02510015

KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA DAN WAKTU PEMENUHAN KEBUTUHAN AIR PADA KOMPLEKS PERUMAHAN KALIMO’OK KABUPATEN SUMENEP SKRIPSI oleh : HAMILA SOFIATI NIM : 02510015 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG MALANG 2007 KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA DAN WAKTU PEMENUHAN KEBUTUHAN AIR PADA KOMPLEKS PERUMAHAN KALIMO’OK KABUPATEN SUMENEP SKRIPSI oleh : HAMILA SOFIATI NIM : 02510015 Telah disetujui oleh : Dosen Pembimbing Evawati Alisah, M.Pd NIP. 150 291 271 Tanggal, 20 Juni 2007 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321 KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA DAN WAKTU PEMENUHAN KEBUTUHAN AIR PADA KOMPLEKS PERUMAHAN KALIMO’OK KABUPATEN SUMENEP SKRIPSI Oleh: HAMILA SOFIATI NIM : 02510015 Telah Dipertahankan di Depan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal 21 Juli 2007 Susunan Dewan Penguji Tanda Tangan 1. Penguji Utama : Drs. H. Turmudzi, M.Si ( ) NIP. 150 209 630 2. Ketua : Abdussakir, M.Pd ( ) NIP. 150 327 247 3. Sekretaris : Evawati Alisah, M.Pd ( ) NIP. 150 291 271 Mengetahui dan Mengesahkan : Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU.DSc NIP. 130 809 123 Hasil Karya ini Kupersembahkan untuk : Bapak dan Ibu yang telah memberi kasih sayang dan do’a tulus pada adinda Kakak-kakakku makasih to motivasi dan perhatiannya Mas Fir-ku yang slalu menemani adinda, makasih ya... tak lupa kuucapkan terima kasih kepada : Warga SA 11/1 : Luphi, Ellis, So2, Ci2s, Payied, Yeni, Inoel, Imas, n smuanya... (Aku pasti kangen canda tawa Q-ta) plus bu Kos (makasih to tumpangan kamarnya) Warga Aspay 26 : Wah...you ’mbut, Pi2k baga, Ayek kuyus, n Chayank-koe (hehe...matorsakalangkong ye...) Sobatku Rekha, jangan lupa Q-ta y Semua pihak yang telah membantu adinda slama ini, sorry... ga’ bisa disebutin atu2 KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA DAN WAKTU PEMENUHAN KEBUTUHAN AIR PADA KOMPLEKS PERUMAHAN KALIMO’OK KABUPATEN SUMENEP SKRIPSI Diajukan Kepada : Universitas Islam Negeri Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) oleh : HAMILA SOFIATI NIM : 02510015 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG MALANG 2007 KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah, segala puji syukur ke hadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, hingga penulis mampu menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul ”Konstruksi Model Matematika dan Waktu Pemenuhan Kebutuhan Air pada Kompleks Perumahan Kalimo’ok Kabupaten Sumenep” ini dengan baik. Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpatisipasi dan membantu menyelesaikan penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, iringan doa dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Malang. 2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU.DSc selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malang. 3. Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malang. 4. Evawati Alisah, M.Pd selaku dosen pembimbing, karena atas bimbingan dan bantuannya, penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. 5. Bapak dan Ibu yang telah memberikan dukungan dan do’a sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. 6. Teman-teman matematika, khususnya angkatan 2002 beserta semua pihak yang telah membantu penyelesaian skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah khasanah ilmu pengetahuan. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Malang, 21 Juni 2007 Penulis i DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar ................................................................................................. i Daftar Isi .......................................................................................................... ii Daftar Tabel ..................................................................................................... iv Daftar Gambar ................................................................................................. v Daftar Lampiran............................................................................................... vi Daftar Notasi.................................................................................................... vii Abstrak............................................................................................................. viii BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 3 1.3 Tujuan............................................................................................... 3 1.4 Batasan Masalah............................................................................... 3 1.5 Manfaat............................................................................................. 4 1.6 Sistematika Penulisan....................................................................... 5 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Matematika ........................................................................... 6 2.2 Mekanika Fluida .............................................................................. 9 2.3 Persamaan Bernoulli ........................................................................ 10 2.4 Persamaan Kontinuitas..................................................................... 12 2.5 Sistem Distribusi Aliran................................................................... 17 2.5.1 Pipa Primer............................................................................... 17 2.5.2 Pipa Sekunder .......................................................................... 17 2.5.3 Pipa Tersier .............................................................................. 17 2.5.4 Pipa Service ............................................................................. 17 ii 2.6 Sistem Pipa Pararel .......................................................................... 17 2.7 Aliran Air Melalui Pipa ................................................................... 20 2.7.1 Faktor Gesekan ........................................................................ 20 2.7.2 Kehilangan Tenaga .................................................................. 21 BAB III. METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Penelitian............................................................................... 22 3.2 Prosedur Penelitian ........................................................................... 22 3.3 Variabel-Variabel Penelitian............................................................. 25 BAB IV. DATA DAN PEMBAHASAN 4.1 Lokasi................................................................................................ 27 4.2 Variabel............................................................................................. 29 4.3 Hasil Perhitungan.............................................................................. 30 BAB V. KESIMPULAN DAN REKOMENDASI 5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 52 5.2 Rekomendasi..................................................................................... 54 DAFTAR PUSTAKA iii DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Waktu pemenuhan Air (t) dalam jam, untuk Q0 = 100m3/jam ...... 47 Tabel 2 Waktu pemenuhan Air (t) dalam jam, untuk Q0 = 200m3/jam ...... 48 Tabel 3 Waktu pemenuhan Air (t) dalam jam, untuk Q0 = 300m3/jam ...... 49 Tabel 4 Waktu pemenuhan Air (t) dalam jam, untuk Q0 = 400m3/jam ...... 50 Tabel 5 Waktu pemenuhan Air (t) dalam jam, untuk Q0 = 500m3/jam ...... 51 iv DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Aliran Stedi Melalui Tabung Aliran ..................................... 13 Gambar 2.2 Sistem Pipa Paralel ............................................................... 18 Gambar 3.1 Prosedur Penelitian ............................................................... 24 Gambar 4.1 Denah Perumahan Kalimo’ok............................................... 27 Gambar 4.2 Graph Posisi Cabang Primer-Sekunder ................................ 28 Gambar 4.3 Graph Posisi Cabang Sekunder-Tersier ................................ 28 v DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Gambar Rencana Pemasangan Pipa Transmisi dan Distribusi di Perumahan Kalimo’ok Kec. Kalianget vi DAFTAR NOTASI 0P = tekanan masuk ' 0P = tekanan keluar g = percepatan gravitasi z = tinggi di atas bidang acuan V = kecepatan rata-rata fh = rugi gesekan fK = faktor rugi pipa sambung cK = kehilangan tenaga f = faktor gesekan D = diameter pipa L = panjang pipa ρ = kerapatan Q = debit vii ABSTRAK Sofiati, Hamila. 2007. Konstruksi Model Matematika dan Waktu Pemenuhan Kebutuhan Air pada Suatu Kompleks Perumahan Kalimo’ok Kabupaten Sumenep Pembimbing : Evawati Alisah, M.Pd Kata Kunci : Model Matematika, Persamaan Bernoulli, Persamaan Kontinuitas Air bersih merupakan kebutuhan manusia yang mendapatkan perhatian khusus untuk dipenuhi. Masalah yang sering dihadapi dalam pemenuhan kebutuhan air bersih adalah waktu pemenuhan yang kurang baik (terlalu lama) sehingga cepat atau lambat akan menjadi masalah yang mengganggu. Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan untuk: (1) Mengetahui konstruksi model matematika yang sesuai dalam pemenuhan kebutuhan air pada suatu kompleks perumahan; (2) Mengetahui besar debit awal (Q0) dan tekanan awal (P0) untuk mendapatkan waktu pemenuhan yang tidak terlalu lama. Penelitian ini menggunakan model matematika berdasarkan persamaan Bernoulli ( =++ ρ pvgz 2 2 konst) dan persamaan Kontinuitas ( 222111 dAvdAv ρρ = ) dan hanya dilakukan pada sistem pipa paralel. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa dalam waktu pemenuhan air pada kompleks perumahan Kalimo’ok Kabupaten Sumenep tergantung pada besar debit awal air (Q0) dan tekanan awal (P0) suatu aliran air. Pemodelan matematika yang diterapkan dalam jaringan pipa pemenuhan air pada perumahan mampu memenuhi kebutuhan air dengan waktu yang optimal dan meminimalkan terjadinya kerusakan pada jalur pipa, sehingga tidak mengganggu pemenuhan air pada kawasan perumahan setiap harinya. viii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang, teori pemodelan, dan matematika diskrit. Matematika merupakan sarana komunikasi sains tentang pola-pola yang berguna untuk melatih berfikir logis, kritis, kreatif dan inovatif. Oleh karena itu hampir semua negara menempatkan matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang penting bagi pencapaian kemajuan negara bersangkutan. Penerapan matematika dalam kehidupan adalah sebagai alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan. Salah satu cabang dari ilmu pengetahuan matematika adalah pemodelan matematika. Model matematika merupakan suatu representasi dari persamaan atau sekumpulan persamaan yang mewakili perilaku dari suatu sistem. Dalam perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam kehidupan masyarakat sehari-hari. Salah satunya dalam pemenuhan air pada 1 kebutuhan manusia. Air merupakan unsur utama bagi kehidupan di planet ini. Semua makhluk mampu bertahan hidup tanpa makan dalam beberapa minggu, namun tanpa air akan mati dalam beberapa hari saja. Dalam bidang kehidupan ekonomi modern ini, air juga merupakan hal utama untuk budidaya pertanian, industri, pembangkit tenaga listrik, dan transportasi. Air bersih merupakan kebutuhan manusia yang mendapatkan perhatian khusus untuk dipenuhi. Suatu kompleks atau kawasan perumahan pasti menginginkan tidak timbulnya masalah pada pemenuhan air bersih. Masalah yang sering dihadapi dalam pemenuhan kebutuhan air bersih adalah waktu pemenuhan yang kurang baik (terlalu lama) sehingga cepat atau lambat akan menjadi masalah yang mengganggu. Masalah ini dapat disebabkan oleh dua hal yaitu debit yang kurang optimal dari PDAM untuk suatu kawasan perumahan dan jumlah rumah yang terlalu banyak dalam komplek perumahan tersebut sehingga debit optimal dari PDAM pun tidak akan memenuhi kebutuhan secara optimal. Oleh karena itu penulis tertarik untuk memodelkan waktu pemenuhan yang optimal terhadap kebutuhan air pada kawasan perumahan yang dalam hal ini perumahan yang akan dimodelkan adalah perumahan Kalimo’ok kecamatan Kalianget Kabupaten Sumenep. Dimana penulis ingin membahas perubahan debit yang disebabkan oleh keadaan aliran, yaitu aliran berubah-ubah karena faktor yang terjadi dalam pipa dan selama air mengalir dalam pipa. 2 1.2 Rumusan Masalah Masalah yang berkaitan dengan pemenuhan kebutuhan air pada kawasan perumahan: 1. Bagaimana model matematis yang sesuai pada setiap percabangan pipa dalam pemenuhan kebutuhan air pada suatu kompleks perumahan? 2. Dengan model yang ditemukan, berapa besar debit awal (Q0) dan tekanan awal (P0) untuk mendapatkan waktu pemenuhan yang tidak terlalu lama? 1.3 Tujuan Sesuai dengan rumusan masalah di atas tujuan penulisan adalah : 1. Mendapatkan model matematis yang sesuai pada setiap percabangan pipa dalam pemenuhan kebutuhan air pada suatu kompleks perumahan. 2. Mendapatkan besar debit awal (Q0) dan tekanan awal (P0) untuk mendapatkan waktu pemenuhan yang tidak terlalu lama. 1.4 Batasan Masalah 1. Pemakaian air hanya untuk kebutuhan rumahtangga. 2. Yang dibahas hanya satu arah aliran air dan dimulai dari pipa primer serta pelanggan tidak menggunakan alat bantu (misal : pompa air) 3. Persamaan yang digunakan adalah persamaan kontinuitas dan persamaan bernoulli 4. Pemodelan yang dilakukan hanya memperhatikan aspek teknis saja 5. Tidak terjadi kebocoran 3 6. Ketebalan pipa diabaikan 7. Memperhitungkan kehilangan tenaga dan adanya faktor gesekan. 8. Data yang digunakan adalah data Sekunder dari PDAM Kabupaten Sumenep untuk perumahan Kalimo’ok Kabupaten Sumenep 9. Pemodelan yang dilakukan hanya pada blok E, F, dan H 10. Diameter pipa: Pipa primer : 300 mm Pipa sekunder : 200 mm Pipa tersier : 25 mm 11. Setiap percabangan pipa sekunder pada pipa primer 33 m Setiap percabangan pipa tersier pada pipa sekunder 15 m 12. Panjang pipa tersier adalah 8 m 13. Volume pemenuhan setiap rumah per hari adalah 1,5 m3/hari 14. Sudut evaluasi kemiringan lahan terhadap pipa induk adalah o30 1.5 Manfaat Penelitian 1. Merupakan sarana untuk mengaplikasikan dan mengembangkan disiplin keilmuan yang selama ini menjadi bidang minat yang dipelajari. 2. Sebagai masukan bagi instansi terkait dalam hal ini Perusahaan Daerah Air Minum untuk mengoptimalkan pemenuhan kebutuhan air bersih 3. Mendapatkan waktu pemenuhan air bersih yang optimum pada perumahan Kalimo’ok Kecamatan Kalianget Kabupaten Sumenep. 4 1.6 Sistematika Penulisan Bab I Pendahuluan yang berisi : Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, Tujuan, Batasan Masalah, Manfaat Penelitian, Sistematika Penulisan. Bab II Tinjauan Pustaka yang berisi : Model Matematika, Mekanika Fluida, Persamaan Bernoulli, Persamaan Kontinuitas, Sistem Distribusi Aliran, Sistem Pipa Pararel, Aliran Air Melalui Pipa. Bab III Metode Penelitian yang berisi : Lokasi Penelitian, Prosedur Penelitian, Variabel-Variabel Penelitian. Bab IV Data dan Pembahasan yang berisi : Lokasi, Variabel, Hasil Perhitungan. Bab V Kesimpulan dan Rekomendasi 5 DAFTAR PUSTAKA Al-Layla, M.A. 1977. Water Supply Engineering Design. cetakan 4, Singapore: Ann Arbor Science Publishers Inc. Djojodihardjo, Dr.IR.Harijono. 1983. Mekanika Fluida. Jakarta: Erlangga. Evett, J.B dan Liu Cheng. 1987. Fundamentals of Fluid Mechanics. Singapore: Mc Graw Hill Book Company. Hazrul, Iswadi. 1994. Model Matematika. Bandung: ITB Knudsen, J.G dan D.L. Katz. Fluid Dynamics and Heat Transfer. New York: Mc Graw Hill Mc Cabe, W.L, Smith, J.C dan Harriot, P. 2001. Unit Operations of Chemical Engineering , sixth edition, Singapore: Mc Graw-Hill.Inc. Meyer,W.J. 1987. Concepts of Mathematical Modelling , cetakan 2. Singapore: Mc Graw Hill Book Company. Nole de Nevers. 1991. Fluid Mechanics for Chemical Engineers 2nd edition. Singapore: Mc Graw-Hill.Inc. Streeter, V.L dan Wylie, E.B. 1993. Mekanika Fluida. jilid 1 dan 2 (terjemahan) cetakan 4. Jakarta: Erlangga. White, F.M. 1988. Mekanika Fluida, jilid 1, edisi 2. Jakarta: Erlangga. Wright, S.J dan Olson, R.M. 1993. Dasar-dasar Mekanika Fluida Teknik. edisi 5 (terjemahan). Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Matematika Banyak masalah di luar matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan matematika. Kebanyakan kejadian, fenomena atau pengetahuan manusia dinyatakan dalam besaran kuantitatif, disimbolkan melalui kosa-kata matematika. Bentuk kompak pengetahuan dengan simbol matematika tentunya lebih mudah diselesaikan dengan sistem penyelesaian matematika pula. Sehingga diperlukan pembuatan model matematika dari kejadian atau fenomena yang terjadi. Model yang diharapkan dapat menghasilkan solusi masalah. Sebuah model adalah obyek atau konsep yang digunakan untuk menyertakan sesuatu (konsep, bentuk, masalah, dan lain-lain) dengan membuat skala dan keadaaan dikonversikan dalam bentuk yang dapat ditangani. Sedangkan model matematika adalah model yang terdiri dari konsep matematika, seperti konstanta, variabel fungsi, persamaan, ketidaksamaan, dan sebagainya (Meyer, 1985, 2). Konsep pembuatan model matematika dapat dijelaskan melalui tahap- tahap sebagai berikut: 1. Menentukan masalah yang diselesaikan. Pada tahap ini harus dapat memahami ilmu lain yang berhubungan dengan obyek yang akan dikaji. Sekurang-kurangnya mengetahui teori-teori yang mendukung. 6 2. Perumusan model matematika. Proses ini merupakan tahap yang paling menentukan untuk menghasilkan solusi yang benar. Dari suatu model yang salah akan dihasilkan suatu solusi yang salah. Sebuah model matematika mempunyai dua komponen: Struktur matematika (seperti pendefinisian variabel, hukum-hukum atau pemilihan simbol) dan penentuan interaksi dari variabel matematika melalui teori-teori yang berlaku di wilayah ilmu asal masalah. Dalam matematika interaksi atau perilaku variabel dinyatakan sebagai fungsi variabel. Pemilihan struktur matematika dan penerapan hukum-hukum kedalam fungsi matematika harus dilakukan hati-hati. Sering kali untuk masalah yang kompleks diperlukan anggapan ideal. Anggapan ideal (penyederhanaan) dalam suatu model berguna untuk menurunkan masalah yang kompleks menjadi masalah-masalah khusus dengan keadaan dan syarat tertentu. 3. Penyelesaian model matematika. Sistem matematika yang diperlukan untuk menghasilkan solusi dalam tahap ini dapat diberlakukan. Banyak cabang matematika yang memainkan peranan, seperti: statistika, transformasi kalkulus, persamaan diferensial, matematika kombinatorik, teori permainan atau matrik. Syarat penting penyelesaian matematika menghasilkan solusi yang dibutuhkan adalah syarat ke”ada”an, syarat ke”tunggal”an, dan syarat ke”kontinu”an pada parameter. Syarat ke”ada”an untuk menjamin bahwa solusi dari model ada dan tidak trivial. Solusi trivial kurang menarik dalam penelitian. Karena solusi trivial berarti identik dengan nol. Padahal dalam suatu penelitian 7 yang menarik perhatian adalah perubahan, yang berarti solusinya tidak identik dengan nol. Syarat ke”tunggal”an diberlakukan setelah menyertakan syarat batas yang dipilih. Syarat lain yang diperlukan adalah ke”kontinu”an suatu nilai fungsi untuk model dengan variabel kontinu. Kekontinuan fungsi dalam ungkapan yang mudah adalah nilai fungsi suatu varibel tidak memiliki beda yang sangat mencolok dengan nilai fungsi dari variabel sekitarnya. 4. Menerangkan dan interpretasi solusi dalam masalah nyata. Solusi yang didapat dari penurunan persamaan matematika harus dapat menerangkan masalah asal, karena inilah tujuan yang ingin diperoleh. Proses inipun memerlukan kerjasama dan pemahaman yang baik bidang ilmu yang masalahnya telah dibuatkan modelnya. Simbol matematika yang konsisten, sistem pemecahan masalah yang terstruktur, dan taat asas dari matematika membantu sekali untuk melihat hubungan yang jelas dari variabel-variabel dalam fenomena. Dengan pendefinisian sifat variabel dari hukum-hukum yang berlaku, maka interaksi antar variabel yang membangun fenomena dapat dijelaskan, dihitung pada bermacam kondisi, dan disimpulkan secara jelas. Model matematika, akhirnya menjadikan matematika mempunyai peranan langsung untuk menyelesaikan masalah kehidupan nyata atau membantu masalah ilmu lain, agar lebih mudah dimengerti dan dipahami (Hazrul, 1994). 8 2.2. Mekanika Fluida Fluida merupakan zat yang tidak dapat menahan perubahan bentuk (distorsi) secara permanen. Apabila bentuk suatu massa fluida dirubah, maka di dalam fluida itu akan terbentuk lapisan-lapisan di mana lapisan yang satu meluncur di atas yang lain, hingga mencapai suatu bentuk baru. Selama perubahan bentuk itu, terdapat tegangan geser (shear stress), yang besarnya bergantung pada viskositas fluida dan laju luncur. Tetapi, bila fluida itu sudah mendapatkan bentuk akhirnya, semua tegangan geser itu akan hilang. Fluida yang dalam keseimbangan itu bebas dari segala tegangan geser (Nole de Nevers, 1991). Pada suatu suhu dan tekanan tertentu, setiap fluida mempunyai densitas atau rapatan (density) tertentu, yang biasanya diukur dalam pound per cubic foot ’pon per kaki kubik’ atau dalam kilogram per meter kubik. Walaupun densitas fluida bergantung pada suhu dan tekanan, perubahan densitas karena perubahan variabel itu mungkin besar dan mungkin pula kecil. Jika densitas itu hanya sedikit terpengaruh oleh perubahan yang agak besar pada suhu dan tekanan, maka fluida itu disebut fluida tak-mampu-mampat (incompressible). Tetapi, jika densitasnya peka terhadap perubahan variabel itu, fluida itu disebut fluida mampu-mampat (compressible). Namun, densitas zat cair dapat saja mengalami perubahan yang cukup berarti apabila tekanan dan suhu diubah dalam jangkau yang cukup luas (Mc.Cabe, Smith, dan Harriot, 2001). Sifat dasar dari setiap fluida statik adalah tekanan. Tekanan dikenal sebagai gaya permukaan yang diberikan oleh fluida terhadap dinding bejana. Tekanan terdapat pada setiap titik di dalam volume fluida. Untuk fluida statik, 9 tekanan tidak bergantung pada orientasi permukaan dalam tempat bekerjanya tekanan itu. Oleh karena suatu fluida berada dalam keadaan seimbang, maka resultan semua gayanya adalah nol. Demikian pula, karena fluida yang berada dalam keadaan seimbang tidak dapat mendukung tegangan geser, maka semua gaya tekanan itu haruslah normal terhadap permukaan tempat tekanan itu bekerja. Sebab, jika tidak, tentu akan ada komponen gaya geser yang sejajar dengan permukaan itu. 2.3. Persamanan Bernoulli Integrasi dari persamaan ρ dp + g + v = 0 untuk kerapatan yang konstan menghasilkan persamaan Bernoulli dz dv =++ ρ pvgz 2 2 konst (2.3.1) Konstanta integrasi (yang disebut konstanta Bernoulli) pada umumnya berubah dari satu garis aliran ke aliran lainnya tetapi tetap konstan sepanjang suatu garis aliran dalam aliran stedi (ajeg), tanpa-gesekan, takmampumampat. Masing- masing suku mempunyai dimensi (L/T)2 atau satuan meter-newton per kilogram. 2 22/... s m kg smkgm kg nm == karena 1N = 1 kg m/s2. Oleh karena itu, persamaan (2.3.1) adalah dalam energi per massa satuan. Bila persamaan ini dibagi dengan g, maka konstp g vz =++ γ2 2 (2.3.2) 10 yang dapat ditafsirkan sebagai energi per berat satuan, meter-newton per newton (atau foot-pound per pound). Dengan mengalikan persamaan (2.3.1) dengan ρ diperoleh konstpvz =++ 2 2ργ (2.3.3) yang mudah dipergunakan untuk aliran gas, karena perubahan ketinggian sering kali tidak penting dan γz dapat dicoret. Dalam bentuk ini masing-masing suku adalah dalam meter-newton per meter kubik, foot pound per foot kubik, atau energi per volume satuan (White, 1988). Untuk mengetahui aliran sebuah fluida dapat dilakukan dengan mengintegrasikan antara persamaan Euler dan persamaan Bernoulli. Persamaan euler yang digunakan adalah ( ) t u z uw y uv x uuhp x ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=+∂ ∂ γρ 1 (2.3.4) dikombinasikan dengan persamaan y u x v ∂ ∂=∂ ∂ z v y w ∂ ∂=∂ ∂ x w z u ∂ ∂=∂ ∂ (2.3.5) persamaan (2.3.4) dapat diatur ulang sehingga tiap suku mengandung turunan parsial terhadap x dari persamaan (2.3.5) 2 2v xx vv y uv ∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ 2 2w xx ww z uw ∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ dan dari persamaan txt u ∂ ∂ ∂ ∂−=∂ ∂ φ dengan memasukkan persamaan diatas kedalam persamaan (2.3.4) didapat 11 0 222 222 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−++++∂ ∂ t wvughp x φ ρ karena u2 + v2 + w2 = q2, yaitu kuadarat kecepatan, maka 0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−++∂ ∂ t qghp x φ ρ (2.3.6) demikian pula untuk arah y dan z 0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−++∂ ∂ t qghp x φ ρ (2.3.7) 0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−++∂ ∂ t qghp x φ ρ (2.3.8) Besaran-besaran di dalam kurung dalam persamaan (2.3.6) sampai dengan persamaan (2.3.8) adalah sama. Persamaan (2.3.6) menyatakan bahwa besaran tersebut bukan fungsi x, karena turunanya terhadap x adalah nol. Demikian pula, persamaan-persamaan yang lain yang menunjukkan bahwa besaran tersebut bukan fungsi y atau z, oleh karena itu, besaran itu hanya dapat merupakan fungsi t saja (Wright dan Olson, 1993). 2.4. Persamaan Kontinuitas Pada pembahasan persamaan kontinuitas dikembangkan penggunaan persamaan ∫ ∫+∂∂= vk pk dAvdVt .0 ρρ (2.4.1) Perhatikan aliran stedi (ajeg) melalui sebagian tabung aliran dalam gambar 2.1. Volume kendalinya terdiri atas dinding tabung aliran antara penampang 1 dan 2, ditambah bidang –bidang ujung penampang 1 dan 2. Karena aliran stedi (ajeg), 12 maka suku pertama dalam persamaan (2.4.1) adalah nol, maka yang menyatakan bahwa laju bersih aliran massa keluar dari volume kendali itu harus nol. Di penampang 1 laju bersih aliran massa keluar adalah dAvdAv 11111 . ρρ −= , dan di penampang 2 laju tersebut 222222 . dAvdAv ρρ −= . Karena tidak ada aliran melalui dinding tabung aliran, maka 222111 dAvdAv ρρ = (2.4.2) adalah persamaan kontinuitas yang diterapkan pada dua penampang di sepanjang sebuah tabung aliran stedi (Streeter dan Wylie, 1993). Gambar 2.1 Aliran stedi melalui tabung aliran (Streeter dan Wylie, 1993) Untuk sekelompok tabung aliran, jika ρ1 ialah kerapatan rata-rata di penampang 1 dan ρ2 kerapatan rata-rata dipenampang 2, maka 222111 AVAVm ρρ == (2.4.3) dimana V1, V2 menunjukkan kecepatan rata-rata pada masing-masing penampang dan m ialah laju aliran massa. Kecepatan rata-rata pada suatu penampang diberikan oleh 13 ∫= vdAAV 1 (2.4.4) Jika debit Q didefinisikan sebagai Q = A V (2.4.5) Maka persamaan kontinuitas dapat berbentuk 2211 QQm ρρ == (2.4.6) untuk aliran stedi (ajeg) tak mampu mampat 2211 VAVAQ == (2.4.7) Merupakan bentuk persamaan tersebut yang bermanfaat. Untuk aliran kerapatan konstan, baik yang stedi (ajeg) maupun yang tak stedi persamaan (2.4.1) menjadi ∫ =pk dAv 0. (2.4.8) yang menyatakn bahwa laju bersih aliran volume keluar adalah nol (hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa volume kendali berisi cairan pada setiap waktu). Untuk menelaah aliran dua dan tiga dimensi, harus mempergunakan bentuk diferensial persamaan kontinuitas. Untuk koordinat cartesius tiga dimensi, persamaan (2.4.1) diterapkan pada elemen volume kendali δx δy δz dalam gambar dengan pusat di (x,y,z), dengan komponen-komponen kecepatan dalam arah x,y,z masing-masing u,v,w dan ρ ialah kerapatan. Pada permukaan kanan fluks keluar adalah ( ) zyxu x u δδδρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+ 2 14 Karena ρ serta u diasumsikan berubah secara kontinu diseluruh fluida. Dalam persamaan diatas zyu δδρ adalah fluks massa yang melalui permukaan tengah yang tegak lurus terhadap sumbu x. Suku yang kedua adalah laju pertambahan fluks massa, terhadap x, dikalikan dengan jarak δx/2 kepermukaan kanan. Demikian pula, di permukaan kiri fluks ke dalam volume tersebut adalah ( ) zyxu x u δδδρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂− 2 karena langkahnya -δx/2. Fluks bersih keluar melalui kedua permukaan ini adalah ( ) zyxu x δδδρ∂ ∂ kedua arah yang lain menghasilkan rumusan-rumusan serupa, maka, aliran massa keluar bersih adalah ( ) ( ) ( ) zyxw z v y u x δδδρρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ yang merupakan bagian kanan persamaan (2.4.1). Bagian kiri persamaan (2.4.1) untuk sebuah elemen menjadi zyx t δδδρ∂ ∂− Bila kedua rumusan ini dipergunakan dalam persamaan (2.4.1), maka setelah kita membagi seluruh persamaan dengan elemen volume serta mengambil limitnya untuk zyx δδδ yang mendekati nol, persamaan kontinuitas di suatu titik menjadi ( ) ( ) ( ) t w z v y u x ∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ρρρρ (2.4.9) 15 yang harus belaku bagi setiap titik dalam aliran, yang stedi atau takstedi, mampu mampat atau tak mampu mangkat. Namun, untuk aliran tak mampu mampat persamaan ini disederhanakan menjadi 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z w y v x u (2.4.10) Persamaan (2.4.9) dan (2.4.10) dapat ditulis secara singkat dengan notasi vektor. Dengan mempergunakan vektor-vektor satuan tetap dalam arah x,y,z, yaitu masing-masing i,j,k, maka operator ∇ didefinisikan sebagai z k y j x i ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇ (2.4.11) dan vektor kecepatan q diberikan oleh kwjviuq ++= (2.4.12) maka ( ) ( )wkvjui z k y j x iq ρρρρ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇. ( ) ( ) ( )w z v y u x ρρρ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= karena i · i = 1, i · j = 0, dst persamaan (2.4.9) menjadi t q ∂ ∂−=∇ ρρ. (2.4.13) dan persamaan (2.4.10) menjadi 0. =∇ q (2.4.14) 16 hasil kali skalar disebut divergensi atau dengan kata lain hasil kali ini ialah aliran volume keluar bersih per volume satuan di suatu titik dan harus sama dengan nol untuk aliran tak mampat. q.∇ Dalam aliran dua dimensi, yang ada pada umumnya diasumsikan terjadi di bidang-bidang yang sejajar dengan bidang xy,w = 0, dan tidak terdapat perubahan terhadap z, sehingga 0=∂∂ z , yang menyederhanakan persamaan tiga dimensi yang diberikan untuk kontinuitas (Evett dan Liu Cheng, 1987). 2.5. Sistem Distribusi Aliran 2.5.1. Pipa Primer Pipa primer adalah pipa utama yang mengalirkan fluida dari pusat aliran fluida di bagian hulu ke pipa sekunder pada bagian hilir. 2.5.2. Pipa Sekunder Pipa sekunder adalah pipa yang menjadi penghubung antara pipa primer dan pipa tersier. Pipa sekunder biasanya merupakan pipa percabangan kedua setelah pipa primer dan memiliki ukuran yang berbeda dengan pipa primer. 2.5.3. Pipa Tersier Pipa tersier adalah pipa yang mengalirkan fluida dari pipa sekunder kerumah-rumah. Pipa tersier ini terletak di bagian hilir. 2.5.4. Pipa Service Pipa dari pipa induk atau sumber air minum lainnya ke sistem distribusi air minum suatu gedung (Al-Layla,`1977). 17 2.6. Sistem Pipa Paralel Kombinasi dua atau lebih pipa yang dihubungkan seperti pada Gambar2.2, sedemikian rupa sehingga alirannya terbagi antara pipa-pipa itu dan kemudian berkumpul lagi adalh sistem pipa-paralel. Dalam hal pipa-pipa seri fluida yang sama mengalir melalui semua pipa dan kerugian tinggi-tekanan adalah kumulatif, tetapi dalam hal pipa-pipa paralel kerugian tinggi-tekan dalam setiap jalur adalah sama dan debit adalah kumulatif. Dalam analisa sistem pipa paralel, diasumsikan bahwa kerugian-kerugian kecil ditambahkan pada panjang masing-masing pipa sebagai panjang ekuivalen. Kondisi-kondisi yang harus dipenuhi adalah ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−+=== BBAAfff zpzphhh γγ321 321 QQQQ ++= Disini , ialah ketinggian titik A dan B, dan Q ialah debit melalui pipa- datang (approach pipe) atau pipa-pergi (exit pipe) (Djojodihardjo, 1983). Az Bz Terjadi dua tipe soal : (1) dengan ketinggian garis gradien hidrolik di A dan B yang diketahui, harus dicari debit Q; (2) dengan Q yang diketahui, harus dicari distribusi aliran dan kerugian tinggi-tekan. 18 Ukuran pipa-pipa, sifat-sifat fluida, dan kekasaran-kekasaran diasumsikan diketahui. A 2 1 3 B Gambar 2.2 Sistem pipa paralel Tipe pertama sebenarnya adalah penyelesaian soal pipa sederhana untuk mencari debit, karena kerugian tinggi tekan sama dengan penurunan garis gradien hidrolik. Debit-debit ini dijumlahkan guna menentukan debit total. Soal tipe kedua lebih rumit, karena baik kerugian tinggi-tekan maupun debit untuk pipa yan manapun tidak diketahui. Seyogyanya dipergunakan prosedur sebagai berikut: 1. Asumsikan debit melalui pipa 1. ′1Q 2. Selesaikan untuk memperoleh 1f h′ , dengan mempergunakan debit yang diasumsikan tersebut. 3. Dengan mempergunakan 1f h′ , carilah ′2Q , ′3Q . 4. Dengan ketiga debit untuk kerugian tinggi-tekan sekutu, asumsikanlah ekarang bahwa Q yang diketahui tersebut terbagi diantara pipa-pipa dalam perbandingan yang sama seperti , , : jadi 1Q 2Q 3Q Q Q QQ ∑ ′ ′= 11 QQ QQ ∑ ′ ′= 22 QQ QQ ∑ ′ ′= 33 (2.6.1) 19 5. Kajilah kebenaran debit-debit ini dengan menghitung , , bagi 1f h 2fh 3fh 1Q′ , , ; yang telah dihitung. 2Q′ 3Q′ Prosedur ini berlaku untuk jumlah pipa berapa saja. Dengan pilihan 1Q′ , yang bijaksana, yang diperoleh dengan memperkirakan persentase aliran total melalui sistem yang kiranya mengalir melalui pipa 1 (dengan berdasarkan garis- tengah, panjang, dan kekasaran), Pers.(2.6.1) akan menghasilkan nilai-nilai yang cocok dalam batas-batas beberapa persen, yang ada di dalam batas-batas ketelitian faktor-faktor gesekan. 2.7. Aliran Air Melalui Pipa 2.7.1. Faktor Gesekan Pipa-pipa sambung (fitting) dan katup (valve) bersifat menghambat aliran normal dan menyebabkan gesekan tambahan. Pada pipa-pipa yang pendek- pendek yang mempunyai banyak pipa sambung, rugi-gesek yang disebabkan oleh pipa sambung itu mungkin lebih besar dari yang berasal dari bagian pipa lurus. Rugi-gesek hf yang disebabkan oleh pipa sambung bisa didapatkan dengan persamaan 2 2VKh ff = dimana Kf = faktor rugi pipa sambung V = kecepatan rata-rata dalam pipa yang menuju pipa sambung 20 Faktor Kf didapat dari eksperimen dan berbeda untuk setiap jenis sambungan. Pada sambungan pipa dengan besar siku sambungan , Ko90 f = 0,9 (Knudsen dan Katz, 1958). 2.7.2. Kehilangan Tenaga Bila penampang saluran tiba-tiba mengecil, arus fluida tidak dapat mengikuti perubahan arah di seputar sudut yang tajam pada penyempitan itu dan arus memisah dinding pipa. Rugi gesek karena kontraksi tiba-tiba sebanding dengan tinggi tekan kecepatan di dalam saluran yang lebih kecil dan dapat dihitung dengan persamaan faktor gesekan. Untuk aliran turbulen, Kc diberikan oleh persamaan empirik ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= a b c S S K 14,0 dimana Sa adalah luas penampang pada bagian hulu, dan Sb pada bagian hilir (Mc.Cabe, Smith, dan Harriot, 2001). 21 BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Lokasi Penelitian Penelitian ini dilakukan pada salah satu perumahan di Kalimo’ok kecamatan Kalianget-Sumenep. Hal ini berdasarkan pada letak dan susunan perumahan ini yang secara teoritis sesuai dengan model matematika yang akan digunakan pada analisis dan pembahasan. Pada rencana pemasangan pipa transmisi dan distribusi, perumahan Kaliomo’ok ini membutuhkan model matematika dalam pemenuhan air bersih, sehingga dengan model matematika tersebut akan mendapatkan solusi tentang estimasi waktu yang optimum untuk pemenuhan air bersih pada kawasan perumahan dan instansi yang terkait, dalam hal ini adalah PDAM diharapkan mampu mengoptimalkan kebutuhan air bersih pada kawasan perumahan. Secara praktis, peneliti tinggal di daerah sekitar Kalimo’ok, sehingga mengetahui secara detail segala perkembangan dan kesesuaiannya dengan desain penelitian. 3.2. Prosedur Penelitian a. Melakukan studi literatur mengenai waktu pemenuhan air, mengenai hal- hal apa saja yang mempengaruhi waktu dari pemenuhan air untuk sebuah perumahan. b. Mengumpulkan data yang diperlukan yang dalam hal ini berupa data layout perumahan dan besar pipa serta jumlah percabangan pipa-pipa 22 yang digunakan. Dalam hal ini lokasi yang dipilih adalah di perumahan Kalimo’ok kecamatan Kalianget-Sumenep. c. Menganalisa data yang sudah dikumpulkan agar sesuai dan mencukupi untuk dilakukan pemodelan. d. Melakukan studi persamaan kontinuitas dan persamaan Bernoulli yang akan digunakan dalam pemodelan. e. Melakukan pemodelan matematika untuk waktu pemenuhan air di perumahan Kalimo’ok Kecamatan Kalianget-Sumenep berdasarkan data- data yang sudah diperoleh dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan persamaan Bernoulli. f. Setelah melakukan pemodelan selanjutnya adalah menentukan distribusi kecepatan dan tekanan pada setiap percabangan pipa yang dalam hal ini pada pipa primer, pipa sekunder, dan pipa tersier untuk menentukan waktu pemenuhan air pada perumahan Kalimo’ok Kecamatan Kalianget- Sumenep. Dalam bentuk diagram, prosedur penelitian ini dapat dijelaskan sebagai berikut: 23 START STUDI LITERATUR STUDI PERSAMAAN KONTINUITAS DAN BERNOULLI PEMODELAN ANALISA PEMODELAN KESIMPULAN END MENGHITUNG DISTRIBUSI KECEPATAN DAN TEKANAN PADA PIPA PENGUMPULAN DATA ANALISA DATA Gambar 3.1 Prosedur Penelitian 24 3.3. Variabel-variabel Penelitian Pada pemodelan matematika untuk waktu pemenuhan air di perumahan Kalimo’ok, digunakan persamaan Bernoulli dan kontinuitas Persamaan Bernoulli, =++ ρ pvgz 2 2 konst, dan 222111 dAvdAv ρρ = adalah persamaan kontinuitas yang diterapkan pada dua penampang di sepanjang sebuah tabung aliran stedi (ajeg). debit Q didefinisikan sebagai Q = A V Maka persamaan kontinuitas dapat berbentuk 2211 QQm ρρ == untuk aliran stedi (ajeg) tak mampu mampat 2211 VAVAQ == Rugi-gesek hf yang disebabkan oleh pipa sambung bisa didapatkan dengan persamaan 2 2VKh ff = , pada sambungan pipa dengan besar siku sambungan , Ko90 f = 0,9. 25 Untuk aliran turbulen, Kc diberikan oleh persamaan empirik ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= a b c S S K 14,0 dimana Sa adalah luas penampang pada bagian hulu, dan Sb pada bagian hilir. 26 BAB IV DATA DAN PEMBAHASAN 4.1 Lokasi Denah perumahan Kalimo’ok yang akan dimodelkan pada pembahasan dapat digambarkan sebagai berikut; H H F F H H F F E E E E 3 2 1 7 5 46 0 H H F F E E H H F F E E Gambar 4.1 Denah perumahan Kalimo’ok Keterangan: Pipa tersier Pipa sekunder Pipa primer Setelah mendapatkan data yang diperoleh dari instansi, yang terkait dalam hal ini adalah Perusahaan Daerah Air Minum Sumenep maka denah perumahan akan digambarkan dengan sederhana. 27 Pada konstruksi model matematika ini digambarkan hanya ada satu cabang pipa primer dan dua cabang pipa sekunder, seperti Gambar 4.2 berikut. 1 2 3 4 5 6 7 0 Gambar 4.2 Graph Posisi Cabang Primer-Sekunder Article I. Dari model yang telah terbentuk di atas akan dibentuk model untuk percabangan dari pipa sekunder ke pipa tersier, seperti pada Gambar 4.3 berikut. 1 A4 B C D E F G H I J K L M ON Article II. Article III. Gambar 4.3 Graph Posisi Cabang Sekunder – Tersier 28 4.2 Variabel Pada pemodelan matematika untuk waktu pemenuhan air di perumahan Kalimo’ok, digunakan persamaan Bernoulli dan Kontinuitas Persamaan Bernoulli, =++ ρ pvgz 2 2 konst, dan 222111 dAvdAv ρρ = dengan: g = percepatan gravitasi z = tinggi di atas bidang acuan V = kecepatan rata-rata cK = kehilangan tenaga D = diameter pipa ρ = kerapatan adalah persamaan kontinuitas yang diterapkan pada dua penampang di sepanjang sebuah tabung aliran stedi (ajeg). Debit Q didefinisikan sebagai Q = A V dengan: Q = debit = luas panampang pipa A 29 Maka persamaan kontinuitas dapat berbentuk 2211 QQm ρρ == untuk aliran stedi (ajeg) tak mampu mampat 2211 VAVAQ == Rugi-gesek hf yang disebabkan oleh pipa sambung bisa didapatkan dengan persamaan 2 2VKh ff = , pada sambungan pipa dengan besar siku sambungan , Ko90 f = 0,9. Untuk aliran turbulen, Kc diberikan oleh persamaan empirik ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= a b c S S K 14,0 dimana Sa adalah luas penampang pada bagian hulu, dan Sb pada bagian hilir. 4.3 Hasil Perhitungan Konstruksi model matematika yang direncanakan hanya ada satu cabang pipa primer dan dua cabang pipa sekunder ditunjukkan seperti Gambar 4.2 hal. 26. Selanjutnya menentukan model persamaan pada setiap titik percabangan pipa primer ke pipa sekunder. Pada model persamaan ini dipengaruhi oleh faktor gesekan (hf) dan kehilangan tenaga (Kf). fhvgz pvgzp +++=++ 2'0'0 ' 02 00 0 2 1 2 1 ρρ (…1) 30 ' 00 QQ = ' 00 VAVA pp = ' 0VVo = 2' 0 ' 02' 0 2 1.sin..4 2 VK D z fVh f p f + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = θ 2 0 02' 0 2 1.9,0 3,0 30sin/2,0.01,0.4 2 V V +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 2 0 2' 0 45,0053,0 2 VxV += 2 04765,0 Vh f = persamaan 1 menjadi: ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= fhgzpp '00'0 10004765,02 1000 2 0 0' 0 xV pp ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= Setelah diketahui persamaan untuk tekanan keluar (Po’) selanjutnya menentukan faktor gesekan yang terjadi pada percabangan pipa primer – pipa sekunder a). Titik 0 – 1 fhvzg pvzgp +++=++ 21112000 2 1. 2 1. ρρ 31 2 1 2 1 2 1.2 1 ..4 2 vK D L fvh f p p f + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 2 0 . 2 1.9,0 3,0 33. 2 1 .01,0.4 2 v v + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 2 0 45,01,1 vvh f += 2 055,1 v= 2 1 2 12 11 12 00 0 2 12 1 .4 22 1 2 1 vK D L fvvgzpvgzp f p p + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ titik 0 – 1 mengalami percabangan siku di titik 1 dengan titik 1 – 4 dan titik 1 – 6 diantara titik 0 – 1 belum terjadi percabangan dan dipasang lurus horizontal sehingga z0 = z1 dan V0 = V1 1000 2 12 1 .4 21000 2 0 2 00 1 xVKD L fVpp f p p ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ' 00 pp = 100055,1 1000 2 0 ' 0 1 xV pp ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 32 b). Titik 1 – 4 dan 1 – 6 z1 = z4 dan z1 = z6 2 4 2 4 2 44 42 11 1 2 12 1 .4 2 1 2 1 1 Vk D L fVVgzpVgzp c s s + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 2 14,0 1 p s c D D k 2,0 3,0 2,014,0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= Berdasar uraian di atas, maka terjadi kehilangan tenaga dari pipa primer menuju pipa sekunder yang sebanding dengan tinggi tekan kecepatan (V) di dalam saluran yang lebih kecil. Setelah mengetahui nilai hf, selanjutnya akan mencari debit (Q0) pada setiap titik aliran cabang pipa sekunder. 064 %20 QQQ == 075 %10 QQQ == 2000 2,02,0 QQQQ ++= 02 6,0 QQ = 3000 1,01,06,0 QQQQ ++= 03 4,0 QQ = 04 2,0 QQ = = 4VAs 02,0 Q 33 4 225,0 VDs ×××π = 02,0 Q 4 22,025,0 V×××π = 02,0 Q = 4V 0314,0 2,0 0Q ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 24 2 4 2 4 2 11 4 2 12 1 4 222 1 Vk D L fVVVpp c s s Karena maka 064 %20 QQQ == 64 pp = ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 24 2 6 2 6 2 11 6 2 12 1 4 222 1 Vk D L fVVVpp c s s Selanjutnya menentukan kecepatan yang terjadi pada titik 1-2 sehingga dapat menentukan tekanan yang terjadi pada percabangan titik 2 c). Titik 1 – 2 2 2 2 22 22 22 11 1 2 12 1 4 22 1 2 1 Vk D L fVVgzpVgzp f p p + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ = 2Q 06,0 Q = 2VAp 06,0 Q 2 225,0 VDp ×××π = 06,0 Q 2 23,025,0 V×××π = 06,0 Q 34 = 2V 07065,0 6,0 0Q ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 22 2 2 2 2 2 11 2 2 12 1 4 222 Vk D L fVVVpp f p p pada percabangan titik 2 ini memiliki debit (Q) 0,6 dari debit awalnya. titik 1 – 2 mengalami percabangan siku di titik 2 dengan titik 2 – 5 dan titik 2 – 7 sehingga z2 = z5 dan z2 = z7 d). Titik 2 – 5 dan 2 – 7 2 5 2 52 55 52 22 2 2 12 1 4 22 1 2 1 1 Vk D L fVVgzpVgzp c s s + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ 72 52 2,0 1 zz zz kc = = = ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 25 2 5 2 5 2 22 5 2 12 1 4 222 1 Vk D L fVVVpp c s s = 5Q 01,0 Q = 5VAs 01,0 Q 5 225,0 VDs ×××π = 01,0 Q 5 225,025,0 V×××π = 01,0 Q 35 = 5V 0314,0 1,0 0Q percabangan selanjutnya, menentukan kecepatan pada titik 2 ke titik 3 untuk mengetahui tekanan yang terjadi pada titik 3. e). Titik 2 – 3 2 3 2 32 33 32 22 2 2 12 1 4 22 1 2 1 Vk D L fVVgzpVgzp f p p + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ = 3Q 04,0 Q = 3VAp 04,0 Q 3 225,0 VDp ×××π = 04,0 Q 3 23,025,0 V×××π = 04,0 Q = 3V 07065,0 4,0 0Q ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 23 2 3 2 3 2 22 3 2 12 1 4 222 Vk D L fVVVpp f p p Setelah mengetahui konstruksi model matematika pada cabang primer-sekunder maka dilanjutkan untuk mencari konstruksi model matematika pada cabang sekunder-tersier. 36 Article IV. Dari model yang telah terbentuk di atas akan dibentuk model untuk percabangan dari pipa sekunder ke pipa tersier. Untuk lebih mudahnya, dapat dilihat pada gambar 4.3 graph posisi cabang sekunder-tersier. Pemodelan diawali dengan memodelkan titik pertama yang mengalami percabangan, yaitu titik 4 yang mengalami percabangan ke titik F dan K. Article V. f). Titik 4 – F 2 2 22 44 4 2 14 22 1 2 1 2 Fc t tF FF F Vk D LfVVgzpVgzp +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+++=++ ρρ 2 41 2 12 244 c t t F k D Lf Vp V +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + = ρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 2 14,0 2 s t c D D k 39375,0 2,0 025,014,0 2 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−−+= 2 222 44 2 14 222 2 Fct tFF F VkD LfVVVpp Titik 4 – F = Titik 4 – K sehingga: KF pp = 37 g). Titik 4 – A 2 2 22 44 4 2 12 1 4 22 1 2 1 Af s s A AA A Vk D L fVVgzpVgzp + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ ρρ = + + 4Q FQ KQ AQ = + + 4VAs FtVA KtVA AsVA 4 22,025,0 V×××π = ( ) ( ) ( )[ ]AKF VVV ×+×+×× 222 2,0025,0025,025,0 π = 40314,0 V AKF VVV 0314,000049,000049,0 ++ = 4V 0314,0 00049,000049,00314,0 4 KF VVV −− ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 2 222 44 2 12 1 4 222 Afs s AA A VkD L fVVVpp h). Titik A – G 2 2 22 2 14 22 1 2 1 2 Gc t tG GG G AA A Vk D LfVVgzpVgzp +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+++=++ ρρ 2 41 2 12 2 c t t A A G k D Lf Vp V +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + = ρ Untuk persamaan pipa sekunder-tersier selanjutnya, digunakan model persamaan yang sama. 38 i). Titik A – B BA Af s s B BB B AA A zz Vk D L fVVgzpVgzp = + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++=++ 2 2 22 2 12 1 4 22 1 2 1 ρρ = + + AQ GQ LQ BQ = + + AsVA GtVA LtVA BsVA AV××× 22,025,0 π = ( ) ( ) ( )[ ]BLG VVV ×+×+×× 222 2,0025,0025,025,0 π = AV0314,0 BLG VVV 0314,000049,000049,0 ++ = AV 0314,0 00049,000049,00314,0 LGB VVV −− ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 2 222 44 2 12 1 4 222 Afs s AA A VkD L fVVVpp Cara yang sama juga dikerjakan untuk titik B – C,dan titik C – D s mQ 3 0 0277,03600 100 == 000 VAQ = 00 VAQ p= = 0,25 x π x 0,32 x V0 s mV 393,0 07065,0 02777,0 0 == 39 Setelah pembahasan di atas, kemudian menentukan berapa besar tekanan (P) awal (masuk) untuk mengetahui tekanan keluar pada aliran. Selanjutnya, dengan mengetahui jumlah tekanan, memasukkan nilai Q dan V maka akan ditentukan waktu pemenuhan (t) yang optimum untuk aliran air pada perumahan. 0p = 50 Kpa = 50.000 pa ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −′−=′ fhgzpp 000 ( ) 1000393.04765.02 1000 50000 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= = 47840 pa ρρ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − ′ = 2001 55,1 Vpp = ( ) 1000393,055,1 1000 47840 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − = 47600 pa ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+== 24 2 4 2 4 2 11 64 2 12 1 4 222 1 Vk D L fVVVppp c s s = ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+ 12 12 1 4 2 1 2 1 2 2 4 2 11 c s s k D L fVVp = ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ 24 2 11 2 VVp 40 = 1000031,0 2 155,0 1000 47600 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ = 47646,5 pa 2 41 2 12 244 c t t FK k D Lf Vp VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ = 394,08,121 031,0 2 1 1000 6465,472 ++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + = 2,59 m/s FtKF VAQQ == = ( ) 59,2025,025,0 2 ×××π = 360000127,0 × = 4,57 m3/jam Waktu pemenuhan (t) = FQ volume = 57,4 5,1 = 0,327 jam 2 22 4 2 s KtFts A D VDVDVDV −−= 41 = ( ) ( ) ( )2 222 2,0 59,2025,059,2025,0177,02,0 ×−×−× = 0,095 m/s ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= 2244 7,12 1 AA VV pp = ( ) 1000095,07,1177,0 2 1 1000 5,47646 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×−+ = 47646,7 pa 2 41 2 12 2 c t t A A GL k D Lf Vp VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ = 394,08,121 009,0 2 1 1000 5,476462 ++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + = 2,59 m/s LtGL VAQQ == = ( ) 59,2025,025,0 2 ×××π = 360000127,0 × = 4,57 m3/jam Waktu pemenuhan (t) = GQ volume 42 = 57,4 5,1 = 0,327 jam 2 222 s LtGtAs B D VDVDVDV −−= = ( ) ( ) ( )2 222 2,0 59,2025,059,2025,0095,02,0 ×−×−× = 0,015 m/s ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= 22 7,1 2 1 BA A B VV pp = ( ) 1000015,07,1095,0 2 1 1000 7,47646 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×−+ = 47650,8 pa 2 41 2 12 2 c t t B B HM k D Lf Vp VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ = ( ) 394,08,121 015,0 2 1 1000 8,476502 2 ++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + = 2,59m/s MtHM VAQQ == = ( ) 59,2025,025,0 2 ×××π = 360000127,0 × 43 = 4,57 m3/jam Waktu pemenuhan (t) = HQ volume = 57,4 5,1 = 0,327 jam 2 222 s MtHtBs C D VDVDVDV −−= = ( ) ( ) ( )2 222 2,0 59,2025,059,2025,0015,02,0 ×−×−× = -0,065 m/s ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= 22 7,1 2 1 CB B C VV pp = ( ) 1000065,07,1015,0 2 1 1000 8,47650 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+ = 47647 pa 2 41 2 12 2 c t t C C NI k D Lf V p VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ = ( ) 394,08,121 065,0 2 1 1000 476472 2 ++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ = 2,59 m/s 44 ItNI VAQQ == = ( ) 59,2025,025,0 2 ×××π = 360000127,0 × = 4,57 m3/jam Waktu pemenuhan (t) = IQ volume = 57,4 5,1 = 0,327 jam 2 222 s NtItCs D D VDVDVDV −−= = ( ) ( ) ( )2 222,0 59,2025,059,2025,0065,02,0 ×−×−−× = -0,405 m/s ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= 22 7,1 2 1 DC C D VV pp = ( ) ( ) 1000405,07,1065,0 2 1 1000 47647 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−+ = 47370 pa 2 41 2 12 2 c t t D D OJ k D Lf Vp VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ 45 = ( ) 394,08,121 405,0 2 1 1000 473702 2 ++ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ = 2,59 m/s JtOJ VAQQ == = ( ) 59,2025,025,0 2 ×××π = 360000127,0 × = 4,57 m3/jam Waktu pemenuhan (t) = JQ volume = 57,4 5,1 = 0,327 jam 46 Tabel 1 Waktu Pemenuhan Air (t) dalam jam Diketahui, untuk Q0 = 100 m3/jam Cs P0 = 50 Kpa P0 = 100 Kpa P0 =150 Kpa P0 =200 Kpa P0 =250 Kpa F 0,327 0,229 0,186 0,160 0,142 G 0,327 0,229 0,186 0,160 0,142 H 0,327 0,229 0,186 0,160 0,142 I 0,327 0,229 0,186 0,160 0,142 J 0,327 0,229 0,186 0,160 0,142 (Sumber : data sekunder, diolah, 2007) Pada Tabel 1 diatas, dengan debit awal (Q0) yang diketahui sebesar 100 m3/jam dan pada tekanan awal (P0) yang berbeda-beda dapat diketahui waktu pemenuhan air yang berbeda pula. Untuk tekanan awal (P0) sebesar 50 Kpa dapat diketahui waktu pemenuhan air (t) selama 0,327 jam, P0 sebesar 100 Kpa, t = 0,229 jam, P0 sebesar 150 Kpa, t = 0,186 jam, P0 sebesar 200 Kpa, t = 0,160 jam, dan P0 sebesar 250 Kpa, t = 0,142 jam. 47 Tabel 2 Waktu Pemenuhan Air (t) dalam jam Diketahui, untuk Q0 = 200 m3/jam Cs P0 = 50 Kpa P0 =100 Kpa P0 =150 Kpa P0 =200 Kpa P0 =250 Kpa F 0,330 0,230 0,187 0,161 0,143 G 0,330 0,230 0,187 0,161 0,143 H 0,330 0,230 0,187 0,161 0,143 I 0,330 0,230 0,187 0,161 0,143 J 0,330 0,230 0,187 0,161 0,143 (Sumber : data sekunder, diolah, 2007) Pada Tabel 2 diatas, dengan debit awal (Q0) yang diketahui sebesar 200 m3/jam dan pada tekanan awal (P0) yang berbeda-beda dapat diketahui waktu pemenuhan air yang berbeda pula. Untuk tekanan awal (P0) sebesar 50 Kpa dapat diketahui waktu pemenuhan air (t) selama 0,330 jam, P0 sebesar 100 Kpa, t = 0,230 jam, P0 sebesar 150 Kpa, t = 0,187 jam, P0 sebesar 200 Kpa, t = 0,161 jam, dan P0 sebesar 250 Kpa, t = 0,143 jam. 48 Tabel 3 Waktu Pemenuhan Air (t) dalam jam Diketahui, untuk Q0 = 300 m3/jam Cs P0 = 50 Kpa P0 =100 Kpa P0 =150 Kpa P0 =200 Kpa P0 =250 Kpa F 0,336 0,232 0,188 0,162 0,144 G 0,336 0,232 0,188 0,162 0,144 H 0,336 0,232 0,188 0,162 0,144 I 0,336 0,232 0,188 0,162 0,144 J 0,336 0,232 0,188 0,162 0,144 (Sumber : data sekunder, diolah, 2007) Pada Tabel 3 diatas, dengan debit awal (Q0) yang diketahui sebesar 300 m3/jam dan pada tekanan awal (P0) yang berbeda-beda dapat diketahui waktu pemenuhan air yang berbeda pula. Untuk tekanan awal (P0) sebesar 50 Kpa dapat diketahui waktu pemenuhan air (t) selama 0,336 jam, P0 sebesar 100 Kpa, t = 0,232 jam, P0 sebesar 150 Kpa, t = 0,188 jam, P0 sebesar 200 Kpa, t = 0,162 jam, dan P0 sebesar 250 Kpa, t = 0,144 jam. 49 Tabel 4 Waktu Pemenuhan Air (t) dalam jam Diketahui, untuk Q0 = 400 m3/jam Cs P0 = 50 Kpa P0 =100 Kpa P0 =150 Kpa P0 =200 Kpa P0 =250 Kpa F 0.356 0,234 0,190 0,163 0,145 G 0,356 0,234 0,190 0,163 0,145 H 0,356 0,234 0,190 0,163 0,145 I 0,356 0,234 0,190 0,163 0,145 J 0,356 0,234 0,190 0,163 0,145 (Sumber : data sekunder, diolah, 2007) Pada Tabel 4 diatas, dengan debit awal (Q0) yang diketahui sebesar 400 m3/jam dan pada tekanan awal (P0) yang berbeda-beda dapat diketahui waktu pemenuhan air yang berbeda pula. Untuk tekanan awal (P0) sebesar 50 Kpa dapat diketahui waktu pemenuhan air (t) selama 0,356 jam, P0 sebesar 100 Kpa, t = 0,234 jam, P0 sebesar 150 Kpa, t = 0,190 jam, P0 sebesar 200 Kpa, t = 0,163 jam, dan P0 sebesar 250 Kpa, t = 0,145 jam. 50 Tabel 5 Waktu Pemenuhan Air (t) dalam jam Diketahui, untuk Q0 = 500 m3/jam Cs P0 = 50 Kpa P0 =100 Kpa P0 =150 Kpa P0 =200 Kpa P0 =250 Kpa F 0,359 0,238 0,191 0,164 0,146 G 0,359 0,238 0,191 0,164 0,146 H 0,359 0,238 0,191 0,164 0,146 I 0,359 0,238 0,191 0,164 0,146 J 0,359 0,238 0,191 0,164 0,146 (Sumber : data sekunder, diolah, 2007) Pada Tabel 5 diatas, dengan debit awal (Q0) yang diketahui sebesar 500 m3/jam dan pada tekanan awal (P0) yang berbeda-beda dapat diketahui waktu pemenuhan air yang berbeda pula. Untuk tekanan awal (P0) sebesar 50 Kpa dapat diketahui waktu pemenuhan air (t) selama 0,359 jam, P0 sebesar 100 Kpa, t = 0,238 jam, PB0 sebesar 150 Kpa, t = 0,191 jam, P0 sebesar 200 Kpa, t = 0,164 jam, dan P0 sebesar 250 Kpa, t = 0,146 jam. 51 BAB V KESIMPULAN DAN REKOMENDASI 5.1 Kesimpulan Dari penelitian yang dilakukan mengenai pemodelan secara matematis untuk waktu pemenuhan air pada sebuah kompleks perumahan maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Bentuk konstruksi model matematis yang dihasilkan untuk waktu pemenuhan air dapat dinyatakan sebagai berikut: Cabang primer – sekunder Nilai koefisien gesekan (hf) : 2 0 2 0 45,01,1 vvh f += 2 055,1 v= 10004765,02 1000 ' 20 0 0 xV pp ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= Nilai tekanan pada titik 1 (P1): 100055,1 1000 2 0 ' 0 1 xV p p ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= Nilai tekanan pada titik 2, dan selanjutnya menggunakan persamaan; ρρ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+= 2 222 2 12 1 4 222 nfp p nnmm n VkD L fVVVpp 52 Keterangan; m = titik awal n = titik percabangan (titik yang dicari) Cabang sekunder – tersier Article VI. Nilai kecepatan rata-rata pada setiap percabangan pipa tersier 2 41 2 12 2 c t t a a ab k D Lf Vp VV +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + == ρ Keterangan: a = titik awal b = titik percabangan Kecepatan di titik awal pada percabangan tiga pipa paralel 2 2 2 1 22 s ititjs i D VDVDVD V ++ −−= Tekanan di titik awal pada percabangan tiga pipa paralel ρρ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= 22 7,1 2 1 ij j i VV p p Keterangan: j = titik awal i = titik percabangan pertama i+1 = titik percabangan kedua 53 i+2 = titik percabangan ketiga 2. Setelah dilakukan analisis terhadap konstruksi model matematika untuk waktu pemenuhan air, dapat disimpulkan bahwa waktu pemenuhan air bergantung pada debit awal (Q0) dari aliran air dan tekanan awal (P0). Artinya pada debit aliran yang besar maka juga akan memerlukan waktu tekanaan yang besar untuk memperoleh waktu pemenuhan yang optimum. 5.2 Rekomendasi Konstruksi model matematika pada jalur pipa transmisi dan distribusi di perumahan Kalimo’ok diharapkan dapat membantu instansi yang terkait, dalam hal ini adalah PDAM karena: 1. Pemodelan matematika yang diterapkan dalam jaringan pipa pemenuhan air di perumahan Kalimo’ok sudah efektif, karena dengan model matematika tersebut mampu memenuhi kebutuhan air pada kawasan perumahan dengan waktu yang tidak terlalu lama. 2. Kebutuhan volume pemenuhan air setiap rumah sebanyak 1,5 m per hari dapat dipenuhi lebih optimal dengan debit dan tekanan yang telah ditentukan pada pemodelan, sehingga waktu yang diperlukan sangat efektif dan efisien. 3 3. Pada jaringan pipa transmisi pemenuhan air pada kawasan perumahan Kalimo’ok menjadi sederhana, sehingga kebutuhan air pada perumahan dapat dilayani dengan waktu yang tidak terlalu lama (optimal) dan diharapkan kerusakan yang terjadi pada jalur pipa transmisi dapat diminimalkan dan tidak mengganggu pemenuhan air pada kawasan perumahan setiap harinya. 54 DAFTAR PUSTAKA Al-Layla, M.A. 1977. Water Supply Engineering Design. cetakan 4, Singapore: Ann Arbor Science Publishers Inc. Djojodihardjo, Dr.IR.Harijono. 1983. Mekanika Fluida. Jakarta: Erlangga. Evett, J.B dan Liu Cheng. 1987. Fundamentals of Fluid Mechanics. Singapore: Mc Graw Hill Book Company. Hazrul, Iswadi. 1994. Model Matematika. Bandung: ITB Knudsen, J.G dan D.L. Katz. Fluid Dynamics and Heat Transfer. New York: Mc Graw Hill Mc Cabe, W.L, Smith, J.C dan Harriot, P. 2001. Unit Operations of Chemical Engineering , sixth edition, Singapore: Mc Graw-Hill.Inc. Meyer,W.J. 1987. Concepts of Mathematical Modelling , cetakan 2. Singapore: Mc Graw Hill Book Company. Nole de Nevers. 1991. Fluid Mechanics for Chemical Engineers 2nd edition. Singapore: Mc Graw-Hill.Inc. Streeter, V.L dan Wylie, E.B. 1993. Mekanika Fluida. jilid 1 dan 2 (terjemahan) cetakan 4. Jakarta: Erlangga. White, F.M. 1988. Mekanika Fluida, jilid 1, edisi 2. Jakarta: Erlangga. Wright, S.J dan Olson, R.M. 1993. Dasar-dasar Mekanika Fluida Teknik. edisi 5 (terjemahan). Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISI.pdf ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN DAFTAR NOTASI ABSTRAK BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan 1.4 Batasan Masalah 1.5 Manfaat Penelitian 1.6 Sistematika Penulisan BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Matematika 2.2. Mekanika Fluida 2.3. Persamanan Bernoulli 2.4. Persamaan Kontinuitas 2.5. Sistem Distribusi Aliran 2.5.1. Pipa Primer 2.5.2. Pipa Sekunder 2.5.3. Pipa Tersier 2.5.4. Pipa Service 2.6. Sistem Pipa Paralel 2.7. Aliran Air Melalui Pipa 2.7.1. Faktor Gesekan 2.7.2. Kehilangan Tenaga BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Lokasi Penelitian 3.2. Prosedur Penelitian 3.3. Variabel-variabel Penelitian BAB IV DATA DAN PEMBAHASAN 4.1. LOKASI BAB V KESIMPULAN DAN REKOMENDASI 5.1 Kesimpulan 5.2 Rekomendasi DAFTAR PUSTAKA