1 ÁNGULO VERTICAL · Un ángulo se llamará vertical cuando está contenido en un plano vertical. Los ángulos verticales se clasifican en: · Ángulo de elevación Es ángulo vertical que está formado por la línea horizontal y la línea de mira visual si el objeto está situado arriba del punto de observación. · Ángulo de depresión Es un ángulo que está formado por la línea horizontal y la línea de mira visual si el objeto está situado debajo del punto de observación · Ángulo de elevación · Ángulo de depresión · Tanto los ángulos de elevación como los de depresión serán tratados como se hace en geometría, es decir sus medidas tienen valores positivos y están comprendidos en el siguiente intervalo 0° ( ( ( 90° Se define la visual de un objeto como la distancia que existe desde el observador hasta el objeto visible Ejercicios 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fué la distancia que nos acercamos? a)6m b)4 c) 12 d)8 e)16 2. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 45º, y lo alto de la antena que se encuentra al borde del edificio con un ángulo de elevación de 53º. Si la antena mide 6m. ¿Cuál es la altura del edificio? a)18 b) 24 c) 32 d)36 e)42 3. Una niña de estatura 1m, observa lo alto de una torre de altura 3m con un ángulo de elevación "a" y hacia el lado opuesto otra torre de altura 6m con un ángulo de elevación "90º - a". Si desde lo alto de la torre mayor se vé lo alto de la torre menor con un ángulo de depresión "a", calcular "ctga" a) 2 b) c) d) e) 4. Una persona observa la parte más alta de un faro con una elevación angular "q". Si camina "d" metros hacia el faro, observaría al punto anterior con una elevación "2q" y a otro punto que está "x" metros más abajo que el primero con un ángulo de elevación "q". Hallar "x". a)dtgq b)dcosq c)dsenq d) d/2 cscq e)dctg2q 5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es ahora el complemento de "a". Hallar: M = ctga - tga a)1 b)2 c)1/2 d)4 e) 6. Desde lo alto de un edificio de altura "H" se divisa lo alto de un poste, con un ángulo de depresión "q"; y desde la base del poste se ve lo alto del edificio con un ángulo de elevación "90º - q". Si la altura del poste es "h"; hallar: "h/H". a)tg2q b) tgq c)1 - tg2q d)1 – tgq e)1 + ctg2q 7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "q". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcular: "ctgq" a)5/3 b) 4/3 c)7/3 d)3 e)2 8. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y de la antena que se encuentra en su parte mas alta; con angulos de elevación de 45º y 53º respectivamente. Si la longitud de la altura es de 6m. ¿Cual es la altura del edificio?. a)10 b) 12 c)18 d)24 e)36 9. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una estatua con un ángulo de elevación 2q y lo alto del pedestal que la sostiene con un ángulode elevación "q". Si la visual mayor mide m, hallar la longitud de la estatua. a)msenq b) mcosq c)mtgq d) mctgq e) mcscq 10. Desde un punto en tierra se vé lo alto de un edificio con un ángulo de elevación "a". Si el edificio mide: "h". ¿A que distancia de la base del edificio se halla el observador?. a)htga b)hctga c)hseca d)hcsca e)2h 11. "Mafe" está ubicada entre un poste y un edificio, observando sus partes más altas con ángulos de elevación complementarios; siendo el ángulo para el poste igual a "a". Si desde lo alto del edificio se divisa lo alto del poste con un ángulo de depresión "a", calcular: "ctga". Si además se sabe que las alturas de "MAFE", el poste y el edificio están en la relación de 1; 3; 6. a) b) c) d) e)3 12. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º. Nos acercamos una distancia "x" y el ángulo de elevación tiene por tangente 4. Si la altura del edificio es "h"; hallar: "x/h". a) b) c) d) e)1 13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "q"; nos acercamos a la torre una distancia "m" y el ángulo de elevación es ahora "2q"; y si nos acercamos una distancia "n" el ángulo de elevación es "4q". Hallar: "m/n". a)cosq b) 2cosq c) cos2q d) 2cos2q e)2cos4q 14. Desde lo alto de cada piso de un edificio de "n" pisos, se observa un objeto con ciertos ángulos de depresión; tales que la media aritmética de sus tangentes es igual a seis veces la tangente del ángulo de depresión correspondiente al 6to piso. Calcular: "n". a)7 b) 18 c)19 d)36 e)35 15. Un observador en tierra divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "q". De esa ubicación sube un camino inclinado un ángulo "q" respecto a la horizontal alejándose de la torre, hasta alcanzar una altura "h" respecto al suelo; de donde divisa lo alto de la torre con un ángulo de elevación "a". Si la altura de la torre es "5h"; calcular: J = tgq ctga + tga ctgq a)13/7 b)13/6 c)15/4 d)25/12 e)11/5 16. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo "a" y desde otro punto el ángulo de elevación es "b" (a < b). Si desde el punto medio de la distancia que hay entre los dos primeros puntos de observación el ángulo de elevación es "q"; calcular: M = (ctga + ctgb) tgq a)1 b) 2 c) 3 d)4 e)6 17. Desde un punto en tierra ubicada a 200m del inicio de un camino inclinado un ángulo "q" respecto a la horizontal; se ve su parte más alta con un ángulo de elevación "a". Calcular la altura máxima del camino inclinado; si: ctga = 7 y ctgq = 3. a)20 b)30 c)40 d)50 e)80 18. Subiendo por una colina inclinada un ángulo de 37º, respecto a la horizontal, se observa en su parte más alta una torre con un ángulo de elevación de 45º, a una distancia de su base de 20m. ¿Cuál es la altura de la torre?. a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 19. Una niña de estatura "h" observa lo alto de un poste, notando que su visual tiene una pendiente del 20%. Si la altura del poste es "H", calcular "h/H", para que al alejarse la niña un distancia igual a la altura del poste, su visual hacia lo alto del mismo, tenga una pendiente del 8%. a)13/14 b)13/15 c)7/9 d)12/13 e)4/11 20. Se tienen 3 postes de altura 2; 5 y 1; ubicados en un mismo plano vertical en el orden que se dan sus medidas. Desde lo alto del mayor se ve al intermedio y al menor con ángulos de depresión "a" y "90º-a" respectivamente. Si desde lo alto del menor se ve lo alto del intermedio con un ángulo de elevación "b", calcular el mínimo valor de "ctgb". a)3 b)2 c) 3 d)4 e)5 21. Descendiendo por una colina, se divisa un objeto, fuera de ella, con ángulo de depresión "a". A la mitad del descenso el ángulo de depresión para el objeto es "b". Si la inclinación de la colina respecto a la horizontal es "q", calcular: a)1 b) 2 c)-1 d)-2 e)6 22. Un avión viaja en dirección paralela a la horizontal que une dos ciudades A y B. Cuando está entre ellas, las divisa con ángulos de depresión complementarios, siendo uno de ellos "a" y cuando está sobre "B" es visto desde "A" con un ángulo de elevación "b". Si se sabe que "b" es maximo, calcular: a)3 b) 6 c) 7 d)9 e)10 23. Un joven observa los ojos de una señorita con un ángulo de elevación "a". Se acerca una distancia igual al doble de la diferencia de sus estaturas y el ángulo de elevación es el complemento de "a". Calcular: M = ctga + tga a) b) 2 c)3 d) 4 e) 2 24. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es ahora el complemento de "a". Hallar: M = ctga + tga a)1 b) c)1/2 d)4 e) Ángulos en posición normal y reducción al primer cuadrante Objetivo: · Reconocer un sistema de coordenadas rectangulares e identificar las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier medida; asimismo determinar las propiedades de los ángulos coterminales y ángulos cuadrantales I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicia coincide con el semieje positivo de las absisas y su vértice con el origen de coordenadas, mientras que su lado final puede estar en cualquier parte del plano II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Para conocer las R.T. basta conocer un punto de su lado final X : abscisa Y : Ordenada r : radio vacío r2 = x2 + y2 ; r > 0 Sen ( = y/r Cot ( = x/y Cos ( = x/r Sec ( = r/x Tg ( = y/x Csc ( = r/y III. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Signos de las R.T. IIC Todas (+) IC IIIC IVC IV. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE IC : ( IIC : 180° - ( IIIC : ( - 180° IV : 360° - ( Valores que toman las R.T. V. R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES A.C. F.T. 0° y 360° 90° 180° 270° Sen 0 1 0 -1 Cos 1 0 -1 0 Tan 0 ( 0 ( Cot ( 0 ( 0 Sec 1 ( -1 ( Cosec ( 1 ( -1 ( : No existe = no determinado VI. R.T. DE ÁNGULOS NEGATIVOS Sen(-() = - Sen ( Cos(-() = cos ( Tan(-() = -Tan ( Cot(-() = -Cot( Sec(-() = Sec( Cosec(-() = -Cosec( VII. ÁNGULOS COTERMINALES Se llaman así a dos o más ángulos en posición normal, cuyos lados finales coinciden entre si Propiedades Si: ( y ( son las medidas de 2 ángulos coterminales entonces: · ( - ( = 360 (n), n ( Z · R.T (() = R.T (() Ejercicios 1. Dado el gráfico, calcular: M = 25 Sen (. Cos ( a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 2. Siendo: P( ,-2) un punto del lado final del ángulo “(” en posición normal, calcula el valor de S = Cosc ( - Tg ( a) 1/2 b) –1/2 c) 7/2 d) –7/2 e) 5 3. Del gráfico: Calcular: Tg ( + Ctg ( a) 5/2 b) –5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 2 4. Siendo: P(-3, -1) un punto del lado final de “(” en posición normal, evalúa: K= Ctg ( + Csc2( - 3 Tg ( a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 5. Sabiendo que: 2 Sen ( = además, ( ( II cuadrante hallar: Tg ( a) - /3 b) c) –1 d) 1 e) 2 6. Dos ángulos coterminales están en relación de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200° pero menor que 1500°. Hallar dichos ángulos. a) 720 y 576 b) 2016 y 216 c) 1080 y 576 d) 2016 y 576 e) 720 y 576 7. Si: Sen ( > 0 (Cos ( > 0 ¿En qué cuadrante está (? a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal 8. Calcular el signo de: E= a) + b) - c) + ó – d) + y - e) No tiene signo 9. Calcular el signo: E= Si: ( ( III c ( ( ( IV C a) + b) - c) + ó – d) + e) Absurdo 10. Sabiendo que: M= N= Sus respectivos signos son: a) +; - b) +; + c) - ; + d) - ; - e) N.A 11. Hallar el valor numérico M= a) 3/7 b) 4/7 c) 5/7 d) 6/7 e) 1/7 12. Calcular: M= a) 2/5 b) 5/2 c) –2/5 d) –5/2 e) 5 13. Calcular el valor de: E= a) 1 b) 1/4 c) 2 d) –1 e) 3 14. Simplificar: R= a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3 15. Cuantos ángulos cuadrantes hay en el intervalo de 1020° a 2150° a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 16. Calcular: CTg ( + 7 Ctg ( a) 2 b) 3/2 c) 4 d) 7/4 e) 4/7 17. Del gráfico mostrado calcular, E = 5Tg( + Cos( Si, ABCD es un paralelogramo a) –9 b) 9 c) 10 d) –10 e) 0 18. Dada la figura mostrada Calcule: E= a) 1 b) –2 c) d) - e) 2 19. Se tienen 2 ángulos coterminales cuyo cociente es igual a 1/7 y que la suma de estos no es mayor de 500° ni menor de 400°. Hallar la suma de la tangentes de dichos ángulos. a) b) c) 2 d) e) 2 20. Si: Tg ( = 2 y |Sen|= - Sen( Evaluar: (=|Cos (|+2|Sen(| a) 2 /5 b) 2 c) d) /3 e) 2 21. Si se sabe que Sen ( = además: Tg ( < 0 y Cos ( > 0 . Hallar: E= (Sec(+Tg() a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –2 22. Del gráfico calcula: K= (Sen(-Cos() a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) -6 23. Sabiendo que: (Sen ()Sen( = indicar un valor de: Tg( si y sólo si: