1. GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR MATEMÁTICA E D U C A C I Ó N B Á S I C A JAVIERA SETZ MENA LICENCIADA EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ROSSANA HERRERA CONCHA PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO FRANCISCO ROJAS SATELER PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 1 2. El material didáctico Guía para el Profesor Educación Matemática, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA Coordinación del Proyecto: EUGENIA ÁGUILA GARAY Coordinación Área Matemática: VIVIANA LÓPEZ FUSTER Edición: JAVIERA SETZ MENA ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ Autores: JAVIERA SETZ MENA ROSSANA HERRERA CONCHA FRANCISCO ROJAS SATELER Corrección de estilo: ISABEL SPOERER VARELA Documentación: PAULINA NOVOA VENTURINO MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación gráfica: CARLOTA GODOY BUSTOS Coordinación gráfica Licitación: XENIA VENEGAS ZEBALLOS Diagramación: ALFREDO GALDAMES CID XIMENA MONCADA LOMEÑA FERNANDA PARDO LAGOS LORETO FIGUEROA LIZANA Cubierta: XENIA VENEGAS ZEVALLOS Producción: GERMÁN URRUTIA GARÍN Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. © 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por World Color Chile S.A. ISBN: 956 - 15 - 1264 - 5 Inscripción N° 159.848 www.santillana.cl
[email protected] Referencias del Texto Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro, de los autores: Cristián Vergara Bize, Jaime Ávila Hidalgo, Lorna Jiménez Martínez, Ana Rojas Fernández. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003. Pág. 1-13n 11/1/10 09:35 Página 2 3. Índice 3 Índice Fundamentación 4 Ejes del proyecto 4 Marco curricular 6 Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 6 Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 6 Objetivos Fundamentales Transversales para la Educación Básica 8 Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) 10 Presentación 14 Organización del texto para el estudiante 14 Estructura de la guía para el profesor 16 Orientaciones didácticas 18 Unidad 1 18 Unidad 2 30 Unidad 3 40 Unidad 4 50 Unidad 5 64 Unidad 6 72 Unidad 7 84 Unidad 8 100 Unidad 9 110 Solucionario 124 Bibliografía 126 Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 3 4. Ejes del proyecto 4 Fundamentación Fundamentación 1 Contexto educacional actual Esta serie de textos ha sido elaborada sobre la base de los siguientes ejes: El año 2007 el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado un Ajuste Curricular que tiene como propósito: mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así como a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. No se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la sociedad actual. Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática debe buscar, consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen. Busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad. La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en el Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento. Tanto el texto para el estudiante Matemática 8 como la Guía para el profesor se organizan a partir de los cuatro ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar, considerando como eje transversal el de razonamiento que incluye tanto la resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos, como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones y, discusión de la validez de las conclusiones. Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular visite: www.curriculum–mineduc.cl/ayuda/ajuste–curricular/ Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 4 5. Fundamentación 5 Este es uno de los ejes fundamentales de esta nueva propuesta, que pone énfasis en la explicitación de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; en la formalización de los mismos; y en la ampliación y profundización de estos, cuando sea pertinente. Los contenidos se desarrollan de una manera secuencial, desde los conceptos generales a los particulares, apelando en primer lugar a la experiencia (cotidianidad) de los niños y niñas, y luego al análisis y desarrollo de los contenidos. En los textos de esta serie se promueve el trabajo sistemático e intencionado de algunos de los Objetivos Fundamentales Transversales planteados para la Educación Básica, mediante el trabajo y la generación de distintas situaciones de aprendizaje, que favorecen la formación ética de los estudiantes, su autoconocimiento, desarrollo personal, y la capacidad para relacionarse con los demás y con su entorno, de una manera apropiada. Para obtener información respecto de cómo evoluciona el aprendizaje de los estudiantes, resulta fundamental evaluar durante todo el proceso. Por esta razón, en los textos se presentan actividades que pueden convertirse en instancias de evaluación antes, durante y después del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto permite mantener informados tanto al docente como al estudiante, de sus respectivos progresos y debilidades, permitiendo así tomar a tiempo las decisiones que sean pertinentes. Esta propuesta ofrece materiales prácticos y útiles de apoyo al proceso de enseñanza- aprendizaje. Estos recursos entregan tanto al profesor(a) como al alumno(a), una mayor potencialidad para trabajar con el texto. 2 Trabajo con los conocimientos previos de los alumnos 3 Metodología 4 Trabajo con la transversalidad 5 Evaluación permanente 6 Variedad de recursos Los textos consideran como punto de partida para el desarrollo de los contenidos, los conocimientos previos y la experiencia de los estudiantes, a partir de los cuales van a adquirir nuevos conocimientos y experiencias que serán la base de los aprendizajes que seguirán construyendo en el transcurso de toda su vida escolar. Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 5 6. 6 Marco curricular Marco curricular 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. 5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. 10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales. 11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casos particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones. Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 (8º año básico) Números 1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. 2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. 3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 (8º año básico) Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 6 7. Marco curricular 7 4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. Álgebra: 5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. 6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones. 7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. 8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. 9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. Geometría: 10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones. 12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente. 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. 14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico. 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 7 8. 8 Marco curricular Datos y Azar: 16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas. 17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. 18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos. 19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. 20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. 21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. 22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace. Marco curricular En relación a la formación ética: • Ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal y actuar habitualmente con generosidad y solidaridad, en el marco del reconocimiento y respeto por la justicia, la verdad, los derechos humanos y el bien común. • Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias y reconocer el diálogo como fuente permanente de humanización, de superación de diferencias y de aproximación a la verdad. • Reconocer, respetar y defender la igualdad de derechos esenciales de todas las personas, sin distinción de sexo, edad, condición física, etnia, religión o situación económica. En relación con el crecimiento y autoafirmación personal: • Promover y ejercitar el desarrollo físico personal en un contexto de respeto y valoración por la vida y el cuerpo humano; desarrollar hábitos de higiene personal y social y de cumplimiento de normas de seguridad. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar información relevante. Objetivos Fundamentales Transversales para la Educación Básica Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 8 9. Marco curricular 9 • Ejercitar la habilidad de expresar y comunicar las opiniones, ideas, sentimientos y convicciones propias, con claridad y eficacia. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Promover una adecuada autoestima, la confianza en sí mismo y un sentido positivo ante la vida. En relación con la persona y su entorno: • Participar responsablemente en las actividades de la comunidad y prepararse para ejercer en plenitud los derechos y cumplir los deberes personales que reconoce y demanda la vida social de carácter democrático. • Comprender y apreciar la importancia que tienen las dimensiones afectivas y espirituales y los principios y normas éticas y sociales para un sano y equilibrado desarrollo sexual personal. • Apreciar la importancia social, afectiva y espiritual de la familia y de la institucionalidad matrimonial. • Proteger el entorno natural y promover sus recursos como contexto de desarrollo humano. • Reconocer y valorar las bases de la identidad nacional en un mundo cada vez más globalizado e interdependiente. • Desarrollar la iniciativa personal, el trabajo en equipo y el espíritu emprendedor, y reconocer la importancia del trabajo como forma de contribución al bien común, al desarrollo social y al crecimiento personal, en el contexto de los procesos de producción, circulación y consumo de bienes y servicios. Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 9 10. 10 Marco curricular Marco Curricular Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos(as), identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos(as), y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajes del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos(as)le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan el logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel. En este sentido, en nuestra propuesta las evaluaciones diagnósticas están ideadas para observar si los estudiantes tienen las competencias descritas en el nivel 3, de modo que el docente puedan complementar sus destrezas, previo al desarrollo de cada unidad. De igual forma, los contenidos y actividades están diseñados para que todos los alumnos(as) cumplan satisfactoriamente los aprendizajes descritos en el nivel 4, y también para que ellos alcancen algunas o todas las competencias descritas en el nivel 5. A continuación, se presentan los niveles 3, 4 y 5, (correspondientes a los niveles de 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico, y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento por la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra y Datos y Azar. Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 10 11. Marco curricular 11 Nivel 5 Nivel Descripción Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas. Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores. Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica en situaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular porcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritos tanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada. Nivel 4 Nivel 3 Mapa de Progreso de Números y Operaciones Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso de los números. • Comprensión y uso de las operaciones. • Razonamiento Matemático. Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 11 12. 12 Marco curricular Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso del lenguaje algebraico. • Comprensión y uso de relaciones algebraicas. • Razonamiento Matemático. Mapa de Progreso de Álgebra Nivel 5 Nivel Descripción Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas. Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela. Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelve ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las estrategias utilizadas. Nivel 4 Nivel 3 Marco Curricular Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 12 13. Marco curricular 13 Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan: • Procesamiento de datos. • Interpretación de información. • Comprensión del azar. • Razonamiento matemático. Mapa de Progreso de Datos y Azar Nivel 5 Nivel Descripción Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades. Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas. Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver un problema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extrae información respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficos anteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos de población y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios para caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento en contextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de su experiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples. Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde la lectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimento aleatorio simple, justificando en base a la información disponible. Nivel 4 Nivel 3 Extraído de: Mapas de progreso del aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio. Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a: www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/ Pág. 1-13 13/10/09 12:37 Página 13 14. 14 Presentación Presentación 1. Páginas de inicio de unidad. Su función es motivar. Considera los conocimientos previos y los que aprenderán en la unidad. 2. Páginas de desarrollo de contenidos. En estas páginas se desarrollan los contenidos y se presentan situaciones problemáticas resueltas. Incluyen tres grandes secciones: Explora, Practica y En equipo. Título de la unidad Necesitas recordar Se proponen actividades para repasar y recordar aspectos importantes relacionados con los contenidos, antes de iniciar el trabajo de la unidad. Actividades iniciales ¿Qué aprenderás? Se señalan los principales objetivos de la unidad. Conexión con los objetivos fundamentales transversales (OFT) Trabaja con los OFT pertinentes al tema de la unidad. Explora Se presenta la situación problema resuelta y se resaltan los procedimientos fundamentales involucrados, al igual que los conceptos. Practica Actividades para adquirir, reforzar, razonar y consolidar los contenidos de la sección anterior. En equipo Se invita a los alumnos a trabajar en equipo para el desarrollo de actividades relacionadas con los contenidos revisados, y así enriquecer mediante la discusión el trabajo cooperativo y colaborativo. Sección que invita a los estudiantes a ingresar al hipertexto donde encontraran recursos y actividades interactivas que complementan el aprendizaje. 3. Más problemas. Presenta un problema resuelto paso a paso; la compresión del problema, la planificación, la resolución y su revisión. Se deja en evidencia la estrategia utilizada y se dan actividades para ejercitar la estrategia presentada. Organización del texto para el estudiante El texto Matemática 8 se organiza en 9 unidades, dos talleres de evaluación y actividades de ejercitación. A continuación se describen los tipos de páginas y secciones de las unidades. Pág. 1-13 22/10/09 16:44 Página 14 15. Presentación 15 4. Cálculo mental. Se entregan distintas estrategias para realizar cálculos de una manera más rápida y ágil. 5. Uso de la calculadora. Se pone a disposición de los estudiantes la utilización de la calculadora como una herramienta tecnológica que podrán incorporar a su vida diaria. 6. Síntesis. Este es un espacio donde los alumnos encontrarán un resumen de los conceptos y definiciones tratados en la unidad. Además se les propone la creación de su propio mapa conceptual. 7. Uso del computador. Oportunidad para conocer diversos programas y conectar los contenidos trabajados en la unidad con una herramienta tecnológica. 8. Evaluación. Páginas con preguntas de alternativa y de desarrollo orientadas a evaluar el aprendizaje de los contenidos trabajados en la unidad. Al finalizar se encuentra la sección ¿Cómo trabajé? para que los alumnos(as) puedan autoevaluarse. 9. Solucionario. Se dan las respuestas a las principales actividades formuladas en el texto. ¿Cómo trabajé? Pág. 1-13 20/10/09 10:50 Página 15 16. 16 Presentación Presentación 1. Cuadro sinóptico. Este cuadro resume el marco curricular de la unidad para cada momento pedagógico, que corresponden a diferentes tipos de páginas del texto del alumno(a): inicio de unidad, desarrollo de contenidos, resolución de problemas, cálculo mental, uso de la calculadora, uso de la tecnología, juegos. Para cada uno de estos momentos se detallan los contenidos de la unidad, los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO), los aprendizajes esperados y los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT). Estos últimos se indican solo cuando el objetivo es trabajado explícitamente en la unidad, no obstante, debido a su carácter transversal, estos objetivos pueden ser trabajados, si el docente lo estima, en otras instancias dentro de la unidad. • : Icono que indica cuales son las páginas, del texto del alumno, en donde se trabaja con el hipertexto. 2. Propósito de la unidad. Luego de ser presentado el cuadro sinóptico, se entrega el propósito de la unidad, siendo esta una instancia de introducción de los temas a tratar. Para enriquecer la visión del docente en los contenidos de esta unidad, esta sección consta de un esquema que relaciona los conceptos clave de la unidad. La Guía para el profesor del texto Matemática 8, es un material creado como apoyo al proceso de enseñanza- aprendizaje para el subsector de Educación Matemática. Esta propuesta de guía incorpora material concreto de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de sus páginas. En cada unidad se distinguen los diversos elementos, que se especifican a continuación: Estructura de la guía para el profesor Pág. 1-13 13/10/09 12:38 Página 16 17. Presentación 17 3. Orientaciones didácticas. Una vez contextualizada la unidad en el marco curricular, se entregan orientaciones didácticas para cada momento pedagógico. Las páginas de desarrollo de contenidos se trabajan por contenido, considerando las siguientes secciones: • Actividades previas. Se proponen actividades de motivación para introducir y/o aproximar a los(as) alumnos(as) al contenido que se va a trabajar. • Actividades complementarias. Se plantean variadas actividades cuyo propósito es ejercitar, reforzar, ampliar y/o profundizar los contenidos trabajados. • Información para el docente. Esta sección está destinada al profesor, cuyo objetivo es entregar información anexa que profundiza y complementa la entregada en el texto. En algunos casos, se sugieren direcciones de Internet, datos curiosos relacionados con el contenido, o sugerencias para erradicar los preconceptos más comunes en los estudiantes. • Tarea. Se sugieren actividades para trabajar en la casa, que permiten reforzar y/o ampliar el contenido tratado, o bien enlazarlo con el tema siguiente. 4. Evaluación. En estas páginas se presenta un material complementario de evaluación de los contenidos de la unidad, para que el docente utilice según los requerimientos del grupo curso. Para cada evaluación del texto del alumno se presentan los objetivos evaluados y criterios de logro. Pág. 1-13 13/10/09 12:38 Página 17 18. UNIDAD Unidad 118 Cuadro sinóptico 1Números positivos y negativos CMO • Páginas de inicio. (Págs. 8 y 9) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 10 - 19) • Más problemas. (Págs. 20 y 21) • Cálculo mental. (Pág. 22) • Uso de la calculadora. (Pág. 22) • Síntesis. (Pág. 23) • Evaluación. (Págs. 24 y 25) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Adiciones y sustracciones combinadas de números positivos y negativos. (Págs. 10 y 11) – Multiplicación de números positivos y negativos. (Págs. 12 y 13) – División de números positivos y negativos. (Págs. 14 y 15) – Multiplicaciones y divisiones combinadas de números positivos y negativos. (Pág. 16 y 17) – Operatorias combinadas. (Págs. 18 y 19) • Operaciones combinadas de números positivos y negativos. • Multiplicación de números positivos y negativos. • Operaciones combinadas de números positivos y negativos. • Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. • Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. • Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, […] enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. UNIDAD U1 21/10/09 10:16 Página 18 19. Números positivos y negativos 19 Aprendizajes esperados OFT • Participar responsablemente en las actividades de la comunidad. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Desarrollar el pensamiento crítico y reflexivo y el sentido de crítica y autocrítica. • Resuelven adiciones y sustracciones de números positivos y negativos. • Resuelven multiplicaciones de números positivos y negativos. • Resuelven divisiones de números positivos y negativos. • Resuelven multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos. • Operan con números positivos y negativos en cualquier contexto y de cualquier orden de magnitud interpretando adecuadamente los resultados. • Interpretan situaciones en las que se involucran números positivos y negativos, y realizan operaciones con ellos. • Usan números positivos y negativos en la vida diaria. • Comparan números positivos y negativos. • Resuelven operatorias con números positivos y negativos. U1 21/10/09 10:16 Página 19 20. Unidad 120 Propósito de la unidad En esta unidad se profundiza el estudio de los números negativos, realizado en años anteriores, mediante las propiedades y operatoria de la multiplicación y división, de esta manera se incorporan elementos que permitirán al alumno resolver y comprender nuevos problemas. Desde esta perspectiva, se presentan situaciones en contextos cercanos a los alumnos, que representan un desafío para las habilidades cognitivas de los estudiantes pues trascienden a la simple memorización y reproducción de ciertas reglas, especialmente en lo referido a la operatoria con números positivos y negativos. Orientaciones didácticas • Presentar la siguiente información, luego responden las preguntas. – La fosa submarina más profunda del mundo es la fosa de las Marianas, cercana a Guam, en el noroeste del océano Pacífico, que alcanza una profundidad de 11 033 m. En cambio, la cumbre más alta del mundo es el monte Everest, en la cordillera del Himalaya, con una altura de 8848 metros sobre el nivel del mar. ¿Qué distancia hay entre la cima del monte Everest y el fondo de la fosa de las Marianas? • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen otras preguntas y las respondan. Páginas de inicio (páginas 8 y 9) Actividades complementarias Mapa conceptual Números positivos y negativos Operatoria Aplicaciones Operatoria combinada Adición Sustracción Multiplicación División U1 13/10/09 12:39 Página 20 21. Números positivos y negativos 21 • Visitar http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm en donde aparece información sobre la historia de los números negativos. Podrá encontrar además aspectos sobre su utilización, los obstáculos para la comprensión, y un apartado especial que trata del problema específico de la regla de los signos para el producto. Esto le servirá como complemento a su quehacer docente y le ayudará en el desarrollo e implementación de sus prácticas pedagógicas. No olvidar que las páginas o su contenido pueden cambiar. Información para el docente • Completar las cadenas siguiendo las operaciones en el sentido que indica la flecha. Adiciones y sustracciones combinadas (páginas 10 y 11) Actividades complementarias –47 –2,3 +6,7 –(–8) –34 (7,8)+(–13) –78,5 +(–1,9) –41 +22,9 –23 +(–9,9) +7,8 –35,4 ¿ ? • Es muy importante para el desarrollo del pensamiento matemático del alumno(a), trabajar no solo con números enteros, sino también con decimales positivos y negativos. Este tipo de trabajo aumenta la capacidad de abstracción, facilita la rapidez de cálculo y la interpretación de soluciones. • Es conveniente discutir con los(as) alumnos(as) las propiedades de los números enteros, aunque no de una forma explícita. Trabajar con ellos las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad de forma aritmética (nunca algebraica) esto permite una mayor comprensión de cómo y para qué se usan estos números, y poco a poco irán entendiendo su estructura. Información para el docente • Analizar con los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones: Al sumar dos números positivos el resultado de ellos es siempre mayor que cada una de las partes, ya sean estas naturales o racionales. ¿Ocurrirá esto cuando se suman números positivos con negativos? ¿O números negativos con negativos? Explorar las posibles respuestas que ellos puedan dar sobre estas observaciones, para luego, al final de la sección, comparar los resultados. Actividades previas U1 20/10/09 10:51 Página 21 22. Unidad 122 Orientaciones didácticas • Es interesante observar cómo los(as) alumnos(as) están acostumbrados a asumir que el producto es mayor que cada uno de los factores, esto debido al trabajo con números enteros positivos. El dilema se les produce cuando se incorporan los números decimales, pues el producto de dos números entre cero y uno es menor que cada factor. Por este motivo se plantea la secuencia de las actividades previas, para superar la idea encasillada de que el producto es siempre mayor que los factores, pues esto tampoco ocurre al multiplicar números positivos y negativos entre sí, o números negativos entre sí. Posibles dificultades • Plantear las secuencias siguientes y responder las preguntas que se plantean. 3 • 2,5; 3 • 1,25; 3 • 0,625 ¿Qué ocurre con el último producto respecto del factor 3? 0,7 • 2,2; 0,7 • 1,4; 0,7 • 0,6 ¿Qué ocurre con el último producto respecto de los otros dos factores? ¿Puedes describir qué va pasando a medida que se desarrollan las secuencias? Agregar otras secuencias semejantes para complementar, y además preguntar: ¿Qué ocurriría si uno de los factores pasa a ser negativo? Multiplicación de números positivos y negativos (páginas 12 y 13) Actividades previas • Completar la siguiente tabla de regularidades.Actividades complementarias Factores Productos Factores Productos Factores Productos 5 • 6 5 • 4 5 • 2 5 • 0 5 • –2 5 • –4 4,8 • 16 2,8 • 8 0,8 • 4 –1,2 • 2 –3,2 • 0 –5,2 • –2 10 • –4 4 • –4 0 • –4 –4 • –4 –10 • –4 –16 • –4 • Es muy importante aclarar que los números negativos no “existen” en el mundo real y que solo sirven como representación de fenómenos concretos. Es conveniente para ello hacer un paralelo entre el “mundo real” y el “mundo matemático” en donde en el primero, por ejemplo 5 °C bajo cero, puede ser expresado como –5 en el segundo, y por lo tanto, hablar de “menos cinco” solo tiene sentido en la matemática y no en la realidad. También es importante señalar que los números los usamos como medidas, que son siempre positivas, por lo que –5 metros no tiene ningún sentido, si no se ocupa como representación y ligado a un referente, como por ejemplo, el nivel del mar. Información para el docente U1 13/10/09 12:39 Página 22 23. Números positivos y negativos 23 • Es muy importante trabajar con los(as) alumnos(as) diversos métodos de regularidades, pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan a su pensamiento aún concreto. El descubrir este tipo de propiedades tan importantes por sus propios medios les ayuda a construir ese concepto en forma más significativa. Información para el docente División de números positivos y negativos (páginas 14 y 15) • Completar la siguiente tabla de regularidades.Actividades complementarias División Cociente División Cociente División Cociente 6 : 5 4 : 5 2 : 5 0 : 5 –2 : 5 –4 : 5 4,8 : 16 2,4 : 8 0,8 : 4 –1,2 : 2 –3,2 : 0 –5,2 : –2 10 : –4 4 : –4 0 : –4 –4 : –4 –10 : –4 –16 : –4 • Completar.Actividades complementarias –5 7 • 7 10 –5 : 2 : –5 • –1 • 4 +15 +3 +2 • Basándose en el trabajo con multiplicaciones y divisiones, discutir cuáles son las diferencias entre ellas en cuanto a la operatoria, los resultados y los signos. Multiplicaciones y divisiones combinadas (páginas 16 y 17) Actividades previas U1 13/10/09 12:39 Página 23 24. Unidad 124 Orientaciones didácticas • Lo más importante de la operatoria combinada entre multiplicaciones y divisiones es que los(as) alumnos(as) comprendan y apliquen el concepto de inverso multiplicativo, y que al fin de cuentas, el multiplicar (o dividir) por un cierto numero, es equivalente a dividir (o multiplicar) por el inverso. Lo importante es desarrollar la reversibilidad de los procedimientos, lo cual contribuye a desarrollar la habilidad de revertir procesos, que influye directamente en los procesos cognitivos y lógicos de los estudiantes. Información para el docente • Discutir las relaciones que hay entre la adición y la multiplicación, y la sustracción y la división. Lograr que los(as) alumnos(as) generen sus propias conclusiones y solo después de eso formalizar el contenido. Operatorias combinadas (páginas 18 y 19) Actividades previas • Señalar los pares de secuencias de operaciones que son equivalentes. a. –37 + 48 : 4 – 56 + 51 • 2 b. 124 + 57 • (2 – 34) : 16 c. (1348 : 4 – 37) : 100 • 7 d. (378 – (–24) – 2) : 4 Actividades complementarias • Los(as) alumnos(as) resuelven la siguiente situación: Un grupo de 7 amigos está jugando cartas y anotan sus puntajes en cada jugada. Actividades complementarias Jugadas 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Juan –3 2 –3 7 5 Ignacia 1 1 0 –2 5 Pedro 0 –6 –1 –4 5 Claudio 5 –4 0 0 –6 Carolina –5 6 –3 6 –2 Francisco –2 9 –9 2 1 Ruth –8 2 –4 8 2 • Decidieron que el ganador o ganadora sería el que obtuviera el máximo puntaje realizando las siguientes operaciones sobre los puntajes obtenidos en cada jugada: (1ª jugada) • (2ª jugada) + (3ª jugada) – ((4ª jugada – (5ª jugada)) ¿Quién obtuvo el primer lugar?, ¿quién obtuvo el último lugar? U1 20/10/09 10:52 Página 24 25. Números positivos y negativos 25 Resolución de problemas (páginas 20 y 21) • Conversar con los(as) alumnos(as) sobre las estrategias que usan a la hora de enfrentarse a un problema y tratar de resolverlo. Luego describir un listado con las destrezas necesarias para llegar a “buen puerto” en la resolución de un determinado problema. Actividades previas • Resolver el siguiente problema. – Matías, al ir de la escuela a su casa, siempre inventa un juego, pues se va caminando. Esta vez decidió que por cada 7 baldosas de la vereda por la que camina, iba a retroceder 3, a lo cual llamó una jugada. Si cada baldosa es cuadrada y mide 13 cm de lado, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuál es la distancia entre su escuela y su casa, si para llegar de una a otra debe realizar 150 jugadas? Actividades complementarias • Es muy importante trabajar con los estudiantes la resolución de problemas, pues desarrolla en ellos habilidades cognitivas que les serán útiles en cualquier aspecto de su vida. Un autor que se dedicó a investigar la resolución de problemas fue George Polya, quien desarrolló un método heurístico de resolución de problemas. Podrá encontrar más información al respecto en http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/polya.htm . No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar. Información para el docente • El manejo aritmético con números positivos y negativos, decimales o no, es decir, con los números racionales, es un objetivo importante al finalizar octavo año, pues este es un curso terminal del ciclo básico, pero a la vez es preparatorio para el ciclo medio. Empezar con este tema nos da el tiempo suficiente para aproximarnos al nivel de comprensión y aplicación que los(as) alumnos(as) lograrán de este tema, lo cual permite guiar mejor las prácticas pedagógicas y apoyar de mejor forma a los(as) alumnos(as) en procesos de aprendizaje. Información para el docente • Pedir a los(as) alumnos(as) que inventen un problema que pueda ser resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones: [(44 – 22) : 11] • 3 Tarea U1 13/10/09 12:39 Página 25 26. Unidad 126 Orientaciones didácticas • Algunos aspectos por los cuales el cálculo mental puede ser muy valioso para los(as) alumnos(as): – Contribuye a la comprensión y sentido del número, al hacer uso de la forma en que está constituido. – Puede ser un dominio para contrastar las concepciones de los estudiantes sobre los procedimientos de cálculo y su disponibilidad, ya que hace emerger procesos cognitivos. – Contribuye a enriquecer y flexibilizar la experiencia y comprensión algorítmica. – Estimula la búsqueda de soluciones por caminos alternativos. – Es una ayuda para el cálculo estimado predictivo y un estilo de comprobación de determinados resultados. – Interviene en el desarrollo de las capacidades cognitivas. – Estimula el análisis de situaciones numéricas. – Da una visión participativa de las matemáticas. – Puede ser lúdico, rehabilitador del cálculo y motivador. Información para el docente • Resolver los siguientes ejercicios calculando mentalmente. a. 53 + 11 + (–10) – 3 + 10 + (–1) – (–63) + 1 b. 25 • –4 : 100 • –2 • –25 + (–50) – 2 c. 41 • 6 : –41 • –2 • –3 + 82 – 3 d. 5 • –7 • –8 : –5 : –8 : 7 + 50 • 2 e. 6 • 59 : –3 • (–50) • 6 • 50 : –6 • 9 Actividades complementarias • Comentar con los(as) alumnos(as) los cálculos mentales que se hacen en diversas situaciones de la vida cotidiana, como por ejemplo, al ir de compras, al calcular promedios de notas, etc. Comentar las estrategias que surjan de la conversación y sistematizarlas en la pizarra, para lograr una mayor conciencia de ellas por parte de los(as) alumnos(as). Cálculo mental (página 22) Actividades previas U1 13/10/09 12:39 Página 26 27. Números positivos y negativos 27 • Usar números positivos y negativos en la vida diaria. (Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25) • Comparar números positivos y negativos. (Preguntas 2 y 7; pág. 24) • Resolver operatorias con números positivos y negativos. (Pregunta 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2; pág. 25) Evaluación (páginas 24 y 25) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25: responden correctamente al menos cuatro de las seis preguntas planteadas. • Preguntas 2 y 7; pág. 24: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas. • Preguntas 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2, pág. 25: responden correctamente al menos dos de las tres actividades planteadas. Criterios de logro • Escribir en la calculadora las siguientes secuencias de teclas y observar la diferencia entre los resultados, a pesar de que están presentes los mismos números y las mismas operaciones. Explicar por qué sucede esto. Uso de la calculadora (página 22) Actividades complementarias • La calculadora y el computador no solo son instrumentos para la realización de cálculos, sino que se convierten en potentes recursos didácticos que permiten trabajar con los números de una forma más cómoda, ágil y autónoma (por ejemplo, las fracciones). Realizar estimaciones, cálculos aproximados y reconocimiento de regularidades en conjuntos numéricos, permite al alumno(a) enfocarse más en el concepto tratado que en la operatoria. Esto no implica necesariamente finalizar con el uso de la calculadora, también se puede empezar con ella, para luego comprobar conjeturas realizadas con el cálculo operatorio habitual. Información para el docente 12 + ( 24 : 2 ) = ( 12 + 24 ) : 2 = ( 12 + 24 : 2 ) = U1 13/10/09 12:39 Página 27 28. 28 Unidad 1 Marca la alternativa correcta 1. ((500 – 3000) + 2000) – 500 es igual a: A. 1000 B. –100 C. –1000 D. –2500 2. Al calentar un compuesto, aumenta su temperatura en 0,5 ºC cada 2 minutos. Si a las 8 de la mañana registró una temperatura de –12 ºC, ¿cuál será la temperatura a las 9:00 de la mañana? A. 48 ºC B. 15 ºC C. 3 ºC D. –6 ºC 3. Dada la siguiente secuencia numérica: a, –7, –3, c, 5, 9, b, 17, determina el valor opuesto de (a + b + c) A. 3 B. 2 C. –2 D. –3 4. Se triplica el doble de un número resultando 42. ¿Cuál es el número? A. –7 B. 7 C. 14 D. 21 5. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de $10 000. ¿Cuánto se debe depositar para que el monto de la cuenta quede en la situación opuesta? A. –$20 000 B. –$10 000 C. $10 000 D. $20 000 6. x vale –5 e y es equivalente al valor de x aumentado en 8. z es igual al producto de x por y dividido por 10. ¿Cuál es la relación correcta de x, y y z? A. x < z < y B. x < y < z C. z < y < x D. y < z < x 7. 10 • ((–1,5 + 3,5) : 4 + (5) • (–2)) es igual a: A. –105 B. –95 C. –80 D. 115 8. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es igual a 10? A. 50 B. 2 C. –2 D. –50 9. Determina el valor de W para que el resultado en la siguiente expresión sea cero. 10 – (10 + W – 50) A. 50 B. 20 C. 0 D. –50 Evaluación 1 U1 13/10/09 12:39 Página 28 29. 29Números positivos y negativos 10. Cada vez que ingresa un número a una unidad procesadora que calcula en tres etapas, se obtiene un número de salida. ¿Qué número de salida se obtiene si ingresa el número –10? Entrada D T M Salida D = Duplica T = Triplica y M = Calcula el valor absoluto A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 11. Si a • (–6) = 30 y –10 • b = –40 ¿Cuál es el valor de a + b? A. –9 B. –1 C. 1 D. 9 12. 9 + 3 • (7 – 8) – 4 : (–4) – (9 + 12) : (1 – 4) es igual a: A. 20 B. 14 C. 18 D. 54 13. –27 : (–81 : –9) es igual a: A. 3 B. 1 C. –1 D. –3 14. + 3 es igual a: A. –105 B. –32 C. 38 D. 104 15. Si a un número le añades 23, al resultado le quitas 41 y esta diferencia la multiplicas por 2 obtienes 132. ¿Cuál es el número original? A. 96 B. 79 C. 84 D. 282 16. Si P = –4; Q = 8 y R = 10, entonces el valor opuesto del resultado de R – P – Q es: A. –6 B. –2 C. 6 D. 14 17. La temperatura en la mañana era 12ºC y ascendió 2ºC por cada 30 minutos. Al cabo de 4 horas, ¿qué temperatura se registró? A. 28ºC B. 26ºC C. 20ºC D. 18ºC 18. El antecesor y sucesor de –5 son respectivamente: A. –4 y –6 B. –4 y –3 C. –6 y –4 D. –6 y –7 –15 • (3) • 7 (–9) U1 13/10/09 12:39 Página 29 30. UNIDAD Unidad 230 Cuadro sinóptico 2Ecuaciones de primer grado CMO • Páginas de inicio. (Págs. 26 y 27) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 28 - 41) • Más problemas. (Págs. 42 y 43) • Cálculo mental. (Pág. 44) • Uso de la calculadora. (Pág. 44) • Síntesis. (Pág. 45) • Evaluación. (Págs. 46 y 47) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Igualdades y ecuaciones. (Págs. 28 y 29) – Lenguaje algebraico. (Págs. 30 y 31) – Ecuaciones con adiciones y sustracciones. (Págs. 32 y 33) – Ecuaciones con multiplicaciones. (Págs. 34 y 35) – Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones. (Págs. 36 y 37) – Ecuaciones con la incógnita en ambos lados. (Págs. 38 y 39) – Estudio de las soluciones. (Págs. 40 y 41) • Resolución de ecuaciones de primer grado. • Resolución de ecuaciones de primer grado. • Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. UNIDAD U2 20/10/09 10:54 Página 30 31. Ecuaciones de primer grado 31 Aprendizajes esperados OFT • Ejercitar la habilidad de expresar y comunicar las opiniones, ideas y sentimientos y convicciones propias. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Promover una adecuada autoestima y la confianza en sí mismo. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas. • Reconocen una ecuación como una igualdad. • Traducen enunciados verbales al lenguaje algebraico. • Resuelven ecuaciones con adiciones y sustracciones. • Resuelven ecuaciones con multiplicaciones. • Resuelven ecuaciones con multiplicaciones y adiciones. • Resuelven ecuaciones con incógnita en ambos lados. • Estudian las soluciones de las ecuaciones. • Resuelven problemas aplicando una estrategia de resolución. • Traducen enunciados verbales al lenguaje matemático. • Plantean y resuelven ecuaciones. • Resuelven problemas usando ecuaciones. U2 20/10/09 10:54 Página 31 32. Unidad 232 Propósito de la unidad • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen numéricamente las siguientes expresiones y luego calculen. – El doble de veinte. – El cuádruple de seis. – El doble de ocho, aumentado en dos. – El triple de cuatro, disminuido en doce. – Un medio de dos, elevado a ocho. – Tres cuartos de veinte, aumentado en uno. Páginas de inicio (páginas 26 y 27) Actividades previas La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la generalización de situaciones, mediante la utilización del lenguaje algebraico, de esta manera el alumno podrá resolver problemas más complejos, en los cuales la solución no se puede obtener de manera directa. Muchas de las situaciones planteadas están relacionadas con contextos geométricos, de este modo el alumno descubrirá una gama de aplicaciones del lenguaje algebraico, especialmente en la resolución de ecuaciones. Por otra parte, se pretende desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas especialmente a estudiar la pertinencia de las soluciones obtenidas e interpretar los resultados. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Ecuaciones de primer grado Resolución de ecuaciones Estudio de las soluciones Ecuaciones con multiplicaciones Ecuaciones con incógnita en ambos lados Ecuaciones con adiciones y sustracciones Igualdades Lenguaje algebraico U2 13/10/09 12:40 Página 32 33. Ecuaciones de primer grado 33 • Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a. + 4 • (–1) = 2 • (–2) + 2–1 c. 20 : 2,5 + 4 = 7 • (–1) – 0 b. 0,3 – • 10 = 2,7 + d. –3 • (–4) + = 2 • 6 • 1 + 6 8 3 4 1 2 1 5 1 2 Actividades complementarias • Escribir en la pizarra: 3x + 4 = 16 5 + 4 = 12 4y – 5 = 20 ¥ – 6 = 21 Luego preguntar: ¿Cuál de estas expresiones es una ecuación? ¿Por qué? Aclare que una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica (se cumple) para determinado valor numérico de ella. En conjunto verifican que las expresiones anteriores son todas “ecuaciones”, porque cumplen con la definición. Igualdad y ecuaciones (páginas 28 y 29) Actividades previas • Calcular el valor de las siguientes expresiones, para los siguientes valores. a = 4, b = 3, c = (–1), d = y e = (–2) a. 3a + b – 2c = d. a2 + 3c – 4e = b. 4b – c + 2e = e. 5e – a • b + d–1 = c. 5a – 2b + c – 3e = f. 3c5 + 4d – e + b = 1 2 Actividades complementarias • Escribir en lenguaje corriente las siguientes expresiones matemáticas. a. 5x – 3 = b. 2y + = c. – 2 = d. 5p + p = 3 4 m 3 1 2 Lenguaje algebraico (páginas 30 y 31) Actividades complementarias • Ecuación significa “igualación”. Proviene del latín aequáre, que quiere decir “igualar”, derivado del adjetivo aéquus, que es “igual”. De aquí la relación que se hace de una ecuación y una balanza. Información para el docente U2 13/10/09 12:40 Página 33 34. Unidad 234 Orientaciones didácticas • Recordar a los(as) alumnos(as) lo que sucede cuando se tiene un coeficiente a un costado de la igualdad y se desea despejar la incógnita. Puede ejemplificarlo de la siguiente manera: 5 x = 3 2,3 n = 14 12 = 3 y Ecuaciones con multiplicaciones (páginas 34 y 35) Actividades previas • Resolver las siguientes ecuaciones. Luego comparan sus resultados. a. 4 x = 20 d. 140 = 4z b. 12 b = 18 e. 35 = 7a c. 2,5 y = 200 f. = 3m 3 4 Actividades complementarias • • • • • • • • • • Resolver las siguientes ecuaciones. a. 4x + x = 20 d. 14 + 3 = 4z b. 2b – 6 = 12 e. 35 – 12 = 3a c. 5y – 2y = 21 f. 3 + 4 = 5m + 4 Ecuaciones con adiciones y sustracciones (páginas 32 y 33) Actividades complementarias • Al presentar ecuaciones a sus alumnos(as), no utilice siempre la misma variable, por ejemplo “x”, ya que esto produce fijación. Además, al momento de plantear ecuaciones léalas en voz alta, esto permite una mayor comprensión del concepto de ecuación y plantear de manera correcta las ecuaciones en lenguaje no matemático. Información para el docente • Acostumbre al alumno(a) a plantear y resolver ecuaciones con una incógnita tanto en el costado derecho de la igualdad, como en el costado izquierdo. Por su nivel cognitivo, el alumno(a) resuelve correctamente y con mayor facilidad ecuaciones que tienen incógnita en el costado izquierdo de la igualdad; en el otro caso, tienen dificultades con los signos. Información para el docente U2 13/10/09 12:40 Página 34 35. Ecuaciones de primer grado 35 • Leen y luego resuelven. – El doble de un número, menos cuatro veces el mismo, es igual al número aumentado en doce unidades. Tarea • Escribir la ecuación correspondiente, luego resolver interpretando la solución. a. Francisco es 3 años menor que Mónica, pero siete años mayor que Rosario. Si la suma de las edades es 38, ¿qué edad tiene cada uno? b. El triple de la cantidad de dinero que tiene Felipe, aumentado en $ 1200 es igual a la misma cantidad pero disminuida en $ 450. ¿Cuánto dinero tiene Felipe? c. El largo de un rectángulo excede al ancho en 6 cm. Si cada medida se aumenta en 3 cm, el área aumentaría en 57 cm2 . ¿Cuáles son las medidas de los lados del nuevo rectángulo? Estudio de las soluciones (páginas 40 y 41) Actividades complementarias • Resolver las siguientes ecuaciones. Luego, comprobar los resultados. a. 144x + 22x = 12,6 d. 6,3 • 2 + 3 = 4z b. 210b + 6 = 12 • 4 e. 3,5 • 12 = 30a c. 15y – 12y = 23 • 2 f. 315 • 4,0 = 1,5m • Escogen 2 ecuaciones de las anteriores e inventan un problema que pueda ser resuelto utilizando las ecuaciones escogidas. Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones (páginas 36 y 37) Actividades complementarias • Resolver las siguientes ecuaciones. Comparan sus respuestas con un compañero(a). a. 1220 + 221x = 20x e. 6,3 • 2n + 233 = 4054 b. 1320y – 680y = 18 • 4 f. 3,5 • 1,2 = 3068a c. 1102 – 120z = 212 • 4 g. 31,5 • 1235 = 2b d. 2350 + 3,5 m = 120 h. 2455k • 0,4 = 21 Ecuaciones con la incógnita en ambos lados (páginas 38 y 39) Actividades complementarias U2 13/10/09 12:40 Página 35 36. Unidad 236 Orientaciones didácticas • Es importante aclarar que una ecuación es una función proposicional, por lo cual tiene definido un dominio y un recorrido. Es importante comprobar que la solución (conjunto solución) satisface la ecuación original y que pertenece al domino de ella. La comprensión de esto es básico para evitar dificultades en las ecuaciones de segundo grado, como se muestra en el siguiente ejemplo: X2 = 1 X = ͙ළ1 , luego se dice x = + – 1. Sin embargo, al graficar la ecuación (mostrar su dominio), se observa solo una solución. Información para el docente • Leer las siguientes situaciones y plantear una ecuación para resolverlas. – A las 9 a.m. sale un auto de un punto A, con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale una camioneta del punto A, en persecución del auto, con una velocidad de 120 km/h. ¿A qué distancia del punto A lo alcanza? – Entre dos bidones A y B de igual capacidad, se distribuyen en partes desiguales 10 litros de agua. El bidón A se llenará si se vierten los del agua contenida en el B, y este se llenaría si se le agrega la mitad del agua contenida en A. ¿Cuánta agua contiene cada bidón y cuál es su capacidad? ¿Puedes resolver los problemas anteriores sin el planteamiento de una ecuación? Explica tu estrategia de resolución. 2 3 Más problemas (páginas 42 y 43) Actividades complementarias • Resolver mentalmente las siguientes ecuaciones. a. 4x = 20 d. 280 = 4q b. 12y = 144 e. 350 = 7r c. 2,5z = 2000 f. 1002 = 2m Cálculo mental (página 44) Actividades complementarias • En los problemas anteriores no será fácil para los(as) alumnos(as) plantear una ecuación, de hecho, las estrategias de resolución a las cuales acudirán serán principalmente de carácter gráfico. Por ello es importante plantear variados tipos de problemas en los que no sea tan evidente la formulación de una ecuación. Posibles dificultades U2 13/10/09 12:40 Página 36 37. Ecuaciones de primer grado 37 • Utilizando la calculadora, resuelven las siguientes ecuaciones: a. 4x = 12,45 d. 134,5 – x = 245,67 b. 3y = 3,01 e. 3y – 3,45 = 85,9 c. 6,3 + z = 21,4 f. 342,5 + 89,7 = 3z Actividades complementarias • La siguiente página tiene excelentes enlaces, programas y calculadoras para descargar; recursos educativos clasificados según nivel, actividades, juegos matemáticos, etc. www.matematicas.net/paraiso/online.php . No olvidar que las direcciones o su contenido pueden variar. Información para el docente • Pedirles que examinen sus calculadoras y se familiaricen con cada una de las teclas y funciones que realiza, haga notar que hay calculadoras en las que primero se introducen los datos y luego la operación. Uso de la calculadora (página 44) Actividades previas • www.edu.aytolacoruna.es . Web educativa del Ayuntamiento de La Coruña, España, que tiene acceso a un aula virtual, donde se tratan temas de diferentes áreas de estudio. En los recursos de matemática hay acceso a temas teóricos, enlaces de interés, juegos, anécdotas, etc. No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar. • www.escolares.com.ar/ . Sitio argentino que presenta una sección de contenidos por área. En el área de Matemática se pueden encontrar contenidos de álgebra, geometría y estadística, además de juegos y problemas de ingenio. No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar. Comentarios • Traducir enunciados verbales al lenguaje matemático. (Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46) • Plantear y resolver ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46) • Resolver problemas usando ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47) Evaluación (páginas 46 y 47) Objetivos evaluados • Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46: responde correctamente dos de los tres ejercicios formulados. • Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46: responde correctamente al menos cinco de las siete preguntas formuladas. • Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47: responde correctamente al menos tres de las seis preguntas formuladas. Criterios de logro U2 13/10/09 12:40 Página 37 38. 38 Evaluación 2 Unidad 2 Marca la alternativa correcta 1. Un cuarto de veintiocho, disminuido en dos tercios de nueve, se puede representar por la expresión: A. 4 • 28 – • 9 B. – 28 – • 9 C. • 28 – • 9 D. – 28 – + 9 2. Siete veces dos quintos de la cuarta parte de m es igual a la mitad de m disminuida en m. Expresado en lenguaje algebraico es igual a: A. 7 • • = – m B. 7 • : = – m C. 7 • • = m – D. • • = – m 3. En la ecuación 4 • 20 – 2y = 5 – 3y, el valor de y es: A. 75 B. 15 C. –15 D. –75 4. En la ecuación • k – (5 – k) = 1 – k, el valor de k es de: A. B. C. D. 5. En la ecuación 3h – 4(h – 4) = • (h – 10h), el valor de h es: A. B. – C. D. – 6. Si p = –1; q = 1 y r = 0, entonces, en la siguiente ecuación el valor de m es igual a: 3p – q + 4r – 2m = m – r + 6p + 2q A. 2 B. p C. q D. r 80 13 80 13 13 80 13 80 2 5 25 14 15 7 4 5 15 2 4 5 m 2 m 4 2 5 1 7 m 2 m 4 2 5 m 2 m 4 2 5 m 2 m 4 2 5 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 U2 13/10/09 12:40 Página 38 39. 39Ecuaciones de primer grado 7. Los siete tercios de las cuatro quintas partes de x, disminuido en cuatro, es igual al opuesto de x, aumentado en tres. Expresado en lenguaje algebraico es igual a: A. 7 • – 4 = –x + 3 B. • • x – 4 = – + 3 C. • • x – 4 = –x + 3 D. • • x – 4 = + 3 8. La ecuación • m – 2 = + 3 • – m, expresada en lenguaje natural es: A. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es igual a tres veces m, aumentado en tres veces nueve cuartos, disminuidos en m. B. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es igual a un tercio de m aumentado en tres veces nueve cuartos, disminuidos en m. C. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es igual a m dividida en tres, aumentado en tres veces nueve cuartos, disminuidos en m. D. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es igual a tres dividido en m, aumentado en tres veces la diferencia entre nueve cuartos y m. 9. En una carnicería existe una balanza que dispone de pesos de 200, 300 y 500 gramos. Si una señora desea comprar 4,5 kilos de carne, el carnicero debe colocar en la balanza: A. 5 pesos de 200 g, 7 de 300 g y 3 de 500 g B. 4 pesos de 300 g, 4 de 200 g y 5 de 500 g C. 3 pesos de 500 g, 7 de 200 g y 2 de 300 g D. 5 pesos de 300 g, 4 de 500 g y 3 de 200 g 10. Si dos tercios de la edad de mi tío Pancho disminuido en dos séptimos de 49 es igual a 20, ¿Qué edad tendrá mi tío en 9 años más? A. 60 años B. 30 años C. 40 años D. 50 años 11. En la construcción de un muro se utilizaron ladrillos de 30 cm de largo, 7 cm de alto y 15 cm de ancho. Si el muro tiene 2,86 m de largo y 0,70 m de alto y una separación entre ladrillos de 2 centímetros, ¿cuántos ladrillos se ocuparán en el muro? A. 73 B. 72 C. 71 D. 70 12. En hacer una tarea de 120 ejercicios de ecuaciones, un alumno ha demorado 2 horas en 90 de ellos. Si quiere terminar en 15 minutos más para ver un programa de televisión, ¿cuánto se debería demorar, en promedio, por cada ejercicio que le queda por resolver? A. 30 segundos B. 15 segundos C. 2 segundos D. 0,8 segundos 13. El doble de la suma de un número y 5, es igual a 24. ¿Cuál es el número? A. 7 B. 5 C. 9 D. 12 9 4 3 m 5 8 1 x 4 5 7 3 4 5 7 3 1 x 4 5 7 3 x 4 1 3 U2 13/10/09 12:40 Página 39 40. UNIDAD Unidad 340 Cuadro sinóptico 3Geometría • Síntesis. (Pág. 63) CMO • Páginas de inicio. (Págs. 48 y 49) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. (Págs. 50 a 53) – La circunferencia y sus elementos. (Págs. 56 y 57) – Poligonos regulares. (Págs. 58 y 59) • Construcción y propiedades de paralelogramos. • Paralelismo y propiedades de figuras geométricas. • Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente. • Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. • Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, […]. – Ángulos en polígonos. (Págs. 54 y 55) • Más problemas. (Págs. 60 y 61) • Evaluación. (Págs. 64 y 65) • Uso del computador. (Pág. 62) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 50 - 59) UNIDAD U3 21/10/09 10:19 Página 40 41. Geometría 41 Aprendizajes esperados OFT • Reconocen e identifican ángulos entre paralelas. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Reconocen ángulos en polígonos. • Reconocen y construyen circunferencias y sus elementos. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Construyen y calculan elementos de poligonos regulares. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Calculan ángulos entre rectas paralelas. • Calculan ángulos en diversas figuras. • Resuelven problemas relativos a circunferencias. U3 13/10/09 12:41 Página 41 42. Unidad 342 Propósito de la unidad A B H N G M L K J E F D C I Páginas de inicio (páginas 48 y 49) • Pedir a los(as) alumnos(as) que en la siguiente figura identifiquen diferentes tipos de cuadriláteros y triángulos, siendo AMJF un rectángulo. Actividades complementarias La tercera unidad es la primera destinada al estudio de la geometría, en ella se tratan elementos tales como ángulos entre paralelas, ángulos en polígonos, circunferencia y sus elementos y polígonos regulares. Esta unidad es muy importante en el aprendizaje de la geometría, en tanto permite construir los conceptos y relaciones básicas que los alumnos utilizarán para resolver situaciones más complejas. En cuanto a la resolución de problemas, las estrategias se orientan hacia la búsqueda de regularidades geométricas, por ejemplo, aquellas referidas a los ángulos interiores de polígonos regulares. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Geometría Ángulos Polígonos Circunferencia y círculo Elementos Radio Diámetro Segmento circular Sector circular Polígonos regulares Ángulos en polígonos Suma de ángulos exteriores Suma de ángulos interiores Alternos internos Alternos externos Correspon- dientes Rectas en la circunferencia ArcoCuerda Tangente Secante U3 13/10/09 12:41 Página 42 43. Geometría 43 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal (páginas 50 a 53) • Es importante que los(as) alumnos(as) se familiaricen con una geometría conceptual, más que en las formas y medidas concretas; ello favorece el aprendizaje de los conceptos más fundamentales, y no tanto el cálculo, que se puede dejar para la resolución de problemas, de manera de darle sentido y contexto a las medidas que puedan aparecer en un determinado ejercicio. Información para el docente • Observando un plano del barrio del colegio, identificar las calles paralelas, no paralelas, y si hay o no diagonales que las intercepten. Analizar la correspondencia de ángulos entre las avenidas principales y las calles secundarias. A partir de esto inventan una ruta alrededor del colegio dando indicaciones que involucren seguir una trayectoria y realizar rotaciones angulares en diferentes esquinas. • Dada la figura, completar la tabla para los distintos valores dados. Actividades complementarias • Detectar en los(as) alumnos(as) las ideas previas que tienen sobre paralelismo, para ello puede formular las siguientes preguntas: – ¿Qué entienden por paralelo? – ¿En qué situaciones han escuchado esa palabra? – ¿Qué sería algo no paralelo? – ¿Han escuchado lo que es perpendicular? – ¿En qué situaciones podrían decir que existen elementos perpendiculares? Actividades previas A B C D E F G 80º 50º 30º 70º 60º 40º D C E F B G C A L1 L2 L1 // L2 U3 13/10/09 12:41 Página 43 44. Unidad 344 Orientaciones didácticas • Al hablar de ángulos y sumas de ángulos hay que establecer, constantemente, la diferencia entre lo que es el ángulo y lo que es la medida del ángulo. Los(as) alumnos(as), al ejercitar, lo que realmente hacen es sumar las medidas de los ángulos, no los ángulos, por lo que es muy relevante que ellos tengan presente esta diferencia. Información para el docente • Preguntar a los(as) alumnos(as): – Si observamos nuestro entorno cotidiano, ¿dónde vemos circunferencias y círculos? – ¿Se observan realmente objetos con forma de circunferencia? – ¿Es lo mismo la circunferencia que el círculo? Justifíca. Actividades previas La circunferencia y sus elementos (páginas 56 y 57) • Es muy importante que los(as) alumnos(as) distingan los conceptos de circunferencia y círculo, pero no de una forma abstracta, sino de manera concreta con ejemplos en la realidad. Mostrar ejemplos de circunferencias que no puedan ser confundidas con círculos, y viceversa. Diferenciar en un mismo objeto, las circunferencias y círculos que están presentes en él, esto permite comprender mejor el concepto. Información para el docente • Dibujar una circunferencia de radio 4 cm e indicar un punto A en ella. A continuación con un transportador, marcar puntos cada 10° alrededor de la circunferencia empezando en el punto A. Cada uno de estos puntos es el centro de otra circunferencia que pasa por A, como se muestra en la figura. ¿Puedes adivinar cuál será la forma de la figura resultante? Actividades complementarias A U3 13/10/09 12:41 Página 44 45. Geometría 45 • En el trabajo con polígonos, es muy conveniente aplicar un método inductivo en lo que se refiere a: planteamiento de fórmulas relacionadas con ángulos interiores, cantidad de diagonales y suma de ángulos interiores. El establecimiento de patrones por medio de tablas le permite al alumno deducir por sus propios medios estas fórmulas, dando así mayor significado a su aprendizaje. Información para el docente Polígonos regulares (páginas 58 y 59) • Dibujar tres hexágonos regulares como los de la figura. Cortarlos por las líneas punteadas de manera que con las trece piezas resultantes se forme un hexágono regular más grande que los tres originales. Actividades complementarias • Las construcciones con regla y compás son prácticas que refuerzan el dominio de todas las propiedades de las figuras que se construyen. Por ejemplo, para construir dos rectas paralelas, se debe saber que es equivalente a construir la recta perpendicular a la perpendicular de la recta inicial. El manejo de las propiedades se puede lograr haciendo análisis de los objetos geométricos que se van a construir desde distintos puntos de vista. Para indagar más sobre construcciones con regla y compás puede visitar la página http://wims.unice.fr/wims/en_home.html donde encontrará ejemplos y problemas de construcción. No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar. Información para el docente Más problemas (páginas 60 y 61) • Construir con regla y compás dos rectas paralelas, un triángulo equilátero, un rombo y un hexágono regular. Actividades complementarias Uso del computador (páginas 62) • Dar a los(as) alumnos(as) algún tiempo en los computadores para familiarizarse con los elementos geométricos que puede facilitar un procesador de textos como Word (herramientas de dibujo, planillas, tablas, etc.). Actividades previas U3 13/10/09 12:41 Página 45 46. Unidad 346 Orientaciones didácticas • En la página www.santillana.cl/ebasica/mat8 aparecen dibujados varios grupos de rectas paralelas cortadas por otros grupos de rectas paralelas formando paralelogramos y triángulos. Si mueves los puntos P, Q, R o S podrás estudiar y analizar las propiedades de estas figuras. a. ¿Cómo son entre sí los ángulos de los triángulos grises? b. ¿Cómo son entre sí los triángulos grises? c. Si mides todos los ángulos posibles, ¿cuántas medidas distintas tendrías? d. ¿Qué relación hay entre los triángulos grises y los triángulos blancos? e. ¿Qué sucede si sigues trazando rectas paralelas? ¿Qué ocurre con el plano? • Trabajando en el programa Cabri – géomètre II los(as) alumnos(as) deben investigar cuáles son sus aplicaciones y luego construir algunas de las figuras que se han aprendido en esta unidad, como por ejemplo, rectas paralelas, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, circunferencias, coronas circulares, etc. A continuación deben exponer algunos de sus resultados, como se muestra en la figura. Actividades complementarias U3 13/10/09 12:41 Página 46 47. Geometría 47 • Entre los programas para trabajar la geometría, Cabri es uno de los más accesibles para los(as) alumnos(as) del segundo ciclo básico. Es menos algebraico y agudiza la intuición. También existen programas más exploratorios, como lo es PolyPro, (que muestra los diferentes cuerpos geométricos), The Geometer’s Sketchpad, GrafEq, Graphmatica, Maple 6, entre otros. Información para el docente • Calcular ángulos entre rectas paralelas. (Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64) • Calcular ángulos en diversas figuras. (Preguntas 5, 6; pág. 64) • Resolver problemas relativos a circunferencias. (Preguntas 1, 2; pág. 65) Evaluación (páginas 64 y 65) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64: responden correctamente al menos tres de las cuatro preguntas planteadas. • Preguntas 5, 6; pág. 64: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas. • Preguntas 1, 2; pág. 65: realizan correctamente al menos una de las 2 actividades planteadas. Criterios de logro U3 13/10/09 12:41 Página 47 48. 48 Evaluación 3 Unidad 3 Marca la alternativa correcta 1. ¿Cuánto vale x? A. 30º B. 60º C. 70º D. 80º 2. La figura muestra dos triángulos rectángulos congruentes con vértice común en C. ¿Cuánto vale x? A. 30º B. 60º C. 120º D. 150º 3. ¿Cuál es el valor de x? A. 60º L1 // L3 y L2 // L4 B. 80º C. 100º D. 150º 4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo regular de 7 lados? A. 700º B. 900º C. 1260º D. 1800º 5. ¿Cuál es el número de lados que tiene un polígono, si la suma de los ángulos interiores es 4140º? A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 6. Determina la suma total de ángulos de giro que realiza un móvil desde A hasta B, sabiendo que los ángulos x corresponden a ángulos interiores de un hexágono regular. A. 840º B. 700º C. 600º D. 564º 7. Determina el valor del ángulo x, si la figura corresponde a dos hexágonos regulares. A. 50º B. 60º C. 80º D. 100º 80º 60º 80º 60º x x B A x x E D x L1 L2 L3 L4 C B A 20º x x U3 13/10/09 12:41 Página 48 49. 49Geometría 8. La figura es un romboide. Determina el valor de los ángulos 2x y x + 30 respectivamente. A. 30º y 30º B. 45º y 45º C. 60º y 60º D. 120º y 120º 9. Determina el valor de x, si la figura es un pentágono regular. A. 18º L1 // L2 B. 25º C. 36º D. 72º 10. Determina el ángulo de vértice ABC, si el ángulo de centro AOC mide 105º. A. 37,5º B. 52,5º C. 75,º D. 85,5º 11. Determina el valor de x, si las rectas L1 y L2 pasan por el centro de la circunferencia. A. 22º B. 44º C. 56º D. 68º 12. Determina la medida del ángulo AOB. Se sabe que el triángulo ABC es equilátero y O es centro de la circunferencia. A. 150º B. 120º C. 60º D. 30º 13. Determina el valor de x e y, respectivamente. A. x = 90º, y = 90º B. x = 60º, y = 60º C. x = 90º, y = 60º D. x = 60º, y = 90º 14. Si L1 // L2 determina el valor de x. A. 40º B. 60º C. 80º D. 140º L1 L1 L1 L2 L2 L2 60º2x x + 30 x O C A B 40º 80º 60º x x O C A x y O CA B B 108º U3 13/10/09 12:41 Página 49 50. UNIDAD Unidad 450 Cuadro sinóptico 4Medición • Síntesis. (Pág. 91) CMO • Evaluación. (Págs. 92 y 93) • Páginas de inicio. (Págs. 66 y 67) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Áreas y perímetros de polígonos compuestos. (Págs. 68 y 69) – Áreas y perímetros de polígonos regulares. (Págs. 70 y 71) – Perímetro de la circunferencia. (Págs. 72 y 73) – Área del círculo. (Págs. 74 y 75) – Medición del volumen. (Págs. 78 y 79) • Cálculo de volúmen de cuerpos redondos. • Cálculo de áreas en un geoplano. • Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico. • Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de […] la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. – Áreas y perímetros de figuras compuestas. (Págs. 76 y 77) • Más problemas. (Págs. 88 y 89) • Uso del computador. (Pág. 90) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 68 – 87) UNIDAD – Área y volumen de pirámides. (Págs. 80 y 81) – El cilindro. (Págs. 82 y 83) – Red del cono recto. (Págs. 84) – Área del cono recto. (Págs. 85) – Volumen de cuerpos redondos. (Págs. 86 y 87) U4 13/10/09 12:41 Página 50 51. Medición 51 Aprendizajes esperados OFT • Calculan áreas y perímetros de polígonos compuestos. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar la información relevante. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Promover una adecuada autoestima y la confianza en sí mismo. • Calculan el perímetro de una circunferencia. • Calculan áreas de cilindros. • Calculan áreas y perímetros de polígonos regulares. • Calculan áreas y perímetros de figuras compuestas. • Miden volúmenes. • Calculan áreas y volúmenes de una pirámide. • Reconocen el cilindro. • Construyen un cono. • Calculan volúmenes de cuerpos redondos. • Calculan áreas de un cono recto. • Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Calculan el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. • Calculan el área y el perímetro de figuras compuestas. • Calculan el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos. U4 13/10/09 12:41 Página 51 52. Unidad 452 Propósito de la unidad Páginas de inicio (páginas 66 y 67) • Pedir a los(as) alumnos(as) que dibujen dos figuras que tengan el mismo perímetro y dos figuras que tengan igual área. Comparan sus respuestas con un compañero(a). Preguntar: ¿Pueden coincidir en un cuadrado la medida del área y la del perímetro? Explica. Actividades complementarias En esta unidad se estudian y profundizan conceptos de geometría plana, tales como: polígonos compuestos, circunferencia y círculo; y de geometría en el espacio, como: pirámides, cilindros y conos, poniendo mayor énfasis en el cálculo de áreas y volúmenes. Respecto a la búsqueda de regularidades, el estudiante podrá descubrir la representación geométrica del número Pi, lo cual será de utilidad para la comprensión de las fórmulas correspondientes para el cálculo de perímetro de la circunferencia y el área del círculo. En cuanto al desarrollo de habilidades, esta unidad pretende motivar al estudiante a desarrollar el interés por descubrir y observar las formas y relaciones existentes en el entorno en que vivimos, y por otra parte, reforzar estrategias de trabajo y de manejo conceptual, especialmente aquellos relativos a áreas y volúmenes. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Medición Polígonos Círculo Cono Cilindro ÁreaPerímetro Circunferencia Pirámides Volumen PolígonosFiguras compuestas Figuras compuestas Cuerpos geométricos Cuerpos redondos Cuerpos poliedros Cuerpos poliedros Cuerpos redondos Polígonos regulares Pirámides U4 13/10/09 12:41 Página 52 53. Medición 53 • Seguramente en la pregunta anterior, los(as) alumnos(as) tratarán de buscar una relación numérica que les permita responder la pregunta; darán algunos valores y calcularan su área y su perímetro, sin embargo, no pensarán en la expresión global que significa calcular áreas (producto) y perímetros (suma). Para inducir a la relación correcta, plantee las expresiones en términos algebraicos, es decir: Área de un cuadrado de Perímetro de un cuadrado de lado x x2 lado x x + x + x + x = 4x Preguntar: ¿Es posible que algún número entero satisfaga la siguiente ecuación? x2 = 4x Esta ecuación tiene solución 0 y 4, luego la única posibilidad de coincidencia se dará si el cuadrado tiene lado 4 unidades. Información para el docente • Pedir a los(as) alumnos(as) que midan las siguientes figuras y luego calculen el área y el perímetro, por medio de descomposiciones. Actividades complementarias • ¿Pueden coincidir en un rectángulo la medida del área y la del perímetro? Explica. Tarea Áreas y perímetros de polígonos compuestos (páginas 68 y 69) • Los(as) alumnos(as) calculan áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. Actividades previas 2 cm 3 cm 5 cm 5 cm 6,4 cm X cm8 m 2 m U4 13/10/09 12:41 Página 53 54. Unidad 454 Orientaciones didácticas • Durante años los(as) profesores(as) hemos reducido el estudio del perímetro y el área a una serie de cálculos algorítmicos olvidando la génesis de estos conceptos: la medición. En la práctica se acostumbra dar ejercicios con medidas previamente establecidas (dadas), de modo que los(as) alumnos(as) nunca tengan que medir. Información para el docente Perímetro de la circunferencia (páginas 72 y 73) Actividades previas Áreas y perímetro de polígonos regulares (páginas 70 y 71) Preguntar: ¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un polígono regular? Presente en la pizarra un pentágono regular, luego pregunte a sus estudiantes de qué forma se podría descomponer para calcular su área y perímetro, y si es recomendable descomponerlo en rectángulos y triángulos, tal como se vio en las páginas anteriores. Actividades previas • Determinar el área de la parte sombreada en cada figura. 1. a =12 cm 2. a = 18 cm b =10 cm b = 21 cm ρ1 = 8 cm ρ1 = 15 cm ρ2 = 7 cm h = 17 cm Actividades complementarias • Es posible que sus estudiantes interpreten ρ como la distancia entre el centro del polígono regular y uno de sus vértices, lo que no es cierto. Enfatice que se trata de la distancia entre dicho punto y uno de los lados del polígono, que corresponde a la altura del triángulo central, formado por dos vértices consecutivos del polígono y su centro. • Enfatice que los alumnos y alumnas remplacen correctamente las medidas en la ecuación correspondiente, especialmente en las actividades donde se presentan dos polígonos distintos. Si tienen dudas, sugiera que pueden observar las figuras para relacionar los datos, por ejemplo, si un polígono está dentro de otro, necesariamente sus medidas serán menores. Información para el docente • Medir usando un cordel la longitud de distintos objetos circulares, luego completar la tabla. Longitud de la Longitud Razón circunferencia (lc) del diámetro (ld) lc ld a b ρ2 ρ1 a b h ρ1 U4 20/10/09 10:56 Página 54 55. Medición 55 • Presente en la pizarra las siguientes figuras, luego pregunte cuál de ellas son circunferencias y cuáles son círculos. Explican por qué. Plantee las siguientes proposiciones. Los(as) alumnos(as) determinarán si son verdaderas o falsas, de acuerdo a las respuestas dadas anteriormente. Podemos calcular: – El perímetro de una circunferencia. – El perímetro de un círculo. – El área de una circunferencia. – El área de un círculo. – El perímetro y el área de una circunferencia. – El perímetro y el área de un círculo. Actividades previas Área del círculo (páginas 74 y 75) • Calcular el perímetro de cada circunferencia dado el radio. Considerar π = 3,14. a. r = 3 cm c. r = m b. r = 2,4 cm d. r = 0,6 m • Calcular el radio de cada circunferencia dado su perímetro. Considerar π = 3,14. a. P = 7 cm c. P = 150,72 m b. P = 62,8 cm d. P = 0,314 km 3 4 Actividades complementarias • En la actividad 29 de la página 73 del texto del alumno(a), se pide calcular el perímetro de una corona circular. Haga notar al alumno(a) que debe calcular el perímetro y no el área (suma de los contornos), ya que esta figura, por ser utilizada generalmente para el cálculo de áreas, genera cierta fijación, al igual que cualquier figura achurada, y el alumno(a) simplemente aplica una fórmula sin darse cuenta de lo que se le está preguntando. Información para el docente Preguntar: ¿Cómo se llama la razón entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro? (Explicar que corresponde al valor numérico de π). U4 13/10/09 12:41 Página 55 56. Unidad 456 Orientaciones didácticas Actividades previas Áreas y perímetros de figuras compuestas (páginas 76 y 77) • Determinar el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de su área. Considerar π = 3,1. a. A = 12 cm c. A = 40 m b. A = 31,4 cm d. A = 0,3 km • Calcular la medida de los siguientes sectores circulares. a. b. c. d. Actividades complementarias • La actividad previa le permitirá aclarar a sus alumnos(as) las propiedades que cumplen tanto la circunferencia (lugar geométrico de los puntos que equidistan a igual distancia de un centro, esa distancia es llamada radio) como el círculo (superficie plana definida por una circunferencia). Información para el docente 60º O O 45º 120º O O • Presentar a los(as) alumnos(as) formas geométricas como las siguientes, para que determinen las figuras que las componen. a. c. b. d. U4 13/10/09 12:41 Página 56 57. Medición 57 • Calcular el área del sector circular generado por una taza y su platillo.Tarea • Es importante recordar las equivalencias entre distintas unidades de medida. Para ello, presentar las siguientes relaciones, luego completar. 1 dm3 es el volumen de un cubo de arista 1 dm. 1 km3 es el volumen de un cubo de arista . 1 m3 . 1 cm3 . Actividades complementarias • Calcular el área achurada y el perímetro total de la figura, dada la siguiente información. a. b. c. Actividades complementarias Rectángulo de lado mayor 6 cm y lado menor 4 cm. Circunferencias congruentes. Circunferencias congruentes de radio 4 cm. Circunferencias pequeñas congruentes de diámetro 1 cm. Circunferencia mayor: radio 3 cm. • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación: – ¿Cuántos cm3 tiene un vaso de de litro? Analizar las respuestas y las estrategias utilizadas en la resolución del problema. 1 8 Actividades previas Medición del volumen (páginas 78 y 79) x 1000 ÷1000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 x 1000 ÷1000 x 1000 ÷1000 x 1000 ÷1000 x 1000 ÷1000 x 1000 ÷1000 V = 1 cm3 U4 13/10/09 12:41 Página 57 58. 58 Orientaciones didácticas Unidad 4 • Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres; con una red construyen una pirámide y luego establezcan alguna relación que les permita calcular su área y su volumen. Comparan sus conjeturas con las de otro grupo. Actividades previas Área y volumen de pirámides (páginas 80 y 81) – Llenar con arena el prisma y luego vaciarlo en el cilindro. ¿Qué conclusión pueden obtener? – Establecer algebraicamente la relación encontrada. • Calcular el volumen de las siguientes pirámides.Actividades complementarias • Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres, armen el prisma y el cilindro y realicen la siguiente actividad. (Ambos deben tener la misma área basal e igual altura). – Comprobar que el prisma y el cilindro tienen igual altura. Actividades previas El cilindro (páginas 82 y 83) h 2 m 4 m 4 m 2 m 2 m 3 m 2 m 2 m 2 m r BB U4 13/10/09 12:41 Página 58 59. 59Medición Diámetro = 4 cm Diámetro = 8 cm Diámetro = 12 cm Altura = 12 cm Altura = 8 cm Altura = 6 cm • Calcular el volumen de los siguientes cilindros dado el diámetro y la altura. Actividades complementarias • En la actividad anterior haga notar a los alumnos(as), que los datos que se están entregando no son aplicables directamente a una fórmula. Deben darse cuenta de que primero hay que calcular el radio de cada cilindro, el cual está dado por el diámetro, para luego aplicar la fórmula que les permite determinar el volumen de un cilindro. Información para el docente • Calcular el volumen real de un envase en forma de cilindro. Luego comparar la medida obtenida con el contenido que se indica en el envase. Tener en cuenta la unidad de volumen usada para poder comparar las mediciones. Tarea • Pedir a los(as) alumnos(as) que se organicen en parejas y realicen la siguiente actividad. Luego responden las preguntas. (Para la actividad necesitan un palito de maqueta, papel lustre, tijeras y pegamento). – Toman un palito de maqueta y un triángulo rectángulo de papel lustre. – Pegan el triángulo al palito de maqueta por uno de sus catetos. – Luego lo hacen girar. ¿Qué cuerpo se observa al hacer girar el palito de maqueta, en el mismo sentido? ¿Podrían explicar cómo se genera un cono y qué figuras lo forman? Actividades previas Red del cono recto (página 84) U4 13/10/09 12:41 Página 59 60. 60 Orientaciones didácticas Unidad 4 • El cono circular recto es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos. La hipotenusa del triángulo es la generatriz g del cono. El cateto sobre el cual se gira es la altura h. El otro cateto es el radio r, de la base. El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector circular de radio g y ángulo αα = . r • 360º g Información para el docente • Escribir en la pizarra los nombres de diversos cuerpos geométricos, poliedros y cuerpos redondos, luego preguntar cuáles son cuerpos redondos y cómo calcular sus volúmenes. Actividades previas Volumen de cuerpos redondos (páginas 86 y 87) Área del cono recto (página 85) • Lee y luego resuelve. a. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector circular de un cono de radio 3 cm y generatriz 5 cm? b. ¿Cuánto debe medir la generatriz para construir un cono de radio 7 cm y α = 90º? c. Construye un cono cuyo perímetro basal sea 8 π cm y generatriz 11 cm. Actividades complementarias • Calcular el área de un cono, dado su radio y su generatriz. Considera π = 3,14. a. r = 2 cm, g = 6 cm d. r = 2,6 cm, g = 6,4 cm b. r = 4 cm, g = 8 cm e. r = 5 cm, g = 10,2 cm c. r = 3,5 cm, g = 10 cm f. r = 3,6 cm, g = 8 cm Actividades complementarias U4 13/10/09 12:41 Página 60 61. 61Medición 1. 2. 3. Radio = 2 cm Radio = 2 cm Radio = 2 cm Altura = 8 cm Altura = 6 cm Altura = 10 cm • Calcular el volumen de los siguientes cuerpos redondos.Actividades complementarias r h r r h h • Motive a sus alumnos(as) para que siempre busquen al menos dos estrategias de resolución para un mismo problema (si es que las hay). Esto les permite desarrollar sus habilidades y observar que un mismo problema puede tener diversos caminos de solución. Información para el docente Más problemas (páginas 88 y 89) • En la siguiente dirección web encontrará un geoplano interactivo, que le permitirá realizar la actividad en concreto con sus alumnos(as), podrán de una manera más didáctica descubrir las regularidades presentes en la actividad. www.santillana.cl/ebasica/mat8 . Información para el docente Uso del computador (página 90) • Calcular el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. (Preguntas 1, 2; pág. 92) • Calcular el área y el perímetro de figuras compuestas. (Preguntas 3, 4, 8; pág. 92. Preguntas 1, 2, 3; pág. 93) • Calcular el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos. (Preguntas 5, 6, 7; pág. 92. Pregunta 4; pág. 93) Evaluación (páginas 92 y 93) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 2; pág. 92: responden correctamente los ejercicios formulados. • Preguntas 3, 4, 8; pág. 92 y preguntas 1, 2, 3; pág. 93: responden correctamente al menos cuatro de las seis preguntas formuladas. • Preguntas 5, 6, 7; pág. 92 y pregunta 4, pág. 93: responden correctamente al menos tres de las cuatro preguntas planteadas. Criterios de logro U4 13/10/09 12:41 Página 61 62. 62 Evaluación 4 Unidad 4 Marca la alternativa correcta Para tus cálculos considera π = 3 1. Calcula el área del siguiente polígono. A. 70 m2 B. 78 m2 C. 86 m2 D. 150 m2 2. Calcula el área pintada de la figura. A. 37,5 m2 B. 64,3 m2 C. 225 m2 D. 274,75 m2 3. ¿Cuál de las siguientes corresponde al volumen de la mitad de una esfera de radio 3 cm. A. 36 m3 B. 27 m3 C. 56,52 m3 D. 216 m3 4. ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm y cuyo apotema mide 5 cm? A. 105 cm2 B. 90 cm2 C. 60 cm2 D. 45 cm2 5. Un cuadrado de lado 32 m, tiene inscritas 4 circunferencias. Calcula el área pintada. A. 64 m2 B. 220,16 m2 C. 768 m2 D. 1024 m2 6. Determina el volumen de la pirámide de base cuadrada. A. 576 cm3 B. 480 cm3 C. 356 cm3 D. 278 cm3 7. Calcula el perímetro de la figura pintada. A. 6 + 9π cm B. 54 - 9π cm2 C. 6 + 6π cm D. 18 + 9π cm 45º 10 mO 6 m 32 u 12 cm 10cm 8 7 7 44 4 4 44 4 4 22 CE, EG, HJ y JB son arcos de circunferencia. El rectángulo ADFI mide 9 cm de largo y 6 de ancho. A B C J D E I H G F U4 13/10/09 12:41 Página 62 63. 63Medición di de d h L r 2 3 C A B 8. Calcula el volumen de acero inoxidable que se necesita para elaborar una cañería cuyas dimensiones son: diámetro externo (de) = 12 cm diámetro interno (di) = 10 cm Largo ( L ) = 100 cm A. 3454 cm3 B. 6000 cm3 C. 7500 cm3 D. 10 800 cm3 9. El área y el perímetro de una figura formada por un triángulo isósceles de altura 4 metros y una semicircunferencia de diámetro 6 metros es: A. área = 39 m2 ; perímetro 28 m B. área = 26,13 m2 ; perímetro 19,42 m C. área = 25,5 m2 ; perímetro 28 m D. área = 39 m2 ; perímetro 19 m 10. Un automóvil se desplaza 1200 metros. Determina el radio de las ruedas, sabiendo que dieron 400 vueltas en el total del trayecto. A. 3 m B. 2 m C. 1 m D. 0,5 m 11. ¿Cuál es el área que se obtiene al armar una red de una pirámide cuadrada cuyo lado de la base mide 4 cm y sus caras laterales corresponden a triángulos equiláteros? A. 16 (1 + ) cm2 B. cm2 C. 16 cm2 D. cm2 12. Un tarro de pelotas de tenis tiene 4 pelotas perfectamente calzadas en su interior. Determina el volumen del tarro cuya forma es cilíndrica, sabiendo que el diámetro de cada pelota es 12 cm. A. 1296 cm3 B. 5426 cm3 C. 3888 cm3 D. 15 552 cm3 13. Un círculo ubicado en el vértice C de un triángulo equilátero rueda por el lado CB. ¿Qué radio debe tener el círculo para que justo de una vuelta, desde el vértice C al vértice B, sabiendo que el lado del triángulo mide 6 cm? A. 3 m B. 2 m C. 1 m D. 0,5 m 232 3 2 332 3 3 U4 13/10/09 12:41 Página 63 64. UNIDAD Unidad 564 Cuadro sinóptico 5Funciones CMO • Páginas de inicio. (Págs. 94 y 95) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Noción de función. (Págs. 96 y 97) – Variables dependientes e independientes. (Págs. 98 a 101) – Representación de una función. (Págs. 102 y 103) – Imagen y preimagen. (Págs. 104 y 105) – Recorrido de una función. (Pág. 107) • Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones. – Dominio de una función. (Pág. 106) • Más problemas. (Págs. 108 y 109) • Uso de computador (Pág. 110) • Síntesis (Pág. 111) • Evaluación. (Págs. 112 y 113) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 96 a 107) UNIDAD • Representación de una función • Representación de una función U5 13/10/09 12:42 Página 64 65. Funciones 65 Aprendizajes esperados OFT • Determinan cuándo dos variables están relacionadas por una función. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Reconocen funciones en diversos contextos • Calculan el valor de la imagen y de la preimagen de un número bajo una función. • Determinan el dominio de una función. • Determinan el recorrido de una función. • Representan algebraicamente una función. • Aplican el concepto de imagen y preimagen. • Evalúan una función. • Aplican la noción de función. • Representan gráficamente una función. • Reconocer la importancia del trabajo como forma de desarrollo personal, familiar y social. • Reconocen y resuelven problemas que involucran variables dependientes e independientes. • Desarrollar las habilidades intelectuales relacionadas con la clarificación, evaluación y generación de ideas. U5 13/10/09 12:42 Página 65 66. 66 Propósito de la unidad Páginas de inicio (páginas 94 y 95) • Resuelve las siguientes ecuaciones a. 4x – 3 + 7 = 2x b. 7x + 2x – 5 = 20 – x c. 12x – 4 = 28 – 2x d. 9x – 18 = 3x – 30 e. 3y – 14 + 7y = 4y – 1y + 16 f. –4x + 2x + 6 – 2 = 4x + 12 Actividades complementarias La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la representación de relaciones, mediante la utilización del concepto y la notación de funciones, de esta manera el alumno podrá resolver problemas más complejos, en los cuales necesita representar una relación entre dos variables, por ejemplo, una relación proporcional. Muchas de las situaciones planteadas están relacionadas con situaciones cotidianas, de este modo el alumno descubrirá una gama de aplicaciones de las funciones, tanto mediante su representación algebraica como mediante su gráfica. Por otra parte, se pretende desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas especialmente a estudiar los conceptos involucrados en la noción de función. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Noción Representación Variable independiente Variable dependiente Gráfica Algebraica Tabla de valores Preimagen Imagen RecorridoDominio Aplicaciones Funciones Unidad 5 U5 20/10/09 10:57 Página 66 67. Funciones 67 • Es fundamental que sus estudiantes distingan una función de alguna otra relación entre dos variables, es necesario que para cada uno de los valores posibles de x, le corresponda un único valor de y (y no dos valores distintos). Enfatice la idea de que la unicidad se refiere al valor de y que está relacionado con cada valor de x, de modo que no se confunda con la idea de que todos los valores de y deben ser el mismo. Información para el docente • Determinar en cada caso si la relación entre las variables corresponde a una función o no. 1. Un número cualquiera y su inverso multiplicativo. 2. La longitud del lado de un hexágono regular y su área. 3. El número de pisos de un edificio y la cantidad de escaleras que tiene. 4. La longitud del lado de un triángulo cualquiera y su perímetro. 5. El número de teléfono y una persona. 6. El tiempo de conexión a Internet y el valor. 7. Un joven y sus primos. Actividades complementarias Noción de función (páginas 96 y 97) Variables dependientes e independientes (páginas 98 a 101) • Describe la relación entre las siguientes variables, en cada caso justifica. a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura o el tamaño de la pared? b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de agua o el precio de la cuenta? c. Sueldo de una persona y horas de trabajo. ¿Cuál es la variable dependiente? d. Dinero de la deuda total e intereses de una deuda. ¿Cuál es la variable independiente? Actividades complementarias • Es importante tener en cuenta que el concepto de dependencia e independencia entre las variables es fundamental. Por este motivo, se debe recalcar la idea que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Información para el docente • Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F). a. 8 + 2 • (–2) = –8 : –2 b. –16 • (–3) + 20 = –14 + 6 • 7 c. –40 : 8 – 10 = – 3 • 8 + 9 d. 9 – 0,25 • 20 – 3,5 = 8 : 8 – 1 e. 32 : 4 – 7 = – 4,2 • 4 + 3,2 f. 24 • (–2) + 48 = (–6 + 8) • 7 – 14 U5 13/10/09 12:42 Página 67 68. 68 Orientaciones didácticas •Completa la siguiente tabla:Actividades complementarias Imagen y preimagen (páginas 104 y 105) Representación de una función (páginas 102 y 103) • Un acuario se puede llenar vaciando 12 bidones de 15 litros cada uno, por lo que con bidones de 5 litros se deben ocupar 36 bidones, para el mismo fin. a. ¿Cuál es la función que modela estos valores? b. Construye el gráfico correspondiente. c. Observando la gráfica anterior, ¿cuántos bidones de 30 L se necesitan para llenar el acuario? ¿Y bidones de 6 L?, ¿y de 20 L? Actividades complementarias Unidad 5 • Recuérdeles a sus alumnos(as) las características que debe tener el gráfico de una función: Asignar la variable independiente al eje X y la independiente al eje Y e identificarlas, establecer la escala necesaria para cada eje y escribir sus números. Enfatice el orden correcto de las variables en un par ordenado y la forma de ubicar los puntos en el gráfico. Información para el docente Función Imagen de 0 Imagen de 5 Preimagen de 65 Preimagen de 0 f(x)= 3x – 5 g(x)= 12x + 9 h(x)= –3 – 7 • Comprender el concepto de imagen y preimagen de uno o más valores bajo una función es el paso previo para comprender el dominio y recorrido de la función, por lo que compruebe que los alumnos(as) calculan correctamente la imagen y preimagen, y que pueden decidir cuándo no existen, en cada caso, antes de continuar con la unidad. Información para el docente • Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se presentan a continuación, y el dominio de la función en cada caso. a. Se dice que una coneja a partir del segundo año de vida, tiene 28 hijos por año; Si x es la edad de la coneja, ¿qué función entrega la cantidad de hijos que ha tenido? b. Un automóvil rinde 12 km por cada litro de bencina cuando recorre la ciudad. ¿Qué función indica el gasto de bencina cuando se han recorrido x kilómetros? c. Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos; ¿Qué función nos da la cantidad de bacterias que hay después de x minutos si al comienzo había 7 bacterias? Actividades complementarias Dominio de una función (página 106) U5 13/10/09 12:42 Página 68 69. Funciones 69 • Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se presentan a continuación y el recorrido de la función en cada caso. a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura o el tamaño de la pared? b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de agua o el precio de la cuenta? Actividades complementarias Recorrido de una función (página 107) Más problemas (páginas 108 y 109) • Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema, discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del contexto. Para ello les puede plantear las siguientes preguntas: - ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste? - ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema? A continuación es recomendable generar un debate acerca de las diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para resolver una misma situación. Información para el docente Uso de computador (página 110) • Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de poder utilizar un software computacional, ya que este recurso tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las diferentes funciones estudiadas. • Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en esta página, es fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los conceptos trabajados en la unidad. Información para el docente • Representar algebraicamente una función. (Pregunta 1; pág. 112 y pregunta 3 de pág. 113) • Evaluar afirmaciones que involucran conceptos tratados en la unidad (Preguntas 2 y 5; pág.112) • Aplicar el concepto de imagen y preimagen. (Pregunta 3, 4 y 7; pág.112 y pregunta 2 de pág. 113) • Evaluar una función. (Pregunta 6; pág. 112) • Aplicar la noción de función. (Pregunta 8; pág.112) • Representar gráficamente una función. (Pregunta 1; pág. 113) Evaluación (páginas 112 y 113) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 2, 5 y 8; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas. • Preguntas 3, 4, 6 y 7; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas. • Preguntas 1 y 2; pág. 113: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas. Criterios de logro U5 13/10/09 12:42 Página 69 70. 70 Evaluación 5 Marca la alternativa correcta 1. La imagen de 27 en la función f (x) = 2x + 7 es: A. 20 B. 47 C. 54 D. 61 2. La preimagen de 33 en la función f (x) = 6x – 9 es: A. 5,5 B. 5 C. 4 D. 7 3. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta? A. El recorrido de una función es el conjunto de todas sus preimágenes. B. La variable dependiente corresponde a la variable y. C. El recorrido de la función y = 4x está compuesto por los números pares. D. La preimagen de 13 bajo la función y = 2x – 1 es 6. 4. El valor de la función f (x) = 25 – 5x cuando x = 5 es: A. 0 B. –50 C. 20 D. 30 5. En una confitería se envasan 24 bombones en cada caja. ¿Cuál es la función que modela el número total de bombones envasados? A. y = 24 – x B. y = x + 24 C. y = 24x D. x = 24y 6. Según la pregunta anterior, la variable independiente, ¿a qué corresponde? A. A la cantidad de bombones en cada caja. B. A la cantidad de cajas. C. Al total de bombones. D. Ninguna de las anteriores. 7. ¿Cuál de las siguientes frases se relaciona con la función f (x) = 30 – 12x? A. La imagen de 3 es 6. B. La preimagen de 42 es 1. C. La imagen de 0 es 18. D. La preimagen de 6 es 2. 8. Matilde elaboró 240 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. En este contexto, ¿cuál de las siguientes frases es falsa? A. La función que modela esta situación es y = B. La variable dependiente es la cantidad de alfajores que se envasan en cada caja. C. 120 pertenece al recorrido de la función. D. 60 pertenece al dominio de la función. 9. Según la pregunta anterior, ¿cuál de las siguientes frases es verdadera? A. El dominio de la función son todos los números naturales. B. El dominio de la función es igual a su recorrido. C. El recorrido de la función son todos los números enteros entre 1 y 240. D. Ninguna de las anteriores. Unidad 5 x 240 U5 13/10/09 12:42 Página 70 71. 71 10. El valor de la función f (x) = 3x + 18 cuando x = 6 es: A. 36 B. 18 C. 54 D. 111 11. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa? A. El dominio de una función es el conjunto de todas sus preimágenes. B. La variable x corresponde a la variable dependiente. C. La preimagen de –15 bajo la función y = 30 – 9x es 5. D. La imagen de 7 bajo la función y = 4x – 5 es 23. 12. ¿Cuál de las siguientes relaciones no corresponde a una función? A. El área de una mesa rectangular y la longitud de su ancho. B. La longitud del radio de una circunferencia y su área. C. La edad de una persona y la cantidad de hijos e hijas que tiene. D. La longitud de un lado de un triángulo y su altura. 13. ¿Cuál es la función que modela los valores de la siguiente tabla? A. y = 22 – 5x B. y = 20 – 3x C. y = 2x + 15 D. Ninguna de las anteriores. 14. La única afirmación falsa con respecto a la función f(x) = es: A. f(–1) = –1 B. f(–3) = C. f = D. f(3) = 5 15. Con respecto a la función g(x) = se afirma que: I. g(6) no existe. II. g(3) es un entero negativo. III. g es negativo. De las afirmaciones son verdaderas: A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 16. ¿Cuál es la función que modela los valores de la siguiente tabla? A. y = 4x – 2 B. y = x2 – 2 C. y = 2x + 2 D. Ninguna de las anteriores. 1 2 –1 2 Funciones x y 1 17 2 14 3 11 4 8 5 5 6 2 x – 1 2 6 x – 6 x y 1 2 2 6 3 11 4 18 5 27 6 38 x2 + 1 –5 5 2x – 1 U5 13/10/09 12:42 Página 71 72. UNIDAD Unidad 672 Cuadro sinóptico 6Relaciones proporcionales CMO • Páginas de inicio. (Págs. 118 y 119) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Razones y proporciones. (Págs. 120 y 121) – Variaciones proporcionales y no proporcionales. (Págs. 122 y 123) – Proporcionalidad directa. (Págs. 124 a 127) – Proporcionalidad inversa. (Págs. 128 a 131) – Escala. (Págs. 134 y 135) – Porcentajes. (Págs. 136 y 137) – Aplicaciones del porcentaje en el comercio. (Págs. 138 y 139) – El impuesto al valor agregado: IVA. (Págs. 140 y 141) • Aplicación y cálculo de escalas. • Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. • Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. • Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. – Semejanza y proporcionalidad. (Págs. 132 y 133) • Más problemas. (Págs. 142 y 143) • Uso de la calculadora. (Pág. 144) • Cálculo mental. (Pág. 144) • Síntesis. (Pág. 145) • Evaluación. (Págs. 146 y 147) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 118 - 141) UNIDAD • Cálculo de porcentajes. • Cálculo de porcentajes. • IVA. • Cálculo de porcentajes. U6 20/10/09 11:02 Página 72 73. Relaciones proporcionales 73 Aprendizajes esperados OFT • Reconocen razones y proporciones. • Desarrollar las habilidades intelectuales relacionadas con la clarificación, evaluación y generación de ideas. • Desarrollar las habilidades intelectuales relacionadas con la clarificación, evaluación y generación de ideas. • Desarrollar las habilidades intelectuales relacionadas con la clarificación, evaluación y generación de ideas. • Reconocer la importancia del trabajo como forma de desarrollo personal, familiar y social. • Reconocer la importancia del trabajo como forma de desarrollo personal, familiar y social. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad directa. • Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad inversa. • Resuelven problemas que involucran semejanza y proporcionalidad. • Resuelven problemas que involucran cálculo de escalas. • Calculan porcentajes en contextos concretos. • Calculan porcentajes en contextos concretos. • Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un porcentaje. • Resuelven problemas de cálculo de impuestos. • Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un porcentaje. • Resuelven problemas usando proporcionalidad directa. • Resuelven problemas usando proporcionalidad inversa. • Aplican el concepto de razón. • Aplican el concepto de escala. • Resuelven problemas aplicando porcentajes. • Resuelven situaciones relacionadas con el comercio. • Aplican porcentaje correspondiente al IVA. • Reconocen y resuelven problemas que involucran variaciones proporcionales y no proporcionales. • Desarrollar las habilidades intelectuales relacionadas con la clarificación, evaluación y generación de ideas. U6 20/10/09 11:02 Página 73 74. Unidad 674 Propósito de la unidad Páginas de inicio (páginas 116 y 117) • Discutir con los(as) alumnos(as) en cuáles de los siguientes problemas las magnitudes varían proporcionalmente. a. Al comprar 3 kilos de pan, Juan paga una cantidad de dinero que asciende a $750, y al comprar 5 kilos paga $1250. b. Pedro manda una cadena de e-mails a tres compañeros, y cada uno de ellos a su vez manda este e-mail a tres amigos más y así sucesivamente. c. Dos amigos se toman una bebida de 3 litros en una hora, en cambio, seis amigos se toman esta misma cantidad en media hora. Actividades complementarias El concepto de proporcionalidad no es desconocido para los alumnos, pues ha sido estudiado en Séptimo Año Básico. Desde esta perspectiva, la unidad se ha estructurado dando importancia a la distinción entre situaciones en las cuales se presente una variación proporcional, y otras en las que no se presente. Del mismo modo, las actividades requieren de una reflexión respecto de la dinámica de las variaciones proporcionales, ya que más que propiciar el entendimiento de la mecánica propia para resolver diversas situaciones, lo que se busca es que visualicen la manera cómo se relacionan las variables. En cuanto a la aplicación de la proporcionalidad se trabaja la semejanza de figuras planas, el diseño de dibujos a escala y de manera muy especial porcentajes, utilizando para este último, ejemplos de contextos reales como el comercio. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Relaciones proporcionales Razón Proporción Directa Inversa Porcentaje IVA Aplicaciones Descuentos Aumentos porcentuales Escala Semejanza y proporcionalidad Variaciones proporcionales y no proporcionales U6 20/10/09 11:02 Página 74 75. Relaciones proporcionales 75 • Es importante hacer ver a los(as) alumnos(as) las diferencias que se presentan entre fracción y razón. La primera de estas es una relación parte – todo, en cambio, la segunda es una relación parte – parte. Es relevante hacer notar que la razón puede comparar cantidades de la misma magnitud, y cantidades de magnitudes distintas. Información para el docente • Determinar la constante de proporcionalidad en los siguientes problemas. a. Los ángulos interiores de un pentágono irregular están en la razón 1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5. b. Una persona, viajando en automóvil, se percata de que por cada kilómetro que avanza, aumenta su velocidad en 0,5 km/h. Actividades complementarias Razones y proporciones (páginas 118 y 119) • Determinar si las siguientes relaciones representan una fracción o una razón. a. Cantidad de alumnos(as) del 8° A y la cantidad de alumnos del colegio. b. Cantidad de mujeres de Chile y la cantidad de hombres de Chile. c. Cantidad de adultos mayores respecto de la población total del país. d. Cantidad de basura que produce un hogar con respecto a la cantidad promedio de personas que viven en un hogar. Actividades previas Variaciones proporcionales y no proporcionales (páginas 120 y 121) • Mostrar a los alumnos y alumnas esquemas de figuras que sean proporcionales y no proporcionales. Luego, pedir que realicen las mediciones necesarias para determinar si las figuras dadas son o no proporcionales. Por ejemplo, Actividades complementarias a. b. U6 20/10/09 11:02 Página 75 76. Unidad 676 Orientaciones didácticas • Construir una tabla y su gráfico correspondiente para dar respuesta a la siguiente situación: Un automóvil debe recorrer una distancia de 360 km. ¿Cuáles son los tiempos y las velocidades que puede alcanzar este auto, de manera de recorrer la distancia indicada? • Resuelve los siguientes problemas. a. Con mi dinero puedo comprar 25 dulces a $ 30 cada uno. Si suben a $ 35, ¿cuánto podré comprar? b. Si 50 telares producen cierta cantidad de tela en 240 horas. ¿Cuántas horas demoran 120 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? c. Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientes respectivamente. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 144 vueltas? d. Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarían si se quiere pintar en 80 días? e. En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos en dar una vuelta a la pista a 250 km/h. Si el segundo auto demoró 2,8 minutos, ¿a qué velocidad promedio dio la vuelta a la pista? Actividades complementarias Proporcionalidad inversa (páginas 126 a 129) • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas encuentran magnitudes o variables donde si una aumenta, la otra disminuye, y viceversa? Actividades previas Proporcionalidad directa (páginas 122 a 125) • Construir una tabla de valores y el gráfico correspondiente para encontrar la respuesta a la siguiente situación: – Una impresora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar una enciclopedia de 3600 páginas, ¿cuánto tiempo se demora la máquina en hacerlas? • Resuelve los siguientes problemas. a. Doce metros de género cuestan $ 2400. ¿Cuánto cuestan 5 metros? b. Diez obreros cavan, en cinco horas, una zanja de 60 m de longitud. ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros trabajando en las mismas condiciones? c. Si una persona de 1,85 m de altura proyecta una sombra de 1,35 m de longitud, calcula la altura de un árbol que en el mismo instante proyecta una sombra de 20 metros. Actividades complementarias • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas encuentran magnitudes o variables que aumenten o disminuyan a la vez? Actividades previas U6 20/10/09 11:02 Página 76 77. Relaciones proporcionales 77 Para alumnos más avanzados: • Ingresar a la página www.descartes.cnice.mec.es y seleccionar Unidades Didácticas. Allí encontrarán una serie de temas, de los cuales eligen Semejanza y Homotecia. A partir de lo que ahí descubran y al realizar las actividades que se plantean, contestan las siguientes preguntas: Actividades complementarias • Preguntar a los(as) alumnos(as): – ¿Un cuadrado pequeño y uno grande, son iguales o parecidos? – ¿Y dos circunferencias? – ¿En qué se diferencia una circunferencia pequeña de una grande? Semejanza y proporcionalidad (páginas 130 y 131) Actividades previas Para alumnos más avanzados: • Construir una tabla e identificar la proporcionalidad en cada uno de los siguientes problemas: a. Si tres secretarias pueden digitar seis manuscritos en doce días, ¿cuántos días tomaría a dos de ellas digitar tres de esos documentos? b. Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿Cuántas nueces come una ardilla en un día? Intuye la respuesta y luego compruébala. c. Para llenar un estanque se necesitan dos llaves (A y B). Estando abierta la llave A, el estanque se llena en 2 horas, y estando abierta la llave B el estanque se llena en una hora y media. ¿Cuánto demora en llenarse estando abiertas las dos llaves? Actividades complementarias • Lo más relevante del trabajo con proporcionalidad compuesta es la identificación de cada uno de los tipos de proporcionalidad que están involucrados en los problemas. Pero esta identificación se dificulta por el poco contacto que tienen los alumnos con las magnitudes que se relacionan de una u otra forma en la realidad; en su vida cotidiana manejan muy pocas magnitudes como para que puedan determinar los tipos de proporcionalidad en problemas de enunciados verbales. Es por esto que el profesor debe ejercitar el manejo de magnitudes, y que los alumnos(as) experimenten concretamente con ellas. Comentario • Los alumnos tienden a pensar que si dos variables aumentan o disminuyen a la vez se tiene una proporción directa, mientras que al enfrentarse a dos variables en la cual una aumenta y la otra disminuye se tiene una proporción inversa. Se debe aclarar que el comportamiento de las variables en ambos casos debe ser proporcional. Posibles dificultades U6 20/10/09 11:02 Página 77 78. Unidad 678 Orientaciones didácticas • El porcentaje, al ser una razón de consecuente cien, también está ligado al campo de las fracciones. Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan la equivalencia de significado que existe entre porcentajes y fracciones, además de su equivalencia numérica. Por ejemplo, decir el 50% de un cierto número, o decir del número, o decir “la mitad” del 1 2 Información para el docente • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son las situaciones en que han escuchado hablar de porcentaje? ¿Qué representa un porcentaje? ¿Puede tener relación con las fracciones? Porcentaje (páginas 134 y 135) Actividades previas • Asocia cada porcentaje con la fracción (o expresión) que le es equivalente.Actividades complementarias 25% Un tercio33,333...% 50% 1 3 3 10 1 2 La mitad La cuarta parte 30% • Para medir y cambiar escalas el instrumento más usado es el escalímetro. Es bueno que los(as) alumnos(as) se familiaricen con este tipo de instrumentos, pues observan en la realidad cómo aplicar los conocimientos que van aprendiendo de forma teórica. Otro instrumento interesante para mostrar y manipular es el pantógrafo, el cual permite construir polígonos semejantes a uno determinado, fijando previamente la razón de proporcionalidad. Información para el docente – ¿Qué es una homotecia? – ¿Qué se obtiene de ella al ser aplicada a un polígono? – ¿Qué es el centro de homotecia? – ¿Qué significa que la razón de homotecia k sea positiva mayor que 1? ¿Sea positiva menor que 1? ¿Sea negativa mayor que –1? ¿Sea negativa menor que –1? ¿Qué significa que sea cero? Si en la figura de la casa se hace variar el centro de homotecia “O”, ¿qué sucede con la figura? Si en la misma figura se hace variar solo la razón de homotecia k, ¿qué sucede con la figura? No olvidar que las páginas web o su contenido pueden variar. Escala (páginas 132 y 133) U6 21/10/09 10:21 Página 78 79. Relaciones proporcionales 79 Aplicaciones de porcentajes en el comercio (páginas 136 y 137) • Determinar el porcentaje final de ganancia o pérdida en cada uno de los siguientes problemas. – Una persona compra un artículo en $80 000 y lo vende con un 10% de ganancia. En seguida el artículo se vuelve a vender pero ahora con un 10% de pérdida. ¿El artículo queda en el precio original? – Una librería vende los libros con un 20% de descuento si la venta es a plazo; pero si es al contado hace además un 5% de descuento adicional calculado sobre el precio de venta a plazo. Si un libro está marcado con $n, ¿cuánto dinero se pagará por él, si el pago es al contado? ¿Los cálculos confirman la intuición? ¿Por qué? Actividades complementarias El impuesto al valor agregado: IVA (páginas 138 y 139) Más problemas (páginas 140 y 141) • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación. – En el kiosco del colegio de Manuel se compran periódicamente los productos que después se venden a los alumnos. Manuel le ayuda a don José, el dueño del kiosco, a ordenar las facturas que le pasan los distintos proveedores. Él observa que a lo que cuesta cada producto se le agrega un valor más, siendo el total de esta cantidad lo que debe pagar don José. Manuel mira una de las facturas y observa que el monto final es $243 000 pero que el costo de los productos es $196 830. Averiguar cuánto más pagó don José y a qué porcentaje corresponde del costo inicial y a qué porcentaje corresponde del monto final. Comparar estos porcentajes. ¿Qué pueden concluir? Actividades complementarias • Realizar el siguiente desafío con un(a) compañero(a), anotando todos los pasos que siguieron para llegar al resultado final. Comentar el procedimiento seguido con tu profesor(a). – Matías depositó en una cuenta de ahorros $100 000 con una tasa de interés mensual de 3,5%. Después de algún tiempo, Matías quiso invertir su dinero pero encontró que había más del que había depositado. Construye una tabla para que Matías entienda cómo fue que aumentó su capital inicial y por qué sucedió. Actividades complementarias número, son expresiones que no solo arrojan un valor numérico equivalente, sino que su carga de significado también lo es, esto le permitirá comprender mejor el campo de problemas que abarcan los porcentajes. U6 20/10/09 11:02 Página 79 80. Unidad 680 Orientaciones didácticas • Utilizar la calculadora para determinar rápidamente los aumentos y los descuentos en las siguientes situaciones que suelen presentarse en el comercio. a. ¡Oferta! Lleve tres y pague 2. ¿Cuál es el porcentaje de descuento por producto, si el pago total es $1650? Actividades complementarias Uso de la calculadora (página 142) • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son los beneficios de usar la calculadora en los procedimientos de resolución de problemas? ¿Qué desventajas tiene este uso? ¿Siempre es conveniente usarla? Actividad previa Cálculo mental (página 142) • Calcular mentalmente las siguientes relaciones porcentuales. a. el 50% de 40 es g. 8 es el 12% de b. el 25 % de 70 es h. 33 es el 30% de c. el 35% de 200 es i. 20 es el % de 100 d. el 15% de 300 es j. 45 es el % de 90 e. 5 es el 20% de k. 80 es el % de 40 f. 23 es el 50% de l. 44 es el % de 440 Actividades complementarias • Es muy importante incentivar cálculo mental en situaciones o problemas referidos a relaciones proporcionales, pues ya no es solo el cálculo el que se está ejercitando, sino que además se está llevando a un plano superior de comprensión las mismas relaciones que involucran a ciertas variables. El cálculo mental aquí también cumple una de sus tareas fundamentales, que es hacer trabajar a los(as) alumnos(as) las combinaciones aditivas y multiplicativas básicas que le permiten encontrar con mayor rapidez una respuesta. Información para el docente • En el proceso de resolución de problemas es muy importante la validación de las respuestas en el contexto en que se circunscribe el problema. Este punto va más allá de verificar si los cálculos están correctos; va en el sentido de dar significado al problema y analizar si el problema tenía sentido en sí mismo. Este tipo de análisis genera en el alumno(a) la habilidad de cuestionar, que es estrictamente necesaria en matemáticas y en la resolución de problemas en general. Información para el docente U6 20/10/09 11:02 Página 80 81. Relaciones proporcionales 81 • Resolver problemas usando proporcionalidad directa. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 146) • Resolver problemas usando proporcionalidad inversa. (Pregunta 4; pág. 146) • Resolver problemas usando proporcionalidad compuesta. (Pregunta 5; pág.146) • Aplicar el concepto de razón. (Preguntas 6 y 7; pág.146) • Aplicar el concepto de escala. (Pregunta 7; pág.146) • Resolver problemas aplicando porcentajes. (Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág.146) • Resolver situaciones relacionadas con el comercio. (Pregunta 1; pág.147) • Aplicar porcentaje correspondiente al IVA. (Preguntas 2 y 3; pág.147) Evaluación (páginas 144 y 145) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 2, 3 y 4; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas. • Preguntas 5, 6 y 7; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas. • Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág. 146: responden correctamente al menos tres de las cinco preguntas planteadas. • Preguntas 1, 2 y 3; pág. 147: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas. Criterios de logro b. Un producto se vende sin IVA y cuesta $8 735. ¿Cuánto cuesta con el impuesto incorporado? c. Si se desea calcular el 13% de aumento en el precio de un producto que cuesta $467, ¿se puede multiplicar este precio por 1,13 para obtener la respuesta? Inténtalo. d. Si se desea calcular la disminución del 8% en el precio de un producto (que cuesta 800 pesos), ¿se puede multiplicar por 0,92 para obtener la disminución efectiva? Inténtalo. • Otra vía para aplicar el concepto de porcentaje es la utilización en el sueldo o salario al tener un contrato de trabajo. Para esto se puede trabajar con una planilla de sueldos, para lo cual es necesario saber los porcentajes de descuento. El sueldo bruto se descompone en sueldo líquido (80,1%), cotización de AFP (12,5%), cotización de salud (7%) y seguro de cesantía (0,4%). Utilizando la información anterior, completar la siguiente tabla: Sueldo Sueldo AFP Salud Seguro bruto líquido de cesantía $ 259 000 $ $ $ $ $ $ 155 000 $ $ $ $ $ $ $ 9550 $ $ $ $ $ $ 3040 U6 20/10/09 11:02 Página 81 82. 82 Evaluación 6 Unidad 6 Marca la alternativa correcta 1. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente proporción? = A. x = 8 B. x = 5 C. x = 3 D. x = 2 2. En la figura hay dos rectángulos semejantes. Determina el largo del rectángulo mayor (x). A. 11 centímetros B. 12 centímetros C. 14 centímetros D. 21 centímetros 3. Una secretaria escribe en promedio 1500 palabras en 15 minutos. ¿cuántas palabras escribe en 1 hora? A. 3000 B. 6000 C. 9000 D. 15 000 4. Si debes leer un libro de 50 páginas y te demoras 5 páginas por hora. ¿Cuántos días demoras si solo lees 2 horas diaramente? A. 1 día B. 5 días C. 10 días D. 15 días 5. Isabel midió la sala de clases, y esta tiene 15 metros de largo y 5 de ancho. Si debe dibujar un plano de su sala usando una escala de 1 : 25, ¿cuáles son las medidas en centímetros del plano de la sala? A. Largo 80 cm; ancho 40 cm B. Largo 60 cm; ancho 20 cm C. Largo 10 cm; ancho 50 cm D. Largo 10 cm; ancho 30 cm 6. Diego e Isabel se reparten 36 dulces en proporción a sus edades, que son 3 y 9 años respectivamente. ¿Cuántos dulces le corresponden a cada uno? A. 8 y 28 dulces B. 9 y 27 dulces C. 10 y 26 dulces D. 12 y 24 dulces 7. El sueldo de Carlos es de $250 000 y será reajustado en un 25% pero como tiene una deuda equivalente al 25% de su sueldo inicial con la empresa, se la van a descontar el primer mes. ¿cuánto recibe el primer y segundo mes? A. 1º mes = $250 000; 2º mes = $312 500 B. 1º mes = $150 000; 2º mes = $312 500 C. 1º mes = $215 000; 2º mes = $230 000 D. 1º mes = $200 000; 2º mes = $215 000 8. El 50% de un número es 29. ¿Cuál es el número? A. 14 B. 25 C. 32 D. 58 10 15 x 12 2 cm 6 cm x cm 7 cm U6 20/10/09 11:02 Página 82 83. 83Relaciones proporcionales 9. ¿Cuánto vale X, si A es directamente proporcional a B? A 9 X B 3 15 A. 45 B. 9 C. 15 D. 5 10. ¿Cuánto vale Y, si A es inversamente proporcional a B? A 9 Y B 15 3 A. 5 B. 9 C. 15 D. 45 11. El precio con IVA de un producto es $35 000, ¿cuál es el precio sin IVA aproximadamente? A. $41 300 B. $28 700 C. $29 412 D. $17 000 12. Mauricio ha depositado $1.000.000 en el banco durante 6 meses. Cada mes ganó 1% de interés. ¿Qué monto tiene el cabo del 6º mes aproximadamente? A. $1 600 000 B. $1 060 000 C. $1 061 520 D. $1 051 010 13. Un colegio abrió sus puertas con 300 alumnos inscritos. Al año siguiente las matrículas aumentaron en un 30% y este año creció en un 50% ¿cuántos alumnos hay en la actualidad? A. 585 B. 540 C. 495 D. 740 14. Un campamento tiene provisiones para 24 niños durante 16 días. Si los niños aumentan a 48 ¿cuántos días durarán las provisiones? A. 10 días B. 8 días C. 16 días D. 32 días 15. 12 alumnos pintan 3 cuadros en 4 días. ¿Cuántos cuadros pintan 24 alumnos en 20 días? A. 35 cuadros B. 18 cuadros C. 30 cuadros D. 9 cuadros 16. Don Juan fabrica y vende volantines en septiembre. Este año estimó que vendería 350 unidades. Si el costo de fabricación es $21 000 y la ganancia la define como el equivalente al 60% del costo. ¿A qué precio debe vender cada volantín para obtener esa ganancia? A. $145 el volantín B. $115 el volantín C. $84 el volantín D. $96 el volantín U6 20/10/09 11:02 Página 83 84. UNIDAD Unidad 784 Cuadro sinóptico 7Potencias • Evaluación. (Págs. 172 y 173) CMO • Páginas de inicio. (Págs. 148 y 149) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Potencias de exponente natural. (Págs. 150 y 151) – Multiplicación de potencias de igual base. (Págs. 152 y 153) – División de potencias de igual base. (Págs. 154 y 155) – Multiplicación y división de potencias de igual exponente. (Págs. 158 y 159) – Crecimiento exponencial. (Págs. 160 – 162) – Decrecimiento exponencial. (Págs. 163 – 165) – Potencias de base 10. (Págs. 166 y 167) • Regularidades en el cálculo de potencias. • Cálculo de potencias. • Cálculo de potencias. • Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. • Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […] potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. – Potencias de exponente negativo. (Págs. 156 y 157) • Más problemas. (Págs. 168 y 169) • Cálculo mental. (Pág. 170) • Uso de la calculadora. (Pág. 170) • Síntesis. (Pág. 171) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 150 – 167) UNIDAD U7 20/10/09 11:06 Página 84 85. Potencias 85 Aprendizajes esperados OFT • Interpretan y calculan problemas de potencias de exponente entero. • Desarrollar la iniciativa personal y el trabajo en equipo. • Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar información relevante. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Resuelven problemas de multiplicación de potencias de igual base. • Resuelven problemas de división de potencias de igual base. • Interpretan y resuelven problemas de potencias de exponente negativo. • Resuelven multiplicaciones y divisiones de potencias de igual exponente. • Interpretan y resuelven problemas que involucren crecimiento exponencial. • Interpretan y resuelven problemas que involucren decrecimiento exponencial. • Resuelven problemas de potencias de base 10. • Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución, la describen y la justifican de acuerdo al contexto del problema. • Desarrollan potencias de bases enteras y fraccionarias. • Aplican propiedades de las potencias. • Comprenden y calculan potencias. • Resuelven problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. • Calculan potencias de base 10. U7 20/10/09 11:06 Página 85 86. Unidad 786 Propósito de la unidad Páginas de inicio (páginas 146 y 147) • Una vez realizadas las actividades de estas páginas plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones que serán resueltas por medio de la estrategia de resolución de problemas, llamada diagrama de árbol. – Francisca y Maximiliano juegan lanzando una moneda tres veces, si salen dos o más caras gana Maximiliano, si salen tres resultados iguales gana Francisca. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar? Actividades complementarias En Séptimo Año Básico, los alumnos aprendieron la notación de potencia y la utilizaron para expresar grandes cantidades de manera reducida, en las cuales el exponente y la base correspondían a números positivos. En esta unidad se generaliza el concepto de potencia a exponentes tanto positivos como negativos. El énfasis de esta unidad está en la comprensión y deducción de las propiedades de las potencias mediante regularidades y estudio de patrones, así como su aplicación en el estudio de fenómenos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Por otra parte, se trabaja la resolución de problemas a lo largo de toda la unidad dando especial importancia a la búsqueda de estrategias apropiadas para diferentes tipos de situaciones. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Potencias Aplicaciones Exponente natural Multiplicación Operatoria con potencias Exponente negativo División Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial Base 10 U7 20/10/09 11:06 Página 86 87. Potencias 87 Potencias de exponente natural (páginas 148 y 149) • El diagrama de árbol es una estrategia de resolución de problemas que permite comprender visualmente el proceso matemático que se está desarrollando. Haga consciente al alumno de la importancia de un orden correcto de la información, ya que la mayor dificultad se presenta cuando los(as) alumnos(as) consideran más de una vez una misma información. Un árbol genealógico, que considere, padres, abuelos, bisabuelos y tatarabuelos, puede ser una buena manera de practicar esta estrategia. Posibles dificultades c c cc cs sc ss ccc ccs csc css scc scs ssc sss – Pablo y Karina juegan lanzado dos dados, si el producto de los números es mayor que 12 gana Pablo, si no, gana Karina. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar? • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan la siguiente situación, recomiende la utilización de un diagrama de árbol. Luego comparan sus resultados. – Felipe está interesado en participar en una cadena solidaria por e-mail. Esta consiste en que cada vez que una persona reciba un e-mail, al día siguiente lo reenvía a dos personas, y así sucesivamente, es decir, cada día hay el doble de e-mails que el día anterior. Si Felipe comienza la cadena enviando dos e-mails: Actividades complementarias 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 3 1 2 3 4 5 6 3 6 9 12 15 18 4 1 2 3 4 5 6 4 8 12 16 20 24 5 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 6 1 2 3 4 5 6 6 12 18 24 30 36 U7 20/10/09 11:06 Página 87 88. Unidad 788 Orientaciones didácticas • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan las siguientes situaciones. Luego comparan sus resultados y estrategias utilizadas. – Florencia busca una tenida para la fiesta del fin de semana, aún no decide si usar jeans, pantalón de tela, polera azul, negra, lila o verde. ¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar Florencia? – Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado: tres sabores distintos más una salsa. ¿Cuántas distintas combinaciones de copas de helado ofrece la gelatería si los sabores de helado y las salsas son los siguientes? Sabor de helado Salsa - chocolate - chocolate - café - manjar - piña - frutilla - frutilla - vainilla - menta chips Actividades complementarias a. ¿Cuántas personas recibirán un e-mail al quinto día? b. ¿Qué día se recibieron 1.024 e-mails? • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen en forma de potencia las siguientes operaciones: a. 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 b. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 c. 6 • 6 • 6 • 6 • 6 d. 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 e. 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 f. 13 • 13 • 13 • 13 Multiplicación de potencias de igual base (páginas 150 y 151) • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen como factor de potencias de una misma base, los siguientes productos: a. 32 = 2 • 4 • 4 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 b. 81 = c. 256 = d. 125 = e. 216 = f. 10 000 = Actividades previas U7 20/10/09 11:07 Página 88 89. Potencias 89 • Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban como una potencia y luego calculen el valor. a. 62 • 64 • 61 = d. 6 • 1 = b. 24 • 27 • 23 • 22 = e. (0,3)5 • (0,4)4 • (0,4)2 = c. (–1)2 • (–1)4 • (–1)6 • (–1)3 = f. (2,3)4 • (2,3)4 • (2,3)4 = 1 2 1 2 Actividades complementarias • Plantear a los(as) alumnos(as) que la mecánica utilizada para resolver problemas que involucren división de potencias de igual base, no es necesario saberla de memoria. Recuérdeles que ellos poseen otras herramientas que pueden utilizar al momento de enfrentar estos problemas, por ejemplo, la simplificación. Este tipo de actividades le permitirá ver el grado de conocimiento de sus alumnos(as); si son capaces de formular y resolver un problema de manera correcta, quiere decir que existe una apropiación del contenido. En este caso, tome en cuenta que el problema no necesariamente debe ser formulado en forma de potencia, lo importante es que en la resolución del problema se utilice la división de potencias. Puede tomar como ejemplo la situación problemática planteada al inicio de la página 154 del texto del alumno(a). Información para el docente División de potencias de igual base (páginas 152 y 153) • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios: a. 64 : 62 = d. (–4)6 : (–4)2 = b. 6 : 4 = e. 10 : (0,25)6 = c. (–5)9 : (–5)7 = f. 7 : (0,2)3 = • Pedir a los(as) alumno(as) que en parejas formulen un problema que sea necesario resolver por medio de la división de potencias de igual base, este debe cumplir los siguientes requisitos: – Debe estar escrito en lenguaje natural. (Juan quiere pintar una sala, si el largo mide ...) – Deben formular el problema en lenguaje matemático. (Sea x el largo ...) – Deben especificar la estrategia utilizada. (Hacer un diagrama). 2 10 1 4 1 2 1 2 U7 20/10/09 11:07 Página 89 90. Unidad 790 Orientaciones didácticas • Pedir a los(as) alumnos(as) que unan las expresiones equivalentes. a. (4)7 : (4)7 – b. 8 : 7 c. (0,2)6 : (0,2)5 46 : 46 d. 2 : (2)2 1 e. 9 : (0,5)8 1 3 1 2 10 5 1 3 1 3 2 10 Actividades complementarias • Para introducir este contenido utilice las regularidades, escriba en la pizarra las siguientes potencias y guíe a sus alumnos(as), por medio de una conversación, a que ellos mismos se den cuenta de lo que sucede cuando un exponente de una potencia tiene valor negativo. 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16 23 = 2 • 2 • 2 = 8 22 = 2 • 2 = 4 21 = 2 = 2 Potencias de exponente negativo (páginas 154 y 155) Variante metodológica • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios. Luego formular las siguientes preguntas: a. 104 : 103 = d. (–1)3 : (–1)2 = b. – 6 : – 6 = e. 10 : (0,5)10 = c. (0,6)8 : (0,6)7 = f. – 9 : – 8 = – ¿Observas alguna regularidad en los valores que encontraste? – ¿Cómo son los exponentes de las potencias que obtuviste como resultado? – ¿Cómo expresas una potencia elevada a uno?, ¿qué quiere decir? – ¿Cómo expresas una potencia elevada a cero?, ¿qué quiere decir? 6 3 8 4 1 2 1 5 1 5 Actividades complementarias 0,5 U7 20/10/09 11:07 Página 90 91. Potencias 91 • Es de suma importancia trabajar regularidades con los(as) alumnos(as), pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan a su pensamiento aún concreto. Estas deben ser expuestas del tal forma que sea el alumno(a) quien descubra dicha regularidad, ello le permitirá una apropiación del contenido, un entendimiento real de la naturaleza e importancia de los nuevos conocimientos. Información para el docente • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen dos secuencias distintas que involucren potencias, luego la comparten con un compañero(a) y discuten la regularidad presente. Tarea • Resuelve lo siguiente. a. 32 = d. (1,1)–3 = b. 2–1 = e. (0,4)–5 = c. (–1)–4 = f. – –6 = 1 3 Actividades complementarias 20 = 1 = 1 2–1 = = 1 = 2–2 = = 2 = 2–3 = = 3 = Se espera que los(as) alumnos(as) se den cuenta de que los valores de las potencias se van dividiendo por dos, y que cuando el exponente es negativo este se convierte a fracción. Repita el mismo procedimiento para potencias de base 5 y 10. Una vez que sus alumnos(as) logren comprender esto, introduzca la mecánica. 1 8 1 8 ? ? ? Multiplicación y división de potencias de igual exponente (páginas 156 y 157) • Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas. Luego establecen conclusiones en relación con el producto y el cociente de potencias de distinta base e igual exponente. – ¿Cuál es el área de un rectángulo, cuyo largo es 64 y ancho 24 ? – ¿Cuál es el largo de otro rectángulo de igual área que el anterior y de ancho 24 ? Actividades complementarias U7 20/10/09 11:07 Página 91 92. Unidad 792 Orientaciones didácticas • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen y resuelvan un problema que sea posible desarrollar por medio de potencias elevadas a un exponente. Tarea • Las propiedades de las potencias se prestan mucho para realizar tablas de regularidades y hacer que los(as) alumnos(as) busquen los patrones de comportamiento en los distintos elementos que la tabla presenta. Puede plantear una tabla que muestre la variación en el perímetro de una figura geométrica dada la medida de sus lados en potencias. Información para el docente • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen el siguiente ejercicio en potencias, luego lo resuelven utilizando las propiedades de las potencias. [(64 • 1) : 8] • 512 Tarea Crecimiento exponencial (páginas 158 a 160) • Preguntar a los(as) alumnos(as) qué entienden por crecimiento exponencial. ¿Qué se imaginan que es? ¿En qué situaciones y bajo qué contexto lo han escuchado? Actividad previa • Es muy importante recordar las propiedades de potencias trabajadas hasta este minuto (multiplicación de potencias de igual base, división de potencias de igual base, potencias de exponente 1 y 0, potencias de exponente negativo), para que el alumno(a) tenga una visualización de lo aprendido en la unidad. Información para el docente • Calcular las siguientes potencias elevadas a un exponente. a. 52 5 = d. (1,54)–3 = b. (–13)7 = e. 5 2 = c. (0,54)2 = f. (0,22)–6 = 1 2 Actividades complementarias – ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de otros rectángulos que tengan igual área que el rectángulo inicial? • Pedir a los(as) alumnos(as) que determinen cuánto mide el ancho de un rectángulo: – Si el área mide 105 y el largo del rectángulo es 105 . – Si el área es 1012 y su largo también mide 1012 . – Si el área y el largo miden 73 . – Si el área y el largo miden lo mismo. U7 22/10/09 16:46 Página 92 93. Potencias 93 • Plantear las siguientes situaciones: – Se observa que en determinadas condiciones de laboratorio el crecimiento experimentado por un cultivo de bacterias corresponde al doble del día anterior. – El señor Liberona observa que durante una semana de primavera y bajo buenas condiciones climáticas, su planta preferida muestra dos nuevos brotes cada día. a. Luego, interpretan la información confeccionando una tabla que muestre el aumento de cada población (bacterias y plantas). b. Buscan un patrón numérico que se repita en este aumento sucesivo y lo asocian a una potencia de base 2 (caso de las bacterias). c. Comparan ambos crecimientos y asocian el aumento en el cultivo de bacterias como un crecimiento de carácter exponencial, diferenciándolo del aumento aditivo que representan los brotes de la planta. Por último, confeccionan un gráfico simple para cada situación y comparan con sus compañeros(as). Actividades complementarias • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación: – Una empresa está liquidando sus productos, por cierre de local. Según los registros, cada semana se vende la mitad del stock, y debido a que no se continuará con el negocio no se repone el stock. Un local de la competencia, se encuentra en la misma situación, pero cada semana se venden 30 productos y al igual que el local anterior, tampoco repone el stock. Luego, realizar una tabla para representar la cantidad de productos que quedan en el stock en cada uno de los locales. (Para ello establezca un número determinado de productos al inicio de las ventas). Realizar un gráfico que muestre el descenso de la cantidad de productos en stock de cada local. Analizar el comportamiento del descenso de la cantidad de productos. Diferenciar los dos tipos de decrecimiento y asociar al decrecimiento exponencial y lineal respectivamente. Actividades complementarias Decrecimiento exponencial (páginas 161 a 163) • Plantear una situación de la vida real en que se observe un decrecimiento exponencial. Tarea • Hacer preguntas que permitan a los(as) alumnos(as) comprender la necesidad de establecer una nueva representación para los números de grandes cifras. Por ejemplo: Potencias de base 10 (páginas 164 y 165) Actividades previas U7 20/10/09 11:07 Página 93 94. 94 Orientaciones didácticas Unidad 7 Actividades complementarias – ¿Cuál es el número finito mayor que ustedes conocen? (Seguramente indicarán alguno con bastantes ceros) – ¿Cómo escribimos ese número en la pizarra? – ¿Y si deseamos sumar ese número con otro de igual extensión, qué dificultad se nos presenta? • Pedir a los(as) alumnos(as) que interpreten la información entregada en la siguiente tabla, ella presenta la longitud del diámetro de cada uno de los planetas del Sistema Solar y la distancia al Sol, expresadas en kilómetros. Planeta Diámetro Distancia al Sol Júpiter 1,4 • 10 3 km 777,7 millones de km Marte 6,8 • 10 3 km 228 millones de km Mercurio 0,49 • 10 4 km 57 850 000 km Neptuno 4,85 • 10 4 km 4,5 miles de millones de km Saturno 1,21 • 10 3 km 1 428 000 000 km Tierra 1,27 • 10 4 km 149,5 millones de km Urano 5,1 • 10 4 km 2,87 miles de millones de km – ¿Cuál de los planetas tiene mayor diámetro?, ¿cuál tiene menor diámetro? – Entre Saturno y Júpiter, ¿cuál está más alejado del Sol? ¿Por qué? – En el caso del diámetro de la Tierra, ¿qué representa el 104 ? ¿A cuántos kilómetros corresponde dicha longitud? Más problemas (páginas 166 y 167) • La resolución de problemas es una estrategia que se logra a través de un proceso sistemático progresivo, determinado por etapas en las que se van desarrollando, gradualmente, las habilidades y conocimientos necesarios para alcanzar dicho contenido. Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas. Los(as) alumnos(as) se ven enfrentados frecuentemente a resolver problemas. Pensar el pensar se denomina en psicología metacognición. George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, dedicó gran parte de su trabajo a desarrollar una teoría para la resolución de problemas en matemática y a dar descripciones detalladas de varios Información para el docente U7 20/10/09 11:07 Página 94 95. 95Potencias métodos heurísticos. Propone un modelo que permite encarar las situaciones problemáticas especialmente en el área matemática, la que se ha denominado “la propuesta de Polya”. En un plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca de cómo actuar al resolver un problema: – Comprender el problema. – Crear o configurar un plan. – Ponerlo en práctica. – Examinar la solución obtenida. Según Polya, para resolver un problema, proceso muy importante en la formación matemática de los(as) alumnos(as) y para el desarrollo de su capacidad de reflexión, es conveniente plantearse algunas preguntas con respecto al problema, en cada una de las etapas o pasos de la resolución. A continuación se ejemplifican algunas: – ¿Entiendes todo lo que se dice? – ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras? – ¿Distingues cuáles son los datos? – ¿Sabes a qué quieres llegar? – ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). – Ensayo y error (Conjeturar y probar la conjetura). – Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. – ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? – ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Cálculo mental (página 168) • Antes de realizar un cálculo mental, explique a sus alumnos(as) que la riqueza de la actividad está focalizada en no utilizar un registro algebraico. Indíqueles que fijen su atención en lo que se les está preguntando antes de resolver el problema. Actividad previa Actividades complementarias • Calcular mentalmente. a. (1)9 = d. (–5)1 = b. (–1)7 = e. 3 = c. (–2)2 = f. –1 = 1 2 1 2 U7 20/10/09 11:07 Página 95 96. 96 Orientaciones didácticas Unidad 7 Actividades complementarias • Utilizando la calculadora, resuelven los siguientes problemas: a. 74 = d. (–10)5 = b. 4–7 = e. (0,4)3 = c.(0)–8 = f. (0,9)–6 = Pedir que realicen los mismos ejercicios, como multiplicación iterada, es decir, la potencia 74 , la calculan como: 7 x 7 x 7 x 7, luego reflexionan acerca de la notación y la utilización de esta herramienta. Uso de la calculadora (página 168) • Pedir a los(as) alumnos(as) que investiguen sus calculadoras y se familiaricen con cada una de las teclas y funciones que realiza. Haga notar que hay calculadoras en que primero se introducen los datos y luego la operación. Actividades previas • Calcular mentalmente las siguientes operaciones a. : 3 –2 e. 2 • 3 b. – + 6 f. 1 + –1 c. – 1 –1 g. (–5 + 0,4 • 10 + 5)–2 d. (0,4 + 0,5)2 h. 2 – 4 – + 4 –3 • Es importante mostrar a los niños que los números se pueden asociar de manera tal que permiten hacer más fácil el cálculo mental. Se podría hacer referencia a la asociatividad. • Pedir a los(as) alumnos(as) que identifiquen en otras secciones del texto, qué ejercicios son factibles de hacer mediante cálculo mental. Pregúnteles: ¿qué condiciones debe cumplir un ejercicio para ser resuelto por medio del cálculo mental? 1 2 1 3 1 5 2 10 1 5 3 4 1 4 • En la página http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htm encontrará una pequeña reseña sobre la historia de la calculadora. La primera máquina sumadora la inventó el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662). No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar. Información para el docente U7 20/10/09 11:07 Página 96 97. 97Potencias • Escribir potencias. (Pregunta 1, pág. 173) • Aplicar propiedades de potencias. (Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173) • Comprender y calcular potencias. (Preguntas 1, 2, pág. 172 y pregunta 2, pág. 173) • Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. (Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173) • Calcular potencias de base 10. (Pregunta 5, pág. 172) Evaluación (páginas 170 y 171) Objetivos evaluados • Pregunta 1, pág. 173: responde correctamente la pregunta formulada. • Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173: responde correctamente al menos 4 de las 6 preguntas planteadas. • Preguntas 1, 2; pág. 172 y pregunta 2, pág. 173: responde 2 de las 3 preguntas formuladas. • Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173: responde correctamente las preguntas formuladas. • Pregunta 5, pág. 172: responde correctamente la pregunta formulada. Criterios de logro U7 20/10/09 11:07 Página 97 98. 98 Evaluación 7 Unidad 7 Marca la alternativa correcta 1. El producto 20 • 21 • 22 • 23 es igual a: A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 2. 82 + 43 • 22 es igual a: A. 64 B. 116 C. 132 D. 320 3. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? “Menos cinco elevado al cuadrado, multiplicado por menos cinco elevado al cuadrado”. A. –100 B. –625 C. 100 D. 625 4. Una máquina realiza las siguientes operaciones: Cuando ingresa un valor, este se multiplica por 3–2 (A), luego multiplica por 103 (B) y finalmente divide por 3 que corresponde a la operación (C). Si ingresa el valor 0,027 ¿cuál es el valor de la salida? Entrada A B C Salida A. –2 B. 1 C. 2 D. 9 5. El área de un terreno cuadrado es de 160 000 m2 . Si se desea cercar el terreno y solo hay alambre para cercar 103 m, ¿cuánto alambre falta? A. 200 m B. 600 m C. 1000 m D. 2000 m 6. Si A = 2–2 , B = –2–2 y C = (–2)–2 , el valor de A • B • C es igual a: A. – B. – C. – D. 7. Un restaurante de lujo puso todos sus precios en formato de potencia para atraer más clientes. Observa el anuncio y determina el valor que deben cancelar Francisca y Federico al consumir: Francisca: Plato premiun y bebida Federico: Ensalada, plato especialidad de la casa, bebida y postre Precio ($) Ensalada 3 • 102 Plato Ejecutivo 22 • 102 Plato Especialidad de la casa 3 • 22 • 103 Plato Premiun 32 • 2 • 103 Bebida 52 • 10 Postre 103 A. $34 500 B. $31 800 C. $18 250 D. $16 250 1 64 1 64 1 8 1 16 U7 20/10/09 11:07 Página 98 99. 99Potencias 8. ΄ –1 ΅ 2 • ΄ 0 ΅ 2 es igual a: A. B. C. D. 9. Una camioneta transporta 1000 bandejas. Cada bandeja contiene 10 compartimientos, y en cada compartimiento hay 10 sobres, ¿cuántos sobres transporta la camioneta? A. 105 sobres B. 104 sobres C. 103 sobres D. 102 sobres 10. (0,02)5 • ΄ ΅ 4 • ΄(10)2 ΅ 4 es igual a: A. 2 000 000 B. 20 000 C. 0,02 D. 0,0002 11. El triple de 3 • 104 , amplificando 9 veces y dividido por 103 , es igual a: A. 10 B. 81 C. 810 D. 27 000 12. (–1)120 • ΄(–1)121 • 1111 ΅ : (–1)3 es igual a: A. –1 B. 0 C. 1 D. 3 13. ¿Cuántos cuadrados de lado 24 cm pueden obtenerse de una cartulina que mide 24 cm y 27 cm? A. 4 cuadrados B. 8 cuadrados C. 27 cuadrados D. 28 cuadrados 14. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base AB mide 32 • 22 • 102 cm y la altura CD mide 0,000009 cm? A. 0,081 cm2 B. 0,012 cm2 C. 0,0162 cm2 D. 0,324 cm2 15. ΄ ΅ –2 es igual a: A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 16. El año 1900 a través del censo se registró en una ciudad una población de 20 000 personas, el año 1930 fue de 60 000; 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento se mantiene constante, entonces, para el año 2020 se puede estimar una población de: A. 540 000 personas B. 720 000 personas C. 1 440 000 personas D. 1 620 000 personas ΄(–2)4 • 8–2 • 23 ΅ 2 (2–1 • 8–1 )–1 4 8 25 4 25 2 4 25 2 25 4 8 5 2 U7 20/10/09 11:07 Página 99 100. UNIDAD Unidad 8100 Cuadro sinóptico 8Movimientos en el plano CMO • Páginas de inicio. (Págs. 174 y 175) Contenidos de la unidadEstructura de la unidad – Transformaciones geométricas. (Págs. 176 y 177) – Traslación. (Págs. 178 y 179) – Reflexión. (Págs. 180 y 181) – Teselaciones. (Págs. 184 y 185) • Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. • Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones. – Rotación. (Págs. 182 y 183) • Más problemas. (Págs. 188 y 189) • Síntesis. (Pág. 191) • Uso del computador. (Pág. 190) • Evaluación. (Págs. 192 y 193) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 176 – 187) UNIDAD – Usando un software geométrico. – Uso de un software geométrico. (Págs. 186 y 187) – Aplicación de transformaciones isométricas. U8 20/10/09 11:13 Página 100 101. Movimientos en el plano 101 Aprendizajes esperados OFT • Caracterizan transformaciones de figuras geométricas planas y reconocen algunas de sus propiedades. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad para resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Efectúan traslaciones de figuras geométricas planas. • Efectúan reflexiones de figuras geométricas planas. • Efectúan rotaciones de figuras geométricas planas. • Aplican transformaciones isométricas sucesivas para construir teselaciones. • Reconocer la aplicación de transformaciones isométricas. Caracterizar transformaciones isométricas realizadas a figuras geométricas. • Desarrollar la iniciativa personal y el trabajo en equipo. • Utilizan un software geométrico para construir transformaciones isométricas. U8 20/10/09 11:13 Página 101 102. Unidad 8102 Propósito de la unidad Páginas de inicio (páginas 172 y 173) • Maurits Cornelius Escher (1898-1972) es uno de los artistas gráficos más reconocidos en el mundo. Sus trabajos articulan la geometría con su fascinación por el infinito. Algunas de las más famosas obras de este artista pueden encontrarse en diferentes sitios webs, por ejemplo: http://www.mcescher.com Además, sus obras se pueden apreciar en algunas de sus publicaciones, tales como el libro: Estampas y dibujos, (Editorial Taschen, 2000). Información para el docente En años anteriores, los alumnos y alumnas estudiaron diferentes tipos de polígonos, sus características y clasificaciones (según la medida de sus lados y según la medida de sus lados y ejes de simetría). El objetivo de esta unidad es que los estudiantes apliquen los conocimientos geométricos adquiridos en cursos anteriores para identificar, reconocer y construir transformaciones isométricas de figuras planas (traslaciones, reflexiones, y rotaciones). Con el objetivo de lograr mejores aprendizajes, se incluyen actividades relacionadas con la utilización de softwares geométricos para realizar diferentes transformaciones isométricas, especialmente teselaciones, facilitando la visualización de las transformaciones realizadas, vinculando de esta manera la matemática y la tecnología. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Movimientos en el plano Teselaciones Polígonos regulares Polígonos irregulares Centro de rotación Ángulo de rotación Transformaciones no isométricas Transformaciones isométricas Vector de traslación RotacionesTraslaciones Reflexiones Eje de simetría U8 20/10/09 11:13 Página 102 103. Movimientos en el plano 103 Transformaciones geométricas (páginas 174 y 175) • En los ejercicios se pide a los alumnos que midan ángulos utilizando transportador, es posible que algunos alumnos no sepan o no recuerden cómo medir ángulos utilizando este instrumento. Para evitar este problema, previo al desarrollo de los ejercicios, sería conveniente recordar el uso del transportador. Posibles dificultades • Antes de comenzar a estudiar los diferentes tipos de transformaciones isométricas, es necesario que sus alumnos y alumnas sepan identificar una transformación isométrica y una transformación no isométrica. Para reforzar esta diferenciación se propone la siguiente actividad previa. Información para el docente • Pedir a los alumnos que realicen la siguiente actividad: - A cada una de las siguientes figuras aplica una transformación isométrica y una transformación no isométrica. Actividades previas • Para continuar motivando a los alumnos(as) muestre otras imágenes en las cuales se puedan reconocer transformaciones de figuras geométricas. Para guiar el trabajo puede plantear las siguientes preguntas: - ¿Qué figuras observas en la imagen? - ¿Se repiten algunas de estas figuras? - ¿Qué elementos de las imágenes variaron al repetirlas? Actividades complementarias - Indica qué cambió y qué se mantuvo en cada una de las transformaciones realizadas. - Intercambia las transformaciones que realizaste con tu compañero(a). ¿En qué se diferencian las transformaciones realizadas por ambos? U8 21/10/09 10:22 Página 103 104. Unidad 8104 • Una reflexión, también denominada simetría axial, es una transformación isométrica en la cual cada punto de la figura reflejada se asocia a otro punto llamado imagen. El punto imagen tiene las siguientes características: - El punto y su imagen están a igual distancia de una línea recta llamada eje de simetría. - El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría. Reflexión (páginas 178 y 179) Información para el docente • Para ayudar a los alumnos(as) que presentan mayor dificultad, se propone entregar papeles cuadriculados con algunas figuras dibujadas y luego pedirles que realicen lo siguiente: - Mueve la figura 5 cuadraditos al norte. - Mueve la figura 3 cuadraditos al oeste. - Mueve la figura 1 cuadradito al este. - Mueve la figura 6 cuadraditos al sur. Para la realización de la actividad anterior es recomendable repasar con los alumnos la posición de cada punto cardinal (utilización de la rosa de los vientos). Actividades complementarias Traslación (páginas 176 y 177) • Para introducir este contenido es recomendable realizar una indagación acerca de las ideas previas que presentan los alumnos respecto a la traslación. Para esto se sugiere realizar y discutir acerca de las siguientes preguntas: - ¿Qué significa para ti trasladar una figura? - ¿Crees que al trasladar una figura esta cambia?, ¿qué cambia? Actividad previa • Pedir a los alumnos(as) que revisen las reflexiones realizadas en la sección “Practica” utilizando un espejo. Para esto es recomendable explicar a los estudiantes qué procedimiento deben realizar. Tarea Orientaciones didácticas U8 20/10/09 11:13 Página 104 105. Movimientos en el plano 105 • Pida a los estudiantes que recorten un triángulo cualquiera, luego pida que intenten cubrir una superficie dada utilizando solo triángulos de iguales medidas al recortado. Pida a los alumnos que evalúen si fue posible realizar la actividad anterior, ¿qué dificultades tuvieron? Teselaciones (páginas 182 y 183) Actividades previas • Para profundizar el contenido, plantee lo siguiente: - Al rotar una figura, ¿se mantiene el paralelismo entre sus segmentos? - Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus ángulos? - Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus segmentos? Actividades complementarias • Para que sea posible realizar una teselación regular, la medida del ángulo interior del polígono regular debe ser un divisor de 360º. Los polígonos regulares con los cuales siempre es posible realizar una teselación son: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular. Información para el docente Rotación (páginas 180 y 181) • Para trabajar el concepto de rotación explicar a los alumnos(as) que las longitudes de los arcos dependen de la distancia al centro de giro y que la medida de un ángulo no depende de la longitud del arco. • Es importante mencionar que una rotación cuyo ángulo de giro es 180º en torno a un centro de rotación también se conoce como simetría central. Información para el docente • Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de poder utilizar un software computacional, ya que este recurso tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las diferentes transformaciones isométricas estudiadas. • Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en estas páginas, es fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los conceptos trabajados en la unidad, como también haber realizado los diferentes tipos de transformaciones isométricas en forma manual. • Existen varios softwares geométricos de uso gratuito, estos pueden ser descargados desde Internet, por ejemplo, GeoGebra, es muy sencillo de usar, y puede ser descargado desde el sitio http://www.geogebra.org Usando un software geométrico (páginas 184 y 185) Información para el docente U8 20/10/09 11:13 Página 105 106. • Reconocer las características de una transformación isométrica, tales como traslaciones, reflexiones y rotaciones, identificando qué cambia y qué se mantiene al aplicar cada una de ellas. (Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192). • Identificar los polígonos con los cuales es posible construir una teselación. (Preguntas 6, 7; pág. 192 y pregunta 8; pág. 193). • Construir una teselación con ciertos criterios dados. (Pregunta 9; pág. 193). Objetivos evaluados Unidad 8106 Orientaciones didácticas Más problemas (páginas 186 y 187) • Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema, discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del contexto. Para lo anterior les puede plantear preguntas como las siguientes: - ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?, ¿podrías explicarlos? - ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema? A continuación es recomendable generar un debate acerca de las diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para resolver una misma situación. Información para el docente Uso del computador (página 188) • Para poder trazar segmentos en el geoplano trabajado en esta página, se debe hacer clic en los puntos que lo determinan. Del mismo modo, para construir un polígono se deben seleccionar con el mouse cada uno de los vértices que lo forman, una vez seleccionados, automáticamente aparecerá el color (este puede ser cambiado en el extremo inferior izquierdo). Información para el docente • Pida a los alumnos(as) que impriman las teselaciones realizadas, pueden intercambiarlas y compararlas con las realizadas por sus compañeros(as), determinando cuál es el patrón de cada una de ellas. Actividades complementarias Evaluación (páginas 190 y 191) U8 20/10/09 11:13 Página 106 107. Movimientos en el plano 107 • Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192: responde correctamente tres de los cinco ejercicios formulados. • Preguntas 6, 7; pág. 192 y pregunta 8; pág. 193: responde correctamente dos de los tres ejercicios formulados. • Pregunta 9; pág. 193: responde correctamente el ejercicio formulado. Criterios de logro U8 20/10/09 11:13 Página 107 108. 108 Evaluación 8 Unidad 8 Marca la alternativa correcta 1. Indica cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica. A. Traslación. B. Ampliación. C. Rotación. D. Reflexión. 2. ¿Qué transformación isométrica se realizó a la siguiente figura? A. Rotación. B. Reflexión. C. Traslación. D. Ninguna de las anterirores. 3. Se puede teselar un plano usando: A. Pentágonos regulares. B. Circunferencias. C. Triángulos equiláteros. D. Heptágonos regulares. 4. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano? A. B. C. D. 5. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene dos ejes de simetría? A. Un triángulo equilátero. B. Un cuadrado. C. Un rectángulo. D. Un trapecio isósceles. 6. Una teselación semirregular está formada por: A. Un polígono regular. B. Un polígono regular y otro no regular. C. Dos polígonos regulares. D. Un polígono cualquiera. 7. La transformación isométrica que se muestra a continuación corresponde a: A. Una rotación. B. Una traslación. C. Una reflexión. D. No es transformación isométrica. D E F D´ E´ F´ U8 20/10/09 11:13 Página 108 109. 109Movimientos en el plano 8. La transformación isométrica que se muestra a continuación corresponde a: A. Una rotación. B. Una traslación. C. Una reflexión. D. No es una transformación isométrica. 9. La siguiente figura se trasladó: A. Dos cuadrados hacia el norte y tres cuadros hacia el este. B. Dos cuadrados hacia el norte y tres hacia el oeste. C. Dos cuadrados hacia el sur y tres cuadros hacia el este. D. Otra traslación. 10. ¿Cuál de la siguientes corresponde a una transformación geométrica, pero no a una transformación isométrica? A. Una simetría. B. Una rotación. C. Una reducción. D. Un giro. 11. De las siguientes características no corresponde a una rotación: A. Todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo. B. Se realiza respecto a un ángulo. C. La figura no cambia su forma. D. Es posible que la figura cambie su forma. 12. Las teselaciones regulares pueden: A. Estar compuestas por cualquier polígono regular. B. Ser deformaciones del triángulo equilátero. C. Estar formados por dos o más polígonos regulares. D. Estar formadas por hexágonos regulares. 13. Las siguientes imágenes corresponden a: A. Una rotación. B. Una teselación regular. C. Una teselación semiregular. D. Una teselación no regular. o U8 20/10/09 11:13 Página 109 110. UNIDAD Unidad 9110 Cuadro sinóptico 9Tratamiento de la información CMO Contenidos de la unidadEstructura de la unidad • Tablas de frecuencia absoluta. – Interpretación de gráficos. (Págs. 194 y 195) – Interpretación de tablas. (Págs. 196 a 198) – Construcción de tablas para datos agrupados. (Pág. 199) – Media aritmética y moda para datos agrupados. (Págs. 200 y 201) – Censo (Págs. 202 y 203) – Muestreo (Págs. 204 y 205) – Análisis de encuestas. (Págs. 206 a 209) – La probabilidad. (Págs. 210 y 211) – Sucesos equiprobables. (Págs. 212 y 213) – Regla de Laplace (páginas 214 y 215) • Lectura e interpretación de gráficos. • Construcción de gráficos. • Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas. • Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. • Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos. • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. • Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. • Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. • Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace. UNIDAD • Páginas de inicio. (Págs. 192 y 193) • Páginas de desarrollo de contenidos. (Págs. 194 a 215) • Más problemas. (Págs. 216 y 217) • Uso del computador. (Pág. 218) • Síntesis. (Págs. 219) • Evaluación. (Págs. 220 y 221) U9 13/10/09 12:45 Página 110 111. Tratamiento de la información 111 Aprendizajes esperados OFT • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria. • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria. • Reconocer la importancia del trabajo como forma de desarrollo personal, familiar y social. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria. • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje. • Analizan críticamente información estadística, identifican las fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras. • Analizan críticamente información estadística, identifican las fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras. • Construyen tablas de datos agrupados según información entregada en distintas situaciones contextualizadas. • Analizan situaciones en las que la información se obtiene mediante un censo. • Infieren características de una población a partir de una muestra • Leen y analizan críticamente resultados de encuestas de opinión. • Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de experimentos aleatorios. • Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de experimentos aleatorios, donde los resultados son equiprobables. • Asignan en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, usando regla de Laplace. • Obtienen información a partir de un conjunto de datos. • Trabajan con las medidas de tendencia central. • Interpretan distintos tipos de gráficos. • Trabajan con frecuencias absolutas y relativas. • Leen, analizan y obtienen información a partir de tablas para datos agrupados. U9 13/10/09 12:45 Página 111 112. Unidad 9112 Propósito de la unidad • Después de un día de ventas en un almacén, don Pepe, su dueño, realiza el recuento de algunos productos vendidos. Durante el día vendió 5 kg de azúcar, 20 kg de pan, 3 litros de aceite, 10 botellas de bebida y 6 panes de margarina. Construye una tabla y ayúdale a Don Pepe a ordenar el registro de su venta. Páginas de inicio (páginas 192 y 193) Actividad previa En esta última unidad del texto se pretende formalizar algunas técnicas acerca del manejo de la información, tales como el registro de datos a través de un proceso ordenado (recolección, conteo, tabulación y representación gráfica). Para esto se profundiza en el estudio e interpretación de diferentes tipos de gráficos y tablas. Dado que el manejo de la información es un elemento latente en la cotidianidad de los alumnos, se plantean elementos necesarios para que ellos puedan analizar encuestas, utilizando para esto información verídica extraída de diversas fuentes. Respecto al uso del computador, se incluyen actividades utilizando una planilla Excel, de manera que los alumnos pongan la tecnología al servicio de sus aprendizajes. Orientaciones didácticas Mapa conceptual Tratamiento de la información Interpretación de gráficos Interpretación de tablas Gráfico de barras Gráfico circular Pictograma Histograma Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual Frecuencia absoluta Probabilidad Sucesos equiprobables Regla de Laplace Promedio Moda Censo Muestreo Análisis de encuestas U9 13/10/09 12:45 Página 112 113. Tratamiento de la información 113 • Trabajar y discutir con los(as) alumnos(as) el siguiente problema: Carlos obtuvo en una prueba los siguientes puntajes: 7, 3, 8, 2 y 5. ¿Puedes compensarlos para saber cuál es el puntaje medio que obtuvo? El objetivo de este problema es introducir el concepto de media aritmética a través de la compensación. • En un campeonato de fútbol se recabó la siguiente información: – La cantidad de partidos jugados en las distintas fechas fueron: 4, 3, 2, 2, 4 y 1. – La cantidad de goles por partido fueron los siguientes: 3, 4, 6, 2, 1, 0, 6, 3, 2, 1, 6, 3, 2, 1, 7 y 4. – Los jugadores expulsados por partido fueron: 0, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 1 y 2. Contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es la media de los goles por partido? ¿Cuál es la moda de los jugadores expulsados?¿Qué explicación das a la mediana de la cantidad de partidos jugados? Actividades complementarias • Comentar con los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas: ¿Conocen algún tipo de gráfico? ¿Dónde los han visto? ¿Para qué sirven? Interpretación de gráficos (páginas 194 y 195) Actividades previas • Los diferentes medios de registro de información (tablas y gráficos) son muy útiles para la comprensión de los sucesos que se miden. El registro en tablas permite organizar por categorías la cantidad de sucesos que corresponden a aquella categoría, lo cual da una idea parcial de lo que ocurre con cada una de ellas. Además, es muy conveniente, pues facilita el proceso de construcción de gráficos. • Más allá del cálculo de las diferentes medidas de tendencia central, lo relevante es que los(as) alumnos(as) puedan usarlas para interpretar y explicar algún determinado fenómeno de la realidad. Por ello es importante relacionar estas medidas entre sí, y no dejarlas aisladas en el análisis. Si se desea ir más allá, es conveniente analizar qué ocurre con la media cuando hay datos extremos en la muestra (sensible a datos extremos) y comparar con la mediana (más estable que la media cuando hay datos extremos en la muestra). En esa línea es conveniente señalar que la moda representa el suceso de mayor frecuencia, pensando en conectarlo con lo que viene más adelante, específicamente en lo que se refiere a tablas y gráficos. Información para el docente U9 13/10/09 12:45 Página 113 114. Unidad 9114 Orientaciones didácticas • En la siguiente tabla se muestra la cantidad de alumnos y alumnas seleccionados en diversos talleres culturales de un colegio. Interpretación de tablas (páginas 196 a 198) Actividades complementarias Taller Artesanía Guitarra Pintura Flauta Grabado Canto Cantidad de alumnos (as) 28 45 15 18 29 13 • En siete empresas distintas se realizó una encuesta que abordaba la percepción del clima laboral. El gráfico presenta los porcentajes que se obtuvieron en cada una. Analízalo y contesta las preguntas que se plantean a continuación. – ¿Qué título le pondrías al gráfico? ¿Cómo designarías el eje vertical y el horizontal? – ¿Cuáles son las empresas en donde la mayoría de la gente percibe un mejor y peor clima laboral? – ¿En qué empresa es más alto el porcentaje de empleados que considera tener un clima laboral medio? – ¿En cuántas empresas, más de la mitad de los empleados consideran tener un clima laboral bueno? – ¿En cuántas empresas, solo entre el 10% y 50% de los empleados considera tener un clima laboral medio? Actividades complementarias Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3 Empresa 4 Empresa 5 Empresa 6 Empresa 7 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Buen clima laboral Clima laboral medio Mal clima laboral U9 13/10/09 12:45 Página 114 115. Tratamiento de la información 115 • El rango es un buen indicador de la dispersión de los datos cuando se presentan dos valores que se alejan demasiado de los otros valores, pues en esta caso se podría pensar erróneamente que los datos están muy dispersos, cuando en realidad no lo están. • Es importante trabajar con los estudiantes preguntas de análisis como las planteadas al terminar este contenido. Construcción de tablas para datos agrupados (página 199) Información para el docente A partir de esta información, ¿cuántos alumnos y alumnas quedaron seleccionados en talleres relacionados con la música? ¿Y cuántos en talleres relacionados con otras expresiones artísticas? • Los siguientes datos corresponden a la duración, en horas, del uso continuo de 50 ampolletas iguales, para ser sometidas a un control de calidad. a. ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos? b. Si se agruparan en siete intervalos, ¿cuál sería el tamaño del intervalo correspondiente? c. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete intervalos, considerando la frecuencia absoluta, frecuencia acumulada y frecuencia relativa. d. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de menos de 576 horas? e. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de 700 horas o más? Actividades complementarias 480 496 724 780 801 570 802 795 886 714 775 712 683 830 560 826 560 794 676 760 890 590 750 489 725 666 746 668 880 570 830 452 810 720 680 680 660 490 895 660 720 793 870 715 708 710 679 762 793 751 Media aritmética y moda para datos agrupados (páginas 200 y 201) • Utilizando los datos acerca del control de calidad de las ampolletas: a. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete intervalos, considerando la frecuencia absoluta y la marca de clase correspondiente. b. Calcula su media aritmética y su moda. Actividades complementarias U9 20/10/09 11:15 Página 115 116. 116 Orientaciones didácticas Unidad 9 • Junto con el trabajo de obtener el valor de la media aritmética y la moda, mediante las fórmulas presentadas, es esencial saber interpretar estos valores en la situación plateada. • En la fórmula para obtener el valor de la moda, recordar que el tamaño de cada intervalo debe ser el mismo, de no ser así no se puede utilizar esta fórmula. Información para el docente Censo (páginas 202 y 203) • El censo más conocido en Chile es el censo de población y vivienda, sin embargo se sugiere aclarar a sus estudiantes que no es el único. Por ejemplo, existe el censo agropecuario y forestal, que se realizó por última vez el año 2007, y tiene por finalidad conocer obtener antecedentes más estables en el tiempo acerca de las principales características agrícolas, ganaderas y forestales del país. • El Instituto Nacional de Estadísticas de Chile publicó un libro sobre la historia de los censos en Chile, llamado “Retratos de nuestra identidad: Los Censos de Población en Chile y su evolución histórica hacia el Bicentenario”. Esta publicación presenta a través de un enfoque sencillo y pedagógico un balance cronológico de la evolución del ejercicio censal. El libro cuenta con el patrocinio de la Comisión Bicentenario y tiene como objetivo central determinar cómo los censos reflejan la realidad chilena. Puede acceder al libro a través de Internet, en la dirección: http://www.ine.cl/canales/usuarios/cedoc_online/flip_ine/ Información para el docente Muestreo (páginas 204 y 205) 1. Decide en cada caso si es más conveniente estudiar una muestra o la población, es decir, si es necesario realizar un censo. Justifica tu decisión. a. La vida útil de las ampolletas que fabrica cierta empresa. b. La estatura promedio de los estudiantes entre 10 y 12 años en Chile. c. El color de pelo de un grupo de siete personas. d. El deporte favorito de los estudiantes de un colegio. e. Los efectos de un medicamento para cierta enfermedad. Actividades complementarias • Es importante aclarar a sus estudiantes que para que los resultados obtenidos a partir del estudio de una muestra sean válidos para toda la población, es decir, para que podamos concluir aspectos sobre la población a partir de los resultados de la muestra, esta debe ser representativa de la población. Para determinar si una muestra es representativa, se deben cumplir ciertos requisitos, por ejemplo, se debe determinar el tamaño de muestra necesario para el estudio. Para que sus estudiantes comprendan mejor esto puede comentar con ellos la siguiente situación: Información para el docente U9 22/10/09 16:48 Página 116 117. 117Tratamiento de la información • Comentar con los(as) alumnos(as): ¿Alguna vez han contestado una encuesta? ¿De qué temas tratan? ¿Son largas o cortas? ¿Qué medios se utilizan para realizar encuestas (papel, teléfono, páginas Web)? Análisis de encuestas (páginas 206 a 209) Actividades previas • En grupos de tres, los(as) alumnos(as) deben elaborar una encuesta que plantee ciertas preguntas clave sobre temas como medio ambiente, cultura, deportes, etc. La encuesta debe contener los indicadores de sexo y edad, y tendrán que aplicarla a 30 personas. Es importante que la formulación de las preguntas se haga de manera clara y precisa, para que las respuestas sean predecibles y clasificables, y sea fácil tabular los resultados de cada una (las preguntas no deben ser más de 10). Evitar las respuestas abiertas, pues su tabulación es más compleja y subjetiva que las preguntas de respuesta cerrada. Cada grupo de respuestas se debe organizar en tablas de frecuencias y gráficos circulares (porcentuales) o de barras. Finalmente los(as) alumnos(as) expondrán sus trabajos al curso con conclusiones claras y relevantes respecto de las preguntas iniciales que se plantearon. Actividades complementarias – Se desea saber el número de horas que los y las estudiantes de 8º Básico en Chile dedican a hacer deporte, para esto se selecciona una muestra que considera los alumnos de 8º Básico de tres colegios distintos de la Región Metropolitana. En este ejemplo, esta muestra no es representativa, ya que no se puede inferir sobre el número de horas que los y las adolescentes de Chile dedican a hacer deportes con los resultados obtenidos de solo los alumnos (varones) de tres colegios. Además, es necesario que la muestra abarque todo el territorio nacional, ya que puede que existan diferencias significativas entre los y las adolescentes que viven tanto en diferentes regiones de Chile, como en condiciones distintas, por ejemplo, si viven en zonas urbanas o rurales. • La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población. Si los individuos que componen el universo son muy distintos entre ellos tenderemos a tomar una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen el universo sean similares. U9 13/10/09 12:45 Página 117 118. 118 Orientaciones didácticas Unidad 9 • Buscar información sobre el último censo realizado en Chile (año 2002) y analizar los resultados sobre la cantidad de población respecto del censo anterior, realizado el año 1992. En la siguiente página encontrará la información necesaria para desarrollar la tarea: www.ine.cl . No olvidar que las direcciones o su contenido pueden variar. Tarea • Las encuestas son utilizadas para distintos tipos de estudios estadísticos, como los censos y los estudios de marketing. Los censos los realizan los países para recopilar información sobre la población que vive allí, sus hábitos de vida, de consumo, etc. Los estudios de marketing los realizan las empresas para saber cómo están siendo usados sus productos en el mercado, y cuál es la percepción de los consumidores respecto de ellos. Para realizar un buen análisis de las encuestas hay que contraponer las hipótesis planteadas con los resultados que arroja, de manera de observar qué ocurre con el fenómeno que se está midiendo. Información para el docente • Como este contenido no ha sido revisado en cursos anteriores, es trascendental que el docente comience con actividades lúdicas y motivantes. Pueden ser las siguientes: - Llevar una bolsa con varias bolitas de colores y hacer apuestas con los alumnos: ¿qué bolita crees que sacaré? ¿A qué color de bolita apuestas? Pedir que fundamenten todas sus respuestas. - La misma actividad anterior invita a la formalización de la terminología de probabilidad (términos que son revisados en estas páginas), tales como seguro, imposible, casi posible, etc. Se propone dar ejemplos de la vida cotidiana de acontecimientos que se clasifiquen según seguro, casi seguro, bastante seguro, bastante probable, probable, poco probable, casi imposible e imposible. La probabilidad (páginas 210 y 211) Actividades complementarias • Algunos de los términos pueden ser encontrados con diferentes nombres, esto dependerá de la bibliografía revisada, por ejemplo, experimento determinístico o suceso determinístico o evento determinístico. Experimento aleatorio, suceso aleatorio o evento aleatorio. Todos ellos responden a las mismas características. • Los conceptos de frecuencias relativa y absoluta han sido trabajados en el contenido de estadística, por lo que tienen ideas previas de lo que puede significar. La relevancia de tratar estos conceptos, está entre otras, en sustentar de manera empírica el cálculo de probabilidad. Para esto se recomienda trabajar con material concreto: monedas, dados, etc. Lo importante es que los alumnos logren hacer tablas, calcular las Tarea U9 22/10/09 16:50 Página 118 119. 119Tratamiento de la información frecuencias y concluir regularidades. • Es significativo que los estudiantes manejen distintas representaciones de un número racional, de esta manera, la probabilidad puede ser interpretada de diferentes formas, y no solo como un porcentaje. Esto permitirá la comprensión de la cuantificación de la probabilidad (cuantificación de la certeza). Ejemplificación con actividades intuitivas para los alumnos, como por ejemplo, al lanzar una moneda, quiero que salga cara. ¿Qué posibilidades de ganar tengo? Tenemos un 50% ó ó 0,5.1 2 • En general, para trabajar todas las actividades planteadas en estas páginas, hay que enfatizar que dos o más sucesos son equiprobables solo cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, si en una urna hay 4 bolitas rojas y 7 bolitas negras, y me preguntan: ¿qué color de bolita es la que tiene la mayor probabilidad de ser extraída?, claramente tiene mayor probabilidad de salir, una bolita negra que una roja. Esta situación podría llevar a pensar que no son sucesos equiprobables, sin embargo, hay que recalcar que si bien las bolitas de color negro tienen mayor probabilidad de salir, la equiprobabilidad está dada porque cada bolita, independiente del color, tienen la misma probabilidad de ser extraídas. • La aclaración anterior es fundamental para entender el porqué se aplica la Regla de Laplace para este tipo de eventos. Sucesos equiprobables (páginas 212 y 213) y Regla de Laplace (páginas 214 y 215) Información para el docente • Las siguientes actividades pueden ser planteadas para aquellos estudiantes que no presentan mayor dificultad con el contenido de probabilidad. a. Al lanzar 2 monedas el aire simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad que salga al menos un sello? - Una moneda tiene 2 posibilidades de resultado (espacio muestral del lanzamiento de una moneda) al ser lanzada: “sale cara” o “sale sello”. - Simbolizaremos de la siguiente manera: C: cara, S: sello Moneda 1: {C , S} Moneda 2: {C , S} - Por lo tanto, al ser lanzada dos monedas simultáneamente se dan las siguientes combinaciones: {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}. Es decir, 4 posibilidades (espacio muestral del lanzamiento de dos monedas). - Luego, se pregunta la probabilidad de que salga al menos un sello. Observando el espacio muestral de ambas monedas contamos 3 posibilidades que salga sello, de un total de 4. - Entonces, al ser lanzada dos monedas simultáneamente la probabilidad de obtener un sello es de b. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro verde. ¿Qué resultado es el que tiene mayor probabilidad? Actividad complementaria 3 4 U9 22/10/09 16:57 Página 119 120. Unidad 9120 Orientaciones didácticas • La resolución de problemas en estadística requiere de habilidades que apuntan a la reflexión y análisis de los datos obtenidos. No basta con comprobar la solución, como podría suceder en los problemas de planteo y resolución de ecuaciones, sino además se deben interpretar y organizar los resultados, de modo tal que al comunicarlos sean entendibles por cualquier tipo de público, los gráficos simples y claros son muy importantes en este proceso. Información para el docente • El curso de Felipe realizó un estudio sobre las costumbres alimenticias que tienen sus profesores. Los resultados fueron los siguientes: ¿Cómo puede saber Felipe con qué grafico es mejor resumir la información que está en la tabla? Más problemas (páginas 216 y 217) Actividades complementarias Comida casera Comida rápida Ensaladas Carnes Hombres 10 25 5 20 Mujeres 15 10 30 15 Interesa observar al producto del puntaje obtenido en los dados, es decir, A: producto del puntaje de los dados. Los posibles resultados se muestran en la tabla: Luego, la probabilidad de que ocurra el evento A dado, es: P(A = 1) = 1/36 0,028 P(A = 8) = 2/36 0,06 P(A = 18) = 2/36 0,06 P(A = 2) = 2/36 0,06 P(A = 9) = 1/36 0,028 P(A = 20) = 2/36 0,06 P(A = 3) = 2/36 0,06 P(A = 10) = 2/36 0,06 P(A = 24) = 2/36 0,06 P(A = 4) = 3/36 0,08 P(A = 11) = 4/36 0,11 P(A = 25) = 1/36 0,028 P(A = 5) = 2/36 0,06 P(A = 15) = 2/36 0,06 P(A = 30) = 2/36 0,06 P(A = 6) = 4/36 0,11 P(A = 16) = 1/36 0,028 P(A = 36) = 1/36 0,028 Como se puede observar, la mayor probabilidad corresponde a P(A = 6) y P(A = 12), es decir, obtener como resultado del producto 6 ó 12. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ U9 13/10/09 12:45 Página 120 121. • Copiar la siguiente tabla en una planilla Excel y obtener la media utilizando la fórmula que este programa tiene incorporada. Cada columna representa la cantidad de poleras de color que tienen 3 integrantes de una familia. – ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color amarillo? ¿Y de color blanco? – ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color azul? ¿Y de color verde? – ¿Qué quiere decir que la media obtenida en las poleras de color negro sea 3? Tratamiento de la información 121 • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Qué programas computacionales conocen? ¿Cuáles manejan con mayor facilidad? ¿Saben la diferencia entre un procesador de textos y una planilla de cálculo? Uso del computador (página 218) Actividades previas Actividades complementarias Papá Mamá Hijo Azul 3 2 4 Amarillo 1 5 6 Verde 1 0 8 Blanco 0 2 1 Negro 2 1 6 • Que los(as) alumnos(as) investiguen en Excel cuáles son los distintos tipos de gráficos que tiene incorporado, de qué forma están agrupados los datos y cómo se lee la información que entregan. Tarea • Obtener información a partir de un conjunto de datos. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220) • Interpretar distintos tipos de gráficos. (Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221) • Trabajar con frecuencias absolutas y relativas. (Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220) Evaluación (páginas 220 y 221) Objetivos evaluados • Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas. • Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221: responden correctamente al menos tres actividades planteadas. • Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas. Criterios de logro • Es importante reforzar aquellos ítems que no fueron logrados por los alumnos. Sería recomendable pedir a cada uno que revise y detecte sus errores y luego invente dos preguntas similares a las que resolvió erróneamente. Reforzamiento U9 22/10/09 16:59 Página 121 122. 122 Evaluación 9 Unidad 9 Marca la alternativa correcta Los resultados corresponden a una encuesta acerca de la preferencia de ganador para un reality de televisión. Observa los datos y luego responde las preguntas 1, 2, 3, 4 y 5. L, R, R, X, L, X, X, F, H, L, X, F, R, H, F, X, X, X, L, X, X, R, R, L, X, R, H, X, R, F (L) Leonardo, (R) Rodolfo, (X) Ximena, (F) Félix, (H) Hernán 1. ¿Cuál es el total de personas encuestadas? A. 40 personas B. 35 personas C. 30 personas D. 25 personas 2. ¿cuál de los postulantes obtuvo más votos? A. Leonardo B. Rodolfo C. Ximena D. Félix 3. ¿Cuál es el que menos votos registró? A. Leonardo B. Rodolfo C. Ximena D. Hernán 4. ¿Cuántos votos más obtuvo Ximena que Rodolfo? A. 5 votos B. 4 votos C. 3 votos D. 2 votos 5. ¿Qué tabla resume la información anterior de manera correcta? A. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality? Nombre Conteo Leonardo ///// Rodolfo /////// Ximena 11 Félix //// Hernán /// Total 30 B. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality? Nombre Conteo Leonardo 5 Rodolfo 7 Ximena 10 Félix 3 Hernán 3 Total 30 C. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality? Nombre Preferencia Leonardo 5 Rodolfo 7 Ximena 11 Félix 4 Hernán 3 Total 30 D. Nombre Conteo Leonardo 5 Rodolfo 7 Ximena 11 Félix 3 Hernán 3 Total 30 U9 13/10/09 12:45 Página 122 123. 123Tratamiento de la información Observa la tabla que muestra las edades de un grupo que asiste a clases de guitarra. Luego responde las preguntas 6 y 7. Variable estadística (edad) Frecuencia 2 – 6 1 6 – 10 5 10 – 14 10 14 – 18 18 18 – 22 8 6. La media de las edades es: A. 10,57 años B. 12,57 años C. 14,57 años D. 16 años 7. La mediana y la moda respectiva de las edades de las personas del grupo están en el intervalo: A. 14 – 18 años B. 10 – 14 años C. 6 – 10 años D. 2 – 6 años 8. Si tu intención en el trimestre es sacarte un 6,0 de promedio en Matemática, ¿cuánto debes sacarte en la prueba final, que pondera un 30%, si las notas que tienes son: 6,2; 5,5 y 5,8? A. 6,1 B. 6,2 C. 6,4 D. 6,5 Observa la tabla y luego responde las preguntas 9, 10 y 11. Circulación y distribución del diario “El Metropolitano” en 1999 Región Unidades Región Unidades vendidas vendidas I 580 VII 720 II 430 VIII 1200 III 340 IX 600 IV 500 X 410 V 1500 XI 380 RM 38 640 XII 100 VI 600 9. ¿Qué cantidades de diarios se vendió en todo el país en 1999? A. 38 000 B. 42 000 C. 46 000 D. 48 000 10. Respecto al total, ¿Qué porcentaje se vendió en la Región Metropolitana? A. 60% B. 75% C. 80% D. 84% 11. En las tres regiones de menor venta, ¿cuánto se vendió en total? A. 910 unidades B. 890 unidades C. 850 unidades D. 820 unidades U9 13/10/09 12:45 Página 123 124. 124 Solucionario Solucionario 1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. B 12. B 13. D 14. C 15. C 16. C 17. A 18. C Evaluación 1 Evaluación 2 Evaluación 3 1. C 2. A 3. D 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A 11. B 12. A 13. A Evaluación 4 1. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D 11. D 12. B 13. C 1. B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. C 9. C 10. B 11. D 12. B 13. A 14. A Evaluación 5 1. D 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. B 9. B 10. A 11. B 12. C 13. B 14. C 15. A 16. D Soluc Pág/112-114 13/10/09 12:46 Página 124 125. 125Solucionario 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. C 7. C 8. C 9. A 10. C 11. D 12. D 13. C Evaluación 7 1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. C 10. D 11. D Evaluación 9 Evaluación 6 1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. B 7. A 8. D 9. A 10. D 11. C 12. C 13. A 14. B 15. C 16. D Evaluación 8 1. C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. C 7. B 8. B 9. A 10. C 11. C 12. C 13. B 14. C 15. D 16. D Soluc Pág/112-114 13/10/09 12:46 Página 125 126. 126 Sitios web Bibliografía Bibliografía • Artigue, M. (1994). Una introducción a la didáctica de la matemática, en Enseñanza de la Matemática. 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En conjunto con los Programas de Estudio y los Mapas de Progreso, buscan apoyar el trabajo que se realiza en los establecimientos educacionales para que los estudiantes logren mayores aprendizajes, en base a las definiciones que establece el Marco Curricular nacional. En el siguiente esquema se presenta la pregunta orientadora que busca responder cada uno de los instrumentos curriculares: Los Mapas de Progreso describen resumidamente los conocimientos, habilidades y comprensiones que caracterizan cada uno de los 7 niveles en que se desarrolla el aprendizaje de una determinada competencia o dominio clave. Son una herramienta curricular no obligatoria, que complementa a los Programas de Estudio y los Textos escolares, y pueden ser utilizados de diversas formas. A continuación, se describen dos de ellas, que pueden ser de utilidad para apoyar el desarrollo del aprendizaje que promueve este texto de estudio: 1. Reflexión conjunta sobre la progresión de los aprendizajes que promueve el currículum para mejorar la articulación entre profesores del sector. Si se hace una lectura de los siete niveles de los Mapas ya pueden ser un interesante aporte, debido a que muestran una visión sintética de lo que se espera se logre como aprendizaje en los 12 años de escolaridad. Su estructura concisa describe una panorámica de todo el trayecto escolar, aportando una mirada longitudinal, que favorece la reflexión pedagógica entre profesores de distintos cursos. pags mineducB/N 24/8/09 15:56 Page 1 128. Por ejemplo, a partir de la revisión de un Mapa de Progreso, puede hacerse una reflexión conjunta respecto de la manera en que progresa el aprendizaje, estableciendo un análisis general, entre profesores del sector y la jefatura técnica, en relación a ¿cómo estamos entendiendo la progresión del aprendizaje respecto de este referente? Los profesores y profesoras pueden revisar y analizar en conjunto los aprendizajes constitutivos de una determinada competencia, y definir acciones a seguir que sean coherentes con el logro de dichos aprendizajes, en base a preguntas como: ¿de qué forma estamos ordenando el trabajo y organizándonos en conjunto para ir progresando en el logro de estos aprendizajes de nuestros alumnos y alumnas? Los Mapas favorecen la articulación dentro y entre los ciclos de enseñanza de un establecimiento educacional, promoviendo una comprensión común respecto al aprendizaje y aportando claves para observar su progresión. Ello propicia la responsabilidad compartida en entre docentes y el trabajo en equipo dentro del establecimiento. 2. Reflexión conjunta sobre los trabajos de alumnos y alumnas, para monitorear el progreso de su aprendizaje en relación a la expectativa que describe el Mapa. Los Mapas de Progreso definen el crecimiento del aprendizaje de los estudiantes, a través de descripciones de sus distintas etapas, y de trabajos de alumnos en cada una de estas. Con el fin de apoyar la observación del aprendizaje, los Mapas presentan tareas, estímulos o motivaciones que se utilizaron para recoger evidencias del aprendizaje, buscando observar el desempeño de los alumnos y alumnas en la competencia descrita en el Mapa. El docente puede aplicar estas tareas, las que puede encontrar en los anexos de cada uno de los Mapas (www.curriculum-mineduc.cl ) u otras que el equipo docente puede desarrollar, para luego analizar la evidencia del desempeño de sus estudiantes e inferir el nivel de aprendizaje en relación a las descripciones realizadas por el Mapa. Es importante que esta observación y análisis de los trabajos de alumnos y alumnas sea desarrollado en conjunto por los profesores del sector, de modo de reflexionar entre pares y desarrollar una visión compartida respecto a cómo progresa el aprendizaje de sus alumnos en las distintas competencias claves. pags mineducB/N 24/8/09 15:56 Page 2