Apostila_FT_1-2008

Fenômenos de Transporte Prof a. Mara Nilza Estanislau Reis 1º semestre 2008 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Disciplina: Fenômenos de Transporte Cursos: Prof a.: Engenharia de Controle e Automação Engenharia Elétrica Mara Nilza Estanislau Reis 1º semestre 2008 Objetivos: Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de Calor; Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso; Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas; Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido. Ementa: Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicações. 1 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Índice 1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 1.1. Definição............................................................................................. 1.2. Objetivo............................................................................................... 1.3. Aplicação............................................................................................. 2. Definição de um Fluido..................................................................................... 2.1. Introdução........................................................................................... 2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 3. Métodos de Análise........................................................................................... 3.1. Sistema................................................................................................ 3.2. Volume de Controle............................................................................ 4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 4.1. Introdução............................................................................................ 4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 5.1. Peso Específico.................................................................................... 5.2. Volume Específico.............................................................................. 5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 6. Campo de Velocidade....................................................................................... 7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 7.1. Regime Permanente............................................................................. 7.2. Regime Transiente............................................................................... 7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 12 12 12 12 12 12 13 13 14 14 14 14 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 19 19 20 21 21 21 21 21 21 2 Fenômenos de Transporte – 01/2008 8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 8.4. Campos de Tensão............................................................................... 9. Viscosidade....................................................................................................... 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 10. Pressão............................................................................................................ 10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 11. Fluidoestática.................................................................................................. 11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 13. Fluidodinâmica................................................................................................ 13.1. Sistema.............................................................................................. 13.2. Volume de Controle.......................................................................... 13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para Volume de Controle................................................................................... 13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 22 23 26 27 27 29 29 30 32 34 34 35 37 38 38 39 41 41 43 43 44 47 47 48 48 49 50 51 53 55 57 3 Fenômenos de Transporte – 01/2008 13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais.................................................................................................. 13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 14. Transferência de Calor.................................................................................... 14.1. Introdução.......................................................................................... 14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 14.2.1. Condução............................................................................ 14.2.2. Convecção.......................................................................... 14.2.3. Radiação............................................................................. 14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 14.3.1. Condução............................................................................ 14.3.2. Convecção.......................................................................... 14.3.3. Radiação............................................................................. 15. Condução........................................................................................................ 15.1. Introdução à Condução...................................................................... 15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 57 59 59 60 62 63 65 68 68 69 70 70 74 81 86 86 86 86 87 87 88 89 92 93 96 96 97 98 101 101 104 104 4 Fenômenos de Transporte – 01/2008 15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 15.5.1. Parede Simples.................................................................. 15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 15.5.3. Parede Composta................................................................ 15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 15.5.5. Resistência de contato........................................................ 15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Cilindro....................................................................................... 15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica Parede Plana....................................................................... 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais................................................................. 16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 16.1. Introdução.......................................................................................... 16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 17. Condução Transiente....................................................................................... 17.1. Introdução.......................................................................................... 17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 18. Convecção....................................................................................................... 18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 105 108 108 109 113 116 116 119 119 122 125 129 130 130 133 134 134 136 137 138 143 146 146 146 148 148 160 151 152 5 Fenômenos de Transporte – 01/2008 18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. Apêndice A........................................................................................................... Apêndice B............................................................................................................ 153 156 158 159 160 164 6 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figuras Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante. Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. Figura 13 – Fluida em Repouso. Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. Figura 20 – Manômetro de Líquido. Figura 21 – Manômetro de Líquido. Figura 22 – Manômetro de Líquido. Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma. Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. Figura 29 – Escoamento Unidimensional. Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 13 14 14 20 22 22 28 30 31 33 34 35 37 38 39 39 40 41 42 42 43 43 43 47 48 48 52 58 12 13 7 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Unidimensional em um Duto. Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle usado para análise. Figura 33 – Tubo de Venturi. Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real. Figura 39 - Ábaco de Moody. Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. Figura 41 – Valores aproximados de k. Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço. Figura 43- Redução de Área – Bocal. Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. Figura 45 – Válvula de gaveta. Figura 46 – Válvula Globo. Figura 47 – Válvula de Retenção. Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. Figura 50 - Transferência de calor. Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada pela atividade molecular. Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) Convecção forçada. Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 59 60 62 63 64 66 68 69 72 73 74 75 77 78 79 80 80 81 83 86 87 87 88 88 89 8 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. Figura 63 – Circuito Térmico. Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. Figura 65 – Circuito térmico equivalente. Figura 66 – Parede Composta. Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta. Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor. (a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário. Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. Figura 80 – Configurações de Aletas. Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. Figura 83 – Eficiência de aletas. 91 94 97 102 104 105 108 111 113 114 116 116 117 119 121 124 125 128 129 131 134 132 132 133 133 134 139 144 9 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção. Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. Figura 91 – Camada Limite. Figura 92 – Camada Limite Térmica. Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 146 147 148 148 149 151 152 153 156 166 167 10 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Tabelas Tabela 1 – Sistemas de Unidades. Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) Tabela 9 – Equações de Taxa Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos interfaciais Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 118 163 118 15 16 71 76 76 77 78 92 96 96 11 Fenômenos de Transporte – 01/2008 1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica). 1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de trabalho. 1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc. 2. Definição de um Fluido 2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b). 12 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante. 1a Situação: Figura 2a Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio estático. 2a Situação: Figura 2b Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de equilíbrio estático. 2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. 2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3) Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas. 13 Fenômenos de Transporte – 01/2008 3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 . Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5. Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e secundárias (derivadas)). Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 4.2. Sistemas de Dimensões Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. Exemplo: x = x 0 + V0 + 1 at 2 2 (L ) = (L ) + (L t × t )+ 1 2 L t 2 × t 2 14 ( ) Fenômenos de Transporte – 01/2008 4.3. Sistema de Unidades Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), quantidade de matéria e intensidade luminosa. Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). Tabela 1 – Sistemas de Unidades. SISTEMA DE UNIDADES SI ABSOLUTO TÉCNICO INGLÊS INGLÊS TÉCNICO Kg g utm slug lbm m cm m ft ft s s s s s K K K R R A mol MASSA COMPRI- TEMPO TEMPE- CORRENTE MENTO QTE DE INTENSIDADE LUMINOSA cd RATURA ELÉTRICA MATÉRIA Força: Força: Massa 1N = 1kg m s2 cm s2 s2 ft 1dina = 1g 1slug = 1lbf No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as diferentes grandezas. 15 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. Fator Multiplicativo 109 106 10 3 Prefixo Giga Mega Kilo Deci Centi Mili Micro Nano Pico Símbolo G M k d c m µ n p 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 5. Propriedades físicas dos fluidos 5.1. Peso especifico: (γ) É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. γ: Peso específico [F/L3] γ = W ∀ W: Peso da substância [F] ∀ : Volume do fluido [L3 ] γ = mg m = g = ρg ∀ ∀ Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) DIM: [F / L3] 16 Fenômenos de Transporte – 01/2008 5.2. Volume específico: (ν) Inverso da massa específica. υ: Volume específico [L3/M] υ= ∀ 1 = m ρ ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) DIM: [L3/ M] 5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância de referência seja a água. δ: Densidade relativa [adimensional] δ = d = SG = ρ ρ ref ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da substância de referência [M/L3] δ=d = SG= ρfluido ρfluido padrão = γfluido γfluido padraão DIM: [1] 17 Fenômenos de Transporte – 01/2008 5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida em uma unidade de volume. ρ: Massa específica [M/L3] ρ= m ∀ m: Massa do fluido [M] ∀ : Volume do fluido [L3 ] Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) DIM: [M / L3] A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm. 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β) Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por unidade de volume. β: Módulo de elasticidade volumétrico β = − ∆P ∆∀ / ∀ ∆P: Variação de pressão [F/L2] ∆∀ : Variação de Volume [L3 ] ∀ : Volume [L3 ] O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de volume. Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2) DIM: [F / L2] 18 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão. 5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante P.V. = constante V 1 P2 = V 2 P1 P1V1 = P2V2 P.dV + V.dP = 0 P.dV = - V.dP dV − dP = V P β =P 5.5.2. Condições adiabáticas: P.Vk = constante k = Cp / Cv P1.V1k = P2.V2k Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 P.k.dV + V.dP = 0 dV − dP = V kP β = kP 5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. C= 1 β C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] β: Módulo de elasticidade volumétrico [F/L2] Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) DIM: [L2/F] 19 Fenômenos de Transporte – 01/2008 6. Campo de velocidade Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume de fluido ∀ mostrado na Fig. 6. Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal δ∀ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. r O campo de velocidade, V , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por: r r V = V ( x, y , z , t ) r O vetor velocidade, V , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode ser escrito como: r ˆ ˆ j V = ui + vˆ + wk , onde: u = u (x, y, z, t ), v = v(x, y, z, t ) e w = w (x, y, z, t ) Exemplo: Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine: (a) As dimensões de cada campo de velocidade (b) Se está em regime permanente ou não (1) (2) r ˆ V = ae −bx i r ˆ V = ax 2i + bxˆ j [ ] 20 Fenômenos de Transporte – 01/2008 (3) (4) (5) r ˆ V = axi − bxˆ j r ˆ V = (ax + t )i − by 2 ˆ j r 1 V = a (x 2 + y 2 ) 2 1 ( z )kˆ 3 Resolução: r r r r (1) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (2) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (3) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (4) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime não permanente V = V (t ) . r r r r (5) Tridimensional V = V ( x, y, z ) , regime não permanente V = V (t ) . 7. Regime permanente e transiente 7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: ∂η = 0 , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido. ∂t 7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, através de toda a extensão do campo. 8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 8.1. Escoamento unidimensional: Exemplo: Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção transversal constante mostrado na Fig. 7. 21 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação: ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ u = u max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝R⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é unidimensional. 8.2. Escoamento bidimensional: Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional. Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22 Fenômenos de Transporte – 01/2008 8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente: Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente. Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta linha é chamada de linha de tempo. Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória. Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão. As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, não pode haver escoamento através delas. No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento. A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem. 23 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Exemplo: Considere o campo de escoamento V = axt i − b j , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3 segundos. Resolução: → ∧ ∧ Partindo do princípio u = u = axt = dx , dt x t dx dy e v= , então: dt dt dx ∫ x = ∫ at.dt 0 x0 1 2 at 2 ⎛ x⎞ 1 ln⎜ ⎟ = at 2 e x = x0 e 2 ∴ x = 3e 0,1t ⎜x ⎟ 2 ⎝ 0⎠ dy =b, e também, v = dt x = 3e 0,1t y = 1 + 3t 2 y0 ∫ dy = ∫ bdt , 0 y t y = y0 + bt ∴ y = 1 + 3t Região a ser plotada no plano xy. dy v = . dx s u Temos que Logo: dy b = . dx axt Aplicando equações diferenciais temos: y0 ∫ dy = y x0 ∫ at x b dx b ⎛ x⎞ ou y = y0 + ln⎜ ⎟ . x at ⎜ x0 ⎟ ⎝ ⎠ Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, y = 1 + Para t=1 15 ⎛ x ⎞ ln⎜ ⎟ . t ⎝3⎠ ⎛ x⎞ y = 1 + 15 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ x⎞ y = 1 + 7,5 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ x⎞ y = 1 + 5 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠ t=2 t=3 24 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Exemplo: O campo de velocidade V = ax i − by j , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). Resolução: → ∧ ∧ A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: dy v = dx u Para V = ax i − by j , façamos u = ax e v = -by, logo: dy v b. y = =− dx u a.x → ∧ ∧ Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos: ∫ dy b dx = −∫ y a x b ln y = − ln x + c ∴ c = constante a ln y = ln x − b a + ln c ∴ ln c = constante 25 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Portanto: y = cx − b a Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c. Como a = b = 1 sec-1, então a = 1 , e a equação das linhas de corrente é dada por: b y = cx −1 = c c ou x = x y Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y. • A equação y = c é a equação da hipérbole. x • As curvas estão mostradas para diferentes valores de c. 8.4. Campo de Tensão Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por ρ gdV , onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é ρ g por unidade de volume e g por unidade de massa. O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de 26 Fenômenos de Transporte – 01/2008 tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de toda extensão do material. Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um tensor de 2ª ordem. Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , δAx , e tomando o limite quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas abaixo: τ xx = lim δA x → 0 δFx δAx ∴ τ xy = lim δF y δA x ∴ τ xy = lim δA x → 0 δA x → 0 δFz δAx Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. 9. Viscosidade 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ) Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou seja, a dificuldade do fluido em escoar. Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx. 27 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: τ yx = lim δFx dFx = δAy → 0 δAy dAy A taxa de deformação é igual a: δα dα = δt →0 δt dt lim A distância entre os pontos M e M’é dada por: δl = δVδt (a) (b) Para pequenos ângulos, δl = δyδα Igualando-se (a) e (b), dα du δα δu = ⇒ = δ t δy dt dy Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou: τ yx ∝ du du ⇒ τ yx = µ . dy dy A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. DIM: [F.t / L2= M/L.t] Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições normais. 28 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν) Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. ν: Viscosidade cinemática [L2/t] υ= µ ρ µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] DIM: [L2/t] Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes = 1cm2/s. 9.3. Número de Reynolds: (Re) Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. Re: Número de Reynolds [adimensional] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] Re = ρV * L* µ V*: Velocidade do fluido [L/t] L*: Comprimento característico [L] 29 Fenômenos de Transporte – 01/2008 µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2] DIM: [1] O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Devese ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa. Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água. 9.4. Tipos de escoamento: - Escoamento laminar ( em tubulações Re ≤ 2300 ) Escoamento turbulento (Re > 4000) 30 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Mecânica dos Fluidos Fluido não viscoso µ = 0 Compressível Incompressível Ma < 0,3 Laminar Re ≤ 2300 Fluido viscoso µ≠ 0 Turbulento Re > 4000 Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do escoamento ( V ) pela velocidade do som (S) do meio. Ma = V S Exemplo: Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra na folga anular, em (Pa.s) Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão de cisalhamento: τ = µ. du dy Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamos trabalhar: 31 Fenômenos de Transporte – 01/2008 W = 20rps ⎧1rot → 2.π .r ⎨ ⎩20rot → 20.2.π .r → 125,6rad / s umax = ωr = 1,13 m s ou umax = ωr umax = umax π .n d 30 2 π .d .n = 60 Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material: A = π .D.L A = π 18.10− 3.60.10 − 3 A = 3,39.10− 6 m 2 Pelo torque, podemos tirar a força: τ = F .r τ F= r 0,0036 F= 9.10 −3 F = 0,4 N Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à força: µ= µ= F ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ A ⎝ du ⎠ 0,4.0,2.10 −3 du umax , onde = −3 dy y 3,39.10 .1,13 N .s µ = 0,0208 2 m 10. Pressão Força exercida em uma unidade de área. P: Pressão [F/L2] P= F A F: Força [F] A: Área [L2] Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) DIM: [F / L2] 32 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: P∀ = nR T Onde: n: quantidade de matéria [mol] R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K ⎡ F .L ⎤ DIM: ⎢ ⎣ mol.k .T ⎥ ⎦ T: temperatura absoluta do gás [T] Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação pode ser reescrita na forma: P∀ = mRT Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns. R MM R= A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou “standard”. A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada da maneira mostrada a seguir: Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A pressão na superfície do fluido é igual a P0. A força na superfície do fluido é dada por P0 A A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: F fluido = mg = ρ∀g = ρ ( Ah )g = Aρgh A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do fluido e do peso da coluna de fluido: F = Fsup erfície + F fluido F = P0 A + ρghA A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base: P= P= F Fsup erfície + F fluido = A A P0 A + Aρgh = P0 + ρgh A Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes. Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h. 10.1. Lei de Pascal: “No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”. Figura 13 – Fluido em Repouso. 11. Fluidoestática É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. 34 Fenômenos de Transporte – 01/2008 11.1. A equação básica da estática dos fluidos: Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 14. z dz y x dy dx Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. A força total atuando no elemento é dada por: r r r r r dF = dFC + dFS = dm.g + dFS A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é: r ⎛ ∂P dy ⎞ ⎟dx.dzˆ dFL = ⎜ p − j ⎜ ∂y 2 ⎟ ⎝ ⎠ A força de pressão na face direita é dada por: r ⎛ ∂P dy ⎞ ⎟dx.dz − ˆ dFR = ⎜ p + j ⎜ ∂y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 35 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do elemento, r ∂P dy ⎞ ∂P dx ⎞ ∂P dx ⎞ ⎛ ˆ ⎛ ˆ ⎛ ⎟dx.dzˆ dFS = ⎜ p − j ⎟dy.dz − i + ⎜ p − ⎟dy.dzi + ⎜ p + ⎜ ∂y 2 ⎟ ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ ∂P dz ⎞ ∂P dy ⎞ ∂P dz ⎞ ⎛ ˆ ⎛ ˆ ⎟dx.dz − ˆ + ⎜ p − +⎜p+ j ⎟dx.dyk + ⎜ p + ⎟dx.dy − k ⎟ ⎜ ∂z 2 ⎠ ∂y 2 ⎠ ∂z 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ( ) ( ) ( ) r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ dFS = ⎜ − ⎜ ∂x i − ∂y j − ∂z k ⎟dx.dy.dz ⎟ ⎝ ⎠ A força total é dada, portanto, por: r r r r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ dF = dm.g + dFS = dm.g + ⎜ − ⎜ ∂x i − ∂y j − ∂z k ⎟dx.dy.dz ⎟ ⎝ ⎠ Como dm = ρ .d∀ = ρ .dx.dy.dz , r r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ r dF = ρ .dx.dy.dz..g + ⎜ − ⎜ ∂x i − ∂y j − ∂z k ⎟dx.dy.dz = (ρ .g − ∇P )d∀ ⎟ ⎝ ⎠ A 2ª Lei de Newton estabelece que: r r dF = dm.a Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as forças deve ser zero. Assim, r ( ρ . g − ∇P ) = 0 Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, ∂P + ρg x = 0 ∂x ∂P + ρg y = 0 ∂y ∂P + ρg z = 0 ∂z − − − Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z r ˆ apontado para cima ( g = − gk ) , as equações podem ser reescritas como: ∂P =0 ∂x ∂P =0 ∂y ∂P =0 ∂z Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). 36 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Conclusões: 1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão; 2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da orientação (Lei de Pascal). Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15). Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. PB = PC + ρgh Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões manométricas ou efetivas. 11.2. Pressão Manométrica: Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg 37 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. Se P>Patm, Pman > 0 Se P rcr, qualquer adição de isolamento aumenta a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor. → Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total através da aplicação de uma camada de isolamento térmico existe somente para o caso de tubos ou fios de pequeno diâmetro e para coeficientes de transferência de calor por convecção pequenos, onde usualmente r > rcr. → A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção da transferência de calor é constante , não havendo uma espessura crítica para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o aumento da espessura da camada de isolamento). Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo em r = rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73. 127 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. Exemplo: 1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância refrigerante que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞ ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K? Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o ar é denominada pela condução de calor através da camada de isolamento térmico e pela convecção no ar. Sendo que, a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo è: ⎛r⎞ ln⎜ ⎟ ⎜r ⎟ 1 R 'tot = ⎝ i ⎠ + 2π .k 2πrh E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será: T∞ − Ti R'tot q' = Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que minimiza o valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a partir de: r= k h 128 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, r = k éo h raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo. Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém faz sentido pensar em raio crítico de isolamento. rcr = k h Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o aumento de r. Calculando em termos de raio crítico: rcr = k h 5 W m 2 .K rcr = W 0,055 m.K rcr = 0,011m 15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Esfera Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a superfície externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior da esfera. Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada por: qr = 4kπ (Ts1 − Ts 2 ) ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎜r r ⎟ 2⎠ ⎝ 1 Assim, a resistência condutiva é dada por: R cond = 1 4kπ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎜r r ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior do meio, têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atenção para não confundir geração de energia com armazenamento de energia. 15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – Parede Plana Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por unidade de volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para uma condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor: d 2T q' + =0 dx 2 k Aplicando as condições de contorno e todos os parâmetros, obtemos a distribuição de temperatura correspondente: T ( x) = −T −T q' L2 ⎛ x2 ⎞ T x T ⎜1 − 2 ⎟ + sup, 2 sup,1 + sup,1 sup, 2 ⎜ ⎟ 2k ⎝ 2 2 L L ⎠ O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação acima. Note, contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais independente de x. 130 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a) Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c) Superfície adiabática no plano intermediário. O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se no plano intermediário: T (0) = T0 = q' L2 + Tsup 2k Exemplo: 1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do & material A possui uma geração de calor uniforme q = 1,5.106 W m3 , condutividade térmica k A = 75 W K e espessura de LA=50 mm. A camada do material B não apresenta geração de calor, tem condutividade térmica k B = 150 W K e espessura LB = 20 mm. A superfície interna da parede (material A) está perfeitamente isolada, enquanto a sua superfície externa (material B) é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30ºC e 131 Fenômenos de Transporte – 01/2008 h = 1000 W m2 K . Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2 da superfície resfriada. Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um balanço de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo assim obteremos T2: q .L A T2 = T∞ + h T2 = 30º C + T2 = 105º C 1,5.106 W .0,05m m3 W 1000 2 m .K . Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos: q .(LA ) + T1 To = 2.k A 2 . Onde T1 será determinado visando o circuito térmico equivalente do processo: T1 = T∞ + (R"cond , B + R"conv ).q" LB ⎧ ⎪ R"cond , B = k ⎪ B ⎨ ⎪ R" = 1 ⎪ conv h ⎩ ⎛ ⎜ 0,02m 1 + T1 = 30º C + ⎜ W W ⎜ 1000 2 ⎜ 150 m.K m .K ⎝ T1 = 115º C ⎞ ⎟ ⎟.1,5.106.0,05m ⎟ ⎟ ⎠ Determinando agora To, substituindo o valor acima na equação . , obteremos: q .(LA ) To = + T1 2.k A 2 W 2 .(0,05m ) 3 m To = + 115º C W 2.75 m.K To = 140º C 1,5.106 132 Fenômenos de Transporte – 01/2008 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um cilindro sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em condições de regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro deve ser igual à taxa de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o fluido em movimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja mantida a um valor fixo Ts . Sendo assim temos a distribuição de temperatura como: T( r ) q .r = 0 4k . 2 2 ⎞ ⎛ ⎜1 − r ⎟ + Ts 2 ⎜ r0 ⎟ ⎝ ⎠ Para relacionar a temperatura da superfície Ts , com a temperatura do fluido, T∞ , tanto o balanço de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados. Exemplo: 1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5 W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000 W/m3. O bastão está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo igual a 400 mm, de um material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície externa desta camada está exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um coeficiente de convecção de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica, e na superfície externa em contato com o ar. Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos: Tsup q .r = T∞ + 2.h 24000 W .200.10 − 3 m m3 W 2.25 2 m .K . Tsup = 27 + 273º K + Tsup = 396º K 133 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica devemos utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio: T( r ) 2 ⎞ ⎛ ⎜1 − r ⎟ + Tsup ⎜ r2⎟ 0 ⎠ ⎝ 2 W 24000 3 . 200.10− 3 m ⎛ −3 2 ⎞ m ⎟ + 396 º K ⎜1 − 100.10 = −3 2 ⎟ ⎜ W 200.10 4. 4 ⎠ ⎝ m.K = 441º K . q .r = 0 4k 2 T( r ) T( r ) ( ) ( ( ) ) 16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas 16.1. Introdução Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T∞. 134 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados 135 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados. 16.2. Tipos de Aletas A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas. Plana, de seção reta uniforme Plana, de seção transversal não uniforme Anular Piniforme (pino) Figura 80 – Configurações de Aletas. 136 Fenômenos de Transporte – 01/2008 16.3. Balanço de Energia para uma Aleta Hipóteses: • • • • • • Condução unidimensional de calor Regime permanente Condutividade térmica da aleta constante Radiação térmica desprezível Sem geração de calor Coeficiente de convecção uniforme Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig. 81), Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. Neste caso, vale: Calor transferido por condução para dentro do elemento em x por unidade de tempo Calor transferido por condução para fora do elemento em (x +dx) por unidade de tempo, Calor transferido por convecção da superfície entre x e (x + dx) por unidade de tempo = + qx = qx + dx + dqconv onde ⎧q x = Energia transferida por condução para o volume infinitesimal ⎪ ⎨q x + dx = Energia transferida por condução do volume infinitesimal ⎪dq ⎩ conv = Energia perdida por convecção para o fluido 137 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela Lei de Fourier: q x = − kAc dT dx onde: Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por condução na posição (x+dx) q x + dx = q x + ∂q dx ∂x q x + dx = − kAc dT d ⎛ dT ⎞ + ⎜ − kAc ⎟dx dx dx ⎝ dx ⎠ q x + dx = − kAc dT d ⎛ dT ⎞ − k ⎜ − Ac ⎟dx dx dx ⎝ dx ⎠ A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é dada pela Lei de Resfriamento de Newton: dqconv = hdAs (T − T∞ ) onde: dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia, − kAc dT dT d ⎛ dT ⎞ = −kAc − k ⎜ − Ac ⎟dx + hdAs (T − T∞ ) dx dx dx ⎝ dx ⎠ d ⎛ dT ⎞ h ⎜ Ac ⎟dx − dAs (T − T∞ ) = 0 dx ⎝ dx ⎠ k como a área da seção reta Ac pode variar com x, dT dAc d 2T h dAs (T − T∞ ) = 0 + Ac 2 − dx dx k dx dx d 2T ⎛ 1 dAc ⎞ dT ⎛ 1 h dAs ⎞ ⎟ ⎟(T − T∞ ) = 0 +⎜ −⎜ dx 2 ⎜ Ac dx ⎟ dx ⎜ Ac k dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície expandida. 16.4. Aletas com área da seção transversal constante Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior pode ser simplificada. 138 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na temperatura T∞. Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. dAc =0 dx Ac = constante ⇒ As = Px ⇒ dAs =P dx d 2T hP (T − T∞ ) = 0 − dx 2 kAc Definindo-se a variável θ (Excesso de Temperatura) θ = T − T∞ dθ dT = dx dx d 2θ d 2T = dx 2 dx 2 d 2θ hP − θ =0 dx 2 kAc Definindo-se: m2 = hP kAc d 2θ − m 2θ = 0 2 dx Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes. A solução geral tem a forma: θ ( x ) = C1e mx + C2e − mx 139 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma destas condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) Temperatura constante na base da aleta T (x = 0) = Tb θ (x = 0) = Tb − T∞ = θ b A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação física e levando a uma solução diferente. A. Transferência convectiva de calor A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por convecção. Fazendo-se um balanço de energia, hAc (T ( L) − T∞ ) = − kAc dT dx x=L ou hθ ( L ) = − k dθ dx x=L Aplicando-se as condições de contorno, chega-se a: θ ( x) cosh [m( L − x)] + ( h / mk ) senh [m( L − x)] = θb cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL ) A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier q f = qb = − kAc dT dx = − kAc x =0 dθ dx x =0 ou q f = hPkAc .θ b senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL ) Para simplificar a solução, define-se: M = ( hPkAc .θ b , ) Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por: 140 Fenômenos de Transporte – 01/2008 qf = M senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL ) B. Ponta da aleta adiabática (considerando que a perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível) dT dx =0 x=L ou dθ dx =0 x=L Neste caso, θ ( x ) cosh [m( L − x)] = θb cosh( mL ) q f = M .tgh ( mL ) C. Temperatura Fixa θ (x = L ) = θ L θ ( x) (θ L / θ b ) senh(mx) + senh[m( L − x)] = θb senh(mL) qf = M cosh( mL ) − (θ L / θ b ) senh( mL ) D. Aleta muito longa Neste caso, quando L → ∞, θ L → 0 . θ ( x) = e − mx θb qf = M Exemplo: 1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade mantida a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com condutividade térmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua perda térmica para a condição de transferência convectiva de calor. 141 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Resolução: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a fórmula para transferência convectiva de calor: θ( x) θb ⎛ h ⎞ cosh[m( L − x)] + ⎜ ⎟. senh[m.( L − x)] ⎝ m.k ⎠ = ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠ Calculando alguns parâmetros para obter o resultado: Ac = π .d 2 4 = 3,14.(25.10 −3 ) 2 = 4,9.10 − 4 m 2 4 P = 2.π.r = 7,9.10 −2 m m= h.P 10.7,9.10 −2 = = 10,73m kAc 14.4,9.10 − 4 M = h.P. Ac .k .θ b = 10.7,9.10 − 2.4,9.10 − 4.14 .(TB − T∞ ) = 5,52W Calculando agora a temperatura da barra em x=L θ ( x = L) = θb θ ( x = L) 75 ⎛ h ⎞ cosh[m( L − L)] + ⎜ ⎟. senh[m.( L − L)] ⎝ m.k ⎠ ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠ 1 = ⎛ 10 ⎞ cosh(10,73.0,25) + ⎜ ⎟ ⎜ 10,73.14 ⎟. senh(10,73.0,25) ⎠ ⎝ θ ( x = L ) = 9,58K θ ( x = L ) = T( x = L ) − T∞ T( x = L ) = 9,58 + 25 = 34,58 K Calculando agora a perda térmica para a condição proposta: ⎛ h ⎞ senh(m.L) + ⎜ ⎟. cosh(m.L) ⎝ m.k ⎠ qr = M . ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠ ⎛ 10 ⎞ senh(10,73.0,25) + ⎜ ⎜ 10,73.14 ⎟. cosh(10,73.0,25) ⎟ ⎝ ⎠ qr = 5,52. ⎛ 10 ⎞ cosh(10,73.0,25) + ⎜ ⎜ 10,73.14 ⎟. senh(10,73.0,25) ⎟ ⎝ ⎠ qr = 5,47W 142 Fenômenos de Transporte – 01/2008 16.5. Desempenho da Aleta As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta. Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas somente se justifica se εf ≥ 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um material de condutividade térmica elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o perímetro e a área da seção reta. εf = qf hAc ,bθ b onde: Ac,b é a área da seção reta da aleta, na base. Para aletas com seção reta uniforme, Ac ,b = Ac Pode-se definir a resistência da aleta por: Rt , f = θb qf 1 hAc ,b Utilizando-se a resistência à convecção na base: R t ,b = A efetividade pode ser definida, então, por εf = Rt ,b Rt , f Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da base. ηf = qf q max = qf hA f θ b onde: Af = área superficial da aleta Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B): 143 Fenômenos de Transporte – 01/2008 ηf = hPkA c .θ b . tanh( mL ) hPL θ b = tanh( mL ) , mL m= hP kA c Este resultado pode ser utilizado para os casos em que há transferência de calor pela extremidade da aleta: ηf = tanh(mLc ) , mLc Lc = L + t D ou Lc = L + 2 4 Figura 83 – Eficiência de aletas. 144 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de uma única aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado. ηo = qt qt = q max hAtθ b onde: qt = taxa total de transferência de calor At = área total exposta At = NA f + Ab Ab = área da superfície exposta – área das aletas Af = área superficial de cada aleta N = número total de aletas A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim com a base exposta, fosse mantida a Tb . A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta (sem aletas) para o fluido é dada por: q t = Nη f hA f θ b + hAbθ b onde ηf é a eficiência de uma aleta. ⎡ NA f ⎤ (1 − η f ⎥θ b qt = h Nη f A f + ( At − NA f ) θ b = hAt ⎢1 − At ⎣ ⎦ [ ] Assim, ηo = 1− NA f At (1 − η f ) 145 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares. Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas. 17. Condução Transiente 17.1. Introdução Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a resistência à condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólidolíquido. Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância global pode ser aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos são usados. 17.2. Método da Capacitância Global Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão em um líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a temperatura do sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste método é a consideração de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a resistência à condução dentro do material for muito menor que a resistência à convecção na interface sólido-líquido. Neste caso, a equação de condução de calor não pode ser empregada, e a temperatura transiente é determinada por um balanço global de energia no sólido. 146 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Aplicando o balanço de energia ao sólido: & & − E s = Ea Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. − hAs (T − T∞ ) = ρ∀c ∂T ∂t Definindo: Resulta: Onde: Integrando: ρ ∀c hAs ln θ = T − T∞ ρ∀c dθ hAs dt = −θ ⇒ ρ∀c hAs ∫θ θ i dθ θ = − dt 0 ∫ t θ i = Ti − T∞ θi = t ou θ ⎡ ⎛ hA ⎞ ⎤ θ T − T∞ = exp ⎢− ⎜ s ⎟t ⎥ = ⎜ ⎟ θ i Ti − T∞ ⎣ ⎝ ρ∀c ⎠ ⎦ Validade do Método da Capacitância Global Sob condições de regime permanente, o balanço de energia na superfície do sólido se reduz a: kA (Ts,1 − Ts ,2 ) = hA(Ts ,2 − T∞ ) L Rearranjando: Ts ,1 − Ts , 2 Ts , 2 − T∞ = L / kA Rcond hL = = ≡ Bi 1 / hA Rconv k 147 Fenômenos de Transporte – 01/2008 Se Bi CA,∞ N”A = hm(CA,s - CA,∞) onde: N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²) Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³) CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³) A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma NA = hm As (CA ,S −CA ,∞ ) onde hm : coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao coeficiente local por hm = 1 As dAs ∫ h dA m s A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa, através do fluxo mássico n”A (Kg/s.m²) ou da taxa de transferência de massa nA (Kg/s). Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A, n" A = hm (ρA ,S − ρA ,∞ ) n A = h m A s ( ρ A , S − ρ A ,∞ ) 18.2. As Camadas Limites da Convecção 150 Fenômenos de Transporte – 01/2008 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89. u∞ y CORRENTE u∞ δ (x) CAMADA LIMITE τ HIDRODINÂMICA x Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna desprezível. A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞. 1) 2) 3) 4) A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99 u∞; O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através da camada limite; Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são elevados; fora da camada limite, são desprezíveis; Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do conceito de camada limite: Cf = τs 2 ρu ∞ 2 onde: τs = tensão de cisalhamento na superfície (N/m2) ρ = massa específica do fluido (kg/m3) u∞ = velocidade do fluido na corrente livre (m/s) 151 Fenômenos de Transporte – 01/2008 5) Para uma fluido Newtoniano τs = µ ∂u ∂y , y =0 Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s). 18.2.2. As Camadas Limites de Concentração A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual CA , S − CA CA , s − CA , ∞ O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada limite térmica (Fig. 90). Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura (δ ≠ δt ≠ δc ) . O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, 152 Fenômenos de Transporte – 01/2008 u >> v ∂u ∂u ∂v ∂v = , , ∂y ∂x ∂y ∂x No interior da camada limite térmica, ∂T ∂T >> ∂y ∂x Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna mais fácil. 18.3. Escoamento Laminar e Turbulento Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor. Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc. Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de transferência de calor por convecção dependem das condições da camada. Figura 91 – Camada Limite. Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem. 153 Fenômenos de Transporte – 01/2008 A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 ≤ Rex,c ≤ 3 × 106. Um valor representativo é Rex,c = 5 × 105, ou seja, o número de Reynolds crítico (ou de transição) é dado por: Re x = onde: ρ .u ∞ . x µ e Re x ,c = ρ .u ∞ . xc µ Rex,c = no de Reynolds crítico (início de transição do regime laminar para turbulento) Número de Reynolds - é a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas: Re L = ρVL VL = µ ν Número de Prandtl - é a relação entre a difusividade de momento e a difusividade térmica – relaciona a distribuição de temperatura à distribuição de velocidade: Pr = µc p k = ν α Para escoamentos laminares δ δ t ≈ Pr n . Para gases δ ≈ δ t , metais líquidos δ >> δ t , e para óleos δ 5x105) δturb = 0,37 Re ⎛ ρu∞ ⎞ .x = 0,37⎜ ⎜ µ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ −1 / 5 x −1 / 5 .x Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no escoamento laminar, a espessura varia com x1/2. Para escoamentos turbulentos, δ ≈ δt O número d Nusselt local é dado por Nux = 0,0296 Re4 / 5 Pr1 / 3 , válida para 0,6