Διαμαντής Α. Τσεκούρας 1 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β΄ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Τρίτη 2 Απριλίου 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = x ν , νΝ – {0,1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ΄(x) = ν x ν – 1 . ΜΟΝΑΔΕΣ 10 Α2 . Να διατυπώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ∞. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Α3 . Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, θα λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ 2 2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ. Eάν η f δεν είναι «1 -1» στο Δ υπάρχει x 0Δ ώστε f ΄(x0) = 0. ΜΟΝΑΔΕΣ 2 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 2 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα 3. Εάν η f συνεχής στο [α,β], ισχύει f (x t) dt = f (x – α) – f (x – β). ΜΟΝΑΔΕΣ 2 4. Εάν Α (x1 ,y1) και Β (x 2 ,y2) ,Ο (0,0) είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 = x1 + y1 i , z2 = x2 + y2 i , τότε ΟΑ ΟΒ, τότε ισχύει Re(z1 2z ) ≠ 0. ΜΟΝΑΔΕΣ 2 5. Εάν η f έχει πεδίο ορισμού το , τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. ΜΟΝΑΔΕΣ 2 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w και u για τους οποίους ισχύει (2z + 3 + i) (2 z + 3 – i ) + |(1 + i)w + 1 + 2i | i = 36 + i 2 και u = λ + μ i + 4 i με λ, μ[– 2 , 2 ] και μ2 = ( 2 – λ)( 2 + λ) . Β1 . Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w και u. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Β2 . (i) Nα αποδείξετε ότι |u | 2 + |u 2 – 16 | = 20 . ΜΟΝΑΔΕΣ 5 (i i) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου | z – w|. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 3 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Β3 . Επίσης θεωρούμε τους μιγαδικούς u 1 , u2 για τους οποίους ισχύει ότι η εικόνα του u1 κινείται πάνω στην ευθεία (ε1): 10x – 2y + 5 = 0 και ισχύει η ισότητα u2 = (1 + i)u1 + 1u . (i) Να βρείτε την ευθεία (ε 2) πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του μιγαδικού u 2 . ΜΟΝΑΔΕΣ 4 (i i) Να βρείτε τη σχετική θέση των γεωμετρικών τόπων των μιγαδικών z, w με τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού u 2 . ΜΟΝΑΔΕΣ 3 (i i i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των |z – u2 | και |w – u2 | . ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f (x) = 4x 2 lnx – 4 3 x 3 – 2x2 + 4x + 5, x(0,+ ∞). g (x) = x 3 + λx – 6x lnx, x(0 ,+ ∞) με λ . Γ1 . Να μελετηθεί η f ως προς τη κυρτότητα στο (0,+ ∞) , επίσης να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο της. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Γ2 . Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της g για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Γ3 . Να υπολογίσετε τα όρια x 0 lim [f (x) f ΄(x) f ΄΄(x)] και x lim (g (x) f (x) ημ 1 f ( x ) ) . ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Γ4 . Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 12x 2 lnx = 4x 3 + 6x2 – 12x – 15. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 4 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Γ5 . Για λ = 4, να υπολογίσετε το εμβαδόν E (Ω) του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την g τον άξονα των x και τις ευθείες x = 1 και x = e. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΘΕΜΑ Δ Βελτιωμένο Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει 2 2 1 (f (t) 2e )dt = 2e και e – x x f ΄(x) + (x + 1)2 ≥ 1, για κάθε x . καθώς επίσης και τη δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση Η (x) = x 2 1 2 (x 1) x 1 g(t)dt 2015 , x 1 2 3 2015μ , x = 1 , για την οποία ισχύουν 3Η ΄(1) = Η ΄΄(1 ) = 2 , όπου μ(0,+ ∞) και g παραγωγίσιμη στο . Δ1 . Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 1 f (t) dt xe = e – x f (x) + x, έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2). ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Δ2 . Εάν x0 είναι η μοναδική ρίζα του ερωτήματος Δ1 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(1,x0) τέτοιο ώστε f (ξ) > 0 0 0 x f (x ) x 1 . ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Δ3 . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου μ, όταν μ(0,+ ∞). ΜΟΝΑΔΕΣ 2 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 5 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Δ4 . Να βρείτε την εξίσωση (ε) της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της Α(1 ,g (1)). ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Δ5 . Eάν επίσης δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο (0,+ ∞) με h (1) = 2017, για την οποία ισχύει 2g ΄(x) + h ΄(x) = 2019 + 2 1 ln x x , για κάθε x(0,+ ∞) και η ευθεία (ε) που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ4 , εκτός από εφαπτομένη της g στο σημείο της Α(1,g (1)) είναι ταυτόχρονα και ασύμπτωτη της g στο + ∞. (i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της h στο + ∞. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 (i i) Εάν επίσης η g είναι γνησίως φθίνουσα στο , να αποδείξετε ότι η εξίσωση h (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,1). ΜΟΝΑΔΕΣ 6 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Όλα τα Θέματα Προσομοίωσης του Συγγραφέα Διαμαντή Α. Τσεκούρα θα τα βρείτε στο blog tsekuras-frontistiria.blogspot.com Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 6 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529 Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 7 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Νέα έκδοση Μάρτης 2012 Επανέκδοση Σεπτέμβρης 2012 Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529 Διαμαντής Α. Τσεκούρας 8 Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529