ANF311-LD2008

Elementy Analizy Funkcjonalnej Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/∼ drewlech/Dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/∼drewlech/ANF311-LD2008.pdf http://main2.amu.edu.pl/∼drewlech/ANF311-LD2008.dvi Spis treści Stale używane oznaczenia 1 Stale używane skróty 1 Literatura 1 2 0. WYBRANE WIADOMOŚCI Z ALGEBRY LINIOWEJ 2 0.1. Przestrzenie liniowe 2 0.2. Podprzestrzenie liniowe 2 0.3. Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej 3 0.4. Przykłady przestrzeni liniowych 4 0.4-Z Zadania 7 0.5. Operatory liniowe 8 0.6. Pewne specjalne klasy zbiorów w przestrzeniach liniowych 10 0.6-Z Zadania 11 0.7. Nierówności Ho¨ldera i Minkowskiego 12 0.7-Z Zadania 15 16 1. PRZESTRZENIE UNORMOWANE I PRZESTRZENIE BANACHA 16 1.1. Normy i seminormy 16 1.1-Z Zadania 17 1.2. Pojęcie przestrzeni unormowanej i przestrzeni Banacha 17 1.2-Z Zadania 19 1.3. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych 19 1.4. Przykłady przestrzeni unormowanych 20 1.5. Przykłady przestrzeni Banacha (1) 23 1.5-Z Zadania 26 1.6. Ciągłość działań w przestrzeniach unormowanych 27 1.6-Z Zadania 27 1.7. Ciągłość operatorów liniowych 28 1.7-Z Zadania 29 1.8. Norma operatora liniowego 30 1.8-Z Zadania 30 1.9. Szeregi w przestrzeniach unormowanych 31 1.9-Z Zadania 32 1.10. Bazy Schaudera. Zbiory liniowo gęste 32 1.10-Z Zadania 34 1.11. Zastosowanie: Twierdzenie Silvermana-Toeplitza 35 1.11-Z Zadania 36 1.12. Izometrie i izomorfizmy przestrzeni unormowanych 36 1.12-Z Zadania 37 1.13. Porównywanie norm. Normy równoważne 38 1.13-Z Zadania 39 1.14. Dwa użyteczne kryteria zupełności 41 iii iv SPIS TREŚCI 1.14-Z Zadania 42 1.15. Przykłady przestrzeni Banacha (2) 42 1.15-Z Zadania 45 1.16. Przestrzenie unormowane skończonego wymiaru 46 1.16-Z Zadania 49 1.17. Produkty przestrzeni unormowanych i ciągłe operatory wieloliniowe 49 1.17-Z Zadania 51 1.18. Przestrzenie ilorazowe 52 1.18-Z Zadania 54 55 2. PRZESTRZENIE CIĄGŁYCH OPERATORÓW LINIOWYCH I PRZESTRZENIE DUALNE 55 2.1. Przestrzenie unormowane L(X,Y ) i X∗ 55 2.1-Z Zadania 56 2.2. Przykłady na wyliczanie normy operatora liniowego 56 2.2-Z Zadania 62 2.3. Zupełność przestrzeni L(X,Y ) 65 2.3-Z Zadania 66 2.4. Algebra endomorfizmów L(X) 66 2.4-Z Zadania 67 2.5. Twierdzenie o automorfizmie 67 2.5-Z Zadania 68 2.6. Zastosowanie do równań całkowych 68 2.7. Przestrzenie dualne do pewnych przestrzeni Banacha 70 2.7-Z Zadania 76 77 3. KLASYCZNE ZASADY ANALIZY FUNKCJONALNEJ 77 3.1. Zbieżność punktowa ciągów ciągłych operatorów liniowych 77 3.1-Z Zadania 79 3.2. Twierdzenie Baire’a 79 3.2-Z Zadania 81 3.3. Istnienie funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie 81 3.4. Twierdzenie Banacha-Steinhausa (Zasada jednakowej ograniczoności) 82 3.4-Z Zadania 83 3.5. Zastosowanie: Dowód Twierdzenia Silvermana-Toeplitza 84 3.6. Zastosowanie: Istnienie całki Riemanna-Stieltjesa 85 3.7. Zastosowanie: Istnienie rozbieżnych szeregów Fouriera 86 3.8. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym 87 3.8-Z Zadania 89 3.9. Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym 89 3.9-Z Zadania 91 3.10. Ogólne Twierdzenie Hahna-Banacha 91 3.11. Twierdzenie Hahna-Banacha dla przestrzeni unormowanych 94 3.11-Z Zadania 95 3.12. Kanoniczna forma dwuliniowa. Anihilatory zbiorów 96 3.13. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Polary i bipolary 97 3.14. Operatory dualne 99 3.14-Z Zadania 101 3.15. Kanoniczne zanurzenie pln w jej bidualną 102 3.16. Refleksywne przestrzenie Banacha 103 105 SPIS TREŚCI v 4. PRZESTRZENIE HILBERTA 105 4.1. Iloczyn skalarny 105 4.2. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 105 4.3. Nierówność Schwarza 105 4.4. Przykłady przestrzeni Hilberta 106 4.5. Tożsamość równoległoboku 107 4.6. Ciągłość funkcjonałów y∗(·) = 〈·, y〉 i ciągłość iloczynu skalarnego 107 4.7. Ortogonalność 108 4.8. Metryczna charakteryzacja ortogonalności 108 4.9. Układy ortogonalne 109 4.10. Aproksymacja elementami zbioru wypukłego 109 4.11. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym 110 4.12. Reprezentacja ciągłych funkcjonałów liniowych 111 4.13. Twierdzenie Hahna-Banacha 111 4.14. Szeregi ortogonalne 112 4.15. Układy ortonormalne 112 4.16. Ortogonalizacja Grama-Schmidta 113 4.17. Bazy przestrzeni Hilberta 114 115 5. OPERATORY ZWARTE 115 5.1. Pojęcie operatora zwartego 115 5.2. Charakteryzacje zbiorów zwartych w pewnych przestrzeniach Banacha 115 5.2-Z Zadania 117 5.3. Przestrzeń operatorów zwartych 117 5.4. Złożenia z operatorem zwartym 118 5.5. Twierdzenie Schaudera 118 5.6. Operatory ograniczenie domknięte 119 5.7. Operatory ograniczenie domknięte II 120 5.8. Zwarte perturbacje zanurzeń izomorficznych 122 5.9. Zwarte perturbacje operatora identycznościowego 122 124 WSKAZÓWKI DO NIEKTÓRYCH ZADAŃ 124 0.4-WZ 124 0.6-WZ 124 0.7-WZ 125 1.1-WZ 125 1.2-WZ 125 1.5-WZ 125 1.6-WZ 126 1.7-WZ 126 Elementy Analizy Funkcjonalnej 1 Stale używane oznaczenia. N = {1, 2, 3, . . . } zbiór liczb naturalnych (liczb całkowitych dodatnich) Z zbiór liczb całkowitych Z+ = N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . . } zbiór nieujemnych liczb całkowitych Q zbiór (rzeczywistych) liczb wymiernych R zbiór (lub ciało) liczb rzeczywistych R+ = {α ∈ R : α > 0} = [0,∞) zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych C zbiór (lub ciało) liczb zespolonych K oznacza R albo C B = {α ∈ K : |α| 6 1} D = {z ∈ C : |z| < 1} dysk jednostkowy w płaszczyźnie zespolonej C T = {z ∈ C : |z| = 1} brzeg dysku D (okrąg jednostkowy) Dla α ∈ C: σ(α) :=  |α| α gdy α 6= 0, 0 gdy α = 0. Wtedy |σ(α)| = 1 o ile α 6= 0, oraz zawsze σ(α) · α = |α|. Jeżeli X = (X, d) jest przestrzenią metryczną (lub semimetryczną), to używamy następujących oznaczeń dla kul otwartych i domkniętych w X: K(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}, B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) 6 r}. Niekiedy dla jasności stosujemy dokładniejsze oznaczenia w rodzaju KX(x0, r) czy Kd(x0, r). Stale używane skróty. pl = przestrzeń liniowa ppl = podprzestrzeń liniowa pln = przestrzeń liniowa unormowana pt = przestrzeń topologiczna (Hausdorffa) Uwaga. Skróty te należy odczytywać w formie gramatycznej odpowiedniej do kontekstu. Literatura. [A] = A. Alexiewicz, Analiza Funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969. [M] = J. Musielak, Wstęp do Analizy Funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989. (Podstawowa) [R] = W. Rudin, Analiza Rzeczywista i Zespolona, PWN, Warszawa 1986. [S] = L. Schwartz, Kurs Analizy Matematycznej, t. I, PWN, Warszawa 1979. [DS] = N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators. I, Interscience, New York 1958. [PS] = S. Prus i A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007. 2 Lech Drewnowski 0. WYBRANE WIADOMOŚCI Z ALGEBRY LINIOWEJ 0.1. Przestrzenie liniowe. Pojęcie przestrzeni liniowej (pl) (lub: przestrzeni wektorowej ) nad ciałem K (= R lub C) traktujemy jako znane. Pl nazywamy rzeczywistą lub zespoloną odpowiednio do tego czy jej ciało skalarów K jest równe R czy C. Każdą zespoloną pl X można oczywiście traktować też jako rzeczywistą pl; będziemy ją wtedy oznaczać XR. Elementy pl nazywamy zwykle punktami lub wektorami . Niech dalej X oznacza dowolną pl nad ciałem K. Elementy postaci n∑ j=1 αjxj , gdzie α1, . . . , αn ∈ K, nazywamy kombinacjami liniowymi elementów x1, . . . , xn ∈ X. Działania algebraiczne w X indukują analogiczne działania na zbiorach A, B, . . . ⊂ X i Λ ⊂ K. Przyjmuje się mianowicie następujące podstawowe określenia: A+B := {x+ y : x ∈ A, y ∈ B} i ΛA := {λx : λ ∈ Λ, x ∈ A}, oraz kilka naturalnych konwencji dotyczących skracania zapisów, np.: a+B := {a}+B; λA := {λ}A; −A := {−x : x ∈ A} = (−1)A; A−B := A+ (−B). Dodawanie zbiorów jest oczywiście przemienne i łączne, zachodzi też prawo łączności dla mnożenia przez zbiory liczb, w szczególności – dla mnożenia przez liczby: λ(µA) = (λµ)A. Ale, ogólnie biorąc, należy zachować dużą ostrożność przy wykonywaniu takich „rachunków” na zbiorach. Tak więc, chociaż zawsze (λ+ µ)A ⊂ λA+ µA, inkluzja ta z reguły jest właściwa; w szczególności, na ogół 2A 6= A + A. Podobnie, z równości C = A + B na ogół nie da się „wyliczyć” A; wynika z niej tylko, że A ⊂ C − B i to o ile B 6= ∅. (Można się o tym przekonać na prostych przykładach, np. biorąc A = B = {−1, 1} ⊂ R.) 0.2. Podprzestrzenie liniowe. Niech X będzie dowolną pl nad ciałem K. Jeżeli ∅ 6= L ⊂ X i L+ L ⊂ L oraz K · L ⊂ L, czyli ∀x, y ∈ L, α ∈ K : x+ y ∈ L i αx ∈ L, krócej: ∀x, y ∈ L, α, β ∈ K : αx+ βy ∈ L, to zbiór L rozpatrywany z działaniami indukowanymi z X jest pl nad K; nazywa się ją podprze- strzenią liniową (ppl) przestrzeni X. Fakt 0.2.1. Przekrój dowolnej rodziny ppl w X jest ppl. Dla A ⊂ X przez linA (lub niekiedy [A]) oznaczamy powłokę liniową zbioru A (inaczej: ppl rozpiętą na A), tj. najmniejszą ppl w X zawierającą A. Jest ona równa przekrojowi wszystkich ppl w X zawierających A i może też być opisana jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru A. Fakt 0.2.2. Jeżeli rodzina L ppl przestrzeni X jest skierowana w górę (przez relację inkluzji), tj. dla dowolnych L1, L2 ∈ L istnieje L3 ∈ L takie, że L1, L2 ⊂ L3, to ⋃L jest też ppl. Dla dowolnego niepustego zbioru S przez F(S,X) lub XS Elementy Analizy Funkcjonalnej 3 oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f : S → X. Działania w X indukują odpowiednie działania w F(S,X), przekształcające ten zbiór w pl nad tym samym ciałem K, co X: Dla f, g ∈ F(S,X) i α ∈ K suma f + g i iloczyn αf to funkcje z F(S,X) takie, że ∀ s ∈ S : (f + g)(s) = f(s) + g(s) i (αf)(s) = αf(s). Oczywiście, elementem zerowym pl F(S,X) jest funkcja 0 (tj., 0(s) = 0 ∈ X, ∀ s ∈ S), a elementem przeciwnym do f ∈ F(S,X) jest funkcja −f = (−1)f (zatem (−f)(s) = −f(s), ∀ s ∈ S). Gdy o niepustym zbiorze L składającym się z pewnych funkcji f : S → X mówimy, że jest pl (domyślnie: przy „zwykłych” działaniach na funkcjach), to oznacza to po prostu, że L jest ppl przestrzeni F(S,X), czyli że ∀ f, g ∈ L, α ∈ K : f + g, αf ∈ L. 0.3. Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Niech X będzie dowolną pl nad ciałem K. Zbiór (lub ciąg) skończony {x1, . . . , xn} ⊂ X nazywa się liniowo niezależny , jeżeli n∑ j=1 αjxj = 0, gdzie α1, . . . , αn ∈ K, zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie αj = 0. Dowolny zbiór A ⊂ X nazywa się liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podzbiór skończony jest liniowo niezależny. Zbiór liniowo zależny to zbiór, który nie jest liniowo niezależny. Fakt 0.3.1. Jeżeli B ⊂ X, to następujące warunki są równoważne: (a) B jest liniowo niezależny i linB = X. (b) B jest maksymalnym (względem relacji ⊂) zbiorem liniowo niezależnym w X. (c) B jest minimalnym (względem ⊂) zbiorem w X takim, że linB = X. Zbiór B mający te własności nazywa się bazą algebraiczną (lub Hamela) przestrzeni X. Fakt 0.3.2. Niech B = {bs : s ∈ S} będzie bazą pl X nad ciałem K. Wówczas dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jedna rodzina liczb (ξs)s∈S w K taka, że zbiór {s ∈ S : ξs 6= 0} jest skończony i x = ∑ s∈B ξs · bs. Otrzymane w ten sposób odwzorowanie x→ (ξs)s∈S jest izomorfizmem między przestrzeniami X i K(S) := { (ξs)s∈S ∈ KS : |{s ∈ S : ξs 6= 0}| 4 Lech Drewnowski 0.4. Przykłady przestrzeni liniowych. Wymienione poniżej pl funkcji (ciągów) liczbowych dość często występują w dalszym ciągu, dlatego dla wygody zebrane są tu w jednym miejscu ich określenia i oznaczenia. Każda z tych prze- strzeni ma dwie wersje: jest pl rzeczywistą — gdy składa się z funkcji (ciągów) rzeczywistych, lub pl zespoloną — gdy tworzą ją funkcje (ciągi) zespolone. Aby wskazać, z którym z tych przypad- ków mamy do czynienia, używa się albo dokładnego oznaczenia w rodzaju C(S,R), albo określenia słownego jak np. „rzeczywista przestrzeń C(S)”, „przestrzeń C(S) rzeczywistych funkcji ciągłych na S”. Ale uwaga – nie ma tu automatyzmu: Zbiór funkcji lub ciągów zespolonych może być rzeczywistą pl i nie być zespoloną pl, tj. taki zbiór może być zamknięty na dodawanie i mnożenie przez liczby rzeczywiste, ale mnożenie przez liczby zespolone (a w istocie już przez i) może wyprowadzać poza ten zbiór – zob. Prz. 0.4.8. Przykład 0.4.1. Przestrzeń wszystkich funkcji. Dla dowolnego niepustego zbioru S: KS ≡ F(S,K) ≡ F(S) to pl wszystkich funkcji f : S → K ze zwykłymi działaniami (zob. § 0.2): Jeżeli f, g : S → K i α ∈ K, to f + g, αf : S → K są funkcjami takimi, że ∀ s ∈ S : (f + g)(s) = f(s) + g(s), (αf)(s) = αf(s). Uwaga. Sprawdzenie, że zbiór X 6= ∅, składający się z funkcji z S do K, jest pl względem powyżej określonych działań, oznacza tyle samo co wykazanie, że X jest ppl w F(S), a więc, że jeśli f, g ∈ X, α ∈ K, to f + g, αf ∈ X. Przykład 0.4.2. Przestrzeń funkcji ograniczonych. Dla dowolnego niepustego zbioru S: B(S,K) ≡ B(S) lub l∞(S,K) ≡ l∞(S) to pl wszystkich ograniczonych funkcji f : S → K, tj. mających ograniczony zbiór wartości f(S). To oznacza istnienie stałej M > 0 (zależnej od f) takiej, że |f(s)| 6M dla każdego s ∈ S, czyli że sup s∈S |f(s)| Elementy Analizy Funkcjonalnej 5 Sprawdzenie, że lp jest pl jest proste; w szczególności zamkniętość lp na dodawanie wynika łatwo z elementarnej nierówności: |ξ + η|p 6 2p(|ξ|p + |η|p), ∀ ξ, η ∈ K. Uzasadnia się ją w następujący sposób: |ξ + η|p 6 (|ξ|+ |η|)p 6 (2max{|ξ|, |η|})p = 2pmax{|ξ|p, |η|p} 6 2p(|ξ|p + |η|p). Fakt. Jeśli 0 < p < r 1} jest skończony i |ξj |r 6 |ξj |p dla j /∈ A. Stąd wynika, że ∞∑ j=1 |ξj |r = ∑ j∈A |ξj |r + ∑ j /∈A |ξj |r 6 ∑ j∈A |ξj |r + ∑ j /∈A |ξj |p 6 ∑ j∈A |ξj |r + ∞∑ j=1 |ξj |p 0 dla s ∈ S, rozumie się następująco: ∑ s∈S αs := sup {∑ s∈A αs : A jest skończonym podzbiorem zbioru S } . Przykład 0.4.4. Przestrzenie funkcji ciągłych. Niech S będzie przestrzenią topologiczną. Wymieńmy tu następujące pl składające się z funkcji liczbowych ciągłych na S. (a) Przestrzeń C(S,K) ≡ C(S) wszystkich funkcji ciągłych f : S → K. Zauważmy, że gdy S jest pt dyskretną, to C(S) = F(S) (bo wtedy każda funkcja liczbowa określona na S jest ciągła). (b) Przestrzeń C(S,K) ≡ C(S) wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych f : S → K. Oczywiście, C(S) = C(S) ∩ B(S). Odnotujmy też, że C(S) = C(S), gdy S jest przestrzenią zwartą (bo wtedy każda ciągła funkcja liczbowa określona na S jest ograniczona). (c) Przestrzeń C0(S) wszystkich funkcji ciągłych f : S → K znikających w nieskończoności , tj. o tej własności, że dla każdego ε > 0 można znaleźć zbiór zwarty K ⊂ S taki, że |f(s)| < ε dla s ∈ S \ K. Łatwo widzieć, że C0(S) ⊂ C(S). Przestrzeń C0(S) rozważa się najczęściej dla lokalnie zwartych 6 Lech Drewnowski przestrzeni Hausdorffa S. Zauważmy, że gdy S jest przestrzenią dyskretną, to C0(S) = c0(S) (przestrzeń wspomniana w Prz. 0.4.3 (g)). (d) Przestrzeń Cc(S) wszystkich funkcji ciągłych f : S → K o zwartym nośniku , tj. znikających (czyli mających wartość zero) poza pewnym podzbiorem zwartym w S. (e) W przypadku gdy S = (S, d) jest przestrzenią metryczną rozważa się też podprzestrzenie Cu(S) ⊂ C(S) i Cu(S) ⊂ C(S) składające się z funkcji jednostajnie ciągłych. Przykład 0.4.5. Przestrzenie funkcji mierzalnych. Niech (S,Σ, µ) będzie przestrzenią miarową, tzn. Σ jest σ-algebrą w zbiorze S, a µ jest miarą (dodatnią i przeliczalnie addytyw- ną) określoną na Σ. Podstawowe przykłady pl, składających się z mierzalnych funkcji liczbowych określonych na S, to: (a) Przestrzeń L0(S,Σ;K) ≡ L0(µ) wszystkich funkcji (Σ-) mierzalnych f : S → K. (b) Dla 0 < p Elementy Analizy Funkcjonalnej 7 Wobec tego ∫ S |f |p dµ = ∫ A |f |p dµ+ ∫ S\A |f |p dµ 6 ∫ A |f |r dµ+ ∫ S\A |f |p dµ 6 ∫ S |f |r dµ+ µ(S \A) 8 Lech Drewnowski Zad. 0.4.7. Wykaż, że ⋃ 0 Elementy Analizy Funkcjonalnej 9 czyli gdy zachowuje kombinacje liniowe: T (α1x1 + α2x2) = α1T (x1) + α2T (x2), ∀x1, x2 ∈ X, α1, α2 ∈ K. Stąd (przez indukcję) wynika, że T musi też zachowywać kombinacje liniowe o dowolnej liczbie składników: T ( n∑ j=1 αjxj ) = n∑ j=1 αjT (xj), ∀x1, . . . , xn ∈ X, α1, . . . , αn ∈ K (n ∈ N). Jeżeli K = C (lub gdy jedna z przestrzeni X, Y jest rzeczywista a druga zespolona) i operator T jest addytywny, ale równość T (αx) = αT (x) spełniona jest tylko dla α ∈ R, to mówimy niekiedy, że operator T jest R-liniowy ; to oznacza po prostu, że operator T : XR → YR jest liniowy. Operatory liniowe z pl X w jej ciało skalarów K nazywamy funkcjonałami liniowymi . Uwaga. Gdy T jest operatorem liniowym, to często zamiast np. T (x) pisze się krócej Tx. Przez L(X,Y ) oznaczamy pl (nad K) wszystkich operatorów liniowych z X do Y (ze zwykłymi działaniami, tzn. L(X,Y ) jest ppl w pl F(X,Y )); przyjmujemy ponadto L(X) := L(X,X). Pl X# wszystkich funkcjonałów liniowych na X, tj. X# := L(X,K), nazywamy algebraicznie dualną lub sprzężoną do (z) X. Fakt 0.5.1. Niech T ∈ L(X,Y ). Wówczas: (a) Jeżeli L jest ppl w X, to T (L) jest ppl w Y . (b) Jeżeli M jest ppl w Y , to T−1(M) jest ppl w X. W szczególności obraz R(T ) := T (X) operatora T jest ppl w Y , a jego jądro N(T ) ≡ kerT := T−1({0}) jest ppl w X. (c) Operator T jest iniektywny (czyli różnowartościowy) ⇐⇒ N(T ) = {0}. Operator T ∈ L(X,Y ) nazywamy izomorfizmem liniowym (lub algebraicznym) X na Y , jeżeli jest iniektywny i na: N(T ) = {0} i R(T ) = Y . (Wtedy operator odwrotny T−1 jest izo- morfizmem Y na X.) Jeżeli operator T jest tylko iniektywny, to mówimy, że jest izomorfizmem liniowym lub algebraicznym zanurzeniem izomorficznym X w Y . (Wtedy T jest izomorfi- zmem X na ppl T (X) w Y .) Jeżeli T ∈ L(X,Y ), a L ⊂ X iM ⊂ Y są ppl, to mówimy, że operator T działa z L w M , gdy T (L) ⊂M ; wtedy T |L jest oczywiście operatorem liniowym z L w M ; piszemy zwykle T : L→M zamiast T |L : L→M . Operator P ∈ L(X) nazywamy projekcją (lub rzutowaniem) przestrzeni X na jej ppl L, gdy P (X) ⊂ L i P |L = idL (tj. Px = x dla x ∈ L). Fakt 0.5.2. Jeżeli P ∈ L(X), to: (a) P jest projekcją w przestrzeni X (na jakąś jej ppl) ⇐⇒ P 2 = P ; (b) P jest projekcją przestrzeni X na jej ppl L ⇐⇒ P 2 = P i L = P (X). Fakt 0.5.3. Jeżeli P ∈ L(X) jest projekcją, to również I − P (gdzie I = idX) jest projekcją i X = L⊕M, gdzie L = R(P ) = N(I − P ), M = N(P ) = R(I − P ). 10 Lech Drewnowski 0.6. Pewne specjalne klasy zbiorów w przestrzeniach liniowych. Niech X będzie dowolną pl (nad ciałem K). • Prostą (rzeczywistą) przechodzącą przez punkty x, y ∈ X, x 6= y, nazywamy zbiór {(1− α)x+ αy : α ∈ R}. jest to obraz prostej R w odwzorowaniu (różnowartościowym) f : R→ X danym wzorem f(α) = (1− α)x+ αy. Zauważmy, że f(0) = x, f(1) = y. • Promieniem przechodzącym przez punkt x ∈ X, x 6= 0, nazywamy zbiór R+ · x = {λx : λ ∈ R+}. • Odcinkiem (domkniętym) łączącym punkty x, y ∈ X nazywamy zbiór [x, y] := {(1− α)x+ αy : 0 6 α 6 1}. Jest to obraz odcinka [0, 1] w odwzorowaniu f określonym powyżej. Podobnie definiuje się odcinki [x, y), (x, y] i (x, y). Zbiór A ⊂ X nazywamy: • wypukłym , jeżeli ∀x, y ∈ A : [x, y] ⊂ A, czyli gdy ∀α ∈ [0, 1] : (1− α)A+ αA ⊂ A; • symetrycznym , jeżeli −A = A; • zbalansowanym , jeżeli B ·A ⊂ A; • absolutnie wypukłym , jeżeli jest wypukły i zbalansowany; • stożkiem (wypukłym), jeżeli jest wypukły i R+ ·A ⊂ A. Fakt 0.6.1. Niech A będzie podzbiorem pl X. (a) A jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy αA+ βA ⊂ (α+ β)A dla dowolnych α, β ∈ R+. (b) A jest absolutnie wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy αA+ βA ⊂ A dla dowolnych α, β ∈ K takich, że |α|+ |β| 6 1. (c) A jest stożkiem wtedy i tylko wtedy, gdy αA+ βA ⊂ A dla dowolnych α, β ∈ R+. Ponadto: (d) Jeżeli zbiór A jest absolutnie wypukły, to dla dowolnych α, β ∈ K αA = |α|A, αA ⊂ βA gdy |α| 6 |β|, αA+ βA = (|α|+ |β|)A. Dowód. Z warunków podanych w (a)–(c) wynika łatwo, że zbiór A jest wymaganego typu. Przy uzasadnianiu odwrotnych implikacji możemy zakładać, że α, β 6= 0 i wykorzystać równości αx+ βy = (α+ β) ( α α+ β x+ β α+ β y ) w (a) i (c) oraz αx+ βy = (|α|+ |β|) ( |α| |α|+ |β| · α |α| x+ |β| |α|+ |β| · β |β| y ) w (b). Drugą z tych równości wykorzystujemy też uzasadniając ostatnią część (d). � Fakt 0.6.2. (a) Zbiór wypukły A zawiera wszystkie kombinacje wypukłe swoich elementów, tzn. kombinacje liniowe ∑n j=1 αjxj takie, że xj ∈ A, αj ∈ R+ i ∑n j=1 αj = 1. (b) Zbiór absolutnie wypukły A zawiera wszystkie absolutnie wypukłe kombinacje swoich elementów, tzn. kombinacje liniowe ∑n j=1 αjxj takie, że xj ∈ A, αj ∈ K i ∑n j=1 |αj | 6 1. Dowód. Indukcja względem liczby składników n (zaczynając od n = 2). � Fakt 0.6.3. Przekrój dowolnej rodziny zbiorów wypukłych [zbalansowanych; absolutnie wypu- kłych; stożków] jest zbiorem tego samego typu. Elementy Analizy Funkcjonalnej 11 Fakt 0.6.4. Jeżeli rodzina C zbiorów wypukłych [absolutnie wypukłych; stożków] w pl X jest skierowana w górę przez relację inkluzji (tj. dla dowolnych C1, C2 ∈ C istnieje C3 ∈ C takie, że C1 ∪ C2 ⊂ C3), to także ich suma mnogościowa jest takim zbiorem. Powłoką wypukłą zbioru A ⊂ X, oznaczaną co(A) lub conv(A), nazywamy najmniejszy zbiór wypukły w X zawierający A. Zatem co(A) jest przekrojem wszystkich zbiorów wypukłych w X zawierających A. Podobnie definiuje się powłokę absolutnie wypukłą , oznaczaną aco(A) lub absconv(A), oraz powłokę zbalansowaną , oznaczaną b(A), zbioru A. Fakt 0.6.5. Dla dowolnego zbioru A w pl X: (a) co(A) = zbiór wszystkich kombinacji wypukłych elementów zbioru A; (b) b(A) = B ·A; (c) aco(A) = zbiór wszystkich kombinacji absolutnie wypukłych elementów zbioru A = co(b(A)). Dowód. (a): Niech B oznacza zbiór po prawej stronie dowodzonej równości. Jest on wypukły: Istotnie, niech x, y ∈ B, α, β > 0 i α+ β = 1. Wtedy x = m∑ i=1 αixi, y = n∑ j=1 βjyj (kombinacje wypukłe elementów zbioru A) oraz αx+ βy = m∑ i=1 (ααi)xi + n∑ j=1 (ββj)yj , przy czym ααi, ββj > 0 i m∑ i=1 (ααi) + n∑ j=1 (ββj) = α · 1 + β · 1 = 1. Zatem αx+ βy ∈ B. Z drugiej strony, jeśli C jest zbiorem wypukłym i C ⊃ A, to także C ⊃ B. Zatem B jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym A, czyli B = co(A). (b) i (c): Rozumowanie analogiczne. � Fakt 0.6.6. Jeżeli T ∈ L(X,Y ), to obrazy [przeciwobrazy] przez T zbiorów wypukłych, zbalan- sowanych, absolutnie wypukłych, stożków w X [w Y ] są, odpowiednio, zbiorami tego samego typu w Y [w X]. 0.6-Z Zadania. Wskazówki — s. 124 Zad. 0.6.1. Uzasadnij, że w pl C([a, b],R) zbiór (a) A := {f : −1 6 f 6 2} jest wypukły, ale nie jest absolutnie wypukły; (b) B := {f : |f | 6 2} jest absolutnie wypukły, ale nie jest stożkiem; (c) C := {f : f jest niemalejąca} [także: C := {f : f jest wypukła}] jest stożkiem, ale nie jest ppl. (d) D := C − C jest ppl. Podaj też własne przykłady podobnego typu w tej samej pl, jak też w innych poznanych pl funkcji i ciągów. Ponadto, uogólnij część (d) na stożki w dowolnych pl. Zad. 0.6.2. Niech I będzie dowolnym przedziałem w R. Sprawdź, że: (a) Funkcja f : I → R jest wypukła ⇐⇒ jej nadwykres {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, y > f(x)} jest zbiorem wypukłym w R2. (b) Jeżeli funkcja f : I → R jest wypukła, a funkcja g : I → R jest wklęsła i f 6 g na I, to zbiór {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, f(x) 6 y 6 g(x)} jest wypukły w R2. 12 Lech Drewnowski Zad. 0.6.3. Pokaż, że jeśli zbiór A jest wypukły, to αA+ βA = (α+ β)A dla dowolnych α, β ∈ R+. Zad. 0.6.4. Pokaż, że jeżeli podzbiory A1, . . . , An pl X nad ciałem K są wypukłe, to dla dowolnych skalarów λ1, . . . , λn ∈ K także zbiór λ1A1 + · · ·+ λnAn jest wypukły. Zad. 0.6.5. Uzasadnij, że dla zbiorów skończonych A = {x1, . . . , xn} w dowolnej pl X: co (A) jest zbiorem wszystkich kombinacji wypukłych ∑n j=1 αjxj (n = liczba elementów zbioru A). Zad. 0.6.6. Niech K = {x = (ξj) ∈ Rn : |ξj | 6 1, ∀ j} i E = {x = (ξj) ∈ Rn : ξj = ±1, ∀ j}. Pokaż, że K = coE. Zad. 0.6.7. Niech A będzie podzbiorem pl X. Określmy indukcyjnie ciąg zbiorów (Ak)∞k=0: A0 = A, Ak+1 = {(1− α)x+ αy : x, y ∈ Ak, 0 6 α 6 1} dla k > 0. Wykaż, że co (A) = ⋃∞ k=0Ak. Zad. 0.6.8. Pokaż, że jeżeli A,B ⊂ są zbiorami wypukłymi w dowolnej pl X, to co(A ∪B) = {(1− t)x+ ty : x ∈ A, y ∈ B, 0 6 t 6 1}. Uogólnij to na n > 2 zbiorów. Zad. 0.6.9. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A,B w pl X i skalarów λ, µ ∈ K zachodzi równość co(λA+ µB) = λ co(A) + µ co(B). Uogólnij to na n > 2 zbiorów. 0.7. Nierówności Ho¨ldera i Minkowskiego. Dla 1 6 p 6∞ przez wykładnik sprzężony do (z) p rozumiemy liczbę 1 6 p∗ 6∞ taką, że 1 p + 1 p∗ = 1, przy czym 1/∞ =: 0. Zatem 1∗ =∞, ∞∗ = 1 oraz p∗ = p p− 1 gdy 1 < p 1 spełniają warunek p−1 + q−1 = 1, to (∗) ab 6 1 p · ap + 1 q · bq, ∀ a , b > 0. Dowód. Wykorzystując wypukłość funkcji exp(t) = et i zakładając, że a, b > 0 (co możemy), mamy ab = exp ( 1 p · ln ap + 1 q · ln bq ) 6 1 p · exp(ln ap) + 1 q · exp(ln bq) = 1 p · ap + 1 q · bq. � Przypomnijmy, że przestrzenie ω = KN, lp oraz Lp(µ) ≡ Lp(S,Σ, µ;K) (1 6 p 6 ∞), gdzie (S,Σ, µ) jest dowolną przestrzenią miarową, zostały wprowadzone w Prz. 0.4.3 i 0.4.5. Dla dowol- nego ciągu liczbowego (skończonego lub nie) x = (ξj) oraz dowolnej funkcji mierzalnej f : S → K przyjmujemy ‖x‖p := (∑ j |ξj |p )1/p i ‖f‖p := (∫ S |f |p dµ )1/p gdy 1 6 p 0 : |f(s)| 6M dla µ-p.w. s ∈ S} gdy p =∞. Jest oczywiste, że określone w ten sposób funkcjonały ‖·‖p są bezwzględnie jednorodne , tj. ‖αx‖p = |α| ‖x‖p i ‖αf‖p = |α| ‖f‖p dla dowolnego α ∈ K, Elementy Analizy Funkcjonalnej 13 przy czym do prawych stron stosuje się tu konwencję 0 · ∞ =: 0. W § 1.4 zobaczymy, że powyższe wzory definiują standardowe normy w przestrzeniach lnp , lp i Lp(µ) dla 1 6 p 6∞. Jeżeli x = (ξj) i y = (ηj) są ciągami liczbowymi (oba o n wyrazach lub oba nieskończone), to xy oznacza ich zwykły iloczyn „po współrzędnych”: xy := (ξjηj). Ogólnie, dla funkcji liczbowych f i g, określonych na tym samym zbiorze S, zapis fg oznacza ich zwykły iloczyn. Nierówności w częściach (a), (b) i (c) poniższego twierdzenia nazywane są nierównościami Ho¨ldera dla sum, szeregów i całek, odpowiednio. Do ich prawych stron stosuje się konwencję: ∞ · 0 = 0 · ∞ =: 0. Twierdzenie 0.7.2 (Nierówności Ho¨ldera). Niech 1 < p < ∞ i niech q (= p/(p − 1)) będzie wykładnikiem sprzężonym z p. Wówczas: (a) Dla dowolnych x = (ξj), y = (ηj) ∈ Kn zachodzi nierówność: n∑ j=1 |ξjηj | 6 ( n∑ j=1 |ξj |p )1/p( n∑ j=1 |ηj |q )1/q czyli ‖xy‖1 6 ‖x‖p‖y‖q. (b) Dla dowolnych x = (ξj), y = (ηj) ∈ KN zachodzi nierówność: ∞∑ j=1 |ξjηj | 6 ( ∞∑ j=1 |ξj |p )1/p( ∞∑ j=1 |ηj |q )1/q czyli ‖xy‖1 6 ‖x‖p‖y‖q. W konsekwencji, jeśli x ∈ lp a y ∈ lq, to xy ∈ l1. (c) Dla dowolnych f, g ∈ L0(µ) zachodzi nierówność:∫ S |fg| dµ 6 (∫ S |f |p dµ )1/p · (∫ S |g|q dµ )1/q czyli ‖fg‖1 6 ‖f‖p · ‖g‖q. W konsekwencji, jeśli f ∈ Lp(µ) a g ∈ Lq(µ), to fg ∈ L1(µ). Dowód. Przeprowadzimy go dla (c); dla (a) i (b) jest analogiczny, przy czym (b) można otrzy- mać z (a) przez przejście do granicy przy n→∞. (W istocie (a) i (b) są szczególnymi przypadkami (c).) Niech (H) oznacza nierówność w (c). Jeżeli ‖f‖p = 0 (czyli f = 0 p.w.) lub ‖g‖q = 0 (czyli g = 0 p.w.), to (H) oczywiście zachodzi. Możemy więc dalej zakładać, że ‖f‖p > 0 i ‖g‖q > 0. Jeśli teraz ‖f‖p =∞ lub ‖g‖q =∞, to znowu jest jasne, że (H) zachodzi. Pozostaje więc do rozważenia przypadek, gdy 0 < ‖f‖p, ‖g‖q 14 Lech Drewnowski (c) ∀ f ∈ Lp(µ), g ∈ Lq(µ): ‖fg‖1 6 ‖f‖p‖g‖q, a stąd funkcja fg jest całkowalna i∣∣∣∣∫ S fg dµ ∣∣∣∣ 6 ∫ S |f | |g| dµ 6 ‖f‖p‖g‖q. Twierdzenie 0.7.4 (Nierówności Minkowskiego). Niech 1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 15 0.7-Z Zadania. Wskazówki — s. 125 Zad. 0.7.1. Pokaż, że w nierówności z Lematu 0.7.1 równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ap = bq. Zad. 0.7.2. Wyjaśnij dokładnie, kiedy w nierównościach Ho¨ldera mamy znak równości. Zad. 0.7.3. Wyjaśnij dokładnie, kiedy w nierównościach Minkowskiego mamy znak równości. Zad. 0.7.4. Uogólnij nierówności Ho¨ldera na dowolną liczbę czynników. Jeden z przypadków: Niech liczby p1, . . . , pk > 1 i r > 1 spełniają warunek p−11 + · · ·+ p−1k = r−1. Wtedy ‖x1 · . . . · xk‖r 6 ‖x1‖p1 · . . . · ‖xk‖pk . Zad. 0.7.5. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f ∈ Lp[0, 1] (1 < p < ∞) jej całka nieoznaczona ϕ(x) :=∫ x 0 f(t) dt (0 6 x 6 1) spełnia warunek Ho¨ldera rzędu 1−1/p. Co więcej, limξ→0 |ϕ(x+ ξ)− ϕ(x)|/|ξ| 1−1/p = 0. 16 Lech Drewnowski 1. PRZESTRZENIE UNORMOWANE I PRZESTRZENIE BANACHA 1.1. Normy i seminormy. NiechX będzie pl nad ciałem skalarów K. Funkcjonał ‖·‖ : X → R+, który każdemu elementowi x ∈ X przyporządkowuje (skończoną!) liczbę rzeczywistą nieujemną ‖x‖, nazywamy normą w (na) X, jeżeli spełnia poniższe trzy warunki: (N 0) ‖x‖ = 0 =⇒ x = 0; (N 1) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ X (subaddytywność); (N 2) ‖αx‖ = |α|‖x‖, ∀x ∈ X, α ∈ K (bezwzględna jednorodność). Funkcjonał, który spełnia tylko warunki (postaci) (N 1) i (N 2), nazywamy seminormą (lub pół- normą). Z warunków (N1) i (N 2) łatwo wynika, że ‖0‖ = 0 i że dla dowolnych x1, . . . , xn, x, y ∈ X (n ∈ N) mamy: ∥∥∥∥ n∑ j=1 xj ∥∥∥∥ 6 n∑ j=1 ‖xj‖, ‖−x‖ = ‖x‖, ∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ 6 ‖x− y‖. Podobnie dla seminorm. Nierówność ∣∣‖x‖−‖y‖∣∣ 6 ‖x−y‖ uzasadnia się następująco: ‖x‖ = ‖(x−y)+y‖ 6 ‖x−y‖+‖y‖, zatem ‖x‖− ‖y‖ 6 ‖x− y‖. Stąd, zamieniając rolami x i y, mamy: ‖y‖− ‖x‖ 6 ‖y− x‖ = ‖x− y‖. Tak więc ±(‖x‖ − ‖y‖) 6 ‖x− y‖, czyli ∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ 6 ‖x− y‖. Pl wraz z określoną w niej normą [seminormą] nazywamy przestrzenią unormowaną [semiunor- mowaną]. Tw. 1.1.1. Jeżeli p jest seminormą na pl X, to (a) jądro seminormy p, tj. zbiór N(p) := {x ∈ X : p(x) = 0} jest ppl w X; (b) wzór ‖x+N(p)‖ = p(x) dla x ∈ X definiuje normę w przestrzeni ilorazowej X/N(p). Dowód. (a) jest łatwe. (b): Niech N := N(p). Należy najpierw upewnić się, że podany wzór ma sens, tj., że wartość ‖x +N‖ nie zależy od zapisu danej warstwy w postaci x +N . Załóżmy więc, że x +N = y +N , czyli że x − y ∈ N , tj. p(x − y) = 0. Trzeba pokazać, że p(x) = p(y). Tak jest istotnie, bo |p(x)− p(y)| 6 p(x− y) = 0. Reszta jest prosta: (N 0): Jeżeli ‖x + N‖ = 0, to p(x) = 0, czyli x ∈ N ; zatem x + N = N to element zerowy przestrzeni X/N . (N 1): Niech x+N, y +N ∈ X/N . Wtedy (x+N) + (y +N) = (x+ y) +N (w myśl definicji dodawania w X/N) i wobec tego ‖(x+N) + (y +N)‖ = ‖(x+ y) +N‖ = p(x+ y) 6 p(x) + p(y) = ‖x+N‖+ ‖y +N‖. (N 2): Niech x + N ∈ X/N i α ∈ K. Wtedy α(x + N) = αx + N (w myśl definicji mnożenia przez skalary w X/N) i wobec tego ‖α(x+N)‖ = ‖αx+N‖ = p(αx) = |α|p(x) = |α| ‖x+N‖. � Uwaga. Uzyskaną w ten sposób pln (X/N(p), ‖·‖) nazywa się niekiedy stowarzyszoną z prze- strzenią semiunormowaną (X, p). Elementy Analizy Funkcjonalnej 17 1.1-Z Zadania. Wskazówki — s. 125 Zad. 1.1.1. Wyjaśnij, które z poniższych funkcjonałów określonych na wskazanych pl są 1) normami; 2) seminormami ale nie normami; 3) nie są seminormami: (a) na rzeczywistej pl l∞: p(x) = sup j ξj ; q(x) = sup j |ξj |; r(x) = lim sup j→∞ |ξj |; t(x) = ∞∑ j=1 2−j |ξj |; u(x) = ∞∑ j=1 |ξj |. (b) na rzeczywistej pl C[0, 1]: p(f) = ∣∣∣∣ ∫ 1 0 f(s) dt ∣∣∣∣; q(f) = ∫ 1 0 |f(s)| ds; r(f) = max 06s61 f(s); s(f) = max 06x61 |f(x)|; t(f) = sup s∈W |f(s)| (W := Q ∩ [0, 1]); u(f) = |f(0)|+ sup 06x61 ∣∣∣∣ ∫ x 0 f(s) ds ∣∣∣∣. Ponadto dla seminorm, które nie są normami, znajdź ich jądra. Zad. 1.1.2. Podaj kilka przykładów norm oraz „właściwych” seminorm na pl C0(R) i Cc(R). Zad. 1.1.3. Wskaż kilka operacji (działań), które nie wyprowadzają poza zbiór wszystkich seminorm [norm] na danej pl. (Np. suma skończonej liczby seminorm jest seminormą.) Zad. 1.1.4. Pokaż, że norma określona w niezerowej pl jest funkcją nieograniczoną na każdej prostej (zob. § 0.6) w tej przestrzeni. Zad. 1.1.5. Pokaż, że jeżeli seminorma p w pl X jest ograniczona na jakimś zbiorze A ⊂ X, to jest też ograniczona na jego powłoce wypukłej co (A). [Wsk. Wykorzystaj Fakt 0.6.5.] Zad. 1.1.6. Pokaż, że w każdej pl można określić normę. [Wsk. Wykorzystaj Fakt 0.3.2.] 1.2. Pojęcie przestrzeni unormowanej i przestrzeni Banacha. Pl X wraz z określoną na niej normą ‖·‖ (często mówimy: „wyposażoną” w normę ‖·‖), tj. parę (X, ‖·‖), nazywamy przestrzenią (liniową) unormowaną (pln). Gdy wiadomo o jaką normę chodzi, zamiast „pln (X, ‖·‖)” mówi się i pisze po prostu „pln X”; ponadto, normy w różnych pln oznacza często tym samym symbolem ‖·‖. Tego oczywiście nie wolno robić, gdy tę samą pl rozważa się z różnymi normami. Z normą pln X = (X, ‖·‖) wiążemy zawsze metrykę normową (lub: metrykę normy) d = d‖·‖ na X, daną wzorem d(x, y) = ‖x− y‖. (Odpowiednie warunki sprawdza się tak samo jak dla metryki d(x, y) = |x− y| w R.) Zauważmy, że ‖x‖ = d(x, 0) = d(0, x), a więc norma dowolnego elementu to jego odległość (w metryce normowej) od elementu zerowego. Metryka normowa wyznacza w znany sposób (za pomocą kul jako standardowych otoczeń) topologię nazywaną topologią normową (lub: topologią normy) T(‖·‖). W ten sposób pln X staje się przestrzenią metryczną i przestrzenią topologiczną. Najlepiej myśleć o pln X jako o pełnym układzie (X, ‖·‖, d‖·‖,T(‖·‖)). W praktyce zazwyczaj żadnych specjalnych oznaczeń na metrykę czy topologię normową nie używa się; są one „domyślne”. Ciągi zbieżne w metryce normowej określamy czasem jako normowo zbieżne albo zbieżne według normy czy zbieżne w normie . Tak więc ciąg (xn) w pln X jest zbieżny (normowo) w tej przestrzeni do punktu x (ma granicę x), gdy ‖xn − x‖ = ‖x− xn‖ → 0 przy n→∞; piszemy wtedy xn → x lub x = lim n→∞xn. Oczywiście, xn → x normowo ⇐⇒ x − xn → 0 (lub xn − x→ 0) normowo. Ciąg (xn) w pln X jest ciągiem Cauchy’ego (lub: spełnia warunek Cauchy’ego), gdy lim m,n→∞ ‖xm − xn‖ = 0, czyli ∀ ε > 0∃ k ∀m,n > k : ‖xm − xn‖ 6 ε, 18 Lech Drewnowski co można też zapisać w następujący sposób: lim k→∞ sup m,n>k ‖xm − xn‖ = 0. Z nierówności ‖xm−xn‖ 6 ‖xm−x‖+‖x−xn‖ i | ‖xm‖−‖xn‖ | 6 ‖xm−xn‖ łatwo dostajemy: Fakt 1.2.1. W pln każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego, a każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony. Co więcej, dla każdego ciągu Cauchy’ego (xn) ciąg (liczbowy) norm (‖xn‖) jest zbieżny. Pln zupełną (względem metryki normowej) nazywamy przestrzenią Banacha . Kule otwarte, kule domknięte i sfery w plnX, o środku x i promieniu r, oznaczamy odpowiednio K(x; r), B(x; r) i S(x; r). Kule KX := K(0; 1) i BX := B(0; 1) oraz sferę SX := S(0; 1) nazywamy jednostkowymi . Fakt 1.2.2. K(x, r) = x+K(0, r) = x+ rKX i podobnie dla kul domkniętych i sfer. Podzbiór A pln X nazywamy (normowo) ograniczonym , jeżeli normy jego elementów są wspólnie ograniczone przez pewną stałą, czyli gdy sup x∈A ‖x‖ 0, α+ β = 1 =⇒ αx+ βy ∈ A; zbalansowany , jeśli |α| 6 1, x ∈ A =⇒ αx ∈ A; absolutnie wypukły , jeśli jest wypukły i zbalansowany. (Więcej na ten temat– zob. § 0.6.) Tw. 1.2.3. W pln kule są zbiorami wypukłymi, a kule o środku 0 są zbiorami absolutnie wypu- kłymi. Z nierówności ∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ 6 ‖x− y‖ wynika natychmiast, że Tw. 1.2.4. Na każdej pln X = (X, ‖·‖) (jako przestrzeni metrycznej ) jej norma jest funkcją jednostajnie ciągłą. W szczególności, jeżeli xn → x w X, to ‖xn‖ → ‖x‖. W podobnie prosty sposób wykazuje się następujący Fakt 1.2.5. (a) Jeżeli p jest seminormą określoną na pln X taką, że dla pewnej stałej M mamy p(x) 6M‖x‖ dla każdego x ∈ X, to p jest funkcją (jednostajnie) ciągłą na X. (b) Jeżeli dla operatora liniowego T z pln X do pln Y istnieje stała M taka, że ‖T (x)‖ 6M‖x‖ dla każdego x ∈ X, to T jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym. Dowód. Dla dowolnych x, y ∈ X mamy |p(x)− p(y)| 6 p(x− y) 6M‖x− y‖ oraz ‖T (x)− T (y)‖ = ‖T (x− y)‖ 6M‖x− y‖, zatem w obu przypadkach spełniony jest warunek Lipschitza, co pociąga jednostajną ciągłość p oraz T . � Fakt 1.2.6. Jądro N(p) = p−1({0}) ciągłej seminormy p na pln X, jak też jądro N(T ) = T−1({0}) ciągłego operatora liniowego T z pln X do pln Y jest domkniętą ppl przestrzeni X. Elementy Analizy Funkcjonalnej 19 1.2-Z Zadania. Wskazówki — s. 125 Zad. 1.2.1. Podaj wszystkie normy, jakie można określić w przestrzeni R lub C. Uogólnij, to na dowolną pl wymiaru 1. Zad. 1.2.2. Sformułuj dokładnie i udowodnij twierdzenie (zawarte w tekście) o różnych równoważnych sposobach definiowania zbiorów ograniczonych w pln. Zad. 1.2.3. Uzasadnij, że jeśli zbiory A1, . . . , An w pln X są ograniczone, to jest zbiorem ograniczonym w X także ich dowolna kombinacja liniowa λ1A1 + · · ·+ λnAn (λ1, . . . , λn ∈ K). Zad. 1.2.4. Wykaż, że w pln powłoka wypukła zbioru ograniczonego jest zbiorem ograniczonym. Zad. 1.2.5. Dla podzbioru A pln X rozważmy następujące warunki: (a) A jest zbiorem zwartym. (b) A jest zbiorem relatywnie zwartym , tj. jego domknięcie A w X jest zbiorem zwartym. (c) A jest zbiorem prezwartym , tj. dla dowolnego ε > 0 można znaleźć skończoną liczbę punktów x1, . . . , xk w A takich, że każdy punkt x ∈ A jest odległy od któregoś z tych punktów xj o mniej niż ε. (Taki skończony ciąg punktów x1, . . . , xk nazywa się ε-siecią w zbiorze A.) (d) A jest zbiorem ograniczonym. Uzasadnij, że (a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) oraz że żadnej z tych implikacji nie można odwrócić. Uwaga: Dla przestrzeni Banacha warunki (b) i (c) są sobie równoważne (kryterium zwartości Hausdorffa). Zad. 1.2.6. Uzasadnij dokładnie, że wymienione w Prz. 0.4.7 zbiory funkcji lub ciągów wektorowych l∞(S,X), lp(N, X) i C(S,X) są pl. Zad. 1.2.7. Wykaż, że w dowolnej niezerowej pln, jeżeli B(y0, ρ) ⊂ B(x0, r), to ρ 6 r i ‖x0−y0‖ 6 r−ρ. Stąd, jeżeliB(x1, r1) = B(x2, r2), to x1 = x2 i r1 = r2. Czy tak jest w dowolnych przestrzeniach metrycznych? Zad. 1.2.8. Pokaż, że każdy malejący ciąg (Bn) kul domkniętych w przestrzeni Banacha ma niepusty przekrój. Czy musi on być kulą? Czy znasz jakieś inne twierdzenia o podobnym charakterze? Zad. 1.2.9. Wykaż, że w dowolnej pln, jeżeli K(x1, r1) ∩ K(x2, r2) = ∅, to S(x1, r1) ∩ S(x2, r2) jest zbiorem wypukłym. Zad. 1.2.10. Wykaż, że dla kul w dowolnej pln zachodzą równości: K(x, r) = B(x, r) i IntB(x, r) = K(x, r). Zad. 1.2.11. Udowodnij, że kule K(0, r) w dowolnej pln X są homeomorficzne z całą przestrzenią X. [Wsk. To się pokazuje podobnie jak dla (−1, 1) i R.] Zad. 1.2.12. Niech x0, x1, . . . , xn będą punktami pln X. Uzasadnij, że funkcja f : Rn → R określona wzorem f(t) = ‖x0 + t1x1 + · · ·+ tnxn‖ dla t = (tj) ∈ Rn jest wypukła i ciągła. (Wypukłość f oznacza, że f(αs+βt) 6 αf(s)+βf(t) dla dowolnych punktów s, t ∈ Rn i liczb α, β > 0 takich, że α+ β = 1.) Następnie wykaż, że na dowolnym n-wymiarowym prostopadłościanie [a1, b1]× · · · × [an, bn] funkcja f osiąga maksimum w pewnym jego wierzchołku. 1.3. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych. Jeśli L jest ppl w pln X = (X, ‖·‖), to funkcja ‖·‖ |L jest normą w L; nazywamy ją normą indukowaną w L, a o otrzymanej w ten sposób pln (L, ‖·‖ |L) mówimy, że jest podprzestrzenią (unormowaną) pln X. Zamiast ‖·‖ |L piszemy zwykle po prostu ‖·‖. Oczywiście, metryka (topo- logia) w L wyznaczona przez normę indukowaną pokrywa się z metryką (topologią) indukowaną z X. Jest też jasne, że relacja „być podprzestrzenią” jest przechodnia. Powyższe określenie podprzestrzeni można przeformułować następująco: Pln L = (L, ‖·‖′) nazywamy podprzestrzenią pln X = (X, ‖·‖), jeżeli 1) L jest ppl w X i 2) ‖z‖′ = ‖z‖, ∀ z ∈ L. Zauważmy, że nie zawsze jest od razu widoczne, że warunek 2) jest spełniony, bo normy ‖·‖′ i ‖·‖ mogą być dane pozornie różnymi wzorami. 20 Lech Drewnowski Poniższe dwa twierdzenia są szczególnymi przypadkami analogicznych twierdzeń dotyczących ogólnych przestrzeni metrycznych. Tw. 1.3.1. Domknięta ppl przestrzeni Banacha jest sama przestrzenią Banacha (w indukowa- nej normie). Podprzestrzeń zupełna dowolnej pln jest w niej domknięta. Tw. 1.3.2. Każda podprzestrzeń ośrodkowej pln jest ośrodkowa. 1.4. Przykłady przestrzeni unormowanych. W poniższych przykładach pln, z wyjątkiem przestrzeni lnp , lp i Lp(µ) sprawdzenie aksjomatów normy jest łatwe i bezpośrednie. Dla przestrzeni lnp , lp i Lp(µ) należy najpierw wykazać warunki (N 0) i (N 2) (co jest łatwe). Jeśli chodzi o warunek (N 1), to wykażemy go poniżej dla przestrzeni lp; dla przestrzeni lnp i Lp(µ) dowodzi się go podobnie. Przykład 1.4.1. Przestrzeń skalarów K z naturalną normą | · |. Oczywiście, zbieżność normowa w K to zwykła zbieżność ciągów liczbowych. Przykład 1.4.2. Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa to przestrzeń Kn z normą ‖x‖2 := ( n∑ j=1 |ξj |2 )1/2 , gdzie x = (ξ1, . . . , ξn). W Kn można rozważać też inne normy, otrzymując za każdym razem inną pln. W szczególności dostaje się w ten sposób dla każdego p ∈ [1,∞] przestrzeń lnp := (Kn, ‖·‖p), z normą daną wzorem ‖x‖p = ( n∑ j=1 |ξj |p )1/p , gdy 1 6 p 0 i t := ‖y‖p > 0. Z (N 2) wynika, że dla x′ := x/s i y′ := y/t mamy ‖x′‖p = 1 i ‖y′‖p = 1 oraz że dowodzoną nierówność można zapisać w postaci∥∥∥∥x+ ys+ t ∥∥∥∥ p 6 1, lub ∥∥∥∥ ss+ tx′ + ts+ ty′ ∥∥∥∥ p 6 1. Ta ostatnia nierówność rzeczywiście zachodzi, bo oznaczając α = s s+ t , β = t s+ t , ξ′j = ξj s , η′j = ηj t Elementy Analizy Funkcjonalnej 21 mamy α > 0, β > 0, α+ β = 1, x′ = (ξ′j), y′ = (η′j), przy czym (‖x′‖p)p = 1 i (‖y′‖p)p = 1, wobec czego (‖αx′ + βy′‖p)p = ∞∑ j=1 |αξ′j + βη′j |p 6 ∞∑ j=1 (α|ξ′j |+ β|η′j |)p ∗ 6 ∞∑ j=1 (α|ξ′j |p + β|η′j |p) = α(‖x′‖p)p + β(‖y′‖p)p = 1, gdzie przejście ∗ 6 uzasadnione jest wypukłością funkcji potęgowej 0 6 u→ up dla 1 6 p 22 Lech Drewnowski Przykład 1.4.6. Przestrzeń funkcji ciągłych i ograniczonych C(S) ≡ C(S,K), gdzie S jest pt, z normą supremalną ‖·‖∞ (jak w B(S)). Oczywiście, pln C(S) jest podprzestrzenią pln B(S). Przypomnijmy, że gdy pt S jest zwarta, to funkcje ciągłe f : S → K są automatycznie ograniczone; ponadto w tym przypadku ‖f‖∞ = max s∈S |f(s)| (dlaczego?). Przykład 1.4.7. Dla S = [a, b] szczególnymi przypadkami ostatnich dwóch przestrzeni są przestrzenie B[a, b] i C[a, b], obie z normą supremalną ‖f‖∞ := supa6s6b |f(s)|. W tę samą normę wyposaża się też przestrzeń R[a, b] funkcji f : [a, b]→ K całkowalnych w sensie Riemanna . Z Analizy wiadomo, że C[a, b] ⊂ R[a, b] ⊂ B[a, b]. Przykład 1.4.8. Przestrzeń Lp(µ) ≡ Lp(S,Σ, µ;K), gdzie 1 6 p 0 zachodzi nierówność µ({s ∈ S : h(s) > ε}) 6 1 ε ∫ S h dµ. Istotnie, jeśli zbiór po lewej stronie oznaczymy przez A, to εχA 6 h, a stąd εµ(A) = ∫ S εχA dµ 6 ∫ S h dµ. Niech teraz f, fn ∈ Lp(µ). Stosując powyższą nierówność dostajemy µ({s ∈ S : |f(s)− fn(s)| > ε}) 6 1 εp ∫ S |f − fn|p dµ, ∀ ε > 0. Stąd widać, że zbieżność normowa fn → f w Lp(µ) pociąga zbieżność fn → f według miary µ, tzn. ∀ ε > 0 : µ({s ∈ S : |f(s)− fn(s)| > ε})→ 0 przy n→∞. Nie na odwrót! (Przykład?) Warto tu przypomnieć Tw. Riesza mówiące, że (ogólnie) gdy fn → f według miary µ, to istnieje podciąg (fkn) taki, że fkn(s)→ f(s) dla µ-p.w. s ∈ S. Uwaga. Zbieżność normową w przestrzeniach lp i Lp(µ) nazywa się niekiedy zbieżnością przeciętną z wykładnikiem p. Przykład 1.4.9. Przestrzeń L∞(µ) funkcji istotnie ograniczonych. Przypomnijmy (zob. 0.4.5 (c)), że przestrzeń L∞(µ) składa się z tych funkcji mierzalnych f : S → K, które są µ-istotnie ograniczone, tzn. takie, że sups∈S\A |f(s)| 0 : |f(s)| 6M dla µ-p.w. s ∈ S} nazywa się istotnym kresem górnym (lub supremum istotnym) funkcji |f |. Często jest ona oznaczana sup esss∈S |f(s)|. Zauważmy, że można znaleźć ciąg zbiorów (Ak) w Σ0 taki, że sup s∈S\Ak |f(s)| ↓ ‖f‖∞. Elementy Analizy Funkcjonalnej 23 Wtedy A0 := ∞⋃ k=1 Ak ∈ Σ0 i ‖f‖∞ = sup s∈S\A0 |f(s)|, zatem infimum w definicji ‖f‖∞ jest osiągane; (dowolny) zbiór A0 ∈ Σ0, dla którego ostatnia równość zachodzi, będziemy poniżej oznaczać przez Af . Określony powyżej funkcjonał ‖·‖∞ jest seminormą na L∞(µ). Sprawdźmy dla przykładu, że spełnia on warunek (N 1): Niech f, g ∈ L∞(µ). Wtedy A := Af ∪Ag ∈ Σ0, a ponadto: sup s∈S\A |f(s) + g(s)| 6 sup s∈S\A |f(s)|+ sup s∈S\A |g(s)| 6 sup s∈S\Af |f(s)|+ sup s∈S\Ag |g(s)| = ‖f‖∞ + ‖g‖∞ i z definicji ‖·‖∞ otrzymujemy ‖f + g‖∞ 6 ‖f‖∞ + ‖g‖∞. Zauważmy teraz, że N(‖·‖∞) = N = {f : f = 0 µ-p.w.}. Istotnie, jeśli ‖f‖∞ = 0, to sup s∈S\Af |f(s)| = 0, czyli f(s) = 0 dla s /∈ Af . Zatem f = 0 µ-p.w. Na odwrót też! Stąd wynika, że seminorma ‖·‖∞ jest stała na każdej warstwie modulo N, zatem staje się normą, gdy utożsamiamy funkcje równe p.w., tj. gdy „przeniesiemy” ją na przestrzeń L∞(µ) = L∞(µ)/N (zob. Tw. 1.1.1 (b)). Nietrudno pokazać, że jeśli f, fn ∈ L∞(µ) (n = 1, 2, . . . ), to ‖f−fn‖∞ → 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A ∈ Σ0 takie, że fn → f jednostajnie na S \ A; gdy to zachodzi, to mówimy, że ciąg (fn) jest zbieżny do f jednostajnie µ-p.w. 1.5. Przykłady przestrzeni Banacha (1). Przykład 1.5.1. Przestrzeń Banacha B(S) ≡ B(S,K) funkcji ograniczonych . Dowód zupełności. Niech (fn) będzie ciągiem Cauchy’ego w B(S). Wiemy, że taki ciąg jest zawsze ograniczony, więc M := supn ‖fn‖∞ < ∞. Dla każdego s ∈ S z |f(s)| 6 ‖f‖∞ wynika, że ciąg liczbowy (fn(s)) jest Cauchy’ego, więc jest zbieżny. Określmy funkcję f : S → K wzorem f(s) := lim n→∞ fn(s). Ponieważ |f(s)| = limn |fn(s)| 6 M , to f ∈ B(S). Na koniec, z warunku Cauchy’ego dla (fn), dla dowolnego ε > 0 istnieje n0 takie, że dla m, n > n0 i wszystkich s ∈ S mamy |fn(s)− fm(s)| 6 ε. Stąd przy m → ∞ dostajemy |fn(s) − f(s)| 6 ε, ∀n > n0, s ∈ S, czyli ‖fn − f‖∞ 6 ε, ∀n > n0. To pokazuje, że ‖fn − f‖∞ → 0. � Uwaga. Powyższy dowód można skrócić, o ile skorzysta się ze znanego z Analizy twierdzenia: Jeżeli ciąg (fn) funkcji liczbowych, określonych na pewnym zbiorze S, spełnia warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajną na tym zbiorze, to jest on zbieżny jednostajnie na S do pewnej funkcji f . Wtedy bowiem pozostanie do sprawdzenia tylko to, że gdy każda z funkcji fn jest ograniczona, to także funkcja f jest ograniczona. Przykład 1.5.2. Przestrzeń Banacha C(S) ≡ C(S,K) funkcji ciągłych , gdzie S jest pt. Dowód zupełności. Wiadomo, że granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Stąd wynika, że przestrzeń C(S) jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni Bana- cha B(S) i w takim razie jest zupełna (Tw. 1.3.1). � Przykład 1.5.3. Przestrzeń Banacha C0(S) ≡ C0(S,K), gdzie S jest pt, wyposażona w normę supremalną. 24 Lech Drewnowski Dowód zupełności. Pokażemy, że C0(S) jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni Banacha C(S). Oczywiście, C0(S) ⊂ C(S). Niech (fn) ⊂ C0(S), f ∈ C(S) i ‖f − fn‖∞ → 0. Obierzmy ε > 0 a następnie m ∈ N tak, by ‖f − fm‖∞ 6 ε/2. Ponieważ fm ∈ C0(S), to |fm| 6 ε/2 na S \K dla pewnego zbioru zwartego K ⊂ S. Wtedy dla s ∈ S \K mamy |f(s)| 6 |f(s)− fm(s)|+ |fm(s)| 6 ε. Zatem f ∈ C0(S). � Przykład 1.5.4. Przestrzeń Banacha Cu(S) ≡ Cu(S,K), gdzie S = (S, d) jest przestrzenią metryczną. Tworzą ją wszystkie funkcje f : S → K jednostajnie ciągłe i ograniczone i wyposa- żona jest w normę supremalną. Jest ona podprzestrzenią domkniętą przestrzeni Banacha B(S): Funkcjonał p : B(S)→ R+ określony wzorem p(f) = lim δ→0+ sup{|f(s)− f(s′)| : d(s, s′) 6 δ} jest seminormą, przy czym jest ona ciągła, bo p(f) 6 2‖f‖∞, ∀ f ∈ B(S). Na mocy Faktu 1.2.6, N(p) = Cu(S) jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha B(S). Stąd wynika zupełność pln Cu(S) (Tw. 1.3.1). Przykład 1.5.5. Przestrzeń Banacha l∞ = l∞(N) = B(N) ciągów ograniczonych . Przykład 1.5.6. Przestrzeń Banacha c ciągów zbieżnych . (a) Bezpośredni dowód zupełności c: Zob. [M, 6.6]. Bardzo podobnie przebiega też bezpośredni dowód domkniętości c w przestrzeni Banacha l∞. (b) Alternatywny dowód domkniętości c w l∞: Jeżeli x = (ξj) ∈ KN, to x ∈ c wtedy i tylko wtedy, gdy (ξj) jest ciągiem Cauchy’ego w K, czyli gdy lim k→∞ sup m,n>k |ξn − ξm| = 0. Rozważmy funkcjonał p na l∞ określony wzorem p(x) = lim k→∞ sup m,n>k |ξn − ξm|. Bez trudu sprawdza się, że p jest seminormą na l∞, przy czym jest ona ciągła bo p(·) 6 2‖·‖∞. Ponadto c = N(p) w myśl obserwacji z początku tego dowodu. Zatem c jest domknięte w l∞. (c) Zupełność c można też dostać zauważając, że c jest w istocie typu C(S). Przestrzeń c można np. utożsamiać z C(N), gdzie przestrzeń zwarta N = N ∪ {∞} jest jednopunktowym uzwarceniem przestrzeni dyskretnej N (lub, po prostu, N jest domknięciem N w prostej rozszerzonej R). Dokład- niej mówiąc, mamy na myśli to, że odwzorowanie, które każdemu x = (ξj) ∈ c przyporządkowuje funkcję fx ∈ C(N) taką, że fx(j) = ξj dla j ∈ N i fx(∞) = limj ξj , jest izometrią liniową c na C(N). Wobec tego c jest przestrzenią Banacha. W tym samym sensie przestrzeń c można też utożsamiać z przestrzenią C(K), gdzie K to zbiór zwarty {n−1 : n ∈ N} ∪ {0} ⊂ R. Przykład 1.5.7. Przestrzeń Banacha c0 ciągów zbieżnych do zera . Jej zupełność można udowodnić bezpośrednio. Inne sposoby: (a) Przez pokazanie, że c0 jest domknięte w przestrzeni Banacha c: Funkcjonał l na c dany wzorem l(x) = lim j→∞ ξj dla x = (ξj) ∈ c jest liniowy, ciągły (bo |l(x)| 6 ‖x‖∞, ∀x ∈ c), przy czym oczywiście c0 = N(l). (b) Przez pokazanie, że c0 jest domknięte w przestrzeni Banacha l∞: Funkcjonał p : l∞ → R dany wzorem p(x) = lim sup j→∞ |ξj | jest seminormą, przy tym ciągłą, bo p(x) 6 ‖x‖∞, ∀x ∈ l∞; ponadto, c0 = N(p). (c) c0 = C0(N), gdzie N jest rozpatrywane z topologią dyskretną. Przykład 1.5.8. Przestrzenie Banacha lp (1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 25 Dowód zupełności. Niech (xn), gdzie xn = (ξnj), będzie ciągiem Cauchy’ego w lp. W myśl Faktu 1.2.1 jest on ograniczony, więc M := sup n ‖xn‖p n0 mamy ‖xn − xm‖p 6 ε, więc tym bardziej k∑ j=1 |ξnj − ξmj |p 6 εp, ∀ k. Stąd, przechodząc w tej nierówności do granicy najpierw przy m → ∞ a następnie przy k → ∞ otrzymamy ‖xn − x‖p 6 ε, ∀n > n0. Zatem ‖xn − x‖p → 0. � Przykład 1.5.9. Przestrzenie Banacha Lp(µ) (1 6 p 26 Lech Drewnowski Dla n 6 m mamy ‖Fm − Fn‖p 6 ‖fn+1‖p + · · ·+ ‖fm‖p 6 2−n−1 + · · ·+ 2−m 6 2−n, a ponieważ Fm → F p.w., to lemat Fatou daje∫ S |F − Fn|p dµ 6 lim inf m→∞ ‖Fm − Fn‖ p p 6 2−np. Stąd F = (F − Fn) + Fn ∈ Lp(µ) oraz ‖F − Fn‖p 6 2−n → 0. � Przykład 1.5.10. Przestrzeń Banacha L∞(µ). Nietrudno pokazać, że ciąg (fn) w L∞(µ) jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A ∈ Σ miary µ zero taki, że na zbiorze S \A ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajną. (Tzn. (fn|S \A) jest ciągiem Cauchy’ego w B(S \A).) Stąd natychmiast wynika, że L∞(µ) jest przestrzenią Banacha. 1.5-Z Zadania. Wskazówki — s. 125 Zad. 1.5.1. Udowodnij, że granica jednostajnie zbieżnego (a) ciągu ograniczonych funkcji liczbowych, określonych na pewnym zbiorze S, jest funkcją ograniczo- ną; (b) ciągu jednostajnie ciągłych funkcji liczbowych, określonych na pewnej przestrzeni metrycznej S, jest funkcją jednostajnie ciągłą. Zad. 1.5.2. Podaj bezpośrednie dowody zupełności przestrzeni C0(S) i Cu(S) (w normie ‖·‖∞). Zad. 1.5.3. Czy przestrzeń (Cc(S), ‖·‖∞) jest zupełna? [Wsk. To może zależeć od S.] Zad. 1.5.4. Udowodnij, że dla każdego τ > 0 przestrzeń Cτ (R) funkcji ciągłych τ -okresowych na prostej R jest zupełna w normie supremalnej. Zad. 1.5.5. Uzasadnij, że przestrzeń R[a, b] funkcji f : [a, b] → K całkowalnych w sensie Riemanna, z normą ‖·‖∞, jest zupełna. W tym celu pokaż, że R[a, b] jest podprzestrzenią domkniętą w B[a, b] wykorzy- stując: (a) tw. „o całkowaniu ciągów funkcyjnych”, lub (b) kryterium Lebesgue’a całkowalności w sensie Riemanna, lub (c) seminormę ρ na B[a, b] daną wzorem ρ(f) = lim δ→0+ sup d(P )6δ n∑ j=1 ω(f, [xj−1, xj ])(xj − xj−1) oraz znane z Analizy kryterium: f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ρ(f) = 0. Uwaga: We wzorze na ρ(f) sup jest brane po wszystkich podziałach P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} przedziału [a, b] takich, że d(P ) := max16j6n(xj − xj−1) 6 δ, zaś ω(f, I) := sup{|f(x) − f(x′)| : x, x′ ∈ I} to oscylacja f na przedziale I ⊂ [a, b]. Zad. 1.5.6. Niech a = (αj) i an = (αnj) (n = 1, 2, . . . ) będą nieskończonymi ciągami liczbowymi o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że an → a po współrzędnych i niech A := ∑∞ j=1 αj i An := ∑∞ j=1 αnj . (a) Pokaż, że jeżeli dla pewnej stałej M mamy An 6M dla każdego n, to także A 6M , ale (b) na ogół nie jest prawdą, że An → A. (c) Wykorzystaj (a), by nieco skrócić podany w tekście dowód zupełności przestrzeni lp. Zad. 1.5.7. Dla 1 6 p < ∞ niech Fp oznacza zbiór wszystkich funkcji f : [0,∞) → R mających w przedziale [0,∞) ciągłą pochodną f ′ taką, że limx→∞ f ′(x) = 0 i ∫∞ 0 |f ′(x)|p dx Elementy Analizy Funkcjonalnej 27 Zad. 1.5.10. Przeprowadź dokładny dowód zupełności przestrzeni L∞(µ). Zad. 1.5.11. W każdej z przestrzeni Banacha C[0, 1], c0 i l1 wskaż malejący ciąg (Bn) niepustych zbiorów wypukłych, domkniętych i ograniczonych mający pusty przekrój (por. Zad. 1.2.8). 1.6. Ciągłość działań w przestrzeniach unormowanych. Tw. 1.6.1. W każdej pln X działania dodawania wektorów oraz mnożenia wektorów przez liczby, A : X ×X → X ; (x, y)→ x+ y oraz M : K ×X → X ; (α, x)→ αx. są ciągłe. Dowód. Ciągłość dodawania w dowolnym punkcie (x0, y0) ∈ X ×X wynika z nierówności ‖(x+ y)− (x0 + y0)‖ 6 ‖x− x0‖+ ‖y − y0‖. Ciągłość mnożenia w dowolnym punkcie (α0, x0) ∈ K×X: Wychodzimy od tożsamości αx− α0x0 = α0(x− x0) + (α− α0)x0 + (α− α0)(x− x0) i „działamy” na nią normą, co po skorzystaniu z (N 1) i (N 2) daje nierówność ‖αx− α0x0‖ 6 |α0|‖x− x0‖+ |α− α0|‖x0‖+ |α− α0|‖x− x0‖, z której już łatwo wynika co trzeba. � Ciągłość działań w pln X można wyrazić w terminach ciągów zbieżnych: Jeśli xn → x i yn → y w X a αn → α w K, to xn + yn → x+ y i αnxn → αx w X. Tw. 1.6.2. W pln domknięcie ppl jest ppl. Dowód. Niech L będzie ppl w pln X; mamy pokazać, że także L jest ppl. Niech x, y ∈ L, α, β ∈ K. Istnieją ciągi (xn) i (yn) w L takie, że xn → x i yn → y. Wtedy (zn) = (αxn + βyn) jest również ciągiem w L (bo L jest ppl) i z ciągłości działań mamy, że zn = αxn + βyn → αx + βy. Zatem αx+ βy ∈ L. � Jeżeli A jest zbiorem w pln X, to zbiór lin(A) := lin(A) nazywamy domkniętą powłoką liniową A. Powinno być jasne, że jest to najmniejsza domknięta ppl w X zawierająca A. 1.6-Z Zadania. Wskazówki — s. 126 Zad. 1.6.1. Pokaż, że w każdej pln X odwzorowania x→ a+λx, gdzie a ∈ X i λ ∈ Kr{0} są ustalone, są homeomorfizmami X na siebie. W szczególności więc wszystkie translacje (przesunięcia) x → a + x i homotetie (jednokładności) x→ λx (λ 6= 0) są homeomorfizmami X na siebie. Zad. 1.6.2. Udowodnij, że w pln domknięcie zbioru wypukłego, lub zbalansowanego, lub absolutnie wypukłego, lub stożka jest zbiorem tego samego typu. Zad. 1.6.3. Niech A i B będą podzbiorami pln X. Udowodnij, że: (a) Jeżeli oba te zbiory są zwarte, to także zbiór A+B jest zwarty. (b) Jeżeli jeden z tych zbiorów jest domknięty, a drugi – zwarty, to zbiór A+B jest domknięty. (Czy pozostaje to prawdą, gdy oba te zbiory są tylko domknięte?) (c) Jeżeli zbiór A jest zwarty, to także zbiór [0, 1] ·A jest zwarty. (d) Jeżeli choć jeden z tych zbiorów jest otwarty, to także zbiór A+B jest otwarty. [Wsk. Niech np. B będzie otwarty. Wywnioskuj z Zad. 1.6.1, że także jego przesunięcia a+B są zbiorami otwartymi. Zapisz A+B używając tych przesunięć.] Uogólnij (a) i (b) na zbiory postaci λA + µB, gdzie λ i µ są dowolnymi skalarami. Podaj też możliwie najlepsze uogólnienie (c). Zad. 1.6.4. Niech A i B będą podzbiorami pln X. Udowodnij, że: 28 Lech Drewnowski (a) Dla dowolnych skalarów λ i µ zachodzi inkluzja λA+ µB ⊂ λA+ µB; w szczególności więc A±B ⊂ A±B. Czy ⊂ można tu zastąpić przez = ? (b) Dla dowolnego punktu c ∈ X i dowolnego skalara λ 6= 0 zachodzą równości A+ c = A+ c i λA = λA. 1.7. Ciągłość operatorów liniowych. Twierdzenie 1.7.1. Niech X i Y będą pln. Dla każdego operatora liniowego T : X → Y następujące warunki są równoważne: (a) T jest jednostajnie ciągły. (b) T jest ciągły. (c) T jest ciągły w pewnym punkcie x0 ∈ X. (d) Istnieje stała L > 0 taka, że ‖Tx‖ 6 L‖x‖, ∀x ∈ X. Dowód. Implikacje (a) =⇒ (b) =⇒ (c) są oczywiste. (c) =⇒ (d): Z (c) mamy r > 0 takie, że ‖Tx− Tx0‖ 6 1 gdy ‖x− x0‖ 6 r. Jeśli teraz x ∈ X i ‖x‖ 6 r, to ‖(x+x0)−x0‖ 6 r, zatem ‖Tx‖ = ‖T (x+x0)−Tx0‖ 6 1. Tak więc z ‖x‖ 6 r wynika, że ‖Tx‖ 6 1. Weźmy teraz dowolne 0 6= x ∈ X. Wtedy∥∥∥∥ r‖x‖x ∥∥∥∥ = r i wobec tego ∥∥∥∥T ( r‖x‖x )∥∥∥∥ 6 1. Stąd otrzymujemy ‖Tx‖ 6 r−1‖x‖. Zatem nierówność w (d) zachodzi ze stałą L = r−1. (d) =⇒ (a): Z (d) i addytywności T wynika, że T spełnia warunek Lipschitza ze stałą L. Istotnie, dla dowolnych x1, x2 ∈ X mamy ‖Tx1−Tx2‖ = ‖T (x1−x2)‖ 6 L‖x1−x2‖. To oczywiście pociąga (a). � Uwaga. Ponieważ dla x = 0 nierówność ‖Tx‖ 6 L‖x‖ zachodzi bez względu na wybór stałej L (dlaczego?), szukając stałej L „dobrej” dla wszystkich x ∈ X możemy – o ile jest to wygodne – ograniczyć się do x 6= 0. Wniosek 1.7.2. Niech X i Y będą pln. Dla każdego operatora liniowego T : X → Y następujące warunki są równoważne: (a) T jest ciągły. (b) T przeprowadza zbiory ograniczone w zbiory ograniczone, tzn. dla każdego ograniczonego zbioru A w X jego obraz T (A) jest zbiorem ograniczonym w Y . (c) T (BX) (lub: T (KX)) jest zbiorem ograniczonym w Y . Dowód. (a) =⇒ (b): Niech operator T będzie ciągły. W myśl Tw. 1.7.1 istnieje więc stała L > 0 taka, że ‖Tx‖ 6 L‖x‖ dla wszystkich x ∈ X. Jeżeli teraz zbiór A ⊂ X jest ograniczony, to zawiera się w pewnej kuli BX(0, R) i wobec tego ‖Tx‖ 6 L‖x‖ 6 LR dla każdego x ∈ A. To oznacza, że zbiór T (A) ⊂ Y jest ograniczony. (b) =⇒ (c): Oczywiste. (c) =⇒ (a): Załóżmy, że np. ograniczony jest zbiór T (BX). Istnieje więc stała L > 0 taka, że ‖Tx‖ 6 L dla każdego x ∈ X o normie 6 1. Weźmy teraz w X dowolny element x 6= 0. Wtedy∥∥∥∥ x‖x‖ ∥∥∥∥ = 1, więc ‖Tx‖ = ‖x‖ ∥∥∥∥T ( x‖x‖ )∥∥∥∥ 6 L‖x‖. Zatem, na mocy Tw. 1.7.1, operator T jest ciągły. � Uwagi. (a) Ze względu na równoważność warunków (b) i (d) w Tw. 1.7.1, a zwłaszcza z uwagi na Wn. 1.7.2, operatory liniowe ciągłe nazywa się często ograniczonymi . Ostrzeżenie: To pojęcie ograniczoności jest istotnie różne od zwykłego pojęcia ograniczoności - zob. Zad. 1.7.3. Elementy Analizy Funkcjonalnej 29 (b) Różne specjalne klasy ciągłych operatorów liniowych T : X → Y wprowadza się postulując, by przeprowadzały one zbiory ograniczone w X (lub samą tylko kulę BX) w pewne specjalne zbiory ograniczone w Y . Jedną z najważniejszych takich specjalnych klas operatorów tworzą tzw. operatory zwarte – zob. § 5 a także Tw. 5.1.1. Będziemy dalej używać oznaczenia L(X,Y ) na zbiór wszystkich ciągłych operatorów liniowych z pln X do pln Y . Łatwo sprawdzić bezpo- średnio (lub wykorzystać w tym celu Tw. 1.7.1; zob. też Tw. 2.1.1 i jego dowód), że L(X,Y ) jest pl (względem zwykłych działań) – nazywamy ją przestrzenią ciągłych operatorów liniowych z pln X do pln Y . Tw. 1.7.3. Jeżeli T ∈ L(X,Y ), to dla dowolnej domkniętej pplM w Y jej przeciwobraz T−1(M) jest domkniętą ppl w X. W szczególności jądro N(T ) = T−1({0}) operatora T jest domkniętą ppl w X. Wniosek 1.7.4 (Zasada stabilności przeciwdziedziny dla ciągłych operatorów liniowych). Jeżeli T ∈ L(X,Y ), M jest domkniętą ppl w Y i T (x) ∈ M dla x ∈ A ⊂ X, to także T (x) ∈ M dla x ∈ lin(A): T (A) ⊂M =⇒ T (lin(A))⊂M. W szczególności, jeśli zbiór A jest liniowo gęsty w X, tj. lin(A) = X, to T (A) ⊂M =⇒ T (X) ⊂M. Dowód. Załóżmy, że T (A) ⊂ M , czyli że A ⊂ T−1(M). W myśl Tw. 1.7.3, T−1(M) jest domkniętą ppl w X, więc musi zawierać lin(A), czyli T ( lin(A) )⊂M . � Wniosek 1.7.5 (Zasada przedłużania równości dla ciągłych operatorów liniowych). Jeżeli ope- ratory S, T ∈ L(X,Y ) pokrywają się na pewnym zbiorze A ⊂ X, tzn. S(x) = T (x) dla x ∈ A, to pokrywają się one także na domkniętej ppl lin(A) rozpiętej na zbiorze A: S|A = T |A =⇒ S|lin(A) = T |lin(A). W szczególności, jeśli zbiór A jest liniowo gęsty w X, to S|A = T |A =⇒ S = T na X. Dowód. Stosujemy poprzedni wniosek do operatora S−T i podprzestrzeniM = {0} ⊂ Y . � 1.7-Z Zadania. Wskazówki — s. 126 Zad. 1.7.1. Niech T będzie operatorem liniowym z pln X do pln Y . Pokaż, że jeżeli dla pewnych liczb a > 0 i b > 0 z ‖x‖ < a zawsze wynika, że ‖Tx‖ 6 b, to ‖Tx‖ 6 (b/a)‖x‖ dla każdego x ∈ X (i na odwrót). Zad. 1.7.2. Niech p i q będą nieujemnymi funkcjonałami dodatnio jednorodnymi na pl X (tzn. warunek jednorodności zakłada się tylko dla liczb z R+). Pokaż, że jeżeli dla pewnych liczb a > 0 i b > 0 z p(x) < a zawsze wynika, że q(x) 6 b, to q(x) 6 (b/a)p(x) dla każdego x ∈ X (i na odwrót). Zad. 1.7.3. Pokaż, że jeżeli operator liniowy T z pln X do pln Y jest ograniczony w zwykłym sensie (tzn. istnieje stała c taka, że ‖Tx‖ 6 c, ∀x ∈ X), to T = 0. Zad. 1.7.4. Przeprowadź dowód implikacji (c) =⇒ (a) we Wn. 1.7.2 w przypadku, gdy wiemy, że ograniczony jest zbiór T (KX). Zad. 1.7.5. Pokaż, że ciągłość operatora liniowego T z pln X do pln Y jest równoważna ciągłości seminormy x→ ‖Tx‖ na pln X. Zad. 1.7.6. Uzasadnij, że gdy istnieje ciągła projekcja liniowa (zob. § 0.5) pln X na jej podprzestrzeń V , to podprzestrzeń V musi być domknięta. Zad. 1.7.7. Niech pi : a = t0 < t1 < · · · < tm = b będzie ustalonym podziałem przedziału [a, b] ⊂ R. Dla każdej funkcji f ∈ C[a, b] niech Lpi(f) oznacza funkcję (ciągłą!) określoną na [a, b], której wykresem jest linia łamana o wierzchołkach w punktach (tj , f(tj)) dla j = 0, 1, . . . ,m. 30 Lech Drewnowski (a) Pokaż, że otrzymujemy w ten sposób ciągły operator liniowy Lpi : C[a, b] → C[a, b]. [Wsk. Jakim wzorem wyraża się Lpi(f)(t) dla t ∈ [tj−1, tj ], j = 1, . . . ,m ?] (b) Wyjaśnij, jakie funkcje tworzą podprzestrzeń Vpi := Lpi(C[a, b]) (obraz operatora Lpi). (c) Uzasadnij, że Lpi jest projekcją przestrzeni C[a, b] na jej podprzestrzeń Vpi. (d) Uzasadnij, że podprzestrzeń Vpi jest domknięta w C[a, b]. 1.8. Norma operatora liniowego. Przypomnijmy (zob. Tw. 1.7.1), że operator liniowy T z pln X do pln Y jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała L > 0 taka, że ‖Tx‖ 6 L‖x‖ dla wszystkich x ∈ X. Sugeruje to rozważenie najmniejszej takiej stałej L jako swego rodzaju miary „wielkości” operatora T : Normą ciągłego operatora liniowego T z pln X do pln Y nazywamy liczbę ‖T‖ := inf{L > 0 : ‖Tx‖ 6 L‖x‖, ∀x ∈ X}. Oczywiście, 0 6 ‖T‖ 0. (b) W przypadku nieciągłego operatora T powyższe wzory na ‖T‖ dają oczywiście ‖T‖ = ∞. Zatem operator liniowy T jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ‖T‖, wyliczona według któ- regokolwiek z podanych wzorów, jest skończona. (c) Analizując dowód Wn. 1.7.2 łatwo spostrzec, że norma ‖T‖ ciągłego operatora liniowego T : X → Y to promień R najmniejszej kuli BY (0, R) w przestrzeni Y zawierającej obraz T (BX) kuli jednostkowej BX w przestrzeni X: ‖T‖ = inf{R > 0 : T (BX) ⊂ BY (0, R)} i T (BX) ⊂ BY (0, ‖T‖). Kontynuacją tego punktu jest § 2.1, natomiast przykłady na wyliczanie norm „konkretnych” operatorów i funkcjonałów liniowych można znaleźć w § 2.2. 1.8-Z Zadania. Zad. 1.8.1. Podaj pełne wyprowadzenie podanych powyżej w tekście wzorów na normę operatora. Zad. 1.8.2. Jeżeli T : X → Y jest ciągłym operatorem liniowym, a S oznacza zawężenie T do pewnej podprzestrzeni V ⊂ X, to jaki związek zachodzi między normami ‖T‖ i ‖S‖ ? Zad. 1.8.3. Jeżeli T ∈ L(X,Y ) i dla pewnego 0 6= x0 ∈ X mamy ‖Tx0‖ = 2‖x0‖, to co można powiedzieć o normie ‖T‖ ? Elementy Analizy Funkcjonalnej 31 Zad. 1.8.4. Niech f będzie ciągłym funkcjonałem liniowym na pln X, a y0 niech będzie dowolnym punktem pln Y . Jaki związek zachodzi między normą ‖f‖ funkcjonału f , a normą ‖T‖ operatora liniowego T : X → Y określonego wzorem T (x) = f(x)y0 ? Zad. 1.8.5. Znajdź normę ‖Lpi‖ operatora z Zad. 1.7.7. 1.9. Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Pojęcia szeregu , szeregu zbieżnego i jego sumy , a także szeregu bezwarunkowo zbieżnego w ogólnych pln X wprowadza się dokładnie tak samo jak w przypadku X = K. Najbardziej podstawowe własności szeregów liczbowych przenoszą się bez zmian na szeregi wektorowe. Chodzi tu m.in. o – działania arytmetyczne na szeregach zbieżnych; – fakt, że wyraz ogólny szeregu zbieżnego musi dążyć do zera; – fakt, że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby jego wyrazów; – kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu w przestrzeni Banacha. Szereg ∑∞ n=1 xn w X nazywa się absolutnie zbieżny , jeśli zbieżny jest szereg liczbowy ∑∞ n=1 ‖xn‖. Sam szereg ∑∞ n=1 xn nie musi być wtedy zbieżny w X, chyba że X jest przestrzenią Banacha (zob. niżej Tw. 1.9.2). Aby stwierdzić, czy dany szereg wektorowy jest absolutnie zbieżny, można oczy- wiście stosować znane z Analizy kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Tw. 1.9.1. Jeżeli szereg ∑∞ n=1 xn w pln X jest zbieżny i x jest jego sumą, to ‖x‖ 6 ∞∑ n=1 ‖xn‖. Dowód. Z tego, że sn := ∑n j=1 xj → x i ciągłości normy (Tw. 1.2.4) mamy ‖sn‖ → ‖x‖. Ale ‖sn‖ 6∑nj=1 ‖xn‖, skąd przy n→∞ wynika żądana nierówność, � Tw. 1.9.2. W przestrzeni Banacha każdy szereg absolutnie zbieżny jest bezwarunkowo zbieżny. Dowód. Niech (xn) będzie ciągiem w przestrzeni Banacha X takim, że ∑∞ n=1 ‖xn‖ < ∞. Wtedy ∥∥∥∥ n∑ j=m xj ∥∥∥∥ 6 n∑ j=m ‖xj‖ → 0 przy m, n→∞, zatem szereg ∑∞ n=1 xn spełnia warunek Cauchy’ego; zupełność X zapewnia mu zbieżność. Jeżeli ϕ jest permutacją N (tzn. bijekcją N na siebie), to ∞∑ n=1 ‖xϕ(n)‖ = ∞∑ n=1 ‖xn‖ 32 Lech Drewnowski (a) Jeżeli szereg (∗) jest zbieżny w X, to szereg (∗∗) jest zbieżny w Y i dla sum tych szeregów zachodzi równość T ( ∞∑ n=1 xn ) = ∞∑ n=1 Txn. (b) Jeżeli szereg (∗) jest bezwarunkowo zbieżny w X, to szereg (∗∗) jest bezwarunkowo zbieżny w Y . (c) Jeżeli szereg (∗) jest absolutnie zbieżny w X, to szereg (∗∗) jest absolutnie zbieżny w Y . Dowód. (a): Z ciągłości i addytywności operatora T mamy: T ( ∞∑ n=1 xn ) = lim N→∞ T ( N∑ n=1 Txn ) = lim N→∞ N∑ n=1 Txn = ∞∑ n=1 Txn. (b) wynika z części (a) przez zastosowanie jej do dowolnej permutacji danego szeregu. (c): Jak wiemy z Tw. 1.7.1, ciągłość T oznacza istnienie stałej M > 0 takiej, że ‖Tx‖ 6M‖x‖, ∀x ∈ X. W szczególności ‖Txn‖ 6M‖xn‖ dla każdego n, a stąd ∑∞n=1 ‖Txn‖ 0 można znaleźć kombinację liniową wymierną z = ∑n j=1 βjxj taką, że ‖y − z‖ 6 ε. � Przykłady 1.10.2. (a) Ciąg wektorów jednostkowych (en) jest bazą Schaudera przestrzeni lp (1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 33 Istotnie, ponieważ ∑∞ j=1 |ξj |p 0. (c) Na mocy tw. aproksymacyjnego Weierstrassa, dla każdego przedziału zwartego [a, b] ⊂ R przestrzeń W [a, b], składająca się ze wszystkich wielomianów algebraicznych na [a, b], jest gęsta w rzeczywistej pln C[a, b]. Inaczej mówiąc, ciąg jednomianów 1, x, x2, . . . jest liniowo gęsty w C[a, b]. Stąd: przestrzeń C[a, b] jest ośrodkowa. Prostsze uzasadnienie ośrodkowości C[a, b]: Funkcje ciągłe „łamane” o wierzchołkach wymier- nych tworzą zbiór przeliczalny gęsty w C[a, b] (por. (d) poniżej). (d) Prostą konsekwencją jednostajnej ciągłości funkcji ciągłych na przedziałach zwartych jest fakt, że zbiór funkcji (ciągłych) „łamanych” jest gęsty w C[a, b]. Wiadomo (zob. np. [M, p. 83– 84]), że funkcje łamane na [a, b] to kombinacje liniowe funkcji stałej 1 i „elementarnych” funkcji łamanych lc(t) := 12 (|t − c| + t − c), gdzie c ∈ [a, b) (naszkicuj wykres lc). Zatem funkcja 1 wraz z funkcjami lc dla c ∈ [a, b) tworzą zbiór liniowo gęsty w C[a, b]. (e) Funkcję f : [a, b]→ K nazywamy — prawidłową , jeżeli w każdym punkcie t ∈ (a, b) ma (skończone) obie granice jednostronne f(t− 0) i f(t+ 0), a w punktach a i b granice jednostronne f(a+ 0) i f(b− 0); — schodkową , jeżeli istnieją punkty a = c0 < c1 < · · · < cn = b takie, że na każdym przedziale (cj−1, cj) (1 6 j 6 n) funkcja f jest stała. Inaczej mówiąc, funkcje schodkowe na [a, b] to kombinacje liniowe funkcji charakterystycznych χJ dowolnych przedziałów J ⊂ [a, b] (w tym przedziałów zdegenerowanych, tj. jednopunktowych [c, c] = {c}). Oczywiście, funkcje ciągłe, funkcje monotoniczne, jak też funkcje schodkowe są prawidłowe. Można pokazać (zob. [S, p. 384]), że funkcja jest prawidłowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji schodkowych. Stąd wynika, że 1) zbiór P [a, b] wszystkich funkcji prawidłowych na [a, b] jest domkniętą ppl przestrzeni B[a, b]; w konsekwencji, 2) przestrzeń P [a, b] = (P [a, b], ‖·‖∞) jest przestrzenią Banacha, przy czym 3) funkcje schodkowe tworzą w niej podprzestrzeń gęstą. Inaczej mówiąc, funkcje charakte- rystyczne χJ dowolnych przedziałów J ⊂ [a, b] stanowią zbiór liniowo gęsty w P [a, b]. 34 Lech Drewnowski (f) Przestrzeń l∞ jest nieośrodkowa. Istotnie, jej podzbiór A := {0, 1}N wszystkich ciągów zero- jedynkowych jest mocy continuum i dla dowolnych różnych punktów x, x′ ∈ A mamy ‖x−x′‖∞ = 1. Stąd wynika, że A, a tym bardziej l∞, nie może mieć przeliczalnego podzbioru gęstego. Ogólniej: Jeżeli zbiór S jest nieskończony, to przestrzeń B(S) ≡ l∞(S) jest nieośrodkowa. (g) W przestrzeniach Lp(µ) (1 6 p < ∞) zbiór funkcji charakterystycznych χA, gdzie A ∈ Σ i µ(A) Elementy Analizy Funkcjonalnej 35 przeprowadza jednomiany 1, x, x2, . . . ? Zauważ też, że operator restrykcji g → g|[0,∞) jest izometrią liniową C[0,∞] na C1[0,∞).] Zad. 1.10.8. Udowodnij, że funkcjeW (x)e−x, gdzieW jest wielomianem, tworzą zbiór gęsty w rzeczywi- stej pln C0[0,∞). [Wsk. Wykorzystaj drugą część Zad. 1.10.7 oraz fakt, że dla Pn(x) = n-ta suma częściowa rozwinięcia Taylora funkcji e−x mamy Pn(x)e−x → e−2x jednostajnie na [0,∞).] 1.11. Zastosowanie: Twierdzenie Silvermana-Toeplitza. Niech A = (ajk)j,k∈N będzie nieskończoną macierzą liczbową. Jeżeli dla ciągu x = (ξk) ∈ ω = KN (∗) istnieją sumy aj(x) := ∞∑ k=1 ajkξk, ∀ j ∈ N i istnieje granica a(x) := lim j→∞ aj(x), to mówimy, że jest on limesowalny metodą A (krótko: A-limesowalny) do wartości a(x), a wartość tę nazywamy A-granicą ciągu x. Tak więc dla danego ciągu x = (ξk) tworzy się – o ile tylko jest to możliwe – nowy ciąg y = (ηj), gdzie ηj := aj(x) dla j = 1, 2, . . . , i przez A-granicę ciągu x rozumie się zwykłą granicę ciągu y – o ile tylko jest on zbieżny. Metoda A nazywa się permanentna lub regularna , jeżeli każdy ciąg zbieżny x = (ξk) (tj. x ∈ c) jest A-limesowalny i a(x) = limk→∞ ξk (tzn. A-granica ciągu x pokrywa się z jego zwykłą granicą). Twierdzenie 1.11.1 (Twierdzenie Silvermana-Toeplitza). Metoda A jest permanentna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są poniższe trzy warunki: (1) M := sup j ∞∑ k=1 |ajk| 36 Lech Drewnowski Niech teraz x = (ξk) ∈ c i ξ0 := limk ξk. Ponieważ x = ξ0e0 + x0, gdzie x0 := (ξj − ξ0) ∈ c0, to T (x) = ξ0T (e0) + T (x0). Po prawej stronie tej równości ξ0T (e0) jest ciągiem zbieżnym do ξ0, a T (x0) jest ciągiem zbieżnym do zera. W konsekwencji T (x) jest ciągiem zbieżnym do ξ0. Dowód konieczności, korzystający z Tw. Banacha-Steinhausa (Tw. 3.4.1), podamy w § 3.5. � 1.11-Z Zadania. Zad. 1.11.1. Niech A = (ajk) będzie nieskończoną macierzą liczbową. Uzasadnij, że: (a) Zbiór ωA wszystkich x ∈ ω spełniających warunek (∗) na początku § 1.11 jest ppl przestrzeni ω. (b) Operator T : ωA → ω określony wzorem Tx = ( aj(x) ) jest liniowy. (b) Jeżeli A spełnia warunek (1) z Tw. 1.11.1, to l∞ ⊂ ωA, T (l∞) ⊂ l∞ i T |l∞ jest ciągłym operatorem liniowym z l∞ do l∞. Zad. 1.11.2. Pokaż konieczność warunków (2) i (3) w Tw. Silvermana-Toeplitza. Zad. 1.11.3. Wzorując się na dowodzie Tw. 1.11.1 podaj analogiczny dowód dla tw. Cauchy’ego: Dla każdego zbieżnego ciągu liczbowego także ciąg jego średnich arytmetycznych jest zbieżny i to do tej samej granicy. (To tw. jest szczególnym przypadkiem Tw. 1.11.1 – uzasadnij!) Zad. 1.11.4. Macierzową metodę limesowalności A nazywa się zero-permanentną , gdy każdy ciąg zbieżny do zera jest A-limesowalny do zera. Sformułuj wariant Tw. 1.11.1 dotyczący zero-permanentnych metod limesowalności i podaj dla niego dowód dostateczności. 1.12. Izometrie i izomorfizmy przestrzeni unormowanych. Niech X i Y będą pln (nad tym samym ciałem K). Izometrią liniową X w Y (lub zanurzeniem liniowo-izometrycznym X w Y ) nazywamy operator liniowy T : X w→ Y zachowujący odległości między punktami, tj. taki, że ‖Tx1 − Tx2‖ = ‖x1 − x2‖ dla dowolnych x1, x2 ∈ X, czyli – równoważnie (!) – zachowujący normy elementów, tj. taki, że ‖Tx‖ = ‖x‖ dla każdego x ∈ X. Gdy istnieje izometria liniowa X na Y , to pln X i Y nazywamy liniowo-izometrycznymi i piszemy X ∼= Y. Łatwo widzieć, że ∼= jest relacją równoważności w klasie wszystkich pln. Izomorfizm (liniowo-topologiczny) X w Y (lub zanurzenie izomorficzne X w Y ) to izomorfizm liniowy (algebraiczny) T : X w→ Y , który jest równocześnie zanurzeniem homeomorficz- nym, czyli taki, że zarówno operator T : X → Y jak i operator odwrotny T−1 : Y0 → X, gdzie Y0 = T (X), są ciągłe. Gdy istnieje izomorfizm X na Y , to pln X i Y nazywamy izomorficznymi i piszemy X ' Y. Łatwo widzieć, że ' jest relacją równoważności w klasie wszystkich pln. Oczywiście, każda izometria liniowa T : X → Y jest izomorfizmem liniowo-topologicznym, przy czym operator do niej odwrotny T−1 : T (X)→ X też jest izometrią liniową. Twierdzenie 1.12.1. Operator liniowy T z pln X w pln Y jest zanurzeniem izomorficznym (liniowo-topologicznym) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a, b > 0 takie, że a‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6 b‖x‖ dla każdego x ∈ X. Elementy Analizy Funkcjonalnej 37 Dowód. W myśl Tw. 1.7.1 ciągłość operatora T : X → Y równoważna jest istnieniu stałej b > 0 takiej, że ‖Tx‖ 6 b‖x‖, ∀x ∈ X. Podobnie, jeśli operator T−1 : Y0 → X istnieje (czyli gdy operator T jest 1–1), to jego ciągłość jest równoważna istnieniu stałej c > 0 takiej, że ‖T−1(y)‖ 6 c‖y‖, ∀ y ∈ Y0. Ale Y0 = T (X), więc ostatnia nierówność równoważna jest nierówności ‖T−1(Tx)‖ 6 c‖Tx‖, czyli c−1‖x‖ 6 ‖Tx‖, ∀x ∈ X. Wystarczy teraz zauważyć, że a‖x‖ 6 ‖Tx‖ dla x ∈ X, gdzie a > 0, pociąga różnowartościowość T . � Wniosek 1.12.2. Jeśli dwie pln są izomorficzne(w szczególności, liniowo izometryczne) i jedna z nich jest przestrzenią Banacha, to i druga jest przestrzenią Banacha. Dowód. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że izomorfizm między dwiema pln ustanawia 1–1 odpowiedniość zarówno między ciągami zbieżnymi, jak i między ciągami Cauchy’ego w obu tych przestrzeniach. � 1.12-Z Zadania. Zad. 1.12.1. Podaj przykład izomorfizmu liniowo-topologicznego, który nie jest izometrią. Zad. 1.12.2. Pokaż, że c ' c0. [Wsk. Rozważ perator T , który każdemu x = (ξj) ∈ c przyporządkowuje Tx := (ξ0, ξ1 − ξ0, ξ2 − ξ0, . . . ) ∈ c0, gdzie ξ0 := limj ξj .] Uwaga: Można pokazać, że c 6∼= c0. Zad. 1.12.3. Jeżeli T : X → Y jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym, to ‖T‖ =? Ile wynosi norma operatora identycznościowego I : X → X ? Jeżeli V jest podprzestrzenią wX, to ile wynosi norma zanurzenia identycznościowego j : V → X ? Zad. 1.12.4. Uzasadnij, że dla dowolnych (niezdegenerowanych) przedziałów zwartych [a, b] i [c, d] w R mamy C[a, b] ∼= C[c, d]. Zad. 1.12.5. Pokaż, że przestrzeń C([0, 1]) zanurza się liniowo-izometrycznie w przestrzeni C([0, 1]2). Zad. 1.12.6. Pokaż, że dla każdego τ > 0 przestrzeń C[0, 1] zanurza się liniowo-izometrycznie w prze- strzeni Cτ (R) funkcji ciągłych τ -okresowych na R, rozpatrywanej z normą supremalną. [Wsk. 1) C[0, 1] ∼= C[0, 12τ ]; 2) C[0, 12τ ] ∼= Z := {h ∈ C[− 12τ, 12τ ] : h(− 12τ) = h( 12τ)} (wykorzystaj odbicie symetryczne w 0); 3) Z zanurza się liniowo-izometrycznie w Cτ (R).] Zad. 1.12.7. Niech K, K1 i K2 będą zbiorami zwartymi w R, przy czym K1 ⊂ K2. (a) Skonstruuj zanurzenie liniowo-izometryczne C(K) w C[0, 1]. (b) Skonstruuj zanurzenie liniowo-izometryczne C(K1) w C(K2). [Wsk. do (a):K zawiera się w pewnym przedziale zwartym [a, b]. Zbiór [a, b]rK jest sumą ciągu (skończonego lub nie) rozłącznych przedziałów, których końce należą do K. Przedłuż, w możliwie prosty sposób, każdą funkcję f ciągłą na K do funkcji f˜ ciągłej na [a, b]. To da izometrię liniową C(K) w C[a, b]. Co dalej?] Zad. 1.12.8. Udowodnij, że jeżeli S jest nieskończoną pt całkowicie regularną, to istnieje zanurzenie liniowo-izometryczne J : c → C(S). [Wsk. W S można znaleźć ciąg rozłącznych niepustych zbiorów otwar- tych.] Zad. 1.12.9. Niech ϕ będzie dowolną permutacją zbioru N, a (εj) dowolnym ciągiem skalarów o module 1. Sprawdź, że odwzorowanie, które dowolny ciąg x = (ξj) przeprowadza w ciąg y = (ηj), gdzie ηj := εjξϕ(j) dla j = 1, 2, . . . , jest izometrią liniową każdej z przestrzeni c0 i lp (1 6 p 6∞) na siebie. Czy można tu było wymienić także przestrzeń c? Zad. 1.12.10. Znajdź zanurzenie liniowo-izometryczne l1 w l∞. [Wsk. Niech S = zbiór wszystkich skończonych ciągów ε = (ε1, . . . , εn), gdzie εj = ±1. S jest zbiorem przeliczalnym, więc l∞(S) ∼= l∞. Określmy operator liniowy J : l1 → l∞(S) wzorem (Jx)(ε) = ∑n j=1 εjξj , gdzie x = (ξj) ∈ l1, ε = (ε1, . . . , εn) ∈ S. Mamy ‖Jx‖∞ = sup{|(Jx)(ε) : ε ∈ S} = ‖x‖1.] 38 Lech Drewnowski Zad. 1.12.11. Niech {f1, f2, . . . } będzie zbiorem przeliczalnym gęstym w kuli jednostkowej przestrzeni C[0, 1]. Pokaż, że operator T : l1 → C[0, 1] określony wzorem T (ξn) = ∑∞ n=1 ξnfn jest zanurzeniem liniowo- izometrycznym przestrzeni l1 w przestrzeń C[0, 1]. Zad. 1.12.12. Pokaż, że przestrzenie rzeczywiste l21 i l 2 ∞ są liniowo-izometryczne. Czy także l 3 1 ∼= l3∞? 1.13. Porównywanie norm. Normy równoważne. Niech ‖·‖ i ‖·‖′ będą normami określonymi na tej samej pl X. Mówimy, że norma ‖·‖′ jest słabsza od normy ‖·‖, lub że norma ‖·‖ jestmocniejsza od normy ‖·‖′, co zapisujemy ‖·‖′ ≺ ‖·‖ lub ‖·‖ � ‖·‖′, jeżeli T(‖·‖′) ⊂ T(‖·‖), czyli gdy odwzorowanie id : (X, ‖·‖) → (X, ‖·‖′) jest ciągłe. Można to wyrazić też w terminach ciągów zbieżnych: ‖xn − x‖ → 0 zawsze pociąga ‖xn − x)‖′ → 0, lub jeszcze prościej ‖xn‖ → 0 zawsze pociąga ‖xn‖′ → 0. Stosując Tw. 1.7.1 do operatora id : (X, ‖·‖)→ (X, ‖·‖′) widzimy, że ‖·‖′ ≺ ‖·‖ ⇐⇒ ∃ b > 0∀x ∈ X : ‖x‖′ 6 b‖x‖. Jeżeli ‖·‖′ ≺ ‖·‖, ale nie zachodzi ‖·‖ ≺ ‖·‖, to mówimy, że norma ‖·‖′ jest istotnie słabsza od normy ‖·‖, lub że norma ‖·‖ jest istotnie mocniejsza od normy ‖·‖′. Normy ‖·‖ i ‖·‖′ nazywamy równoważnymi i piszemy ‖·‖ ∼ ‖·‖′, jeżeli ‖·‖′ ≺ ‖·‖ i ‖·‖ ≺ ‖·‖′, czyli gdy T(‖·‖) = T(‖·‖′), czyli gdy operator id : (X, ‖·‖)→ (X, ‖·‖′) jest izomorfizmem. Oczywiście, tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy normy te wyznaczają te same ciągi zbieżne: ‖xn − x‖ → ⇐⇒ ‖xn − x‖′ → 0, lub prościej ‖xn‖ → 0 ⇐⇒ ‖xn‖′ → 0. Jest jasne, że ∼ relacją równoważności w zbiorze wszystkich norm na X. Z Tw. 1.12.1 wynika bezpośrednio następujące twierdzenie: Tw. 1.13.1. Dwie normy ‖·‖ i ‖·‖′ określone na tej samej pl X są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a, b > 0 takie, że a‖x‖ 6 ‖x‖′ 6 b‖x‖ dla każdego x ∈ X. Wniosek 1.13.2. Jeśli dwie normy są równoważne i jedna z nich jest zupełna, to i druga jest zupełna. Przykłady 1.13.3. (a) Przestrzenie lnp : Wiemy, że w Kn zbieżność w każdej z norm ‖·‖p to zbieżność po współrzędnych. Wyznaczają więc one w Kn tę samą zbieżność (i tę samą topologię — topologię produktową). Zatem dowolne dwie z nich są równoważne. To wynika też z łatwych nierówności ‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 n1/p‖x‖∞, ∀x ∈ Kn, 1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 39 Zatem własna norma przestrzeni lp jest mocniejsza od normy indukowanej z lr: ‖·‖r |lp ≺ ‖·‖p. Nie na odwrót! (Przykład?) (c) W przestrzeni C[0, 1] oprócz standardowej normy ‖·‖∞ rozważmy też normę ‖·‖1 określoną wzorem ‖f‖1 = ∫ 1 0 |f(s)| ds. Wtedy ‖f‖1 6 ‖f‖∞, ∀ f ∈ C[a, b], zatem ‖·‖1 ≺ ‖·‖∞. Nie na odwrót: Dla każdego n ∈ N niech fn ∈ C[0, 1] będzie funkcją, której wykresem jest łamana o wierzchołkach w punktach (0, n), (n−2, 0) i (1, 0). Wówczas ‖fn‖1 → 0, ale ‖fn‖∞ = n9 0 i wobec tego ‖·‖∞ ⊀ ‖·‖1. (d) Rozważmy pl C1[a, b] = C1([a, b],R) składającą się ze wszystkich funkcji f : [a, b] → R (ciągłych i) mających ciągłą pochodną f ′ na [a, b]. Znane twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych wskazuje, że „dobry” rodzaj zbieżności fn → f dla funkcji różniczkowalnych to ten, gdzie równocześnie fn → f jednostajnie na [a, b] i f ′n → f ′ jednostajnie na [a, b]. Łatwo podać normy w C1[a, b], które wyznaczają ten właśnie typ zbieżności – będziemy o nich mówić, że są dopuszczalne. Takimi (równoważnymi sobie nawzajem!) normami są np. ‖f‖′1 := ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞, ‖f‖′∞ := max{‖f‖∞, ‖f ′‖∞}, ‖f‖′2 := (‖f‖2∞ + ‖f ′‖2∞)1/2, itp. Inna, mocniejsza, postać wspomnianego twierdzenia sugeruje rozpatrywanie w przestrzeni C1[a, b] zbieżności fn → f opisywanej przez warunki fn(c)→ f(c) i f ′n → f ′ jednostajnie na [a, b], gdzie punkt c ∈ [a, b] jest ustalony. Ten typ zbieżności pokrywa się ze zbieżnością normową np. w normie danej wzorem ‖f‖ := |f(c)|+ ‖f ′‖∞. Pokażemy, że norma ta jest równoważna normie ‖·‖′1 (a więc i pozostałym); zatem oba typy zbieżności są identyczne: Dla dowolnego f ∈ C1[a, b] i t ∈ [a, b] mamy: |f(t)| 6 |f(c)|+ |f(t)− f(c)| 6 |f(c)|+ (b− a)|f ′(ξ)| 6 |f(c)|+ (b− a)‖f ′‖∞ (ξ z tw. Lagrange’a, gdy t 6= c; ξ dowolne, gdy t = c). Stąd ‖f‖∞ 6 |f(c)|+ (b− a)‖f ′‖∞, a następnie ‖f‖′1 6 |f(c)|+ (b− a+ 1)‖f ′‖∞ 6 (b− a+ 1)‖f‖. Tak więc ‖·‖ 6 ‖·‖′1 6 (b− a+ 1)‖·‖. Przestrzeń C1[a, b] jako pln rozpatrywana jest z dowolną spośród dopuszczalnych norm poda- nych powyżej, lub z jakąkolwiek inną generującą określony powyżej „dobry” typ zbieżności. Wszyst- kie takie normy są sobie nawzajem równoważne, zatem wyznaczają tę samą topologię w C1[a, b]. Nie ma wśród nich takiej, którą można by uważać za najbardziej naturalną czy standardową, co wyraźnie kontrastuje np. z przypadkiem przestrzeni lp czy Lp(µ). 1.13-Z Zadania. Zad. 1.13.1. Wykaż, że w pl l1 norma ‖·‖1 i norma ‖x‖ := ∑∞ n=1 ∣∣(2− (−1)n)ξn∣∣ są równoważne. Zad. 1.13.2. Wykaż, że jeżeli 1 6 p < r 6∞ (a wtedy, jak wiemy, lp ⊂ lr), to (a) w lp norma ‖·‖p jest istotnie mocniejsza od normy ‖·‖r indukowanej z lr; (b) pln (lp, ‖·‖r) nie jest zupełna. Zad. 1.13.3. Dla 1 6 p < ∞ niech vp oznacza zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczbowych x = (ξj)∞j=0) takich, że ξ0 = 0 oraz ∑∞ j=1 |ξj − ξj−1|p 40 Lech Drewnowski (b) Wzór |||x|||p := ( ∑∞ j=1 |ξj − ξj−1|p)1/p definiuje normę w przestrzeni vp. (c) Gdy 1 6 p < r 0. Istnieje wielomian v taki, że ‖f ′ − v‖∞ 6 ε. Def. wielomian w(x) = f(a) + ∫ x a v(t) dt. Wtedy ‖f − w‖ 6 . . . ?] Zad. 1.13.9. Niech S := [0,∞) i niech F oznacza przestrzeń liniową (rzeczywistą) składającą się ze wszystkich takich funkcji f : S → R, które są ograniczone i ciągłe na półprostej [1,∞), a na przedziale [0, 1] mają ciągłą pochodną. Przestrzeń tę rozważamy poniżej z normą ‖·‖ określoną wzorem ‖f‖ = sup 06x61 |f ′(x)|+ sup x>1 |f(x)|. (a) Uzasadnij, że F jest pl i ‖·‖ jest naprawdę normą w F . (b) Uzasadnij, że F jest właściwą podprzestrzenią liniową przestrzeni C(S). (c) Wykaż, że w przestrzeni F jej norma ‖·‖ jest istotnie mocniejsza od normy supremalnej ‖·‖∞ indukowanej z przestrzeni C(S). (d) Udowodnij, że F jest przestrzenią Banacha. Zad. 1.13.10. Niech S będzie pt całkowicie regularną. Na C(S) określmy seminormę ‖·‖ wzorem ‖f‖ = ‖fg‖∞, gdzie g ∈ C(S) jest ustalone. 1) Pokaż, że ‖·‖ ≺ ‖·‖∞. 2) Kiedy ‖·‖ jest normą? 3) Kiedy ‖·‖ ∼ ‖·‖∞? Zad. 1.13.11. Na lp (1 6 p < ∞) określmy seminormę ‖·‖ wzorem ‖x‖ = ‖xy‖1, gdzie y = (ηj) ∈ lq (q = p∗) jest ustalone. 1) Pokaż, że ‖·‖ ≺ ‖·‖p. 2) Kiedy ‖·‖ jest normą? 3) Kiedy ‖·‖ ∼ ‖·‖p? [Odp. : Iff p = 1 i infj |ηj | > 0. Wsk. Jeśli a‖x‖p 6 ‖x‖, ∀x ∈ lp, to stosując to do x = ej dostaniemy a 6 |ηj |, ∀ j. Stąd q =∞, czyli p = 1.] Zad. 1.13.12. Zadanie analogiczne do poprzedniego – dla przestrzeni Lp. Zad. 1.13.13. Niech µ będzie miarą skończoną, dla której istnieje ciąg (An) rozłącznych zbiorów mierzal- nych takich, że 0 < µ(An) Elementy Analizy Funkcjonalnej 41 Zad. 1.13.17. Dla x = (ξj) ∈ KN niech ‖x‖(∞) := sup{| ∑ j∈A ξj | : A ∈ 〈N〉}, gdzie 〈N〉 := rodzina wszystkich skończonych podzbiorów w N. Pokaż, że: a) ‖x‖(∞) 0 takiego, że ∑∞ n=1 εn k ‖xn − xm‖ → 0. Istnieje więc ściśle rosnący ciąg wskaźników kj taki, że akj 6 εj , ∀ j. Wtedy tym bardziej ‖zj‖ 6 εj , gdzie zj = xkj+1 − xkj . W myśl założenia szereg xk1 + ∞∑ j=1 zj jest zbieżny do pewnego x ∈ X, zatem x = lim n→∞ ( xk1 + n−1∑ j=1 zj ) = lim n→∞xkn . Stąd, ponieważ (xn) jest ciągiem Cauchy’ego, także xn → x (uzasadnienie?). � Twierdzenie 1.14.2 ( Porównawcze kryterium zupełności). Jeśli dla pln X = (X, ‖·‖X) ist- nieje przestrzeń Banacha Y = (Y, ‖·‖Y ) taka, że 1) X jest ppl Y ; 2) zanurzenie identycznościowe id : X → Y jest ciągłe, tj. w przestrzeni X jej norma ‖·‖X jest mocniejsza od normy ‖·‖Y indukowanej z przestrzeni Y , czyli dla pewnej stałej b > 0 mamy ‖x‖Y 6 b‖x‖X dla każdego x ∈ X; 3) domknięta kula jednostkowa BX przestrzeni X jest zbiorem domkniętym w Y , to także X jest przestrzenią Banacha. Dowód. Zauważmy najpierw, że w każdej pln odwzorowania z → αz (α 6= 0) są homeomorfi- zmami. Stąd i z 3) wynika, że każda kula rBX jest zbiorem domkniętym w Y . Niech (xn) będzie ciągiem Cauchy’ego w X. Z 2) wynika, że jest on ciągiem Cauchy’ego w Y , zatem ma w Y granicę y. Ponadto jest on ograniczony w X (Tw. 1.2.1), więc (xn) ⊂ rBX dla pewnego r > 0. Ale zbiór rBX jest domknięty w Y , więc y ∈ rBX ; w szczególności y ∈ X. 42 Lech Drewnowski Pokażemy, że xn → y w X. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ (xn) jest ciągiem Cauchy’ego w X, to istnieje k takie, że ‖xn−xm‖X 6 ε, czyli xn−xm ∈ ε ·BX , dla wszystkich m,n > k. Ustalmy n > k i rozważmy ciąg (xn−xm)m>k. Jest on zbieżny w Y do elementu xn−y. Ale wszystkie wyrazy ciągu (xn − xm)m>k są w kuli ε ·BX , która jest zbiorem domkniętym w Y . Zatem xn − y ∈ ε ·BX , czyli ‖xn − y‖X 6 ε dla n > k. � Pierwsze z tych kryteriów było już wykorzystane w dowodzie zupełności przestrzeni Lp(µ) dla 1 6 p < ∞ (zob. Prz. 1.5.9), będzie też użyte w dowodzie Tw. 1.18.4 o zupełności ilorazów przestrzeni Banacha. Stosowanie drugiego z nich ilustruje poniższy Przykład 1.14.3. Dowód zupełności przestrzeni lp (1 6 p < ∞) oparty na kryterium porów- nawczym. W roli X wystąpi tu lp, a jako Y weźmiemy l∞: Ponieważ lp ⊂ l∞ i ‖x‖∞ 6 ‖x‖p, ∀x ∈ lp, to pozostaje sprawdzić, że kula jednostkowa Bp przestrzeni lp jest zbiorem domkniętym w l∞. Niech więc xn = (ξnj) ∈ Bp i xn → x = (ξj) w l∞. Wtedy tym bardziej xn → x po współ- rzędnych. Dla dowolnych ustalonych k i n mamy ∑k j=1 |ξnj |p 6 1. Stąd przy n → ∞ dostajemy∑k j=1 |ξj |p 6 1. Zatem ∑∞ j=1 |ξj |p 6 1, czyli x ∈ Bp. Inne przykłady wykorzystujące porównawcze kryterium zupełności można znaleźć w § 1.15. 1.14-Z Zadania. Zad. 1.14.1. Udowodnij następujący wariant Tw. 1.14.2: Twierdzenie. Jeżeli dla pln X = (X, ‖·‖) spełnione są następujące warunki 1) X jest ppl w F(S,K) dla pewnego zbioru S; 2) zbieżność normowa w X pociąga zbieżność punktową; 3) domknięta kula jednostkowa BX w X jest zbiorem ciągowo domkniętym w F(S), to X jest przestrzenią Banacha. Zad. 1.14.2. Wykaż, że Tw. 1.14.2 pozostanie prawdziwe, jeżeli opuścimy założenie, że pln Y jest zupełna, ale równocześnie warunek 3) zastąpimy warunkiem: 3′) domknięta kula jednostkowa BX w X jest zbiorem zupełnym w Y . Zad. 1.14.3. Udowodnij zupełność przestrzeni B(S) i lp (1 6 p 6∞) wykorzystując Zad. 1.14.1. 1.15. Przykłady przestrzeni Banacha (2). Przykład 1.15.1. Przestrzeń Banacha Ck([a, b] ≡ Ck([a, b],K) (k ∈ N) funkcji k-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły . Tworzą ją funkcje f : [a, b]→ K mające ciągłe pochodne do rzędu k włącznie. Za „dopuszczalną” normę w Ck[a, b] uważamy każdą normę ‖·‖ taką, że zbieżność fn → f w tej normie równoważna jest jednostajnej zbieżność wszystkich pochodnych rzędów 6 k, tzn. ‖f − fn‖ → 0 ⇐⇒ f (j)n → f (j) jednostajnie na [a, b] dla j = 0, . . . , k. Takimi (równoważnymi!) normami są np. ‖f‖′1 := k∑ j=0 ‖f (j)‖∞ i ‖f‖′∞ := max06j6k ‖f (j)‖∞, gdzie oczywiście ‖f (j)‖∞ = sup t∈[a,b] |f (j)(t)|. Można też pokazać, że dla każdego ustalonego c ∈ [a, b] wzór ‖f‖ := |f(c)|+ |f ′(c)|+ · · ·+ |f (k−1)(c)|+ ‖f (k)‖∞ definiuje w Ck[a, b] normę równoważną podanym powyżej. [Wsk. Korzystając ze wzoru Taylora dla f (j) wokół punktu c uzyskaj nierówności postaci ‖f (j)‖∞ 6Mj‖f‖.] Elementy Analizy Funkcjonalnej 43 Przestrzeń Ck[a, b] jako pln rozpatruje się z dowolną spośród takich „dopuszczalnych” norm. Pokażemy, że jest ona przestrzenią Banacha w każdej z nich. Niech (fn) będzie ciągiem Cauchy’ego w Ck[a, b], np. w normie ‖·‖′∞. Wtedy dla j = 0, . . . , k ciąg (f (j)n ) jest ciągiem Cauchy’ego w C[a, b] i wobec tego istnieje funkcja gj ∈ C[a, b] taka, że f (j) n → gj (n → ∞) jednostajnie na [a, b]. Z twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych wynika, że g′j = gj+1 dla j = 0, . . . , k−1. Stąd mamy gj = g(j)0 dla j = 0, . . . , k. Zatem g0 ∈ Ck[a, b] i ‖f (j)n − g(j)0 ‖∞ → 0 (n→∞) dla j = 0, . . . , k, czyli fn → g0 w normie ‖·‖′∞. Przykład 1.15.2. Przestrzeń Banacha V [a, b] ≡ V ([a, b],K) funkcji o ograniczonym wahaniu . Składa się ona z funkcji f : [a, b]→ K mających ograniczone wahanie (wariację) v(f) := var[a,b](f) na przedziale [a, b]. Z nierówności |f(t)| 6 |f(a)|+ |f(t)− f(a)| 6 |f(a)|+ v(f) wynika, że takie funkcje są ograniczone, przy czym ‖f‖∞ 6 |f(a)|+ v(f). Funkcjonał v : V [a, b]→ R+ jest seminormą; ponadto N(v) = podprzestrzeń funkcji stałych. Z seminormy v można „zrobić” wiele różnych, ale nawzajem sobie równoważnych norm w V [a, b]. Można np. przyjąć ‖f‖v,∞ := ‖f‖∞ + v(f), albo, ustaliwszy dowolny punkt c ∈ [a, b], przyjąć ‖f‖v,c := |f(c)|+ v(f), otrzymując normy ‖·‖v,∞ i ‖·‖v,c. Są one równoważne, bo dla f ∈ V [a, b] i dowolnego t ∈ [a, b] mamy |f(t)|+ v(f) 6 |f(c)|+ |f(t)− f(c)|+ v(f) 6 |f(c)|+ 2v(f), skąd łatwo dostajemy nierówności ‖f‖v,c 6 ‖f‖v,∞ 6 2‖f‖v,c. Gdy przestrzeń V [a, b] traktuje się jako pln, to wyposażona jest ona w którąś z powyższych norm (lub w jakąś normę im równoważną). Powinno być jasne, że w tak unormowanej (czy stopo- logizowanej) przestrzeni V [a, b] zbieżność normowa fn → f oznacza, że v(f − fn) → 0 i fn → f jednostajnie na [a, b] (a wystarcza, by fn(c)→ f(c) dla pewnego c ∈ [a, b]). Zupełność V [a, b] w tych normach, np. ‖·‖v,a, pokazuje się najprościej korzystając z porównaw- czego kryterium zupełności (Tw. 1.14.2). Szkic dowodu zupełności. Jak widzieliśmy na początku, mamy V [a, b] ⊂ B[a, b] oraz ‖f‖∞ 6 |f(a)|+ v(f) = ‖f‖v,a, ∀ f ∈ V [a, b]. Należy jeszcze zauważyć, że domknięta kula jednostkowa w V [a, b], to zbiór BV = { f ∈ B[a, b] : |f(a)|+ n∑ j=1 |f(tj)− f(tj−1)| 6 1 ∀ a = t0 < t1 < · · · < tn = b (n ∈ N) } i sprawdzić, że jest on domknięty w B[a, b] (co nie jest trudne). Przykład 1.15.3. Przestrzeń Banacha Lipα[a, b] ≡ Lipα([a, b],K) (0 < α 6 1) funkcji f : [a, b] → K spełniających warunek Lipschitza (inaczej Ho¨ldera) rzędu α tj. takich, że dla pewnej stałej L > 0 (zależnej od f) i dowolnych s, t ∈ [a, b] mamy |f(s)− f(t)| 6 L|s− t|α. 44 Lech Drewnowski Naturalne jest rozważenie najmniejszej takiej stałej L, co prowadzi do wzoru λα(f) : = inf{L > 0 : |f(s)− f(t)| 6 L|s− t|α, ∀ s, t ∈ [a, b]} = sup { |f(s)− f(t)| |s− t|α : s, t ∈ [a, b], s 6= t } , definiującego seminormę λα na Lipα[a, b]. Jest widoczne, że N(λα) to podprzestrzeń funkcji stałych. Z seminormy λα można „zrobić” różne, nawzajem sobie równoważne normy na Lipα[a, b], podobnego typu jak w poprzednim przykładzie, np. dane wzorami ‖f‖ = ‖f‖∞ + λα(f) lub ‖f‖c = |f(c)|+ λα(f), gdzie punkt c ∈ [a, b] jest ustalony. Przestrzeń Lipα[a, b], traktowana jako pln, jest wyposażana w którąś z tych (lub im równo- ważnych) norm i w każdej z nich jest zupełna. Można to wykazać bezpośrednio, np. dla normy ‖·‖, albo – nieco prościej – wykorzystując Tw. 1.14.2. (W tym drugim przypadku należy zauważyć, że Lipα[a, b] ⊂ C[a, b] ⊂ B[a, b] i że ‖·‖∞ 6 ‖·‖ na Lipα[a, b].) Można też skorzystać z Zad. 1.14.1. Przykład 1.15.4. Przestrzenie Banacha funkcji holomorficznych . Ograniczymy się tu do funkcji na dysku jednostkowym D := {z ∈ C : |z| < 1}. Niech H(D) oznacza (zespoloną) pl wszystkich funkcji holomorficznych (inaczej, analitycznych) f : D → C. Do najczęściej spotykanych przestrzeni Banacha funkcji holomorficznych na dysku D należą przestrzenie wymienione poniżej (zob. np. [R]). W dowodach ich zupełności istotną rolę odgrywa tw. Weierstrassa: Granica niemal jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych jest funkcją holomorficzną. (a) Przestrzenie Hardy’ego Hp = Hp(D) (1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 45 Zauważmy jeszcze, że gdy 1 6 p < r < ∞, to Hr ⊂ Hp i ‖f‖p 6 ‖f‖r dla f ∈ Hr (por. Prz. 0.7.5). (b) Przestrzeń (algebra) Hardy’ego H∞ = H∞(D), składająca się z ograniczonych funkcji f ∈ H(D), wyposażona w normę supremalną: ‖f‖∞ := sup z∈D |f(z)|. (c) Algebra dyskowa A(D), składająca się z funkcji f ∈ H(D) mających ciągłe przedłużenie f˜ na dysk domknięty D, rozpatry- wana z normą supremalną: ‖f‖∞ := sup z∈D |f(z)| = sup z∈D |f˜(z)|. Tak więc, jeżeli oznaczymy CA(D) = {F ∈ C(D,C) : F |D ∈ H(D)}, to A(D) = {F |D : F ∈ CA(D)} i operator rozszerzania f → f˜ jest izometrią liniową przestrzeni A(D) na podprzestrzeń CA(D) przestrzeni C(D,C). (Izometrią odwrotną jest operator restrykcji F → F |D.) (d) Przestrzeń Bergmana Ap(D) (1 6 p 0. Istnieje wielomian v taki, że ‖f (k)− v‖∞ 6 ε. Def. wielomiany v1(x) = ∫ x a v(t) dt, . . . , vk(x) = ∫ x a vk−1(t) dt, a potem wielomian w(x) = ∑k−1 j=0 f (j)(a)(x− a)j/j! + vk(x). Wtedy ‖f − w‖ 6 . . . ?] Zad. 1.15.4. Wykaż, że: (a) V [a, b] jest pl; (b) funkcjonał v z Prz. 1.15.2 jest seminormą na V [a, b], a N(v) to przestrzeń funkcji stałych na [a, b]; (c) każda z norm w przestrzeni V [a, b] podanych w Prz. 1.15.2 jest istotnie mocniejsza od normy ‖·‖∞ indukowanej z B[a, b]; (d) przestrzeń V C[a, b] := V [a, b] ∩ C[a, b] jest podprzestrzenią domkniętą w V [a, b]; a czy jest ona domknięta w C[a, b] ? 46 Lech Drewnowski Zad. 1.15.5. Niech 0 < α 6 1. Wykaż, że: (a) Lipα([a, b]) jest pl. (b) Funkcjonał λα zdefiniowany w Prz. 1.15.3 jest seminormą na Lipα([a, b]), a N(λα) to przestrzeń funkcji stałych na [a, b]. (c) Lipα([a, b]) ⊂ C([a, b]). (d) Określone w Prz. 1.15.3 funkcjonały ‖·‖c i ‖·‖ są równoważnymi normami w Lipα([a, b]). (e) Wspomniane w (d) normy są istotnie mocniejsze od normy ‖·‖∞ indukowanej z C([a, b]). (f) Przestrzeń Lipα([a, b]) jest przestrzenią Banacha w każdej z norm z (d). (g) Przy odpowiednim wyborze norm przestrzeń C1[a, b] jest podprzestrzenią przestrzeni Lip1([a, b]). [Wsk. Stosując tw. Lagrange’a pokaż, że ‖f ′‖∞ = λ1(f) dla f ∈ C1[a, b].] (h) Jeśli 0 < α < β 6 1, to Lipβ([a, b]) ⊂ Lipα([a, b]), przy czym inkluzja jest właściwa i ciągła, ale nie jest zanurzeniem izomorficznym. Dlaczego przestrzeni Lipα([a, b]) nie warto rozważać dla α > 1? Zad. 1.15.6. Uogólnienie poprzedniego zadania: Przestrzeń Banacha Lipα(S), gdzie S = (S, d) jest dowolną przestrzenią metryczną i 0 < α 6 1. O funkcji f : S → K mówimy, że spełnia warunek Lipschitza (lub Ho¨ldera) rzędu α, jeśli istnieje stała L > 0 taka, że |f(s)− f(t)| 6 L[d(s, t)]α, ∀ s, t ∈ S. Niech Lipα(S) oznacza zbiór wszystkich takich funkcji. Wykaż, że: (a) Lipα(S) jest pl; (b) wzór analogiczny jak w Prz. 1.15.3 definiuje seminormę λα na Lipα(S); N(λα) =? (c) dla każdego ustalonego punktu c ∈ S wzór ‖f‖c = |f(c)|+ λα(f) definiuje normę ‖·‖c na Lipα(S), przy czym wszystkie te normy są sobie nawzajem równoważne; (d) Lipα(S) jest przestrzenią Banacha w każdej z norm określonych w c) [dowód bezpośredni lub z wykorzystaniem Zad. 1.14.1]; (e) każda funkcja f ∈ Lipα(S) jest jednostajnie ciągła, a ponadto ograniczona na ograniczonych pod- zbiorach przestrzeni S; (f) zbieżność normowa w Lipα(S) pociąga zbieżność jednostajną na każdym ograniczonym podzbiorze przestrzeni S; (g) jeżeli przestrzeń S jest ograniczona (tzn. d(S) := sup{d(s, t) : s, t ∈ S} 0∃ δ > 0 takie, że jeśli a 6 s1 < t1 6 s2 < t2 6 . . . 6 sn < tn 6 b (n ∈ N) i ∑n j=1(tj−sj) 6 δ, to ∑n j=1 |f(tj)− f(sj)| 6 ε. Wykaż, że: (a) AC[a, b] jest pl; (b) AC[a, b] ⊂ C[a, b] ∩ V [a, b], przy czym jest to inkluzja właściwa; (c) AC[a, b] jest domkniętą ppl pln V [a, b]; (d) AC[a, b] z którąkolwiek z norm indukowanych z V [a, b] jest przestrzenią Banacha. Zad. 1.15.8. Pokaż, że Lip1[a, b] ⊂ AC[a, b], przy czym inkluzja ta jest właściwa. Niech ‖·‖Lip i ‖·‖AC oznaczają dowolne spośród „dopuszczalnych” norm w tych przestrzeniach. Pokaż, że w przestrzeni Lip1[a, b] norma ‖·‖Lip jest istotnie mocniejsza od normy ‖·‖AC. Zad. 1.15.9. Podaj szczegółowy dowód zupełności przestrzeniHp(D), gdzie 1 6 p Elementy Analizy Funkcjonalnej 47 Przypomnijmy też z Algebry, że każde dwie pl nad tym samym ciałem K i mające ten sam wymiar są (algebraicznie) izomorficzne. Izomorfizmem między nimi jest każdy operator liniowy, który bazę jednej przestrzeni przeprowadza w sposób różnowartościowy na bazę drugiej przestrzeni. Twierdzenie 1.16.1. Izomorfizm algebraiczny T między dwiema pln X i Y nad tym samym ciałem K i o tym samym wymiarze skończonym n jest zawsze izomorfizmem liniowo-topologicznym. Dowód. Izomorfizm T można „rozłożyć” w następujący sposób: T = V ◦U, gdzie U : X → ln2 i V : ln2 → Y są izomorfizmami algebraicznymi. (Jak to zrobić?) Wystarczy zatem pokazać, że jeśli J jest bijekcją liniową przestrzeni ln2 = (Kn, ‖·‖2) na pln Z = (Z, ‖·‖), to J jest izomorfizmem liniowo-topologicznym. Dla dowolnego x = (ξj) = ∑n j=1 ξjej ∈ Kn mamy ‖Jx‖ = ∥∥∥∥ n∑ j=1 ξjJej ∥∥∥∥ 6 n∑ j=1 |ξj | ‖Jej‖ 6 b ( n∑ j=1 |ξj |2 )1/2 = b‖x‖2, gdzie b := ( ∑n j=1 ‖Jej‖2)1/2. Na mocy Tw. 1.7.1 operator J jest więc ciągły. Stąd i z Tw. 1.2.4 wynika, że także funkcja x→ ‖Jx‖ jest ciągła. Na sferze S = {x ∈ Kn : ‖x‖2 = 1}, będącej zbiorem zwartym w ln2 , funkcja ta osiąga swój kres dolny. Zatem dla pewnego x0 ∈ S mamy a := inf x∈S ‖Jx‖ = ‖Jx0‖ > 0 (bo Jx0 6= 0). Tak więc ‖x‖2 = 1 =⇒ ‖Jx‖ > a, a stąd dla dowolnego 0 6= x ∈ Kn otrzymujemy∥∥∥∥J ( x‖x‖2 )∥∥∥∥ > a, czyli ‖Jx‖ > a‖x‖2. Ostatecznie, a‖x‖2 6 ‖Jx‖ 6 b‖x‖2 dla każdego x ∈ ln2 . Na mocy Tw. 1.12.1 J jest izomorfizmem liniowo-topologicznym ln2 na Z. � Poniższe wnioski są łatwymi konsekwencjami Tw. 1.16.1. Wniosek 1.16.2. Każde dwie pln nad tym samym ciałem K i mające ten sam wymiar skoń- czony są izomorficzne. Dowód. Między takimi przestrzeniami istnieje izomorfizm algebraiczny. � Wniosek 1.16.3. W każdej pl skończonego wymiaru dowolne dwie normy są równoważne. Dowód. Niech ‖·‖ i ‖·‖′ będą normami w pl X wymiaru n < ∞. Stosujemy Tw. 1.16.1 do operatora identycznościowego id : (X, ‖·‖)→ (X, ‖·‖′). � Wniosek 1.16.4. Każda pln o skończonym wymiarze jest przestrzenią Banacha. Dowód. Jeśli X jest pln wymiaru n 48 Lech Drewnowski Wniosek 1.16.6. Podzbiór pln skończonego wymiaru jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i domknięty. W konsekwencji, w pln skończonego wymiaru klasy zbiorów relatywnie zwartych, zbiorów prezwartych i zbiorów ograniczonych są identyczne. [Zob. definicje w Zad. 1.2.5.] Dowód. Niech X będzie pln wymiaru n < ∞. Wybierzmy dowolny izomorfizm liniowo- topologiczny J : X → ln2 . Zauważmy, że J ustala odpowiedniość 1–1 między zbiorami ograniczonymi [domkniętymi; zwartymi] w X i zbiorami ograniczonymi [domkniętymi; zwartymi] w ln2 . To znaczy, jeżeli A ⊂ X, B ⊂ ln2 i B = T (A) (równoważnie: A = T−1(B)), to A jest zbiorem ograniczonym [domkniętym; zwartym] w X ⇐⇒ B jest zbiorem ograniczonym [domkniętym; zwartym] w ln2 . Stąd i z faktu, że w przestrzeni ln2 zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony wynika, że tak samo charakteryzują się zbiory zwarte w przestrzeni X. � Wniosek 1.16.7. W dowolnej pln podprzestrzenie liniowe skończonego wymiaru są domknięte. Dowód. Taka ppl, rozpatrywana z indukowaną normą, jest pln wymiaru skończonego, więc jest zupełna (Wn. 1.16.4). Aby zakończyć wystarczy powołać się na drugą część Tw. 1.3.1. � Zmierzamy teraz do pokazania, że charakteryzacja zbiorów zwartych podana we Wn. 1.16.6 zachodzi wyłącznie w pln wymiaru skończonego. Odległość d(x0, L) punktu x0 od niepustego zbioru L w pln X określa się wzorem d(x0, L) = inf{‖x0 − z‖ : z ∈ L}. Zauważmy, że gdy L jest ppl (a wystarczy, by 0 ∈ L), to d(x0, L) 6 ‖x0‖. Lemat 1.16.8 (Lemat Riesza). Niech L będzie domkniętą ppl właściwą pln X. Wtedy dla każdego ε > 0 można znaleźć element x0 ∈ X o normie 1 taki, że ‖x0 − z‖ > 1− ε dla wszystkich z ∈ L, czyli d(x0, L) > 1− ε. (Z drugiej strony, oczywiście, d(x0, L) 6 ‖x0‖ = 1.) Dowód. Możemy zakładać, że 0 < ε < 1. Niech x1 ∈ X \ L. Ponieważ L jest podprzestrzenią domkniętą, to d := d(x1, L) > 0. Możemy znaleźć z1 ∈ L takie, że d 6 ‖x1 − z1‖ < (1 + ε)d. Niech x0 := x1 − z1 ‖x1 − z1‖ . Oczywiście ‖x0‖ = 1. Dla dowolnego z ∈ L element w := z1 + ‖x1 − z1‖z należy do L i wobec tego ‖x0 − z‖ = 1‖x1 − z1‖‖x1 − w‖ > d (1 + ε)d > 1− ε, co kończy dowód. � Twierdzenie 1.16.9 (F. Riesz). Jeżeli w pln X jej domknięta kula jednostkowa (lub, równo- ważnie, każdy zbiór domknięty i ograniczony) jest zbiorem zwartym, to dimX 1/2, ∀ z ∈ lin{x1, . . . , xn}. (Ważne: lin{x1, . . . , xn} jest domkniętą ppl w X – zob. Wn. 1.16.7.) Stąd ‖xn − xm‖ > 1/2 dla dowolnych m 6= n, zatem ciąg (xn) nie zawiera podciągu Cauchy’ego, a tym bardziej podciągu zbieżnego. � Poniższe twierdzenie pokazuje pewne zastosowanie przedstawionych powyżej faktów w teorii aproksymacji. Elementy Analizy Funkcjonalnej 49 Twierdzenie 1.16.10. Niech L będzie podprzestrzenią skończonego wymiaru pln X. Wtedy dla każdego punktu x ∈ X istnieje najbliższy mu punkt w L, tj. punkt z0 ∈ L taki, że d(x, L) = ‖x− z0‖. Inaczej mówiąc, każdy element przestrzeni X ma najlepsze przybliżenie w podprzestrzeni L. Dowód. Przypomnijmy, że d(x, L) := inf{‖x− z‖ : z ∈ L}. Możemy założyć, że x /∈ L. Wówczas, ponieważ L jest domknięte w X (Wn. 1.16.7), to r := d(x, L) > 0. Niech R := r + ‖x‖. Jeśli z ∈ L i ‖z‖ > R, to ‖x− z‖ > ‖z‖ − ‖x‖ > R− ‖x‖ = r. Zatem pożądanego elementu z0 należy szukać w kuli K := {z ∈ L : ‖z‖ 6 R} podprzestrzeni L. Rozważmy funkcję f : L→ R daną wzorem f(z) = ‖x− z‖. Jest ona ciągła, bo |f(z)− f(z′)| 6 ‖z − z′‖, ∀ z, z′ ∈ L. Ponieważ kula K jest zbiorem zwartym w L (Wn. 1.16.6), to f osiąga swój kres dolny na K: istnieje punkt z0 ∈ K taki, że f(z0) = inf{f(z) : z ∈ K}. Oczywiście, z0 spełnia tezę twierdzenia. � Wniosek 1.16.11. Dla każdej funkcji f ∈ C[a, b] i n ∈ N0 istnieje najlepsze przybliżenie jedno- stajne (tj. w normie supremalnej ) funkcji f wielomianami algebraicznymi [trygonometrycznymi ] stopnia 6 n. 1.16-Z Zadania. Zad. 1.16.1. Pokaż, że jeśli funkcja f ∈ C[a, b] jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów ograniczonego stopnia, to f jest wielomianem. Zad. 1.16.2. Uzasadnij, że jeżeli X jest pln i dimX = n 50 Lech Drewnowski Tw. 1.17.2. Produkt skończonej liczby ośrodkowych pln (rozpatrywany z dowolną normą pro- duktową) jest ośrodkową pln. Przypomnijmy, że operator T : X1 × · · · ×Xn → Y, gdzie X1, . . . , Xn, Y są pl, nazywa się n-liniowy , gdy jest liniowy w każdej zmiennej z osobna (co to znaczy?). Dla takich operatorów zachodzi twierdzenie o ciągłości analogiczne do Tw. 1.7.1 dotyczącego operatorów liniowych – dla uproszczenia formułujemy je poniżej dla przypadku n = 2, tj. dla operatorów dwuliniowych . Twierdzenie 1.17.3. Niech X1, X2 i Y będą pln. Dla każdego operatora dwuliniowego T : X1 ×X2 → Y następujące warunki są równoważne: (a) T jest ciągły. (b) T jest ciągły w punkcie (0, 0) ∈ X1 ×X2. (c) Istnieje stała M taka, że ‖T (x1, x2)‖ 6M‖x1‖ ‖x2‖, ∀ (x1, x2) ∈ X1 ×X2. Dowód. Produkt X = X1×X2 będziemy rozważać z normą produktową ‖·‖ określoną wzorem ‖x‖ = max{‖x1‖, ‖x2‖} dla x = (x1, x2) ∈ X. Implikacja (a) =⇒ (b) jest banalna. (b) =⇒ (c): W myśl (b) istnieje r > 0 takie, że jeżeli x = (x1, x2) ∈ X i ‖x‖ 6 r, to ‖Tx‖ 6 1. Stąd dla dowolnego x = (x1, x2) ∈ X takiego, że xj 6= 0 dla j = 1, 2 będziemy mieć∥∥∥∥T(r x1‖x1‖ , r x2‖x2‖ )∥∥∥∥ 6 1, skąd łatwo dostajemy, że ‖Tx‖ 6 1 r2 ‖x1‖ ‖x2‖ i jest jasne, że nierówność ta zachodzi także wtedy, gdy xj = 0 dla jakiegoś j (bo wtedy Tx = 0). (c) =⇒ (a): Niech x = (x1, x2), x0 = (x01, x02) ∈ X. Wtedy (por. Tw. 1.6.1, dowód ciągłości mnożenia przez liczby) Tx− Tx0 = T (x1 − x01, x2 − x02) + T (x1 − x01, x02) + T (x01, x2 − x02), a stąd i z (c) otrzymujemy ‖Tx− Tx0‖ 6 ‖T (x1 − x01, x2 − x02)‖+ ‖T (x1 − x01, x02)‖+ ‖T (x01, x2 − x02)‖ 6M(‖x1 − x01‖ · ‖x2 − x02‖+ ‖x1 − x01‖ · ‖x02‖+ ‖x01‖ · ‖x2 − x02‖). Stąd łatwo już wynika ciągłość T w punkcie x0. � Uwagi. (a) W odróżnieniu od operatorów liniowych, ciągły operator dwuliniowy nie musi być jednostajnie ciągły! Kontrprzykładem jest np. zwykłe mnożenie w R, tj. funkcjonał dwuliniowy (x, y)→ xy na R× R. Zob. też poniżej Zad. 1.17.8. (b) W podobny sposób jak dla operatorów liniowych (zob. § 1.8), ale tym razem biorąc za punkt wyjścia Tw. 1.17.3, definiuje się normę ciągłego operatora dwuliniowego (ogólniej: n-liniowego), a następnie uzyskuje wzory na tę normę analogiczne do wzorów na normę operatora liniowego. Przykłady 1.17.4. Przykłady ciągłych funkcjonałów i operatorów dwuliniowych. (a) Funkcjonał T określony na produkcie C[a, b]× C[a, b] wzorem T (f, g) = ∫ b a f(x)g(x) dx Elementy Analizy Funkcjonalnej 51 jest dwuliniowy, przy czym |T (f, g)| 6 (b− a) ‖f‖∞‖g‖∞, ∀ f, g ∈ C[a, b]. Zatem T jest ciągłym funkcjonałem dwuliniowym. (b) Z Wn. 0.7.3 otrzymujemy, że dla dowolnej pary p, q wykładników sprzężonych operatory dwuliniowe lnp × lnq → ln1 : (x, y)→ xy, lp × lq → l1 : (x, y)→ xy, Lp(µ)× Lq(µ)→ L1(µ) : (f, g)→ fg oraz funkcjonały dwuliniowe (x, y)→ n∑ j=1 ξjηj na lnp × lnq , (x, y)→ ∞∑ j=1 ξjηj na lp × lq, (f, g)→ ∫ S fg dµ na Lp(µ)× Lq(µ) są dobrze określone i ciągłe. 1.17-Z Zadania. Zad. 1.17.1. Niech ϕ będzie normą monotoniczną na przestrzeni Rn, tj. taką, że gdy x = (ξj), y = (ηj) ∈ Rn i |x| 6 |y|, czyli |ξj | 6 |ηj | dla j = 1, . . . , n, to ϕ(x) 6 ϕ(y). Pokaż, że jeśli (Xj , ‖·‖j), j = 1, . . . , n, są pln, to wzór ‖(x1, . . . , xn)‖ = ϕ(‖x1‖1, . . . , ‖xn‖n) definiuje normę produktową na przestrzeni X1 × · · · ×Xn. Zad. 1.17.2. Niech a < b < c < d będą punktami w R. Uzasadnij, że przestrzeń C([a, b] ∪ [c, d]) jest liniowo-izometryczna z produktem C([a, b])× C([c, d]) rozpatrywanym z odpowiednią normą produktową. Zad. 1.17.3. Pokaż, że przy odpowiednim wyborze normy produktowej przestrzeń lp × · · · × lp, gdzie lp występuje n razy, będzie liniowo-izometryczna z przestrzenią lp (1 6 p 6 ∞). To samo, gdy lp zastąpimy przez c0 lub Lp := Lp[0, 1] (1 6 p 6 ∞). A jeśli każdy z czynników lp zastąpimy przez lmp (m ∈ N) lub, ogólniej, będziemy rozważać produkt lm1p × · · · × lmnp ? Zad. 1.17.4. Wykaż, że dla każdego n ∈ N przestrzeń Cn[a, b] z normą ‖f‖ := |f(a)|+ |f ′(a)|+ · · ·+ |f (n−1)(a)|+ ‖f (n)‖∞ jest izomorficzna z przestrzenią C[a, b]×Kn (wyposażoną w dowolną normę produktową). Wywnioskuj stąd, że przestrzeń Cn[a, b] jest ośrodkowa. Przy jakim wyborze normy w przestrzeni C[a, b] × Kn stanie się ona liniowo-izometryczna z przestrzenią Cn[a, b] ? Zad. 1.17.5. Niech n ∈ N. Co powiesz o odwzorowaniu J : Cn[a, b] → (C[a, b])n+1 określonym wzorem J(f) = (f, f ′, . . . , f (n)) ? Czy jest ono suriekcją? Zad. 1.17.6. Niech h ∈ C[a, b]. Uzasadnij, że wzór T (f, g) = ∫ b a f(x)g(x)h(x) dx definiuje ciągły funk- cjonał dwuliniowy na produkcie C[a, b] × C[a, b], natomiast wzór U(f, g) = fgh definiuje ciągły operator dwuliniowy U : C[a, b]× C[a, b]→ C[a, b]. Zad. 1.17.7. Niech p, q będzie parą wykładników sprzężonych i niech h ∈ L∞(µ). Uzasadnij, że wzór T (f, g) = ∫ S fgh dµ określa ciągły funkcjonał dwuliniowy na produkcie Lp(µ) × Lq(µ), natomiast wzór U(f, g) = fgh określa ciągły operator dwuliniowy U : Lp(µ)× Lq(µ)→ L1(µ). Zad. 1.17.8. Pokaż, że niezerowy ciągły operator dwuliniowy nie może być jednostajnie ciągły. Zad. 1.17.9. Rozwiń Uwagę (b) podaną po Tw. 1.17.3, tj. podaj definicję normy ciągłego operatora dwuliniowego i wyprowadź odpowiednie wzory na tę normę. 52 Lech Drewnowski 1.18. Przestrzenie ilorazowe. Niech X będzie pln a L jej ppl. Ponieważ norma elementu w pln to jego odległość od zera, to jest naturalne postulowanie, by za „normę” elementu x˜ = x + L przestrzeni ilorazowej X/L uznawać liczbę ‖x˜‖ równą odległości d(x˜, 0˜) w pln X warstwy x˜ od warstwy 0˜ = 0 + L = L. Ale d(x˜, 0˜) = inf{‖y − v‖ : y ∈ x˜, v ∈ 0˜} = inf{‖(x+ u)− v‖ : u ∈ L, v ∈ L} = inf{‖x+ z‖ : z ∈ L}, gdzie na końcu skorzystaliśmy z równości L− L = L. Tak więc mielibyśmy dla ‖x˜‖ wzór ‖x˜‖ := d(x˜, 0˜) = inf{‖x+ z‖ : z ∈ L}, a ponieważ L = −L, to także ‖x˜‖ = inf{‖x− z‖ : z ∈ L} = d(x, L) i ‖x˜‖ = inf{‖y‖ : y ∈ x˜} = d(0, x˜). Ogólnie biorąc uzyskuje się w ten sposób tylko seminormę w X/L; będzie ona normą wtedy (i tylko wtedy!), gdy L jest ppl domkniętą. Tw. 1.18.1. Niech L będzie podprzestrzenią domkniętą pln X = (X, ‖·‖). Wówczas wzór ‖x+ L‖ := inf{‖x+ z‖ : z ∈ L} = inf{‖y‖ : y ∈ x+ L}. definiuje normę na przestrzeni ilorazowej X/L. Dowód. Niech x˜ = x+ L, y˜ = y + L ∈ X/L (x, y ∈ X) i α ∈ K. Wtedy z definicji działań w X/L mamy x˜+ y˜ = (x+ y) + L i αx˜ = αx+ L. Jest oczywiste, że ‖0˜‖ = 0. Sprawdzimy warunki (N 1), (N 2) i (N 0). Warunek (N 1): Przejście ∗= poniżej uzasadnione jest równością L+ L = L: ‖x˜+ y˜‖ = inf{‖(x+ y) + z‖ : z ∈ L} ∗= inf{‖(x+ y) + (u+ v)‖ : u, v ∈ L} 6 inf{‖x+ u‖+ ‖y + v‖ : u, v ∈ L} != inf{‖x+ u‖ : u ∈ L}+ inf{‖y + v‖ : v ∈ L} = ‖x˜‖+ ‖y˜‖, (Uzasadnij przejście != !) Warunek (N 2): Możemy założyć, że α 6= 0. Wtedy α−1L = L, co uzasadnia przejście ∗= poniżej: ‖αx˜‖ = inf{‖αx+ z‖ : z ∈ L} ∗= inf{|α| ‖x+ u‖ : u ∈ L} = |α| ‖x˜‖, Warunek (N 0): Ponieważ L jest domknięte w X, to ‖x˜‖ = inf{‖x− z‖ : z ∈ L} = d(x, L) > 0 dla każdego x /∈ L, czyli każdego x˜ 6= 0˜. � Uwaga. Z ciągłości normy wynika, że jeżeli M jest ppl gęstą w L, to ‖x+ L‖ = inf{‖x+ z‖ : z ∈M}. Określoną w powyższym twierdzeniu normę nazywamy ilorazową , a pln X/L = (X/L, ‖·‖) nazywamy przestrzenią ilorazową , lub krótko ilorazem , przestrzeni X przez jej podprzestrzeń L. Przestrzenie ilorazowe rozważamy zawsze z normami ilorazowymi! Odwzorowanie x → x + L przestrzeni X na przestrzeń X/L nazywamy odwzorowaniem (lub operatorem) ilorazowym i oznaczamy QL (albo krócej Q). Z definicji normy ilorazowej łatwo wynika następujące twierdzenie: Twierdzenie 1.18.2. Niech L będzie domkniętą ppl pln X, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas: (a) Dla każdego x ∈ X: ‖Q(x)‖ 6 ‖x‖. (b) Q odwzorowuje kule otwarte o środku 0 na kule otwarte o środku 0 i tym samym promieniu. Elementy Analizy Funkcjonalnej 53 (c) Operator liniowy S : X/L→ Y , gdzie Y jest dowolną pln, jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy operator SQ := S◦Q : X → Y jest ciągły, a gdy tak jest, to ‖S‖ = ‖SQ‖. W konsekwencji Q jest ciągłym operatorem liniowym, i ‖Q‖ = 1 gdy Q 6= 0, czyli gdy L 6= X. Dowód. (a) wynika wprost z definicji normy ilorazowej. (b): Niech Ur i Vr oznaczają, odpowiednio, kule otwarte o środku 0 i promieniu r > 0 w X i X/L. Z (a) widać, że Q(Ur) ⊂ Vr. Jeżeli x˜ ∈ Vr, czyli ‖x˜‖ < r, to – w myśl jednego z podanych powyżej wzorów na normę ilorazową – warstwa x˜ musi zawierać element y taki, że ‖y‖ < r. Wtedy y ∈ Ur i Q(y) = x˜. To pokazuje, że Vr ⊂ Q(Ur). (c): Z (b) wynika, że (SQ)(U1) = S(V1), więc ciągłość SQ (czyli ograniczoność zbioru (SQ)(U1) w Y ) jest równoważna ciągłości S (czyli ograniczoności zbioru S(V1) w Y ). (Korzystamy tu z Wn. 1.7.2.) Ponadto ‖SQ‖ = sup{‖y‖ : y ∈ (SQ)(U1)} = sup{‖y‖ : y ∈ S(V1)} = ‖S‖. Ciągłość operatora Q wynika już oczywiście z (a). Zastosujmy teraz (c) biorąc za S operator identycznościowy w przestrzeni X/L. Otrzymamy, że ‖SQ‖ = ‖S‖ = 1, gdzie ostatnia równość zachodzi pod warunkiem, że S 6= 0, czyli X/L 6= {0}, czyli L 6= X. � Przykład 1.18.3. Norma przestrzeni ilorazowej l∞/c0 wyraża się wzorem ‖x+ c0‖ = lim sup j |ξj |, ∀x = (ξj) ∈ l∞. Istotnie, niech x = (ξj) ∈ l∞. Ponieważ podprzestrzeń c00 := lin{en : n ∈ N} = {(α1, . . . , αn, 0, 0, . . . ) : αj ∈ K, n ∈ N} jest gęsta w c0, to wykorzystując uwagę po dowodzie Tw. 1.18.1 otrzymujemy ‖x+ c0‖ = inf{‖x− z‖∞ : z ∈ c00} = inf { sup{|ξ1 − α1|, . . . , |ξn − αn|, |ξn+1|, . . . } : αj ∈ K, n ∈ N } = inf { sup{|ξj | : j > n} : n ∈ N } = inf n sup j>n |ξj | = lim sup j→∞ |ξj |. Twierdzenie 1.18.4. Ilorazy przestrzeni Banacha są przestrzeniami Banacha. Dowód. Niech X będzie przestrzenią Banacha, L jej domkniętą ppl i Q := QL. Dla dowodu zupełności X/L skorzystamy z szeregowego kryterium zupełności (Tw. 1.14.1). Niech więc (x˜n) będzie ciągiem w X/L takim, że ∞∑ n=1 ‖x˜n‖ 54 Lech Drewnowski 1.18-Z Zadania. Zad. 1.18.1. Z Tw. 1.18.2 (b) wywnioskuj, że operator ilorazowy Q : X → X/L przekształca dowolne kule otwarte na kule otwarte o tym samym promieniu i wobec tego jest odwzorowaniem otwartym, tzn. dla każdego zbioru otwartego G w X jego obraz Q(G) jest otwarty w X/L. [Wsk. Zob. końcówkę dowodu Tw. 3.8.1.] Zad. 1.18.2. Rozważ przestrzeń ilorazową c/c0. Czym są jej elementy? Podaj możliwie najprostszy wzór na normę ilorazową w c/c0 (por. Prz. 1.18.3). Uzasadnij, że dim(c/c0) = 1. Co powiesz o odwzorowaniu x+ c0 → limj ξj (x = (ξj) ∈ c) przestrzeni c/c0 w przestrzeń skalarów K? Zad. 1.18.3. W przestrzeni c rozważmy jej podprzestrzeń L := K · e0 = lin{e0}, gdzie e0 := (1, 1, 1, . . . ). Pokaż, że każda warstwa x + L, gdzie x ∈ c, zawiera dokładnie jeden ciąg y ∈ c0 oraz że odwzorowanie J : c/L → c0 określone wzorem J(x + L) = y jest izomorfizmem przestrzeni c/L na przestrzeń c0. Czy jest ono izometrią liniową? Zad. 1.18.4. Udowodnij, że w dowolnej pln X, jeżeli L jest jej domkniętą ppl, aM jest ppl skończonego wymiaru, to L + M jest domkniętą ppl. [Wsk. Rozważ operator ilorazowy Q : X → X/L. Co to jest Q−1 ( Q(M) ) ?] Zad. 1.18.5. Niech X będzie pln, L jej domkniętą ppl, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilorazowym. Pokaż, że dla każdego zbioru ograniczonego B ⊂ X/L istnieje zbiór ograniczony A ⊂ X taki, że Q(A) = B. Zad. 1.18.6. Niech X będzie pln, L jej domkniętą ppl, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilorazowym. Pokaż, że jeżeli podprzestrzeń L i przestrzeń X/L są (a) zupełne, to i przestrzeń X jest zupełna; (b) ośrodkowe, to i przestrzeń X jest ośrodkowa. Zad. 1.18.7. Niech X będzie pln, L jej domkniętą ppl, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilorazowym. Pokaż, że następujące warunki są równoważne: (a) Q przekształca kule domknięte o środku 0 na kule domknięte o środku 0 i tym samym promieniu. (b) Dla każdego x0 ∈ X istnieje z0 ∈ L takie, że d(x0, L) = ‖x0 − z0‖. Uwaga. Warunek (b), a więc także warunek (a), jest spełniony np. gdy dimL < ∞ (zob. Tw. 1.16.10), ale nie zawsze tak jest (zob. Zad. 1.16.5, 1.16.6 i 1.16.7). Elementy Analizy Funkcjonalnej 55 2. PRZESTRZENIE CIĄGŁYCH OPERATORÓW LINIOWYCH I PRZESTRZENIE DUALNE 2.1. Przestrzenie unormowane L(X,Y ) i X∗. Poniżej pokażemy (równocześnie), że zbiór L(X,Y ) wszystkich ciągłych operatorów liniowych z pln X do pln Y jest pl i że funkcjonał T → ‖T‖ jest w niej normą (nazywaną normą opera- torową). Tw. 2.1.1. Dla dowolnych pln X i Y zbiór L(X,Y ) jest pln w normie operatorowej. Dowód. Niech S, T ∈ L(X,Y ), α ∈ K. Wtedy dla każdego x ∈ X ‖(S + T )x‖ = ‖Sx+ Tx‖ 6 ‖Sx‖+ ‖Tx‖ 6 (‖S‖+ ‖T‖)‖x‖. Stąd S + T ∈ L(X,Y ) (Tw. 1.7.1), a z definicji normy operatora wynika, że ‖S + T‖ 6 ‖S‖+ ‖T‖. Ponadto ‖αT‖ = sup{‖αTx‖ : ‖x‖ 6 1} = sup{|α| ‖Tx‖ : ‖x‖ 6 1} = |α| sup{‖Tx‖ : ‖x‖ 6 1} = |α| ‖T‖, więc αT ∈ L(X,Y ) i ‖αT‖ = |α| ‖T‖. Na koniec, jeśli ‖T‖ = 0, to ∀x ∈ X: ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖ = 0, a stąd Tx = 0. Zatem T = 0 (operator zerowy). � Przestrzeń L(X,Y ), jako pln, rozpatruje się zawsze z normą operatorową. Szczególnym przy- padkiem przestrzeni L(X,Y ) jest X∗ := L(X,K), czyli (topologiczna) przestrzeń dualna (lub: sprzężona) do pln X. Składa się ona ze wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych x∗ na X. Normę ‖x∗‖ takiego funkcjonału można wyrazić każdym ze wzorów podanych w punkcie 1.8, nieznacznie zmodyfikowanym, bo w Y = K normą jest |·|, a więc np. ‖x∗‖ = sup{|x∗(x)| : ‖x‖ 6 1}. Często korzysta się z submultyplikatywności normy operatorowej, tj. nierówności w części (a) poniższego twierdzenia: Tw. 2.1.2. Niech X, Y i Z będą pln. Wówczas: (a) Jeżeli S ∈ L(X,Y ) a T ∈ L(Y, Z), to TS := T◦S ∈ L(X,Z) i ‖TS‖ 6 ‖T‖ · ‖S‖. (b) Odwzorowanie (S, T ) → TS przestrzeni produktowej L(X,Y ) × L(Y, Z) w przestrzeń L(X,Z) jest dwuliniowe i ciągłe. Dowód. (a): Istotnie, dla dowolnego x ∈ X mamy ‖(TS)x‖ = ‖T (Sx)‖ 6 ‖T‖ ‖Sx‖ 6 ‖T‖ ‖S‖ ‖x‖. Stąd i z definicji normy operatora wynika natychmiast żądana nierówność. (b): Sprawdzenie dwuliniowości odwzorowania (S, T ) → TS jest łatwe, a jego ciągłość wynika z udowodnionej nierówności i Tw. 1.17.3. � Podobnie, wykorzystując elementarną nierówność ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖ (zob. § 1.8), łatwo uzasadnia się następujące twierdzenie: Tw. 2.1.3. Niech X i Y będą pln. Wówczas odwzorowanie u : X × L(X,Y )→ Y, określone wzorem u(x, T ) = T (x), jest dwuliniowe i ciągłe. W szczególności więc dla każdej pln X funkcjonał 〈·, ·〉 : X ×X∗ → K, 56 Lech Drewnowski określony wzorem 〈x, x∗〉 = x∗(x), jest ciągłym funkcjonałem dwuliniowym. (Nazywa się go kano- niczną formą dwuliniową na X ×X∗.) Łatwo scharakteryzować zbieżność ciągów w pln L(X,Y ). Tw. 2.1.4. Jeśli T, Tn ∈ L(X,Y ) (n ∈ N), to następujące warunki są równoważne: 1) Tn → T w L(X,Y ), tj. ‖T − Tn‖ → 0; 2) Tn → T jednostajnie na kuli jednostkowej BX = {x ∈ X : ‖x‖ 6 1} przestrzeni X; 3) Tn → T jednostajnie na każdej kuli rBX (r > 0) przestrzeni X; 4) Tn → T jednostajnie na każdym zbiorze ograniczonym w X. Dowód. Jest widoczne, że 1)⇐⇒ 2) i że 3) =⇒ 4) =⇒ 2). Implikacja 2) =⇒ 3) bierze się stąd, że gdy S ∈ L(X,Y ), to sup{‖Sx‖ : x ∈ rBX} = r‖S‖, ∀ r > 0. � Tw. 2.1.5. Zbieżność normowa w przestrzeni L(X,Y ) pociąga zbieżność punktową: Jeżeli Tn → T w L(X,Y ) (tzn. w normie operatorowej ), to Tnx→ Tx w Y dla każdego x ∈ X. Dowód. To wynika z poprzedniego tw. lub, prościej, z nierówności ‖Tx− Tnx‖ 6 ‖T − Tn‖ ‖x‖, ∀x ∈ X. � Uwagi. (a) Na ogół w przestrzeni L(X,Y ) zbieżność punktowa nie pociąga zbieżności normowej – zob. np. Zad. 2.2.42 i następne. Można jednak pokazać, że tak jest gdy dimX 0 są takie, że a‖x‖ 6 ‖x‖′ 6 b‖x‖ dla x ∈ X, to (a/b)‖T‖ 6 ‖T‖′ 6 (b/a)‖T‖ dla T ∈ L(X). Podobne zadanie – dla przestrzeni dualnej X∗ i ogólniej – przestrzeni L(X,Y ). Zad. 2.1.3. Udowodnij wspomniane w uwadze po Tw. 2.1.5 twierdzenie o związku między zbieżnością normową i punktową w L(X,Y ), gdy dimX 0 taka, że ‖Tx‖ 6 N‖x‖, ∀x ∈ X, ; równoważnie: sup ‖x‖61 ‖Tx‖ 6 N. Wówczas, w myśl definicji ‖T‖, lub jednego ze wzorów na ‖T‖, będzie ‖T‖ 6 N . Jeśli nasze szacowania wydają się być nieulepszalne, to można mieć nadzieję, że ‖T‖ = N . Najprostszy sposób dowiedzenia, że ‖T‖ = N w opisanej sytuacji polega na wskazaniu x0 6= 0 takiego, że ‖Tx0‖ = N‖x0‖, bo wtedy stałej N nie da się zastąpić żadną mniejszą. Oczywiście, normalizując x0 (tj. zastępując x0 przez x0/‖x0‖) można przyjąć, że ‖x0‖ = 1. Wtedy ‖Tx0‖ = N , a to oznacza, że sup we wzorach ‖T‖ = sup{‖Tx‖ : x ∈ BX} = sup{‖Tx‖ : x ∈ SX} jest osiągane i wynosi właśnie N . Elementy Analizy Funkcjonalnej 57 Nie zawsze jednak takie x0 potrafimy znaleźć, a czasem jest to wręcz niemożliwe, bo wspomniane wyżej suprema mogą być przecież nieosiągane! Wtedy można próbować uzyskać równość ‖T‖ = N pokazując, że do N można „podejść” dowolnie blisko od dołu wartościami ‖Tx‖ poprzez odpowiedni wybór elementów x z kuli BX lub sfery SX . Poniższe przykłady będą ilustrowały zarówno pierwszy sposób (zwykle łatwiejszy), jak i drugi (zwykle znacznie trudniejszy). Przykłady 2.2.1. (a) Dla funkcjonału liniowego l na c danego wzorem l(x) := lim n→∞ ξn, gdzie x = (ξn), mamy oczywiście |l(x)| 6 ‖x‖∞, ∀x ∈ c. Zatem jest on ciągły i ‖l‖ 6 1. Ale dla e0 := (1, 1, . . . ) ∈ c mamy ‖e0‖∞ = 1 i l(e0) = 1, zatem |l(e0)| = 1 · ‖e0‖∞. Stąd ‖l‖ = 1. (b) Dla funkcjonału liniowego s na l1, określonego wzorem s(x) := ∞∑ n=1 ξn, mamy oczywiście |s(x)| 6 ‖x‖1, ∀x ∈ l1, zatem jest on ciągły i ‖s‖ 6 1. Ale dla dowolnego wektora jednostkowego en ∈ l1 mamy s(en) = 1 i ‖en‖1 = 1, zatem |s(en)| = 1 · ‖en‖1. Stąd ‖s‖ = 1. (c) Rozważmy z kolei całkę Riemanna na C[a, b], tzn. funkcjonał r na C[a, b] dany wzorem r(f) = ∫ b a f(s) ds. Jest on oczywiście liniowy i |r(f)| 6 ∫ b a |f(s)| ds 6 (b− a)‖f‖∞; zatem jest ciągły i ‖r‖ 6 b− a. Ale dla funkcji stałej f0 = 1 mamy |r(f0)| = (b− a)‖f0‖∞, więc ‖r‖ = b− a. (d) Teraz rozważmy całkowanie nieoznaczone na C[a, b], tj. operator liniowy R : C[a, b]→ C[a, b] określony tak: (Rf)(t) := ∫ t a f(s) ds dla t ∈ [a, b]. Wtedy dla każdego f ∈ C[a, b] mamy |(Rf)(t)| 6 (t− a) sup a6s6t |f(s)| 6 (b− a)‖f‖∞, ∀ t ∈ [a, b] a stąd ‖Rf‖∞ 6 (b− a)‖f‖∞. Zatem operator R jest ciągły i ‖R‖ 6 b− a. Ale dla f0 = 1 mamy, jak łatwo widzieć, ‖Rf0‖∞ = (b− a)‖f0‖∞, 58 Lech Drewnowski więc ‖R‖ = b− a. (e) Dla dowolnego ustalonego g ∈ C[a, b] niech g∗(f) := ∫ b a f(s)g(s) ds dla f ∈ C[a, b]. Jest jasne, że g∗ jest funkcjonałem liniowym na C[a, b]. Ponadto mamy |g∗(f)| 6 ∫ b a |f(s)||g(s)| ds 6 γ‖f‖∞, ∀ f ∈ C[a, b], gdzie γ := ∫ b a |g(s)| ds. Zatem funkcjonał g∗ jest ciągły i ‖g∗‖ 6 γ. W istocie zachodzi równość ‖g∗‖ = γ, ale jest to trudniej pokazać niż w (c), gdzie mieliśmy g = 1. Zrobimy to dla rzeczywistej przestrzeni C[a, b]. (Przypadek zespolony wymaga pewnej drobnej modyfikacji definicji funkcji ϕn.) Dla każdego n ∈ N określmy funkcję ciągłą ϕn : R→ R następująco (wykres!): ϕn(u) =  −1 dla u 6 −n−1, nu dla u ∈ [−n−1, n−1], 1 dla u > n−1. Wtedy fn := ϕn◦g ∈ C[a, b], ‖fn‖∞ 6 1 oraz (sprawdź!) 0 6 |g(s)| − fn(s)g(s) 6 n−1, ∀ s ∈ [a, b]. Stąd g∗(fn) = γ − ∫ b a [|g(s)| − fn(s)g(s)] ds > γ − n−1(b− a), ∀n ∈ N. Wobec tego ‖g∗‖ = sup{|g∗(f)| : ‖f‖∞ 6 1} > sup n g∗(fn) > γ, co kończy dowód równości ‖g∗‖ = γ. Powyżej można też było rozumować w inny sposób: Funkcje ϕn : R→ R są ciągłe, przy czym |ϕn(u)| 6 1 i ϕn(u)→ σ(u) := sign(u), ∀u ∈ R. Z warunków tych wynika, że funkcje fn := ϕn◦g są ciągłe na [a, b] oraz że |fn(s)| 6 1 i fn(s)→ σ(g(s)) = sign(g(s)), ∀ s ∈ [a, b]. W konsekwencji |fn(s)g(s)| 6 |g(s)| i fn(s)g(s)→ |g(s)|, ∀ s ∈ [a, b] więc, na mocy tw. Lebesgue’a o ograniczonej zbieżności, g∗(fn) = ∫ b a fn(s)g(s) ds→ ∫ b a |g(s)| ds = γ. Stąd, jak przedtem, dostajemy, że ‖g∗‖ > γ. (e ¯ ) Nie tylko funkcje g ∈ C[a, b], ale także każda funkcja g ∈ L1[a, b] wyznacza w naturalny sposób funkcjonał liniowy g∗ na przestrzeni C[a, b]: g∗(f) := ∫ b a f(s)g(s) ds (całka Lebesgue’a). Jak poprzednio dostajemy oszacowanie |g∗(f)| 6 ‖g‖1‖f‖∞, zatem funkcjonał g∗ jest ciągły i ‖g∗‖ 6 ‖g‖1 = ∫ b a |g(s)| ds. Wykorzystując przykład (e) oraz gęstość C[a, b] w L1[a, b] pokażemy, że także teraz ‖g∗‖ = ‖g‖1. Elementy Analizy Funkcjonalnej 59 Istotnie, funkcjonał p(g) := ‖g∗‖ na L1[a, b] jest seminormą i to ciągłą, bo p(g) 6 ‖g‖1. Ale na podprzestrzeni gęstej C[a, b] ⊂ L1[a, b] mamy p(g) = ‖g‖1, więc równość ta musi zachodzić na całej przestrzeni L1[a, b]. (f) Niech k ∈ C([a, b]× [c, d]). Funkcja ta generuje operator całkowy K : C[a, b]→ C[c, d] określony wzorem (Kf)(t) := ∫ b a k(s, t)f(s) ds, gdzie f ∈ C[a, b], c 6 t 6 d. (Z Analizy wiadomo, że funkcja Kf jest ciągła.) Jest on oczywiście liniowy. Z oszacowań |(Kf)(t)| 6 ∫ b a |k(s, t)||f(s)| ds 6 ∫ b a |k(s, t)| ds · ‖f‖∞ wynika łatwo, że ‖Kf‖∞ 6 κ‖f‖∞, ∀ f ∈ C[a, b], gdzie κ := sup c6t6d ∫ b a |k(s, t)| ds 6 (b− a)‖k‖∞ 60 Lech Drewnowski Nazywamy go funkcjonałem ewaluacji lub funkcjonałem wyliczania wartości funkcji w punkcie s. W przypadku, gdy X jest pl ciągów liczbowych, tj. X ⊂ ω = KN, funkcjonał e∗k ewaluacji w punkcie k ∈ N nazywamy k-tą współrzędną : e∗k(x) := ξk dla x = (ξj) ∈ X. Podobnie gdy X = Kn. Dla każdego α ∈ K niech σ(α) :=  |α| α gdy α 6= 0, 0 gdy α = 0. Wtedy |σ(α)| = 1 o ile α 6= 0, oraz zawsze σ(α) · α = |α|. Przykłady 2.2.2. Pierwsze dwa przykłady są łatwe. (h) Wszystkie funkcjonały ewaluacji e∗s na pln B(S) i C(S) są ciągłe i o normie 1. (i) Wszystkie funkcjonały współrzędne e∗k na pln l∞, c, c0, lp i l n p są ciągłe i o normie 1. (j) Niech punkty s1, . . . , sn ∈ S będą różne i niech α1, . . . , αn ∈ K. Rozważmy na pln B(S) funkcjonał x∗ := n∑ j=1 αje ∗ sj ; zatem x∗(f) = n∑ j=1 αjf(sj), ∀ f ∈ B(S). Ponieważ B(S)∗ jest pl a z (h) wiemy, że e∗s ∈ B(S)∗ (s ∈ S), to x∗ ∈ B(S)∗. Ponadto mamy ‖x∗‖ 6 n∑ j=1 |αj | ‖e∗sj‖ = n∑ j=1 |αj |. Jeśli wszystkie αj = 0, to zachodzi tu równość, bo x∗ = 0 i ‖x∗‖ = 0. Zakładajmy więc dalej, że nie wszystkie αj są zerami i określmy funkcję f0 ∈ B(S) następująco: f(s) = { σ(αj) dla s = sj , j = 1, . . . , n, 0 dla pozostałych s ∈ S. Wtedy ‖f0‖∞ = 1 i x∗(f0) =∑nj=1 |αj |. W konsekwencji ‖x∗‖ = n∑ j=1 |αj |. (k) Niech teraz (sj) będzie nieskończonym ciągiem różnych punktów w S i niech (αj) ∈ l1. Rozważmy funkcjonał x∗ na B(S) dany wzorem x∗(f) := ∞∑ j=1 αjf(sj). Określenie to ma sens, tzn. dla każdego f ∈ B(S) szereg po prawej stronie jest zbieżny, nawet absolutnie: ∞∑ j=1 |αjf(sj)| 6 ∞∑ j=1 |αj | ‖f‖∞ = ‖(αj)‖1‖f‖∞. Jasne, że funkcjonał x∗ jest liniowy, a ponieważ |x∗(f)| 6 ‖(αj)‖1‖f‖∞, to jest on ciągły i ‖x∗‖ 6 ‖(αj)‖1. Dokładnie tak samo jak w (j) pokazuje się, że w istocie ‖x∗‖ = ‖(αj)‖1. Elementy Analizy Funkcjonalnej 61 (l) Funkcjonały x∗ z (j) i (k) można rozważać też na przestrzeniach C(S). Będą one liniowe i ciągłe, a dla ich norm będą zachodziły te same oszacowania, co w (j) i (k). Aby jednak uzyskać te same równości dla ‖x∗‖ trzeba zakładać, że pt S jest całkowicie regularna. Przypomnijmy, że oznacza to, że S jest przestrzenią Hausdorffa i dla każdego punktu s0 ∈ S i jego otoczenia U istnieje funkcja ciągła f : S → [0, 1] taka, że f(s0) = 1 i f(s) = 0 dla s ∈ S \ U . Załóżmy więc, że S jest pt całkowicie regularną i dla przykładu niech funkcjonał x∗ na C(S) będzie zdefiniowany jak w (k). Chcemy pokazać, że ‖x∗‖ = ‖(αj)‖1, przy czym nierówność 6 już mamy. Ustalmy dowolne n ∈ N. Ponieważ punkty s1, . . . , sn są różne, to mają one parami rozłączne otoczenia U1, . . . , Un (uzasadnij!). Na mocy regularności przestrzeni S, dla każdego j = 1, . . . , n znajdziemy funkcję ciągłą fj : S → [0, 1] taką, że fj(sj) = 1 i fj(s) = 0 dla s ∈ S \ Uj . Wtedy gn := n∑ j=1 σ(αj)fj ∈ C(S), ‖gn‖∞ 6 1 oraz x∗(gn) = ∞∑ j=1 αjgn(sj) = n∑ j=1 αjσ(αj) + ∞∑ j=n+1 αjgn(sj) = n∑ j=1 |αj |+ ∞∑ j=n+1 αjgn(sj). Zauważmy, że ∣∣∣∣ ∞∑ j=n+1 αjgn(sj) ∣∣∣∣ 6 ∞∑ j=n+1 |αj ||gn(sj)| 6 ∞∑ j=n+1 |αj |. Mamy wobec tego |x∗(gn)| > n∑ j=1 |αj | − ∞∑ j=n+1 |αj |. Na koniec ‖x∗‖ = sup{|x∗(f)| : ‖f‖∞ 6 1} > sup n |x∗(gn)| > lim n→∞ ( n∑ j=1 |αj | − ∞∑ j=n+1 |αj | ) = ‖(αj)‖1. (m) Niech g ∈ C[a, b] i niech (sj) będzie ciągiem różnych punktów przedziału [a, b], a (αj) ⊂ K ciągiem takim, że ∑ j |αj | < ∞. Zakładamy, że oba te ciągi są nieskończone (j ∈ N) lub oba skończone o tej samej liczbie wyrazów (j = 1, . . . , k). Rozważmy funkcjonał liniowy z∗ na przestrzeni C[a, b] określony wzorem z∗(f) = ∑ j αjf(sj) + ∫ b a f(s)g(s) ds. Pierwsza część prawej strony tego wzoru określa funkcjonał liniowy, który oznaczymy przez x∗, a druga – funkcjonał liniowy, który oznaczymy przez g∗. Z przykładów (l) i (e) wiemy, że oba te funkcjonały są ciągłe oraz że ‖x∗‖ = k∑ j=1 |αj |, ‖g∗‖ = ∫ b a |g(s)| ds. Oczywiście, stąd wynika, że także funkcjonał z∗ jest ciągły i że ‖z∗‖ 6 ‖x∗‖+ ‖g∗‖. Pokażemy, że ‖z∗‖ = ‖x∗‖+ ‖g∗‖ = ∑ j |αj |+ ∫ b a |g(s)| ds. Zajmiemy się najpierw przypadkiem ciągów skończonych: s1, . . . , sk i α1, . . . , αk. 62 Lech Drewnowski Niech ciąg (fn) ⊂ C[a, b] będzie tak wybrany, żeby ‖fn‖ 6 1 i g∗(fn)→ ∫ b a |g(s)| ds = ‖g∗‖ (zob. końcowy fragment Prz. 2.2.1 (e)). Zmodyfikujemy teraz funkcje fn tak, by uzyskać nowy ciąg (hn), dla którego ‖hn‖ 6 1 oraz x∗(hn)→ ‖x∗‖ i g∗(hn)→ ‖g∗‖. Wtedy będziemy mieć z∗(hn)→ ‖x∗‖+ ‖g∗‖, a stąd ‖z∗‖ > ‖x∗‖+ ‖g∗‖. Możemy założyć, że a 6 s1 < · · · < sk 6 b. Dla ustalonego n obierzmy punkty t1, . . . , tk i u1, . . . , uk tak, by t1 = a 6 s1 < u1 < t2 < s2 < u2 < · · · < tk < sk 6 b = uk i uj − tj < n−2. Niech hn : [a, b]→ R będzie funkcją ciągłą wyznaczoną przez następujące warunki: 1) hn = fn poza przedziałami Ij := [tj , uj ] (j = 1, . . . , k); 2) hn(sj) = σ(αj) (j = 1, . . . , k); 3) hn(s) = h(s1) dla a 6 s 6 s1 i hn(s) = h(sk) dla sk 6 s 6 b; 4) wykres hn nad przedziałami [sj , uj ] i [tj , sj ] jest liniowy. Wtedy ‖hn‖∞ 6 1, |hn− fn| = 0 poza przedziałami Ij oraz |hn− fn| 6 2 na pozostałej części [a, b]. Jest oczywiste, że x∗(hn) = k∑ j=1 |αj | = ‖x∗‖. Ponadto mamy |g∗(hn − fn)| 6 k∑ j=1 ∫ Ij |g(s)| |hn(s)− fn(s)| ds 6 2k n2 ‖g‖∞ → 0 (n→∞), a stąd g∗(hn) = g∗(fn) + g∗(hn − fn)→ ‖g∗‖ przy n→∞. Zatem ciąg (gn) ma wymagane własności. W przypadku ciągów (sj) i (αj) nieskończonych postępujemy jak powyżej, ale w konstrukcji funkcji hn używamy tylko pierwszych n punktów s1, . . . , sn ciągu (sj). Takie samo rozumowanie jak w (l) pokaże, że x∗(hn)→∑∞j=1 |αj |. Reszta rozumowania wymaga tylko drobnych zmian. 2.2-Z Zadania. Zad. 2.2.1. Znajdź normę funkcjonału liniowego x∗ na C[a, b], gdzie x∗(f) := ( f(b)− f(a))/(b− a). Zad. 2.2.2. Wylicz normy następujących funkcjonałów liniowych określonych na C[−1, 1]: (a) Fε(f) = ε−2[f(ε) + f(−ε)− 2f(0)], gdzie ε ∈ (0, 1); (b) F (f) = ∑∞ n=1(−1)nn−2f(n−1); (c) Fn(f) = ∫ 1 −1 f(x)dx− (2n+ 1)−1 ∑n k=−n f(k/n), gdzie n ∈ N. Zad. 2.2.3. Niech x∗ oznacza funkcjonał określony na przestrzeni C[−2, 2] (z normą supremalną) wzorem x∗(f) = ∫ 0 −1 f(t) dt− f(0)− 2 ∫ 2 1 f(t) dt. Sprawdź, że x ∗ ∈ (C[−2, 2])∗, a następnie wylicz ‖x∗‖. Zad. 2.2.4. Niech x∗ oznacza funkcjonał określony na przestrzeni C0(R) (z normą supremalną ‖·‖∞) wzorem x∗(f) = f(−1)− 2 ∫ 2−2 f(x) dx+ f(1). Sprawdź, że x∗ ∈ (C0(R))∗, a następnie wylicz ‖x∗‖. Zad. 2.2.5. Wykaż, że operator J dany wzorem Jx = (l(x), ξ1 − l(x), ξ2 − l(x), . . . ), gdzie x = (ξn) ∈ c, l(x) = limn ξn, jest izomorfizmem przestrzeni c na przestrzeń c0 (jak się wyraża J−1y dla y = (ηj) ∈ c0?), przy czym ‖J‖ = ‖J−1‖ = 2. [Wsk. Najpierw 6 2, a potem wylicz J(1,−1,−1, . . . ) i J−1(1, 1, 0, . . . ).] Zad. 2.2.6. Wykaż, że równość Px = (ξn − l(x)), gdzie x = (ξn) ∈ c, l(x) = limn ξn, określa ciągłą projekcję P : c na→ c0 i wylicz ‖P‖. Ponadto wyjaśnij, jak działa projekcja dopełniająca Q := I − P , znajdź jej normę oraz rozkład na sumę prostą c = c0 ⊕ ? związany z projekcjami P i I − P (zob. Fakt 0.5.2). Elementy Analizy Funkcjonalnej 63 Zad. 2.2.7. Niech L := {f ∈ C[a, b] : f(a) = f(b) = 0}. (a) Uzasadnij, że L jest ppl domkniętą przestrzeni C[a, b]. (b) Pokaż, że odejmując od każdej funkcji ciągłej f na [a, b] odpowiednią funkcję liniową otrzymamy ciągłą projekcję P przestrzeni C[a, b] na jej podprzestrzeń L. Wylicz ‖P‖. (c) Opisz, jsk działa projekcja dopełniająca I − P , znajdź jej normę oraz rozkład na sumę prostą C[a, b] = L⊕ ? związany z projekcjami P i I − P (zob. Fakt 0.5.2). Zad. 2.2.8. To samo, co w zadaniu poprzednim, ale dla L := {f ∈ C[a, b] : f(a) = f(b)}. Zad. 2.2.9. Niech lp = lp(N0) i c0 = c0(N0). Wylicz normę operatora T danego wzorem T ( (ξn) ) (t) =∑∞ n=0 ξnt n jako operatora działającego (a) z l1 do C[−1, 1]; (b) z lp (1 < p 0 operator A dany wzorem Af(t) = f(tα) jest liniowy i ciągły w przestrzeni C[0, 1]? Znajdź jego normę. Zad. 2.2.19. Dla jakich α > 0 operator A dany wzorem Af(t) = f(tα) jest liniowy i ciągły w przestrzeni L2? Znajdź jego normę. 64 Lech Drewnowski Zad. 2.2.20. Dla jakich α, β operator A dany wzorem Af(t) = tβf(tα) jest liniowy i ograniczony w przestrzeni L2? Znajdź jego normę. Zad. 2.2.21. Pokaż, że dla każdego a = (αj) ∈ l∞ operator liniowy Ma w przestrzeni lp określony wzorem Ma(x) = ax jest ciągły i ‖Ma‖ = ‖a‖∞. Kiedy istnieje operator odwrotny M−1a ? Zad. 2.2.22. Niech A : c0 → c0 będzie operatorem liniowym określonym wzorem Ax = (n−1ξn) dla x = (ξn) ∈ c0. Pokaż, że operator A jest ciągły i różnowartościowy oraz że operator A−1 nie jest ciągły. Zad. 2.2.23. Niech S i T będą pt a ϕ : S → T odwzorowaniem ciągłym. Pokaż, że a) operator kompozycji Cϕ : C(T )→ C(S), gdzie Cϕ(g) := g◦ϕ, jest liniowy i ciągły oraz ‖Cϕ‖ = 1; b) jeśli przy tym ϕ(S) jest gęste w T , to Cϕ jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym; c) jeśli, co więcej, ϕ jest homeomorfizmem S na T , to Cϕ jest izometrią liniową C(T ) na C(S). Zad. 2.2.24. Wykaż, że żaden z funkcjonałów ewaluacji e∗t (zob. Prz. 2.2.2 (h)) nie jest ciągły na pln (C[a, b], ‖·‖1), gdzie ‖f‖1 := ∫ b a |f(t)| dt. Zad. 2.2.25. Czy na przestrzeni C[0, 1] istnieje ciągły funkcjonał liniowy x∗ zerujący się na wszystkich funkcjach stałych i przyjmujący wartość 1 na funkcji f0(s) = s2? Zad. 2.2.26. Udowodnij, jeżeli S jest nieskończoną, całkowicie regularną pt, to l1 zanurza się liniowo- izometrycznie w C(S)∗. [Wsk. Prz. 2.2.2 (l).] W szczególności tak jest dla l∞(S) = C(S), gdy S jest prze- strzenią dyskretną. Zad. 2.2.27. Dla f ∈ C[0, 1] niech |||f ||| :=∑∞n=1 2−nmax{|f(s)| : s ∈ [2−n, 2−n+1]}. Wykaż, że (a) powyższy wzór definiuje normę |||·||| na przestrzeni C[0, 1]; (b) norma ‖·‖∞ jest istotnie mocniejsza od |||·|||, a ta z kolei jest istotnie mocniejsza od ‖·‖1; (c) dokładnie jeden z funkcjonałów ewaluacji e∗t (który?) nie jest ciągły na pln (C[0, 1], |||·|||). Zad. 2.2.28. Niech Q := [a, b]× [c, d]. Wylicz normę (a) funkcjonału r na C(Q) danego wzorem r(f) = ∫∫ Q f(x, y0) dx dy (całka Riemanna); (b) funkcjonału g∗ na C(Q) danego wzorem g∗(f) = ∫∫ Q f(x, y)g(x, y) dx dy, gdzie g ∈ C(Q); (c) operatora liniowego T : C(Q)→ C(Q) danego wzorem (Tf)(u, v) = ∫ u a ∫ v c f(x, y) dx dy. Zad. 2.2.29. Niech Q := [a, b]× [c, d]). Dla k ∈ C(Q) niech ‖k‖1,∞ := supc6t6d ∫ b a |k(s, t)| ds. (a) Sprawdź, że wzór ten określa normę na C(Q). (Jest to przykład tzw. normy „mieszanej”.) (b) Czy pln (C(Q), ‖·‖1,∞) jest zupełna? (c) Uzasadnij, że odwzorowanie, które każdej funkcji k ∈ C(Q) przyporządkowuje generowany przez nią operator całkowy K : C[a, b]→ C[c, d], jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym (C(Q), ‖·‖1,∞) w L(C[a, b], C[c, d]). (d) Co powiesz o powyższym odwzorowaniu, gdy przestrzeń C(Q) rozpatrywana jest z jej standardową normą ‖·‖∞? Zad. 2.2.30. Dane są przedziały zwarte [ai, bi] ⊂ R (i = 1, 2, 3) oraz funkcje k1 ∈ C([a1, b1] × [a2, b2]) i k2 ∈ C([a2, b2] × [a3, b3]). Rozważmy generowane przez nie operatory całkowe K1 : C[a1, b1] → C[a2, b2] i K2 : C[a2, b2]→ C[a3, b3]: (K1f)(t) = ∫ b1 a1 k1(s, t)f(s) ds (a2 6 t 6 b2), (K2f)(u) = ∫ b2 a2 k1(t, u)g(t) dt (a3 6 u 6 b3). (a) Pokaż, że także operator K := K2◦K1 : C[a1, b1]→ C[a3, b3] jest operatorem całkowym o ciągłym jądrze k ∈ C([a1, b1]× [a3, b3]): (Kf)(u) = ∫ b1 a1 k(s, u)f(s) ds (a3 6 u 6 b3), gdzie k(s, u) = ∫ b2 a2 k1(s, t)k2(t, u) dt. Tę funkcję k zapisujemy dalej jako k1 ∗ k2. [Wsk. Zob. „rachunki” dla K2 w punkcie 2.6.] (b) Zbadaj pojawiający się w ten sposób operator dwuliniowy (k1, k2)→ k1 ∗ k2 : C([a1, b1]× [a2, b2])× C([a2, b2]× [a3, b3])→ C([a1, b1]× [a3, b3]). Czy jest on ciągły, gdy występujące tu przestrzenie funkcji ciągłych na prostokątach rozpatrywane są z normami „mieszanymi” ‖·‖1,∞ z Zad. 2.2.29? [Wsk. ‖k1 ∗ k2‖1,∞ = ‖K2◦K1‖ 6 ‖K1‖ ‖K2‖ = ‖k1‖1,∞‖k2‖1,∞.] A jeśli są one wyposażone w normy supremalne? Elementy Analizy Funkcjonalnej 65 (c) Pokaż, że gdy [ai, bi] = [a, b] dla i = 1, 2, 3 i Q := [a, b] × [a, b], to operacja ∗ w przestrzeni C(Q) jest łączna. Zatem pl C(Q) rozpatrywana z tym działaniem ∗ jako mnożeniem staje się algebrą, a (C(Q), ‖·‖1,∞) – algebrą unormowaną. Zad. 2.2.31. Dla każdej funkcji f0 ∈ Lp(µ) (1 6 p < ∞) istnieje funkcjonał liniowy ciągły F na Lp(µ) taki, że F (f0) = ‖f0‖p i ‖F‖ = 1. Zad. 2.2.32. Funkcjonał F na L1[0, 1] określony wzorem F (f) := ∫ 1 0 xf(x) dx ma normę 1, ale nie istnieje f0 ∈ L1[0, 1] takie, że ‖f0‖1 6 1 i |F (f0)| = 1. Zad. 2.2.33. Podaj przykład funkcjonału F ∈ (C[0, 1])∗ takiego, że ‖F‖ = 1, ale nie istnieje funkcja f ∈ C[a, b] o normie 1, dla której |F (f)| = 1. Zad. 2.2.34. Pokaż, że funkcjonał liniowy x∗ na c0 dany wzorem x∗(x) = ∑∞ j=1 2 −jξj ma normę 1, ale nie osiąga jej na kuli Bc0 . Zad. 2.2.35. Przestrzeń C1[0, 1] rozważajmy z normą ‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞. Pokaż, że wzór x∗(f) =∑∞ n=1[f(2 −n)− f(0)] definiuje ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C1[0, 1] i oszacuj jego normę. Zad. 2.2.36. W przestrzeni c określmy normę wzorem ‖x‖ = supj |ξj − ξj−1| (ξ0 := 0). Pokazać, że na tak uzyskanej pln funkcjonał liniowy x→ limj ξj jest nieciągły. Zad. 2.2.37. Niech c00 := lin{en : n ∈ N} ⊂ ω. Uzasadnij, że funkcjonał F na przestrzeni (c00, ‖·‖p) (1 6 p 6∞) dany wzorem F (x) =∑∞j=1 ξj jest liniowy, ale jest ciągły tylko dla p = 1. Zad. 2.2.38. Które z poniższych wzorów definiują na przestrzeni C[0, 1]: i) funkcjonały liniowe; ii) ciągłe funkcjonały liniowe; w tym ostatnim przypadku wylicz normy tych funkcjonałów. a) L(f) = ∫ 1 0 f(t) sin t dt, b) L(f) = f( 1 2 ), c) L(f) = ∫ 1 0 f(t)sign(t− 12 ) dt, d) L(f) = ∫ 1 0 t 1/2f(t2) dt, e) L(f) = ∫ 1 0 t −1/2f(t) dt, f) L(f) = ∫ 1 0 f(t 2) dt, g) L(f) = f ′( 12 ), h) L(f) = ∫ 1 0 |f(t)| dt, i) L(f) = max06t61 f(t), j) L(f) = ∫ 1 0 [f(t)] 2 dt. Zad. 2.2.39. Które z funkcjonałów w Zad. 2.2.38 są liniowe i ciągłe na przestrzeni L2? Wylicz ich normy. Zad. 2.2.40. Przestrzeń C2(R) wszystkich funkcji f : R → R mających ograniczone i ciągłe pochodne rzędów 6 2 rozpatrujemy z normą daną wzorem ‖f‖ = ‖f‖∞+‖f ′‖∞+‖f ′′‖∞. Niech X oznacza domkniętą (!) podprzestrzeń przestrzeni C2(R) złożoną z tych funkcji f , dla których f(s) = 0 dla s < 0. Pokaż, że dla f ∈ X całka ∫∞0 f(s)s−3/2 ds jest zbieżna i określa ciągły funkcjonał liniowy na X. Zad. 2.2.41. Dana jest funkcja g ∈ C(R) taka, że dla każdej funkcji f ∈ C(R) całka ∫∞−∞ f(s)g(s) ds jest zbieżna. Udowodnij, że g jest funkcją całkowalną oraz że powyższa całka określa ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni C(R) o normie równej ∫∞ −∞ |g(s)| ds. Zad. 2.2.42. Niech x∗n(f) := f(n −1) i x∗(f) = f(0) dla f ∈ C[0, 1]. Sprawdź, że x∗n(f) → x∗(f) dla każdego f ∈ C[0, 1], ale ‖x∗n − x∗‖ 6→ 0. Zad. 2.2.43. Pokaż, że ciąg operatorów (Pn) w przestrzeni lp (1 6 p 66 Lech Drewnowski Łatwo sprawdzić, że uzyskany w ten sposób operator T : X → Y jest liniowy. Aby pokazać, że jest on ciągły zauważmy, że istnieje skończona granica M := lim n→∞ ‖Tn‖ (zob. Fakt 1.2.1) i wobec tego, korzystając z ciągłości normy w Y , dla każdego x ∈ X dostaniemy ‖Tx‖ = lim n→∞ ‖Tnx‖ 6 limn (‖Tn‖ · ‖x‖) =M · ‖x‖. Zatem T ∈ L(X,Y ) i ‖T‖ 6M . Na koniec pokażemy, że ‖Tn − T‖ → 0. Obierzmy dowolne ε > 0 i niech N będzie tak duże, by ‖Tn − Tm‖ 6 ε dla m,n > N . Wtedy dla m,n > N i każdego x ∈ X będziemy mieć ‖Tnx− Tmx‖ 6 ‖Tn − Tm‖ · ‖x‖ 6 ε‖x‖, skąd przy N 6 m→∞ otrzymamy ‖Tnx− Tx‖ 6 ε‖x‖ dla n > N . Zatem ‖Tn − T‖ 6 ε dla n > N . � Uwaga. Założenie w powyższym twierdzeniu, że Y jest przestrzenią Banacha, jest konieczne. Można bowiem pokazać (zob. Zad. 3.11.12), że: Jeżeli X,Y są pln, X jest niezerowa i L(X,Y ) jest przestrzenią Banacha, to Y musi być przestrzenią Banacha. 2.3-Z Zadania. Zad. 2.3.1. Dla pln X, Y i Z niech L(X,Y ;Z) oznacza zbiór wszystkich ciągłych operatorów dwulinio- wych T : X×Y → Z. Sformułuj i udowodnij analogony Tw. 2.1.1 (o L(X,Y ;Z) jako pln z normą określoną w Zad. 1.17.9) i Tw. 2.3.1 (o zupełności pln L(X,Y ;Z)). 2.4. Algebra endomorfizmów L(X). Niech X będzie pln. Przestrzeń L(X) := L(X,X) ciągłych operatorów liniowych z X w X (czyli endomorfizmów X) nazywamy algebrą endo- morfizmów przestrzeni X. Użycie terminu algebra oznacza, że przestrzeń tę rozważa się także z działaniem mnożenia, którym w tym przypadku jest składanie (superpozycja) operatorów: TS := T◦S. Mnożenie to spełnia dla dowolnych S, T, U ∈ L(X) i α ∈ K warunki (ST )U = S(TU), α(ST ) = (αS)T = S(αT ), S(T + U) = ST + SU, (T + U)S = TS + US, wymagane w ogólnej definicji algebry. Jest to przy tym algebra z jedynką I = idX , bo IT = TI = T, ∀T ∈ L(X). Ponadto (zob. Tw. 2.1.2) ‖TS‖ 6 ‖T‖ · ‖S‖, ∀S, T ∈ L(X) (submultyplikatywność normy operatorowej) oraz ‖I‖ = 1 gdy X 6= {0}, co oznacza, że L(X) jest algebrą unormowaną . Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to L(X) jest algebrą Banacha (na mocy Tw. 2.3.1). Dla dowolnego operatora T ∈ L(X) jego potęgi Tn (n = 0, 1, 2, . . . ) definiuje się w zwykły sposób: T 0 := I i Tn+1 = Tn ◦ T dla n > 0; mamy oczywiście Tm+n = TmTn = TnTm, a także ‖Tn‖ 6 ‖T‖n. Elementy Analizy Funkcjonalnej 67 Łatwo widzieć, że element A algebry L(X) jest odwracalny , tzn. AT = TA = I dla pewnego T ∈ L(X), wtedy i tylko wtedy, gdy A jest automorfizmem przestrzeni X, czyli izomorfizmem (liniowo-topologicznym!) przestrzeni X na siebie; przy tym A−1 = T . [Wsk. Z równości TA = I i AT = I wynika, odpowiednio, że A jest 1–1 i „na”, czyli A jest bijekcją.] Zbiór Aut(X) wszystkich automorfizmów X jest grupą względem operacji mnożenia (tj. składania) operatorów. Oczywiście αI ∈ Aut(X) dla 0 6= α ∈ K. 2.4-Z Zadania. Zad. 2.4.1. Podaj ogólne definicje: a) algebry (liniowej); b) algebry z jedynką; c) algebry unormowanej; d) algebry Banacha. Zad. 2.4.2. Pokaż, że w każdej algebrze unormowanej X działanie mnożenia, tzn. odwzorowanie (x, y)→ xy : X ×X → X, jest ciągłym operatorem dwuliniowym. [Wsk. Zob. dowód Tw. 1.6.1.] Zad. 2.4.3. Uzasadnij, że C[a, b], ogólniej: C(S), jest algebrą Banacha z jedynką (przy zwykłym mno- żeniu funkcji). Jakie elementy tej algebry są w niej odwracalne? 2.5. Twierdzenie o automorfizmie. Twierdzenie 2.5.1. Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, T ∈ L(X) i ‖T‖ < 1, to I − T ∈ Aut(X), operator odwrotny (I − T )−1 wyraża się wzorem (∗) (I − T )−1 = ∞∑ n=0 Tn = I + T + T 2 + . . . , gdzie szereg jest zbieżny absolutnie w L(X), a ponadto ‖(I − T )−1‖ 6 1 1− ‖T‖ . Dowód. Z ‖T‖ < 1 i nierówności ‖Tn‖ 6 ‖T‖n wynika, że szereg (∗) w przestrzeni Banacha L(X) jest absolutnie zbieżny, zatem zbieżny do pewnego S ∈ L(X) (Tw. 1.9.2). Sprawdzimy, że S(I − T ) = I oraz (I − T )S = I, co, jak odnotowaliśmy powyżej, będzie równoznaczne pokazaniu, że I−T ∈ Aut(X) i (I−T )−1 = S. Dla przykładu wykażemy pierwszą z powyższych równości. W tym celu zauważmy, że odwzorowanie u : L(X)→ L(X) ; A→ A(I − T ) jest liniowe i ciągłe, bo ‖u(A)‖ 6 ‖I − T‖ ‖A‖. Wobec tego korzystając z Tw. 1.9.4 (a) mamy: S(I − T ) = u(S) = ∞∑ n=0 u(Tn) = ∞∑ n=0 (Tn − Tn+1) = lim N→∞ N−1∑ n=0 (Tn − Tn+1) = lim N→∞ (I − TN ) = I, gdyż TN → 0 w L(X) (bo ‖TN‖ 6 ‖T‖N → 0). Końcowe oszacowanie jest łatwe (w przejściu ∗ 6 wykorzytujemy Tw. 1.9.1): ‖(I − T )−1‖ = ∥∥∥∥ ∞∑ n=0 Tn ∥∥∥∥ ∗6 ∞∑ n=0 ‖Tn‖ 6 ∞∑ n=0 ‖T‖n = 1 1− ‖T‖ . � 68 Lech Drewnowski Uwaga. Z równości (∗) wynika (na mocy Tw. 2.1.5), że (I − T )−1(x) = ∞∑ n=0 Tnx dla każdego x ∈ X. Szeregi ∞∑ n=0 Tn, a także szeregi „punktowe” ∞∑ n=0 Tnx, nazywane są szeregami Neumanna (Carl Neumann, 1832–1925). 2.5-Z Zadania. Zad. 2.5.1. Z Tw. 2.5.1 wywnioskuj, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, A ∈ Aut(X), T ∈ L(X) i ‖T‖ < ? , to także A− T ∈ Aut(X). [Wsk. A− T = A(I −A−1T ).] Zad. 2.5.2. Uzasadnij, że gdy X jest przestrzenią Banacha, to zbiór Aut(X) jest otwarty w L(X). Zad. 2.5.3. Sformułuj i udowodnij analogon Tw. 2.5.1 dla dowolnej algebry Banacha z jedynką, a następnie rozważ także odpowiedniki poprzednich dwóch zadań. 2.6. Zastosowanie do równań całkowych. Rozważmy równanie całkowe Fredholma (∗) f(s)− λ ∫ b a k(s, t)f(t) dt = g(s) (a 6 s 6 b), gdzie k ∈ C(Q), Q := [a, b] × [a, b], f, g ∈ C[a, b], przy czym g jest funkcją daną a f — szukaną (niewiadomą), natomiast λ jest parametrem liczbowym. Niech operator K : C[a, b]→ C[a, b] będzie określony wzorem (Kf)(s) = ∫ b a k(s, t)f(t) dt. Jest to operator całkowy Fredholma o jądrze ciągłym k. Wiemy z Prz. 2.2.1 (f), że K jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym ‖K‖ = sup a6s6b ∫ b a |k(s, t)| dt. Równanie (∗) możemy teraz napisać w postaci f − λK(f) = g lub (I − λK)(f) = g. Z Tw. 2.5.1 wynika, że jeżeli |λ| < ‖K‖−1, to I − λK ∈ Aut (C[a, b]). Wobec tego dla takich λ nasze równanie ma dla każdego g ∈ C[a, b] dokładnie jedno rozwiązanie f w przestrzeni C[a, b], mianowicie f = (I − λK)−1(g) = g + λKg + λ2K2g + . . . , przy czym szereg funkcyjny po prawej stronie jest zbieżny w przestrzeni C[a, b], tzn. jednostajnie na [a, b]. Co więcej, ponieważ (I − λK)−1 jest ciągłym operatorem w przestrzeni C[a, b], widzimy, że rozwiązanie f zależy w sposób ciągły od funkcji g. Pokażemy teraz jak wyliczyć potęgiKn operatoraK. Poniżej g będzie dowolną funkcją z C[a, b], a s dowolnym punktem przedziału [a, b]. Z definicji K1 = K i (K1g)(u) = ∫ b a k1(u, t)g(t) dt, gdzie k1(u, t) = k(u, t). Następnie (K2g)(s) = K(K1g)(s) = ∫ b a k(s, u)(K1g)(u) du = ∫ b a k(s, u) (∫ b a k1(u, t)g(t) dt ) du = ∫ b a (∫ b a k(s, u)k1(u, t) du ) g(t) dt = ∫ b a k2(s, t)g(t) dt, Elementy Analizy Funkcjonalnej 69 gdzie k2(s, t) := ∫ b a k(s, u)k1(u, t) du, ∀ (s, t) ∈ Q. Zatem K2 jest operatorem całkowym Fredholma o jądrze ciągłym k2. W podobny sposób przeko- nujemy się, że (K3g)(s) = K(K2g)(s) = ∫ b a k3(s, t)g(t) dt, gdzie k3(s, t) := ∫ b a k(s, u)k2(u, t) du, ∀ (s, t) ∈ Q. Przez indukcję pokazuje się, że dla n > 2 (Kng)(s) = ∫ b a kn(s, t)g(t) dt oraz że kn(s, t) = ∫ b a k(s, u)kn−1(u, t) du, ∀ (s, t) ∈ Q. Tak więc wszystkie potęgi Kn są operatorami całkowymi Fredholma o ciągłych jądrach kn. Roz- wązanie f równania (∗) możemy więc teraz zapisać w postaci f(s) = g(s) + ∞∑ n=1 λn ∫ b a kn(s, t)g(t) dt, gdzie szereg jest zbieżny jednostajnie dla a 6 s 6 b. Zobaczymy teraz, że można pójść jeszcze dalej i zastąpić sumę całek w powyższym wzorze przez „całkę z sumy”: f(s) = g(s) + ∫ b a [ ∞∑ n=1 λnkn(s, t) ] g(t) dt. Będzie to poprawne o ile wykażemy, że szereg ∞∑ n=1 λnkn(s, t) jest jednostajnie zbieżny dla (s, t) ∈ Q. Tak istotnie jest, bo oznaczając µ = ‖k‖∞ = max (s,t)∈Q |k(s, t)| i κ = ‖K‖ mamy |k1(s, t)| = |k(s, t)| 6 µ, a następnie |k2(s, t)| 6 ∫ b a |k(s, u)| |k(u, t)| du 6 µ ∫ b a |k(s, u)| du 6 µκ, |k3(s, t)| 6 ∫ b a |k(s, u)| |k2(u, t)| du 6 µκ ∫ b a |k(s, u)| du 6 µκ2 i ogólnie (przez indukcję) |kn(s, t)| 6 µκn−1. Stąd |λnkn(s, t)| 6 µ|λ| · (|λ|κ)n−1, gdzie 0 6 |λ|κ < 1. Zatem rozważany szereg funkcyjny jest zmajoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny i wo- bec tego (na mocy znanego kryterium Weierstrassa) jest zbieżny jednostajnie na Q. Jeśli więc przyjmiemy rλ(s, t) := ∞∑ n=1 λnkn(s, t), (s, t) ∈ Q, to otrzymamy funkcję rλ ∈ C(Q) i rozwiązanie f równania (∗) będziemy mogli zapisać w postaci f(s) = g(s) + ∫ b a rλ(s, t)g(t) dt. Widzimy więc, że rozwiązanie to dane jest z pomocą operatora całkowego Fredholma o ciągłym jądrze rλ. 70 Lech Drewnowski Dla przykładu rozważmy równanie f(s)− λ ∫ 1 0 es−tf(t) dt = g(s), 0 6 s 6 1. Tutaj k(s, t) = es−t dla (s, t) ∈ Q = [0, 1]× [0, 1], (Kf)(s) = ∫ 1 0 es−tf(t) dt = es ∫ 1 0 e−tf(t) dt i łatwo wyliczyć, że ‖K‖ = e − 1. Ponadto k2(s, t) = k(s, t), a stąd kn(s, t) = k(s, t) dla n > 1. Wobec tego dla |λ| < 1‖K‖ = 1 e− 1 mamy rλ(s, t) = ∞∑ n=1 λnk(s, t) = λ 1− λk(s, t) i rozwiązaniem naszego równania jest funkcja f(s) = g(s) + λ 1− λ ∫ 1 0 es−tg(t) dt. 2.7. Przestrzenie dualne do pewnych przestrzeni Banacha. Jeśli X jest pl skończonego wymiaru, to przestrzeń dualna X∗ jest ta sama, jako pl, dla każdej normy w X (zob. Wniosek 1.16.5). Od wyboru normy w X zależy jednak norma ‖x∗‖ funkcjonałów x∗ ∈ X∗. Tak np. każdy funkcjonał liniowy x∗ na Kn jest postaci x∗(x) = n∑ j=1 ξjηj =: 〈x, y〉, gdzie x = (ξj) ∈ Kn, dla pewnego ciągu liczbowego (ηj) ∈ Kn (mianowicie dla ηj := x∗(ej)). Poniżej w Tw. 2.7.1 zobaczymy, że jeśli przestrzeń Kn rozpatruje się z normą ‖·‖p, to ‖x∗‖ = ‖(ηj)‖q, gdzie q jest sprzężone z p. Dla każdego α ∈ K niech σ(α) :=  |α| α gdy α 6= 0, 0 gdy α = 0. Wtedy |σ(α)| = 1 o ile α 6= 0, oraz zawsze σ(α) · α = |α|. Będziemy korzystać poniżej – milcząco – z następującego (łatwego do uzasadnienia) faktu: Fakt. Jeżeli X, Y są pln a T : X × Y → K jest funkcjonałem dwuliniowym ciągłym, tj. istnieje stała M taka, że |T (x, y)| 6M‖x‖ ‖y‖ dla x ∈ X, y ∈ Y (zob. Tw. 1.17.3), to 1) dla każdego y ∈ Y funkcjonał liniowy y∗ na przestrzeni X określony wzorem y∗(x) = T (x, y) jest ciągły, a więc y∗ ∈ X∗, przy czym ‖y∗‖ 6M‖y‖; 2) otrzymane w ten sposób odwzorowanie J : y → y∗ przestrzeni Y w przestrzeń X∗ jest liniowe i ciągłe. Operatory J występujące w poniższych twierdzeniach reprezentacyjnych są tego właśnie typu – są „wyznaczone” przez funkcjonały dwuliniowe, o których mowa w Prz. 1.17.4 (b) – dlatego nie będziemy za każdym razem sprawdzać liniowości tych operatorów J . Twierdzenie 2.7.1 (Przestrzeń dualna do lnp ). Niech 1 6 p, q 6 ∞ będą wykładnikami sprzę- żonymi. Wówczas dla każdego n ∈ N (lnp ) ∗ ∼= lnq . Elementy Analizy Funkcjonalnej 71 Izometryczność tę ustala operator J : lnq → (lnp )∗, który każdemu elementowi y = (ηj) ∈ lnq przyporządkowuje funkcjonał liniowy y∗ na przestrzeni lnp określony wzorem y∗(x) = n∑ j=1 ξjηj , ∀x = (ξj) ∈ lnp . Izometria odwrotna J−1 : (lnp )∗ → lnq wyraża się wzorem J−1x∗ = (ηj), gdzie ηj := x∗(ej) dla j = 1, 2, . . . , n. Dowód. Niech y ∈ lnq . Wtedy y∗ jest funkcjonałem liniowym na Kn i z nierówności Ho¨ldera mamy |y∗(x) 6 ‖y‖q‖x‖p, ∀x ∈ lnp . Zatem y∗ ∈ (lnp )∗ i ‖y∗‖ 6 ‖y‖q. Pokażemy, że zachodzi tu równość. Możemy oczywiście założyć, że y 6= 0, a nawet że ‖y‖q = 1 (dlaczego?). Wystarczy znaleźć x0 = (ξ0j ) ∈ lnp takie, że ‖x0‖p = 1 i y∗(x0) = ‖y‖q = 1. Przypadek 1. p =∞, q = 1: Przyjmijmy ξ0j := σ(ηj). Wtedy ‖x0‖∞ = 1 i y∗(x0) = n∑ j=1 ξ0j ηj = n∑ j=1 |ηj | = ‖y‖1. Przypadek 2. p = 1, q =∞: Istnieje wskaźnik k taki, że ‖y‖∞ = |ηk|. Przyjmijmy ξ0k := σ(ηk) i ξ0j := 0 dla j 6= k. Wtedy ‖x0‖1 = 1 i y∗(x0) = ξ0kηk = |ηk| = ‖y‖∞. Przypadek 3. 1 < p, q < ∞: Przypomnijmy, że wtedy p(q − 1) = q. Niech ξ0j := σ(ηj)|ηj |q−1. Wtedy ‖x0‖p = ( n∑ j=1 |ξ0j |p )1/p = ( n∑ j=1 |ηj |p(q−1) )1/p = 1 oraz y∗(x0) = n∑ j=1 ξ0j ηj = n∑ j=1 |ηj |q = 1 = ‖y‖q. Pokazaliśmy tym samym, że operator J działa z lnq do (l n p ) ∗ i zachowuje normy elementów. Jest on oczywiście liniowy i w takim razie jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym lnq w (l n p ) ∗. Jest on na, bo jeśli x∗ ∈ (lnp )∗, to dla y := ( x∗(ej) )n j=1 mamy, jak łatwo sprawdzić, Jy = x ∗. � Twierdzenie 2.7.2 (Przestrzeń dualna do c0). c∗0 ∼= l1. Izometryczność tę ustala operator J : l1 → c∗0, który każdemu elementowi y = (ηj) ∈ l1 przypo- rządkowuje funkcjonał liniowy y∗ na przestrzeni c0 określony wzorem y∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x = (ξj) ∈ c0. Izometria odwrotna J−1 : c∗0 → l1 wyraża się wzorem J−1x∗ = (ηj), gdzie ηj := x∗(ej) dla j = 1, 2, . . . , przy czym dla każdego x∗ ∈ c∗0 ten ciąg liczbowy y = (ηj) jest jedynym ciągiem takim, że x∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x ∈ c0. 72 Lech Drewnowski Dowód. Niech y ∈ l1. Wtedy, oczywiście, y∗ := Jy jest funkcjonałem liniowym na c0. Ponieważ |y∗(x)| 6 ‖y‖1 ‖x‖∞, ∀x ∈ c0, to y∗ ∈ c∗0 i ‖y∗‖ 6 ‖y‖1. Aby pokazać, że zachodzi tu równość, załóżmy, że y 6= 0 i przyjmijmy ξj := σ(ηj) i xn := (ξ1, . . . , ξn, 0, 0, . . . ) (j, n ∈ N). Wtedy ‖xn‖∞ 6 1 oraz y∗(xn) = n∑ j=1 |ηj |. Stąd ‖y∗‖ > sup n |y∗(xn)| = ‖y‖1 i ostatecznie ‖y∗‖ = ‖y‖1. Zatem J jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym l1 w c∗0. Pokażemy teraz, że J jest „na”: Niech x∗ ∈ c∗0 i ηj := x∗(ej). Wtedy y := (ηj) ∈ l1, bo oznaczając σj := σ(ηj) mamy n∑ j=1 |ηj | = n∑ j=1 σjx ∗(ej) = x∗( n∑ j=1 σjej) 6 ‖x∗‖, ∀n ∈ N. Ponieważ (Jy)(ej) = ηj = x∗(ej), ∀ j, a ciąg (ej) jest liniowo gęsty w c0, to Jy = x∗ na mocy Zasady przedłużania równości dla operatorów liniowych (Wn. 1.7.5). Jedyność ciągu y = (ηj) wynika stąd, że jeśli zachodzi podany wzór dla x∗, to x∗(ej) = ηj dla każdego j. � Część (która?) powyższego rozumowania pozostaje w mocy także dla l∞ i prowadzi do nastę- pującego twierdzenia: Twierdzenie 2.7.3. Dla każdego y = (ηj) ∈ l1 wzór y∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , gdzie x = (ξj) ∈ l∞, definiuje ciągły funkcjonał liniowy y∗ na l∞, przy czym ‖y∗‖ = ‖y‖1. Zatem operator J : l1 → l∗∞ określony wzorem Jy = y∗ jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym przestrzeni l1 w przestrzeń l∗∞. (Ale J nie jest „na”!) Twierdzenie 2.7.4 (Przestrzeń dualna do l1). l∗1 ∼= l∞. Izometryczność tę ustala operator J : l∞ → l∗1, który każdemu elementowi y = (ηj) ∈ l∞ przyporządkowuje funkcjonał liniowy y∗ na przestrzeni l1 określony wzorem y∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x = (ξj) ∈ l1. Izometria odwrotna J−1 : l∗1 → l∞ wyraża się wzorem J−1x∗ = (ηj), gdzie ηj := x∗(ej) dla j = 1, 2, . . . , przy czym dla każdego x∗ ∈ l∗1 ten ciąg liczbowy y = (ηj) jest jedynym ciągiem takim, że x∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x ∈ l1. Dowód. Niech y = (ηj) ∈ l∞. Wtedy oczywiście y∗ := Jy jest funkcjonałem liniowym na l1. Mamy przy tym |y∗(x)| 6 ‖y‖∞‖x‖1, ∀x ∈ l1, zatem y∗ ∈ l∗1 i ‖y∗‖ 6 ‖y‖∞. Aby pokazać, że zachodzi tu równość przyjmijmy xn := σ(ηn)en = (0, . . . , 0, σ(ηn) n , 0, . . . ), ∀n ∈ N. Elementy Analizy Funkcjonalnej 73 Wtedy ‖xn‖1 6 1 i y∗(xn) = |ηn|. Stąd ‖y∗‖ > sup n |ηn| = ‖y‖∞ i wobec tego ‖y∗‖ = ‖y‖∞. Zatem J jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym l∞ w l∗1. J jest „na”: Jeśli x∗ ∈ l∗1 i ηj := x∗(ej), to |ηj | 6 ‖x∗‖ ‖ej‖1 = ‖x∗‖, zatem y := (ηj) ∈ l∞. Przy tym (Jy)(ej) = ηj = x∗(ej), ∀ j, a ciąg (ej) jest liniowo gęsty w l1, więc Jy = x∗. � Twierdzenie 2.7.5 (Przestrzeń dualna do lp, 1 < p < ∞). Niech 1 < p, q < ∞ będą wykład- nikami sprzężonymi. Wówczas l∗p ∼= lq. Izometryczność tę ustala operator J : lq → l∗p, który każdemu elementowi y = (ηj) ∈ lq przypo- rządkowuje funkcjonał liniowy y∗ na przestrzeni lp określony wzorem y∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x = (ξj) ∈ lp. Izometria odwrotna J−1 : l∗p → lq wyraża się wzorem J−1x∗ = (ηj), gdzie ηj := x∗(ej) dla j = 1, 2, . . . , przy czym dla każdego x∗ ∈ l∗p ten ciąg liczbowy y = (ηj) jest jedynym ciągiem takim, że x∗(x) = ∞∑ j=1 ξjηj , ∀x ∈ lp. Dowód. Niech y = (ηj) ∈ lq. Wtedy oczywiście y∗ := Jy jest funkcjonałem liniowym na lp. Ponadto |y∗(x)| 6 ‖y‖q‖x‖p, ∀x ∈ lp, a stąd y∗ ∈ l∗p i ‖y∗‖ 6 ‖y‖q. Zachodzenie tu równości pokazujemy tak samo jak w Przypadku 3 w dowodzie Tw. 2.7.1: Możemy założyć, że ‖y‖q = 1. Niech x0 := (ξ0j ), gdzie ξ0j := σ(ηj)|ηj |q−1. Wtedy ‖x0‖p = 1 i y∗(x0) = ‖y‖q. W konsekwencji J jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym lq w l∗p. J jest „na”: Niech x∗ ∈ l∗p i ηj := x∗(ej). Dla każdego n operator Tn : (ξj)nj=1 → n∑ j=1 ξjej jest izometrią liniową przestrzeni lnp na podprzestrzeń Xn := lin{e1, . . . , en} ⊂ lp. W myśl Tw. 2.7.1 funkcjonał x∗◦Tn ∈ (lnp )∗ jest reprezentowany przez ciąg wartości jakie przyjmuje na wektorach jednostkowych przestrzeni lnp , tj. przez element (η1, . . . , ηn) ∈ lnq , przy czym( n∑ j=1 |ηj |q )1/q = ‖x∗◦Tn‖ 6 ‖x∗‖ ‖Tn‖ = ‖x∗‖. Stąd wynika, że y := (ηj) ∈ lq i jak w poprzednich dowodach dostajemy, że Jy = x∗. Alternatywny sposób pokazania, że y ∈ lq: Niech ξj := |ηj |q−1σ(ηj) i xn := (ξ1, . . . , ξn, 0, . . . ). 74 Lech Drewnowski Wtedy ‖xn‖pp = n∑ j=1 |ηj |q i x∗(xn) = n∑ j=1 |ηj |q. Z drugiej strony |x∗(xn)| 6 ‖x∗‖ ‖xn‖p, a wobec tego n∑ j=1 |ηj |q 6 ‖x∗‖ ( n∑ j=1 |ηj |q )1/p , a stąd ( n∑ j=1 |ηj |q )1/q 6 ‖x∗‖ Elementy Analizy Funkcjonalnej 75 Stąd wynika, że gdy (An) ⊂ Σ i An ↓ ∅, to γ(An) → 0 i wobec tego γ jest miarą przeliczalnie addytywną i ponadto że γ � µ. Na mocy twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje funkcja g ∈ L1(µ) będąca pochodną Radona-Nikodyma miary γ względem miary µ, tj. taka, że γ(A) = ∫ A g dµ, ∀A ∈ Σ. Zmierzamy do pokazania, że g ∈ Lq(µ). Dla dowolnego n ∈ N niech An := {s ∈ S : |g(s)| 6 n}, gn := gχAn , Lp(An) := {f ∈ Lp(µ) : supp f ⊂ An}. Ponieważ gn jest funkcją ograniczoną, to oczywiście gn ∈ Lq(µ). Wobec tego, zgodnie z pierwszą częścią dowodu, gn wyznacza na Lp(µ) ciągły funkcjonał liniowy g∗n := Jgn według wzoru g∗n(f) = ∫ S fgn dµ. Zauważmy, że x∗(χA) = γ(A) = g∗n(χA), ∀A ∈ Σ ∩An. Ale takie funkcje χA tworzą zbiór liniowo gęsty w podprzestrzeni Lp(An), więc funkcjonały x∗ i g∗n są identyczne na Lp(An). Dla dowolnego f ∈ Lp(µ) mamy teraz g∗n(f) = g ∗ n(fχAn) = x ∗(fχAn), a stąd |g∗n(f)| 6 ‖x∗‖ ‖f‖p. Zatem ‖g∗n‖ 6 ‖x∗‖. Ale z pierwszej części dowodu wiemy, że ‖g∗n‖ = ‖gχAn‖q, więc (∫ An |g|q dµ )1/q = ‖gχAn‖q = ‖g∗n‖ 6 ‖x∗‖, ∀n ∈ N. Przy n→∞ dostajemy stąd ‖g‖q 6 ‖x∗‖, zatem g ∈ Lq(µ). Niech teraz g∗ := Jg. Funkcjonały x∗ i g∗ pokrywają się oczywiście na funkcjach χA dla wszystkich A ∈ Σ, więc x∗ = g∗ na Lp(µ). � Twierdzenie 2.7.8 (Przestrzeń dualna do L1). Niech (S,Σ, µ) będzie przestrzenią miarową z miarą σ-skończoną. Wówczas L1(µ)∗ ∼= L∞(µ). Izometryczność tę ustala operator J : L∞(µ) → L1(µ)∗, który każdej funkcji g ∈ L∞(µ) przy- porządkowuje funkcjonał liniowy g∗ na przestrzeni L1(µ) określony wzorem g∗(f) = ∫ S fg dµ, ∀ f ∈ L1(µ). Dowód. Niech g ∈ L∞(µ). Wtedy fg ∈ L1(µ) i |g∗(f)| 6 ‖g‖∞‖f‖1, ∀ f ∈ L1(µ). Zatem g∗ ∈ L1(µ)∗ i ‖g∗‖ 6 ‖g‖∞. Aby wykazać, że zachodzi tu równość, załóżmy, że ‖g‖∞ > 0 i weźmy dowolną stałą 0 < c < ‖g‖∞. Wtedy zbiór {s ∈ S : |g(s)| > c} ∈ Σ jest miary µ dodatniej. Ponieważ miara µ jest σ-skończona, to zbiór ten zawiera podzbiór A ∈ Σ taki, że 0 < µ(A) < ∞. Niech f(s) := 1 µ(A) σ ( g(s) ) χA(s) dla s ∈ S. Wtedy f ∈ L1(µ) i ‖f‖1 = 1. Ponadto łatwo wyliczamy, że ‖g∗‖ > g∗(f) = 1 µ(A) ∫ A |g| dµ > 1 µ(A) ∫ A c dµ = c. Stąd i z dowolności c < ‖g‖∞ dostajemy ‖g∗‖ > ‖g‖∞, co chcieliśmy pokazać. Tak więc operator J jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym L∞(µ) w L1(µ)∗. J jest „na”: Ograniczymy się do przypadku miary µ skończonej. Niech x∗ ∈ L1(µ)∗ i określmy miarę γ : Σ→ K wzorem γ(A) = x∗(χA). Wtedy |γ(A)| 6 ‖x∗‖ ‖χA‖1 = ‖x∗‖µ(A), ∀A ∈ Σ 76 Lech Drewnowski i jak w poprzednim dowodzie stwierdzamy, że istnieje funkcja g ∈ L1(µ) taka, że g = dγ/dµ. Otrzymaną powyżej nierówność możemy teraz zapisać następująco:∣∣∣∣ ∫ A g dµ ∣∣∣∣ 6 ∫ A ‖x∗‖ dµ, ∀A ∈ Σ. Wynika z niej, że g jest funkcją istotnie ograniczoną i że ‖g‖∞ 6 ‖x∗‖. Na koniec, funkcjonały x∗ i g∗ = Jg są ciągłe i pokrywają się na funkcjach prostych, które są gęste w L1(µ), zatem x∗ = g∗. � Dla przestrzeni L∞(µ) zachodzi tylko następujące Twierdzenie 2.7.9. Dla każdego g ∈ L1(µ) wzór g∗(f) = ∫ S fg dµ, gdzie f ∈ L∞(µ) definiuje ciągły funkcjonał liniowy g∗ na L∞(µ), przy czym ‖g∗‖ = ‖g‖1. Zatem operator J : L1(µ) → L∞(µ)∗ określony wzorem Jg = g∗ jest zanurzeniem liniowo-izo- metrycznym przestrzeni L1(µ) w przestrzeń L∞(µ)∗. (Ale, gdy dimL∞(µ) = ∞, to operator ten nie jest „na”!) 2.7-Z Zadania. Zad. 2.7.1. Niech T : lm1 → ln∞ będzie operatorem liniowym reprezentowanym przez macierz A (zatem T (x) = A · x dla x ∈ lmp ). Znajdź wzór (w terminach wyrazów macierzy A), na normę operatora T . To samo – ogólniej – gdy lm1 zastąpimy przez l m p , gdzie 1 6 p 6 ∞. [Wsk. Tw. 2.7.1.] Uwaga: Ciągłość T jest „automatyczna” - zob. Wn. 1.16.5. Zad. 2.7.2. Znajdź opis wszystkich ciągłych operatorów liniowych T : X → Y , gdy: (a) X = c0, Y = l∞. (b) X = c0, Y = c0. (c) X = c, Y = l∞. (d) X = c0, Y = c. (e) X = c, Y = c0. Zad. 2.7.3. Znajdź opis wszystkich ciągłych operatorów liniowych T : l1 → Y , gdy: (a) Y = l∞. (b) Y = c0. (c) Y = c. Zad. 2.7.4. Dla dowolnej przestrzeni Banacha Y znajdź reprezentację wszystkich ciągłych operatorów liniowych T : l1 → Y . Zad. 2.7.5. Dla dowolnej pln X znajdź reprezentację wszystkich ciągłych operatorów liniowych T : X → l∞ oraz T : X → c0. Zad. 2.7.6. Niech X i Y będą pln. Pokaż, że funkcjonał f określony na X×Y jest ciągłym funkcjonałem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją funkcjonały x∗ ∈ X∗ i y∗ ∈ Y ∗ takie, że f(x, y) = x∗(x) + y∗(y) dla wszystkich (x, y) ∈ X × Y . Elementy Analizy Funkcjonalnej 77 3. KLASYCZNE ZASADY ANALIZY FUNKCJONALNEJ Naszym celem będzie teraz zapoznanie się z zestawem (poważnych i głębokich) twierdzeń sta- nowiących podstawy klasycznej analizy funkcjonalnej. Zestaw ten tworzą: • Twierdzenie Banacha-Steinhausa, nazywane też zasadą jednakowej ograniczoności (§ 3.4); • Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym (§ 3.8) wraz z jego konsekwencją – Twier- dzeniem Banacha o wykresie domkniętym (§ 3.9); • ogólne Twierdzenie Hahna-Banacha (§ 3.10) wraz z jego konsekewncjami dla przypadku przestrzeni unormowanych (§ 3.11). 3.1. Zbieżność punktowa ciągów ciągłych operatorów liniowych. O zbiorze (lub ciągu) ciągłych operatorów liniowych z pln X do pln Y mówimy, że jest jed- nakowo ograniczony , gdy normy tych operatorów są wspólnie ograniczone przez pewną stałą, czyli gdy ten zbiór (lub ciąg) jest ograniczony w pln L(X,Y ). Przypomnijmy, że podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa się prezwarty (także cał- kowicie lub totalnie ograniczony), gdy dla każdego ε > 0 można w A znaleźć skończoną ε-sieć, tj. punkty x1, . . . , xk w A takie, że dowolny punkt zbioru A jest odległy od któregoś z punktów xj o mniej niż ε: ∀x ∈ A ∃ 1 6 j 6 k : d(x, xj) < ε. Prawdziwe jest następujące Kryterium zwartości Hausdorffa. Podzbiór przestrzeni metrycznej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest prezwarty i zupełny. (Zob. też Zad. 1.2.5.) Twierdzenie 3.1.1. Niech X i Y będą dowolnymi pln, a (Tn) ⊂ L(X,Y ) niech będzie ciągiem operatorów jednakowo ograniczonych, zbieżnym punktowo na X do operatora T : X → Y , tzn. lim n→∞Tnx = Tx dla każdego x ∈ X. Wówczas: (a) Operator T jest liniowy i ciągły, czyli T ∈ L(X,Y ), przy czym ‖T‖ 6 lim inf n→∞ ‖Tn‖ 6 supn ‖Tn‖. (b) Tn → T jednostajnie na każdym zbiorze prezwartym A ⊂ X, tzn. sup x∈A ‖Tnx− Tx‖ → 0 gdy n→∞. Dowód. (a): Sprawdzenie, że T jest operatorem liniowym jest proste i zostanie pominięte. Ponieważ ciąg (Tn) jest jednakowo ograniczony, to M := supn ‖Tn‖ < ∞. Dla dowolnego x ∈ X z nierówności ‖Tnx‖ 6 ‖Tn‖ ‖x‖ i ciągłości normy w Y dostajemy przy n→∞ ‖Tx‖ 6 lim inf n→∞ ‖Tn‖ · ‖x‖ 6M‖x‖, a stąd wynikają zarówno ciągłość T jak i pożądane oszacowanie normy ‖T‖. (b): Z założeń i części (a) wiemy, że istnieje stała K > 0 taka, że ‖Tn‖ 6 K (n ∈ N) i ‖T‖ 6 K. Niech A będzie zbiorem prezwartym w X. Ustalmy dowolne ε > 0 i niech x1, . . . , xk będzie ε/(3K)-siecią w zbiorze A. Ponieważ Tn → T punktowo, to znajdziemy N takie, że ‖Tn(xj)− T (xj)‖ 6 ε/3 dla j = 1, . . . , k i każdego n > N . Weźmy teraz dowolne x ∈ A. Wtedy ‖x− xj‖ 6 ε/(3K) dla pewnego j ∈ {1, . . . , k}, a wobec tego dla n > N mamy ‖Tnx− Tx‖ 6 ‖Tn(x)− Tn(xj)‖+ ‖Tn(xj)− T (xj)‖+ ‖T (xj)− T (x)‖ 6 ‖Tn‖ ‖x− xj‖+ ε3 + ‖T‖ ‖xj − x‖ 6 K· ε 3K + ε 3 +K· ε 3K = ε 78 Lech Drewnowski Tak więc ‖Tnx− Tx‖ 6 ε dla wszystkich x ∈ A, gdy n > N . � Twierdzenie 3.1.2. Niech X będzie dowolną pln, Y przestrzenią Banacha, a (Tn) ⊂ L(X,Y ) niech będzie ciągiem operatorów jednakowo ograniczonych. Wówczas zbiór X0 wszystkich x ∈ X, dla których granica Tx := lim n→∞Tnx istnieje w Y , jest domkniętą ppl w X, a operator graniczny T : X0 → Y określony przez powyższą równość jest liniowy i ciągły, przy czym ‖T‖ 6 lim inf n→∞ ‖Tn‖. W szczególności, jeżeli ciąg (Tn) jest punktowo zbieżny na pewnym zbiorze liniowo gęstym w X, to jest punktowo zbieżny na całej przestrzeni X, a operator T : X → Y będący jego punktową granicą jest liniowy i ciągły. Dowód. Z uwagi na poprzednie twierdzenie należy tylko wykazać, że X0 jest domkniętą ppl przestrzeni X. Sprawdzenie, że X0 jest ppl jest łatwe, więc zajmijmy się pokazaniem domkniętości X0 w X. Weźmy dowolne x ∈ X0. Pokażemy, że ciąg (Tnx) spełnia warunek Cauchy’ego w Y , więc jest zbieżny w Y , bo Y jest przestrzenią zupełną. To będzie oznaczać, że x ∈ X0. Obierzmy dowolne ε > 0. Ponieważ x ∈ X0, to znajdziemy z ∈ X0 takie, że M‖x− z‖ 6 ε/3. Następnie, ponieważ ciąg (Tnz) jest zbieżny, a zatem Cauchy’ego, to istnieje k takie, że ‖Tnz − Tmz‖ 6 ε/3 dla m,n > k. Wobec tego dla dowolnych m,n > k mamy ‖Tnx− Tmx‖ 6 ‖Tn(x− z)‖+ ‖Tnz − Tmz‖+ ‖Tm(z − x)‖ 6M‖x− z‖+ ε/3 +M‖z − x‖ 6 ε. Tak więc ciąg (Tnx) spełnia warunek Cauchy’ego. � Przykład 3.1.3 (Zastosowanie do całki Riemanna). Pokażemy tu proste zastosowanie Tw. 3.1.2 w teorii całki Riemanna funkcji liczbowych określonych na przedziale zwartym I := [a, b]. Jeśli J jest przedziałem, to |J | oznacza jego długość. Przez podział przedziału I będziemy rozumieć podział z punktami pośrednimi, a więc parę ciągów skończonych pi = ( (tj)nj=0, (sj) n j=1 ) takich, że a = t0 < · · · < tn = b i sj ∈ [tj−1, tj ] dla j = 1, . . . , n. Gęstość takiego podziału to liczba d(pi) := max 16j6n |tj − tj−1|. Ciąg (pin) podziałów przedziału I nazywamy normalnym , jeżeli d(pin)→ 0. Dla dowolnej funkcji f ∈ B(I) i dowolnego podziału pi = ((tj)nj=0, (sj)nj=1) przedziału I niech rpi(f) := n∑ j=1 f(sj)(tj − tj−1), ∀ f ∈ B(I). Łatwo widzieć, że równość ta definiuje ciągły funkcjonał liniowy rpi : B(I)→ K i że ‖rpi‖ = |I| = b− a. (Można tu skorzystać z Prz. 2.2.2 (j).) Funkcję f ∈ B(I) nazywamy całkowalną w sensie Riemanna , lub krótko R-całkowalną , jeżeli dla każdego normalnego ciągu (pin) podziałów przedziału I granica lim n→∞ rpin(f) istnieje w K. Elementy Analizy Funkcjonalnej 79 Gdy tak jest, to nietrudno uzasadnić (jak?), że granica ta nie zależy od wyboru ciągu normalnego podziałów (pin). Nazywamy ją całką Riemanna funkcji f na przedziale I i oznaczamy∫ I f(t) dt ≡ ∫ b a f(t) dt. Pokażemy teraz, że: (a) Zbiór R(I) wszystkich funkcji R-całkowalnych f : I → K jest domkniętą ppl w B(I). Zatem przestrzeń R(I), rozpatrywana z normą supremalną ‖·‖∞ (indukowaną z B(I)), jest przestrzenią Banacha. Istotnie, jeśli (pin) jest normalnym ciągiem podziałów przedziału I (z punktami pośrednimi), to w myśl Tw. 3.1.2 zbiór R(pin) tych f ∈ B(I), dla których granica limn→∞ rpin(f) istnieje, jest domkniętą ppl w B(I). Wystarczy teraz zauważyć, że R(I) jest przekrojem wszystkich takich podprzestrzeni. Z Tw. 3.1.2 wynika też, że dla każdego ciągu normalnego (pin) funkcjonał graniczny f → lim n→∞ rpin(f) na podprzestrzeni R(pin) jest liniowy i ciągły i ma normę 6 |I|. Ponieważ wszystkie te funkcjonały pokrywają się na R(I), to: (b) Funkcjonał r : f → ∫I f(t) dt na przestrzeni R(I) jest liniowy i ciągły, przy czym |r(f)| = ∣∣∣∣ ∫ I f(t) dt ∣∣∣∣ 6 |I| · ‖f‖∞, ∀ f ∈ R(I). Zatem ‖r‖ 6 |I|. Ale dla funkcji stałej 1 mamy |r(1)| = |I|, więc ‖r‖ = |I|. Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że dla dowolnego przedziału J ⊂ I funkcja χJ jest R-całkowalna na I oraz że ∫ I χJ(t) dt = |J |. Niech P (I) oznacza domkniętą ppl w B(I) rozpiętą na wszystkich takich funkcjach χJ . Wiadomo (zob. Prz. 1.10.2 (e)), że P (I) to klasa funkcji prawidłowych na przedziale I i że obejmuje ona wszystkie funkcje ciągłe, a także wszystkie funkcje monotoniczne (i ogólniej funkcje o ograniczonej wariacji). Z tych uwag i powyższego faktu (a) wynika teraz bezpośrednio, że: (c) C(I) ⊂ P (I) ⊂ R(I). 3.1-Z Zadania. Zad. 3.1.1. Dla dowolnego podziału (tutaj: bez punktów pośrednich) pi przedziału [a, b] ⊂ R niech Lpi : C[a, b] → C[a, b] będzie operatorem wprowadzonym w Zad. 1.7.7. Pokaż, że gdy (pin) jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b], to ciąg operatorów (Lpin) jest zbieżny punktowo (ale nie normowo!) na przestrzeni C[a, b] do operatora identycznościowego. Zad. 3.1.2. Dla f ∈ L1 := L1[0, 2pi] i n ∈ Z niech fˆ(n) := (2pi)−1 ∫ 2pi 0 f(t)e −int dt. Z Zad. 1.10.4 (a) wiemy, że dla każdego n funkcjonał f → fˆ(n) na przestrzeni L1 jest liniowy, ciągły i ma normę 6 1/(2pi). Wykorzystując Tw. 3.1.2 pokaż, że lim|n|→∞ fˆ(n) = 0, ∀ f ∈ L1 (por. Zad. 1.10.4 (c)). 3.2. Twierdzenie Baire’a. Poniżej zakładamy, że rozważane przestrzenie metryczne są niepuste. Lemat 3.2.1. Podzbiór domknięty F przestrzeni metrycznej X = (X, d) ma puste wnętrze (Int F = ∅) wtedy i tylko wtedy, gdy każda kula K ⊂ X zawiera kulę K ′ rozłączną z F . [Przez „kulę” rozumiemy tu kulę otwartą lub kulę domkniętą; mamy więc cztery możliwości dla K i K ′.] Dowód konieczności. Załóżmy, że Int F = ∅ i niech K będzie kulą w X. Możemy przyjąć, że jest to kula otwarta. Ponieważ K 6⊂ F , to zbiór K \ F = K ∩ (X \ F ) jest niepusty i oczywiście otwarty. Zatem zawiera on pewną kulę K ′. Jasne, że K ′ ⊂ K i K ′ ∩ F = ∅. � 80 Lech Drewnowski Podstawowa postać tw. Baire’a: Twierdzenie 3.2.2 (Baire’a). Jeżeli przestrzeń metryczna zupełna X = (X, d) jest pokryta ciągiem (Fn) zbiorów domkniętych, czyli X = ∞⋃ n=1 Fn, to przynajmniej jeden z nich musi mieć niepuste wnętrze: Int Fn 6= ∅ dla pewnego n. Dowód. Przypuśćmy, że Int Fn = ∅ dla każdego n. Wówczas, startując od dowolnie wybranej kuli domkniętej B0 w X i stosując indukcyjnie Lemat, możemy znaleźć ciąg kul domkniętych (Bn) w X taki, że Bn ⊂ Bn−1 i Bn ∩ Fn = ∅ dla n = 1, 2, . . . Niech Bn = B(xn, rn); oczywiście, możemy przyjąć, że rn → 0 przy n → ∞. Jeśli m,n ∈ N i m < n, to xn ∈ B(xn, rn) ⊂ B(xm, rm), a stąd d(xm, xn) < rm. Zatem ciąg (xn) spełnia warunek Cauchy’ego i wobec tego jest zbieżny do pewnego punktu x ∈ X (bo przestrzeń X jest zupełna). Dla każdego k mamy (xn)n>k ⊂ Bk, więc z domkniętości Bk wynika, że x ∈ Bk. Tak więc x jest punktem wspólnym wszystkich kul Bn (i to jedynym, jak łatwo widzieć). Ale to x musi należeć do któregoś ze zbiorów Fn, co jest niemożliwe, bo Bn ∩ Fn = ∅. Sprzeczność. � O podzbiorze A przestrzeni metrycznej X mówimy, że jest (w przestrzeni X) • brzegowy , jeśli ma puste wnętrze (Int A = ∅), czyli gdy jego dopełnienie X \A jest gęste w X; • nigdzie gęsty , jeśli jego domknięcie jest zbiorem brzegowym (Int A = ∅), czyli gdy X \A zawiera zbiór otwarty gęsty w X; • pierwszej kategorii Baire’a (1kB), jeśli da się go pokryć przeliczalną rodziną (lub: ciągiem) zbiorów nigdzie gęstych [przy czym można o nich zakładać, że są domknięte]; • drugiej kategorii Baire’a (2kB), jeśli nie jest zbiorem 1kB; • rezydualnym , jeśli jego dopełnienie X \A jest zbiorem 1kB. Zauważmy, że zbiór jest 1kB wtedy i tylko wtedy, gdy da się go zapisać jako sumę pewnej przeliczalnej rodziny (lub: ciągu) zbiorów nigdzie gęstych. Łatwo widzieć, że rodzina wszystkich podzbiorów 1kB danej przestrzeni X jest zamknięta na operacje brania podzbiorów i tworzenia (co najwyżej) przeliczalnych sum. Oczywiście, zbiory 2kB muszą być niepuste. Ponadto,jeśli A ⊂ B ⊂ X i A jest 2kB, to i B jest 2kB; w szczególności X jest wtedy 2kB. Jeżeli przestrzeń X nie ma punktów izolowanych, to w niej każdy zbiór przeliczalny jest 1kB. Inaczej mówiąc, w takiej przestrzeni każdy zbiór 2kB jest nieprzeliczalny. Tak jest w szczególności w niezerowych przestrzeniach Banacha. Ale wcale nie jest a priori jasne, że jakakolwiek przestrzeń X jest 2kB! To właśnie gwarantuje nam wykazane powyżej tw. Baire’a – można je bowiem prze- formułować tak: Każda przestrzeń metryczna zupełna jest 2kB (w sobie samej). Prawdziwa jest też mocniejsza wersja tego twierdzenia: Twierdzenie 3.2.3 (Baire’a). W przestrzeni metrycznej zupełnej X = (X, d) każdy zbiór pierw- szej kategorii Baire’a jest brzegowy. Dowód. Niech zbiór A ⊂ X będzie 1kB. Zatem A ⊂ B, gdzie B jest sumą pewnego ciągu (Fn) zbiorów domkniętych o pustych wnętrzach. Przypuśćmy, że Int B 6= ∅. Wtedy B zawiera pewną kulę domkniętą B0. Jak w poprzednim dowodzie i znajdujemy ciąg malejący kul domkniętych (Bn) mających punkt wspólny x i takich, że Bn ∩ Fn = ∅. To prowadzi do sprzeczności, bo x ∈ B0 ⊂ B, więc x ∈ Fn dla pewnego n. � Elementy Analizy Funkcjonalnej 81 3.2-Z Zadania. Zad. 3.2.1. Wykaż, że wymiar dowolnej przestrzeni Banacha jest albo skończony, albo nieprzeliczalny. [Wsk. Rozumowanie niewprost – wykorzystaj Tw. Baire’a i Wn. 1.16.7.] Zad. 3.2.2. Uzasadnij, że w przestrzeni Banacha żadna ppl wymiaru przeliczalnego (tj. ℵ0) nie może być domknięta. Stąd wywnioskuj, że jeżeli w przestrzeni Banacha X każda ppl jest domknięta, to dimX b. Robimy to w tym celu, by występujące poniżej ilorazy różnicowe były określone dla każdego h 6= 0. Umawiamy się, że wszędzie dalej liczby h 6= 0. Jeśli funkcja f ∈ C[a, b] ma pochodną (skończoną) f ′(u) w jakimś punkcie u ∈ [a, b], to funkcja ru na R określona wzorami ru(h) = f(u+ h)− f(u) h dla h 6= 0 i ru(0) = f ′(u) jest ciągła, przy czym limh→±∞ ru(h) = 0. W konsekwencji, sup h ∣∣∣∣f(u+ h)− f(u)h ∣∣∣∣ 82 Lech Drewnowski Zatem f ∈ En. Każdy ze zbiorów En ma puste wnętrze. Niech f ∈ C[a, b] i ε > 0. Na mocy jednostajnej ciągłości f znajdziemy punkty a = t0 < t1 < · · · < tk = b takie, że dla j = 1, . . . , k będzie |f(s)− f(t)| 6 12ε, dla s, t ∈ [tj−1, tj ], i wobec tego f(tj−1)− 12ε 6 f(t) 6 f(tj−1) + 12ε dla t ∈ [tj−1, tj ]. Możemy teraz zbudować ciągłą funkcję łamaną g na [a, b] taką, że 1) dla j = 0, 1, . . . , k: g(tj) = f(tj); 2) dla j = 1, . . . , k: f(tj−1)− 12ε 6 g(t) 6 f(tj−1) + 12 gdy t ∈ [tj−1, tj ], przy czym wykres g nad tym przedziałem składa się z odcinków mających współczynniki kątowe o modułach > n. Z warunków tych wynika, że ‖f − g‖∞ 6 ε i że g /∈ En. Tak więc K(f, ε) 6⊂ En. Wykazaliśmy tym samym, że zbiory En są nigdzie gęste. Zatem zbiór E, a tym bardziej zbiór D, jest pierwszej kategorii Baire’a w C[a, b]. � 3.4. Twierdzenie Banacha-Steinhausa (Zasada jednakowej ograniczoności). Twierdzenie 3.4.1. Niech X będzie przestrzenią Banacha a Y dowolną pln. Jeżeli zbiór A ciągłych operatorów liniowych z X do Y jest punktowo ograniczony na X, tj. sup T∈A ‖Tx‖ Elementy Analizy Funkcjonalnej 83 (a) Zbiór A jest punktowo ograniczony na X: sup T∈A ‖Tx‖ 84 Lech Drewnowski Zad. 3.4.3. Sformułuj i wykonaj zadanie analogiczne do Zad. 3.4.2 zastępując w nim lp przez c0. Zad. 3.4.4. Sformułuj i wykonaj zadanie analogiczne do Zad. 3.4.2 zastępując w nim lp i lq przez Lp(µ) i Lq(µ), gdzie (S,Σ, µ) jest przestrzenią z miarą σ-skończoną. [Wsk. Jeżeli g : S → K jest funkcją mierzalną, to można znaleźć ciąg rosnący zbiorów (Sn) ⊂ Σ o sumie S i taki, że µ(Sn) < ∞ i funkcja g|Sn jest ograniczona (n ∈ N). Rozważ funkcjonały na Lp(µ) określone wzorami g∗(f) = ∫ S fg dµ i g∗n(f) = ∫ S f(ghn) dµ, gdzie hn oznacza funkcję charakterystyczną zbioru Sn.] Zad. 3.4.5. Niech Y będzie domkniętą podprzestrzenią w C[0, 1]. Załóżmy, że wzystkie funkcje f ∈ Y są różniczkowalne w pewnym punkcie t0 ∈ [a, b]. Pokaż, że wtedy f → f ′(t0) jest ciągłym funkcjonałem liniowym na przestrzeni Y . [Wsk. Wybierzmy ciąg 0 6= hn → 0 taki, że t0 + hn ∈ [a, b] i niech Dn(f) = [f(tn) − f(t0)]/hn. Wtedy Dn ∈ Y ∗ i Dn(f)→ f ′(t0) dla f ∈ Y . Stosujemy Tw. Banacha-Steinhausa.] 3.5. Zastosowanie: Dowód Twierdzenia Silvermana-Toeplitza. Poniżej trzymamy się oznaczeń wprowadzonych w § 1.11. Naszym celem jest pokazanie, że warunki (1)–(3) w Tw. 1.11.1 są również konieczne na to, by macierz wyznaczała permanentną metodę limesowalności. Załóżmy więc, że macierz A = (ajk) wyznacza permanentną metodę limesowalności. W szcze- gólności więc • każdy wektor jednostkowy ek ∈ c0 przeprowadza ona w ciąg ( aj(ek) )∞ j=1≡ (ajk)∞j=1 zbieżny do zera, co oznacza zachodzenie warunku (2); • element e0 = (1, 1, . . . ) ∈ c przeprowadza w ciąg ( aj(e0) ) ≡ ( ∞∑ k=1 ajk )∞ j=1 zbieżny do 1, co oznacza zachodzenie warunku (3). Wykażemy teraz, że musi też być spełniony warunek (1). Ponieważ metoda A jest permanentna, to dla każdego j określony jest na przestrzeni Banacha c0 funkcjonał liniowy aj(x) = ∞∑ k=1 ajkξk = lim r→∞ a r j(x), gdzie a r j(x) := r∑ k=1 ajkξk. Ale arj są ciągłymi funkcjonałami liniowymi na c0 bo |arj(x)| 6 ( r∑ k=1 |ajk| ) ‖x‖∞, więc na mocy tw. Banacha-Steinhausa (3.4.3) aj jest też ciągłym funkcjonałem na c0. Ponadto ‖aj‖ = ∞∑ k=1 |ajk|. To wynika z Tw. 2.7.2; aby uniezależnić się od tego twierdzenia, podajemy poniżej bezpośrednie uzasadnienie powyższej równości: Dla dowolnego r ∈ N, jeśli xr := (σ(aj1), . . . , σ(ajr), 0, 0, . . . ), to xr ∈ c0 i ‖xr‖∞ 6 1, a stąd r∑ k=1 |ajk| = r∑ k=1 σ(ajk)ajk = aj(xr) 6 ‖aj‖ ‖xr‖∞ 6 ‖aj‖. Zatem ∞∑ k=1 |ajk| 6 ‖aj‖ Elementy Analizy Funkcjonalnej 85 Na odwrót, dla każdego x ∈ c0 mamy |aj(x)| 6 ∞∑ k=1 |ajkξk| 6 ∞∑ k=1 |ajk| · ‖x‖∞, a stąd ‖aj‖ 6 ∞∑ k=1 |ajk|. Permanentność metody A oznacza też, że dla każdego x ∈ c0 istnieje granica limj aj(x). Stąd, ponownie na mocy tw. Banacha-Steinhausa (3.4.3), ciąg funkcjonałów (aj) na c0 jest jednakowo ograniczony, zatem sup j ∞∑ k=1 |ajk| = sup j ‖aj‖ 86 Lech Drewnowski Dla dowolnej funkcji stałej c istnienie całki ∫ b a c dg jest oczywiste (bo w tym przypadku wszystkie sumy całkowe są równe c[g(b)− g(a)]). Rozważmy teraz dowolną z funkcji lc, gdzie c ∈ [a, b]. Ponieważ lc(t) = 0 dla t ∈ [a, c] i lc(t) = t − c dla t ∈ [c, b], to kwestię istnienia całki ∫ b a lc(t) dg(t) łatwo sprowadzamy do kwestii istnienia całki ∫ b c (t−c) dg(t), a tę z kolei do kwestii istnienia całki ∫ b c t dg(t). Na mocy twierdzenia o całkowaniu przez części dla całki Riemanna-Stieltjesa, ta ostatnia całka istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka Riemanna ∫ b c g(t) dt, a to rzeczywiście ma miejsce. (Każda funkcja o ograniczonym wahaniu jest R-całkowalna – zob. Prz. 3.1.3.) � Przypomnijmy, że V [a, b] oznacza przestrzeń wszystkich funkcji liczbowych g określonych na przedziale [a, b] i mających na tym przedziale ograniczone wahanie var[a,b](g) (zob. Prz. 1.15.2). Wniosek 3.6.2. Dla każdej funkcji g ∈ V [a, b] wzór g∗(f) = ∫ b a f(t) dg(t) dla f ∈ C[a, b] definiuje ciągły funkcjonał liniowy g∗ na przestrzeni C[a, b], przy czym ‖g∗‖ 6 var [a,b] (g). Dowód. Na mocy Tw. 3.6.1 określenie funkcjonału g∗ ma sens (całki istnieją!) i jest on oczy- wiście liniowy. Ponadto z definicji całki Riemanna-Stieltjesa łatwo wynika, że |g∗(f)| 6 var [a,b] (g) · ‖f‖∞ dla f ∈ C[a, b]. Zatem funkcjonał g∗ jest ciągły na C[a, b] i ‖g∗‖ 6 var[a,b](g). � Uwaga. Można pokazać, że w powyższy sposób otrzymuje się wszystkie ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni C[a, b]. Jest to treścią Tw. reprezentacyjnego Riesza. 3.7. Zastosowanie: Istnienie rozbieżnych szeregów Fouriera. Niech C2pi(R) oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych 2pi-okresowych f : R→ R, wyposa- żoną w normą supremalną ‖·‖∞: ‖f‖∞ = sup t∈R |f(t)| = sup −pi6t6pi |f(t)|. Można ją utożsamiać z domkniętą podprzestrzenią przestrzeni C[−pi, pi] składającą się z funkcji f takich, że f(−pi) = f(pi). Wykażemy, stosując tw. Banacha-Steinhausa, że istnieją funkcje f ∈ C2pi(R), których szereg Fouriera nie jest zbieżny w wybranym z góry punkcie t ∈ [−pi, pi] (P. Du Bois-Reymond). Wiadomo z Analizy, że n-tą sumę częściową szeregu Fouriera funkcji f ∈ C2pi(R) można wyrazić następująco: sn(f, t) = 1 pi ∫ pi −pi f(x)Dn(x− t) dx, gdzie Dn (tzw. jądro Dirichleta) jest funkcją ciągłą na [−pi, pi] określoną wzorem Dn(u) = sin(n+ 12)u 2 sin 12u gdy u 6= 0 i Dn(0) = n+ 12 . Ustalmy t ∈ [−pi, pi] i rozważmy funkcjonały x∗n : f → sn(f, t) na przestrzeni C2pi(R). Są one liniowe i ciągłe, a ich normy wynoszą ‖x∗n‖ = 1 pi ∫ pi −pi |Dn(x− t)| dx = 2 pi ∫ pi 0 |Dn(x)| dx. Elementy Analizy Funkcjonalnej 87 (To pokazuje się jak w Prz. 2.2.1 (e).) Wykorzystując nierówność sinu < u dla 0 < u 6 12pi oraz dokonując podstawienia u = (n+ 12)x dostajemy: ‖x∗n‖ = 2 pi ∫ pi 0 | sin(n+ 12)x| 2 sin 12x dx > 2 pi ∫ pi 0 | sin(n+ 12)x| x dx = 2 pi ∫ (n+ 12 )pi 0 | sinu| u du. Zatem ‖x∗n‖ → ∞ bo, jak wiadomo, ∫∞ 0 | sinu|/u du =∞. Z tw. Banacha-Steinhausa (3.4.1) wynika, że musi istnieć funkcja f ∈ C2pi(R), której szereg Fouriera ma sumy częściowe sn(f, t) = x∗n(f) nie- ograniczone w punkcie t. W szczególności więc szereg Fouriera funkcji f nie jest zbieżny w tym punkcie. Mocniejsza wersja tw. Banacha-Steinhausa (3.4.2) daje więcej: ZbiórBt tych funkcji f ∈ C2pi(R), których szereg Fouriera ma sumy częściowe ograniczone w punkcie t, jest 1kB w przestrzeni C2pi(R). To można dalej wykorzystać dla pokazania, że istnieją funkcje f ∈ C2pi(R), których szereg Fouriera ma sumy częściowe nieograniczone w nieprzeliczalnym zbiorze punktów. 3.8. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym. Twierdzenie 3.8.1. Jeżeli T jest ciągłym operatorem liniowym z przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y , to T jest odwzorowaniem otwartym, tzn. dla dowolnego zbioru otwartego G w X jego obraz T (G) jest zbiorem otwartym w Y . Dowód. Niech ‖·‖ oznacza normę przestrzeni X jak i przestrzeni Y . Ponadto dla dowolnego r > 0 niech U(r) := {x ∈ X : ‖x‖ < r}, V (r) := {y ∈ Y : ‖y‖ < r}. (a) Pokażemy najpierw, że T jest odwzorowaniem prawie otwartym, tzn. że dla dowolnego otoczenia U zera w X zbiór T (U) jest otoczeniem zera w Y . Możemy przyjąć, że U = U(r) dla pewnego r > 0. Niech U1 := U(r/2). Wtedy U1 jest otocze- niem zera w X i U1 − U1 ⊂ U . Ponieważ U1 jest zbiorem pochłaniającym w X (tzn. dla każdego x ∈ X istnieje t > 0 takie, że tx ∈ U1) a T jest „na”, to Y = T (X) = T ( ∞⋃ n=1 nU1 ) = ∞⋃ n=1 nT (U1). Z kolei, ponieważ Y jest przestrzenią Banacha, to z tw. Baire’a (3.2.2) dostajemy n takie, że Int (nT (U1)) = Int nT (U1) 6= ∅, a stąd Int T (U1) 6= ∅. Dla pewnego y0 ∈ T (U1) i ρ > 0 mamy więc y0 + V (ρ) = KY (y0; ρ) ⊂ T (U1) i wobec tego V (ρ) = (y0 + V (ρ))− y0 ⊂ T (U1)− T (U1) ⊂ T (U1)− T (U1) ⊂ T (U), gdzie druga inkluzja zachodzi bo, ogólnie, A ± B ⊂ A±B (zob. Zad. 1.6.4). Zatem T (U) jest otoczeniem zera w Y . (b) Teraz wzmocnimy (a) wykazując, że dla dowolnego otoczenia U zera w X jego obraz T (U) jest otoczeniem zera w Y . To, co pokazaliśmy w (a), można wyrazić tak: ∀ r > 0∃ ρ(r) > 0 : T (U(r)) ⊃ V (ρ(r)), mamy natomiast udowodnić, że ∀ r > 0∃ s > 0 : T (U(r)) ⊃ V (s). Udowodnimy w istocie, że „dobre” jest już s = ρ(12r), a więc że T (U(r)) ⊃ V (ρ(12r)). 88 Lech Drewnowski Ustalmy r > 0 i dla n = 1, 2, . . . oznaczmy rn = 2−nr, ρn = min{ρ(rn), n−1}; zgodnie z powyższym (∗) V (ρn) ⊂ T (U(rn)). Chcemy pokazać, że V (ρ1) ⊂ T (U(r)). Niech y ∈ V (ρ1). W myśl (∗) (dla n = 1) można znaleźć x1 ∈ X takie, że ‖x1‖ < r1 oraz ‖y − Tx1‖ < ρ2. Ponieważ y − Tx1 ∈ V (ρ2), to znowu możemy skorzystać z (∗) (dla n = 2) i znaleźć x2 ∈ X takie, że ‖x2‖ < r2 oraz ‖(y − Tx1)− Tx2‖ < ρ3. Kontynuując indukcyjnie uzyskamy w ten sposób ciąg (xn) w X taki, że ‖xn‖ < rn oraz ‖y − T (x1 + · · ·+ xn)‖ < ρn+1, ∀n ∈ N. Ponieważ rn = 2−nr a X jest przestrzenią Banacha, to szereg ∑∞ n=1 xn jest (absolutnie) zbieżny w X do pewnego x (Tw. 1.9.2), przy czym ‖x‖ 6 ∞∑ n=1 ‖xn‖ < ∞∑ n=1 rn = r, a więc x ∈ U(r). Ponadto ∥∥∥∥y − T( N∑ n=1 xn )∥∥∥∥ < ρN+1 < N−1 → 0, a równocześnie N∑ n=1 xn → x, więc z ciągłości T wynika, że y = Tx. Tym samym wykazaliśmy, że V (ρ1) ⊂ T (U(r)). (c) Z pokazanego w (b) już łatwo wynika otwartość T . Istotnie, niechG będzie zbiorem otwartym w X i niech H := T (G). Weźmy dowolne y ∈ H; zatem y = Tx dla pewnego x ∈ G. Ponieważ zbiór G jest otwarty, to KX(x, r) = x + U(r) ⊂ G dla pewnego r > 0. Z (b) wiemy, że istnieje s > 0 takie, że V (s) ⊂ T (U(r)). W takim razie KY (y, s) = y + V (s) ⊂ Tx+ T (U(r)) = T (x+ U(r)) ⊂ T (G) = H, co dowodzi, że H jest zbiorem otwartym w Y . � Wniosek 3.8.2 (Tw. Banacha o izomorfizmie). Każdy ciągły izomorfizm liniowy między prze- strzeniami Banacha jest izomorfizmem topologicznym. Dowód. Istotnie, jeśli T jest bijekcją między dwiema przestrzeniami topologicznymi, to otwar- tość odwzorowania T jest tym samym, co ciągłość odwzorowania T−1. Stosujemy Tw. 3.8.1. � Wniosek 3.8.3. Niech T będzie ciągłym operatorem liniowym z przestrzeni Banacha X na przestrzeń Banacha Y i niech N := kerT . Wówczas operator liniowy Tˆ : X/N → Y (stowarzyszony z operatorem T ), określony wzorem Tˆ (x+N) = T (x) dla dowolnego x+N ∈ X/N , jest izomorfizmem topologicznym między przestrzeniami Banacha X/N i Y . Elementy Analizy Funkcjonalnej 89 Dowód. Operator Tˆ jest jedynym odwzorowaniem przestrzeni X/N w Y takim, że T = Tˆ◦Q, gdzie Q : X → X/N jest operatorem ilorazowym (zob. § 1.18). Z Tw. 1.18.4 wiemy, że X/N jest przestrzenią Banacha, a z Tw. 1.18.2 wynika, że operator Tˆ jest ciągły. Tak więc Tˆ jest ciągłym operatorem liniowym odwzorowującym w sposób 1–1 (!) przestrzeń Banacha X/N na przestrzeń Banacha Y . Aby zakończyć dowód wystarczy teraz powołać się na Wn. 3.8.2. � 3.8-Z Zadania. Zad. 3.8.1. Czy bijekcja liniowa jednej przestrzeni Banacha na drugą musi być ciągła? Zad. 3.8.2. Dla f ∈ L1 := L1[0, 2pi] i n ∈ Z niech fˆ(n) := (2pi)−1 ∫ 2pi 0 f(t)e −int dt. Operator liniowy F : f → (fˆ(n)) działa z L1 w przestrzeń c0(Z) i jest ciągły (‖F‖ 6 1/(2pi)) – zob. Zad. 1.10.4. Wiadomo też, że operator ten jest 1–1 (jednoznaczność rozwinięcia w szereg Fouriera!). Wykaż, że nie jest on „na”. [Wsk. F jest 1–1, więc jeśliby był na, to musiałby być izomorfizmem. Ale dla jądra Dirichleta Dk mamy ‖F (Dk)‖∞ = 1/2pi i ‖Dk‖1 →∞. Zatem operator F−1 nie jest ciągły.] Zad. 3.8.3. Jeżeli podprzestrzeń domknięta L w C[a, b] składa się z funkcji mających ciągłą pochodną, to ma skończony wymiar. (Czy założenie ciągłości pochodnej jest tu istotne?) [Wsk. L jest też domknięta (więc zupełna) w mocniejszej normie f → ‖f‖∞+‖f ′‖∞ indukowanej z C1[a, b]. Z tw. o porównywaniu norm zupełnych wynika, że istnieje stała m taka, że ‖f ′‖∞ 6 m dla f ∈ BL. Na mocy tw. Ascoliego (5.2.1) kula BL jest zbiorem zwartym w C[a, b]. Zastosować tw. Riesza.] Zad. 3.8.4. Jeżeli ppl domknięta L w C[a, b] składa się z funkcji spełniających warunek Lipschitza, to ma skończony wymiar. To samo gdy [a, b] zastąpimy przez dowolną przestrzeń metryczną zwartą. 3.9. Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym. Łatwo przekonać się, że dowolne odwzorowanie ciągłe f przestrzeni topologicznejX w przestrzeń topologiczną Hausdorffa Y ma zawsze domknięty wykres G(f) := {(x, f(x)) : x ∈ X}, tzn. G(f) jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej X × Y . Dla odwzorowań liniowych między przestrzeniami Banacha prawdziwe jest wynikanie odwrotne: Twierdzenie 3.9.1. Jeżeli operator liniowy T z przestrzeni Banacha X do przestrzeni Bana- cha Y ma domknięty wykres, to jest ciągły. Dowód. Z założenia wykres G = G(T ) jest domkniętą ppl (bo T jest liniowe!) przestrzeni produktowej X × Y , zatem G (z indukowaną topologią) jest przestrzenią Banacha. Niech P i Q oznaczają, odpowiednio, obcięcia do G naturalnych projekcji (x, y) → x i (x, y) → y produktu X × Y na X i Y . Oczywiście, P : G→ X ; (x, Tx)→ x i Q : G→ Y ; (x, Tx)→ Tx są ciągłymi operatorami liniowymi; ponadto, P jest bijekcją G na X. Wobec tego, na mocy Wn. 3.8.2, operator odwrotny do P P−1 : X → G ; x→ (x, Tx) jest ciągły. Wystarczy teraz zauważyć, że T = Q◦P−1. � Uwaga. Domkniętość wykresu odwzorowania T (między przestrzeniami metryzowalnymi) ozna- cza, że z relacji xn → x i Txn → y zawsze wynika, że y = Tx, a jeśli T jest liniowe, to równoważne to jest jeszcze prostszemu warunkowi: xn → 0 i Txn → y =⇒ y = 0. Możemy teraz nieco wzmocnić Wn. 3.8.2. Twierdzenie 3.9.2. Jeżeli izomorfizm liniowy między przestrzeniami Banacha ma domknięty wykres, to jest izomorfizmem topologicznym. 90 Lech Drewnowski Dwie normy ‖·‖ i ‖·‖′ w plX nazywamy zgodnymi , jeżeli dla dowolnego ciągu (xn) wX z tego, że ‖xn − x‖ → 0 i ‖xn − x′‖′ → 0 wynika, że x = x′. Warunek ten jest równoważny domkniętości wykresu operatora identycznościowego idX : (X, ‖·‖) → (X, ‖·‖′). Zauważmy, że jeśli w X istnieje topologia Hausdorffa T słabsza od obu topologii normowych T(‖·‖) i T(‖·‖′), to normy ‖·‖ i ‖·‖′ są zgodne. Tak w szczególności jest, gdy są one porównywalne. Twierdzenie 3.9.3. Dwie zgodne normy zupełne są zawsze równoważne. Stąd wynika, że standardowe normy przestrzeni ciągowych lp, c0, c, l∞ (i wielu innych) są jedy- nymi — z dokładnością do równoważności — normami zupełnymi i takimi, że normowa zbieżność ciągów pociąga zbieżność po współrzędnych. Podobnie dla przestrzeni C(S) czy Lp(µ), w których rolę słabszej zbieżności pełni, odpowiednio, zbieżność punktowa lub zbieżność według miary (albo nietopologizowalna zbieżność prawie wszędzie). Bardzo często stosowanie Tw. o wykresie domkniętym oznacza w istocie korzystanie z poniższej jego konsekwencji. Twierdzenie 3.9.4. Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli operator liniowy T : X → Y jest ciągły, gdy Y jest rozpatrywane z jakąś słabszą topologią Hausdorffa, to jest on także ciągły względem oryginalnej topologii przestrzeni Y . Dowód. Wykres operatora T jest domknięty w produkcie X×Y , gdy czynnik Y rozpatrywany jest z ową topologią słabszą (zob. akapit przed Tw. 3.9.1), więc pozostanie domknięty, gdy zastąpimy ją mocniejszą topologią oryginalną przestrzeni Y . Pozostaje skorzystać z Tw. 3.9.1. � Przykład 3.9.5. Niech (S,Σ, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech 1 6 p < ∞. Załóżmy, że funkcja mierzalna g na S jest taka, że ∀ f ∈ Lp(µ) : gf ∈ Lp(µ). Ma więc sens rozważać operator mnożenia Mg : f → gf działający w przestrzeni Banacha Lp(µ). Oczywiście, jest to operator liniowy. Pokażemy, stosując tw. o wykresie domkniętym (3.9.1), że operator Mg jest ciągły i że g ∈ L∞(µ). Niech (fn) ⊂ Lp(µ) i załóżmy, że fn → 0 (normowo) oraz Mg(fn) = gfn → h ∈ Lp(µ) (normowo). Przypomnijmy, że zbieżność normowa w Lp(µ) pociąga zbieżność według miary µ, oraz że ciąg zbieżny według miary ma zawsze podciąg zbieżny prawie wszędzie (zob. Prz. 1.4.8). Wykorzystując to znajdujemy ciąg wskaźników nk ↗∞ taki, że fnk → 0 µ-p.w. i gfnk → h µ-p.w. Ale z pierwszej z tych relacji wynika, że gfnk → g · 0 = 0 µ-p.w., zatem h = 0 µ-p.w., czyli h jest elementem zerowym przestrzeni Lp(µ). Na mocy tw. o wykresie domkniętym operatorMg jest więc ciągły. Istnieje więc stała skończona K taka, że ‖Mg(f)‖p 6 K‖f‖p, ∀ f ∈ Lp(µ). W szczególności tak jest dla funkcji f postaci χA, co łatwo prowadzi do warunku∫ A |g|p dµ 6 Kµ(A) = ∫ A K dµ, ∀A ∈ Σ. Stąd, jak nietrudno pokazać, wynika że |g|p 6 K µ-p.w. na S, zatem g ∈ L∞(µ). Elementy Analizy Funkcjonalnej 91 3.9-Z Zadania. Zad. 3.9.1. Udowodnij fakt podany na początku § 3.9. Zad. 3.9.2. Udowodnij, że każde odwzorowanie przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną zwartą mające domknięty wykres jest ciągłe. Podaj przykład nieciągłej funkcji f : R→ R o domkniętym wykresie. Zad. 3.9.3. Sprawdź, że operator liniowy T : (c00, ‖·‖∞) → (c0, ‖·‖∞) dany wzorem Tx = (jξj) ma domknięty wykres, ale nie jest ciągły. Zad. 3.9.4. Pokaż, że jeżeli operator liniowy T z przestrzeni Banacha X do przestrzeń Banacha Y jest taki, że y∗◦T ∈ X∗ dla każdego y∗ ∈ Y ∗, to jest ciągły. Zad. 3.9.5. Niech X,Y, Z będą przestrzeniami Banacha. Pokaż, że jeśli T : X → Y jest operatorem liniowym, S : Y → Z operatorem liniowym ciągłym i 1–1 oraz ST jest operatorem ciągłym, to także T jest operatorem ciągłym. Zad. 3.9.6. Udowodnij: Jeżeli X = (X, ‖·‖X) i Y = (Y, ‖·‖Y ) są przestrzeniami Banacha, przy czym X jest ppl przestrzeni Y oraz normy ‖·‖X i ‖·‖Y są zgodne (tj. gdy (xn) ⊂ X, xn → x w X i xn → y ∈ Y w Y , to x = y), to zanurzenie identycznościowe j : X → Y jest ciągłe. Zad. 3.9.7. Udowodnij, że jeżeli przestrzeń Banacha X jest sumą prostą swoich podprzestrzeni domknię- tych L i M : X = L⊕M , to projekcje wyznaczone przez ten rozkład są ciągłe. Zad. 3.9.8. Operatorem diagonalnym między dwiema przestrzeniami ciągowymi X i Y nazywamy od- wzorowanie T : X → Y takie, że Tx = (djξj) dla x = (ξj) ∈ X, gdzie (dj) jest ustalonym ciągiem liczbowym. Udowodnij, że jeżeli X i Y są ciągowymi przestrzeniami Banacha (tzn. w każdej z nich zbieżność normowa pociąga zbieżność po współrzędnych), to każdy operator diagonalny T : X → Y jest automatycznie ciągły. Zad. 3.9.9. Udowodnij, że jeżeli T : l1 → l∞ jest operatorem diagonalnym, to T (l1) ⊂ l1 i T jako operator z l1 w siebie jest ciągły. Czy l1 można tu zastąpić przez dowolną z przestrzeni lp? Zad. 3.9.10. Pokaż, że nie istnieje ciąg (tn) ⊂ R taki, że ∀ (an) ⊂ R : ∑ n |antn| 92 Lech Drewnowski Stąd i z R-liniowości f dostaje się łatwo, że f(αx) = αf(x) dla wszystkich x ∈ X i α ∈ C. Zatem f jest funkcjonałem liniowym na X. � Tw. 3.10.2. Niech X będzie pl nad ciałem K, p seminormą na X, a f funkcjonałem liniowym na X; wówczas: |f | 6 p ⇐⇒ Re f 6 p. Dowód. Tylko implikacja ⇐= wymaga uzasadnienia. Jeśli K = R, to dla każdego x ∈ X mamy f(x) 6 p(x), a stąd także −f(x) = f(−x) 6 p(−x) = p(x); zatem ±f(x) 6 p(x), czyli |f(x)| 6 p(x). Jeśli K = C, to oznaczmy g := Re f ; wtedy (zob. Tw. 3.10.1) f(x) = g(x) − ig(ix), ∀x ∈ X. Niech x ∈ X; możemy założyć, że f(x) 6= 0. Kładąc ω := |f(x)|/f(x) mamy |ω| = 1 oraz |f(x)| = ωf(x) = f(ωx) = g(ωx) 6 p(ωx) = p(x). � Twierdzenie 3.10.3 (Ogólne Twierdzenie Hahna-Banacha). (a) Niech X będzie rzeczywistą pl, p funkcjonałem subliniowym na X, a L ppl w X. Jeżeli f jest funkcjonałem liniowym na L takim, że f 6 p|L, to istnieje funkcjonał liniowy F na X taki, że F |L = f i F 6 p. (b) Niech X będzie (rzeczywistą lub zespoloną) pl, p seminormą na X, a L ppl w X. Jeżeli f jest funkcjonałem liniowym na L takim, że |f | 6 p|L, to istnieje funkcjonał liniowy F na X taki, że F |L = f i |F | 6 p. Dowód. (a): Funkcjonał liniowy (rzeczywisty) ϕ, określony na ppl Xϕ ⊂ X zawierającej L (= Xf ) nazwiemy p-rozszerzeniem f , jeżeli ϕ|L = f i ϕ 6 p na Xϕ. Niech R będzie zbiorem wszystkich takich funkcjonałów ϕ; R 6= ∅, bo f ∈ R. W R wprowadzamy częściowy porządek ≺ : Jeżeli ϕ, ψ ∈ R, to ϕ ≺ ψ :⇐⇒ Xϕ ⊂ Xψ i ϕ = ψ|Xϕ. Niech L będzie dowolnym łańcuchem w R, tzn. ∅ 6= L ⊂ R i dla dowolnych ϕ, ψ ∈ L zachodzi ϕ ≺ ψ lub ψ ≺ ϕ. Pokażemy, że L ma majorantę w R, tj. że istnieje ϕ˜ ∈ R takie że, ϕ ≺ ϕ˜ dla każdego ϕ ∈ L. Ponieważ L jest łańcuchem, to X˜ := ⋃ ϕ∈L Xϕ jest ppl w X (zob. Fakt 0.2.2) i X˜ ⊃ L. Określmy teraz funkcję ϕ˜ : X˜ → R w następujący sposób: dla dowolnego x ∈ X˜ niech ϕ˜(x) := ϕ(x) gdy x ∈ Xϕ dla jakiegoś ϕ ∈ L. Korzystając ponownie z tego, że L jest łańcuchem, łatwo widzieć, że ϕ˜ jest określone poprawnie (tj. wartość ϕ˜(x) nie zależy od wyboru ϕ ∈ L takiego, że x ∈ Xϕ) i że ϕ˜ jest p-rozszerzeniem f . Jest też oczywiste, że ϕ˜|Xϕ = ϕ dla każdego ϕ ∈ L. Zatem ϕ˜ ∈ R i ϕ ≺ ϕ˜ dla wszystkich ϕ ∈ L. Z Lematu Kuratowskiego-Zorna wynika teraz, że w R istnieje element maksymalny F , tzn. taki, że jeśli ϕ ∈ R i F ≺ ϕ, to ϕ = F . Aby zakończyć dowód należy pokazać, że XF = X, a to wynika z następującego lematu. Lemat 3.10.4. Jeżeli V jest ppl właściwą pl rzeczywistej X a F jest funkcjonałem liniowym na V takim, że F 6 p|V , gdzie p jest funkcjonałem subliniowym na X, to dla dowolnego z ∈ X \V można określić funkcjonał liniowy G na ppl W := lin{V ∪ {z}) = V + R · z taki, że F = G|V i G 6 p|W . Elementy Analizy Funkcjonalnej 93 Dowód Lematu. Ponieważ z /∈ V , to W = V ⊕ (R · z); zatem każde y ∈ W można tylko w jeden sposób zapisać w jako x+ αz, gdzie x ∈ V , α ∈ R. Stąd wynika, że każdy funkcjonał liniowy G na W będący rozszerzeniem F jest postaci G(x+ αz) = F (x) + αr (x ∈ V, α ∈ R), gdzie r ∈ R jest stałą (= G(z)). Problem polega więc na tym, by tak obrać r, żeby zachodziła nierówność G 6 p|W , czyli by (∗) F (x) + αr 6 p(x+ αz), ∀x ∈ V, α ∈ R. Dla α > 0 warunek (∗) można zapisać w postaci F ( x α ) + r 6 p(x α + z), ∀x ∈ V a ponieważ V jest ppl, to jest to równoważne warunkowi F (u) + r 6 p(u+ z), czyli r 6 p(u+ z)− F (u), ∀u ∈ V, co możemy też wyrazić tak: r 6 inf{p(u+ z)− F (u) : u ∈ V } =: r′′. Dla α < 0 warunkowi (∗) możemy nadać postać F ( x α ) + r > 1 α p(x+ αz) = −p(−x α − z), czyli r > −F (v)− p(−v − z), ∀ v ∈ V, co możemy też wyrazić tak: r > r′ := sup{−F (v)− p(−v − z) : v ∈ V }. Należy więc r wybrać tak, by r′ 6 r 6 r′′, co będzie możliwe, o ile pokażemy, że obie wartości r′ i r′′ są skończone i że r′ 6 r′′. To sprowadza się do pokazania, że dla dowolnych u, v ∈ V zachodzi −F (v)− p(−v − z) 6 p(u+ z)− F (u) czyli F (u− v) 6 p(u+ z) + p(−v − z). Tak istotnie jest, bo F (u− v) 6 p(u− v) = p((u+ z) + (−v − z)) 6 p(u+ z) + p(−v − z). � (b): To jest dość prostą konsekwencją części (a). Przypadek 1. X jest przestrzenią rzeczywistą: Stosujemy (a) i znajdujemy funkcjonał liniowy F na X taki, że F |L = f i F 6 p. Z Tw. 3.10.2 wynika, że |F | 6 p. Przypadek 2. X jest przestrzenią zespoloną: Niech g := Re f ; jest to funkcjonał liniowy na podprzestrzeni L traktowanej jako przestrzeń rzeczywista. Zgodnie z Tw. 3.10.1, f(x) = g(x)− ig(ix) dla x ∈ L. Ponieważ g 6 |g| 6 |f | 6 p|L, to na mocy (a) na przestrzeni X traktowanej jako pl nad R istnieje funkcjonał liniowy G taki, że G|L = g i |G| 6 p. Określmy teraz funkcjonał zespolony F na X wzorem F (x) = G(x)− iG(ix). Na mocy Tw. 3.10.1 F jest funkcjonałem (C-) liniowym na X i F |L = f . Ponieważ Re F = G 6 p, to z Tw. 3.10.2 dostajemy |F | 6 p. � 94 Lech Drewnowski 3.11. Twierdzenie Hahna-Banacha dla przestrzeni unormowanych. Twierdzenie 3.11.1 (H-B o rozszerzaniu ciągłych funkcjonałów liniowych z zachowaniem nor- my). Niech L będzie podprzestrzenią pln X. Wówczas każdy ciągły funkcjonał liniowy f na L można rozszerzyć do ciągłego funkcjonału liniowego F na X tak, by ‖F‖ = ‖f‖: ∀ f ∈ L∗ ∃F ∈ X∗ : F |L = f ∧ ‖F‖ = ‖f‖. Uwaga. Gdy f ∈ L∗ a F ∈ X∗, to ich normy wyrażają się wzorami ‖f‖ = sup{|f(x)| : x ∈ L, ‖x‖ 6 1} i ‖F‖ = sup{|F (x)| : x ∈ X, ‖x‖ 6 1}. Stąd widać, że jeśli F |L = f , to ‖F‖ > ‖f‖. Dowód. Dla każdego x ∈ L mamy |f(x)| 6 ‖f‖ ‖x‖. Określmy seminormę p na X wzorem p(x) = ‖f‖ ‖x‖. Mamy |f | 6 p na L, więc stosując Tw. 3.10.3 (b) dostaniemy funkcjonał liniowy F na X taki, że F |L = f i |F | 6 p na X, tj. |F (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ dla wszystkich x ∈ X. Stąd F ∈ X∗ i ‖F‖ 6 ‖f‖, a ponieważ F |L = f , to zachodzi też nierówność ‖F‖ > ‖f‖. � Twierdzenie 3.11.2 (H-B o wydobywaniu normy). Niech X będzie pln. Wtedy dla każdego punktu x0 6= 0 w X istnieje funkcjonał x∗0 ∈ X∗ taki, że x∗0(x0) = ‖x0‖ i ‖x∗0‖ = 1. Zatem dla każdego x ∈ X zachodzą równości (druga — o ile X 6= {0}): ‖x‖ = sup{|x∗(x)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ 6 1} = sup{|x∗(x)| : x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖ = 1}. Dowód. Na ppl L := K · x0 ⊂ X określmy funkcjonał liniowy f wzorem f(αx0) := α‖x0‖. Ponieważ |f(αx0)| = ‖αx0‖ dla każdego α ∈ K, to ‖f‖ = 1. Stosując Tw. 3.11.1 znajdziemy x∗0 = F ∈ X∗ takie, że ‖x∗0‖ = ‖f‖ = 1 i x∗0|L = f , więc w szczególności x∗0(x0) = f(x0) = ‖x0‖. � Wniosek 3.11.3 (O rozdzielaniu punktów przez przestrzeń dualną). Niech X będzie pln. Wów- czas dla każdego punktu 0 6= x ∈ X istnieje funkcjonał x∗ ∈ X∗ taki, że x∗(x) 6= 0. Inaczej mówiąc, jeżeli x ∈ X i x∗(x) = 0 dla każdego x∗ ∈ X∗, to x = 0, czyli przestrzeń dualna X∗ jest totalna nad przestrzenią X. Zatem dla dowolnych różnych punktów x1, x2 ∈ X istnieje funkcjonał x∗ ∈ X∗ taki, że x∗(x1) 6= x∗(x2). Twierdzenie 3.11.4 (H-B o oddzielaniu punktów od podprzestrzeni domkniętych). Niech L będzie domkniętą ppl pln X. Wówczas dla każdego x0 ∈ X \ L istnieje funkcjonał x∗0 ∈ X∗ taki, że ‖x∗0‖ = 1, x∗0|L = 0 i x∗0(x0) = d, gdzie d := d(x0, L) = inf{‖x0 − z‖ : z ∈ L}. Dowód I. Na ppl Y := lin(L ∪ {x0}) = L⊕K · x0 = {z + αx0 : z ∈ L, α ∈ K} określmy funkcjonał liniowy f wzorem f(z + αx0) = αd. Oczywiście, f |L = 0. Ponadto, dla dowolnego z ∈ L i α 6= 0 mamy |f(z + αx0)| = |α|d 6 |α| ‖x0 + α−1z‖ = ‖z + αx0‖, Elementy Analizy Funkcjonalnej 95 zatem |f(y)| 6 ‖y‖ dla wszystkich y ∈ Y , a stąd f ∈ Y ∗ i ‖f‖ 6 1. Ale 0 < d = |f(−z + x0)| 6 ‖f‖ ‖x0 − z‖ dla każdego z ∈ L, więc biorąc infimum po z ∈ L otrzymamy 0 < d 6 ‖f‖ · d i w takim razie ‖f‖ > 1. Ostatecznie ‖f‖ = 1. Ponadto oczywiście f(x0) = d i kończymy dowód powołując się na Tw. 3.11.1. � Dowód II. Rozważmy ilorazową pln X/L i operator ilorazowy Q : X → X/L (zob. § 1.18). Ponieważ x0 /∈ L, to ξ0 := Q(x0) 6= 0. Na mocy Tw. 3.11.2 istnieje ciągły funkcjonał liniowy ξ∗0 na przestrzeni X/L taki, że ξ∗0(ξ0) = ‖ξ0‖ i ‖ξ∗0‖ = 1. Wtedy x∗0 := ξ∗0◦Q jest ciągłym funkcjonałem liniowym na przestrzeni X i x∗0(x0) = ξ ∗ 0(Qx0) = ξ ∗ 0(ξ0) = ‖ξ0‖ = d(x0, L). Ponadto, w myśl Tw. 1.18.2 (c), ‖x∗0‖ = ‖ξ∗0◦Q‖ = ‖ξ∗0‖ = 1. � Domkniętą hiperpłaszczyzną w pln X, określoną przez równanie x∗(x) = α, gdzie x∗ ∈ X∗ i α ∈ K, nazywamy zbiór H = {x ∈ X : x∗(x) = α}. Zauważmy, że jeżeli taka hiperpłaszczyzna H zawiera 0 (a tak jest, gdy zawiera ona jakąś ppl), to α = 0, a więc dana jest ona równaniem postaci x∗(x) = 0, czyli H jest jądrem pewnego funkcjonału x∗ ∈ X∗. W tym przypadku H jest więc maksymalną domkniętą ppl przestrzeni X: H = X∗, gdy x∗ = 0; codimH = 1, gdy x∗ 6= 0. Poniższy wniosek jest łatwą konsekwencją Tw. 3.11.4. Wniosek 3.11.5. Jeżeli L jest ppl w pln X, to jej domknięcie jest równe przekrojowi wszystkich zawierających ją domkniętych hiperpłaszczyzn. Dowód. Takie hiperpłaszczyzny istnieją – jedną z nich jest cała przestrzeń X (dla x∗ = 0 i α = 0). Niech M oznacza ich przekrój; oczywiście, L ⊂M i L jest domkniętą ppl (zob. Tw. 1.6.2). Jeśli z ∈ X i z /∈ L, to na mocy Tw. 3.11.4, zastosowanego do podprzestrzeni L i punktu z, można znaleźć x∗ ∈ X∗ takie, że x∗(x) = 0 dla x ∈ L i x∗(z) 6= 0. Zatem L ⊂ H := {x : x∗(x) = 0} i z /∈ H, a stąd z /∈M . To dowodzi, że M ⊂ L. � 3.11-Z Zadania. Zad. 3.11.1. Uzasadnij istnienie ciągłego funkcjonału liniowego na przestrzeni l∞, który (a) na podprzestrzeni c pokrywa się z funkcjonałem granicy lim: (ξj)→ limj ξj ; (b) zeruje się na podprzestrzeni c i przyjmuje wartość 1 na elemencie (1,−1, 1,−1, . . . ) ∈ l∞. Zad. 3.11.2. Czy istnieje niezerowy ciągły funkcjonał liniowy x∗ na przestrzeni l∞ taki, że x∗(χA) = 0 dla każdego A ⊂ N? Zad. 3.11.3. Niech f : [a, b] → X, gdzie X jest pln, będzie funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b). Wykorzystując klasyczne tw. Lagrange’a oraz tw. Hahna-Banacha o wydobywaniu normy (3.11.2) pokaż, że sup{‖f(s)− f(t)‖/|s− t| : s, t ∈ [a, b], s 6= t} = sup{‖f ′(t)‖ : t ∈ (a, b)}. Zad. 3.11.4. Niech ∑ n xn będzie szeregiem bezwarunkowo zbieżnym w pln X. Wykorzystując odpo- wiednie twierdzenie dotyczące szeregów liczbowych oraz totalność przestrzeni dualnej (Wn. 3.11.3) wykaż, że szereg ten ma tę samą sumę dla każdej jego permutacji. Zad. 3.11.5. Niech X będzie pln, x∗0 ∈ X∗, ‖x∗0‖ = 1 i X0 = kerx∗0. Pokaż, że d(x,X0) = |x∗0(x)| dla każdego x ∈ X. Zad. 3.11.6. Pokaż, że każdy ze zbiorów A1 = {(e−nk)∞k=1 : n ∈ N}, A2 = {(kn−1e−k)∞k=1 : n ∈ N} jest liniowo gęsty w c0. A w lp dla 1 6 p 96 Lech Drewnowski Zad. 3.11.9. Podaj przynajmniej jeden przykład rozszerzenia funkcjonału x∗(f) = ∫∞ 0 f(s)s −3/2 ds, określonego na domkniętej ppl X ⊂ C2(R) składającej się z funkcji znikających na (−∞, 0), do ciągłego funkcjonału liniowego na przestrzeni C2(R). Zad. 3.11.10. Wykorzystaj tw. Hahna-Banacha dla pokazania, że w nieskończenie wymiarowej pln X dla każdego ε > 0 istnieje ciąg nieskończony (xn) ⊂ SX taki, że ‖xn − xm‖ > 1 − ε dla n 6= m. (Por. z dowodem tw. Riesza 1.16.9.) Zad. 3.11.11. Przedstaw i uzasadnij nieco ogólniejszą wersję Wn. 3.11.5, która dotyczyłaby domkniętych powłok liniowych lin(A) zbiorów A ⊂ X. Zad. 3.11.12. Pokaż, ze jeżeli pln X 6= {0} i Y są takie, że L(X,Y ) jest przestrzenią Banacha, to Y musi być przestrzenią Banacha. [Wsk. Ustalmy x∗0 ∈ X∗ o normie 1. Dla każdego y ∈ Y określmy operator x∗0 ⊗ y ∈ L(X,Y ) wzorem (x∗0 ⊗ y)(x) = x∗0(x) · y. Pokaż, że odwzorowanie y → x∗0 ⊗ y jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym Y w L(X,Y ) i że jego obraz jest domknięty w L(X,Y ).] 3.12. Kanoniczna forma dwuliniowa. Anihilatory zbiorów. Kanoniczna forma dwuliniowa. Dla dowolnej pln X przez kanoniczną formę dwuliniową na produkcie X × X∗ rozumie się ciągły funkcjonał dwuliniowy 〈·, ·〉 : X × X∗ → K określony wzorem 〈x, x∗〉 = x∗(x). Sprawdzenie dwuliniowości tego funkcjonału jest proste (por. początek § 3.15), natomiast jego cią- głość mamy z nierówności |〈x, x∗〉| 6 ‖x‖ ‖x∗‖ dla wszystkich x ∈ X i x∗ ∈ X∗ (zob. Tw. 1.17.3). Z dwuliniowości i ciągłości formy 〈·, ·〉 wynika, że: • Dla każdego (ustalonego) x∗ ∈ X∗ funkcjonał 〈·, x∗〉 : x → 〈x, x∗〉 = x∗(x) na przestrzeni X jest liniowy i ciągły. Oczywiście, 〈·, x∗〉 = x∗ i na mocy jednego ze wzorów na normę funkcjonału liniowego ‖x∗‖ = sup ‖x‖61 |〈x, x∗〉|. • Dla każdego (ustalonego) x ∈ X funkcjonał 〈x, ·〉 : x∗ → 〈x, x∗〉 = x∗(x) na przestrzeni X∗ jest liniowy i ciągły. Funkcjonał ten, wyznaczony (indukowany) przez element x przestrzeni X, będziemy dalej oznaczać x̂; zatem x̂(x∗) = 〈x, x∗〉 = x∗(x) dla x∗ ∈ X∗. Przy tym ‖x̂‖ = ‖x‖, bo ‖x̂‖ = sup ‖x∗‖61 |〈x, x∗〉| = ‖x‖, na mocy wspomnianego wyżej wzoru na normę funkcjonału oraz Tw. 3.11.2. Odnotujmy, że z ciągłości i liniowości funkcjonału x̂ na przestrzeni X∗ wynika, że jego jądro, tj. zbiór N(x̂) = {x∗ ∈ X∗ : x∗(x) = 0} jest domkniętą ppl przestrzeni X∗. Anihilatory zbiorów. Niech X będzie pln. Anihilatorem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór A⊥ ⊂ X∗ określony wzorem A⊥ = {x∗ ∈ X∗ : x∗(x) = 0 ∀x ∈ A} = ⋂ x∈A N(x̂). Z ostatniej równości i domkniętości N(x̂) wynika, że A⊥ jest domkniętą ppl przestrzeni X∗. Anihilator (wstecz ) zbioru B ⊂ X∗ definiujemy jako ppl B> w X daną wzorem B> = {x ∈ X : x∗(x) = 0 ∀x∗ ∈ B} = ⋂ x∗∈B N(x∗). Elementy Analizy Funkcjonalnej 97 Widać stąd od razu, że jest to domknięta ppl przestrzeni X. Poniższe twierdzenie jest w istocie tylko przeformułowaniem Wn. 3.11.5 (zob. też Zad. 3.11.11). Twierdzenie 3.12.1. Dla dowolnego podzbioru A pln X zachodzi równość lin(A) = (A⊥)>. Dowód. Z samych określeń widać, że A ⊂ (A⊥)>, a ponieważ po prawej stronie mamy do- mkniętą ppl w X, to także lin(A) ⊂ (A⊥)>. Inkluzja ta nie może być właściwa: Jeśli bowiem z ∈ X i z /∈ lin(A), to na mocy Tw. 3.11.4 istnieje funkcjonał x∗ ∈ X∗ taki, że x∗ = 0 na lin(A) (tym bardziej x∗ = 0 na A) i x∗(z) 6= 0. Zatem x∗ ∈ A⊥ i x∗(z) 6= 0, co oznacza, że z /∈ (A⊥)>. � 3.13. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Polary i bipolary. Przytoczymy tu bez dowodów ważne i często stosowane twierdzenia mówiące o oddzielaniu (w określonym sensie) zbiorów wypukłych w pln za pomocą ciągłych funkcjonałów liniowych. Dla uproszczenia sformułowań ograniczamy się do rzeczywistych pln. Punktem startowym jest poniższe twierdzenie S. Mazura, które często bywa nazywane geome- tryczną wersją tw. Hahna-Banacha. Z tw. Mazura wyprowadza się I Tw. o oddzielaniu (3.13.2), a z niego – II Tw. o oddzielaniu (3.13.3). Twierdzenie 3.13.1. Niech A będzie niepustym zbiorem wypukłym i otwartym w pln X, a L ppl w X taką, że A ∩ L = ∅. Wtedy istnieje domknięta hiperpłaszczyzna H w przestrzeni X taka, że L ⊂ H i A ∩H = ∅. Inaczej mówiąc, istnieje ciągły funkcjonał liniowy x∗ na przestrzeni X taki, że jego jądro H spełnia powyższe warunki. (Zob. określenie i uwagi przed Wn. 3.11.5.) Przed sformułowaniem twierdzeń o oddzielaniu zbiorów wypukłych wprowadzimy pojęcia pół- przestrzeni domkniętych i otwartych. Przez półprzestrzeń domkniętą w (rzeczywistej) pln X rozumiemy dowolny jej podzbiór postaci {x ∈ X : x∗(x) 6 α}, gdzie x∗ ∈ X∗, α ∈ R. Podobnie określa się półprzestrzenie otwarte (zastępując 6 przez α} jest półprzestrzenią domkniętą w sensie powyższej definicji, bo można go przecież zapisać jako {x ∈ X : (−x∗)(x) 6 −α}. Podobnie, każdy zbiór postaci {x ∈ X : x∗(x) > α} jest półprzestrzenią otwartą. O parach półprzestrzeni, takich jak np. półprzestrzeń otwarta {x : x∗(x) < α} i półprzestrzeń domknięta {x : α 6 x∗(x)}, mówi się, że leżą po różnych stronach hiperpłaszczyzny domkniętej o równaniu x∗(x) = α. Poniższe twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych mówią, że rozłączne zbiory wypukłe, spełniające odpowiednie warunki topologiczne, można zawsze umieścić w rozłącznych półprzestrze- niach leżących po różnych stronach pewnej hiperpłaszczyzny domkniętej Twierdzenie 3.13.2 (I Tw. o oddzielaniu zbiorów wypukłych). Niech A i B będą rozłącznymi niepustymi zbiorami wypukłymi w pln X. (a) Jeżeli zbiór A jest otwarty, to istnieją x∗ ∈ X∗ i α ∈ R takie, że x∗(x) < α 6 x∗(y), ∀x ∈ A, y ∈ B. (b) Jeżeli obydwa zbiory A i B są otwarte, to istnieją x∗ ∈ X∗ i α ∈ R takie, że x∗(x) < α < x∗(y), ∀x ∈ A, y ∈ B. Twierdzenie 3.13.3 (II Tw. o oddzielaniu zbiorów wypukłych). Niech A i B będą rozłącznymi niepustymi zbiorami wypukłymi w pln X. Jeżeli jeden z nich jest domknięty a drugi zwarty, to istnieją x∗ ∈ X∗ i α ∈ R takie, że x∗(x) < α < x∗(y), ∀x ∈ A, y ∈ B. 98 Lech Drewnowski Stąd sup x∈A x∗(x) < inf y∈B x∗(y). Przytoczymy teraz kilka ważnych konsekwencji z II Tw. o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Własność zbiorów wypukłych, o której mowa w poniższym wniosku, należy zestawić i porównać z poznaną wcześniej analogiczną własnością ppl (zob. Wn. 3.11.5), a także porównać ich dowody. Wniosek 3.13.4. Jeżeli A jest zbiorem wypukłym w pln X, to jego domknięcie jest równe przekrojowi wszystkich domkniętych półprzestrzeni zawierających A. Dowód. Takie półprzestrzenie istnieją – jedną z nich jest cała przestrzeń X (dla x∗ = 0 i α = 0). Niech C oznacza ich przekrój. Oczywiście, A ⊂ C i A jest domkniętym zbiorem wypukłym (zob. Zad. 1.6.2). Przypuśćmy, że A 6= C i niech z ∈ C r A. Na mocy Tw. 3.13.3, zastosowanego do zbiorów A i {z}, można znaleźć x∗ ∈ X∗ i α ∈ R takie, że x∗(x) < α < x∗(z), ∀x ∈ A. Zatem zbiór A zawarty jest w półprzestrzeni domkniętej {x : x∗(x) 6 α}, ale punkt z do niej nie należy, więc tym bardziej z /∈ C. Sprzeczność. � Wniosek 3.13.5. Niech A będzie niepustym zbiorem absolutnie wypukłym i domkniętym w pln X. Wtedy dla każdego punktu x0 ∈ X rA istnieje funkcjonał x∗ ∈ X∗ taki, że sup x∈A |x∗(x)| 6 1 i x∗(x0) > 1. Dowód. W myśl Tw. 3.13.3, zastosowanego do danego zbioru A i zbioru B := {x0}, istnieją z∗ ∈ X∗ i α ∈ R takie, że z∗(x) < α < z∗(x0) dla każdego x ∈ A. Jeśli x ∈ A i z∗(x) 6= 0, to niech s := |z∗(x)|/z∗(x). Wtedy |s| = 1, więc sx ∈ A oraz |z∗(x)| = sz∗(x) = z∗(sx) < α < z∗(x0). Stąd otrzymujemy, że c := sup x∈A |z∗(x)| < z∗(x0) =: d. Jeżeli c = 0, to niech x∗ := d−1z∗, a jeżeli c > 0, to niech x∗ := c−1z∗. Jest jasne, że w każdym z tych przypadków funkcjonał x∗ ma wymagane własności. � Polary i bipolary zbiorów. Niech X będzie dowolną pln. Polarą zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór A◦ ⊂ X∗ określony równością A◦ = {x∗ ∈ X∗ : |x∗(x)| 6 1 ∀x ∈ A} = ⋂ x∈A {x∗ ∈ X∗ : |x̂(x∗)| 6 1} a polarą (wstecz ) zbioru B ⊂ X∗ nazywamy zbiór B◦ ⊂ X określony równością B◦ := {x ∈ X : |x∗(x)| 6 1 ∀x∗ ∈ B} = ⋂ x∗∈B {x ∈ X : |x∗(x)| 6 1}. Zauważmy, że – ogólnie – dla dowolnego ciągłego funkcjonału liniowego f na pln Z zbiór {z ∈ Z : |f(z)| 6 1} jest domkniętym zbiorem absolutnie wypukłym w przestrzeni Z. Powinno być wobec tego jasne, że a) dla każdego A ⊂ X polara A◦ jest domkniętym zbiorem absolutnie wypukłym w X∗; b) dla każdego B ⊂ X∗ polara B◦ jest domkniętym zbiorem absolutnie wypukłym w X. Łatwo też widzieć, że abihilator ppl jest tym samym, co jej polara. [Wsk. Zad. 1.7.3.] Bipolarą zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór A◦◦ := (A◦)◦ ⊂ X. Podobnie, bipolarą zbioru B ⊂ X∗ nazywamy zbiór B◦◦ := (B◦)◦ ⊂ X∗. Z samych określeń natychmiast wynika, że A ⊂ A◦◦ i B ⊂ B◦◦, Elementy Analizy Funkcjonalnej 99 a biorąc pod uwagę fakty a) i b) widzimy, że A◦◦ i B◦◦ są (normowo) domkniętymi zbiorami absolutnie wypukłymi, odpowiednio, w przestrzeniach X i X∗. Twierdzenie 3.13.6 (o bipolarze). Dla każdego zbioru A w dowolnej pln X jego bipolara A◦◦ jest identyczna z jego domkniętą powłoką absolutnie wypukłą: A◦◦ = aco (A). W szczególności, jeżeli A jest domkniętym zbiorem absolutnie wypukłym w pln X, to A◦◦ = A. Dowód. Jak zauważyliśmy wcześniej, A ⊂ A◦◦ i A◦◦ jest domkniętym zbiorem absolutnie wypukłym w X. Stąd wynika, że aco (A) ⊂ A◦◦. Niech z ∈ X i z /∈ aco (A). Stosując Wn. 3.13.5 znajdujemy funkcjonał x∗ ∈ X∗ taki, że |x∗(x)| 6 1 dla x ∈ aco (A) (tym bardziej dla x ∈ A) i x∗(z) > 1. Zatem x∗ ∈ A◦ i x∗(z) > 1, co oznacza, że z /∈ A◦◦. To dowodzi, że A◦◦ ⊂ aco (A). � Uwaga. Nie jest prawdą, że dla zbiorów B ⊂ X∗ mamy zawsze B◦◦ = aco (B). Powodem jest to, że definicje polar zbiorów A ⊂ X i B ⊂ X∗ wcale nie są takie same: Polarę A◦ „umieściliśmy” w przestrzeni X∗, która jest dualna do przestrzeni X zawierającej A, natomiast polarę B◦ – w przestrzeni X predualnej do X∗, a nie w przestrzeni (X∗)∗, która jest dualna do przestrzeni X∗ zawierającej B. (Należałoby więc dla tych dwóch typów polar używać różnych oznaczeń, np. B• zamiast B◦.) Równość B◦◦ = aco (B) jednak zachodzi, o ile jej prawą stronę rozumie się jako domknięcie zbioru aco (B) w tzw. ∗-słabej topologii przestrzeni X∗. 3.14. Operatory dualne. Niech X i Y będą pln, a T : X → Y niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Wtedy dla każdego y∗ ∈ Y ∗ złożenie y∗◦T jest oczywiście ciągłym funkcjonałem liniowym na X, czyli T◦y∗ ∈ X∗. Można więc rozpatrywać odwzorowanie T ∗ : Y ∗ → X∗ określone wzorem T ∗(y∗) := y∗◦T, ∀ y∗ ∈ Y ∗. Zatem T ∗(y∗) ≡ T ∗y∗ to ciągły funkcjonał liniowy na X taki, że (T ∗y∗)(x) = y∗(Tx), ∀x ∈ X. Odwzorowanie T ∗ nazywamy operatorem sprzężonym z (lub dualnym do) T . Definicję T ∗ można zapisać także używając kanonicznych form dwuliniowych na X ×X∗ i Y × Y ∗ (zob. § 3.12): 〈x, T ∗y∗〉 = 〈Tx, y∗〉, ∀x ∈ X, y∗ ∈ Y ∗. Twierdzenie 3.14.1. Niech X i Y będą pln. Wtedy: (a) Dla każdego operatora T ∈ L(X,Y ) operator dualny T ∗ : Y ∗ → X∗ jest liniowy i ciągły, przy czym ‖T ∗‖ = ‖T‖. (b) Odwzorowanie T → T ∗ jest izometrią liniową przestrzeni L(X,Y ) w przestrzeń L(Y ∗, X∗). Dowód. (a): Niech T ∈ L(X,Y ). Liniowość operatora T ∗: Niech y∗1, y∗2 ∈ Y ∗ i α1, α2 ∈ K. Wtedy dla dowolnego x ∈ X mamy: T ∗(α1y∗1 + α2y ∗ 2)(x) = (α1y ∗ 1 + α2y ∗ 2)(Tx) = α1y ∗ 1(Tx) + α2y ∗ 2(Tx) = α1(T ∗y∗1)(x) + α2(T ∗y∗2)(x) = ( α1T ∗(y∗1) + α2T ∗(y∗2) ) (x), zatem T ∗(α1y∗1 + α2y∗2) = α1T ∗(y∗1) + α2T ∗(y∗2. Ciągłość operatora T ∗: Niech y∗ ∈ Y ∗. Wtedy ‖T ∗y∗‖ = ‖y∗◦T‖ 6 ‖T‖ ‖y∗‖, zatem operator T ∗ jest ciągły oraz że ‖T ∗‖ 6 ‖T‖. Pokazanie, że w istocie mamy tu równość, wymaga zastosowania Tw. Hahna-Banacha. 100 Lech Drewnowski Równość ‖T ∗‖ = ‖T‖: Na mocy Tw. Hahna-Banacha o wydobywaniu normy (Tw. 3.11.2), dla każdego y ∈ Y mamy ‖y‖ = sup{|y∗(y)| : y∗ ∈ Y ∗, ‖y∗‖ 6 1}. Stosując to poniżej do y = Tx dostajemy ‖T ∗‖ = sup ‖y∗‖61 ‖T ∗y∗‖ = sup ‖y∗‖61 sup ‖x‖61 |y∗(Tx)| = sup ‖x‖61 sup ‖y∗‖61 |y∗(Tx)| = sup ‖x‖61 ‖Tx‖ = ‖T‖. (b): Z (a) wiemy już, że odwzorowanie T → T ∗ zachowuje normy. Pozostaje więc sprawdzić, że jest ono liniowe, czyli że dla dowolnych T1, T2 ∈ L(X,Y ) i α1, α2 ∈ K zachodzi równość (α1T1 + α2T2)∗ = α1T ∗1 + α2T ∗ 2 . Tak jest istotnie, bo dla dowolnego y∗ ∈ Y ∗ mamy (α1T1 + α2T2)∗(y∗) = y∗◦(α1T1 + α2T2) = α1(y∗◦T1) + α2(y∗◦T2) = α1T ∗1 (y ∗) + α2T ∗2 (y ∗) = (α1T ∗1 + α2T ∗ 2 )(y ∗). � Tw. 3.14.2. Jeżeli X, Y i Z są pln, to dla dowolnych operatorów S ∈ L(X,Y ) i T ∈ L(Y, Z) zachodzi równość (TS)∗ = S∗T ∗. Dowód. Oczywiście, (TS)∗ : Z∗ → X∗ i S∗T ∗ : Z∗ → X∗. Dla dowolnego z∗ ∈ Z∗ mamy (TS)∗(z∗) = z∗◦(T◦S) = (z∗◦T )◦S = (T ∗z∗)◦S = S∗(T ∗z∗) = (S∗T ∗)(z∗), zatem (TS)∗ = S∗T ∗. � Niech Z będzie dowolną pln. Jest oczywiste, że operatorem dualnym do operatora identyczno- ściowego IZ : Z → Z jest operator identycznościowy IZ∗ : Z∗ → Z∗: (IZ)∗ = IZ∗ . Tw. 3.14.3. Jeśli T jest izomorfizmem [izometrią liniową] pln X na pln Y , to T ∗ jest izo- morfizmem [izometrią liniową] pln Y ∗ na pln X∗, przy czym (T ∗)−1 = (T−1)∗. Dowód. Na mocy poprzedniego twierdzenia zachodzą równości (T−1)∗T ∗ = (TT−1)∗ = (IY )∗ = IY ∗ i T ∗(T−1)∗ = (T−1T )∗ = (IX)∗ = IX∗ . Zatem operator T ∗ jest odwracalny (czyli jest izomorfizmem) i operatorem odwrotnym do niego jest (T−1)∗, czyli (T ∗)−1 = (T−1)∗. Jeżeli T jest izometrią X na Y , to ‖T‖ = 1 i ‖T−1‖ = 1, a stąd w myśl Tw. 3.14.1 (a) także ‖T ∗‖ = 1 i ‖(T ∗)−1‖ = ‖(T−1)∗‖ = 1. To oznacza, że T ∗ jest izometrią. � Przykład 3.14.4. Rozważymy najpierw dwa przykłady mające ogólny charakter. (a) Niech L będzie ppl pln X i niech j : L → X będzie zanurzeniem identycznościowym. Wtedy j∗ : X∗ → L∗ i j∗(x∗) = x∗ ◦ j = x∗|L, ∀x∗ ∈ X∗. Na mocy Tw. Hahna-Banacha (3.11.1) dla każdego z∗ ∈ L∗ istnieje x∗ ∈ X∗ takie, że z∗ = j∗(x∗) i ‖z∗‖ = ‖x∗‖. Zauważmy też, że N(j∗) = L⊥. W konsekwencji operator stowarzyszony z j∗ (por. Wn. 3.8.3), tzn. operator, który każdej warstwie x∗ + L ∈ X∗/L⊥ przyporządkowuje funkcjonał x∗|L ∈ L∗, jest izometrią liniową między X∗/L⊥ i L∗. Zatem L∗ ∼= X∗/L⊥. (b) Niech L będzie domkniętą ppl pln X, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilorazowym. Wtedy Q∗ : (X/L)∗ → X∗ ; ξ∗ → ξ∗ ◦Q i R(Q∗) = L⊥. Elementy Analizy Funkcjonalnej 101 Na mocy Tw. 1.18.2 (c) ‖Q∗(ξ∗)‖ = ‖ξ∗◦Q‖ = ‖ξ∗‖ dla każdego ξ∗ ∈ (X/L)∗ i wobec tego Q∗ jest izometrią liniową między przestrzenią (X/L)∗ i podprzestrzenią L⊥ w X∗. Zatem (X/L)∗ ∼= L⊥. (c) Niech 1 < p, q . Dowód. (a): T ∗y∗ = 0 oznacza, że y∗|T (X) = 0, czyli y∗ ∈ R(T )⊥. (b): Niech x ∈ X. Ponieważ Y ∗ oddziela punkty w Y (zob. Wn. 3.11.3), to Tx = 0 ⇐⇒ T ∗y∗(x) = y∗(Tx) = 0 dla każdego y∗ ∈ Y ∗, co z kolei zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R(T ∗)>. � 3.14-Z Zadania. Zad. 3.14.1. Znajdź operator dualny do operatora T : l1 → c0 określonego wzorem Tx = ( ∑∞ j=k ξj)k∈N. Zad. 3.14.2. Znajdź operator dualny do operatora lewostronnego przesunięcia T : l1 → l1, określonego wzorem T (x) = (ξj)j>2, gdzie x = (ξj)j>1 ∈ l1. To samo – gdy l1 zastąpimy przez lp (1 6 p < ∞) lub c0, jak też dla T : l1 → c0. 102 Lech Drewnowski 3.15. Kanoniczne zanurzenie pln w jej bidualną. Niech X będzie dowolną pln. Przestrzeń Banacha (X∗)∗, dualną do przestrzeni Banacha X∗, nazywamy drugą dualną (lub drugą sprzężoną , lub bidualną) do X i oznaczamy X∗∗. Podob- nie określamy dalsze dualne: X∗∗∗ := (X∗∗)∗ = (X∗)∗∗, X∗∗∗∗ := (X∗∗∗)∗, . . . Zobaczymy, że każdą pln X można traktować jako podprzestrzeń jej bidualnej X∗∗. Uzyskuje się to w następujący sposób: Dla każdego x ∈ X określamy funkcjonał x̂ na przestrzeni X∗ (zob. § 3.12) wzorem x̂(x∗) = x∗(x) = 〈x, x∗〉 (x∗ ∈ X∗). Wiemy, że jest on liniowy i ciągły. Uzasadnimy to jeszcze raz: Dla x∗1, x∗2 ∈ X∗ i α1, α2 ∈ K mamy x̂(α1x∗1 + α2x ∗ 2) = (α1x ∗ 1 + α2x ∗ 2)(x) = α1x ∗ 1(x) + α2x ∗ 2(x) = α1x̂(x ∗ 1) + α2x̂(x ∗ 2), a ponadto dla każdego x∗ ∈ X∗ mamy |x̂(x∗)| = |x∗(x)| 6 ‖x‖ ‖x∗‖. Zatem x̂ ∈ (X∗)∗ = X∗∗ i ‖x̂‖ 6 ‖x‖. W rzeczywistości zachodzi tu równość: ‖x̂‖ = ‖x‖. Istotnie, korzystając z Tw. 3.11.2 mamy ‖x̂‖ = sup{|x̂(x∗)| : ‖x∗‖ 6 1} = sup{|x∗(x)| : ‖x∗‖ 6 1} = ‖x‖. Zauważmy, że definicję x̂ można teraz, gdy już wiemy, że x̂ ∈ X∗∗, zinterpretować tak: 〈x∗, x̂〉 = 〈x, x∗〉, ∀x∗ ∈ X∗, gdzie 〈·, ·〉 po lewej stronie symbolizuje kanoniczną formę dwuliniową na X∗×X∗∗, a po prawej — kanoniczną formę dwuliniową na X ×X∗. W naturalny sposób pojawia się więc odwzorowanie κ = κX : X → X∗∗, κ(x) := x̂. W myśl tej definicji (κx)(x∗) = x∗(x) czyli 〈x∗, κx〉 = 〈x, x∗〉 ∀x ∈ X, x∗ ∈ X∗. Pokazaliśmy powyżej, że odwzorowanie κ zachowuje normę. Jest ono ponadto liniowe, bo dla do- wolnych x, y ∈ X, α, β ∈ K i x∗ ∈ X∗ mamy: κ(αx+ βy)(x∗) = x∗(αx+ βy) = α · x∗(x) + β · x∗(y) = α · κ(x) + β · κ(y), czyli κ(αx+ βy) = α · κ(x) + β · κ(y). Zatem κ jest liniową izometrią przestrzeni X w przestrzeń X∗∗; nazywamy ją kanonicznym zanurzeniem przestrzeni X w jej drugą sprzężoną X∗∗. Przestrzeń X utożsamia się często z jej obrazem kanonicznym X̂ = κ(X) w X∗∗, tzn. traktuje X po prostu jako podprzestrzeń w X∗∗. Zwróćmy uwagę, że o zanurzeniu kanonicznym można mówić dla dowolnej pary pln Y i Z takiej, że Y ∗∗ = Z, a więc nie tylko dla X i X∗∗, lecz także dla X∗ i X∗∗∗, następnie X∗∗ i X∗∗∗∗, itd. W każdym przypadku jest ono izometrią liniową przestrzeni Y w jej bidualną Z; poprzez tę izometrię możemy patrzeć na Y jako na podprzestrzeń w Z: Y ⊂ Z. Przy takim podejściu kolejne dualne danej przestrzeni X układają się w dwa rosnące ciągi przestrzeni X ⊂ X∗∗ ⊂ X∗∗∗∗ ⊂ . . . ⊂ X(2k)∗ ⊂ X(2k+2)∗ ⊂ . . . X∗ ⊂ X∗∗∗ ⊂ X∗∗∗∗∗ ⊂ . . . ⊂ X(2k+1)∗ ⊂ X(2k+3)∗ ⊂ . . . Elementy Analizy Funkcjonalnej 103 Twierdzenie 3.15.1. Niech T będzie ciągłym operatorem liniowym z pln X w pln Y . Wówczas operator bidualny do T , tzn. operator T ∗∗ := (T ∗)∗ : X∗∗ → Y ∗∗, jest przedłużeniem operatora T w tym sensie, że jeśli X traktujemy jako podprzestrzeń w X∗∗, a Y jako podprzestrzeń w Y ∗∗, to T ∗∗|X = T. Dokładniej, zachodzi równość κY ◦T = T ∗∗◦κX . 3.16. Refleksywne przestrzenie Banacha. Przestrzeń unormowaną X taką, że κ(X) = X∗∗ nazywamy przestrzenią refleksywną . Oczywiście, X musi być wtedy przestrzenią Banacha, bo X ∼= X∗∗, a X∗∗, jako przestrzeń dualna, jest zupełna (zob. Tw. 2.3.1 i Wn. 1.12.2). Powyższy warunek wyrażony wprost oznacza, że dla każdego x∗∗ ∈ X∗∗ musi istnieć x ∈ X takie, że x∗∗(x∗) = x∗(x), ∀x∗ ∈ X∗. Tw. 3.16.1. Każda pln wymiaru skończonego jest refleksywna. Dowód. Niech X będzie pln wymiaru skończonego. Ponieważ zanurzenie kanoniczne X w X∗∗ jest izomorfizmem i dimX∗∗ = dimX∗ = dimX < ∞ (zob. Zad. 1.16.2), więc musi być ono suriekcją: κ(X) = X∗∗. � Przykład 3.16.2. (a) Wyjaśnimy tu ogólnie, na czym polega sprawdzenie czy (że) dana kon- kretna przestrzeń Banacha X jest refleksywna, gdy jej dualne są reprezentowane przez inne prze- strzenie Banacha z pomocą pewnych form dwuliniowych. Załóżmy, że X, Y i Z są przestrzeniami Banacha i że X∗ ∼= Y poprzez formę dwuliniową 〈·, ·〉1 na X × Y , Y ∗ ∼= Z poprzez formę dwuliniową 〈·, ·〉2 na Y × Z. Kiedy w takiej sytuacji X jest przestrzenią refleksywną? Niech J1 : Y → X∗ ; y → 〈·, y〉1 i J2 : Z → Y ∗ ; z → 〈·, z〉2 będą izometriami liniowymi „na” wyznaczonymi przez formy dwuliniowe 〈·, ·〉1 i 〈·, ·〉2. Wtedy także J∗1 : X∗∗ → Y ∗ jest izometrią liniową „na”. W konsekwencji J := J−12 J∗1 jest izometrią liniową między X∗∗ i Z. Jeśli więc x∗∗ ∈ X∗∗ i z := J(x∗∗) ∈ Z, to x∗∗ ◦ J1 = J2(z) ∈ Y ∗, zatem x∗∗(J1y) = J2(z)(y) = 〈y, z〉2, ∀ y ∈ Y. Refleksywność X oznacza, że dla dowolnego takiego x∗∗ ∈ X∗∗ można wskazać x ∈ X o tej wła- sności, że x∗∗(J1y) = (J1y)(x) = 〈x, y〉1, ∀ y ∈ Y. Stąd, biorąc pod uwagę poprzednią równość i pamiętając, że J1(Y ) = X∗, dochodzimy do nastę- pującej konkluzji: Przestrzeń X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego z ∈ Z istnieje x ∈ X takie, że 〈x, y〉1 = 〈y, z〉2 dla wszystkich y ∈ Y . Często bywa tak, że Z = X i 〈y, x〉2 = 〈x, y〉1 dla dowolnych x ∈ X = Z i y ∈ Y i obie formy dwuliniowe oznaczamy po prostu 〈·, ·〉. W tym więc przypadku y → 〈·, y〉 jest izometrią liniową Y 104 Lech Drewnowski na X∗, natomiast x→ 〈x, ·〉 jest izometrią liniową X na Y ∗. Sformułowane przed chwilą kryterium refleksywności przestrzeni X przyjmuje postać ∀ z ∈ X ∃x ∈ X ∀ y ∈ Y : 〈x, y〉 = 〈y, z〉 i jest oczywiście spełnione (wystarczy wziąc x = z). Zatem X jest przestrzenią refleksywną. (b) Ze szczególnymi przypadkami tej ostatniej sytuacji spotkaliśmy się w Tw. 2.7.5 i 2.7.7. Zatem: Dla dowolnego 1 < p Elementy Analizy Funkcjonalnej 105 4. PRZESTRZENIE HILBERTA 4.1. Iloczyn skalarny. Niech X będzie pl nad ciałem skalarów K. Funkcję 〈·, ·〉 : X × X → K, przyporządkowującą każdej parze (x, y) ∈ X × X liczbę 〈x, y〉 ∈ K, nazywamy iloczynem skalarnym w X, jeżeli spełnia dla dowolnych x, y, x1, x2 ∈ X i α, β ∈ K następujące warunki: (1) 〈αx1 + βx2, y〉 = α〈x1, y〉+ β〈x2, y〉, tzn. dla każdego y ∈ X funkcjonał 〈·, y〉 : x→ 〈x, y〉 na X jest liniowy; (2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉; (3) 〈x, x〉 > 0 gdy x 6= 0. Z powyższych warunków wynika, że 〈x, 0〉 = 〈0, x〉 = 0 dla każdego x ∈ X oraz że (1) 〈x, αy1 + βy2〉 = α〈x, y1〉+ β〈x, y2〉, tzn. dla każdego x ∈ X funkcjonał 〈x, ·〉 : y → 〈x, y〉 na X jest antyliniowy . W konsekwencji 〈 m∑ j=1 αjxj , n∑ k=1 βkyk 〉 = m∑ j=1 n∑ k=1 αjβk〈xj , yk〉. Oczywiście, w przypadku przestrzeni X rzeczywistej warunek (2) przyjmuje postać 〈x, y〉 = 〈y, x〉 (symetryczność), a warunki (1) i (1) łącznie oznaczają, że funkcja 〈·, ·〉 jest formą dwuliniową na X ×X. Uwagi. (a) Niech X¯ oznacza przestrzeń liniową otrzymaną z przestrzeni X przez zastąpienie jej mnożenia przez skalary nowym mnożeniem, określonym wzorem α•x := αx. Łatwo sprawdzić, że wówczas iloczyn skalarny, traktowany jako funkcja na X× X¯, staje się funkcjonałem dwuliniowym. Przestrzeń X¯ rozpatrujemy z iloczynem skalarnym (x, y) → 〈x, y〉 = 〈y, x〉; jest on funkcjonałem dwuliniowym na X¯ ×X. (b) Każda zespolona przestrzeń unitarna X może być rozpatrywana jako rzeczywista przestrzeń unitarna. Należy w tym celu przejść do przestrzeni rzeczywistej XR i wyposażyć ją w iloczyn skalarny 〈·, ·〉R określony wzorem 〈x, y〉R = Re 〈x, y〉. Oczywiście, dla każdego x ∈ X normy x w X i XR są takie same; zatem odwzorowanie identycznościowe x → x jest R-liniową izometrią XR na X. Zauważmy też, że dla każdego y ∈ X związek między funkcjonałami liniowymi 〈·, y〉 na X oraz 〈·, y〉R na XR jest „taki jak trzeba”: 〈·, y〉R = Re 〈·, y〉. 4.2. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Przestrzeń unitarna to przestrzeń liniowa X wraz z określonym w niej iloczynem skalarnym 〈·, ·〉 i wyznaczoną przez ten iloczyn normą ‖·‖ daną wzorem ‖x‖ := √ 〈x, x〉 czyli ‖x‖2 = 〈x, x〉. Przestrzeń unitarną zupełną (w jej normie) nazywamy przestrzenią Hilberta . Oczywiście, podprzestrzeń liniowa przestrzeni unitarnej, rozważana z indukowanym w niej ilo- czynem skalarnym, sama jest przestrzenią unitarną. Podobnie, domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Hilberta sama jest przestrzenią Hilberta. Jest jasne, że powyższy funkcjonał ‖·‖ jest nieujemny, zeruje się tylko dla x = 0 i że jest bezwzględnie jednorodny. Przed wykazaniem, że jest on także subaddytywny, udowodnimy ważną 4.3. Nierówność Schwarza. Twierdzenie 4.3.1. Dla dowolnych elementów x, y przestrzeni unitarnej X zachodzi nierów- ność Schwarza : |〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖, ∀x, y ∈ X. 106 Lech Drewnowski Dowód. Nierówność ta jest oczywista, gdy x = 0 lub y = 0. Niech więc dalej x 6= 0 i y 6= 0. Załóżmy najpierw, że ‖x‖ = ‖y‖ = 1; wtedy należy pokazać, że |〈x, y〉| 6 1. Zauważmy w tym celu, że dla dowolnego α ∈ K mamy 0 6 〈x− αy, x− αy〉 = ‖x‖2 − α〈y, x〉 − α〈x, y〉+ |α|2‖y‖2 = 1− α〈y, x〉 − α〈x, y〉+ |α|2, a stąd dla α := 〈x, y〉 dostajemy 0 6 1−|〈x, y〉|2, czyli pożądaną nierówność. Nierówność Schwarza w pełnej ogólności otrzymujemy stosując to, co właśnie wykazaliśmy, do elementów x/‖x‖ i y/‖y‖. � Dowód subaddytywności ‖·‖. Dla dowolnych x, y ∈ X mamy ‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ ‖y‖2 = ‖x‖2 + 2Re 〈x, y〉+ ‖y‖2. Ale na mocy nierówności Schwarza Re 〈x, y〉 6 |〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖, więc ‖x+ y‖2 6 ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2. � 4.4. Przykłady przestrzeni Hilberta. Przykłady 4.4.1. Podstawowe przykłady przestrzeni Hilberta to znane nam (rzeczywiste lub zespolone) przestrzenie Banacha ln2 , l2 i L2(µ) z iloczynem skalarnym określonym tak, by generował standardową normę danej przestrzeni. Tak więc: (a) n-wymiarowa przestrzeń Hilberta ln2 – przestrzeń Kn z iloczynem skalarnym 〈x, y〉 := n∑ j=1 ξjηj i normą ‖x‖2 := √ 〈x, x〉 = ( n∑ j=1 |ξ|2 )1/2 . (b) Ciągowa przestrzeń Hilberta l2 – przestrzeń l2 z iloczynem skalarnym 〈x, y〉 := ∞∑ j=1 ξjηj i normą ‖x‖2 := √ 〈x, x〉 = ( ∞∑ j=1 |ξ|2 )1/2 . (c) Funkcyjna przestrzeń Hilberta L2(µ) – przestrzeń L2(µ) z iloczynem skalarnym 〈f, g〉 := ∫ S fg dµ i normą ‖f‖2 := √ 〈f, f〉 = (∫ S |f |2 dµ )1/2 . To, że definicje te mają sens, tzn. w (b) szereg jest zbieżny, a w (c) całka istnieje (dokładniej: funkcja fg jest całkowalna) wynika z nierówności Ho¨ldera 0.7.2 (p = q = 2) dla szeregów i całek. Oczywiście, przestrzenie Hilberta ln2 (n ∈ N) i l2 są szczególnymi przypadkami przestrzeni Hilberta L2(µ). Znanych (i ważnych) jest też wiele innych funkcyjnych przestrzeni Hilberta; wymieńmy tu przestrzeń Hardy’ego H2(D) (zob. Prz. 1.15.4) oraz (d) Przestrzeń Bergmana A2(D), którą tworzą wszystkie funkcje holomorficzne f na dysku jednostkowym D := {z ∈ C : |z| < 1} takie, że∫ D |f(z)|2 dλ(z) Elementy Analizy Funkcjonalnej 107 Przykłady 4.4.2. Przykłady niezupełnych przestrzeni unitarnych uzyskuje się najłatwiej bio- rąc jakąkolwiek niedomkniętą ppl X w którejś ze znanych przestrzeni Hilberta H i rozpatrując ją z indukowanym iloczynem skalarnym. Konkretne przykłady: (a) Przestrzeń c00 := lin({en : n ∈ N}) nieskończonych ciągów liczbowych o skończonym nośni- ku, z iloczynem skalarnym indukowanym z przestrzeni Hilberta l2. (b) Przestrzeń C[a, b] z iloczynem skalarnym indukowanym z przestrzeni Hilberta L2[a, b]. 4.5. Tożsamość równoległoboku. Twierdzenie 4.5.1. Dla dowolnych elementów x, y przestrzeni unitarnej X zachodzi tożsa- mość równoległoboku : ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2. Dowód. W poprzednim rozumowaniu uzyskaliśmy równość ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2Re 〈x, y〉+ ‖y‖2; zastępując w niej y przez −y dostajemy ‖x− y‖2 = ‖x‖2 − 2Re 〈x, y〉+ ‖y‖2. Wystarczy teraz dodać stronami te dwie równości. � Uwaga. Uwaga Można pokazać, że jeśli norma w pln X spełnia tożsamość równoległoboku, to jest generowana przez pewien (i tylko jeden) iloczyn skalarny w X. Zastępując w powyższej tożsamości x przez u−x, a y przez v−x łatwo otrzymujemy następujący Wniosek 4.5.2. Dla dowolnych punktów u, v, x przestrzeni unitarnej X zachodzi równość ‖u− v‖2 = 2‖u− x‖2 + 2‖v − x‖2 − 4‖12(u+ v)− x‖2. W szczególności, jeśli punkty u, v leżą na sferze o środku x i promieniu r, tzn. ‖u− x‖ = ‖v − x‖ =: r, to ‖u− v‖2 = 4(r2 − ‖12(u+ v)− x‖2); zatem gdy u 6= v, to ‖12(u+ v)− x‖ < r, czyli środek odcinka [u, v] leży wewnątrz kuli B(x, r). 4.6. Ciągłość funkcjonałów y∗(·) = 〈·, y〉 i ciągłość iloczynu skalarnego. Twierdzenie 4.6.1. Jeżeli X jest przestrzenią unitarną, to dla każdego y ∈ X funkcjonał liniowy y∗ na X określony wzorem y∗(x) = 〈x, y〉 jest ciągły i ‖y∗‖ = ‖y‖. Dowód. Z nierówności Schwarza mamy |y∗(x)| 6 ‖y‖ ‖x‖ dla każdego x ∈ X. Stąd wynika ciągłość funkcjonału y∗ oraz oszacowanie ‖y∗‖ 6 ‖y‖. Równość ‖y∗‖ = ‖y‖ jest oczywista, gdy y = 0, a jeśli y 6= 0, to wynika ona z faktu, że y∗(y) = ‖y‖ ‖y‖. � Uwaga. Oznaczenia y∗ na funkcjonał 〈·, y〉 będziemy systematycznie używać w dalszym ciągu. Twierdzenie 4.6.2. W każdej przestrzeni unitarnej X jej iloczyn skalarny jest ciągły jako funkcja dwóch zmiennych; zatem: xn → x0 i yn → y0 w X =⇒ 〈xn, yn〉 → 〈x0, y0〉 w K. Dowód. Dla dowolnych x, x0, y, y0 ∈ X mamy 〈x, y〉 − 〈x0, y0〉 = 〈x− x0, y0〉+ 〈x− x0, y − y0〉+ 〈x0, y − y0〉, a stąd stosując nierówność Schwarza otrzymujemy nierówność |〈x, y〉 − 〈x0, y0〉| 6 ‖x− x0‖ ‖y0‖+ ‖x− x0‖ ‖y − y0‖+ ‖x0‖ ‖y − y0‖, z której już bezpośrednio wynika ciągłość iloczynu skalarnego w punkcie (x0, y0) ∈ X ×X. � 108 Lech Drewnowski 4.7. Ortogonalność. Niech X będzie przestrzenią unitarną. Elementy x, y ∈ X nazywamy ortogonalnymi , co zapisujemy x ⊥ y, gdy 〈x, y〉 = 0, czyli gdy x ∈ ker y∗. Oczywiście, x ⊥ y wtedy i tylko wtedy, gdy y ⊥ x. Element x ∈ X nazywamy ortogonalnym do zbioru A ⊂ X i piszemy x ⊥ A, gdy x ⊥ y dla każdego y ∈ A, czyli gdy A ⊂ kerx∗. Zauważmy, że x ⊥ kerx∗ dla każdego x ∈ X. Ogólniej, o zbiorze A ⊂ X mówimy, że jest ortogonalny do zbioru B ⊂ X (lub na odwrót) i piszemy A ⊥ B, gdy x ⊥ y dla dowolnych elementów x ∈ A i y ∈ B. Tw. 4.7.1. Jeżeli A ⊥ B, to także lin (A) ⊥ lin (B). W szczególności z x ⊥ A wynika x ⊥ lin (A). Dowód. To łatwo uzasadnia się korzystając z z algebraicznych własności iloczynu skalarnego oraz jego ciągłości (Tw. 4.6.2). � Tw. 4.7.2. Dla dowolnego zbioru A w przestrzeni unitarnej X jego ortogonalne dopełnienie, tj. zbiór A⊥ := {x ∈ X : x ⊥ A} = {x ∈ X : 〈x, y〉 = 0, ∀ y ∈ A}, jest domkniętą podprzestrzenią liniową w X. Dowód. To wynika z Tw. 4.6.1 i równości A⊥ = {x ∈ X : y∗(x) = 0, ∀ y ∈ A} = ⋂ y∈A ker y∗. � 4.8. Metryczna charakteryzacja ortogonalności. Twierdzenie 4.8.1. Dla dowolnych elementów y, z przestrzeni unitarnej X zachodzą następu- jące równoważności: z ⊥ y ⇐⇒ ∀β ∈ K : ‖z − βy‖ > ‖z‖ ⇐⇒ d(z,K · y) = ‖z‖. Dowód. Nierówność ‖z − βy‖2 > ‖z‖2 po łatwych przekształceniach (por. dowód Tw. 4.3.1) przyjmuje postać β〈z, y〉+ β〈y, z〉 6 |β|2‖y‖2. Oczywiście zachodzi ona gdy 〈z, y〉 = 0. Na odwrót, załóżmy, że powyższa nierówność jest praw- dziwa dla każdego β ∈ K. W szczególności więc zachodzi dla β = r · 〈z, y〉, gdzie r > 0, czyli 2r|〈z, y〉|2 6 r2|〈z, y〉|2‖y‖2, a stąd 2|〈z, y〉|2 6 r|〈z, y〉|2‖y‖2, ∀ r > 0 co jest możliwe tylko gdy 〈z, y〉 = 0. � Wniosek 4.8.2. Jeżeli L jest ppl przestrzeni unitarnej X i z ∈ X, to z ⊥ L ⇐⇒ ∀ y ∈ L : ‖z − y‖ > ‖z‖ ⇐⇒ d(z, L) = ‖z‖. Wniosek 4.8.3. Dla dowolnych ppl L i M przestrzeni unitarnej X następujące warunki są równoważne: (a) L ⊥M . (b) ∀ y ∈ L, z ∈M : ‖y + z‖ > ‖y‖. (c) L ∩M = {0} i projekcja P : L⊕M → L równoległa do M ma normę 6 1. Elementy Analizy Funkcjonalnej 109 4.9. Układy ortogonalne. O zbiorze ∅ 6= A ⊂ X mówimy, że jest ortogonalny , lub że jest układem ortogonalnym , gdy x ⊥ y dla dowolnych różnych x, y ∈ A. Jeśli przy tym ‖x‖ = 1 dla każdego x ∈ A, to mówimy, że A jest zbiorem (układem) ortonormalnym . Oczywiście, jeśli zbiór A jest ortogonalny, to nor- malizując jego niezerowe elementy (tzn. zastępując każdy element 0 6= x ∈ A przez element x/‖x‖) otrzymujemy zbiór ortonormalny. Podobnej terminologii używa się w przypadku indeksowanych rodzin elementów (w szczególności ciągów) przestrzeni X. Zbiór ortogonalny A ⊂ X nazywa się zupełny , jeśli jedynym elementem x ∈ X takim, że x ⊥ A jest x = 0. Stosując Lemat Kuratowskiego-Zorna nietrudno wykazać następujący fakt. Tw. 4.9.1. W każdej przestrzeni unitarnej istnieje zupełny układ ortonormalny. Tw. 4.9.2. Jeżeli ciąg x1, . . . , xn w przestrzeni unitarnej X jest ortogonalny, to dla dowolnych skalarów α1, . . . , αn i β1, . . . , βn〈 n∑ j=1 αjxj , n∑ j=1 βjxj 〉 = n∑ j=1 αjβj‖xj‖2, w szczególności ∥∥∥∥ n∑ j=1 αjxj ∥∥∥∥2 = n∑ j=1 |αj |2‖xj‖2. Oczywiście, powyższe równości przyjmują najprostszą postać, gdy układ x1, . . . , xn jest orto- normalny; wtedy 〈 n∑ j=1 αjxj , n∑ j=1 βjxj 〉 = n∑ j=1 αjβj i ∥∥∥∥ n∑ j=1 αjxj ∥∥∥∥2 = n∑ j=1 |αj |2. Tw. 4.9.3. Każdy zbiór ortogonalny nie zawierający zera jest liniowo niezależny. Twierdzenie 4.9.4. Jeżeli przestrzeń unitarna X jest ośrodkowa, to każdy układ ortogonalny w X jest co najwyżej przeliczalny. Dowód. To wynika stąd, że jeśli zbiór A ⊂ X jest ortonormalny, to dla dowolnych różnych x, y ∈ A mamy ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 = 2. � 4.10. Aproksymacja elementami zbioru wypukłego. Przypomnijmy, że odległość punktu x od zbioru C w pln określona jest wzorem d(x,C) = inf{‖x− u‖ : u ∈ C}. Tw. 4.10.1. Niech C będzie zbiorem wypukłym w przestrzeni unitarnej X. Jeżeli dla punktu x ∈ X istnieje punkt y ∈ C taki, że ‖x− y‖ = d(x,C), to tylko jeden. Dowód. Niech d := d(x,C) i przypuśćmy, że dla punktów y, y′ ∈ C mamy ‖x−y‖ = ‖x−y′‖ = d. Wtedy 12(y + y ′) ∈ C, więc ‖12(y + y′)− x‖ > d, a stąd na mocy Wn. 4.5.2 ‖y − y′‖ = 4(d2 − ‖12(y + y′)− x‖2) 6 0. Zatem y = y′. � Twierdzenie 4.10.2. Niech C będzie domkniętym zbiorem wypukłym w przestrzeni Hilberta X. Wtedy dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden punkt y ∈ C taki, że ‖x− y‖ = d(x,C). 110 Lech Drewnowski Dowód. Niech x ∈ X. Z definicji d(x,C) wynika istnienie ciągu (zn) w C takiego, że ‖zn − x‖ ↓ d := d(x,C). Dla dowolnych m,n ∈ N z wypukłości C mamy 12(zm + zn) ∈ C, a stąd ‖12(zm + zn) − x‖ > d. Wykorzystując to wraz z Wn. 4.5.2 otrzymujemy ‖zm − zn‖2 = 2‖zm − x‖2 + 2‖zn − x‖2 − 4‖12(zm + zn)− x‖ 2 6 2‖zm − x‖2 + 2‖zn − x‖2 − 4d2. Ponieważ prawa strona dąży do 0 gdy m,n → ∞, to także ‖zm − zn‖ → 0 gdy m,n → ∞. Zatem ciąg (zn) jest ciągiem Cauchy’ego w X. Na mocy zupełności X jest on więc zbieżny do pewnego y ∈ X, a ponieważ C jest zbiorem domkniętym, to y ∈ C. Oczywiście, ‖x− y‖ = lim n→∞ ‖x− zn‖ = d. Jedyność y wynika z Tw. 4.10.1. � 4.11. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Twierdzenie 4.11.1. Dla dowolnej domkniętej ppl L przestrzeni Hilberta X zachodzi rozkład X = L⊕ L⊥, tzn. każdy element x ∈ X ma dokładnie jedno przedstawienie postaci x = y + z, gdzie y ∈ L, a z ⊥ L. Ponadto (L⊥)⊥ = L i dla każdego x ∈ X elementy y i z w powyższym rozkładzie są jedynymi elementami w L i L⊥ odpowiednio takimi, że ‖x− y‖ = d(x, L) i ‖x− z‖ = d(x, L⊥). Dowód. Niech x ∈ X. Na mocy Tw. 4.10.2 istnieje dokładnie jeden element y ∈ L taki, że ‖x− y‖ = d(x, L). Dla z := x− y i dowolnego u ∈ L mamy y + u ∈ L, więc ‖z − u‖ = ‖x− (y + u)‖ > d(x, L) = ‖z‖. Stąd w myśl Wn. 4.8.2 wynika, że z ⊥ L. Tak więc x = y + z, gdzie y ∈ L, z ∈ L⊥. Jedyność takiego przedstawienia x wynika stąd, że L ∩ L⊥ = {0}. Wykazaliśmy więc, że X = L⊕ L⊥. Stosując to do domkniętej ppl L⊥ (zob. Tw. 4.7.2) otrzy- mujemy X = L⊥ ⊕ (L⊥)⊥ = (L⊥)⊥ ⊕ L⊥, przy czym jest oczywiste, że L ⊂ (L⊥)⊥. Stąd wynika, że L = (L⊥)⊥. Zatem zmiana kolejności składników w rozkładzie X = L ⊕ L⊥ prowadzi do rozkładu tego samego typu: X = L⊥ ⊕ L, bo L = (L⊥)⊥. W konsekwencji z charakteryzacji L-składowych y wynika charakteryzacja L⊥-składowych z. � Projekcję P : X → L : x = y + z → y stowarzyszoną z rozkładem X = L ⊕ L⊥ nazywamy projekcją ortogonalną przestrzeni X na podprzestrzeń L. Oczywiście, I−P : x = y+ z → z jest projekcją ortogonalną X na podprzestrzeń L⊥. Odnotujmy, że dla każdego x ∈ X mamy ‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖x− Px‖2, ‖x− Px‖ = d(x, L), ‖Px‖ = d(x, L⊥). Tw. 4.11.2. Zbiór ortogonalny A w przestrzeni Hilberta X jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowo gęsty w X, tzn. lin (A) = X. Dowód. Niech L := lin (A). Zupełność A oznacza, że A⊥ = {0}, czyli że L⊥ = {0} (bo A⊥ = L⊥ na mocy Tw. 4.7.1), co z uwagi na Tw. 4.11.1 miejsce tylko wtedy, gdy L = X. � Elementy Analizy Funkcjonalnej 111 4.12. Reprezentacja ciągłych funkcjonałów liniowych. Poniższe twierdzenie stanowi istotne uzupełnienie Tw. 4.6.1: Twierdzenie 4.12.1 (Twierdzenie Riesza). Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego f na X istnieje dokładnie jeden element y ∈ X taki, że f = y∗, tzn. f(x) = 〈x, y〉, ∀x ∈ X. Dowód. Jedyność y: Jeżeli y, y′ ∈ X i dla każdego x ∈ X mamy f(x) = 〈x, y〉 = 〈x, y′〉, to także 〈x, y − y′〉 = 0, co jest możliwe tylko gdy y − y′ = 0. Istnienie y: Gdy f = 0, to “dobre” jest y = 0. Niech więc dalej f 6= 0. Wtedy N := ker f jest domkniętą ppl właściwą przestrzeni X. Na mocy Tw. 4.11.1 N⊥ 6= {0}. Wybierzmy dowolny element z ∈ N⊥ o normie 1 i niech α := f(z). Dla dowolnego x ∈ X oznaczając β = α−1f(x) mamy x− βz ∈ N , a ponieważ z ⊥ N , to 〈x, z〉 = 〈x− βz, z〉+ 〈βz, z〉 = 〈βz, z〉 = β = α−1f(x). Zatem dla y := αz mamy 〈x, y〉 = f(x) dla każdego x ∈ X. � Z Tw. 4.12.1, 4.6.1 i własności iloczynu skalarnego łatwo otrzymujemy następujące twierdzenie. Tw. 4.12.2. Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to operator y → y∗(·) = 〈·, y〉 jest izometrią antyliniową [liniową] przestrzeni X [przestrzeni X¯] na przestrzeń dualną X∗. 4.13. Twierdzenie Hahna-Banacha. Dla przestrzeni Hilberta twierdzenie Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych z zachowaniem normy łatwo wywnioskować z Twierdzenia Riesza: Tw. 4.13.1. Niech f będzie ciągłym funkcjonałem liniowym na ppl L przestrzeni Hilberta X. Wówczas istnieje element y ∈ X taki, że f(z) = y∗(z) dla z ∈ L i ‖f‖ = ‖y∗‖ = ‖y‖. Dowód. Funkcjonał f można rozszerzyć (z zachowaniem normy) do ciągłego funkcjonału li- niowego na domknięcie L. Bez straty ogólności możemy więc przyjąć, że podprzestrzeń L jest domknięta. Wtedy jest ona przestrzenią Hilberta i na mocy Tw. 4.12.1 istnieje y ∈ L takie, że f(z) = 〈z, y〉 dla z ∈ L. Jest jasne, że to y ma wymagane własności. � Standardowe konsekwencje twierdzenia Hahna-Banacha (zob. § 3.11) w przypadku przestrzeni unitarnych lub Hilberta dostaje się bezpośrednio z własności iloczynu skalarnego (dokładniej – z Tw. 4.6.1) lub z Tw. 4.11.1 o rozkładzie ortogonalnym: Tw. 4.13.2. Dla każdego elementu x 6= 0 przestrzeni unitarnej X istnieje element x0 ∈ X taki, że ‖x0‖ = 1 i x∗0(x) = ‖x‖. Dowód. Takim elementem jest x0 := x/‖x‖. � Tw. 4.13.3. Niech L będzie domkniętą ppl przestrzeni Hilberta X. Wówczas dla każdego x ∈ X r L istnieje z0 ∈ X takie, że ‖z0‖ = 1, z∗0(y) = 0 dla y ∈ L i z∗0(x) = d(x, L). Dowód. Na mocy Tw. 4.11.1 x = y + z dla pewnego y ∈ L i 0 6= z ⊥ L. Niech z0 := z/‖z‖. Oczywiście, z0 spełnia pierwsze dwa warunki. Trzeci warunek: d(x, L) = ‖z‖ = 〈z, z0〉 = 〈x, z0〉. � Dla przestrzeni Hilberta bezpośrednio można też wykazać twierdzenie o oddzielaniu punktów od zbiorów wypukłych domkniętych (jest to szczególny przypadek II Tw. o oddzielaniu – Tw. 3.13.3). Twierdzenie 4.13.4. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Wówczas dla każdego zbioru wypukłego domkniętego C ⊂ X i punktu x0 ∈ X r C istnieje u ∈ X takie, że ∀ y ∈ C : 〈y − x0, u〉 > 0 czyli 〈y, u〉 > 〈x0, u〉. W przypadku zespolonej przestrzeni Hilberta powyższy warunek przyjmuje postać ∀ y ∈ C : Re 〈y − x0, u〉 > 0 czyli Re 〈y, u〉 > Re 〈x0, u〉. 112 Lech Drewnowski Dowód. Na mocy Tw. 4.10.2 istnieje y0 ∈ C takie, że ‖y0 − x0‖ 6 ‖y − x0‖ dla wszystkich y ∈ C. Pokażemy, że element u := y0 − x0 ma wymaganą własność. Przypuśćmy, że tak nie jest; zatem dla pewnego y1 ∈ C mamy 〈y1 − x0, u〉 6 0. Oznaczmy z = y1 − y0. Ponieważ C jest zbiorem wypukłym, to dla 0 6 λ 6 1 punkt yλ := (1 − λ)y0 + λy1 = y0 + λz należy do C, a stąd ‖yλ−x0‖ > ‖y0−x0‖. Rozważmy funkcję ϕ na przedziale [0, 1] określoną wzorem ϕ(λ) := ‖yλ−x0‖2. Ponieważ, jak zauważyliśmy przed chwilą, ϕ(λ) > ‖y0 − x0‖ = ϕ(0), to ϕ ma minimum dla λ = 0. Ale ϕ(λ) = ‖u+ λz‖2 = ‖u‖2 + 2λ〈z, u〉+ λ2‖z‖2, więc ϕ jest funkcją różniczkowalną i ϕ′(λ) = 2〈u, z〉+ 2λ‖z‖2. Stąd ϕ′(0) = 2〈u, z〉 = 2〈u, (y1 − x0)− u〉 = −2‖u‖2 − 2〈y1 − x0, u〉 < 0, co jest niemożliwe. � 4.14. Szeregi ortogonalne. Szereg ∞∑ n=1 xn w przestrzeni Hilberta nazywamy ortogonalnym , jeżeli xm ⊥ xn dla m 6= n. Twierdzenie 4.14.1. Jeżeli szereg ortogonalny ∞∑ n=1 xn w przestrzeni Hilberta X jest zbieżny i x = ∞∑ n=1 xn, to ‖x‖2 = ∞∑ n=1 ‖xn‖2, przy czym 〈x, xn〉 = ‖xn‖2, ∀n. Na odwrót, jeżeli ∞∑ n=1 ‖xn‖2 Elementy Analizy Funkcjonalnej 113 jest izomorfizmem unitarnym przestrzeni l2 na podprzestrzeń L, tzn. 〈a, b〉 = 〈Ta, T b〉 dla dowolnych a, b ∈ l2, w szczególności T jest izometrią liniową l2 na L. Podobnie dla skończonych ciągów ortonormalnych y1, . . . , yn w X (l2 należy zastąpić przez ln2 ). Dowód. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że dla każdego a = (αn) ∈ l2 szereg ∑∞n=1 αnyn jest zbieżny w X. Zatem operator T : l2 → X jest dobrze określony i oczywiście jest liniowy. Mamy przy tym ‖Ta‖2 = ∞∑ n=1 |αn|2 = ‖a‖2, zatem T jest zanurzeniem liniowo-izometrycznym. Stąd i z zupełności l2 wynika, że podprzestrzeń T (l2) jest zupełna, więc domknięta w X. Powinno być jasne, że L = T (l2). Na koniec, dla dowolnych a = (αn), b = (βn) ∈ l2 mamy 〈Ta, T b〉 = lim N→∞ 〈 N∑ n=1 αnyn, N∑ n=1 βnyn 〉 = lim N→∞ N∑ n=1 αnβn = 〈a, b〉. � Twierdzenie 4.15.2. Niech (yn) będzie ciągiem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X i niech L = lin (yn). Niech P będzie projekcją ortogonalną X na L. Wtedy dla każdego x ∈ X i liczb cn := 〈x, yn〉 (nazywanych współczynnikami Fouriera elementu x względem układu (yn)) mamy:∑ n |cn|2 114 Lech Drewnowski Oczywiście, ‖zn+1‖ = 1, zn+1 ⊥ Ln i zn+1 jest kombinacją liniową elementów z1, . . . , zn, xn+1, zatem z1, . . . , zn, zn+1 jest bazą podprzestrzeni Ln+1. Zauważmy, że yn+1 można „wyliczyć” korzystając z Tw. 4.15.2: yn+1 = n∑ j=1 〈xn+1, zj〉zj . W istocie nie ma konieczności korzystania z Tw. 4.11.1, bo jeśli zdefiniujemy yn+1 tym wzorem, to bezpośrednim rachunkiem sprawdza się, że 〈xn+1 − yn+1, zk〉 = 0 dla k = 1, . . . , n. � 4.17. Bazy przestrzeni Hilberta. Maksymalny (w sensie inkluzji) układ ortonormalny w przestrzeni Hilberta X nazywamy jej bazą (ortonormalną). Twierdzenie 4.17.1. Dla układu ortonormalnego (yn) w przestrzeni Hilberta X następujące warunki są równoważne: (a) Układ (yn) jest bazą przestrzeni X. (b) Układ (yn) jest zupełny. (c) Układ (yn) jest liniowo gęsty w X: lin (yn) = X. (d) x = ∞∑ n=1 〈x, yn〉yn dla każdego x ∈ X. (e) 〈x, y〉 = ∞∑ n=1 〈x, yn〉〈yn, y〉 dla dowolnych x, y ∈ X. (f) ‖x‖2 = ∞∑ n=1 |〈x, yn〉|2 dla każdego x ∈ X. Dowód. (a) =⇒ (b): Oczywiste. (b) =⇒ (c): Zob. Tw. 4.11.2. (c) =⇒ (d): To wynika z Tw. 4.15.2 (bo L = X i P = idX). (d) =⇒ (e): Oznaczając cn = 〈x, yn〉 i dn = 〈y, yn〉 mamy 〈x, y〉 = lim N→∞ 〈 N∑ n=1 cnyn, N∑ n=1 dnyn 〉 = lim N→∞ N∑ n=1 cndn = ∞∑ n=1 cndn. zatem równość podana w (e) zachodzi. (e) =⇒ (f): Oczywiste. (f) =⇒ (a): Jeśliby układ (yn) nie był bazą, to istniałby w X element x o normie 1 taki, że 〈x, yn〉 = 0 dla każdego n. Ale wtedy z (e) otrzymalibyśmy, że ‖x‖2 = 0 – sprzeczność. � Wniosek 4.17.2. Każda przestrzeń Hilberta wymiaru skończonego n jest unitarnie izomorficzna z przestrzenią ln2 , a każda nieskończenie wymiarowa ośrodkowa przestrzeń Hilberta jest unitarnie izomorficzna z przestrzenią l2. Dowód. Dowód dla drugiego przypadku Stosując ortogonalizację Grama-Schmidta do dowol- nego ciągu (xn), który jest liniowo niezależny i liniowo gęsty, otrzymujemy bazę ortonormalną rozważanej przestrzeni Hilberta. Następnie powołujemy się na Tw. 4.15.1. � Elementy Analizy Funkcjonalnej 115 5. OPERATORY ZWARTE Poniżej X, Y , Z, . . . oznaczają przestrzenie Banacha, a termin operator liniowy skracamy do operator. 5.1. Pojęcie operatora zwartego. Operator T : X → Y nazywa się zwarty , jeżeli przekształca kulę jednostkową BX przestrzeni X w zbiór warunkowo zwarty w Y . Tw. 5.1.1. Dla dowolnego operatora T : X → Y następujące warunki są równoważne: (a) T jest operatorem zwartym. (b) T (BX) jest zbiorem prezwartym w Y . (c) T (BX) jest podzbiorem pewnego zbioru zwartego w Y . (d) T (SX) jest zbiorem relatywnie zwartym [lub: prezwartym] w Y . (e) T przekształca zbiory ograniczone w X na zbiory relatywnie zwarte [lub: prezwarte] w Y . (f) Z każdego ciągu ograniczonego (xn) w X można wyrwać podciąg (xnk) taki, że ciąg (Txnk) jest zbieżny w Y . Dowód. Wzajemna równoważność powyżaszych warunków wynika łatwo ze znanych związków między zwartością, warunkową zwartością i prezwartością zbiorów w przestrzeniach Banacha i z jednorodności operatora T . Należy też zauważyć, że T (BX) = coT (SX), zatem prezwartość T (SX) pociąga prezwartość T (BX). � 5.2. Charakteryzacje zbiorów zwartych w pewnych przestrzeniach Banacha. Jeśli chcemy pokazać, że rozważany przez nas operator T : X → Y jest zwarty, musimy dyspo- nować jakimś kryterium (relatywnej) zwartości zbiorów w „docelowej” przestrzeni Y operatora T . Poniżej przytaczamy dwa takie kryteria. Przypomnijmy jeszcze raz ogólne kryterium Hausdorffa: Podzbiór przestrzeni metrycznej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest prezwarty i zu- pełny. Stąd: W przestrzeni metrycznej zupełnej zbiór jest relatywnie zwarty [zwarty ] wtedy i tylko wtedy, gdy jest prezwarty [prezwarty i domknięty ]. Zbiór (lub ciąg) F ciągłych funkcji liczbowych określonych na zwartej przestrzeni metrycznej S = (S, d) nazywamy jednakowo (jednostajnie) ciągłym , gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla każdej funkcji f ∈ F i dowolnych punktów s, s′ ∈ S, d(s, s′) 6 δ =⇒ |f(s)− f(s′)| 6 ε. Tak np., jeżeli zbiór F składa się z funkcji spełniających warunek Lipschitza z tą samą stałą, to F jest zbiorem jednakowo ciągłym. Twierdzenie 5.2.1 (Ascoli). Niech S = (S, d) będzie zwartą przestrzenią metryczną. Wówczas: (a) Zbiór F ⊂ C(S) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony, jednakowo ciągły i domknięty. (b) Zbiór F ⊂ C(S) jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i jedna- kowo ciągły. Dowód. Implikacja =⇒ w (a): Ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej, każdy zbiór zwarty jest ograniczony i domknięty. Pozostaje uzasadnić, że zbiór zwarty F ⊂ C(S) jest jednakowo ciągły. Załóżmy więc, że zbiór F ⊂ C(S) jest zwarty. Jest on wtedy także prezwarty, więc dla dowolnie zadanego ε > 0 można wybrać w F skończoną ε/3 sieć f1, . . . , fk. Następnie, ponieważ każda z 116 Lech Drewnowski funkcji fj jest jednostajnie ciągła i jest ich skończenie wiele, można znaleźć δ > 0 takie, że ∀ s, s′ ∈ S : d(s, s′) 6 δ =⇒ |fj(s)− fj(s′)| 6 ε/3 dla j = 1, . . . , k. Weźmy teraz dowolną funkcję f ∈ F . Mamy ‖f − fj‖∞ 6 ε/3 dla pewnego j i w takim razie, jeśli s, s′ ∈ S i d(s, s′) 6 δ, to |f(s)− f(s′)| 6 |f(s)− fj(s)|+ |fj(s)− fj(s′)|+ |fj(s′)− f(s′)| 6 13ε+ 13ε+ 13ε = ε, co pokazuje, że zbiór F jest jednakowo ciągły. Implikacja ⇐= w (a): Załóżmy, że zbiór F ⊂ C(S) jest domknięty, ograniczony i jednakowo ciągły. Rozważmy dowolny ciąg (fn) ⊂ F . Chcemy pokazać, że ma on podciąg (gk) zbieżny w przestrzeni C(S), tj. jednostajnie na S. Ponieważ zbiór F jest ograniczony, to istnieje stała M taka, że |f(s)| 6M dla wszystkich f ∈ F i s ∈ S. To oznacza, w szczególności, że dla każdego s ∈ S ciąg liczbowy (fn(s)) jest ograniczony, zatem ma podciąg zbieżny – ale dla różnych s może on być różny. Aby wybrać podciąg, który będzie zbieżny na „dużym” zbiorze punktów s, wykorzystamy fakt, że przestrzeń S, jako metryczna i zwarta, jest ośrodkowa. Niech więc A = {a1, a2, . . . } będzie zbiorem przeliczalnym gęstym w S. Zastosujemy teraz tzw. metodę przekątniową: W pierwszym kroku z ciągu (fn) wybieramy podciąg (f1,n) tak, by zbieżny był ciąg liczbowy (f1,n(a1)). W drugim kroku z ciągu (f1,n) wybieramy podciąg (f2,n) tak, by zbieżny był ciąg liczbo- wy (f2,n(a2)). Kontynuujemy to postępowanie . . . Jeśli teraz położymy gk := fk,k dla k = 1, 2, . . . , to otrzymamy podciąg (gk) ciągu (fn) taki, że ciąg liczbowy (gk(a)) jest zbieżny dla każdego a ∈ A. Pokażemy, że ciąg (gk) jest zbieżny w przestrzeni C(S), co zakończy dowód. Wystarczy oczy- wiście pokazać, że ciąg (gk) spełnia warunek Cauchy’ego w przestrzeni C(S). W tym celu ustalmy dowolne ε > 0 i niech δ > 0 będzie „dobrane” do liczby ε/3 zgodnie z definicją jednakowej cią- głości zbioru F . Z gęstości zbioru A w przestrzeni (metrycznej zwartej) S łatwo wynika, że można znaleźć skończony zbiór {s1, . . . , sm} ⊂ A będący δ-siecią w S. Ponieważ ciąg (gk(a)) jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego a ∈ A, w szczególności dla a = s1, . . . , sm, to istnieje k0 takie, że |gk(sj)− gl(sj)| 6 ε/3 dla k, l > k0 i j = 1, . . . ,m. Jeżeli teraz punkt s ∈ S jest dowolny, to d(s, sj) 6 δ dla pewnego j i wobec tego dla k, l > k0 mamy |gk(s)− gl(s)| 6 |gk(s)− gk(sj)|+ |gk(sj)− gl(sj)|+ |gl(sj)− gl(s)| 6 13ε+ 13ε+ 13ε = ε. Zatem ‖gk − gl‖∞ 6 ε dla k, l > k0. (b) jest łatwą konsekwencją (a). Przy uzasadnianiu implikacji ⇐= należy najpierw pokazać (co nie jest trudne), że także domknięcie F jest zbiorem ograniczonym i jednakowo ciągłym. � Przykład 5.2.2. Niech k ∈ C(Q), gdzie Q := [a, b]× [c, d]). Pokażemy, że operator K : C[a, b]→ C[c, d] określony wzorem (Kf)(t) := ∫ b a k(s, t)f(s) ds, gdzie f ∈ C[a, b], c 6 t 6 d. jest zwarty. (Ten operator całkowy rozważaliśmy w Prz. 2.2.1 (f).) Niech B oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni C[a, b]. Należy wykazać, że zbiór K(B) jest relatywnie zwarty w przestrzeni C[c, d]. Ponieważ jest on ograniczony (bo operator K jest ciągly), to z uwagi na Tw. Ascoliego (5.2.1) pozostaje dowieść, że jest on jednakowo ciągły. Obierzmy dowolne ε > 0. Ponieważ funkcja k jest ciągła na zbiorze zwartym Q ⊂ R2, to jest jednostajnie ciągła. Istnieje zatem δ > 0 takie, że jeśli (s, t), (s, t′) ∈ Q i |t− t′| 6 δ, to |k(s, t)− k(s, t′)| 6 ε/(b− a). Elementy Analizy Funkcjonalnej 117 Stąd dla dowolnego f ∈ B i punktów t, t′ ∈ [c, d] takich, że |t− t′| 6 δ mamy |(Kf)(t)− (Kf)(t′)| 6 ∫ b a |k(s, t)− k(s, t′)| |f(s)| ds 6 ∫ b a ε b− a ·1 ds = ε. Tak więc zbiór K(B) jest rzeczywiście jednakowo ciągły. Twierdzenie 5.2.3. Niech X = (X, ‖·‖) będzie jedną z przestrzeni Banacha c0 lub lp 1 6 p < ∞. Wówczas: (a) Zbiór C ⊂ X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty, ograniczony i spełnia warunek (∗) ∀ ε > 0, ∃n ∈ N ∀x = (ξj) ∈ X : ‖Rn(x)‖ 6 ε, gdzie Rn(x) := (0, . . . , 0, ξn+1, ξn+2, . . . ) (n zer na początku) dla x = (ξj) ∈ X. (b) Zbiór C ⊂ X jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i spełnia warunek (∗). Dowód. (a) Implikację =⇒ otrzymujemy z Tw. 3.1.1 (b) zauważając, że operatory Rn : X → X są liniowe, ciągłe i mają normy równe 1 (zatem są jednakowo ograniczone), a ponadto lim n→∞Rn(x) = 0 dla każdego x ∈ X. Implikacja ⇐= : Z uwagi na kryterium Hausdorffa wystarczy pokazać, że zbiór C jest prezwarty. Obierzmy dowolne ε > 0, a następnie n ∈ N zgodnie z warunkiem (∗) dla liczby ε/3. Z ograniczoności C wynika, że zbiór B := {x − Rnx : x ∈ C} jest ograniczony w n-wymiarowej podprzestrzeni lin({e1, . . . , en}) ⊂ X, a wobec tego jest prezwarty (zob. Wn. 1.16.6). Istnieje więc skończony ciąg x1, . . . , xk w zbiorze C taki, że ciąg x1 −Rnx1, . . . , xk −Rnxk jest ε/3-siecią dla zbioru B. Weźmy teraz dowolne x ∈ C. Wtedy dla pewnego j ‖(x−Rnx)− (xj −Rnxj)‖ 6 ε/3, a następnie ‖x− xj‖ 6 ‖(x−Rnx)− (xj −Rnxj) +Rnx−Rnxj‖ 6 ‖(x−Rnx)− (xj −Rnxj)‖+ ‖Rnx‖+ ‖Rnxj‖ 6 ε. Zatem ciąg x1, . . . , xk jest skończoną ε-siecią dla zbioru C. (b) jest łatwą konsekwencją (a). � 5.2-Z Zadania. Zad. 5.2.1. Uzasadnij, że zanurzenia identycznościowe Lipα([a, b]) → C[a, b], gdzie 0 < α 6 1, jak również Ck[a, b]→ C[a, b], gdzie k ∈ N, są operatorami zwartymi. Zad. 5.2.2. Podaj dowód implikacji ⇐= w części (b) Tw. 5.2.1 wykorzystujący kryterium Hausdorffa. 5.3. Przestrzeń operatorów zwartych. Przyjmujemy następujące oznaczenia: K(X,Y ) := zbiór wszystkich operatorów zwartych T : X → Y ; F (X,Y ) := zbiór wszystkich ciągłych operatorów skończenie wymiarowych T : X → Y , tj. takich, że dimT (X) 118 Lech Drewnowski Dowód. K(X,Y ) ⊂ L(X,Y ): Jeśli T ∈ K(X,Y ), to T (BX) jest zbiorem prezwartym, więc ograniczonym w Y ; zatem T ∈ L(X,Y ). K(X,Y ) jest pl: Niech T1, T2 ∈ K(X,Y ) i niech α1, α2 ∈ K. Wtedy (α1T1+α2T2)(BX) zawiera się w zbiorze prezwartym α1T1(BX) + α2T2(BX). Zatem α1T1 + α2T2 ∈ K(X,Y ). Domkniętość K(X,Y ) w L(X,Y ): Załóżmy, że operator T należy do domknięcia K(X,Y ) w L(X,Y ). Wtedy dla dowolnie obranego ε > 0 można znaleźć S ∈ K(X,Y ) takie, że ‖T − S‖ 6 ε, czyli ‖Tx− Sx‖ 6 ε dla x ∈ BX . Stąd T (BX) ⊂ S(BX) + εBY . Zatem dla każdego ε > 0 istnieje zbiór prezwarty C ⊂ Y taki, że T (BX) ⊂ C+εBY . Stąd nietrudno wywnioskować, że zbiór T (BX) jest prezwarty, co dowodzi, że T ∈ K(X,Y ). F (X,Y ) jest ppl przestrzeni K(X,Y ): Niech T1, T2 ∈ F (X,Y ) i niech α1, α2 ∈ K. Wtedy (α1T1 + α2T2)(X) ⊂ T1(X) + T2(X), a stąd dim ( T1(X) + T2(X) ) 6 dimT1(X) + dimT2(X) Elementy Analizy Funkcjonalnej 119 Dowód. =⇒ : Należy pokazać, że zbiór T ∗(BY ∗) ⊂ X∗ jest prezwarty. Niech ε > 0 będzie wybrane dowolnie. Ponieważ zbiór T (BX) ⊂ Y jest prezwarty, to można znaleźć x1, . . . , xm ∈ BX takie, że ∀x ∈ BX ∃ 1 6 i 6 m : ‖Tx− Txi‖ 6 ε. Z kolei, ponieważ zbiór {(y∗(Tx1), . . . , y∗(Txm)): y∗ ∈ BY ∗} ⊂ Km jest ograniczony, a zatem prezwarty, to można znaleźć y∗1, . . . , y∗n ∈ BY ∗ takie, że ∀ y∗ ∈ BY ∗ ∃ 1 6 j 6 n : |y∗(Txi)− y∗j (Txi)| 6 ε dla 1 6 i 6 m. Weźmy teraz dowolne y∗ ∈ BY ∗ i niech j będzie dobrane do tego y∗ zgodnie z powyższym warunkiem. Pokażemy, że ‖T ∗y∗−T ∗y∗j ‖ 6 3ε, co będzie oznaczało, że T ∗y∗1, . . . , T ∗y∗n jest 3ε-siecią w zbiorze T ∗(BY ∗). Istotnie, niech x ∈ BX i niech 1 6 i 6 m będzie tak wybrane, by ‖Tx−Txi‖ 6 ε. Wtedy |(T ∗y∗)(x)− (T ∗y∗j )(x)| = |y∗(Tx)− y∗j (Tx)| 6 |y∗(Tx)− y∗(Txi)|+ |y∗(Txi)− y∗j (Txi)|+ |y∗j (Txi)− y∗j (Tx)| 6 ‖y∗‖ ‖Tx− Txi‖+ ε+ ‖y∗j ‖ ‖Txi − Tx‖ 6 3ε. ⇐= : Załóżmy, że T ∗ ∈ K(Y ∗, X∗). Wtedy, na mocy tego co już udowodniliśmy powyżej, T ∗∗ ∈ K(X∗∗, Y ∗∗), a stąd T = T ∗∗|X ∈ K(X,Y ) (zob. Tw. 3.15.1). � 5.6. Operatory ograniczenie domknięte. Operator T ∈ L(X,Y ) będziemy nazywać ograniczenie domkniętym , jeżeli przekształca zbiory domknięte i ograniczone w X na zbiory domknięte i ograniczone w Y , tj. spełnia warunek: (∗) Dla każdego zbioru domkniętego i ograniczonego A w X jego obraz T (A) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w Y . Łatwo widzieć, że warunek ten jest równoważny następującemu: (+) Dla każdego zbioru ograniczonego A ⊂ X : T (A) = T (A). (Wsk. Ponieważ operator jest ciągły, to T (A) ⊂ T (A) ⊂ T (A) dla każdego zbioru A ⊂ X.) Tw. 5.6.1. Zanurzenie izomorficzne jednej przestrzeni Banacha w drugą jest zawsze operatorem ograniczenie domkniętym. Tw. 5.6.2. Jeżeli J : X → Y jest zanurzeniem izomorficznym a T ∈ K(X,Y ), to operator J − T : X → Y jest ograniczenie domknięty. Dowód. Niech A będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym w X. Oczywiście, zbiór B := (J − T )(A) jest ograniczony w Y , więc pozostaje tylko sprawdzić, że musi też być domknięty. Niech więc (xn) ⊂ A i załóżmy, że yn := Jxn − Txn → y ∈ Y . Ponieważ operator T jest zwarty, to możemy przyjąć, że ciąg (Txn) jest zbieżny do pewnego z ∈ Y . Wtedy Jxn = yn+Txn → y+z. Ponieważ J jest zanurzeniem izomorficznym, to ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego w X, a wobec tego zbieżnym do pewnego x ∈ X. Z domkniętości zbioru A wynika, że x ∈ A. Wobec tego yn → Jx − Tx i y = Jx− Tx ∈ B. � Tw. 5.6.3. Jeżeli J : X → Y jest zanurzeniem izomorficznym, T ∈ K(X,Y ) i operator J − T jest iniektywny (czyli różnowartościowy), to jest on zanurzeniem izomorficznym; w konsekwencji (J − T )(X) jest domkniętą podprzestrzenią w Y . Dowód. W myśl Tw. 1.12.1 wystarczy pokazać, że a := inf{‖Jx− Tx‖ : x ∈ SX} > 0. 120 Lech Drewnowski [Z def. a wynika, że ‖Jx − Tx‖ > a‖x‖ dla x ∈ X.] Tak jest istotnie, bo na mocy Tw. 5.6.2 zbiór (J−T )(SX) jest domknięty, a ponieważ operator J−T jest z założenia 1–1, to zbiór ten nie zawiera zera. Bezpośrednie uzasadnienie: Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje ciąg (xn) w SX taki, że ‖Jxn− Txn‖ → 0. Z uwagi na zwartość T możemy założyć, że ciąg (Txn) jest zbieżny do pewnego y0 ∈ Y . Wtedy także Jxn → y0, przy czym y0 ∈ J(X), bo J(X) jest podprzestrzenią domkniętą w Y (J jest zanurzeniem izomorficznym!). Stąd xn → x0 := J−1(y0) i następnie Jxn−Txn → (J−T )x0. Zatem (J − T )x0 = 0, gdzie x0 6= 0 (bo nawet ‖x0‖ = 1), co jest sprzeczne z założeniem, że J − T jest iniektywny. � 5.7. Operatory ograniczenie domknięte II. Omówimy tu operatory ograniczenie domknięte dokładniej niż zrobiliśmy to powyżej. Tw. 5.7.1. Niech X i Y będą pln. Operator T : X → Y jest zanurzeniem izomorficznym o domkniętym obrazie wtedy i tylko wtedy, gdy T jest operatorem iniektywnym i ograniczenie do- mkniętym. Dowód. Załóżmy, że operator T jest 1–1 i ograniczenie domknięty. Wtedy zbiór T (SX) jest domknięty w Y i nie zawiera zera. Zatem T jest zanurzeniem izomorficznym. Pozostaje wykazać, że T (X) jest domknięte w Y . Niech (xn) ⊂ X i Txn → y ∈ Y . Ponieważ T jest zanurzeniem izomorficznym, to zbiór A = {xn : n ∈ N} jest ograniczony w X. Korzystając z (+) dostajemy T (X) ⊃ T (A) = T (A) = T (A) ∪ {y}, zatem y ∈ T (X). Proste uzasadnienie implikacji w odwrotnym kierunku pomijamy. � Tw. 5.7.2. Niech X będzie pln, L jej domkniętą ppl, a Q : X → X/L odwzorowaniem ilora- zowym. Wtedy dla każdego zbioru domkniętego i ograniczonego B ⊂ X/L istnieje zbiór domknięty i ograniczony A ⊂ X taki, że Q(A) = B. Dowód. Dla każdego z ∈ B wybierzmy xz ∈ X tak, by Qxz = z i ‖xz‖ 6 ‖z‖ + 1 i niech A0 := {xz : z ∈ B} oraz A := A0. Oczywiście, zbiór A jest domknięty i ograniczony w X. Ponadto, B = Q(A0) ⊂ Q(A) = Q(A0) ⊂ Q(A0) = B = B. Zatem Q(A) = B. � Tw. 5.7.3. Niech L będzie domkniętą ppl pln X. Odwzorowanie ilorazowe Q : X → X/L jest operatorem ograniczenie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy L = X lub dimL Elementy Analizy Funkcjonalnej 121 Tw. 5.7.4. Niech X i Y będą pln. Niezerowy operator T : X → Y jest ograniczenie domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dimkerT < ∞, a stowarzyszony operator iniektywny Tˆ : X/ kerT → Y jest zanurzeniem izomorficznym o domkniętym obrazie. Dowód. Niech Q : X → Xˆ := X/ kerT będzie odwzorowaniem ilorazowym. Załóżmy, że operator T jest ograniczenie domknięty. Jeśli B jest zbiorem domkniętym i ogra- niczonym w Xˆ, to w myśl Tw. 5.7.2 można znaleźć zbiór domknięty i ograniczony A w X taki, że Q(A) = B. Wtedy Tˆ (B) = TˆQ(A) = T (A) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w Y . Zatem operator Tˆ jest ograniczenie domknięty. Stąd na mocy Tw. 5.7.1 wynika, że Tˆ jest zanurzeniem izomorficznym o domkniętym obrazie Tˆ (Xˆ) = T (X). Wykorzystując to wraz z równością Q(A) = Tˆ−1 ( T (A) ) dla A ⊂ X otrzymujemy, że Q jest operatorem ograniczenie domkniętym. Wobec tego, na mocy Tw. 5.7.3, dimkerT 122 Lech Drewnowski Dowód. Z Tw. 5.7.4 wiemy, że podprzestrzeń M := (T −K)(X) ⊂ Y jest domknięta. Niech Q : Y → Y/M będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wtedy 0 = Q(T − K) = QT − QK, zatem QT = QK. Ponieważ QT jest operatorem ciągłym z X na Y/M , a QK jest operatorem zwartym z X do Y/M , to w myśl Tw. 5.3.3 (c) dimY/M Elementy Analizy Funkcjonalnej 123 Rozważmy ciąg (Txn) = (xn −Axn). Dla m < n mamy ‖Txn − Txm‖ = ‖xn − (xm +Axn −Axm)‖ > 12 , bo xm +Axn −Axm ∈ N(Am) +A ( N(An) )⊂ N(An−1) +N(An−1) = N(An−1). Zatem (xn) ⊂ BX , ale ciąg (Txn) nie ma podciągu zbieżnego, co jest sprzeczne ze zwartością T . (b) =⇒ (c): Z uwagi na Tw. 5.6.3 wystarczy pokazać, że A(X) = X. Przypuśćmy, że A(X) 6= X. Wtedy na mocy Tw. 5.9.1 (b) wszystkie inkluzje X = A0(X) ⊃ A(X) ⊃ A2(X) ⊃ . . . są właściwe. Ponadto, stosując Tw. 5.6.3 łatwo wykazać przez indukcję, że wszystkie podprze- strzenie An(X) są domknięte. [Należy zauważyć, że Xn = An(X) jest obrazem Xn−1 = An−1(X) poprzez operator A|Xn−1 = I|Xn−1 − T |Xn−1.] Na mocy Lematu Riesza istnieje ciąg (yn) taki, że yn ∈ An−1(X), ‖yn‖ = 1, ‖yn − y‖ > 12 dla y ∈ A n(X). Rozważmy ciąg (Tyn) = (yn −Ayn). Dla dowolnych m < n mamy ‖Tym − Tyn‖ = ‖ym − (Aym + yn −Ayn)‖ > 12 , bo Aym + yn −Ayn ∈ Am(X) +An−1(X)−An(X) ⊂ Am(X) +Am(X) +Am(X) = Am(X). Zatem (yn) ⊂ BX , ale ciąg (Tyn) nie ma podciągu zbieżnego, co jest sprzeczne ze zwartością T . Alternatywne rozumowanie: Na mocy Tw. 5.5.1 T ∗ ∈ K(X∗). Zauważmy, że A∗ = I∗−T ∗, gdzie I∗ jest oczywiście operatorem identycznościowym w X∗. Ponieważ A jest zanurzeniem izomorficznym, to A∗(X∗) = X∗. Stosując wykazaną już implikację (a) =⇒ (b) widzimy, że A∗ jest 1–1. Wobec tego A(X) = X. � Wniosek 5.9.3 (Alternatywa Fredholma). Jeżeli T ∈ K(X), to operator I − T jest iniektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywny. 124 Lech Drewnowski WSKAZÓWKI DO NIEKTÓRYCH ZADAŃ 0.4-WZ. Zad. 0.4.2. Do (b) i (c): Wskaż możliwie „proste” zbiory zwarte w S takie, że dowolny zbiór zwarty w S zawiera się w którymś z tych „prostych” zbiorów. Np. w S = R rodzinę takich „prostych” zbiorów zwartych tworzą przedziały [a, b] (a, b ∈ R, a < b), jak też przedziały [−c, c] (c > 0). Zad. 0.4.3. To jest łatwe, gdy S jest np. dowolnym przedziałem w R, albo prostokątem w R2. W ogólnym przypadku należy najpierw wykazać następujące wzmocnienie tw. o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłych na zbiorach zwartych: Jeżeli funkcja f : S → K jest ciągła a K ⊂ S jest zbiorem zwartym, to ∀ ε > 0∃ δ > 0∀ s ∈ K, s′ ∈ S : d(s, s′) < δ =⇒ |f(s)− f(s′)| < ε. Zad. 0.4.5. Do (a): Rozważ funkcje „łamane” fr (r ∈ R) takie, że fr = 0 na (−∞, r − 1] ∪ [r + 1,∞) i fr(r) = 1. Zad. 0.4.6. Co wiesz o zbieżności szeregów ∑∞ n=1 1/n α, gdzie α > 0? Zad. 0.4.7. Niech x = (ξn), gdzie ξn = 1/ ln(n + 1). Wtedy x ∈ c0, ale ∀ 0 < p < ∞: ∑ ξpn = ∞, bo ξpn > 1/n dla dużych n. Zad. 0.4.9. Wykorzystaj np. ciąg x = (an), gdzie 0 < |a| < 1. Zad. 0.4.11. Wykorzystaj następujący fakt: Istnieje rodzina M mocy continuum, składająca się z nie- skończonych podzbiorów zbioru N i taka, że dowolne dwa różne zbiory M1,M2 ∈M mają skończony przekrój. W każdej z podanych przestrzeni X wybierz element x = (ξn) o wszystkich wyrazach ξn 6= 0. Wtedy 0 6= xχM ∈ X dla każdego M ∈ M. Zbiór {xχM : M ∈ M} jest liniowo niezależny i jest mocy continuum. Stąd 2ℵ0 6 dimX 6 |X| 6 cℵ0 = 2ℵ0 . Zad. 0.4.12. Gdy mamy ciąg (An) jak w (a), to dla każdego x = (ξn) ∈ lp funkcja Tx określona na zbiorze S wzorem (Tx)(s) = ∞∑ n=1 ξn µ(An)1/p χAn(s) należy do Lp(µ). Otrzymane w ten sposób odwzorowanie T : lp → Lp(µ) jest zanurzeniem izomorficznym. Korzystamy teraz z Zad. 0.4.11. Zad. 0.4.13. Co wiesz o zbieżności całek (niewłaściwych) ∫ 1 0 dt/t α, gdzie α > 0? Zad. 0.4.15. Co wiesz o zbieżności całek (niewłaściwych) ∫∞ 1 dt/t α, gdzie α > 0? Rozważ funkcje f na (0,∞), które na jednym z przedziałów (0, 1] lub [1,∞) są równe zeru, a na drugim dane są wzorem f(t) = 1/tα (dla odpowiednio dobranego α > 0). Zad. 0.4.18. Jeśli f ∈ L∞(µ), to |f | 6 M µ-p.w. dla pewnej stałej M > 0. Wtedy |f/M |p 6 |f/M |r µ-p.w. Zad. 0.4.20. Pokaż, że dla dowolnej (najpierw: prostej) funkcji mierzalnej f > 0: ∫ S f dµ 6 ∫ S f dν. Zad. 0.4.21. Rozumowanie niewprost: Niech f ∈ Cu[0,∞) ∩ Lp[0,∞), ale f /∈ C0[0,∞). Dla pewnego ε > 0 istnieje więc ciąg sn ↗ ∞ taki, że |f(sn)| > ε dla każdego n. Ponieważ f ∈ Cu[0,∞), to istnieje δ > 0 takie, że |f(s)− f(t)| 6 12ε o ile tylko |s− t| 6 δ. Zastępując, jeśli trzeba, ciąg (sn) odpowiednim jego podciągiem, możemy przyjąć, że 1+ δ < s1 i sn+1− sn > 2δ dla każdego n. Wtedy przedziały [sn− δ, sn+ δ] są parami rozłączne i na każdym z nich |f | > 12ε. Stąd ∫∞ 0 |f |p dµ =∞. Zad. 0.4.22. Inkluzja między Xp i Xr: Jeśli funkcja f należy do którejś z tych przestrzeni, to |f(x)| 6 1, a stąd |f(x)|r 6 |f(x)|p, dla dużych wartości x. 0.6-WZ. Zad. 0.6.5. Wykorzystaj Fakt 0.6.5 (a) i odpowiednio pogrupuj składniki kombinacji wypukłych mają- cych więcej niż n składników. Zad. 0.6.7. Najpierw zauważ, że Ak ⊂ Ak+1 dla każdego k. Następnie uzasadnij, że zbiór B := ⋃∞ k=0Ak jest wypukły, A ⊂ B i że B zawiera się w każdym zbiorze wypukłym zawierającym A. Zad. 0.6.8. Sprawdź, że zbiór po prawej stronie jest wypukły i zawiera A∪B, oraz że musi się zawierać w każdym zbiorze wypukłym zawierającym A ∪B. Elementy Analizy Funkcjonalnej 125 Zad. 0.6.6. Inkluzja coE ⊂ K jest łatwa. Na odwrót, jeżeli x = (ξj) ∈ K, to x = 12 (1+ξ1)(1, ξ2, . . . , ξn)+ 1 2 (1− ξ1)(−1, ξ2, . . . , ξn), gdzie współczynniki są nieujemne i o sumie 1. Kontynuuj . . . 0.7-WZ. Zad. 0.7.1. Prześledź dowód Lematu 0.7.1. Zad. 0.7.2 Prześledź dowód nierówności Ho¨ldera i skorzystaj z Zad. 0.7.1. Odp.: Np. w nierówności całkowej Ho¨ldera mamy = wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby c1, c2 > 0 nierówne zeru równocześnie takie, że c1|f(s)|p = c2|g(s)|q dla µ-p.w. s ∈ S. Zad. 0.7.4. Najpierw gdy r = 1: zacznij od uogólnienia Lematu 0.7.1. Zad. 0.7.5. Niech 0 6 x < y 6 1. Wtedy |ϕ(y) − ϕ(x)| = | ∫ y x f(t) dt| 6 ∫ y x |f(t)| dt = ∫ 10 |f |χ[x,y] dλ; teraz zastosuj nierówność Ho¨ldera. 1.1-WZ. Zad. 1.1.1. (a) 1) q i t. 2) r; N(r) = c0. 3) p i u (u > 0 i spełnia (N 1) i (N 2), ale przyjmuje wartość∞). (b) 1) q, s, t (s = t) i u. 2) p; N(p) = {f ∈ C[0, 1] : ∫ 10 f(t) dt = 0}. 3) r. Zad. 1.1.2. Np. p(f) = supx>0 |f(x)|, q(f) = ∫ 1 −1 |f(x)| dx, r(f) = sup−26x6−1 |f(x)|+ ∫ 5 3 |f(x)| dx, . . . Zad. 1.1.4. ‖x+ α(y − x)‖ > |α| ‖y − x‖ − ‖x‖. Zad. 1.1.6. Niech B = {bs : s ∈ S} będzie bazą pl X. Następujące wzory definiują normy w X: ‖x‖ = ∑s∈S |ξs|, ‖x‖ = maxs∈S |ξs|, ‖x‖ = (∑s∈S |ξs|2)1/2, . . . , gdzie x = ∑s∈S ξsbs ∈ X (rozwinięcie x względem bazy B). 1.2-WZ. Zad. 1.2.1. Ogólna postać normy w K: ‖x‖ = c|x| dla x ∈ K, gdzie c > 0 jest stałą (c = ‖1‖). Zad. 1.2.4. Jak w Zad. 1.1.5 lub: ograniczoność zbioru A oznacza, że A ⊂ B(0, r) dla pewnego r > 0. Zad. 1.2.7. Gdy y0 = x0: Znajdź punkt z0 ∈ S(y0, ρ). Gdy y0 6= x0: Znajdź punkt z0 przecięcia półprostej x0 + α(y0 − x0) (α > 0) ze sferą S(y0, ρ). Dalej: ‖z0 − x0‖ != ‖z0 − y0‖+ ‖y0 − x0‖ = ρ+ ‖y0 − x0‖ 6 r. Zad. 1.2.8. Skorzystaj z Zad. 1.2.7 i pokaż, że środki tych kul tworzą ciąg Cauchy’ego: Jeżeli Bn = B(xn, rn) ↓, to ‖xm − xn‖ 6 |rm − rn| → 0 (m,n → ∞), bo 0 6 rn ↓, więc ciąg (rn) jest zbieżny. Przekrój tych kul: ⋂ nBn = B(x0, r0), gdzie x0 = limn rn, r0 = limn rn. (Najpierw pokaż, że K(x0, r0) zawiera się w tym przekroju.) Zad. 1.2.9. Dla takich kul: S(x1, r1) ∩ S(x2, r2) = B(x1, r1) ∩B(x2, r2). Zad. 1.2.10. Każdy punkt y ∈ S(x, r) jest granicą pewnego ciągu (zn) ⊂ [x, y) ⊂ K(x, r). Żaden punkt y ∈ S(x, r) nie jest punktem wewnętrznym kuli B(x, r). Zad. 1.2.11. Rozważ odwzorowanie h : X → K(0, r) dane wzorem h(x) = rx/(1 + ‖x‖). Wylicz h−1(y) dla y ∈ K(x, r). Zad. 1.2.12. Ciągłość f : Oszacuj |f(s) − f(t)|. Część dotycząca maksimum: Istnieje punkt s = (sj) w rozważanym prostopadłościanie P taki, że f(s) = maxt∈P f(t). Postępując „krok po kroku” zastąp ten punkt s punktem u = (uj) takim, że uj ∈ {aj , bj} dla każdego j. Wykorzystaj w tym celu fakt, że funkcja wypukła na przedziale [a, b] osiąga swoje maksimum w jednym z punktów końcowych tego przedziału, 1.5-WZ. Zad. 1.5.4. τ -okresowość funkcji, tj. warunek f(x+τ) = f(x) ∀x ∈ R, jest zachowywany przy zbieżności jednostajnej (a nawet punktowej) ciągów funkcji. Zad. 1.5.5. (b) Kryterium Lebesgue’a: Funkcja ograniczona f : [a, b] → K jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór D(f) jej punktów nieciągłości ma miarę Lebesgue’a zero. Jeżeli (fn) ⊂ R[a, b] i fn → f w B[a, b], to D(f) ⊂ ⋃ nD(fn). (c) ρ(f) 6 2(b− a)‖f‖∞ dla f ∈ B[a, b] ∀ f ∈ B[a, b]; zatem seminorma ρ jest ciągła na pln B[a, b]. Zad. 1.5.7. (b) (N 0): Jeśli ‖f‖p = 0, to f(0) = 0 i f ′(x) = 0 ∀x > 0. Z drugiego z tych warunków wynika, że funkcja f jest stała na [0,∞). Ale f(0) = 0, więc f = 0. 126 Lech Drewnowski (N 1): Skorzystaj dwukrotnie z nierówności Minkowskiego: Najpierw do całek zawierających pochodne, a potem do sum (dwuskładnikowych). (c) Inkluzja Fp ⊂ Fr: Podobnie jak w Zad. 0.4.22. Fp 6= Fr: Najpierw znajdź funkcję ciągłą ϕ na [0,∞) taką, że limx→∞ ϕ(x) = 0, ∫∞ 0 |ϕ(x)|r dx 0. 1.6-WZ. Zad. 1.6.1. Ciągłość tych odwzorowań – bezpośrednio lub z tw. o ciągłości działań. Odwzorowania odwrotne są tego samego typu. Zad. 1.6.2. Wzoruj się na dowodzie Tw. 1.6.2. Zad. 1.6.3. (a): A + B jest obrazem zbioru A × B w odwzorowaniu (x, y) → x + y. Lub: Dwukrotnie przejdź do odpowiednich podciągów, by wykazać, że dowolny ciąg zn = xn + yn ∈ A + B zawiera podciąg zbieżny do punktu należącego do A+B. (b): Niech np. A będzie zwarty, a B domknięty. Załóż, że ciąg zn = xn + yn ∈ A + B jest zbieżny do pewnego z ∈ X. Przejdź do odpowiedniego podciągu wykorzystując zwartość A. Zad. 1.6.4. (a): Wykorzystaj odwzorowanie ciągłe (x, y)→ λx+ µy i fakt z topologii, że f(E) ⊂ f(E), gdy f jest odwzorowaniem ciągłym. Lub: Rozumuj „ciągowo”, opierając się na fakcie, że w przestrzeniach metrycznych: z ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (zn) ⊂ E taki, że zn → z. (b): Odwzorowania x→ x+ c i x→ λx (λ 6= 0) są homeomorfizmami. 1.7-WZ. Stale uzywane oznaczenia Stale uzywane skróty Literatura 0. WYBRANE WIADOMOSCI Z ALGEBRY LINIOWEJ 0.1. Przestrzenie liniowe 0.2. Podprzestrzenie liniowe 0.3. Liniowa niezaleznosc. Baza i wymiar przestrzeni liniowej 0.4. Przyklady przestrzeni liniowych 0.4-Z Zadania 0.5. Operatory liniowe 0.6. Pewne specjalne klasy zbiorów w przestrzeniach liniowych 0.6-Z Zadania 0.7. Nierównosci Höldera i Minkowskiego 0.7-Z Zadania 1. PRZESTRZENIE UNORMOWANE I PRZESTRZENIE BANACHA 1.1. Normy i seminormy 1.1-Z Zadania 1.2. Pojecie przestrzeni unormowanej i przestrzeni Banacha 1.2-Z Zadania 1.3. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych 1.4. Przyklady przestrzeni unormowanych 1.5. Przyklady przestrzeni Banacha (1) 1.5-Z Zadania 1.6. Ciaglosc dzialan w przestrzeniach unormowanych 1.6-Z Zadania 1.7. Ciaglosc operatorów liniowych 1.7-Z Zadania 1.8. Norma operatora liniowego 1.8-Z Zadania 1.9. Szeregi w przestrzeniach unormowanych 1.9-Z Zadania 1.10. Bazy Schaudera. Zbiory liniowo geste 1.10-Z Zadania 1.11. Zastosowanie: Twierdzenie Silvermana-Toeplitza 1.11-Z Zadania 1.12. Izometrie i izomorfizmy przestrzeni unormowanych 1.12-Z Zadania 1.13. Porównywanie norm. Normy równowazne 1.13-Z Zadania 1.14. Dwa uzyteczne kryteria zupelnosci 1.14-Z Zadania 1.15. Przyklady przestrzeni Banacha (2) 1.15-Z Zadania 1.16. Przestrzenie unormowane skonczonego wymiaru 1.16-Z Zadania 1.17. Produkty przestrzeni unormowanych i ciagle operatory wieloliniowe 1.17-Z Zadania 1.18. Przestrzenie ilorazowe 1.18-Z Zadania 2. PRZESTRZENIE CIAGLYCH OPERATORÓW LINIOWYCH I PRZESTRZENIE DUALNE 2.1. Przestrzenie unormowane L(X,Y) i X* 2.1-Z Zadania 2.2. Przyklady na wyliczanie normy operatora liniowego 2.2-Z Zadania 2.3. Zupelnosc przestrzeni L(X,Y) 2.3-Z Zadania 2.4. Algebra endomorfizmów L(X) 2.4-Z Zadania 2.5. Twierdzenie o automorfizmie 2.5-Z Zadania 2.6. Zastosowanie do równan calkowych 2.7. Przestrzenie dualne do pewnych przestrzeni Banacha 2.7-Z Zadania 3. KLASYCZNE ZASADY ANALIZY FUNKCJONALNEJ 3.1. Zbieznosc punktowa ciagów ciaglych operatorów liniowych 3.1-Z Zadania 3.2. Twierdzenie Baire'a 3.2-Z Zadania 3.3. Istnienie funkcji ciaglych nierózniczkowalnych w zadnym punkcie 3.4. Twierdzenie Banacha-Steinhausa (Zasada jednakowej ograniczonosci) 3.4-Z Zadania 3.5. Zastosowanie: Dowód Twierdzenia Silvermana-Toeplitza 3.6. Zastosowanie: Istnienie calki Riemanna-Stieltjesa 3.7. Zastosowanie: Istnienie rozbieznych szeregów Fouriera 3.8. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym 3.8-Z Zadania 3.9. Twierdzenie Banacha o wykresie domknietym 3.9-Z Zadania 3.10. Ogólne Twierdzenie Hahna-Banacha 3.11. Twierdzenie Hahna-Banacha dla przestrzeni unormowanych 3.11-Z Zadania 3.12. Kanoniczna forma dwuliniowa. Anihilatory zbiorów 3.13. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypuklych. Polary i bipolary 3.14. Operatory dualne 3.14-Z Zadania 3.15. Kanoniczne zanurzenie pln w jej bidualna 3.16. Refleksywne przestrzenie Banacha 4. PRZESTRZENIE HILBERTA 4.1. Iloczyn skalarny 4.2. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 4.3. Nierównosc Schwarza 4.4. Przyklady przestrzeni Hilberta 4.5. Tozsamosc równolegloboku 4.6. Ciaglosc funkcjonalów y*() = "426830A ,y"526930B i ciaglosc iloczynu skalarnego 4.7. Ortogonalnosc 4.8. Metryczna charakteryzacja ortogonalnosci 4.9. Uklady ortogonalne 4.10. Aproksymacja elementami zbioru wypuklego 4.11. Twierdzenie o rozkladzie ortogonalnym 4.12. Reprezentacja ciaglych funkcjonalów liniowych 4.13. Twierdzenie Hahna-Banacha 4.14. Szeregi ortogonalne 4.15. Uklady ortonormalne 4.16. Ortogonalizacja Grama-Schmidta 4.17. Bazy przestrzeni Hilberta 5. OPERATORY ZWARTE 5.1. Pojecie operatora zwartego 5.2. Charakteryzacje zbiorów zwartych w pewnych przestrzeniach Banacha 5.2-Z Zadania 5.3. Przestrzen operatorów zwartych 5.4. Zlozenia z operatorem zwartym 5.5. Twierdzenie Schaudera 5.6. Operatory ograniczenie domkniete 5.7. Operatory ograniczenie domkniete II 5.8. Zwarte perturbacje zanurzen izomorficznych 5.9. Zwarte perturbacje operatora identycznosciowego WSKAZÓWKI DO NIEKTÓRYCH ZADAN 0.4-WZ 0.6-WZ 0.7-WZ 1.1-WZ 1.2-WZ 1.5-WZ 1.6-WZ 1.7-WZ