. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 01 ESTOMATOLOGIA 2010 Mediante la tablas de verdad evalúe: ~,p÷(p.~q)- Resolución: p q V V V V F V F F V F F V V V V V F V F F V F F F F F F F V F F V Por algebra proposicional: ~,p÷(p.~q)- p÷q~~pv q (Prop.) ~ ~,~pv(p.~q)- ~pv(p.q)~~pv q (Absorción) ~ ~,~pv ~q- ~(pv q) ~~p.~q (Negación) ~ p.q ~,p÷(p.~q)-~ p.q ,p÷(q÷ r)-÷ ,(p.~ r)÷ ~q- Resolución: p q r V V V V V V V V F F V F V V F V F F V V V V F F V F V V V V V V F F V V V F F V V V V V V V V V F V V F V V V F F F V F F V F F V F V F F V V F F F V F V V V F F F V V F F F F V V V F F V V V Es una tautología (todos son verdaderos) Por algebra proposicional: ,p÷(q÷ r)-÷ ,(p.~ r)÷ ~q- ~,~pv(~qv r)-÷ ,~(p.~ r)v ~q- Condicional ~,~pv~qv r-÷ ,(~pvr)v ~q- conmut. y neg. ~,~pv~qv r-÷ , ~pvr v ~q- Conmutatividad ~ ,- ÷ ,- ~ V ……………………… bicondicionl ,(pv ~q). ~p- ~ (q÷ p) Resolución: Por algebra proposicional: ~,(pv ~q). ~p- ~ (~qv p) Condicional ~,~q. ~p- (q.~ p) Absorción y negación Por propiedad: pq~(p.~q)v(q.~ p) ~,(~q. ~p).~(q.~ p)-v,(q.~ p).~(~q. ~p) ~ ,~q. ~p.(~qv p)-v,q.~ p.(qv p)- Conmutatividad y negación ~ ,~p. ~q.(~qv p)-v,~ p.q.(qv p)- ~ ,~p. ~q-v,~ p.q- Absorción ~ ,(~p. ~q)v~ p-.,(~p. ~q)vq- Distribución ~ ,~ p-.,~pvq- ………………… Absorción ~ ~ p.,~pvq- ~ ~ p ………………........ Absorción p q V V V V F F F F F V V F V V V F F F F V F V F F F F V V V F F F F V V V V V F V Se verifica que es equivalente a la negación de “p” Sean los siguientes esquemas: ~ (p.r)v(p÷q) ~ ,~(~p).~ q-÷ (~r÷ ~p) Determine si son equivalentes. Resolución: por algebra proposicional ~ (p.r)v(p÷q) ~ (p.r)v(~pvq) …………..condicionl ~ (p.r)v~pvq ………… ~ rv~pvq …….bsorción ~ ,~(~p).~ q-÷ (~r÷ ~p) ~ ~,p.~ q-v (rv ~p) ..Negación y condicional ~ ,~pvq-v rv ~p …… ~ ~p.~ q v rv ~p ~ ~p.~ q v r Se observa que son equivalentes. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. 7=7 v 7< 2+9 ii. 9>5 . 4 - 2=9-7 iii. 4+5 = 9 ÷ 3>1 Resolución: i. v~ ii. .~ iii. ÷~ (solo es falso cuando: ÷ ) Si la proposición compuesta: ,(pvq).~q-÷ Es falsa. Los valores de verdad de las proposiciones “p” y “q” son: ,p (p q)- Rpta ,p (q r)- ,(p r) q- ,(p q) p- (q p) p q p q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 02 ESTOMATOLOGIA 2010 Resolución: , (pvq) . ~q- ÷ ~ V F , (pvq) . ~q-~ V(p) ~ F V V V(q) ~ F (pvq)~ V F Si: (p.q)÷,(vs)÷(÷)- es falsa. Halle el valor de: i. (p÷).(r÷q) ii. ~(p.q)÷(~s÷p) Resolución: (p.q)÷,(vs)÷(÷)- ~ V F (p.q)~ (vs)÷(÷)~ V V V F (÷)~ V(p) ~ V V F V(q) ~ V V(t ) ~ V V(w) ~ F Entonces: i. (p÷).(r÷q) ~(÷).(r÷) ~ . ~ ii. ~(p.q)÷(~s÷p) ~ ~(.)÷(~s÷) ~ ~()÷()~ ÷ ~ Si: ( | | ) y ( ) Halle y grafique: a) AB C b) A C ·B c) ( ) d) (AB)-A e) A C B C f) A·(B·A C ) g) A C -B C Resolución: Grfic de los conjuntos “A” y “B” A B A -5 -1 2 4 7 9 A C =R-A (para conjunto de los números reales) a) AB C = A(R-B) *( | | )+* ( )+ *( | | )+*( || )+ ( | | )( || ) -5 -1 2 4 7 9 AB C ( | | ) Grafica de: AB C ( | | ) -5 -1 2 4 7 9 b) A C ·B= (R-A)·B * ( | | )+·( ) *( | ( )| )+·( ) -5 -1 2 4 7 9 A C · ( ) Grafica de: A C ·B ( ) -5 -1 2 4 7 9 c) ( ) ,( )- ,( )·- ,- ,( )- · ( ) · *( | | )+·( ) A B A -5 -1 2 4 7 9 ( ) ( || ) Grafica de:( ) ( || ) -5 -1 2 4 7 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 03 ESTOMATOLOGIA 2010 d) (AB)-A= B –A ( ) *( | | )+ A B A -5 -1 2 4 7 9 () ( ) Grafica de: (AB)-A ( ) -5 -1 2 4 7 9 e) A C B C =( A C B C )-( A C ·B C ) A C = R-A = R -*( | | )+ A C = *( | ( )| )+ B C = R-B= R-( )=( || ) A C B C =( |( )| ) A C ·B C ( || ) -5 -1 2 4 7 9 ¬(A C B C )- ( A C ·B C )= ( | ( )| ) A C B C = ( | ( )| ) Grafica de: A C B C = ( | ( )| ) -5 -1 2 4 7 9 f) A·(B·A C )= ( A· A C ) ·B = C · B = C No posee grafica. g) A C -B C = A C ·( B C ) C = A C ·B *( | ( )| )+· ( ) -5 -1 2 4 7 9 ( ) Grafica de: A C -B C *( | ( )| )+· ( ) -5 -1 2 4 7 9 Resuelva las siguientes ecuaciones: a) Resolución: Aplicamos la formula general: ax 2 +bx+c=0 √ ()() () √ √ v √ b) Resolución: ()() =0 ¬ c) Resolución: por aspa simple: ¬ ( )( ) x - 3 ( ) v( ) x - 2 v d) Resolución: ( ) ¬( )( ) v v e) …………..(I) ………….(II) Resolución: multiplicando por (-4) a (I) Reemplazando en (II) . / . / ¬ ¬ Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones: √ : …… () a) () …….. () Resolución: Dominio: esta explicito (unión) () () () √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 04 ESTOMATOLOGIA 2010 () ¬ e ()e ( ) Rango: analicemos para cada intervalo. Para: () √ (formando la función) √ √ () ()e( | ()e( | Para: () () ()e( | ()e( | () () () ¬ ()e( | ( | ()e( | Gráfica: b) () ( ) Resolución: Dominio: “x” puede sumir cualquier valor ¬ e ()e ( ) Rango: analizando Si: ( ) ( ) () () () *+ ( ) ( ) () () () *+ ( ) ( ) () () () *+ () () () () () * + Gráfica: c) () | | Resolución: Dominio: () || (Función constante) ¬ e () ( ) Rango: para todo x siempre es 4, ósea () *+ Gráfica: d) () Resolución: Dominio: para que exista la función el denominador debe ser diferente de cero. ¬ e *+ () e *+ Rango: como el denominador nunca será cero entonces la función es diferente de cero. () ()e *+ La Gráfica: es una hipérbola equilátera, pero desplazada del origen de coordenadas 2 unidades hacia la izquierda () ( ) Cuyas asíntotas son: : y : 4 5 1 -1 4 x y 4 -4 0 1 y x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 05 ESTOMATOLOGIA 2010 e) () √ Resolución: Dominio: en los reales, para que exista dicha función, el radicando debe ser positivo, ósea. (factorizando) ( )( ) (por puntos críticos) -1 4 ¬ e( || ) ()e( || ) Rango: vemos: () √ Como es positivo ¬ () osea: () () e | ) Gráfica: es una parte de una hipérbola …… () f) () 0 : …… () …… () Resolución: Dominio: () () () () () () ()e Rango: analicemos según cada intervalo. + Para: () () ¬ ()e( ) + Para: () (es una función constante) ¬ () *+ + Para: () ¬ () ¬ ()e ( ) () () () () () ( ) *+ ( ) Gráfica: Calcule: a) li √ Resolución: Al reemplazar directamente sale una indeterminación, entonces eliminaremos el factor que causa dicha indeterminación: √ . √ / . √ / . √ / . √ / li . √ / √ Reemplazando: li √ √ x 1 -2 y Asíntotas x y -2 (0; 0) x 4 -1 y Asíntotas 1,5 + + _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . “UAP” MATEMÁTICA BÁSICA 06 ESTOMATOLOGIA 2010 b) li √√ Resolución: li (√√) (√√) (√√) li (√) (√) (√√) (√√) ¬ li (√√) (√√) li c) li √√ Resolución: li (√√) (√√) (√√) li (√) (√) ()(√√) () ()(√√) li (√√) (√√) li ( ) d) li Resolución: factorizando li ()( ) ( ) ()( ) ( ) li ()( ) ()( ) ¬ li ( ) ( ) ( ()) ( ()) e) li √ Resolución: para operar fácilmente: haremos un cambio de variable: √ ¬ y Además si: ¬ li ()( ) ( ) Ahora si podemos reemplazar: li ( () ) Ejemplo: () , li () li li . / , La es la asíntota oblicua. Nota-1 Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras. 於適之使用者文件中將軟體標示為「 教育版」台端即可在最多不超過准許 數目 之o電本I腦用本 軟體多個複本 然僅得供教育說明目的使用.