P3.11Transformadas de Laplace de Una Funcion Periodica

Matemáticas VUnidad III TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.11 Transformadas de Laplace de una función periódica *Problemario* EJERCICIO 1.- Se la función y(t) = Hallar la transformada de Laplace. con periodo 2. L * ( )+ ∫ ( ( ( ( ) ) ) ) 0∫ ( ( ( ) ∫ 1 ( )( ) ) 1 ( 1 ) 1 *Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), EJERCICIO 2 .-Encontrar la transformada de la siguiente función periódica. ∫ ∫ ( ) Multiplicamos por e . Veamos esta expresión: √( ( ) ) √ √ √ √ por identidades hiperbólicas del ángulo mitad2. 2 Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), 2 EJERCICIO 3.- Sea ( ) que se extiende como una función periódica. Esta es una onda de dientes de sierra y se muestra en la fig. De arriba. Su primer periodo es: 2 De esto obtenemos ( ) ( Y entonces por el teorema 6.8 ( ) ( )) ( ) ( ) , ( )( Por el último teorema 6.9 , ) - 3 Proporciona el resultado: . / ( ( ) ) , ( )- 3 Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), 3 EJERCICIO 4.-La figura 4.23 muestra la grafica de la función de onda cuadrada ( ) , -representa el máximo entero que no excede a x. Por ( ), - cuyo periodo es el teorema 2, la transformada de Laplace de ( ) es: ( ) ∫ ( ) (∫ ([ ( ( Por tanto: ( ) ) ) ] ∫ ( [ ) ) ] ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera. C.H. Edwards, Jr. Tercera edición EJERCICIO 5.- 5Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la fig. 7.29 Solución: la función se puede definir en el intervalo ( ) Y fuera del intervalo mediante ( * ( )+ Y la integración por partes: * ( )+ ∫ ( ) [ ( ( 5 como sigue: 2 ( ) con ∫ ( ) aplicamos la ecuación 9: ) *∫ ] ) ) ∫ + Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición, pag. 325. EJERCICIO 6.-6 Determine la transformada de Laplace de la función onda cuadrada del ejemplo 4.47 Solución: se tiene que ( ) Por lo tanto * ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )+ ( * ) ( )+ 6 *Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 7.-7Halle * ( )+para ( ) Solución: en este caso se tiene * ( )+ * 2 ( ) ( )+ * ( ( * ( ) ( ) . Luego )+ ) y el periodo es + )+ ( ) * ( Por lo tanto * ( )+ ( ) ( )( ) ( )( ) 7 *Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 8.- Resolver ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) donde Solución: En el ejemplo 4.49 se encontró que ( ) Luego, * ( ) ( )+ * ( )+. Así ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )+ ( De donde, ( ) * ( )+ { } ) ( ) { ( | ) } ( ) ( { ( ) )- ( ) } ( 8 ) , ( ) ( ) Equivalente ( ) { 8 Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 9.- Resuelva la ecuación integro-diferencial ( ) ∫ ( ) ( ) Solución: La ecuación se pude escribir como ( ) transformada de Laplace y despejar ( ) se tiene ( ) sea * ( )+ entonces al aplicar ( ) [ ] ( ) ( ) Al despejar y usar fracciones parciales, se tiene ( ) ( ( )( )( ( ) ) ) 9 De donde, ( ) * ( )+ 9 Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 10.- 10Determine la transformada de la función cuya grafica es: Solución: Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos * ( )+ ( ) utilizar la formula: ∫ Puesto que la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones: ∫ Así: ∫ ( ) ( ) ( ) (∫ ∫ ) Por tanto * ( )+ ( ) 10 http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm EJERCICIO 11.- 11Sea ( )una función continua por partes en el intervalo [0,∞), y de orden exponencial, con periodo T entonces : * + ∫ ( ) Aplicamos entonces la definición que tenemos anteriormente: * + ∫ ( ) Y sustituimos los valores correspondientes, quedándonos la transformada de laplace de la siguiente manera. * + Resolviendo la integral anterior tenemos: * + ( ( 11 ∫ ( ) . )( / ( ) )) ) http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas EJERCICIO 12.- 12Para esta función tenemos que el periodo es 2. También debemos saber cuál es la función que estamos evaluando, para esto tenemos que: ( ) Ya sabiendo esto podemos aplicar la integral anteriormente enunciada * + Es decir nuestra integral a evaluar es la siguiente: * + ∫ ( ) ∫ ( ) Entonces nuestro resultado queda de la siguiente manera: ( ( ) )) 12 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas EJERCICIO 13.- 13Determine la trasformada de Laplace de la función periódica definida como: ( ) Solución: aplicando la ecuación: * ( )+ Resulta: ( ) Evaluando las integrales se tiene: ( ) Ya que el denominador de la expresión anterior es una diferencia de cuadrados perfectos, nos queda: ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) 2 13 http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf. Pag.268 EJERCICIO 14.- 14Determine la transformada de Laplace de la función ( ) | ( )| Solución: La función dada es periódica con periodo T= y se conoce como la onda seno rectificada de onda completa. Su representación grafica se ilustra en la fig. 2.3, aplicando la transformada, resulta: *| Con base a la ecuación: ∫ Se tiene: ∫ ( ) * ( )+ * * ( )+ ( )+ ( ) ( ) * ( )+ ( )|+ ∫ ( ) Entonces, la transformada de la función periódica seno rectificada de onda completa es: *| ( )|+ ( )( ) 14 http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf, pag 269 EJERCICIO 15.- 15Determine la transformada de Laplace de la función periódica, definida como: ( ) 2 Solución: la función ( )corresponde a la señal triangular con periodo , ilustrada en la figura 4.4, aplicando la transformada de Laplace para una señal periódica, resulta: ( ) Efectuando las integrales, tenemos: ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) En el denominador teneos una diferencia de cuadrados entonces simplificando nos queda: ( ) ( ) ( ) 15 http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf pag. 270