Movimiento Armonico Amortiguado de La Barra

MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UNCUERPO RÍGIDO 1.-OBJETIVOS OBJETIVO TEMÁTICO Estudiar el movimiento oscilatorio simple y amortiguado de un cuerpo rígido ligado a un resorte y un dispositivo de amortiguamiento. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Determinar el valor de la constante elástica del resorte.  Determinar el valor de la constante de amortiguamiento viscosa del sistema (la paleta en el agua). 2.-FUNDAMENTO TEÓRICO ESTÁTICA La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO El resultado de la suma de fuerzas es nulo. SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR. Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial at por Ft = mat. El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es: 𝜏 = 𝐹𝑡 𝑟 = (𝑚𝑎𝑡 )𝑟 Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = rα, el torque se puede escribir como: 𝜏 = (𝑚𝑟𝛼 )𝑟 = (𝑚𝑟 2 )𝛼 que giran en torno a Ο en una circunferencia de radio r. por efecto de alguna fuerza tangencial externa dFt que actúa sobre dm. Por la segunda ley de Newton aplicada a dm. entonces: 𝜏 = 𝐼𝛼 El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α. Se puede extender este análisis a un cuerpo rígido arbitrario que rota en torno a un eje fijo que pase por Ο. donde Ι es la constante de proporcionalidad. Figura 1 Y como mr2 es el momento de inercia de la masa m que gira en torno al centro de la trayectoria circular. El cuerpo rígido se puede considerar formado por elementos de masa dm. se tiene: 𝑑𝐹𝑡 = (𝑑𝑚)𝑎𝑡 El torque dτ producido por la fuerza dFt es: 𝑑𝜏 = 𝑟𝑑𝐹𝑡 = (𝑟𝑑𝑚)𝑎𝑡 = (𝑟𝑑𝑚)𝑟𝛼 = (𝑟 2 𝑑𝑚)𝛼 . Observar que τ = Ια es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton F = ma. como se ve en la figura 2. considerando que α tiene el mismo valor en todo el cuerpo rígido. entonces: 𝜏𝑡 = 𝐼𝛼 Observar que aunque la deducción es compleja. Figura 2 El torque neto se obtiene integrando esta expresión. 𝜏𝑡 = ∫ 𝑑𝜏 = ∫ 𝛼𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝛼 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 Pero la integral es el momento de inercia I del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación que pasa por Ο. como todas las ecuaciones de la Física. . el resultado final es extremadamente simple. para ilustrarlo mejor:  Por ley de cosenos: 2 𝑟 2 = 𝑟𝐶𝑀 + 𝑑2 − 2𝑟𝐶𝑀 𝑑 ∙ cos(𝜃)  Aplicando la fórmula para hallar el momento de inercia: 2 𝐼0 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = ∫[𝑟𝐶𝑀 + 𝑑2 − 2𝑟𝐶𝑀 𝑑 ∙ cos(𝜃 )]𝑑𝑚 2 = ∫ 𝑟𝐶𝑀 𝑑𝑚 + 𝑑2 ∫ 𝑑𝑚 ∴ 𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2 . 𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2 Para realizar la demostración utilizaremos el siguiente ejemplo.TEOREMA DE STEINER “El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masa es el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes”. donde el signo menos indica que esta fuerza tiene sentido opuesto al movimiento de cuerpo oscilante: Para una barra con ángulos de oscilaciones pequeñas la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente: 𝑑2 𝜃 𝑑𝜃 + 2𝛾 + 𝑤0 2 𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Donde 𝑤0 es la frecuencia angular sin amortiguamiento La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas. Usando un ingenioso cambio de variable (este se encuentra con la resolución del sistema de ecuación diferencial el cual su procedimiento no compete mucho en este informe) haciendo que 𝑥 = 𝑧𝑒 −𝛾𝑡 se obtendrá: 𝑧̈ + (𝑤0 2 − 𝛾 2 ) = 0 .SISTEMA AMORTIGUADO En el movimiento armónico simple la amplitud es constante al igual que la energía del oscilador. disminuye gradualmente. un péndulo. como un resorte. es decir. Sin embargo sabemos que la amplitud del cuerpo en vibración. la descripción del movimiento resulta algo más complicada. oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo. lo que indica una pérdida paulatina por parte del oscilador. si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (buena aproximación en muchos casos). Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos. Decimos que el movimiento oscilatorio es amortiguado. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple. Sea la fuerza amortiguadora 𝐹𝑐 = −𝑐𝑣. la cual será la frecuencia del sistema.Denominamos al término √𝑤0 2 − 𝛾 2 como la frecuencia angular con amortiguamiento (w). Su posible solución entonces será: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑜 𝑒 −𝛾𝑡 cos(𝑤𝑡 + 𝛿) . que pertenece a una ecuación diferencial no homogénea. 𝑧̈ + 𝑤 2 𝑧 = 0 Esta es una ecuación diferencial homogénea cuya solución será: 𝑧(𝑡) = 𝐴0 cos(𝑤𝑡 + 𝛿) Este valor se puede reemplazar para hallar el valor de x. 3. 6. 8. Balanza Nivel de burbuja 200 g Un soporte Una paleta universal amortiguadora 4.-MATERIALES Barra metálica de Soporte de madera Dos mordazas longitud L agujerada con cuchilla simples Resorte Cronómetro Regla milimetrada Pesas de 50. esta servirá para hallar el valor de la constante del amortiguador en el agua. Medir la longitud inicial del resorte y después colgarlo.-PROCEDIMIENTO Para realizar adecuadamente esta experiencia debemos de seguir los siguientes pasos. Con la ecuación de la barra oscilante se tendrá una frecuencia angular. 9. Medir las dimensiones de la barra así como su peso. 2.3. Colocar un punto de apoyo de la barra y equilibrarlo con el resorte de manera q la barra este horizontal. 7. 4. 100. 5. . 1. Pesar las masitas y el balde. Colocar las masitas empezando con un peso de 150g y medir la deformación. Colocar la paleta en un punto y hacer oscilar la barra con un ángulo pequeño y medir el tiempo de 3 oscilaciones (hacer 5 veces para un promedio). Se usara la ecuación de la barra oscilante sin amortiguador para hallar otro valor k. 10. Repetir el procedimiento con un recipiente de agua q sumerja la paleta y amortigüe el movimiento oscilatorio. Se formaran tablas con los datos de masa y deformación para hallar la constante del resorte (k) como un 1er método. 146 0. con 100 g e ir añadiendo masas de 50 en 50g. En estas condiciones estáticas se realiza la medida del alargamiento: a la longitud del resorte estirado (l) se le resta la longitud inicial (lo).039 3 0. Colgamos distintas masas conocidas. Calculamos el peso de cada masa. Medimos en cada caso la longitud del resorte estirado.15882 0.5. Para poder hallar el valor de k podemos usar el método de mínimos cuadrados para ver la tendencia lineal de la gráfica de peso vs deformación. Para calcular k aplicamos la ley de Hooke: 𝑷 = −𝒌∆𝒙 Al colgar una masa el resorte se estira y después de una ligera oscilación se para.172 1.140542 0.166 0.-ANÁLISIS Y RESULTADOS  Tabla caso Masa (Kg) Peso (N) Longitud estirada Deformación (m) (m) 1 0.2182 2.021 2 0.68732 0. este es un método antiguo o clásico pero tiene una buena aprox. La pendiente obtenida de la gráfica será el primer valor obtenido de k.186 0.1 Masa de la barra pesada en laboratorio: m=1.2694 2.642814 0.207 0. Podemos empezar.128 0. por ejemplo. l. y midiendo después los alargamientos que se producen en cada caso ∆𝑥. Calculamos ∆𝑥 = l – lo en cada caso.62 cm Largo de la barra=109. Ambas medidas se realizan desde el punto de amarre del resorte hasta su extremo.059 4 0. . Medimos la longitud inicial del resorte.95 cm Podemos determinar la constante de un resorte suspendiendo en él diferentes masas (que pesan P). lo.661092 0.079 5 0.322 3. (mg) y tomamos en cuenta el peso del balde.7662 kg Ancho de la barra=3.3732 3. 298 0.3661092 0.1 3.07591252 5 0.290588 0.000441 0. que tiene por ecuación: F(x)= y = 𝐛 + 𝐚𝒙 Donde las constantes a y 𝑏 se determinan resolviendo las ecuaciones normales.298 0.298𝑏 + 0.890496864 = 0.079 3.021684 5 13.890496864 = = 25.021684𝑎 Utilizando la regla de Cramer: 13.059 2.02282504 𝑏= 0.4918891 𝑎= 0.290588 0.298𝑎 0.298 0.298 13.642814 0.03543372 0.021684 A partir del cual se obtiene: 13.290588 | | 0.006241 0.019616 | | 0.01 0.24954678 0.290588 = 5𝑏 + 0.083481138 0.140542 0.155926026 0.Para hallar la ecuación de la recta utilizamos el método de la recta mínimo cuadrática.298 0.019616 | | 0.68732 0.001521 0.298 0.021684 . ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 = 𝑏𝑛 + 𝑎 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑥𝑖 = 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑎 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 Los cálculos necesarios para expresar las ecuaciones normales se disponen en la siguiente tabla: X Y XY X^2 0.15882 0.021684 = = 1.661092 0.890496864 0.16359323 5 0.021 1.039 2.890496864 0.298 | | 0.003481 0. 08 0.076 N/m El segundo método para hallar k será usando la ecuación de oscilación de la barra.5 1 0.Por tanto la ecuación de la recta es: 𝑦 = 𝐹(𝑋) = 25.04 0.16359323 Gráfica Peso vs Deformación 4 3.1636 1. Usando la segunda ley de Newton para rotación: −𝑘𝑥𝑑 cos 𝜃 = 𝐼0 𝛼 . Cuando la barra está en una posición horizontal en equilibrio.076x + 1.06 0.5 0 0 0. el torque generado por el peso de sí mismo (y la paleta) se equipara con el torque de la fuerza elástica del resorte con una deformación inicial 𝛿.5 Peso (N) 2 y = 25.07591252𝑥 + 1.02 0.12 Deformación (m) Valor de k por el 1er método: K=25.1 0.5 3 2. Para resolver esta ecuación contamos con las siguientes mediciones: Distancia del centro de masa al eje de rotación= 0. se obtiene que el 𝐼0 se hallara despreciando los momentos de los agujeros de la siguiente forma: 1 𝐼0 = (1.0995 m y b=0.4015 m Distancia del punto de aplicación de la fuerza elástica al eje de rotación que denotamos d=0.8525)2 𝜃 = 𝐼0 𝜃̈ Recordando que el momento de inercia de la barra con largo y ancho considerables es: 1 𝐼𝐶𝑀 = 𝑀(𝐿2 + 𝑏 2 ) 12 Con L=1.8525 m Amplitud inicial =0.A. 𝑚2 .041 m La ecuación del M.4015)2 12 𝐼0 = 0.S de la barra será −𝑘𝑥(0.7662(0.8525) cos 𝜃 = 𝐼0 𝜃̈ Como x = d(𝜃) y el valor de cos 𝜃 = 1 cuando 𝜃 tiende a 0.7662)(1.0362 m de datos.03622 ) + 1.09952 + 0.4628382573 𝐾𝑔. −𝑘(0. 983 3.57021646) = 𝑤0 2 Usando los tiempos obtenidos en un solo caso Tiempo (s) Periodo (s) 2.314759103 .003 2.016 Como se menciona estos se hicieron bajo las mismas condiciones. A este periodo lo denotamos 𝑇1 .995 2𝜋 Sabiendo que 𝑤0 = podemos hallar el valor de k 𝑇 2𝜋 2 𝑘(1.05 1.57021646) = ( ) 0.003 3.57021646)𝜃 = 0 Donde k (1. Además el valor de 𝑤0 = 6. se realizó 5 para tener un buena aproximación al verdadero periodo el cual es el promedio. el número de oscilaciones fue 3.39534105 Este es el valor de k por el segundo método.995 𝑘 = 25.01 1. 𝑇1 = 0.Reemplazando los datos y pasando todos los términos a un solo miembro obtenemos: 𝜃̈ + 𝑘(1.01 1.95 0.91 0.970 3. 8525 y 𝑑2 = 0.6015 Con 𝑥1 = 𝑑1 𝜃 y 𝑥̇ 2 = 𝑑2 𝜃̇ y una aproximación de cos 𝜃 = 1 para 𝜃 muy pequeño.257478879% GRÁFICA DE X (cm) VS TIEMPO (s) 𝑥(𝑡) = 4.076 %𝑒 = ( ) 100% 25.PORCENTAJE DE ERROR 25.314759103𝑡 + 𝜋) CALCULO DEL VALOR DE LA CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO Usaremos la ecuación del movimiento armónico amortiguado para la barra.39534105 %𝑒 = 1. −𝑘𝑥1 𝑑1 cos 𝜃 − 𝑐𝑥̇ 2 𝑑2 cos 𝜃 = 𝐼0 𝜃̈ Se tiene que 𝑑1 = 0. .1 cos(6.39534105 − 25. Y también el valor de 𝐼𝑜 = 0.57021646)𝜃 = 0 El término que acompaña a 𝜃 es el 𝑤0 2 hallado en el caso del movimiento oscilatorio sin amortiguador.7817034229)𝜃̇ + 39.4628382573𝜃̈ Pasando todos los términos a un solo miembro y dividiendo entre 𝐼0 se obtendrá: 𝜃̈ + 𝑐(0.87618253𝜃 = 0 Además sabemos que el término que acompaña a 𝜃̇ es conocido como 2𝛾.7817034229)𝜃̇ + 𝑘(1. con esta información podemos calcular el valor de la constante de amortiguamiento de la paleta en el agua (c) si se hallara el valor de 𝛾. −𝑘(0.8525)2 𝜃 − 𝑐(0. el valor de k será igual al valor obtenido en dicho caso asique la ecuación se puede expresar como: 𝜃̈ + 𝑐(0. Sabemos por la teoría que existe una relación entre el valor de 𝛾 y el valor de la frecuencia angular del oscilador. 𝑤 2 = 𝑤0 2 − 𝛾 2 .4628382573 hallado en el caso anterior.6015)2 𝜃̇ = 0. Este será.076 3.19 1.16 1.0604 𝑠 Siendo este el periodo podemos hallar el valor de la frecuencia angular w de la siguiente manera: 2𝜋 𝑤= 𝑇 Y despejando el valor de 𝛾 tendremos. 𝑇 = 1.23 1.15 1. para ello recurrimos a los datos obtenidos en el laboratorio acerca del tiempo de la barra en dar tres oscilaciones. el número de oscilaciones fue 3 en cada caso.18 1. solo faltaría hallar el valor de w. 𝛾 = √𝑤0 2 − 𝑤 2 .063 3.050 Al igual que en el procedimiento del movimiento oscilatorio sin amortiguador.Para hallar el valor de 𝛾 es conocido el valor de 𝑤0 .060 3. estas mediciones se realizaron con las mismas condiciones. Se realizaron 5 mediciones para tener una buena aproximación al valor verdadero del periodo. Tiempo (s) Periodo (s) 3.053 3. 7817034229) Y reemplazando el valor de 𝛾 tenemos: 2(2. 𝐴0 = 4.0604 𝛾 = 2.183353814𝑡 .183353814 𝑠 −1 𝑦 = 4.183353814 𝑠 −1 Ahora usando este valor podemos hallar el valor de la constante de amortiguamiento de la paleta en el agua (c) con la siguiente relación.183353814) = 𝑐(0.1 𝑐𝑚 𝛾 = 2.87618253 − ( ) 1. 2𝛾 = 𝑐(0.1𝑒 −2.7817034229) 𝑐 = 5. esta es con los datos obtenidos.586143669 𝐾𝑔/𝑠 La ecuación de la gráfica que expresa el decremento logarítmico será la amplitud general (𝐴0 𝑒 −𝛾𝑡 ) que se va reduciendo al transcurrir el tiempo. 2𝜋 2 𝛾 = √39.Reemplazando los respectivos valores. .1𝑒 −2. GRÁFICA X (cm) VS TIEMPO (s) 𝑥(𝑡) = 4.314759103𝑡 + 𝜋) Se usó las unidades del x en cm para tener una mejor visualización y comprensión de la gráfica.183353814𝑡 cos( 6.  La frecuencia angular sin amortiguamiento es mayor que la frecuencia angular con amortiguamiento.  La teoría aplicada tiene una buena representación experimental si se omite ciertos defectos como rozamientos pequeños del aire.  Llenar el balde con agua lo suficiente para q al momento de oscilar la paleta este siempre sumergida. así se asemeja al campo teórico.  Tomar un buen número de periodos para obtener el mejor promedio del periodo del sistema. lo que indica que es un movimiento armónico sobre amortiguado.-CONCLUSIONES:  Los métodos para hallar el valor de k tienen un buen acercamiento entre si alegando que son efectivos.6.  Despreciar los momentos de inercia de los agujeros por ser muy pequeños en comparación con la magnitud de los datos. 7.  Se obtiene que el valor de 𝛾 < 𝑤0 .-SUGERENCIAS:  Nivelar adecuadamente la barra metálica en forma horizontal para que las condiciones iniciales sean las supuestas en la teoría.  La gráfica del movimiento armónico amortiguado se acerca al reposo de una forma ni tan leve ni tan brusca. .  En la gráfica de posición vs tiempo usar las unidades de posición en centímetros para que sea notable el cómo varia la gráfica. Vibraciones y ondas (Massachusetts Institute of Tecnology. Georgetown University.A.P.-BIBLIOGRAFÍA:  Hugo Medina Guzmán (2012) Física 2. Alonso.  https://es. Fondo Editorial  Optaciano Vásquez García Física General II  M. Editorial Reverte S.net/andysarangoveliz/inform e-de-fsica-ii .8. E. Finn.slideshare. J. Addison-Wesley 1995  A. ¨ Física Vol I¨. French .