Самоподобный трафик Предположим, что вы наблюдаете за мегабитной линией, по которой передаются кадры фиксированного размера 4000 бит и время передачи каждого кадра составляет 4 мс. Время прибытия кадров записывается на стороне получателя (время, когда прибывает первый бит каждого кадра) 0 8 24 32 72 80 96 104 216 224 240 248 288 296 312 320 648 656 672 680 720 728 744 752 864 872 888 896 936 944 960 968 В данном случае трудно разглядеть какую-либо закономерность или сосчитать статистические параметры. Сгруппируем трафик, считая кластером любую группу кадров, в которой нет пауз больших, чем пять длительностей передачи кадра (20 мс), и запишем начальное время каждого кластера 0 72 216 288 648 720 864 936 Промежутки между кластерами неодинаковы, и понять закономерность трафика все также трудно. Сгруппировать трафик на более высоком уровне. Определим кластер как группу кадров, в которой нет промежутков больших, чем 10 интервалов передачи кадров (40 мс) Трафик выглядит как два кластера с промежутком между ними, за которыми следует больший промежуток, а затем снова два кластера с небольшим промежутком между ними. 0 216 648 864 216 432 216 Если рассмотреть предыдущую группу из восьми кластеров, то мы увидим ту же закономерность. Первые четыре значения времени прибытия следуют той же схеме (прибытие, короткий интервал, прибытие, длинный интервал, прибытие, короткий интервал, прибытие). 72 0 72 216 72 288 648 72 720 864 72 936 144 360 144 Возвращаясь к исходному набору из 32 кадров, мы наблюдаем ту же последовательность, повторенную восемь раз. Таким образом, у нас есть временная последовательность встречающаяся на самом нижнем уровне и повторяющийся на более высоких уровнях группирования. 8 0 8 16 24 8 32 40 72 80 96 108 40 104 216 224 240 248 288 296 312 320 648 656 672 680 720 728 744 752 864 872 888 896 936 944 960 968 8 16 8 40 108 40 Явление, обладающее свойством самоподобия, выглядит одинаково при его рассмотрении с разной степенью «увеличения» или в разном масштабе. При этом масштабируемой величиной может быть как пространство (длина, ширина) так и время. Представим кадр как вертикальную линию некоторой толщины которая будет означать время, необходимое для приема кадра целиком (4 мс). Расстояние между линиями будет обозначать время между прибытиями кадров Если схематически изобразить кластера на разных уровнях из предыдущих примеров то получим следующие: Похожий пример может быть получен из множества знаменитого конструктора Кантора (Cantor), подчиняющегося следующим правилам: - начните с интервала [0, 1], представленного линейным сегментом; - удалите среднюю треть линии [1/3,2/3]; - для каждого следующего шага удалите среднюю треть линий, оставшуюся после предыдущего шага; Подобное недетерминированное самоподобие часто встречается как в естественных, так и в искусственных явлениях. Его можно наблюдать в природных ландшафтах, в распределениях землетрясений, в океанских волнах, в турбулентном потоке, во флуктуациях фондовых рынков, в повторяющихся ошибках и трафиках данных каналов связи и т.д. Самоподобный стохастический процесс На левом рисунке функция времени не точно повторяется при разной степени увеличения, но ее внешний вид при различных временных масштабах похож. На правом же заметно, что при увеличении масштаба функция становится более прерывистой. А при уменьшении становится более регулярной и с меньшим количеством флуктуаций самоподобный стохастический процесс типичный стационарный случайный процесс Параметр Херста Задача расчета размера резервуара для воды такой величины, чтобы выходной поток был равен среднему входному так, чтобы резервуар никогда не опустошался и не переполнялся. Xj – входной поток за год (1 < j < N); M(N) – постоянный ежегодный исходящий поток; Lj – уровень воды в резервуаре в конце года (1 < j < N); N – число лет наблюдения. Таким образом (N) представляет собой средний входной поток за N лет, Lj – суммарный входной поток за первые j лет минус суммарный выходной поток за те же годы, а , a R(N) — это разница между максимальным и минимальным значениями Lj за эти годы. При этом Lj следует рассматривать как накапливаемую величину, на которую временная последовательность отклоняется от среднего значения за время j. Таким образом, R представляет собой величину, которая, лучше характеризует изменчивость случайной переменной X. Херст исследовал ряд явлений и разработал нормализованную безразмерную величину R/S, характеризующую изменчивость, где S представляет собой выборочное среднее и было обнаружено, что для многих природных явлений, отношение R/S как функция N хорошо описывается следующей эмпирической формулой для больших значений N: Можно показать, что для любого краткосрочного процесса отношение R/S становится асимптотически пропорциональным , то есть Н =0,5. Чем больше значения параметра Н тем больше степень изменчивости данных. Непрерывный во времени процесс Общее определение самоподобного стохастического процесса основано на прямом масштабировании непрерывной переменной времени. Стохастический процесс x(t) является статистически самоподобным с параметром H (0,5