Matematica I (para Universidad)

INTRODUCCION La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I para el estudiante representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2013 - II, por lo que está dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Lógica matemática y conjuntos, los números reales, funciones, tópicos de geometría analítica y aplicaciones de la programación lineal. Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática I, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje. La Coordinación del Área de Matemática ENUNCIADO. etc. Es toda oración o frase que exprese alguna idea. saludos.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 1 LÓGICA MATEMÁTICA 1.Disyunción débil o inclusiva:  .Bicondicional:  . Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p . pero no ambas a la vez. PROPOSICIÓN LÓGICA. 2.……. Tenemos: . Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F).Condicional:  . Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto y un predicado. r . órdenes. pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. Por tanto no puede ser ambigua. 3. negaciones. 4. preguntas. PROPOSICIÓN SIMPLE. llamadas variables proposicionales. ENUNCIADO ABIERTO. OPERADORES LÓGICOS. Es aquella proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples. 5. Son signos que representan palabras y que son usados para relacionar proposiciones. a través de afirmaciones.Disyunción fuerte o exclusiva:  . su valor de verdad se denota con V ( p) y escribimos: V ( p)  V si el valor de p es verdadero y V ( p)  F si el valor de p es falso.Negación: ~ 2 . emociones. Se llaman variables proposicionales.Conjunción:  . 7. PROPOSICIÓN COMPUESTA. q . Es aquel enunciado que contiene variables o letras. s . Si p es una proposición. 6.. VALOR DE VERDAD. Se evalúa mediante tablas de verdad. el número de valores de verdad queda determinado por 2n . Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares. entonces se tiene una CONTINGENCIA. Si todos estos valores son falsos. 10.  se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. DISYUNCIÓN DÉBIL CONJUNCIÓN p q pq V V V V F F F pq p q V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V V F F F F F F F F CONDICIONAL p 9. se evalúan mediante tablas de valores de verdad. Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos. es una CONTRADICCIÓN. Otra finalidad de estos signos es darle mayor o menor jerarquía a los operadores. TABLAS DE VERDAD. Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos. entonces se tiene una TAUTOLOGÍA. 3 . Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador principal son verdaderos. donde n es el número de proposiciones. DISYUNCIÓN FUERTE q p q p q NEGACIÓN BICONDICIONAL p q pq p q p ~p V V V V V V V F V F F V F F F V F V V F V F F F V F F V SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Los signos de agrupación   . FÓRMULA LÓGICA.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 8.  . El número 2221 es divisible por 2. indicar cuáles son proposiciones lógicas. 11. 9. 10. 4  3  6 y que 10  2  8 . 8. El año de 1821 se proclamó oficialmente la independencia del Perú. justificar. 10 es múltiplo de 3 y 30 es divisor de 600. 13. una hora tiene 60 minutos. 7. 15. ¡Hace calor! 3. entonces 204 es múltiplo de 17. No es verdad que. 2. 4. El día tiene 24 horas si y sólo si. 6. Si. Prohibido fumar. 3  2  5 . Arequipa no es la Ciudad Blanca o Trujillo es la Capital de la eterna Primavera. Las rosas son hermosas. Mañana lloverá. Si Junín está en el Perú entonces Río de Janeiro está en Argentina. 5. César Vallejo escribió “El Tungsteno” no obstante Mario Vargas Llosa escribió “La Fiesta del Chivo”. sin embargo el 2 de mayo 1866 se inmortalizó Don José Gálvez defendiendo al Perú de la invasión chilena. El cero es un número natural. 1. ¿Qué edad tienes? 4. El día de hoy es jueves. 97 es un número primo. 9. 10. 7. El mes de Marzo tiene 30 días y el mes de febrero 31 días. Es falso que. 12. 5 x  2  8 11. Todo número entero es negativo. 3  8  1  2  3 14. Simbolizar y determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. Alan García no sea el actual presidente de la república ya que perdió en las elecciones generales del 2011. 3 x  4 y  10 II. x  8  4  6 12. El verano es una estación playera. De las siguientes expresiones. 3. 5. 4 . 6. 8. 2. Mario Vargas Llosa ganó el Nobel en el 2011 o Humala es el Presidente del Perú. Ó 99 es múltiplo de 3 ó 4 no es un numero par.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II EJERCICIOS I.  p  V    q  ~ V    p  q   p   11. Establecer la tautología.  p  q    ~ p  ~ q    p  q   V   12.  p  q ~ V   ~ V    ~ p  V   V   V 13. ~  p  q   ~  p ~ r  4.  p  q    p  r    ~ q  p  5.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I III. la contradicción y la contingencia de las siguientes proposiciones: 1.  ~ p ~ r   ~  p  q   ~ r    10.  ~ p  q  ~ r   r  ~  p ~ q  8.  p  q    p ~ q    p  q  2.  p  p    q  r    p  r    6. ~  p  p    q  r    p  r  7. ~  ~  p  q   ~ r  ~  p  q  r  9. ~ ~ p ~  ~ q ~ p   ~  ~ p ~ q  5 .  ~ p  q    p ~ q    ~ p ~ q  3. EJERCICIOS: Demostrar que A implica a B. entonces se escribe: A⇏B. A implica a B cuando unidos con la condicional “→”. se dice que. resulta una tautología. y si A no implica a B. Se simboliza: A⇒B y se lee: A implica a B.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I IMPLICACIÓN LÓGICA Dadas las proposiciones A y B. en los siguientes ejercicios: 6 . Esta lista de elementos la escribimos entre llaves. DIAGRAMA DE VENN-EULER. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. entre otros. 1.1. que tienen alguna cualidad en común. 2. Se usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal. 3. El conjunto vacío  es subconjunto de todo conjunto A. POR COMPRENSIÓN. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se denota por n  A . 6. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. ¿ para qué? En la vida diaria nos encontramos ante situaciones en las cuales de manera natural agrupamos objetos. personas. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. 2. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Nos hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes. Por ejemplo los compañeros de la escuela. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. Un conjunto se denota por una letra mayúscula. A cada uno de estos objetos le denominamos elemento del conjunto. etc. 5. las enfermedades del corazón. POR EXTENSIÓN. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos. Se denota por  y se lee “es subconjunto de” ó “está contenido en”. Aquí se listan todos los elementos del conjunto.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 2 CONJUNTOS ¿Agrupaciones?. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A  B . 2. sus elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por extensión.2. proyectos. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por  “pertenece”. por eso la matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos. SUBCONJUNTO.. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Es aquel que forma parte de otro. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos que están en el conjunto. 7 . 4. estudiantes de matemática. 6. es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A . 2  n  5 9.1.4. Se denota por U . C   x / x es un número natural menor que 6 8. x es par 8 . 1  n  4 2. n  . x es impar 5.0  n  5    3.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 7. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos trabajando en un problema particular.2.3.7. CONJUNTO INFINITO. Se denota por P  A y el número de elementos de P  A  2n . 7. 3  n  3 n3   6. 7.5. n  . A  x / x   n  1 . Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. D  x  / 2  x  11. n  . A  x / x  n2  1. CONJUNTO POTENCIA. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. Expresar por extensión los siguientes conjuntos:   1. EJERCICIOS: I. CONJUNTO FINITO. Es aquel que carece de elementos. n  . n   A  x / x  . CONJUNTO VACÍO. ya que eso determinará nuestro marco de referencia. Es muy importante establecer el conjunto universal. 7. donde n es el número de elementos de A . CONJUNTO UNIVERSAL.n  n3  2   . Por ejemplo el conjunto de números reales. CONJUNTOS DISJUNTOS. C  x / x  n2  1. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B  x / x es un día de la semana 7. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada. 7. CONJUNTOS ESPECIALES. 7. B  x / x  n2  n . Se denota por  ó  . 7. 3n  B  x / x  . n   10. CONJUNTO UNITARIO. 2  n  4 4. D  x  *  . El conjunto potencia de un conjunto A .1  n  5 / 4  x  8. 7. 2. Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas: a)   0 b)   0 c)    d)     4. 2.3. 4.. c) A  1..3 y B  1.. Resolver: 1. 6 .. Determinar P  A . 2.6. / 1  x  5 . 3. según corresponda: a) d) g) 5.9. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) A   x  / 6  x  7  es un conjunto vacío. 3  A 3. 9 .12. Dado el conjunto A  3.1.3 son disjuntos d) E  1.30 es un conjunto finito.8 . colocar verdadero o falso.8  A   A b) 4  A c) 8 A e) A f) 6  A h) 6  A i) 6  A Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos: a) A  x  / x  c) C  x   / 1/ x      b) B  x  / x3  3 d) D  x   / x2  4  0 6. Si A   x  2.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I II. b) B   x / x es múltiplo de 3 es un conjunto infinito. h) N  x / x es un número entero mayor que 42 es un conjunto finito.3. Determinar P  A . El número de elementos de P  A es 2n .  Si A  x  *  / 0  x  3 . g) P  3. 4 es subconjunto de F   x  e) A   x  f) * / x es par y B  x  /1  x  4 / x es impar  son disjuntos. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos elementos de un conjunto dado. En general. se lee: “existe algún x . 1. 10 . se cumple que” 2.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I CUANTIFICADORES FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma P( x) . si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos un elemento de A que no cumple la propiedad P ( x ) . se lee: “ para todo x . Notación:  x  A /. se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional. Por ejemplo: P( x) : x2  3  10 es un enunciado abierto P(2) : 22  3  10 es una proposición falsa P(3) : 32  3  10 es una proposición verdadera CUANTIFICADORES. que pertenece al conjunto A . la proposición existencial x  A : P( x) es verdadera si en A hay al menos un elemento x que cumple P ( x ) y es falsa si ningún elemento de A cumple con P ( x ) . es decir. Representado por  . En general. cumplen con cierta función proposicional. se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición. la proposición universal x  A : P  x  es verdadera si la propiedad P ( x ) lo es. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. es decir. tal que se cumple que” NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES. Notación:  x  A :. se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional. que pertenece al conjunto A . ~ x  A / p( x)  x  A : ~ p ( x ) “la negación de un existencial da un universal” ~ x  A : p( x)  x  A / ~ p ( x ) “la negación de un universal da un existencial” NOTA. todo elemento de A no cumple P ( x ) . CUANTIFICADOR UNIVERSAL. esto es. Representado por  . Consideremos el conjunto: A   x  x2  10  2 / 4  x  7  . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 4. 1) x  B : x2  5  16 2) x  B : 2 x  3  26 3)  x  B / 5 x  1  38 4) x  B : 4x 1  5 5 2x  3  10 2 6)  x  B / x2  2  45 5)  x  B / 7) x  B : 4 x  2  30 9) x  B : x2 2 x4 8)  x  B / 5 x  3  10 10)  x  B / ( x  6)( x  9)  0 11 . 2. justificando su respuesta. 0. 0. 1) x  A / x  5  A 2) x  A : x2  5x  6  0 3)  x  A / x4 8 2 4)  x  A / 5) x  A : x4 6 x 1 6) x  A : 2 x  4  5 II. 5.1. 3} . Negar cada una de las siguientes proposiciones y luego establecer su valor de verdad. 1.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJERCICIOS I. 7} .1. 1) x  A : x2  4  8 2)  x  A / 4 x  2  12 3) x  A : 3 x  2  6 4)  x  A / 5) x  A : 3x  1 7 2 7)  x  A / 2 x  3  13 9)  x  A / x2 5 5 3x  2 5 5 6) x  A : 4 x3  5  6 8) x  A : 3 x  9  24 10)  x  A / ( x  8)( x2  1)  0 III. 2. Dado el conjunto A  {3. Dado el conjunto B  {2. 3. 1. diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Dado dos conjuntos A y B. DIFERENCIA. UNIÓN. Dados dos conjuntos A y B. Además siempre se cumple que A    . la intersección de A y B se define como: A B  x / x  A  x  B U B A B   . Dos conjuntos son disjuntos si A 3. Dado dos conjunto A y B. INTERSECCIÓN.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 3 OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. la unión de A y B se define como: A B  x / x  A  x  B U B A Siempre se cumple que A   A 2. la diferencia de los conjuntos A y B se define como: A  B   x / x  A  x  B U A B 12 . DIFERENCIA SIMÉTRICA. donde A  U . B  x  * /  2  x  4 y U  A B . Dado dos conjuntos A y B. Resolver: 1. EJERCICIOS I. Hallar: a) A B b) A ' B ' c) d) P( A) e) P( B) f) P( A) 2. la diferencia simétrica de A y B se define como: AB  x / x   A  B   x   B  A U B A 5. A x / x  1  x  5 y / 0  x  9  x es par  . determine: a) B A b) ( A B) ' A c) AB 13 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 4. Dado un conjunto A y el conjunto universal U. COMPLEMENTO. Sean los conjuntos A   x  AB P( B) / 3  x  6 . Sean los B x conjuntos: U x  / 0  x  9 . se define el complemento de A como: A '  Ac  x / x U  x  A U A Siempre se cumple que: U '   y  '  U . ¿Cuántos consumen los dos productos? 3. 6    4. ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Matemática?. 4. ¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna de las dos asignaturas?. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente información: 15 personas que no estudian ni trabajan. II. determine E   A  B  ' U x 4.  A  B  B  1. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos un curso?. determine E   A B  7. ¿Cuántas personas realizan una sola actividad?. 14 .5. 2. 24 alumnos aprobaron Economía y 14 aprobaron ambas asignaturas. P  A A '  B e) P  B Sean los conjuntos A   x   AB   A 6. los  conjuntos A  x   /  x  3 x  1 x  1  0 . A  x * / x  0 x  4  y B   x  / 2  x  7  x es par . 2.  B  x  /  x 2  1 x 2  9   0 y U  A  B . los que fuman y toman son 40 y los que no fuman ni toman son 12. 4. b) Sean B A ' AB c) f) * /  2  x  6 y B  x  P  A P  B  / 1  x  4 . En una reunión hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente información: los que toman son el triple de los que fuman. 6 y U  A B C .5. conjuntos   B  x  /  x 2  1 x 2  4   0 y U  A B .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 3. 6  . C  3. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B. 4.3. ¿Cuántos solamente toman?. determinar: a) A  U d) 5. A un grupo de 35 alumnos se les ha tomado un examen de Matemática y un examen de Economía. Sean los conjuntos A  x  / 5  x  3 .5. Considerando  / 4  x  7  . obteniéndose los siguientes resultados: 20 alumnos aprobaron Matemática. 50 dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. determine:  B  A  A  B  . Sean los A  x  * / x  x  2  x  1  0 . 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan. APLICACIONES 1. determine E   C  A ´  A  B ´ . Si 15 personas manifestaron no consumir ninguno de ellos. ¿Cuántas personas se presentaron al concurso?. Si se entrevistó a un total de 290 personas. La cantidad de los que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa. En una encuesta realizada a personas adultas de la región norte del país. 20 15 . Además 17 saben inglés y francés. Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la película A. B y C. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet. 1 practica básquet y tenis pero no fútbol. ¿Cuántos alumnos sólo gustan de un género? 6. ¿Cuántos alumnos practican sólo un deporte? . ¿Cuántos sólo prefieren la comedia? 11. 10 han visto las películas A y C. 23 han visto la película C. 100 prefieren el género policial. 6 les agrada los tres géneros. 7. francés y alemán. cremas y pastas. ¿Cuántas casas. 50 les gusta el suspenso. 8. Además se sabe que 2 han visto las tres películas. 3 practican sólo tenis.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 5. 16 prefieren suspenso y policial. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con conocimientos de algún idioma extranjero. con respecto al género de cine que preferían. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:  60 casas tenían aparatos de TV a color  30 casas tenían equipo de sonido  20 casas tenían DVD  21 casas tenían TV a color y equipo de sonido. 25 saben inglés. como máximo. 17 han visto la película B. la cantidad de los que sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes especialidades: postres. 6 han visto las películas A y B. 14 inglés y alemán. no tenían estos aparatos? 9. 6 alumnos practican los tres deportes. 2 practican fútbol y básquet pero no tenis. se obtuvo la siguiente información: 120 prefieren la comedia. 14 fútbol y 11 tenis. ¿Cuántos optan por uno sólo de estos géneros? .  15 casas tenían TV a color y DVD  4 casas tenían equipo de sonido y DVD. Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A. 21 francés y 17 alemán. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. Obteniéndose como resultado que: 30 ganaron en la especialidad de pastas. 11 francés y alemán y 9 inglés. 8 han visto las películas B y C. De los que se presentaron. 10 prefieren los géneros policial y comedia. ¿Cuántas personas han visto una sola película?. 16 prefieren comedia y suspenso. ¿Cuántas personas han visto al menos dos películas? 10. 25 ganaron en la especialidad de postres. dos de las tres preguntas? 16 . por lo menos. al menos. se estima que 50 alumnos son responsables. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de lecturas de las Revistas Magaly TV. Para obtener la licencia de conducir. 10 aprobaron el examen de manejo y reglas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en cremas. 110 responden tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntual a clase. Además. 20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero no confían aprobar sus cursos. 14. 13. En una evaluación de 80 personas que solicitaron la licencia de conducir. pero la mitad de los que aprobaron el examen de reglas de transito.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I ganaron en la especialidad de cremas. no llegan puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?. El número de personas que leen las tres revistas es 12 y el número de los que leen Magaly TV y Caretas es el doble del número de los que leen las 3 revistas. Además se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron la especialidad de pastas. en dos de las especialidades. puntuales y confían aprobar sus cursos. 1 ganó en las tres especialidades. 80 responden ser puntuales a clase y confían en aprobar sus cursos. ¿Cuántos alumnos son sólo puntuales a clase?. obteniendo los siguientes resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas. 7 ganaron en pastas y cremas. El número de los que leen sólo Gisela es el mismo que el total de los que leen Magaly TV y Caretas. sobre la responsabilidad en el cumplimiento de sus tareas. ninguno aprobó los tres exámenes). b) El número de personas que leen solo dos revistas c) El número de personas que leen solo Magaly TV y Caretas. 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV . hay que aprobar necesariamente 3 exámenes: el médico. ¿Cuántos alumnos no son responsables. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir. En la Unidad Académica de Estudios Generales. 12. Determine: a) El número de personas que leen solamente Magaly TV . 20 leen sólo Caretas. aprobaron el examen médico 26. ¿Cuántos alumnos cumplen con. se obtiene el resultado siguiente: todos leen alguna de las tres revistas. según la respuesta de los alumnos. se realizó una encuesta a un grupo de 200 alumnos. 15 leen Magaly TV y Gisela pero no Caretas. Gisela y Caretas. determine cuántos aprobaron sólo uno de los exámenes. 75 leen Magaly TV . Determine cuantos ganaron. 12 aprobaron el examen médico y el de manejo. el de manejo y el de reglas de tránsito. 60 responden ser responsables en sus tareas y confían aprobar sus cursos. 8 aprobaron el examen médico y el de reglas. puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos. y son tantos como los que aprobaron el examen de manejo. es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo. se determinó que 20 sólo leen el diario A. 10 leen sólo los diarios A y B. determine: a) El número de turistas que prefieren al menos dos países. ¿Cuántos jóvenes beben las tres bebidas?. 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la marca Nissan. Además. los que beben Inca Kola y Pepsi. Pepsi y Coca Cola 17. En una encuesta realizada a 300 personas. Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado siguiente: los que beben Coca Cola son 59. Si todos los turistas prefieren por lo menos un país. de los cuales 7 prefieren Brasil pero no Perú y 4 prefieren Perú y argentina pero no Brasil. se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan. por lo menos. 9 sólo prefieren Perú. 70 prefieren la marca Volvo y 110 la marca Toyota. es el cuádruplo de los que leen sólo el diario C y a la vez es el doble de los que leen sólo el diario B. 40 leen sólo los diarios B y C. los que beben Inca Kola 73 y los que beben Pepsi 77. César. halle el número de personas que leen al menos dos diarios. el número de personas que leen los tres diarios. realiza una encuesta a un grupo de turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y se obtuvo que: 13 prefieren Brasil y Perú pero no Argentina. Además se sabe que el número de personas que prefieren las tres marcas. 25 personas prefieren las marcas Nissan y Toyota. para conocer la marca de automóvil que prefieren los peruanos. ¿Cuántos jóvenes beben solamente una de las tres bebidas. 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan. 16. 50 prefieren Perú o argentina. pero no Coca Cola. Se conoce que. dos de las tres marcas? c) ¿Cuántas persona prefieren sólo dos de las tres marcas de automóvil? 17. 40 prefieren Brasil. a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de Automóvil? b) ¿Cuántos personas prefieren. En un estudio de mercado. 17 . 20 leen sólo los diarios A y C. b) El número de turistas que prefieren solo un país. Un grupo de 160 jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas marcas de bebida gaseosa (Coca Cola. 18. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22. funcionario de una agencia de viajes. 12 prefieren sólo Brasil. Si todas leen al menos un diario.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 15. solamente Coca Cola 30. c) El número de turistas que fueron encuestados. son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. Toda ecuación lineal con una incógnita se puede expresar de la forma: ax  b  0 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 4 ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros. con a  0. Resolver x  a) 5x   x  (4x  1)   6   (3x  5)  ( x  2)  b) 4  3x  ( x  2)   2( x  8)  4  ( x  6) c) 6  x  2   8  3 x  2   14 x d) 4  3  x(5 x4)   x 2  3  ( x  1) 2 e)  3 x  1 f) 7 x  3 9x  8  6 2 4 g) x  11 4  10 x   2x  3 3 6 h) 2 x  7 8 x  9 3x  5   3 14 21 2   5 x  3    4 x  2  2 2 j) x  1x  2  x 2  3x  4 2x  1x  1  2x  x  1x  1 k) x  22  x  22  5 i) l) 5x x  1 1 3   x   x  1 6 2 3 8 m) 4  3x  1  3  2 x  5  6  8 x  7       0 5  2  5  6  5  12  18 . Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha igualdad. y están separados por el signo de igualdad “=”. La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: x  b a 1. y el costo de producción de cada lámpara es de 52 dólares. vende cada cartucho en $20. 2. El costo de fabricación de cada cartucho es de $12. ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio? 4. si quiere asegurar una ganancia de 4400 dólares?. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego. Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado. para obtener una utilidad de 2800 soles. ¿cuántas lámparas deberá el fabricante producir y vender cada semana. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Un fabricante de casacas. incluyendo seguros. costos de mantenimiento y alquiler de la sala de exhibición. El gasto semanal total. Halle: a) El numero de unidades que debe vender el fabricante. Si los costos fijos son $110000 por mes y el alimento se vende en $126 por tonelada. y los costos fijos es de 1200 soles semanal. 5.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II APLICACIONES 1. con un costo variable de $76 por tonelada. Si el precio de venta de un calentador es $35. el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador . semanalmente. Un fabricante de cartuchos para juegos de video. Si el costo de fabricación es de 60 soles por unidad. El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de x niños está dado por I  450 x .Los costos fijos son $70000. Los costos fijos mensuales son de $8000. Un fabricante de lámparas vende únicamente a mayoristas en su sala de exhibición. b) ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad? c) ¿Cuál será el costo total para esa utilidad? 7. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio?. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios. b) El ingreso para esa utilidad 19 . determine: a) El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90000. a) ¿Cuántos calentadores debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140000? b) ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad? 6. es de 5800 dólares. y sus costos mensuales totales están dados por C  380 x  3500 . Si los costos fijos son de $60000. Si cada lámpara es vendida en 172 dólares. vende cada casaca a 80 soles. ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $540000? 3. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un q ingreso de $4000?. 9. Para producir una unidad de un producto nuevo. Un comerciante vende. determine: a) El número de unidades que debe producir y vender la empresa para tener una utilidad de 4000 soles por semana.5 soles cada unidad. Una empresa de bebidas energizantes determina que puede vender a un precio de 2. q unidades de un artículo de su tienda al precio de 323  15 dólares por unidad.5 soles cada unidad. El gasto general. sin importar el volumen de ventas es de $ 5000. Si tiene un costo que no depende de la producción de 2000 soles semanal. 12.50 y el de mano de obra de $ 4. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un q ingreso de $5000?. para que sus utilidades sean de $1200 mensuales. Si el precio para un mayorista es de $ 7. 10. 11. b) El costo total para esa utilidad. Se sabe que los consumidores comprarán q unidades de un producto si el precio es de 200  10 dólares por unidad. determine el número de unidades que debe vender. y un costo de producción de 1.40 por unidad. una compañía determina que el costo del material es de $ 2. 20 .M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 8. Si tiene un costo que no depende de la producción de q $600 y un costo de producción unitario de $8. determine el número de unidades que debe venderse para que la compañía tenga utilidades de $6493. mensualmente. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de 1000  2 dólares por unidad. Resolviendo se obtiene: x   3  El conjunto solución es: C .1 x 1  0  21 . c . de la forma: ax 2  bx  c  0 . donde b  0 METODOS DE SOLUCION Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: a) Por Factorización. b . Para obtener las soluciones o raíces iguala cada factor a cero: se Ejemplo: Resolver: 2 x 2  x  3  0 Factorizando por aspa simple: 2x 2  x  3  0 2x 3 x 1 Los factores son: (2 x  3)( x  1)  0 Igualando a cero cada factor: 2 x  3  0 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACION DE SEGUNDO GRADO Definición. son números reales y a  0 . 2 3 2 . siendo además racional y entera y. donde c  0 . Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2. donde a . Se factoriza a través del aspa simple. ax 2  c  0 . S   x 1 . Clases: Completas: ax 2  bx  c  0 Incompletas: ax 2  bx  0 . c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro d) Se despeja la incógnita. b  8 . c6 Reemplazando en la formula general (F. 1  22 . b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general. b 2  4 ac  0 .S   3 . entonces las raíces son complejas. b y c son: a  2 .G. entonces las raíces son reales y diferentes. se tiene: x  ( 8)  ( 8) 2  4(2)(6) 2(2) Entonces: x  1 84 4 y = x  2 8  64  48 8  16 84 = = 4 4 4 84 4 x  3 y x 1 1 2 El conjunto solución es: C.  Si.  Si. b y c . b 2  4 ac  0 . de acuerdo al valor del discriminante se tiene:  Si. Además. entonces las raíces son reales e iguales. Procedimiento a) Se halla el valor de los coeficientes: a.). Ejemplo: Resolver: 2 x 2  8x  6  0 Los valores de a. b y c son los coeficientes de la ecuación. b 2  4 ac  0 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I b) Por la Formula General: Una ecuación de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general: x b  b 2  4 ac 2a donde a. SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2  6 x  55  0 b) x 2  10 x  25  0 c) 6 x2  13 x  5  0 d) e) 2 x2  6 x  6 x2  8 x f) 2 x2  x  3  0 g) 14 x2  28  0 h) i) x2 x  2 4 2 x2  2 x  9  0 5 2 2 x  x0 3 7 j) 0.3x2  1.3 x  1  0   k) 5x  x  1  2 2 x 2  7 x  8 l) (2 x  1) 2  x(3x  2) m) x(3x  2)  (2 x  3)2 n) 2( x  1)(2 x  1)  6( x 1)  10 x 2  5 x 1 o) 3 x  4  x  6 p) 4 x2  4 x  1  0 EJERCICIOS DE REPASO Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x2  81 2) 14 x2  28  0 3) ( x  6)( x  6)  13 4) (2 x  5)(2 x  5)  119  0 5) ( x  11)( x  11)  23 6) 7) 21x2  100  5 x2  7 x 8) 2 x2  6 x  6 x2  8x 9) ( x  3)2  (2 x  5)2  16 10) (4 x  1)(2 x  3)  ( x  3)( x  1) 11) x2  12 x  35  0 12) x 2  3x  2  0 23 . el ingreso total por las ventas será 100 q . Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dólares. 1200. suponga que un fabricante suministrará 3 p 2  4 p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24  unidades.000. en donde p  150  q . si el precio debe ser mayor que 20 dólares. El costo total de producir q unidades de pantalones es de (2800  45q) dólares. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R  800 p  7 p 2 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIONES 1. donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto. cuando el precio es de (110  q) dólares por unidad. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto. 10. si debe vender más de 50 unidades. si el precio debe ser mayor de $ 40? 4. p2 6. 9. Se decide poner una vereda en toda la orilla interior de modo que 12 m 2 del terreno se dejen para flores. donde p es el precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. 7. si el número de camisas debe ser mayor que 60. Halle el número de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares. si el número de camisas debe ser mayor que 50. Un terreno rectangular de 4x8 m. Si el costo variable por unidad es de S/. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por unidad. Halle el número de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 1200 dólares. se usa como jardín. Determine el número de unidades que debe vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares. ¿A que precio el ingreso será de S/. determine los valores de q para que la utilidad sea cero. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: I  340 p  4 p 2 . 2 y el costo fijo es S/. ¿Cuál será el precio para que el ingreso sea de $ 6000. si el precio debe ser mayor de S/. halle el valor de p . 24 . Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por unidad. El costo total de producir q unidades de camisas es de (1800  40q) dólares. donde p es el precio en dólares de cada mueble. 8. 3. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad. Si el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda. en donde p  185  q . 50? 5. Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos mensuales dada por: I  450 p  9 p 2 . ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda? 2. se dice que el mercado esta en equilibrio. El ingreso obtenido al vender q unidades de un producto está dado por I  400 q  900 y el costo total para producir q unidades de este producto es CT  10 q 2  400 q  5000 . en donde p  690  q . 600. El costo total de producir q toneladas es de (18100  250 q ) dólares. 12. para que la utilidad sea de S/. AGROEXPORT vende “ q ” toneladas mensuales de mangos al precio de “ p ” dólares por tonelada. El ingreso obtenido en soles al vender q unidades de un producto está dado por I  300 q  q 2 . 25 .M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 10.1000. Si y el costo de producción de una unidad de este producto es S/. si debe ser mayor que 280.200 y los costos sin importar el volumen de ventas es S/. ¿cuántas unidades debe venderse . 11650. Halle el número de toneladas que debe vender al mes para obtener una utilidad de 23900 dólares. 11. si el numero de unidades debe ser mayor que 70?. Halle el menor número de unidades que se debe vender para obtener una utilidad de S/.  13  7  Ejemplo 2: Resolver: 2 x  6  6 x  9 Pasando las variables al primer miembro: 2 x  6 x  9  6 Simplificando: 8 x  3 Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 8: x 3 8 26 . a y b son constantes y a  0  se lee menor que  se lee menor o igual que  se lee mayor que  se lee mayor o igual que Ejemplo 1: Resolver: 4 x  8  3 x  5 Pasando las variables al primer miembro: 4 x  3 x  5  8 Simplificando: 7 x  13 Dividiendo entre 7: x 13 7 El conjunto solución es: CS  .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 5 DESIGUALDADES LINEALES Propiedades de las desigualdades 1) Si a  b  a  c  b  c Si a  b y c  0  ac  bc y a b  c c 3) Si a  b y c  0  ac  bc y a b  c c 2) Desigualdades Lineales ax  b  0 . 11  27 . x3 5 x 2x  9    3 4 12 15 10. 6. 2  0.  11 EJERCICIOS: I. 3x  5  5x  1 2. 9  0.434 4. 0.01 x 0. 4 x  5. 4 x  5  6 x 13 3.1 x  9.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I El conjunto solución es: CS  . Resolver: 1. 3  8 Ejemplo 3: Resolver: 2  4x 3 2x   3 2 4 Multiplicando por 12 (MCD): 24  16 x  18  6 x Pasando las variables al primer miembro: 16 x  6 x  18  24 Simplificando: 22 x  6 Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 6: El conjunto solución es: CS  x 3 11 3 . x 6 3x 11 14     2x  2 5 4 5 5 3 1 9 x  (5 x  14)  (2  x) 2 3 5 14. 2 x  15 10  5 x 2   (8  5 x) 2 3 3 13. 7 8 x   x 4 3 7.1(0.02 x  0.2 1 3  x 2 2 5 x  1 7( x  1)  3 2 8. 6x  3 x 3  (2 x  6)  2 4 2 4 (4 x  2)  ( x  2)  (4 x  5) 3 13 12. 3(2 x  2) 6 x  3 x   2 5 10 11.03x  4)  0. 20. determine el número mínimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. El precio unitario del producto es S/. It  Ct  0 1. 0. 1. Miguel tiene S/. ¿Cuántos marcianos debe elaborar y vender para obtener utilidades? 28 . Si los costos fijos son de S/. 0. Hoy. It  Ct  0 No obtener pérdida: U  0 . 2.. 4. bolsas de marcianos. 10750. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en S/. por unidad. 0. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben q venderse para que el ingreso sea mayor que S/. Si compra un terno que cuesta S/.520 para gastar en ropa. 20. 1000 mensual. etc. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. 13. 1. Si el costo unitario de S/.00.80 y los costos fijos de S/.20 en otros insumos (como azúcar.20 y el costo de mano de obra es S/. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que los costos de materia prima es de S/.50 cada uno. debe aportar S/.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES Obtener ganancia: U 0 . un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. 130? 7. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de 10  2 por unidad. El precio de cada periódico es S/.0 determine el número de sándwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tenga pérdidas. 300000. El precio de venta al público es de S/. ¿Cuál es la edad de Juan?.0 mensual por consumo de luz. determine el mayor número de camisas que él puede comprar. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 años resulta menor que 35. Una empresa produce jarras de vidrio. 3.50. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes? 8. 30 cada una. Si los vende a S/. 0.0.20 en fruta y S/. Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa editorial obtenga utilidades. pero mayor que 31. Gasta S/. Ricardo. El costo que se tiene sin importar el volumen de ventas. 0.30. se dedica a la venta de sándwich de pollo. 5. El fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que S/. 6. Las jarras tienen un precio unitario de venta de S/. 4. 0. es de S/. Además.) por unidad. 0.50 cada uno. agua y gas que utiliza para la preparación de los mismos. 250 y el precio de unas camisas es de S/.. 18 y un costo unitario de S/. m n. en el caso de ser solo < el conjunto solución sería m. las raíces o soluciones de la ecuación. m  relación de orden  n . entonces: 1) ax 2  bx  c  0 . 2   3. Depende de la relación de orden que tenga la inecuación. para establecer el conjunto solución.  y m< n es ≥. n .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 6 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Procedimiento: Resolver la inecuación como si fuera una ecuación.  Si la inecuación fuera: ax 2  bx  c  0 se procede de la misma forma pero el conjunto solución estaría dado por  m. serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solución. Sea la inecuación: ax 2  bx  c  0 . entonces el conjunto solución será Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería: x  . Ejemplo: Resolver x 2  x  6  0 1) x 2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0  x1  3 ó x2  2 2) Como la inecuación es  el conjunto solución es x   . al resolver supongamos que obtenemos como soluciones y 2) x1  m x2  n Como la x   . n  .   29 . x 2  x  0 10. x 2  3x  5  0 9. x 2  8x  16  0 14. 5x 2  14 x  55 12. (2 x  5) 2  0 30 . 3x 2  2 x  5  x 2  x  1 18. 3x 2  14 x  5  0 4. 3x 2  8x  4  0 19. ( x  4)2  0 20. 3x 2  8x  5  0 11. 4  x 2  0 5. ( x  3)( x  2)  11x  12 15. 4 x 2  4 x  3  0 7. x 2  7 x  10  2 x  4 16. 4 x 2  81  0 6. x 2  6 x  9  0 13. 12  x  x 2  0 8. x 2  11x  28  0 2. 3x 2  8x  5  0 3. Si la inecuación ………………………… ¿Cuál sería el conjunto solución si en las desigualdades cuadráticas anteriores no existe el igual? EJERCICIOS Resolver: 1. 2( x  3)  3( x  2)( x  3) 17.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Para analizar: Si la inecuación es de la forma (ax  b) 2  0 el conjunto solución es: es de la forma (ax  b) 2  0 el conjunto solución es: ………………………. tenemos que U  2200 195x  3x2  650  2200 Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la desigualdad se invierte). Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre 23 y 42 inclusive.8 Rpta. Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están dadas por p  200  3x .M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II SEMANA 7 APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS (Producción y utilidades). por lo tanto. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dólares? Solución. I  (unidades vendidas)  (precio por unidad) I  xp I  x(200  3x) I  200 x  3x 2 El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C  650  5x .2 . el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado 22. El costo de producir x unidades al mes del artículo es C  (650  5x) dólares. 31 . la utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por: U  I C U  (200 x  3x 2 )  (650  5x) U  195x  3x2  650 Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200. se obtiene la desigualdad: x2  65x  950  0 Que es una inecuación cuadrática. 42. 00 Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9. Entonces el precio por corte de cabello es (8  0. la peluquería perderá 10 clientes. Sea x el número de incremento de 75% por encima de $8.5x) . Al precio de p dólares por unidad. Al mes se deben venderse 50 unidades. 4/3 Esto es. Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500? Solución. 32 . x unidades de cierto articulo pueden venderse al mes en el mercado con p  500  5x . ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales? Solución.00 (Ingresos del fabricante).75(4/3) ) = $9.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I (Decisión de precios). el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0.75x)  960 Simplificando 10 x  7. y el número de clientes será de (120  10 x) por semana.75x) dólares.5x2  0 Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 0 . Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio I  12500 I  x(500 . x(500  5x)  12500  500 x  5 x 2  12500 x 2  100 x  2500  0   5x 2  500 x  12500  0 ( x  50) 2  0 La solución de la desigualdad es x  50 Rpta.75x) Los ingresos por los 120 clientes actuales son 120  8  $960 por tanto los nuevos ingresos deben ser al menos $960 (120 10 x)(8  0. Por cada incremento del 75% en el precio. Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte I  (120  10 x)(8  0. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000? 9. 14000? 2.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJERCICIOS 1. y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cada unidad es de $20. ¿Qué producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares? 3. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está dada por: p  240 4x . ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades semanales de al menos 900 soles? 4. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad de al menos $1800? 5. Si el precio “ p ” de cierto articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por p  120  2q . ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de al menos $900? 8. “ x ” unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado con p  600  5x . El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana. Si los costos totales son de (950  15x) dólares. x unidades de cierto artículo. si cuesta (3500  75x) dólares producir “ x ” unidades. Juguetes BASA puede vender al mes. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos S/. Al precio de “ p ” dólares por unidad. Si estas se pueden vender a‎ 140 soles. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado por la expresión G( x)  6 x2  582 x  76 donde ( x en miles) es el número de unidades producidas. Los costos generales de la planta son 650 dólares dada por   3   mensuales y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. a un precio de p dólares por unidad. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo es C  700  20 x dólares. con p  120  x . La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene  200  p  unidades. En el ejercicio anterior. está dado por C  x2  300 x  26400 . ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300? 7. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad? 6. El costo de producir “ x ” lámparas esta dado C  300  70 x  x2 . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse con el objeto de obtener una utilidad de al menos $10000? 33 . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos de por lo menos $12000? 34 . ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $2500? 15. SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II En el ejercicio 8. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520? 14. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. con ese precio tiene 120 clientes por semana. Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno. perderá cuatro clientes. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo. ¿Qué precio máximo podrá fijar y qué cantidad se venderá a este precio? 16. si cuesta (2800  45x) dólares producir x unidades. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $60. Si sabe que por cada dólar que aumente el precio. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. deja de vender 1 electrodoméstico. quien desea generar utilidades de al menos $64. Un comerciante puede vender 8 electrodomésticos a $15 cada uno. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos de $ 300000? 13. Un estilista cobra $20 por cortar el cabello. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19500? 12. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45 unidades más. por cada dólar de incremento en el precio. ¿A qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos $12500? 11.M AT EMÁT IC A I 10. las ventas bajan en 400 ejemplares. con x  1000  20 p . Cada electrodoméstico le costó al comerciante $7. venderá x kilos. Por cada incremento de $2 en el precio. llamados ejes coordenados. en un plano mediante dos rectas perpendiculares. a se llama abscisa de p y b ordenada de p .5) ( 1. Se representa un sistema de coordenadas rectangulares.3) ( 4.9) ( 2.0) c) ( 0. A la línea horizontal se le llama eje x (eje de abscisas). Se dice que p tiene las coordenadas (a.5) ( 4. 3) d) ( 0.8) (2. b) de números reales a cada punto de un plano. b) CU ADR ANT E b o x III IV CU ADR AN T E CU ADR ANT E a x ( eje de las abscisas) EJERCICIOS Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible.11) (2. 6) 35 . 6) (1. Cada punto p en un plano xy debe tener asignado un par ordenado P(a. (a. 1) (3.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 8 FUNCIONES I. b) . 3) (0.6) (3. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES A continuación se indica como asignar un par ordenado. b) . o cartesiano. 7) (6. 1) b) (1. y a la línea vertical. eje y (eje de las ordenadas). a) (2. indique el cuadrante al que pertenece cada punto. (eje de las ordenadas) y y I II CU ADR ANT E ( a. que se intersectan en el origen O.0) (5. Formas de Representar una Función Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas: a) Verbal (mediante una descripción con palabras). w(kilos) C(w) (dólares) 0<w1 4 1<w2 6. r 2 que es el área de un círculo. El interés bancario producido por un capital. 36 . c) Visual (con una gráfica). y f ( x) x d) Numérica (a través de una tabla de valores). La notación de una función es y  f (x) que se lee “ y es igual a f de x ”. Con una tabla de valores. Con una fórmula: A( r )   . b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).5 3<w4 10 Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda. FUNCIONES Definición de Función Una función de A en B . está en función del tiempo que esté depositado. y al conjunto de valores que puede tomar " y " se le denomina rango de la función.5 2<w3 8.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I II. donde " x " es la variable independiente e " y " la variable dependiente. es una relación f  A  B que hace corresponder a cada elemento " x " del conjunto A a lo más un elemento " y " del conjunto B. El conjunto de valores que puede tomar " x " se denomina dominio de una función. (3.3) g) c) (1. 4) (3. 2). 16). c) El peso de un estudiante y el número de estudiantes de un salón. 2) (3. (2. a) (2.2).( 1. 2  .  .(2.3  . 3).1).(4. 0  .  .1).(1. 3    2   5   g es una función. 6)  3   3 2 2 37 . (1.5) h) i)  1   4   3  1.2).2).  6.2). 2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función. Fundamenta tus respuestas.7) (2.2).0).2  . b) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos.7).  0. (2.(0.5) f) b) (1. (4. ). d) Las personas y la huella digital de su dedo índice de la mano derecha.(a.(a. e) El número de latidos del corazón de una persona y las personas a las que se les tomo las medidas. (2. 2).(1.(1. (3.2).1).2 ).(3.(5.(6.(3.3).0).(3 .1). EJERCICIOS 1) Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. (3.(2.1).2).SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I e) Diagrama Sagital f A B Dominio Rango f) Conjunto de Pares Ordenados   2   1  g    4.3).(3.4).(0. a) A cada número real se le asocia su doble.(0.(9.(a. 8).7).7) d) (1.  3 .(5. a)       6   e) (0.4).2). a). 3  .(2.1  . ( 1. (3. 2 b  a 2 ).SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 3) Si f es una función determinar a. (2. 2). 4). (5. b  a ).5a 3 b ). b ). (2. 2)  h) f   (1. 6). ( b. (2. 3a b ). b  1)  c) f   ( a . (4.16)    4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función? Justifique su respuesta.5  a ). 27). 22 a  b ). (2. a 2  b ). (1. ( 1. b ). (2.5). (3.14). 4). (3. a  b ). 42 a  b ). (3. ( a .   c) A      B d) B A       38 . 2)  f) f  ( 1. 2). 6)  e) f   (3. B A a)    b)    A B     . (2.5). ( 3. a  b ). ( 1. (1. (7. a) f   (3. (1. 1). 4)  d) f   (1. ( b.3 a  2).8). 625 ). b e indicar su dominio y rango. a  2 b ). 7). ( a 2  b . a )  b) f   (2. (7. 64) g) f   (5. a  b ). (7. (2. (3. SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 5) De los siguientes gráficos. determinar cuáles son funciones. y y x x (a) (b) y y x x (c) (d) y y x x (e) (f) y y x x (g) (h) 39 . Justifique su respuesta. 2  k) f (2) 2  . f (1) 3 f ( x)  x  1  7 x  3 . 1 f ( ) .  H x   0 .  f ( x)  a  b . i) 2 x5 . f (a) . f ( x  h) c) f ( x)  d) f ( x)  2 x 2  x  4 . Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados: Función f (4) f ( 2 3) f (a) f (1) f (a  2) f ( x)  3 x  5 f ( x)  1 x f ( x)  3 x 3 f ( x)  1  x 2 2. x2 6 x  8 3 f  3  2 f 4  3 f (1)  2 f  6 a . f (11) 3 f) g) 1 f ( x)  7  x 2 . f ( x)   2  16  x . f (0) 3 h) 1 f ( ) . Determinar el valor de la función. f ( 6 ) . para cada una de las siguientes funciones: a) f ( x)  9 . 3 f (1) . x  2 f ( x)   . f ( 5) . 4 x  4 x . x3 2 j) 1 f ( ) . f (4) . b  a . f ( x  h) 1  f ( x)   x  6  .5 x   5 .10 x  11.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJERCICIOS 1. f (h) . f (0) . f (3) 3 x 2  5x  2 . f (h) . f ( 3) e) f ( x)  3 x 2  6 x  1 . f (1) . 2 f 1  3 f 4 f 12  a 40 . f (0) . 4  x  8 H 1 f ( ). f ( ) . f (0) . f (t ) . f (5) b) f ( x)  3x  5 . f (0) . 41 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 3. Dada la gráfica de la función: y 3 2 8 6 1 5 3 1 3 5 8 x 3 6 a) Hallar f (8)  f ( 3) f (5)  f (3)  f ( 5) b) Hallar los valores de “ x ” para los cuales se cumple que: f ( x)  0. Función cuadrática f ( x )  ax2  bx  c . . con a  0 . 42 . Dom  f   2. f ( x )  c . q( x) Dom  f 6. Función constante.  p ( x ) . x  Dom  f 3  Dom f   Dom  f1   Dom  f 2   Dom  f 3  . Función lineal f ( x)  ax  b. Dom  f   4. Dom  f   3. Dom  f   5.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 10 FUNCIONES ESPECIALES Funciones especiales 1. entonces: Dom f  : p( x)  0 Función por partes o tramos  f1 ( x ) .   x / q ( x)  0  Función Raíz Cuadrada f ( x)  7. donde c es una constante. con a  0 . x  Dom  f1    f ( x )   f 2 ( x ) . Función polinomial f ( x)  p( x). donde p( x) y q( x) son funciones polinomiales. Función Racional f ( x)  p( x) . donde p(x) es un polinomio. . Ran f    c  . x  Dom  f 2     f3 ( x ) . SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I DOMINIO DE UNA FUNCIÓN f: R→R Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1. f ( x)  x x  x6 x2 15. f ( x)  x 2  5x  6 x4 2 2 5x 4  x  2 7.x  2 3  x  1 . f ( x)  14. f ( x)  x2 1 12.1 EJERCICIOS Determine el dominio de las siguientes funciones: 1. 10. 2  Dom  f    . f ( x)  x 1  2 2 x 3 16. f ( x)  x 2  5x  6 19. f ( x)  5  2 x 6. x  0 20. f ( x)  16  x 2 5. 4  0. f ( x)  2 x 2  3x  2 8. f ( x)  x 2  2x  1 18.  f ( x)  4 x f ( x)  2. f ( x)  8x  1  5x 2 4. f ( x)  9 9. f ( x)  2. f ( x)  3 x x  2x 2  25  x 2 x  16 2 6x  2  3 11. f ( x)  7x 4 x  12 9x  4 2  3x  5x   2 x . f ( x)  6  2x x  4  5 x 2  10 17. f x   x 2  2 x 3. f ( x)  3x x  2x  1 2 x 2  4x  2 f ( x)  x 13. 6  3x  3 3  4x x2  x 4 x  0 4 x  6  3x  0 2 x  x2  x  0 x( x  1)  0  3  4x  0 x  3 4  x  0 x 1 3 4 4 2  Dom  f   3 / 4. f ( x)   43 . 3) ( 3. 3) y (2. 5) ( 1 . 2) 2 (0. 4) (4. 4) 5 1 3 x (0. 1) 2 x 3 4 (e) (f) y y 4 6 3 2 5 4 3 1 (g) 5 3 2 1 2 x 2 x (h) 44 . 0) x x (a) (b) y y ( 3. 6) 3 (0.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Hallar el dominio y el rango de cada función representada en los gráficos siguientes: y (0.1) x x 4 (c) (d) y y (3. 0) 5. y hallamos el valor de y . 4) 45 .Intersección con el eje x Hacemos y  f ( x)  0 .0). (7. .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I  Intersecciones con los ejes coordenados . 8  6 Rango: Ranf  . Ejemplo Dada la siguiente gráfica y  f (x) y 3 2 1 8 6 5 1 3 5 7 8 x 2 3 4 Tenemos:  Dominio: domf  .8 3 2.3  Punto de intersección con el eje y (0.0 1.Intersección con el eje y Hacemos x  0 . 4  Puntos de intersección con el eje x (3. y hallamos el valor de x . Ejemplos 1. Dom( f  g )  Dom f   Domg  3.1   2 g f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)  1  x  x  2 f ( x) 1 x  f     ( x)   g  g ( x) x2   46 .1 . g x .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I OPERACIONES CON FUNCIONES 1. Composición de funciones f  g ( x)  f g ( x). Si f ( x )  1 x f y g ( x )  x  2.g )  Dom f   Domg  4. Diferencia de funciones f  g  x   f  x   g  x  . Suma de funciones f  g  x   f  x   g  x  . Dom ( g f )   x  Dom ( f )  f ( x )  Dom ( g )  Observación Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las nuevas funciones sea distinto de vacío. Multiplicación de funciones  fg x  f x . Dom( f . 5. Luego:  . División de funciones f  x  f    x  g g  x   Dom( f  g )  Dom f   Domg   x / g ( x)  0 . entonces: f Dom     .1 y Dom  g   Dom  f  g    . Dom( f  g )  Dom f   Domg  2. hallar ( f  g )( x) y ( )( x ) g Solución Como Dom  f    . Dom ( f g )   x  Dom ( g )  g ( x )  Dom ( f )  g  f ( x)  g  f ( x). b) ( f  g )( x) c) ( f .7 3 x47 1  x  3 1 Dom( f  g )  0.7 y g ( x)  x  4 . x  3. x  2 f ( x)     3x  6 .g )( x) f g d) ( )( x) hallar las operaciones siguientes g f d) ( )( x) c) ( f .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 2. x4 . EJERCICIOS 1) Dada las funciones:  f ( x)  3x  1 y g ( x)  4 x  2. x  0.3 0 2 x 3  2  x  1 1  x  2 1 Dom( g  f )   2 3 7 Por lo tanto: g  f (x) no está definida. Si f ( x)  2  x . hallar las operaciones siguientes: a) ( f  g )( x)  f ( x)  x b) ( f  g )( x) y a) ( f  g )( x) g ( x)  3x 2  2 x  1.3  x  4  3. x  2 y 2  4x  2 g ( x)     x4 .g )( x) 2) Sean las funciones:  2x  4 . Hallar  f  g (x) y g  f (x) Solución a) Dom( f  g )  x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f ) x  0.3 . x4 47 .3 0 3 Por lo tanto:  f  g ( x)  f g ( x)  f x  4  2  ( x  4)  2  x b) Dom ( g f )   x  Dom ( f )  f ( x )  Dom ( g )  x  3.7  2  x  0. 5  .1  .  3.  0.g. x   1. ( f / g ) .g ) .  3. 7  y g ( x )  x  12.g  2    f  g  2  f g  2    g f  1/ 2  g    2.1  .  5. 2   y M Hallar: g    2.)(5)  4( f  g )(0) 3( f  g )(6) b) E  7) En cada uno de los ejercicios.  5. x  2.  8.  0.  3. indicar el dominio de ( f 3( f  g )(15)  2( f  g )(8) 5( f  g )(20) g ) . y g ( x )  3  x. 8 x  5. 2  . 2  . 4  c) f ( x)  x  1 .  1. 4  . 2 x  3. x 1. 2  . 4  y g ( x)  2 x  1. x 1 hallar: 4) Si a) H  3  f / g  2   2  f g 1 b) H  3  g f  3 f    3. 5  . ( f  g ) . 9   Hallar:  4x  2 . x  0 . x0  x y y 3  f . 5 b) f ( x)  3x  3. 2  48 . a) f ( x)  x  4 . 6  ( f  g ) . ( f 2  3 g ) 5) Sean las funciones: f    2. 4  . x  0 g ( x)   2 .  0. ( f .g  6    g f 12  7  f / g  0  3) Sean Las funciones: 2   x  6   4 .  1. x 1 f ( x)     6x  3 . 4  .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I hallar: a) H 3  g.  5. f  2  5 H b) 2  f g  2   6 2  f . ( g f ) y hallar su regla de correspondencia si existe. 2  . 4  . 6   f / g  (2)  2  f  g  (0) 4  g f  (3) 6) Sean las Funciones: y y f ( x) 6 g ( x) 8 2 6 4 2 4 3 6 x 3 4 Hallar: a) E 5 x 4 2( f . SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 11 FUNCIÓN LINEAL RECTAS Pendiente de una recta Sean ( x1 . Siempre debemos dejar la ecuación de la recta de la forma y = mx+b.4) y m  5 luego la ecuación de la recta es y  4  5( x  1) simplificando L : y  5x  1 . Solución. Sea la recta Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1. y1 ) y ( x2 . tiene por ecuación: y  y0  m( x  x0 ) .4) que tiene pendiente 5. Tenemos punto de paso (1. y2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. 49 . y0 ) . La pendiente de la recta se define como: m  y2  y1 x2  x1  cambio vertical cambio horizontal Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero Recta horizontal Pendiente indefinida Recta vertical Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ECUACIONES DE RECTAS  Ecuación punto – pendiente L con pendiente m que pasa por el punto ( x0 . Reduciendo tenemos: . Ejercicios 1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a)  1. Primero hallamos la pendiente “m” y luego tomando como punto de paso a uno de los puntos dados se obtiene la ecuación de la recta. Entonces la ecuación de recta es: y  y0  m( x  x0 ) . f) Corta al eje y en 5 de pendiente 4. e) Corta al eje x en 3. 2  y j)  2.5) d) Pasa por el origen y de pendiente -4.5 . 5  y tiene la misma pendiente que la recta: y   x  3 . Solución. 4 se tiene la ecuación: y  5  3 4  x  3 . h) Pasa por  1. Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por:  1.3) y (2. 5      3 4 b)  . y2 ) . y1 ) y ( x2 . 52 Es claro que m  digamos el punto L: y  3 4 x 11 4 3  ( 1)  3.1  con pendiente m  3 . hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas: a) Pasa por el punto  2.5 .  3 y tomando como punto de paso cualquiera de ellos.  4 b) Pasa por  2. Pasa por el punto y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los Que pasa por  0. 50 . 3  y  0.   5 y m  5. 4  y tiene la misma pendiente que la recta L : 2 x  y  1 . 4   1.1  1 2 y  2. 6  2) En cada uno de los ejercicios siguientes.  c)  2. de pendiente 2.3  y  5. Recordar que siempre debemos dejar la ecuación de la recta de la forma y = mx+b. c) Pasa por (-1.2  y  3.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I  Ecuación que pasa por dos puntos Sea la recta L que pasa por los puntos ( x1 . g) Corta al eje x en 6 y al eje y en 3. i) puntos:  0. 5  . Según los datos. Hallando la pendiente. Hallar la ecuación de demanda. cualquiera de ellos. A un precio de $ 35 por unidad. 150) tenemos la recta p  1 30 q 454 3 . digamos (40. 51 . 40 y 300. y tomando como punto de paso. Por el hecho que es lineal. Solución. los puntos 150.n) Punto de equilibrio m q m es cantidad de equilibrio n es precio de equilibrio. que es la ecuación de demanda. de modo que podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p . también q  300 y p  35 . hallando así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIONES p p Pendiente negativa Pendiente positiva q q Demanda Lineal Oferta Lineal p n (m. es claro que q  150 y p  40 .35 . el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. si dicha ecuación es lineal. Ejemplo Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de $ 40 por unidad y de 300 unid. tenemos que m  35  40 300  150  1 30 . La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de 30000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20000 libros cuando el precio es de $ 25 c/u. B. hallar la ecuación de demanda para el libro.75. Sea la función de demanda de un producto: 2200  2q . B2. 4) (Ecuación de oferta). Se tienen dos bienes A. Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1500. respectivamente. donde p está 5 expresado en dólares. Si el consumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado. Si la demanda de un producto es de 350. 3) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es de $ 30.  ¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma? 8) (Función de oferta). y 25 unidades cuando el precio es de $ 40 cada una. 5) (Función de demanda).  Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5. con ecuaciones de oferta dadas por p  f (q)  5q  20 y p  f (q)  15q 120 respectivamente. Se tienen dos bienes B1. Hallar la ecuación de oferta. sabiendo que p y q están relacionados linealmente. hallar la ecuación de la demanda. ¿Cuál de los bienes debería comprar? 52 . ¿Cuál será el precio p  f (q)  3 unitario (en dólares) del producto? 7) (Función de demanda). 2) (Ecuación de demanda). ¿Cuál será el precio unitario (en dólares) del producto? 6) (Función de demanda). cuyas funciones de demanda 90  3 p son: q  f (q)  y q  f (q)  140 12 p . determine la ecuación de oferta. sabiendo que es lineal. Hallar el precio por unidad cuando se requiere 35 unidades. Sea la función de demanda de un producto: p  f (q)  551  q 4 . suponiendo que es lineal. ¿Cuál de los dos bienes tendrá mayor demanda?.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II EJERCICIOS 1) (Ecuación de demanda). Un consumidor acude al mercado con las intenciones de comprar uno. Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un producto cuando el precio es de $ 20 por unidad. sabiendo que es lineal. cualquiera de dichos bienes. Si la demanda de un producto es de 255. determine el costo de producir 35 unidades. 2000. 2. ¿Cuál es la ecuación de la demanda? 13) (Ecuación de oferta). por cada S/. no hay lámparas disponibles.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 9) (Función de oferta) Una compañía va a entregar mensualmente 5000 linternas de bolsillo a un precio de S/. ¿Cuál es la ecuación de la oferta? 53 . se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que la relación entre la cantidad ofrecida q y el precio unitario p es lineal. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70.75 la compañía vende 500 unidades.50 de reducción en el precio unitario. respectivamente: q 180  15 p 2 y s  6 p  18 .50 la unidad.35. Obtenga el punto de equilibrio. si el precio unitario es de S/. Cuando el precio es de S/. 12) (Ecuación de demanda). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una lámpara es de S/. Asumiendo que la relación entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es lineal. Obtenga la función de la oferta. 12. 10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son. 1000 de aumento en el precio. Suponiendo que la función de la oferta es lineal. 11) (Ecuación de costo). sin embargo. Una compañía ha analizado sus ventas y ha encontrado que sus clientes compran 10 artículos mas de sus productos por cada S/. Si el costo C esta relacionado de forma lineal con la producción q . ofrece 2000 unidades. y  ax 2  bx  c si a  0 . b y c son constantes. con a  0 . la parábola se abre hacia abajo. Su gráfica es una curva. k    54 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 12 FUNCIÓN CUADRÀTICA FUNCIÓN CUADRÁTICA f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma donde a .k) h Dom( f )  R .  Dom( f )  R . llamada eje de simetría y con vértice V h.k) k k (h. Ran ( f )   . Representación gráfica de una función cuadrática. y es simétrica respecto a la recta vertical x  h .f   2a  2a   Las coordenadas del vértice son: V  h . y  ax 2  bx  c la parábola se abre hacia arriba. k  k  valor mínimo de la función  x k  valor máximo de la función Coordenadas del vértice  b  b   . y y (h. llamada parábola. k  .  si a  0 . h x Ran ( f )   k .  f ( x)  ax 2  bx  c . 1)  Como a  2  0 . 4) 4 Ran ( f )   .  1 (2.4)  Como a  3  0 .1) 2 x Ejemplo 2 Determinar dominio. luego h=  b 6   1 2a 2(3) y f (1)  2  4(1)  3(1) 2  4 Entonces el vértice es: V  (1.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Ejemplo 1 Determinar dominio. b  5 y c  3. b  4 y c  2. entonces la parábola se abre hacia arriba  Gráfica y 3 Dom( f )  R Ran( f )  1. rango y gráfica de y  f ( x )  2 x 2  5 x  3 Solución:  Primero hallamos el vértice Como a  2. 4  4 1 1 x 2 55 . h luego b 2a 8  2 y 2(2) f (2)  2(2) 2  5(2)  3  1 Entonces el vértice es: V  (2. rango y gráfica de y  f ( x)  2  4 x  3x 2 Solución:  Primero hallamos el vértice Como a  3. entonces la parábola se abre hacia abajo  Gráfica y Dom ( f )  ( 1. siguientes funciones: a) y  f ( x)  x 2  4 x  1 b) y  f ( x)  2  3 x  2 x 2 c) y  f ( x)  2  4 x  3 x 2 d) y  k ( x)  3 x 2  4 e) y  h( x)  2 x 2  8x f) f ( x)  x( x  3)  14 g) t  f (s)  s 2  6s  13 h) y  g (t )  2  4t  t 2 i) f ( x)  x( x  3)  14 j) y  f ( x)  1  6 x  x 2 k) y  f ( x)  4 x 2  5 x  1 l) y  f ( x)  2  xx  3 m) y  f ( x)  x 2  x n) y  f ( x)  5  x 2 o) y  f ( x)  x 2  7 intersecciones con los ejes coordenados y graficar las 56 .M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II EJERCICIOS Determinar dominio. rango. b) Gráfica: I (6. donde: p precio unitario y q cantidad. El máximo ingreso será de 800 mil dólares. a) ¿En que año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será  b) Grafique la función ingreso.  b  b   V (h.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA Recuerda: U  IT  CT IT  pq . k )   . Solución: a) I  24t 2  288t  64 Luego I (6)  24(6)2  288(6)  64 I (6)  800 El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año. donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medido en años. f    es el vértice de una parábola.  2a  2a   Ejemplo: El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función I  24t 2  288t  64 .800) 800 6 t 57 . Determine el número de unidades que debe venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. 58 . donde f (t )  10 t (12  t ) . en donde x es el numero de árboles vendidos. esta dada por P( x)  169  16 x  x2 . b) Determine este ingreso máximo. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén. a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante. 5. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construcción se tiene que la función ingreso se expresa como I  p 2  100 p  2500 . en donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. Un grupo de inversionistas le encargó a una compañía de investigación de mercado que estimara los f ( t ) miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los años 2000 y 2008. c) Grafique la función ingreso.01q 2 soles. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo está dado por I ( q)  12q  0. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es p  f (q)  2600  13q . La función de demanda de un fabricante de muebles es p  f (q)  1400  7q . a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso. donde p es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). b) Determine el ingreso máximo. determinar el ingreso máximo de dicha empresa. donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (semanales). La función de demanda para el fabricante de un producto es p  f (q)  1200  3q. 4. 2. b) Determine dicha utilidad máxima. a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad. Indique el año en que se obtuvo la máxima cantidad de alumnos. c) Grafique la función ingreso. b) Determine el ingreso máximo. Estime el número 9 máximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos años. a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante. 2000  t  2008 . 7.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIONES 1. ¿Cuál es el máximo ingreso correspondiente? 6. 3. 9. 0  t  12. c) Graficar la función utilidad. a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo. 10.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 8. de aquí a “ t ” años. Se desea aumentar el precio y se estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta. c) Graficar la función costo. Estime el número máximo de mujeres que usarán el producto. a $15 cada una. en donde q representa el número de computadoras ensambladas. se venderán 4 carteras menos. Se estima que. Si el costo de cada cartera es de $10. b) Determinar dicho costo. 11. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa mediante la función C ( q )  3 q 2  780  60000 . 59 . el número de personas que visitarán el parque de las leyendas será dado por la función N ( t )  30 t 2  120 t  3000 . Una compañía de productos de belleza estima que t meses después de la introducción de un nuevo perfume. a) Hallar la función utilidad mensual. a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las leyendas b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes. donde h ( t )  18t 2  3600. Una fábrica vende 300 carteras al mes. h ( t ) miles de mujeres lo usarán. b) Determinar el número de carteras que se deben vender para obtener la utilidad máxima. No hay intersección. existen sólo 3 posibilidades: 1. 3. y Un sólo punto de intersección. Las variables o incógnitas son x e y. Interpretación Geométrica. el problema consiste en encontrar valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). x y L1 L2 Infinitos puntos de intersección. 2 x  4 y  5 3x  5 y  2 Al conjunto de ecuaciones:  se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 variables. x x  r rR   y  f (r ) 61 . sus gráficas son rectas. a estos valores se les llama soluciones del sistema. Si los dibujamos en un mismo plano. El sistema no tiene solución.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 13 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Sistema de Ecuaciones Lineales. Como las ecuaciones del sistema son lineales. yo) xo    x x  x0 y  y0 L2 y L1 L2 2. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema tiene solución única: L1 (xo. Se le llama Solución paramétrica. .( 2) Ilustramos este método para el sistema:  Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales. 62 . y  11 / 2 Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Método de eliminación por adición  2 x  4 y  5 . así x  17 / 2 ..(1) 3x  5 y  2 . en este caso despejamos la variable y. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales.( 2) Ilustramos este método.. obtenemos: 2 y  11 que es una ecuación lineal en la variable y. en este caso (1) y despejamos una de las variables. para este caso elegimos la ecuación (1): 2 x  4(11 / 2)  5 2 x  4 y  5 ó   y  11 / 2 que es una ecuación lineal en la variable x.. la solución del sistema es única: x  17 / 2 ... B. miembro a miembro..(1) 3x  5 y  2 ... así obtenemos: 5  2x  y  4 3x  5 y  2 Luego sustituimos el valor de y en la ecuación (2). Por lo tanto. resultando una ecuación lineal.. de una variable. 4 luego x  17 / 2 . fácil de resolver: y  11 / 2 Para obtener el valor de x. es conveniente alinear los términos en x y en y: A. para esto multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2.. fácil de resolver. Método de eliminación por sustitución  2 x  4 y  5 . fácil de resolver: 3x  5( 5  2x )  2. antes de usar uno de los métodos.. reemplazamos y  11 / 2 en cualquiera de las ecuaciones originales (1) ó (2).SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. con el sistema:  Primero escogemos una de las ecuaciones... excepto por el signo... así queda un sistema  6 x  12 y  15  6 x  10 y  4 equivalente:  Luego sumamos ambas ecuaciones. que al resolver se obtiene: x  0 ó x  1 . la solución del sistema es única: x  17 / 2 . y proceder de manera similar. Por lo tanto. sí x  1 entonces y  1 . el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la variable y.  y  x2 Resolver:  x  y  0 Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación lineal. Ejemplos: 1. Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no es lineal. luego y  11 / 2 2 . cuadrática. Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se puede resolver un sistema no lineal. hacemos los reemplazos respectivos: sí x  0 entonces y  0 . SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Reemplazamos. Por lo tanto. Por ejemplo y. fácil de resolver: 2(  17 )  4 y  5 .1) (0.0) x x+y=0 63 . y  11 / 2 . las soluciones del sistema no lineal son: x0  x  1 ó   y  0  y 1 Forma Gráfica y (-1. por el Método de eliminación por sustitución. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar la variable x. la cual es una ecuación Para hallar los valores de y.  y  x2 así:  x  y  0 luego reemplazamos en la ecuación no lineal: x  x 2 . la cual es una ecuación con radical que nos lleva a una ecuación cuadrática. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x  4 y  3 3x  12 y  5 5v  2w  36 8v  3w  54 a)  b)  1 2  3 x  2 y  2 c)   3 x  5 y   11  8 6 2 1 1 1  2 z  4 w  6 d)  z  1 w  2  2 3 4 p  12q  6 6q  2 p  3  p  q  3 2q  3 p  19 e)  f)  II.0) y  x 1 (0. Resolver:   y  x 1 Observamos que en la ecuación lineal.1) x I. sí x  1 entonces y  0 Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:  x  0  x  1 ó    y0 y  1 Forma Gráfica y y = x+1 (-1. Resolviendo se obtiene: ( x  1) 2  x  1 . Sólo queda sustituir en la ecuación no lineal: x  1  x  1 . entonces resolviendo se tiene: x  0 ó x  1 Para hallar los valores de y. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: y  4  x 2 a)  3x  y  0 x  y  6 b)  2 2  y  x  18  p 2  q d)   p  q 2 e)   p  q2  0  3q  2 p  1  0  x 2  y  8 c)   y  x 2  0  p  5  q2  p  q 1 f)  64 . hacemos los reemplazos respectivos: sí x  0 entonces y  1 . la variable y está despejado.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I y  x 1 2. 8. a) Oferta: p  3 q2 100 . el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una gráfica. encuentre el punto de equilibrio. respectivamente. b) y demanda: p   7 q  12 100 . encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. En los problemas a) . 9 q  20  0 150 respectivamente. respectivamente. donde “ p ” representa el precio por unidad en dólares y “ q ” el número de unidades. al proveedor. encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. 6. 7.05q b)  T CT  0. se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda para un producto. encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p  2 q  20 y p  2 q 2  200  0 . si “ q ” representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas. Esquematice un diagrama de equilibrio C  2q  4500 a)  T  I T  3q  I  0. encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. a) Encuentre. En los problemas siguientes. algebraicamente. respectivamente. donde “ p ” representa el precio por unidad en dólares y “ q ” el número 5.85q  600  I  ( q  10) 2 c)  T CT  3q  30 3. cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad. donde “ p ” representa el precio por unidad en dólares y “ q ” el número de unidades vendidas por periodo. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 p  p  250  0 y 100 p  q  1100  0 respectivamente. donde “ p ” representa el precio por unidad en dólares y “ q ” el número de unidades. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3q  200 p  1800  0 y 3q  100 p  1800  0 . b) Oferta: 35q  2 p  250  0 c) Oferta : p  2 q  20 . b) Encuentre el precio de equilibrio. p 6 q5 y 150 p de unidades. Encuentre la cantidad de equilibrio. 1. 2.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES. 65 . Si “ p “representa el precio por unidad en dólares y “ q ” el número de unidades por unidad de tiempo. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p  4 q  24 y p  4 q 2  248  0 . demanda: 65q  p  785  0 demanda : p  200  2 q 2 c) se representa el ingreso total en IT dólares y CT el costo total en dólares para un fabricante. 000. Hay costos adicionales por par de $0. la demanda de un cierto artículo es de 4500kg.50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al equilibrio? 66 . Un fabricante vende un producto a $ 8. la oferta y la demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente. y vende todo lo que produce. 11.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I 9. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material es de $ 0. la demanda y la oferta serán de 4400 y 4200kg. Un fabricante vende todo lo que produce . Hallar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que son lineales. que el punto de equilibrio del mercado ocurre cunado se producen 10000 unidades a un precio de 40 soles por unidad.a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de equilibrio. A un precio de $2400.80 por par. Si el precio aumenta a $2700 por unidad. ¿A que nivel de producción ocurre el punto de equilibrio? 15. 14.50 por unidad. suponiendo que son lineales.. El productor no ofertará unidades a $1 y el consumidor no demandara unidades a $20..Su ingreso total esta dado por : el costo total es CT  6 q  800 donde “ q ” representa IT  7 q y el número de unidades producidas y vendidas . El punto de equilibrio de mercado para un producto. mientras que la oferta es de 3300kg.. b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.Si cada par se vende a $ 2. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg.20 por unidad . y el costo de de mano de obra es de adicionales e $ 0. si el costo total se incrementa en 5%. Encuentre las ecuaciones de oferta y demandas si ambas son lineales.90 por par. la oferta de cierto bien es de 120 unidades. ocurre cuando se produce 13500 unidades a un precio de $ 4.Los costos fijos son de $ 70. Encontrar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que son lineales. El consumidor no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no ofertará unidades a 20 soles la unidad.35 por unidad. a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda. respectivamente. indicando el punto de equilibrio.¿A que nivel de producción existirán utilidades de $ 4600?. mientras que su demanda es 560 unidades. Los costos fijos son de son de $2116 y el costo variable es de $ 7.30 . 12. Un empresario de ropa para niños observa. A un precio de 50 soles por kg. 13. 10. b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio. yx La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Los puntos que están a la izquierda satisfacen la inecuación x  a . y los semiplanos p y p formados por los 1 2 puntos que están a uno y otro lado de la recta L . 67 . Consideremos la recta vertical x  a.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 14 DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto de puntos que están en la recta misma. p p 1 2 a Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. y los puntos que están a la derecha satisfacen la inecuación x  a . Graficar en el plano cartesiano la desigualdad Primero graficamos a la recta yx y  x. EJEMPLO 1. Por tanto. la recta trazada es la frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen. 2) . Uno que este por encima de la recta y el otro por debajo. entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que contiene al origen. En nuestro caso tomamos los puntos ( 2. yx EJEMPLO 2.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos puntos. por lo que la grafica de y  x es el semiplano bajo la recta fronteriza. entonces el punto que satisface la desigualdad es (3. 0) satisfacen la desigualdad. El punto que satisface la desigualdad determina el semiplano que representa la solución. 2) y (3. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad Primero graficamos a la recta y  x 1 y  x  1. 2) . Como este es el caso. 68 . y y  x 1 1 1 x Luego verificamos si las coordenadas del punto (0. Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las siguientes desigualdades: x  y   x  0  y  0 25 Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente. Primero graficamos la desigualdad x  0 : Es decir: x  0 . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema. Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta x  y  25 (puesto que x  y  25 ). Y 25 25 X 69 . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema. Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que x  0 ) Segundo graficamos la desigualdad y  0 : Es decir: y  0 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I y  x 1 y 1 1 x EJEMPLO 3. Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que y  0 ). se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. Tercero graficamos la desigualdad x  y  25 : Es decir: x  y  25 . SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJEMPLO 4. Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las siguientes desigualdades: x  2y  6  x  y  4  x  0  y  0 Indicar los vértices del polígono formado. Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. Es claro que la región que corresponde a x  0 es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y , y la que corresponde a y  0 es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos las rectas x  2 y  6 y x  y  4 . y 4 x y 4 3 x  2y  6 6 4 x EJERCICIOS 1. Trace la gráfica del sistema de desigualdades: a) x  y  5  x  2 y  14  x  0 y 0 b) 2x  y  2 2y  x  8  x  0 y 0 70 SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I c)  2 x  y  10  y  2 x  20  y  0  x  0 e) x  y  2  x  2 y  10  x  8 x  0  y  0 g) x  2y  3  3 x  2 y  9  x  y  6  x  1 i) x  2y  8  0  x  4  0  y  3 d)  3 x  4 y  12  x  2 y  2  y  5  x  9 f) 2x  y  8  2 x  3 y  12  x  0  y  0 h) x  2y  3  3 x  y  9  x  y  7  x  2 j) 2x  3y  6  0  x  5  0  y  4 71 SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 15 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940-1950 por matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias administrativas, física y biología. Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren conseguir los máximos beneficios? EJEMPLO 1. Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50 kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada modelo debe fabricar y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?. Consideremos x : número de DVD del modelo A y : número de DVD del modelo B. Kg de Caucho Horas de Trabajo Utilidad de cada uno Modelo A cantidad (x) 1 1 S/.30 Modelo B cantidad (y) 1 2 S/.40 TOTAL: 50kg 80hrs U : Utilidad mensual. La función objetivo, que se debe maximizar, es: U  30 x  40 y 72 SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Sujeta a las condiciones siguientes:        x  y  50 (1) x  2 y  80 (2) x0 (3) y0 (4) A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible. Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene: Y 50 D 40 C A B 50 80 X Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima. En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son: A  0, 0  B  50, 0  C  20, 30  D  0, 40  Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto: U  0, 0   30(0)  40(0)  0 U  50, 0   30(50)  40(0)  1500 U  20, 30   30(20)  40(30)  1800 U  0, 40   30(0)  40(40)  1600 Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: x  20 e y  30 . Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima es de de S/. 1800. 73 Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos. dos horas en B y una hora en C. además. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla A B A Utilidad Manual 2h 1h 1h 4 Eléctrica 1h 2h 1h 6 Horas disponibles 180 160 100 Consideremos x : numero de artefactos manuales que se fabrican en el mes. respectivamente. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A. U : utilidad mensual. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I EJEMPLO 2. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A. y : número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180. manuales y eléctricos. Supóngase. La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. B y C. La función objetivo es: Maximizar : U  4 x  6 y Sujeta a las condiciones siguientes:          2 x  y  180 (1) x  2 y  160 (2) x  y  100 (3) x0 (4) y0 (5) A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. de una hora en la máquina B y de una hora en la máquina C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas. 74 . 160 y 100. tenemos A  40. 0  E  0. 20  C  90. 60   4(40)  6(60)  520 U  80. En nuestro caso. 75 . se evalúa la función objetivo en cada punto: U  40. 0  D  0. 60  B  80.80  Entonces. 0   4(90)  6(0)  360 U  0. para lo cual es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima. 0   4(0)  6(0)  0 U  0. se debe hallar la que maximice a la función de utilidad.80   4(0)  6(80)  480 Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A . en donde x  40 e y  60 .SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I Aunque existen una cantidad infinita de soluciones. Esta afirmación permite hallar soluciones óptimas. 20   4(80)  6(20)  440 U  90. y 180 100 2x  y  180 x  y  100 E 80 A x  2 y  160 B 4 C 90 100 D 160 x Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. y)  2 x  3 y 8. y)  2000 x  5000 y  2 x  3 y  3  2x  y  9 Sujeta a las restricciones    2x  5y  5   x  0. y  0 . Dada las restricciones   x y3  x  0. y  0 . Maximizar la función f ( x. y  0 . x  0. y  0 76 . 6. b) Calcule el valor máximo de la función objetivo z  5 x  2 y sujeta a las restricciones dadas. Dado el siguiente problema de programación lineal: max : f ( x . y  0 . 3 x  2 y  7 . Dada las siguientes restricciones: 2 x  y  4 . 2 y  x  1 . y  0  Determine el máximo valor de f ( x. x  6 y  8 3.  y  x  1 . x  2y  5 .M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II EJERCICIOS 1. 4 y  x  9 4. 3 y  x  2 5. Minimizar: z  2 y  x sujeta a las condiciones x  0 . 3 x  4 y  4 . Minimizar: z  4 y  3 x sujeta a las condiciones x  0 . y  0 a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices. Maximizar: z  5 x  7 y sujeta a las condiciones x  0 . Maximizar: z  x  2 y sujeta a las condiciones x  0 . y  0   2x  y  4 7. y )  5 x  4 y 3 x  5 y  150 Sujeta a   2 x  y  60  x  0. 2 x  5 y  12 2. de acero y otros 2 Kg. Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 520 DVD. 4. de aluminio. con folletos más grandes. Para cada artículo de A y B se requiere 1 kg. Si la utilidad por artículo en el modelo A es de $5 y $3 por el artículo B. 3. Diario se necesita por lo menos 18 kg. Si a lo más pueden hacerse 9 fundas del modelo A. 40 y S/. La fabrica dispone de 80 Kg. de M1 para cada artículo A y 1 kg. ¿cuántos DVD de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias de la empresa?. usando las materias primas M1 y M2. de M2. Una empresa fabrica dos modelos de DVD el modelo A y el modelo B. Para confeccionar una funda del modelo B se emplean 3 horas de trabajo y 5 metros de tela. 20 respectivamente. de aluminio. ¿cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener la máxima ganancia y cual sería la ganancia?. en la que cabe 120. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de muebles A y B que le generan una ganancia de S/. Un estudiante de la San Martín dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaría. Además en la fabricación de un artículo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artículo de B. 5. Se requiere 2 kg. y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 Kg. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?. de M2. Un fabricante produce un artículo en dos presentaciones: A y B. Para confeccionar una funda del modelo A se emplean 4 horas de trabajo y 3 metros de tela. El modelo A produce una ganancia de $120 por unidad y el modelo B $80 por unidad. le paga 7 soles por impreso. ¿cuántos artículos de cada modelo deben producirse para maximizar la utilidad y cuál es la utilidad máxima?. de aluminio. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 metros de tela. 2. de M1 y 12 kg. 77 . de M1 para cada artículo B. dicha empresa debe producir como mínimo 250 DVD del modelo A y un mínimo de 150 DVD del modelo B. Si vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las de montaña a 150 soles. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A. Para cumplir con la demanda diaria. de acero y 120 Kg. y otra para los impresos B. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 Kg. y como máximo 34 horas de mano de obra.SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II M AT EMÁT IC A I SEMANA 16 APLICACIONES 1. en la que cabe 100 Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. de acero y 3 Kg. 7.5 por kilogramo. necesita al menos 800.M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 6. pero solo dispone de 9 chóferes. 1. 300 de medio y 100 de alto grado. La fábrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. 10. Cada día. 78 . 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinería I y de $2000 para la refinería II. 280. medio y alto. Además la empresa decide vender 150 pasajes como mínimo de clase M. respectivamente. la refinería I produce 200 barriles de grado bajo. que tiene dos refinerías. Las ganancias por la venta de cada sillón del tipo A y B son $60 y $30 respectivamente. de dos clases: clase ejecutivo (E) y clase media (M). El personal de tapicería trabaja en total 80 horas y el de carpintería 90 horas. 1 por kilogramo y el de jurel S/. El Ministerio de Pesquería obliga a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel. a) La cantidad pasajes de cada clase que deben venderse para que las ganancias sean máximas. ¿cuantos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? . Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones A y B. b) La ganancia máxima. mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo. La ganancia correspondiente a cada pasaje de clase E es de 40 soles y de clase M es de 30 soles. La empresa de transporte que desean contratar tiene 8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos. 350 y uno de menor de capacidad S/. b) Determinar la ganancia máxima 9. Si el precio de venta de la merluza es de S/. 8. Para hacer un sillón del tipo A requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería. a) Calcular cuántos sillones de cada tipo tiene que fabricarse para que las ganancias sean máximas. b) El ingreso máximo. El alquiler de un bus con mayor capacidad cuesta S/. además la captura de éstas dos especies no pueden pasar de 3000 toneladas. Una compañía petrolera. determine: a) La cantidad de cada especie que debe de pescar para que el ingreso sea máximo. Una empresa de transportes desea vender a lo más 260 pasajes de la ruta “Lima– Trujillo”. Determine cuántos buses de cada tipo se debe contratar para que la excursión resulte lo más económica para la escuela. mientras que uno de tipo B requiere 3 horas de carpintería y 1 hora de tapicería. M AT EMÁT IC A I SEMESTRE ACADÉMICO 2013 -II 79 .