1Cátedra: Geotopografía Unidad Temática 3 Teodolitos El teodolito es el más perfeccionado de los goniómetros; permite medir ángulos horizontales y verticales. Descripción general El teodolito se compone esencialmente de la base, el limbo y la alidada. La base se fija al trípode por medio de un tornillo que se aprieta al colocar el teodolito sobre el trípode. La base nivelante posee tres tornillos llamados calantes o nivelantes que permiten centrar la burbuja de los niveles esférico y tórico. Sobre la base nivelante se encuentra el limbo graduado (limbo acimutal), cuyo movimiento está en función del tipo de teodolito del que se trate, y que se mantiene inmóvil respecto de la base con un tornillo de sujeción que el operador puede accionar. Estando este último ajustado se pueden dar pequeños movimientos al limbo a través del tornillo de pequeño movimiento correspondiente. El limbo es el círculo graduado donde se lee la magnitud de los ángulos medidos en los planos horizontales; en general, se lo construye en cristal. Sobre el limbo, y concéntrica con éste, se encuentra la alidada, que gira con respecto al primero en las operaciones de medición. Para ello, se afloja el tornillo de presión de la alidada, en tanto que si se requiere que ésta se mueva muy poco se lo ajusta para poder accionar el tornillo de pequeños movimientos de la alidada. En la alidada se encuentran los dos soportes del eje del anteojo (eje secundario), el nivel tórico, los dispositivos de lectura de los limbos (acimutal y cenital), y sobre el eje del anteojo, pero perpendicular a éste, el círculo cenital del teodolito, con su limbo graduado. También hay un tornillo para la fijación del anteojo, junto al cual está el que permite sus movimientos finos. El conjunto se completa con la plomada, elemento que permite hacer estación correcta con el teodolito. Clasificaciones La principal diferencia entre teodolitos se hace entre los repetidores y los reiteradores. (Fig. Nº1) Tedolito repetidor: es aquel que permite el giro de la alidada sola con respecto al limbo, y además el giro de la alidada y el limbo en conjunto. Con él pueden medirse ángulos tanto por el método de repetición como por el de reiteración. Teodolito reiterador: en él el movimiento del limbo puede efectuarse independientemente de todo otro movimiento, por un sistema de cremallera accionado por un tornillo de reiteración. Este tipo de teodolito permite medir ángulos sólo por el método de reiteración. Referencias de la figura Nº1: TFL- tornillo de fijación del limbo. TPML- tornillo de pequeños movimientos del limbo. TFA- tornillo de fijación de la alidada. TFAA- tornillo de fijación del anteojo astronómico. TPMAA- tornillo de pequeños movimientos del anteojo astronómico. TR- tornillo reiterador 2 Figura Nº2 Figura Nº1 Otra forma de clasificar los teodolitos es en: Teodolitos ópticos: aquellos en que por reflexión y refracción de rayos de luz se ven las imágenes de los limbos acimutal y cenital proyectados en un microscopio que aumenta su imagen. Teodolitos no ópticos: en ellos, la lectura se hace directamente sobre el limbo. También se los puede distinguir de acuerdo al dispositivo de lectura del instrumento: - Vernier circular. - A escala. - Micrómetro óptico. - Electrónico (lectura digital). Dispositivos de lectura en los teodolitos Los instrumentos topográficos que se emplean para la medición de ángulos tienen los limbos graduados con divisiones en partes iguales, pudiendo ser en grados sexagesimales o centesimales, tercios de grados (20 minutos), decenas de grados u otras. En esta situación, si el índice ubicado en la alidada señala un trazo de la graduación la lectura se efectúa inmediatamente; pero si el índice cae entre trazos consecutivos es preciso conocer la fracción de grado entre el trazo precedente y lo indicado, para lo cual existen distintos dispositivos. En caso de no requerirse mayor precisión, la fracción se estima "a ojo", en tanto que para lograr mediciones precisas se emplean dispositivos especiales, como los que se describen a continuación. Sistema a vernier (o nonio): compuesto por una pequeña escala que, ubicada en la alidada, se desliza frente al limbo graduado, con el cual es concéntrica, provista de una graduación en partes iguales. El trazo desde el cual se inicia la división del vernier (O) constituye el índice; se denomina l' la magnitud de la división del vernier y l la menor división del limbo. Se llama apreciación A del vernier a la diferencia entre l y l', calculada de acuerdo a la figura Nº2: Apreciación: A = l - l' (1) Arco medido en el vernier siendo n el número de divisiones del vernier: AB = n · l' (2) Arco medido en el limbo: AB = (n - 1) · l Igualando (1) y (2): n · l' = (n - 1) · l n · l' = nl - l nl - nl' = l n (l - l') = l ⇒ A = l - l' = l /n 3 Figura Nº4 Es decir que "la apreciación del vernier es igual a la menor división del limbo dividida por el número de divisiones del vernier"; en la figura anterior: A = l / n = 20' / 10 = 2'. Ejemplo: en la figura Nº3 Lectura gruesa: Lg = 215º 20' Lectura fina: Lf = AB = AC - BC = xl - xl' = x · (l - l') = 4 · 2' = 8' Lectura final: L = 215º 28' Debe recordarse que "la fracción a medir con el vernier es igual al producto del número de divisiones del vernier desde el índice hasta el trazo que coincide con el trazo del limbo, multiplicado por la apreciación". Sistema a escala: el microscopio a escala está constituido por un microscopio que tiene una placa con una escala grabada en una placa de cristal y dispuesta a una distancia tal que la imagen del limbo se superpone con la imagen de la escala (Fig. Nº4), con lo cual, por ejemplo, la lectura en la figura es: Limbo Vertical: Lectura gruesa - Lg = 86º Lectura escala - Le = 32,5' Lectura final - L = 86º 32' 30'' Limbo horizontal: Lectura gruesa - Lg = 265º Lectura escala - Le = 28' Lectura final - Lf = 265º 28' Sistema de lectura con micrómetro óptico: se acciona para obtener lecturas más precisas. Al mover el tornillo que le corresponde, se gira un tambor de cristal graduado en su perímetro, y que en la figura Nº5 se muestra en el cuadro superior; un giro completo del tambor corresponde a la menor unidad marcada en el limbo. Se opera de la siguiente manera: se gira el tornillo del micrómetro óptico hasta desplazar el índice la distancia x (Fig. Nº6), hasta coincidir con el trazo más próximo, con lo cual el micrómetro marcará la fracción fina. Figura Nº5 Figura Nº6 Lectura del limbo horizontal: L = 5º 13' 30'' Sistemas ópticos de lectura Los sistemas ópticos de lectura, distintos de acuerdo al modelo del aparato, se basan en hacer que los rayos de luz que llevan las imágenes de los limbos se reflejen y refracten sucesivamente hasta quedar proyectados en una pequeña pantalla que se observa a través de un microscopio. Este último parso permite mayor apreciación. Figura Nº3 4 Figura Nº8 Figura Nº10 Sistema de ejes en el teodolito. Condiciones que deben cumplirse En la figura Nº7 se aprecia la ubicación de los ejes que se mencionan a continuación. Eje principal: es el eje de giro de la alidada. (ep) Durante la medición de un ángulo el eje principal debe estar perfectamente vertical. Caso contrario, las lecturas en los limbos estarán afectadas de un error que se denomina error de verticalidad, cuya verificación y corrección se verá más adelante. Eje secundario: es el eje de giro del anteojo. (es) Debe estar perpendicular al eje principal; al no cumplir esta condición las lecturas estarán afectadas de un error denominado error de inclinación del eje secundario. Eje de colimación: es la recta imaginaria determinada por el centro óptico de la lente objetivo y el cruce de los hilos del retículo. (ec) Este eje debe encontrarse perpendicular al eje secundario. Si esto no se cumple se tendrá en las lecturas un error denominado de colimación. Figura Nº7 Operaciones comunes a todos los teodolitos En la medición de un ángulo horizontal deben seguirse las siguientes operaciones en orden cronológico: 1. Hacer estación: significa ubicar el teodolito en el vértice del ángulo a medir. Para ello se utiliza la plomada de que está provisto todo teodolito. La plomada puede ser: - de hilo - óptica (Fig.Nº8) - rígida o bastón plomada (Fig.Nº9) El grado de prolijidad de esta operación depende, además de la precisión que se desea, de la distancia del aparato a los objetos que materializan los lados del ángulo. (En la Fig.Nº10, con los jalones A y B.) 2. Calaje del teodolito: con los nivelas esférico y/o tórico se verticaliza el eje principal, operación ya explicada en la unidad anterior. 3. Se bisecta el lado izquierdo del ángulo a medir y se efectúa la primer lectura en el limbo acimutal (L A ). 4. Se bisecta el lado derecho del ángulo y se hace la lectura en el mismo limbo. (L B ) 5. Cálculo de la medida del ángulo: De la figura: AOB= L B - L A Figura Nº9 5 Errores que afectan la medición de los ángulos horizontales — Error de verticalidad. — Error de colimación. — Error de inclinación del eje secundario. — Error de excentricidad de la alidada. — Error de arrastre del limbo. — Error de defectuosa graduación del limbo. — Error de defectuosa lectura. — Error de defectuosa puntería. Error de verticalidad Existe cuando el eje principal no se encuentra perfectamente vertical, es decir, cuando no se hizo un calaje perfecto. Esto afecta la exactitud de las lecturas en el limbo (Fig.Nº11). LvP es la lectura en el limbo cuando el eje principal esta estrictamente vertical (lectura verdadera). LP es la lectura obtenida con el eje principal inclinado un ángulo v con respecto a la vertical. El error en la lectura será: v = LP - LvP Se demuestra que este error responde a la siguiente expresión: εv= v · sen u · tg h (1) Donde: h: ángulo vertical que forma la visual al punto bisectado (P) con respecto a la horizontal u: de la figura Nº11 La fórmula (1) nos dice que cuando bisectamos un punto con visual horizontal, la influencia del error es nula pues: para h = 0º ⇒ tg h = 0 ⇒ εv mín = 0 Mientras que cuando se bisecta un punto elevado: para h → 90º ⇒ tg h → ∞ ⇒ εv máx → ∞ Por lo tanto, a medida que se bisecta un punto más elevado, debe ser más prolijo el calaje del teodolito a fin de que la medición no se vea afectada por este error. Figura Nº11 Error de colimación Cuando el eje de colimación no se halla perpendicular al eje secundario, las lecturas en el limbo acimutal están afectadas de un error llamado error de colimación. En la figura Nº12 LvP es la lectura cuando el eje de colimación es normal al eje secundario y LP cuando no lo es. La magnitud del error es: εc = LP - LvP Se demuestra que: εc = c · sec h (2) Cuando se bisecta un punto con visual horizontal (h = 0º) se tendrá el valor mínimo de este error, pues: sec h = 1 ⇒ εc mín = c En caso de bisectarse un punto elevado, con h→90º, se tendrá el valor máximo del error, ya que: sec h → ∞ ⇒ εc máx → ∞ Figura Nº12 6 Lo que indica que cuanto más elevada sea la visual, mayor influencia tendrá este error. Por lo tanto, es necesario colocar perpendicular el eje de colimación al eje secundario (eliminar c). Para verificar y eliminar el error de colimación, se procede del modo siguiente, de cuerdo a las referencias de las figuras Nº13 y Nº14: 1. Después de realizar el calaje, en posición directa, se bisecta un punto con visual horizontal (jalón J en la figura Nº14) y se efectúa la lectura en el limbo (L1). Los ejes están en la posición marcada con subíndice 1. 2. Se da vuelta de campana al anteojo (los ejes en posición con subíndice 2). La lectura en el limbo acimutal es la misma (L2=L1). 3. Se gira la alidada hasta provocar en el limbo una lectura L3 = L1 + 180º es decir, se gira 180º, con lo cual los ejes pasaran a las posiciones con subíndice 3. Si el jalón J no aparece bisectado, como ocurre en nuestro caso, significa que existe error de colimación. En la figura Nº13 se muestran las imágenes que el operador ve a través del anteojo en las sucesivas etapas. Figura Nº13 Los pasos siguientes son para corregir el error detectado. 4. Se gira la alidada (con el tornillo de pequeños movimientos), hasta bisectar el jalón. Los ejes están ahora en la posición 4 y la lectura habrá variado (L4). 5. Se calcula la lectura promedio entre las dos últimas como Lp = ½ (L3 + L4) y, accionando el tornillo de pequeños movimientos de la alidada, se provoca esta lectura promedio en el limbo, mientras que los ejes quedan en la posición marcada con 5. El jalón no aparece bisectado, puesto que se halla a mitad de camino entre las posiciones 3 y 4. 6. Se accionan los tornillos propios del retículo, ubicados a ambos lados del éste (Fig. Nº15), que permiten girar el eje le colimación hasta bisectar el jalón. La posición de los ejes es la 6. El eje de colimación se encontrará ahora perpendicular al eje secundario. Figura Nº15 NOTA: Cada vez que se bisecta el jalón J, se coloca el eje le colimación horizontal, para eliminar la influencia de los errores de verticalidad y de inclinación. 1 2 3 4 5 6 L 1 L 2 = L 1 L 3 = L 2 + 180º L 4 Lp = ½ (L 3 + L 4 ) Lp Figura Nº14 7 Figura Nº18 Error de inclinación del eje secundario Existe en el teodolito cuando el eje secundario no es perpendicular al eje principal. Por lo tanto, cuando el eje principal mediante el calaje se coloca vertical, el eje secundario estará entonces inclinado(no horizontal), como se aprecia en la figura Nº16. Figura Nº16 Figura Nº17 Las lecturas en el limbo están afectadas por este error. De acuerdo a la figura Nº17, LvP es la lectura cuando no existe error de inclinación, en tanto que LP es la lectura afectada por este error. Resulta: εi = LP - LvP Se demuestra que: εi = i · tg h (3) Cuando se bisecta un punto con visual horizontal: para h = 0º ⇒ tg h = 0º ⇒ εi mín = 0. En caso de ser un punto elevado: para h → 90º ⇒ tg h → ∞ ⇒ εi máx. → ∞. Por lo tanto, cuanto más elevada es la visual tanto más afecta este error a las lecturas en el limbo. Entonces, es necesario colocar el eje secundario normal al eje principal (eliminar i). Para verificar y eliminar este error existen varios métodos, de los cuales los más conocidos son tres: - De la plomada - De la regla horizontal. - Bisectado un punto elevado en las dos posiciones del anteojo. Método de la plomada: consiste en colocar una plomada con un hilo lo más largo posible. Con el teodolito a cierta distancia, previa corrección de los errores de verticalidad y de colimación, se bisecta el hilo de la plomada con visual horizontal(A). Se gira luego el anteojo alrededor del eje secundario. Si, como ocurre en figura Nº18, no se sigue bisectando la plomada (B), existe el error de inclinación. Para corregirlo, se accionan los tornillos le corrección del eje secundario, hasta volver a bisectar el hilo de la plomada (C). Girando ahora el anteojo, se deberá bisectar el hilo de la plomada en todo su recorrido. ep E S i i 8 Método de la regla horizontal: se coloca una regla graduada horizontal. A cierta distancia se hace estación con el teodolito, se efectúa el calaje y, en posición directa, se bisecta un punto elevado arriba de la regla(P), como se aprecia en la figura Nº19. A continuación, se gira el anteojo alrededor del eje secundario hasta bisectar la regla efectuando la lectura en la misma con el hilo vertical el retículo(LA) Luego, se bisecta el mismo punto elevado, ahora en posición inversa, y se gira el anteojo hasta bisectar la regla, obteniendo una lectura(LB). Si LB ≠ LA significa que existe error de inclinación. Se accionan entonces los tornillos ya citados (Fig. Nº20), hasta provocar la lectura promedio Lp = ½ (LA + LB). Figura Nº19 Bisectando un punto elevado en las dos posiciones del anteojo: Habiendo hecho estación y el calaje del teodolito, en posición directa se bisecta un punto elevado (P). Se hace la lectura en el limbo acimutal (L1) y se da vuelta de campana. Luego, se gira la alidada 180º (se provoca una lectura L2 = L1 + 180º): estaremos ahora en posición inversa. Si se bisecta nuevamente el punto P (con lectura L3), no existe error; en caso contrario, debe corregirse. Para conseguir esto último, se gira la alidada hasta bisectar P; habrá entonces una lectura L4. Se calcula el promedio Lp = ½ (L3 + L4) y accionando el tornillo de pequeños movimientos de la alidada se provoca esta lectura promedio. Finalmente, se bisecta el punto P con los tornillos de corrección del eje secundario. NOTA: Se observa que la verificación y corrección del error de inclinación por este método se parecen a los explicados para el error de colimación, con la diferencia de que para corregirlo se accionan distintos tornillos, y es distinta la inclinación de la visual. Error de excentricidad de la alidada Se presenta cuando por uso intenso u otra causa, el centro de giro de la alidada no coincide exactamente con el centro geométrico del limbo. Aún con valores muy pequeños de esta excentricidad, su influencia en las lecturas en el limbo pueden ser importantes como se verá más adelante. Sea O el centro del limbo y O’ el centro le giro le la alidada, en la figura Nº21. La alidada gira alrededor de O' y cuando bisectamos un punto J giró realmente un ángulo α con respecto al 0º, pero el índice señala una lectura α' (pues las divisiones del limbo están dirigidas a O y no a O.’). Si O y O’ fueran coincidentes α sería igual α'. En el triángulo OO'I se tiene que el ángulo en el índice I es ε (error por la excentricidad le la alidada). Es: ( ¸ ( ¸ = ε ( ¸ ( ¸ α = ε ⇒ α = ε º 90 sen . R ' OO sen arc sen . OI ' OO sen arc sen . OI ' OO sen máx Siendo R el radio del limbo. Figura Nº20 9 Figura Nº21 Por ejemplo: OO' = 0,06mm y R = 40mm;el error máximo es: e máx = arc sen (0,06mm / 40mm) = 5' 09'' (error de gran importancia). Por ello, algunos teodolitos (llamados de dos índices) tienen otro índice diametralmente opuesto a I, llamado "índice corrector" (designado con II), que permite eliminar la influencia del error de excentricidad de la alidada del modo que se detalla a continuación. El índice I ("índice director") señala en el limbo una lectura α + ε y el índice II una lectura α + 180º - ε, situación que se distingue en la figura. Así, tomando el promedio: α = α = − ε − + α + ε + α = − + 2 2 2 º 180 º 180 2 º 180 II I (lectura correcta) La fórmula general es: 2 º 180 II I ± + - corresponde signo - cuando I < 180º - corresponde signo + cuando I > 180º Ejemplo 1: I = 144º 52’ 10” II = 324º 48’ 30” 2 º 180 II I ± + = 144º 50’20” Ejemplo 2: I = 232º 25’ 30” II = 52º 23’ 10’ 2 º 180 II I ± + = 232º 24’20” En algunos teodolitos ópticos, mediante una serie de reflexiones de los rayos luminosos, se consigue que las imágenes de dos porciones diametralmente opuestas del limbo, se proyecten una al lado de la otra y en sentido contrario. Un índice, accionado por el tornillo micrométrico, es ubicado por el operador en una posición media de tal modo que la lectura que entonces se efectúa, es directamente la que corresponde a la fórmula (1) y, por lo tanto, desprovista del error de excentricidad de la alidada. Por ejemplo, en la figura Nº22 aparecen las imágenes de los limbos y del micrómetro de un teodolito Kern modelo DKM1. En la parte superior se encuentra la imagen del limbo vertical, en el medio la del limbo acimutal y debajo, la del micrómetro óptico. Los limbos (tanto vertical como acimutal), tienen dos graduaciones concéntricas. La imagen de un sector de una de las divisiones aparece, juntamente con la del sector diametralmente opuesto de la otra y con la graduación en forma de trazos dobles a causa de una serie de reflexiones de los rayos según puede verse en la parte inferior de la figura. Estos trazos dobles aparecen ligeramente desplazados uno respecto del otro. Con el tornillo del micrómetro óptico, el trazo del índice se lleva a una posición simétrica entre los dos trazos del trazo doble. Por lo tanto la lectura será el promedio de dos zonas diametralmente opuestas y estará exenta del error de excentricidad de la alidada. Otra variante se obtiene aplicando el método de ‘la coincidencia’. Un ejemplo de este sistema es el teodolito Wild 12. En la figura Nº23, a la izquierda, aparece la imagen de dos zonas diametralmente opuestas del limbo antes de la coincidencia de los trazos. Se acciona entonces el tornillo del micrómetro óptico hasta la coincidencia de los trazos de ambas porciones del limbo (centro); recién ahora estamos en condiciones de leer. También aquí queda eliminada la influencia del error de excentricidad de la alidada pues con el índice se efectúa la lectura promedio de dos zonas diametralmente opuestas del limbo, según la fórmula ya enunciada. Figura Nº22 10 Figura Nº23 NOTA: en los teodolitos denominados “de un solo índice", se obtiene la lectura del único índice que posee (índice I), es decir de una sola zona del limbo, en cuyo caso no puede ser eliminada la influencia de un eventual error de excentricidad de la alidada. En este caso, con el recurso de efectuar las lecturas en las dos posiciones del anteojo (directa e inversa) al tomar el promedio de ambas Lp = ½ (Ld + Li ± 180º) queda eliminada la influencia del error. En esta fórmula corresponde signo (-) cuando Ld < 180º, y signo (+) si Ld > 180º. Error de arrastre del limbo Puede ocurrir en un teodolito repetidor, que el tornillo de ajuste del limbo a la base nivelante no solidarice perfectamente a ambos y, cuando gira la alidada para barrer el ángulo, gire un pequeño ángulo, produciendo un corrimiento del 0º del limbo. Como veremos mas adelante, este error puede ser eliminado aplicando el método Bessel. Error por defectuosa graduación Por el limitado grado de precisión con que se pueden ejecutar las divisiones del limbo, puede resultar que los intervalos de las graduaciones no sean todos iguales entre sí. Se derivan entonces errores en la medida de los ángulos que, si no pueden ser completamente eliminados, llegan a atenuarse haciendo la media de varias lecturas en posiciones diversas del limbo graduado. A tal objeto, se utilizan métodos especiales de medidas de ángulos, como el de ”repetición” y el de ”reiteración". Error por defectuosa lectura El más importante es el de ”paralaje”. Se comete este error cuando los planos de las graduaciones del limbo y del índice (por ejemplo graduación del vernier), no coinciden (Fig. Nº24). En este caso, de acuerdo con la posición del ojo del operador, varían los trazos del limbo y del vernier que parecen coincidir. Puede ocurrir también que las graduaciones de limbo y vernier, si bien están en un mismo plano, están separadas (Fig.Nº25) presentándose también la posibilidad de error de lectura por la incertidumbre de determinar qué trazos de limbo y vernier coinciden. Otro caso es que, por ser gruesos los trazos, también se generen dudas en las lecturas. (Fig. Nº26). Errores por defectuosa puntería Una condición indispensable para obtener buenas visuales es no tener paralaje en las imágenes del retículo con respecto al objeto bisectado (ver la unidad temática anterior). A menudo, las visuales se hacen difíciles por las condicionas atmosféricas (reverberación atmosférica) que ocasionan una deformación de las imágenes. También se cometen errores de defectuosa lectura cuando se bisecta un jalón muy cercano, apareciendo una imagen muy gruesa que causa incertidumbre en la bisección de la mitad. Figura Nº25 Figura Nº26 Figura Nº24 11 Medición de ángulos horizontales con teodolito: Métodos Entre los métodos de medición de ángulos encontramos: Método Simple Método Bessel Método de Repetición Método de Reiteración Método Simple Sea A0B el ángulo a medir (Fig.Nº27). La visual hacia A es el lado izquierdo y la visual a B el lado derecho. Los pasos que se siguen son: 1º. Estación con el teodolito en el vértice O. (Ver “Operaciones comunes a todos los teodolitos”). 2º. Calaje del teodolito: consiste en colocar perfectamente vertical el eje principal, a través de los niveles de burbuja. 3º. Se gira la alidada (en posición directa), hasta bisectar A, y se efectúa la lectura en el limbo acimutal (LA). 4º. Siempre en posición directa, se gira la alidada hasta bisectar B, y se lee LB. 5º. Se calcula la medida del ángulo: AOB = LB - LA Supongamos ahora que el 0º del limbo esté ubicado entre las visuales a P y R desde Q (Fig. Nº28). Se deduce de la figura que la medida del ángulo será: PQR = LR - LP + 360º Para ordenar los datos y cálculos se utiliza una planilla como la que sigue, donde se indican dos ejemplos numéricos. Los valores indicados en los ejemplos corresponden a un teodolito de dos índices. Lecturas Vértice Punto Visado I II ½ (I + II ± 180º) Ángulo A 42º 26' 10'' 222º 24' 10'' 42º 25' 10'' O B 104º 15' 40'' 284º 16' 20'' 104º 16' 00'' 61º 50' 50'' P 339º 11' 20'' 159º 11' 00'' 339º 11' 10'' Q. R 52º 28' 00'' 232º 29' 00'' 52º 28' 30'' 73º 17' 20'' Crítica al método Ventajas: Método rápido. Desventajas: No elimina ni reduce los eventuales errores de colimación, verticalidad, inclinación del eje secundario, arrastre del limbo, defectuosa graduación del limbo, defectuosa lectura, defectuosa puntería y, en teodolitos de un solo índice, de excentricidad de la alidada. B LB LA A O 0º Figura Nº27 R LR LP P Q 0º Figura Nº28 12 Método Bessel Las cuatro primeras operaciones son iguales a las correspondientes al método simple. 5º. Se bisecta el mismo punto B pero ahora en posición inversa, y se realiza la lectura(LiB). 6º. Se gira la alidada en sentido contrario a las agujas del reloj y se bisecta el punto de la izquierda efectuando la lectura (LiA). 7º. Se calcula la medida del ángulo del modo siguiente: 2 º 180 LiB LdB LvB 2 º 180 LiA LdA LvA ± + = ± + = ⇒ AOB = LvB - LvA En la expresión, el signo (+) corresponde cuando el valor de la lectura Lv es mayor de 180º, y el (-) cuando es menor. Un ejemplo de planilla para método Bessel es el que sigue: Posición directa Posición inversa Vértice Punto Vis. I II ½(I+II±180º) I II ½(I+II±180º) Promedio general Ángulo A 38º26'40'' 218º25'20'' 38º26'00'' 218º24'20'' 38º23'00'' 218º23'40'' 38º24'50'' 0 B 123º32'40'' 303º31'20'' 123º32'00'' 303º30'20'' 123º29'00'' 303º29'40'' 123º30'50'' 85º06'00'' Crítica al método Ventajas: Elimina la influencia de los errores eventuales le colimación, inclinación del eje secundario, arrastre del limbo, excentricidad de la alidada (aún en los teodolitos de un solo índice) disminuye la influencia de los errores de defectuosa graduación del limbo, defectuosa lectura, y defectuosa puntería. Método de Repetición Este método sólo puede aplicarse con teodolitos repetidores. 1º. Se libera la alidada (en posición directa) y se gira hasta obtener la lectura 0º, o en sus proximidades, y se anota (Ld1A). Se fija la alidada y se gira el conjunto alidada - limbo hasta bisectar el lado izquierdo (A, en donde se lee Ld1A), donde se ajusta. 2º. Se libera la alidada y se gira hasta bisectar lado derecho (B): es la primera repetición. Se efectúa la lectura en forma aproximada (Ld1B)apr y se calcula el ángulo aproximado: α αα α apr = Ld1A apr - Ld1B apr Se halla el número mínimo de repeticiones: n mín = 360º / α apr → para teodolitos de un índice n mín = 180º / α apr → para teodolitos de dos índices. 3º. Se fija la alidada y se gira el conjunto hasta bisectar A. 4º. Se fija el limbo y se libera la alidada girando hasta bisectar B (2º repetición) 5º. Se repite el procedimiento hasta terminar con tosas las repeticiones previstas (n), llegando así a la lectura LdnB. (Que no se anota). 6º. Se bisecta B en posición inversa, se fija la alidada y se libera el limbo girando el conjunto hasta bisectar A (en posición inversa). 7 0 . Se fija el limbo y se libera la alidada girando esta hasta bisectar B (primera repetición en posición inversa). 13 8º. Se efectúan repeticiones en posición inversa llegando a la lectura LinB, que sí se anota. La medida del ángulo será: n 2 A 1 Ld LinB− = α (1) Deducción de la expresión (1): 1º repetición α = Ld1B - Ld1A 2º repetición α = Ld2B - Ld1B 3º repetición α = Ld3B - Ld2B ..... Posición Directa nº repetición α = LdnB - Ld(n-1)B 1º repetición α = Li1B - LdnB 2º repetición α = Li2B - Li1B 3º repetición α = Li3B - Li2B ..... Posición Inversa nº repetición α = LinB - Li(n-1)B Sumando: n 2 A 1 Ld LinB A 1 Ld LinB n 2 n 2 1 i − = α ⇒ − = α = α ∑ = Por ejemplo: Son Ld1A = 0º 29' 30'' y Ld1B ≅ 65º 57'; por lo tanto, para un teodolito de dos índices corresponden 3 repeticiones en posición directa y tres en posición inversa. Siendo Li3B = 393º 13' 15'', el ángulo es: ' ' 18 ' 27 º 65 3 . 2 ' ' 30 ' 29 º 0 ' ' 15 ' 13 º 393 = − = α Otra variante del método de repetición es la siguiente: a) En posición directa se efectúan las mismas operaciones ya explicadas para la posición directa llegando así hasta la lectura LdnB (lectura de la que se toma nota). b) Se fija la alidada al limbo y se bisecta el punto de la derecha en posición inversa(Li1B) que, aunque debería coincidir con LdnB, se efectúa igualmente por un eventual error (ver ejemplo). A continuación, se libera la alidada y se gira en contra de las agujas del reloj hasta bisectar el punto de la izquierda, obteniendo Li1A (que no se lee). Esta es la primera repetición en posición inversa. Se fija la alidada al limbo y se gira el conjunto hasta bisectar el lado derecho (Li2B). Se libera la alidada y se gira en contra de las agujas del reloj hasta bisectar el lado izquierdo (Li2A). (2º repetición, en posición inversa). Se sigue hasta totalizar las repeticiones previstas. La última termina con la bisección del lado izquierdo y se efectúa la lectura (LinA). c) Se calcula la medida del ángulo mediante el promedio de las medidas obtenidas en las dos posiciones del anteojo. Deducción: Ld1A Ld1B α = Ld1B - Ld1A Ld1B Ld2B α = Ld2B - Ld1B Ld2B Ld3B α = Ld3B - Ld2B .... Posición Directa Ld(n-1)B LdnB α = LdnB - Ld(n-1)B n α = LdnB - Ld1A α d = 1/n (LdnB - Ld1A) Li1B Li1B α = Li1B - Li1A Li1A Li1A α = Li2A - Li1A Li2A Li2A α = Li3A - Li2A .... Posición Inversa LinA Li(n-1)A α = LinA - Li(n-1)A n α = Li1B - LinA α i = 1/n (Li1B - LinA) 14 Finalmente, el ángulo se calcula como: α αα α = ½ (α αα α d + α αα α i ) Por ejemplo: Para Ld1A = 0º 30' 42'' y Ld1B ≅ 133º 42'; para n = 4 repeticiones, tenemos: LdnB = 175º 19' 36'' + 360º = 535º 19' 36'' Li1B = 175º 19' 54'' + 360º = 535º 19' 54'' LinA = 0º 30' 30'' α d = ¼ (535º 19' 36'' - 0º 30' 42'') = 133º 42' 13,5'' α i = ¼ (535º 19' 54'' - 0º 30' 302'') = 133º 42' 21'' ⇒ α αα α = ½ (133º 42' 13,5'' + 133º 42' 21'') = 133º 42' 17,3'' Observación: La última lectura en posición directa (LdnB) debería coincidir en la primera en posición inversa (Li1B), pero puede ocurrir, como en este ejemplo, que se produzca un pequeño error en el transcurso de la operación que determine la diferencia. Método de reiteración Consiste en medir varias veces un mismo ángulo, aplicando método Bessel y tomando como origen distintos puntos del limbo, con lo cual serán también distintos los puntos terminales sobre la graduación. Se emplean teodolitos reiteradores y repetidores. 1º. Para la primera reiteración, se empieza por bisectar en posición directa el punto de la izquierda y se provoca con el tornillo reiterador la lectura Ld1A próxima a 0º. Se gira la alidada en sentido horario, se bisecta el punto de la derecha y se efectúa la lectura Ld1B. Se bisecta el mismo punto pero en posición inversa y se lee (Li1B). Se gira la alidada en sentido antihorario bisectando el punto de la izquierda y se efectúa la lectura (Li1A). La primer medida del ángulo (α) se calcule como ya se ha visto en método Bessel (1º reiteración). 2º. Para la segunda reiteración se adopta primero el número de reiteraciones (n) y se bisecta en posición directa el punto de la izquierda, provocando con el tornillo reiterador una lectura Ld2A=360º/n o 180º/n si se trata de un teodolito de uno de dos índices, respectivamente. A continuación se procede a medir el ángulo por método Bessel tal como se explicó para la primera reiteración.(2º reiteración). 3º. Se sigue en forma análoga hasta terminar las n reiteraciones. 4º. Se calcula la medida del ángulo mediante la media aritmética de todas las reiteraciones. La planilla siguiente es ejemplo de cómo se procede: Posición directa Posición inversa Vértice Punto Vis. I II ½(I+II±180º) I II ½(I+II±180º) Promedio general Ángulo A 0º0'12'' 180º00'24'' 0º00'18'' 180º00'13'' 0º00'31'' 180º00'22'' 0º00'20'' 0 B 133º42'22'' 313º42'40'' 133º42'31'' 313º42'30'' 133º42'20'' 313º42'25'' 133º42'28'' 133º42'08'' A 60º00'24'' 240º00'24'' 60º00'24'' 240º00'22'' 60º00'30'' 240º00'26'' 60º00'25'' 0 B 193º42'36'' 13º42'24'' 193º42'30'' 13º42'32'' 193º42'42'' 13º42'37'' 193º42'33.5'' 133º42'8,5'' A 120º00'14'' 300º00'16'' 120º00'15'' 300º00'08'' 120º00'22'' 300º00'15'' 120º00'15'' 0 B 253º42'40'' 73º24'20'' 253º42'30'' 73º42'00'' 253º42'10'' 73º42'05'' 253º42'17,5'' 133º42'2,5'' Cálculo del ángulo: ' ' 3 , 6 ' 42 º 133 3 ' ' 5 , 2 ' 42 º 133 ' ' 5 , 8 ' 42 º 133 ' ' 08 ' 42 º 133 B O ˆ A = + + = 15 Medición de dos o más ángulos con el mismo vértice Métodos de las direcciones En este método, también llamado de las series o de los giros horizontales, no se calculan generalmente todos los ángulos posibles entre las distintas direcciones, dejando simplemente consignadas estas últimas. Por ejemplo, en la estación 6 (Fig. Nº29) se deben medir cinco direcciones (cuatro ángulos). Por este método, las cinco direcciones se apuntan una después de otra en posición directa en una serie y para cada una de ellas se efectúa la lectura del círculo. Se bisectan los puntos en posición inversa girando en sentido antihorario. Cada ángulo puede entonces ser deducido por la diferencia entre las direcciones (lado derecho menos lado izquierdo). El proceso de medición es el siguiente: entre las direcciones a medir, se elige como dirección de salida o dirección origen la que proporciona mejor visual. Empezando por ella (punto 7 de la Fig. Nº29), con el teodolito en posición directa y girando en sentido horario, se apuntan una después de otra todas las señales y se hacen las lecturas en el limbo. Después de la observación de la última dirección (11), se pasa a posición inversa y se bisectan entonces todas las señales girando la alidada en sentido antihorario, empezando por la 11 y terminando con la dirección de salida 7. Esta medidas forman una serie. Según la posición, la medida de las direcciones se hace de nuevo varias veces y, en cada nueva serie el limbo se desplaza, como ya se explicó en el método de reiteración, para apuntar la dirección origen. En el caso de la figura, se adoptó un procedimiento de cuatro series y, como se trata de teodolito de dos índices, se partió sucesivamente de 0º, 45º, 90º y 135º. En la columna “Media” de la tabla siguiente se efectuó el promedio: ½ (Ld + Li ± 180º). En la columna “Media Reducida” se calculó cada media restada de la media de la dirección origen: 3 - 7; 1- 7; 5 - 7; 11 - 7, y en la de “Media General” se efectúa la media aritmética de cada dirección a partir de las cuatro series. Posición del anteojo Directa Inversa Media Media reducida Media general Punto º ' '' º ' '' º ' '' º ' '' º ' '' 7 0 00 06 180 00 09 0 00 08 0 00 00 3 21 46 29 201 46 33 21 46 31 21 46 23 1 63 17 21 243 17 26 63 17 24 63 17 16 5 100 24 01 280 24 05 100 24 03 100 23 55 11 142 10 53 322 10 48 142 10 50 142 10 42 7 45 00 08 225 00 13 45 00 10 0 00 00 3 66 46 26 246 46 35 66 26 30 21 46 20 1 108 17 28 288 17 23 108 17 25 63 17 15 5 145 24 00 325 24 00 145 24 00 100 23 50 11 187 10 55 7 10 46 187 10 50 142 10 40 7 90 00 07 270 00 10 90 00 08 0 00 00 0 00 00 3 111 46 33 291 46 28 111 46 30 21 46 22 21 46 21 1 153 17 24 333 17 26 153 17 25 63 17 17 63 17 16 5 190 24 03 10 23 58 190 24 00 100 23 52 100 23 53 11 232 10 48 52 10 51 232 10 50 142 10 42 142 10 40 7 135 00 10 315 00 22 135 00 16 0 00 00 3 156 46 38 336 46 34 156 46 36 21 46 20 1 198 17 29 18 17 36 198 17 32 63 17 16 5 235 24 11 55 24 07 235 24 09 100 23 53 11 277 10 51 97 10 54 277 10 53 142 10 37 Figura Nº29 16 Medición de ángulos con estación excéntrica Algunas veces ocurre que el vértice del ángulo a medir es un punto inaccesible para hacer estación con el teodolito, como pueden ser un poste de alambrado, la esquina de una construcción o un árbol. En estos casos hay que estacionar el aparato en otro punto y deducir de las observaciones efectuadas el valor del ángulo. Esto se conoce como ”reducción al centro de estación". Se pueden presentar varios casos, siendo los mas comunes los que se detallan a continuación: a. Estación en el interior del ángulo a medir El ángulo a medir es AOB (Fig. Nº30). Se hace estación en O' y se miden ϕ y ψ. Además, se miden con cinta OO', AO y B0. En el cuadrilátero AOBO' la suma de los ángulos interiores es de 360º, por lo tanto: AOB = 360º - (ϕ ϕϕ ϕ + ψ ψψ ψ + α αα α + β ββ β) ) 3 ( BO ' OO . sen sen arc BO ' OO . sen sen BO ' OO sen sen : O ' O ˆ B En ) 2 ( AO ' OO . sen sen arc AO ' OO . sen sen AO ' OO sen sen : O ' O ˆ A En | ¹ | \ | ψ = β ⇒ ψ = β ⇒ = ψ β | ¹ | \ | ϕ = α ⇒ ϕ = α ⇒ = ϕ α Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene AOB; ϕ y ψ se miden en el terreno. b. Estación en el ángulo opuesto por el vértice del ángulo a medir En el cuadrilátero A0B0', de la figura Nº31: α + (360º - AOB) + β + ϕ + ψ = 360º AOB = α αα α + β + ϕ β + ϕ β + ϕ β + ϕ + ψ ψψ ψ En este caso, α y β se calculan con las fórmulas (2) y(3) del desarrollo anterior. c. Estación a la izquierda del ángulo a medir En los triángulos A0T y B0T se tienen iguales los ángulos en T por ser opuestos por el vértice, como se ve en la figura Nº32. Por lo tanto, la suma de los otros dos ángulos también tiene que ser igual: α + (ϕ - ψ) = AOB + β ⇒ AOB = α αα α + ϕ ϕϕ ϕ - ψ −β ψ −β ψ −β ψ −β También en este caso los ángulos α y β se obtienen con las expresiones (2) y (3). d. Estación a la derecha del ángulo a medir Los triángulos AOT y BOT tienen iguales los ángulos en T (opuestos por el vértice). Por lo tanto, tal como en el caso anterior, las sumas de los otros dos ángulos serán también iguales: β + (ψ - ϕ) = AOB + α ⇒ AOB = β + ψ − ϕ − α β + ψ − ϕ − α β + ψ − ϕ − α β + ψ − ϕ − α Tal como antes, α y β se hallan con (2) y (3). Figura Nº30 Figura Nº31 Figura Nº32 Figura Nº33 17 Medición de ángulos verticales En la medición de ángulos verticales las lecturas se hacen en los limbos verticales de los teodolitos; de acuerdo al modelo del instrumento, los limbos pueden ser cenitales, nadirales, o de los que permiten medir ángulos en elevación o depresión. Limbos cenitales: son aquellos en que, cuando se apunta hacia el cenit, la lectura es cero grados, en posición horizontal directa del anteojo es 90º (en posición inversa es 270º), y al apuntar hacia abajo es 180º. (Ángulo Z) Limbos nadirales: aquellos en que el cero aparece al apuntar hacia abajo; de hecho, en estos el cenit está a 180º. (Ángulo N) Limbos para ángulos en elevación o depresión (directos): el ángulo se lee directamente; el cero corresponde a la posición horizontal directa del anteojo. (Ángulo α) En la figura Nº34 se grafican las distintas posibilidades. Figura Nº34 De la figura: Ángulo medido en forma directa: α (en elevación o depresión) En caso de ser un limbo cenital, la fórmula para calcular el ángulo es: α = 90º - Z Si se utiliza un limbo nadiral es: α = N - 90º Errores en la medición de ángulos verticales La medición de ángulos verticales se va afectada por los mismos errores que la de los ángulos horizontales, a los que se suma el error de cenit. Error de cenit En general, en los teodolitos el círculo cenital está constituido por un limbo graduado de 360º. Este limbo está fijo al eje de rotación del anteojo (eje secundario) de tal modo que cuando gira el anteojo también gira el limbo cenital. Existe un índice, fijo a un disco, que permanece inmóvil cuando gira el anteojo, disco que también consta de un nivel tórico llamado nivel testigo, que debe centrarse para recién estar en condiciones de leer con el índice citado en el limbo cenital. Ahora bien, cuando el nivel testigo está centrado, el índice debería estar en la posición correcta; en caso contrario, existe error de cenit. En los círculos cenitales de los teodolitos pueden leerse ángulos cenitales, ángulos nadirales o bien ángulos en altura o depresión; en particular, se detalla el caso de un teodolito que mide ángulos cenitales. La figura Nº 35 muestra el croquis del círculo cenital de un teodolito. El sentido de la graduación del limbo está consignado con una flecha en trazo lleno. El índice, en el supuesto caso de que no hubiera error de cenit, estará en la posición 1 (cenit del círculo) cuando el nivel testigo se encuentre centrado y, en tal caso, cuando se bisecta un punto cualquiera P, la lectura correcta será L v d . 18 Cuando existe error de cenit, estando centrado el nivel testigo, el índice no está en el cenit del círculo, o sea la posición 1, sino en otra, como por ejemplo la 2; en esta situación, la lectura sería L d , incorrecta. Es: ε = O - V ⇒ ε = L d - L v d (1) Figura Nº35 Para verificar la existencia del error se procede de la siguiente manera: 1. En posición directa del anteojo se bisecta un punto, se centra el nivel testigo y se efectúa la lectura L d . (sentido de la graduación línea llena) 2. Se bisecta el mismo punto en posición inversa, con lo cual, si observamos el círculo vertical desde el mismo lado, se verá que el índice ha pasado a la posición 3, simétrica de 2 con respecto al cenit 1. Además, el sentido de la graduación del limbo vertical será el de la flecha de trazo discontinuo. Después de centrar nuevamente el nivel testigo se toma la lectura L i . De la observación de la figura se desprende que: 2 ε = L d + L i - 360º ⇒ 2 º 360 L L i d − + = ε Así se verifica la existencia del error de cenit: si ε = 0, no existe tal error, pero si ε ≠ 0 hay error de cenit, y habrá que corregirlo; para ello pueden seguirse dos caminos: a) de (1): L v d = L d - ε → se calcula la lectura directa correcta cuando se bisecta en esa posición del anteojo un punto cualquiera. A continuación, se adopta esta lectura como definitiva y se descarta L d . Este procedimiento se repite para cualquier medición con el círculo cenital. b) de (1): L v d = L d - ε → se acciona el tornillo que gira el disco donde se encuentra el nivel testigo, y el índice se lleva a provocar la lectura correcta L v d . De acuerdo con la figura, el índice se colocará ahora en la posición correcta 1 (cenit). Pero entonces el nivel testigo se descentrará: se lo corrige accionando los tornillos propios de este nivel hasta centrar la burbuja, con lo cual queda corregido en forma permanente el error de cenit en el instrumento.