Algebra || Grundbegriffe der Ringtheorie

13 Grundbegriffe der Ringtheorie Übersicht 13.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 13.2 Teilringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 13.3 Die Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.4 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 13.5 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.7 Körper und Schiefkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.8 Quotientenkörper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Der Ringbegriff ist aus der linearen Algebra bekannt. Dort werden üblicherweise die Ringe Z, Q, R, C, der Ring der n × n-Matrizen Kn×n für jeden Körper K und jede natürliche Zahl n und eventuell auch der Ring K[X] aller Polynome über einem Körper K behandelt. Wir untersuchen in diesem einführenden Kapitel zur Ringtheorie gemeinsame Eigen- schaften dieser Ringe und werfen einen ersten Blick auf besondere Ringe – die Körper. Natürlich beginnen wir mit einer strengen Definition und zahlreichen Beispielen. 13.1 Definition und Beispiele Die aus der linearen Algebra bekannten Ringe haben ein Einselement. Tatsächlich wird das bei der Definition eines (allgemeinen) Ringes gar nicht verlangt. Oftmals wird nicht einmal die Assoziativität der Multiplikation verlangt, wir werden dies jedoch schon tun. C. Karpfinger, K. Meyberg, Algebra, DOI 10.1007/978-3-8274-3012-0_14, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 150 13 Grundbegriffe der Ringtheorie 13.1.1 Ringe, kommutative Ringe, Ringe mit Eins Eine algebraische Struktur (R,+, ·) mit inneren Verknüpfungen + : R × R → R (der Addition) und · : R×R → R (der Multiplikation) heißt Ring, wenn gilt: (R,+) ist eine abelsche Gruppe, (R, ·) ist eine Halbgruppe, a (b+ c) = a b+ a c und (a+ b) c = a c+ b c für alle a, b, c ∈ R (Distributivgesetze). Dabei schreiben wir kurz a b anstelle von a · b und halten uns an die Schulregel Punkt vor Strich, die es erlaubt, mit weniger Klammern zu arbeiten, z. B. a+ (b c) = a+ b c. Eine Übersicht über alle Axiome ist im Abschnitt A.4 auf Seite 377. Wir bezeichnen einen Ring (R,+, ·) meist kürzer mit R, also mit der zugrunde liegen- den Menge, sofern nicht ausdrücklich auf die Bezeichnung der Verknüpfungen hinge- wiesen werden soll. Das Nullelement (das ist das neutrale Element der Gruppe (R,+)) bezeichnen wir einheitlich in jedem Ring mit 0. Man beachte, dass weder a b = b a für alle a, b ∈ R noch die Existenz eines bezüglich der Multiplikation neutralen Ele- mentes verlangt wird – wir werden Beispiele kennenlernen, in denen diese natürlich erscheinenden Eigenschaften nicht erfüllt sind. Der Ring (R,+, ·) heißt kommutativ, wenn (R, ·) kommutativ ist, d. h., es gilt a b = b a für alle a, b ∈ R, Ring mit 1 oder unitär, wenn er ein Einselement 1 = 0 besitzt, d. h., (R, ·) besitzt ein neutrales Element 1, das vom neutralen Element 0 von (R,+) verschieden ist. Nach Lemma 1.1 hat ein Ring höchstens ein Einselement. 13.1.2 Beispiele von Ringen Wir geben eine Liste von (teils bekannten) Ringen an: Beispiel 13.1 Die Mengen Z, Q, R, C bilden mit ihren üblichen Verknüpfungen + und · kommu- tative Ringe mit 1. Für jedes n ∈ N>1 bildet die Menge nZ aller ganzzahliger Vielfachen von n (ein- schließlich der 0) mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation aus Z einen kommutativen Ring ohne 1. Für jedes n ∈ N>1 bildet die Menge Zn = Z/nZ = {k+nZ | k ∈ Z} der Restklassen modulo n (wobei k + nZ bei festem und bekanntem n mit k abgekürzt wird) mit den beiden Verknüpfungen (Addition und Multiplikation) k + l = k + l und k l = k l (k , l ∈ Zn) einen kommutativen Ring mit 1. Das Einselement ist 1 = 1 + nZ (vgl. Satz 5.14). 13.1 Definition und Beispiele 151 Endomorphismenringe. Für jede abelsche Gruppe G = (G,+) bildet die Menge End(G) = {σ : G → G |σ(a+ b) = σ(a) + σ(b) für alle a, b ∈ G} aller Endomorphismen von G mit den durch σ τ : a �→ σ(τ(a)) und σ + τ : a �→ σ(a) + τ(a) gegebenen Verknüpfungen einen Ring mit Einselement Id. (Da G abelsch ist, gilt σ + τ ∈ End(G).) Im Allgemeinen ist End(G) nicht kommutativ. Matrizenringe. Für jeden Ring R und jedes n ∈ N bezeichne Rn×n := {( a11 ··· a1n ... ... an1 ··· ann ) | aij ∈ R für alle i, j = 1, . . . , n } die Menge aller n×n-Matrizen über R. Die Addition + und Multiplikation · von n×n-Matrizen über einem Ring werden genauso wie über einem Körper erklärt. Es ist (Rn×n,+, ·) ein Ring. Hat R ein Einselement 1, so ist dieser Ring im Fall n ≥ 2 nicht kommutativ, da gilt:( 0 1 0 0 )( 1 0 0 0 ) = ( 1 0 0 0 )( 0 1 0 0 ) . Direkte Produkte von Ringen. Für Ringe R1, . . . , Rn ist das kartesische Pro- dukt R := R1 × · · · ×Rn mit den Verknüpfungen (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) := (a1 + b1, . . . , an + bn) , (a1, . . . , an) · (b1, . . . , bn) := (a1 b1, . . . , an bn) ein Ring (vgl. Lemmata 1.7 und 6.1). Man nennt R = (R,+, ·) das direkte Pro- dukt oder auch die direkte Summe der Ringe R1, . . . , Rn. 13.1.3 Rechenregeln Wir leiten nun einfache Rechenregeln aus den Ringaxiomen ab und werden feststellen, dass man auch in beliebigen Ringen mit der Null und den Vorzeichen so rechnen darf, wie man es gewöhnt ist, wobei zu beachten ist, dass die Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Neben der Multiplikation in R, (a, b) �→ a b, gibt es die Produkte k ·a mit k ∈ Z, a ∈ R. Dies sind die vor Lemma 1.5 erklärten Vielfachen in der abelschen Gruppe (R,+). Hat der Ring R eine 1, so gilt k · a = (k · 1) a, wobei rechts das Produkt der Ringelemente k · 1 und a steht. Wir schreiben von nun an kürzer k a anstelle von k · a. 152 13 Grundbegriffe der Ringtheorie Lemma 13.1 In einem Ring R gilt für alle a, b, c, a1, . . . , ar, b1, . . . , bs ∈ R: (a) 0a = 0 = a 0. (b) (−a) b = −(a b) = a (−b). (c) a (b− c) = a b− a c, (a− b) c = a c− b c. (d) ( r∑ i=1 ai ) ( s∑ i=1 bi ) = r∑ i=1 s∑ j=1 ai bj (verallgemeinertes Distributivgesetz). (e) Binomialformel. Im Fall a b = b a gilt für alle n ∈ N: (a+ b)n = n∑ i=0 ( n i ) ai bn−i mit den Binomialkoeffizienten ( n i ) = n !i ! (n−i) ! ∈ N. Beweis: (a) Für jedes a ∈ R gilt 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a. Hieraus folgt 0 = 0 a. Analog zeigt man a 0 = 0. (b) Mit (a) folgt für alle a, b ∈ R: 0 = 0 b = (a+ (−a)) b = a b+ (−a) b ⇒ (−a) b = −(a b) . Analog begründet man −(a b) = a (−b). (c) folgt aus (b). Die Aussagen (d) und (e) begründet man wie im Fall R = R. Bemerkung. Offenbar gelten in jedem Ring R für alle k ∈ Z und a, b ∈ R auch die Regeln k (a b) = (k a) b = a (k b). 13.2 Teilringe Eine Teilmenge S ⊆ R heißt ein Teilring oder auch Unterring des Ringes R, wenn S eine Untergruppe von (R,+) und eine Unterhalbgruppe von (R, ·) ist, d. h. wenn gilt (beachte Lemma 2.7 zu den Untergruppenkriterien und die Definition einer Un- terhalbgruppe auf Seite 8): a, b ∈ S ⇒ a− b , a b ∈ S . Jeder Teilring S eines Ringes R ist mit den auf S eingeschränkten Verknüpfungen von R wieder ein Ring. 13.3 Die Einheitengruppe 153 Vorsicht. In manchen Lehrbüchern haben Ringe, anders als hier, per Definition ein Einselement 1. Es wird dann auch 1 ∈ S für einen Teilring S verlangt (damit S wieder ein Ring ist). Für manche Sätze ist die Existenz eines Einselements sehr entscheidend. Beispiel 13.2 {0} und R sind die sogenannten trivialen Teilringe des Ringes R. Die Teilringe von Z sind nach Satz 2.9 genau die Mengen nZ mit n ∈ N0; Z hat also Teilringe ohne Einselement. Für jede natürliche Zahl n ist der Matrizenring Zn×n ein Teilring von Rn×n, da Dif- ferenz und Produkt von Matrizen mit ganzzahligen Koeffizienten wieder ganzzahlige Koeffizienten haben. Das Zentrum Z(R) := {z ∈ R | a z = z a für alle a ∈ R} eines Ringes ist ein kommutativer Teilring von R. Die Menge S := {( a 0 0 0 ) | a ∈ R } ist ein Teilring von R2×2 mit Einselement( 1 0 0 0 ) = ( 1 0 0 1 ) . Die Menge Z[i] := Z + Z i = {a + b i ∈ C | a, b ∈ Z}, wobei i2 = −1, ist mit der gegebenen Addition und Multiplikation komplexer Zahlen ein Teilring von C. 13.3 Die Einheitengruppe Es sei R ein Ring mit 1. Ein Element a ∈ R heißt invertierbar oder eine Einheit, wenn es ein b ∈ R gibt mit b a = 1 = a b. Es handelt sich also hier um die Einheiten der multiplikativen Halbgruppe (R, ·), vgl. Abschnitt 1.3. R× = {a ∈ R | a ist invertierbar} ist nach Lemma 2.4 eine Gruppe, die Einheitengruppe des Ringes R. Ein zu a ∈ R inverses Element b ist eindeutig bestimmt, wir schreiben daher b = a−1. Vorsicht. Die Einheitengruppe eines Ringes R× bildet keinen Teilring von R, es sind 1 und −1 invertierbar, die Summe 1 + (−1) = 0 jedoch nicht. Beispiel 13.3 Z× = {±1}, R× = R \ {0}. Für jedes n ∈ N ist (Cn×n)× = {M ∈ Cn×n | detM = 0}. (Z2×2)× = {( a b c d ) | a, b, c, d ∈ Z mit a d− b c = ±1 } . 154 13 Grundbegriffe der Ringtheorie Gibt es zu einer n × n-Matrix M über einem Körper K eine Matrix N ∈ Kn×n mit M N = En, wobei En die n × n-Einheitsmatrix, also das Einselement von Kn×n bezeichnet, so sind M und N bereits Einheiten in Kn×n, d. h. es gilt auch N M = En. Das ist ein Satz der linearen Algebra (vgl. Aufgabe 13.1). Im Allgemeinen folgt aus a b = 1 keineswegs b a = 1, beachte das folgende Beispiel. Beispiel 13.4 Es sei G = RN0 = {(a0, a1, a2, . . .) | ai ∈ R} die abelsche Gruppe aller reellen Folgen mit der komponentenweisen Addition. Mit End(G) bezeichnen wir den Endomorphis- menring von G (vgl. Beispiel 13.1 auf Seite 150). Für die Abbildungen σ, τ ∈ End(G), σ : ⎧⎨ ⎩ G → G(a1, a2, a3, . . .) �→ (0, a1, a2, . . .) , τ : ⎧⎨ ⎩ G → G(a1, a2, a3, . . .) �→ (a2, a3, a4, . . .) , gilt τ σ = Id, jedoch σ τ = Id, d. h. σ, τ sind keine Einheiten in End(G). 13.4 Homomorphismen Sind R, S Ringe, so heißt ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, wenn ϕ ein Gruppenhomomorphismus von (R,+) in (S,+) und ein Halbgruppenhomomorphismus von (R, ·) in (S, ·) ist, d. h. wenn für alle a, b ∈ R gilt: ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(a b) = ϕ(a)ϕ(b) . Für jeden Ringhomomorphismus ϕ : R → S gilt ϕ(0) = 0 und ϕ(k a) = k ϕ(a) für alle k ∈ Z , insbesondere ϕ(−a) = −ϕ(a) (siehe Lemma 2.11). Statt Ringhomomorphismus sprechen wir wieder kürzer von einem Homomorphis- mus. Auch im Fall von Ringen hat man die weiteren Bezeichnungen Monomorphis- mus, Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus und Automorphis- mus, die in derselben Bedeutung wie bei Gruppenhomomorphismen verwendet werden (vgl. auch die Tabelle auf Seite 13). Sind die Ringe R und S isomorph, d. h., gibt es einen Ringisomorphismus von R auf S, so schreiben wir dafür ebenfalls R ∼= S. Die Menge aller Automorphismen eines Ringes R bezeichnen wir mit Aut(R) – wir werden bald feststellen, dass Aut(R) für jeden Ring R eine Gruppe bildet. 13.4 Homomorphismen 155 Vorsicht. In Lehrbüchern, in denen von Ringen verlangt wird, dass sie ein Einselement haben, verlangt man von Homomorphismen ϕ : R → S zwischen Ringen R und S meistens auch, dass sie das Einselement von R auf das Einselement von S abbilden. Wir tun das nicht. Sind R, S Ringe mit den Einselementen 1R und 1S und ϕ : R → S ein Homomorphismus, so gilt nicht notwendig ϕ(1R) = 1S (vgl. folgendes Beispiel). Falls aber ϕ(1R) = 1S gilt und a ∈ R eine Einheit ist, dann ist auch ϕ(a) eine Einheit in S, und es gilt ϕ(a−1) = ϕ(a)−1, denn 1S = ϕ(1R) = ϕ(a a −1) = ϕ(a)ϕ(a−1) . Beispiel 13.5 Es sei ϕ : Z → Z ein Homomorphismus. Dann ist für jedes n ∈ N wegen der Additivität zum einen ϕ(n) = ϕ(1 + · · ·+ 1) = ϕ(1) + · · ·+ ϕ(1) = nϕ(1) und wegen der Multiplikativität zum anderen ϕ(n) = ϕ(n 1) = ϕ(n)ϕ(1) . Wegen ϕ(0) = 0 gilt somit ϕ(n)ϕ(1) = nϕ(1) = ϕ(n) für alle n ∈ N0. Im Fall ϕ(1) = 0 folgt ϕ(n) = 0 für alle n ∈ N0 und wegen ϕ(−n) = ϕ(−1)ϕ(n) sogar für alle n ∈ Z, d. h. ϕ = 0. Im Fall ϕ(1) = 0 kann man ϕ(1) kürzen und erhält ϕ(n) = n für alle n ∈ N0 und wegen ϕ(−1) = −ϕ(1) = −1 sogar für alle n ∈ Z, d. h. ϕ = Id. Insbesondere besitzt Z nur die Identität als Automorphismus: AutZ = {Id}. Die Konjugation komplexer Zahlen, d. h. die Abbildung κ : C → C, z = x + i y �→ z = x− i y, ist ein Automorphismus von C. Für jeden Ring mit 1 und jedes a ∈ R× ist ιa : x �→ ax a−1 ein Automorphismus von R, weil ιa(x+ y) = ιa(x)+ ιa(y) und ιa(x y) = ιa(x) ιa(y) für alle x, y ∈ R gilt (vgl. Beispiel 1.6 auf Seite 13). Für n ∈ N bezeichne Zn den Restklassenring modulo n (siehe Beispiel 13.1 auf Seite 150). Es ist ϕ : ⎧⎨ ⎩ Z → Znk �→ k = k + nZ ein surjektiver Ringhomomorphismus, also ein Epimorphismus. Sind m, n ∈ N teilerfremd, dann ist die im Lemma 6.6 gegebene Abbildung ψ : ⎧⎨ ⎩ Zmn → Zm × Znk +mnZ �→ (k +mZ, k + nZ) sogar ein Ringisomorphismus, also gilt Zmn ∼= Zm × Zn 156 13 Grundbegriffe der Ringtheorie als Isomorphie von Ringen. Aus den Lemmata 1.6 und 2.11 folgt: Lemma 13.2 (a) Das Kompositum von Ringhomomorphismen ist ein Ringhomomorphismus. (b) Das Inverse eines Ringisomorphismus ist ein Ringisomorphismus. (c) AutR ist für jeden Ring R eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe SR. (d) Ist ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, so sind ϕ(R′) für jeden Teilring R′ von R ein Teilring von S und ϕ−1(S′) für jeden Teilring S′ von S ein Teilring von R. Speziell ist Kernϕ := {a ∈ R |ϕ(a) = 0} = ϕ−1({0}) ein Teilring von R – dieser wird der Kern von ϕ genannt. Einen Ringmonomorphismus ϕ : R → S nennt man auch eine Einbettung von R in S. Man identifiziert gelegentlich jedes a ∈ R mit ϕ(a) ∈ S. Dann ist R Teilring von S. Wie bei Gruppen gilt (vgl. das Monomorphiekriterium 2.12): Lemma 13.3 (Monomorphiekriterium) Ein Ringhomomorphismus ϕ ist genau dann injektiv, wenn Kernϕ = {0}. 13.5 Integritätsbereiche Integritätsbereiche, manchmal auch Integritätsringe genannt, sind eine naheliegende Verallgemeinerung der ganzen Zahlen Z. In solchen Ringen lässt sich eine Teilbarkeits- theorie ganz ähnlich zu jener in Z entwickeln. Wir gehen darauf erst im Kapitel 16 ein, im vorliegenden Abschnitt führen wir diese Ringe ein. Ein Element a = 0 eines Ringes R wird ein Nullteiler von R genannt, wenn ein b = 0 in R existiert mit a b = 0 oder b a = 0. Ein Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei. Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1 heißt Integritätsbereich. In einem Integritätsbereich folgt also aus a b = 0 mit b = 0 stets a = 0 (ebenso b a = 0, b = 0 ⇒ a = 0). Beispiel 13.6 Es ist Z ein Integritätsbereich: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Es ist auch jeder Körper ein Integritätsbereich. Der Teilring Z[i] := {a+ i b | a, b ∈ Z} der ganzen Gauß’schen Zahlen von C ist als Teilring eines Integritätsbereiches ein Integritätsbereich. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1 157 Der Ring R2×2 ist kein Integritätsbereich, er ist weder kommutativ noch nullteiler- frei: ( 1 0 0 0 )( 0 0 1 0 ) = ( 0 0 0 0 ) . Es sind ( 1 0 0 0 ) und ( 0 0 1 0 ) Nullteiler in R2×2. Invertierbare Elemente eines Ringes (mit 1) sind keine Nullteiler. Für a ∈ R×, b ∈ R gilt nämlich: a b = 0 ⇒ 0 = a−1 (a b) = b ; b a = 0 ⇒ 0 = (b a) a−1 = b . Der Restklassenring Zn (Z modulo n) ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn n eine Primzahl ist. Denn im Fall n = a b, 1 < a, b < n, gilt 0 = n = a b ; d. h., a, b sind Nullteiler. Wenn nun, umgekehrt, Zn nullteilerfrei ist, dann folgt aus n = a b wegen n = a b = a b, dass a = 0 oder b = 0, somit a = n oder b = n. Somit ist n eine Primzahl. In einem Integritätsbereich R gelten die Kürzregeln: Sind a, b, c ∈ R, c = 0, so gilt a c = b c ⇒ a c− b c = 0 ⇒ (a− b) c = 0 ⇒ a− b = 0 ⇒ a = b . Analog folgt aus c a = c b die Gleichung a = b. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1 Jeder Ring mit 1 hat eine Charakteristik. 13.6.1 Die Charakteristik ist eine natürliche Zahl oder 0 Es sei 1R das Einselement des unitären Ringes R. Mit n 1R für n ∈ N meinen wir das n-Fache des Einselements, also n 1R = 1R + · · ·+ 1R (n Summanden). Gilt n 1R = 0 für jedes n ∈ N, so sagen wir, R hat die Charakteristik 0, und bezeichnen das mit CharR = 0. Gibt es hingegen eine natürliche Zahl n mit n 1R = 0, so setzen wir CharR := p = min{n ∈ N |n 1R = 0} und nennen p die Charakteristik von R. Es ist p die Ordnung von 1R in der additiven Gruppe (R,+). Bemerkung. Es sei R ein Ring mit 1 = 1R und CharR = p. Dann ist die Abbildung ϕ : Z → R, ϕ(k) = k 1 ein Ringhomomorphismus mit Kernϕ = {k ∈ Z | k 1 = 0} = pZ. Denn Kernϕ ist als Untergruppe von Z von der Form q Z mit dem kleinsten positiven q ∈ Kernϕ, also q = p (siehe Satz 2.9). 158 13 Grundbegriffe der Ringtheorie Beispiel 13.7 CharZ = 0, CharR = 0, CharZn = n für n > 1 aus N. Lemma 13.4 Es sei R ein Ring mit 1 und Charakteristik p = 0. Dann gilt (a) p a = 0 für jedes a ∈ R. (b) Ist R nullteilerfrei ist, dann ist p eine Primzahl. Beweis: (a) Es gilt für alle a ∈ R: p a = p (1a) = (p 1) a = 0 a = 0. (b) Aus p = r s mit r, s ∈ N folgt (beachte Lemma 13.1 (d)): 0 = p 1 = (r 1) (s 1), also r 1 = 0 oder s 1 = 0. Wegen r, s ≤ p gilt somit r = p oder s = p. 13.6.2 In einem Integritätsbereich ist die Frobeniusabbildung ein Monomorphismus Obiges Lemma hat eine etwas überraschende Konsequenz für Integritätsbereiche: Lemma 13.5 (Der Frobeniusmonomorphismus) Es sei R ein Integritätsbereich mit p := CharR = 0. Dann ist die Frobeniusabbildung x �→ xp ein injektiver Ringendomorphismus von R. Insbesondere gilt (a+ b)p = ap + bp für alle a, b ∈ R . Beweis: Da R kommutativ ist, gilt (a b)p = ap bp für alle a, b ∈ R, und die Binomi- alformel in Lemma 13.1 (e) liefert (a+ b)p = ap + p−1∑ i=1 ( p i ) ai bp−i + bp . Da ( p i ) = p!i! (p−i)! für 1 ≤ i ≤ p− 1 durch p teilbar ist (p ist wegen Lemma 13.4 (b) Primzahl), verschwindet die mittlere Summe nach Lemma 13.4 (a), d. h. ϕ : a �→ ap ist additiv. Wegen der Nullteilerfreiheit gilt Kernϕ = {0}, d. h., ϕ ist injektiv. Beispiel 13.8 In Z3 ist etwa 2 9 = (2 3 )3 = ((1 + 1)3)3 = (1 3 + 1 3 )3 = 1 3 + 1 3 = 2. 13.7 Körper und Schiefkörper Körper sind aus der linearen Algebra bekannt. Aber dort werden überwiegend nur die Körper Q, R und C betrachtet. Es gibt viele weitere Körper, so auch endliche. 13.7 Körper und Schiefkörper 159 13.7.1 Beispiele von Körpern und Schiefkörpern Ein Ring mit 1 heißt Divisionsbereich oder Schiefkörper, wenn R× = R\{0}, d. h. wenn jedes von null verschiedene Element invertierbar ist. Kommutative Schiefkörper nennt man Körper. Eine Auflistung aller Axiome eines Körpers findet man im Anhang auf Seite 377. Vorsicht. Schiefkörper werden in der Literatur gelegentlich Körper genannt, und Kör- per bezeichnet man dann als kommutative Körper. Beispiel 13.9 Q, R, C sind Körper der Charakteristik 0. Zp ist nach Satz 5.14 für jede Primzahl p ein Körper der Charakteristik p. (W.R. Hamilton) Der Quaternionenschiefkörper. Es ist H := {( a b −b a ) | a, b ∈ C } als Teilring von C2×2 ein Schiefkörper (vgl. Aufgabe 13.8). 13.7.2 Endliche (Schief-)Körper * Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ, also ein Körper. Diesen tief liegenden Satz von Wedderburn werden wir erst im Kapitel 29 beweisen. Wir zeigen in diesem Abschnitt nur: Lemma 13.6 Jeder endliche nullteilerfreie Ring R mit 1 ist ein Schiefkörper. Beweis: Für jedes a ∈ R \ {0} ist die Rechtsmultiplikation ρa : ⎧⎨ ⎩ R → Rx �→ xa wegen der Nullteilerfreiheit von R injektiv, wegen der Endlichkeit von R dann auch surjektiv. Folglich existiert ein Element b ∈ R mit b a = 1. Nach dem Lemma 2.3 zu den schwachen Gruppenaxiomen ist R \ {0} eine Gruppe mit neutralem Element 1. Es folgt R× = R \ {0}, d. h., der Ring R ist ein Schiefkörper. Beispiel 13.10 Jeder endliche Integritätsbereich ist demnach ein Körper. Insbesondere haben wir er- neut begründet, dass Zp für jede Primzahl p ein Körper ist. 160 13 Grundbegriffe der Ringtheorie 13.8 Quotientenkörper Bekanntlich kann Z durch Bildung von Brüchen zn mit z ∈ Z, n ∈ N, zum Körper Q erweitert werden. Wir zeigen, dass auf ähnliche Weise jeder Integritätsbereich R zu einem (Quotienten-)Körper erweitert werden kann. 13.8.1 Die Konstruktion des Quotientenkörpers Q(R) Gegeben sei ein Integritätsbereich R. Wir setzen S := R \ {0}. Auf dem kartesischen Produkt D := R× S führen wir durch (a, s) ∼ (a′, s′) :⇔ a s′ = a′ s eine Relation ∼ ein. Behauptung. Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation (vgl. Abschnitt A.1). Offenbar ist ∼ reflexiv und symmetrisch. Wir begründen die Transitivität: (a, s) ∼ (a′, s′) , (a′, s′) ∼ (a′′, s′′) ⇒ a s′ = a′ s , a′ s′′ = a′′ s′ ⇒ a s′ s′′ = a′′ s s′ ⇒ s′ (a s′′ − a′′ s) = 0 ⇒ a s′′ = a′′ s ⇒ (a, s) ∼ (a′′, s′′) . Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse von (a, s) mit as und die Quotientenmenge{ a s | a ∈ R, s ∈ S} mit Q(R). Es gilt mit dieser Definition a s = a′ s′ ⇔ (a, s) ∼ (a′, s′) ⇔ a s′ = a′ s . Das ist eine Verallgemeinerung der bekannten Schulregel „Quotienten sind genau dann gleich, wenn das Kreuzprodukt übereinstimmt“. Auf der QuotientenmengeQ(R) wird nun eine Addition und eine Multiplikation erklärt: a s + a′ s′ := a s′ + a′ s s s′ und a s · a ′ s′ := a a′ s s′ . Wohldefiniertheit: Aus as = b t und a′ s′ = b′ t′ folgt: a t = b s , a′ t′ = b′ s′ ⇒ s s′ (b t′ + b′ t) = a t s′ t′ + a′ t′ s t = t t′ (a s′ + a′ s) ⇒ b t ′ + b′ t t t′ = a s′ + a′ s s s′ ; und s s′ b b′ = b s b′ s′ = a t a′ t′ = t t′ a a′ ⇒ b b ′ t t′ = a a′ s s′ . Man prüft direkt nach, dass (Q(R),+, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement ss und Nullement 0s (s beliebig aus S) ist. Damit erhalten wir: 13.8 Quotientenkörper 161 Satz 13.7 Für jeden Integritätsbereich R ist Q(R) ein Körper – der Quotientenkörper von R. Wir begründen beispielhaft das Assoziativgesetz der Addition: Für alle a, a′, a′′ ∈ R und s, s′, s′′ ∈ S gilt:( a s + a′ s′ ) + a′′ s′′ = a s′ + a′ s s s′ + a′′ s′′ = (a s′ + a′ s) s′′ + a′′ s s′ s s′ s′′ , a s + ( a′ s′ + a′′ s′′ ) = a s + a′ s′′ + a′′ s′ s′ s′′ = a s′ s′′ + (a′ s′′ + a′′ s′) s s s′ s′′ . Da die beiden rechten Seiten übereinstimmen, gilt ( a s + a′ s′ ) + a ′′ s′′ = a s + ( a′ s′ + a′′ s′′ ) . 13.8.2 Die Einbettung von R in Q(R) Wir können den Integritätsbereich R als einen Teilring des Körpers Q(R) auffassen: Satz 13.8 Es sei R ein Integritätsbereich, und S := R \ {0}. Die Abbildung ε : a �→ a1 von R in Q(R) ist eine Einbettung von R in Q(R), und es gilt Q(R) = { ε(a) ε(s)−1 = a s | a ∈ R, s ∈ S } . Beweis: Es ist ε ein Homomorphismus, da für alle a, b ∈ R gilt: ε(a+ b) = (a+ b) 1 = a 1 + b 1 = ε(a) + ε(b) und ε(a b) = (a b) 1 = a 1 b 1 = ε(a) ε(b) . Weiter ist ε nach dem Monomorphiekriterium 13.3 injektiv: Ist a ∈ Kern ε, so folgt 0 1 = ε(a) = a 1 , d. h. 0 = a 1 = a. Der Rest ist klar. Beispiel 13.11 Es gilt Q = Q(Z) und Z ⊆ Q. Für jede Primzahl p gilt Zp ∼= Q(Zp), allgemeiner K ∼= Q(K) für jeden Körper K. 13.8.3 Die universelle Eigenschaft Mit der Entstehung der modernen Algebra hat sich gezeigt, dass es besonders wich- tig ist, die algebraischen Strukturen stets zusammen mit ihren strukturerhaltenden Abbildungen – also den Homomorphismen – zu untersuchen. Betrachten wir einen Ho- momorphismus ψ : Q(R) → K vom Quotientenkörper Q(R) = {as | a ∈ R, s ∈ S} in einen beliebigen anderen Körper, so sehen wir wegen ψ (a s ) = ψ ( a 1 1 s ) = ψ ( ε(a) ε(s)−1 ) = ψ (ε(a)) ψ (ε(s))−1 , 162 13 Grundbegriffe der Ringtheorie dass alle Bilder ψ ( a s ) bereits durch die Bilder ψ (ε(a)), ψ (ε(s)) von Werten aus R ∼= ε(R) bestimmt sind. Die universelle Eigenschaft besagt, dass man einen Homomor- phismus von einem IntegritätsbereichR in einen KörperK nach Einbetten von R in Q(R) mittels ε auf genau eine Weise zu einem Homorphismus vom Quotientenkörper Q(R) in K fort- setzen kann. Genauer: Q(R) ϕ˜ �� K R ε �� ϕ ��������� Satz 13.9 (Die universelle Eigenschaft) Es seien R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper Q(R) und ε : a �→ a 1 die Ein- bettung von R in Q(R). Dann gibt es zu jedem Monomorphismus ϕ von R in einen Körper K genau einen Monomorphismus ϕ˜ : Q(R) → K, der (∗) ϕ˜ ε = ϕ erfüllt, nämlich (∗∗) ϕ˜ : a s �→ ϕ(a)ϕ(s)−1 , a ∈ R , s ∈ R \ {0} . Bemerkung. (∗) bedeutet: ϕ˜(ε(a)) = ϕ(a) für jedes a ∈ R. Wenn a mit ε(a) identifi- ziert wird, zeigt (∗), dass ϕ˜ eine Fortsetzung von ϕ ist, d. h. ϕ˜|R = ϕ. Beweis: Eindeutigkeit: ϕ˜ : Q(R) → K erfülle (∗). Für a, s ∈ R, s = 0 folgt ϕ˜(as )ϕ(s) = ϕ˜(ε(a) ε(s) −1) ϕ˜(ε(s)) = ϕ˜(ε(a)) = ϕ(a). Wegen ϕ(s) ∈ K× hat dies ϕ˜(as ) = ϕ(a)ϕ(s) −1 zur Folge. Somit ist jeder Monomorphismus, der (∗) erfüllt, durch (∗∗) gegeben. Existenz: Wir definieren ϕ˜ durch (∗∗) und zeigen, dass ϕ˜ die gewünschten Eigenschaf- ten hat. Wohldefiniertheit: Aus as = a′ s′ folgt a s ′ = a′ s und somit ϕ(a)ϕ(s′) = ϕ(a′)ϕ(s). Dies impliziert ϕ˜(as ) = ϕ(a)ϕ(s) −1 = ϕ(a′)ϕ(s′)−1 = ϕ˜(a ′ s′ ). ϕ˜ erfüllt (∗): Es gilt nämlich ϕ˜(ε(a)) = ϕ˜(a1 ) = ϕ(a)ϕ(1)−1 = ϕ(a) für alle a ∈ R. Homomorphie: Für alle as , a′ s′ ∈ Q(R) gilt ϕ˜(as + a ′ s′ ) = ϕ˜( as′+a′s ss′ ) = ϕ(as ′ + a′s)ϕ(s s′)−1 = (ϕ(a)ϕ(s′)+ϕ(a′)ϕ(s))ϕ(s)−1 ϕ(s′)−1 = ϕ(a)ϕ(s)−1+ϕ(a′)ϕ(s′)−1 = ϕ˜(as ) + ϕ˜( a′ s′ ). Damit ist ϕ˜ additiv, die Multiplikativität zeigt man analog. Injektivität: Aus ϕ˜(as ) = 0 mit a, s ∈ R, s = 0 folgt ϕ(a)ϕ(s)−1 = 0 und damit ϕ(a) = 0. Da ϕ injektiv ist, folgt a = 0 mit dem Monomorphiekriterium 13.3. Folglich gilt as = 0. Nun beachte erneut das Kriterium in 13.3. Bemerkung. Wir haben in diesem Abschnitt 13.8 die Menge S := R \ {0} betrach- tet und eine Äquivalenzrelation auf R × S eingeführt. Dies ist allgemeiner für jede nichtleere Unterhalbgruppe S von (R, ·) mit 0 ∈ S möglich. Die Quotientenmenge {as | a ∈ R, s ∈ S} bezeichnet man üblicherweise mit RS oder S−1R und spricht von der Lokalisierung von R nach S. Die Einbettung von R in RS geschieht dann mit der Abbildung ε : R → RS, a �→ att mit einem t ∈ S. 13.8 Quotientenkörper 163 Aufgaben 13.1 Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und R := End(V ) bezeichne den Endomorphismenring von V . Man zeige für ϕ ∈ R: (a) ϕ ist linksinvertierbar ⇔ ϕ ist rechtsinvertierbar ⇔ ϕ ist invertierbar. (Dabei heißt ϕ links- bzw. rechtsinvertierbar, wenn ein ψ ∈ R mit ψ ϕ = Id bzw. ϕψ = Id existiert.) (b) In R ist jeder Nichtnullteiler ϕ �= 0 invertierbar. 13.2 Man zeige: In Zn ist jedes Element �= 0 entweder ein Nullteiler oder invertierbar. 13.3 Man gebe die Charakteristiken der Ringe Z4 × Z3, Z2×26 , Z2×23 an. 13.4 Begründen Sie: In einem Integritätsbereich R der Charakteristik p �= 0 gilt (a+ b)pk = ap k + bp k für alle a, b ∈ R und k ∈ N. 13.5 Es sei R �= {0} ein kommutativer Ring ohne Nullteiler, in dem jeder Teilring nur endlich viele Elemente enthält. Zeigen Sie, dass R ein Körper ist. 13.6 Es sei R �= {0} ein Ring mit der Eigenschaft a2 = a für alle a ∈ R. Beweisen Sie: (a) In R gilt a+ a = 0 für alle a ∈ R. (b) R ist kommutativ. (c) Hat R keine Nullteiler, so gilt R ∼= Z2. 13.7 Zeigen Sie: |AutQ| = 1 und |AutR| = 1. 13.8 Der Quaternionenschiefkörper. Man zeige: (a) H := {( a b −b a ) | a, b ∈ C } ist ein Teilring von C2×2 mit 1. (b) Die Abbildung ε : z �→ ( z 0 0 z ) von C in H ist eine Einbettung. (c) Mit den Abkürzungen j := ( 0 1 −1 0 ) und k = i j gilt H = C + C j = R + R i +R j +R k. (d) R = Z(H) := {z ∈ H |x z = z x für alle x ∈ H}. (e) Die Abbildung x = a + b i +c j +d k �→ x := a − b i−c j−d k ist ein Antiauto- morphismus von (H, ·) (d. h. x y = y x statt x y = x y für alle x, y ∈ H). (f) Für alle x ∈ H gilt N(x) := xx ∈ R, S(x) := x+x ∈ R und x2−S(x)x+N(x) = 0. (g) Mit (f) folgere man, dass H ein Schiefkörper ist. (h) Die Gleichung X2 + 1 = 0 hat in H unendlich viele Lösungen. 13.9 Man bestimme die Kardinalzahl der Menge aller Teilringe des Körpers Q der rationalen Zahlen. Hinweis: Betrachten Sie für jede Menge A von Primzahlen die Menge RA aller rationalen Zahlen z n mit z ∈ Z, n ∈ N und der Eigenschaft, dass alle Primteiler von n in A liegen. 13.10 Es sei K ein Körper, s ∈ K und Ks := {( a s b b a ) | a, b ∈ K } . Zeigen Sie: 164 13 Grundbegriffe der Ringtheorie (a) Ks ist ein kommutativer Teilring von K2×2. Wann ist Ks ein Körper? (b) R−1 ist zu C isomorph. (c) Für jede Primzahl p �= 2 gibt es einen Körper mit p2 Elementen. 13.11 Es sei d ∈ Z \ {1} quadratfrei (d. h.: x ∈ N, x2 | d ⇒ x = 1) und Z[ √ d] := {a+ b √ d |a, b ∈ Z} , Q[ √ d] := {a+ b √ d | a, b ∈ Q} . Zeigen Sie: (a) Z[ √ d] und Q[ √ d] sind Teilringe von C. (b) Die Abbildung z = a + b √ d �→ z := a − b√d (a, b ∈ Z bzw. a, b ∈ Q) ist ein Automorphismus von Z[ √ d] bzw. von Q[ √ d]. (c) Es ist N : z �→ z z eine Abbildung von Q[√d] in Q, die N(z z′) = N(z)N(z′) für alle z, z′ ∈ Q[√d] erfüllt; und für z ∈ Z[√d] gilt: z ∈ Z[√d]× ⇔ N(z) ∈ {1,−1}. (d) Q[ √ d] ist ein Körper, Z[ √ d] jedoch nicht. (e) Ermitteln Sie die Einheiten von Z[ √ d], falls d < 0. (f) Zeigen Sie, Z[ √ 5]× = {±(2 +√5)k | k ∈ Z}. 13.12 Es sei K := {0, 1, a, b} eine Menge mit vier veschiedenen Elementen. Füllen Sie die folgenden Tabellen unter der Annahme aus, dass (K,+, ·) ein Schiefkörper (mit dem neutralen Element 0 bezüglich + und dem neutralen Element 1 bezüglich ·) ist. + 0 1 a b · 0 1 a b 0 0 1 1 a a b b 13 Grundbegriffe der Ringtheorie 13.1 Definition und Beispiele 13.1.1 Ringe, kommutative Ringe, Ringe mit Eins 13.1.2 Beispiele von Ringen 13.1.3 Rechenregeln 13.2 Teilringe 13.3 Die Einheitengruppe 13.4 Homomorphismen 13.5 Integritätsbereiche 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 13.6.1 Die Charakteristik ist eine natürliche Zahl oder 13.6.2 In einem Integritätsbereich ist die Frobeniusabbildung ein Monomorphismus 13.7 Körper und Schiefkörper 13.7.1 Beispiele von Körpern und Schiefkörpern 13.7.2 Endliche (Schief-)Körper * 13.8 Quotientenkörper 13.8.1 Die Konstruktion des Quotientenkörpers 13.8.2 Die Einbettung von in 13.8.3 Die universelle Eigenschaft Aufgaben