Estadística Aplicada Objeto de Estudio 2 Distribuciones de Probabilidad (Distribución Normal – Curva Normal) Distribución Normal Características: La curva tiene un solo pico, por lo tanto es unimodal. Tiene forma de campana. La media de población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la moda y mediana se encuentran también en el centro; en consecuencia para una curva normal, la media, mediana y moda tienen el mismo valor. Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal. Distribución Normal: Gráficas Media Mediana Moda El extremo izquierdo se extiende indefinidamente y nunca toca el eje horizontal. El extremo derecho se extiende indefinidamente y nunca toca el eje horizontal. La distribución normal de probabilidad simétrica con respecto a una línea vertical que pasa por la media. Áreas bajo la curva 1. Aproximadamente el 68.3% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de + 1 σ DE (Desviación estándar) de la media (µ). 2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de + 2 σ DE (Desviación estándar) de la media (µ). 3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de + 3 σ DE (Desviación estándar) de la media (µ). Áreas bajo la curva Ejemplos P(Z ≤ a) P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a) P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a) P(Z > −a) = P(Z ≤ a) Ejemplos P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a) P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b ) P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)] Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Fórmula para medir distancias bajo la curva normal. Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Donde: x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa. µ = media de la distribución de la variable aleatoria. σ = desviación estándar de la distribución. Z = número de desviaciones estándar que hay desde la x a la media de la distribución. Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Distribución Normal que ilustra la comparación de los dos valores z y las desviaciones estándar. Área bajo la curva / Probabilidad bajo la curva Área que esta entre la curva y la base (línea) y que contiene el 100%. -3σ µ z = 0σ +3σ Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Ejemplos: • Encontrar la probabilidad dada por: P (z < 1.23) En la tabla de (números positivos) ubicamos 1.20 (parte izquierda) y las centésimas 0.03 (parte superior). Ahora tenemos 1.20 + 0.03 = 1.23; en el cruce de ambas cantidades viene la probabilidad acumulada hasta z < 1.23 = 0.8907. Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Ejemplos: • Encontrar la probabilidad dada por: P (z > 1.23) 1op. 1 – P (z > 1.23) = 1 – 0.8907 = 0.1093 2op. P (z < -1.23) = 0.1093 (cambio de signos) Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Ejemplos: • Encontrar la probabilidad dada por: P (z < -0.74) P (z < -0.74 = 0.2296 (Buscar directo en la tabla de probabilidades negativas) P (z > -1.46) 1op. 1 – P (z > -1.46) = 1 – 0.0721 =0.9279 2op. P (z < 1.46) = 0.9279 (cambio de signos) Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Ejemplos: • Encontrar la probabilidad dada por: P (-2.33 < z < 1.23) P (-2.33 < z < 1.23) = 0.8907 – 0.0099 = 0.8808 (Buscar directos en la tabla y restar la probabilidad mayor a la menor). Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar Ejemplos: • Practicar éstas dos: P (0.33 < z < 1.23) R = 0.2614 P (-2.33 < z < -1.23) R = 0.0994 Créditos IDS. Carlos Mario Reyes Alvarez