Expresiones algebraicas Lenguaje común y algebraico Lee acerca de la idea El lenguajeconquelas matemáticas expresanideas es el Álgebra. Susimbología comprende: • Números: − − 8 4 5, ,0,100,10,... 3 • Letras: p, V,α, π, r,... • Signos de operación:+−×÷ , , , , ,... • Signos de agrupación: { ¦ [ ] ( ) ... , ... , ... • Signos de relación: ·>0). (a) Tracen el gráfico de las ventas contra la inversión. (b) Interpreten el contenido del gráfico. ¿Hasta qué valor puede asumir x? ¿Por qué? ______________________________________________________________________ 59 ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 4.El preciodel kilogramodefríjol endossupermercadosdiferentes deciudadde Aguascalientes, 1 yy 2 y , en relación al tiempo, “x”, en meses, se muestran en seguida. (a) En los primeros 15 meses, ¿cómo se representa el precio promedio del fríjol considerando los dos supermercados? (b) ¿Dónde debe comprarse fríjol según el mes? ______________________________________________________________________ 60 ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ (c)Resten: 1 2 y y − y 2 1 y y − ygrafiquencadaresultado. Denel significadodel término independiente en cada resultado y de cada gráfico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x y 61 Potencias, exponentes y radicales Potencias Como se mencionó anteriormente, la potencia de una expresión algebraica es el resultado simbólico que indica mediante un exponente cuantas veces se multiplica una cantidadnumérica ounaexpresión algebraica por sí misma. En seguida se muestran algunos ejemplos dados en su forma multiplicativa. • 3 4 444 · ⋅ ⋅ • ( ) 3 2 2 2 2 x xxx · • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4x 1 4x 1 4x 1 4x 1 4x + · + + + + • 5 1 1 1 1 1 1 x x x x x x | ` | `| `| `| `| ` · . , . ,. ,. ,. ,. , Aprende el concepto El segundo caso anterior, es una potencia de potencia, y es obvio que el resultado de la operación es: ( ) 3 2 2 2 2 6 x xxx xxxxxx x · · · . Otros ejemplos ilustrativos acerca de cómo aplicar la potencia de potencia son estos: • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 10 2 10 2 10 2 10 2 2 2 10 10 10 6 30 ax ax ax ax aa ax x x ax · · · • ( ) ( ) ( ) 100 6100 20100 6 20 100 100 600 2000 2 pq 2 p q 2 p q · · Regla de la potencia de potencia Para resolver una potencia de potencias, el exponente de la expresión algebraica multiplica a cada exponente de cada coeficiente de esa expresión. Estudia y aprende el caso siguiente 62 ( ) ( ) 5 5 3 3 5 15 5 10 50 10 3x 3x 3x y y y | ` · · . , . Actividad de aprendizaje Trabajando con dos de tus compañeros, resuelvan los ejercicios siguientes. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y resuelvan las diferencias argumentando al respecto. A. Escriban de forma multiplicativa las potencias siguientes separando sus factores en la potencia respectiva. 1. ( ) 2 2 3 4a= ____________________________________________________________ 2. ( ) 4 5 3 2a b = ___________________________________________________________ 3. ( ) 3 2 2 3 x 1 ] + ] = _______________________________________________________ 4. 4 5 5 2 2x y | ` . , = ___________________________________________________________ 5. ( ) 2 2 5 6 3xy − = _________________________________________________________ 6. ( ) 3 2 3 10 4axy = _________________________________________________________ 7. 3 3 4 3 4a x | ` − . , = __________________________________________________________ 8. 4 4 6 5 4 10 a b c | ` . , = __________________________________________________________ B. Obtengan elresultadodeaplicar la potencia respectiva a las potencias siguientes, dejando los resultados en potencias. 1. ( ) 4 2 2 = _____________________________________________________________ 63 2. ( ) 6 2 1 − = ____________________________________________________________ 3. ( ) 4 3 1 ] − ] = __________________________________________________________ 4. ( ) 5 4x = _____________________________________________________________ 5. ( ) 10 2 2x = ___________________________________________________________ 6. ( ) 3 2 6 4x − = ___________________________________________________________ 7. ( ) 6 2 3 4 5 3a b c = _________________________________________________________ 8. 3 2 x | ` . , = ______________________________________________________________ 9. 4 2 2x 7 | ` . , = ___________________________________________________________ 10. 5 5 2 3 x | ` . , = ___________________________________________________________ 11. 3 2 6 1 ax − | ` . , = _________________________________________________________ 12. 2 2 9 7 6 3a 2b | ` . , = __________________________________________________________ 13. 2 3 10 rp 2x | ` − . , = _________________________________________________________ 14. 4 3 2 2 3 4 4a b 3 p q | ` − . , = ________________________________________________________ 15. 5 9 6 3 1 3a b | ` . , = _________________________________________________________ 64 16. ( ) ( ) 2 3 7 5 3 ab xy | ` . , = ________________________________________________________ 17. ( ) 7 2 5 1 x a | ` − + . , = _______________________________________________________ 18. ( ) 3 10 3 3 2x ] − ] = ______________________________________________________ 19. ( ) 10 10 2x ab ] ] = ______________________________________________________ 20. ( ) 2 2 43 x ] − ] = ______________________________________________________ 21. ( ) 12 5 5 2 10 x 1 ] − ] ] = ____________________________________________________ 22. ( ) 4 3 6 2 2ax x 2 ] − − ] = __________________________________________________ 23. ( ) 3 2 3 3 1 x ax ] − ] ] = _____________________________________________________ 24. ( ) ( ) 2 4 3 2x 1 1 x ] + − ] = _________________________________________________ 25. ( ) 4 p 4 p 10 x = _______________________________________________________ 26. ( ) 5 p 1 2 + = __________________________________________________________ 27. ( ) 10 5 p 10 p 10 3 x + = _____________________________________________________ 28. 2 5 p p 7 7 p 4 ah 5 | ` . , = ____________________________________________________ 29. 3 4x 7 10x p a q | ` − . , = _________________________________________________________ 65 30. ( ) 2 2 p p 3x x 2 ] + ] = ____________________________________________________ 31. ( ) 3 12 6a 1 a b 5 + ] − + ] = ___________________________________________________ 32. ( ) 4 3a 1 6a 3 10 3 x + + ] − + ] = ________________________________________________ 33. ( ) 4a 2a 4 a 12 ax + ] − ] = __________________________________________________ 34. ( ) ( ) p p 5 1 p 2a 3b + − ] ] = __________________________________________________ 35. 5x 2x 2 2x 6 m r − + | ` . , = _________________________________________________________ 36. ( ) ( ) 5 p 2 10 p 7 5 p 5 2x 4 x 1 + ] + ] − ] ] = _________________________________________________ 37. ( ) ( ) 4a 1 3 5a x 1 x 1 + ] − + ] − ] ] = ____________________________________________________ 38. ( ) 5b 4b 10 1 2b 3x 5 x 4 + − ] ] − + ] ] = ___________________________________________________ 39. ( ) 10 p 3 10 2 p 3 2 p 3 4a x 2 5x + − ] − ] − ] ] = ___________________________________________________ 66 40. ( ) 3a 6 a 3 5a 5 r p r p + + ] ] + ] ] = _____________________________________________________ 41. ( ) ( ) 12 p 2 5 p 4 p 1 2x 2a 10 + ] − ] − ] ] = ______________________________________________ C. Aprueben o desaprueben la verdad de cada igualdad siguiente. En caso de desaprobar, digan en qué consiste el error. 1. ( ) 4 3 40 12 160 100x 100 x · = ________________________________________________ 2. ( ) 3 10 18 30 54 2 x 2 x − · = __________________________________________________ 3. 2 10 12 20 24 5 25 4 x 4 x 5a 5 a | ` − · . , = __________________________________________________ 4. ( ) ( ) 7 6 p 42 p 7 3 p 21p 23x 2 3x 5 5 ] − − ·] ] ] = ____________________________________________ 5. 2 2 4 p 15 2 p 4 60 p 4 p 8 p 16 p 4 3 p 1 16 p 12 p 4 p 12 ax 12 a x 6 x 6 x + + − − ] − · ] ] = _____________________________________ 6. ( ) 2 2 3 p 3 p 6 9 p 6 p 7 p 6 6 p 3 p 4 4 p 10 7 p 13 p 12 a x 12a x 5 5 − − − − − ] − · ] ] = _________________________________ Exponentes Lee acerca de la idea Los exponentes pueden ser números enteros, racionales o de otro tipo. • 15 2 • 1 2 x • ( ) 0.8 x 1 + • ( ) π 1 e − 67 Exponentes fraccionarios Lee, conoce y estudia definiciones: 1. a a n n p p · 2. a a a a n n n pq pq · 3. a a n n b b n p p q q · Estaes lanaturalezadelos exponentesfraccionarios: correspondenalasraíces de índice el que determina el denominador en la fracción, y el exponente de la expresión algebraica es el numerador. Ejemplos • 1 2 x x · • 2 3 2 3 a a · • ( ) ( ) 3 3 5 5 1 x 1 x − · − • 3 3 3 3 7 10 7 10 20 a a a a a · · = 3 20 a : sólo puede hacerse si el índice de la raíz es el mismo. • ( ) ( ) 1 7 7 6 6 6 7 5x 5x 3y 3y · • 5 5 5 5 8 23 7 2 8 7 23 2 15 25 3 5 a b a b a a b b a b a b · · · ¿Por qué?: ___________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Elementos de un radical Obsérvese en el gráfico siguiente los elementos de un radical en relación a su forma con exponente: 68 Reducción de radicales Lee acerca de la idea Cuando el índice de la raíz es un múltiplo del exponente de la cantidad subradical o de los exponentes de coeficientes numéricos o literales en esa cantidad, entonces se puede reducir un radical. Ejemplos • 6 100 6 100 6 100 3 50 2 2 49ax 49 a x 7ax 7ax · · · • 8 9 8 1 8 1 4 94 4 8 9 8 9 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 16ax 161 a x 2ax 2ax 2ax x 2ax x + · · · · · • ( ) 10 9 1 9 1 3 3 10 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 54a 54 a 227a 27 2a 3 2aa 3 2a a + · · · · · • 5 5 28 25 3 25 3 28 5 5 28 5 3 5 5 5 5 32 32 2 2 2 2 x x x x x x x x + · · · · · Exponente 0 Lee y estudia la idea Se divide 10 10 10 0 10 a a a a − · · , Entonces: 0 a 1 · , pues todonúmero dividido entre sí mismo es igual a 1. Y en general: Todo número elevado al exponente 0, es igual a 1. Actividades de aprendizaje Reúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los ejercicios siguientes. Consulten con otros equipos o con su maestro si tienen alguna duda. A. Escriban con signo radical las siguientes expresiones. 1. 1 5 2 = ________________________________________________________________ 69 2. 2 7 a = ________________________________________________________________ 3. 4 9 x = ________________________________________________________________ 4. ( ) 1 3 2x = _____________________________________________________________ 5. ( ) 7 5 3 5ax = ___________________________________________________________ 6. ( ) 2 5 1 2x − = _________________________________________________________ 7. ( ) 3 8 2ax 4 + = _________________________________________________________ 8. 1 8 7 3 5x | ` . , = ____________________________________________________________ 9. ( ) a 4 5xy = _____________________________________________________________ 10. ( ) 5 2 2 p 3 4x − = ________________________________________________________ 11. 2a 1 b 1 x + | ` . , = _________________________________________________________ 12. ( ) 4 b 2 3x1 a − −] ] = ____________________________________________________ 13. ( ) 1 3 a 1 1 x + ] − − ] = _____________________________________________________ 14. 2 a 3 3 1 x + | ` − . , = _________________________________________________________ B. Escriban con exponente fraccionario las siguientes expresiones radicales: 1. 7 a = _______________________________________________________________ 2. 3 x = ______________________________________________________________ 70 3. 4 ax = ______________________________________________________________ 4. ( ) 4 5 3x = ____________________________________________________________ 5. 6 1 x − = _____________________________________________________________ 6. 4 2 3 = _______________________________________________________________ 7. 3 x 3 = ______________________________________________________________ 8. ( ) 3 2 1 1 x − = __________________________________________________________ 9. 2 x 1 x + − = ____________________________________________________________ 10. 5 5 2 5 = ___________________________________________________________ 11. 3 3 10 x = ___________________________________________________________ 12. 6 3 6 a x = ___________________________________________________________ 13. 5 5 7 7 x x = __________________________________________________________ 14. 4 4 3 7 a a = __________________________________________________________ 15. 3 54 x a = ___________________________________________________________ 16. 3 4 2 x x − = ________________________________________________________ 17. 3 4 a x y = ________________________________________________________ 71 18. 3 4 ax y = ____________________________________________________________ 19. 3 4 3 x 3 x − − = ___________________________________________________________ 20. 6 3 5 10 3x = ____________________________________________________________ 21. 3 p 7 x = _____________________________________________________________ 22. 4 p 1 x + = ____________________________________________________________ 23. a 1 x + = _____________________________________________________________ 24. 3 a 2 x = _____________________________________________________________ 25. p 5 p p = ____________________________________________________________ 26. a b b 2x = _____________________________________________________________ C. Reduzcan los radicales siguientes. 1. 100 = _____________________________________________________________ 2. 400 = ______________________________________________________________ 3. 324 = ______________________________________________________________ 4. 3 125 = ______________________________________________________________ 5. 3 64 = _______________________________________________________________ 6. 4 4096 = ____________________________________________________________ 7. 4 16x = ____________________________________________________________ 8. 2 81a = _____________________________________________________________ 72 9. 6 2 144ax = _________________________________________________________ 10. 5 20 32a = ___________________________________________________________ 11. 3 9 27 64ax = _________________________________________________________ 12. 3 21 3 30 a b c = _________________________________________________________ 13. 4 24 120 81a x = ________________________________________________________ 14. 16 40 4 625 p q = _______________________________________________________ 15. 5 500 5 243r s = ________________________________________________________ 16. 12 3 81x y = _________________________________________________________ 17. 6 7 9 169a b c = _______________________________________________________ 18. 12 14 15 3 512 p q r = _____________________________________________________ 19. 11 50a = ___________________________________________________________ 20. 4 15 32xy = _________________________________________________________ 21. 24 15 200a b = ________________________________________________________ 22. 3 5 75m n = __________________________________________________________ 23. 3 4 3 54am = _________________________________________________________ 24. 6 3 9 a b = _____________________________________________________________ 25. 3 4 a x = _____________________________________________________________ 25. 3 3 12 125a x = __________________________________________________________ 73 26. 10 5 16a x = __________________________________________________________ 27. 5 20a 75 = ___________________________________________________________ 28. 4 5 3 216ax 1000 = ________________________________________________________ 29. 8 15 4 5 625m n 1296x = _______________________________________________________ 30. 15 6 10 729x a = __________________________________________________________ 31. 6 6 5 7 243ax 32y = _________________________________________________________ 32. 7 3 6 9 12 512a b c d = _________________________________________________________ 33. 8 9 10 8 11 a b c 256d = _________________________________________________________ 34. a 10a 3 = ____________________________________________________________ 35. 2 p 4 p 3 = ____________________________________________________________ 36. ( ) 12m 12m 4x = ________________________________________________________ 37. 5b 5b 10b a b = ____________________________________________________________ 74 38. 2 p p 4 p x y = ____________________________________________________________ 39. 30b 10b 70b 4 5 = ___________________________________________________________ 40. 20r 9r 18r 9r 2 3 x = ________________________________________________________ 41. 14x 7 x 20x a b = ___________________________________________________________ 42. 40 p 8 p 8 p 45 p 10 a b = ________________________________________________________ 43. 16a 17a 15a 15a x y 2 = ________________________________________________________ 44. 6 4 8 2 2 2 5 a = ____________________________________________________________ 45. 4 a 4 a 40 a x y = _____________________________________________________________ D. Efectúen las operaciones con radicales dadas en seguida y reduciendo completamente. 1. 2 8 = _____________________________________________________________ 2. 3 3 9 3 = _____________________________________________________________ 3. 3 8 x xy = __________________________________________________________ 4. 20abc 20abc = _____________________________________________________ 75 5. 3 9 3a 3a = _________________________________________________________ 6. 3 10 9 12 10a b 10a b = ___________________________________________________ 7. 5 3 7 2 12ax 12ax = ____________________________________________________ 8. 3 3 2 7 4a 2a = _________________________________________________________ 9. 3 2 3 4 3 9a b c 3abc = _____________________________________________________ 10. ( ) ( ) 7 14 5 7 3 3 4a 1 x 16a 1 x − − = __________________________________________ 11. ( ) ( ) 11 5 2 18 4 4 6a 4 x 2a 4 x + + = __________________________________________ 12. 2 2 5 5 = ___________________________________________________________ 13. 3 5 5 5 a a b b = _________________________________________________________ 14. 3 6 3 3 7 5 a a b b = __________________________________________________________ 15. 13 8 3 3 17 13 2a 4a b b = _______________________________________________________ 16. 2 4 3 3 4 2 9a 81a b b = _______________________________________________________ 17. ( ) 7 7 7 3x 3x 2 2 = _______________________________________________________ 18. ( ) ( ) 7 5 3 3 5 13 1 x 1 x 4a 2a − − = _________________________________________________ 76 19. ( ) ( ) ( ) ( ) 5 16 3 3 7 5 5 4x 3 4x 3 4a x 2 16a x 2 + + − − = __________________________________________ 20. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 4 4 3 6 a b a b a c a c + + + + = ________________________________________________ E. Multipliquen las expresiones algebraicascon exponentes fraccionarios siguientes y escriban el resultado con radical. Puede usar su calculadora para hallar las respuestas. 1. 1 1 3 2 aa = ______________________________________________________________ 2. 2 4 3 5 aa = ______________________________________________________________ 3. 5 5 2 2 aa = ______________________________________________________________ 4. 4 5 3 3 x x = ______________________________________________________________ 5. 7 6 4 5 aa = ______________________________________________________________ 6. 6 7 7 4 y y = ______________________________________________________________ 7. 2 4 5 7 g g = ______________________________________________________________ 8. 10 10 3 5 m m = ____________________________________________________________ 9. 12 15 5 2 p p = _____________________________________________________________ 10. 8 11 15 2 r r = ____________________________________________________________ 11. ( ) ( ) 1 3 4 4 ab ab = _______________________________________________________ 12. ( ) ( ) 6 5 4 3 ab ab = _______________________________________________________ 13. ( ) ( ) 1 3 9 5 2x 2x = _______________________________________________________ 77 14. ( ) ( ) 5 7 3 3 3 2 2xy 2xy = ____________________________________________________ 15. ( ) ( ) 3 5 7 7 x y x y + + = ____________________________________________________ 16. ( ) ( ) 30 15 7 3 2 y 2 y − − = ___________________________________________________ 17. 4 5 3 3 1 1 x x | ` | ` . , . , = ________________________________________________________ 18. 9 11 2 2 2 2 3y 3y | ` | ` . , . , = _____________________________________________________ 19. 9 4 17 11 1 1 7a 7a − − | ` | ` . , . , = _____________________________________________________ 20. 7 8 2 3 5 5 9xy 9xy | ` | ` . , . , = ____________________________________________________ 21. 15 12 4 7 5 5 9xy 9xy | ` | ` . , . , = ___________________________________________________ F.Ya antesseha visto que r r 1 a a − · , donde r es un número cualquiera. Escribe con exponente positivo cada expresión algebraica siguiente: 78 Aprende la definición r r 1 a a − · , donde r es un número cualquiera.1. 1 2 x − = ________________________________________________________________ 2. 2 3 y − = _______________________________________________________________ 3. ( ) 3 5 3x − = _____________________________________________________________ 4. ( ) 4 3 xy − = _____________________________________________________________ 5. ( ) 3 2 4 x − − = ___________________________________________________________ 6. ( ) 5 6 2x 4 − − = __________________________________________________________ 7.2 3 1 x − = ______________________________________________________________ 8.5 7 2 a − = _______________________________________________________________ 9.3 8 3 a − − = _______________________________________________________________ 10.7 6 5 b − − = ______________________________________________________________ 11. ( ) 9 2 2 1 x − − − = __________________________________________________________ 12. ( ) 2 7 5 2 y − + = _________________________________________________________ 79 13. ( ) 7 15 1 2x 1 − − − = _________________________________________________________ 14. ( ) 2 5 1 3 x − − = __________________________________________________________ Multiplicación y división de polinomios Multiplicación de polinomios Extiende la idea Propiedad distributiva Igual que en caso de la multiplicación de un monomio por un polinomio, la propiedad distributiva se aplica a la multiplicación de dos polinomios con dos o más términos cada uno:cadatérminode unpolinomiomultiplicaa cada términodel otroy al finalse reduce la expresión sumando o restando los términos semejantes. Ejemplos • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 3 x x 3 2 x 3 x 3x 2x 2( 3 ) x x 6 + − · − + − · − + + − · − − • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 5 3 3 2 3 4 3 3 2 5 3 3 2 4 7 6 6 2 8 4 7 4 7 6 6 2 8 5a x 12ax 5ax 2a x 5a x 5ax 2a x 12ax 5ax 2a x 25a x 10a x 60a x 24a x 49a x 10a x 60a x − − · − − − · − − + · − − • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 4y 4x 6xy 8y 2x4x 6xy 8y 4y 4x 6xy 8y 8x 12xy 16xy 16xy 24xy 32y 8x 12xy 24xy 32y − − + · − + − − + · − + − + − · − + − • 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 5 8 2 5 2 5 8 2 3 2a a 4 3 a 4 2a a 4 3a 3 4 2a a 2a4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3a 12 2a 8a x x x x 5a 12 2a x x x | `| ` | ` | ` − + · + − + · + − − . ,. , . , . , · + − − − · + − Regla Cadamonomiodeunodelostérminosdeunpolinomio, semultiplicapor el otro polinomio. Se inspecciona el resultado parcial y se reduce sumando o restando términos semejantes. 80 Actividad de aprendizaje Realicenengrupodetresalumnos,lasoperacionessiguientesdeformaparticulary después comparen sus resultados con los de otros compañeros. Verifíquenlas si hubiese alguna diferencia. Si tienen alguna duda consulten con tu maestro. A. Desarrollen y reduzcan cada vez que sea posible las multiplicaciones de polinomios siguientes. 1.( ) ( ) x 3 x 3 + − · 2.( ) ( ) x a x a + − · 3.( ) ( ) 2x 5 2x 5 + − · 4.( ) ( ) 3x 10 3x 10 + − · 5. ( ) ( ) 4ax 12 4ax 12 + − · 6.( ) ( ) 2x 15 2x 15 − + − − · 7. ( ) ( ) x 20 x 20 + − · 8. ( ) ( ) 2x 2 2x 2 + − · 9.( ) ( ) x 3 x 2 + + · 10.( ) ( ) x 5 x 4 + + · 11.( ) ( ) 4x 8 4x 7 + + · 12.( ) ( ) x 10 x 9 − + − + · 81 13.( ) ( ) 2x 20 2x 10 − + − + · 14. ( ) ( ) x 5 x 1 + + · 15. x x 12 1 2 2 | `| ` + + · . ,. , 16. x x 15 10 5 5 | `| ` + + · . ,. , 17. x x 20 10 4 4 | `| ` + − · . ,. , 18. x x 10 8 2 2 | `| ` + + · . ,. , 19. x x 8 12 3 3 | `| ` + + · . ,. , 20. x x 2 1 5 5 | `| ` + + · . ,. , 21. x x 8 10 4 4 | `| ` + − · . ,. , 22.( ) ( ) 2 2 x 12 x 10 + − · 82 23. 3 3 x 6 x 1 5 4 5 4 | `| ` + + · . ,. , 24. 7 7 x 4 x 3 6 5 6 5 | `| ` + + · . ,. , 25. 12 12 30 10 x x 8 8 | `| ` + − · . ,. , 26. 2 2 1 9 2x 2x a a | `| ` + − · . ,. , 27.( ) ( ) 3x 1 x 1 + + · 28.( ) ( ) 4x 1 x 1 + + · 29.( ) ( ) 5x 1 x 1 + + · 30.( ) ( ) 4 4 8x 1 x 1 + + · 31.( ) ( ) 7 7 10x 1 x 1 + + · 32.( ) ( ) 10 10 2x 1 x 1 + − · 33. ( ) ( ) 3x 1 x 1 + − · 34. ( ) ( ) 6x 1 x 1 + − · 83 35. ( ) ( ) 10x 1 x 1 + − · 36. 20x x 1 1 3 3 | `| ` + − · . ,. , 37. 30x x 1 1 7 7 | `| ` + − · . ,. , 38. 2x 2x 1 1 a a | `| ` + + · . ,. , 39. ( ) ( ) 4x 1 4x 1 + + · 40.( ) ( ) 6x 2 2x 1 + + · 41.( ) ( ) 8x 1 2x 1 + + · 42. ( ) ( ) 7 7 10x 2 10x 2 + + · 43.( ) ( ) 8 8 5x 2 5x 2 + + · 44.( ) ( ) 9x 1 9x 1 − + − + · 45.( ) ( ) x 2 x 2 − − − − · 46.( ) ( ) 3x 4 3x 4 − − − − · 84 45. x x 6 6 4 4 | `| ` + + · . ,. , 46. x 10 x 10 6 3 6 3 | `| ` + + · . ,. , 47. x 7 x 7 5 6 5 6 | `| ` − − · . ,. , 48. x 1 x 1 5 8 5 8 | `| ` − − · . ,. , 49. 3 3 x 4 x 4 3 7 3 7 | `| ` − − · . ,. , 50. 5 5 x 4 x 4 5 7 5 7 | `| ` − − · . ,. , 51. ( ) ( ) x 1 8 x 1 8 + + + + · 52. ( ) ( ) 3 3 x 1 5 x 1 5 + − + − · 53. ( ) ( ) 4 4 3x 5 1 3x 5 1 + − + − · 85 54 ( ) ( ) 3 3 6x 1 10 6x 1 10 + − + − · 55. 3 3 2x 4 2x 4 1 1 2 2 | `| ` + + − − · . ,. , 56. 3 3 5x 4 5x 4 8 8 9 9 | `| ` + + − − · . ,. , 57.( ) ( ) 2 x 1 2x 3x 2 + + − · 58.( ) ( ) 2 2x 2 2x 8x 4 − − + · 59.( ) ( ) 4 2 x 6 x x 4 − + − + · 60.( ) ( ) 6 2 3x x x 3x 12 − + − − − · 61.( ) ( ) 5 3 2x 10 2x 3x 10 + + + · 86 62.( ) ( ) 7 5 3 x 3x 4x 2x x − − − · 63.( ) ( ) 6 4 2 2 4x x 2x x 4x 2 + − − + · 64.( ) ( ) 8 4 2 3 2 5x 4x x x 4x 2x 10 + − − + + − · 65.( ) ( ) 10 6 2 4 2 3x 8x 13x x 5x x 1 − + + − − + · 66.( ) ( ) 3 2 3 2 x 2x 2x x 5x 3x 10 + − − + − · 67.( ) ( ) 3 2 3 2 3x 4x x 2x 6x x 2 − − − + − + · 68.( ) ( ) 3 2 3 2 x 2x 2x x 5x 3x 10 + − − + − · 69.( ) ( ) 3 2 3 2 4x x 6x x 2x 2x 2 − − − − + − − · 70.( ) ( ) 3 2 3 2 10x 8x 9x 1 2x 3x 8x 1 − + + + − + · 71. 2 2 x x 5 5 4 4 | `| ` + − · . ,. , 87 72. 3 3 4x 4x 10 10 3 3 | `| ` + − · . ,. , 73. 3 3 x 3 x 3 7 2 7 2 | `| ` − − + − · . ,. , 74. 4 4 2x 2 2x 2 5 5 5 5 | `| ` − + · . ,. , 75. 2 2 7x 9 7x 9 2 2x 2 2x | `| ` + + · . ,. , 76. 2 2 5x 2 5x 2 3 5x 3 5x | `| ` − − · . ,. , 77. 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 5a 4x 5a 4x | `| ` + + · . ,. , 88 78. 2 2 2 2 6x 4 6x 4 5ab 3x 5ab 3x | `| ` − − · . ,. , 79. 4 2 4x x x 2x 2 5 5 3 | `| ` + − − · . ,. , 80. 2 2 2x x 3x x 1 3 6 2 6 | `| ` + − + · . ,. , 81. 4 2 3 3 2x 3x x 7x 4 1 9 p 7 2 p 2 | `| ` − − − + + + · . ,. , 82. 4 2 5 4 5 4 4x 2x 1 3x 5x 2 11a 3b 2 11a 7b 3 | `| ` + − − − · . ,. , 83. ( ) x x x 1 + + · 84. ( ) 2 4 x 2 x 3x x 4 − − + − · 89 85. ( ) 2 5 x 13 x 1 ( x 1) 3 − − − + − + · 86. ( ) ( ) 2 1 2x 2 x 3x 2x − + − + · 87. ( ) ( ) 3 5x 3x 2 5x 4 3x + − + · 88. ( ) ( ) 2 x 4 3 x 2 5 x 4 x 2 − − + − − − − · 89. ( ) ( ) 2 2 2 2 5 x 4 5 x 25 3 x 4 6 x 25 + − − − − + − · 90. 5x 7x 2 5x 4 7x 4y y y 3y | `| ` − + − · . ,. , 90 91. 3 3 3 3 12 3 3 6 5 ax 7 bx 2 ax 7 bx − | `| ` − − · . ,. , 92. ( ) ( ) 2 p p 2 ax a ax a + + · 93.( ) ( ) a 1 4 a 1 a a 1 2p q p q pq p q + − + + − · 94.( ) ( ) 2a 2 1 a a 1 a 2a 2 1 a 2a a 4x y 3x y 3x y x y − + + − + + − · 95.( ) ( ) 3 p 2 p 2 4 p 2 1 2 p 3 p 2 p 2 4 p 2 1 2 p 2a b a b 10a b 3a b + − + − + − + − − − · 96.( ) ( ) p 4 4 p 4 p 6 4 p 2 p 4 4 p 2 p 4 4 p 1 2a b 5a b 3a b 5a b + + − − + − + − − − − + · 91 97.( ) ( ) 2a 2 5a 5 a 6 5a 2 a 2 a 8 a 5 5a 4 8x y 5x y x b 12x y − − + − + − − − − − + · 98.( ) ( ) ab 1 a 5 ab 2 a 4 ab 1 a 5 ab 2 a 4 2x y 5x y 2x y 5x y + − + − + − + − − − − + · 99.( ) ( ) 2a 2 1 a a 1 a 2a 2 1 a a 1 a 6x y 4x y 6x y 4x y − + + − + + + + · 100.( ) ( ) 5a 1 4 a a 1 a 5a 1 4 a a 1 a x y 2x y x y 2x y + + + + + + − − · 92 101.( ) ( ) 2 a a a 1 a 1 2 a a a 1 a 1 5x y 8x y 5x y 8x y − + + − + + − − · 102.( ) ( ) 2a b a 1 2a b a 1 2a b a 1 2a b a 1 3x y 2x y 3x y 2x y − + + + − + + + − + − + · 103.( ) ( ) a 3b 3a b a 4b 3a b a 3b 3a b a 4b 3a b 10x y 5x y 10x y 5x y + + + + + + + + + + · 104. a 10 5 2a 2 a a 10 5 2a 2 a 3 a a 5 2a 3 a a 5 2a 3m n x 5m n x x m n x m n + − + + − + + + + + | `| ` − − · . ,. , 93 105. 2 4a a 5 5a 4 2 4a a 5 5a 4 3a 2 4a 3 a 4 3a 2 4a 3 a 4 10m n 4x 10m n 4x x m n x m n − − − − − − − + − − + − | `| ` + + · . ,. , 106. p 2 5 p 4 p p 4 p 2 5 p 4 p p 4 7 3 7 3 4a b 2a b 4a b 2a b − − + + − − + + − − | `| ` + − · . ,. , 94 107. 5 2 x x 2 x x 1 x 1 x 2 5 2 x x 2 x x 1 x 1 x 2 x 6 x 4 x 6 x 4 ab c d 4a b c d ab c d 4a b c d 3e 5e 3e 5e + − + − + + − + − + + + + + | `| ` + + · . ,. , 108. 5a 1 a 3a 2 a 1 a 1 3a 2 5a 1 a 3a 2 a 1 a 1 3a 2 a 6 a 4 a 6 a 4 b c d 4b c d b c d 4b c d 4e 5e 4e 5e + − − − + + − − − + + + + + | `| ` − − · . ,. , 95 109. 5 a 4 a 9a 3 a 5 a1 9a 5 a 4 a 9a 3 a 5 a1 9a a 3a a 3a x y d x c d x y d x c d 4e 5e 4e 5e + + + + + + + + | `| ` − − · . ,. , 96 B. Analicen los resultados incorrectos de las multiplicaciones siguientes y digan dónde está el error o errores. 1. ( ) ( ) 3 4x 2 x 2 4x 6x 4 − − · − + 2.( ) ( ) 3 2 7 3 2 x 5 2x 3 2x 3x 10x 15 − + · − − + 3. ( ) ( ) 6 10 3 6 10 3 12 20 6 10 6 2ax 4ax 2ax 4ax 4a x 16ax 16ax − + − + · − − + 4. ( ) ( ) a 1 a 1 2 2a 2 ax 3 2ax 3 2ax 9 + − + − + · − 5.( ) ( ) 4 p 5 2 p 3 p 4 2 p 7 p 1 7 p 1 2 p 4 a 3b a 3b a 3a b 9b − − + − − − − − + − + · + + 6. 4 3 4 3 4 3 a 6 a 6 a 6 a 6 2a 12 a 12 3a 5a 3a 5a 9a 25a x 3x x 3x x 9x + − + − + − | `| ` − + · − . ,. , C. Usandoel conocimientoadquiridohasta aquí,haciendousodesucalculadora, evalúen las expresiones algebraicas siguientes si a=2, b=-4 y c=10. 1.( ) ( ) 2 3 2 3 3a 4b 3a 4b + + · 2. 3 3 12a 12a 12b 12b 5 5 | `| ` + − · . ,. , 97 3. ( ) ( ) 2 2a 2bc 3 2a 5bc − − + · 4. 3 3 4 ( ab ) 4 ( ab ) c c abc abc | `| ` + + · − − . ,. , 5.( ) ( ) b 3 2a b b 3 2a b 3a c 4a 2c + − + − − + + · 6. 3c 2c c 5c b 4a 3a 2b 4a 3a − | `| ` + + · . ,. , División de polinomios Lee acerca de la idea La operación de dividir dos cantidades enteras, como 35 (dividendo) entre 16 (divisor), permite entender el objeto que se persigue al dividir dos polinomios. El procedimiento es el de la división estándar: 2 1635 32 3 − Se halla el cociente: 2, más un residuo, 3. Así:35 16( 2 ) 3 · + . Igualmente, al dividir dos polinomios se hallará el cociente más un residuo, aplicando el algoritmo de la división. Ejemplo Dividir 2 10x 8x 6 − + (dividendo) entrex 3 +(divisor): 98 2 2 10x 38 x 3 10x 8x 6 10x 30x 38x 6 38x 114 120 − + − + − − − + + + Procedimiento: • Se divide 2 10x 10x x · , y se multiplica por x+3, colocando el resultado con signo cambiado donde corresponda a algún término semejante en el dividendo. • Se reducen las expresiones dejando un 0 donde corresponda. • Se toma el término con coeficientes literales de mayor grado y se divide entre x: 38x 38 x − · − . El Resultadoconsignocambiadosemultiplicapor x+3yse coloca donde corresponda cada caso a un término semejante. • Se reducen las expresiones dejando un 0. • Si el residuo es sólo un número, ese es el residuo . Nota: cuandonoesposiblecancelartérminossemejantesparareducir, seescribeel término hallado a un lado de los que restan para trabajar en la división. Ejemplo Dividir 3 x 4 + entrex 4 − : 2 3 3 2 2 x x 4 x 4x 4 x 4x 4x 4x 4 4x 16 20 + + − + − + − + + − + Actividad de aprendizaje A. Efectúen las divisiones siguientes de trinomio entre binomio y escriban el residuo hallado. Usen la calculadora cuando se requiera. 1. 2 4x 8x 4 − + entrex 2 + 2. 2 6x 8x 20 + − entrex 4 − 3. 2 10x 10x 10 + + entrex 10 + 4. 2 9x 18x 27 − + + entrex 3 − 5. 2 x 2x 15 − + entrex 5 −6. 2 4x 10x 100 − + entre x+2 7. 2 40x 80x − entrex 4 +8. 2 100x 50x − + entrex 8 + 9. 2 20x 15x 35 − + + entre2x 1 +10. 2 4x 25x 200 − + entre2x 2 + 11. 3 2 x 4x 10x 12 + − + entrex 3 − 12. 3 2 12x 20x x 30 − + − entrex 4 + 13. 3 2 28x 72x 12x 48 − + − + entrex 8 + 99 14. 3 2 45x 90x x 35 − + − entrex 9 − 15. 3 2 100x 12x 40x 1 − + + − 16. 2 x entrex 2 +17. 2 25x 10 − + entrex 1 + 18. 3 x 80 + entrex 5 + 19. 3 12x 20 + entrex 2 − 20. 4 4x x + entrex 3 − 21. 4 2 50x 20x 80 + + entrex 6 − 22. 4 85x 12x − + entrex 10 +22. 4 3 x 3x 75 − + − entrex 12 + 23. 2 x x 26 + − entre1 x −24. 2 4x 18x 4 + − entre3 x − 25. 2 16x 8x 32 − + − entre4 x −26. 2 40x 4x 86 − + + entre18 x − 27. 2 78x 3x 12 + + entre2 3x − 28. 2 200x 8x − + entre4 5x − 29. 2 60x 14 + entre1 4x − 30. 3 12x 15 − + entre2 12x − 31. 2 x x 4 4 3 + +entrex 1 + 32. 2 2x x 2 5 5 + +entrex 2 + 33. 3 2x 3x 1 3 2 2 + +entre2x 3 +34. 2 3x 4 x 5 3 − +entre1 x − 35. 2 4x x 4 7 4 5 − − +entre3 x − 36. 2 5x x 3 4 3 4 + −entre x 3 2 + 37. 3 2 4x x x 12 3 4 + − +entre x 8 4 + 38. 3 6x x 8 5 4 − + +entre x 1 6 3 − + 39. 4a 2 3a 1 2a x 3x 4x + + − − entre a x 1 + 40. 2 p 3 p 3 3 25x 15x 70x + + + − entre p 5x 10 + 41. 5 p 2 3 p 1 p 4x 8x 40x + + − + − entre 2 p 1 x 3 + + 42. 4 p 10 3 p 10 2 p 10 p 10 2x 8x 20x 30x + + + + − + + entre p 2x 2 + Productos notables Lee acerca de la idea Algunos productos de polinomios ocurren tan frecuentemente en el trabajo matemático que se les ha dado un nombre propio. Además, esos productos se pueden obtenerde forma correcta mediante una regla simple y fija que proviene del resultado mismo de multiplicar. Es conveniente que aprendas esas reglas, pero que no debes perder de vista la esencia de la multiplicación que consiste en aplicar, por ejemplo, la propiedad distributiva para hallar el producto. Binomio al cuadrado 100 Un binomio al cuadrado tiene la forma: ( ) ( ) ( ) 2 ax by ax by ax by + · + + . Si se aplica la propiedad distributiva para desarrollar la multiplicación, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ax by ax by ax by ax ax by by ax by x abxy bxy by ax 2abxy by + · + + · + + + · + + + · + + Lareglaque ocurre cuando se multiplicandos binomios iguales,unbinomio al cuadrado, es: • El cuadrado del primer término: 2 2 ax ax ⇒ • Más: el doble del producto del primero por el segundo término: 2abxy abxy abxy ⇒ + • Más: el cuadrado del segundo término: 2 2 by by ⇒ Cuidado: la regla es sólo un apoyo para obtener rapidez, no es el algoritmo algebraico de la multiplicación, aunque losuple.Memorizar la regla por sí mismanoes conveniente. La memoria a corto plazo la retendrá unas cuantas semanas. Es necesario practicar eventualmenteconellaperotambiénaplicarlapropiedaddistributivapara validar cualquier resultado. La propiedad de la regla anterior puede observarse y recordarse si se estudia el gráfico geométrico siguiente. A B CD Contesta y descubre (a) ¿Cuántos cuadrados se observan en la figura? Descríbelos y explica por qué lo son. (b) ¿Cuántos rectángulos hay en la figura y cuál es el área de cada uno de ellos? (c) De acuerdo a la figura, explica por qué ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ax by ax by ax by ax 2abxy by + · + + · + + . Ejemplos Aplicando la regla para multiplicar binomios: 101 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 12 x 12 x 12 x 2( 12 )x 12 x 24x 144 + · + + · + + · + + 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5a 3 5a 3 5a 3 5a 2( 5a )( 3 ) ( 3 ) 25a 30a 9 − · − − · + − + − · − + 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x y 4 x y 4 x y 4 x 24 x y y 16x 8 x y y − · − − · + − +− · − + Actividades de aprendizaje A.Desarrollentrabajandoengruposlosproductossiguientes. Háganloaplicandola regla del producto de binomios al cuadrado y luego aplicando lapropiedad distributiva. 1. ( ) 2 x 10 −2. ( ) 2 x 4 +3. ( ) 2 x 9 −4. ( ) 2 x 15 + 5. ( ) 2 2x 1 −6. ( ) 2 3x 1 +7. ( ) 2 4x 2 +8. ( ) 2 7x 2 − 9. ( ) 2 10x 4 −10. ( ) 2 3x 9 −11. ( ) 2 6 x −12. ( ) 2 7 x − 13. ( ) 2 2 x 1 + 14. ( ) 2 2 x 3 − 15. ( ) 2 3 x 2 − 16. ( ) 2 3 x 12 + 17. ( ) 2 2 3x 3 +18. ( ) 2 2 5x 8 −19. ( ) 2 3 6x 14 + 20. ( ) 2 3 4x 20 − 21. ( ) 2 ax 5 + 22. ( ) 2 px a −23. ( ) 2 px 2q +24. ( ) 2 2 mx 4a − 25. ( ) 2 2 2 ax 3b + 26. ( ) 2 abx c +27. ( ) 2 2 2 ax 1 −28. ( ) 2 4 4 Rx S + 29. ( ) 2 4 2 a b 2 + 30. ( ) 2 3 3 4a b 3 −31. ( ) 2 3 6 8a b c −32. ( ) 2 3 4a 7ab + 33. ( ) 2 2 2ab ab − 34. ( ) 2 2 2 3a b ab + 35. ( ) 2 3 4a 2a b − 36. ( ) 2 4 7b b − 37. ( ) 2 x a 9 − 38. ( ) 2 p 4ab 7 + 39. ( ) 2 a 1 6 p + −40. ( ) 2 4 p 7a a − 41. ( ) 2 2a ax a +42. ( ) 2 2 a 3 4 px 3 + −43. ( ) 2 3a 3 5x 2x − − 44. ( ) 2 3b b 4x 3x + 45. ( ) 2 2b 1 b 1 2a 3a − − + 46. ( ) 2 b b b 1 ax a x + − 47. ( ) 2 b 3b 1 b b 9ax 4ax + + 48. 2 3a a b 4x 2x 5a 3a | ` − . , 49. 2 b 3 3 1 b 2ax 3ax 5 7 − − | ` + . , 50. 2 a 4a 2 3a 4a a a 1 4 px 3p x 3b 2b − − | ` − . , 51. 2 a 3 a a 1 a a 1 a 5 p x b b p x + − + | ` + . , 52. 2 3a 5 2 3 4 2a 5 10 3m x 10a 5a m x + + | ` − . , 53. ( ) 2 4 1 x 1 − −54. ( ) 2 3 3 2 1 x x − + 55. ( ) 2 4 2 3 1 a 2a − − 56. ( ) 2 a x 1 3 x 1 + + −57. ( ) 2 5 bx 2 3 bx 3 + + − 102 58. ( ) 2 2 2 10 ax 4 5 ax 5 + + −59. ( ) 2 2 2 6 ax 4 7 ax 3 − + − 59. ( ) 2 5 2ax 10 6 3ax 8 + + − 60. ( ) 2 2a 2a 4 4x 5 3 5x 7 − + − B. Escribanenel cuadroel númeroolaexpresiónalgebraicaquefalteparahacer verdadera la igualdad. 1. ( ) 2 2 x x 16x 64 − · − + 2. ( ) 2 2 x x 12x 36 + · + + 3. ( ) 2 2 2 x 2a x 4a − · − + 4. ( ) 2 2 9 x 81 − · − + 5. ( ) 2 2 3b 12by 4y + · + +6. ( ) 2 1 6x 1 − · − + 7. ( ) 2 2 x 8ax x − + · − +8. ( ) 2 5 20x 25 − · + + C. Paracadafigurasiguienteydadalainformaciónenella, escribanlaexpresión algebraica que representa el área de la figura y la de la región sombreada. 4 2x 4 2x 3x 10 3x 10 2x 4a 2x 4a 2x 2x y y x x 103 D. Halla el área de la región blanca dentro del círculo mayor. R 10 Binomios conjugados Lee acerca de la idea Dosbinomiossellamanconjugadoscuandosólodifierenenunsigno: ( ) ax by + y ( ) ax by −son binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados se realiza mediante la aplicación de la propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax by ax by ax ax by by ax by ( ax ) ax( by ) by( ax ) by( by ) ax abxy abxy by ax by + − · − + − · − + + − · − + − · − Así, surgeunpatrónoreglaparahallar, sinpracticarlamultiplicaciónmediantela aplicacióndelapropiedaddistributiva, el resultado de la multiplicación de binomios conjugados: El resultado de multiplicar dos binomios conjugados es igual a: • El cuadrado del primer término: 2 2 ax ax ⇒ • Menos: – • E l cuadrado del segundo término: 2 2 by by ⇒ Ejemplos • ( ) ( ) 2 2x 4 2x 4 4x 16 + − · − • ( ) ( ) ( ) 10 10 20 5x 12 5x 12 25x 144 + − · − • 3 6 3 6 6 12 5 5 10 4 4 16 8ax 8ax 64ax x x x | `| ` + − · − . ,. , • 2 2 2 2 4 x 4 4 x 4 4 x 16 a a a 2 x 2 x 2 x | `| ` − − − + − · − − − − . ,. , Actividades de aprendizaje 104 Desarrollen trabajando en grupos los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva. 1.( ) ( ) 2 x 2 x + − 2.( ) ( ) 8 x 8 x + − 3.( ) ( ) x 18 x 18 + − 4.( ) ( ) x a x a + − 5.( ) ( ) 2x 5 2x 5 + − 6.( ) ( ) 3x 9 3x 9 + − 7.( ) ( ) 4x a 4x a + −8.( ) ( ) 6x 3 6x 3 + − 9.( ) ( ) 2 2 5x 8 5x 8 + − 10.( ) ( ) 10 10 10x 2y 10x 2y + − 11.( ) ( ) 15 3 15 3 5x 4y 5x 4y + − 12.( ) ( ) 2 8 4 2 8 4 ax b ax b + − 13.( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 5abx 6abx 5abx 6abx + −14. 8 8 4 4 6x 6x 8x 8x 5 5 | `| ` + − . ,. , 15. 18 18 12 12 3ax 3ax 10x 10x 4 4 | `| ` + − . ,. , 16. 12 2 7 8 10 2 7 8 10 3 5 3 5 12ax 5 px 12ax 5 px 7b 3b 7b 3b | ` | ` + − . , . , 17. 5 a 8 x 1 5 a 8 x 1 b b 1 b b 1 9ax 15ax 9ax 15ax 2y 3y 2y 3y + + + + | `| ` + − . ,. , 18. a a 1 a a 1 a 4 2a 2 a 4 2a 2 2 a x 5 a x 2 a x 5 a x 7 y 3y 7 y 3y + + + + + + | `| ` + − . ,. , 19. 4 x 1 x 1 9 1 x x 1 4 x 1 x 1 9 1 x x 1 3 y 7 y 3 y 7 y | `| ` + − − + + − − + + − . ,. , 20. 3 5 9 11 3 5 9 11 7 9 7 9 7 x x 8 x x 7 x x 8 x x 6 y 7 y 6 y 7 y | `| ` + − . ,. , 21. 1 a 2 a 1 a 2 a 10 8 10 8 3 y 7 y 3 y 7 y − − − − | `| ` + − . ,. , 22. 10 m2 12 m 10 m2 12 m 12 9 12 9 5x y 5x y 5x y 5x y + + | `| ` + − . ,. , Binomios con término numérico independiente diferente Lee acerca de la idea Otra expresión de producto de binomios, común en matemática, es la siguiente: ( ) ( ) x b x c + + , dondebycson constantes diferentes. Si se aplica la propiedad distributiva para obtener la multiplicación, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x b x c x x c b x c x cx bx bc x ( c b )x bc + + · + + + · + + + · + + + 105 La regla para obtener el resultado de una multiplicación de este tipo es: • El cuadrado del primer término: 2 x x ⇒ • Más: la suma de los términos constantes por la variable:( ) c b x + • Más el producto de los términos constantes: bc . Ejemplos • ( ) ( ) 2 2 x 10 x 5 x ( 10 5 )x ( 10 )( 5 ) x 15x 50 + + · + + + · + + • ( ) ( ) 2 2 x 10 x 5 x ( 10 5 )x ( 10 )( 5 ) x 5x 50 + − · + − + − · + − • ( ) ( ) 3 3 6 3 6 3 a 20 a 30 a ( 20 30 )a ( 20 )( 30 ) a 10a 600 + − · + − + − · − − • 10 10 20 10 20 10 4 3 4 3 4 3 a a a a 3 5 3 5 3 5 29 4 a a 15 5 | `| ` | ` | ` + + · + + + . ,. , . , . , · + + Actividades de aprendizaje Reúnanse a trabajar en equipos y resuelvan los productos siguientes. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios respectiva y luego aplicando la propiedad distributiva. Reduzcan siempre que sea posible. Pueden usar la calculadora si lo requieren. 1.( ) ( ) x 8 x 2 + + 2.( ) ( ) x 10 x 2 + + 3.( ) ( ) x 15 x 5 + + 4.( ) ( ) x 12 x 8 + + 5.( ) ( ) x 14 x 10 + + 6.( ) ( ) x 25 x 5 + + 7.( ) ( ) x 16 x 25 + + 8.( ) ( ) x 4 x 80 + + 6.( ) ( ) x 8 x 4 + − 9.( ) ( ) x 12 x 8 + − 10.( ) ( ) x 15 x 10 + −11.( ) ( ) x 20 x 8 + − 12.( ) ( ) x 30 x 10 + − 13.( ) ( ) x 8 x 10 − −14.( ) ( ) x 40 x 20 − + 15.( ) ( ) x 25 x 8 − −16.( ) ( ) x 35 x 5 + − 17.( ) ( ) x 45 x 40 − + 18.( ) ( ) x 100 x 50 + − 19.( ) ( ) x 200 x 100 + − 20.( ) ( ) x 150 x 100 − − 21. 4 1 x x 5 5 | `| ` + + . ,. , 22. 5 2 x x 7 7 | `| ` + − . ,. , 23. 10 25 x x 3 3 | `| ` − + . ,. , 24. 3 1 x x 4 4 | `| ` + − . ,. , 25. 2 2 7 5 x x 12 12 | `| ` − − . ,. , 26. 3 3 16 8 x x 25 25 | `| ` + + . ,. , 27. 5 5 14 12 x x 9 9 | `| ` + − . ,. , 28. 7 7 60 15 x x 7 7 | `| ` − + . ,. , 29. 7 7 40 20 x x 3 3 | `| ` − + . ,. , 30.( ) ( ) 2 2 a 3 a 5 + + 31.( ) ( ) 3 2 a 8 a 10 + +32.( ) ( ) 2 2 a 6 a 5 − − 106 33.( ) ( ) 2 2 a b 38 a b 10 + −34.( ) ( ) 3 2 3 2 a b 60 a b 40 − − 34. ( ) ( ) 5a 40 5a 15 − −35. ( ) ( ) a 4 100 a 4 150 + − + − 36. ( ) ( ) a 1 23 a 1 7 − + − + 37. ( ) ( ) 2a 6 50 2a 6 20 + − + − 38. ( ) ( ) 10a 40 30 10a 40 60 − − − − 39. ( ) ( ) 2 2 5a 25 200 5a 25 25 + + + + 40. 1 3 x x 2 2 | `| ` + + . ,. , 41. 5 4 x x 2 3 | `| ` + + . ,. , 42. 2 2 7 4 x x 9 5 | `| ` − − . ,. , 43. 3 3 x 3 x 7 a 7 a 3 | `| ` + − . ,. , 44. b 5 b 5 6 a 6 a a 1 a 5 b 8 b 6 + + − − | `| ` − + . ,. , 45. 6b 6b 6a 6a a 4 a 7 b 15 b 10 | `| ` − + . ,. , 46. ( ) ( ) 3 3 a 2 a 3 + + 47. ( ) ( ) 10 3 a 10 a 5 + −48. ( ) ( ) 2 2 ab 15 ab 5 − − 49. ( ) ( ) 10 x 10 x a 50 a 125 + + + + 50. ( ) ( ) 3 3x 3 3 3x 3 a b 40 a b 60 + + − + 51. 10 x 10 x a a 35 55 5 5 + + | `| ` − + . ,. , 52. 10 x 10 x a a 35 55 5 5 + + | `| ` − + . ,. , 53. 2m2 2m2 3m 3m a a 2 18 2 2 b b + + | `| ` − + . ,. , 54. 5 p 10 5 p 10 6 p 1 6 p 1 a 3 a 27 2b 2 2b 2 + + − − | `| ` + + . ,. , Cubo de un binomio Leeacerca de la idea La potencia de un binomio pude ser cualquiera, sin embargo, es de interés el desarrollo de un binomio al cubo: ( ) 3 x a + . Se puede resolver ese producto por el método que aplica la propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 x a x a x a x a x a x a x a x 2ax a x( x ) x( 2ax ) x( a ) ax a( 2ax ) a( a ) x 2ax ax ax 2ax a x 3ax 3ax a + · + + + · + + · + + + · + + + + + · + + + + + · + + + La regla para hallar el producto representado por un binomio al cubo es: • El cubo del primer término: 3 x x ⇒ • Más: tres veces el cuadrado del primer término por el segundo:( ) 2 3 x a 107 • Más: tres veces el primer término por el cuadrado del segundo:( ) 2 3 xa • Más: el cubo del segundo término: 3 a Ejemplos • ( ) 3 3 2 2 3 3 2 x 1 x 3x( 1) 3x( 1) ( 1) x 3x 3x 1 − · + − + − + − · − + − • ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 3 6 4 2 4a 5b ( 4a ) 3( 4a ) ( 5 ) 3( 4a )( 5 ) ( 5 ) 64a 240a 300a 125 − · + − + − + − · − + − Actividades de aprendizaje Resuelvan los ejercicios siguientes trabajando en equipos. Háganlo aplicando la regla del producto de binomios conjugados y luego aplicando la propiedad distributiva. A. Desarrollen los binomios al cubo: 1. ( ) 3 a 2 + 2. ( ) 3 a 3 + 3. ( ) 3 a 5 + 4. ( ) 3 a 10 + 5. ( ) 3 a 15 + 6. ( ) 3 a 2 − 7. ( ) 3 a 3 − 8. ( ) 3 a 5 − 9. ( ) 3 a 10 − 10. ( ) 3 a 15 − 11. ( ) 3 2a 3 + 12. ( ) 3 3a 4 − 13. ( ) 3 5a 6 − 14. ( ) 3 7a 7 −15. ( ) 3 4a 10 + 16. ( ) 3 2 a 1 −17. ( ) 3 2 3a 5 − 18. ( ) 3 3 2a 4 + 19. ( ) 3 5 3a 2 − 20. ( ) 3 10 4a 6 +21. ( ) 3 p 2a 3 − 22. ( ) 3 x 1 2a 2 + −23. ( ) 3 4x 4 6a 1 + − 24. 3 4x 1 2a 2 | ` − . , 25. 3 2x a 5 3 4 | ` − . , 26 ( ) 3 10 3x y + 27. ( ) 3 12 5a 3y +28. ( ) 3 4 2 7x 2y + 29. ( ) 3 8 3 9a 2y − 30. ( ) 3 9 4 9a 5y − 31. ( ) 3 4 7 4y 6x − 32. ( ) 3 3 2 7 y 8x − B.Decidan si cada desarrollo de los binomios al cubo siguientes es correcto o incorrecto. SI no, digan dónde se cometió el error y escriban el resultado correcto. 1. ( ) 3 3 2 8a 6 512a 192a 288a 36 + · + + + 2. ( ) 3 3 2 3a 4 27a 108a 48a 64 − · − − − 3. ( ) 3 5a 15a 5a 5a 3 x 2y x 12x y x y 8y − · − + − 4. 3 12 6 6 18 3 18a 18a 9 2a 8a 4 4 4 16 | ` + · + + + . , 5. 3 2 6 4 2 3a 1 27a 9a 3a 19 2 5 8 20 10 125 | ` − · − + − . , 108 Conexiones. Problemas geométricos 1. Un cuadrado tiene lado igual a4x 2 + . (a) Realicen un dibujo de este cuadrado con las partes que corresponden. (b) Calculen el perímetro del cuadrado. (c) Calculen el área del cuadrado. 2. Dado el rectángulo siguiente, calculen: (a) El perímetro de todo el rectángulo. (b) El área de todo el rectángulo. (c) El perímetro del rectángulo A. (d) El área del rectángulo A. 3. Se corta de un rectángulo un triángulo como se ve en la figura siguiente. (a) ¿Cuál es el área del trapecio T? Si x=4 cm., y y=7 cm.: (b)¿cuál es el área del rectángulo? (c) ¿Cuál es el área del trapecio T? (d) ¿Cuántos centímetros mide el perímetro del rectángulo? 4. Sobre un triángulo equilátero se inscribe un cuadrado según se observa en la siguiente figura. El lado del triángulo mide x, y la distancia AE mide y. a) ¿Cuántos triángulos se observan en la figura? ¿De qué tipo son? b) Escriban una fórmula para calcular elárea del cuadrado. c) Escriban unafórmula para calcularel área de cada uno de los triángulos AFE y CDG. d) ¿Cuál es el área del trapecio AFGC? Esa área se define por la fórmula: ( ) h Base mayor Base menor A 2 + · . Si x=10 cm., e y=2 cm.: (e) Calculen el área del triángulo ABC. (f) Calculen el área del cuadrado DEFG. (g) Calculen el área del trapecio AFGC. 5.José recortódeuntrozodecartulina un rectángulo que es 5 veces más largo que ancho. De él, habrá que cortar tres triángulos como se ve en la figura, donde A es el punto medio del lado mayor cuya medida es x – 2. 109 2x +5 3 x+7 B A y y x T A C B G F E D 6. Una circunferencia se inscribe en un cuadrado según se observa en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado no cubierta por el círculo? y 7. Sobre una hoja cuadrada de dibujo de lado x se traza una línea inclinada que parte a la hoja en dos regiones, como se observa en la figura que sigue. x y 8. En el siguientecuadrado, delado 4x 2 + , los triángulos en blanco son iguales e isósceles. (a) ¿Cuál es el área del cuadrado, su ecuación? (b) ¿Cuál es la ecuación para calcular el área sombreada? Si x=12 cm.: (c) ¿Cuál es el valor del área sombreada? (d) ¿Cuál es el área de uno de los triángulos en blanco? 9. Una bandera cuadrada se cruza con dos líneas diagonales como se observa en la figura. El punto E parte el lado de la bandera en un segmento de longitud x y otro de longitud y. Cada triángulo se construirá con un color diferente. Para calcular la tela necesaria para construir una bandera es necesario calcular lo siguiente. 110 a) ¿Cuál es el valor del ancho del rectángulo? b) ¿Cuál es el área del rectángulo? c) Cuál es el área del triángulo no recto? d) ¿Cuál es el área de cada triángulo rectángulo? A a) ¿De qué tipo es e triángulo? b) ¿Cuál es el área del triángulo formado? c) ¿Cuál es el área no cubierta por el triángulo? d) ¿Cuántas veces cabe el triángulo en la hoja? e) Si x es igual a 20 cm., e y=4 cm., ¿cuántas veces cabe el triángulo en la hoja? x y A D B C E 10. Traza un triángulo de altura x, y cuya base sea igual a la mitad de la altura menos una unidad. a) Escribe las dimensiones donde correspondan. b) Calcula el área del triángulo. 11. El radio de una circunferencia es 10x. Otra circunferencia concéntrica pero menor se halla en el interior de la primera, como se observa en la figura siguiente. (a) ¿Cuál es el radio de la circunferencia menor? (b) ¿Cuál es el área de la circunferencia mayor? (c) ¿Cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor? Si x=8 cm.: (d) ¿cuál es el área de la sección de la circunferencia mayor no cubierta por la menor? 12. Un triángulo isósceles se utiliza para simular la punta de un para-rayos. La figura siguiente muestra algunas de las dimensiones. La longitud IJ es ax. L y K son los puntos medios de los respectivos lados. La altura del triángulo que va de H a IJ es15 2 ax Factorización Lee acerca de la idea Factorizar es representar por factores una suma o resta. Por ejemplo, la suma 4+10, se puede representar como 2(2 + 5). Los factores son 2 y (2+5). 111 a) Obtén una ecuación para calcular el área total. b) Obtén una ecuación para calcular el área de cada triángulo. c) Demuestra que la suma de las tres ecuaciones que hallaste para calcular el área de cada triángulo, es igual al área total de la bandera. 2ax ax H I J K L (a) Calcula el perímetro de la punta. (b) Calcula el área de la punta. (c) Calcula el área del triángulo JKL. 5 La factorización algebraica es igualmente posible: la expresión 2 3 4x 10x + se representa en factores tomando el máximo divisor común de las cantidades numéricas o las letras: 2 3 2 4x 10x 2x( 2 5x ) + · + Esta factorización se llama por factor común. Otrasfactorizacionesseobtienendel desarrollodeproductosnotables. Obsérvesela siguientede un binomio alcuadrado, 2 2 ( x 4 ) x 8x 16 + · + + , la parte izquierda es la factorización del trinomio de la derecha. Sucede igual para los otros productos notables estudiados antes: el desarrollo de su multiplicación se puede factorizar. Enestapartedel curso, seestudiarándiversasformasdefactorizar polinomios. La primera es la factorización por factor común. Factorización por factor común En esta factorización de un polinomio, se inspecciona el polinomio en cada uno de sus términos, y se deducen los máximos comunes divisores de los coeficientes numéricos y los literales respectivamente. Ejemplos • 2 10x 20ax 10x( 1 2ax ) + · + • 2 8 3 6 2 6 2 18ax 27ax 9ax( 2x 3a ) − + · − − Al desarrollar la multiplicación del resultado factorizado, debe obtenerse el polinomio original: 2 10x( 1 2ax ) 10x 20ax + · + . • 100 40 50 80 50 40 50 40 40 50 40 10 100x y 250x y 50x y 2x 2y 27a 36a 9a 3 4a | ` − · − . , • 2a 2 a 1 a 1 a 1 35x 14x 7x ( 5x 2 ) + + + + − · • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 6 2 6 6 3 ax ax ax ax ax ax 1 ] + · + · + ] ] • 100 150 100 50 25 10 10 15 40a 25a 5a 8 5a 34b 51b 17b 2b 3 | ` − − · − + . , La factorización permite, en ocasiones, reducir expresiones algebraicas: • 8 10 8 2 15x 15x 45x 6x 3x + · − ( ) 2 x 3 3x + ( ) ( ) ( ) 7 2 5x x 3 2x 1 2x 1 + · − − 112 Seacostumbraextraer unfactor comúnnegativoparaquelaexpresióndentrodel paréntesis asuma signos positivos. Regla para factorizar literales Se puede ver que,se toma la variable con el exponente más pequeño de las literales comunes. Ese es el máximo divisor común para las literales. Actividades de aprendizaje A. Resuelvan los ejercicios siguientes reuniéndose en grupos. Comparen sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro. Factoricen cada expresión siguiente mediante un factor común. 1.2 20 + ·2.15 45 − ·3.25 250 + · 4.4 8 − − · 5.12 15 − + ·6.450 1800 − ·7.280 14 − − ·8. 2 18 15 3 + · 9. 4 18 3 21 − · 10. 6 24 15 5 − − · 11. 2 12x 3x + · 12. 3 7 y 28y + ·13. 4 6 45a 15a − · 14. 10 8 50a 40a − · 15. 100 50 27 p 108 p − · 16. 35 7 56q 28q − − · 17. 38 24 350a 75a − − · 18. 4 2 5 80ab 40a b − + · 19. 5 8 3 5 66b c 11b c − · 20. 4 2 9( 1 x ) 27( 1 x ) − − − · 21. 12 10 30( x 3 ) 45( x 3 ) + − + · 22. 5 10 3 15 5x( a b ) 15x ( a b ) + − + ·23. 9 6 15 30 25x( a b ) 10x ( a b ) − + − + · 24. 9 7 7 10 12a( x 4 ) 2a ( x 4 ) − + − + ·25. 90 80 120 50 70a ( x 2 ) 35a ( x 4 ) − + + + · 26. 4 5 12 2 7 10 8 8 15 60a b ( a 2 ) 15a b ( a 2 ) 45a b ( a 2 ) − − − + − · 27. 90 56 70 90 50 50 20a ( x 8 ) 80a ( x 8 ) 60a ( x 8 ) − − − − − − · 28. 5 10 15 10 8 20 15 8 30 56xy ( a 1) 8x y( a 1) 28x y( a 1) − + − + + + · 29. 10 60 10 50 15 80 100c ( c 2 ) 25c ( c 2 ) 75c ( c 2 ) + − + + + · 30. 70 35 50 40 40 50 35x ( 2 x ) 7x ( 2 x ) 28x ( 2 x ) − − − − − − · 31. 3 x x + · 32. 5 3 4 x 8 x + · 33. 7 11 x x − − · 34. 5 3 7 8 x 4 x 16 x − + − · 35. 3 5 12 ( 1 x ) 24 ( 1 x ) − − + − · 36. 4 3 2 6 10 2 6 5 9a b x 3a b x 6a b x − + + · 37. 10 60 7 20 40 9 70 80 5 33a b x 22a b x 55a b x − + · 38. 500 15 9 700 40 3 850 200 7 75a b x 25a b x 55a b x − + · 39. 5 6 3 7 11 2 13 15 5 144a b x 288a b x 60a b x − + · 40. 54 67 13 45 70 25 67 38 14 65a b x 13a b x 117a b x − − + · 113 41. 3 4 x x 15 45 + ·42. 40 20 2x 4x 35 7 − + · 43. 3 25 75 a a + · 44. 70 90 30 15 a a − ·45. 3 10 8 x x a a + · 46. 3 7 7 3 10ax 20ax 9 27 + · 47. 6 20 7 15 8 12 ax ax 30b 15b − − ·48. 66 11 10 6 4x 8x 55a 121a − − · 49. a 2 a x x + + · 50. 4a 2 8a 2 x x + + − · 51. 1 a 2 a 3x 9x − − + · 52. 4 x 2 x 6 x 28a 56a 14a + + + − − · 53. 4b 10 6b 6b 5 12a 6a 18a + + − − − · 55. 2x 5x 2x 2 4x 1 4x 6 x 60a x 120a x 150a x + + − − · 55. 2x 2a 4x 2a 2x 2a 14x 56x 7x + + − − − − · B. Aplicando factorización reduzcan las fracciones algebraicas siguientes. 1. 4x 4 4x + 2. 10 3 3 5 2x 20x 2x 12x − + + 3. 4 6 4 10x 100x 20x − 4. 100 200 100 50 45x 9x 9x 18x − + − 5. 30 50 60 30 20x 60x 20x 40x + + 6. 25 35 24 25 25x 15x 35x 45x + − 7. 5 4 2 26x 39x 26x 13x + − 8. 3 5 8 10 250x 125x 20x 100x + + 9. 7 35 12 8 48x 6x 12x 18x − + 10. 4 3 5 6 8x 4x 12x 16x − − − − 11. 10 35 28 24 56x 49x 21x 28x − − 12. 2 4 5 8 18x 54x 36x 45x − − − 13. 2 1 4 5 12x 60x 15x 60x − + + 14. 6 3 7 10 68x 17x 34x 68x − + − − 15. 5 3 10 12 44x 4x 24x 6x − − − − 16. 6 5 4 6 4x 2x 32x 8x − + + 17. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 8 x 1 4 x 1 x 1 x 1 + − + + + 18. ( ) ( ) ( ) 10 8 2 253a 2 503a 2 103a 2 − + − − 19. ( ) ( ) ( ) 3 2 4 12 x 1 24 x 1 36 x 1 − + − + + 20. ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 2 4 302x a 152x a 122x a 32x a − + − + + + + Factorización en productos notables Lee acerca de la idea Factorizar. Como se dijo, factorizar o factorar una expresión algebraica es convertirla en un producto de factores. El desarrollo de los productos notables genera polinomios que tienen también nombre propio, y que se factorizan en productos notables: Producto notable Producto Polinomio notable Binomio al cuadrado 2 ( x a ) + 2 2 x 2ax a + + Trinomio al cuadrado perfecto Binomios conjugados ( x a )( x a ) + − 2 2 x a − Diferencia de cuadrados Binomio con término diferente ( x a )( x b ) + + 2 x ( a b )x ab + + + Trinomio suma/producto Binomio al cubo 3 ( x a ) + 3 2 2 3 x 3x a 3xa a + + + Cuatrinomio combinatorio de un cubo 114 Suma y diferencia de cubos 3 3 x y + 3 3 x y − ( ) ( ) 2 2 x y x xy y + − + ( ) ( ) 2 2 x y x xy y − + + Detal manera, cuandosereconoceunpolinomionotable, sepuedefactorizarenun producto notable. Ejemplos Factorizar los polinomios siguientes: • 2 2 x 16x 64 ( x 8 ) + + · + : trinomio al cuadrado perfecto • 2 2 x 6x 9 ( x 3 ) − + · − : trinomio al cuadrado perfecto • 2 x 4 ( x 2 )( x 2 ) − · + − : diferencia de cuadrados • 10 6 20 5 3 10 5 3 10 16a x y ( 4ax y )( 4ax y ) − · + − :diferencia de cuadrados • 2 x 6x 8 ( x 4 )( x 2 ) + + · + + :trinomio suma/producto • 2 x 8x 20 ( x 10 )( x 2 ) − − · − + : trinomio suma/producto • 3 2 3 x 6x 12x 8 ( x 2 ) + + + · + : cuatrinomio combinatorio de un cubo • 3 2 3 x 12x 48x 64 ( x 4 ) − + − · − : cuatrinomio combinatorio de un cubo La cuestiónes cómoreconocer cada casopara factorizar correctamente.Nosotros proponemos la siguiente. Regla para factorizar algunos trinomios o diferencias de cuadrados: Sebuscaqueexistandosnúmerosquesumados o restados denel coeficiente del término lineal (o central), y que multiplicados arrojen el término independiente: 2 x 2x 10 ( x 5 )( x 2 ) − − · − + -5x+3x=-2x Dos números sumados/restados dan -2 -5(2)=-10Dos números multiplicados dan -10 4 2 2 x 100 ( x 10 )( x 10 ) − · + − 2 2 10x 10x 0 − + · Dos números sumados/restados dan 0 10( 10 ) 100 − · − Dos números multiplicados dan 100 2 2 x 18x 81 ( x 9 ) ( x 9 )( x 9 ) − + · − · − − -9-9=-18Dos números sumados/restados dan -18 -9(-9)=81 Dos números multiplicados dan 81 Además: un trinomio al cuadrado perfecto tiene dos cuadrados perfectos: 2 2 x 20x 100 ( x 10 ) + + · + , implica: 2 x x · y 100 10 · . Esta información debe revisarse para saber de qué trinomio se trata y saber qué resultado deberá suceder. 115 Para factorizar el cuatrinomio combinatorio de un cubo, se revisa lo siguiente. Suponer: 3 2 x 6x 27x 27 − + − : • Deben existir dos cubos perfectos: 3 xy -27. • Se extrae la raíz cúbica de cada uno de ellos: 3 3 x x · y 3 27 3 − · − • Se escribe el binomio al cubo con esos resultados respetando su signo: 3 ( x 3 ) − . • Se comprueba la respuesta desarrollando el cubo: 3 3 2 ( x 3 ) x 6x 27x 27 − · − + − .Sicoincide conel cuatrinomio,seha factorizado correctamente. Actividades de aprendizaje Resuelvanlosejerciciossiguientes reuniéndose en equipos.Comparen susresultados con los de algunos otros compañeros. Si no concuerdan revisen su procedimiento. Ante alguna duda, acudan con su maestra o maestro. A. Factoricenlossiguientestrinomiosobinomiosydiganencadacasodequétipo notable es. 1. 2 x 4x 4 + + · 2. 2 x 8x 16 + + · 3. 2 x 8x 12 + + · 4. 2 x 10x 16 + + · 5. 2 x 10x 25 − + · 6. 2 x 12x 36 − + · 7. 2 x 14x 49 + + · 8. 2 x 4x 21 − − · 9. 2 x 18x 72 + + · 10. 2 x 14x 49 + + · 11. 2 x 24x 144 − + · 12. 2 x 2x 3 − − · 13. 2 x 40x 400 + + · 14. 2 x 16x 60 + + · 15. 2 x 13x 42 + + · 16. 2 x 5x 14 + − · 17. 2 x 8x 20 + − · 18. 2 x 30x 225 + + · 19. 2 x 26x 169 − + · 20. 2 x 30x 200 + + · 21. 2 x 12x 220 + − · 22. 2 x 22x 121 − + · 23. 2 x 36x 324 + + · 24. 2 x 2x 120 + − · 25. 2 x 36x 324 − + · 26. 2 x 6x 16 − − · 27. 2 x 10x 75 − − · 28. 2 x 13x 30 + + · 29. 2 x 8x 9 − − · 30. 2 x 15x 16 + − · 31. 2 x 38x 361 − + · 32. 2 x 70x 1225 + + · 33. 2 x x 2 − − · 34. 2 x 2x 3 − + · 35. 2 x 2x 10200 + − · 36. 2 x 4x 320 − + · 37. 2 x 32x 256 + + · 38. 2 x 8x 560 + − · 39. 2 x 42x 441 − + · 40. 2 x 20x 600 − + · 41. 2 x 9 − · 42. 2 x 81 − · 43. 2 x 100 − · 44. 2 x 49 − · 45. 2 x 25 − · 46. 2 x 121 − · 47. 2 x 400 − · 48. 2 x 289 − · 49. 2 16x 100 − · 50. 2 49x 16 − · 51. 2 2 4x 9a − · 52. 4 12 25x a − · 53. 4 2 2 ax y − · 54. 6 2 4ax 9 − · 55. 8 4 6 x 4ay − ·56. 2 x 100 4 − · 57. 20 2 x 81 a − · 58. 2 x 25 100 − · 59. 30 2 a x 9 16 − ·60. 22 2 50 9a b x 64 121 − · 61. 12 4 2 12 9 a bx a − ·62. 26 14 36 80 100a x y x − · 116 63. 4 ( 1 x ) 81 − − ·64. 36 2 ( 1 x ) ( 1 x ) + − − ·65. 18 10 81 ( 1 x ) x − − · 66. 2a ( 1 x ) 9 4 + − ·67. 24 6 x 4( 2 x ) 49a 100 + − ·68. 8a 2a 2a 2 ( 1 x ) y a + − − · 69. 20b 2b 36 ( a b ) ( a b ) − + · + 70. 4b 10b 4b 2 2 9a 64( a b ) ( a b ) 25 + + − · + 71. ( ) 4 x 121 − · 72. ( ) 6 x 49 − · 73. ( ) 8 10 4 x 4 a b + − · 74. ( ) 2 16 x 16 9x − − ·75. 12 x 100 4 | ` − · . , 76. 4 x 2 64 x 2 | ` + − · + . , B. Factoricen los polinomios siguientes. 1. 3 2 x 3x 3x 1 − + − · 2. 3 2 x 6x 12x 8 − + + · 3. 3 2 x 12x 48x 64 + + + · 4. 3 2 x 27x 243x 729 − + − · 5. 3 2 x 30x 300x 1000 + + + · 6. 3 2 x 24x 192x 512 − + − · 7. 3 2 x 60x 1200x 8000 + + + · 8. 3 2 x 60x 1200x 8000 − + − · 9. 3 2 x 45x 675x 3375 + + + · 10. 6 4 2 x 6x 12x 8 + + + · 11. 12 8 2 x 3x 3x 1 − + − · 12. 3 3 2 2 ax 12ax 12ax 8 + + + · 13. 3 3 2 2 bx 12bx 48bx 64 + + + · 14. 6 3 4 2 2 ax 18ax 108ax 216 − + − · 15. 3 18 10 4 5 2 ax 9a x 27ax 27 + + + · 16. 3 18 2 12 6 ax 15ax 75ax 125 − + − · 17. 3 2 1 3 3 x x x 1 8 4 2 + + + · 18. 3 3 2 2 1 3 ax ax 3ax 8 64 8 + + + ·19. 6 4 2 1 9 27 x x x 27 125 25 5 − + − · 20. 9 3 6 2 3 1 4 ax ax 16ax 64 27 3 + + + · C. Factoricen las sumas o restas de cubos que se les dan e seguida. 1. 3 a 8 + 2. 3 a 8 − 3. 3 a 125 − 4. 3 a 1000 + 5. 3 8a 27 − 6. 3 3 27a x + 7. 3 3 3 64ax 8y +8. 3 9 216 x 8b + 9. 6 6 343x y −10. 12 6 512b 125c − 11. 15 21 8x y 8 +12. 1 3 8 a 729b − 13. 8 1 27 8 27x y − 14. 1 18 64 x 1728y − 15. 6 9 1 a y 8 +16. 3 21 8 y b 27 − 17. 9 3 64 1 a y 27 8 −18. 3 9 9 ay 64a 125 + 19. 36 27 9 a x 27 y 1331 512 + 20. 30 3 3 3 x y a b −21. 15 3 6 8x 125 27a b +22. 3 6 3 3 6 64ax x b b − D. Reduzcan las expresiones algebraicas siguientes aplicando factorización. 117 1. ( ) 2 x 4x 4 4 x 2 + + + 2. 2 2 x 4x 12 x 3x 2 − − + + 3. 2 2 x 12x 32 x 2x 8 + + + − 4. 2 2 x 2x 3 x 3x 4 + − + − 5. 2 2 x 7x 10 x 2x 15 − + − − 6. 2 2 x 5x 6 x 7x 6 + − + + 7. 2 2 x 7x 30 x x 6 + − − − 8. 2 2 x 64 x 6x 16 − + − 9. 2 2 x 6x 9 x 4x 3 + + + + 10. 2 2 x 10x 25 x x 30 − + + − 11. 2 2 x 16x 64 x 2x 80 + + − − 12. 2 2 x 49 x 5x 14 − − − 13. 2 2 2 2 x 4a x 4ax 4a − − + 14. 2 4 2 2 4 x p x 2xp p − + + 15. 2 2 4a 12a 9 4a 9 + + − 16. 2 2 4a 16 4a 16a 16 − − + 17. 2 2 x 64 x 7x 8 − + − 18. 2 2 4x 9 4x 12x 9 − − + 19. 2 2 25x 4 25x 20x 4 − − + 20. 6 6 3 100x 16 100x 80x 16 − − + Factorización especial Descomposición de factores de la forma 2 ax bx c + + Lee acerca de la idea Como no todos los trinomios o cuadrinomios proceden de productos notables fácilmente detectables, es necesario conocer otras técnicas de factorización para otros casos. Eso es lo que se enseña ahora. Ejemplo: factorizar 2 2x 13x 6 + + . Técnica: • Se multiplica el trinomio por el coeficiente de 2 x : o ( ) 2 2 2 2 22x 13x 6 2x 2( 13x ) 2( 6 ) ( 2x ) 13( 2x ) 12 + + · + + · + + • Ésta expresiónse factoriza buscandodos números que sumados den13y multiplicados 12: 1 y 12. • Entonces: 2 2x 13x 6 ( 2x 1)( 2x 12 ) + + · + + • Comosealteróel trinomiooriginal multiplicandopor 2, debe dividirse el resultado entre 2: ( 2x 1)( 2x 12 ) 2x 12 ( 2x 1) ( 2x 1)( x 6 ) 2 2 + + + · + · + + • Conclusión : 2 2x 13x 6 ( 2x 1)( x 6 ) + + · + + Actividades de aprendizaje Resuelvanlosejerciciossiguientes reuniéndose en equipos.Comparen susresultados antesdedarla respuestadefinitiva.Sitienenalgunaduda,acudanconsumaestrao maestro. Factoricen los trinomios siguientes. 1. 2 3x 4x 1 + + · 2. 2 2x 7x 3 + + · 3. 2 4x 7x 2 + − · 118 4. 2 2x x 1 − − · 5. 2 2x 2x 4 + − · 6. 2 2x x 6 + − · 7. 2 4x x 3 − − · 8. 2 3x 7x 2 + + · 9. 2 5x 24x 5 + − · 10. 2 6x 9x 6 − − · 11. 2 4x 17x 15 + + · 12. 2 6x 15x 9 − − · 13. 2 4x 11x 6 − + · 14. 2 5x 33x 18 + + · 15. 2 8x 17x 21 + − · 16. 2 7x 43x 42 − − · 17. 2 3x 35x 72 + + · 18. 2 8x 33x 4 − + · 19. 2 10x 97x 63 + + · 20. 2 7x x 30 − − · 21. 2 5x 33x 56 − − · 22. 2 8x 24x 16 − + · 23. 2 6x 48x 120 − − · 24. 2 9x 98x 120 − − · 25. 2 12x 129x 180 − − · 26.3x² - 19x+20 27.5x²+58x-24 28.8x² - 31x - 4529.12x²-148x-10430. 8x²-6x-54 Ecuaciones lineales Lee acerca de la idea Una ecuación lineal es aquélla cuyo grado es 1. Por ejemplo, la ecuación de una recta: 4x 2x 3 0 − + · . Igualmente, laecuacióndeunplano, como 2x 3y 5z 0 − + · , esuna ecuación de primer grado; el motivo ya se ha mencionado: cada término con literales es de grado 1. En éste curso, se estudiará el comportamiento de ecuaciones de primer grado pero sólo con una o dos variables: • 2x 10 8 4x − · − • x 1 3 3x 12 + · − − • x 3y 3 0 − + · • y 2x 6 · − Sobreesecomportamientodelas ecuaciones deprimer grado, es nuestroobjetivo calcular las incógnitas, hallar las soluciones de las ecuaciones. Solucióndeunaecuación. Esel valordelaolasvariablesquehacenverdaderao correcta la igualdad en una ecuación. Ejemplos de solución de una ecuación • Si se resuelve la ecuación2x 4 0 + · , x=2 es la solución de la ecuación, pues se cumple que2( 2 ) 4 0 + · • La solución de la ecuación16 2x 8 4x − · − +es x=4, porque sólo así la igualdad es correcta:16 2( 4 ) 8 4( 4 ) − · − + :8 8 · . • Las soluciones del sistema de ecuaciones x y 2 − · y 3y x 8 − · , son x=6 y y=4, porque6 4 2 − ·y3( 4 ) 4 8 − · . Miembro de una ecuación.Toda ecuación tiene dos miembros: izquierdo y derecho. Por ejemplo, en la ecuación10x 2y 6 3y − · − , el miembro de la izquierda es10x 2y − , y6 3y −es el miembro derecho. 119 Grado de una ecuación. Es el mayor exponente de una incógnita en una ecuación. Por ejemplo, 2 2x x 3 0 + − · es una ecuación de segundo grado, pero 2 3 1 2x 3x 0 − + · es una ecuación de tercergrado. Por eso, una ecuación como4x 2y 1 3 6 y x − + − · + − es una ecuación de primer grado, aunque con dos variables. Ecuaciones lineales. A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales. En seguida se dan varios ejemplos de casos en que ocurren ecuaciones lineales. Perímetro. La ecuación del perímetro, P, del terreno de una granja. P 15.5x 380 · + , es una ecuación lineal. Planteos. La edad de Elena, e, es 5 veces mayor que la edad de Miguel, m, pero ambas suman 60 años: e 5m e m 60 · ¹ ' + · ¹ . Las dos ecuaciones son lineales. Relaciones proporcionales.El litro de aceite cuesta en un expendio 8.90 pesos, entonces, cualquier cantidad en pesos, p, por cualquier volumen de compra en litros, l, se escribe comop 8.90l · . Líneas rectas enel plano. La ecuacióndeunarectaenel planotiene la forma y mx b · + , donde m representa una medida de su inclinación y b es la ordenada del punto de la recta que corta al eje y. Véase el gráfico siguiente. Despeje de la incógnita Lee acerca de la idea Cuandounaecuaciónes deprimer grado, odeungradomayor conunaovarias incógnitas, se sigue el procedimiento llamado despeje para calcular la solución. 120 2x 4.5x 3x 6x 200 180 La técnica del despeje de una incógnita se basa en el uso de operaciones inversas. Las operacionesinversas“se anulan” mutuamente. Por ejemplo, para “anular” la adición, hayquerestar, paraanularlamultiplicación hay que dividir, etcétera. En seguidase muestra una tabla en que se comparan las operaciones inversas. Comparación de operaciones inversas Operación Inversa Suma + - Resta Resta - + Suma Multiplicación × ÷ División División ÷ × Multiplicación Potencia dos 2 a a Raíz cuadrada Raíz cuadrada a 2 a Potencia 2 Potencia n n a n a Raíz n-ésima Raíz n-ésima n a n a Potencia n Al aplicar las operaciones inversas en el proceso de despeje de una incógnita, se usan laspropiedadesdelaigualdad, queexpresan que unaigualdades verdaderasi sus miembros son idénticos, y si algo se haceen un lado, para que la igualdad permanezca debe hacerse en el otro lado, así sea sumar una cantidad real o una variable, restarla, multiplicar o dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz. Ejemplos 1. Hallar la solución de la ecuación lineal+ · 4 6 x . Se restan cuatro unidades a ambos lados de la igualdad:+ − · − 4 4 6 4 x , entonces: + · − 0 6 4 xy· 2 x . En la secundaria se suele enseñar de la manera siguiente, mediante el método de transposición. Dada+ · 4 6 x , “como 4 suma a la izquierda, pasa restando a la derecha porque esa es la operación inversa de la suma”, y por tanto: “ · − · 6 4 2 x .” A este proceso se le llama transposición. 2. Hallar la solución de la ecuación lineal− · − 5 2 3 10 x x . − · − − − · − − 5 2 3 10 2 3 10 5 x x x x 3x , está sumando, y se transpone al miembro de la izquierda restando: la operación de suma se deshace del miembro de la izquierda mediante la resta; y5se transpone a la derecha restando. Así se obtiene: − · − 5 15 x 121 Como−5 multiplica a x, se deshace esa operación mediante la división. Por ello la solución de la ecuación es − · − − · · − 5 15 15 3 5 x x . Comprobación:− · − 5 2 3 10 x x ;− · − 5 2 3 10 x x − · − 5 6 9 10; -1=-1. 3. La fórmula· + 9 32 5 F Cse usa para calcular la temperatura en grados Fahrenheit cuando se conoce la temperatura en grados Celsius. Cuando la temperatura es la misma en ambas escalas,· F C . Sustituyendo por da como resultado la ecuación · + 9 32 5 C C : una ecuación lineal con una sola incógnita. En· + 9 32 5 C C , aparece en ambos lados del signo de igualdad. Usa las propiedades de la igualdad y operaciones inversas para eliminar la variable de cada lado, se obtiene: · + 9 32 5 C C − · − 9 9 9 5 5 5 C C C : se restó 9 5 Cde cada lado. − · − + − · − · − · · · − − 9 9 9 32 5 5 5 5 9 32 5 5 4 160 32 4 5(32) 40 5 4 C C C C C C C C C C Interpretación: °C=°F, en -40°C. La técnica de despeje se aplica también, como se mencionó, para hallar las soluciones de ecuaciones de grados mayores que 1. 4. Hallar la o las soluciones de la ecuación · 2 4 x . Esta ecuación es cuadrática, de grado 2, y tiene dos soluciones: Como · ⋅ 2 x xx , la x puede ser x=2 o x=-2. Por eso, aplicando la operación inversa de la potencia 2, la raíz cuadrada, para despejar x, se obtiene: · · t · + · − 2 1 2 4 4 2 2 x x x x Estas son las soluciones matemáticas. 5. Hallar la o las soluciones de la ecuación + · − 2 6 5 x x . 122 Laecuacióneslineal. Primero, el 5quedivide, sedeshacemultiplicandopor 5el miembro de la derecha, luego se desarrollan las operaciones naturales que ocurren. Se puede transponer al miembro de la derecha la x: + · − + · − + · − · − · 2 6 5 2 5( 6) 2 5 30 32 5 32 4 x x x x x x x x x De tal manera: x=8. 6. Resolver + · 3 3 4 8 x x . Para eliminar la raíz cúbica en ambos lados de la igualdad, se elevan ambos miembros a la potencia 3: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 8 4 8 x x x x x | ` + · · . , + · . La potencia 3 deshace a la raíz cúbica. En seguida, se resuelve la ecuación+ · 3 4 8 x x : ( ) + · + − · 3 2 8 4 8 64 0 x x x x La forma como se obtienen las soluciones de estas ecuaciones se estudiará posteriormente. 7. Despejar la variable x en la ecuación · 3 4 y x . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 6 6 6 4 4 4 4 4 y x x y x xy x y | ` · · . , · · · Actividades de aprendizaje 123 Reúnanse etrabajaren equipos,y resuelvan lo que se les pide en seguida. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro. A. Resuelvan, mediantelatécnicadel despeje, lasecuaciones linealessiguientesy comprueben el resultado. 1.− · 12 2 x2.+ · − 8 2 x3.− · − 5 2 x4.+ · 4 1 x 5.+ · − 6 4 x6.· 2 10 x7.− · 4 16 x8.− · − 2 10 x 9.· + 6 10 20 x10.− · − + 5 12 2 x 11.− · 10 4 16 x 12.− + · − 3 15 3 x 13.− · 1 2 x 14.− · 2 6 20 x 15.− · − 4 21 x x16.− + · − 8 30 5 x x17.− · 12 5x x 18.− · − 4 8 3 x x 19.− · + − 2 2 4 8 x x x 20.− + − · − 3 4 6 2 5 x x x 21.+ − · − + − 2 8 7 5 2 8 x x x x 22. + · 2 2 5 x 23. − · − 4 2 10 x 24. − · − − 5 1 3 x 25.· + 1 1 1 x 26. − · − 3 3 4 x 27. − · 2x4 2 5 28.· − 4 2 1 x 29. − · − − 12 4 4 x 30. − · − 2 7 1 3 2x 31. · + 2 2 2 x 32.· + 3 1 3 3 x 33. ( ) − · + 2 2 3 3 x 34. ( ) − · − 3 1 7 14 1 x 35. − · − + 1 4 2 3 3 3 x 36. + · + 1 1 2 x x 37. − · + 1 2 4 x x 38. − · 2 8 2 3 3 x x 39. − − − · − 2 6 2 4 4 3 x x 40. ( ) − − · − 2 2 5 1 3 2 3 x x 41. ( ) − · − + − − 4 3 12 5 2 x x 42.( ) ( ) − + − · + − 2 4 1 3 2 3 5 2 x x x x x 43.( ) ( ) ] − − − − · ] 5 2 3 4 4 3 3 x x x x 44.( ) ( ) ] − + − − · − − + − ] 4 2 3 5 2 2 x x x x x x 45.( ) ( ) ( ) − + − · + − + 3 1 5 1 2 3 1 x x x x 46.( ) ( ) ] − − − + − − − − · ] 6 12 3 5 2 2 6 4 10 0 x x x x 47.( ) ( ) ] − − + − − − · − ] 4 1 2 3 3 7 10 2 7 12 x x x x x 48.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]] − − − − − + + · − − − − + − ]] 2 3 2 5 3 4 6 4 2 9 3 3 4 3 x x x x x x x 49.( ) ( ) ( ) ] − − + + − + − · − + − − + ] 4 3 3 6 2 4 2 6 3 5 2 6 x x x x x x x x x 50. ( ) ( ) ( ) ] − − + + ] ] · − − − ] 3 2 1 6 2 2 3 4 5 3 2 3 x x x 124 B. Hallenelvalordelaincógnita x en los casos siguientes.Apliquenla técnicadel despeje. 1. · 2 25 x 2. · 2 100 x 3. · 2 4 12 x 4. − · − 2 5 100 x 5. · 2 6 216 x 6.· 2 1 4 x 7.· 2 16 1 x 8.· 2 98 2 x 9. − · 2 12 4 x 10. − + · 2 15 115 x 11. · 4 2 6 12 x x 12. · 3 4 64 x x C. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la técnica del despeje. 1. · 4 16 x : ¿se debe escribir elt ? 2. · 3 8 x : ¿se debe escribir elt ? 3. + · − 3 2 6 10 x 4. + · 1 2 x 5. − · 2 2 x 6. − · 2 6 x 7. · − 4 20 4 x 8. − · 4 2 x 9. · − 6 3 x 10. + · 4 x x 11. − − · − 2 2 1 x x 12. − − + · 2 4 0 x x 13. · − + − 0 4 2 3 2 1 x x 14. − · − 1 4 1 x 15. · − 30 5 2x 16. · + 1 2 x5 x 17. · + + 6 3 2 3 1 x x 18. − · − + 10 2 1 2 3 x x 19. · 2 24 x 20. ( ) − · 3 5 9 x 21. ( ) − − · 5 2 15 x 22. − · 3 3 2 3 x x 23. − · 3 3 16 3 x x 24. − · 3 2 4 x 25. + · + 3 3 2 2 4 3 x x 26. | ` + · . , 3 1 2 4 x 27. | ` + · + . , 3 16 22 30 2 10 x 28. ( ) − · + 3 51 3 4 x 29. ( ) ( ) + · − 4 4 1 1 2 1 x x 30. ( ) − · 5 3 2 32 x D. Despejen la variable x de las siguientes ecuaciones. 1.+ · 2 8 2 x y2. · 2 2 4 x y 3.− · 6 4 8 y x y 4.· 4 4 2 y x x 5.· 2 16 x xy 6. ( ) + − · 2 4 3 1 16 0 xy 7. · 1 y x 8. · 4 2 3 y x 9. · 16 5 25 xy y 10. · + 2 4 1 a x 11. · 3 2 2 x 12. · 3 4 2 6 y xy 125 13. | ` · . , 3 3 3 4 2 x x y y 14. ( ) · + 3 3 2 3 1 y x 15. · + 1 1 4 y x 16. · − 10 1 2 y x 17. · + 1 1 1 x y 18. − · 2 4 8 0 x x 19. · + 5 1 4 x 20. · + 1 4 4 y x 21. 2 2πa x a b | ` . , · 22. 2 2 1 a y a x · − 23. 3 1 at y ax c · | ` + . , 24. 2 2 1 a a y b x | ` · − . , 25. 2 1 1 b a D a x · | ` + . , Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones simultáneas de primer grado Lee acerca de la idea Ecuaciones lineales con dos variables y su gráfico Una ecuación puede tener dos incógnitas, y ser lineal: 1. 2 4 0 x y − + · : ecuación implícita 2. 6 y x · − − :ecuación explícita Laecuación1sellamaimplícita, porque nohayvariabledespejada. Lasegunda ecuaciónsellamaexplícita, porquelavariableysehadespejadoysevecómola variable x la explica. Estas ecuaciones, al graficarlas, producen líneas rectas. Para graficar una línea recta, sólo hacen falta dos puntospara graficar en el plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si se quiere graficar la recta2 y x · + , se dan a x valores arbitrarios, por ejemplo: Valor arbitrario Sustitución Par ordenado x=-1 2 1 2 1 y x · + · −+ · ( ) 1,1 A− x=3 2 3 2 5 y x · + · + · ( ) 3, 5 B 126 Los pares ordenados se dibujan en el sistema de ejes y se traza la recta que pasa por los puntos A y B: Línea recta: ecuación de primer grado -12 -11 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y 2 y x · + A (-1, 1) B (3, 5) Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas Lee acerca de la idea Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son simultáneas si tienen la misma solución. Por ejemplo, el siguiente sistema de dos ecuaciones: 4 2 1 x y y x − · ¹ ' − · − ¹ Representa un sistema de ecuaciones simultáneas porque six=7yy=4, las dos igualdades son verdaderas: 7 3 4 2(3) 7 1 − · ¹ ' − · − ¹ La solución de ese sistema es, pues: x=7 y y=4. La solución de un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos incógnitas es el par de valores de esas incógnitasque hacen verdaderas a ambas igualdades o ecuaciones. Dos ecuaciones de primer grado que tienen dos incógnitas, se pueden resolver o hallar su solución siempre y cuando: a) No sean paralelas b) No sean coincidentes. • Si dos rectasson paralelas , nunca se cruzan, por eso no tienen solución 127 alguna. • Si dos rectas soncoincidentes oequivalentes , o sea, si está una sobre la otra en todos sus puntos, las rectas tienen un infinito de soluciones. Para que dos rectastengan solucióndebe suceder que se cortan en un único punto. Las coordenadas de ese punto, son la solución, esto es: La solución del sistema de ecuaciones siguiente: 1 3 3 x y x y + · ¹ ' − − · ¹ Se puede obtener de dos formas: a) Gráficamente: trazando las rectas y observando dónde se cruzan. Pero este método no es exacto. b) Analíticamente: utilizando un proceso algebraico. En seguida se muestra el gráfico de las dos rectas: Solución de un sistema de ecuaciones lineales -12 -11 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y y =1 - x y = - 3x - 3 P (-2, 3) Solución La solución del sistema está, al parecer en P (-2, 3). Métodos analíticos de resolución de ecuaciones Lee acerca de la idea Existen varios métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos: a) Por sustitución b) Por igualación c) Por suma o resta. 128 En seguida se muestra el primer caso. Resolución de ecuaciones simultáneas por sustitución Aprende la idea Resolver el sistema de ecuaciones: 1 3 3 x y x y + · ¹ ' − − · ¹ , utilizando el método de sustitución, implica: Paso 1. Se inspecciona el sistema de ecuaciones y se decide despejar una incógnita en caso de que no esté así, ya despejado en alguna:se desea tener al menos una ecuación en forma explícita. Paso 2. Se sustituye el valor despejado en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una sola incógnita. Paso 3. Se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas. Paso 4. Se sustituye el valor hallado de la incógnita en una de las dos ecuaciones, de preferencia en la que se ha despejado una variable. Se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita. 1: 1 2: 3 3 x y x y + · − − · . De la ecuación 1: se despeja y: 3: 1 y x · − Se sustituye en la ecuación 2:2: 3 3 x y − − · :3 (1 ) 3 x x − − − · . Se resuelve: 3 (1 ) 3 3 1 3 2 3 1 4 2 2 x x x x x x − − − · − − + · − · + · · − − . El valor de x es -2. Se sustituye en la ecuación 3:3: 1 y x · − :3: 1 ( 2) 1 2 3 y · −− · + · . La solución del sistema es: x=-2 y y=3. Comprobación 1: 1 2 3 1 2: 3 3 3( 2) 3 3 x y x y + · − + · ¹ − − · ' − − − · ¹ Actividades de aprendizaje 129 Reúnanse a trabajar en equipos de tres personas y contesten o resuelvan lo que se les pideenseguida. Comparensusrespuestasconlasdeotroscompañerosysi tienen alguna duda acudan con su maestra o maestro. A. Escriban en forma explícita cada recta siguiente y grafíquenlas. Pueden usar un solo sistema de ejes coordenados. 1.2 4 0 x y − − ·2.4 8 x y − − + 3.6 12 12 0 y x − + · 4.4 1 0 x y − + + · 5.4 2 8 0 x y − + + ·6.2 2 8 x y − · + 7.3 3 y x − · −8. 8 4 3 x y · − 9. 3 6 2 2 y x − · B. Grafiquen cada siguiente par de rectas en un sistema de coordenadas rectangulares y obtengan sus soluciones gráficamente. 1. 6 2 y x x y + · ¹ ' − · ¹ 2. 6 1 8 2 2 x y x y − · ¹ ' − · − ¹ 3. 5 2 2 2 x y x y − · ¹ ' + · − ¹ 4. 2 3 2 2 8 x y x y + · − ¹ ' − + · ¹ 5. 4 6 3 8 x y x y − · ¹ ' + · − ¹ 6. 2 4 2 3 x y x y + · ¹ ' − − · − ¹ 7. 2 2 3 2 1 x y x y − · ¹ ' − + · − ¹ 8. 2 4 4 3 5 2 x y x y + · − ¹ ' − − · ¹ 9. 3 2 19 10 2 6 x y x y − + · ¹ ' + · ¹ 10. 3 2 0 5 3 2 x y x y − · ¹ ' − + · ¹ C. Resuelvan analíticamente los sistemas de ecuaciones anteriores, aplicando el método de sustitución y comprueben sus resultados. D. Para cada sistema de ecuaciones siguiente, determinen si tienen o no soluciones y cuántas. Digan si las rectas son paralelas, equivalentes o simultáneas. Si son simultáneas, hallen su solución. Contesten además lo siguiente: a) Cuando son paralelas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales? b) Cuando son equivalentes, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales? c) Cuando son simultáneas, ¿en qué son diferentes? ¿En qué son iguales? 1. 2 2 y x x y + · ¹ ' − · ¹ 2. 2 2 2 8 y x x y + · ¹ ' − − · ¹ 3. 5 6 1 1 5 30 y x x y · − ¹ ¹ ' · + ¹ ¹ 4. 4 8 4 2 y x y x − · − ¹ ' · + ¹ 5. 4 1 2 8 2 x y x y − · ¹ ' − · ¹ 6. 1 2 4 x y x y − · ¹ ' − · − ¹ 7. 4 2 10 2 x y x y − − · ¹ ' − · − ¹ 8. 1 2 4 1 y x x y · − ¹ ' − · − ¹ 9. 4 12 12 3 3 x y y x − − · ¹ ' · − − ¹ 130 10. 5 2 14 8 2 20 x y x y − + · ¹ ' − · ¹ Resolución de ecuaciones simultáneas por igualación Aprende la idea En este método, igual que en el anterior, se aplica el principio de sustitución que dice: Si a=b entonces a puede sustituirse por b cada vez que se halle b. Resolver el sistema de ecuaciones 1: 4 13 2: 2 2 x y x y − · + · por el método de igualación implica lo siguiente: Paso 1. Se despeja una de las variables de las dos ecuaciones. Paso 2. Se iguala x=x o y=y. Paso 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita que se produce. Paso4. El valor halladosesustituyeenalgunadelas ecuaciones despejadas para encontrar el valor de la otra variable. Despejamos la incógnita x de ambas ecuaciones: 1: 13 4 x y · + 2: 2 2 x y · − Igualamos x=x: 13 4 2 2 y y + · − . Resolvemos: 13 4 2 2 4 2 2 13 6 11 11 6 y y y y y y + · − + · − · − − · Sustituimos en2: 2 2 x y · − : 11 2 2 6 17 3 x x − | ` · − . , · Solución: 11 6 y − ·y 17 3 x · . Comprobación: Sustituimos la solución en las dos ecuaciones: 131 17 11 1: 4 13 4 13 13 13 3 6 17 11 2: 2 2 2 2 2 2 3 6 x y x y − | ` − · − · · . , − | ` + · + · · . , Actividades de aprendizaje Trabajando en equipo, resuelvan los sistemas de ecuaciones lineales siguientes por el método de igualación. Comprueben sus soluciones. Si tienen alguna duda, pregunten a su maestra o maestro. 1. 1: 2 5 5 2: 3 2 1 x y x y − + · − · − 2. 1: 4 1 2: 4 15 x y y x + · − · 3. 1: 5 4 3 2: 2 3 x y y x − · − − · − 4. 1: 3 4 5 2: 4 6 1 x y x y − + · + · − 5. 1: 8 5 2 2: 2 1 x y y x − · − · − 6. 1: 1 2: 2 0.4 x y y x + · − · − 7. 1: 2 17 2: 2 3 8 x x x y − · + · 8. 1: 5 2 3.5 2: 3 4 7 x y y x + · − − · − 9. 1: 4 3 3.5 2: 2 4 1 x y y x − − · − − + · 10. 1: 10 2: 2 5 x y x y − · + · 11. 1: 3 6 2: 4 x y x y − · + · 12. 1: 4 2 2 2: 2 4 5 x y x y − · − − + · 13. 1:10 6 7 2: 5 2 5 x y x y − · + · − 13. 1: 6 4 2: 3 2 7 y x x y − − · − + · − 14. 1: 13 5 10 2: 8 y y x y − + · − · 15. 1: 8 3 1 2: 2 0.5 x y x y − · − + · − 16. 1: 5 1 2: 3 2 x y x y − + · − + · − 17. 1: 2 5 6 2: 5 3 4 y x x y − · − − + · − 18. 1: 7 8 2: 3 5 6 x y x y − − · − + · Resolución de ecuaciones simultáneas por el método de suma o resta Aprende la idea En este método, la reducción del sistema de ecuaciones se realiza como sigue. Supongamos que se desea hallar la solución del sistema: 1: 2 4 8 2: 1 x y x y − · + · Entonces, seobservaqueenlaecuación1laincógnitaxesel dobledelaxenla ecuación 2. Por tanto, se puede multiplicar la ecuación 2 por -2 y sumar esa ecuación a la 1: 132 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 x y x y − + · − − − · − 2 4 8 2 2 2 -6y=6 x y x y − · − − · − Por tanto: y = -1. Sustituyendo en la otra ecuación:2 4 8 x y − · : 2 4( 1) 8 2 8 4 2 4 x x x − − · ¹ ¹ · − ' ¹ · ¹ Por tanto: x=2. La solución es: x=2, y=-1. El método de suma o resta puede resumirse como sigue: Paso 1. Se inspeccionan las dos ecuaciones y se decide multiplicar una de ellas por un factor que permita, al sumar o restar las dos ecuaciones, hacer un cero. Paso 2. Se resuelve la ecuación lineal resultante. Paso 3. Se sustituye el valor de la incógnita hallada en alguna de las dos ecuaciones, se resuelve y se halla el valor de la otra incógnita. Actividades de aprendizaje Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de suma o resta. Comprueben sus respuestas. 1. 1: 4 12 2: 3 10 x y x y − · + · 2. 1: 7 2 2: 2 5 5 x y x y + · + · − 3. 1: 2 3 3 2: 3 23 x y y y − · − + · 4. 1: 2 6 2: 2 3 4 x y x y + · − + · − 5. 1: 3 7 2: 9 x y y x + · − − · 6. 1: 2 2: 5 4 14 x y x y + · − + · − 7. 1: 4 2 8 2: 8 5 38 x y x y + · − − · 8. 1: 5 2.6 2: 3 2 2.6 x y x y − · + · 9. 1: 2 2: 5 4.4 x y x y − · + · 10. 1: 2 4 5 2: 6 2 10 x y x y + · − · − 11. 1: 2 7 11.5 2: 3 10 7 x y x y + · − · 12. 1: 2 5 0.5 2: 3 4 x y x y − + · − · 13. 1: 2 3 8.5 2: 5 4 32.5 y x x y − + · − · 14. 1: 5 3 1.4 2: 3 2 3.5 x y x y + · − − + · 15. 1: 2 3 8.5 2: 5 4 32.5 y x x y + · − · 16. 1: 5 6 5.5 2: 2 4 5 x y x y + · − − · 17. 1: 3 5 0.8 2: 2 3 9.6 x y x y + · − − · 18. 1: 3 5 0.7 2: 4 2 3.4 x y x y − · − − · 133 19. 1: 2 5 5 2: 3 2 1 x y x y − + · − · − 20. 1: 7 3 9.2 2: 4 2 3.2 y x x y − · + · − Planteamientos con ecuaciones lineales Lee acerca de la idea Se pueden plantear problemas cuya información conduzca a situaciones sencillas construidas conecuaciones lineales. Esoes loqueseharáaquí mediantealgunos ejemplos. 1. Dos números sumados dan 43, pero la diferencia entre ellos es 3. ¿Cuáles son esos números? Planteamiento Los números son: x y y. La suma es 43: (1)43 x y + · . La diferencia entre ellos es 3: (2)3 x y − · . Entonces, despejandoxde(2): 3 x y · + . Aplicandoel principiodesustitucióny sustituyendo en (1): 3 43 y y + + · . De aquí: 3 2 43 y + · y2 43 3 y· − , obteniéndose: 2 40 y· y 40 20 2 y· · . Por lo tanto, sustituyendo en3 x y · + , se obtiene:3 20 23. x· + · Comprobación: 20 23 43 + ·y 23 20 3 − · . 2. Lasumadetres números enteros consecutivos es 159. Hallar el valor deesos números. El primer número es x, entonces los otros dos son: x+1 y x+2. Por lo tanto la suma es: x+x+1+x+2=3x+3=159. 3 3 159 3 159 3 3 156 156 52 3 x x x x + · · − · · · Por lo cual, los otros números son 53 y 54. Comprobación: 52+53+54=159. 3. La edad de Luis es tres veces la de Juan. Las dos edades suman 72 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? L es la edad de Luis, y J es la edad de Juan. Por eso: 134 3 72 J L J L · + · Por lo tanto: 3 L J · , y sustituyendo en la otra ecuación: 72 3 4 72 3 3(72) 54 4 L L L L + · · · · La edad de Luis es 54 años, y la de Juan 18. Comprobación: 3(18)=54; 54+18=72. Actividades de aprendizaje Reúnanse a trabajar en equipo y resuelvan los problemas siguientes. Comprueben sus resultados y compárenlos con los de sus compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestra o maestro. 1. La suma de dos números es 510 y su diferencia es 100. Calculen esos números. 2.Juan yManuel tienen 3230 pesos entre ambos. Manuel tiene 1200 pesos más que Juan. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 3. Dividir el número842endospartestalesqueel menor excedaal mayor en18 unidades. 4. La edad de José es 55 años menor que la de Miguel. Las edades suman 115 años. Hallar las edades. 5. Benito repartirá 1430 pesos entre sus dos hijos. El hijo A recibirá 70 pesos más que el hijo B. ¿Cuánto obtendrá cada uno? 6. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 189. 7. Tres números enteros consecutivos suman 312. Hallen esos números. 8. Cuatro números enteros consecutivos suman 98. Hallen esos números. 9. Se paga por el corte de un césped y el corte de las flores del jardín 1525 pesos. Por el corte de las flores del jardín se pagaron 400 pesos más que por el corte. ¿Cuánto se pagó por cada cosa. 10. La suma de tres números es 1580 pesos. El número mayor excede al del medio en 70 pesos y al menor en 150 pesos. ¿Cuáles son esos números? 11. Paraterminartrestrabajos,Israelrequirió250minutos.Elprimeronecesitó105 minutos y excede al primero en 40 minutos y al otro en 25. ¿Cuánto tiempo hizo para terminar cada trabajo? 12. La edad de María es cuatro veces la de Nina. Las edades suman 80 años. Calcúlenlas. 13. Se compra un patín, una bicicleta y un Ipot para regalar en navidad. Todo cuesta 3500 pesos. ElIpot costó el doble de la bicicleta y 4 veces lo que el patín. ¿Cuánto costó cada cosa? 14. Se repartirán 2450 pesos entre tres personas. La que manos recibe, tendrá 4 veces menos que la que más. La otra, recibirá la mitad que la que más. Calculen las cantidades que recibe cada una. 135 15. El mayor de dos números es 8 veces el menor. Si ambos se suman se obtiene 153. Calculen esos números. 16. La suma de dos números es 1278. Uno es 5 veces el otro. Calculen los números. 17. El tripledeunnúmeroesigual aesenúmeroaumentadoen1040. ¿Cuál esel número? 18. La edad de Alejandra es igual al cuádruplo de la edad de Juanita más 14 años. La suma de las edades es 84 años. Hallar las edades. 19. La edad de Luis es la mitad de la de Ramón; la de Pedro es 5 veces mayor que la de Luis. La suma de las edades de Pedro y Ramón es de 112 años. Calcular las edades. 20. Dividir 240 pesos en tres cantidades, tales que la primera sea un tercio la segunda y la segunda sea mayor en 40 pesos la tercera. 21. Se compra una mesa, un florero y un mantel por un total de 5200 pesos. La mesa cuesta 10 veces más que el florero y el mantel 150 pesos menos que el florero. Hallar el precio de cada uno. 22. La suma de tres números es 530. El segundo es tres veces mayor que el primero. El tercero es igual al doble del segundo aumentado en 30. Hallar los números. 23. Entre A y B tienen 670 pesos. B tiene el cuádruplo de A, más 20 pesos. Hallar el dinero que tiene cada uno. 24. Repartir 127 pesos entre A, B y C de tal forma que la parte de B sea 4 pesos menos que el doble de lo que tiene A, pero 30 pesos más que lo de C. 25. Ruiz recibe un pago de 400 pesos, y así, logra tener seis veces lo que traía en la bolsa más 25 pesos. ¿Cuánto traía en la bolsa? 26. Un rollo de tela se divide en dos largos. Uno de ellos es 4 metros menos largo que el resto. Halla la longitud de ambas partes si el rollo medía 55.5 metros. 27. Las edades de un padre y su hijo suman 145 años. La edad del padre excede a la del doble del hijo por 35 años. Hallar las edades. 28. Dosángulossuman180°. Unánguloesigual alastresquintaspartesdel otro. Hallen las medidas de los ángulos. 29. La suma de dos números es 1024 y el mayor excede altripledel menor en 120. Hallen los números. 30. La diferencia de dos números es 47. Si el mayor se disminuye en 11 se tiene trece veces el menor. Hallar los números. 31. Enunaclasehay60alumnosentrehombresymujeres. El númerodemujeres excede en 15 al doble de los hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay? 32. Lasumadedosnúmeroses506yel tripledel menor excedeal mayor en50 aumentado en 100. Hallar los números. 33. La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5añoseraeldoblede la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales. 34. Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera a su hermano 50 centavos, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno? 35. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 pesos. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré? 36. Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema queresuelvael muchachorecibirá12pesos, ypor cadaproblemaquenoresuelva perderá 5 pesos. Después de trabajar en los 16 problemas el muchazo recibe 73 pesos. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no? 136 37. Uncapatazcontrataunobreropor50díaspagándole$3pesosporcadadíade trabajoconlacondicióndeque porcada día que el obrerodeje deasistir al trabajo perderá $2. Al cabo de 50 días el obrero recibe $90. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no? 38. Uncomerciantecomprótrajesdedoscalidadespor1624dólares. Delacalidad mejor compró 32 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le costó 7 dólares más que cada traje de la calidad inferior, ¿cuántos trajes de cada clase compró? 39. Pagué $582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $5 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de sacos de frijoles es el tripledelnúmerode sacosdeazúcar más $5, ¿cuántos sacos de azúcar y cuántosde fríjol compré? 40. Dividir el número 1050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el duplo de la parte menor equivalga a 1825. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Lee acerca de la idea Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene la forma del siguiente: ( ) ( ) ( ) 1 2x y 3z 8 2 4x 3y z 2 3 x 4y 2z 3 − + − + · + − · − − · Unsistemacomoeste, puederesolverseaplicandolastécnicasqueseusaronpara resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, por igualación: Se despeja x de cada ecuación: ( ) ( ) ( ) 1 3 1 x y z 4 2 2 3 1 1 2 x y z 4 4 2 3 x 4y 2z 3 · − + − · − + + · + + Seigualandosdelasecuacionesdespejadas, por ejemplo ( ) 1 y ( ) 2 , puesx=x: 1 3 3 1 1 y z 4 y z 2 2 4 4 2 − + − · − + + En seguida se reduce la expresión practicando operaciones (se multiplica por ejemplo por 4 para desaparecer los denominadores) y se despeja una de las variables. Seleccionamos y: 1 3 3 1 1 y z 4 y z 2 2 4 4 2 2y 6z 16 3y z 2 2y 3y z 6z 2 16 − + − · − + + − + − · − + + − + · − + + 137 ( ) 4 y 5z 18 · − + Se igualan otras dos ecuaciones, por ejemplo( ) 1y( ) 3 , y se procede como en al caso anterior: 1 3 y z 4 x 4y 2z 3 2 2 − + − · · + + y 3z 8 8 y 4z 6 3z 4z 8 6 8y y z 14 9y − + − · + + − − − · + − − · ( ) 5 z 14 y 9 9 − · − Ahora resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden igualar puesy=y, y resolver para hallar el valor de z: z 14 5z 18 9 9 − − + · − 45z 162 z 14 162 14 z 45z 176 44z z 4 − + · − − + · − + · · Sustituyendo en( ) 4 y 5z 18 · − + :( ) y 54 18 2 · − + · − . Sustituyendo en( ) 3 x 4y 2z 3 · + + :( ) ( ) x 4 2 24 3 3 · − + + · La solución del sistema es: x=3, y=-2 y z=4. Actividades de aprendizaje Reúnanseatrabajar enequipoyresuelvanlos ejercicios siguientes. Comparensus respuestas y si tienen alguna duda pregunten a su maestra o maestro. A. Resuelvan los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas siguientes. 1.2.3.4. x y z 3 x 2y z 2 x 3y 2z 4 + − · − + · − − + − · x 2y z 3 2x y 2z 12 3x 2y 4z 10 − − · − + − · − + − · − x 2y z 2 4x 3y 2z 8 2x y z 7 + − · + + · − − − · − 4x 2y 6z 8 3x 4y 5z 7 x y z 0 − + · − − + − · − − − + · 5.6.7.8. x 4y z 3 2x 8y z 4 3x 4y 2z 15 − − · − + + · − − − · 2x 8y 8z 2 x y 6z 1 5x 4y 9z 2 − + · − − + · − − − · x 4y 2z 2 x 5y z 5 x y z 1 − + · − − + − · − − · 2x 4y 3z 7 x y 4z 17 2x y 2z 2 − − · − − − + · − + − · − 138 9.10.11.12. x y z 5 5x 3y 2z 7 x 2y 3z 11 − − · + + · + − · − 3x 4y z 20 x y 2z 30 7x y z 20 − − · − − − − · − + · 2x 4y 4z 9 8x 10y 2z 9 4x 8y 10z 5 − − · − − + + · + − · − 5x 8y z 4 10x 6 y 4z 1 15x 12y 6z 12 − − + · + − · − + · − Respuestas Ej. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 1 2 -3 -2 5 -3 4 -3 3 10 0.5 -.4 y 1 -2 2 3 1 -2 2 -2 -4 20 1 -.5 z 1 3 -1 1 -2 -1 1 3 2 -30 1.5 -2 Sistema de dos ecuaciones resuelto por determinantes (opcional) Lee acerca de la idea Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden resolverse por determinantes. Undeterminantees unarreglo de números que define una operación. Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como el siguiente: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 a x b y c 2 ax b y c + · + · Si se resuelve mediante los temas vistos hasta ahora, se obtienen las soluciones: ( ) 3 1 2 2 1 1 2 2 1 c b c b x a b a b − · − y( ) 4 1 2 2 1 1 2 2 1 a c a c y a b a b − · − . Se observa unpatrónenlos productos ylas diferencias, quepuede representarse mediante un determinante que defina las operaciones mostradas allí: 1 1 1 2 2 1 2 2 c b c b c b c b · − : Que es el numerador que define el valor de x en la ecuación ( ) 3 . Por lo tanto, el denominador se puede escribir con un determinante como sigue: 1 1 1 2 2 1 2 2 a b a b a b a b · − . En consecuencia: ( ) 5 1 1 2 2 1 1 2 2 c b c b x a b a b · 139 Y de igual manera: ( ) 6 1 1 2 2 1 1 2 2 a c a c y a b a b · Conestasfórmulas, sepuedecalcular cadaunadelassolucionesdeunsistemade ecuaciones simultáneas 2X2. Ejemplo Obtener las soluciones del sistema de ecuaciones: ( ) 12x y 10 − · ( ) 2 x 3y 9 + · − . Enestecaso: 1 a 2 · , 1 b 1 · − y 1 c 10 · ; 2 a 1 · , 2 b 3 · y 2 c 9 · − . Entonces, las soluciones del sistema se obtienen calculando los determinantes anteriores: 1 1 2 2 1 1 2 2 c b 10 1 c b 9 3 10( 3 ) ( 9 )( 1) 30 9 21 x 3 a b 2 1 2( 3 ) 1( 1) 6 1 7 1 3 a b − − − − − − · · · · · · − − − + 1 1 2 2 1 1 2 2 a c 2 10 a c 1 9 2( 9 ) 1( 10 ) 18 10 28 y 4 a b 2 1 2( 3 ) 1( 1) 6 1 7 1 3 a b − − − − − − · · · · · · − − − − + La solución del sistema es x = 3 y y = -4. Actividades de aprendizaje Resuelvan trabajando en equipo los siguientes sistemas de ecuaciones que resolvieron antes, pero usando determinantes.Compruebensus respuestas usando los resultados obtenidos. 1. 1: 4 12 2: 3 10 x y x y − · + · 2. 1: 7 2 2: 2 5 5 x y x y + · + · − 3. 1: 2 3 3 2: 3 23 x y y y − · − + · 4. 1: 2 6 2: 2 3 4 x y x y + · − + · − 5. 1: 3 7 2: 9 x y y x + · − − · 6. 1: 2 2: 5 4 14 x y x y + · − + · − 7. 1: 4 2 8 2: 8 5 38 x y x y + · − − · 8. 1: 5 2.6 2: 3 2 2.6 x y x y − · + · 9. 1: 2 2: 5 4.4 x y x y − · + · 140 10. 1: 2 4 5 2: 6 2 10 x y x y + · − · − 11. 1: 2 7 11.5 2: 3 10 7 x y x y + · − · 12. 1: 2 5 0.5 2: 3 4 x y x y − + · − · 13. 1: 2 3 8.5 2: 5 4 32.5 y x x y − + · − · 14. 1: 5 3 1.4 2: 3 2 3.5 x y x y + · − − + · 15. 1: 2 3 8.5 2: 5 4 32.5 y x x y + · − · 16. 1: 5 6 5.5 2: 2 4 5 x y x y + · − − · 17. 1: 3 5 0.8 2: 2 3 9.6 x y x y + · − − · 18. 1: 3 5 0.7 2: 4 2 3.4 x y x y − · − − · 19. 1: 2 5 5 2: 3 2 1 x y x y − + · − · − 20. 1: 7 3 9.2 2: 4 2 3.2 y x x y − · + · − Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Lee acerca de la idea Las ecuaciones de segundo grado, se manifiestan cuando la suma de los exponentes de las variables en cada término es a lo más 2. Los siguientes son ejemplos: • 2 x y 1 + · : la ecuación de una parábola. • 2 2 4x 8y 1 + · : la ecuación de una elipse. • xy 1 · : la ecuación de una hipérbola. • 2 AπR · : el área de un círculo. • 2 TμV · :la tensión de una cuerda, donde V es la velocidad de las ondas en la cuerda que vibra, y μ es la densidad de la cuerda. La forma de las ecuaciones cuadráticas que nos interesa y estudiaremos en este curso es la siguiente: 2 y ax bx c · + + , donde a no puede ser 0, y que representa una parábola. Demaneraconcreta, unejemploes 2 y x 2x 8 · − − , cuyagráficasepuedever en seguida: 141 Gráfico de ecuación cuadrática -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X Y Mínimo (1, -9) Solución 1: x = -2 Solución 2: x = 4 Parábola convexa 2 y x 2 x 8 · − − y=0 y=0 Eje de la parábola Los sitios dónde y=0, representan las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que son parábolas. Soluciones: donde 2 ax bx c 0 + + · Las soluciones pueden ser: (a) Ninguna, si la parábola esta toda abajo o arriba del eje X (b) Una, si la parábola es tangente al eje X (c) Dos, si la parábola es cortada por el eje X en dos puntos. El coeficiente del término cuadrático, a, determina si la parábola abre sus ramas hacia arriba o hacia abajo: • Sia es positivo, laparábola esconvexa : abre sus ramas hacia arriba. Tiene un mínimo. • Si a esnegativo, laparábola escóncava : abre sus ramas hacia abajo. Tiene un máximo. Obsérvense las figuras siguientes: Parábola Convexa: a>0 Cóncava: a , hay dos soluciones: 2 b b 4ac x 2a − + − · y 2 b b 4ac x 2a − − − · , la parábola corta al eje X en dos puntos. • Si 2 b 4ac 0 − − < , la parábola no corta al eje X, y por tanto no hay soluciones. Actividades de aprendizaje Reúnanse en grupos de tres compañeros y resuelvan los ejercicios siguientes. Si tienen alguna duda, coméntenla con algunos otros compañeros o con su maestra o maestro. 145 A. Resuelvanlasecuacionessiguientesusandolafórmulageneral, ydeterminensus ecuaciones o bien si no existen. Además,determinen hacia dónde abren las parábolas, y si son cóncavas o convexas. 1. 2 y x 5x 6 · − +2. 2 y x 12x 20 · + + 3. 2 y x 9x 14 · − + 4. 2 y x 11x 24 · + + 5. 2 y x 8x 16 · − +6. 2 y x x 90 · − − 7. 2 y 2x 2x 1 · + − 8. 2 y 4x x 6 · + +9. 2 y 3x 8x 1 · − − + 10. 2 y x 4x 2 · + −11. 2 y x 6x 9 · + +12. 2 y 5x 6x 10 · − − + 13. 2 y x 7x 4 · − + + 14. 2 y 6x 6x 2 · + − 15. 2 y 2x 4x 1 · − + 16. 2 y 10x 40x 4 · + + 17. 2 y 8x x 6 · − − + 18. 2 y 3x 4x 12 · + − 19. 2 y x 9 · −20. 2 y 6x 2x · −21. 2 y 9x 15x · − − 22. 2 y 12x 3x · − +23. 2 y 0.5x x 1 · − − 24. 2 y 0.8x 3x 2 · + + 25. 2 1 2 y x x 4 5 · + + 26. 2 4 5 y x 4x 3 3 · − − +27. 2 x 4 y 7x 2 3 · + + 28. 2 x x 3 y 5 5 5 · − − 29. 2 x x y 1 10 7 · − − + 30. 2 4 y 4x 2x 5 · − + + Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas se aplicanenmuchas situaciones de la vida real. Por ejemplo, en el estudio del lanzamiento de proyectiles, como pelotas, cohetes, etcétera. En seguida se muestra un ejemplo. 1. Pelota. Una pelota se lanza al aire desde un edificio de 8 metros de alto. Ella describe un recorrido parabólico, como se ve en la figura siguiente. Lanzamiento de pelota -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 X Y Altura Metros Tiempo Segundos a) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la palota? 146 b) ¿Cuándo la pelota alcanza su máxima altura? c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada? d) ¿Cuánto tiempo dura la pelota en el aire? e) ¿Cuál es la altura de la pelota cuando han pasado 2 segundos? f) ¿Cuánto tiempo ha pasado si la pelota tiene una altura de 14 metros? Expliquen. 2. Un cohete se lanza desde la Tierra, y describe la trayectoria siguiente: Lanzamiento de cohete -100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 -20000 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000 220000 240000 260000 280000 300000 320000 340000 360000 380000 X Y Altura Cm. Recorrido: metros a) ¿Cuál es la ecuación que asocia la altura y el recorrido de la palota? b) ¿Cuándo el cohete alcanza su máxima altura? c) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el cohete? d) ¿Cuál fue la distancia total recorrida por el cohete? e) ¿Cuál es la altura del cohete cuando ha recorrido 400 metros a partir de su despegue? f) Si el cohete ha recorrido 1 kilómetro, ¿cuál es su altura? Expliquen. 3. Las ventas de una compañía contra el tiempo se comportan como se ve en la figura siguiente. Se sabe que la curva es una parábola tangente al eje x en x=3. Ventas -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X Y Mes Miles de piezas 147 a) Describe el comportamiento de las ventas contra el tiempo. b) Construye la ecuación que permite explicar las ventas en función del tiempo. c) Calcula las ventas esperadas en el mes 6. 4. Un arquitecto construirá un arco con forma de parábola como entrada a una biblioteca. Él proyecta su figura apoyándose en la ecuación 2 y x 9 · − +metros. a) Grafiquen el arco. b) ¿Cuántos metros tiene la base de la entrada c) Cabrá por el arco una base de 10 metros de altura? ¿Por qué? d) ¿Se podrán colocar en la entrada, debajo del arco, dos plataformas de exhibición de 2 metros de ancho y de altura 20 cm. cada una y dejar aún un pasillo de 3 metros para la gente? e) ¿Cuál es la altura del arco a dos metros del piso, desde cualquier poste? 5. a) Construyan las ecuaciones para diseñar dos arcos parabólicos, uno junto al otro, y que tengan luz (distancia entre sus bases: longitud de la entrada) igual a 4 metros cada uno. b) Calculen la altura de cada arco. c) Grafiquen los arcos. 6. Obtengan la ecuación de cada parábola siguiente. Son cinco en total. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 1 2 3 4 5 7. Traza en un sistema coordenado rectangular cada parábola siguiente, sin tabular. a)( ) ( ) y x 10 x 2 · − +b)( ) ( ) y x 5 x 4 · − − − c)( ) ( ) y x 6 x 3 · − + + d)( ) ( ) y x 3 x 1 · − + −d)( ) ( ) y x 2 x 6 · − − −e) ( ) 2 y x 6 · + 148 f) ( ) 2 y x 10 · −g) ( ) 2 y x 4 · − +h)( ) ( ) y x 5 x 2 · − + − + i)( ) ( ) y x 2 x 4 · − − − −j)( ) ( ) y 3 x x 8 · − − +k)( ) ( ) y x 2 x 2 · − + − − 149