FÍSICA PRE ACADEMIA – I BIMESTRE 3PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Introducción La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que solía llamarse filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida que se iban encontrando estas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos ciencia. La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la Biología, la Zoología y la Botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la Geología, la Astronomía, la Química y la Física. La Física es más que una rama de las ciencias físicas, es la más fundamental de las ciencias. La Física estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y el interior de los átomos. La Química estudia la manera en que está integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en que las moléculas se combinan para conformar los diversos tipos de materia que nos rodean. La Biología es aún más compleja, pues trata de la materia viva. Así pues, tras la Biología está “No sé lo que puedo parecer ante el mundo, pero tengo la impresión de haber sido como un niño, jugando en la playa y divirtiéndome, de vez en cuando encontrando un guijarro más suave o una concha más bonita de lo normal, mientras el gran océano de la verdad se encuentra ante mí sin descubrir”. Isaac Newton Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía. Existen muchos fenómenos, y en esta oportunidad nos ocuparemos sólo de dos de ellos: Fenómeno Físico y Fenómeno Químico. Cuando ocurre un fenómeno físico, las sustancias realizan un proceso o cambio sin perder sus propiedades características, es decir, sin modificar su naturaleza. Se caracteriza por ser reversible. Es cuando las sustancias realizan un proceso o cambio sin modificar su naturaleza. Por el contrario, si una sustancia se transforma en otra nueva, de distinta naturaleza, se dice que ha tenido lugar un fenómeno químico. Por ejemplo, el hierro de algunos objetos se combina con el oxígeno, en presencia de la humedad del aire, transformándose en una sustancia diferente: la herrumbre, que no tiene las propiedades del metal, es decir, no es tan dura, ni tiene su brillo y su color, ni se funde a la misma temperatura, etc. AntenA RAyos la Química, y tras la Química está la Física. Las ideas de la Física se extienden a estas ciencias más complejas, por eso la Física es la más fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general, si antes entendemos algo de Física. Por ejemplo, si disolvemos sal común en agua, tiene lugar un proceso físico, tras el cual la sal y el agua siguen teniendo las mismas propiedades, como se puede comprobar recuperando la sal por calentamiento de la disolución. Es decir, en el proceso de disolución no se altera la naturaleza de las sustancias que se disuelven. Fenómeno FENÓMENOS FÍSICOS Conceptos Previos 4 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Si una sustancia se transforma en otra nueva, de distinta naturaleza, se ha tenido un fenómeno químico. Es necesario que el estudiante maneje ciertas operaciones matemáticas, para no tener dificultades al aplicar los conceptos de cálculo en situaciones de física. A continuación haremos un repaso de algunos temas de Álgebra, Geometría y Trigonometría que nos serán de mucha ayuda. ÁLGEBRA 1. Ecuaciones lineales con una incógnita Halla x en los siguientes casos: 9x = 54 54 9 a) x + 3 = 7 → x = 4 b) x/4 = 8 → x = 32 c) 2x+ 3 = 9 → x = 3 d) x - 5 = 8 → x = 13 e) 2x + 8 = 10 → x = 1 ⇒ 9x = 54 x = ∴ x = 6 Halla x e y, en los siguientes sistemas: x + y = 8 x - y = 2{ } } a) 3x - y = 4 → x = 2, y = 7 x - y = - 4 b) y - 2x = 3 → x = 4, y = 8 y + x = 9 c) -5y - 3x = 4 → x = -38, y = 22 7y + 4x = 2 d) m + 2n = 27 → m = 13, n = 7 -m + 5n = 22 } } x + y = 8 x - y = 2 2x =10 x = x = 5 → y = 3 + 10 2 } 2. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 3. Ecuación de 2.º grado: ax2 + bx + c = 0 x = Ejemplo: x2 - x - 6 = 0 x = x = = x1 = = = x1 = 3 x2 = = = - x2 = -2 6 2 1 - 5 2 4 2 1 - 25 2 FENÓMENOS QUÍMICOS Recuerda La ciencia es el complemento de la tecnología. ¡La tecnología es una forma de hacer! La ciencia es una forma de conocer. MATEMÁTICA ELEMENTAL Ejemplo: Ejemplo: -(-1) ± (-1)2 - 4(1)(-6) 2(1) -b ± b2 - 4ac 2a 1 ± 1 + 24 2 1 ± 25 2 1 + 25 2 1+5 2 5PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO x2 . x3 = x2+3 = x5 a) x2 . x1 = x2+1 = x3 b) x5 . xn = c) xm . x2 = x2/x = x2-1 = x a) x5/x2 = b) x/x4 = c) x2/x0 = d) x/x3 = x1/2 = 2 x1 = x a) x1/3 = b) 5 x = c) 6 x2 = d) 3 x2 = (x2)3 = x2.3 = x6 a) (x3)1/3 = b) (x-2)2 = c) (x-3)-2 = d) (x2)1/4 = e) (x3)1/9 = GEOMETRÍA Ángulos Indica un equivalente a las siguientes expresiones: 4. Leyes de exponentes • xn . xm = xn+m • (xm)n = xm.n • = xm-n • xn/m = m xn xm xn 1. La longitud (L ) de la circunferencia es: Áreas • Triángulo • Rectángulo • Círculo Volúmenes • Cilindro • Esfera Longitud de arco S θ R Ángulo (en radianes) Radio S = θR A∆ = b . h 2 b h a b A = a . b R A = πR2 R h V = Ab . h V = πR2 . h V = 4 3 πR 3 R=3m L = (2π) 3 m L = 6π m 6 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 3. Halla el volumen de: * Calcula θ. 2. Calcula el área del triángulo. Área∆ = (base x altura)/2 Área∆ = (4m x 2m)/2 Área∆ = 4m 2 * Calcula el área de las figuras que se indican. * Calcula L. * Calcula R. * Calcular θ. * Calcula L. L R=2m π/3 L = R = 60º R R 6π m 2m 2m θ 2π m θ = L = 3m 3m π/4 L θ = 5m 5m θ 10π m Área∆ = 4m 3m 45º 3m 3m Área∆ = 2m 4m Área = 2m 2m 2m Área = Área = Volumen = Área de la base x altura Volumen = Área x altura Volumen = 2m x 2m x 2m Volumen = 8m3 3m 8m 8m 5m 3m 7PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 1. Halla x e y. 4x + y = 26 2x - y = 4 Del sistema de ecuaciones, tenemos: 4x + y = 26 2x - y = 4 6x = 30 ⇒ x = 5 y = 6 { 2. Halla las raíces de la ecuación: x2 - 8x + 15 = 0 Aplicando la ecuación: x = donde: b = -8 , a = 1 y c = 15 x1 = x1 = 4 + x1 = 4 + x1 = 5 x2 = x2 = 4 - x2 = 3 -b ± b2 - 4ac 2a 64 - 60 2 2 2 +8 + 82 - 4(15) 2 * Halla el volumen de los siguientes sólidos: 4m 2m 3m Volumen = 2m Volumen = TRIGONOMETRÍA Funciones trigonométricas: a : cateto opuesto b : cateto adyacente c : hipotenusa Teorema de Pitágoras: Triángulos Notables: 2m 4m Volumen = 5m 9m Volumen = sen θ = cateto opuesto hipotenusa a c = cos θ = cateto adyacente hipotenusa b c = tg θ = cateto opuesto cateto adyacente a b = c2 = a2 + b2 8 - 82 - 4(15) 2 θ a b c 1k 1kk 2 53º 37 º 5k 4k 3k 30º 60º2k 3 k 1k 45º 45º Resolución: 2 2 Resolución: 8 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Del gráfico, tenemos que la altura del triángulo es h = 8 y la base es b = 4. A∆ = = = 16u 2 6. En los siguientes triángulos, halla las funciones trigonométricas que se indican. a) sen 53º = 4/5 cos 53º = 3/5 tg 53º = 4/3 53º 37º 3 5 4 b) sen 45º = cos 45º = tg 45º = c) sen 60º = cos 60º = tg 60º = d) sen 37º = cos 37º = tg 37º = 5. Determina sen θ + cos θ, si: Tenemos: sen θ = cos θ = sen θ + cos θ = + = 3. H a l l a e l á r e a d e l t r i á n g u l o sombreado. 4. Si el volumen de un cilindro es 400π cm3 y su altura es de 25 cm, halla el radio de la base “R”. Si el V = 400π cm3 y h = 25 cm Pero V = π R2 . h 400π = π R2 . 25 = R2 ⇒ 16 = R2 R = 4 cm 400 25 5 13 12 13 5 13 12 13 17 13 θ 13 5 12 b . h 2 4 . 8 2 e) x = 7. A partir de las funciones anteriores y por Pitágoras se deduce que: sen2 θ + cos2 θ = 1 tg θ = sen θcos θ Ejemplo: Para θ = 37º, halla: sen2 37º + cos2 37º + = + ⇒ = 1 tg 37º = = = = 3 5 ( ( 2 4 5( ( 2 9 25 16 25 25 25 3/5 4/5 3 x 5 4 x 5 3 4 a) Para θ = 30º, halla: sen2 30º + cos2 30º = tg 30º = = sen 30ºcos 30º b) Para θ = 53º, halla: sen2 53º + cos2 53º = tg 53º = = sen 53ºcos 53º c) Para θ = 60º, halla: sen2 60º + cos2 60º = tg 60º = = sen 60ºcos 60º d) Para θ = 45º, halla: sen2 45º + cos2 45º = tg 45º = = sen 45º cos 45º 5 x 5 3 60º 30º 9 12 1553º 37º 60º 3 30º 1 2 1 1 245º 45º S 8u 8u Resolución: Resolución: sen 37º cos 37º Resolución: 9PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Introducción ‘‘Nuestro conocimiento es satisfactorio sólo después de expresarlo’’. Lord Kelvin Recuerda Sabemos que la madre de la sabiduría es la curiosidad y todo aquel que se deleita con el mundo de la física, deberá observar para comprender los fenómenos que ocurren en su entorno. Sin embargo, una observación científica, por lo general, está incompleta si no se expresa de manera cuantitativa, así que para obtener tal información debe hacerse la medición de la cantidad física. Por tanto, las mediciones conforman buena parte de la rutina de un físico experimental. En el artículo único del Real Decreto 1317/1989, del 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las unidades legales de medida, publicada el 3 de noviembre, se dice que: El sistema legal de unidades de medida es el Sistema Métrico Decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.) adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas en la Comunidad Económica Europea. La masa de 30 manzanas tiene una dimensión de ....................... (kilogramos). La altura de un semáforo tiene una dimensión de .............. (metros). Es todo aquello susceptible de ser medido, asignándole un número y una unidad. Volumen, peso, tiempo, velocidad. 1. Relacionar una magnitud física con otras magnitudes establecidas como fundamentales. 2. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas. 3. Determinar fórmulas empíricas. 4. Determinar las unidades de una magnitud. El símbolo [a] indica la fórmula dimensional de una cantidad física. Ejemplo: • Si T es tiempo, entonces [T] se lee fórmula dimensional de T. La yarda, el pie y la pulgada son unidades de longitud que no pertenecen al S.I. OBJETIVOS DIMENSIÓN Nos indica el tipo de patrón que se ha usado para realizar una medición. Ejemplos: MAGNITUD Ejemplo: Análisis Dimensional I 10 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Nota Para medir una cantidad de una magnitud se compara con otra de su misma especie. Son aquellas elegidas arbitrariamente para establecer las unidades de un sistema. I) Por su origen UNIDADMAGNITUD SÍMBOLO DIMENSIÓN Son aquellas que son expresadas por las magnitudes fundamentales. Observación: Toda magnitud se expresa en función de las magnitudes fundamentales. Magnitudes Fundamentales Magnitudes Derivadas Propiedades de las Ecuaciones Dimensionales Los ángulos y razones trigonométricas, en general, son adimensionales y para los cálculos se consideran igual a 1. rad sr MAGNITUDES AUXILIARES UNIDAD Nombre Nombre Símbolo 1. Ángulo Plano 2. Ángulo Sólido radián estereorradián 1. En la siguiente expresión, halla [K] si: V : velocidad d : distanciaK= V2 2d La dimensión de los términos de la ecuación. [K] = donde [V] = [LT-1] [d] = L [2] = 1 → [K] = (LT -1)2 L = (L 2T-2) L → [K] = LT-2 [V2] [2] [d] 2. Halla la dimensión de ‘‘E’’ si: D : densidad V : velocidad g : aceleración E= DV2 g [E] = = [D][V]2 [g] [DV2] g Donde: [D] = ML-3 , [V] = LT-1 [g] = LT-2 → [K] = (LT -1)2 L = (L 2T-2) L → [E] = ML -3. (LT-1)2 LT-2 = ML-1T-2 LT-2 ∴ E = ML-2 CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES = • [Área] = L2 • [Volumen] = L3 • [Velocidad] = • [Aceleración] = • [Densidad] = Recorrido Tiempo L T = LT -1 = = • [40°] = • [ 4 ] = • [π] = • [tg α] = • [Ln5] = • [A.B] = Resolución: Resolución: ; 11PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 3. Halla [T] en el siguiente caso: m : masa V : velocidad F : fuerza T= mV 2 F [T] = = [m][V] 2 [F] [mV2] [F] Donde: [m] = M , [V] = LT-1, [F] = MLT-2 [T] = M.(LT-1)2 MLT-2 ML2T-2 MLT-2 = [T] = L 4. El periodo del péndulo está dado por: [T] = [kLagb] L : longitud g : aceleración k : constante Halla a+b [T] = [kLagb] = [k] . [L]a [g]b Donde: [T]=T ; [L] =L ; [g]= LT-2 → T = kLa(LT-2)b → T = kLaLbT-2b = kLa+bT-2b De los exponentes de L, tenemos: L0 = La+b → a+b = 0 5. Halla la dimensión de K si: E = Kgh E : energía g : aceleración h : altura [E] = [Kgh] = [K][g] [h] Donde: [E]=ML2T-2 ; [g] =LT-2 ; [h]= L → ML2T-2 = [K] . LT-2. L ML2T-2 = [K] L2T-2 → [K] = M Resolución: Resolución: Resolución: 1) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de R si: R = Velocidad x Aceleración a) L2T-3 b) L2T2 c) L-3T2 d) LT2 e) L2T-1 Nivel I 2) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Q si: a) L4T b) L4T-2 c) LT-2 d) L3T-2 e) L2T-2 Q = Fuerza Densidad 3) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Z si: Z = trabajo x velocidad a) ML2T b) MLT2 c) ML3T-3 d) MLT e) MLT-1 4) La ley de gravitación universal de Newton tiene como expresión: Donde: F : fuerza m1 y m2 : masa de los cuerpos G : constante r : distancia Determina la dimensión de la constante. a) ML-2 b) M-1L3T-2 c) MLT-2 d) L3T-2 e) M-1T-2 F = G.m1.m2 r2 5) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de m en: Donde: P : potencia [R]3 : M2L5T-4 [Q] : L3T-1 a) ML b) L c) T d) MT-1 e) LT-1 P = 4πR3 mQ 6) En la s iguiente ecuación dimensionalmente correcta, determina los valores de x e y: P : presión V : velocidad D : densidad a) 1 y 3 b) 1 y 2 c) 2 y 3 d) 2 y 4 e) 1 y 4 P = 1 3 D xVy 12 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 7) Halla la dimensión del calor específico (Ce) si: a) L2T-2 b) LT-2 c) ML2θ d) L2T-2θ-1 e) L2θ-1 Ce = Calor Temperatura . Masa 8) Halla [K] si: K = PDH Donde: P : presión D : densidad H : profundidad a) MLT b) M2T-2 c) ML-2T-2 d) M2L-3T-2 e) ML2T-1 9) Halla la dimensión del calor latente (L) si: [calor] = ML2T-2 a) L2T-1 b) L2T-2 c) LT-2 d) L3T-2 e) MLT-2 L = calor masa 10) Halla la dimensión de ‘‘E’’ si: D : densidad V : velocidad g : aceleración a) ML-2 b) ML-1 c) ML d) M-1L-1 e) ML-3 11) El trabajo se define: W = fuerza x distancia Halla [W]. a) ML2T b) ML2T-2 c) ML3T-3 d) ML e) LT-3 12) Expresa la ecuación dimensional de M en la siguiente expresión: a : aceleración P : tiempo a) LT b) LT-3 c) LT-2 d) T-2 e) T3 M = 38a P 13) En la siguiente expresión, halla [K]. V : velocidad ; d : distancia a) ML b) LT-1 c) LT-2 d) MLT-2 e) LT-3 E = DV2 g K = V2 2d 14) Halla [K] en el siguiente caso: m : masa V : velocidad F : fuerza a) M b) MLT-2 c) L d) MT-2 e) LT-2 K = mV2 F 15) La energía asociada a la posición de un cuerpo se da de la siguiente manera. E = Kgh Donde: g : aceleración h : altura E : energía Hallar [K] a)L b)T c)ML d)M e)LT 16) El periodo del péndulo está dado por: T = KLagb Donde: L : longitud g : aceleración Halla a + b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -2 Nivel II 17) La potencia (P) se define: Halla [P]. a) ML2T-3 b) ML-3 c) LT-2 d) ML-3L2 e) ML-1 P = trabajo tiempo 18) Halla [ X] en la s iguiente fórmula: P : presión ; R : radio Q : densidad ; B : fuerza Z : velocidad a) MLT b) MT-1 c) LM-1 d) M-1LT e) MLT-1 X = PR QBZ 13PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 19) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de W si: W = (fuerza)2 x (presión)3 a) M5L-1T-10 b) M6L-2T9 c) M5LT-4 d) M5LT-9 e) M5L2T-9 20) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘S’’ si: S = (trabajo)3 x (aceleración)2 a) ML2T-4 b) ML4T-6 c) MLT-3 d) ML4T-2 e) M3L8T-10 21) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de R si: R = (velocidad)2 x (presión)2 a) MT-5 b) M2T-4 c) M2T-6 d) M2LT-6 e) N.A. 22) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de P si: a) M3L4 b) M2L3 c) ML2 d) M3L2 e) ML6 P = (energía)3 x (área)2 (velocidad)6 23) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de H si: H = Área x Trabajo x Densidad a) MLT b) ML1/2T-1 c) MLT-1 d) ML1/2T e) MLT1 24) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Z si: Z = Área x Aceleración a) L2T-2 d) LT-1 b) L3T-1 e) LT-3 c) L3T-2 25) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de W si: a)T d)T-2 b)T-1 e)1 c)T2 26) Si [x] = ML4T2 [z] = MLT-3 , determina [x] . [z]2 a)ML6T-4 d)M2L8T-6 b)M3L6T-8 e)M3L8T-6 c)ML3T-2 27) Si [P] = L4 . T-3 [R] = L5 . T-2 determina a)L7 d)L-8 b)L-7 e)L9 c)L8 28) Determina la fórmula dimensional de R si: R = Fuerza x Velocidad a)ML2T-3 d)MLT2 b)ML2T-2 e)ML-2T-3 c)ML2T 29) Determina la fórmula dimensional de W si: W= Densidad x Velocidad x Área a)MLT-1 d)MT-1 b)MT2 e)ML-2 c)MT 30) Halla la ecuación dimensional de Q en: a)L2T2 d)LT b)L3T-2 e)L c)L3T-3 Q = volumen x presión área x densidad Nivel III 31) La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = KRxWyDz donde: [W] = T-1 R : Radio de la hélice D : Densidad del aire K : número Calcula x + y + z. a) 5 e) 11 b) 7 e) 13 c) 9 32) La fuerza se define como: F = mxay Halla x + y si: m : masa ; a : aceleración a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 33) La velocidad angular de un cuerpo (W ) se define de la siguiente manera: Halla [W]. a) 0 d) LT-2 b) T-2 e) T-1 c) LT-1 W = ángulo tiempo 34) La velocidad lineal y la velocidad angular se relacionan de la siguiente manera: V = KW donde: V : velocidad lineal W : velocidad angular Halla la dimensión de K. a) LT d) T-2 b) M e) L c) LM [P]2 [R]3 W= trabajo potencia 14 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA U = trabajo x velocidad caudal x densidad 35) Encuentra [P] si: P = F x ∆ t donde: F : fuerza ∆ t : tiempo a) MLT-1 d)MLT2 b)ML2T2 e)MLT-2 c)M2LT 36) La carga eléctrica está dada en la siguiente expresión: Q = I . T I : intensidad de corriente t : tiempo Halla [Q]. a) IT-1 d) IT-4 b) IT-2 e) IT c) IT-3 37) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de Y si: Y = velocidad x área x caudal a) L6T-2 d) LT-2 b) L5T-1 e) L4T6 x = volumen x impulso fuerza 38) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de x si: a) L3T2 d) L3T b) LT e) L2T3 c) L2T 39) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de O si: O =(Potencia)sec60° x (velocidad) tg45° a) M2L6T-4 d) MLT-3 b) MLT-2 e) M2L3T6 c) ML6T-1 40) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de N si: N = Fuerza x Impulso a)MLT-1 d)MLT-1/2 b)MLT-3/2 e)M-1LT-1 c)MLT 41) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de M si M =(Presión)3tg45°x (caudal) a)M3T-2 d)M3T-7 b)M4T-5 e)M3LT-5 c)MT-6 42) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de J si: a) ML-1T-1 d)M1/2L-1/2T2 b)M1/2L-1/2T-1/2 e)M-1L-1T-1 c)ML-1/2T J = velocidad x impulso caudal 43) Determina la ecuación de Y si: Y = Impulso Densidad a) M2L-2T-1 b)ML-2T-3 c)MLT-2 d)ML2T-1 e)MLT-3 44) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de X si: X=Densidad x Fuerza x Caudal a) MLT-3 b) M2LT-3 c) MLT-1 d) M3LT-1 e) ML3T-2 45) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de U si: a)L3T2 b)L2T3 c)L3T- 2 d)L2T- 3 e)LT- 1 46) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de X si: X = Longitudsen30° x Volumen tg45° a) L5/2 d)L2/7 b)L7/2 e)M3L1/2 c)L3 47) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de B si: a) L1/2T-1/2 d)LT b) LT-1/2 e)LT2 c) L1/2T-1 B = potencia x velocidad trabajo 48) Determina la ecuación dimensional de Z si: a) T d)T3/2 b) T-1/2 e)LT-1/2 c) T1/2 Z = velocidad tg45° aceleraciónctg45° 49) Determina las unidades de ‘‘B’’ en el S.I. a) m2/s d)m4/s b) m/s e)m5/s c) m3/s B = velocidad x fuerza aceleración x densidad 50) E n l a s i g u i e n t e fó r m u l a dimensionalmente correcta, ¿qué magnitud representa ‘‘K’’? Donde: F : Fuerza D : Distancia E : Energía a) Fuerza d) Longitud b)Tiempo e) Adimensional c) Masa K = F . D 4E 15PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Niveles de Organización en la Materia La materia ordinaria consiste de átomos, y en el centro de cada átomo está un compacto núcleo constituido de protones y neutrones que están compuestos de quarks. ¡Qué tal amigos! Continuaremos con nuestro estudio sobre análisis dimensional. Recordemos algunas magnitudes fundamentales y derivadas. MAGNITUDES FUNDAMENTALES UNIDADMAGNITUD DIMENSIÓN Longitud Masa Tiempo Temperatura MAGNITUDES DERIVADAS DIMENSIÓNMAGNITUD Velocidad Aceleración Fuerza Densidad PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Realiza las siguientes operaciones: • 1m + 1m = • 2kg + 3kg = • 5m + 3kg = • 1s + 7kg = • 3m - 1m = Nos damos cuenta que para sumar o restar 2 magnitudes deben ser de la misma especie, es decir, deben ser ___________________________. En conclusión si: A + B + C = D [ ] = [ ] = [ ] = [ ] Recuerda • Cantidad: es una porción limitada de una magnitud. • Unidad: es la cantidad elegida como patrón de comparación. Análisis Dimensional II 16 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Historia de la unidad: Longitud (Metro) Aunque la distancia podría determinarse aproximadamente por la duración de un día de viaje, el cuerpo humano fue la medida lineal más conveniente en los primeros tiempos. La longitud de un paso o un pie, la anchura de un dedo o mano, la longitud del antebrazo, todo servía como referencia directa para las mediciones en la antigüedad. En las épocas de los grandes reinos de Egipto y Babilonia (unos 2500 a. C.), el codo que correspondía a la longitud del antebrazo de un hombre, desde el codo hasta la punta del dedo índice extendido, era la medida lineal más usual. Este tipo de concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier cosa física, se denomina unidad. Para asegurar algún grado de constancia para una medida ampliamente utilizada, pues es evidente que los antebrazos difieren, una sociedad avanzada debe desarrollar una materialización física invariabe de cada unidad que sirva como referencia primaria o patrón con el cual se comparaban y calibraban todas las varas de codo de Egipto. Desde el Medio y Próximo Oriente, a través del comercio, las antiguas nociones de medida se dezplazaron a Occidente hasta Grecia y después hasta Roma y, con la conquista, a la mayor parte de Europa. El pie, aunque su longitud variaba bastante, era de uso común entre los griegos y los romanos. Su historia va desde la longitud de una sandalia romana y de bota británica, hasta el familiar concepto contemporáneo. Cuando las legiones romanas recorrían el mundo, medían sus avances en passus, o milios passuum que fue el precursor de la milla británica. Cuenta la leyenda que la yarda, o doble codo, fue fijada en el siglo XII por Enrique I de Inglaterra como la distancia desde su nariz a la punta de su dedo índice extendido. De manera similar, el patrón original para el pie, adoptado por los franceses, fue la longitud del pie real de Luis XIV. Este patrón prevaleció hasta 1799, cuando el patrón legal de longitud en Francia vino a ser el metro, definido como un diez mil millonésimo de la distancia del Ecuador al Polo Norte a lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París y que prevaleció en todos los países y en los círculos científicos de todo el mundo. En 1960, la longitud de un metro se definió como la distancia entre dos líneas sobre una barra de platino - iridio almacenada en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por varias razones; la principal fue el hecho de que la limitada precisión con la cual se puede determinar la separación entre las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y tecnología. Después el metro fue definido como 1650763.73 longitudes de onda de la luz naranja - rojo emitida por una lámpara de Kriptón 86. Sin embargo, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/ 299792458 segundos. 1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: P = x . Vx Dy Donde: P : presión V : velocidad D : densidad Determina: x + y. La dimensión de los términos de la ecuación. [P] =[ x . Vx Dy] =[x] [V]x [D]y Donde: [P] =ML-1T-2 ; [V] =LT-1 [D] =ML-3 ; [ x ] =1 Entonces: ML-1T-2 = (LT-1)x(ML-3)y ML-1T-2 = LxT-xMyL-3y M L-1 T-2 = Lx-3y T-x My De donde: y = 1 ; x -3y = -1 x = 2 Entonces: x + y = 2+1= 3 Por el principio de homogeneidad: [ SQJ ] =[4mD] = 21 → [S] [Q] [t] = [21] [P] [W]-1 De donde: [S] =1 ; [Q] =L3T-1 ; [t] =T [21] =1 ; [W] =ML2T-2 Entonces: L3T-1 . T = [P] . (ML2T-2)-1 L3 = [P] . M-1L-2T-2 → [P] = ML5T2 2. Si la ecuación 5Qt = 4mD + 2 es dimensionalmente correcta, determina [P]. (Q : caudal; t : tiempo; W : energía) P W P W Resolución: Resolución: 17PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Del principio de homogenidad: 3. Halla las dimensiones de ‘‘G’’, ‘‘H’’e ‘‘I’’ en la siguiente fórmula física. F = Ga + Hv + I Donde: F : fuerza a : aceleración v : velocidad 1 2 3 4. Determina la relación b/c, de la siguiente ecuación homogénea. Donde: W : trabajo e : longitud a : aceleración W e = ba + b2c W e = [ ba ] = [b2c] 2 1 Donde: [W] = ML2T-2 ; [e] = L ; [a] = LT-2 Del principio de homogeneidad: [ F ] = [Ga] = [Hv] = [ I ] ... (1) Donde: [F] =MLT-2; [a] =LT-2 ; [v] =LT-1 Entonces: De → MLT-2 = [G] . LT-2 → [G] = M De → MLT-2 = [H] .LT-1 → [H] = MT-1 De → MLT-2 = I De → = [b] . LT-2 → [b] = M 1 ML 2T-2 L 1 2 3 Resolución: Resolución: De → = M2[c] → [c] = M-1LT-2 Entonces: 2 ML2T-2 L = M M-1LT-2 = M2L-1T2 5. Si la siguiente fórmula D.a = cosφ. Vn es dimensionalmente correcta, determina ‘‘n’’, siendo: D : longitud ; a : aceleración V : velocidad [D.a] =[cosφ . Vn] [D] [a]=[cosφ] [V]n Donde: [D] =L ; [a] =LT-2 [V] =LT-1 ; [cosφ] =1 Entonces: L .LT-2 = (LT-1)n L2 T-2 = (LT-1)n (LT-1)2 = (LT-1)n → n = 2 b c Resolución: 1) Indica la relación correcta: I. Aceleración ......... LT-2 II. Frecuencia ......... T-1 III. Frecuencia ......... T a) Sólo I d)Sólo II b) I y II e)Sólo II y III c) Sólo III Nivel I 2) Halla la dimensión de 3 8 a) 1 b) -1 c ) 2 d) -2 e) 8 3) Indica [P] si P = mv, donde: m : masa; v : velocidad a) M d) MLT-1 b) LT-1 e) ML2T-2 c) MLT-2 4) Si la ecuación dimensional es correcta: I = Mx+y+TyDz Donde: F : fuerza; m : masa t : tiempo; d : densidad halla x+y+z. a) -2 b) 3 c ) 1 d) -1 e) 0 5) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘X’’ en X= Pv donde: P : presión v : velocidad a) L2MT-3 d) L2M-1T-1 b) L2MT-1 e) LMT2 c) L2M-1T3 6) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional de ‘‘y’’ si se sabe que: Donde: m : masa W : trabajo t : tiempo a : aceleración a) L-1T2 d) L-1T3 b) L-1T e) L-1T-1 c) L2T-1 7) Calcula [ J ] si J = 86Ft2, donde F : fuerza y t : tiempo. a) ML-1 d) M-1L b) ML e) M-1L-2 c) ML-2 ma ty W = 8) Sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, encuentra [x] en: Donde: V : velocidad T : tiempo a : aceleración m : masa A : área a) MT-3 d) MT-2 b) MT-1 e) M2T c) MLT x . A + mv 2 t = y.a 18 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 16) En la siguiente fórmula física: E = AV2 + BP donde: E : energía V : velocidad P : presión halla [ A/B ]. a) ML-3 d) ML-3T b) ML2 e) ML-4 c) ML2T3 Nivel II 9) Si la ecuación D = es dimensionalmente correcta, encuentra la unidad K en el sistema MKS; donde: D : densidad ; V : velocidad y A : Área a) kg m2s2 b) kg-1m2s-1 c) kg-1ms-1 d) kg-2m2s-2 e) kg m2s-1 V KA 10) Hallar la ecuación dimensional de A: Donde: h : altura P : presión V : volumen a)ML-3T-2 d)ML3 b)MLT-2 e)ML2T-1 c)M2LT-2 A = h.P V 11) Halla la dimensión de sen30°. a) L d) -1 b) L-1 e) 1/2 c) 1 12) Del ejercicio 8, halla [ y ]. a)L-1T2 d)MLT-1 b)LMT e)L-1T-1 c)MLT2 13) Halla la ecuación dimensional de ‘‘N’’ si: Donde: T : trabajo V : velocidad D : densidad a)L-1T2 d)L4 b)L4T2 e)L6T-3 c)L4T-2 N = T . V D 14) Si V = A + BT + CT2, donde V: velocidad ; T : tiempo; halla [AC/B ]. a) LT-1 d) L b) LT-2 e) T c) LT 15) Halla la dimensión de la magnitud de la velocidad, sabiendo que se define como: Donde: d : distancia t : tiempo a) L b) L2T c) LT d) T e) LT-1 V = d t 17) Halla [ B ] en: Donde: C : energía A : frecuencia x : longitud a) ML-1T-1 d) T-1 b) ML2T-1 e) L-1 c) MLT x = 1999C 2000 A+B 18) Del problema anterior, halla [C]. a) L-1 b) L2T c) L2T-1 d) T-2 e) LT-1 19) La fórmula de la energía está dada por: Donde: E : ML2T-2 W : Ángulo de incidencia Halla [Z] . a) M-1L-2T2 b) ML2 c) M-1L2T d) MLT-1 e) ML E = sen(W) Z 20) Sabiendo que el impulso es I = F . t Donde: F : fuerza t : tiempo halla [Z], para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta: Donde: W : trabajo m : masa a) LT2 b) LT-1 c) LT-2 d) LT-3 e) L2T-1 I= W Z + mZ 19PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Nivel III 31) Halla [x] si: Donde: a : fuerza m : velocidad a) LT-1 d) L-1 b) L3T e) m c) T-2 21) Halla ‘‘x+y’’ para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta: Donde: H : altura a : velocidad b : radio c : aceleración a) 1 d) -4 b) -2 e) 5 c) 3 2H= a 2bx 3cy senθ 22) Halla la dimensión de ‘‘Q’’ en el sistema internacional. donde: d : densidad ; V : velocidad g : aceleración a) LM d)ML-2 b) ML-3 e)ML-1 c) LMT-2 Q = DV2 100g 23) Calcula la ecuación dimensional de ‘‘a’’ si: donde: V : velocidad R : radio a) LT-1 d)L-1T b) LT e)L-2T c) LT-2 24) Determina [ β/α] si: E = aMLT-3 ; aV = F donde: E : trabajo V : velocidad F : fuerza a) ML d)LT b) M-1L-1 e)ML-1T-2 c) LT-2 25) Halla la dimensión de ‘‘K’’ en la siguiente ecuación dimen- sionalmente correcta: P = KW2tgθ Donde: P : Potencia W : Velocidad angular a) L2MT-1 d) MLT b) L3MT2 e) L2MT-4 c) LMT-2 26) Si la ecuación a = WxRy es dimensionalmente correcta, halla x + y, siendo: W : velocidad angular; R : distancia ; a : aceleración a) 2 d) 1 b) -1 e) 0 c) 3 27) Dada la ecuación: halla [x] , sabiendo que: E : ML2T-2 y m : masa. a) LT-1 d) LT b) L2T-1 e) LT-2 c) L2T x = 2E m 28) El periodo de un péndulo simple viene dado por la ecuación: t = 2πLxgy donde: L : longitud de la cuerda g : aceleración de la gravedad t : periodo del péndulo Halla el número ‘‘x’’. a) 1/2 d) 1/3 b) 2 e) 1 c) 3 29) Del problema anterior, halla el valor de ‘‘y’’. a) 1/4 d) -2 b) -1/3 e) -1 c) -1/2 30) Dada la ecuación de cierta ley física: halla la ecuación dimensional de y. a)L d)-1 b)L-1 e)1 c)2 x 2 + x y = 32) Los cálculos teóricos muestran que la tensión de una cuerda que rodea a una polea viene dada por la ecuación: donde: T : tensión (fuerza) W : peso ; R: radio d : diámetro de la polea Halla [S] . a) MLT d) MT-1 b) MT-2 e) ML-1 c) M-1T2 T = W R + S d a = V 2 R = a M m2 x 20 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 33) Del problema anterior, halla el valor de ‘‘x’’. a) -1 b) 2 c) 1 d) -2 e) 3 34) Halla [x] si: Donde: A : potencia W : periodo a)ML2T-3 b)LT-2 c)ML d)ML-2 e)ML-3T2 E = W A2 - x2 35) Encuentra [ P ] en la ecuación: Donde: m : masa v : velocidad t : tiempo a) ML b) ML2T-3 c) LT-3 d) LT3 e) ML-2T3 4P = m(v+k) 2 2t 36) Del ejercicio 34, halla [ E ] . a) ML2 b) ML2T-2 c) ML2T-3 d) ML e) LT-2 37) Indica las unidades de ‘‘a’’ en el S.I. si se cumple: Siendo: F : fuerza tangencial A : superficie V : velocidad y : desplazamiento a) m.s b) kg.s c) kg/m.s d) m.kg/s e) kg.s/m = a F A V y 38) Si se cumple que: K = 2πPVcosθ Donde: P : presión V : volumen halla [K] . a) ML2T-2 b) MLT-2 c) ML2T-3 d) ML-1T-2 e) M2LT-3 39) Halla [x] si: Siendo: a : aceleración v : densidad R : presión a) ML b) ML-4 c) L2M-2 d) L2M-3 e) M-1L-1 x = (log18)av2 R 40) Calcula [W] si: Siendo: R : trabajo F : fuerza a) MLT b) ML2T-2 c) ML-1T2 d) M2L3T-3 e) M2L-2T-2 R = 2 WF 6F 41) La ecuación mc 2 = hf es dimensionalmente correcta. Si m= masa, c = velocidad de la luz y f= frecuencia, halla la ecuación dimensional. a) MLT-1 b) MLT c) ML2T3 d) ML2T-1 e) ML2T 42) Encuentra [ Km] si: F = fuerza; q 1=q2=cargas magnéticas ; d = distancia a) L2MT-3I-1 b) LMT-1 c) LM-1TI2 d) LM-1T2 e) LMI-1 F = Km q1 . q2 d2 43) R e s u e l v e e s t a e c u a c i ó n d i m e n s i o n a l s i A = á re a , B = volumen y C = velocidad. a) L6T-5 b) L6T c) L5T2 d) L-5T-1 e) L3T2 Z = A2Bsenα (senα + cos α)C 21PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO x = B D V + + E C 2 44) En la siguiente expresión, determina [B] si: Siendo: V : velocidad D : densidad C : masa a) ML-2T-1 b) ML2T c) ML2T-1 d) M-1L2T e) ML-1T-2 45) La ecuación es dimensional- mente correcta: Halla [Z] siendo: B : volumen A : área C : velocidad a) LT b) L-1T c) L2T-2 d) LT-1 e) L-2T Z = Btgα A2C(1+sen2θ) 46) En la ecuación homogénea, halla [x] si: Siendo: m : masa t : tiempo h : altura V : velocidad a) M b) MT-1 c) MT-2 d) MT2 e) MT3 h = 4K(x - m) 3 3t2 V y + 47) Del ejercicio anterior, halla [y]. a) M b) T-1 c) T d) LT-2 e) L2T 48) En la ecuación dimensional- mente correcta, determina [Z] si: Donde V : volumen a) L d) L3 b) L2 e) L-3 c) L-2 GV = XZV 49) La ecuación: FX = mxKmB2 es dimensionalmente homo- génea. Halla [B], sabiendo que: F : fuerza X : distancia m : masa K : número adimensional a) LT2 b) LT-1 c) L-1T-1 d) LT e) LT-2 50) La s iguiente ecuación es dimensionalmente homogénea y = Fat2(2p + x + sen2θ)3 Donde: F : fuerza a : aceleración t : tiempo Hallar la ecuación dimensional de y. a) ML2T-2 b) ML-1T-1 c) M-1LT-2 d) MLT-3 e) MLT-1 22 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 1) Halla los valores de x en: x2 - 9x + 20 = 0 a) x = 4; 6 d)x = -5; 6 b) x = 5; 6 e)x = 4; 5 c)x = 4; 3 Nivel I 2) Halla los valores de x en: x2 - 10x + 21 = 0 a) x = 3, 5 b) x = 3, 7 c) x = 4, 5 d) x = -3, 5 e) x = -3, 7 3) Determina el área de: a) 3 u2 b) 4 u2 c) 5 u2 d) 6 u2 e) 12 u2 53° 5u 3u 4) Encuentra el área de: a) 8 u2 b) 7 u2 c) 5 u2 d) 6 u2 e) 9 u2 3u 2u 4u 5) Halle el área de la superficie. a) 24π m2 b) 36π m2 c) 32π m2 d) 54π m2 e) 55π m2 4m 3m 6) El valor del cateto ‘‘b’’ es: a) 8 b) 6 c) 7 d) 5 e) 4 10 6 b 7) Del triángulo mostrado, halla sen216° + cos216° a) 7/24 b) 7/25 c) 24/7 d) 1 e) -1 16° 25 24 7 8) Determina senθ + cosθ. a) 6/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 7/5 e) 4/3 θ 5 3 4 9) Halla las dimensiones de A si: h : altura b : base a) L2 b) L3 c) L4 d) L-2 e) L-1 A = h . b 2 θ b h 10) Encuentra [Frecuencia] si: a) T-1 d) T2 b) T-2 e) T-3 c) T Frecuencia = 1 Periodo 11) Determina [Q] si E = Q ; donde E = energía. a) MLT-2 d) MLT b) MLT-1 e) ML2T-2 c) ML2T 12) Halla [Presión] si: a) ML-2T-1 d) MLT b) ML2T e) ML c) ML-1T-2 Presión = Fuerza Área 13) D e t e r m i n a l a e c u a c i ó n dimensional de I (impulso) si: a) MLT-2 d) MLT-1 b) ML2T e) ML c) MLT2 I = (Fuerza) . (Tiempo) 14) Halla [D] si: a) ML-3 d) ML-2 b) ML2 e) ML c) ML3 D = masa volumen 15) Halla A . B si: Donde: K = MT-2 ; d = longitud x = longitud; P = MLT-1 a) L2T d) L-2T-2 b) LT e) M2LT-2 c) LT2 kx2 1 2 = Ad + BP2 1 2 Repaso 23PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 16) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 - 7x + 10 = 0 a)x = 2,5 d) x = 3,5 b)x = 3,5 e) x = 5,6 c)x = 4,5 Nivel II 17) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 + 15x + 26 = 0 a)x = 7,2 d) x = 6,7 b)x = - 13, -2 e) x = -3, -13 c)x = 8 , 13 18) Determina el área de: a) 20 u2 b) 21 u2 c) 22 u2 d) 23 u2 e) 24 u2 19) D e t e r m i n a e l á r e a d e l rectángulo: a) 30 u2 b) 36 u2 c) 42 u2 d) 48 u2 e) 54 u2 37° 10u 8u 10u 53° 20) Halla la superficie del círculo: a) 6π u2 b)7π u2 c)8π u2 d)9π u2 e)10π u2 6u 6u 21) Halla el volumen de la esfera. a) 24π u3 b) 30π u3 c) 36π u3 d) 42π u3 e) 48π u3 3u 22) El valor del cateto ‘‘b’’ es: a) 60 b) 70 c) 5 3 d) 8 5 e) 6 4 10 5 b 23) Determina tgθ + ctgθ. a) 5/3 b) 2 c) 3 d) 5/2 e) 4 θ 6 3 24) Halla la ecuación dimensional del área (A) del paralelogramo: a) L-2 b) L-1 c) L2 d) L e) L3 b a α 25) Encuentra [K] ; K = a) L d) L3 b) L2 e) L-2 c) L-3 trabajo presión 26) Determina [R] ; R = a) T d) LT-1 b) T-1 e) L-1T c) LT velocidad aceleración 27) De la siguiente relación, determina [α] si: L = Lα t Donde: L : longitud t : temperatura a) θ2 d) θ -1 b) θ -2 e) θ -3 c) θ 28) La intensidad de la corriente (I) se da por: Halla [carga] . a) IT-1 d) IT2 b) IT-2 e) IT c) I2T carga tiempo I = 29) Indica la ecuación dimensional de C si: a) ML2T-1 d) MLT2 b) ML2T-3 e) ML c) MLT-2 calor tiempo C = 30) Indica las unidades de ‘‘B’’ en el S.I. a) m2 . m/s d) kg . m . s b) m3 ./s e) m/s c) m . m2 . s fuerza . distancia π . (tg30°) . masaB = 31) Halla los valores de x si: x2 - 17x + 60 = 0 a) x = -12 , -5 d) x = 12 , 6 b) x = 12 , -5 e) x = 12 , -7 c) x = -13 , 4 32) Halla los valores de ‘‘x’’ si : x2 + 2x - 168 = 0 a)x = -11, -12 d) x = 15, -16 b)x = 12, -14 e) x = 13, -14 c)x = 12, 14 Nivel III 33) Determina el área del triángulo. a) 20 u2 b) 24 u2 c) 28 u2 d) 32 u2 e) 14 u2 30° 7u 8u 24 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 34) Determina el área del trapecio. a) 15 u2 b) 20 u2 c) 25 u2 d) 30 u2 e) 35 u2 7u 6u 3u 35) Determina el área del trapecio. a) 40 u2 b) 50 u2 c) 60 u2 d) 70 u2 e) 80 u2 10 37° 4 36) Determina el volumen del cilindro. a) 40 π m3 b) 45 π m3 c) 50 π m3 d) 55 π m3 d) 60 π m3 5m 3m 37) Determina el volumen de la esfera. a) 288π m3 b) 242π m3 c) 240π m3 d) 180π m3 e) 168π m3 6m 38) Las ecuación dimensional de V es: V = a . b . c a) L2 b) L c) a . b . c d) L3 e) L-3 a b c 39) E n c u e n t r a l a e c u a c i ó n dimensional del calor latente si: a) LT d) LT-2 b) LT-3 e) LT-3 c) L2T-2 calor masaCL = 40) Halla [Ce] si Q = Ce . m . t, donde: Q = calor ; m = masa t = temperatura a) LTθ-1 d) LT-2θ-1 b) LT3θ-1 e) LTθ-2 c) L2T-2θ-1 41) Determina [B] ; F =B . I . L, siendo : F = fuerza ; L = longitud ; I = intensidad de carga eléctrica. a) MT2I d) MT-2I-1 b) MTI e) MT c) MT-1I-2 42) Determina las unidades de ‘‘S’’ en el S.I. a) 1/ms2 d) 1/s b) 1/ms e) m/s c) 1/m Trabajo Energía S = Densidad Área . 43) Halla la ecuación dimensional de ‘‘A’’ en: a) L3T-1 d) M1/2L-2 b) L3T e) LT c) MLT Fuerza 5cos60°A = Densidad Trabajo . 44) En la siguiente fórmula física, ¿qué magnitud representa ‘‘K’’? Donde: m = masa ; P = potencia L = longitud ; a = aceleración a) Fuerza d) Longitud b) Tiempo e) Adimensional c) Masa m . a . L 10 P K = 45) Dada la siguiente fórmula dimensionalmente correcta: donde: P=potencia ; D = densidad A = área halla [K]. a) L d) L-7/3T b) T e) L7/3T-1 c) LT D AK3 P = 46) Dada la siguiente fórmula física correcta: Donde: E=energía ; W = trabajo a = aceleración. Halla [K]. a) L2T4 d) LT b) L-2T4 e) 1 c) L3T4 W a . K1/2 E = 47) La s iguiente ecuación es dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de ‘‘Z’’ si: Z2 = W . β2 . tg (βMT) Donde: W= trabajo ; M = masa T= tiempo a) MLT-2 d) M-1/2LT-2 b) M-1/2LT e) M1/2L-1T2 c) MLT 48) Si P + αV2 + β = k es dimensionalmente correcta, halla [α/β], donde: P : presión ; h : altura V : velocidad a) L-2T-2 d) LT-2 b) L2T2 e) L-1T2 c) LT h 3 49) Halla las dimensiones de ‘‘y’’ en la siguiente expresión: y = α . E . e Donde: E : energía ; m : masa e : distancia a) L2T2 d) L4T-2 b) L-4T2 e) L4T4 c) LT 50) Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta Ax . B y + C - W . X . D = M donde M= masa hallar [C ] . a) MT d) M b) T e) 1 c) L 25PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Introducción B) Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes vectoriales que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Tengo fiebre de 40 ºC ¡Qué fatal! F = 5N En el estudio de la física, nos encontraremos con algunas magnitudes que para ser definidas, deberán ser asociadas a otras características además de valor y unidad (módulo). Por ejemplo, si alguien aplica una fuerza de 60 N a un bloque, no sabremos hacia dónde está aplicada dicha fuerza o sea falta la dirección o sentido. Si la persona nos informa que la fuerza es hacia arriba, hacia la derecha, hacia la izquierda o en dirección tal que forma 45º con la horizontal, tendríamos una idea clara de cómo aplicar la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. Estas magnitudes se llaman vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos características especiales. Objetivos 1. Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores. 2. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores. Aquí clasificaremos a las magnitudes tomando en consideración otro aspecto. I. POR SU NATURALEZA A) Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con solo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: S ó l o n e c e s i t o 100mm3 y estará terminado. Son las 12:15 p.m. ¡Ya es tarde! El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una orientación N 60º E (tiene dirección y sentido), con lo cual es fácil llegar del punto “O” a la casa. Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 newtons, pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial. Análisis Vectorial I 26 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Es un elemento matemático que sirve para representar las magnitudes vectoriales. Representación gráfica: 2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto. A, B y C son concurrentes. 3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son paralelas. A, B y C son paralelas. 4. Opuestos.- Son iguales en tamaño (módulo), pero con sentidos opuestos. B C A A y (-A) son paralelos. 5. Iguales.- Si sus elementos son iguales (módulo, dirección y sentido). -A A Si : A = B A = B α = θ sentido de = sentido de A B 6. Coplanares.- Son aquellos que están contenidos en un mismo plano. Multiplicación de un vector por un número (escalar) 1. Si el número es positivo. C B A A = 8µ 2A = 16µ A = 4µ 1 2 2. Si el número es negativo. B α α α -2B B 1 2 - B = 4µ -2B = - B = 1 2 α θ BA A 2A 1 2 θ θ θ A B C Punto de concurrencia A * VECTOR y x Direcciónθ A B Línea de acción Módulo ∆ Elementos de un Vector Todo vector tiene dos elementos: Módulo Es el valor numérico con una determinada unidad que presenta el vector. Dirección Está dado por el ángulo θ. Representación Matemática Vector : V = V = AB Módulo : V = AB = V Tipos de Vectores 1. C o l i n e a l e s . - S i s e encuentran sobre la misma línea de acción. A, B y C son colineales. BA Línea de acción C Ejemplo: Vector Nulo Es aquel que tiene como módulo al cero. Si A es nulo, entonces: A = 0 27PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO Suma de vectores o vector resultante Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado resultante. • Para números positivos: a) Mayores que 1 : Crece y se mantiene el sentido. b) Menores que 1 : Decrece y se mantiene el sentido. • Para números negativos: Cambia de sentido Métodos para hallar el vector resultante • Para vectores paralelos y/o colineales. En este caso se consideran como si fueran simples números reales. Halla el vector resultante en los siguientes casos: A = 2µ B = 2µ BA A = 1, B = 3, C = 5, D = 1, E = 2 • Para vectores que forman un ángulo entre sí. A) Método del polígono.- Consiste en colocar un vector a continuación del otro. α α α B C E DA La suma o resta de 2 ó más vectores da como resultado otro vector. A + B = S A - B = D R = A + B + C C B cierra el polígono A R = A + B No se cumple: Si : A = 2 B = 3 ⇒ R = 5 (falso) Sólo se cumple si son colineales o paralelos y con la misma dirección. B A R ¿Podrás cerrar el polígono? A B C A C B R = 0 Simón Stevin (1548 - 1620) Nació en Bélgica, considerado como físico e ingeniero, deja como herencia a las ciencias físicas la Regla del Paralelogramo y del Triángulo. Lamentablemente no pudo ser difundido en aquella época debido a que éste escribía en flamenco, cuando la mayoría de los intelectuales utilizaba el latín. Su libertad de pensamiento, aun pasando sobre la autoridad científica, le permitió descubrir esta regla que se originó debido a las investigaciones que realizó sobre el equilibrio en el plano inclinado. El apor te que dejó en las matemáticas es la inversión de las fracciones decimales. A cierra el polígono B A B R = B C D E A Ejemplo: Observación ^ R R 28 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 1) Halla a + b + c de: a) 2a b) 2b c) 3c d) 0 e) 3a Nivel I 1. Halla el vector resultante. Tenemos que hallar la resultante: R = a + b + c + d Pero: a + b + c = d ⇒ R = d + d = 2d b a c d 2. Halla el vector resultante. Tenemos que hallar la resultante: R = a + b + c + d Pero: a + b + d = c ⇒ R = c + c = 2c a b c d 3. Halla el vector resultante. Tenemos que hallar la resultante: R = a + b + d + e + f + c Pero: a + b + d = f y e + c = f ⇒ R = f + f + f = 3f a c d b f e 4. Halla el vector resultante. Te n e m o s q u e d e t e r m i n a r l a resultante: R = a + b + c + d + e Pero: a + b = c y d + e = c ⇒ R = c + c + c = 3c 5. Halla el vector resultante. Tenemos que hallar la resultante: R = a + b + c + d Pero: a + b + c + d = 0 ⇒ R = 0 a b c d a b d e c b a a c b c Resolución: Resolución: 2) Halla a + b + c de: a) 2c b) 2a c) 2b d) a +b e) a - b c a b 3) a) 2c b) 2a c) 2b d) a +b e) a - b Encuentra los vectores resultantes de: 4) a) c b) 2b c) 2a d) a e) 2d a d c b 29PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 5) a) 2a b) 3f c) 2b d) 3c e) 2d a b d ce f 6) a) 2a b) 2e c) d d) 2b e) c a e d c b 7) a) a + b b) c c) d d) e e) c + e a b c d e 8) a) d b) 3b c) 2c d) c e) b a d b c 9) a) 2a b) 2c c) c + d d) 2(a + c) e) a + e a d b c Nivel II 10) a) 2a b) 3c c) 2d d) 2(a + b) e) 2(a + c) a cb d 11) a) -d b) a c) 2d d) c e) -b a b c d 12) a) 2b b) 2e c) a d) 3e e) c a e b d c 13) a) 2c b) -f c) 2e d) a e) f a e c b f d 14) a) a b) 2(b + d) c) 2c d) (a + c) e) (b + d) a b c df e 15) a) f b) e c) a d) 2f e) d a c e f d b 16) a) 2a b) a c) 3e d) b e) 2b a c e bd 17) a) e b) 2c c) a d) d e) 2e a c e b d 18) a) 2b b) b + c c) 0 d) a e) c + d a ce d b 19) a) 2a b) b + c c) 2b d) 3a e) 2(b + c) f a e db c 30 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA a e c b d20) a) a b) 3e c) 2a d) 0 e) d 21) a) 2a b) 2f c) c d) -f e) b a e c b d f 22) a) (a + b) b) 2c c) -d d) 2d e) -b a c d b 23) a) 3 cm b) 6 cm c) 9 cm d) 0 e) 4 cm Determina el módulo del vector resultante (V). 60º 60º 3c m 24) a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm 60º 60º 4c m 25) a) 24 cm b) 20 cm c) 16 cm d) 32 cm e) 40 cm 37º20cm 26) a) 25 m b) 24 m c) 0 d) 14 m e) 50 m 7m 24m 27) a) 5 m b) 6 m c) 7 m d) 1 m e) 10 m 37º 3m 28) a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm 2cm 2cm 29) a) 1 cm b) 4 cm c) 2 cm d) 0 e) 3 cm 1cm 4cm 30) a) 14 cm b) 15 cm c) 16 cm d) 17 cm e) 18 cm 9cm 6cm 7cm 4cm 31) a) 0 b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 10 cm Nivel III 6cm 4cm 32) a) 10 cm b) 15 cm c) 5 cm d) 20 cm e) 8 cm 10cm 5cm 33) a) 10 µ b) 15 µ c) 25 µ d) 20 µ e) 30 µ 20µ 34) a) 8 m b) 16 m c) 17 m d) 25 m e) 42 m 25m 17m 31PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 35) a) 4a b) 3a c) 2a d) a e) a 2 a a a 36) a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 15 cm e) 25 cm 15cm 37) a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm e) 16 cm 53º 5c m 38) a) 10 µ b) 6 µ c) 9 µ d) 8 µ e) 3 µ 53º 3µ 39) a) 9 µ b) 4 µ c) 14 µ d) 2 µ e) 8 µ 7µ 3µ 40) a) 5 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 20 cm e) 25 cm 3cm 3cm 3cm3cm 3cm 3cm 41) a) 16 µ b) 8 µ c) 4 µ d) 2 µ e) 10 µ 4µ 42) a) 2 3 µ b) 4 µ c) 8 µ d) 6 µ e) 10 µ 30º 3 µ 43) a) 6 b) 10 c) 5 d) 9 e) 8 3 4 2 44) a) 2a b) 2a 3 c) a d) a 3 e) a 2 a a 2a a a a 3 45) a) 6 m b) 8 m c) 10 m d) 15 m e) 20 m 8m 6m 46) a) 8 µ b) 5 µ c) 20 µ d) 30 µ e) 10 µ 37º 45º 8µ 47) a) 5 µ b) 10 µ c) 8 µ d) 7 µ e) 2 µ 2µ 3µ 48) a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 2 µ 3µ 2µ 49) a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 2 µ 50) a) 3 cm b) 3 3 cm c) 2 3 cm d) 4 3 cm e) 5 3 cm 60º 60º 2cm 60º 3µ 32 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Para esto utilizaremos el siguiente método. H o l a a m i g o s , a h o r a v e r e m o s a l g o n u e v o sobre vectores, pero es importante que recuerdes algo sobre figuras geométricas como el triángulo y el paralelogramo con los cuales trabajaremos a continuación. Suma de vectores paralelos y colineales En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores. Halla el vector resultante para el sistema de vectores. Si: A = 2µ B = 3µ C = 1µ D = 1µ E = 3µ F = 5µ B CA D E F En este caso procedemos del siguiente modo. Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir: A, C y F : A+C+F=2+1+5 = 8 (→) B, D y E : B+D+E=3+1+3 = 7 (←) Luego R = 8 – 7 = 1 (→) (Sentidos opuestos se restan) Resolución: Ejemplo: Suma de vectores concurrentes y coplanares MÉTODO DEL PARALELO- GRAMO Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí. En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro. Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: __________________ A Bθ A B θ A B θ Ejemplo: Resolución: Recuerda R = A + B ¡Ten cuidado! Si A = 3; B = 7 ⇒ R = 10 (¡FALSO!) Esto no se cumple siempre. Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos: |R| = A2 + B2 + 2AB cosθ Halla el módulo del vector resultante, si cos 53° = .3 5 |R| = 32 + 52 + 2.3.5 cos 53° |R| = 9 + 25 + 2 . 3 . 5 . |R| = 52 ⇒ |R| = 2 13 3 5 53° A=3 B=5 Ejemplo: Resolución: Observación Si θ = 0º ⇒ A la resultante obtenida se le conoce como: “Resultante Máxima” Rmáx = A + B B A Análisis Vectorial II 33PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO R = 15 + 15 Rmáx = 30 N Si θ = 180° ⇒ A la resultante obtenida se le conoce como: Resultante Mínima. AB Si Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores, halla el módulo del vector resultante cuando dichos vectores son perpendiculares. 7 = a + b 1 = a – b a = 4 , b = 3 Por Pitágoras: R = 42 + 32 = 5 S i θ = 9 0 ° ( v e c t o r e s perpendiculares) R2 = A2 + B2 Teorema de Pitágoras. B R A Rmín = 15 – 15 Rmín = 0 Halla el módulo de R en función de x. 60° x x R R x x |R| = 3x |R|= 2x R 120° x x |R| = x A D B θ D = A – B |D| = A2 + B2 – 2ABcosθ La barcaza se mueve por acción de la resultante de las fuerzas F1 y F2. La dirección de la resultante es la de la diagonal del paralelogramo de lados F1 y F2. F2 F1 Problemas de Desafío 1. Determina el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados en la figura. a) 5 cm d) 10 3 cm b) 5 3 cm e) 20 cm c) 10 cm 2. Si A + B + C = 0, halla el valor del ángulo θ. a) 30° d) 53° b) 37° e) 60° c) 45° B C A θ17 28 25 60° 60° 10cm 20cm 15cm Ejemplo: Resolución: En este caso R divide al ángulo en dos iguales, es decir, es una bisectriz. Si dos vec tores t ienen módulos iguales: 2θ x x R Ejemplo: Diferencia de vectores (D) Rmín = A – B 1 34 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 1. Determina el módulo y la dirección del vector resultante, para el sistema dado. Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser: |R|= 17 + 8 – 7 – 12 |R|= 6µ, hacia la derecha ( → ). 3. Halla la medida del ángulo θ para que el módulo de la resultante de los vectores sea igual a m. a) 30° d) 120° b) 60° e) 150° c) 90° m m mm θ 7µ 12µ 8µ 17µ 2. Determine el módulo y la dirección de la resultante de los vectores mostrados. Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser: |R| = 15 + 10 – 8 – 12 |R| = 5, hacia abajo ( ↓ ) 15µ 10µ 12µ 8µ 3. Se tiene dos vectores del mismo tipo, cuyos módulos son 15µ y 7µ, respectivamente. Determina el módulo de su máxima y mínima resultante. La máxima resultante se da cuando el ángulo entre los vectores es cero. Entonces el módulo de la resultante máxima es: Rmáx = 15 + 7 = 22µ La mínima resultante se da cuando el ángulo formado por los 2 vectores es 180°. Entonces el módulo de la resultante mínima es: Rmín = 15 – 7 = 8µ 4. Si el módulo de la máxima resultante de 2 vectores es 24µ y el módulo de la resultante mínima es 6µ, determina el módulo de cada vector. Tenemos Rmáx = A + B y Rmín = A – B Donde Rmáx = 24µ y Rmín = 6µ 24 = A + B 6 = A – B 30 = 2A ⇒ A = 15µ B = 9µ 5. Del gráfico, determina el módulo de la resultante. 50° 13° 12 10 37° 13° 12 10 Halla el módulo del vector resultante de: B C A A B C D E Tenemos que el módulo de la resultante (R) es: R = 102+122 + 2(10)(12)cos37° R= 100 + 144 + 2(10)(12)( ) R = 100 + 144 + 192 R = 436 R = 2 109 4 5 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 1) a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) 4 Nivel I B CA a=4 b=2 c=1 2) a = 5 b = 3 c = 2 a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) –2 3) a = 5 b = 4 c = 2 d= 3 e = 1 a) 2 d) 1 b) 3 e) 0 c) –2 35PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 4) A = 3 B = 4 C = 5 D= 4 E = 2 F = 3 G = 1 H = 2 a) 1 d) –3 b) 2 e) 4 c) 3 Dato : cos 60° = 1/2 ; cos 120° = –1/2 A B C E H G F D 5) A = 5 B = 3 C = 12 D= 10 E = 3 a) 1 d) –2 b) –10 e) –1 c) 2 A C B ED 6) a) 7 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2 60° 1= |A | 2=|B| 7) a) 4 b) 2 7 c) 7 d) 3 7 e) 4 7 60° 2 4 8) a) 6 b) 5 c) 7 d) 3 e) 2 7 60° 1 2 9) a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) 4 60° 1 2 10) a) 6 b) 5 c) 7 d) 4 e) 3 Halla el módulo del vector resultante en cada caso si: |a| = 3 ∧ |b| = 5 60° a b 11) a) 17 b) 13 c) 19 d) 2 17 e) 15 a b 120° 12) a) 35 b) 17 c) 2 35 d) 34 e) 21 a b 13) Halla el vector resultante máximo de dos vectores cuyos módulos son 2 y 1. a) 3 d) 0 b) 2 e) 6 c) 1 14) Del problema anterior, halla el módulo de la resultante si los vectores son perpendiculares. a) 2 d) 5 b) 3 e) 5 c) 3 15) Todos los vectores mostrados tienen igual módulo. ¿En cuál de los casos el vector diferencia tiene el menor módulo? a) En A b) En B c) En C d) En todas iguales e) Faltan datos 30° 120° A B C Halla el módulo del vector resultante en cada caso. Nivel II 16) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 60° 6 6 17) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 60° 22 18) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 3 60° 8 4 4 120° 19) a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 3 60° 2 3 2 2 3+2 36 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Halla el módulo del vector resultante de: 15°2 2 2 33° 87° |B|=2 |A|=1 20) a) 4 b) 8 c) 3 d) 7 e) 5 60° 60° 4 3 4 21) a) 8 b) 15 c) 14 d) 9 e) 11 60° 60° 3 6 6 22) a) 7 b) 8 c) 10 d) 6 e) 9 60° 60° 4 4 2 23) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 3 60° 5 5 24) cos α = 1/7 a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) 16 α 7 3 25) a) 2 3 b) 5 c) 3 d) 4 e) 5 3 60° 60° 4 33 26) a) 6 3 b) 3 3 c) 6 2 d) 6 e) 9 60° 3 6 27) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 53° 15 7 28) Se tiene dos vectores A=5 y B=3 formando 60°. Halla su resultante y su diferencia respectiva. a) 5; 10 d) 6; 15 b) 8; 2 e) 4; 17 c) 7; 19 29) La resultante máxima de los vectores es 8 y la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector? a) 5; 3 d) 6; 3 b) 6; 8 e) 5; 4 c) 9; 4 30) Dos vec tores t ienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando forman 60°? a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16 Nivel III 31) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11 80° 20° 2 32) a) 12 b) 13 c) 11 d) 10 e) 7 70°10° 1 3 33) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 34) Halla |A – B| a) 3 3 b) 2 3 c) 4 2 d) 5 e) 4 3 30°60° |A|=4 |B|=4 35) Se tiene dos vectores de módulos 9 y 15 cm. ¿Qué ángulo forman, si la resultante entre ellos mide 21 cm? a) 30° d) 37° b) 60° e) 45° c) 53° 36) Halla |A – B| a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 7 1 37PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 37) Halla |A + B|si: a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 40 |B|=12 |A|=16 150°120° 38) Halla el módulo de la resultante del sistema vectorial mostrado. a) 10 6 b) 10 2 c) 10 d) 5 e) 5 6 10 10 215° 10 39) Se tiene dos vectores de 10µ y 16µ, respectivamente. Sabiendo que el vector resultante forma un ángulo de 53° con el de menor magnitud, determina el ángulo entre el vector resultante y el de mayor magnitud. a) 30° d) 53° b) 45° e) 90° c) 60° 40) Determina el ángulo entre dos vectores de 5µ y 12µ, si la magnitud del vector resultante es de 13µ. a) 60° d) 120° b) 45° e) 90° c) 53° 41) Calcula «α» para que la resultante sea vertical. |A| = 6 ∧ |B| = 8 a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° B A y x α 42) El módulo del vector resultante es: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 0 37° 5 4 3 43) Determina el módulo del vector |A – B| a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 47° 10° |B|=4 |A|=5 44) Halla el módulo del vector |C – B| a) 10 3 b) 10 c) 20 d) 20 4 e) 5 7 B=10 C=15 75° 15° 45) Halla el ángulo que forman dos vectores de igual módulo si su vector resultante tiene el mismo módulo que los vectores componentes. a) 100° d) 150° b) 30° e) 120° c) 60° 46) Dados los vectores |a|=5N y |b|=6N, calcula |a – b|. a) 5 N b) 6 N c) 10 N d) 3 N e) 2 N a b 73° 20° 47) ¿Qué ángulo forman dos fuerzas de 27N y 45N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 63N? a) 30° d) 75° b) 45° e) 53° c) 60° 48) Dados los vectores A y B mostrados en la figura, determina |A–2B| a) 4 b) 8 c) 5 d) 20 e) 6 15°68° |B|=3 |A|=5 49) La resultante de los tres vectores coplanares mostrados en la figura es cero. Halla el módulo del vector Q si |P| = 15 y |R| = 20. a) 5 b) 7 c) 10 d) 8 e) N.A. P R 164° Q 50) Si el módulo de la suma de dos vectores el igual módulo es dos veces el módulo de su diferencia, halla el ángulo comprendido entre dichos vectores. a) 60° d) 27° b) 30° e) 45° c) 53° 38 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Recuerda To d o s l o s v e c t o r e s q u e reemplazan al vector x se llaman componentes. Ejemplos: Llegamos a la última parte del tema de vectores. Es importante que recuerdes algunas propiedades vistas antes para una mayor comprensión de lo que veremos a continuación. Descomposición Vectorial Recordemos la suma de vectores por el método del polígono. A B C Ahora haremos el paso contrario. Dado un vector cualquiera, vamos a reemplazar al vector R, por otros llamados componentes y que tengan como resultante al vector inicial. R = A + B + C a b R R R = a + b Dado un vector, se puede descomponer en otros vectores llamados componentes de dicho vector, de tal manera que estos en su conjunto sean capaces de reemplazar al vector dado: R = N P Q M M, N, P y Q son componentes del vector R . Como vemos, un vector puede descomponerse en dos o más vectores, todos en conjunto tendrán una misma resultante, el vector R. x x = x = x = EJERCICIOS: Halla el vector resultante en función de x. Solución: Sabemos que: R = A + B + x ... (1) A B x 1. Vamos a reemplazar al vector A por otros 2, de tal manera que uno de ellos pase por x. Así: Vemos que: A = x + C A C x R Análisis Vectorial III 39PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 2. Hacemos lo mismo para B. B = x + D x B D 3. Observa que C y D son colineales y del mismo módulo (tamaño). Luego C y D son vectores opuestos, es decir: C = – D Reemplazando en (1): R = (x + C) + (x + D) + x R = x + C + x + D + x R = 3x + C + D ( ( Pero : C = – D ⇒ R = 3x + (–D) + D R = 3x – D + D R = 3x Descomposición Rectangular Ahora vamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean perpendiculares, llamados __________________ . Ay Ax y A x θ Donde : Ax : Componente de A en el eje x Ay : Componente de A en el eje y. La fuerza F que se aplica a la podadora de césped puede resolverse en una componente horizontal X y una componente vertical Y. X Y F R a |a|=3 b|b|=4 |R| = 5 |R| = 32 + 42 |R| = 9 + 16 |R| = 25 En forma práctica: Usa triángulos rectángulos. y x Ay Ax θ A Observación Recordemos algunos triángulos notables. k 2 45° 45° k k 16° 25k 74° 7k 24k 2k k 30° 60° k 3 5k 53° 37° 4k 3k Además, en todo triángulo rectángulo se cumple: a y b : catetos c : hipotenusa Teorema de Pitágoras c b a Ejemplos: Halla las componentes de A sobre los ejes rectangulares. A=25 y x 37° Ax = Ay = Ejemplos: c2 = a2 + b2 40 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA Preguntas 1. Si los niños que están en los columpios tienen el mismo peso, ¿cuál de los dos columpios tiene mayor probabilidad de romperse? 2. Se cuelgan dos cuadros que pesan lo mismo, como se muestra en la figura. ¿En cuál de los dos casos es más probable que se rompa el hilo? Física en la vida cotidiana Física del surf. El deporte de la tabla hawaiana sirve muy bien para ilustrar el comportamiento de los vectores. (1) Cuando tu tabla está orientada en el sentido del oleaje su velocidad v1 es igual que la de la ola. (2) Si forma un ángulo con las olas aparece también una componente v2 paralela a éstas. Puedes hacer variar v2, que está determinada por varios factores, pero v1 permanece relativamente constante. Así pues, cuando te deslizas formando un ángulo con el oleaje, la velocidad resultante vR es siempre superior a v1. (3) Cuanto mayor sea el ángulo que puedas mantener, mayor será vR. v1 (2) v1 vR v1 (3) v2 vR Resolución: 1. Halla la componente del vector «A» sobre el eje «X». Tenemos que la componente del vector A en el eje X es: Ax = |A|cos53° donde cos 53° = ⇒ Ax = 100 . ⇒ Ax = 60 3 5 20 |A|=100 y x 53° A 2. Calcula el módulo de la resultante. Tenemos que en el eje X la resultante es: Rx= 7N – 3N = 4N ( → ) y además en el eje Y Ry = 5N – 1N = 4N ( ↓ ) Entonces el vector resultante es: R = 4N i+ 4N (–j ) El módulo de R es: |R| = 42 + 42 ⇒ |R| = 4 2 N ∧∧ 3N 1N 7N 5N Resolución: 3. Calcula el módulo de la resultante en: Tenemos que la resultante en el eje X (Rx) es: Rx= 10N + 6N – 13 N = 3 N ( → ) y en el eje Y (Ry) es: Ry = 20N + 6N – 7N – 15N = 4N (↑) Entonces el módulo del vector resultante es: |R| = 42 + 32 ⇒ |R |=5N 13N 6N 20N 6N 10N 7N15N Resolución: Resolución: 37°45° 50 20 2 20 20 30 40 v2 (1) 3 5 4. Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados. Descomponemos cada vector en sus componentes rectangulares. De aquí: Rx = 40 – 20 = 20 Ry = 20 + 30 = 50 ⇒ |R| = R2 + R2 = 202 + 502 |R| = 10 29 x y ∴ 41PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 1) En la figura mostrada, halla el módulo del vector resultante si la figura mostrada es un trapecio. a) 2 µ b) 4 µ c) 6 µ d) 8 µ e) 10 µ Nivel I 5. Halla el módulo de la resultante. Descomponemos los vectores de módulo 5 2 y 10, en sus componentes rectangulares. De aquí tenemos: Rx = 13 – 8 – 5 = 0 Ry = 6 – 5 = 1 ( ↓ ) ⇒ |R| = 02 + 12 = 1 13 10 45° 53° 5 2 5 5 8 6 13 Resolución: B A 3µ 5µ 2) Los lados del rectángulo miden 3 y 7. Halla el módulo del vector resultante. a) 2 µ b) 4 µ c) 7 µ d) 9 µ e) 14 µ A B 3µ 7µ 12 A B 3) Halla el módulo del vector resultante si la figura es un paralelogramo. a) 12 b) 6 c) 36 d) 24 e) 18 4) Las bases del trapecio son 2 y 6. Halla el módulo del vector resultante. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5) Dos vectores de magnitudes 3 µ y 5 µ forman un ángulo de 60°, halla la magnitud de la resultante. a) 2 µ b) 8 µ c) 4 µ d) 7 µ e) 15 µ 53° x A y C A B x 6) Halla la componente del vector A sobre el eje «x», cuyo módulo es 100 N. a) 50 N b) 60 N c) 70 N d) 80 N e) 90 N 7) Del ejercicio anterior, halla la componente sobre el eje vertical. a) 50 N b) 90 N c) 70 N d) 80 N e) 100 N 8) Halla la resultante (AB = BC) a) 3 x b) 2 x c) 4 x d) x e) 6 x 9) El módulo del vector V es 100 N. Halla el módulo de su componente en el eje de las ordenadas. a) 50 N b) 50 3 N c) 60 N d) 80 N e) 90 N 10) Del problema anterior, halla el módulo de la componente en el eje de las abscisas. a) 50 N d) 80 N b) 60 N e) 90 N c) 50 3 N 11) Ca lcula e l módulo de la resultante. a) 7 d) 7 2 b) 10 e) 8 c) 6 V 30° y x 42 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 12) Calcula la resultante. a) b b) a c) a+ b+ c d) cero e) c a b c 13) Calcula e l módulo de la resultante. a) 5 d) cero b) 4 e) 6 c) 3 a b c d e 2 2 14) Calcula la resultante a) c b) cero c) d d) a e) b 15) Halla el módulo del vector resultante de los tres vectores mostrados en la figura. a) 3 b) 3 2 c) 4 d) 4 2 e) 5 Nivel II 16) Hal la la magnitud de la resultante. a) 40 cm b) 50 cm c) 55 cm d) 60 cm e) 75 cm y x 80 cm 28 cm 37° y 10 x5 7 53° 12 5 24 a b c 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 17) Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 10 6 d) 10 29 b) 10 19 e) 50 c) 10 13 18) Halla el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. a) 2 d) 2 b) 3 e) 2 3 c) 5 2 19) Calcula la magnitud de la resultante. a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 2 20) Calcula |R| si R = a + b + c a) 12 b) 7 c) 5 d) 9 e) 25 21) Halla la magnitud de la resultante del conjunto de vectores mostrados. a) 6 µ d) 19 µ b) 23 µ e) 26 µ c) 15 µ 37° A x y 10 100N 20N 76N 13N 2µ4µ 3µ e d c b a 22) Determina el vector resultante de los vectores mostrados. a) b b) a c) - e d) d e) 2e 23) Halla la suma algebraica de los módulos de los vectores componentes de A. a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 24) Determina el módulo de la resultante. a) 21 N b) 22 N c) 23 N d) 24 N e) 25 N 25) Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura. a) 5 µ b) 0 µ c) 10 µ d) 2 µ e) 9 µ 37°45° 50 m 20 2m y x 43PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 26) Si el vector resultante del conjunto de vectores mostrados está en el eje y, halla el ángulo θ. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 4µ 3µ 8µθ 8µ 8µ 6 66 6 6 6 E 53° 45° x13 y 10 5 2 1cm 7cm 5cm 3cm y x 27) Calcula el módulo de la resultante. a) 4 cm d) 3 2 cm b) 5 cm e) 8 cm c) 4 2 cm 28) Determina el módulo del vector resultante de los vectores mostrados en la figura. a) 10 µ b) 4 µ c) 6 µ d) 15 µ e) 8 µ 29) Halla el módulo de la resultante si |E| = 3 3 . a) 6 3 b) 6 c) 3 3 d) 12 e) 3 30) H a l l a e l m ó d u l o d e l a resultante. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Nivel III 31) Expresa x en función de A y B. a) B – A b) A – B c) A + B d) cero e) 2A + B A B x 2µ 2µ 2µ 2µ 2µ 2µ 2µ 2µ A B x m m 32) Se muestra un hexágono regular de lado «a» y un conjunto de vectores. Calcula el módulo del vector resultante. a) a b) 3a c) 2a d) a 3 e) 4 a 33) En la figura, determina el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. a) 1 µ d) 4 µ b) 2 µ e) 5 µ c) 3 µ 34) Expresa en función de A y B. a) A + B / 2 b) A – B / 2 c) 2A + B / 2 d) 2 A – B / 2 e) 2(A + B) 35) H a l l a e l m ó d u l o d e l a resultante. a) 10 N b) 11 N c) 12 N d) 13 N e) 14 N y xA=10N 37° 7N y 10N x37° 8N 6N 53° y x B=5N 36) Descomponer el vector A sobre los ejes inclinados. a) Ax=6N; Ay=10N b) Ax=8N; Ay=6N c) Ax=6N; Ay=8N d) Ax=5N; Ay=5N e) Ax=3N; Ay=7N 37) Descomponer el vector B sobre los ejes perpendiculares de la figura. a) Bx=4N; By=5N b) Bx=3N; By=4N c) Bx=4N; By=3N d) Bx=5N; By=3N e) Bx=3N; By=5N 44 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 38) Calcula el módulo de la resultante de |A| = |B| = 8; |C| = 14. a) 10 b) 14 c) 16 d) 8 e) 6 A BC L A B x L L L a b c d 37°37° 5µ 6µ 10µy x 39) Expresa x en función de A y B. a) A+B d) (A+B)/3 b) (A+B)/2 e) (A –B)/4 c) (A+B)/4 40) Calcula el módulo de la resultante s i | a | = 2 4 ; | b | = | c | = 8 y |d|=10. a) 10 b) 14 c) 8 d) 6 e) 16 41) Halla el módulo del vector resultante. a) 4 µ b) 4 2 µ c) 5 µ d) 7 µ e) 6 µ 42) Si la resultante del conjunto de vectores es horizontal, halla la medida del ángulo «θ». a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° a b e c d y x 10T 10 2T 45° θ 15T a c d b 45° 53° 1cm x 10cm 7 2cm y 43) ¿Cuál viene a ser el vector resultante del conjunto de vectores? (a = 2d) a) 3c b) 2 c/3 c) a d) 3a e) 2a 44) Dado el siguiente conjunto de vectores, encuentra la resultante en función de a y b. a) a+b d) 4(a + b) b) 2(a + b) e) 2a + 3b c) 3(a + b) 45) Halla la dirección de la resultante del conjunto de vectores. a) 37° b) 37°/2 c) 53° d) 53°/2 e) 45° 46) Halla x en función de a y b (AB = BC= CD) a) (a – b) / 3 d) (b – a) / 6 b) (b – a) / 3 e) (a + b) / 4 c) (a + b) /3 x A B C D b a 47) En el sistema de vectores mostrados, calcula el ángulo que forma la resultante con la vertical. a) 30° b) 53° c) 37° d) 60° e) 45° y 1520 24 x37°37° A Bx 2m m θ 7=|A| α143° |B|=15 |C|=20 x37° 37° 45° y a c b 48) Halla x en función de A y B a) (A–2B)/3 b) (2A+3B)/4 c) (A+B)/2 d) (A–B)/2 e) (A+2B)/3 49) Halla el módulo del vector «c» para que la resultante se ubique sobre el eje «y», sabiendo que a = 10 2µ y b = 10 µ. a) 20 µ b) 15 µ c) 10 µ d) 5 µ e) 30 µ 50) Para los vectores A, B y C mostrados en la figura se cumple que: A + B + C = O. Halla el ángulo θ (agudo) y α (obtuso). a) 45°; 172° d) 60°; 157° b) 53°; 164° e) 30°; 187° c) 37°; 180° 45PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 1) Indica las dimensiones de «P» en la siguiente expresión: P = (densidad)(velocidad)2 a) LMT–1 d) MLT–2 b) LMT–2 e) ML–1T–2 c) MT–3 2) ¿Cuál es la dimensión de K, si: K = (presión) (volumen)? a) ML2T–2 d) ML–2 b) L2MT–1 e) L2MT–1 c) MLT–2 3) Indica la dimensión de «H» en la siguiente expresión: H = a) L–1T–2 d) L2T–1 b) LT–3 e) LT–2 c) LT 5) De las siguientes expresiones, la magnitud fundamental es: a) Área b) Tiempo c) Velocidad d) Aceleración e) Volumen 6) Determina la dimensión de G en la siguiente relación: G = a) ML–1T–3 d) ML–2T–1 b) MLT–3 e) L c) L3M–1T–2 7) En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea, determina las dimensiones de N si: N = Donde: a : aceleración t : tiempo a) LT d) LT–3 b) TL–1 e) TL–3 c) LT–2 8) En la siguiente fórmula física: PK = mgh, donde P = potencia, m=masa, g= aceleración de la gravedad y h = altura, ¿qué magnitud representa K? a) Longitud b) Temperatura c) Tiempo d) Área e) Masa 9) Halla las dimensiones de α si la expresión es dimensionalmente correcta (homogénea). αa + βb = ab – y a : distancia b : masa a) M d) LM b) L e) ML–2 c) ML–1 10) Del ejercicio anterior, determina las dimensiones de β. a) L d) ML–2 b) LM e) ML–1 c) M 11) Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: AN = GIE Siendo : A : longitud G : masa N : área I : volumen Halla [E]. a) M d) M–1 b) M–2 e) M–3 c) M2 Repaso sen30° (presión) 9999 (masa) 4) Indica la dimensión de «L» en la siguiente expresión: Cθ = LE Donde: C : aceleración θ : volumen E : energía a) L2M–2 d) L–1M2 b) L3M–1 e) LM c) L2M–1 (fuerza) (distancia)2 (masa)2 a cos53° T 46 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 12) Dada la homogeneidad de la ecuación, determina [Q] si: Q = Donde: r : distancia S : área a) L–1 d) L2 b) L e) L4 c) L–2 πA(VA – r3senz) 4 S log40 b 5a7 e6d4 c 5 13) Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: TRIL = CE donde: L=longitud, I=masa, R = á r e a , E = v o l u m e n y T=temperatura. Halla [C]. a) L2Mθ d) L–1Mθ–1 b) Mθ e) MθL c) M–1θ 14) Calcula e l módulo de la resultante. a) 3 d) 9 b) 5 e) 6 c) 7 15) Calcula el módulo de la resultante de: a) 10 d) 14 b) 12 e) 4 c) 8 A8 B6 C 4 5 B C D A 18 2 10 a b c6 8 4 θ θ θ b 3a6 c 4 a cb a b c 5 10 360° 60° 60° 16) Calcula el módulo de la resultante de: a) 25 b) 15 c) 10 d) 21 e) 20 17) Calcula el módulo del vector resultante de: a) 10 d) 15 b) 11 e) 20 c) 12 18) Calcula el módulo de la resultante de: a) 2 d) 6 b) 4 e) 8 c) 10 19) Calcula |a + b – 3c| si: a) 9 d) 18 b) 16 e) 12 c) 15 20) Calcula |a + b – 3c| si: |a| = |b| = |c| = 5 a) –5 d) 10 b) 5 e) 20 c) –10 21) Calcula el módulo de la resultante de: a) 7 b) 6 c) 8 d) 10 e) 20 8 6 a b 22) Determina la magnitud de la resultante de: a) 20 b) 10 c) 8 d) 6 e) 15 2 8 10 14 23) Calcula E = |A – B| si: |A| = |B| = 2 a) 5 d) 0 b) 4 e) 2 c) 1 A B 24) Halla la magnitud de: S = A + B , donde|A| = |B| = 5. a) 10 d) 2 b) 5 e) 6 c) 0 A B 47PRE ACADEMIA Física FORJANDO LÍDERES Y MEJORES HUMANAS PARA EL FUTURO 25) Calcula |R| (resultante). a) 12 b) 25 c) 7 d) 5 e) 13 24 12 5 a6 b 3 c 4 a cb ba c e f d A E B D C 79° 6 6 19° 26) Calcula |2a + 5b – 3c|. a) 9 d) 7 b) 12 e) 15 c) 18 27) Calcula |a – b – c| si: |a| = |b| = |c| = 10 a) –5 d) 5 b) –10 e) 10 c) 9 28) Calcula el vector resultante: a) 3f b) 2a c) b d) –c e) 2e 29) Halla: R = A + B + C + D + E a) –E b) 3E c) D d) 2B e) A 30) Calcula el módulo del vector resultante: a) 6 9 d) 5 b) 6 2 e) 5 3 c) 6 3 31) Calcula el módulo de la resultante en: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5 A B 20 y 15 x a g f e d cb 10µ 10µ 32) Calcula el vector resultante en: a) a b) 2g c) d d) 2a e) e 33) Calcula el módulo del vector resultante en: a) 15 µ b) 5 µ c) 10 µ d) 20 µ e) 25 µ 34) Halla el módulo del vector resultante en: a) 10 µ b) 15 µ c) 20 µ d) 30 µ e) 40 µ 35) Halla el módulo del vector resultante. a) 10 b) 5 c) 5 3 d) 3 5 e) 2 3 5µ 5µ 60° 20 8 6 37° 10µ 10µ 10µ 10µ60° 1µ 1µ A=3µ B=2µ C=4µ D=7µ θ θ θθ 36) Halla el vector resultante: a) 10 µ d) 25 µ b) 20 µ e) 30 µ c) 15 µ 37) Calcula e l módulo de la resultante. a) 2 b) 10 c) 3 d) 1 e) 5 38) Calcula e l módulo de la resultante. a) 10 b) 5 c) 20 d) 30 e) 15 39) Determina el módulo del vector resultante. a) 2 µ d) 5 µ b) 3 µ e) 9 µ c) 7 µ 5µ 10µ 48 PRE ACADEMIA Física I. E. P. SHADDAI DE VILLA 40) Calcula la magnitud del vector resultante. a) 2 d) 3 b) 5 e) 7 c) 4 a b c d eh g f A B D C EF 2m 6m 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ 1µ C B A 41) Calcula el vector resultante. a) 2g d) –b b) h e) g c) e 42) Determina el módulo del vector resultante. a) 8 m d) 10 m b) 2 m e) 16 m c) 14 m 43) Calcular la magnitud de A + B – C a) A b) 2C c) B d) –B e) 2B 44) Expresar X en función de A y B. a) d) b) e) c) A + B 2 A – B 2 2A + B 2 2A – B 2 3A + 2B 3 A BX d b c e f a A B C A + B 2 A + B 4 A + B 3 A + B 6 2L L L 2L A B X 45) Calcula el vector resultante. a) c b) 2e c) e d) b e) –e 46) Determina la magnitud de: A – B – C a) –B b) 2C c) A d) 2A e) B 47) Expresa X en función de A y B. a) A + B d) b) e) c) 8 8 10 60° 60° C A B D 1µ 1µ a bc d e fg 48) En la f igura mostrada, la magnitud del vector R = A + B + C + D es: a) 5 µ d) 0 b) 2 µ e) 3 µ c) 4 µ 49) Calcula la magnitud del vector resultante. a) 16 d) 8 b) 18 e) 12 c) 10 50) Determina el vector resultante. a) c b) 3e c) 4e d) 5e e) 7e