15 seg. 6 y 100 87.5 75 62.5 50 37.5 0 25 50 75 100 x Grafico da solução da EDO. 2.3.3 Um corpo em queda livre: Um corpo em queda livre, satisfaz a segunda lei de Newton que indica que a força líquida que aje sobre o corpo (peso) é proporcional à sua aceleração. considerações: - massa e gravidade são constantes; - resistência do ar é proporcional à velocidade v da queda; - direção positiva é para baixo. Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos: F m dv onde F é a força líquida e dv é a taxa dt dt de variação da velocidade (aceleração) e m é a massa (constante). Equação do movimento resulta k mg kv m dv Í mg m dv kv Í dv m v g dt dt dt onde mg W é o peso do corpo e kv é a resistência do ar. . Observação: Se k 0 (desprezamos a resistência do ar) a equação se reduz à: dv g. dt 2.4 LISTA DE EXERCÍCIOS III 1) Determinar o tempo necessário para que uma certa quantia duplique seu valor quando aplicada à juros de 5% ao ano, continuamente acumulados. 2) Sabendo que o rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade existente e que a metade da porção original desaparece em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos. 3) Numa cultura, a quantidade de fermento ativo cresce proporcionalmente à quantidade presente. Sabendo que em uma hora a porção inicial foi duplicada, qual a multiplicação que se pode esperar no final de 2 : 45 horas? 4) Uma certa substância esfria-se de 100 0 C a 60 0 C, em 10 minutos. Agora, sendo a temperatura ambiente, 20 0 C. Achar a temperatura da substância depois de 40 minutos. dQ 5) O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a eqação diferencial 0, 0525Q, onde Q dt está em miligramas e t em anos. a) Determinar a meia vida do plutônio 241. b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa atmosfera no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a dez anos? 6) Uma bola, com massa de 0, 25 kg, é lançada para cima, com uma velocidade inicial de 20 m/s, do terraço de um edifício com 30 m de altura. Desprezar a resistência do ar. a) Calcular a altura máxima que a bola atinge acima do nível do solo. b) Admitindo que a bola não caia no terraço, ao retornar, calcular o tempo que leva para atingir o solo. Respostas. 1) 13, 9 anos. 2) 4, 23%. 3) 6, 73 vezes a quantia original 4) 25 0 C. 5) a) 13, 20 anos b) 29, 6 mg 6) a) 50, 4 m. b) 5, 25 s. 7 2.5 Equações Diferenciais Lineares: dy Quando podemos escrever f x, y p x y q x na equação diferencial f x, y , dizemos que a dx equação é linear, ou seja, dy p x y q x dx Solução: Utilizamos o fator de integração I x e . dy I x p x y q x I x Ix dx Þ p x dx dy I x p x y q x e Þ p x dx e dx d e Þ p x dx . y e Þ p x dx . q x dx Integrando em relação a x: Þ p x dx Þ p x dx . y Þ e Þ p x dx . q x dx Þ p x dx . Þ e Þ p x dx . q x dx C ye e Exemplo 1: Resolva y 2y e x , y 0 0. 75 Fator integrante: I x e 2x Solução geral: y e x Ce 2x Solução particular: y e x 0. 25e 2x Exemplo 2: Resolva y 2xy x , y 0 0 2 Fator integrante: I x e x 2 Solução geral: y 1 Ce x 2 2 Solução particular: y 1 1 e x 2 2 2.6 LISTA DE EXERCÍCIOS IV 1) Verifique se as seguintes equações são Equações diferenciais Lineares e resolva-as. y dy 2y dy dy 2 x 1 b) c) 2x y x 1 a) x x sin 3x . dx dx dx dy d) x y 2x, y 1 2. dx Respostas. cos 3x 2 k . 1.c) y x x ke x . 1.a) y x x k , 1.b) y x x 2 x 3 2 1.d) y x x k x 2) Encontre a solução da equação diferencial: dy a) x dx 4y x 3 x Resposta: y x x3 7 b) y y 1 x Resposta: y x x Ce dq c) dt 0, 5q 0, 1 cos t com a condição q 0 1 Resposta: q t 0, 04 cos t 0, 08 sin t 1, 04e 0,5t d) 2xy y x com y 1 2 Resposta: y x x x 2t e) 20q 100q 60e tal que q 0 0 Resposta: q t e y 0,1 f) 0, 2y x 2 x 2 Resposta: y x 0, 1 Ce 5/x g) x dx 4y x 6 e x h) y 3xy x dy x 5 x C x4 2t e 5t Resposta: y x x 5 e x x 4 e x Cx 4 2 Resposta: y x 1 Ce 1,5x 3 8 i) y 2y cos x com y 1 1 Resposta: y x 0, 4 cos x 0, 2 sin x 4, 5486e 2x 2.7 Aplicações das EDOs de Primeira Ordem Lineares - Problemas de Diluição: Considere um tanque contendo inicialmente V 0 litros de salmoura com a kg. de sal. Uma outra solução com b kg. de sal por litro começa a entrar no tanque a uma razão de e l/min e, simultaneamente, a mistura deixa o tanque a razão de f l/min. Qual a quantidade de sal no instante t? Seja: Q t : quantidade (kg) de sal no instante t. dQ : taxa de variação de Q. dt dQ T ent T sai taxa que o sal entra no tanque - taxa que o sal sai do tanque. dt T ent : be (kg/min) onde b é a quantidade de sal por l (concentração de sal na solução que entra) e é a quantidade de l de solução que entra por minuto. T sai : concentração de sal no tanque no instante t (kg/l).f (quantidade em litros de mistura que sai por minuto). Q T sai : f onde Q t é a quantidade de sal (kg) em t V 0 et ft et é o que entrou em t min ft é o que saiu em t min V 0 é o volume inicial. Q dQ Q dQ be f ou f be, que é linear. A EDO fica: dt dt V 0 et ft V 0 et ft Exemplo: Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No intante t 0, água pura começa a entrar no tanque a razão de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque a mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. V 0 350 l. b 0 kg/l f 20 l/min Q 0 10 kg e 20 l/min dQ dQ 20 Q 0. 20 2 Q 0 É linear. 350 20t 20t 35 dt dt 2t Fator integrante: I t e 35 2t Solução geral: Q Ce 35 2t Solução particular: Q t 10e 35 Observe que Q 0 quando t Ý , o que esperávamos, pois está entrando água pura. - Problemas de Circuitos Elétricos: Concidere: R é o resistor (ohms), L é o indutor (henries), C é o capacitor (Faradays), E é a força eletromotriz (volts), I é a corrente (ampères). Casos Particulares: - Circuito RL: Lei que rege a quantidade de corrente no circuito é dI R I E L L dt Obs.: Não necessariamente E é constante. É uma equação linear não-homogênea. - Circuito RC: Lei que rege a quantidade de carga é Obs.: A EDO é linear e não-homogênea. dq A relação entre q e I é: I dt dq 1 q E R RC dt 9 Atenção: I t corrente transiente corrente estacionária. - Estado transiente: Tem forte influência no início do experimento. Vai para zero quando t - Estado estacionário: caracteriza a corrente quando t Ý (muito grande). Ý. Exemplo: Um circuito RL tem uma f.e.m. de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 henry e não tem corrente inicial. Determine: a) a corrente no instante t; b) sua componente no estado estacionário; c) sua componente no estado transiente. a) dI 50I 5 I 0 0 dt 1 1 Fator integrante: e 50t Solução particular: I t 10 e 50t . 10 1 1 c) I trans 10 e 50t A b) I est 10 A, 2.8 LISTA DE EXERCÍCIOS V 1) Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. No instante t 0, começa a ser despejada uma solução contendo 0,1 kg de sal por litro, a razão de 4 l/min, enquanto a mistura sai do tanque a razão de 2 l/min. Determine: a) O instante em que ocorre o transbordamento. b) A quantidade de sal no tanque neste instante. 2) Um circuito RL tem f.e.m. dada (em volts) por 3 sin 2t , uma resistência de 10 ohms, uma indutância de 0.5 henry e uma corrente inicial de 6 ampères. Determine a corrente em t: Respostas. 1. a) t 20 min, 1.b) Q 4, 8 Kg, 2) I t 3 101 cos 2t 30 101 sin 2t 609 101 e 20t Trabalho de Pesquisa Pesquise, nos livros abaixo indicados, uma aplicação para as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Escolha uma aplicação na área que preferir, como por exemplo: biologia (crescimento populacional e disseminação de doenças), química (decaimento radioativo, misturas e datação por carbono), física (resfriamento de Newton e corpo em queda livre) e engenharia (circuitos elétricos e eletromagnetismo). O trabalho deve conter no mínimo duas páginas com: introdução, descrição do problema de forma geral (pelo menos uma página), um exemplo resolvido e conclusão, contendo a sua opinião sobre as aplicações das equações diferenciais e sobre a aplicação escolhida. Procure pesquisar em mais de um livro da biblioteca, escolhendo a aplicação que achar mais interessante. Coloque no trabalho a bibliografia utilizada. Referências *BOYCE W.E. DIPRIMA R.C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro LTC. 1998. *EDWARDS C.H. PENNEY D.E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. Prentice-Hall, 1995. *HUGHES-HALLETT, D., GLEASON, A. M. Cálculo v. 2. Rio de Janeiro LTC. 1997. *ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Thomson Learning 2003. ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equações Diferenciais v 1. MAKRON BOOKS. MATOS, M. P., Séries e Equações Diferenciais. São Paulo, Prentice Hall, 2002. ( * mais indicados ) 10 3: EDOs LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 3.1 EDO Lineares de Segunda Ordem Uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma: y a1 x y a0 x y g x Uma EDO linear de segunda ordem homogênea é dada com g x 0 y a1 x y a0 x y 0 Caso contrário, a equação é dita não-homogênea. Uma EDO linear de segunda ordem é dita com coeficientes constantes se a 1 , a 0 são constantes. Caso contrário, a equação é com coeficientes variáveis. Exemplos.: a) y 4y e x sin x a 1 0, a 0 4 g x e x sin x EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea. x2 1 x2 1 b) x 2 y xy x 2 1 y 0 ou y 1 y y 0 a1 x 1 , a0 x gx 0 x x x2 x2 EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis homogênea. y 0; O produto yy indica a não linearidade da EDO. c) yy d) y y 0; A potência indica a não linearidade da EDO. TEOREMA: (Princípio da Superposição) Se y 1 e y 2 são duas soluções da equação diferencial y a 1 x y a 0 x y 0 , então a combinação linear c 1 y 1 c 2 y 2 também é solução para quaisquer constantes c 1 e c 2 . Corolário: Se y 1 e y 2 são soluções L.I. da EDOLH (Ly 0), então y c 1 y 1 c 2 y 2 é a solução geral de Ly 0. Exemplo: y y0 x x e , e são soluções L.I. da equação acima, logo a solução geral da EDO é y x c 1 e x c 2 e x 3.2 EDOLH de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes: Considere a equação diferencial y a 1 y a 0 y 0. A esta equação associamos uma equação algébrica conhecida como equação característica 2 a 1 a 0 0. Fatorando a equação característica, obtemos: 1 2 0. Obtemos a solução geral da EDOLH a partir das raízes da equação característica. CASO 1: 1 e 2 são raízes reais distintas. Como e 1 x e e 2 x são soluções L.I., então a propriedade 2 nos garante que a solução geral é y x C1e 1x C2e 2x Exemplo 1: y 5y 6y 0 2 5 6 0 2 3 0 Solução geral: y C 1 e 2x C 2 e 3x Exemplo 2: y 4y 0 y 0 1 , y 0 0 Solução geral: y C 1 e 2x C 2 e 2x 2x 2x Solução particular: y x e e ou y x cosh 2x 2 CASO 2: 11 1 2 (raízes reais e iguais). Solução L.I. e 1 x e xe 1 x A solução geral é y x C 1 e 1 x C 2 xe 1 x . Verifique se e 1 x e xe 1 x são soluções L.I. W Exemplo: y 2y y 0 Solução geral: y C 1 e x C 2 xe 0 x CASO 3: 1 a bi , 2 a bi (aparecem aos pares complexos conjugados). Solução L.I.: e abi x e e a bi x . Solução geral: y C 1 e abi x C 2 e a bi x Mas, pela propriedade 6, podemos equivalentemente escrever a solução geral como y C 1 e ax cos bx C 2 e ax sin bx Exemplo 1: y 20y 200y 0 Solução geral: y C 1 e 10x cos 10x C 2 e Exemplo 2: y 9y 0 Solução geral: y C 1 cos 3x C 2 sin 3x. 10x sin 10x 3.3 EDOL de Ordem n com Coeficientes Constantes: EDO: y n an 1y n 1 . . . a 1 y a 0 y 0 com a i Ó i 1, . . . , n 1 Polinômio característico (equação característica): P n a n 1 n 1 . . . a 1 a 0 0 (possui n raízes). Soluções L.I.: - Se i é raiz real simples: y i C i e i x - Se i é raiz real de multiplicidade p: e 1 x ; xe 1 x ; . . . ; x p 1 e 1 x - Se i a bi e i a bi são raízes complexas conjugadas: e ax cos bx; e ax sin bx Exemplo 1: y 6y 11y 6y 0 Solução geral: y x C 1 e x C 2 e 2x C 3 e 3x Exemplo 2: y 4y 13y 0 Solução geral: y x C 1 C 2 e 2x cos 3x C 3 e 2x sin 3x 3.4 LISTA DE EXERCÍCIOS VI 1) Resolva as seguintes EDOH. 1.1) y 2y 2y 0 1.2) y 7y 0 1.3) y 2y 5y 0 1.4) y 4y 4y 0 1.5) y 6y 9y 0 respostas 1.1) y c 1 e x cos x c 2 e x sin x 1.2) y c 1 cos 7 x c 2 sin 7 x x x 1.3) y c 1 e cos 2x c 2 e sin 2x 1.4) y c 1 e 2x c 2 xe 2x 3x 3x 1.5) y c 1 e c 2 xe 2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial. 12 2.1) y 2y y 0, y 0 1, y 0 2. 2.2) y 6y 9y 0, y 0 2, y 0 8. 2.3) y 4y 4y 0, y 0 1, y 0 3 respostas 2.1) y e x 3xe x 2.2) y 2e 3x 2xe 3x 3) Resolva os seguintes problemas: a) 4y y0 Resposta: y x b) y y 3y 0 Resposta: y x c) y 0, 5y 2y 0 Resposta: y x d) 4y 2y 0, 5y 0 Resposta: y x e) 0, 6u" 0, 2u u 0 Resposta: u x f) u 2u 2u 0 Resposta: u x d2q dq Resposta: q t g) dq 2 5 dt q 0 h) 0, 4 dq 2 i) 0, 8 d2q d2q dt 2 2.3) y e 2x xe 2x Ae x/2 Be x/2 Ae 1 13 x/2 Be 1 13 x/2 Ae 1,1861x Bxe 1,186x x x e x/4 A cos 4 B sin 4 Ae 1,135x Be 1,4684x e x A cos x B sin x Ae 5 21 t/2 Be 5 21 t/2 0, 2 dq dt dq 0, 1 dt 0 q 0 Resposta: q t A Be 0,5t Resposta: q t Ae 1,0573t Be 1,1823t x x j) 2u 2u u 0 com u 0 1 e u 0 0 Resposta: u x e x/2 sin 2 cos 2 k) q q 0 com q 0 q 0 1 Resposta: q x e x l) 0, 4y 0, 2y 0 com y 0 0, 2 e y 0 0, 5 Resposta: y x 0, 25355e 2 x/2 0, 45355e 2 /2 m) y y 0 com y 0 e y 0 Resposta: y x 3 cos x sin x 3 3 4) Resolva as seguintes EDOH de ordem n. 3.1) y 3y 2y 0 3.2) y 2y 2y 0 respostas 3.1) y c 1 c 2 e x c 3 e 2x , 3.2) y c 1 c 2 e x cos x c 3 e x sin x. 3.5 EDOL Não Homogênea com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientes a Determinar: Considere a EDO não homogênea Ly y a 1 y a 0 y g x Propriedade 1: Se y h é a solução geral de Ly 0 e y p é a solução particular de Ly g x então: y x y h y p é a solução geral de Ly g x . Exemplo: y y e 2x Equação homogênea associada y y 0 cuja solução geral é y x c 1 e x c 2 e x . 2x y p ? Supõe que y p Ae onde A é uma constante. Derive y p e substitua na EDO para encontrar A 1. 3 y p 1 e 2x e a solução geral y x y h y p será y x c 1 e x c 2 e x 1 e 2x 3 3 Propriedade 2: Se y h é a solução geral de Ly 0, y p1 é uma solução particular de Ly g 1 x e y p2 é uma solução particular de Ly g 2 x , então, pelo princípio da superposição, y y h y p1 y p2 é a solução de Ly g 1 g 2 . Exemplo: y y e 2x 1 13 y h c 1 e x c 2 e x solução de y y0 1 2x y p1 3 e solução particular de y y e 2x y p2 ? Supõe y p2 A constante, deriva e substitui na EDO para encontrar A 1. y p2 1 y y h y p1 y p2 y c 1 e x c 2 e x 1 e 2x 1 é a solução geral de y y e 2x 1. 3 Solução geral: y x y h x y p x Para determinarmos y p x , vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar: CASO 1: Quando y ke ax a, k Ó, devemos supor y p Ae ax . Observação: Sse a é raiz simples ou raiz dupla da equação característica 2 a 1 a 0 0, devemos supor y p Axe ax ou y p Ax 2 e ax . Exemplo : Resolva y 5y 4y 5e 4x A solução particular y p Ae 4x não deve funcionar, pois -4 é raiz da equação característica. Supõe, então, y p Axe 4x , que derivando e substituindo na EDO, obtém-se A 5 . 3 CASO 2: Ly k sin x ou k cos x : devemos supor y p A cos x B sin x. Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos supor y p Ax cos x Bx sin x. Exemplo : Resolva y 4y sin 2x cos x y h C 1 cos 2x C 2 sin 2x Solução particular 1 (para y 4y sin 2x) y p1 Ax cos 2x Bx sin 2x . Deriva e substitui na EDO, y p1 1 x cos 2x encontra: A 1 e B 0. 4 4 Solução particular 2 (para y 4y cos x) y p2 A cos x B sin x . Deriva e substitui na EDO, encontra: A 1 e B 0. y p2 1 cos x 3 3 CASO 3: Ly ke x cos x ou Ly ke x sin x Vamos considerar w p ke i x que equivale à w p Ae x cos x Be x sin x. Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos supor w p Axe x cos x Bxe x sin x. Exemplo : Resolva y 2y 5y 2e x cos 2x y h C 1 e x cos 2x C 2 e x sin 2x w p Ae 1i2 x . Deriva e substitui na EDO y p 1 e x cos 2x 1 e x sin 2x. 5 10 CASO 4: Ly b 0 b 1 x . . . b n x n supõe y p A 0 A 1 x . . . A n x n . Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos supor y p x A 0 A 1 x . . . A n x n ou y p x 2 A 0 A 1 x . . . A n x n Exemplo 1: Resolva y 3y 2x 2 3x y h C 1 e 3x C 2 y p x A 0 A 1 x A 2 x 2 . Deriva e substitui na EDO, obtém: A 0 5 , A 1 5 e A 2 2 yp 5 x 5 x2 2 x3 27 18 9 27 18 9 14 CASO 5: Ly b 0 b 1 x . . . b n x n e x , supõe y p A 0 A 1 x A 2 x 2 e x Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos supor y p x A 0 A 1 x . . . A n x n e x ou y p x 2 A 0 A 1 x . . . A n x n e x Exemplo: Resolva y 2y 4y xe 2x 3e 2x y h C 1 e x cos 3 x C 2 e x sin 3 x y p A 0 A 1 x e 2x . Deriva e substitui na EDO: 1 x e 2x 7 yp A0 7 , A1 1 24 12 24 12 3.6 LISTA DE EXERCÍCIOS VII 1) Resolva as seguintes equações usando o método dos coeficientes a determinar. 1.1) y 3y 2y 5xe x 1.2) y 4y 4y 3e 2x . 1.4) y 4y x 1.3) y 7y 12y 3 cos 2x . x 1.5) y 3y 2y xe cos 2x x 2 RESPOSTAS 5 2 1.1) y c 1 e x c 2 e 2x x 5x e x 2 1.2) y c 1 e 2x c 2 xe 2x 3 x 2 e 2x 2 6 21 1.3) y c 1 e 3x c 2 e 4x 65 cos 2x 130 sin 2x 1.4) y c 1 cos 2x c 2 sin 2x 1 x 4 1 1.5) y c 1 e x c 2 e 2x xe x 1 x 2 e x 20 cos 2x 2 3 20 sin 2x 7 4 3 2 x 1 2 x2 yH y P1 y P2 y P3 2)Encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais: 2.1. y 7y 12y 3e x ; 2.2. y 5y 4y 8e x ; 2.3. y 5y 6y 2x 2 1 2.4. y y x; 2.5. y 3y 2y 2 sin x; 2.6. y 4y 5 cos 2x Respostas: 2.1. y p x 2.4. y p x x 0, 5x 2 3 20 e x 2.2. y p x 2.5. y p x 1 sin x 5 8 3 3 5 xe x cos x 5 2.3. y p x x3 5x 27 9 2.6. y p x 5 cos 2x 8 2 3.7 Exemplos de Aplicação: - Problemas de Mola: Lei de Hooke: A força F de uma mola é igual e oposta às forças aplicadas sobre esta mola e é proporcional à distensão (contração) x da mola resultante da força aplicada. F kx onde k é a constante da mola (constante de proporcionalidade) . Considerações: - Desprezamos a massa da mola. - Resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. - Forças sobre o corpo no instante t são: força da resistência do ar: ax a 0 força restauradora: kx k 0 Lei de Hooke Obs.: A resistência do ar é sempre no sentido oposto ao da velocidade do movimento. Segunda Lei de Newton: F R mx Ft a k F t ax kx mx ou x m x m x m C.I. x 0 0 e x 0 0 Ft a k Obs.: Se a gravidade for considerada: x m x m x g m Exemplo: Uma massa de 2 kg. está suspensa em uma mola cuja constante é 10 N/m e permanece em repouso. É, então posta em movimento, imprimindo-lhe uma velocidade inicial de 150 cm/s. Determine a expressão da posição da massa, desprezando a resistência do ar: 15 x t 0. 671 sin 5 t - Problemas de Circuitos Elétricos: Seja um circuito RCL (resistência-capacitância-indutância). Lei de Kirchhoff: A soma algébrica das quedas de tensão em um circuito elétrico fechado simples é zero. QT(resistência)QT(capacitância)QT(indutância)-E(t)0 Et Rq Lq 1 q E t ou q R q 1 q com C.I. q 0 q 0 e q 0 I 0 I 0 L L C LC que é a equação da carga q com o tempo t. Por outro lado, a equação da corrente I com o tempo t, é dada por: dE t R I0 1 q0, I RI 1 I 1 com C.I. I 0 I 0 e I 0 1 E 0 L L dt L L LC LC dq onde I . dt Exemplo: Um circuito RCL tem R 10 ohms, C 10 1 farad, L 0. 5 henry e uma tensão aplicada de 12 volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial em t 0 , quando a tensão é aplicada pela primeira vez, determine a corrente subseqüente no sistema: Equação diferencial: I 20I 200I 0 Condições iniciais: I 0 0 e I 0 24 Solução: I t 12 e 10t sin 10t 5 3.8 LISTA DE EXERCÍCIOS VIII 1) A equação diferencial 0, 1q 0, 3q 0, 2q 0 representa o decaimento da carga num circuito RCL. Sabendo que a carga no circuito no instante zero é 5C e a corrente inicial é nula, encontre o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo. Em quanto tempo a carga no circuito é 0,5C? Resposta: q 1 3C , I 1 2, 32A , t 1, 9s 2) A equação x 0, 25x 25, 2x 0 representa o movimento oscilatório de um corpo. Se x 0 0 e x 0 1, 22, encontre a solução da equação que representa a posição do corpo em cada instante. Resposta: x t e 0,125t 0, 243 sin 5, 018t . 3) Considere o modelo de um circuito RCL dado por Lq Rq C E t . Calcule a carga máxima e a carga estacionária no capacitor se L 5/3 henry, R 10 ohms, C 1/30 farad e E t 300 volts, sabendo que a corrente inicial é de 2 amperes e carga inicial nula. Resposta: q t e 3t 10 cos 3t 28 sin 3t 10 ; I t 58e 3t sin 3t 2e 3t cos t. 3 q 16