경영과학 (Management Science) 선형계획 (LP: Linear Programming) 조항민 2010-03-21 1 선형계획 (LP: Linear Programming) 개요 선형대수(행렬이론)이론을 기반으로 선형계획법은 경영관리의 중요한 계량적 기법 목적 최적의 의사결정을 유도 자원의 제약하에서 이익이나 수익, 효율 등을 최대화하거나, 비용, 시간 들을 최소화하는 문제를 다루는 최적화 모델 최적해(최적대안, 최적계획), 대안/계획(Programming = Planning) 선형계획 모형 초기: 군사적인 목적으로 개발 – 2차 세계대전 중 미국 공군의 공급품을 가장 효율적이고, 경제적인 방법으로 할당하는 문제 (1943년 George B. Dantzig) 2010-03-21 기업 생산-제조분야, 재무분야, 광고분야, 고용-훈련분야, 생산-분배 (물류)분야 등 공공 응용 수송분야, 농업분야, 군사-운용분야 식단문제 등 경영과학 2 선형계획 (LP: Linear Programming) 수리계획법(Mathematical Programming) Maximize (or Minimize) f0(x1, x2, …,xn) subject to f1(x1, x2, …,xn) 0 f2(x1, x2, …,xn) 0 . . . fm(x1, x2, …,xn) 0 선형계획법: 모두 선형 함수 비선형계획 f 0 ( x1, x2 ,...xn ) fi ( x1, x2 ,..., xn ) 0 목적함수 결정변수 결정변수에 대한 함수 (결정변수 포함) 제약조건 f 0 ( x1, x2 ,..., xn ) c1 x1 c2 x2 ... cn xn f i ( x1, x2 ,..., xn ) ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn x1, x2 ,...xn R 실수 2010-03-21 경영과학 비선형 정수계획 x1, x2 ,...xn Z 정수 3 선형계획 (LP: Linear Programming) 구성요소 목적함수(objective function) 최대화 문제(이익)와 최소화 문제(비용) 의사결정변수(decision variables)와 목적식 계수(objective coefficients) 의 곱으로 구성 Z=c1x1 + c2x2 + ∙∙∙ + cnxn 등식 및 부등식으로 표현 기술계수(constraint coefficients)와 결정변수의 곱(좌변)과 상수(우변) 사이에 부등식 혹은 등식으로 구성 현실적 제약을 반영하는 장치 우변상수(Right Hand Side: RHS) a1x1 + a2x2 + ∙∙∙ + anxn ≤ b1 x1, x2 ,∙∙∙, xn 제약조건(subject to) 의사결정변수(decision variables) 비음조건(non-negativity conditions): 결정변수의 값이 음수 안됨 x1, x2 ,∙∙∙, xn ≥ 0 2010-03-21 경영과학 4 선형계획 (LP: Linear Programming) 기본 가정 및 한계 계수의 확실성 불확실한 경우: 민감도 분석 목적함수 및 제약식의 선형성 비례 (Proportionality): 결정변수는 선형, c1x1, a1x1 확장: 비선형계획법 가산성(Additivity): 목적식과 제약식에서 각각 변수는 선형으로 결합 c1x1 + c2x2 + ∙∙∙ + cnxn , a1x1 + a2x2 + ∙∙∙ + anxn 확장: 비선형계획법 가분성(Divisibility): 결정변수는 연속적인 변수 확장: 정수계획법 2010-03-21 경영과학 5 선형계획 (LP: Linear Programming) 단계 단계 1. 문제의 이해(목적함수, 제약조건 등) 단계 2. 결정변수의 결정 단계 3. 목적함수 및 제약식을 결정변수를 이용하여 표현 단계 4. 입력자료의 수집 또는 추정(비음조건 등) 예제 공릉회사에서는 숟가락과 포크를 생산한다. 공정은 프레스 공정과 광택 이 있다. 프레스에서 숟가락은 0.03시간, 포크는 0.02시간이 소요되고, 광택에서는 숟가락은 0.02시간, 포크는 0.04시간이 소요된다. 또한 개당 숟가락의 판매 이익은 1000원이고, 개당 포크는 1100원이다. 이 회사의 하루 공정 가용시간은 프레스는 7시간이고 광택은 8시간이다. 공릉회사는 이익을 최대화 하려고 한다. 선형계획 모형은 ? 2010-03-21 경영과학 6 선형계획 (LP: Linear Programming) 예제모형 단계 1. 문제의 이해 0.03 시간 숟가락 0.02 시간 1000 원 프레스 공정 (7시간) 포크 0.02 시간 광택 공정 (8시간) 1100 원 0.04 시간 판매이익 제약조건: 하루 가용시간 목적함수: 이익최대화 단계 2. 결정변수 X1 = 숟가락 생산량(하루) X2 = 포크 생산량 (하루) 2010-03-21 경영과학 7 선형계획 (LP: Linear Programming) 예제모형 단계 3. 목적함수 및 제약식의 표현 목적함수 Maximize 1000 X 1 1100 X 2 제약식 프레스 하루 가용시간 0.03 X 1 0.02 X 2 7 광택 하루 가용시간 0.02 X 1 0.04 X 2 8 단계 4. 비음조건(입력자료의 수집 또는 추정) X1 , X 2 0 2010-03-21 경영과학 8 선형계획 (LP: Linear Programming) 예제모형 선형계획모형 Maximize 1000 X 1 1100 X 2 subject to 0.03 X 1 0.02 X 2 7 0.02 X 1 0.04 X 2 8 X1 , X 2 0 퀴즈 최적 배합문제를 선형계획모형 (수학적 모형) 을 작성. 2010-03-21 경영과학 9 선형계획 (LP: Linear Programming) 액셀 스프레드시트 모형화 가이드 엑셀 도구(Tools) 중 해찾기(Solver)에 의해 최적해를 손쉽게 구할 수 있다. 4가지 주요 요소 입력자료(Inputs): 문제의 입력자료로서 셀내의 값이 불변 변경할 셀(Changing cell; 변경셀): 결정변수 엑셀의 해찾기 수행 과정에서 변경할 셀의 값을 변화시켜 목표셀의 값을 최적 목표셀(Target cell, Objective cell): 목적함수 입력자료 및 변경셀의 선형함수로 표현되며 변경셀의 값에 따라 값이 가변 제한조건(Constraints): 선형의 등식 및 부등식의 제약식으로 표현, 입력자료와 변경셀을 이용하여 표현 2010-03-21 경영과학 10 선형계획 (LP: Linear Programming) 예제 2.1 ㈜소아 제품배합문제 초기모형 2010-03-21 경영과학 11 선형계획 (LP: Linear Programming) 수학적 모형 2010-03-21 경영과학 12 선형계획 (LP: Linear Programming) 가능해 탐색 교재 p. 39 표 2.3 제품배합별 제한조건 만족 여부 및 한 주간의 총 판매 이익 참조 2010-03-21 경영과학 13 선형계획 (LP: Linear Programming) 해찾기(Solver) 실행 목표셀 해의 조건 변경셀 제한조건 옵션 실행 2010-03-21 경영과학 14 선형계획 (LP: Linear Programming) 해찾기(Solver) 실행 목표셀 해의 조건 변경셀 제한조건 옵션 실행 2010-03-21 경영과학 15 선형계획 (LP: Linear Programming) 최적해 2010-03-21 경영과학 16 선형계획 (LP: Linear Programming) 해답보고서 2010-03-21 경영과학 17 선형계획 (LP: Linear Programming) 민감도 보고서 [변경 셀의 한계비용: 최대화 문제경우] 2010-03-21 해당제품을 한 단위 생산에 참여 시킴으로 발생되는 이익의 변화량 해당 제품이 최적상태에서 생산에 참여하고 있으면 한계비용은 0 한계비용이 음(-)이면 최적상태에서 이 제품은 생산에 참여하고 있지 않음 해당자원의 제한조건 우변 값을 한 단위 증가시킬 때 목표셀 값의 변화량 최적상태에서 해당 자원이 남아있으면 그 자원의 잠재가격은 0 잠재가격이 양(+)이면 최적상태에서 이 자원은 전부 생산에 이용됨 경영과학 18 [제한조건의 잠재가격: 최대화 문제경우] 연습문제 2-1 제약조건 추가 기계4: 유모차 2시간, 보행기 1시간, 주간 가용시간 50시간 최적생산계획? 수학적 모형 2010-03-21 경영과학 19 연습문제 2-1 해찾기(Solver) 실행 목표셀 해의 조건 변경셀 제한조건 옵션 실행 2010-03-21 경영과학 20 연습문제 2-1 최적해 2010-03-21 경영과학 21 연습문제 2-2 제품추가 유아자전거, 판매당 이익 16만원 기계작업시간 각 기계별 4시간, 3시간 , 2시간, 1시간 기계1,2,3,4의 시간당 가동비용(노무비 포함)은 1만원, 2만원, 1만원, 2만원이라 하자. 최적 생산계획, 주간이익은? 수리모형 제출 원가 고려하는 모형 수학적 모형 Max 30 x1 + 20 x2 + 16 x3 –1y1 –2 y2 –1y3 –2 y4 s.t. 8 x1 + 3 x2 + 4 x3