TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 2 Notas de Aula – CIV208 Ricardo Azoubel da Mota Silveira Colaboração: A ndréa Regina D ias da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008 SUMÁRIO 1. Treliças Isostáticas 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. Aplicações ..................................................................................................... 1 Tipos .............................................................................................................. 2 Definição ........................................................................................................ 3 Considerações de Projeto ............................................................................... 3 Classificação .................................................................................................. 4 Grau de Indeterminação ................................................................................ 5 Estabilidade ................................................................................................... 6 Observações Importantes .............................................................................. 7 Análise e Métodos de Resolução ................................................................... 8 Treliças Compostas ..................................................................................... 16 Treliças Complexas ...................................................................................... 20 Treliças de Altura Constante ........................................................................ 25 2. Grelhas Isostáticas 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. Introdução .................................................................................................... 35 Aplicações ................................................................................................... 36 Definição ...................................................................................................... 38 Observações ................................................................................................ 38 Grelha Engastada-Livre ............................................................................... 40 Grelha Isostática Triapoiada ........................................................................ 41 Viga Balcão .................................................................................................. 42 Referências Bibliográficas ................................................................................. 43 1. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.1. APLICAÇÕES Teoria das Estruturas I 1 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.2. TIPOS Teoria das Estruturas I 2 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.3. DEFINIÇÃO São estruturas reticuladas indeformadas, constituídas de barras retas com extremidades rotuladas formando malhas triangulares. B 500 N 2 1 A 3 C Pontos nodais: A, B e C Barras (elementos, membros): 1 2 3 1.4. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO 1. As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas. A gusset plate Tensões principais ► Esforço Normal Tensões secundárias ► Momento Fletor 2. O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas (pontos nodais). Teoria das Estruturas I 3 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.5. CLASSIFICAÇÃO 1. Treliças Simples 2. Treliças Compostas simple trusses simple trusses Tipo 1 Tipo 2 secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses Tipo 3 Teoria das Estruturas I 4 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 3. Treliças Complexas 1.6. GRAU DE INDETERMINAÇÃO Número de incógnitas: número de barras (b) + número de reações (r) Número de equações (para cada nó j): ∑ Fx ∑ Fy Portanto, =0 =0 b + r = 2 j : Estaticamente Determinada (Treliça isostática) b + r > 2 j : Estaticamente Indeterminada (Treliça hiperestática) 1.7. ESTABILIDADE Se b + r < 2 j : Treliça Instável (Treliça hipostática) Teoria das Estruturas I 5 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1. Estabilidade Externa Situações de Instabilidade (externamente instável) 2. Estabilidade Interna Situação de Estabilidade (estabilidade interna) Situação de Instabilidade (instabilidade interna) Teoria das Estruturas I 6 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Situação de Estabilidade (estabilidade interna) Treliça composta Situação de Instabilidade (instabilidade interna) Treliça complexa Portanto, Se b + r < 2 j : Treliça instável. Se b + r ≥ 2 j : Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes ou paralelas, ou se os componentes da treliça formam um mecanismo de colapso. 1.8. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES a. Todo sistema reticulado deformável é instável (hipostático). Todo sistema indeformável é estável (isostático ou hiperestático). b. Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais. c. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), exceto o caso do triângulo. Teoria das Estruturas I 7 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS d. Lei de Formação das Treliças Isostáticas: Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é isostática. Se, a partir dessa configuração básica, acrescentarmos novos nós através de duas novas barras, essa nova treliça será ainda isostática. Isto porque surgem duas novas incógnitas no problema, simultaneamente ao acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema. e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo). f. As treliças são geralmente de madeira ou de aço. Esses materiais suportam bem os esforços de tração e compressão. g. Na prática, a grande maioria das treliças é ISOSTÁTICA. 1.9. ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO Análise de uma treliça Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio. Métodos de Resolução: 1. Método do equilíbrio dos nós 2. Método das seções (Método de Ritter) 3. Método de Cremona Teoria das Estruturas I 8 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a) Idéia Básica dos Métodos de Resolução 1. Método do equilíbrio dos nós B 500 N B 500 N 45O 2m FBC (compressão) FBA (tração) B C 500 N A 45O 2m 45O FBC (compressão) FBA (tração) 2. Método das seções (Método de Ritter) a B C D 2m A 2m 1000 N G a 2m F 2m E 2m Dy FBC C FBC 45O C 2m Dx 2m 2m 45O FGC FGC 2m 1000 N G FGF G FGF Ex Teoria das Estruturas I 9 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS i. As seções de Ritter não precisam ser retas, elas podem ter formas quaisquer. Porém, devem ser contínuas e atravessar toda a treliça. ii. Deve-se escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e não concorrentes no mesmo ponto. Podem ocorrer, entretanto, seções de Ritter que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível determinar os esforços normais em alguma(s) das barras. iii. O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura constante, fazendo-o recair até no cálculo de uma viga de substituição, quando o carregamento é vertical. 3. Método de Cremona E 1 F 3P 2 4 3 5 8 B C 9 6 a D HA = 3P A 7 3P VA = 2P VD = P a a a HA = 3P VA = 2P N7 N4 N2 N8 N7 N3 N9 N6 VD = P (Nó A) N1 N3 N2 (Nó B) N6 N5 N4 3P (Nó D) N1 (Nó E) (Nó F) Teoria das Estruturas I 10 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS N3 N2 3P A N7 2P N7 B N4 N6 N8 D N9 P (Nó B) (Nó A) (Nó D) E N2 N3 N1 N1 F 3P N4 N5 N6 (Nó E) (Nó F) b) Aplicações 1. Método do equilíbrio dos nós Problema 1: Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo. Defina também se essas forças são de tração ou compressão. 2 KN F 3 KN G 3 KN E A 30O 60O 60O 60O 60O 30O D B 3m 3m C 3m Teoria das Estruturas I 11 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 2 : Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo. Defina também se essas forças são de tração ou compressão. As reações são dadas. 175 lb C B 60O 200 lb D 60O F 45O 30O 45O 30 O A Ax = 141.4 lb E 10 ft Ay = 125.4 lb 10 ft Ey = 191.0 lb Característica: Elementos com Esforço Normal Nulo Problema 1: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo. P B C A E D Teoria das Estruturas I 12 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução: 1. Ponto nodal C 2. Ponto nodal A ← ∑ Fx = 0; FCB = 0 + ↓ ∑ Fy = 0; FCD = 0 + + ↑ ∑ Fy = 0; FAB senθ = 0 ∴ FAB = 0 (senθ ≠ 0) → ∑ Fx = 0; -FAE + 0 = 0 ∴ FAE = 0 + Problema 2: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo. C P B D A G F E Solução: 1. Ponto nodal D 2. Ponto nodal F + ∑ Fy = 0; FDF = 0 + ↑ ∑ Fy = 0; FCFsenθ + 0 = 0 ∴ FCF = 0 (senθ ≠ 0) Teoria das Estruturas I 13 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 3: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem esforço normal nulo. A B C H G F E D P 2. Método das seções (Método de Ritter) Problema 1: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras BC, GC e GF da treliça abaixo. Defina se esses esforços são de tração ou compressão. a B C D 2m A 2m 1000 N G a 2m F 2m E Teoria das Estruturas I 14 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução: 2m FBC C Estratégia 1 2m 45O FGC 2m 1000 N G FGF Dy FBC C 45O 2m Dx 2m Estratégia 2 FGC G FGF Ey Problema 2: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras CF e GC. Defina se esses esforços são de tração ou compressão. As reações de apoio são dadas. Teoria das Estruturas I 15 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 3: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras GF e GD. Defina se esses esforços são de tração ou compressão. As reações de apoio são dadas. G a H F 4m 3m A Ax = 0 3m Ay = 9 kN 6 kN B 3m 8 kN C a 3m 2 kN D 3m Ey = 7 kN E Solução: FGF FGD FCD 1.10. TRELIÇAS COMPOSTAS Formação: conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e pontos nodais. Análise: aplicação de ambos os métodos (equilíbrio dos nós e seções-Ritter). Tipo 1 • • • • Avaliar as reações (treliça completa). Usar o método das seções (cortar a treliça através da barra que faz a conexão das duas treliças simples). Avaliar a força nessa barra (ligação entre as trel iças). Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós. simple trusses Teoria das Estruturas I 16 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Tipo 2 • • Avaliar as reações (treliça completa). Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a conexão das duas treliças simples. • • Avaliar a força normal nessas barras (diagrama de corpo livre). Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós. simple trusses Tipo 3 • Remover as treliças secundárias usando membros fictícios (linhas tracejadas) para construir a treliça principal. • O efeito (força) exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça principal. • Avaliar as forças nos membros fictícios (linhas tracejadas) usando o método do equilíbrio dos nós ou seções. • Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim, usando o método do equilíbrio dos nós, as forças nas barras das treliças secundárias podem ser avaliadas. secondary simple trusses secondary simple trusses secondary simple trusses main simple trusses Teoria das Estruturas I 17 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 1: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. 4m H a G 2m I J K F 2m A Ax = 0 2m Ay = 5 kN 4 kN B a 2m 2 kN C 2m 4 kN D 2m Ey = 5 kN E Solução: Passo 1: Passo 2: Problema 2: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. C a H D 6 ft 45o G a 45o 45o 12 ft F E Ax = 0 A 6 ft Ay = 3 k B 6 ft 3k 6 ft 6 ft 6 ft 3k Fy = 3 k Solução: Passo 1: Passo 2: Teoria das Estruturas I 18 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 3: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são dadas. E 3 kN F 5o 3 kN 5o 5o D H G 5o 45o A Ax = 0 C B 6m 6m Cy = 4.62 kN Ay = 4.62 kN Solução: Passo 1: FAE E 3 kN F G A FAE 1.5 kN 1.5 kN F G C FEC 1.5 kN 1.5 kN FEC E 3 kN Passo 2: Passo 3: Teoria das Estruturas I 19 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.11. TRELIÇAS COMPLEXAS Formação: Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou compostas. Análise: Método do Equilíbrio dos Nós. Procedimentos a. Computacional: Escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal (junta). Resolver o sistema de equações resultante: A N = B. b. Manual: Treliças complexas pequenas (GI baixo). Idéia da superposição do efeitos. Procedimento de Análise: MANUAL Etapa 1 Determinar as reações de apoio. Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do equilíbrio dos nós. Se numa determinada junta existem 3 incógnitas, remova um dos membros e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça. Treliça Original Treliça Modificada Teoria das Estruturas I 20 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Etapa 2 Introduzir o carregamento externo na treliça modificada. Avaliar, através do método do equilíbrio dos nós, os esforços normais Si’ em cada membro i. Na treliça exemplo: Junta A : S'AB e S'AF ' ' Junta F : SFE e SFC ' ' Junta D : SDE e SDC (ambos são nulos) ' ' Junta E : SEB e SEC ' Junta B : SBC Treliça Modificada Etapa 3 Retirar o carregamento externo na treliça modificada. Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado. Resolver a treliça modificada para esse carregamento (avaliar, através do método do equilíbrio dos nós, os esforços normais si em cada membro i). Na treliça exemplo: Junta A : s AB e s AF Junta F : sFE e sFC Junta D : sDE e sDC Junta E : sEB e sEC Junta B : sBC Treliça Modificada Teoria das Estruturas I 21 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Etapa 4 Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos): Si = Si' + x si Determinação de x (para o membro i de substituição empregado): Si = Si' + x si = 0 ∴ x=− Si' si Na treliça exemplo (membro EC): ' SEC = SEC + x sEC = 0 ∴ x=− ' SEC sEC Problema: Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa mostrada na figura abaixo. Assuma que as juntas B, F e D estão na mesma linha horizontal. Defina também se os esforços são de tração ou compressão. C 5k 4 ft B 45o F 45o D 3 ft A E 8 ft Teoria das Estruturas I 22 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução: Etapa 1 Determinar as reações de apoio. Remover um dos membros e empregar um membro imaginário introduzido em outro lugar na treliça. C C 5k 4 ft B 45o F 45o D B 5k 45o 45o D 3 ft A E 5k A E 8 ft 4.38 k 4.38 k Etapa 2: Introduzir o carregamento externo na treliça modificada. Avaliar os esforços normais Si’ em cada membro i. ' Junta C : S'CB e SCD ' ' Junta F : SFA e SFE (ambos são nulos) ' ' Junta E : SEB e SED ' ' Junta D : SDA e SDB ' Junta B : SBA Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA S i' 3.54 -3.54 0 0 0 -4.38 5.34 -2.50 2.50 Teoria das Estruturas I 23 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Etapa 3: Na treliça modificada, introduzir cargas unitárias colineares nas duas juntas que definiam o membro que foi retirado. Resolver a treliça modificada para esse carregamento. Junta C : sCB e sCD Junta F : sFA e sFE Junta E : sEB e sED Junta D : sDA e sDB Junta B : sBA Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA si -0.707 -0.707 0.833 0.833 -0.712 -0.250 -0.712 -1.167 -0.250 A E B 1k C 1k F D Etapa 4: Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos): Si = Si' + x si em que x é uma incógnita. Determinar x (para o membro DB de substituição empregado): ' SDB = SDB + x sDB = 0 ∴ ' SDB Membro CB CD FA FE EB ED DA DB BA x=− sDB =− ( −2.5) ∴ 1.167 S i' 3.54 -3.54 0 0 0 -4.38 5.34 -2.50 2.50 si -0.707 -0.707 0.833 0.833 -0.712 -0.250 -0.712 1.167 -0.250 x si -1.51 -1.51 1.78 1.78 -1.53 -0.536 -1.52 2.50 -0535 Si 2.02 (T) 5.05 (C) 1.78 (T) 1.78 (T) 1.53 (C) 4.91 (C) 3.81 (T) 0 1.96 (T) x = 2.142 Teoria das Estruturas I 24 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 1.12. TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE Análise: Viga de Substituição Tipos: P1 D P2 O1 E O2 F V2 P3 O3 D3 S1 G P4 S2 H P5 I P6 J P7 K P8 Treliça com uma diagonal por painel V0 D1 A V1 D2 V3 V4 V5 B V6 V7 C h S1 S2 VA VB A’ O1 B’ O2 s s C’ O3 s Treliça com duas diagonais por painel (Vigas Hässler) V0 s D1 V0 A i s V1 D2 D2 V2 D3 s D1 i i V1 i V2 i D3 i V3 U1 C 2t U2 D 2t U3 E 2t F G B 2t 2t 1. Treliça com uma diagonal por painel P1 D P2 O1 E O2 F V2 P3 O3 D3 S1 G P4 S2 H P5 I P6 J P7 K P8 V0 D1 A V1 D2 V3 V4 V5 B V6 V7 C h S1 S2 VA VB Idéia básica: Viga de Substituição P1 d e P2 f P3 g P4 h P5 i P6 j P7 k P8 VA VB a. Barras Horizontais (inferiores e superiores) Análise b. Barras Diagonais c. Barras Verticais Teoria das Estruturas I 25 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a. Barras Horizontais (inferiores) P1 D d E P2 d F P3 d G S1 O 3 h ϕ D3 A F’ U3 S1 VA Avaliação de U3: ∑ MG = 0 ⇒ VA 3d − P1 3d −P2 2d − P3 d − U3 h = 0 ∴ U3 = VA 3d − P1 3d − P2 2d − P3 d h Momento fletor na seção g (Viga de Substituição): Mg = VA 3d − P1 3d − P2 2d − P3 d P1 d e P2 f P3 g P4 h P5 i P6 j P7 k P8 VA VB Portanto: U3 = + Mg h Sinal: positivo (TRAÇÃO) Barras Horizontais (superiores) Avaliação de O3: ∑ MF' = 0 ⇒ VA 2d − P1 2d −P2 d + O3 h = 0 ∴ O3 = − VA 2d − P1 2d − P2 d h Momento fletor na seção f (Viga de Substituição): Mf = VA 2d − P1 2d − P2 d P1 d e P2 f P3 g P4 h P5 i P6 j P7 k P8 VA VB Portanto: O3 = − Mf h Sinal: negativo (COMPRESSÃO) Teoria das Estruturas I 26 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b. Barras Diagonais P1 D d E P2 d F P3 d G S1 O 3 h ϕ D3 A F’ U3 S1 VA Avaliação de D3: ∑ FY = 0 ⇒ VA − P1 − P2 − P3 + D3 senϕ = 0 ∴ P1 d e D3 = − VA − P1 − P2 − P3 senϕ P6 i j Esforço cortante no trecho f-g (Viga de Substituição): P2 f P3 g P4 h P5 P7 k P8 Q f −g = VA − P1 − P2 − P3 VA VB Portanto: D3 = − Qf −g senϕ Caso Geral: Sinal: estudar cada caso c. Barras Verticais P1 D E P2 F P3 G P4 S2 H V3 A F’ S2 VA Avaliação de V3: ∑ FY ' = 0 ⇒ VA − P1 − P2 − P3 − P4 − V3 = 0 ∴ V3 = VA − P1 − P2 − P3 − P4 Esforço cortante no trecho g-h (Viga de Substituição): P1 d e Qg−h = VA − P1 − P2 − P3 − P4 P2 f P3 g P4 h P5 i P6 j P7 k P8 VA VB Caso Geral: Sinal: estudar cada caso 27 Portanto: V3 = Qg−h Teoria das Estruturas I TRELIÇAS ISOSTÁTICAS V0 = VA F P3 V5 = VB PB K A B VA V2 = P3 VB V7 = PB Observação: casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter (caso de interceptar mais, ou menos, de três barras). Solução: Método do equilíbrio dos nós. No caso: V0 = VA (compressão) V2 = P3 (compressão) V5 = VB (compressão) V7 = P8 (compressão) Aplicação Problema 1: Determine o esforço normal de cada membro da treliça (altura constante e uma diagonal por painel) mostrada na figura abaixo. A treliça é carregada superiormente. 2t 2t 2t 2t 2t h=3m 3m 3m 3m 3m Teoria das Estruturas I 28 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Solução 1: Viga de substituição: 2t 2t 2t 2t 2t Fórmulas: 5t 5t U3 = + DMF 9 mt 12 mt 9 mt Mg h Mf h int erceptado O3 = − D= 1 Q trecho senϕ 3t 3t + 1t 1t DEC 1t 1t 3t V = Q trecho int erceptado 3t Problema 2: Obter os esforços normais para as barras da treliça-marquise da figura a seguir. S1 A V1 A O1 ϕ O2 V2 B U1 S2 3t U2 3t D2 V3 O3 V4 D3 C U3 D S2 O4 D4 E U4 h=3m D1 3t S1 4m 3t 4m 4m 4m Teoria das Estruturas I 29 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 3: A figura abaixo representa uma treliça de altura constante. Porém, estão faltando as diagonais (uma em cada painel). Pede-se: a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado, trabalhem todas a tração. b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o valor de 8 tf. c. Para esse valor de h, achar os esforços normais nas barras. 2t 2t 2t 2t 2t C D E F G H I J h A 2m 2m 2m 2m 2m 2m B 2m 2. Treliça com Duas Diagonais por Painel (Treliça de Hässler) S1 S P 2 4 O3 s P1 C D P2 E P3 V2 P5 G P6 H P7 I P8 J F D3 ϕ ϕ s h/2 V3 i A V2i D3 U3 S1 S2 h/2 B Idéia básica: Viga de Substituição P1 c d P2 e P3 f P4 g P5 h P6 i P7 j P8 VA VB a. Barras Horizontais (inferiores e superiores) Análise b. Barras Diagonais c. Barras Verticais Teoria das Estruturas I 30 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS a. Barras Horizontais (inferiores) P1 d P2 d P3 S1 O3 V2 s I V2 S1 VA U3 Avaliação de U3: ∑ ME = 0 ⇒ VA 2d − P1 2d − P2 d − U3 h = 0 ∴ U3 = VA 2d − P1 2d − P2 d h Me = VA 2d − P1 2d − P2 d P6 h i Momento fletor na seção e (viga de substituição): P1 c d P2 e P3 f P4 g P5 P7 j P8 VA VB Portanto: U3 = + Me h Sinal: positivo (TRAÇÃO) b. Barras Horizontais (superiores) P1 d P2 d P3 S1 O3 s V2 I V2 S1 VA U3 Avaliação de O3: ∑ ME ´ = 0 ⇒ VA 2d − P1 2d −P2 d + O3 h = 0 ∴ VA 2d − P1 2d − P2 d h O3 = − Momento fletor na seção e (viga de substituição): P1 c d Me = VA 2d − P1 2d − P2 d P6 P7 i j P2 e P3 f P4 g P5 h P8 VA VB Portanto: Teoria das Estruturas I O3 = − Me h Sinal: negativo (COMPRESSÃO) 31 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS b. Barras Diagonais P1 P2 P3 D3 D2 D3 VA i i s ½ Qef ϕ ½ Qef ∑ FX' = 0 Avaliação de D3 e D3 : s i s s ⇒ Di3 cos ϕ − D3 cos ϕ = 0 ⇒ Di3 = D3 s ∑ FY ' = 0 ⇒ VA − P1 −P2 − P3 − Di3 senϕ − D3 senϕ = 0 ∴ s Di3 = D3 = VA − P1 − P2 − P3 2 senϕ Esforço cortante no trecho e-f (Viga de Substituição): Qe− f = VA − P1 − P2 − P3 P1 c d P2 e P3 f P4 g P5 h P6 i P7 j P8 VA VB s Portanto: Di3 = D3 = Qe − f 2 senϕ Caso Geral: Sinal: estudar cada caso V2i c. Barras Verticais D2 i ½ Qde E´ Avaliação de V2i: ∑F Y i i = 0 ⇒ Di2 senϕ − V2 = 0 ⇒ V2 = Di2 senϕ Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição): Qd−e = VA − P1 − P2 Q d− e Mas a diagonal Di2 = 2 senϕ i Portanto: V2 = P1 c d P2 e P3 f P4 g P5 h P6 i P7 j P8 Q d− e 2 VA VB Caso Geral: Sinal: estudar cada caso Teoria das Estruturas I 32 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS P1 P2 P3 S1 O3 V2 V2 S1 VA U3 i s Avaliação de V2s: ∑ FY ' = 0 ⇒ VA − P1 − P2 − P3 − V2i − V2s = 0 ∴ s i V2 = VA − P1 − P2 − P3 − V2 s Observação: no caso de carregamento inferior, obteríamos inicialmente V2 pelo i equilíbrio do nó E’ e, em seguida, o valor de V2 através da condição ∑FY = 0. V3 = P4/2 3 1 VA − ∑ Pi 2 i=1 D3i i D4 4 1 VA − ∑ Pi 2 i=1 Avaliação de V3: ∑F Y` = 0 ⇒ Di3 senϕ − Di4 senϕ − V3 = 0 ⇒ V3 = Di3 senϕ − Di4 senϕ Qe − f 2 senϕ e Di4 = Qf −g 2 senϕ Mas Di3 = Assim V3 = 1 Qe − f − Q f − g 2 ( ) No caso, V3 = P4 2 (COMPRESSÃO) Caso Geral: Sinal: estudar cada caso Teoria das Estruturas I 33 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Problema 4 : Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler (altura constante e duas diagonais por painel) mostrada a seguir. A treliça é carregada inferiormente. A’ O1 V0s B’ V1s O2 C’ V2s O3 D1s D1i D2s D2i D3s V3 D3 i 2t V0i V1i U1 C U2 D V2i 2t F 2t 2t 2t G A U3 E B 2t 2t 2t 2t 2t 2t 2t 2t Teoria das Estruturas I 34 2. GRELHAS ISOSTÁTICAS 2.1. INTRODUÇÃO a. Pórtico Espacial Equações da Estática: Forças: Momentos: ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0 Caso Particular: Forças numa só direção (no caso, z) e perpendiculares a um plano (no caso, x-y). b. Grelhas Equações da Estática: ∑ Fz = 0 Momentos: ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 Forças: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; e ∑ Mz = 0 Teoria das Estruturas I (meras identidades) 35 GRELHAS ISOSTÁTICAS 2.2. APLICAÇÕES Teoria das Estruturas I 36 GRELHAS ISOSTÁTICAS Viga-Balcão Teoria das Estruturas I 37 GRELHAS ISOSTÁTICAS 2.3. DEFINIÇÃO Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano. Grelhas Isostáticas: Análise através das três equações Tipos: 1. Grelha engastada-livre 2. Grelha triapoiada ∑ Fz = 0, ∑ Mx = 0 e ∑ My = 0 3. Viga-balcão 2.4. OBSERVAÇÕES 1. Grelha engastada-livre: as reações de apoio são calculadas pelas equações: ∑F z =0 ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 2. Grelha triapoiada: as reações de apoio podem calculadas por equações independentes uma da outra. No exemplo abaixo: ∑ Mreta BC = 0 ∑ Mreta CD = 0 ∑ Fz = 0 ⇒ VD ⇒ VB ⇒ VC Teoria das Estruturas I 38 GRELHAS ISOSTÁTICAS 3. Conhecendo-se as reações de apoio, consegue-se obter os esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha. 4. Esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha: Q : perpendicular ao plano P da grelha M : situado no plano P da grelha 5. O momento M pode ser decomposto em duas componentes: M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão) T : momento torçor (direção do eixo da barra) 6. Numa seção genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples: Q : esforço cortante (perpendicular ao plano da grelha) M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão) T : momento torçor (direção do eixo da barra) 7. Grelha triapoiada: • • Os apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta (caso isso ocorra, ela será hipostática). A grelha deve ter, além dos três apoios perpendiculares a seu plano, pelo menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam estabilidade para carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo: Teoria das Estruturas I 39 GRELHAS ISOSTÁTICAS 8. No caso de grelha com carregamento oblíquo ao seu plano, deve-se decompô-lo em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana). Grelha Estrutura plana 2.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. 2 t/m D C 3m A B 3m 3m 1t Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo, em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC. 2t C 4 2m A 4m B Teoria das Estruturas I 40 GRELHAS ISOSTÁTICAS 2.6. GRELHA TRIAPOIADA Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. 1t E D 4t A VE 3t F 2m 2m B VB 2m C VC 2m Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. As barras BCD e ADF estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para baixo e as demais estão descarregadas. A 5m B C D 5m E F 5m H 5m 5m 5m G Teoria das Estruturas I 41 GRELHAS ISOSTÁTICAS 2.7. VIGA BALCÃO Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balcão semicircular da figura a seguir. B 90o P R A Problema 2: Resolver a viga-balcão semicircular submetida a um carregamento uniformemente distribuído q. q B 90o R A Teoria das Estruturas I 42 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gonçalves, P.B., Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003. Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. Soriano, H.L., Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto Alegre, 1994. Teoria das Estruturas I 43