www.csc-unp.blogspot.com UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Realizado por: Ing° Carlos Silva Castillo Tema: MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR 1 www.csc-unp.blogspot.com ÍNDICE Resumen 01 Parte I. Discusión del método. Cálculos y deducciones 01 1 Preliminares 01 2 Coeficientes de rigidez 05 3 Matriz de rigidez 06 4 Condensación de la matriz de rigidez 06 5 Casos particulares 09 5.1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura 09 5.2 Pórtico simétrico de la misma sección transversal: 6 Estudio de los casos extremos 11 6.1 Valor mínimo 11 6.2 Valor máximo 12 Parte II. Algunas Aplicaciones 13 Parte II. Conclusiones y recomendaciones 16 Parte III. Bibliografía 17 Anexos 18 2 por ejemplo) dependen de este valor. Cálculos y deducciones 1 Preliminares: Se hace necesario conocer. los coeficientes de rigidez para un miembro sea este una viga o columna sometido a diferentes efectos tales como la flexión o el corte. que sea del material que fuese (concreto armado. estamos en la capacidad de formar la matriz de rigidez para el pórtico mostrado: 3 . Primero. www. Es posible aplicar los diversos métodos del Análisis Estructural y demostrar que en tales circunstancias se tienen los siguientes resultados: Fig N° 01: Coeficientes de rigidez Usando este resultado elemental.blogspot.) siempre y cuando el pórtico en cuestión esté hecho de un mismo material. casi siempre. tiene que estudiar el idioma Inglés ya que la información brindada en nuestro idioma materno no siempre está completa o se da de una manera sesgada e incompleta. la información existente en el medio se presenta. acero.com MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR Resumen Dos fueron las razones que impulsaron la elaboración del presente trabajo. Segundo. estriba en que prácticamente todos los parámetros dinámicos del pórtico (tal como la frecuencia natural de vibración. se deducen y estudian varios casos particulares. para ensamblar la matriz de rigidez. lo que hace tedioso el estudio para un alumno que. terminando con algunos ejemplos prácticos donde se ilustran el poder del método obtenido. Para su deducción se ha empleado el método de la condensación estática de la matriz de rigidez.csc-unp. tiene por finalidad desarrollar un método general que permita determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular que trabaja dentro del rango elástico y que se supone axialmente rígido. madera. etc. Parte I: Discusión del Método. La importancia de conocer o calcular la rigidez lateral. en otros idiomas que no sea el español. además de la Dinámica de Estructuras. csc-unp.com Fig N° 02: Pórtico empotrado en sus bases y con características generales Donde: H = Altura de la columna de la izquierda h = Altura de la columna de la derecha L = Longitud de la viga E = Módulo de elasticidad (se supone que todo el pórtico es del mismo material) Ic1 = Momento de inercia de la columna de la izquierda Ic2 = Momento de inercia de la columna de la derecha Iv = Momento de inercia de la viga El sistema tiene tres grados de libertad (en el futuro. GDL) tal como de muestra en la figura siguiente: Fig N° 03: Grados de libertad del pórtico suponiéndolo rígido axialmente 4 . www.blogspot. Para determinar la primera columna de la matriz de rigidez. manteniéndose los otros GDL nulos. se realiza un desplazamiento unitario a lo largo del GDL x1. www. O sea x1 1 y x2 x3 0 . se dan desplazamientos o rotaciones unitarias según la dirección del GDL empleándose en cada caso los resultados de la Fig.blogspot.com 2 Coeficientes de rigidez: Dado que el sistema tiene 3 GDL. se realiza una rotación unitaria a lo largo del GDL x2. obteniéndose: Fig N° 04: Coeficientes de rigidez cuando x1 1 y x2 x3 0 Para determinar la segunda columna de la matriz de rigidez.csc-unp. por definición de coeficiente de rigidez. manteniéndose los otros GDL nulos. N° 01. obteniéndose: Fig N° 05: Coeficientes de rigidez cuando x2 1 y x1 x3 0 5 . la matriz de rigidez será de 3 3 y para obtener cada columna de dicha matriz. O sea x2 1 y x1 x3 0 . obteniéndose: Fig N° 06: Coeficientes de rigidez cuando x3 1 y x1 x2 0 3 Matriz de rigidez: Habiendo calculado los coeficientes de rigidez. es aplicable la Ley de Hooke: K F (1. se realiza una rotación unitaria a lo largo del GDL x3. como se supone que el trabajo del pórtico es bajo el rango elástico.blogspot. O sea x3 1 y x1 x2 0 .com Para determinar la tercera columna de la matriz de rigidez. www.csc-unp.2) 6 . obteniendo al ensamblar: Ic1 Ic2 6 EIc1 6 EIc2 12 E H 3 h3 2 2 H h 6 EIc1 Ic Iv 2 EIv K 4E 1 (1. Para determinar una expresión general de condensación de la matriz de rigidez para una fuerza lateral.1) H L 2 H L 6 EIc2 2 EIv Ic Iv 4E 2 h L 2 h L 4 Condensación de la matriz de rigidez: El término condensación se refiere a la disminución en tamaño de un sistema de ecuaciones por la eliminación de determinados GDL. manteniéndose los otros GDL nulos. estamos en condiciones de formar la matriz de rigidez del pórtico. Físicamente equivale a sustituir todo el pórtico por un sistema cuyo modelo matemático está dado por una masa puntual y un resorte de rigidez k* (condensada de la matriz). csc-unp. esto es a la largo del GDL x1. obtenemos el sistema: kaa a kab b f (1.5): b kbb kba a 1 (1. se obtiene: kaa kab a f k (1.2) en su forma particionada.5) Despejando b de la ecuación (1.blogspot.7) Definiendo la expresión entre paréntesis como matriz condensada k* .com Donde: K = Matriz de rigidez = Matriz de desplazamientos F = Matriz de fuerzas La matriz columna de fuerzas tiene sólo un elemento no nulo que es el primero+ ya que sólo se está suponiendo un comportamiento lateral del pórtico.9) 7 . por definición de matriz condensada: k * kaa kab kbb kba 1 (1.4) kba a kbb b 0 (1.8) De donde.4) y factorizando a : k aa kab kbb kba a f 1 (1. Representando la ecuación (1. www.6) Reemplazando en (1. Debido a esto las otras dos componentes son nulas (o sea. las que se ubicarían a lo largo de los GDL x2 y x3) ya que no hay fuerzas en dichas direcciones. y arreglando para que tenga el aspecto de la ley de Hooke: k * a f (1.3) ba kbb b 0 Desarrollando el producto matricial. www. siempre que se hable de rigidez del pórtico se refiere al valor que se obtiene al condensar la matriz de rigidez.1): 1 Ic1 Iv 2 EIv 6 EIc1 4E H L 2 Ic Ic 6 EIc 6 EIc2 L H k * 12 E 13 32 2 1 (1.10) H h H h 2 Ic Iv 4E 2 2 2 2 EIv 6 EIc L h L h Llevando a cabo las operaciones matemáticas y simplificando algebraicamente: k* 12 E H 3 LIc22 ( HIv LIc1 ) h 4 Ic1 Iv(3HIv LIc1 ) hIc2 3H 4 Iv 2 HLIc1 Iv 4h 2 3hH 4 H 2 h 2 L2 Ic12 (1.blogspot.csc-unp. Observamos su aspecto exterior complicado y de forma poco agradable para su memorización. Pero veamos algunos casos particulares en que esta expresión adopta formas más manejables y simples. En lo que sigue. es aquella que nos da el valor de la rigidez lateral del pórtico en estudio. antes que usar una fórmula general de muy complicado aspecto. por lo simplemente hablaremos de rigidez.11) h H 3hHIv 4 LIv hIc1 HIc2 4 L Ic1 Ic2 3 3 2 2 Dividiendo a numerador y denominador entre Iv tenemos: Ic 2 12 E H 3 LIc22 ( H L 1 ) h 4 Ic1 (3HIv LIc1 ) hIc2 3H 4 Iv HLIc1 4h 2 3hH 4 H 2 h 2 L2 1 Ic Iv Iv (1.com Fig N° 07: Interpretación física de la condensación de la matriz de rigidez Condensando la matriz de rigidez del pórtico dada por la ecuación (1.12) k* Ic Ic h3 H 3 3hHIv 4 L hIc1 HIc2 4 L2 1 2 Iv Esta expresión es precisamente la que andamos buscando. O sea k * k 8 . razón por la cual se prefiere en un ejercicio práctico comenzar por la formación y ensamblaje de la matriz de rigidez y luego llevar a cabo el cálculo de su condensada. debe cumplirse que Ic1 Ic2 Ic .1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura: Para el caso en que las dos columnas del pórtico tienen la misma altura.2 Pórtico simétrico con columnas de igual altura y de la misma sección transversal: Además de la condición = ℎ. teniendo cada una diferente sección transversal.com 5 Casos particulares: 5. con columnas de igual momento de inercia 9 . 5. obtenemos: Fig N° 09: Pórtico simétrico.7). esto es si = ℎ. Imponiendo esta condición en (1. con columnas de diferente momento de inercia Ic Ic 2 12 E h 3 LIc22 ( h L 1 ) h 4 Ic1 (3hIv LIc1 ) hIc2 3h 4 Iv 11h 3 LIc1 h 2 L2 1 Iv Iv (1.csc-unp.13) k Ic Ic h 6 3h 2 Iv 4hL Ic1 Ic2 4 L2 1 2 Iv Podemos observar que aún conserva su aspecto poco amigable aunque sólo un poco simplificada. reemplazando en (1. www.6) se obtiene: Fig N° 08: Pórtico simétrico.blogspot. blogspot. estudiemos la variación de como función de los parámetros y 3 j 2 j . www. la ecuación anterior queda: Iv L 12 EIc 6 j k (1. se obtiene el gráfico siguiente para diferentes valores del parámetro j : Fig N° 10: Variación del parámetro 10 .16) h 3 3 j 2 6j Llamando .14) Ic h3 3h 2 L Iv Dividiendo a numerador y denominador entre L y reordenado. se tiene: h Ic 6 12 EIc L Iv k (1.csc-unp.15) h3 3 h 2 Ic L Iv Para simplificar la ecuación anterior y hacerla más manejable. introducimos los siguientes Ic h parámetros y j .com Ic 12 EIc 6h L k Iv (1. cuando la altura del pórtico es nula ( h 0 ) o despreciable en comparación con la longitud de la viga ( L ) b.5 2 (1. la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces de columnas en ausencia de viga: EIv EIv k columnas 3 h 3 6 3 h (1. que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es nula o despreciable ( Iv 0 ). cuando la viga no tiene rigidez alguna. se tiene este valor ante dos posibilidades: a. Esto quiere decir.1 Valor mínimo EIc km í n 6 (1. obtenemos finalmente los valores extremos de la rigidez: EIc EIc 6 3 k 24 3 (1. De la ecuación (1. Formalmente hablando.17) Este resultado es muy importante. j 0 que ocurre. a su vez.com Analizando este gráfico llegamos a determinar los valores extremos que puede tomar este parámetro . En este caso.20) h3 Matemáticamente hablando.19) h h 6 Estudio de los casos extremos: 6.16) y de la definición del parámetro : 12EIc k (1.blogspot. el mínimo valor es 0.csc-unp. este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) es cero o despreciable ( EIv 0 ) Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para el caso en que la viga carece de rigidez ( EIv 0 ).5 y el máximo es 2 0. quiere decir que el valor de la rigidez lateral de un pórtico simétrico rectangular que tiene idénticas secciones transversales en las columnas. www.17).21) 11 .18) h3 Introduciendo los valores extremos que puede tomar el parámetro y que se resumen en la ecuación (1. está limitado entre dos extremos. como se puede observar en la siguiente Fig N° 11. pero diferente módulo de elasticidad. la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces de columnas: EIv EIv k columnas 12 h 3 24 3 h (1. Esto quiere decir.22) h3 Matemáticamente hablando. cuando la viga es completamente rígida. En este caso. ya que tiene mayor valor del módulo de elasticidad. pero por obvias razones de estabilidad y seguridad estructural es absurdo que se tenga una columna carente de rigidez ¡Pues el pórtico se desploma! Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para el caso en que la viga se puede suponer como completamente rígida ( EIv ).2 Valor máximo EIc km áx 24 (1. www. este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) es muy grande o infinita1 ( EIv ). 12 .23) 1 Esto es lógico por cuanto la rigidez de un elemento no sólo está dada por la forma de la sección transversal sino también por su módulo de elasticidad. cuando la altura del pórtico es infinita ( h ) o muy grande en comparación con la longitud de la viga ( L 0 ) b. Tienen el mismo momento de inercia. Es posible que también se halla llegado a este resultado cuando el momento de inercia de las columnas es nula o despreciable ( EIc 0 ). j que ocurre.com Fig N° 11: Caso del pórtico con viga de rigidez despreciable 6. Pensemos en dos barras de las mismas dimensiones pero una de plástico y la otra de acero. razón por la cual más rígida será la barra de acero que la de plástico. a su vez. Formalmente hablando. como se puede observar en la siguiente Fig N° 12. se tiene este valor ante dos posibilidades: a.blogspot. 0 que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es infinita o muy grande en comparación con el de las columnas ( Iv ).csc-unp. 40m0.35m y viga = 0. La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo. usando la Ec. www.35m0.com Fig N° 12: Caso del pórtico con viga completamente rígida Parte II: Algunas aplicaciones Ejemplo 01: Determinar la rigidez lateral del siguiente pórtico de concreto armado con f 'c 210 kg / cm 2 las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.blogspot.40m. Col 2 = 0. (1.60m.csc-unp.12): 13 .30m0. (1.45m0.30m0.com Ejemplo 02: Determinar la frecuencia natural de vibración para un pórtico de concreto armado con f 'c 280 kg f / cm 2 las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.20 105 t 105000 kg Finalmente hallamos la frecuencia natural de vibración: k 3447.csc-unp.1812 rad/s m 105000 kg 14 .6815 kg / s 2 0.50m.13): Calculamos la masa como una cantidad puntual: m 25 4. despreciar la masa del pórtico.40m y viga = 0. La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo. usando la Ec. www.50m0.45m. Col 2 = 0. Se puede suponer una masa distribuida uniformemente en el techo de 25 t/m.blogspot. (1.blogspot.com Ejemplo 03: Hallar una expresión general que permita determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular simétrico. donde tanto la viga como las columnas tienen el mismo momento de inercia I.csc-unp. Este ejemplo se resuelve aplicando directamente la Ec.16). donde los valores de los Ic I h h 1 parámetros ahí encontrados son 1 y j . 6j graficar la función 3 j 2 15 . Reemplazando estos resultados en la Iv I L 2h 2 citada ecuación: 1 6 1 12 EI 2 96 EI k 3 h 3 2 1 7 h3 1 2 Ejemplo 04: Hallar el gráfico tridimensional de la variación del parámetro en función de y j. www. además. O sea. la longitud de la viga es el doble del valor para la altura de las columnas. 4. Los resultados de dichas verificaciones se adjuntan en el anexo correspondiente.csc-unp. han sido verificados empleando los softwares Mathematica® y la hoja de cálculo Excel®. tuvieron (dentro de la precisión de los cálculos y del programa usado) los mismos resultados. quedando verificado que los métodos algebraicos y deducidos en este trabajo son fiables y seguros.blogspot. Se ha desarrollado un método general para determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular axialmente rígido y que trabaja en el rango elástico. 16 . El conocimiento del parámetro llamado rigidez lateral es fundamental para la determinación de muchos parámetros mecánicos de un pórtico. pero deducidos de éstos. sin cuyo valor nada podría hacerse para calcular el periodo de vibración. fundamentalmente del método estático de condensación de la matriz de rigidez. 3. Los ejemplos planteados y resueltos. 2. empleando fórmulas y métodos algebraicos en vez de métodos matriciales. Los ejemplos resueltos en este trabajo empleando las fórmulas algebraicas obtenidas para el cálculo de la rigidez lateral de un pórtico rectangular. www.com Parte III: Conclusiones y recomendaciones 1. por ejemplo. Mario – LEIGH. “GLOBAL STRUCTURAL ANALYSIS OF BUILDINGS” E & FN SPON London – 2000 – 334 pp 3.csc-unp. Anil K. Karoly A. www. William.0 CHOPRA.com Parte IV: Bibliografía 1.Theory and Aplications to Earthquake Engineering” PRENTICE HALL Printed in the United States of America – 1995 – 730 pp 17 .blogspot. “STRUCTURAL DYNAMICS – Theory and Computation – Updated with SAP2000” KLUGER ACADEMIC PUBLISHERS Printed in the United States of America – 2004 – 844 pp 2.0 ZALKA. “DYNAMICS OF STRUCTURES .0 PAZ. .4G . 7 103 103 112 546 875 210 3 240 000 000 210 278 162 187 500 210 . Ic1 Ic2 6 G Ic1 6 G Ic2 Out[4]= . 961 103 3193 . H3 h3 H2 h2 . www. .csc-unp. 4 379 277 7 961 10 10 . .4G H 2 H L L h2 L h L In[5]:= G 15 000 210 Out[5]= 15 000 210 In[14]:= Ic1 40 403 12 640 000 Out[14]= 3 In[15]:= Ic2 35 353 12 1 500 625 Out[15]= 12 In[16]:= Iv 30 603 12 Out[16]= 540 000 In[17]:= H 420 Out[17]= 420 In[18]:= h 310 Out[18]= 310 In[19]:= L 515 Out[19]= 515 In[20]:= K 10 10 . . .com 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 In[4]:= K 6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L 6 G Ic2 h2 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 12 G . 16 000 000 21 202 000 000 000 21 3 240 000 000 210 . 6 G Ic1 Ic1 Iv 2 G Iv 6 G Ic2 2 G Iv Ic2 Iv .blogspot. 117 152 040 625 21 16 000 000 21 112 546 875 210 Out[20]= . . 2 .csc-unp.blogspot.com 2 Untitled-1 In[21]:= 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 . 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L 6 G Ic1 H2 . www. 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 6 G Ic2 h2 Inverse 10 105 215 247 461 950 557 846 875 28 967 052 932 409 375 21 2 In[22]:= 8 645 537 871 461 967 117 626 365 598 122 10 105 215 247 461 950 557 846 875 28 967 052 932 409 375 21 2 In[24]:= N 8 645 537 871 461 967 117 626 365 598 122 Out[24]= 15 396. blogspot. Ic1 Ic2 6 G Ic1 6 G Ic2 Out[4]= . . H3 h3 H2 h2 . 6 G Ic1 Ic1 Iv 2 G Iv 6 G Ic2 2 G Iv Ic2 Iv .4G . . . 14 277 600 70 109 350 000 70 69 120 000 70 Out[32]= . www. 312 500 000 169 13 7 10 16 189 000 000 7 69 120 000 70 10 .com 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 In[4]:= K 6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L 6 G Ic2 h2 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 12 G . .csc-unp. 20 882 500 000 7 109 350 000 70 10 . 169 7 13 . 2197 169 169 10 . 312 500 000 .4G H 2 H L L h2 L h L In[25]:= G 15 000 280 Out[25]= 30 000 70 In[26]:= Ic1 50 453 12 759 375 Out[26]= 2 In[27]:= Ic2 45 403 12 Out[27]= 240 000 In[28]:= Iv 30 503 12 Out[28]= 312 500 In[29]:= H 325 Out[29]= 325 In[30]:= h 325 Out[30]= 325 In[31]:= L 420 Out[31]= 420 In[32]:= K . . 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 6 G Ic2 h2 Inverse 791 359 496 773 200 70 Out[33]= 188 392 976 291 791 359 496 773 200 70 In[34]:= N 188 392 976 291 Out[34]= 35 144.6 .csc-unp.blogspot. www.com 2 Untitled-1 In[33]:= 12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 . 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L 6 G Ic1 H2 .
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